Info Elmelet Szigorlat Kidolg

8/16/2019 Info Elmelet Szigorlat Kidolg

1/15

Elméleti kérdések1. Mi a képzetes egység?

A komplex számok képzetes (imaginárius) része az az i szám, amely

2. Értelmezze a komplex számok algebrai alakját! A komplex számok algebrai (kanonikus) alakja egy valós (reális) és egyképzetes (imaginárius) részből áll:

3. Komplex szám kojgáltja.Komplex szám konjugáltja az a komplex szám, amelynek képzetes része azeredeti szám (–)!szerese,

". Értelmezze a komplex számok trigoometriks alakját!Komplex számok trigonometrikus alakját "gy kapjuk meg, #ogy a számot

ábrázoljuk egy koordinátarendszerben és az $gy kapott %ektor #osszátmegszorozzuk az orig&b&l indul& %ektor és az x tengely által bezárt sz'gkoszinuszá%al és szinuszá%al

#. $ogya %égz&k szorzást ' osztást ' (at%áyozást ' gy)k%oást akomplex számok trigoometriks alakjá%al?

• szorzás:

• osztás:

• hatványozás:

• gyökvonás:

k={0,1,2…,n-1}

*. $ogya %égz&k szorzást ' osztást ' (at%áyozást ' gy)k%oást akomplex számok expoe+iális alakjá%al? szorzás:

osztás:

hatványozás:

gyökvonás: k={0,1,2…,n-1}


2/15

,. -gaze / (ogy két trigoometriks alak0 komplex szám akkor és +sakakkor egyel/ (a az abszol0t értéke és a sz)ge is egyel?gaz

. rja 4el a 5pl (atodik6 egységgy)k)ket!

7. Mikor modjk/ (ogy egy {a} sorozat mooto )%ek% ' szigor0amooto )%ek% ?• Monoton növekvő , #a minden n!re

• Szigorúan monoton növekvő , #a minden n!re

18. Mit ért&k számsorozat alatt ? Azokat a *+gg%ényeket, amelyek minden n pozit$% egész szám#oz egy %al&sszámot rendelnek #ozzá számsorozatnak ne%ez+nk

11. Mikor modjk/ (ogy egy {a} sorozat mooto +s)kke ' szigor0amooto +s)kke ?

• onoton -s'kkenő, #a minden n!re• .zigor"an monoton -s'kkenő, #a minden n!re

12. Mikor modjk/ (ogy egy {a} sorozat ko%erges ?/gy sorozat kon%ergens és #atárértéke az az A szám, amelynek bármelyk'rnyezetében %égtelen sok szám talál#at& és -sak %éges sok %an ak'rnyezeten k$%+l

13. Mikor modjk/ (ogy egy {a} sorozat di%erges ?0a nin-s #atárértéke

1". Mi a (atárértéke az

1 1+ n

n

sorozatak?

1#. Mikor modjk/ (ogy egy {a} sorozat 4el&lrl korlátos ?0a létezik olyan K szám, amelynél a sorozatnak nin-s nagyobb eleme

1*. Mikor modjk/ (ogy egy {a} sorozat allr9l korlátos ?0a létezik olyan k szám, amelynél a sorozatnak nin-s kisebb eleme

1,. Mikor modjk/ (ogy egy {a} sorozat korlátos ?

0a alulr&l és *el+lről is korlátos1. Mit jelet/ (ogy egy {a} sorozat (atárértéke :∈; szám? Azt jelenti, #ogy a sorozatnak %an #atárértéke, és ez az A szám a %al&sszámok #almazán értelmezett

17. Mit jelet/ (ogy egy {a} sorozat (atárértéke ∞ ? A sorozat a %égtelenbe tart (nin-s #atárértéke)

28. Mit jelet/ (ogy egy {a} sorozat (atárértéke ∞ ? A sorozat a m$nusz %égtelenbe tart (nin-s #atárértéke)

21. -gaze? $a egy sorozat korlátos/ akkor ko%erges.1em (pl: )

22. -gaze? $a egy sorozat ko%erges/ akkor korlátos.gaz


3/15

23. -gaze? Ko%erges sorozatak +sak egy torl9dási potja %a.gaz

2". Mit mod(atk egy korlátos és mooto sorozat ko%erge+iájár9l?• 0a a sorozat monoton -s'kkenő, akkor a torl&dási pont az als& #atárral

egyezik meg

• 0a a sorozat monoton n'%ek%ő, akkor a torl&dási pont a *első #atárralegyezik meg

2#. Milye (ozzáredeléseket ismer? egyértelmű: #a minden A #almazbeli elem#ez pontosan 2!beli elemet

rendel+nk• többértelmű: #a A!nak %an olyan eleme, amely#ez t'bb !beli elemet

rendelt+nk• köl"sönösen egyértelmű: #a egyértelm3, és minden !beli elem

pontosan A!beli elem képe (%issza*elé is egyértelm3)2*. Mit e%ez&k 4&gg%éyek?

Az egyértelm3 leképezést2,. Mikor modjk/ (ogy az egy%áltoz9s 4&gg%éy allr9l ' 4)l&lrl korlátosegy iter%allmo ? Az * *+gg%ény alulr&l 4*el+lről5 korlátos, #a létezik olyan k 4K5 szám, #ogy

2. rja le a 4&gg%éy lokális szélsértékéek de4i


4/15

9)

pl:

32. Mit ért&k i%erz 4&gg%éypár alatt? :djo meg egy példát!

Az * *+gg%ény in%erzén azt az *+gg%ényt értj+k, amelynek értelmezésitartománya az * *+gg%ény értékkészlete, és az x6!#oz azt az *(x6)!t rendeli#ozzá, a#ol az *((x6));x6 pl:*;sinx ;s#x

33. >e4iiálja az )sszetett 4&gg%éyt.* < g 'sszetett *+gg%ényen azt a *+gg%ényt értj+k, melynek értelmezésitartománya a =g, a#ol a =g olyan értékeket %esz *el, a#ol az * értelmez%e %an

3". Egy%áltoz9s %al9s 4&gg%éyek 4olytoossága./gy *+gg%ény #olytonos, #a értelmezési tartományának minden pontjában*olytonos !Az * *+gg%ény ny$lt intervall%mon #olytonos, #a az inter%allum minden

pontjában *olytonos !Az * *+gg%ény zárt intervall%mon #olytonos, #a az inter%allum mindenbelső pontjában *olytonos, a jobb %égpontban balr&l, a jobb %égpontban balr&l*olytonos

3#. &gg%éy (atárértékére %oatkoz9 de4i


5/15

3,. : di44ere+ia és di44ere+iál(áyados de4iegyen az * *+gg%ény az x6 pont %alamely k'rnyezetében értelmez%e, és x?x6 legyen eleme a k'rnyezetnek Az az *

*+gg%ény x6 pontjá#oz tartoz& &i##eren"iálhánya&osa geometriai 'el : (x6@*(x6)) iránytangens #izikai : átlagos *izikai mennyiség0a az * *+gg%ény di**eren-iál#at& az x6 pontban, akkor az

ki*ejezést az * *+gg%ény &i##eren"iál'ának ne%ezz+k, jel:

érintőegyenlet

3. Mikor di44ere+iál(at9 az egy%áltoz9s %al9s 4&gg%éy az x C a (elye?0a létezik az *(a)!beli di**eren-iál#ányados *+gg%ényének #atárértéke az a #elyen és ez %éges, akkor az *(a)!ban di**eren-iál#at&nak mondjuk, és az a pont beli di**eren-iál#ányadosánBderi%áltján ezt a #atárértéket értj+k

37. rja le a szorzat ' (áyados ' )sszetett 4&gg%éy deri%álási szabályát!

"8. Milye kap+solat %a egy 4&gg%éy adott (elye %al9 4olytoossága ésdi44ere+iál(at9sága k)z)tt? -llsztrálja példá%al!0a az * *+gg%ény di**eren-iál#at& az x6 pontban, akkor ott sz+kségképpen*olytonos is#a x6!ban a *+gg%ény nem *olytonos, akkor nem is di**eren-iál#at&

x;6 *olytonos, de nem di**eren-iál#at&

"1. Mikor alkalmazzk a logaritmiks di44ere+iálást?ikor olyan 'sszetett *+gg%ényt akarunk di**eren-iálni, aminek belső*+gg%énye a k+lső *+gg%ény kite%őjében %an:

pl:

"2. : di44ere+iálszám


6/15

Colle tétel: a * *+gg%ény *olytonos az 4a,b5!on és di**eren-iál#at& az 5a,b4!on, ls* (a);*(b), akkor létezik legalább egy olyan , amire

elmond#atjuk, #ogy

>agrange *éle k'zépérték tétel: az * *+gg%ény *olytonos az 4a,b5!on, ésdi**eren-iál#at& az 5a,b4!on, akkor létezik legalább egy , amire

elmond#at&, #ogy

D#au-#y *éle k'zépérték tétel: #a az * és g *+gg%ények *olytonosak az 4a,b5!on és deri%ál#at&k az 5a,b4!on, és tetszőleges a

gE(x)?6, akkor létezik legalább egy

"3. Mire és mikor alkalmazzk a DF$ospitál szabályt? t$pus" 'sszetett *+gg%ények #atárértékének kiszám$tására

"". rja le a 4&gg%éydiszksszi9 %ázlatát!) Frtelmezési tartomány (=* )9) Gérus#ely(ek)H) .zimmetria!tulajdonságokI) 0atárértékekJ) onotonitás) .zélsőérték

L) Kon%exségBkonká%ságM) n*lexi&s pont(ok)N) Obra6) Frtékkészlet (C* )

"#. :djo elégséges 4eltételt szélsérték létezésére.0a az x6 pont k'rnyezetében di**eren-iál#at& * *+gg%ényre az *E(x6);6 és az *Eaz x6!ban előjelet %ált, akkor ez elegendő a##oz, #ogy a *!nek x6!ban szélsőértéke legyen

"*. Mi a sz&kséges 4eltétele szélsérték létezéséek. A *+gg%ény di**eren-iál#at& kell legyen az x6 pontban, és itt lokális szélsőértéke kell legyen (ezért sz+kségképpen az *E(x6);6)

",. $ogya állap


7/15

0a a második deri%ált zérus #elyeinek k'rnyezetében a *+gg%ényérték pozit$%(negat$%), akkor az eredeti *+gg%ény kon%ex (konká%)

#1. =rimit


8/15

*8. rja le az itegrálszám


9/15

Q%#ossz kiszám$tására:

orgástest palástjának, tér*ogatának kiszám$tására:

Rar-iális integrálásnál %ett alkalmazása:


10/15

2. ÉDÉJ

1. $ogya értelmezz&k tetszleges [ ]ω ,a iter%allmo itegrál(at9 45x6

4&gg%éy eseté a ∫ +∞

a

dx x f )(/ 5

f x dx( )−∞

+∞

∫ 6 impropris itegrált? Mikorko%erges és mikor di%erges? A %égtelen #elyére egy %égtelen#ez tart& ω számot #elyettes$t+nk, integrálunk,majd mellett #atárértéket számolunk 0a ez a #atárérték a

%égtelenbe tart, akkor &ivergens, #a %alamilyen konkrét érték#ez, akkorkonvergens)

2. Mit ért&k az ( ]−∞,b iter%allmo értelmezett/ és bármelyik [ ]ω ,b

iter%allmo itegrál(at9 45x6 4&gg%éyek az ( ]−∞,b iter%allmo %ettimpropris itegráljá? Mikor ko%erges és mikor di%erges?

3. $ogya de4iiáltk az 45t6 egy%áltoz9s %al9s 4&gg%éy Dapla+etrasz4ormáltját?>egyen inter%allumon értelmezett *+gg%ény 0a *(t)

integrál#at& a bármely %éges részinter%allumán és s %al&s

%áltoz&t jelent, akkor az *+gg%ényt

az * *+gg%ény *apla"e!transz#ormált'ának ne%ezz+k, amely azokon az s

#elyeken %an értelmez%e, amelyre az improprius integrál kon%ergens". Mit e%ez&k i%erz Dapla+etrasz4ormá+i9ak? Az *+gg%ény inverz *apla"e!transz#ormált'a az (és

az az *(t) *+gg%ény), amelyre

#. Mit ért&k két%áltoz9s %al9s 4&gg%éy alatt? Az leképezések k'z+l azokat, amelyek egy nem +res

rész#almazának minden pontjá#oz pontosan egy %al&s számot rendelkétváltozós valós #(ggvénynek nevezz(k+ amelynek értelmezési tartománya

és értékkészlete

*. rja le a két%áltoz9s 4&gg%éy korlátosságáak/ 4olytoosságáak/(atárértékéek de4i


11/15

,. Milye kap+solat %a egy két%áltoz9s %al9s 4&gg%éy %egyes másodredLpar+iális deri%áltjai k)z)tt?

. :djo meg elégséges 4eltételt a két%áltoz9s %al9s 4&gg%éy =8 potba%al9 totális di44ere+iál(at9ságá(oz!

0a * mindkét par-iális deri%áltja létezik a R6 pontban, és itt *olytonosak, akkor*(R6)!ban totálisan &i##eren"iálható7. Mi a két%áltoz9s %al9s 4&gg%éy x szeriti 5y szeriti6 els par+iális

deri%áltjáak geometriai jeletése?


12/15

18.:djo sz&kséges 5elégséges6 4eltételt a két%áltoz9s 4&gg%éyszélsértékéek létezésére.0a a két%áltoz&s *+gg%ény a R6(x6@y6) pontban mindkét %áltoz&ja szerintpar-iálisan di**eren-iál#at&, akkor a R6 pontban szélsőértéke %an, akkor

sz+kségképpen az *Ex(R6);*Ey(R6);611. rja le az 45x/y6 két%áltoz9s 4&gg%éy =85x8/y86 potjába az érit s


13/15

1. rja le a meriks sorokra %oatkoz9 itegrálkritérimot.>egyen az inter%allumon értelmezett -s'kkenő *+gg%ény olyan,

#ogy !re az sor kon%ergens

#a az improprius integrál kon%ergens


14/15

N Mit e%ez&k majorás 5miorás6 sorak?/gy sor majoráns sora egy másiknak, #a minden eleme nagyobb, mint a másikugyanolyan index3 eleme/gy sor minoráns sora egy másiknak, #a minden eleme kisebb, mint a másikugyanolyan index3 eleme

28. Mit e%ez&k (at%áysorak? A *+gg%énysort az x6 k'r+li #at%ánysornak

ne%ezz+k21. Mit e%ez&k egy 4&gg%éysor ko%erge+iapotjáak

ko%erge+iatartomáyáak?

22. Mit td modai egy 8k)r&li (at%áysor ko%erge+iasgarár9l?

23. rja le Obel tételét!

0a a #at%ánysor egy #elyen kon%ergens,

akkor mindig létezik egy, az orig&ra szimmetrikus inter%allum, amelynek belsőpontjaiban a #at%ánysor abszol"t kon%ergens 0a ez az inter%allum korlátos,akkor a szélső pontokban a #at%ánysor di%ergens

2". Értelmezze a 2π szerit periodiks 4&gg%éy oriersorát!

2#. -rja le a aylorsor de4iegyen az * *+gg%ény az x6 pont bármely k'rnyezetében akár#ányszor

deri%ál#at&, ekkor a 'sszeget az *

*+gg%ény x6 k'r+li ,aylor sorának ne%ezz+k2*. Milye tagokat tartalmaz a páros 5páratla6 4&gg%éy orier

sora? páros: a6, an páratlan: bn2,. Mit ért&k egy ed redL di44ere+iálegyelet általáos

5partikláris6 megoldásá?/gy n!edrend3 di**eren-iálegyenlet általános megoldása az a *+gg%ény, amely

deri%áltjai%al egy+tt kielég$ti a di**eren-iálegyenletet, és pontosan n darab*+ggetlen paramétert tartalmaz/gy n!edrend3 di**eren-iálegyenlet partik%láris megoldása az a *+gg%ény, amelyderi%áltjai%al egy+tt kielég$ti a di**eren-iálegyenletet, és leg*eljebb n darab*+ggetlen paramétert tartalmaz

2. rja 4el az elsredL 5másodredL6 állad9 egy&tt(at9sdi44ere+iálegyelet általáos alakját! Mikor (omogé/ mikor i(omogé?0omogén: yEZay;6n#omogén: yEZay;#(x) (%an za%ar&*+gg%ény)

27. Milye di44ere+iálegyeleteket old(atk meg pr9ba4&gg%éym9dszerrel? Melyek a megoldás lépései.

) [EZay;6 –b&l y#omogén általános kiszámolása9) ypartikuláris kiszámolása, a pr&ba*+gg%ény akkor #asznál#at&, #a a za%ar&


15/15

*+gg%ényben polinomBkonstansBexponen-iálisBtrigonometrikus *+gg%ények'sszege, szorzata talál#at&H) y;y#omogén általánosZypartikuláris 'sszeadása

30. Milye di44ere+iálegyeleteket old(atk meg Dapla+etrasz4ormá+i9%al? Melyek a megoldás lépései.

\lyat old#atunk meg, amelynél %an megad%a kezdeti *eltétel) képezz+k mindkét oldal >apla-e!transz*ormáltját9) a kezdeti *eltételek *igyelembe %étel után ki*ejezz+k !t

H) a meg*elelő átalak$tások után in%erz >apla-e!transz*ormá-i&%al megkapjuk amegoldást

Documents

Info Elmelet Szigorlat Kidolg