In Certeza sr

UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL VENADO TUERTO

2002.

Sobre, MEDICIONES FSICAS. Por: Leandro Prevosto, Beatriz Mancinelli.1

1 Basado fuertemente en:

MEDICIONES FSICAS, Prof. Dr. Jose A. Balseiro,1954.

MEDICIONES FSICAS Pgina 1/26

MEDICIONES FSICAS

Significado de la medicin de una magnitud. Medir una magnitud fsica es asociar a la misma un valor dimensionado en relacin a la unidad que arbitrariamente se ha definido para medirla. As medir una distancia, significa establecer el nmero de veces que la unidad de longitud est contenida en dicha distancia. La operacin de medir una magnitud supone a priori que tal magnitud tiene un valor verdadero, no obstante las dificultades lgicas que aparecen en cuanto se trata de precisar con rigor el significado de este concepto. No existen ni pueden existir instrumentos que permitan medir sin error alguno una magnitud fsica. Podemos medir p.e. la carga del electrn con una aproximacin tanto ms grande cuanto mejor sea el mtodo que imaginamos para hacerlo; pero en ningn caso podemos medir la "verdadera" carga del electrn. Adems, en muchos casos, en cuanto extremamos la aproximacin con que medimos una magnitud la propia magnitud carece de sentido. As, si medimos la longitud de una barra rgida con una escala mtrica, con una escala con vernier, con mtodos pticos, etc. obtenemos valores de esa longitud que decimos son ms aproximados; pero, qu sentido tiene medir esa longitud con una aproximacin del orden o mayor que la distancia (10-7 cm) que separa a los tomos que forman la barra rgida? Solamente como una excepcin muy particular, cuando el nmero que mide una magnitud es necesariamente un nmero entero se puede afirmar que es rigurosamente exacto. P.e. el nmero de electrones en un tomo. Con las restricciones que el caso exige necesitamos del concepto de valor verdadero de una magnitud, al menos como hiptesis de trabajo. Ms adelante, al tratar los errores estadsticos podremos precisar ms este concepto. Lo que importa, ahora, es destacar que la medida de una magnitud difiere siempre en algo del verdadero valor de la misma. Dar simplemente un nmero como medida de una magnitud sin precisar el error de que est afectado, sea aproximadamente, sea en trminos de probabilidades no significa mucho. Una medida tiene sentido slo cuando se puede valorar de una u otra forma el error de que est afectada.

Errores. Error relativo. Precisin de una observacin. Se llama error de la observacin 'X respecto de cierto valor X a:

'XXX = Segn el significado de X (valor verdadero, valor medio o valor ms probable) es la denominacin que se la da al error X . Por ahora, supondremos que X es el valor verdadero; en tal caso X es el error absoluto o error verdadero. Para intentar averiguar el valor verdadero de una magnitud se procede, como luego se ver, a realizar una coleccin de medidas experimentales de n observaciones, que proporcionan a posteriori un valor ptimo aproximado, p.e. la media aritmtica de tales medidas, y una cota de error absoluto X .Suele presentarse, en esas circunstancias, como resultado experimental:

X = X X, con =

=

n

1iiX

n

1X

donde iX es la observacin i-sima de la magnitud X. Lo que quiere significar que la magnitud medida se encuentra dentro del intervalo

[ X - X, X + X ], con una determinada probabilidad. Por definicin X es siempre positivo. El slo enunciado del error de una observacin no es suficiente para caracterizar la aproximacin o precisin de la misma. Sea p.e. la medida de una distancia de 1 m con una regla que produce un error de 2 mm. El error por unidad de escala (el mm) es:

002.01000

2=

Si medimos en cambio el dimetro de un alambre de 1 mm con un tornillo micromtrico que nos da un error de 0.01 mm el error por unidad de escala es de 0.01. En el primer caso tenemos por unidad de escala un error cinco veces menor que en el segundo. El error por cada unidad en las cuales se mide la magnitud a determinar se llama error relativo:


=XXX

Para los fines prcticos slo se requiere valores aproximados del error relativo, de modo que,

'XX

X'XX

XX

+

=

define el error relativo de la observacin X', y es calculable siempre que se pueda valorar X . A veces el error relativo no se da por cada unidad sino por cada 100 unidades. En tal caso se define el error relativo porcentual:

100'X

X100XX%X =

Cuando se dice que el error relativo es del 2% significa que se comete un error de dos unidades por cada 100 de las mismas. El valor inverso del error relativo mide la precisin de la correspondiente medicin. De esta forma definimos precisin de un medicin: El nmero de unidades afectadas de un error equivalente a una de dichas unidades.

X'X

XX

K

=

Precisin de un mtodo o de un instrumento de medicin. La mayor o menor precisin de un instrumento de medida o mtodo de medicin, est definida por la facultad de uno u otro de repetir con mayor o menor precisin los resultados de las mediciones de una misma magnitud, supuestas stas realizadas en idnticas condiciones. Entre la sensibilidad de un instrumento de medicin y su precisin, no existe un relacin directa. Esto es, p.e. en una balanza de platillos la sensibilidad est dada por la coincidencia del centro de gravedad de la cruz, y del soporte de sta; en el lmite cuando ambos coinciden exactamente, el sistema mvil se encuentra en equilibrio indiferente y por lo tanto cualquier sobrecarga sobre uno de los platillos, por pequeo que sea causa una gran desviacin del fiel, la sensibilidad de la balanza es, en consecuencia, muy grande. Sobre la precisin en ese extremo, es claro, que es muy pequea, puesto que la posicin de equilibrio del fiel es prcticamente invariante respecto de su desviacin. Luego es necesario lograr un compromiso, y operar con sensibilidades tales que la precisin de la balanza sea la adecuada.

Precisin y cifras significativas de una observacin. Segn vayan mejorando la calidad de los instrumentos de medicin y la sofisticacin de los mtodos; pueden llevarse a cabo experimentos a niveles de precisin siempre ms elevados, esto es, podremos extender los resultados medidos a ms cifras significativas; y correspondientemente reducir la incertidumbre experimental de la observacin. Tanto el nmero de cifras significativas como la incertidumbre dicen algo acerca de la estimacin de la precisin de la medicin. Es decir, la medicin X' = 3, indica que existe razonable certeza que X' se encuentra entre 2 y 4. Mientras que la medicin X' = 3.14159, indica que probablemente X' se halle entre 3.14158 y 3.1416. Si se expresa a X' como 3 cuando se cree que probablemente el valor sea de 3.14159, se est despreciando informacin que puede ser importante. Por otra parte si se expresa X' = 3.14159 cuando realmente no se cuenta con base para sustentar nada ms que X' = 3, se est mintiendo al afirmar que se tiene ms informacin que la que se puede asegurar. Existen algunas reglas sencillas a seguir para decidir cuantas cifras significativas se deben incluir:

Regla 1. Contar desde la izquierda sin tomar en cuenta los primeros ceros, conservar todos las cifras hasta el primer nmero dudoso. Es decir, X' = 5 m tiene slo una cifra significativa y expresarlo como X' = 0.005 Km no cambia las cosas. Si en su lugar escribimos X' = 5.0 m, o su equivalente X' = 0.0050 Km, indica que se conoce la medicin X' hasta con dos cifras significativas. Requiere atencin las notaciones ambiguas: X' = 400 m, no indica si existe una, dos o tres cifras significativas; no se sabe si los ceros conllevan informacin o si simplemente ocupan lugar. Es conveniente expresar: X' = 4 102 o 4.0 102 o 4.00 102 m, para precisar la medicin con claridad.


Regla 2. Cuando se multiplica o se divide, es conveniente conservar un nmero de cifras significativas en el producto o en el cociente no mayor al nmero de cifras significativas en el menos preciso de los factores. Es decir, 2.3 3.14159 = 7.2.

Regla 3. Al sumar o al restar, el dgito menos significativo de la suma o de la diferencia ocupa la misma posicin relativa que el dgito menos significativo de las cantidades que son sumadas o restadas. Esto es, lo importante aqu es la posicin y no el nmero de cifras significativas. P.e. sea que se quiere hallar la masa total de tres cuerpos como sigue:

103.9 2.10

0.319 106.319 o 106.3 kg

Aproximacin de la ltima cifra significativa. En todos los casos se debe aproximar por exceso o por defecto la ltima cifra significativa del valor final de clculo, es decir, la primer cifra dudosa. Se puede adoptar que si la cifra inmediata siguiente es menor que 5 se omite sin ms; y si es mayor, la ltima cifra significativa adopta el valor inmediato superior. Sin embargo en el proceso de los clculos numricos intermedios es conveniente tomar una o a lo sumo dos cifras ms que el primer dgito dudoso. P.e. la medicin de una temperatura se da como,

T = 301.267 0.3 K. Lo cual es incorrecto, puesto que las dos ltimas cifras, (67) no tienen significado alguno, al ocupar un lugar menor que el error, y slo surgen de los clculos numricos. La forma de expresar la medicin podra ser,

T = 301.2 0.3 K aunque la forma correcta es,

T = 301.3 0.3 K puesto que 301.267 es ms prximo a 301.3 que a 301.2.

Cifras significativas del error. Hay que tener siempre presente que todo error es una estimacin y est por tanto sujeto a su vez a una incertidumbre, generalmente grande. Por esto no tiene sentido especificarlo con ms de una nica cifra significativa, y adems puesto que lo que se intenta es dar la cota mxima del error, es conveniente en consecuencia, aproximar siempre en exceso. Salvo escasas excepciones, se expresa con un una sola cifra significativa.

Clasificacin de los errores. Segn el origen de los errores distinguiremos entre:

1. Errores Sistemticos. Son los errores provenientes de una imperfeccin o ajuste inadecuado del instrumento de medida, de la aplicacin de un mtodo errneo, de la accin permanente de una causa exterior, etc. As, p.e. la desigual longitud de los brazos de un balanza; una posicin inadecuada del observador que introduce un error de paralaje; la medida de la diferencia de potencial entre los extremos de una resistencia con un voltmetro cuya resistencia interior es comparable con la primera; la accin del campo magntico terrestre sobre instrumentos con campos magnticos, el desplazamiento del cero de la escala, producen errores sistemticos. Estos errores son siempre prcticamente iguales y del mismo signo. Sobre esta clase de errores no puede hacerse ninguna teora general. En casos particulares, sin embargo, existen mtodos para ponerlos de manifiesto y, en otros, es posible aplicar a las mediciones las correcciones que los eliminan.


2. Errores de Apreciacin. Las determinaciones experimentales se reducen, en ltima instancia, salvo excepciones, a la lectura mediante un ndice de una escala graduada. Al efectuar la lectura, el observador se ve precisado de apreciar una fraccin de la divisin mnima de la escala. En esta apreciacin va implcito cierto error que, por su naturaleza, llamaremos error de apreciacin. La experiencia del observador le permite conocer segn el instrumento, de que orden de magnitud es el error de apreciacin que comete.

3. Errores Casuales. Si una misma magnitud se mide cierto nmero de veces con el mismo instrumento, y en las mismas condiciones los valores no son idnticos y difieren entre s en pequeas cantidades. Naturalmente que estas diferencias provienen en parte de los errores de apreciacin. Pero son atribuibles, tambin, a una cantidad de otros factores no previsibles, como pequeas variaciones de las condiciones ambiente (temperatura, presin, movimiento de los soportes) otros provenientes del observador (variacin de la atencin, fatiga de la vista, errores de paralaje) y finalmente otros que se deben al mismo instrumento (tensiones accidentales en los soportes de los rganos, movimiento browniano, etc.). Los errores casuales obedecen a leyes de carcter estadstico y a ellos se refiere la teora estadstica de errores.

Errores sistemticos. Eliminacin de ciertos tipos de errores sistemticos. Clasificaremos a los errores sistemticos con vistas a su estudio y a su posible eliminacin en:

a) Errores producidos por la defectuosa construccin o defecto permanente de la escala de medida de un instrumento. P.e. debido al uso, frecuentemente en los tornillos micromtricos el cero est desplazado. Si el desplazamiento es hacia los valores negativos de la escala se producirn errores por defecto, y por exceso si es hacia los valores positivos. El error mencionado es posible de eliminar ajustando previamente el cero en el micrmetro, o, si d es este desplazamiento y L0 una determinacin, el valor corregido es, L = L0 + d; con d negativo si el cero est desplazado hacia los valores positivos de la escala; y positivo si se encuentra desplazado hacia los valores negativos.

b) Errores provenientes de un desperfecto, de la deficiente construccin o funcionamiento de un instrumento; tales como los errores que produce una balanza de brazos desiguales o los de un cronmetro que adelanta o atrasa. Este tipo de error sistemtico son los ms difciles de corregir y ningn instrumento prcticamente est desprovisto de ellos: Slo en los buenos instrumentos son sensiblemente menores que los errores de apreciacin o casuales. Los casos en los cuales es posible eliminar, a veces, estos errores sistemticos son aquellos en que las condiciones de medida implican cierta clase de simetra. En general, cuando ello es posible, el valor medio de dos determinaciones realizadas utilizando las condiciones de simetra permiten eliminar esta clase de errores. P.e. uno de los errores sistemticos ms frecuentes en las pesadas de precisin es el producido por una desigual longitud de los brazos de la cruz de la balanza. El mtodo de la doble pesada de GAUSS, permite eliminar este error. En efecto: Sea P el peso del cuerpo en el platillo correspondiente al brazo de longitud l1, y P+ en el otro correspondiente al brazo de longitud l2. En el estado de equilibrio de cumple: P l1 = P0 l2 ; P0 l1 = (P+) l2. Siendo P0 el valor exacto del peso. Eliminando l1 y l2, se obtiene: P 0 = )P(P + El valor exacto del peso del peso del cuerpo es el promedio geomtrico de las dos pesadas. Si la diferencia entre ambas es pequea como casi siempre acontece aquel valor puede aproximarse por el promedio aritmtico:

P 0 = ( )[ ]22 PP21 ++ )P(P + , despreciando 2, infinitsimo de segundo orden, frente a los dems trminos de la suma. Luego se sigue,


P 0 [ ] 2P)P(P21

+=++ .

La aproximacin dada puede obtenerse evaluando el incremento de la funcin )P(P + , en torno al valor = 0. En efecto: ( ) ( ) ( ) ( )x'fff xxxx ++ , (que es la serie de TAYLOR truncada a los dos primeros trminos) nos da aproximadamente el valor de una funcin ( )xf en un punto

( )xxf + , si conocemos el valor de la funcin y de su derivada en el punto x. Haciendo ( ) =f )P(P + , y evaluando a la funcin en el entorno de = 0, se sigue,

( ) ( ) ( ) 2P'ffPP 00

+=++

c) Errores sistemticos inherentes al mtodo de medida. En general no se puede dar un mtodo para eliminar esta clase de errores y slo un discusin minuciosa en cada caso particular permitir establecer, cuando ello es posible, la correccin aplicable a la medida. P.e. sea que se requiera medir el valor de una resistencia hmica con ampermetro y voltmetro utilizando el circuito conexin corta. El ampermetro A mide la intensidad de la corriente elctrica I, y el voltmetro V la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia R. El valor de esta ltima queda dado por la ley de OHM:

IVR = .

Esto es totalmente correcto si en vez de un voltmetro se empleara un medidor electrosttico de potencial (electrmetro), pero dado el hecho de que el voltmetro consume energa elctrica del circuito, rigurosamente la corriente que mide el ampermetro vale, I = I' + i, donde i es la intensidad de la corriente elctrica que circula por el voltmetro, y I' la intensidad de corriente elctrica que circula por la resistencia.

'RIV

iIVR =>

=

Donde R' es el valor de la resistencia sin corregir. El error sistemtico cometido al utilizar el mtodo de medicin conexin corta es,

IV

iIV

.

Siendo posible eliminar el error si se conoce el valor de la resistencia interna del voltmetro r, dado que,

r

Vi = .

d) Por ltimo, debemos sealar los errores sistemticos producidos por las condiciones donde se realiza el ensayo. P.e. la pesada de un cuerpo cuya densidad es distinta a las de las pesas est afectada siempre por el empuje que recibe del aire, etc.

Errores de apreciacin. Mediciones directas e indirectas. Llamaremos medicin directa a la operacin de lectura en un instrumento aplicado a medir cierta magnitud. P.e. la determinacin de una distancia con una escala mtrica. Una medicin indirecta es la que resulta de una ley fsica que vincula la magnitud a medir con otras magnitudes medibles directamente. As, la aceleracin de la gravedad determinada por un pndulo ideal,

A

V

R I

I'

i


l4g 22

pi=

relaciona la magnitud g a medir con l la longitud del pndulo, medible directamente con una regla, y con el perodo de una oscilacin medible en forma directa con un cronmetro.

Errores de apreciacin de las mediciones directas. Los errores de apreciacin en la lectura sobre la escala de un instrumento depende del tipo de dispositivo de lectura y de la habilidad del observador para realizarla. Su valoracin no puede hacerse sino en forma aproximada dependiendo esta valoracin tanto de la habilidad del observador para efectuar la lectura como de su experiencia para asignarle determinado valor. El signo del error de apreciacin es tanto positivo como negativo y su valor mximo es prcticamente constante para un mismo observador operando en iguales condiciones. Cuando se mide una distancia con una escala graduada en milmetros un observador no experimentado podr observar fracciones de 0.5 a 0.3 mm mientras que un observador hbil puede garantizar la fraccin 0.2 mm. Los errores de apreciacin sern, pues, de 0.5; 0.3 o 0.2 mm. En el caso de una escala provista de nonius de la relacin 9/10 podr no poderse apreciar la coincidencia de una divisin del nonius con una divisin de la escala sino con una indeterminacin de una divisin del nonius; en tal caso el error es de 0.1 de divisin. Otro caso, es la medicin de intervalos de tiempo con cronmetros. Suponiendo un cronmetro digital, el tiempo de reaccin de la persona de unos 1/5 seg es notablemente superior al tiempo entre pulso y pulso del cronmetro. Por lo tanto aqu la apreciacin de la medicin viene determinada por la habilidad del operador. Puede no ocurrir lo mismo con un cronmetro de agujas, puesto que en ste las agujas no se mueven de modo uniforme, sino que lo hacen a saltos a intervalos de 1/5 a 1/10 seg, el mecanismo del cronmetro acta como fuente de error. P.e. si tratamos de medir el perodo de oscilacin de un pndulo del orden de magnitud de 1 seg, un error de 1/5 seg es considerablemente grande y, en general invalidar la medida. Sin embargo en el caso de mediciones de perodos este error puede atenuarse considerablemente con slo medir lapsos correspondiente grande de perodos. En efecto: Sea t el tiempo de n periodos de duracin :

= nt El error de apreciacin de la medicin de t sea t. Se tiene:

seg51

nt == , segn51

=

El error disminuye en forma inversamente proporcional al nmero de perodos que se tiene en cuenta. Recprocamente si fijamos el error podemos calcular el nmero de perodos que es necesario tener en cuenta para no cometer errores superiores al tolerable.

Errores de apreciacin en las mediciones indirectas. Sea una magnitud L que nos interesa medir, una funcin conocida de otra magnitud X que medimos directamente:

( )XfL = Se plantea el problema de determinar en cuanto afecta a L el error de apreciacin cometido al medir X. De la medicin de X obtendremos un valor X= X' X, siendo X el error de apreciacin. Al calcular L con el valor X obtendremos cierto,

L = L' L = ( )XXf donde L es el error de apreciacin de L. Calculando la diferencial de la funcin ( )XfL = ,se sigue,

( ) ( ) ( ) X'fff XXXX , ( ) ( ) ( ) X'fff XXXX que coincide con el desarrollo en serie de TAYLOR donde se desprecian los trminos de potencia superiores a la unidad, de X.

L= L' L= ( ) ( ) ( ) X'fff XXXX , L ( ) X'f X Puesto que en general no conocemos el valor verdadero X, para el clculo de L podemos aproximar el valor de,

( ) ( )'XX 'f'f ,


de modo que: L ( ) X'f 'X .

Cuando se trata de una magnitud L a medir expresada como funcin de ms de una magnitud medible directamente:

( )Z,Y,XfL = . El significado del error de apreciacin de L es el mismo, a saber: Las medidas de X,Y,Z estn afectadas de ciertos errores de apreciacin X, Y, Z, respectivamente, de modo que los valores, X = X' X, Y = Y' Y, Z = Z' Z , permiten calcular el valor L = L' L, siendo L el error de apreciacin de L. Para calcular este valor se procede en forma idntica que en el caso de una sola variable, se calcula la diferencial de la funcin, que coincide con el desarrollo de la serie de TAYLOR de una funcin de varias variables despreciando los trminos de orden superior:

( ) ( ) ( ) ZZfY

YfX

XffffL

'Z,'Y,'XZZ,YY,XXZ,Y,X

=== +++

( ) == LfL Z,Y,X ZZfY

YfX

Xf

La mayor o menor contribucin de los errores de X,Y,Z depende del mayor o menor valor de los coeficientes,

Zf

,

Yf

,

Xf

,

razn por la cual estos coeficientes se denominan factores de propagacin de los errores X,Y,Z, respectivamente. El signo de estos errores, como el de los factores de propagacin pueden ser tanto positivos como negativos. El mximo error de L se producir cuando todos los trminos que definen a L tienen el mismo signo. Por definicin este valor mximo de L es el error de apreciacin de L. Es decir:

+

+= Z

ZfY

YfX

XfL .

El error relativo de L, est dado en funcin de los errores de X,Y,Z por:

+

+

=

ZZ

LZ

Zf

YY

LY

Yf

XX

LX

Xf

LL

.

En este caso los factores de propagacin de los errores relativos son:

LZ

Zf

,

LY

Yf

,

LX

Xf

.

Cuando todos los trminos de la ltima expresin son del mismo orden los errores de las mediciones de X,Y,Z, contribuyen en proporciones ms o menos equivalentes al error de L. Sin embargo acontece con frecuencia que algunos de los coeficientes de propagacin de los errores relativos son considerablemente menores que otros. En tal caso el error de L proviene casi exclusivamente de los trminos mayores. Poner de manifiesto este hecho es de considerable importancia prctica, pues nos da la pauta de cuales son las mediciones que debemos efectuar con mayor precisin eligiendo convenientemente el mtodo y el instrumental de medida. Es posible demostrar que el error relativo mximo de una funcin es igual al error absoluto mximo del logaritmo de esta funcin. En efecto, de la frmula del error relativo mximo, se sigue:

+

+

= ZLZL

YLYL

XLXL

LL

,

pero,

XLln

LXL

=

,

YLln

LYL

=

,

ZLln

LZL

=

.

Por consiguiente se puede escribir:


+

+

= Z

ZLln

YY

LlnX

XLln

LL

.

Sea p.e. que se quiera determinar el error relativo de la determinacin del periodo de un pndulo matemtico por la frmula:

gl2pi= .

Tomando el logaritmo de NEPER del periodo, por propiedad de logaritmos se sigue,

gln21lln

21ln2lnln +pi+= .

La expresin del error relativo del periodo es,

+

+pi

pi=gg

21

ll

21

,

y poniendo,

005.014.3 =pi , m01.000.1l = , 2seg

m02.080.9g = ,

se completa el clculo:

%8.00076.08.902.0

21

00.101.0

21

14.3005.0

++= .

Clculo del error mximo de una determinacin. En general, al realizar una medida si se trata de obtener el mejor valor posible no es suficiente una sola observacin. Sin embargo, con frecuencia no se necesita obtener el valor ms preciso posible y en tal caso ser suficiente una sola observacin. Pero como ya hemos visto que un nmero como medida de una magnitud no significa mucho, sino se especifica cual es el error, al menos aproximado de que est afectada. Supuesto que el instrumento o el mtodo de medida no estn afectados de errores sistemticos, con una sola observacin slo podremos especificar cual es el error mximo de nuestra medida debido a los errores de apreciacin que se cometen.

Eleccin del instrumental de medicin. Es importante para no desperdiciar esfuerzos en extremar la precisin en mediciones que no lo requieran, y s esmerarse en aquellas donde sea necesario, el conocer como influyen los errores cometidos en particular sobre la medicin indirecta final. El problema pues, consiste en la determinacin de los factores de propagacin de error en las distintas mediciones directas intervinientes, para utilizarlo como criterio de decisin. Sea, p.e. que se requiera determinar el valor local de la gravedad utilizando un pndulo ideal, con un error no mayor que el 0.5%. La frmula de g es,

l4g 22

pi= .

Siendo l la longitud del pndulo, y el periodo de una oscilacin. Sean stas, l = 1200 mm, = 2.2 seg. El error g% se determina como,

1002ll2%g

+

+

pi

pi=

midiendo la longitud del pndulo con una regla milimetrada podremos apreciar en el peor de los casos 0.5 mm; por lo tanto el error vale,

04.00004.01200

5.0ll

== %.

Vemos que la determinacin de la longitud no constituye una fuente sustancial de error. El error que produce el valor adoptado de pi, pi = 3.140 0.005 es,


pi

pi2 %3.0003.014.3005.02 == .

El error cometido al medir el tiempo, suponiendo una apreciacin de 1/5 seg, es,

%2018.02.22.02 =

,

completamente inadmisible. Luego debemos medir un nmero convenientemente elevado de periodos de modo de poder reducir el error de apreciacin de la medicin. Determinemos previamente el error mximo permisible de cometer, (0.5 - 0.3 - 0.04)% = 0.16%. Luego es inmediato que el nmero mnimo de perodos n a medir es,

1250016.0

2.0tn ==

= .

Claramente se aprecia que esmerarse en medir con mayor precisin la longitud del pndulo que la que puede obtenerse de una regla milimetrada carece de fundamento, dado el hecho que la fuente fundamental de error es la medicin del periodo, donde si es necesario extremar los recaudos; adems medir un nmero suficientemente grande de periodos no crea inconvenientes, puesto que el perodo de un pndulo ideal es independiente de la amplitud de la oscilacin, y en un pndulo fsico, para oscilaciones pequeas tambin. Luego veremos que se entiende por oscilaciones pequeas.

Errores casuales. Teora estadstica de errores. Hasta ahora hemos considerado como se puede valorar aproximadamente el error de una medicin directa o indirecta de una sola observacin y cuando los errores sistemticos y casuales eran despreciables frente a los de apreciacin. Sin embargo, an suponiendo que los errores sistemticos son nulos o despreciables una medicin est afectada siempre de errores casuales cuyo origen ya hemos enunciado. Debido a esta circunstancia, cuando se trata de hacer medidas de precisin y asignarle a esta medida un error lo ms pequeo y aproximado posible es indispensable recurrir a la repeticin de la misma un nmero convenientemente grande de veces. En esta forma los errores casuales aparecen distribuidos al azar y es posible hacer una teora estadstica de estos errores. Observemos que, de este punto de vista los errores de apreciacin tambin estn incluidos dentro de los errores casuales, y una repeticin de las observaciones implicar una reparticin estadstica de estos errores, lo que en definitiva tiende, como veremos, a una disminucin del error a medida que aumenta el nmero de observaciones.

Definiciones: Sea X el valor verdadero de una magnitud, y X1, X2, X3,..., Xn; n observaciones de esta magnitud. Se llama error absoluto o verdadero de la observacin Xi, al valor:

i = X - Xi. Valor medio o promedio de las n observaciones:

=

=

n

1iiX

n

1X .

Error aparente de la observacin Xi: xi = X - Xi.

Error absoluto del valor medio: E = X - X .

Error medio cuadrtico:

( )==

==

n

1i

2i

n

1i

2i XX

n

1x

n

1m .


De las anteriores definiciones se obtienen las siguientes consecuencias:

1. Sumando los valores de los errores aparentes, se tiene,

0XXxn

1ii

n

1ii ==

==

,

puesto que por definicin es,

=

=

n

1iiX

n

1X , de lo cual y por definicin la suma de los errores aparentes es nula.

2. Calculando el valor medio de los errores absolutos,

= =

===n

1i

n

1iii EXXXX

n

1n

1,

el error absoluto del valor medio, es en consecuencia, el valor medio de los errores absolutos.

3. Desarrollando la suma de los cuadrados de los errores aparentes,

( ) ==

2i

n

1i

XX ( ) ( ) ( )nn2221 XX...XXXX +++

( ) ==

2i

n

1i

XX ===

+=+n

1i

2i

2n

1i

2i

n

1ii

2 XXnXXX2Xn

entonces, reemplazando en el error medio cuadrtico:

( )

==

==

n

1i

22i

n

1i

2i XX

n

1XXn

1m ,

m = 22 XX . Esto es, el error medio cuadrtico se define como la raz cuadrada de la diferencia entre el valor medio de los cuadrados de los valores experimentales observados, y el cuadrado del valor medio de esas mediciones. Si el nmero de las observaciones experimentales n no es muy pequea, y estas no difieren demasiado entre s, se puede afirmar que el valor medio o promedio aritmtico de dichas observaciones, se mantiene sensiblemente constante referido a su nmero. As de la frmula del error medio cuadrtico, se puede decir bajo las condiciones anteriores, que este valor es aproximadamente invariante respecto del nmero de mediciones.

Postulados fundamentales de la teora estadstica de errores. La teora estadstica de errores debida bsicamente a GAUSS, se funda en tres postulados fundamentales:

1. El valor ms probable de una serie de mediciones, efectuadas en idnticas condiciones, es el valor medio de las mismas.

2. Es igualmente probable en una serie de mediciones, cometer errores absolutos de idntica magnitud y distinto signo.

3. En una serie de mediciones, es tanto ms probable el cometer errores verdaderos cuanto menor sea su magnitud.

Estos postulados que pueden parecer intuitivos, no son en modo alguno evidentes, esto es, su aceptacin como base de la teora estadstica de errores se debe a que los hechos que derivan de ellos se corresponden satisfactoriamente con un gran cmulo de evidencia experimental. Debe entenderse por trminos estadsticos, que si p.e. la probabilidad de obtener un 1 arrojando un dado es de 1/6, ello no significa que de cada 6 tiros obtendremos forzosamente un 1, pero indica que


si arrojamos el dado un nmero suficientemente grande de veces, digamos, 600, la cantidad de veces que aparecer el 1 ser un nmero muy prximo a 100.

Error del promedio de una medicin directa. Si pudiera determinarse rigurosamente el valor del error del promedio E y su signo, de una determinada medicin, podra conocerse claramente su verdadera magnitud, dada por, XXE = . Pero esto no es posible, y slo est la posibilidad de calcular el error E en sentido estadstico, de modo que no es posible obtener el verdadero valor X, sino que se encontrar en un intervalo bien definido por, [ ]EX,EX + . De modo que el valor de E define un intervalo cerrado de amplitud 2E, dentro del cual probablemente se encuentre la verdadera magnitud X de la medicin. Cuanto menor resulte este intervalo de

incertidumbre mayor resultar la precisin del promedio de las observaciones, EXK = .

El clculo del error del valor medio E, es en consecuencia, de fundamental importancia para la acotacin de la incertidumbre de un conjunto de observaciones que determinan una medicin fsica. Entonces, se sigue:

( ) iiiiii xXxXXXE =++== , tambin es, Ex ii = , donde como antes, el subndice i indica la i-sima observacin que compone la medicin. De la frmula del error medio cuadrtico m,

( )==

==n

1i

2i

n

1i

2i E

n

1x

n

1m ,

+=

= =

n

1i

n

1i

2i

2i nEE2

n

1m , pero vimos que el error absoluto del promedio es el promedio

de los errores absolutos, en consecuencia:

=

=n

1i

22i E

n

1m .

De =

=n

1ii

n

1E ,y elevando al cuadrado se sigue,

2n

1ii2

2

n

1E

= =

, en donde es sencillo probar que,

= =

+=

n

1i

n

jiji2

2i2

2n

1ii2

n

1n

1n

1.

Donde en la sumatoria se anulan explcitamente los trminos de igual subndice. Ahora bien, de acuerdo al segundo postulado de GAUSS, existe estadsticamente idntica posibilidad de cometer errores absolutos de igual magnitud y distinto signo, esto es, es igualmente probable el cometer un error i+ , que i . Luego en trminos estadsticos existir por cada valor ji+ otro negativo ji . Esto hace que estadsticamente el segundo sumando del segundo miembro de anule, y en consecuencia,

=

=n

1i

2i2

2

n

1E ,finalmente:


1nmE

=

( )1

1

1

2

=

=

n

XXn

n

ii

Estadsticamente tendremos definido el valor de la verdadera magnitud de la medicin de X, como:

1nmXX

1nmX

+

Las mediciones experimentales se expresan habitualmente,

1nmXX

=

con la interpretacin que se desprende de la forma anterior. Ya hemos visto que para un nmero convenientemente grande de observaciones, el error medio cuadrtico m es prcticamente invariante respecto del numero de dichas observaciones. Esto es de considerable importancia prctica, puesto que es inmediato que el error del promedio E, decrece en forma inversamente proporcional en forma aproximada con el nmero 1n . Adems podemos deducir que si el nmero de observaciones n con las cuales se intenta determinar el verdadero valor de una medicin fsica, es tendiente a infinito, el error del promedio se anula. En este extremo, es claro, que los errores aparentes coinciden con los absolutos En consecuencia el verdadero valor de una magnitud se obtiene como el promedio o valor medio aritmtico de infinitas observaciones realizadas con un instrumento y mtodo de medicin carentes de errores sistemticos. Sin embargo en la prctica no existen instrumentos de medicin carentes completamente de errores metodolgicos. Una observacin importante la constituye el hecho de calcular el error del promedio E, cuando nicamente se realiz una sola observacin al intentar medir una determinada magnitud. Es claro que

el valor de E se indetermina, 00E = . Lo cual merece una explicacin: Tiene sentido en principio que

no sepamos que error estamos cometiendo en una medicin si slo hicimos una nica observacin, esto es porque si realizamos n observaciones y las magnitudes X' halladas difieren en pequeas cantidades podemos decir que la medicin es precisa, luego si los valores de X' difieren sensiblemente decimos que la medicin es imprecisa, pero nada podremos decir con una nica observacin, no tendremos referencias. Sin embargo, y como ya se mencion, con una nica observacin slo podremos determinar el error mximo que se comete, en funcin de la apreciacin del instrumento de medida. P.e. en una escala con vernier, la apreciacin de sta, 1/10,1/20 o 1/50 mm; slo indica el error mximo posible de cometer en una medicin realizada a travs de una nica observacin. Aumentando en nmero de stas, reduciremos el error cometido en la medicin.

Sea p.e. que se quiera determinar el dimetro de una esferita de acero con un tornillo micromtrico. Realizamos primeramente 5 observaciones, a saber: X1 = 1.26 mm X2 = 1.30 mm X3 = 1.19 mm X4 = 1.20 mm X5 = 1.33 mm

El valor medio, 26.15

33.120.119.130.126.1X ++++= mm

Los errores aparentes, x1 = 0 mm x2 = -0.04 mm x3 = 0.07 mm x4 = 0.06 mm x5 = -0.07 mm


El error medio cuadrtico,

( ) 055.007.006.007.004.0051

m2222 ++++= mm

El error del valor medio,

027.015

055.0E

= mm

Finalmente la medicin se expresa: 03.026.1X = mm

Mediante 15 observaciones, a saber: X1 = 1.25 mm X2 = 1.32 mm X3 = 1.20 mm X4 = 1.25 mm X5 = 1.33 mm X6 = 1.26 mm X7 = 1.30 mm X8 = 1.18 mm X9 = 1.21 mm X10 = 1.31 mm X11 = 1.27 mm X12 = 1.20 mm X13 = 1.19 mm X14 = 1.26 mm X15 = 1.30 mm El valor promedio,

253.1X mm Los errores aparentes, x1 = 0 mm x2 = -0.07 mm x3 = 0.05 mm x4 = 0 mm x5 = -0.08 mm x6 = -0.01 mm x7 = -0.05 mm x8 = 0.07 mm x9 = 0.04 mm x10 = -0.06 mm x11 = -0.02 mm x12 = -0.05 mm x13 = 0.06 mm x14 = -0.01 mm x15 = -0.05 mm El error medio cuadrtico, m = 0.049 mm El error del valor medio, E = 0.013 mm Entonces la medicin sera:

02.025.1X = mm El error de la medicin disminuy sensiblemente al aumentar el nmero de mediciones de 5 a 15. En este ejemplo el error de apreciacin del tornillo micromtrico debe rondar en el mejor de los casos el valor 0.05 mm, sensiblemente mayor que el error del promedio, en ambos casos. De lo dicho ltimamente, se podra pensarse errneamente que aumentando tanto como se quiera el nmero de observaciones es posible disminuir tanto como se quiera el error de la medicin. Esto no es as puesto que si E


menor pero no menos) y por los tanto sin sentido fsico. Por lo tanto si se quiere alcanzar el lmite de la informacin obtenible con un aparato, hay que calcular un nmero de lecturas tal que con l se obtenga un E del orden de magnitud de (o a lo sumo 0.1 veces) de la apreciacin del mismo. Notar que si hubiramos realizado una sola observacin el error de la medicin sera de 0.05 mm.

Acotacin del nmero de cifras significativas. El clculo numrico responsable de determinar el valor medio de una serie de observaciones, en el caso general, entregar un valor con un nmero indeterminado de cifras. El problema de determinar que cantidad de cifras conllevan informacin cierta, y cuales se deben al mero clculo numrico, sin ningn significado fsico; posee solucin aceptable considerando un nmero de cifras significativas en el valor medio hasta la primer cifra dudosa acotada por el error de apreciacin. Si embargo si el nmero de observaciones es bastante grande, mayor que 15 o 20, se tomar una cifra ms del valor medio que la acotacin que da el error de apreciacin, esto es, debido al hecho que el error del promedio disminuye al aumentar el nmero de observaciones. P.e. si la operacin de calcular el valor medio da 2.26287, y se realizaron 3 observaciones con un instrumento de error de apreciacin 0.1, se aceptar el valor medio como, 2.3. Pero si la cantidad de observaciones es 20, y el valor de E resulta p.e. 0.05 es conveniente adoptar 26.2'X = , entonces el resultado final correcto se expresa: 05.026.2X = .

Errores casuales en las mediciones indirectas. Valor ms probable de las mediciones indirectas. Sea una determinada medicin fsica que responde a la ley, ( )XfL = , de modo que nicamente dependa de la medicin directa X. Siendo n las observaciones experimentales directas de X, X1, X2, X3,..., Xi,..., Xn, tendremos un conjunto de n observaciones de L, a saber:

( ) ( ) ( ) ( )ni21 XXXX L,...,L,...,L,L De acuerdo al primer postulado de la teora estadstica de errores, el valor medio de las observaciones

( )iXL , es:

( )=

=

n

1iX iLn

1L .

Si el nmero de observaciones es muy elevado o si la ley fsica es compleja, el clculo de L puede hacerse tedioso. Pero existe, sin embargo una forma ms elegante de calcular dicho nmero. Sea el valor medio de las observaciones directas iX ,

=

=

n

1iiX

n

1X , entonces podemos expresar la observacin i-sima como,

ii xXX = . Desarrollando en serie de TAYLOR, con la precisin de hasta los infinitsimos de primer orden, de la funcin correspondiente a la observacin i-sima, se sigue,

( ) ( ) ( ) ( ) iXiXX xXLLXX

XLLL

i

=

+ .

Calculando el promedio:

( ) ( ) ( )==

=

=n

1iXi

n

1iXX LxX

Ln

1LLn

1Li

,

dado que por definicin, la suma de los valores de los errores aparentes es nula. El resultado anterior es inmediato a una medicin indirecta basada en cualquier nmero de mediciones directas. Luego: El valor ms probable de una medicin indirecta es el que se obtiene evaluando la funcin en el valor medio de las observaciones directas.

( ),...Z,Y,XLL =


Error medio cuadrtico de una medicin indirecta. Definimos por simple extensin, el valor del error aparente de la medicin indirecta L, como:

ii LLl = . Y en consecuencia el error medio cuadrtico es,

( )==

==

n

1i

2i

n

1i

2iL LL

n

1ln

1m ,

donde podemos aproximar como antes,

( ) ( ) ( ) ( ) iXiXX xXLLXX

XLLL

i

=

+ ,

y dado que, como vimos, ( )XLL = , se tiene:

( ) iX xXLLL

i

. Luego el error medio cuadrtico vale,

X

n

1i

2

i

n

1i

2iL mX

Lx

XL

n

1ln

1m

=

== ==

La generalizacin para un nmero cualquiera de observaciones directas, en consecuencia es:

...mZL

mYL

mXL

m2

z

22

Y

22

X

2

L +

+

+

= .

Error del valor ms probable de una medicin indirecta. El caso es tratar de determinar el error del valor ms probable L .

LLEL = Es natural proceder del mismo que se utiliz para determinar el error del promedio en una medicin directa; suponiendo una ley fsica ahora del tipo ( )ji Y,XfL = , con n observaciones de la variableX , i = 1,2,3,...,n y p observaciones de la variable Y, j = 1,2,3,...,p. El error aparente por extensin vale,

ijij LLl = y el error absoluto de un valor ijL ,

ijL LLij = . Tambin:

( ) ijLijijijLL lLlLLLE ijij =++== , luego, LLij El ij = . La frmula del error medio cuadrtico extendida naturalmente a una ley fsica de dos variables ser:

( )==

==p,n

1j,i

2LL

p,n

1j,i

2ijL E

np1l

np1

mij

,

pero,

( )

+=

= ==

p,n

1j,i

p,n

1j,i

2LLL

2L

2p,n

1j,iLL npEE2

np1E

np1

ijijij,

y dado el hecho que por definicin, la suma de los errores aparentes es nula,

L

p,n

1j,iL npEij =

=

, es inmediato que:


=

=p,n

1j,i

2L

2L

2L E

np1

mij

.

Haciendo el cuadrado de la doble sumatoria, es,

= = ===

= = ==

+

+++

++

=

+++=

p

1j

p

1j

p

1jLLL

2p

1jL

2p

1jL

2p

1j

p

1j

p

1jLLL

2p,n

1j,iL

njj2j1njj1

njj2j1ij

...2...

...

......2p

1j

p

1jLL

p

1jL njj3j2 +

++

= ==

.

Luego, y dado el hecho que existe en trminos estadsticos idntica posibilidad de cometer errores absolutos de igual magnitud y sentido contrario, se sigue:

( )2Lp,n

1j,i

2L

p

1j

2L

p

1j

2L

2p,n

1j,iL npE... ijnjj1ij ==++=

====

.

Entonces reemplazando en la expresin de Lm ,

2L

p,n

1j,i

2L

2L

2L

2L EnpEE

np1

mij

== =

,

finalmente se obtiene:

1npmE LL

= .

Cuando se trata de una medicin indirecta a travs de varias mediciones directas con distinto nmero de observaciones, sean stas, X con n observaciones, Y con p observaciones, Z con q observaciones, Se tendr en consecuencia:

1npqmE LL

= .

Sea p.e. que se quiere determinar el valor del mdulo de YOUNG por traccin:

lRPl

2pi= ,

siendo P el esfuerzo de traccin que sobre un alambre de radio R y longitud l produce un estiramiento l.

Por la frmula del error relativo:

+

+

+

=

RR

lnl

lln

ll

lnP

Pln

.

Donde se despreci el error de pi. Aplicando logaritmo de NEPER a la frmula del mdulo de YOUNG se sigue, por propiedad de logaritmos:

llnRln2llnPlnln += . Y entonces podemos apreciar las fuentes sustanciales de error, causadas por los errores en las mediciones directas.

+

+

+=

RR

ll2

ll

PP


Siendo l del orden del metro, P del orden del Kgf, R del orden de algunas pocas dcimas de milmetro, al igual que l, es claro que midiendo la longitud con una escala milimetrada, y determinando el esfuerzo con un dinammetro con escala en gramos, los errores cometidos en estas mediciones son insignificantes frente a los que se cometen midiendo las magnitudes del radio y elongacin del alambre. Luego slo consideraremos estos errores. Datos arrojados experimentalmente: R(mm) l(mm) 0.28 0.312 0.27 0.320 0.29 0.310 0.28 0.315 0.25 0.317 Siendo l = 1140 mm (con error despreciable). P = 1 Kgf (con error despreciable). Los valores promedio: mm274.0R = , mm3148.0l = . Los errores aparentes: r(mm) l(mm) -0.006 0.0028 0.004 -0.0052 -0.016 0.0048 -0.006 -0.0002 0.024 -0.0022 Los errores medios cuadrticos para la mediciones directas:

mm013.0r51

m

5

1i

2iR ==

=

,

mm0035.0l51

m

5

1i

2il ==

=

.

El error medio cuadrtico para la medicin de :

2l

22

R

2

ml

mR

m

+

= ,

donde,

33

3 mm

Kgf10112Rl

Pl2R

pi

=

,

32

22 mm

Kgf10488lR

Pll

pi

=

entonces,

2mm

Kgf1466m . Finalmente el error del promedio cometido en la determinacin de :

1npmE

= , aqu las cantidades de observaciones son iguales entre s e iguales a 5, entonces,

22

mm

Kgf103E . El mdulo de YOUNG debe darse de acuerdo a las observaciones directas realizadas, como:

= E , con 23

mm

Kgf103.15 = , luego es,

223

mm

Kgf103103.15 = .


Comparacin de mediciones de distinta precisin. Peso de una observacin. El postulado sobre el valor promedio o valor medio, como el valor ms probable de una determinada magnitud medida, se refiere nicamente a observaciones realizadas en idnticas circunstancias. Luego si se realizan las observaciones destinadas a la medicin con instrumentos de medicin de diferente precisin el valor ms probable ya no es el valor medio aritmtico. Esto no implica sin embargo desechar las observaciones realizadas con el instrumento de menor precisin, puesto que como se ver; todas las observaciones aunque en diferente medida contribuyen a mejorar la medicin. El grado de contribucin o preponderancia de una serie de observaciones en la definicin del valor ms probable de la medicin es lo que se denomina peso de una observacin.

Error medio de una observacin. Para efectuar la comparacin de una serie de observaciones de diferentes pesos, es necesario disponer de un criterio de reduccin. Definamos el error medio cuadrtico de los errores absolutos :

=

=n

1i

2i

n

1.

Podremos calcular en forma prctica el valor de si podemos evaluarlo en funcin de los errores aparentes. Luego,

( ) === =

+===n

1i

2i

n

1ii

22n

1i

n

1ii

2i

2 Xn

1Xn

X2XXXn

1n

1

pero, =

=

n

1ii XX

n

1, entonces,

=

+=n

1i

2i

22 Xn

1XX2X .

Pero de la definicin de E y elevando al cuadrado, se sigue, 222 XXX2XE += , que reemplazada en la frmula de nos da,

=

+=n

1i

2i

222 Xn

1XE , recordando que , 22 XXm = , se sigue:

222mE += ,

con 1n

mE

= , luego,

nE1n

nm =

=

La utilidad de es como criterio de comparacin de pesos de observaciones con diferente precisin.

Pesos de observaciones de diferente precisin. Con el objetivo de poder deducir la expresin ms probable de una serie de observaciones realizadas con diferente precisin, concentrmonos primeramente en el caso particular de observaciones realizadas en idnticas condiciones y sobre un misma magnitud pero con un nmero diferente cada vez. Sean stas:

.q,...,3,2,1k,'''X.p,...,3,2,1j,''X

.n,...,3,2,1i,'X

k

j

i

=

=

=

El valor medio en este caso responde al significado que le asigna el segundo postulado de GAUSS, as, ser el valor ms probable de las (n + p + q) observaciones realizadas.


qpn

'''X''X'X

X

p

1j

q

1kkj

n

1ii

++

++

=

= ==

,

llamando ,'''X,''X,'X a los valores medios de las distintas series de observaciones es,

qpn'''Xq''Xp'XnX

++

++= .

Claramente se deduce que si algn nmero de observaciones es manifiestamente mayor que el resto, el valor ms probable estar dominado por dicha serie de observaciones, esto es, en el caso visto, los nmeros n,p,q, pueden considerarse una medida del peso de las respectivas series de observaciones. Calculando ahora el error de los valores medios parciales de las diferentes series de observaciones, es:

q'''E,

p''E,

n'E === , de donde obtenemos las siguientes igualdades,

=== 1q'''Ep''En'E De lo cual y siendo el nmero de mediciones una medida del peso de las observaciones, se interpreta como el error del promedio de una serie de observaciones de peso unidad. Podemos generalizar la conclusin anterior; definamos ahora que el peso de las observaciones sean ahora a,b,c, siendo estos nmeros ya no evidentemente nmeros enteros.

constantec'''Eb''Ea'E ==== . Naturalmente el valor medio es ahora,

cba'''Xc''Xb'XaX p ++

++=

que se denomina valor medio ponderado. Con la siguiente interpretacin:

Los errores relativos de las distintas series de mediciones sern, X

'''E,

X''E

,

X'E

, siendo X , el valor

ms probable de la magnitud X. Luego, dividiendo por X la igualdad constantec'''Eb''Ea'E ==== , se sigue:

constanteX

cX

'''EbX

''Ea

X'E

=

=== .

Resulta entonces que los valores ,q,p,n representan los factores de conversin de los errores relativos de las diferentes series de observaciones al error relativo de una serie de observaciones de peso unidad. Para efectuar en la prctica el clculo del valor medio ponderado, valor ms probable de las series de mediciones realizadas en diferentes circunstancias, se procede:

222

222

p

'''E''E'E

'''X'''E

''X''E

'X'E

cba'''Xc''Xb'XaX

+

+

+

+

=

++

++= ,

y en forma simplificada,

222

222

p

'''E1

''E1

'E1

'''X'''E

1''X

''E1

'X'E

1

X

+

+

+

+

=

Error del valor medio ponderado.


Obtener el valor del valor medio ponderado no significa mucho si no sabemos de la incertidumbre que lo afecta. El caso es ahora determinar el error del valor medio ponderado. Sea que queremos comparar una serie de valores medios ponderados de la misma magnitud X, sean stos,

iii

iiiiipi

cba'''Xc''Xb'XaX

++

++= .

Deberemos suponer por natural extensin, que el peso del valor medio ponderado piX , es

iii cba ++ . En consecuencia el peso del valor medio ponderado es la suma de los pesos de las diferentes observaciones en los que que se basa. Segn esto el error del valor medio ponderado pE , debe cumplir:

constantec'''Eb''Ea'EcbaE p =====++ , se sigue,

constantec'''Eb''Ea'EcbaE p =====++ entonces,

( ) 22222

2p

'''E''E'E

cbaE

+

+

=

++

= ,

simplificando finalmente obtenemos:

2222

p

'''E1

''E1

'E1

1E

+

+

= .

La observacin experimental de la medicin de X en funcin de observaciones de diferente peso, debe darse en forma simblica como:

pp EXX = .

Sea p.e. que se requiera determinar el valor ms probable de la longitud L de una barra rgida realizada con una regla milimetrada, y con una escala provista con vernier. Sean estas mediciones:

mm3.00.250Lregla = mm05.025.250Lvernier =

El valor medio ponderado ser:

mm24.250mm

05.01

3.01

05.025.250

3.0250

L

,

E1

E1

LE

1LE

1

L

22

22P

2

vernier

2

regla

vernier

2

vernierregla

2

reglap

=

+

+=

+

+

=

El valor del valor medio ponderado:


mm05.0mm

3.01

05.01

1E

,

E1

E1

1E

22p

2

regla

2

vernier

p

=

+

=

+

=

La medicin se expresa: mm05.024.250L =

En este caso es claro que la precisin de la medicin con el vernier es de un orden mayor que la realizada por la regla; y en consecuencia aquella medicin es de mayor peso que la realizada con la regla. Esto se pone de manifiesto en el valor medio ponderado que apenas si difiere de la obtenida con el vernier siendo el error prcticamente idntico. Sin embargo la medicin realizada con la regla contribuye a reducir la incertidumbre de la medicin, y no debe despreciarse.

Ley de distribucin de GAUSS. Se define como probabilidad simple de un acontecimiento casual a la relacin entre el nmero de casos favorables y el de los casos posibles. De este modo la probabilidad de que acontezcan dos hechos indistintamente tales que puedan desarrollarse independientemente, es la suma de probabilidades simples. Luego la probabilidad de que acontezca dos hechos en forma simultnea con independencia entre s es el producto de las probabilidades simples de que suceda cada hecho. Los casos nombrados involucran un nmero discreto de casos posibles; sin embargo acontece en ocasiones que los casos posibles forman una distribucin continua, y en consecuencia la solucin de estos tipos de problemas exige la introduccin de una funcin llamada funcin de distribucin de probabilidades. Este es el caso de los errores en las mediciones fsicas, y la funcin aqu se denomina funcin de la distribucin de errores o funcin de GAUSS.

Definicin y propiedades de la funcin de distribucin de errores. Si se efectan un nmero muy grande de observaciones con un instrumento de medicin carente de errores sistemticos, los errores aparentes se aproximan como vimos a los errores verdaderos dado que E tender a cero. La funcin de distribucin de errores posee argumento continuo en el intervalo (-,+), luego es indistinto considerar que el campo de variabilidad es de errores verdaderos o de errores aparentes; adems como prcticamente no se dispone de la posibilidad de poder realizar infinitas observaciones, los errores verdaderos se sustituyen por los aparentes; por lo que, y a pesar de que el nmero de observaciones sea finito (pero grande) el dominio de la funcin de GAUSS ser el de los errores aparentes. Se define la funcin distribucin de errores de modo que la probabilidad de cometer un error aparente de magnitud x comprendido entre dos valores infinitamente prximos, x y x+dx, est dada por:

( )dxx . An desconociendo la ley funcional da la distribucin de errores, en funcin de los postulados ya visto pueden obtenerse las siguientes conclusiones:

1. Por el segundo postulado, es claro que la funcin debe ser simtrica respecto de las ordenadas, esto es, debe ser una funcin par:

( ) ( )xx = . 2. Por el tercer postulado es claro que la funcin debe poseer un mximo en el origen, luego:

( ) 0dx

d 0=

, y ( ) 0

dxd

20

2

00 x1 x2

====2

1

21

x

x

)x()x,x( dxP

(((( ))))2hx)x( e

h

pipipipi====


=

=

n

1i

2i

2 xn

1m .

Luego, la probabilidad de obtener un error de magnitud xi, ser,

( )n

ndx ixi = , siendo ni la cantidad de observaciones afectadas de ese error.

Entonces evidentemente el error medio cuadrtico puede escribirse como:

( )+

= dxxm x22 .

Notar que estamos considerando un nmero infinito de observaciones, integramos en un argumento continuo. En la prctica, slo es posible lograr un nmero grande pero finito de observaciones; sin embargo, siendo ese nmero lo suficientemente grande permite utilizando la integral anterior estimar de modo aproximado la constante h. En efecto:

( ) ( )+

+

pi

== dxexhdxxm2hx2

x22

,

integrando y teniendo en cuenta que el rea de la superficie limitada por la curva de la funcin distribucin en todo el dominio es la unidad, se tiene:

22

h21

m = , m2

1h = .

Donde si el nmero de observaciones n es grande pero finito, se sigue:

=

=

n

1i

2ix

n

1

12

1m .

Compensacin de errores por el mtodo de los mnimos cuadrados. Sea que se conozca la forma de la ley fsica que relaciona las magnitudes medibles en forma directa (X, Y, Z,...) y los parmetros (A, B, C,...):

( ) 0f ,...C,B,A,...;Z,Y,X = . Para poder determinar los valores de los parmetros se necesitarn como mnimo tantas ecuaciones como parmetros se necesiten determinar, lo cual se logra variando las condiciones de medida tantas veces como resulte necesario; pero ello implica una nica medicin de cada uno de los parmetros, entonces ser necesario realizar un gran nmero de observaciones en distintas condiciones, de modo de mejorar la precisin de estas mediciones. Sean Xi, Yi,..., los valores medidos de las magnitudes X, Y,..., en una cualquiera de dichas condiciones, las mediciones no estarn desprovistas de errores experimentales de modo que al introducirlos en la expresin de la ley fsica obtendremos:

( ) i,...C,B,A,...;Z,Y,X ef iii = . Siendo ei el error proveniente de los errores de que estn afectados los valores X, Y, Z,.... Para determinar los valores ms probables de los parmetros, sean stos, ,...C,B,A ,es necesario que la suma de los cuadrados de los errores ei resulte mnima. Se realiza la suma de los cuadrados de los errores de modo que la suma resulte significativa, puesto que stos pueden ser tanto positivos como negativos, sumarlos no nos dice demasiado acerca de la precisin en la eleccin del valor de los parmetros dado que pudiendo ser grandes se cancelaran parcialmente entre s resultando posiblemente en un pequeo valor sin significacin. Por esto es que se realiza la suma de los cuadrados de los errores, con lo cual se asegura que todos los trminos resulten positivos. La suma tiene la forma:

( )==

==

n

1i,...C,B,A,...;Z,Y,X

n

1ii feS .

La condicin de mnimo, sabemos que implica:


( ) ( ) ( ) 0ZS...BSAS ZZBBAA ==== === Estas ecuaciones se denominan ecuaciones normales, y nos proveen la relacin entre las magnitudes medibles en forma directa X, Y, Z,...,y los valores ms probables de los parmetros, calculables a partir de dichas ecuaciones.

Sea p.e. que se requiera determinar el valor de la constante elstica de un resorte. Se sabe en virtud de la validez de la ley de HOOKE que entre la fuerza tensora F y el alargamiento existe una relacin lineal de la forma:

= KF . Donde el parmetro K es la constante elstica del resorte.

Sea que se realizaron 5 mediciones, a saber: F(gf) (cm)

20 1.21 40 2.43 60 3.60 80 4.86

100 6.08 La suma de los cuadrados de los errores:

=

=

n

1iieS , con 0KF ii = , se sigue,

( )=

=n

1i

2ii KFS

Debemos cumplir con la condicin de que dicha suma se haga mnima, para ello debe ser:

( ) ( ) 0KF,0KS 51i iiiKK == == , 0KF

5

1i

2i

5

1iii =

==

,

=

=

= 5

1i

2i

5

1iii F

K .

Luego es directamente calculable el valor ms probable de la constante elstica, reemplazando los valores tabulados de las mediciones experimentales, entonces:

cm

gf5.16cm

gf9.80

1334K == .


Resumen de las frmulas de uso en la prctica.

Mediciones directas de la magnitud X:

.X,...,X,X,X n321

Valor medio:

=

=

n

1iiX

n

1X


( )==

==

n

1i

2i

n

1i

2i XX

n

1x

n

1m

Error del valor medio:

1nmE

=

Resultado de la Medicin:

1nmXX

=

Mediciones indirectas: ( ),...Z,Y,XfL = .

En funcin de las mediciones directas,

( )n,...,3,2,1i,X i = ( )p,...,3,2,1j,Yi = ( )q,...,3,2,1k,Zi =

...................

Valor ms probable: ( ),...Z,Y,XfL =


...mZL

mYL

mXL

m2

z

22

Y

22

X

2

L +

+

+

=

Error del valor ms probable:

1npqmE LL

=

Ponderacin de observaciones.

( )n,...,3,2,1i,X i = , de valor medio X y peso a. ( )p,...,3,2,1i,X i = , de valor medio X y peso b. ( )q,...,3,2,1i,X i = , de valor medio X y peso c.


Valor medio ponderado:

222

222

p

'''E1

''E1

'E1

'''X'''E

1''X

''E1

'X'E

1

X

+

+

+

+

=

con,

1nmE

=

1pmE

=

1qmE

=

Error del valor medio ponderado:

222p

'''E1

''E1

'E1

1E

+

+

=

Bibliografa. Las referencias citadas a continuacin se encuentran en la Biblioteca de la Regional Venado Tuerto.

1. Mediciones fsicas, J. A. Balseiro. Apunte (1954).

2. Introduccin a las mediciones de laboratorio, A. P. Maiztegui, R. J. Gleiser. Kapeluz (1980).

3. Fsica Volumen 1, R. Resnick, D. Halliday, K. S. Krane. CECSA (1993).

4. Clculo diferencial e integral Tomo 1, N. Piskunov. MIR (1977).

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