Induktivitet voda

Induktivitet nadzemnih vodova

1/29

SADRŽAJ 2. PODUŽNA INDUKTIVNOST/REAKTANSA NADZEMNOG VODA ....................................... 2

2.1 Definicija induktiviteta ................................................................................................................. 2.2 Ulančeni fluks beskonačnog ravnog vodiča punog kružnog presjeka ......................................... 2.3 Ulančeni fluksevi i induktivnost vodiča u sistemu od dva paralelna beskonačna ravna vodiča

punog kružnog presjeka ............................................................................................................ 7 2.4 Ulančeni fluksevi i induktivnost vodiča u sistemu od n paralelnih, beskonačno dugih, ravnih

vodiča punog kružnog presjeka ................................................................................................ 9 2.5 Preplet (simetriranje) vodiča nesimetričnog trofaznog voda ................................................... 18 2.6 Metoda srednjih geometrijskih udaljenosti .............................................................................. 22 2.7 Srednji geometrijski radijus (GMR) i međusobna srednja geometrijska udaljenost (GMD)

vodiča u snopu ........................................................................................................................ 26 2.8 Srednji geometrijski radijus (GMR) dalekovodnog užeta ........................................................ 27


2/29

2. PODUŽNA INDUKTIVNOST/REAKTANSA NADZEMNOG VODA Podužna reaktansa voda xV, računa se kao:

VV lx ω= (2.1) gdje lV predstavlja podužnu induktivnost voda (H/m), a f2π=ω kružnu učestalost. Induktivnost je svojstvo petlje da se suprotstavlja promjeni struje, jer svaka promjena struje izaziva promjenu obuhvatnog fluksa, a ta promjena indukuje u petlji napon suprotnog smjera. Jedinica za mjerenje induktivnosti je Henry (H). Induktivnost od 1H ima onaj strujni krug u kojem se inducira napon 1V, ako se struja ravnomjerno mijenja za 1A u 1 sekundi. Za niske učestalosti koje se koriste u EES-u (f=50Hz) moguće je koristiti pojam statičke induktivnosti. Podužna pogonska induktivnost je parametar koji se daje po fazi, te za slučaj simetričnih radnih stanja može se prihvatiti kao dovoljno tačan predstavnik za modelovanje efekta magnetnog polja. Odnosno, sa pretpostavljenom simetričnom geometrijom (vodiči trofaznog sistema postavljeni u vrhove jednakostraničnog trugla) i simetričnim strujama efekat magnetnog polja se može predstaviti pomoću induktivnosti jedne faze, koja se tada naziva pogonska induktivnost. Dakle, pogonskom induktivnosti moguće je korektno modelovati ukupni efekat magnetnog polja na trofaznom vodu, uz uvažavanje magnetnih sprega između faza. Formalno se može to uraditi samo kada je:

0III cba =++ , (2.2) jer se tada mogu koristiti monofazne ekvivalentne šeme. Prethodna formula važi i za trenutne vrijednosti struja u simetrčnom trofaznom sistemu:

tsinI2)t(a ω=i

( )32tsinI2)t(b π−ω=i

( )32tsinI2)t(c π+ω=i , (2.3) gdje I predstavlja efektivnu vrijednost struje. U praksi sistemi nisu sa idealnom geometrijom, niti su struje idealno simetrične, ali su odstupanja, osim kod jačih nesimerija nastalih uslijed nesimetričnih kratkih spojeva, umjerena i u granicama inžinjerske tačnosti.

2.1 Ulančeni fluks beskonačnog ravnog vodiča punog kružnog presjeka Za vodiče nadzemnih vodova prije svega je značajno izračunati ukupni obuhvatni fluks oko usamljenog provodnika, neograničene dužine, poluprečnika r, sa strujom I ravnomjerno rasporedjenom po površini poprečnog presjeka. Kako bi kontura bila strogo određena potrebno je zamisliti i povratni vodič negdje u beskonačnosti.


3/29

Linije magnetnog fluksa čine koncentrične krugove, na koje je vektor magnetnog polja H tangenta, baš kao i vektor dl (slika 2.1).

Slika 2.1. Magnetno polje izvan i unutar vodiča

Primjenom Amperovog zakona na konturu C1 koja se nalazi izvan provodnik na rastojanju x (x>r) i obuhvata kompletnu struju I, dobija se magnetna indukcija:

∑∫ µ= IdlB 0c1

( ) Idl,BcosdlB 0c1

µ=∠∫

I0cosdlB 0c1

µ=∫

Ix2B 0µ=π

x2IB 0 π

µ= , (2.4)

uz 70 104 −⋅= πµ [Vs/Am = H/m], na tom radijusu vrijedi:

xI102B 7 ⋅⋅= − [Vs] (2.5)

odnosno, jačina magnetnog polja izvan provodnika:

x2IHπ

= [A/m]. (2.6)


4/29

Slika 2.2. Izračunavanje fluksa oko provodnika Elementarni fluks koji prolazi kroz površinu pravougaonika širine dx u radijalnom smjeru na mjestu x , te dužine 1 m u pravcu ose vodiča (sila 2), iznosi:

( )x

dxI102dx1BdS,BcosdSBdSBd 7−⋅==∠==Φ [Vs/m]. (2.7)

S obzirom da je ovaj elementarni fluks ulančen s cjelokupnom strujom I, on istovremeno pretstavlja i elementarni ulančeni fluks izvan vodiča:

Φ=Ψ dd v (2.8) elementarni ulančeni fluks od radijusa vodiča r do udaljenosti axDx = određuje se ukupni ulančeni fluks izvan vodiča (do te udaljenosti):

rDI102

xdxI102d ax7

D

r

7D

rvv

axax

ln−− ⋅=⋅=Ψ=Ψ ∫∫ [Vs/m] (2.9)

U cilju određivanja unutarnjeg ulančenog fluksa (i dalje uz pretpostavku ravnomjerne gustoće struje po presjeku, J=Jx) izraza za struju xI , obuhvaćenu kružnicom radijusa rx < , je: Jx=J

22x

rI

xI

π=

π,

2

2

x rxII = . (2.10)

x

rJ

Jx

Slika 2.3: Podjela površine presjeka cilindričnog vodiča u svrhu

proračunavanja unutarnjeg fluksa


5/29

Primjenom Amperovog zakona dobija se magnetna indukcija i magnetno polje na udaljenosti x od ose vodiča kao:

∑∫ µ= IdlB2c

,

( ) xc

Idl,BcosdlB2

µ=∠∫ ,

2

2

r0c r

xI0cosdlB2

µµ=∫ ,

2

2

r0 rxIx2B µµ=π ,

2r7

rxI102B µ⋅= − [Vs] , (2.11)

xr2

Ix2

IBH 2π=

π=

µ= [A/m]. (2.12)

Kod cilindra jedinične dužine, prolazi fluks kroz pravougaonu površinu dx⋅1 unutar vodiča je:

dx1B0cosdSBdSBd ⋅⋅===Φ

dxrxI102d 2r

7 µ⋅=Φ − [Vs/m] (2.13) Ovaj elementarni fluks, međutim, nije ulančen s cjelokupnom strujom, nego samo s njezinim dijelom u omjeru 22 / rx (koji naime teče unutar radijusa x).

dxrxI102

rxdd 4

3

r7

2

2

u µ⋅=Φ=Ψ − [Vs/m] (2.14)

Ukupni unutarnji ulančeni fluks uΨ dobije se integriranjem elementarnog ulančenog fluksa udΨ od 0 do r :

4I102

4x

rI102dxx

rI102 r

7r

0

4

4r

7r

0

34

r7

uµ⋅

=µ⋅

=µ⋅

=Ψ−−−

∫ [Vs/m] (2.15)

Ukupni fluks magnetskih silnica koji se odnosi na 1 m dužine vodiča i koji je unutar radijusa xD ulančen sa strujom vodiča, jednak je zbiru vanjskog i unutrašnjeg ulančenog fluksa:

µ

+⋅=Ψ+Ψ=Ψ −

4rDI102 rax7

uv ln [Vs/m] (2.16)


6/29

Koristeći jednakost 4/r re4

µ=µ ln , jednačina (2.16) može se napisati u slijedećem obliku:

4/ax74/ax7

r

r

reDI102e

rDI102 µ−

−µ− ⋅=

+⋅=Ψ lnlnln [Vs/m] , (2.17)

što za 1r =µ daje:

e

ax74/1ax7

rDI102e

rDI102 lnlnln −− ⋅=

+⋅=Ψ [Vs/m], (2.18)

gdje je:

r7788,0rer 4/1e == − . (2.19)

Smisao ekvivalentnog poluprečnika re, svodi se na činjenicu da se prstenastim provodnikom takvog poluprečnika ekvivalentira u magnetnom smislu pun cilindrični provodnik poluprečnika r. Dakle, to je ekvivalentni poluprečnik punog provodnika kružnog presjeka mjerodavan za proračun induktivnosti. Ekvivalentni poluprečnik često se naziva i srednji geometrijski radijus vodiča (Geometric Mean Radius) i označava se s GMR . U slučaju Al-Fe užadi, što je standardna praksa na nadzemnim vodovima, ekvivalentni poluprečnik se sa dovoljno tačnosti izračunava kao:

r95,0rGMR e ≈= . Uz ovu oznaku, ukupni je ulančeni fluks koji se odnosi na jediničnu dužinu vodiča:

GMRDI102 ax7 ln−⋅=Ψ [Vs/m] (2.20)

Izraz (2.18) za ukupni ulančeni fluks može se shvatiti i tako da nema unutarnjeg magnetskog polja jer se jednačina sastoji iz samo jednog člana. Zapravo, djelovanje unutarnjeg polja uzeto je u obzir tako, što je vodič punog kružnog presjeka radijusa r ekvivalentiran s prstenom poluprečnika GMR i beskonačno tanke stijenke. Vanjski ulančeni fluks ovakvog prstenastog zamjenskog vodiča odgovara zbiru vanjskog i unutarnjeg ulančenog fluksa stvarnog vodiča. Sada je jednostavno induktivnost jednog provodnika dvožičnog voda po jedinici dužine dobija dijeljenjem sa strujom I:

e

ax7

rD102 lnlv

−⋅= [H/m],

ili

e

ax4

rD

102 lnlv−⋅= [H/km].


7/29

2.3 Ulančeni fluksevi i induktivnost vodiča u sistemu od dva paralelna beskonačna ravna vodiča punog kružnog presjeka

Na osnovi jednačine (2.20), u okolini vodiča a magnetski fluks po jedinici dužine vodiča do neke tačke x , ulančen s vlastitom strujom Ia, iznosi:

ae

axa

7aax r

DlnI102 −⋅=Ψ [Vs/m] (2.15)

Neka je sada prema slici 2.3 povratni vodič b smješten u zraku s 1=rµ , na udaljenosti abD od vodiča a , pri čemu vrijedi: rrr ba == i rDab >> .

abD

bxD

axDar

abrb

abD

bI I= − aI I=

Slika 2.4: Magnetsko polje u okolini dva paralelna beskonačna ravna vodiča punog kružnog presjeka

Kako vodiči pripadaju istom strujnom krugu, njihove struje zadovoljavaju uslov:

0II ba =+ (2.16) Koliki će dio ukupnog vanjskog fluksa izazvanog strujom Ib biti ulančeno sa strujom Ia? S obzirom na to da su u ravnini okomitoj na vodiče magnetske silnice generisane strujom Ib koncentrični krugovi s centrom u vodiču b, taj će ulančeni fluks abxΨ očigledno činiti silnice koje obilaze vodič b između radijusa abD i bxD ( abbx DD > ). Dakle, smatrajući vodič a u ravnini crtanja tačkastim, u izrazu (2.9) za vanjski fluks integriranje treba provesti od abD do bxD .


8/29

ab

bxb

7abx D

DI102 ln−⋅=Ψ [Vs/m] (2.17)

Ukupno ulančenje struje vodiča a do tačke x s vlastitim silnicama i dijelom silnica vodiča b , uz Ib=-Ia, iznosi:

ae

ab

bx

axa

7

ab

bx

ae

axa

7abxaaxax r

DDDI102

DD

rDI102 lnlnln −− ⋅=

−⋅=Ψ+Ψ=Ψ [Vs/m] (2.18)

Ako ∞→x , tada 1DD

bx

ax → , i tako ukupni ulančeni fluks vodiča a postaje nezavisan o x :

ae

aba

7a r

DlnI102 −⋅=Ψ [Vs/m] (2.19)

U ravnini simetrije između vodiča vrijedi jednakost udaljenosti tačke promatranja x od oda vodiča:

bxax DD = . To znači da je njihov omjer 1/ =bxax DD i ulančeni će fluks vodiča a (odnosno b ) biti nezavisan o položaju tačke x unutar ravnine simetrije. Dakle za ulančeni fluks dobije se isti izraz (2.19) kao u slučaju veoma udaljene tačke promatranja koja se nalazi izvan ravnine simetrije. Ako su poluprečnici i materijali vodiča a i b jednaki, tada jedan vodič i ravnina simetrije čine nadomjesnu sliku para vodiča ba − . Podijeli li se ukupni ulančeni fluks vodiča a prema (2.19) s vlastitom strujom, dobije se induktivnost ovakvog nadomjesnog vodiča po jedinici dužine:

ae

ab7

a

a1a r

Dln102I

−⋅=Ψ

=l [H/m]. (2.20)

Isto razmatranje, ali sa aspekta vodiča b dalo bi sličan rezultat:

be

ab7

b

b1b r

Dln102I

−⋅=Ψ

=l [H/m]. (2.21)

Zbog serijskog spoja odlaznog i povratnog vodiča, ukupna induktivnost petlje jednaka je zbiru induktivnosti obadva vodiča:

1b1a1,petlje lll += [H/m]. (2.22) U slučaju vodiča jednakih konstrukcija ( )ebeae rrr == , o čemu će kasnije još biti riječi, za induktivitet oba vodiča vrijedi:

e

ab71 r

Dln102 −⋅=== lll b1a1 [H/m]. (2.23)

Tada za induktivitet petlje naravno treba uzeti dvostruku vrijednost od one zadane formulom (2.23):

GMRD1042 ab7

11,petlje lnll −⋅=⋅= [H/m]. (2.24)


9/29

2.4 Ulančeni fluksevi i induktivnost vodiča u sistemu od n paralelnih, beskonačno dugih, ravnih vodiča punog kružnog presjeka Na slici 2.5 vidi se presjek sistema od naj ,...,= paralelnih, beskonačno dugih, ravnih vodiča punog kružnog presjeka.

Slika 2.5: Prostorni raspored sistema od n vodiča Radijusi vodiča jr i njihove međusobne udaljenosti jiij DD = su konstantne i u svakome teče struja. Vodiči pripadaju istom strujnom krugu, tako da za struje i ovdje vrijedi:

0In

ajj =∑

=

(2.25)

Ovo naravno znači da sistem vodiča ima stepen slobode ( )1−n , dakle slobodno se može odabrati ( )1−n struja u ( )1−n vodiča, a u preostalom vodiču teče u suprotnom smjeru zbir tih struja. Udaljenosti pojedinih vodiča od tačke promatranja x označit će se s jxD , a za međusobne će se udaljenosti pretpostaviti da je jij rmaxDmin >> . Nadalje, u prostoru gdje se vodiči nalaze

1=rµ . Na temelju prethodnih razmatranja, prvo će se napisati jednačina za ukupni ulančeni fluks vodiča a , dakle fluks dobijen ulančenjem vlastite struje s magnetnim silnicama vlastitog polja i silnicama polja nastalih od svih ostalih struja. Slično izrazu (2.18) dobije se:

anxacxabxaaxax ... Ψ++Ψ+Ψ+Ψ=Ψ (2.26) U gornju se jednačinu uvrštavaju izrazi slični jednačininama (2.15) i (2.17), s time da se umjessto oznake jer , iz razloga praktičnosti, za srednji geometrijski radijus koristi oznaka jjD Uz ovu oznaku taj se poluprečnik može nazvati reduciranim poluprečnikom vodiča, koji pretstavlja udaljenost osi posmatranog vodiča j od vlastite struje Ij koja teče u beskonačno tankoj stijenci zamjenskog prstenastog vodiča. Uzimajući u obzir prethodno navedeno, dobija se:


10/29

++++⋅=Ψ −

an

nxn

ac

cxc

ab

bxb

aa

axa

7ax D

DI...DDI

DDI

DDI102 lnlnlnln [Vs/m] (2.27-a)

ili u sažetoj formi:

aj

jxn

ajj

7ax D

DI102 ∑

=

−⋅=Ψ ln [Vs/m]. (2.27-b)

Nakon preuređenja, jednačina (2.27-b) postaje:

+⋅=Ψ ∑ ∑

= =

−n

aj

n

aj ajjjxj

7ax D

1IDI102 lnln [Vs/m] (2.28)

Ako ∞→x , tada sve udaljenosti ∞→jxD , pa se njihove ln-funkcije mogu izvući ispred sume u prvom članu jednačine (2.26):

+⋅=Ψ ∑ ∑

= =

−n

aj

n

aj ajjjjx

7a D

1lnIIDln102 [Vs/m] (2.29)

Prvi član u zagradi, shodno uslovu (2.25), jednak je nuli, tako da jednačina (2.29) prelazi u oblik:

∑=

−⋅=Ψn

aj ajj

7a D

1lnI102 [Vs/m] (2.30-a)

Za ostale vodiče u sistemu mogu se naravno napisati slični izrazi:

∑=

−⋅=Ψn

aj bjj

7b D

1lnI102 [Vs/m] (2.30-b)

.

.

.

∑=

−⋅=Ψn

aj njj

7n D

1lnI102 [Vs/m] (2.30-n)

Matrični oblik sistema jednačina sastavljenog od jednačina (2.30-a) do (2.30-n) glasi:


11/29

⋅

⋅=

Ψ

ΨΨ

−

n

b

a

nnnbna

bnbbba

anabaa

7

n

b

a

I...

II

D1ln...

D1ln

D1ln

......

......

......D1ln...

D1ln

D1ln

D1ln...

D1ln

D1ln

102

.

.

. [Vs/m] (2.31-a)

Uvedu li se oznake nnacabaa LLLL ...,,,, za članove matrice koeficijenata, koji pretstavljaju tzv. induktivne koeficijente po jedinici dužine vodiča, može se napisati novi oblik jednačine (2.31-a):

⋅

=

Ψ

ΨΨ

n

b

a

nnnbna

bnbbba

anabaa

n

b

a

I...

II

L...LL..................

L...LLL...LL

.

.

. [Vs/m] (2-31-b)

(Treba napomenuti, da je iz razloga jednostavnosti, kod članova matrice [ ]L u indeksu pored oznake vodiča izostavljena uobičajena jedinica, koja ukazuje na to da se radi o veličini po jedinici dužine vodiča.) Matrična jednačina (2.31-b) u sažetom obliku glasi: [ ] [ ] [ ]IL ⋅=Ψ (2.31-c) Matrica [ ]L je dakle matrica induktivnih koeficijenata i određuje vezu između ulančenih flukseva pojedinih vodiča i struja u tim vodičima. Opšti izrazi za elemente te matrice glase: • Elementi na glavnoj dijagonali:

najD

Ljj

jj ,...,;1ln102 7 =⋅= − [H/m] (2.32)

• Vandijagonalni elementi:

kjnaknajD

LLjk

kjjk ≠==⋅== − ;,...,;,...,;1ln102 7 [H/m] (2.33)


12/29

Induktivni koeficijenti prema gornjim formulama sliče koeficijentima samoindukcije i međuindukcije, jer pomnožene sa strujom daju ulančeni fluks po jedinici dužine vodiča. Međutim, ipak to nisu “pravi” induktiviteti. Naime, da bi argument ln -funkcije u izrazima elemenata matrice [ ]L bio bezdimenzioni broj, potrebno je da u formulama induktivnih koeficijenata tipa jjL i jkL dimenzija brojnika odgovara jedinici dužine. Vrijednost 1 u argumentu ln -funkcije znači dakle, da kod računanja ulančenog fluksa za određivanje npr. elementa aaL , integriranje treba izvršiti od aer (odnosno aaD ) do jedinične udaljenosti (do udaljenosti od 1 m ako je aer izražen u metrima), kao što je to na slici 2.5-a prikazano.

Slika 2.5: Geometrijske mjere za interpretiranje elemenata matrice [ ]L u slučaju voda s dva

vodiča a) Prostorni raspored b) Struje u vodičima

PRIMJER

Neka se sada prikazana metoda primijeni na sistem od dva vodiča (jednofazni vod) za što će se iskoristiti također slika 2.5-a. Vodiči su istih radijusa ( rrr ba == ) i iste konstrukcije ( GMRrDD ebbaa === ). Primjena matrične jednačine (2.29-b) na ovaj slučaj rezultuje slijedećim:

⋅

=

ΨΨ

b

a

bbba

abaa

b

a

II

LLLL

Na osnovu izraza (2.30) i (2.31), za članove matrice [ ]L (induktivne koeficijente) dobije se:

GMRDDLL

bbaabbaa

1ln1021ln1021ln102 777 −−− ⋅=⋅=⋅== [H/m]

abbaab D

LL 1ln102 7-⋅== [H/m]

Za ovaj slučaj voda od dva vodiča jednačina (2.25) glasi:

0II ba =+ Uvrštavanjem induktivnih koeficijenata u gornju matričnu jednačinu, te množenjem matrica, dobiju se dvije jednačine za ulančene fluksove vodiča:


13/29

−⋅=Ψ −

aba

7a D

1lnGMR

1lnI102 [Vs/m]

−⋅=Ψ −

abb

7b D

1lnGMR

1lnI102 [Vs/m]

Konačno, dijeljenjem ovih ulančenih flukseva sa strujama koje ih izazivaju, nastaju izrazi za induktivitete vodiča po jedinici dužine, koji su naravno, zbog simetrije jednaki:

e

ab7

abe

7

a

a1a r

Dln102D1ln

r1ln102

IL −− ⋅=

−⋅=

Ψ= [H/m]

e

ab7

abe

7

b

b1b r

Dln102D1ln

r1ln102

IL −− ⋅=

−⋅=

Ψ= [H/m]

e

ab71b1a1 r

Dln102LLL −⋅=== [H/m] (2.34-a)

Rezultat je dakle isti kao onaj zadan jednačinom (2.23). Kako je DDD baab == , umjesto (2.34-a) može se pisati:

e

71b1a1 r

Dln102LLL −⋅=== [H/m]. (2.34-b)

S obzirom na realne dužine nadzemnih vodova, povoljnije je induktivitet vodiča izraziti umjesto po metru, po kilometru dužine:

e

41b1a1 r

Dln102LLL −⋅=== [H/km] (2.34-c)

Uz pomoć jednačine (2.34-c) može se napisati i izraz za induktivnu reaktansu po kilometru dužine vodiča u jednofaznom sistemu s dva vodiča, koji vrijedi uz frekvencuju Hzf 50= u direktnom (kao i inverznom) stemu komponenata:

e

4

e

41b1a1b1a1 r

Dln10628rDln102f2LLxxx −− ⋅=⋅⋅π=ω=ω=== [Ω/km] (2.35)

U svrhu ispravne interpretacije ovih rezultata, neka se ponovno analiziraju gornji izrazi za ulančeni fluks aΨ i bΨ dvaju vodiča, koje preuređeni i ponovno napisani uz DDab = , te ab II −= glase:

ea

7a r

DlnI102 −⋅=Ψ [Vs/m]


14/29

DrlnI102

D1ln

r1lnI102 e

a7

ea

7b

−− ⋅=

+−⋅=Ψ [Vs/m]

Da bi se dobilo ukupno ulančenje strujne petlje koju čine vodiči a i b sa silnicama magnetskog polja generiranog strujom te petlje, potrebno je poznavati ulančeni fluks b−Ψ uslijed struje bI− umjesto fluksa bΨ uslijed struje bI (slika 2.5-b).

ea

7b r

DlnI102 −− ⋅=Ψ [Vs/m]

Sabiranjem ulančenih flukseva aΨ i b−Ψ dobije se naravno ukupni ulančeni fluks petlje ba − :

ea

7baab r

DlnI104 −− ⋅=Ψ+Ψ=Ψ [Vs/m].

Induktivitet koji se dobije dijeljenjem gornjeg izraza s aI , naravno je uz DDab = isti onaj zadan formulom (2.24) i, s obzirom da se radi o jedinoj petlji, pretstavlja koeficijent samoindukcije petlje

ba − :

e

7

a

ab)ab(),ab( r

Dln104I

L −⋅Ψ

= [H/m]

Zadatak 1 Slično se razmatranje može provesti i za sistem od tri vodiča prema slici (2.6).

Slika 2.6: Geometrijske mjere za interpretiranje elemenata matrice [ ]L u slučaju voda s tri vodiča c) Prostorni raspored d) Struje u vodičima

Za ulančene flukseve po jedinici dužine vodiča vrijede jednačine:

++⋅=Ψ −

acc

abb

aea

7a D

1lnID1lnI

r1lnI102 [Vs/m]


15/29

++⋅=Ψ −

bcc

beb

aba

7b D

1lnIr1lnI

D1lnI102 [Vs/m]

++⋅=Ψ −

cec

bcb

aba

7c r

1lnID1lnI

D1lnI102 [Vs/m].

Uvrštenje strujnog uslova bac III −−= dobija se:

+⋅=Ψ −

ab

acb

ae

aca

7a D

DlnIrDlnI102 [Vs/m]

+⋅=Ψ −

be

bcb

ab

bca

7b r

DlnIDDlnI102 [Vs/m]

+⋅=Ψ −

bc

ceb

ac

cea

7c D

rlnI

Dr

lnI102 [Vs/m]

Da bi se dobilo ukupno ulančenje strujnih petlji koje čine s jedne strane vodiči a i c, te s druge strane b i c sa silnicama magnetnog polja generisanog strujama tih petlji, potrebno je poznavati ulančeni fluks c−Ψ uslijed struje cI− umjesto fluksa cΨ uslijed struje cI (slika 2.6-b).

+⋅=Ψ −

−ce

bcb

ce

aca

7c r

DlnIrDlnI102 [Vs/m]

Ulančeni fluksevi petlji a-c i b-c dobiju se sumiranjem odgovarajućih ulančenih fluksova:

+⋅=Ψ+Ψ=Ψ −

−abce

bcacb

ceae

2ac

a7

caac DrDDlnI

rrDlnI102 [Vs/m]

+⋅=Ψ+Ψ=Ψ −

−cebe

2bc

bceab

bcaca

7cbbc rr

DlnIrD

DDlnI102 [Vs/m]

Ove jednačine pisane u formaliziranome obliku glase:

bc,acbac,acaac LILI +=Ψ

bc,bcbac,bcabc LILI +=Ψ Koeficijenti acacL , i bcbcL , mogu se interpretirati kao koeficijenti samoindukcije (po jedinici dužine) petlji a-c i b-c, a koeficijenti acbcbcac LL ,, = kao koeficijenti međuindukcije između tih petlji. Sistem jednačina za ulančene flukseve petlji može se poopštiti za bilo koji broj vodiča n u prijenosnom sistemu. Ako se naime n -ti vodič smatra referentnim, onda se formira 1−n neovisnih petlji, za koje se može napisati 1−n matematički nezavisnih jednačina za ulančene flukseve, koje se dobiju iz matrične jednačine (2.31-c) korištenjem uslova 1nban I...III −−−−−= :


16/29

n)1n(,n)1n(1nbn,n)1n(ban,n)1n(an)1n(

n)1n(,bn1nbn,bnban,bnabn

n)1n(,an1nbn,anban,anaan

LI...LILI...

LI...LILI

LI...LILI

−−−−−−

−−

−−

+++=Ψ

+++=Ψ

+++=Ψ

(2.36)

Određivanje npr. koeficijenta međuindukcije jn,inL između petlji i-n i j-n moglo bi se fizikalno

provesti tako da se na prigodan način mjeri ulančeni fluks inΨ petlje i-n, pri čemu jedinična struja teče samo u petlji j-n, a u ostalim su petljama struje jednake nuli. Matematički:

1n,...,2,1j,i;I

Lj

injn,in −=

∂Ψ∂

= (2.37)

pri čemu je za koeficijente samoindukcije i=j. Gornje razmatranje jasno dokazuje da je fizikalno jedino ispravno govoriti o induktivitetu petlje. Međutim, jednofazni prikaz trofaznog stema zahtijeva uvođenje već navedenog pojma induktiviteta faze odnosno vodiča. Induktivitet jednog vodiča može se, kao što se vidjelo, izračunati kod jednofaznog voda s dva vodiča, te – kao što će se prikazati – kod simetričnog trofaznog voda s vodičima smještenim u vrhovima istostraničnog trokuta. Zadatak 2 Simetrični trofazni vod prikazan je na slici 2.7, pri čemu naravno vrijede geometrijski odnosi:

DDDDDDDGMRDDD cbbccaacbaabccbbaa ========= ; .

Slika 2.7: Vodiči simetričnog trofaznog voda Jednačina za struje (2.25) glasi sada:


17/29

0III cba =++ . Zbog simetrije dovoljno je napisati izraz za ulančeni fluks vodiča a, uzimajući u obzir da je (također iz razloga simetrije) acab LL = :

( ) ( ) aabaacbabaaacacbabaaaa ILLIILILILILIL −=++=++=Ψ Prema tome, induktivitet po jedinici dužine bilo kojeg vodiča dobije se kao:

=⋅=

−⋅=−=

Ψ==== −−

aa

ab7

abaa

7abaa

a

a1c1b1a1 D

Dln102D1ln

D1ln102LL

ILLLL

e

7

rDln102 −⋅= [H/m] (2.38)

Treba uočiti da je, što se oblika tiče, dobijen je isti izraz kao (2.34-b) za jednofazni vod s dva vodiča. Induktivitet prema (2.38) pretstavlja tzv. pogonski induktivitet trofaznog voda, dakle induktivitet s kojim se trofazni vod može pretstaviti u jednofaznom prikazu. To je ujedno induktivitet direktnog (jednako i inverznog) sistema u komponentnom prikazu. Prema tome, u slučaju simetrično izgrađenog, napajanog i opterećenog voda dovoljno je provesti jednofazni proračun, s tim da se promatranom (referentnom) vodiču mora pridružiti bezimpedantni povratni vodič. Dakle u ovom slučaju, nasuprot jednofaznom vodu s dva vodiča, induktivitet strujne petlje s kojom se nadomještava trofazni vod, jednak je induktivitetu samo jednog vodiča trofaznog voda. Induktivna reaktansa vodiča po km dužine simetričnog trofaznog voda na temelju jednačine (2.38), pri frekvenciji od Hzf 50= , glasi:,

=⋅⋅π=ω=ω=ω==== −

e

41c1b1a1c1b1a1 r

Dln102f2LLLxxxx

e

4

rDln10628 −⋅= [Ω/km] (2.39)


18/29

2.5 Preplet (simetriranje) vodiča nesimetričnog trofaznog voda Ako su ose tri vodiča trofaznog voda smještene u vrhove istostraničnog trugla, kaže se da je vod simetričan, pa bi sva tri vodiča, pod uslovom da im je isti presjek i da su od istog materijala, imali isti induktivitet. Međutim, konstrukcijom vodova se ta simetrija rijetko postiže. Pojedini vodiči istog voda tada imaju nejednake induktivitete, pa zbog toga i nejednake reaktanse. Različiti padovi napona u pojedinim fazama dovode u pogonu do izobličenja zvijezde napona i do pogonskih poteškoća. Ako se trofazni vod po dužini podijeli na tri jednaka sektora (slika 2.8), te se fazni vodiči u tim sektorima vode u različitim pozicijama prema stubu, tada će u odnosu na krajeve voda – uz pretpostavku istog materijala, jednake konstrukcije i jednakih radijusa vodiča - induktiviteti svih vodiča čak i u slučaju nesimetričnog voda biti jednaki.

a

bc

13D 12D

23D

1

23

a

b

c

c

a

b

b

c

a

SEKCIJA I SEKCIJA II SEKCIJA III

ab

c13D 12D

23D

1

23a

b

c

13D 12D

23D

1

23

l/3 l/3 l/3

1

2

3 3

2

11, 2, 3 - položajvodiča na stubu

a, b, c - oznake faze

Slika 2.8: Preplet vodiča nesimetričnog trofaznog voda Ovakav preplet, koji se vrši na dalekovodnim stubovima, obezbijeđuje jednake impedanse vodiča, a time i jednake padove napona duž sva tri vodiča, što je uslov za uspostavljanje simetričnih strujno – naponskih prilika na vodu. Za ulančene flukseve faznih vodiča cba ,, mogu se primijeniti jednačine (2.30). Tako za vodič a vrijedi:

∑=

−⋅=Ψc

aj ajja D

I 1ln102 7 [Vs/m] (2.40)

Kako se ulančeni fluks po sekcijama prepleta mijenja, potrebno je napisati izraze za ulančene fluksove vodiča a u tim sekcijama, vodeći računa o pozicijama vodiča u pojedinim dionicama:

=

++⋅=Ψ −

acc

abb

aaaaI D

ID

ID

I 1ln1ln1ln102 7

++⋅= −

1312

7 1ln1ln1ln102D

ID

IGMR

I cba [Vs/m] (2.41)


19/29

=

++⋅=Ψ −

acc

abb

aaaaII D

ID

ID

I 1ln1ln1ln102 7

++⋅= −

1223

7 1ln1ln1ln102D

ID

IGMR

I cba [Vs/m] (2.42)

=

++⋅=Ψ −

acc

abb

aaaaIII D

ID

ID

I 1ln1ln1ln102 7

++⋅= −

2313

7 1ln1ln1ln102D

ID

IGMR

I cba [Vs/m] (2.43)

Gornji ulančeni fluksevi odnose se na po jednu trećinu dužine voda, tako da se za cijelu dužinu L može napisati jednačina za srednju vrijednost ulančenog fluksa faze a :

( )aIIIaIIaIaLL Ψ+Ψ+Ψ=⋅Ψ3

(2.44) Odnosno ulančeni fluks za jedinicu dužine vodiča a dobije se kao:

( ) =Ψ+Ψ+Ψ=Ψ aIIIaIIaIa 31

=

++⋅⋅= −

231213231312

7 1ln1ln1ln310231

DDDI

DDDI

GMRI cba

++⋅= −

3231312

3231312

7 1ln1ln1ln102DDD

IDDD

IGMR

I cba [Vs/m] (2.45)

Uvodeći oznaku:

3231312 DDDDsr = (2.46)

za geometrijsku srednju vrijednost međusobnih udaljenosti vodiča, jednačina (2.45) prelazi u jednostavniji oblik:

=

++⋅=Ψ −

src

srbaa D

ID

IGMR

I 1ln1ln1ln102 7

( )

++⋅= −

srcba D

IIGMR

I 1ln1ln102 7 [Vs/m] (2.47)

Na temelju uslova pripadnosti svih vodiča istom strujnom krugu (2.25) vrijedi naravno:

acb III −=+ , što nakon uvrštenja u (2.47) daje:


20/29

GMRDI

DI

GMRI sr

asr

aaa ln1021ln1ln102 77 −− ⋅=

−⋅=Ψ [Vs/m] (2.48)

Podijeli li se aΨ s aI , dobije se induktivitet vodiča a po jedinici dužine prepletenog, dakle simetriranog trofaznog voda:

GMRDl sr

a ln102 71

−⋅= [H/m] (2.49)

Ovo znači da se induktivitet po jedinici dužine vodiča simetriranog trofaznog voda računa iz izraza koji formalno odgovara izrazu (2.38) za simetrični trofazni vod. Razlika je u tome, što se kod prepletenog voda umjesto jednakih međusobnih udaljenosti vodiča D u brojniku argumenta ln -funkcije koristi srednja geometrijska vrijednost srD različitih međusobnih udaljenosti. Treba napomenuti da u slučaju kraćih, nesimetrično građenih vodova, dužine do oko 60 km, nesimetrija induktiviteta i kapaciteta pojedinih vodiča nije značajna, pa se može računati s matematičkom srednjom vrijednošću induktiviteta faznih vodiča. Općenito vrijedi, da je u slučaju voda s n vodiča pri prepletu potrebna podjela na n sekcija. Kod dvosistemskih trofaznih vodova razlikuje se djelimični (slika 2.9a) i potpuni preplet (slika 2.9b).

Slika 2.9a: Djelimični preplet vodiča dvosistemskog nesimetričnog trofaznog voda

Kod djelimičnog prepleta međusobni induktiviteti među vodovima nisu jednaki, pa iako su vodovi svaki za sebe potpuno simetrirani, simetrija nije postignuta. Provođenjem prepleta u slučaju dvosistemnog trofaznog voda prema slici 2.9b postiže se skoro potpuna simetrija.


21/29

a

b

c

b

c

a

l/3 l/3 l/3

1'

2 '

3' 3'

2 '

1'1, 2,3

, ,

polozaj vodicana stupu

a b c oznake faze

−

−

c

a

b

c''

a''

b''

c''

a''

b''

b''

a''

c''c''

c''

c''

c''

a''

a''

a''

a''

b''

b''

b''

b''

l/9 l/9 l/9

1'' 1''

2 '' 2 ''

3''3''

Slika 2.9b: Potpuni preplet vodiča dvosistemskog nesimetričnog trofaznog voda Svakoj sekciji preplitanja (svakoj trećini) sistema s jednom crtom pripadaju tri sekcije (jedan potpuni ciklus preplitanja) sistema s dvije crte. Tako vodiči sistema s dvije crte poprimaju sve tri pozicije unutar jedne sekcije, dakle na trećini cjelokune dužine. Preplet trojke s dvije crte može se izostaviti na mjestima gdje je izvršen preplet trojke s jednom crtom. S obzirom na paralelni spoj vodiča istoimenih faza u dva sistema, u odnosu na krajeve voda induktivitet po jedinici dužine bilo koje faze ovako simetriranog dvosistemskog voda jednak je polovini vrijednosti induktiviteta simetriranog jednosistemskog voda:

'

'7

'

3 '3'2'3'1'2'171 ln102

21ln102

21

GMRD

GMR

DDDl sr−− ⋅⋅=⋅⋅= [H/m] (2.50)

gdje se '

srD i 'GMR odnose na trojku s jednom crtom. Na sličan se način može napisati i izraz za direktnu (i inverznu) induktivnu reaktanciju za Hzf 50= :

'

'4

'

'4

11 ln10314ln102212

GMRD

GMRDflx srsr −− ⋅=⋅⋅⋅== πω [Ω/km] (2.51)


22/29

2.6 Metoda srednjih geometrijskih udaljenosti

Uslov pripadnosti svih vodiča nekog voda istom strujnom krugu 0=∑=

n

ajjI omogućava da se,

podjelom tih vodiča na osnovu smjera struje u njima u dvije skupine, stvore dva ekvivalentna vodiča: “odlazni” i “povratni” koji obrazuju jednu ekvivalentnu petlju. Zatim se izračuna induktivitet jednog ili drugog ekvivalentnog vodiča kojim je obuhvaćena jedna ili druga skupina vodiča. Na slici 2.10 prikazana je upravo takva situacija s nekim naznačenim “udaljenostima vodiča od vlastitih struja” (npr. aaD ) i međusobnim udaljenostima vodiča (npr. ,, 1aax DD itd.).

Slika 2.10: Podjela vodiča nekog voda u skupine “odlaznih” i “povratnih” vodiča U vodičima xbaj ,...,,= skupine “odlaznih” vodiča A teče ukupna struja I+ , a u vodičima

yi ,...,2,1= skupine “povratnih” vodiča B ukupna struja I− . Ukupni brojevi vodiča x i y u skupinama ne moraju biti jednaki, ali zadovoljavaju uvjet: nyx =+ . Dakle:

IIx

ajj +=∑

=

(2.52)

IIy

ii −=∑

=1

(2.53)

Pretpostavlja se nadalje da pojedini vodiči u skupini A vode upravu x -ti dio ukupne struje, a u skupini B y -ti dio:

xII j = (2.54)

yII i −= (2.55)

U slučaju nesimetričnog rasporeda vodiča, gornja dva izraza mogu biti zadovoljena samo ako se izvrši opisani preplet, odnosno simetriranje vodiča.


23/29

Na odgovarajući način modificirane jednačine za ulančene fluksove vodiča skupine A na temelju stema jednačine (2.30) glase:

=

−⋅=

+⋅=Ψ ∑ ∑∑ ∑

= =

−

= =

−x

aj

y

1i aiaj

7x

aj

y

1i aii

ajj

7a D

1lnyI

D1ln

xI102

D1lnI

D1lnI102

( )( )x

1

axabaa

y1

ay2a1a7

D...DD

D...DDlnI102

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= − [Vs/m] (2.56-a)

=

−⋅=

+⋅=Ψ ∑ ∑∑ ∑

= =

−

= =

−x

aj

y

1i bibj

7x

aj

y

1i bii

bjj

7b D

1lnyI

D1ln

xI102

D1lnI

D1lnI102

( )( )x

1

bxbbba

y1

by2b1b7

D...DD

D...DDlnI102

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= − [Vs/m] (2.56-b)

.

.

.

=

−⋅=

+⋅=Ψ ∑ ∑∑ ∑

= =

−

= =

−x

aj

y

1i xixj

7x

aj

y

1i xii

xjj

7x D

1lnyI

D1ln

xI102

D1lnI

D1lnI102

( )( )x

1

xxxbxa

y1

xy2x1x7

D...DD

D...DDlnI102

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= − [Vs/m] (2.56-n)

Kako u pojedinim vodičima skupine A teče x -ti dio ukupne struje, za ulančeni fluks ekvivalentnog vodiča koji zamijenjuje tu skupinu vodiča, može se uzeti matematička srednja vrijednost ulančenih flukseva vodiča xba ,...,, :

( ) =Ψ++Ψ+Ψ=Ψ xbaA x...1

( )( )

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −

xxxxabxbaaxaa

yxyxbybaya

DDDDDD

DDDDDDxI

1

1

1117

............

............ln102

2 ............

............ln102 1117

xxxxabxbaaxaa

xyxyxbybaya

DDDDDD

DDDDDDI

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= − [Vs/m] (2.57)

Uvođenjem oznaka:

xyxyxbybaya DDDDDDGMD ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ............ 111 (2.58)

2 ............x xxDxaDbxDbaDaxDaaDAGMR ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (2.59)

za ulančeni fluks skupine “odlaznih” vodiča A dobije se konačno:


24/29

AA GMR

GMDI ln102 7−⋅=Ψ [Vs/m] (2.60)

U ovom je izrazu GMD (u anglosaksonskoj literaturi skraćenica od Geometric Mean Distance), koji kao što se vidi sadrži sve međusobne udaljenosti vodiča između dviju skupina, zove se međusobna srednja geometrijska udaljenost. AGMR , koji sadrži sve “udaljenosti vodiča od vlastitih struja” unutar skupine A, kao i sve međusobne udaljenosti u toj skupini, je već poznati srednji geometrijski radijus, koji se ovoga puta odnosi na skupinu A, dakle na nadomjesni vodič A. Do induktiviteta po jedinici dužine ekvivalentnog vodiča A dolazi se nakon što se ulančeni fluks podijeli sa strujom:

A

AA GMR

GMDI

l ln102 71

−⋅=Ψ

= [H/m] (2.61)

Pri određivanju induktiviteta pojedinih vodiča treba uzeti u obzir, da su vodiči po skupinama paralelno spojeni, dakle induktivitet jednog vodiča jednak je n -strukoj vrijednosti induktiviteta skupine A. Ovo znači da upravo opisana metoda srednjih geometrijskih udaljenosti (SGU) omogućava određivanje srednjih vrijednosti induktiviteta vodiča. Nakon sličnog izvođenja dolazi se i do izraza za induktivitet po jedinici dužine skupine vodiča B :

B

BB GMR

GMDI

l ln102 71

−⋅=Ψ

= [H/m] (2.62)

Koristeći izraze za induktivitete (2.61) i (2.62) izvedene metodom srednjih geometrijskih udaljenosti, induktivna reaktancija po km dužine skupina (nadomjesnih vodiča) A i B određuje se prema izrazima:

AAA GMR

GMDlx ln10628 411

−⋅== ω [Ω/km] (2.63)

BBB GMR

GMDlx ln10628 411

−⋅== ω [Ω/km] (2.64)

Konačno, potrebno je primijetiti, da u slučaju simetriranog voda za određivanje međusobne srednje geometrijske udaljenosti GMD , umjesto formule (2.59) treba koristiti izraz za geometrijsku srednju vrijednost međusobnih udaljenosti vodiča srD (2.46). U svrhu dokazivanja toga neka posluži slika (2.12):

a

bc

13D 12D

23D

1

2

3 a b

c

13D 12D

23D

1

2

3ab

c

13D 12D

23D

1

2

3A

BA

A

BB

Slika 2.12: Uz određivanje GMD za simetrirane vodove


25/29

Primjena metode SGU na sve tri sekcije preplitanja voda uz 1x = i 2y = , te

GMRGMRGMRGMR cba === daje slijedeće rezultate: a) Sekcija I

1213DDGMDI =

GMRDD

GMRGMDl I

aI121377

1, ln102ln102 −− ⋅=⋅= [H/m]

b) Sekcija II

2312 DDGMDII =

GMRDD

GMRGMDl II

aII231277

1, ln102ln102 −− ⋅=⋅= [H/m]

c) Sekcija III

2313DDGMDIII =

GMRDD

GMRGMDl III

aIII231377

1, ln102ln102 −− ⋅=⋅= [H/m]

Induktivitet koji se odnosi na cijelu dužinu faze a jednak je zbroju induktiviteta triju sekcija:

( )

++⋅=++== −

GMRDD

GMRDD

GMRDDLLLLLLll aIIIaIIaIaa

23132312121371,1,1,1 lnlnln102

33 [H]

Za induktivitet po jedinici dužine može se pisati:

=

⋅=⋅== −− 3

1

32313127

223

213

2127

1 ln102ln10231

GMRDDD

GMRDDD

Lll a

a

GMRDDD3

2313127 ln102 −⋅= [H/m]

Izraz u brojniku argumenta ln -funkcije je upravo spomenuta geometrijska srednja vrijednost međusobnih udaljenosti vodiča srD prema formuli (2.46). Dakle u ovom slučaju vrijedi:

GMRDl sr

a ln102 71

−⋅= [H/m] (2.65)


26/29

2.7 Srednji geometrijski radijus (GMR) i međusobna srednja geometrijska udaljenost (GMD) vodiča u snopu

Izgradnjom zračnih dalekovoda sve viših napona bilo je potrebno riješiti problem prouzrokovan pojavom zračenja odnosno efekta korone na površini vodiča. U tu je svrhu došlo do primjene užeta sve većih promjera, pa čak i šupljih vodiča. Mehanički problemi i poteškoće pri montiranju šupljih vodiča usmjerili su traženje rješenja ka snopovima vodiča, što danas pretstavlja najjednostavnije rješenje. Jedna faza voda s vodičima u snopu sastoji se od dva, tri, ili više užeta, koji su smješteni na obodu kružnice promjera 40 – 80 cm, simetrično u odnosu na centar kružnice (slika 2.13)

a b c

r

rd d d

A

abD bcD

acD

Slika 2.13: Trofazni vod sa snopovima od po tri vodiča Međusobni položaj užeta koji pripadaju pojedinim fazama održava se posebnim odstojnicima. Elektromagnetsko polje oko snopastih faznih vodiča približno je istog oblika kao da se ono izgradilo oko valjka čiji polumjer odgovara određenom, za snop karakterističnom polumjeru. Što je više vodiča u snopu, to se više oblik elektromagnetskog polja približava obliku polja stvorenog oko valjka. Prilikom proračuna – metodom SGU - karakterističnog poluprečnika snopa, koji nije ništa drugo nego srednji geometrijski radijus snopa snopaGMR , međusobna će se udaljenost susjednih vodiča unutar snopa označiti s d , a radijus kružnice opisane oko vodiča s A, kao što je to prikazano na slici 2.14 za slučaj snopova od dva, tri i četiri vodiča. Nadalje će se pretpostaviti da bilo kojim vodičem snopa od N užeta teče N -ti dio struje te faze.

d

A

d

A 01803

d

Ar

Slika 2.14: Snopovi od dva, tri i četiri vodiča


27/29

Proračun srednjeg geometrijskog radijusa snopa za tri navedena slučaja – uzimanjem u obzir geometrijskih odnosa sa slike 2.14 – daje slijedeće rezultate (uz napomenu da u niženavedenim izrazima GMR označava srednji geometrijski radijus vodiča geometrijskog radijusa r ): a) Snop od dva vodiča

xN == 2 dGMRdGMRGMRsnopa ⋅=⋅= 4 22

Ad 2= AGMRGMRsnopa 2⋅=

b) Snop od tri vodiča

3=N 3 29 63 dGMRdGMRGMRsnopa ⋅=⋅=

AAAd 323260sin2 ===

3 23AGMRGMRsnopa ⋅= c) Snop od četiri vodiča

4=N

( ) 4 316 484 22 dGMRddGMRGMRsnopa ⋅=⋅=

AAAd 222245cos2 ===

4 34AGMRGMRsnopa ⋅= Prema tome, u slučaju simetrično izgrađenog snopa s x vodiča može se izračunati srednji geometrijski radijus snopa snopaGMR iz opšeg izraza:

x 1xsnopa AGMRNGMR −⋅⋅= (2.66)

Ako se metodom SGU želi izračunati induktivitet voda s vodičima u snopu, tada se pri određivanju međusobne srednje geometrijske udaljenosti GMD - smatrajući pojedine snopove faznim vodičima - u obzir treba uzeti udaljenosti između centara kružnica opisanih oko vodiča koji čine te snopove (slika 2.13).

2.8 Srednji geometrijski radijus (GMR) dalekovodnog užeta Iako je u dosadašnjim razmatranjima navedeno da se vodiči nadzemnih dalekovoda grade kao užeta (ili čak snopova užeta), pletena od metalnih žila, ipak u proračunima se šutke prešlo preko toga i vodič se smatrao valjkom punog kružnog presjeka. Postavlja se pitanje koliki je srednji geometrijski radijus (reducirani radijus) GMR užeta uz napomenu da, kao što se vidjelo, u slučaju valjkastog vodiča punog kružnog presjeka radijusa r vrijedi: rGMR 7788,0= . Da bi se dobio odgovor na to pitanje, izraz (2.59) za srednji geometrijski radijus skupine “odlaznih” vodiča A traba primijeniti na jedno uže, smatrajući upravo njegove žile “odlaznim” vodičima.


28/29

Primjera radi, neka se razmotri slučaj užeta prema slici 2.15, pletenog od sedam žila istih presjeka.

R

2r

r

2r

2r

2 3r

Slika 2.15: Uže pleteno od sedam žila istih presjeka Tretirajući dakle žile užeta skupinom “odlaznih” vodiča A uz 7=x , na osnovi naznačenih udaljenosti na slici 2.15, te formule (2.59) može se napisati izraz za užetaGMR , koji sadrži ukupno 49 udaljenosti: 42 međusobne udaljenosti i 7 reduciranih radijusa žila:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r1759,2r4r32r2r2r7788,0GMR 49 6121867užeta ==

Ovaj rezultat treba još preračunati na radijus vanjske obuhvatne kružnice. Radijus te kružnice je

rR 3= , odnosno 3/Rr = , dakle:

RRGMRužeta 7253,03

1759,2==

Ovo je očigledno manja vrijednost od R7788,0 , koja bi se dobila za valjak radijusa R . Rezultate sličnog proračuna srednjeg geometrijskog radijusa užeta s različitim brojem žila sadrži tablica 2.1: Tablica 2.1

Broj žila u užetu Srednji geometrijski radijus užeta GMRužeta

7 0,725 R 19 0,757 R 37 0,768 R 61 0,772 R 91 0,774 R 127 0,775 R

Srednji se geometrijski radijus užeta može izraziti i u funkciji stvarnog presjeka užeta. Taj presjek A za uže od 7 žila iznosi:

π27rA=


29/29

Prema tome, radijus žile r je:

π7Ar =

Konačno:

AArGMRužeta 465,07

1759,21759,2 ===π

Tablica 2.2 sadrži srednji geometrijski radijus užeta u funkciji različitih brojeve žila u užetu: Tablica 2.2

Broj žila u užetu Srednji geometrijski radijus užeta GMRužeta

7 0,465 A 19 0,490 A 37 0,499 A 61 0,502 A 91 0,504 A 127 0,505 A

Documents

Induktivitet voda