E.S.C.P.I. G.M.2 - Second Cycle Equations aux …maths.cnam.fr/IMG/pdf/Poly_GM4.pdf · 6 10 Introduction aux problµemes d’¶evolution. L’¶equation de la cha-leur instationnaire

E.S.C.P.I. G.M.2 - Second Cycle

Equations aux derivees partielles

Mathematiques et methodes numeriques

Nelly POINT et Jacques-Herve SAIAC

13 mai 2008

2

Table des matieres

1 Rappels d’analyse vectorielle 71.1 Fonction scalaire ou champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Derivation des fonctions composees . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Derivees partielles d’ordre superieur . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Fonction vectorielle ou champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Operateurs differentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Formule stokiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Formule de la divergence : Ostrogradsky . . . . . . . . . . 111.4.2 Formule du rotationnel : Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Definitions intrinseques de la divergence et du rotationnel . . . . . 111.6 Champs de gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Quelques formules d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Operateurs en coordonnees cylindriques et spheriques . . . . . . . 12

2 Generalites sur les equations aux derivees partielles 152.1 Concepts de base et definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 L’equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 L’equation de la chaleur ou de la diffusion . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Modele physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Probleme stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 L’equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Modele physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2 Probleme stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 L’equation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.1 Conduction thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.2 Membrane elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.3 Mecanique des fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 L’equation de Laplace 233.1 Equation de Laplace dans IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Equation de Laplace dans un demi-plan . . . . . . . . . . . . . . . 23

3

4

3.2.1 Resolution par la transformee de Fourier . . . . . . . . . . 243.3 Equation de Laplace dans un cercle ou une sphere . . . . . . . . . 243.4 Equation de Laplace dans un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.1 Methode de separation des variables. . . . . . . . . . . . . 253.5 Equation de Laplace dans un domaine borne Ω quelconque . . . . 293.6 Proprietes fondamentales des fonctions harmoniques . . . . . . . . 30

3.6.1 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.2 Unicite de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.3 Propriete de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 L’equation de la chaleur ou equation de la diffusion 334.1 Equation de la chaleur dans IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Equation de la chaleur dans IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Equation de la chaleur sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1 Methode de separation des variables . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Unicite de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4.1 Equation de la chaleur dans un segment . . . . . . . . . . 374.4.2 Equation de la chaleur dans un domaine quelconque . . . 39

5 L’equation des ondes 415.1 L’equation des ondes dans IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Equation des ondes dans IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.1 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.2 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 L’equation des ondes dans un segment . . . . . . . . . . . . . . . 445.3.1 Methode de separation des variables . . . . . . . . . . . . 445.3.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Classification des E.D.P. quasi-lineaires du deuxieme ordre 476.1 E.D.P. quasi-lineaires du deuxieme ordre definies dans R2 . . . . . 47

6.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.2 Classification des e.d.p. quasi-lineaires du second ordre . . 48

6.2 Reduction a la forme standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2.1 Equations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2.2 Equations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2.3 Equations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3 E.D.P. quasi-lineaires du deuxieme ordre definies dans R3 . . . . . 50

5

6.4 Probleme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Principes generaux des methodes numeriques 53

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2 Taille des problemes et stockage memoire . . . . . . . . . . . . . 53

7.3 Memoires d’ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.4 Vitesse de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.5 Strategies de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.6 Representation des nombres dans un ordinateur . . . . . . . . . . 55

7.7 Representation des differents types numeriques . . . . . . . . . . . 56

7.7.1 Les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.7.2 Les reels ou nombres flottants . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.7.3 La representation standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.8 Grandes familles de methodes d’approximation des equations de laphysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.8.1 Differences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.8.2 Elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.8.3 Volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Introduction aux differences finies 63

8.1 Un exemple de probleme en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2 Differences finies en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2.1 Quelques formules simples d’approximation des deriveespar des differences divisees. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.3 Probleme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.4 Probleme mixte Dirichlet-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.5 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.6 Exercice : Calcul d’une poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . 68

9 Modelisation de quelques problemes bidimensionnels classiquesde la physique 71

9.1 Quelques exemples de problemes physiques . . . . . . . . . . . . . 71

9.1.1 Membrane elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.1.2 Conduction thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.1.3 Mecanique des fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.2 Approximation par differences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.2.1 Discretisation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.2.2 Quelques formules simples d’approximation des deriveespartielles par differences finies . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6

10 Introduction aux problemes d’evolution. L’equation de la cha-leur instationnaire. 7710.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.2 Etude des schemas de differences finies dans le cas monodimensionnel 78

10.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.2.2 Le Schema d’Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.2.3 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.2.4 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.2.5 Etude matricielle de la stabilite . . . . . . . . . . . . . . . 8210.2.6 Autres exemples de schemas a un pas . . . . . . . . . . . . 8410.2.7 Etude de la stabilite par l’analyse de Fourier . . . . . . . . 86

11 Introduction aux problemes conservatifs. L’equation de trans-port 9111.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.2 Etude des schemas de differences finies dans le cas monodimensionnel 91

11.2.1 Un premier schema explicite centre instable . . . . . . . . 9211.2.2 Schemas implicites centres stables . . . . . . . . . . . . . 9211.2.3 Schemas explicites stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

12 Introduction aux problemes hyperboliques. L’equation desondes 9512.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9512.2 Etude des schemas de differences finies dans le cas monodimensionnel 96

12.2.1 Premiere approche : discretisation directe de l’equation dusecond ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

12.2.2 Le schema differences finies explicite (en temps ) et centre( en espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

12.2.3 Etude de la stabilite par l’analyse de Fourier. . . . . . . . 9712.2.4 Application au schema aux differences finies explicite . . . 9912.2.5 Un schema aux differences finies implicite decentre (en

temps) et centre (en espace) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.3 Seconde approche : Systeme du premier ordre equivalent . . . . . 101

12.3.1 Un premier schema explicite centre instable . . . . . . . . 10212.3.2 Schemas implicites centres stables . . . . . . . . . . . . . 10312.3.3 Schemas explicites stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10312.3.4 Interpretation de la condition de Courant-Friedrichs-Lewy 105

Chapitre 1

Rappels d’analyse vectorielle

1.1 Fonction scalaire ou champ scalaire

Definition 1.1.1 (champ scalaire) Un champ scalaire est une fonction de IRn

dans IR, ou n = 2 ou 3.

Definition 1.1.2 (gradient) Soit f un champ scalaire defini dans IR3. Onappelle gradient de f et on note grad(f) ou ∇f (on prononce nabla de f), levecteur :

grad(f) = ∇f =

∂f

∂x∂f

∂y∂f

∂z

(1.1)

ou∂f

∂xnotee parfois egalement fx represente la derivee partielle de f par rapport

a x.

Exemples de champ scalaire :

– l’altitude– la temperature– la pression

Definition 1.1.3 (Derivee directionnelle) Soit V un vecteur unitaire de IR3.On appelle derivee directionnelle de f au point M0 = (x0, y0, z0) dans la directionde V le produit scalaire

∇f(M0)·V (1.2)

8 Mathematiques et methodes numeriques

On utilise souvent la notion de derivee normale sur le bord d’un domaine Ω deIR3. Notons n le vecteur normal unitaire oriente vers l’exterieur du domaine Ω enchaque point de son bord ∂Ω. On obtient :

∂f

∂n= ∇f ·n (1.3)

Exemples de calculs de derivees normales 1) Calculer les expressions desderivees normales au bord du domaine forme par le carre unite dans IR2

2) Meme question pour le triangle rectangle isocele OAB avec O : (0, 0) A :(1, 0) B : (0, 1).

1.1.1 Derivation des fonctions composees

On rappelle les formules de derivation des fonctions composees a plusieursvariables. Par exemple dans le cas

g(s, t) = f(x(s, t), y(s, t), z(s, t))

on a

∂g

∂s=

∂f

∂x

∂x

∂s+

∂f

∂y

∂y

∂s+

∂f

∂z

∂z

∂s∂g

∂t=

∂f

∂x

∂x

∂t+

∂f

∂y

∂y

∂t+

∂f

∂z

∂z

∂t

(1.4)

Ce que l’on peut egalement noter :

gs = fxxs + fyys + fzzs

gt = fxxt + fyyt + fzzt

(1.5)

1.1.2 Derivees partielles d’ordre superieur

Les derivees d’ordre deux sont les derivees premieres de fonctions qui sontelles-memes derivees partielles premieres d’une fonction. Et ainsi de suite pourles derivees d’ordre superieur. Par exemple

∂2f

∂x2=

∂

∂x(∂f

∂x)

De meme on a∂2f

∂x∂y=

∂

∂x(∂f

∂y) =

∂

∂y(∂f

∂x)

des que f est assez reguliere, c’est a dire deux fois continuement derivable.

Rappels d’analyse vectorielle 9

Formule de Taylor

L’etude locale d’une fonction se fait a l’aide de la formule de Taylor, qui s’ecritde la facon suivante pour une fonction de trois variables :

f(x + h, y + k, z + l) = f(x, y, z) + [h, k, l]

∂f∂x

∂f∂y

∂f∂z

+12[h, k, l]

∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂x∂z

∂2f∂y∂x

∂2f∂y2

∂2f∂y∂z

∂2f∂z∂x

∂2f∂z∂y

∂2f∂z2

h

k

l

+ (h2 + k2 + l2)ε(h, k, l)

La matrice 3× 3 des derivees partielles secondes est symetrique si f est deux foiscontinuement derivable (ce que l’on supposera) et s’appelle le Hessien de f oumatrice hessienne de f .

1.2 Fonction vectorielle ou champ vectoriel

Definition 1.2.1 (Champs vectoriel) Un champ vectoriel est une fonction deIRn dans IRp, p > 1.

Nous nous placerons generalement dans les cas n et p egaux a 2 ou 3.

Exemples de champs vectoriels :

– la force de gravitation– le champ electrique– la vitesse d’un fluide

Definition 1.2.2 (Matrice Jacobienne) Soit f un champ vectoriel defini deIR3 dans IR3. On appelle matrice Jacobienne de f et on note Jac(f) la matriceformee par les derivees partielles de la fonction f .

Definition 1.2.3 (Jacobien) On appelle determinant Jacobien le determinantde cette matrice Jacobienne de f .


1.3 Operateurs differentiels

Definition 1.3.1 (Divergence) Soit V une fonction vectorielle de 3 variables(x, y, z) definie sur un domaine Ω de IR3 et a valeurs X,Y, Z. On appelledivergence du vecteur V et on note div(V) ou ∇.V, le scalaire :

div(V) = ∇ ·V =∂X

∂x+

∂Y

∂y+

∂Z

∂z(1.6)

On ecrit formellement

[∂∂x

, ∂∂y

, ∂∂z

]

X

Y

Z

= (∇ ·V) (1.7)

divV < 0 divV > 0 divV = 0

Exemple physique : l’eau est un fluide incompressible, ce qui se represente, si Vest le champ de vecteurs vitesses du fluide, par divV = 0

Definition 1.3.2 (Rotationnel) On appelle rotationnel d’un champ vectorielV , le vecteur

rotV =

∂Z∂y− ∂Y

∂z

∂X∂z− ∂Z

∂x

∂Y∂x− ∂X

∂y

(1.8)

On ecrit formellement

∂∂x

∂∂y

∂∂z

∧

X

Y

Z

= (∇∧V) (1.9)

Remarque 1.3.1 Les definitions donnees ci-dessus de la divergence et du rota-tionnel ont deux defauts majeurs.

1) Elles n’ont pas de sens physique clair, alors que ce sont des notions tressouvent utilisees en physique.

2) Elles semblent dependre du syteme de coordonnees choisi.


1.4 Formule stokiennes

Pour pouvoir donner une definition intrinseque et un sens physique aux operateursdivergence et rotationnel, nous allons rappeler deux formules integrales

1.4.1 Formule de la divergence : Ostrogradsky

Soit Ω ⊂ IR3 de frontiere ∂Ω reguliere, et un champ vectoriel V defini sur Ω toutentier. Soit n le vecteur unitaire normal a ∂Ω oriente vers l’exterieur de Ω. On al’egalite suivante ∫∫

∂Ω

V · n dS =

∫∫∫

Ω

div(V) dΩ (1.10)

ou dS represente l’element d’aire sur ∂Ω et dΩ l’element de volume dans Ω.Les expressions des elements d’aire et de volume dependent des systemes decoordonnees choisis.

Cette formule montre que le flux d’un vecteur V sortant d’un domaine Ω est egala l’integrale sur ce domaine de sa divergence.

1.4.2 Formule du rotationnel : Stokes

Soit C une courbe fermee orientee de IR3 et S une surface quelconque de bord C.Soit t le vecteur unitaire tangent a C oriente dans le sens direct. On a

∫

C

V · t dl =

∫∫

S

rotV · n dS (1.11)

ou dl represente l’element de longueur sur C et dS represente l’element d’aire surS.

Cette formule explicite la circulation d’un champ de vecteur le long d’une courbefermee C.

1.5 Definitions intrinseques de la divergence et

du rotationnel

On voit a l’aide de la formule de la divergence que la valeur de la divergencede V en un point M0 : (x0, y0, z0) est la limite, quand le volume contenant le pointM0 diminue et tend vers le point M0, du flux sortant de ce volume rapporte a lamesure du volume.

divV (M0) = limΩ→M0

∫∫∂Ω

V · n dS

mesure(Ω)(1.12)


De meme, pour le rotationnel, on a

rotV (M0) = limS→M0

∫∂C

V dM

mesure(S)(1.13)

1.6 Champs de gradients

Si V est un champ de gradients c’est a dire si V = grad f (on dit qu’il derived’un potentiel f), la divergence de V est :

divV = div(grad f) =∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2(1.14)

Cet operateur s’appelle le Laplacien et se note ∆f .

1.7 Quelques formules d’analyse vectorielle

On a :div(rotV) = 0 (1.15)

Un champ de rotationnel est a divergence nulle. En particulier pour un fluide, unchamp de rotationnel represente la vitesse d’un fluide incompressible.

rot(gradf) = 0 (1.16)

Un champ de gradient (qui derive d’un potentiel) est irrotationnel.

grad(f g) = f grad(g) + g grad(f) (1.17)

div(aV) = a div(V) + V grad(f) (1.18)

rot(aV) = a rot(V) + grad(a) ∧V (1.19)

1.8 Operateurs en coordonnees cylindriques et

spheriques

En coordonnees cylindriques l’operateur Laplacien prend la forme suivante :

∆U =∂2U

∂r2+

1

r

∂U

∂r+

1

r2

∂2U

∂θ2+

∂2U

∂z2(1.20)

avec U(r, θ, z) = u(r cos θ, r sin θ, z).


En coordonnees spheriques l’operateur Laplacien prend la forme suivante :

∆U =∂2U

∂r2+

2

r

∂U

∂r+

1

r2

∂2U

∂θ2+

cos θ

r2 sin θ

∂U

∂θ+

1

r2 sin2 θ

∂2U

∂ϕ2(1.21)

avec U(r, ϕ, θ) = u(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ).

On peut montrer que dans le cas particulier ou la fonction U ne depend que dela distance a l’origine, le Laplacien dans Rn a la forme suivante :

∆U(r) =d2U

dr2+

(n− 1)

r

dU

dr(1.22)


Chapitre 2

Generalites sur les equations auxderivees partielles

2.1 Concepts de base et definitions

Definition 2.1.1 Une equation aux derivees partielles ou edp, est unerelation faisant intervenir une fonction inconnue u de IRn dans IR , les variablesx , y, ... , ses derivees partielles, ux, uy, ... , uxx, uxy, uyy, .... . Elle s’ecrit defacon generale :

f(x, y, ..., u, ux, uy, ..., uxx, uxy, ...) = 0 (2.1)

L’equation (2.1) est consideree dans un domaine Ω de IRn

Les solutions de l’equation aux derivees partielles ( 2.1) sont les fonctionsqui verifient cette equation dans Ω.

Exemples :

u2uxy + ux = y (2.2)

uxx + 2y2uxy + 3xuyy = 1 (2.3)

(ux)2 + (uy)

2 = 1 (2.4)

uxx − uyy = 0 (2.5)

Les fonctions u(x, y) = (x + y)3 et u(x, y) = sin(x − y) sont toutes deux dessolutions de (2.5).

Definition 2.1.2 L’ordre d’une equation aux derivees partielles estl’ordre de la derivee partielle d’ordre le plus eleve intervenant dans l’equation.

15


– Les equations (2.2), (2.3), (2.5), sont d’ordre 2.– L’equation (2.4) est d’ordre 1.

Definition 2.1.3 Une equation aux derivees partielles lineaire est lineairepar rapport a la fonction u et a toutes ses derivees partielles.

– Les equations (2.3), (2.5), sont lineaires.– Les equations (2.2), (2.4), sont nonlineaires.

Definition 2.1.4 Une equation aux derivees partielles quasilineaire estlineaire par rapport aux derivees partielles d’ordre le plus eleve de la fonction u.

– L’equation (2.2) est quasilineaire.

Definition 2.1.5 Une equation aux derivees partielles lineaire ho-mogene est verifiee pour u = 0 (si elle est ecrite de facon usuelle, le secondmembre, ne contenant ni u ni ses derivees partielles, est identiquement nul).

– L’equation (2.5) est lineaire et homogene.

On etudiera essentiellement les equations aux derivees partielles lineaires dusecond ordre car ce sont les equations les plus frequemment rencontrees dansles problemes de la physique mathematique.

On sait bien que la solution generale d’une equation differentielle lineaire d’ordren depend de n constantes arbitraires. Dans le cas des equations aux deriveespartielles lineaires d’ordre n on a la propriete suivante :

Theoreme 2.1.1 La solution generale d’une equation differentielle lineaire d’ordren depend lineairement de n fonctions arbitraires.

Considerons par exemple, l’equation lineaire homogene

uxy = 0 (2.6)

En integrant par rapport a y, on obtient :

u(x, y) = f(x) (2.7)

En integrant ensuite par rapport a x et en notant g est une primitive de la fonctionarbitraire f , on obtient :

u(x, y) = g(x) + h(y) (2.8)

Generalites sur les e.d.p. 17

Les fonctions g et h sont deux fonctions quelconques.

En pratique, parmi toutes les solutions possibles, on en cherche une qui verifiedes conditions supplementaires.Dans les problemes issus de la physique, ces conditions sont, en general, imposeessur le bord du domaine Ω et s’appellent conditions aux bords. On utilise aussile terme de conditions aux limites.

Definition 2.1.6 En mathematiques, un probleme est dit bien pose s’il a unesolution et si cette solution est unique.

La question de l’unicite n’est pas une question superflue. En effet, prenonspar exemple le probleme de Poisson :

−∆u(x, y) = f(x, y) ∀ (x, y) ∈ Ω∂u

∂n= g ∀ (x, y) ∈ ∂Ω

qui peut, par exemple, representer le probleme de la recherche de la temperaturedans un domaine Ω connaissant le flux de chaleur au bord ∂Ω du domaine. Il estfacile de verifier que, s’il y a une solution, il y en a une infinite, a une constanteadditive pres. Ce probleme est mal pose.

De la meme maniere, en calcul des structures, il est necessaire de fixer un certainnombre de liaisons, pour obtenir une solution unique a l’equilibre. Sinon, onpeut egalement obtenir une solution a des constantes additives pres, ce que lesmecaniciens expriment par “solution a un deplacement rigide pres”.

Il faut donc rajouter des conditions pour avoir une seule solution. Les conditionsadequates dependent du probleme etudie.En pratique, on distingue la variable temps des variables d’espace du fait ducaractere non reversible en temps de certains phenomenes physiques. On distinguealors les conditions au bord du domaine spatial et les conditions initiales.

2.2 L’equation de transport

Considerons la fonction u(x, t) = f(x−ct) ou x est la variable d’espace, x ∈ IR,t le temps, t ∈ IR+ et c la vitesse de transport. Il est facile de voir que la fonctionu verifie l’equation aux derivees partielles lineaire du premier ordre :

c∂u

∂x+

∂u

∂t= 0 (2.9)


quelle que soit la fonction f . La fonction f(x−ct) est une onde progressive. Lafonction u est constante le long des droites x− ct = cste qui sont appelees droitescaracteristiques. Il suffit de donner la valeur de f sur chaque droite caracteristiquepour definir u en tous points. En general, on se donne la condition initiale ce quisuffit a definir f en tout point et donc u en tout point x ∈ IR et tout tempst ∈ IR+.

2.3 L’equation de la chaleur ou de la diffusion

2.3.1 Modele physique

La temperature u(x, y, t) d’un corps plan de surface Ω, de densite ρ, de chaleurspecifique c et de conductivite thermique k est regie au cours du temps parl’equation :

ρc∂u

∂t− div(k gradu) = f ∀ (x, y) ∈ Ω et ∀t ∈ [0, T ] (2.10)

ou f represente la puissance volumique fournie au corps Ω.

Si la conductivite k est constante, l’equation se reduit a :

ρc∂u

∂t− k ∆u = f ∀ (x, y) ∈ Ω et ∀t ∈ [0, T ] (2.11)

Ce probleme, du premier ordre en temps, est le modele des problemes parabo-liques. La determination de la solution necessite de fixer une condition initialeen temps : la valeur de la temperature u au temps 0.

u(x, y, 0) = u0(x, y) (2.12)

On dit que le probleme est un probleme a valeur initiale ou probleme deCauchy.

D’autre part, sur la frontiere ∂Ω du domaine, differentes conditions aux limitespeuvent etre prises en compte pour determiner completement la solution.

– Conditions de type Dirichlet lorsque la temperature est fixee sur une partiede la frontiere

– Conditions de type Neumann si le flux thermique est fixe sur une autrepartie de la frontiere (il nul dans le cas d’un materiau isole thermiquement)

– Conditions de type Fourier dans le cas le plus general ou le flux ther-mique est proportionnel a la difference de temperature entre l’exterieur etl’interieur.


2.3.2 Probleme stationnaire

Lorsque la temperature ne depend plus du temps (regime permanent oustationnaire), on obtient l’equation suivante :

−div(k gradu) = f ∀ (x, y) ∈ Ω+ conditions aux bords sur ∂Ω

(2.13)

2.4 L’equation des ondes

2.4.1 Modele physique

Considerons une membrane elastique de surface Ω, plane au repos et fixee surson bord Γ. Lors de petites vibrations transversales, le deplacement normal auplan d’equilibre en tout point x, y de Ω et a chaque instant t est une fonctionu : x, y, t −→ u(x, y, t) qui verifie l’equation :

∂2u

∂t2= c2 ∆u + f ∀(x, y) ∈ Ω ∀t ∈ [0, T ] (2.14)

ou c designe la vitesse des ondes. Ce probleme du second ordre en temps est unmodele de probleme hyperbolique. La determination de la solution necessite defixer deux conditions initiales en temps : la valeur du deplacement transversalu et de sa derivee partielle en temps, au temps 0. :

u(x, y, 0) = u0(x, y)∂u

∂t(x, y, 0) = u1(x, y)

(2.15)

On obtient ainsi un probleme a valeurs initiales ou probleme de Cauchy.Il faut encore ajouter des conditions aux limites sur la frontiere ∂Ω .

2.4.2 Probleme stationnaire

Lorsque la solution ne depend plus du temps (regime permanent ou station-naire) on retrouve une equation de la forme :

−∆u = f ∀ (x, y) ∈ Ω+ conditions aux bords sur ∂Ω

(2.16)

2.5 L’equation de Poisson

Differents phenomenes physiques appartienent a la famille des problemesstationnaires et se traduisent par une equation de Poisson.


2.5.1 Conduction thermique

On considere une plaque plane Ω de frontiere Γ dont une partie Γd est atemperature connue Td et une partie Γn est isolee thermiquement.

'

&

$

%

' $Γd

Γn

Ω

Fig. 2.1 – Conduction thermique dans une plaque

La temperature T a l’equilibre verifie l’equation

−∆T (x, y) = f(x, y) ∀ (x, y) ∈ ΩT (x, y) = Td(x, y) ∀ (x, y) ∈ Γd

∂T

∂n(x, y, 0) = 0 ∀ (x, y) ∈ Γn

(2.17)

2.5.2 Membrane elastique

f(x,y)

u(x,y)

G

Fig. 2.2 – Membrane elastique

On considere une membrane elastique plane Ω fixee sur son pourtour Γ. Onsuppose la membrane soumise en tout point (x, y) a une densite de forces fs’exercant perpendiculairement au plan de la membrane. Sous l’action de f chaquepoint de la membrane subit un petit deplacement. Le deplacement transversal,perpendiculaire au plan de Ω est l’inconnue u de ce probleme et verifie l’equation :


−∆ u (x, y) = f (x, y) ∀ x, y ∈ Ω

u |Γ(x, y) = 0(2.18)

2.5.3 Mecanique des fluides parfaits

Soit Ω le domaine interne d’une tuyere, on considere l’ecoulement d’un fluideparfait, incompressible non-visqueux, a l’interieur de cette tuyere. L’ecoulementetant incompressible, il est a divergence nulle et donc le vecteur vitesse u du fluidepeut s’ecrire comme le rotationnel d’une fonction ψ dite fonction de courant. Ona :

u = rotψ = (∂ψ

∂y, −∂ψ

∂x) (2.19)

Les lignes iso-ψ sont les lignes de courant du fluide. La fonction de courant ψ

Γe Γs

Γ1

Γ0

Ω

Fig. 2.3 – Tuyere

verifie egalement une equation de Poisson, qui s’ecrit dans le cas d’un ecoulementirrotationnel (cas d’un profil de vitesse constant en entree ) :

−∆ψ(x, y) = 0 ∀ (x, y) ∈ Ωψ|Γ0(x, y) = 0ψ|Γ1(x, y) = 1ψ|Γe(x, y) = 0

∂ψ

∂n|Γs (x, y) = 0

(2.20)

En general, les problemes stationnaires comme les problemes precedents, appar-tiennent a la famille des problemes elliptiques qui s’ecrivent :

−∆u(x, y) = f(x, y) ∀ (x, y) ∈ Ωu|Γd

(x, y) = ud

∂u

∂n |Γd

(x, y) = g(2.21)


Chapitre 3

L’equation de Laplace

Introduction aux problemes elliptiques.

3.1 Equation de Laplace dans IRn

Definition 3.1.1 Soit u(x, y, ...) une fonction definie sur un domaine D de IRn,et verifiant dans ce domaine l’equation de Laplace :

∆u = 0 (3.1)

Les fonctions qui verifient cette equation sont dites harmoniques dans D.

L’etude mathematique de l’equation bidimensionelle (c. a d. dans IR2) va per-mettre de degager, dans un cas simple, les principales proprietes des problemesregroupes sous le vocable de problemes elliptiques (cf. ch. 6).

3.2 Equation de Laplace dans un demi-plan

Considerons le probleme physique suivant : on veut connaıtre la temperaturedans un demi plan connaissant la temperature sur le bord, sachant que cettetemperature tend vers 0 en s’eloignant de ce bord et qu’il n’y a aucun apport dechaleur.Le modele mathematique correspondant s’ecrit :

trouver u : (x, y) → u(x, y) telle que : (3.2)

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = 0 ∀x ∈ IR et ∀y ∈ IR+ (3.3)

u(x, 0) = f(x) donnee (3.4)

u(x, +∞) = 0 (3.5)

23


3.2.1 Resolution par la transformee de Fourier

On introduit la transformee de Fourier de u par rapport a x , notee U(ν, y) etdefinie par :

U(ν, y) =

∫ +∞

−∞u(x, y) exp(−2iπνx)dx (3.6)

La transformee de Fourier de l’equation s’ecrit :

(−2iπν)2U(ν, y) +∂2

∂y2U(ν, y) = 0 (3.7)

La resolution de l’equation differentielle du second ordre en y donne :

U(ν, y) = A(ν) exp(2πνy) + B(ν) exp(−2πνy) (3.8)

Comme la fonction u(x, y) tend vers 0 lorsque y tend vers +∞ quelque soit xd’apres (3.5), la transformee de Fourier U(ν, y) doit aussi tendre vers 0. Commeexp(2πνy) tend vers +∞ lorsque y tend vers +∞ quand v > 0, il faut donc queA(ν) = 0 pour ν > 0. De meme il faut que B(ν) = 0 pour ν < 0.La condition pour y = 0 , implique U(ν, 0) = F (ν) ou F (ν) est la transformee deFourier de la donnee f(x). On a donc A(ν) = F (ν) pour ν < 0 et B(ν) = F (ν)pour ν > 0.On obtient donc :

U(ν, y) = F (ν) exp(−2π|ν|y) (3.9)

Or, d’apres les formules de transformees de Fourier,

exp(−2π|ν|y) = F (y

π(x2 + y2)) (3.10)

La transformee de Fourier d’un produit de convolution est le produit des trans-formees de Fourier.Comme U est le produit de F (ν) par exp(−2π|ν|y), la trans-formee de Fourier inverse de U est le produit de convolution, par rapport a lavariable x , de la fonction f avec la fonction y

π(x2+y2). La solution u s’ecrit donc :

u(x, y) =

∫ +∞

−∞f(s)

y

π((x− s)2 + y2)ds (3.11)

3.3 Equation de Laplace dans un cercle ou une

sphere

Si l’on veut resoudre l’equation de Laplace dans un cercle centre a l’origine derayon a, il est naturel de passer en coordoonnees polaires.

L’equation de Laplace 25

Si l’on ne cherche que les solutions independantes de l’angle polaire, c’est adire les fonctions v(r) = v(

√x2 + y2) = u(x, y) , on doit alors resoudre l’equation

differentielle suivante :

∂2v

∂r2+

1

r

∂v

∂r= 0 pour r ∈]0, a] (3.12)

Ce qui entraine∂v

∂r=

C1

ret donc

v(r) = C1 ln r + C2 (3.13)

On verifie que cette solution n’est pas definie en r = 0. De la meme facon, on

montre que les fonctions harmoniques qui ne dependent que de la distance aucentre dans une sphere de centre O et de rayon a, doivent verifier l’equationdifferentielle suivante :

∂2v

∂r2+

2

r

∂v

∂r= 0 pour r ∈]0, a] (3.14)

et sont de la forme :

v(r) = C11

r+ C2 (3.15)

3.4 Equation de Laplace dans un rectangle

On considere le probleme physique suivant : un rectangle sans apport de chaleura l’interieur, sans echange de chaleur sur deux des cotes opposes (cotes adiaba-tiques) et avec une temperature imposee sur les deux autres cotes. On cherche latemperature dans le rectangle. Les equations du probleme sont alors :


∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = 0 ∀x ∈]0, a[ et ∀y ∈]0, b[ (3.17)

∂u

∂n(0, y) = 0 et

∂u

∂n(a, y) = 0 ∀y ∈]0, b[ (3.18)

u(x, 0) = ϕ(x) et u(x, b) = ψ(x) ∀x ∈]0, a[ (3.19)

ou ϕ et ψ sont des donnees.

3.4.1 Methode de separation des variables.

Pour resoudre dans un rectangle ce probleme on utilise la methode de separationdes variables appelee aussi methode de Fourier.


– On neglige temporairement la condition non-homogene (3.19) qui dans cetexemple est une condition de type Dirichlet.

– On cherche les solutions du probleme homogene (3.17) et (3.18) , qui sontdu type u(x, y) = X(x)Y (y) et non identiquement nulles.L’equation (3.17) conduit a :

X”(x)Y (y) + Y ”(y)X(x) = 0 (3.20)

Comme une fonction ne dependant que de x ne peut etre egale a une fonctionde y que si ces deux fonctions sont constantes, on a :

X”(x)

X(x)= −Y ”(y)

Y (y)= λ (3.21)

Quant a (3.18) cela implique :

X ′(0)Y (y) = 0 et X ′(a)Y (y) = 0 (3.22)

Puisque l’on cherche les solutions X(x)Y (y) non identiquement nulles, ilfaut que Y (y) 6= 0 et donc :

X ′(0) = 0 et X ′(a) = 0 (3.23)

– On commence donc par resoudre le probleme en X. On cherche donc pourquelles valeurs de la constante λ le probleme suivant a des solutions X(x)non identiquement nulles :

X”(x) = λX(x) ∀x ∈]0, a[ (3.24)

X ′(0) = 0 (3.25)

X ′(a) = 0 (3.26)

Ce probleme consiste en fait a chercher les valeurs propres et les vecteurspropres de l’operateur ”derivee seconde” dans le sous espace vectoriel deL2(0, a) forme par les fonctions deux fois continument derivables sur ]0, a[et de derivees nulles en x = 0 et x = a .– En multipliant (3.24) par X(x) et en integrant par parties sur ]0, a[ , on

obtient :

[X ′(x)X(x)]a0 −∫ a

0

(X ′(x))2dx = λ

∫ a

0

(X(x))2dx (3.27)

Les conditions de Neumann homogenes impliquent que le premier termeest nul et comme les integrales sont positives ou nulles, les valeurs propresne peuvent etre que negatives ou nulles.


– Pour λ = 0, on a X(x) = A + Bx, avec B = 0 a cause de les conditionsde Neumann homogenes.Le probleme a donc pour valeur propre λ0 = 0 et les fonctions propresassociees sont les fonctions contantes X0(x) = A0.

– Pour λ < 0, on pose pour simplifier l’ecriture λ = −ω2, on a alorsX(x) = A cos(ωx)+B sin(ωx) , d’ou X ′(x) = ω(−A sin(ωx)+B cos(ωx))et d’apres les conditions de Neumann homogenes et puisque ω 6= 0 , ona :

B = 0 (3.28)

−A sin(ωa) + B cos(ωa) = 0 (3.29)

Si on veut avoir X(x) non identiquement nulle il faut que A 6= 0 et doncque sin(ωa) = 0, ce qui n’est possible que si ωa = nπ ou n est un entierrelatif.Les valeurs propres sont donc de la forme :

λ1 = −(π

a)2, λ2 = −(

2π

a)2, λ3 = −(

3π

a)2,

λ4 = −(4π

a)2, ..., ..., λn = −(

nπ

a)2, (3.30)

Les fonctions propres associees a chaque λn sont les fonctions :

Xn(x) = cos(nπ

ax) (3.31)

– Pour chacunes des valeurs propres λn trouvees, on resout le probleme en Yn

correspondant :

Yn”(y) = (nπ

a)2Yn(y) ∀y ∈]0, b[ (3.32)

D’ou, pour λ0 = 0 :Y0(y) = C0y + D0 (3.33)

et pour λn = −(nπa

)2 :

Yn(y) = Cn exp(nπy

a) + Dn exp(−nπy

a) (3.34)

– La fonction Un(x, y) = Xn(x)Yn(y) est donc solution du probleme lineairehomogene (3.17) et (3.18).D’apres le principe de superposition, la somme de toutes les fonctions Un

est aussi solution de ce probleme. Cette solution s’ecrit :

U(x, y) = C0y + D0 (3.35)

+∞∑

n=1

cos(nπ

ax)

(Cn exp(

nπy

a) + Dn exp(−nπy

a))


– Il faut donc maintenant s’assurer que la condition (3.19) (que l’on avaitnegligee jusqu’alors) peut etre verifiee par la fonction U si on choisit defacon convenable les coefficients Cn et Dn. Il faut donc que :

D0 +∞∑

n=1

cos(nπ

ax) (Cn + Dn) = ϕ(x)

C0b + D0 +∞∑

n=1

cos(nπ

ax)

(Cn exp(

nπb

a) + Dn exp(−nπb

a)

)= ψ(x)

Or la propriete fondamentale est que les fonctions propres Xn(x) trouveesforment une base des fonctions de L2(0, a). On peut donc decomposer defacon unique ϕ et ψ sur cette base :

ϕ(x) = a0 +∞∑

n=1

an cos(nπ

ax) (3.36)

ψ(x) = α0 +∞∑

n=1

αn cos(nπ

ax) (3.37)

En utilisant l’unicite de la decomposition, on obtient :

D0 = a0 (3.38)

C0b + D0 = α0 (3.39)

Cn + Dn = an (3.40)

Cn exp(nπb

a) + Dn exp(−nπb

a) = αn (3.41)

Ce qui permet de determiner de facon unique les constantes Cn et Dn.

– Exemple : Cas ϕ(x) = 0 et ψ(x) = cos2(πax) .

Dans ce cas an = 0 pour tout n ≥ 0 et α0 = 1/2 , α2 = 1/2 et αn = 0 pourtout n , n 6= 0 et n 6= 2 .On a alors :

D0 = 0 (3.42)

C0 =1

2b(3.43)

Cn + Dn = 0 ∀n > 0 (3.44)

C2 =1

4sh(2πba

)(3.45)

Cn = 0 ∀n, n 6= 0 et n 6= 2 (3.46)


La solution explicite du probleme est alors :

u(x, y) =1

2by + cos(

2π

ax)

sh(2πya

)

2sh(2πba

)(3.47)

Remarque : Pour pouvoir utiliser la methode de separation des variables, ilest essentiel qu’il y aıt des conditions homogenes sur deux cotes opposes afinde pouvoir chercher les valeurs propres et les fonctions propres d’un problemelineaire et homogene.Si ce n’est pas le cas, il est toujours possible d’apres la linearite du probleme desuperposer des problemes ayant cette propriete.Par exemple, soit u solution du probleme (P) defini par :


∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = 0 ∀x ∈]0, a[ et ∀y ∈]0, b[ (3.49)

∂u

∂n(0, y) = χ(y) et

∂u

∂n(a, y) = η(y) ∀y ∈]0, b[ (3.50)

u(x, 0) = ϕ(x) et u(x, b) = ψ(x) ∀x ∈]0, a[ (3.51)

alors u est la somme de u1 et u2 , solutions respectives des problemes (P1) et(P2) suivants :

∂2u1

∂x2(x, y) +

∂2u1

∂y2(x, y) = 0 ∀x ∈]0, a[ et ∀y ∈]0, b[ (3.52)

∂u1

∂n(0, y) = 0 et

∂u1

∂n(a, y) = 0 ∀y ∈]0, b[ (3.53)

u1(x, 0) = ϕ(x) et u1(x, b) = ψ(x) ∀x ∈]0, a[ (3.54)

et :

∂2u2

∂x2(x, y) +

∂2u2

∂y2(x, y) = 0 ∀x ∈]0, a[ et ∀y ∈]0, b[ (3.55)

∂u2

∂n(0, y) = χ(y) et

∂u2

∂n(a, y) = η(y) ∀y ∈]0, b[ (3.56)

u2(x, 0) = 0 et u2(x, b) = 0 ∀x ∈]0, a[ (3.57)

3.5 Equation de Laplace dans un domaine borne

Ω quelconque

Si le domaine Ω est de forme quelconque (ni rectangle, ni cercle), il n’est paspossible de donner une solution explicite comme dans les deux cas precedents.


On peut seulement chercher une solution numerique a l’aide de la methode deselements finis et apres avoir ecrit le probleme sous la forme faible. On obtientcette forme faible en multipliant l’equation (3.1) par une fonction quelconqueϕ(x, y) et en integrant sur le domaine Ω . En utilisant la deuxieme formule deGreen on a : ∫

Ω

ϕ∆u =

∫

∂Ω

ϕ∂u

∂n−

∫

Ω

grad ϕ.grad u (3.58)

d’ou :

0 =

∫

∂Ω

ϕ∂u

∂n−

∫

Ω

grad ϕ.grad u (3.59)

Il reste ensuite a tenir compte des conditions aux bords.Ceci sera etudie en detail en GM5.

3.6 Proprietes fondamentales des fonctions har-

moniques

Une propriete remarquable des fonctions harmoniques, c’est a dire telles que∆u = 0 , est le principe suivant :

3.6.1 Principe du maximum

Theoreme 3.6.1 Si u est une fonction deux fois continument derivable quiverifie ∆u = 0 dans l’ouvert Ω , et si u n’est pas constante, alors u atteintson maximum sur le bord de Ω .

3.6.2 Unicite de la solution

Nous avons utilise des methodes tres diverses pour trouver des solutions del’equation de Laplace avec des conditions de Dirichlet ou de Neumann sur lebord du domaine. La question qui se pose est de savoir si la solution est unique.

Le principe du maximum entraine l’unicite de la solution du probleme suivant.

Theoreme 3.6.2 Le probleme suivant a une solution u et cette solution estunique si Γ1 est un ouvert non vide du bord ∂Ω et si Γ1 ∪ Γ2 = ∂Ω


∆u = 0 dans Ω (3.60)

u = ϕ sur Γ1 (3.61)

∂u

∂n= η sur Γ2 (3.62)

Si Γ2 = ∂Ω et donc si Γ1 est vide, il est clair que, si il y a une solution u , alorsil en a une infinite puisque pour toute constante c , la fonction u + c est aussisolution. Alors, il n’y a pas unicite.

3.6.3 Propriete de la moyenne

Theoreme de la moyenneSi u est une fonction deux fois continument derivable qui verifie ∆u = 0 dans ledisque D , alors la valeur de u au centre est egale a la moyenne des valeurs deu sur le bord de D.

La demonstration est basee sur la troisieme formule de Green :∫

Ω

ϕ∆ψ − ψ∆ϕ =

∫

∂Ω

ϕ∂ψ

∂n− ψ

∂ϕ

∂n(3.63)

On pose ψ = u , on choisit pour fonction ϕ une fonction harmonique dans lecercle D prive de son centre et on prend pour domaine Ω, l’anneau forme par ledisque D prive du disque de rayon ε petit.Dans IR2 on peut prendre pour fonction ϕ la fonction ln r ou r est la distance dupoint considere au centre du disque.On obtient alors le resultat, en faisant tendre ε vers 0 . Un theoreme similaire se

demontre dans une sphere de IR3 (on choisit alors ϕ(r) = 1r).


Chapitre 4

L’equation de la chaleur ouequation de la diffusion

Introduction aux problemes paraboliques.

4.1 Equation de la chaleur dans IRn

Definition 4.1.1 Soit u(x, y, ..., t) une fonction des variables d’espace (x, y, ...)et du temps t , definie sur un domaine D de IRn et pour t positif. L’equation dela chaleur pour la fonction u s’ecrit :

∂u

∂t−∆u = f (4.1)

avec f donnee.

C’est cette equation qui regit, entre autre, l’evolution de la temperature u en unpoint (x, y, z) d’un domaine Ω au cours du temps t en presence d’une source dechaleur volumique definie par f .C’est cette meme equation qui decrit l’evolution de la concentration d’un produitdans un solvant (d’ou le nom d’equation de la diffusion) .

L’etude mathematique de l’equation monodimensionelle (c. a d. dans IR) vapermettre de degager, dans un cas simple, les principales proprietes des problemesregroupes sous le vocable de problemes paraboliques (cf. ch. 6).

4.2 Equation de la chaleur dans IR

Considerons le probleme physique suivant : on veut connaıtre la temperature dansune barre infinie, sans apport de chaleur et dont la temperature est initialement

33


donnee.Le modele correspondant s’ecrit :

trouver u : (x, t) → u(x, t) telle que : (4.2)

∂u

∂t(x, t)− ∂2u

∂x2(x, t) = 0 ∀x ∈ IR et ∀t ∈ IR+ (4.3)

u(x, 0) = u0(x) donnee (4.4)

4.2.1 Transformee de Fourier

Pour resoudre ce probleme nous allons utiliser la transformee de Fourier .

Soit F (ν, t) la transformee de Fourier de u par rapport a la variable d’espace x.Elle est definie par :

F (ν, t) =

∫ +∞

−∞exp(−2iπνx) u(x, t) dx (4.5)

La transformation de Fourier de l’equation (4.3) :

∂

∂tu(x, t)− ∂2

∂x2u(x, t) = 0 (4.6)

donne :∂

∂tF (ν, t) + 4π2ν2F (ν, t) = 0 (4.7)

La resolution de l’equation differentielle du premier ordre en temps ci-dessusdonne donc :

F (ν, t) = exp(−4π2ν2t)F (ν, 0) (4.8)

ou F (ν, 0) est la transformee de Fourier de la condition initiale u0.Or on sait d’apres les tables de transformees de Fourier que :

exp(−4π2ν2t) = F (1√4πt

exp(−x2

4t)) (4.9)

et que :F (f ∗ g) = F (f)F (g) (4.10)

La transformee de Fourier de la solution u est egale au produit des transformeesde Fourier de u0 et 1√

4πtexp(−x2

4t) . Donc u est le produit de convolution de ces

deux fonctions :

u(x, t) =1

2√

πt

∫ +∞

−∞exp(−(x− y)2

4t) u0(y) dy (4.11)

L’equation de la chaleur 35

Cas particulier

Cas de la fonction echelon definie par

u0(x) = 0 pour x < 0u0(x) = a pour x ≥ 0

On obtient alors :

u(x, t) =1

2√

πt

∫ +∞

−∞exp(−y2

4t) u0(x− y) dy =

a

2√

πt

∫ x

−∞exp(−y2

4t) dy (4.12)

En introduisant la fonction erf definie par :

erf(z) =2√π

∫ z

0

exp(−η2) dη (4.13)

et en posant z = x2√

ton a :

u(x, t) =a

2

(1 + erf(

x

2√

t)

)(4.14)

On constate que cette solution est une fonction continue et derivable de x pourtout t strictement positif bien que la donnee initiale soit discontinue en x = 0 .

4.2.2 Commentaires

Nous en deduisons cinq proprietes fondamentales de la solution u de l’equationde la chaleur.

1. La solution en un point particulier depend de la condition initiale en tousles points du domaine. Le domaine de dependance de la solution s’etend audomaine Ω tout entier.

2. Une perturbation en un point quelconque de la solution initiale influenceimmediatement la valeur en tout point de la solution u. On dit que la vitessede propagation est infinie.

3. La valeur ponctuelle de la solution decroıt au cours du temps en 1√t.

4. t doit etre positif. Le phenomene est irreversible, on ne peut pas remonterle temps.

5. L’equation de la chaleur ou de diffusion a un effet regularisant. La donneeinitiale peut etre discontinue, pour tout t strictement positif la solution estune fonction continue et derivable de x .


4.3 Equation de la chaleur sur un segment

On considere une barre de longueur L dont la temperature est fixee a zeroaux extremites et dont la temperature initiale est donnee. L’equation de latemperature au cours du temps s’ecrit :


∂u

∂t(x, t)− ∂2u

∂x2(x, t) = 0 ∀x ∈ [0, L] et ∀t ∈ IR+ (4.16)

u(x, 0) = u0(x) donnee initiale (4.17)

u(0, t) = u(L, t) = 0 Dirichlet homogene (4.18)

4.3.1 Methode de separation des variables

On peut montrer que dans l’espace L2[0, L] des fonctions de carre sommable sur[0, L] , les fonctions propres de l’operateur

− ∂2

∂x2avec conditions de Dirichlet homogenes (4.19)

associees aux valeurs propres λk = k2π2

L2 sont les fonctions φk definies par

φk(x) = sin(kπ

Lx) pour k = 1, 2, ...n, .. (4.20)

On peut verifier que les fonctions φk forment une famille orthogonale de l’espaceL2[0, L] pour le produit scalaire usuel. On sait d’autre part qu’elles engendrentcet espace. Elles forment donc ce qu’on appelle une base Hilbertienne de l’espacede Hilbert L2[0, L].

Si on cherche une solution u dans L2[0, L], cette solution s’exprime donc commeune combinaison lineaire des φk

u(x, t) =∑

k

uk(t)φk(x) (4.21)

de meme f peut s’ecrire sous la meme forme :

f(x, t) =∑

k

fk(t)φk(x) (4.22)

En reportant ces expressions de u et de f dans l’equation aux derivees partielles,on obtient pour chaque composante uk(t) une equation differentielle en temps :

∂uk

∂t(t) +

k2π2

L2uk(t) = fk(t) (4.23)


dont la solution s’ecrit :

uk(t) = uk(0) exp(−k2π2

L2t) +

∫ t

0

exp(−k2π2

L2(t− s))fk(s) ds (4.24)

Dans le cas particulier f = 0 , on trouve :

uk(t) = uk(0) (4.25)

ou les uk(0) representent les coefficients du developpement en serie de Fourier desinus de la donnee initiale u0(x) .On admet la convergence dans L2[0, L] de la serie de Fourier de coefficients uk(t)vers la solution u du probleme et ceci ∀t.

4.3.2 Remarques importantes

La decomposition en modes propres presentee ci-dessus est possible en raison de lapropriete essentielle de linearite du probleme de la chaleur et de son corollaire :le principe de superposition.

La resolution du probleme par separation de variable peut paraitre ici differentede la resolution proposee au chapitre precedent. En fait, on a ici simplementommis la recherche des modes propres qui est laissee aux soins du lecteur. Ceciallege considerablement l’expose mais la demarche est similaire.

On peut, enfin, remarquer l’effet lissant de l’equation de la chaleur. En effet,exp(−k2π2

L2 t) decroit d’autant plus vite que k est grand. Donc les hautes frequencessont plus vites amorties, ce qui a un effet lissant.

4.4 Unicite de la solution

4.4.1 Equation de la chaleur dans un segment

La demonstration fait intervenir une quantite dependant du temps E(t) qui estliee a l’energie du systeme.

Soit u une solution de l’equation de la chaleur :

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= 0 (4.26)


et soit E(t) = 12

∫ L

0|u(x, t)|2 dx , alors d’apres le theoreme de derivation sous le

signe integral,

E ′(t) =

∫ L

0

u(x, t)∂u

∂t(x, t)dx

donc d’apres (4.26) :

E ′(t) =

∫ L

0

u(x, t)∂2u

∂x2(x, t)dx

= [u(x, t)∂u

∂x(x, t)]L0 −

∫ L

0

∂u

∂x(x, t).

∂u

∂x(x, t)dx

Si la condition au bord est une condition de Dirichlet homogene (ou de Neumannhomogene) la relation ci-dessus montre que E ′(t) est une quantite negative, parsuite E(t) est une fonction decroissante du temps. Donc E(t) est une quantitepositive majoree par sa valeur pour t = 0.

On utilise cette proprietes pour demonter l’unicite de la solution.Si u1 et u2 sont deux solutions du probleme :

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= f dans ]0, L[× ]0, T [

u(0, t) = u(L, t) = 0 sur ]0, T [

u(x, o) = u0(x) sur ]0, L[

En posant w = u1 - u2 et en utilisant la linearite et le principe de superposi-tion, on verifie que w verifie le probleme :

∂w

∂t− ∂2w

∂x2= 0 dans ]0, L[× ]0, T [

w(0, t) = w(L, t) = 0 sur ]0, T [

w(x, o) = 0 sur ]0, L[

Donc si on note E(t) = 12

∫Ω|w(x, t)|2 dx comme E(0) = 1

2

∫Ω|w(x, 0)|2 dx = 0,

et que E(t) est une fonction positive decroissante, on en deduit E(t) = 0 pourtout t et donc que la fonction w est identiquement nulle .Donc u1 = u2 , ce quiprouve l’unicite de la solution.

La demontration est encore valable pour une condition de Neumann sur lebord.


4.4.2 Equation de la chaleur dans un domaine quelconque

Comme precedemment, on etudie l’evolution au cours du temps de la quantite :

E(t) =1

2

∫

Ω

|u(x, t)|2 dx (4.27)

sachant que u est solution de l’equation :

∂u

∂t−∆u = f

avec des conditions au bord de type Neumann ou Dirichlet.La demonstration est laissee au lecteur. Elle fait intervenir les formules integralesde Gauss.


Chapitre 5

L’equation des ondes

Introduction aux problemes hyperboliques.

5.1 L’equation des ondes dans IRn

Definition 5.1.1 Soit u(x, y, ..., t) une fonction des variables d’espace (x, y, ...)et du temps t , definie sur un domaine Ω de IRn et pour t positif. L’equation desondes pour la fonction u s’ecrit :

∂2u

∂t2−∆u = 0 (5.1)

C’est cette equation qui regit, entre autre, l’evolution de la pression u en un point(x, y, z) d’un domaine Ω au cours du temps t .L’etude mathematique de l’equation monodimensionelle (c. a d. dans IR) vapermettre de degager, dans un cas simple, les principales proprietes des problemesregroupes sous le vocable de problemes hyperboliques (cf. ch. 6).Les developpements suivants sont largement inspires du livre :

Methodes mathematiques de la physique de Laurent Schwartz (5.2)

dont la lecture est fortement recommandee.

5.2 Equation des ondes dans IR

L’etude des vibrations d’une corde infinie, libre de toute sollicitation, consistea etudier les variations du deplacement transversal u au cours du temps. On sedonne la position u et la vitesse du deplacement transversal u au temps zero.

41


Le modele correspondant s’ecrit :


∂2u

∂t2(x, t)− ∂2u

∂x2(x, t) = 0 ∀x ∈ IR et ∀t ∈ IR+ (5.4)

u(x, 0) = u0(x) donnee (5.5)

∂u

∂t(x, 0) = u1(x) donnee (5.6)

5.2.1 Changement de variables

Posonsy = x + ct z = x− ct

En remplacant dans l’equation les derivees partielles par rapport a t et x parleurs expressions en fonctions des derivees partielles par rapport aux nouvellesvariables y et z, on obtient

∂2u

∂y∂z= 0 (5.7)

d’ou l’on deduit :∂u

∂z= g1(z) (5.8)

soit :u = g(z) + f(y) (5.9)

Ce qui donne en definitive l’expression remarquable suivante :

u(x, t) = f(x + ct) + g(x− ct) (5.10)

Prenant en compte les conditions initiales

u(x, 0) = f(x) + g(x) = u0(x)∂

∂tu(x, 0) = cf ′(x)− cg′(x) = u1(x) (5.11)

on obtient :

f(x) =1

2u0(x) +

1

2c

∫ x

0

u1(s)ds (5.12)

et

g(x) =1

2u0(x)− 1

2c

∫ x

0

u1(s)ds (5.13)

d’ou la formule de d’Alembert :

u(x, t) =1

2[u0(x + ct) + u0(x− ct)] +

1

2c

∫ x+ct

x−ct

u1(s)ds (5.14)

L’equation des ondes 43

5.2.2 Commentaires

Nous en deduisons quatre proprietes fondamentales de la solution de l’equationdes ondes

1. L’expression f(x+ct) prend au point x et a l’instant t la meme valeur qu’aupoint x+ct au temps zero. De meme g(x−ct) prend au point x et a l’instantt la valeur qu’elle prenait au point x − ct au temps zero. La solution u aupoint x et au temps t apparaıt comme la somme de deux ondes, l’unef se propageant avec une vitesse −c, donc de droite a gauche, l’autre g sepropageant avec une vitesse c donc de gauche a droite. c apparait commeune vitesse de propagation d’onde (mais non bien sur comme la vitesse despoints de la corde).

2. Domaine de dependance : la solution au point x et au temps t ne dependque des valeurs des conditions initiales u0 et u1 aux points de l’intervalle[x−ct, x+ct]. Inversement les conditions initiales au temps zero en un pointξ n’influencerons la solution aux instants t que pour les seules abscisses xcomprises entre ξ − ct et ξ + ct. La figure 1 ci-dessous illustre simplementcette notion fondamentale de domaine de dependance.

Les droites x − ct = cste et x + ct = cste s’appellent les droitescaracteristiques.

3. Si u1 = 0 , la solution ne depend que des valeurs de u0 aux points x− ct etx + ct. Une perturbation en un point quelconque de la solution initiale setransmet pour moitie vers la droite avec une vitesse c et pour moitie versla gauche avec la meme vitesse absolue c car dans ce cas

u(x, t) =1

2[u0(x− ct) + u0(x + ct)] (5.15)

Il est alors facile d’obtenir une solution a partir de conditions initialessimples par transport et en particulier d’observer l’evolution de solutionsinitiales discontinues de type echelon.

4. La variable t peut etre positive ou negative. Le phenomene est reversible,on peut remonter le temps et retrouver, par resolution de problemesretrogrades, la solution a un instant precedent.


5.3 L’equation des ondes dans un segment

On considere une corde de longueur L fixee aux extremites. L’equation dudeplacement transversal au cours du temps s’ecrit :


∂2u

∂t2(x, t)− ∂2u

∂x2(x, t) = 0 ∀x ∈ [0, L] et ∀t ∈ R+ (5.17)

u(x, 0) = u0(x) donnee initiale (5.18)

∂u

∂t(x, 0) = u1(x) donnee initiale (5.19)

u(0, t) = u(L, t) = 0 Dirichlet homogenes (5.20)

5.3.1 Methode de separation des variables

On utilise, encore une fois, les fonctions φk definies par

φk(x) = sin(kπ

Lx) k = 1, 2, ...n, .. (5.21)

qui sont les fonctions propres de l’operateur

− ∂2

∂x2avec conditions de de Dirichlet homogenes sur [0, L] (5.22)

associees aux valeurs propres λk = k2π2

L2 . Comme on le sait, les fonctions φk

forment une famille orthogonale de l’espace de fonctions L2[0, L]. De plus ellesengendrent cet espace L2[0, L].

Si on cherche u dans cet espace, on peut donc exprimer la solution u commecombinaison lineaire des φk

u(x, t) =∑

k

uk(t)φk(x) (5.23)

En reportant cette expression de u dans l’equation aux derivees partielles,on obtient un ensemble d’equations differentielles du second ordre en tempsindependantes pour chaque k :

∂2uk

∂t2+

k2π2

L2uk = 0 (5.24)

Dans ce cas sans second membre, la solution s’ecrit sous la forme generale :

uk(t) = Ak cos(kπ

Lct) + Bk sin(

kπ

Lct) (5.25)

L’equation des ondes 45

On trouve donc :

u(x, t) =∑

k

[ Ak cos(kπ

Lct) + Bk sin(

kπ

Lct) ] sin(

kπ

Lx) (5.26)

Les coefficients Ak et Bk sont determines a l’aide des conditions initiales :

∂

∂tu(x, t) =

∑

k

[−kπ

LcAk sin(

kπ

Lct) +

kπ

LcBk cos(

kπ

Lct) ] sin(

kπ

Lx) (5.27)

d’ou :

u0(x) =∑

k

Aksin(kπ

Lx) (5.28)

u1(x) =∑

k

kπ

LcBksin(

kπ

Lx) (5.29)

Il suffit donc de connaitre les developpements en series de sinus des donneesinitiales pour determiner les coefficients Ak et Bk .

5.3.2 Remarques

Les donnees initiales sont definies pour ∀x ∈ [0, L] . Les calculs precedants sontdonc valables pour ∀x ∈ [0, L] et ∀t ∈ IR+ Si on veut prolonger u(x, t) pour desx exterieurs a [0, L] , comme les modes propres correspondants aux conditions deDirichlet homogenes sur [0, L] sont les fonctions φk(x) = sin(kπ

Lx) , il est naturel

de prolonger u en une fonction impaire par rapport a x et de periode 2L en x.Par ailleurs d’apres (5.26) la fonction u est periodique en t de periode 2L/c.

Contrairement a l’equation de la chaleur, il n’est pas necessaire ici que t soitpositif.


Chapitre 6

Classification des E.D.P.quasi-lineaires du deuxieme ordre

6.1 E.D.P. quasi-lineaires du deuxieme ordre

definies dans R2

6.1.1 Definitions

Une equation aux derivees partielles quasi-lineaire du second ordre est du type :

a(x, y)∂2u

∂x2+ 2b(x, y)

∂2u

∂x∂y+ c(x, y)

∂2u

∂2y= F (x, y, u,

∂u

∂x,∂u

∂y) (6.1)

ou u(x, y) est la fonction inconnue et ou a, b, c et F sont quatres fonctions definiessur un domaine Ω ⊂ R2 et a valeurs dans R.

Definition 6.1.1 Une courbe est dit caracteristique par rapport a l’e.d.p. (6.1)si on a :

a(x, y) (dy)2 − 2b(x, y) dxdy + c(x, y) (dx)2 = 0 (6.2)

Si a = 0 et c = 0 , ce sont des droites x = cste et y = cste. Si a 6= 0, on peutaussi ecrire l’equation (6.2) sous la forme :

a(x, y) (dy

dx)2 − 2b(x, y)

dy

dx+ c(x, y) = 0 (6.3)

L’equation du second degre a coefficents reels en dydx

(6.3) peut avoir 2 racinesreelles ou 1 double ou 2 complexes conjuguees selon le signe du disciminant4(b2 − ac). Les equations aux derivees partielles quasi-lineaires du second ordresont classees en trois categories selon le signe de b2 − ac.

47


6.1.2 Classification des e.d.p. quasi-lineaires du secondordre

– si b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) > 0 dans un domaine D , l’equation est ditehyperbolique dans ce domaine et elle y admet deux familles de courbescaracteristiques,

– si b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) = 0 dans un domaine D , l’equation est diteparabolique dans ce domaine et elle y admet une famille de courbescaracteristiques,

– si b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) < 0 dans un domaine D , l’equation est diteelliptique dans ce domaine et elle n’admet pas de courbes caracteristiquesreelles.

6.2 Reduction a la forme standard

6.2.1 Equations hyperboliques

Soit ϕ(x, y) = cste et ψ(x, y) = cste les equations cartesiennes des deux famillesde courbes caracteristiques.En faisant le changement de variables X = ϕ(x, y) et Y = ψ(x, y) , l’equation(6.1) devient

∂2U

∂X∂Y= G(X,Y, U,

∂U

∂X,∂U

∂Y) (6.4)

ou U(X,Y ) = U(ϕ(x, y), ψ(x, y)) = u(x, y).En faisant le changement de variables X = ϕ(x, y) + ψ(x, y) et Y = ϕ(x, y) −ψ(x, y) , l’equation (6.1) devient

∂2U

∂X2− ∂2U

∂Y 2= H(X, Y, U,

∂U

∂X,∂U

∂Y) (6.5)

Ce sont les deux formes standards d’une equation hyperbolique.On constate que l’equation des ondes fait partie des equations de type hyperbo-lique.

6.2.2 Equations paraboliques

Soit ϕ(x, y) = cste l’ equation cartesienne de l’unique famille de courbescaracteristiques.En faisant X = ϕ(x, y) et en posant Y egale a une fonction arbitraire de x et ymais independante de la fonction ϕ(x, y), l’equation (6.1) devient

∂2U

∂X2= G(X, Y, U,

∂U

∂X,∂U

∂Y) (6.6)

Classification des E.D.P. du deuxieme ordre 49

Ceci est la forme standard d’une equation parabolique .On constate que l’equation de la chaleur fait partie des equations de typeparabolique.

6.2.3 Equations elliptiques

L’equation n’admet pas de courbes caracteristiques reelles mais elle admet deuxfamilles de courbes caracteristiques complexes.Soit ϕ(x, y)+iψ(x, y) = cste et ϕ(x, y)−iψ(x, y) = cste les equations cartesiennesde ces courbes.En faisant le changement de variables X = ϕ(x, y) et Y = ψ(x, y) , l’equation(6.1) devient

∂2U

∂X2+

∂2U

∂Y 2= G(X, Y, U,

∂U

∂X,∂U

∂Y) (6.7)

En faisant le changement de variables X = ϕ(x, y) + iψ(x, y) et Y = ϕ(x, y) −iψ(x, y) , l’equation (6.1) devient

∂2U

∂X∂Y= H(X, Y, U,

∂U

∂X,∂U

∂Y) (6.8)

mais les coefficients sont alors des nombres complexes.Ce sont les deux formes standards d’une equation elliptiques.On constate que l’equation de Laplace fait partie des equations de type elliptique.

6.2.4 Exemple

Soit l’equation :

x2∂2u

∂x2+ 2xy

∂2u

∂x∂y+ y2∂2u

∂2y= 0 (6.9)

On a b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) = 0 , l’equation est parabolique, elle y admet unefamille de courbes caracteristiques definies par :

x2 (dy)2 − 2xy dxdy + y2 (dx)2 = 0 (6.10)

c’est a dire dydx

= yx

, d’ou y = kx, ou encore yx

= k. On pose donc X = yx

et onchoisit, par exemple, Y = y.L’equation (??) devient :

Y 2 ∂2U

∂Y 2= 0 ou

∂2U

∂Y 2= 0 (6.11)

La forme generale des solutions est :

U(X,Y ) = f(X)Y + g(X) (6.12)


d’ouu(x, y) = f(

y

x)y + g(

y

x)

Remarque : Le choix de la deuxieme variable est arbitraire, il faut seulementque les fonctions definissant X et Y soient fonctionnellement independantes. Ilfaut et il suffit pour cela que le determinant jacobien du changement de variablesoit different de zero.

det

[ ∂X∂x

∂X∂y

∂Y∂x

∂Y∂y

]6= 0 (6.13)

6.3 E.D.P. quasi-lineaires du deuxieme ordre

definies dans R3

Si l’E.D.P. s’ecrit :3∑

i=1,j=1

aij∂2u

∂xi∂xj

= F (x1, x2, x3, u,∂u

∂x1

,∂u

∂x2

,∂u

∂x3

) (6.14)

et si la matrice A = [aij] a des valeurs propres reelles alors l’E.D.P. est de type :– elliptique si toutes les valeurs propres ont memes signes,– hyperbolique si au moins une valeur propre a un signe different,– parabolique si une valeur propre au moins est nulle.

6.4 Probleme de Cauchy

Une courbe de R2 peut etre definie soit par son equation cartesienne :

f(x, y) = 0 (6.15)

soit par sa representation parametrique :

x = x(t)

y = y(t) (6.16)

exemple : un cercle de centre l’origine et de rayon 3 a pour equation

x2 + y2 = 9 (6.17)

et une de ses representations parametriques est :

x = 3 cos(θ) (6.18)

y = 3 sin(θ) (6.19)

avec θ ∈]− π, π] .

Classification des E.D.P. du deuxieme ordre 51

Definition 6.4.1 Le probleme de Cauchy relatif a une courbe (C) consiste achercher (si elle existe) la solution de l’equation

a(x, y)∂2u

∂x2+2b(x, y)

∂2u

∂x∂y+ c(x, y)

∂2u

∂2y= F (x, y, u,

∂u

∂x,∂u

∂y) dans Ω ⊂ R2,

(6.20)qui verifie

u(x, y) = g(x, y) sur (C) (6.21)

du

dn(x, y) = h(x, y) sur (C) (6.22)

Theoreme 6.4.1 Si la courbe (C) n’est pas caracteristique le probleme de Cau-chy a une solution et cette solution est unique.Si la courbe (C) est une courbe caracteristique le probleme de Cauchy peut ne pasavoir de solution ou il peut en avoir une infinite.

Demonstration :Montrons que la courbe (C) ne doit pas etre caracteristique pour que le problemede Cauchy puisse avoir une solutionSe donner u sur (C) implique que l’on connait aussi la derivee de u dans ladirection tangentielle a la courbe et si on se donne en plus du

dncela revient a se

donner u, ∂u∂x

,et ∂u∂y

sur (C).

Si la courbe (C) est definie par la representation parametrique

x = x(s) (6.23)

y = y(s) (6.24)

une condition necessaire pour qu’il y aıt une solution unique, est que l’equation(6.20) permette de definir de facon unique sur (C) les derivees partielles d’ordredeux de u.On sait que

u(x(s), y(s)) = g(x(s), y(s)) = G(s)

∂u

∂x(x(s), y(s)) = h1(x(s), y(s)) = H1(s)

∂u

∂y(x(s), y(s)) = h2(x(s), y(s)) = H2(s)

Des 2 dernieres equations on deduit

x′(s)∂2u

∂x2+ y′(s)

∂2u

∂x∂y= H ′

1(s)

x′(s)∂2u

∂x∂y+ y′(s)

∂2u

∂y2= H ′

2(s)


et de (6.20)

a(x(s), y(s))∂2u

∂x2+2b(x(s), y(s))

∂2u

∂x∂y+c(x(s), y(s))

∂2u

∂2y= F (x(s), y(s), G(s), H1(s), H2(s))

Pour que ce systeme lineaire de 3 equations a 3 inconnues ∂2u∂x2 ,

∂2u∂x∂y

, ∂2u∂y2 , aıt une

solution unique il faut et il suffit que le determinant soit nul, d’ou

∣∣∣∣∣∣

x′ y′ 00 x′ y′

a 2b c

∣∣∣∣∣∣= a (y′)2 − 2b x′y′ + c (x′)2 6= 0

Comme x′(s) = dxds

et que y′(s) = dyds

, on reconnait la condition definissant unecourbe qui n’est pas caracteristique.

RemarqueSi la fonction u(x, y) presente une discontinuite en un point , cette discontinuitese propage le long d’une courbe caracteristique.

Chapitre 7

Principes generaux des methodesnumeriques

7.1 Introduction

Les mathematiques utilisent couramment les notions d’infini et de continu. Lasolution exacte d’un probleme d’equations differentielles ou aux derivees partiellesest une fonction continue. Les ordinateurs ne connaissent que le fini et le discret.Les solutions approchees seront calculees en definitive comme des collectionsde valeurs discretes sous la forme de composantes d’un vecteur solution d’unprobleme matriciel.

7.2 Taille des problemes et stockage memoire

La taille du stockage memoire est gouvernee par deux criteres.

– La precision des resultats qui conduit a des exigences sur la finesse demaillage. En particulier, il sera necessaire, afin d’assurer une bonne precisionde la solution approchee, de raffiner la discretisation dans les zones defort gradient : fissures, discontinuites, ondes de chocs, singularites, coucheslimites, etc.

– La necessite d’une bonne representation du domaine physique dans le cas deproblemes exterieurs : ecoulements autour d’obstacles, propagation d’ondes,etc, problemes qui, theoriquement, se posent en milieu infini et qui doivent,evidemment etre reduits dans des domaines de taille finie lorsqu’ils sontmodelises sur un ordinateur.

Disons, pour simplifier, que l’ordre de grandeur du nombre de noeuds d’unmaillage, qui va conditionner le nombre d’inconnues et donc la taille des systemesa resoudre est :


– en dimension un d’espace : environ de l’ordre de 100 et donc,– en dimension deux d’espace : environ de l’ordre de 104

– en dimension trois d’espace : environ de l’ordre de 106

7.3 Memoires d’ordinateur

On distingue, sur un ordinateur, plusieurs types de memoire, selon leurtechnologie et la rapidite d’acces a un element stocke.

– memoires caches, les plus rapides d’acces, mais aussi les plus petites. L’ordrede grandeur aujourd’hui pour un PC est de 512K octets avec un tempsd’acces d’environ 10 nanosecondes. Pour un serveur performant, on peutarriver a des caches de 4 megaoctets avec des temps d’acces de l’ordre dequelques nanosecondes.

– memoires vives, dont la taille pour un bon PC est aujourd’hui aux alentoursde 512 megaoctets, jusqu’a quelques 4 gigaoctets pour un gros serveur, avecun temps d’acces inferieur a 70 nanosecondes

– memoires disques, Pour ces memoires la capacite est quasiment illimitee(plusieurs dizaines de gigaoctets) mais avec un temps d’acces tres long : del’ordre de 5 millisecondes.

7.4 Vitesse de calcul

Les performances en temps de calcul se mesurent d’une part par la vitessed’horloge, actuellement de l’ordre de 500 megahertz, et plus precisement ennombre d’operations flottantes par secondes, de l’ordre du gigaflops pour unebonne machine actuelle. Par exemple une resolution de systeme lineaire de nequations a n inconnues, prend, par la methode du pivot de Gauss, de l’ordre den3

3operations. La resolution d’un systeme 1000 × 1000 prendra donc environ

1/3 secondes sur une machine a un gigaflops. Actuellement, compte-tenu dela difficulte qu’il y a a comparer les performances de machines de technologiedifferentes, on prefere mesurer les vitesses de calcul sur des batteries de testsnormalises. Ceci conduit a une performance mesuree en SPEC. Pour donner unordre de grandeur, les microprocesseurs les plus rapides aujourd’hui atteignenten flottants de l’ordre de 50 SPEC.

7.5 Strategies de calcul

Les caracteristiques techniques des materiels conditionnent les strategies decalcul. Par exemple, il est souvent impossible de stocker en memoire vive les

Principes generaux 55

systemes d’equations provenant de problemes industriels reels tridimensionnels.Et ceci, meme en appliquant des techniques de numerotation des inconnues et destockage optimaux. Pour ces gros cas de calcul, on devra choisir des methodes deresolution iteratives qui evitent le stockage des matrices et n’exigent que celui devecteurs de meme taille que le vecteur des inconnues. Par contre, ces methodesne convergent pas forcement rapidement et peuvent donc etre plus gourmandesen temps de calcul. Il y a souvent opposition entre gain en stockage memoire etgain en temps de calcul. Il faudra donc choisir un compromis en fonction de sonmateriel et du probleme a resoudre.

7.6 Representation des nombres dans un ordi-

nateur

Repetons-le, l’ordinateur appartient au domaine du discret et du fini. Il nepeut contenir qu’un nombre fini (meme s’il est tres grand) d’informations. Lesmathematiques nous ont familiarises avec l’usage de l’infini et du continu, etbeaucoup de formules mathematiques utilisent ces concepts. La traduction de cesformules sur un ordinateur introduit donc necessairement une erreur.

Le calculateur electronique utilise la numerotation binaire. L’unite d’informationest le bit (binary digit en anglais). En numerotation binaire un nombre entierX s’ecrit uniquement avec les chiffres 0 et 1. On obtient sa representation en ledeveloppant en puissances de 2 . Ainsi :

X =

p∑i=0

ai 2i s’ecrit X = apap−1.....a0 (7.1)

Donc avec n digits binaires, on peut representer tous les nombres entiers de0000...0 a 1111...1, soit 2n nombres compris entre 0 et 2n − 1. Par exemple avec1 octet, c’est-a-dire 8 bits, on dispose de 256 possibilites de representation (onpeut representer tous les nombres compris entre 0 et 255).

Nous renvoyons aux ouvrages d’informatique generale pour tout ce qui concerneles codages classiques de l’information. Nous voudrions par contre rentrer dansle detail pour ce qui concerne la representation des nombres dans les unites decalcul qui est fondamentale pour le numericien. C’est elle qui explique les erreursd’arrondis.

On distingue sur un ordinateur les “entiers”, les “reels” ou nombres flottants etdans certains langages les “reels” ou nombres flottants en double precision. Leprobleme pour l’utilisateur provient de ce que ces denominations sont trompeusescar les categories entiers, reels, en informatique, ne correspondent pas auxdefinitions mathematiques.


7.7 Representation des differents types numeriques

7.7.1 Les entiers

Ils sont representes par une suite de bits organises en octets. Par exemple unentier a 2 octets occupera 16 bits (216 = 65536) Un entier 2 - octets machinecorrespond donc a un entier mathematique compris entre - 32 768 et 32 767.

Le type entier 4 - octets (232 = 4294967296) permet la representation des valeursentieres comprises entre - 2 147 483 648 et 2 147 483 647.

Les operations sur les entiers, dans la mesure ou le resultat est un entierrepresentable en machine, s’effectuent exactement.

7.7.2 Les reels ou nombres flottants

Chiffres significatifs

C’est la notion importante qui justifie l’ecriture en virgule flottante. Le butde cette representation est d’obtenir, pour un encombrement memoire donne, uneventail de valeurs suffisant avec la plus grande precision possible. Il s’agit de nepas perdre de place memoire en caracteres inutiles.

Pour plus de clarte, nous nous placerons dans le systeme de numerotationdecimale. Supposons que nous disposions de 10 caracteres dont la virgule et lesigne. Dans une representation a virgule fixe, nous ne pourrons ecrire que lesdecimaux du type suivant :

±123, 45678

On voit donc que l’eventail des nombres possibles est tres limite (comme pour lesentiers). Le plus petit nombre, en valeur absolue, representable etant :

±, 00000001

Sur ce dernier exemple, 7 caracteres ont ete occupes par la representation dezeros. Le seul chiffre significatif est le 1.

Nombres flottants

Un nombre flottant s’ecrit sous la forme suivante :

X = ±a.bn (7.2)

a est la mantisse, b la base, n l’exposant.

Placons-nous a nouveau en base 10 et supposons que nous disposions de 10caracteres. Repartissons-les comme suit :


1 pour le signe du nombre

3 pour l’exposant dont un pour son signe

les 6 caracteres restants seront affectes a la mantisse.

On obtient ainsi des representations du type suivant :

±, 123456 10±78

L’adoption d’une mantisse normalisee telle que le premier caractere a droite de lavirgule soit different de zero assure un nombre maximal de chiffres significatifs etdonc une meilleure precision. D’autre part il devient inutile de stocker la virgule,si l’on convient que, par definition, la mantisse representee par un nombre entiernaturel a 6 chiffres sera un nombre decimal compris entre 0, 100000 et 0, 999999.Il est egalement inutile de stocker la base qui sera une constante pour tous lesnombres flottants.

Dans cette representation, on dispose d’un eventail beaucoup plus large entre±0, 100000 10−99 et ±0, 999999 10+99.

Exemple : Supposons que l’on cherche a representer π avec la plus grande precisionpossible. Dans ce systeme a mantisse normalisee on obtient :

+0, 314159 10+1

Considerons a present la representation de π10000

avec une mantisse normalisee,nous obtenons : +0, 314159 10−3 et donc le meme nombre (6) de chiffres signifi-catifs que pour p et une precision qui passe a 10-9 . ( Si l’on n’avait pas imposeun chiffre non nul comme premier chiffre apres la virgule, on aurait obtenu 0,000314 101 avec une precision de 10-5 seulement ).

7.7.3 La representation standard

La breve introduction precedente permet de comprendre le choix fait par lesprincipaux constructeurs pour representer les reels en machine. Nous reprenonsla forme

X = ±a.bn (7.3)

avec

a : mantisse, β : base, n : exposant, β est egal a 2, a et n sont representes pardes binaires

Voici le format standard d’un nombre reel en simple precision :

Ce nombre occupe 4 octets.


- son exposant est stocke sur un octet

- son signe sur 1 bit

- sa mantisse occupe les 23 bits restants.

Donc l’exposant prend toutes les valeurs entieres entre - 128 et + 127 . La mantisseest representee par t = 23 caracteres binaires selon l’ecriture : d1d2...dt avec d1 = 1

Elle correspond au nombre :

X =d1

β+

d2

β2+

d3

β3+ ....

dt

βt(7.4)

soit dans ce cas au nombre :

X =d1

2+

d2

22+

d3

23+ ....

dt

223(7.5)

Consequences de ce choix de representation

1) Le plus petit nombre en valeur absolue ou zero machine est le nombred’exposant minimal L et de mantisse 100....0.

Le plus petit nombre obtenu est ainsi :

X =1

ββL = βL−1 (7.6)

Dans notre exemple L = −128, b = 2 Le zero machine vaut : 2−129 '1, 47 10−39.

2) Le plus grand nombre en valeur absolue ou infini machine est le nombred’exposant maximal U et de mantisse 111.....1. La mantisse vaut donc

a =1

β+

1

β2+

1

β3+ ....

1

βt= 1− β−t (7.7)

avec β = 2 et U = 127 , on obtient un infini machine de :

(1− 2−23)2127 = 1, 7 1038 (7.8)

3) L’ecart entre deux nombres successifs d’exposant n (ainsi que l’ecart entre leplus grand nombre d’exposant n et le plus petit nombre d’exposant n + 1) vaut :

2−t.2n


Cet ecart croıt exponentiellement avec n. Ceci explique pourquoi la precision envaleur absolue des calculs flottants est d’autant moins bonne que les nombressont grands.

Ainsi, la meilleure precision possible pour des calculs sur des nombres de l’ordrede 1, correspondant a des nombres d’exposant n = 0 sera :

2−t = 2−23 ' 1, 19 10−7 (7.9)

Pour des nombres de l’ordre de 1000, correspondant a un exposant n =10 (210 = 1024) , la meilleure precision possible tombe a

2−23210 = 213 ' 1, 22 10−4 (7.10)

Un grand nombre d’erreurs d’arrondis catastrophiques s’explique ainsi : oncherche a obtenir, lors d’un calcul sur ordinateur, un nombre petit par differencede nombres grands.

Un exemple d’erreurs d’arrondis

Essayons de calculer sur un ordinateur donnant 7 chiffres significatifs laquantite suivante :

S = 1000−√

999999 (7.11)

La machine opere de la maniere suivante : elle calcule√

999999 = 999, 9995 avec7 chiffres significatifs. Puis elle fait la soustraction.

Pour faire une soustraction, l’ordinateur donne aux termes de la soustraction lememe exposant. L’exposant choisi est le plus grand :

1000 s’ecrit 0, 1000000 104 avec 7 chiffres significatifs

999, 9995 s’ecrit 0, 9999995 103 avec 7 chiffres significatifs.

L’ordinateur commence par choisir comme exposant 4 . Du coup, nous perdonsun chiffre significatif pour 999, 9995 qui s’ecrit : 0, 0999999 104.

La soustraction donne alors le resultat suivant : 0, 0000001 104 soit : 0, 001

En conclusion, sur une machine calculant avec 7 chiffres significatifs de precision,on obtient : S ' 0, 001

Si l’on avait dispose d’une machine plus precise, a 9 chiffres significatifs exacts,on aurait obtenu les calculs suivants :

1000 = 0, 1000000000 104

√999999 = 0, 999999500 103 = 0, 099999950 104


1000−√

999999 = 0, 000000050 104

soit 0,0005Avec une machine a 9 chiffres significatifs, on obtient donc un bon resultat :

S = 0, 0005

On constate qu’avec 7 chiffres significatifs le resultat etait totalement errone avecune erreur relative de 100 pour 100.

Cependant en conduisant les calculs differemment, on aurait pu obtenir le bonresultat meme dans le cas de calculs avec 7 chiffres exacts. Mathematiquement,on a l’egalite suivante :

S = 1000−√

999999 =1

1000 +√

999999

Calculons S selon cette deuxieme formule sur notre machine a 7 chiffres : onobtient :

1000 soit 0, 1000000 104

+√

999999 soit 0, 0999999 104

= 0, 1999999 104

La division1, 000000

0, 1999999 104donne cette fois le bon resultat 0, 0005000.

Un autre exemple classique : le developpement de l’exponentielle

Calculons une valeur approchee de e−10,2 sur un ordinateur. Si l’on utilise ledeveloppement de Taylor :

e−10,2 ' 1− 10, 2

1!+

10, 22

2!− 10, 23

3!.... + (−1)n 10, 2n

n!

on est dans la situation catastrophique ou l’on cherche a calculer un nombre del’ordre de 3.7 10−5 par differences entre nombres dont le plus grand est de l’ordrede 3.3 103. Comme sur des nombres de cet ordre la precision n’est que de 10−3

environ , on ne pourra evidemment pas obtenir, ne serait-ce qu’un bon chiffresignificatif pour le resultat. Par contre on a egalement,

e−10,2 =1

e10,2

et on obtiendra un bon resultat par le calcul prealable de

e10,2 ' 1 +10, 2

1!+

10, 22

2!+

10, 23

3!.... +

10, 2n

n!


En realite, le calcul de l’exponentielle sur un ordinateur se fait de la facon sui-vante. On isole les puissances entieres de e que l’on calcule par multiplicationssuccessives. Il ne reste alors qu’a prendre le developpement de Taylor de l’expo-nentielle pour la partie restante de l’argument qui est donc < 1. Ce developpementest donc tres precis avec peu de termes.

En conclusion, Ces exemples montrent qu’entre le calcul mathematique exact etle calcul sur ordinateur, les arrondis introduisent des erreurs qui peuvent avoirdes effets extremement importants. Certaines formulations mathematiques sontmoins sensibles aux erreurs d’arrondis, on dit qu’elles sont plus stables. Ce sontelles qu’il faut le plus possible utiliser. En realite, le calculde l’exponentiellesurun ordinateur se fait de la facon suivante : on isole les puissances entieres de eque l’on calcule par multiplications successives.

7.8 Grandes familles de methodes d’approxima-

tion des equations de la physique

En vue du passage d’un probleme exact (continu) au probleme approche (discret),on dispose de plusieurs techniques concurrentes : les differences finies, les elementsfinis et les volumes finis. Chacune de ces trois methodes correspond a uneformulation differente des equations de la physique :

– equilibre des forces en chaque point pour les differences finies– minimisation de l’energie ou principe des travaux virtuels pour les elements

finis– loi de conservation et calcul des flux pour la methode des volumes finis.

Examinons rapidement les avantages et les inconvenients de chacune de ces troismethodes.

7.8.1 Differences finies

La methode des differences finies consiste a remplacer les derivees apparaissantdans le probleme continu par des differences divisees ou combinaisons de valeursponctuelles de la fonction en un nombre fini de points discrets ou noeuds dumaillage.

Avantages : grande simplicite d’ecriture et faible cout de calcul.

Inconvenients : Limitation de la geometrie des domaines de calculs, difficultes deprise en compte des conditions aux limites et en general absence de resultats demajoration d’erreurs.


7.8.2 Elements finis

La methode des elements finis consiste a approcher, dans un sous-espace dedimension finie, un probleme ecrit sous forme variationnelle (comme minimisa-tion de l’energie, en general) dans un espace de dimension infinie. La solution ap-prochee est dans ce cas une fonction determinee par un nombre fini de parametrescomme, par exemple, ses valeurs en certains points (les noeuds du maillage).Avantages : Traitement possible de geometries complexes, determination plusnaturelle des conditions aux limites, possibilite de demonstrations mathematiquesde convergence et de majoration d’erreurs.Inconvenients : Complexite de mise en oeuvre et cout en temps de calcul et enmemoire.

7.8.3 Volumes finis

La methode des volumes finis integre, sur des volumes elementaires de formesimple, les equations ecrites sous forme de loi de conservation. Elle fournitainsi de maniere naturelle des approximations discretes conservatives et estdonc particulierement bien adaptee aux equations de la mecanique des fluides :equation de conservation de la masse, equation de conservation de la quantite demouvement, equation de conservation de l’energie.Sa mise en oeuvre est simple si les volumes elementaires sont des rectangles (ou desparallelepipedes rectangles en dimension 3). Cependant la methode des volumesfinis permet d’utiliser des volumes elementaires de forme quelconque, donc detraiter des geometries complexes, ce qui est un avantage sur les differences finies.Il existe une grande variete de methodes selon le choix de la geometrie des volumeselementaires et des formules de calcul des flux. Par contre, on dispose de peu deresultats theoriques de convergence.

Chapitre 8

Introduction aux differencesfinies

8.1 Un exemple de probleme en dimension 1

−u′′(x) = f(x) a < x < bu(a) = α u(b) = β

(8.1)

C’est le probleme elliptique modele en dimension un. On considere, ici, le cas deconditions aux limites de Dirichlet.

Interpretations physiques

– barre elastique sous un chargement axial.– corde elastique soumise a un chargement transverse.– conduction thermique dans une barre.

La methode des elements finis fera l’objet du cours de cinquieme annee. Nousnous limiterons ici a l’expose des techniques de differences finies. Ces techniquessont les techniques de base de toutes les approches discretes et on les retrouve, ades niveaux divers, dans toutes les familles de methodes.

8.2 Differences finies en dimension un

Toutes les methodes numeriques presupposent la discretisation du domainegeometrique afin de passer d’un probleme continu a une infinite d’inconnues a unprobleme discret ne comptant qu’un nombre fini d’inconnues.Dans le cas des differences finies en dimension un, on discretise l’intervalle continu[a, b] en un nombre fini de points xi.


a bxixi−1 xi+1

Fig. 8.1 – Discretisation en differences finies d’un segment [a,b].

On remplace ainsi le probleme continu par celui de la recherche de valeursapprochees ui des solutions exactes u(xi) aux points xi de la discretisation.

Mais on ne peut plus, dans ce cas, conserver les operateurs de derivation quis’appliquent a des fonctions continues. On les remplace par des analogues discrets,les differences divisees ou differences finies.

Le type de conditions aux limites conditionne le nombre d’inconnues du problemediscret. Dans le cas de conditions de Dirichlet, la solution est fixee, et donc en cespoints, il n’y a pas a affecter de valeurs inconnues. Dans tous les autres cas deconditions aux limites, la valeur de la solution reste inconnue et fait donc partiedu vecteur inconnu.

8.2.1 Quelques formules simples d’approximation des deriveespar des differences divisees.

Pour la derivee premiere :– difference divisee progressive d’ordre un :

Le developpement limite :

u′(xi) =u(xi + h)− u(xi)

h− h

2u′′(ξi) (8.2)

conduit a l’approximation suivante :

u′(xi) =du

dx(xi) ' ui+1 − ui

xi+1 − xi

(8.3)

– difference divisee progressive d’ordre deux :Pour des pas reguliers de longueur h, le developpement limite :

u′(xi) =−u(xi + 2h) + 4u(xi + h)− 3u(xi)

2h+

h2

3u′′′(ξi) (8.4)

donne la formule d’ordre deux progressive suivante :

u′(xi) =du

dx(xi) ' −ui+2 + 4ui+1 − 3ui

2h(8.5)

Differences finies 65

– difference divisee regressive d’ordre un :De meme le developpement limite :

u′(xi) =u(xi)− u(xi − h)

h+

h

2u′′(ηi) (8.6)

donne :

u′(xi) =du

dx(xi) ' ui − ui−1

xi − xi−1

(8.7)

– difference divisee regressive d’ordre deux :On obtient egalement une formule regressive d’ordre deux :

u′(xi) =du

dx(xi) ' 3ui − 4ui−1 + ui−2

2h(8.8)

– difference divisee centree : On a

u′(xi) =u(xi + h)− u(xi − h)

2h− h2

6u′′′(θi) (8.9)

ou bien

u′(xi) =u(xi + h

2)− u(xi − h

2)

h− h2

24u′′′(θi) (8.10)

Ce qui conduit, dans le cas de discretisations uniformes de pas constanth, a :

u′(xi) =du

dx(xi) ' ui+1 − ui−1

2hou

ui+1/2 − ui−1/2

h(8.11)

On a note ui+1/2 et ui−1/2 les valeurs approchees de u aux points xi + h2

etxi − h

2respectivement.

Pour la derivee seconde :– difference divisee centree

Dans le cas particulier de points xi regulierement espaces d’un pas huniforme, on retrouve en utilisant :

u′′(xi) =u′(xi + h

2)− u′(xi − h

2)

h− h2

24u(4)(θi) (8.12)

et (2.9) :

u′′(xi) =u(xi + h)− 2 u(xi) + u(xi − h)

h2− h2

12u(4)(θi) (8.13)

d’ou : la discretisation centree classique de la derivee seconde

u′′(xi) =d2u

dx2(xi) ' ui+1 − 2ui + ui−1

h2(8.14)


Pour la derivee troisieme :– difference divisee progressive

Dans le cas particulier de points xi regulierement espaces d’un pas huniforme, on obtient la formule decentree progressive (d’ordre un) :

u′′′(xi) =d3u

dx3(xi) ' ui+3 − 3ui+2 + 3ui+1 − ui

h3(8.15)

On obtiendrait de meme une difference divisee regressive.– differences divisees centrees

On a deux formules possibles. L’une utilisant des points milieux desegments

u′′′(xi) =d3u

dx3(xi) '

ui+3/2 − 3ui+1/2 + 3ui−1/2 − ui−3/2

h3(8.16)

L’autre utilisant les noeuds du maillages.

u′′′(xi) =d3u

dx3(xi) ' ui+2 − 2ui+1 + 2ui−1 − ui−2

h3(8.17)

Ces deux formules centrees sont d’ordre deux.

Pour la derivee quatrieme :– difference divisee centree

Dans le cas particulier de points xi regulierement espaces d’un pas huniforme, on retrouve en utilisant :

u′′(xi) =u′(xi + h

2)− u′(xi − h

2)

h− h2

24u(4)(θi) (8.18)

deux fois la discretisation centree classique d’ordre deux de la deriveequatrieme

uIV (xi) =d4u

dx4(xi) ' ui+2 − 4ui+1 + 6ui − 4ui−1 + ui−2

h4(8.19)

On peut observer que l’on retrouve dans ces formules les coefficients dudeveloppement du binome.

8.3 Probleme discret

Discretisons le segment [a, b] en N sous-intervalles de longueur uniforme h.Notons ui les inconnues du probleme approche. Les inconnues reelles seront doncles ui pour i = 1 a N −1. Les valeurs deu0 et uN etant donnees par les conditionsaux limites de Dirichlet aux poits a et b.


On obtient ainsi le systeme de N−1 equations lineaires suivant dont la resolutiondonne les valeurs ui de la solution approchee du probleme (2.1)

−ui+1 − 2ui + ui−1

h2= fi pour i = 1, N − 1

avec u0 = α uN = β(8.20)

Ce qui s’ecrit sous forme matricielle :

1

h2

2 −1 0 · · · 0−1 2 −1 · · · 0

. . . . . . . . .

0. . . . . . . . . −1

0 · · · · · · −1 2

u1

u2

ui

uN−2

uN−1

=

f1 + α/h2

f2

fi

fN−2

fN−1 + β/h2

(8.21)

Il ne reste alors plus qu’a resoudre ce systeme lineaire par des techniques standardde factorisation ( methodes de Gauss LU ou methode de Choleski LLT )

8.4 Probleme mixte Dirichlet-Neumann

Soit, maintenant, le probleme

−u′′(x) = f(x) a < x < bu(a) = α u′(b) = β

(8.22)

ou l’on a, cette fois, une condition de Neumann en b.Les modifications du probleme discretise sont les suivantes. Tout d’abord, lenombre d’inconnues a change. Il y a une inconnue au point b. En effet, la donneede u′(b) ne dit rien de la valeur de u(b). C’est donc une nouvelle inconnue duprobleme. Le probleme discret a donc maintenant, sur la base du meme maillage,N inconnues ui pour i = 1 a N . D’autre part, il faut proposer une formulediscretisee de la condition de Neumann u′(b) = β. Or, on l’a vu, plusieurs choixsont possibles pour approcher une derivee premiere. C’est un des ecueils desmethodes de differences finies qu’elles ne donnent pas de facon naturelle unebonne approximation des conditions de Neumann. Ici, on peut remplacer au pointb la derivee u′(b) soit par

u′(b) ' uN+1 − uN

h(8.23)

formule qui, bien que seulement d’ordre un, est coherente avec l’approximationcentree pour la derivee seconde et maintient la symetrie du systeme matriciel.


soit par

u′(b) ' uN+1 − uN−1

2h(8.24)

formule d’ordre deux, plus precise.

On obtient dans le premier cas :

1

h2

2 −1 0 · · · 0−1 2 −1 · · · 0

. . . . . . . . .

0. . . . . . . . . −1

0 · · · · · · −1 1

u1

u2

ui

uN

uN

=

f1 + α/h2

f2

fi

fN−2

fN + β/h

(8.25)

et dans le deuxieme cas, avec une approximation centree, du deuxieme ordre,pour la condition de Neumann :

1

h2

2 −1 0 · · · 0−1 2 −1 · · · 0

. . . . . . . . .

0. . . . . . . . . −1

0 · · · · · · −1 1

u1

u2

ui

uN

uN

=

f1 + α/h2

f2

fi

fN−2

fN/2 + β/h

(8.26)

8.5 Remarques finales

Les formules proposees ci-dessus ne representent qu’une petite partie desformules possibles. Ce sont les plus frequemment utilisees. Il existe un grandnombre de formules a tous les ordres de precision. On refere le lecteur a lalitterature specialisee et notamment au livre de C. HIRSCH donne dans labibliographie pour des complements sur les formules de differences finies.

8.6 Exercice : Calcul d’une poutre en flexion

On considere une discretisation (maillage) reguliere d’un segment de longueur L

en n + 1 intervalles egaux de longueur h =L

n + 1et on considere sur ce segment

le probleme de poutre encastree en flexion suivant :


Poutre encastree.

d4

dx4u(x) = f(x) pour 0 < x < L

u(0) = u′(0) = 0

u(L) = u′(L) = 0

(8.27)

a) Ecrire le probleme discretise correspondant en utilisant l’approximation sui-vante de la derivee seconde :

u′′(xi) ≈ ui+1 − 2 ui + ui−1

h2

On obtient le systeme :

ui−2 − 4 ui−1 + 6 ui − 4ui+1 + ui+2

h4= fi pour i = 1, ..n

avec u0 = u−1 = un+1 = un+2 = 0(8.28)

Reprendre le probleme dans le cas suivant :

Plongeoir.

d4

dx4u(x) = f(x) pour 0 < x < L

u(0) = u′(0) = 0

u′′(L) = u′′′(L) = 0

(8.29)

b) Resoudre dans les cas suivants :

L = 10 f = 1 N = 8, 16, 32, ...

L = 10 f = x(10− x) N = 8, 16, 32, ...


Chapitre 9

Modelisation de quelquesproblemes bidimensionnelsclassiques de la physique

9.1 Quelques exemples de problemes physiques

9.1.1 Membrane elastique

f(x,y)

u(x,y)

G

Fig. 9.1 – Membrane elastique

On considere une membrane elastique plane Ω fixee sur son pourtour Γ. Onsuppose la membrane soumise en tout point (x, y) a une densite de forces fs’exercant perpendiculairement au plan de la membrane. Sous l’action de f chaquepoint de la membrane subit un petit deplacement. Le deplacement transversal,perpendiculaire au plan de Ω est l’inconnue u de ce probleme et verifie l’equation :

−∆ u (x, y) = f (x, y) ∀ x, y ∈ Ω

u |Γ(x, y) = 0(9.1)


9.1.2 Conduction thermique

'

&

$

%

' $Γd

Γn

Ω

Fig. 9.2 – Figure 2.

On considere une plaque plane Ω de frontiere Γ dont une partie Γd est atemperature connue Td et une partie Γn est isolee thermiquement. La temperatureT a l’equilibre verifie l’equation

−σ ∆ T (x, y) = f (x, y) ∀ x, y ∈ Ω

T |Γd(x, y) = Td (x, y)

∂T

∂n |Γn

(x, y) = 0

(9.2)

9.1.3 Mecanique des fluides parfaits

Soit Ω le domaine interne d’une tuyere, on considere l’ecoulement d’un fluideparfait, incompressible non-visqueux, a l’interieur de cette tuyere. L’ecoulementetant incompressible, il est a divergence nulle et donc le vecteur vitesse u du fluidepeut s’ecrire comme le rotationnel d’une fonction ψ dite fonction de courant. Ona :

u = rotψ = (∂ψ

∂y, −∂ψ

∂x) (9.3)

Γe Γs

Γ1

Γ0

Ω

Figure 3.

Les lignes iso-ψ sont les lignes de courant du fluide. La fonction de courant ψverifie egalement une equation de Poisson, qui s’ecrit dans le cas d’un ecoulement

Modelisation de problemes physiques 73

irrotationnel (cas d’un profil de vitesse constant en entree ) :

−∆ ψ (x, y) = 0 ∀ x, y ∈ Ω

ψ |Γ0(x, y) = 0

ψ |Γ1(x, y) = 1

ψ |Γe(x, y) = ψe (x, y)

∂ψ

∂n |Γs

(x, y) = 0

(9.4)

En definitive tous les problemes precedents appartiennent a la famille desproblemes elliptiques suivants

−∆ u (x, y) = f (x, y) ∀ x, y ∈ Ω

u |Γd= ud

∂u

∂n |Γn

= g

(9.5)

On peut egalement rencontrer, dans le cas de materiaux non uniformes l’operateurdiv(σgradu) au lieu du laplacien ∆u dans des problemes du type de (3.5).

9.2 Approximation par differences finies

Comme en dimension un, la premiere etape consiste a discretiser le domaine.C’est dans l’application aux problemes bidimensionnels et tridimensionnels quela methode des differences finies presente sa plus severe limitation. En effetelle n’est bien adaptee qu’a la discretisation de domaines rectangulaires ouparallelepipediques par des maillages formees de grilles perpendiculaires. Lesderivees partielles dans chaque direction d’axe etant approchees comme lesderivees en dimension un.

i,ji+1,ji-1,j

i,j+1

i,j-1

¡¡

¡¡i,j,k

i+1,j,ki-1,j,k

i,j+1,k

i,j-1,ki,j,k-1

i,j,k+1

Figure 2.2 : Grilles differences finies bidimensionnelles et tridimensionnelles.


9.2.1 Discretisation geometrique

Dans le cas de domaines rectangulaires (ou parallelepipediques en dimension 3)de cotes paralleles aux axes, on construit une grille de discretisation en differencesfinies par quadrillage selon les deux (trois ) directions d’axes. On notera ∆x lepas de discretisation selon x et de meme ∆y et ∆z les pas de discretisation eny et z. On obtient ainsi aux intersections des lignes du quadrillage les noeudsde coordonnees (xi, yj, zk) du maillage en differences finies. Cette technique demaillage est generalisable aux assemblages de rectangles (ou de parallelepipedes)ainsi qu’aux domaines se ramenant par bijection reguliere a un rectangle (ou unparallelepipede). Par contre dans le cas de geometries complexes les discretisationspar elements finis sont mieux adaptees.

9.2.2 Quelques formules simples d’approximation des deriveespartielles par differences finies

Notons, en dimension deux, ui,j l’approximation de la valeur exacte u(xi, yj)pour le point d’indice i, j de la grille.

Pour les derivees partielles premieres :– differences divisees progressives : on a les approximations suivantes :

∂u

∂x(xi, yj) ' ui+1,j − ui,j

∆x

∂u

∂y(xi, yj) ' ui,j+1 − ui,j

∆y(9.6)

– differences divisees regressives : on considere cette fois les approxima-tions :

∂u

∂x(xi, yj) ' ui,j − ui−1,j

∆x

∂u

∂y(xi, yj) ' ui,j − ui,j−1

∆y(9.7)

– differences divisees centrees : on obtient (comme en dimension un) uneapproximation du second ordre :

∂u

∂x(xi, yj) '

ui+1/2,j − ui−1/2,j

∆x

∂u

∂y(xi, yj) '

ui,j+1/2 − ui,j−1/2

∆y(9.8)

On en deduit, par double differentiation, l’approximation centree d’ordre deux duLaplacien

−∆u(xi, yj) ' −ui+1,j + 2 ui,j − ui−1,j

∆x2+−ui,j+1 + 2 ui,j − ui,j−1

∆y2(9.9)

Et plus generalement l’approximation de div(σgradu) :

−div(σgradu)(xi,yj)'−σ(xi+1/2,yj) (ui+1,j−ui,j)+σ(xi−1/2,yj) (ui,j−ui−1,j)

∆x2

− σ(xi,yj+1/2)(ui,j+1−ui,j)+σ(xi,yj−1/2)(ui,j−ui,j−1)

∆y2

(9.10)

Modelisation de problemes physiques 75

On obtient ainsi le systeme d’equations lineaires dont la resolution donne lesvaleurs ui,j de la solution approchee du probleme −div(σgradu) = f selon

−σ(xi+1/2,yj) ui+1,j+(σ(xi+1/2,yj)+σ(xi−1/2,yj)) ui,j−σ(xi−1/2,yj)ui−1,j

∆x2

−σ(xi,yj+1/2) ui,j+1+(σ(xi,yj+1/2)+σ(xi,yj−1/2)) ui,j−σ(xi,yj−1/2)ui,j−1

∆y2 =fi,j

(9.11)

On doit y ajouter la prise en compte des conditions aux limites. Pour les conditionsde Dirichlet, il suffit de fixer les valeurs de ui,j correspondant aux valeurs donneessur la frontiere Γd. Pour les conditions de Neumann, on doit discretiser

∂u

∂n |Γn

= g

Il y a plusieurs choix possibles pour approcher la derivee normale en differencesfinies. Le bon choix, qui conserve la symetrie de la matrice du systeme lineaireglobal, et qui s’interprete de maniere naturelle en elements finis, consiste a

remplacer, selon le cote de frontiere concerne, la derivee normale∂u

∂n |Γn

par une

des quatre expressions

ui+1,j − ui,j

∆x,

ui,j − ui−1,j

∆x,

ui,j+1 − ui,j

∆y,

ui,j − ui,j−1

∆y(9.12)

Il est alors necessaire de numeroter les ui,j pour qu’elles constituent les compo-santes UI d’un vecteur inconnu U . La numerotation influe sur la structure de lamatrice. On utilise des algorithmes de numerotation optimale afin de minimiserle stockage (”profil”) de la matrice. Il ne reste alors plus qu’a resoudre le systemelineaire obtenu par des methodes directes de factorisation (methodes de GaussLU ou methode de Choleski LLT ) ou par de methodes iteratives.


Chapitre 10

Introduction aux problemesd’evolution. L’equation de lachaleur instationnaire.

10.1 Position du probleme

La temperature u(x, y, t) d’un corps plan de surface Ω, de densite ρ, de chaleurspecifique c et de conductivite thermique k est regie au cours du temps parl’equation :

ρc∂u

∂t= div(k gradu) + f ∀(x, y) ∈ Ω et ∀t ∈ [0, T ] (10.1)

ou f represente la puissance volumique fournie au corps Ω.

Si la conductivite k est constante, l’equation se reduit a :

ρc∂u

∂t= k ∆u + f ∀(x, y) ∈ Ω et ∀t ∈ [0, T ] (10.2)

Ce probleme du premier ordre en temps est le modele des problemes paraboliques.La determination de la solution necessite de fixer une condition initiale entemps : valeur de la temperature u au temps 0.

u(x, y, 0) = u0(x, y) (10.3)

On dit que le probleme est un probleme a valeur initiale ou probleme de Cauchy.

D’autre part, un certain nombre de conditions aux limites sur la frontiere Γ dudomaine peuvent etre prises en compte pour determiner completement la solution.


– Conditions de type Dirichlet lorsque la temperature est fixee sur une partiede la frontiere

– Conditions de type Neumann si le flux thermique est fixe ( nul dans le casd’un materiau isole thermiquement)

– Conditions de type Fourier dans le cas le plus general,... etc, comme dansle cas stationnaire.

Remarque : solution stationnaire.Lorsque la temperature ne depend plus du temps (regime permanent ou station-naire), on retrouve l’equation deja etudiee :

− div(k gradu) = f ∀(x, y) ∈ Ω

+ Conditions aux limites sur Γ(10.4)

10.2 Etude des schemas de differences finies

dans le cas monodimensionnel

10.2.1 Introduction

Une premiere methode pour resoudre numeriquement les problemes d’evolutionconsiste a discretiser le probleme continu par differences finies. Placons nousdans le cas monodimensionnel suivant pour simplifier. On considere une barrede longueur L dont la temperature est fixee a zero aux extremites. L’equation dela temperature au cours du temps s’ecrit :

∂

∂tu(x, t) =

∂2

∂x2u(x, t) + f(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]

u(x, 0) = u0(x) donnee : condition initiale

u(0, t) = u(L, t) = 0 : conditions aux limites de Dirichlet homogenes(10.5)

On choisit une discretisation reguliere de [0, L] en intervalles de longueur ∆xtels que L = M∆x et une discretisation de l’intervalle de temps [0, T ] en pas detemps de longueur ∆t tels que T = N∆t. Notons xj le point j∆x et tn le tempsn∆t. Notons un

j la valeur de la solution approchee au point xj et au temps tn.

Definition 10.2.1 Un schema aux differences finies est dit schema a p pas entemps si les valeurs un+1

j des solutions approchees au temps tn+1 sont fonctions desvaleurs aux p instants precedents, soit aux temps tn, tn−1, ...tn−p+1. En particulier,un schema est dit a un pas si les un+1

j ne dependent que des unj .

Les deux principales proprietes d’un schema numerique sont :

Schemas pour l’equation de la chaleur 79

l’ordre du schema qui mesure la precision ou erreur de troncature mathematiquecommise en remplacant les derivees partielles exactes par leurs approximationssous formes de differences divisees. L’ordre est determine par des developpementsde Taylor obtenus en injectant dans l’ecriture du schema numerique la fonctionsolution continue exacte du probleme differentiel.

la stabilite du schema concerne l’evolution du vecteur des valeurs approcheesde la solution aux points xj au cours des temps tn ( et non plus la solutionexacte continue) dans le cas concret ou ∆t et ∆x ne tendent pas vers zero, maisont des valeurs fixees. Numeriquement, ce critere est relatif a la propagation etl’amplification des erreurs d’arrondis, la condition minimale de stabilite imposeque le vecteur de composantes un

j reste borne pour tout n ∈ [0, N ]. Sinon, il n’estmeme pas calculable. Si l’on desire de plus que la solution approchee reproduisele comportement de la solution exacte au cours du temps, on devra imposer desconditions de stabilite plus severes. Par exemple, dans le cas de l’equation dela chaleur, on cherche a reproduire sur la solution numerique le comportementdissipatif du probleme continu. On choisira donc des schemas tels que la solutionapprochee soit decroissante au cours du temps.

10.2.2 Le Schema d’Euler explicite

Nous allons preciser les definitions des notions d’ordre et de stabilite en nousappuyant sur l’exemple le plus simple de schema numerique : le schema d’Eulerexplicite (en temps et centre (en espace).

Considerons le probleme

∂

∂tu(x, t) =

∂2

∂x2u(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]


u(0, t) = u(L, t) = 0 : conditions aux limites de Dirichlet homogenes(10.6)

et choisissons les approximations classiques suivantes des derivees premiere etseconde par differences finies

∂

∂tu(xj, tn) ≈ u(xj, tn+1)− u(xj, tn)

∆t( a O(∆t) pres) (10.7)

∂2

∂x2u(xj, tn) ≈ u(xj+1, tn)− 2u(xj, tn) + u(xj−1, tn)

∆x2( a O(∆x2) pres) (10.8)

Remplacons les derivees partielles par leurs approximations en differences finiesci-dessus et la fonction inconnue u par une collection de valeurs discretes un

j


pour j = 0, ..M et n = 0, ..N . Nous obtenons un premier exemple de schemad’approximation en differences finies de l’equation de la chaleur : le schemad’Euler explicite (en temps) et centre (en espace).

un+1j − un

j

∆t=

unj+1 − 2un

j + unj−1

∆x2

u0j = u0(xj) donnee : condition initiale

un0 = un

M = 0 ∀n : conditions aux limites de Dirichlet homogenes

(10.9)

Ce schema est un schema a un pas, car le vecteur des solutions approchees autemps tn+1 ne depend que des solutions approchees au temps tn. C’est un schemaexplicite car il donne une formule explicite de calcul de la solution au temps tn+1

en fonction des valeurs de la solution au temps precedent. Il n’y a pas d’equationa resoudre pour obtenir la valeur au nouvel instant tn+1.

10.2.3 Ordre

Notons S∆x,∆t u(xj, tn) l’application d’un schema aux differences finies a lasolution continue u. Par exemple pour le schema d’Euler explicite centre :

S∆x,∆t u(xj, tn) =u(xj, tn+1)− u(xj, tn)

∆t− u(xj+1, tn)− 2u(xj, tn) + u(xj−1, tn)

∆x2

(10.10)

Definition 10.2.2 Un schema aux differences finies est d’ordre p en temps etd’ordre q en espace si la difference entre l’equation et le schema applique a lafonction solution du probleme continu est un infiniment petit d’ordre p en tempset d’ordre q en espace. C’est a dire si l’on a :

∣∣∣ ∂

∂tu(xj, tn) − ∂2

∂x2u(xj, tn) − S∆x,∆t u(xj, tn) ]

∣∣∣ = O(∆tp) + O(∆xq) (10.11)

Un schema consistant est un schema tel que l’expression ci-dessus tende verszero avec ∆t et ∆x.

Application : le schema d’Euler explicite est d’ordre un en temps et d’ordredeux en espace. On montrera en exercice que l’on obtient en effet pour ce schema

∂

∂tu(xj, tn) − ∂2

∂x2u(xj, tn) − [

u(xj, tn+1)− u(xj, tn)

∆t−

u(xj+1, tn)− 2u(xj, tn) + u(xj−1, tn)

∆x2] = −∆t

2

∂2

∂t2u(xj, θ) +

∆x2

12

∂4

∂x4u(ξ, tn)

(10.12)


Remarque : Au point xj, tn en derivant l’equation on a :

∂2

∂t2u(xj, tn) =

∂4

∂x4u(xj, tn) (10.13)

on pourrait optimiser l’ordre par un choix de pas de temps et d’espace tel que

∆t

2=

∆x2

12(10.14)

On obtiendrait alors l’ordre 2 en temps et l’ordre 4 en espace. Malheureusementceci n’est possible que pour des maillages reguliers a pas constants et n’est pasgeneralisable au cas des elements finis.

10.2.4 Stabilite

Dans le cas de schemas a un pas appliques a des problemes lineaires, le vecteurdes solutions approchees au temps tn+1 est lie au vecteur des solutions approcheesau temps tn par une relation matricielle. Considerons le probleme modele

∂

∂tu(x, t) =

∂2

∂x2u(x, t) (10.15)

et appliquons un schema numerique a un pas. Nous pouvons exprimer le vecteurUn+1 des valeurs de la solution au temps tn+1 en fonction du vecteur Un dessolutions au temps tn par :

Un+1 = C(∆t, ∆x) Un (10.16)

ou C est une matrice caracterisant le schema et dependant des pas de temps etd’espace.On en deduit :

Un = Cn U0 (10.17)

ou U0 est le vecteur des conditions initiales.

La condition minimale de stabilite s’exprime par le fait que ‖Un‖ reste bornequel que soit n. Une condition plus forte impose la decroissance de ‖Un‖ quandn augmente.

Condition de stabilite.

Le schema est stable s’il existe τ > 0 tel que ‖Cn‖ soit uniformement borne pourtout n et tout ∆t verifiant les conditions :

0 < ∆t < τ et 0 ≤ n∆t ≤ T (10.18)


Ce critere minimal de stabilite entraıne simplement que la suite Un ne soit pasexplosive. Il est satisfait si l’on a la majoration

‖C‖ ≤ 1 + c ∆t (10.19)

En effet dans ce cas :

‖C‖ ≤ 1 + c ∆t =⇒ ‖Un‖ ≤ (1 + c∆t)n ‖U0‖ ≤ ecn∆t‖U0‖ ≤ ecT‖U0‖ (10.20)

Un reste borne pour tout n = 0, ..N . Mais la constante de majoration estexponentielle en la duree d’integration en temps T et donc devient tres grandeavec T .

On peut en consequence preferer des conditions de stabilite plus restrictives tellesque :

‖C‖ ≤ 1 (10.21)

En effet on a alors‖Un‖ ≤ ‖U0‖ ∀n = 0, ..N (10.22)

Si l’on veut de plus que la solution numerique reproduise le comportementdecroissant de la solution exacte on imposera l’inegalite stricte

‖C‖ ≤ α < 1 (10.23)

qui entraıne la decroissance de la norme de Un.

10.2.5 Etude matricielle de la stabilite

Supposons que le schema s’exprime sous la forme matricielle presentee plus haut,on deduira la stabilite de majorations de la norme de la matrice C souventobtenues par le calcul de ses valeurs propres.

Exemple : le schema d’Euler explicite

Reprenons le probleme

∂

∂tu(x, t) =

∂2

∂x2u(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]

u(x, 0) = u0(x) condition initiale donnee

u(0, t) = u(L, t) = 0 : conditions de Dirichlet homogenes

(10.24)


et appliquons le schema d’Euler

un+1j − un

j

∆t=

unj+1 − 2un

j + unj−1

∆x2


un0 = un


(10.25)

On obtient aisement l’ecriture matricielle :

Un+1 = [ I − ∆t

∆x2A ] Un (10.26)

ou A est la matrice tridiagonale symetrique deja rencontree lors de la discretisationde la derivee seconde.

A =

2 −1 0 · · · 0−1 2 −1 · · · 0

. . . . . . . . .

0. . . . . . . . . −1

0 · · · · · · −1 2

(10.27)

On peut calculer en exercice les valeurs propres et les vecteurs propres de A.On obtient pour les valeurs propres de A :

λk = 4 sin2 kπ

2Mpour k = 1, ...M − 1 (10.28)

ou M denote le nombre d’intervalles de discretisation de [0, L] et donc ou ladimension de A est egale a M − 1.

La matrice C = I − ∆t

∆x2A est une matrice symetrique reelle. Ses vecteurs

propres sont ceux de A , ses valeurs propres sont egales a :

µk = 1− ∆t

∆x2λk (10.29)

Majorons la norme euclidienne de Un+1

‖Un+1‖2 ≤ ‖ I − ∆t

∆x2A‖2 ‖Un‖2 (10.30)

Comme la matrice C = I − ∆t

∆x2A est une matrice symetrique, sa norme

euclidienne est egale a son rayon spectral

‖ I − ∆t

∆x2A‖2 = ρ( I − ∆t

∆x2A) = max

k=1,..M−1| 1− 4

∆t

∆x2sin2(

kπ

2M) | (10.31)


La condition de stabilite ‖C‖ ≤ 1 se traduit donc par :

maxk=1,..M−1

| 1− 4∆t

∆x2sin2(

kπ

2M) | ≤ 1 soit 4

∆t

∆x2sin2(

(M − 1)π

2M) ≤ 2 (10.32)

Ceci sera assure des que l’on aura la majoration

∆t

∆x2≤ 1

2(10.33)

Cette condition est la condition classique de stabilite du schema d’Euler explicitepour l’equation de la chaleur. Elle impose des pas de temps tres petits, cequi condamne pratiquement l’usage de ce schema explicite pour les problemesparaboliques.

10.2.6 Autres exemples de schemas a un pas

Schema d’Euler implicite

On considere, pour la discretisation du meme probleme, le schema implicitesuivant :

un+1j − un

j

∆t=

un+1j+1 − 2un+1

j + un+1j−1

∆x2


un0 = un


(10.34)

Ce schema est dit implicite car le calcul de la solution au pas de temps n + 1necessite la resolution d’un systeme matriciel.

Ordre du schema

Un developpement de Taylor permet de verifier simplement que ce schema estd’ordre un en temps et d’ordre deux en espace comme le schema explicite(exercice).

Stabilite du schema

La meme analyse matricielle conduit au resultat suivant :

[ I +∆t

∆x2A ] Un+1 = Un (10.35)

La matrice d’iteration C est cette fois egale a :

C = ( I +∆t

∆x2A)−1 (10.36)


Ses valeurs propres sont :

µk =1

1 +∆t

∆x2λk

(10.37)

Elles sont donc strictement positives et strictement inferieures a 1 pour tout k. Cequi entraıne la stabilite inconditionnelle ( quels que soient ∆t et ∆x ) du schemaimplicite

Observons que l’on a, avec ce schema decroissance de la solution approchee aucours des pas de temps.

‖Un+1‖2 ≤ 1

1 +∆t

∆x2λ1

‖Un‖2 avec λ1 = 4 sin2(π

2M) (10.38)

Schema de Crank Nicolson ou schema des trapezes

On considere, pour la discretisation du meme probleme, le schema implicitesuivant :

un+1j − un

j

∆t=

1

2

[ unj+1 − 2un

j + unj−1

∆x2+

un+1j+1 − 2un+1

j + un+1j−1

∆x2

]


un0 = un

I = 0 ∀n : conditions aux limites de Dirichlet homogenes

(10.39)

Ce schema est dit implicite car le calcul de la solution au pas de temps n + 1necessite la resolution d’un systeme matriciel. Il correspond a une integration entemps approchee selon la formule des trapezes sur les instants tn et tn+1.

Ordre du schema

Ce schema est d’ordre deux en temps et en espace (exercice).

Stabilite du schema

Le meme type d’analyse matricielle que precedemment conduit au resultatsuivant :

[ I +∆t

2∆x2A ] Un+1 = [ I − ∆t

2∆x2A ]Un (10.40)

La matrice d’iteration C est cette fois egale a :

C = ( I +∆t

2∆x2A)−1( I − ∆t

2∆x2A) (10.41)


Ses valeurs propres sont :

µk =1− ∆t

2∆x2λk

1 +∆t

2∆x2λk

(10.42)

Elles sont donc de module inferieur a 1 pour tout k ( exercice) . Ce qui entraınela stabilite inconditionnelle ( quels que soient ∆t et ∆x ) du schema de CrankNicolson.

La methode precedente se complique dans le cas de schemas a plusieurs pas, nousallons presenter ci-dessous une technique de calcul plus simple et adaptable aucas de schemas multipas.

10.2.7 Etude de la stabilite par l’analyse de Fourier

Une technique simple de calcul de la stabilite d’un schema est donnee dans lecas de problemes lineaires par l’analyse de Fourier. Rappelons l’analyse presenteeau paragraphe 4.3.1. Nous avions exprime la solution u de l’equation de la chaleur

∂

∂tu(x, t) =

∂2

∂x2u(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]


u(0, t) = u(L, t) = 0 : conditions aux limites de Dirichlet homogenes

sous la forme du developpement :

u(x, t) =∑

k

uk(t)sin(kπ

Lx)

En utilisant de nouveau la linearite du probleme et le principe de superposition,nous observons que la solution, dans le cas de conditions aux limites lineairesquelconques, Dirichlet, Neumann, Fourier ou periodiques s’ecrit sous la formegenerale :

u(x, t) =∑

k∈Z

uk(t)eikx

ou k est un coefficient reel integrant le nombre d’onde, le type de conditions auxlimites et la dimension du domaine. Les coefficients de Fourier uk verifient chacunune equation differentielle en temps dont la solution s’ecrit :

uk(t) = uk(0) exp(−k2 t)

On a doncuk(t + ∆t) = exp(−k2 ∆t) uk(t)


Faisons la meme analyse dans le cas discret. Injectons dans le schema numeriqueune suite de solutions de la forme

unj = un

k eikj∆x

Ces solutions ont pour conditions initiales

u0j = u0

k eikj∆x

et correspondent chacune a une composante harmonique. L’etude de la stabilitese ramene a l’etude de l’evolution au cours des pas de temps n des suites un

k

quand n augmente. La condition minimale de stabilite numerique necessite queles nombres un

k restent bornes ∀ k et ∀n = 0, ...N . Si l’on veut de plus decroissancede la solution approchee, on devra avoir decroissance des un

k quand n augmente.

Dans les schemas a p pas, on obtient les un+1k par multiplication par une matrice

d’amplification G(∆t, k) selon :

un+1k

unk

::

un−p+2k

= G(∆t, k)

unk

un−1k

::

un−p+1k

Dans les schemas a un pas, la matrice d’amplification se reduit a un facteurd’amplification G(∆t, k) tel que un+1

k = Gk(∆t) unk .

Nous obtenons alors les conditions de stabilite suivantes :

Condition necessaire de stabilite de Von Neumann

Pour que le schema soit stable, il faut qu’il existe τ > 0 tel que les valeurs propresλi de la matrice d’amplification G(∆t, k) soient toutes majorees en module selon :

|λi| ≤ 1 + c∆t ∀i = 1, ..p

avec c > 0, quel que soit k et pour tout 0 < ∆t < τ

Dans le cas de schema a un pas la matrice d’amplification se reduit a un facteurscalaire et la condition de Von Neuman est suffisante.


Conditions suffisantes de stabilite

1) Si la matrice d’amplification est normale, c’est a dire qu’elle commute avec sonadjointe (ou transposee dans le cas reel)

GG∗ = G∗ G

ou bien, ce qui est equivalent, si elle admet une base de vecteurs propresorthonormes, alors la condition de Von Neumann est suffisante.

2) La condition precedente etant parfois difficile a verifier, on peut utiliser lacondition suffisante suivante : le schema est stable si les coefficients de la matriceG(∆t, k) sont bornes et si ses valeurs propres sont toutes de module strictementinferieur a 1 sauf eventuellement une de module egal a 1.

Un premier exemple simple d’application : le schema d’Euler

Posons

unj = un

k eikj∆x

et calculons le facteur d’amplification Gk(∆t) tel que un+1k = Gk(∆t) un

k . Onobtient :

un+1k − un

k

∆texp(ikj∆x) =

exp(ik∆x)− 2 + exp(−ik∆x)

∆x2exp(ikj∆x) un

k

soit :

un+1k = [1 +

∆t

∆x2(2 cos(k∆x)− 2] un

k = [ 1− 4∆t

∆x2sin2(

k

2∆x) ] un

k

La condition |Gk(∆t)| ≤ 1 ∀k necessite∆t

∆x2≤ 1

2. On retrouve evidemment des

calculs analogues et le meme resultat que par l’analyse matricielle faite plus haut.

Un exemple simple de schema implicite a 2 pas : le schema de Gear

Considerons le schema suivant pour l’equation de la chaleur monodimensionnelle :

3

2un+1

j − 2unj +

1

2un−1

j =∆t

∆x2[ un+1

j+1 − 2un+1j + un+1

j−1 ]

Posons comme precedemment

unj = un

k eikj∆x


Un calcul simple conduit au resultat suivant

(un+1

k

unk

)=

2

a−1

a

1 0

(un

k

un−1k

)

avec a =3

2+ 4

∆t

∆x2sin2(

k

2∆x)

Les valeurs propres de la matrice 2× 2 d’amplification ci-dessus sont racines de

λ2 − 2

aλ +

1

2a= 0

On trouve le discriminant ∆′ =2− a

2a2. On obtient si a > 2 deux racines complexes

conjuguees de module

√1

2a< 1 et dans le cas a ≤ 2 deux racines reelles dont la

plus grande en valeur absolue vaut

1

a+

√2− a

2a2< 1

On a donc stabilite inconditionnelle de ce schema qui se revele dans la pratiqueparticulierement adapte dans le cas d’equations “raides”, c’est a dire danslesquelles on aurait de fortes variations locales des constantes thermiques.


Chapitre 11

Introduction aux problemesconservatifs. L’equation detransport


Considerons un champ de vitesses V(x, y, t) donne et une grandeur scalaireu(x, y, t) transportee au cours du temps par le champ V a travers un domaineplan Ω de bord Γ. A chaque instant t, u verifie l’equation :

∂u

∂t+ Vgradu = f ∀(x, y) ∈ Ω et ∀t ∈ [0, T ] (11.1)

ou f designe un second membre eventuel representant des sources ou des puits dela grandeur u. Ce probleme du premier ordre en temps est un modele de problemeconservatif. La determination de la solution necessite de fixer une conditioninitiale en temps : la valeur de u au temps 0. u(x, y, 0) = u0(x, y) On obtientainsi un probleme a valeur initiale ou probleme de Cauchy.Les conditions aux limites choisies sur la frontiere Γ doivent etre coherentes avecl’equation de transport. On ne peut fixer les valeurs de u que sur les parties deΓ sur lesquelles le champ de vitesse est entrant. Par contre il convient de laisserlibres les valeurs de u en sortie.



Placons nous dans le cas monodimensionnel d’un tube de longueur L et dansle cas d’un transport pur (f = 0) pour simplifier. On choisit une discretisation


reguliere de [0, L] en intervalles de longueur ∆x tels que L = M∆x et unediscretisation de l’intervalle de temps [0, T ] en pas de temps de longueur ∆ttels que T = N∆t. Notons xj le point j∆x et tn le temps n∆t. Notons un

j lavaleur de la solution approchee au point xj et au temps tn.


∂

∂tu(x, t) + c

∂

∂xu(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]

u(x, 0) = u0(x) donnees : condition initiale

u(0, t) = a

(11.2)

11.2.1 Un premier schema explicite centre instable

On considere le schema discret evident suivant :

un+1j − un

j

∆t+ c

unj+1 − un

j−1

2∆x= 0 (11.3)

Ce schema est clairement (exercice) d’ordre un en temps et deux en espace.Etudions la stabilite. Posons

unj = un

k eikj∆x (11.4)

nous obtenons :

un+1k − un

k + c∆t

∆xi sin(k∆x)un

k = 0 (11.5)

Soitun+1

k = (1− iα) unk (11.6)

avec

α = c∆t

∆xsin(k∆x) (11.7)

Les coefficients d’amplification Gk sont donc de module > 1. On en deduitl’instabilite de ce schema quel que soit ∆t. Ce resultat negatif a fait coulerbeaucoup d’encre et a suscite de nombreuses recherches de schemas stables parmodifications simples de ce schema naturel.

11.2.2 Schemas implicites centres stables

On obtient evidemment des schemas stables en prenant des schemas implicites entemps. Par exemple on peut considerer le schema de type Euler implicite suivant :

un+1j − un

j

∆t+ c

un+1j+1 − un+1

j−1

2∆x= 0 (11.8)

Schemas pour l’equation de transport 93

On montrera en exercice que ce schema d’ordre un en temps et deux en espace.est inconditionnellement stable.

On peut egalement considerer le schema de type Crank Nicolson suivant :

un+1j − un

j

∆t+

c

2

[unj+1 − un

j−1

2∆x+

un+1j+1 − un+1

j−1

2∆x

]= 0 (11.9)

Schema d’ordre deux en temps et en espace inconditionnellement stable etconservatif (les coefficients d’amplification sont des complexes de module un).

11.2.3 Schemas explicites stables

Schema de Lax

On remplace au premier membre des equations du schema explicite centre instable

unj par

unj+1 + un

j−1

2. Ceci peut s’interpreter comme un lissage en x ou comme

l’ajout d’un terme dissipatifun

j+1 − 2unj + un

j−1

2∆tapproximant

∆x2

2∆t

∂2u

∂x2.

On obtient alors le schema de Lax suivant :

un+1j − un

j+1+unj−1

2

∆t+ c

unj+1 − un

j−1

2∆x= 0 (11.10)

On montrera en exercice que ce schema est d’ordre un en temps et stable sous lacondition de Courant Friedrichs Lewy dite condition CFL

c∆t

∆x≤ 1 (11.11)

Schema de Lax-Wendroff

On ajoute au schema explicite instable un terme dissipatif en O(∆t) correspon-

dant a une discretisation dec2∆t

2

∂2

∂x2. Une interpretation classique de cette mo-

dification consiste a remarquer que le developpement de Taylor

u(xj, tn+1) = u(xj, tn) + ∆t∂u

∂t+

∆t2

2

∂2u

∂t2+ O(∆t3) (11.12)

devient en utilisant l’equation

∂u

∂t+ c

∂u

∂x= 0 (11.13)


u(xj, tn+1) = u(xj, tn) + ∆t∂u

∂t+

c2∆t2

2

∂2u

∂x2+ O(∆t3) (11.14)

L’ajout des termesc2∆t

2

unj+1 − 2un

j + unj−1

∆x2donnera le second ordre en temps au

schema et assurera sa stabilite.

On obtient le schema de Lax-Wendroff suivant :

un+1j − un

j

∆t+ c

unj+1 − un

j−1

2∆x− c2∆t

2

unj+1 − 2un

j + unj−1

∆x2= 0 (11.15)

On calculera en exercice le coefficient d’amplification Gk de ce schema.

Chapitre 12

Introduction aux problemeshyperboliques. L’equation desondes


Considerons une membrane elastique de surface Ω, plane au repos et fixee surson bord Γ. Lors de petites vibrations transversales, le deplacement normal auplan d’equilibre en tout point x, y de Ω et a chaque instant t est une fonctionu : x, y, t −→ u(x, y, t) qui verifie l’equation :

∂2u

∂t2= c2 ∆u + f ∀(x, y) ∈ Ω et ∀t ∈ [0, T ] (12.1)

ou c designe la vitesse des ondes. Ce probleme du second ordre en temps est unmodele de probleme hyperbolique. La determination de la solution necessite defixer deux conditions initiales en temps : valeur du deplacement transversalu et de sa derivee partielle en temps, au temps 0. u(x, y, 0) = u0(x, y)

∂

∂tu(x, y, 0) = u1(x, y) (12.2)

On obtient ainsi un probleme a valeur initiale ou probleme de Cauchy.

Les conditions aux limites choisies sur la frontiere Γ sont des conditions deDirichlet homogenes mais on pourrait choisir d’autres types de conditions auxlimites comme dans les cas stationnaires ou paraboliques.

Remarque : solution stationnaire.

Lorsque la solution ne depend plus du temps (regime permanent ou stationnaire)


on retrouve une equation deja etudiee de forme :

−∆u = f ∀(x, y) ∈ Ω

+ Conditions aux limites sur Γ(12.3)



12.2.1 Premiere approche : discretisation directe de l’equationdu second ordre

Une premiere methode pour resoudre numeriquement ce probleme d’evolutionconsiste a discretiser l’equation du second ordre par differences finies. Placonsnous dans le cas monodimensionnel d’une corde de longueur L pour simplifier.On choisit une discretisation reguliere de [0, L] en intervalles de longueur ∆x telsque L = M∆x et une discretisation de l’intervalle de temps [0, T ] en pas de tempsde longueur ∆t tels que T = N∆t. Notons xj le point j∆x et tn le temps n∆t.Notons un

j la valeur de la solution approchee au point xj et au temps tn.


∂2

∂t2u(x, t) = c2 ∂2

∂x2u(x, t) ∀x ∈ [0, L] et t ∈ [0, T ]

u(x, 0) = u0(x) et∂

∂tu(x, 0) = u1(x) donnees : condition initiale

u(0, t) = u(L, t) = 0 : conditions aux limites de Dirichlet homogenes

(12.4)et choisissons les approximations classiques suivantes des derivees secondes pardifferences finies

∂2

∂t2u(xj, tn) ≈ u(xj, tn+1)− 2u(xj, tn) + u(xj, tn−1)

∆t2( a O(∆t2) pres) (12.5)

∂2

∂x2u(xj, tn) ≈ u(xj+1, tn)− 2u(xj, tn) + u(xj−1, tn)

∆x2( a O(∆x2) pres) (12.6)

Remplacons les derivees partielles par leurs approximations en differences finiesci-dessus et la fonction inconnue u par une collection de valeurs discretes un

j

pour j = 0, ..M et n = 0, ..N . Nous obtenons un premier exemple de schemad’approximation en differences finies de l’equation des ondes :

Schemas pour l’equation des ondes 97

12.2.2 Le schema differences finies explicite (en temps )et centre ( en espace)

un+1j − 2un

j + un−1j

∆t2= c2

unj+1 − 2un

j + unj−1

∆x2

u0j = u0(xj) et u1

j = u0(xj) + ∆t u1(xj) deduits des conditions initiales

un0 = un

M = 0 ∀n : conditions aux limites de Dirichlet homogenes(12.7)

Ce schema est un schema explicite car il donne une formule explicite de calculde la solution au temps tn+1 en fonction des valeurs de la solution au tempsprecedent. Il n’y a pas d’equation a resoudre pour obtenir la valeur au nouvelinstant tn+1.

Ordre

Ce schema explicite est d’ordre deux en temps et en espace (exercice).

Stabilite

Dans le cas de schemas numeriques appliques a des problemes hyperboliquesnous choisirons, comme condition de stabilite, d’imposer au vecteur des solutionsapprochees d’etre conserve ou de decroıtre en norme au cours du temps.

12.2.3 Etude de la stabilite par l’analyse de Fourier.

Reprenons la technique de calcul de la stabilite des schemas par l’analyse deFourier.

Injectons dans le schema numerique une suite de solutions de la forme

unj = un

k eikj∆x (12.8)

obtenues a partir de conditions initiales

u0j = u0

k eikj∆x (12.9)

et correspondant chacune a une composante harmonique. L’etude de la stabilitese ramene a l’etude de l’evolution au cours des pas de temps n des suites un

k

quand n augmente. La condition minimale de stabilite numerique necessite que


les nombres unk restent bornes ∀ k et ∀n = 0, ...N . Nous imposerons ici que les

nombres unk soient conserves ou decroissants en module quand n augmente.

Dans les schemas a p pas, on obtient les un+1k par multiplication par une matrice

d’amplification G(∆t, k) selon :

un+1k

unk

::

un−p+2k

= G(∆t, k)

unk

un−1k

::

un−p+1k

(12.10)

Nous choisirons alors les conditions de stabilite suivantes :

Condition de stabilite

Pour que le schema soit stable il faut qu’il existe τ > 0 tel que les valeurs propresλi de la matrice d’amplification G(∆t, k) soient toutes majorees en module par 1selon :

|λi| ≤ 1 ∀i = 1, ..p (12.11)

quel que soit k et pour tout 0 < ∆t < τ

Conditions suffisantes de stabilite

1) Si la matrice d’amplification est normale, c’est a dire qu’elle commute avec sonadjointe (ou transposee dans le cas reel)

GG∗ = G∗ G

ou bien, ce qui est equivalent, si elle admet une base de vecteurs propresorthonormes, alors la condition precedente (14.39) est suffisante.

2) La condition de normalite n’etant pas toujours verifiee, on peut utiliser lacondition suffisante suivante : le schema est stable si les coefficients de la matriceG(∆t, k) sont bornes et si ses valeurs propres sont toutes de module strictementinferieur a 1 sauf eventuellement une de module egal a 1.

Dans certains cas, comme par exemple le cas du schema aux differences finiesexplicite, on est oblige, pour conclure, de faire un calcul complet des vecteurspropres et valeurs propres de la matrice d’amplification G(∆t, k).


12.2.4 Application au schema aux differences finies expli-cite

Reprenons le schema explicite :

un+1j − 2un

j + un−1j

∆t2= c2

unj+1 − 2un

j + unj−1

∆x2(12.12)

Posonsun

j = unk exp(ikj∆x) (12.13)

On obtient :

un+1k − 2un

k + un−1k

∆t2= c2 exp(ik∆x)− 2 + exp(−ik∆x)

∆x2un

k (12.14)

soit :un+1

k = [2 + c2 ∆t2

∆x2

(2 cos(k∆x)− 2

)] un

k − un−1k

= [ 2− 4 c2 ∆t2

∆x2 sin2(k

2∆x) ] un

k − un−1k

(12.15)

Notons α2 = 4 c2 ∆t2

∆x2sin2(

k

2∆x), On obtient l’ecriture suivante de la matrice

d’amplification :(

un+1k

unk

)=

(2− α2 −1

1 0

)(un

k

un−1k

)(12.16)

Cette matrice n’est pas une matrice normale.

Les valeurs propres de la matrice 2× 2 d’amplification ci-dessus sont racines de

λ2 − (2− α2) λ + 1 = 0 (12.17)

On trouve le discriminant ∆ = α2(α2 − 4).

Si α2 > 4 le discriminant est positif et le trinome a deux racines reelles distinctesdont le produit vaut 1. L’une des deux est donc forcement de module strictementsuperieur a 1 et dans ce cas le schema est instable.

Si α2 < 4 le trinome a deux racines complexes conjuguees de module 1 et dansce cas on ne peut conclure directement car la matrice d’amplification n’est pasnormale et qu’alors la condition suffisante de stabilite n’autorise qu’une seulevaleur propre de module 1. Un calcul simple permet de verifier que si λ1 et λ2

sont valeurs propres de G, les vecteurs(

λ1

1

)et

(λ2

1

)(12.18)


sont vecteurs propres de G. On obtient ainsi

G =1

λ1 − λ2

(λ1 λ2

1 1

)(λ1 0

0 λ2

)(1 −λ2

−1 λ1

)(12.19)

D’ou

Gn =1

λ1 − λ2

(λ1 λ2

1 1

)(λn

1 0

0 λn2

)(1 −λ2

−1 λ1

)(12.20)

Gn reste donc bornee quel que soit n dans le cas de deux racines complexesconjuguees distinctes, donc a la condition que ∆ soit strictement negatif. Uneautre maniere de montrer la stabilite dans ce cas consiste a remarquer que si l’ondispose de 2 vecteurs propres independants on peut exprimer les vecteurs

(un+1

k

unk

)(12.21)

dans la base des vecteurs propres. L’action de la matrice d’iteration G se ramenedans cette base a la multiplication des composantes des vecteurs par les valeurspropres λ1 et λ2. Comme ces valeurs propres sont de module 1, le vecteur desiteres est borne en module.

Dans le cas ∆ = 0 la racine double est −1. Les deux vecteurs propres

(λ1

1

)et

(λ2

1

)(12.22)

sont alors confondus. Le sous-espace propre relatif a la valeur propre −1 est dedimension un. La matrice G n’est pas diagonalisable, mais seulement jordanisablesous la forme : ( −1 1

0 −1

)(12.23)

Les puissances niemes de G tendent vers l’infini avec n. Donc dans ce cas limitele schema est egalement instable.

En definitive la stabilite impose α2 < 4, ce qui s’exprime par la condition :

c∆t

∆x< 1 (12.24)

denommee condition de Courant Friedrichs Lewy apparaissant ici au sensstrict.


12.2.5 Un schema aux differences finies implicite decentre(en temps) et centre (en espace)

On considere le schema implicite suivant directement deduit du schema expliciteprecedent :

un+1j − 2un

j + un−1j

∆t2= c2

un+1j+1 − 2un+1

j + un+1j−1

∆x2

u0j = u0(xj) et u1

j = u0(xj) + ∆t u1(xj) deduits des condition initiales

un0 = un

M = 0 ∀n : conditions aux limites de Dirichlet homogenes(12.25)

On montrera a titre d’exercice que ce schema n’est plus que d’ordre un en temps.Mais il est inconditionnellement stable, c’est a dire stable quel que soit ∆t. Samatrice d’amplification s’ecrit avec les notations precedentes :

G(k, ∆t) =

2

1 + α2− 1

1 + α2

1 0

(12.26)

12.3 Seconde approche : Systeme du premier

ordre equivalent

L’equation du second ordre∂2u

∂t2= c2∂2u

∂x2(12.27)

se ramene en posant

v =∂u

∂tet w = c

∂u

∂x(12.28)

au systeme de deux equations du premier ordre :

∂v

∂t= c

∂w

∂x∂w

∂t= c

∂v

∂x

(12.29)

pour lequel on doit se donner les deux conditions initiales suivantes au temps zeropour v et w :

v(x, 0) =∂u

∂t(x, 0) = u1(x) (12.30)

et

w(x, 0) = c∂u

∂x(x, 0) = c

d

dxu0(x) (12.31)


ceci peut egalement s’ecrire

∂

∂t

(vw

)=

(0 cc 0

)∂

∂x

(vw

)(12.32)

On retrouve sous cette forme un systeme conservatif generalisant, dans le casd’une inconnue vectorielle, l’equation de transport etudiee au chapitre precedent.On retrouve donc, ici, les memes schemas numeriques.

12.3.1 Un premier schema explicite centre instable

On considere le schema discret evident suivant :

vn+1j − vn

j

∆t= c

wnj+1 − wn

j−1

2∆x

wn+1j − wn

j

∆t= c

vnj+1 − vn

j−1

2∆x

(12.33)

Ce schema est clairement (exercice) d’ordre un en temps et deux en espace.Etudions la stabilite. Posons

vnj = vn

k eikj∆x (12.34)

et

wnj = wn

k eikj∆x (12.35)

nous obtenons :

vn+1k − vn

k = c∆t

∆xi sin(k∆x)wn

k

wn+1k − wn

k = c∆t

∆xi sin(k∆x)vn

k

(12.36)

Soit (vn+1

k

wn+1k

)=

(1 ia

ia 1

)(vn

k

wnk

)(12.37)

avec

a = c∆t

∆xsin(k∆x) (12.38)

Les valeurs propres de la matrice d’amplification sont egales a :

λ = 1± ia donc sont de module√

1 + a2 > 1 (12.39)

On en deduit, comme pour l’equation de transport, l’instabilite de ce schema quelque soit ∆t.


12.3.2 Schemas implicites centres stables

On obtient evidemment des schemas stables en prenant des schemas implicites entemps. Par exemple on peut considerer le schema de type Euler implicite suivant :

vn+1j − vn

j

∆t= c

wn+1j+1 − wn+1

j−1

2∆x

wn+1j − wn

j

∆t= c

vn+1j+1 − vn+1

j−1

2∆x

(12.40)

On montrera en exercice que ce schema d’ordre un en temps et deux en espace.est inconditionnellement stable.

On peut egalement considerer le schema de type Crank Nicolson suivant :

vn+1j − vn

j

∆t=

c

2

[wnj+1 − wn

j−1

2∆x+

wn+1j+1 − wn+1

j−1

2∆x

]

wn+1j − wn

j

∆t=

c

2

[vnj+1 − vn

j−1

2∆x+

vn+1j+1 − vn+1

j−1

2∆x

] (12.41)

Schema d’ordre deux en temps et en espace inconditionnellement stable etconservatif (les valeurs propres de la matrice d’amplification sont deux complexesconjugues de module un).

12.3.3 Schemas explicites stables

Schema de Lax

On remplace au premier membre des equations du schema explicite centre instable

vnj par

vnj+1 + vn

j−1

2et de meme wn

j parwn

j+1 + wnj−1

2. Ceci peut s’interpreter

comme un lissage en x ou comme l’ajout d’un terme dissipatifvn

j+1 − 2vnj + vn

j−1

2∆t

approximant∆x2

2∆t

∂2v

∂x2et de meme pour w.

On obtient alors le schema de Lax suivant :

vn+1j − vn

j+1+vnj−1

2

∆t= c

wnj+1 − wn

j−1

2∆x

wn+1j − wn

j+1+wnj−1

2

∆t= c

vnj+1 − vn

j−1

2∆x

(12.42)


On montrera en exercice que ce schema est d’ordre un en temps et stable sous lacondition de Courant Friedrichs Lewy dite condition CFL

c∆t

∆x≤ 1 (12.43)

Schema de Lax-Wendroff

On ajoute au schema explicite instable un terme dissipatif en O(∆t) correspon-

dant a une discretisation dec2∆t

2

∂2

∂x2. Une interpretation classique de cette mo-

dification consiste a remarquer que le developpement de Taylor

v(xj, tn+1) = v(xj, tn) + ∆t∂v

∂t+

∆t2

2

∂2v

∂t2+ O(∆t3) (12.44)

devient en utilisant l’equation∂v

∂t= c

∂w

∂x(12.45)

v(xj, tn+1) = v(xj, tn) + ∆t∂v

∂t+

c2∆t2

2

∂2w

∂x2+ O(∆t3) (12.46)

L’ajout des termesc2∆t

2

wnj+1 − 2wn

j + wnj−1

∆x2et

c2∆t

2

vnj+1 − 2vn

j + vnj−1

∆x2donnera le

second ordre en temps au schema et assurera sa stabilite.

On obtient le schema de Lax-Wendroff suivant :

vn+1j − vn

j

∆t= c

wnj+1 − wn

j−1

2∆x+

c2∆t

2

vnj+1 − 2vn

j + vnj−1

∆x2

wn+1j − wn

j

∆t= c

vnj+1 − vn

j−1

2∆x+

c2∆t

2

wnj+1 − 2wn

j + wnj−1

∆x2

(12.47)

On montrera en exercice que la matrice d’amplification de ce schema s’ecrit :

Gk =

1 +c2∆t2

∆x2(cos(k∆x)− 1) i

c∆t

∆xsin(k∆x)

ic∆t

∆xsin(k∆x) 1 +

c2∆t2

∆x2(cos(k∆x)− 1)

(12.48)

et que ce schema est stable sous la condition CFL

c∆t

∆x≤ 1 (12.49)


Schema de Courant Friedrichs

On utilise pour stabiliser le schema explicite un maillage decale pour w parrapport au maillage de discretisation de v et un calcul implicite des w en fonctiondes v. On ecrit :

vn+1j − vn

j

∆t= c

wnj+ 1

2

− wnj− 1

2

∆x

wn+1j− 1

2

− wnj− 1

2

∆t= c

vn+1j − vn+1

j−1

∆x

(12.50)

Ce schema est globalement explicite puisque le calcul de vn+1j et vn+1

j−1 est effectue

avant le calcul de wn+1j− 1

2

. Il est equivalent au schema explicite du second ordre en

posant

vnj =

unj − un−1

j

∆t(12.51)

et

wnj− 1

2= c

unj − un

j−1

∆x(12.52)

On obtient exactement la meme condition de stabilite CFL stricte.

c∆t

∆x< 1 (12.53)

C’est d’ailleurs a propos de l’etude de ce schema que Courant Friedrichs etLewy ont introduit le concept de stabilite.

12.3.4 Interpretation de la condition de Courant-Friedrichs-Lewy

La condition de Courant Friedrichs Lewy souvent mentionnee exprime la com-patibilite necessaire entre domaine de dependance theorique et domaine dedependance numerique. Le pas de temps ∆t doit rester inferieur a la valeurlimite au dela de laquelle des parties du domaine de dependance theorique neseraient pas prises en compte dans le schema numerique. Autrement dit le do-maine de dependance numerique issu du point xj, tn+1 doit inclure le domaine dedependance theorique correspondant.

Une autre facon de dire la meme chose consiste a limiter le pas de temps de tellesorte qu’en un pas de temps ∆t l’onde ne parcourt pas une distance superieure aun pas d’espace ∆x.


Dx___c

t

tn+1

tn

instable

Droites caractristiques

stableDt

Dx Dxxi xi+1xi-1

x

Fig. 12.1 – Domaine de dependance et condition de stabilite

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E.S.C.P.I. G.M.2 - Second Cycle Equations aux …maths.cnam.fr/IMG/pdf/Poly_GM4.pdf · 6 10 Introduction aux problµemes d’¶evolution. L’¶equation de la cha-leur instationnaire