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두 모집단의 비교
Inference about
two populations
학습내용
두 모분산의 비교
두 모평균의 비교
모집단이 독립이 경우
모분산이 같은 경우
모분산이 다른 경우
모집단이 종속인 경우
두 모비율의 비교
F 분포
).1,1(~/
/212
2
2
2
2
1
2
1 nnFS
SF
),(~2
111 NX
n1
),(~2
222 NX
n2 2
1S2
2S
Excel 함수- Office 2010
확률
P(F<a) = f.dist(a,m,n,true)
P(F>a) = f.dist.rt(a,m,n)
F 값
P(F>a) = 인 a=F(m,n)
a = f.inv(1- ,m,n)
a = f.inv.rt(, m,n)
예
m=5, n=10
P(F<3.33) = f.dist(3.33,5,10,true)=0.9502
P(F>a)=0.05 인 a = f.inv(0.95,5,10)=3.3258
F(m,n)
검정통계량
),(~2
111 NX
n1
),(~2
222 NX
n2
2
1S2
2S
true.is H if )1,1(~/
:
021
2
2
2
1
2
2
2
10
nnFSSF
H
)1,1(~/
/212
2
2
2
2
1
2
1 nnFS
SF
가설검정
③
For ②
For For ①
검정통계량
귀무가설
).1,1(or
)1,1( ifHreject ,:HFor (3)
).1,1( ifHreject ,:HFor )2(
).1,1( ifHreject ,:HFor (1)
:
212/1
212/ 0
2
2
2
11
211 0
2
2
2
11
21 0
2
2
2
11
2
2
2
1
2
2
2
10
nnFF
nnFF
nnFF
nnFF
S
SF
H
검정통계량
기각역
).1,1( ifHreject ,:HFor 2112
2
2
1 0
2
2
2
11 nnFS
SF
),(),(
1
1
mnFnmF
).1,1()1,1(
11 12
211
2
1
2
2
nnFnnFS
S
F
).1,1( ifHreject ,:HFor 122
1
2
2 0
2
1
2
21 nnFS
SF
가설검정
③
For ②
For For ①
검정통계량
귀무가설
.)1,1( ifHreject ,:HFor (3)
).1,1( ifHreject ,:HFor )2(
).1,1( ifHreject ,:HFor (1)
:
2/2
2
0
2
2
2
11
122
1
2
2 0
2
1
2
21
212
2
2
1 0
2
2
2
11
2
2
2
10
SL
S
L nnFS
S
nnFS
S
nnFS
S
H
Solution Template
선택
H0:
H1:
test statistic :
= , n1=n2=
Critical Value(s):
계산
통계량 :
검정통계량 값:
p 값 :
Decision:
해석
두 모평균 차의 분포
분포? 의 21 XX
?~//
)()(
2
2
21
2
1
2121
nn
XXZ
n1
),(~2
222 NX
n2
) , ( ~ 2
1 1 1 N X
(A) 1=2일 때(등분산 가정)
.2
)1()1( where
)2(~/1/1
)()(
21
2
22
2
112
21
21
2121
nn
SnSnS
nntnnS
XXT
p
p
true.is H if )2(~/1/1
:H
021
21
021
0210
nntnnS
DXXT
D
p
pooled estimator of 2
(합동 추정치)
)1,0(~/1/1
)()(
//
)()(
21
2121
2
2
21
2
1
2121 Nnn
XX
nn
XXZ
추론: 1=2일 때(등분산 가정)
).2(|| ifHreject ,:HFor (3)
).2( ifHreject ,:HFor )2(
).2( ifHreject ,:HFor (1)
2
)1()1(,
/1/1
:
212/ 00211
21 00211
21 00211
21
2
22
2
11
21
021
0210
nnttD
nnttD
nnttD
nn
snsns
nns
Dxxt
DH
p
p
21212/21 /1/1)2( nnsnntxx p 신뢰구간 :
Solution Template
선택
H0:
H1:
test statistic :
= , n1 =n2=
Critical Value(s):
계산
통계량 :
검정통계량 값:
p 값 :
Decision:
해석
(B) 12일 때(이분산 가정)
).(|| ifHreject ,:HFor (3)
).( ifHreject ,:HFor )2(
).( ifHreject ,:HFor (1)
1
)/(
1
)/(
)//( with ,
:
2/ 00211
00211
00211
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
2
2
2
1
2
1
021
0210
mttD
mttD
mttD
n
ns
n
ns
nsnsm
n
s
n
s
Dxxt
DH
//)( 2
2
21
2
12/21 nsnsmtxx 신뢰구간 :
Excel output
F-검정: 분산에 대한 두 집단
Offspring Outsider
평균 -0.1 1.236
분산 3.787 8.035
관측수 42 98
자유도 41 97
F 비 0.471
P(F<=f) 단측 검정 0.004
F 기각치: 단측 검정 0.631
t-검정: 이분산 가정 두 집단
Offspring Outsider
평균 -0.1 1.236
분산 3.787 8.035
관측수 42 98
가설 평균차 0
자유도 111
t 통계량 -3.220
P(T<=t) 단측 검정 0.001
t 기각치 단측 검정 1.659
P(T<=t) 양측 검정 0.002
t 기각치 양측 검정 1.982 2
1
2
21 :H
데이터-데이터분석-F검정 데이터-데이터분석-t검정: 이분산가정 두집단
두 모평균의 비교: 독립표본 (요약)
).(|| ifHreject ,:HFor (3)
).( ifHreject ,:HFor )2(
).( ifHreject ,:HFor (1)
2/ 00211
00211
00211
mttD
mttD
mttD
1
)/(
1
)/(
)//(
,//
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
2
2
21
2
1
021
n
ns
n
ns
nsnsm
nsns
Dxxt
: 0210 DH
2
2
)1()1(
,/1/1
21
21
2
22
2
11
21
021
nnm
nn
snsns
nns
Dxxt
p
p
?)1,1(/ 2/
22 SLSL nnFSS
yes no
등분산?
가정의 검토
가정: 두 모집단이 정규분포를 따른다.
가정에 위배될 경우
등분산 : Wilcoxon rank-sum test(비모수검정)
이분산 : 없음
예제
새로운 종류의 비료가 현재 사용되는 비료보다 더 효과적인지를 결정하기 위해 전국적으로 흩어져 있는 12개의 2에이커 토지를 선택하였다. 각 2에이커 토지는 동일한 크기로 둘로 분할하였다. 분할된 토지에는 각각 현재의 비료와 새로운 비료를 사용하여 밀을 재배한 후 수확량을 측정하였다.
토지 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
현재의 비료
56 45 68 72 61 69 57 55 60 72 75 66
새로운 비료
60 49 66 75 62 71 61 60 62 75 77 68
두 모집단의 비교(독립성 가정)
t-검정: 등분산 가정 두 집단
현재의 비료 새로운 비료
평균 63.000 65.500
분산 78.364 66.091
관측수 12.000 12.000
공동(Pooled) 분산 72.227
가설 평균차 0.000
자유도 22.000
t 통계량 0.721
P(T<=t) 단측 검정 0.239
t 기각치 단측 검정 1.717
P(T<=t) 양측 검정 0.479
t 기각치 양측 검정 2.074
대응비교
.1
)( where
true,is H if )1(~/
:H
Let
2
2
0
0
n
xxs
ntns
DxT
D
YWX
j
YW
iii
대응비교 ...
토지 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
현재의 비료
56 45 68 72 61 69 57 55 60 72 75 66
새로운 비료
60 49 66 75 62 71 61 60 62 75 77 68
차이 4 4 -2 3 1 2 4 5 2 3 2 2
000.0
722.412/834.1
0.05.2
/
0
834.1,5.2
valuep
ns
xt
sx
검정통계량
)(0 if )11
)(1(
0 if )1()1(
)ˆˆ(
)ˆˆ(
21
21
21
2
22
1
1121
2121
pppDnn
pp
ppDn
pp
n
ppppV
ppppE
0.D when (0,1) ~ /1/1)1(
)ˆˆ(
0D when )1,0(~)1()1(
)ˆˆ(
21
21
2
22
1
11
21
Nnnpp
pp
N
n
pp
n
pp
DppZ
추론
2
22
1
11
21
210
)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ
)ˆˆ(
)0(:
n
pp
n
pp
Dppz
DppH
2
22
1
112/21
)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆˆˆ
n
pp
n
ppzpp
신뢰구간 :
21
21
21
2211
21
21
210
ˆˆˆ
/1/1)ˆ1(ˆ
ˆˆ
0:
nn
xx
nn
pnpnpwhere
nnpp
ppz
DppH
.|| ifHreject ,:HFor (3)
. ifHreject ,:HFor )2(
. ifHreject ,:HFor (1)
2/ 0211
0211
0211
zzDpp
zzDpp
zzDpp
pooled
estimator
