Distributions temps-frequence et spectroscopie acoustique

resolue en temps et en echelle de la turbulence

Christophe Baudet, Olivier Michel,

Laboratoire de Physique de l'ENS-Lyon, UMR CNRS 567246 allee d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France

baudet@physique.ens-lyon.fr, omichel@physique.ens-lyon.fr

Resume Le champ de vorticite (rotationnel du champ de vitesse) joue un role essentiel dans le comportement dynamique des ecoulements

turbulents. En particulier, tous les mecanismes connus de transfert de l'energie cinetique (cascade) des grandes echelles del'ecoulement (echelles d'injection) vers les plus petites echelles ou dominent les eets visqueux (echelles de dissipation) impliquentdirectement le champ de vorticite. C'est le cas, par exemple, du mecanisme d'etirement des laments de vorticite, par lequel untube de vorticite, soumis a un gradient de vitesse axial, voit son diametre diminuer en raison du theoreme de Kelvin traduisant laconservation du moment cinetique. Nous presentons une methode d'analyse directe du champ de vorticite fondee sur la diusioncoherente ("scattering") d'ondes acoustiques. On montre, en eet, que sous certaines hypotheses peu restrictives, l'amplitude dusignal de pression acoustique diusee est reliee lineairement a la transformee de Fourier spatiale de la distribution de vorticitea l'interieur du volume deni par l'intersection des pinceaux acoustiques incident et detecte. La diusion d'ondes acoustiquespermet donc d'acceder, de facon globale (moyenne sur un volume ni) et directe, a la dynamique spatio-temporelle du champde vorticite d'un ecoulement turbulent. Dans cette communication nous demontrons, sur des bases experimentales, commentle recours a l'analyse temps-frequence et a l'interferometrie permet de restaurer une resolution temporelle et spatiale, a prioriincompatibles avec le caractere spectral de tout technique de mesure fondee sur la diusion d'ondes.

Abstract The vorticity eld (curl of the velocity eld) plays a crucial role in the dynamics of turbulent ows. In particular, all the

known mecanisms responsible for the kinetic energy transfer (cascade) from the large scales (injection) towards the smallestones dominated by viscous eects (dissipation scales) explicitly involve the vorticity eld. This is the case, for instance, for themecanism of vortex stretching, whereby a vorticity tube submitted to an axial strain experiences a reduction of its diameter,according to Kelvin theorem stating the conservation of angular momentum. We describe an experimental method for the directanalysis of the vorticity eld based on the coherent scattering of acoustic waves. Indeed, one can show that, under weaklyrestrictive assumptions, the scattered pressure amplitude is linearly related to the spatial Fourier transform of the vorticitydistribution inside the volume dened as the cross section of the incident and detected acoustic beams. Acoustic scattering thusallows the direct and global (average on a nite volume of the ow) probing of the spatio-temporal dynamics of the vorticityeld in any turbulent ow. In this communication we demonstrate, on experimental basis, how the joint resort to time-frequencyanalysis and interferometry may restores time and space resolution, which are a priori incompatible with the spectral nature ofany scattering measurement.

1 Motivations

Les ecoulements turbulents sont, en general, etudies experi-mentalement au moyen de sondes locales : la vitesse del'ecoulement ou la pression en un point sont enregistreesau cours du temps (anemometrie a l chaud et anemometrieLaser). Avec de tels systemes de mesure, on utilise dessondes aussi petites que possible pour resoudre les pluspetites echelles de l'ecoulement (' 100m ). Pour conver-tir l'information temporelle en information d'echelle (gra-dients de vitesse saptiaux), on a habituellement recoursa l'hypothese de Taylor [1] consistant a identier les in-crements temporels et spatiaux l au moyen de la re-lation : V (t; x + r) V (t; x) V (t ; x) V (t; x) ou

r =D~VE . A proprement parler, l'hypothese de Tay-

lor n'est qu'une approximation au premier ordre, limiteeaux ecoulements peu turbulents [1]. On attribue generale-ment l'intermittence observee en turbulence a la presence

dans l'ecoule-ment de structures organisees, localisees spa-tialement et temporellement. Ces structures apparaissentle plus souvent sous la forme de distributions de vortic-ite lamentaires, de courte duree de vie. Cependant, onne dispose pas encore de criteres ni de methodes syste-matiques de detection de ces objets. En eet, la proba-bilite d'inter-section d'un tel objet lamentaire avec unesonde ponctuelle est, en toute rigueur, nulle : tout au pluspeut on envisager la detection indirecte de ces vortex enanalysant la signature de leur contribution au champ devitesse lorsqu'ils sont advectes au voisinage de la sondepar le champ de vitesse moyen. Nous presentons ici, unemethode alternative et originale pour eectuer une anal-yse spatiale directe (selection d'echelle) fondee sur la dif-fusion coherente d'ondes acoustiques. De plus, cette tech-nique acoustique presente l'interet d'etre directement sen-sible au champ de vorticite de l'ecoulement (rotationneldu champ de vitesse), connu pour jouer un role determi-

nant dans le developpem-ent de la turbulence. Le proces-sus de selection d'echelle spatiale (ltrage passe-bande)est associe au caractere spectral du phenomene de dif-fusion acoustique : la selection (en module et en direc-tion) d'un vecteur d'onde spatial de diusion, deni parle choix d'une frequence de l'onde acoustique incidente etd'un angle de diusion, est inherent a tout processus dediusion coherente. Dans ce contexte, le caractere globalde la mesure par diusion acoustique, fondee sur l'analysea tout instant d'un volume ni de l'ecoulement, s'averebeaucoup plus prometteur.

2 Couplage son-vorticite

Il est connu, depuis les annes 50 [2, 3], que l'interactionnon-lineaire entre les modes hydrodynamiques longitudin-aux (modes acoustiques) et transverses (modes de vortic-ite) du champ de vitesse d'un ecoulement donne lieu a unphenomene de diusion, analogue au phenomene plus fam-ilier (et lineaire) de diusion d'ondes electromagnet-iquespar des molecules polarisables. Ce dernier a ete large-ment utilise en physique de la matiere condensee (diusionX, diusion Rayleigh, diusion de neutrons,...) pour car-acteriser les proprietes statistiques de milieux ordonneset/ou fortement desordonnes. Comme dans toute tech-nique experimentale fondee sur la diusion d'ondes, l'ampli-tude de diusion acoustique est reliee lineairement a latransformee de Fourier spatiale de la distribution des dif-fuseurs (vortex) a l'interieur d'un volume ni de l'ecoule-ment deni par l'intersection des faisceaux acoustiques in-cident et detecte (faisceau antenne) [3]:

pscat()

pinc= 2i

cos(s)

1 cos(s)

eiD=c

c2D(~n ^ ~r):~(~qscat; o)

(1)ou :

~qscat =2

c(~ro~n) '

4oc

sin(scatt

2) pour ' o (2)

est le vecteur d'onde de diusion (moment de transfert), ola frequence de l'onde acoustique incidente et la frequencede l'onde diusee.

ΩΩΩΩ (r, t)Inc

θscatt

Scatt

qscatt(-k i, νo)

(kd, ν)

Fig. 1: Diusion acoustique. Schema de principed'une experience de diusion.

Comme l'indiquent les equations precedentes, la diu-sion d'ondes acoustiques permet l'analyse, continue dansle temps, d'une composante connue (perpendiculaire au

plan de diusion deni par les directions incidente ~n etdetectee ~r) d'un mode de Fourier spatial du champ de

vorticite ~(~qscat; t). De plus, l'echelle d'analyse peut etreaisement ajustee en choisissant un couple de frequence in-cidente o et d'angle de diusion s.

3 Distributions Temps-Frequence et

Spectroscopie Resolue en Temps

La contrepartie du caractere spectral de la technique despectroscopie acoustique reside dans sa faible resolutionspatiale et temporelle, consequence directe des relationsd'incertitude de Gabor-Heisenberg. Comme le laisse prevoirl'equation (1), l'advection du champ de vorticite par l'ecoule-ment turbulent a grande echelle se traduit par un decalageDoppler de la frequence de l'onde diusee par rapport ala frequence o de l'onde incidente :

= o =1

2~qscat:

D~VE

(3)

En raison du caractere instationnaire du champ de vitesse,ce decalage Doppler uctue notablement au cours du tempset proscrit l'utilisation de techniques d'analyse spectraleclassiques reposant sur une hypothese de stationnarite dessignaux. En eet, dans le processus de moyenne, les de-tails les plus ns de la dynamique temporelle des objets de-tectes (e.g. leur duree de vie) sont "gommes" par les uc-tuations grande echelle du champ de vitesse : quelque soitl'echelle d'analyse, le spectre moyen des signaux de diu-sion presente une forme gaussienne re etant la statistiquegaussienne du champ de vitesse qui advecte les vortex dansle volume de mesure. Dans une experience de diusion parun ecoulement a faible nombre de Mach M, les signauxacoustiques de diusion, sont dans une bande spectrale etroite, voisine de la frequence o de l'onde incidente :o

' vc= M (ou v est le vitesse typique de l'ecoulement

et c la vitesse du son). Par ailleurs, les detecteurs acous-tiques que nous utilisons etant lineaires, apres heterody-nage (l'oscillateur local etant le signal electri-que d'excitationde l'emetteur acoustique), on dispose d'un signal com-plexe dont la phase est une mesure du dephasage entrel'onde acoustique incidente et l'onde diusee, induit parles processus de diusion. La vitesse de l'ecoulement ayantun sens et une direction constants, le signe du decalageDoppler est lui aussi constant et le signal de diusion de-module peut donc etre assimile a un signal analytique.L'utilisation de distributions Temps-Frequence, deriveesde la distribution de Wigner-Ville [6], permet de pren-dre en compte l'instationnarite des signaux induite parles uctuations de la vitesse d'advection.

Buse

Jet

E1

E2

R1

R2

qscatt

Volume de mesure

1 1Voie 1 : Emetteur E & Détecteur R (Angle de diffusion : 60°)Voie 2 : Emetteur E & Détecteur R (Angle de diffusion : 40°)2 2

θscatt

Fig. 2: Dispositif experimental d'interferometrie.Acquisition simultanee sur deux canaux independants.

La gure 3 represente un exemple de representationtemps-frequence (Reduced Interference Distribution [7])obtenue pour deux signaux de diusion acquis simultane-ment sur deux voies de diusion independantes caracteri-sees par le meme vecteur d'onde de diusion. Ces deuxvoies de mesure synchrones sont obtenues en utilisant deuxdispositifs acoustiques distincts (chaque dispositif etantconstitue d'une paire emetteur/recepteur), travaillant adeux angles de diusion distincts (40o et 60o). La frequenceacoustique de chaque voie de diusion est ensuite ajusteeavec precision de telle sorte que les vecteurs d'onde spati-aux soient identiques (en module et en direction) :

40;1c

sin(s;1

2) =

40;2c

sin(s;2

2) (4)

En outre, les positions relatives des deux paires de trans-ducteurs sont ajustees avec soin de maniere a assurer unrecouvrement maximal des deux volumes de mesure.

RID Voie 1 (θ=60°, ν=20000 Hz)

Temps (s)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

Fré

quen

ce D

oppl

er

RID Voie 2 (θ=40°, ν=29400Hz)

Temps (s)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

Fré

quen

ce D

oppl

er

Fig. 3: Jet Turbulent R ' 500. Acquisition simul-tanee sur deux canaux independants. Distribution Temps-Frequence (RID), pour deux vecteurs d'ondes spatiauxidentiques. L'echelle spatiale (3:7cm1) appartient au do-maine inertiel.

Le haut degre de ressemblance entre les representationsdes deux distributions ainsi obtenues nous permet d'etablir

la pertinence de notre analyse. La gure 3 met claire-ment en evidence l'existence d'evenements localisees dansle temps detectes aux memes instants et avec les memesdecalages Doppler sur les deux voies d'analyse. En outre,cette observation experimentale valide la realite du pro-cessus de selection d'echelle spatiale (ltrage spatial passe-bande) associe au choix d'un vecteur d'onde de diusiondeni par un couple de frequence o et d'angle de diusions.

4 Interferometrie acoustique et

Spectroscopie Resolue en Echelle

Grace a cette conguration interferometrique, nous sommesegalement en mesure d'analyser de facon synchrone, l'evolu-tion temporelle de deux modes de Fourier spatiaux duchamp de vorticite, caracterises par des vecteurs d'ondesspatiaux distincts. Le fait de travailler avec deux anglesde diusion distincts autorise, de surcroit, la selection dedeux vecteurs d'onde spatiaux arbitrairement proches l'unde l'autre (eventuellement identiques comme dans le casdes mesures decrites dans la section precedente). Cetteapproche experimentale, que nous avons qualiee de spec-troscopie acoustique resolue en echelle, nous permet decaracteriser avec precision la coherence spatiale des struc-tures de vorticite de l'ecoulement. L'experience consiste aeectuer l'enregistrement des signaux de diusion acous-tiques pour dierents couple de vecteurs d'onde spatiaux(~qscat;11; ~qscat;2 = ~qscat;1+ ~q) colineaires correspondant a

autant de valeurs de ~q. Ces dierents couples sont realisesen xant la frequence 0;1 de la premiere voie de diusionet en faisant varier la frequence 0;2 de la seconde voiede part et d'autre de la condition d'accord denie par larelation (4). A partir des representations temps-frequencetfr~q(t; fn) et tfr~q+ ~q(t; fn) des signaux associes a chaquevoie nous denissons une fonction de correlation spatio-temporelle C(; q) par :

C(; q) =* R fn=:5fn=0

tfr~q(t; fn):tfr~q+ ~q(t+ ; fn)dfnqR fn=:5

fn=0tfr2~q (t; fn)dfn

qR fn=:5fn=0

tfr2~q+~q

(t + ; fn)dfn

+t

ou hit indique une moyenne sur la variable temporellet. L'evolution de C(; q) en fonction de la separation en

vecteur d'onde ~q et du retard est representee sur la g-ure 4, obtenue dans le cas du jet turbulent pour une echellespatiale (caracterisee par le vecteur d'onde spatial q1 =3:7cm1) typique du domaine inertiel de l'ecoulement oudominent les mecanismes de transfert d'energie cinetique(cascade). Cette gure met clairement en evidence la lo-calisation temporelle et spatiale des structures de vorticitedetectees.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Séparation δq (cm-1 )

Retard moyen τ (ms)

C(τ,δq)

Fig. 4: Representation 3D de l'evolution de la fonctionde correlation spatio-temporelle C(; q)

La gure 4, represente l'evolution de C(; q), en fonc-tion de , pour trois valeurs distinctes de q (q < 0, q =0 et q > 0). Deux phenomenes sont observes lorsque qs'ecarte de la valeur 0. En premier lieu, l'amplitude de lafonction de correlation decroit regulierement avec jqj (cfFigures 4, 5 et 6). La largeur caracteristique jqjtyp asso-ciee a cette decroissance nous permet de denir la longueurde correlation spatiale mesurant l'extension des structuresde vorticite a l'echelle consideree (q1 = 3:7cm1). Commele montrent les gures 5 et 7, la decrois-sance du maxi-mum de la fonction de correlation C(; q), s'accompagned'une evolution monotone du retard moyen qui est ne-gatif lorsque q < 0, s'annule au voisinage de la conditionq = 0 puis devient positif pour q > 0.

-2 0 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

δq < 0 δq > 0

δq = 0

Retard moyen τ (ms)

C(τ

,δq)

Fig. 5: Spectroscopie resolue en temps et en echelle.Evolution de la fonction de correlation spatio-temporelleC(; q) pour 3 valeurs de q.

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Séparation δq (cm-1 )

Cor

rela

tion

Max

imum

Fig. 6: Localisation spatiale. Evolution du maximumde la fonction de correlation spatio-temporelle C(; q) enfonction de la separation en vecteur d'onde q

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-3

-2

-1

0

1

2

3

Séparation δq (cm-1 )

Ret

ard

moy

en (

ms)

Fig. 7: Cascade turbulente. Evolution du retard moyenen fonction de la separation en vecteur d'onde q

Nous interpretons cette derniere observation comme lasignature d'un mecanisme de cascade turbulente, des gran-des echelles (q < 0), vers les petites echelles (q > 0),locale en echelle et directement associe a la presence dansl'ecoulement de structures coherentes de vorticite. Bienque l'importance des structures de coherentes de vortic-ite dans les mecani-smes de transfert d'energie a l'originede la cascade turbulente soit admis depuis les travaux deKolmogorov en 1941, le resultat que nous avons obtenuen est, a notre connaissance, la premiere mise en evidenceexperimentale. En outre, la spectroscopie acoustique re-solue en temps et en echelle, conduit a une denition ob-jective et ore un moyen de detection robuste des struc-tures coherentes en turbulence en terme de paquets d'onded'extension limitee dans l'espace de Fourier, presentantune coherence de phase. Il est a noter que cette denitionde la coherence, rejoint celle habituellement utilisee dansle domaine plus familier de l'optique.

References

U. Frisch. Turbulence: the legacy of A.N. Kolmogorov.

Cambridge University Press, pp. 5859, cambridge, New-York, 1995.

B.T. Chu & L.S.G. Kovasznay, Non-linear interactions ina viscous heat-conducting compressible gas. J. Fluid Mech.

A3, pp. 494514, 1953.

Lund, F. & Rojas, C. Ultrasound as a probe of turbulence.

Physica D A37, pp. 508514, 1989.

C. Baudet, S. Ciliberto, & J-F. Pinton, Spectral analysisof the von Karman ow using ultrasound scattering, Phys.Rev. Lett. A67, 2, pp. 193195, 1991.

C. Baudet & R. H. Hernandez, Spatial enstrophy spectrumin a fully turbulent jet, Advances in Turbulence VI, Sixth

European Turbulence Conference, Lausanne 1996,eds. S.Gavrilakis, L. Machiels & P.A. Monkewitz. Kluwer Aca-demic Publishers, Dordrecht.

P. Flandrin (1993),Temps-frequence, Ed. Hermes, Paris.

W.J.Williams& J. Jeong, Time-frequency signal analysis:

methods and applications, Ed. B. Bouashash, Logman &Cheshire, Chapter 3, pp. 7497, 1992.