Mszaki s termszettudomnyos alapismeretektananyagainak fejlesztse a mrnkkpzsbenPlyzati azonost: TMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0054

Boros Norbert, Fehrvri Arnold, Flep Dvid,Kalls Gbor, Lovas Szilrd, Pukler Antal, Szrnyi Mikls

SZE-MTK, Matematika s Szmtstudomny Tanszk

Informatikai rendszerek alapjai

2013

IMPRESSZUM

cCOPYRIGHT: Boros Norbert, Fehrvri Arnold, Flep Dvid,Kalls Gbor, Lovas Szilrd, Pukler Antal, Szrnyi MiklsSzerkesztette: Pukler AntalSzchenyi Istvn Egyetem, Muszaki Tudomnyi Kar, Matematika s Szmtstudomny TanszkLektor: Dr. Fvesi Istvn, Szegedi Tudomnyegyetem, Informatikai tanszkcsoport

cCreative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)A szerzo nevnek feltntetse mellett nem kereskedelmi cllal szabadonmsolhat, terjesztheto, megjelentetheto s eloadhat, de nem mdosthat.

ISBN 978-963-7175-85-5Kiad: Szchenyi Istvn Egyetem, Muszaki Tudomnyi Kar

Tmogats:Kszlt a TMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0054 szm, "Muszaki s termszettudomnyos alapismeretektananyagainak fejlesztse a mrnkkpzsben" cmu projekt keretben.

Kulcsszavak: adatbrzols, hardver, opercis rendszerek, hlzatok, tblzatkezels,szveg- s kiadvnyszerkeszts

Tartalmi sszefoglal: A tananyag elso felben a kapcsold tantrgyak clkituzsnek megfeleloen az informatikai eszkzk gyakorlati hasznlata sorn nlklzhetetlen alapismereteket foglaltuk ssze. Az ittrintett fontosabb tmk a kvetkezok: adatbrzols, szmtgp-trtnelem, tmrts, titkosts, hardverismeretek, opercis rendszerek, hlzatok. A tananyag msodik felben kln modulknt szerepel az ltalnostblzatkezels s a szveg-, ill. kiadvnyszerkeszts bevezeto szintu trgyalsa.

Technikai megjegyzsek a jegyzet hasznlathoz.

Ez a tananyag egy elektronikus jegyzet.

2013-ban, a megjelens vben annyira elterjedtek az elektronikus tartalomfogyasztsra alkalmas eszkzk,hogy btran felttelezhetjk: az egyetemistk tlnyom tbbsge rendelkezik sajt szmtgppel, tablet-gppelvagy elektronikus knyvolvasval. A tananyag elektronikus formja sok elonnyel rendelkezik a nyomtatotthozkpest:

Aktv tartalmak: az elektronikus vltozatban belso kereszthivatkozsok, klso linkek, mozgkpek, stb.helyezhetok el. A tartalomjegyzk fejezetszmai, az egyenlet- s brasorszmok automatikusan belso linketjelentenek, gy biztostjk a knyelmes s gyors belso hivatkozst, de a Szerzo tetszoleges helyre tud akra dokumentum belsejbe, akr egy klso webhelyre mutat linket elhelyezni, ami a szoksos klikkentsselaktivizlhat.

Rugalmassg: a nyomtatott knyv statikus, mg az elektronikus jegyzet esetben knnyu hibajavtsokat,frisstseket alkalmazni.

Eroforrs-takarkossg, krnyezetvdelem: az elektronikus formban val terjeszts sokkal kisebb terhelstjelent a krnyezetre, mint a nyomtatott. Klnsen igaz ez, ha a tananyagban sok a sznes bra.

A hasznlt fjlformtum: PDF.

A Portable Document Format az Adobe ltal kifejlesztett formtum, mely igen szles krben elterjedt. Sokhelyrol szerezhetnk be programot, mely a PDF fjok olvassra alkalmas. Ezek egy rsze azonban nemtartalmazza a teljes szabvny minden elemt, ezrt specilis tartalmak nem, vagy nem pontosan jelenhetnekmeg, ha nem az Adobe olvasjt, az AdobeReader-t hasznljuk. (Letltheto innen.)

A legtbb megjelentoprogram jl fogja kezelni az alapszveget, brkat s linkeket, de gondok lehetneka specilisabb funkcikkal, pl. a begyazott dokumentumok kezelsvel, az aktv tesztek, krdovekhasznlatval.

http://www.adobe.comhttp://get.adobe.com/reader/

A jegyzet kpernyon val megjelentsre lett optimalizlva.

A jelenlegi ltalnosan elrheto knyvolvas hardverek mrete s felbontsa kisebb, mint a nyomtatottknyvek s a szmtgpek monitorai ltalban fektetett helyzetuek. Ehhez igaztottuk a formtumot arraoptimalizlva, hogy fektetett kijelzon teljes kpernyos zemmdban lehessen olvasni. Ehhez lltottuk be akaraktertpust s -mretet valamint azt is, hogy csak kis margt hagyunk, minl tbb pixelt biztostva ezzel atartalomnak. Azrt, hogy teljes kpernyos zemmdban is lehessen naviglni, a margn kis navigl-ikonokathelyeztnk el, melyek a megszokott mdon kezelhetok:

Lapozs elore s htra: a fggoleges oldalak kzepn elhelyezett, nyjtott nyilakkal.

Cmoldalra ugrs: kis hzik szimblum a bal felso sarokban.

Vissza s eloreugrs a dokumentumban: kt kicsi szimblum a bal felso rszen. Ezek nem azonosak alapozssal, hanem a web-bngszok vissza- s elorelpshez hasonlan a hiperlinkeken val naviglstszolgljk.

A jegyzet segtsget nyjt a tanuls temezsben.

A megtanuland tanagyag a szoksos fejezet-alfejezet felosztson tl leckkre val bontst is tartalmaz. Aleckk klnbzo szm alfejezetbol llhatnak, de kzs bennk, hogy a Szerzo megtls szerint egy leckeegylto helyben megtanulhat, azaz vrhatan 11,5 ra alatt feldolgozhat.

A leckk elejn rvid lers tallhat a trgyalt tmakrkrol, a szksges eloismeretekrol, a vgn pedignellenorzo krdsek, melyek sok esetben a PDF fjlban (AdobeReader-rel) aktv tartalomknt jelennek megfeleletkivlaszts teszt, szmszeru vagy kpletszeru krds formjban. rdemes teht lecknknt haladnia tanulsban, mert ez segt az temezs tervezsben illetve a leckevgi ellenorzsek segtenek annakeldntsben, tovbb szabad-e haladni vagy inkbb ezt vagy az elozo leckket kell jra elovenni.

Ha a tananyag indokolja, nagyobb egysgeket modulokba szerveznk s a modulok vgn a leckevginellenorzshez kpest komolyabb feladatblokkot tallhatunk.

Tartalom

1. Elosz

I. MODUL | A szmols trtnete s a kdols

1. lecke2. Trtneti ttekints, a szmols trtnete2.1. A szmok lersa

2.1.1. A rmai szmrs

2.1.2. Az arab-hindu szmrs, a tzes, helyirtkes szmrendszer

2.1.3. Tetszoleges A-alap szmrendszerek

2.1.4. Szmok trsa egyik szmrendszerbol msik szmrendszerre

2.1.5. Muveletek nem csak szmokkal, a Boole-algebra

2. lecke3. Kdols3.1. A Boole-algebra objektumainak kdolsa

3.2. Betuk s egyb jelek valamint tetszoleges szveg kdolsa

3.3. Szmok kdolsa

3.3.1. Nemnegatv egsz szmok kdolsa

3.3.2. Egsz szmok kdolsa kettes komplemens kddal

3.3.3. Egsz szmok kdolsa fesztett vagy tbbletes kddal

3.3.4. Vals szmok kdolsa

3.3.5. sszetett objektumok (pl. kpek) kdolsa

3. lecke4. Tmrts, titkosts4.1. Tmrts

4.1.1. Tmrto eljrsok

4.1.2. Az LZW-algoritmus

4.1.3. A Huffman-algoritmus

4.1.4. DCT-kdols

4.1.5. JPEG-tmrts

4.2. Titkosts

4.2.1. Szimmetrikus s aszimmetrikus kulcs titkosts

4.2.2. Az RSA algoritmus

4.2.3. Kulcsgenerls

4.2.4. Rejtjelezs

4.2.5. Visszafejts

4.2.6. Nhny megjegyzs a titkosts matematikai alapjaihoz

4.2.7. Az RSA kdolssal kapcsolatos biztonsgi krdsek

4.2.8. Nyilvnos kulcs titkost eljrsok alkalmazsa

II. MODUL | A szmtgp trtnete s a hardverismeretek

4. lecke5. A szmolgp s a szmtgp trtnete5.1. A szmolgpek az kortl napjainkig

5.2. A szmtgpek kialakulsa

5.2.1. A mechanikus eszkzk

5.2.2. Elektromechanikus szmtgpek

5.3. Elektronikus szmtgpek

5.3.1. Technikai s tudomnyos alapok

5.3.2. A fejlods fobb llomsai

5.3.3. A Neumann-elvek

5.3.4. A Neumann-elvu szmtgp felptse s mukdse, a Neumann-architektra

5.3.5. A szmtgp mukdse

5.3.6. Harvard-architektra

5. lecke6. Szmtgp-genercik6.1. Az elso generci

6.2. A msodik generci

6.3. A harmadik generci

6.4. A negyedik generci napjaink szmtgpe

6.5. Az tdik generci

7. Szemlyi szmtgpek PC-k

7.1. Felptsk

7.2. Alaplap

7.3. Processzor

7.4. Memria

7.5. Httrtrak

7.6. A PC-k bovthetosge

III. MODUL | Opercis rendszerek s szmtgp-hlzatok

6. lecke8. Opercis rendszerek9. Az opercis rendszer mint virtulis gp

10. Az opercis rendszer mint eroforrs-menedzser

11. Az opercis rendszer indtsa

11.1. BIOS

12. A szmtgpek mukdsnek szoftveres felttelei

13. Felhasznli felletek

7. lecke14. Folyamatok15. temezs

16. Virtulis cmzs

17. Fjlkezels

17.1. Ismert fjlrendszerek

18. Ismert opercis rendszerek

18.1. Microsoft Windows

18.2. Linux

18.3. Android

19. Virtulis gp koncepci

8. lecke20. Szmtgp-hlzatok21. A hlzathoz szksges eszkzk

22. A hlzatok osztlyozsa

22.1. A hlzatok kiterjedtsge

22.2. A rsztvevo kommunikcis partnerek szma

22.3. Hlzati topolgia

22.4. Adattviteli kzeg

22.5. A hlzati modellek a rsztvevok rangja

9. lecke23. ltalnos hlzati architektra23.1. ISO-OSI hlzati referencia modell

24. TCP/IP

24.1. IPv4 hlzatok

25. ptsnk otthon hlzatot!

IV. MODUL | Kiadvnyszerkeszts

10. lecke26. Szmtgpes kiadvnyszerkesztsi alapismeretek26.1. Az rs trtnete

26.2. A knyvnyomtats kialakulsa

26.3. Tipogrfiai alapismeretek

26.3.1. Tipogrfiai szakkifejezsek

26.3.2. Tipogrfiai mrtkrendszerek

26.3.3. A tipogrfia alkotelemei

27. A szveg szedse s szerkesztse

27.1. A nyers szveg bevitele

27.1.1. Specilis karakterek s szimblumok

27.1.2. Automatikus javts

27.1.3. Vezrlokarakterek

27.2. Mozgs a dokumentumban, blokkmuveletek

27.2.1. Mozgs a billentyuzettel

27.2.2. Mozgs az egr segtsgvel

27.2.3. Ugrs a dokumentum meghatrozott helyre

27.2.4. Kijells billentyuzettel

27.2.5. Kijells egrrel

27.3. A begpelt szveg mdostsa

27.3.1. Visszavons, visszallts

27.3.2. Keress s csere

27.3.3. Kijellt szvegrsz msolsa, mozgatsa, trlse

27.4. Nyelvi ellenorzs

27.5. Korrektra

11. lecke28. Elrendezs, formai kialakts28.1. Az elrendezs megtervezse

28.1.1. Rend vagy kosz

28.1.2. Szimmetria

28.1.3. Egyensly s harmnia

28.1.4. Arny

28.1.5. Trkz s textra

28.2. Lapelrendezs

28.3. Szakaszszintu formzs

28.3.1. Szakaszok ltrehozsa

28.3.2. Hasbok

28.4. Bekezds szintu formzs

28.4.1. Bekezdsek igaztsa, behzsa, trkzk, sortvolsg

28.4.2. Tabultorok

28.4.3. Felsorols s szmozs

28.4.4. Szegly s mintzat

28.4.5. Inicil

28.5. Karakterszintu formzs

28.6. Stlusok hasznlata

28.6.1. Stlus alkalmazsa

28.6.2. j stlus ltrehozsa

28.6.3. Stlus mdostsa s trlse

28.6.4. Stlusok msolsa dokumentumok kztt

28.7. Dokumentumsablonok

29. A kiadvnyok felptse s elemei

29.1. A kiadvnyok felptse

29.1.1. Cmnegyedv

29.1.2. Tartalomjegyzk

29.1.3. Irodalomjegyzk

29.1.4. Mutatk

29.2. Dokumentumelemek

29.2.1. lofej, lolb

29.2.2. Idzetek

29.2.3. Utalsok

29.2.4. Illusztrcik

29.2.5. Kpletek

29.2.6. Jegyzetek

29.2.7. Mezok

V. MODUL | Tblzatkezels modul

12. lecke30. A tblzatkezelsrol ltalban30.1. A tblzatkezels trtnete

30.2. A tblzatkezelo programok szolgltatsai

30.3. Adatbzis-kezelok s tblzatkezelok

30.4. Problmamegolds tblzatkezelo programok segtsgvel

30.5. Melyik tblzatkezelo programot vlasszuk?

31. Egyszeru tblzatkezels

31.1. Kpernyoelemek

31.2. A munkakrnyezet belltsa

31.3. Fjlmuveletek

31.4. Mozgs a tblzatban

31.5. Adatok

31.5.1. Bers a cellkba, javts, trls

31.5.2. Adattpusok

31.5.3. Kifejezsek

31.6. Blokkmuveletek

31.6.1. Megads, kijells, trls

31.6.2. Msols, mozgats

31.6.3. Beszrs

13. lecke31.7. Relatv, vegyes s abszolt cmek32. Fggvnyek hasznlata

32.1. A fggvnyek megadsa

32.2. Matematikai, logikai s statisztikai fggvnyek

32.2.1. Vletlenszmok hasznlata

32.2.2. Felttelek

32.2.3. sszetett felttelek

32.2.4. A matematikai s logikai fggvnykategrik tovbbi elemezse

14. lecke32.3. Szveg-, ido- s dtumkezelo fggvnyek32.4. Egyb fontos fggvnyek

15. lecke32.5. Keresofggvnyek32.5.1. Pldk

33. Muveletek munkalapokkal

33.1. Tbb munkalap hasznlata, kapcsolt tblzatok

33.2. Lthatsg s vdelem

16. lecke34. A tblzat, mint adatbzis34.1. Rendezs

34.2. Szurs

34.2.1. AutoSzuro

34.2.2. Irnytott szuro

34.3. Adatbzis-kezelo fggvnyek

34.4. Kimutatsok

34.5. rvnyessgellenorzs

17. lecke35. Tblzatok formzsa35.1. Elrejts s felfeds

35.2. Az adatok megjelensnek formtuma

35.3. Mretvltoztatsok

35.4. Igazts a cellaterleten bell

35.5. Karakterformzs

35.6. Cellk sznezse, mintzata s bekeretezse

35.7. Rajzok s szvegdobozok

36. Diagramok

37. Nyomtats

38. Mintafeladat

38.1. A feladat lersa (kisbolygk)

38.2. tmutat az nll megoldshoz

38.2.1. A trfogat meghatrozsa

38.2.2. Tpusjellemzok

38.2.3. Szurs

38.2.4. Tpusstatisztika 1.

38.2.5. Tpusstatisztika 2.

38.2.6. Diagramkszts

38.2.7. Formzsok

38.3. Megoldsok

39. Fogalomtr

40. Irodalomjegyzk

1. Elosz

Ebben a jegyzetben azokat az ismereteket trgyaljuk, amelyek a Szchenyi Istvn Egyetemen a nem informatikushallgatk alap-szmtstechnikai s alapinformatikai oktatsban szerepelnek. A kialaktsnl azt az elvetkvettk, hogy minden hallgat fggetlenl attl, hogy konkrtan milyen szakon tanul, s mennyire mlyenkell megismerkednie az adott rszterlettel haszonnal tudja forgatni a jegyzetet, s megtallja benne azokataz ismereteket is, amelyek a rendelkezsre ll korltozott idokeret miatt az eloadsokon s gyakorlatokoncsak rvidebben kerlhetnek tertkre.

Az informatikai trgyak oktatsnak ksrojelensge az lland vltozs, ez a tanknyvr szerzo feladatt semknnyti meg. Az sszelltsnl az vezrelt bennnket, hogy ezt a dinamikus esetleg helyenknt nehezenrtheto nagyobb kpet egy magyarz stlusban megrt, brmikor fellapozhat gyujtemnnyel tmogassukmeg.

Fontos clunk volt, hogy a tananyag alkalmas legyen az nll feldolgozsra. Ezt tbb eszkz is segti:modulokra s leckkre bonts, ellenorzo krdsek, nll aktivitsok (gyakorlati feladatok).

A felpts sorn az ltalnos felhasznl szmra szksges ismeretek klasszikus trgyalsi sorrendjt kvettk(elso fejezetek), emellett a tmrts-titkosts, a kiadvnyszerkeszts s a tblzatkezels kapott helyet. Azegyes rszek s szerzoik:

A szmols trtnete, szmrsi rendszerek, kdols (Boros Norbert, Pukler Antal, Szrnyi Mikls)

Tmrts, titkosts (Boros Norbert, Kalls Gbor, Pukler Antal)

Szmtgp trtnelem, szmtgp-genercik, a PC felptse (Boros Norbert, Lovas Szilrd, PuklerAntal)

Opercis rendszerek, hlzatok (Flep Dvid)

Kiadvnyszerkeszts (Fehrvri Arnold)

Tblzatkezels (Boros Norbert, Kalls Gbor)

A szerkeszts Pukler Antal gondos munkja.

Az anyag elsajttsa akkor tekintheto sikeresnek, ha a hallgat kpess vlik a jegyzetnkben kituztt feladatokmegoldsra is. Ennek az llapotnak az elrse termszetesen fgg a korbbi egyni felkszltsgtol, a tanulsisebessgtol, de tbb-kevesebb ido rfordtsval mindenki eredmnyes lehet.

Remljk ugyanakkor, hogy a jegyzetet a zrthelyikre s a vizsgra val felkszlsen tl is eredmnyesenhasznljk majd a hallgatink.

Ksznetnyilvnts: A szerkeszto s a szerzok ksznetket fejezik ki a Szchenyi Istvn Egyetemmunkatrsainak, nv szerint Bauer Pternek, Csbi Blnak, Hatwgner Miklsnak, Keresztes Pternek, KrnyeiLszlnak, Pusztai Plnak, Takcs Gbornak, Varjasi Norbertnek, valamint volt hallgatnknak Balics kosnak amunka sorn nyjtott rtkes segtsgkrt. Ugyancsak ksznet illeti Fvesi Istvnt az alapos s segto lektorimunkjrt.

Gyor, 2012. november

A Szerkeszto s a Szerzok

I. MODUL

A szmols trtnete s a kdols

Kulcsszavak: szmrendszer, adatkdols, titkosts, tmrts.

1. LECKE

A szmols kezdetei, szmok lersa

1. lecke 1. oldal

Az elso leckben megismerkedhetnk a szmols kialakulsnak egy lehetsges vltozatval. A fejezetnek ez anhny sora olvasmny gyannt ajnlott az rdeklodoknek.

A szmok lersra hasznlt mdszerek kzl a rmai szmmegads szintn olvasmny, a hindu-arab mdszerviszont mr mindenkinek szl anyag. Itt sszefoglalva megtalljuk a kzpiskolban mr megismertszmrendszereket, kiegsztve jabb ismeretekkel is.

Ilyenek pldul a tetszoleges alap szmrendszerek ismertetse, tvlts a szmrendszerek kztt s aBoole-algebra alapjainak ismertetse.

1. lecke 2. oldal

2. Trtneti ttekints, a szmols trtnete

Arra a krdsre, hogy mikor s hogyan alakult ki az emberisg trtnetben a szmols, nehz egyrtelmus pontos vlaszt adni. A trtnszek a szmolssal kapcsolatos oskori leletek alapjn a kezdeteket a beszdkialakulsnak idejre teszik. Ahogy a kokorszakban (Kr. e. 500 000 Kr. e. 10 000) a beszd megjelent azemberisg trtnetben gy jelent meg a szmols is. Termszetesen nem a mai mdszerekkel szmolt osnk.Nem voltak hatkony szmolst segto eszkzei, nem tudott esetleg rni sem, sot mg az rst sem ismerte.legfeljebb az ujjait vagy a krnyezetben fellelheto apr trgyakat hasznlhatta a szmolsra.

Hogy pontosan hogyan is jelent meg a mennyisgek kifejezshez a szmfogalom, nem tudjuk. Kialakulsnakcsak kzvetett bizonytkait ismerik az ostrtnettel foglalkoz trtnszek, s ezek magyarzatra is tbbfleelmlet ltezik, gy kzttk is vitatma a szmols kifejlodsnek mdja.

A kezdetekben a mennyisgek megadsra taln a mai egy, ketto, sok, ksobb a kevs, majd a semmi(=0) szavaknak megfelelo szavak szolgltak, s hossz vszzados (vezredes) fejlods kvetkezmnyekppenalakultak ki a ma ismert szmnevek kzl a kisebb mennyisgek nevei. Valsznunek ltszik, hogyaz egsz szmokkal prhuzamosan jelentek meg a trtszmok, hiszen a rszekre oszts a mindennapoktermszetes rendjben szmtalanszor elofordult, az gy kialakult rszmennyisgek megjelense, megnevezseelkerlhetetlenl hozz tartozott a szmols fejlodshez. Az is termszetesnek tunik, hogy kezdetekbena szmokat nem nllan, hanem valaminek a mennyisgt, nagysgt kifejezve hasznltk. Az absztraktszmfogalom, azaz a szmok nll lete csak a szmols fejlodsnek ksobbi szakaszn alakult ki. Rgszetileletek alapjn ez az idoszak a Kr. e. 20 000 krnykre teheto.

A fejlods sorn egy-egy szm kitntetett szerephez jutott, s erre plt fel az egsz szmrendszer. Ezta dominns szmot a szmrendszer alapjnak tekintjk. gy beszlhetnk kettes, hrmas, ... tzes, ...tizenhatos, sot akr hatvanas szmrendszerrol is. Gyakran elofordult az is, hogy az egyes szmrendszerekkeveredtek egymssal, ami akr a fejlods nem mindig szisztematikus voltbl vagy akr a klnbzo kultrkegymsra hatsbl kvetkezhetett. A Fld klnbzo terletein kialakult civilizcik szmrendszereit vizsglvamegllapthatjuk, hogy a tizenkettesig bezrlag minden szmrendszerre akadt plda. Termszetesen a fejlodsifolyamat sem idoben sem fejlettsgi fokban nem volt egyforma. Voltak terletek, ahol az ott lo npek mai

1. lecke 3. oldal

mrtkek szerint is nagyra rtkelheto rendszerben szmoltak, msutt alig jutottak tl a szmols kezdetein.Fejlett szmolsi technikkkal s rendszerekkel rendelkezett Eurzsiban a knai, a hindu, a mezopotmiai, agrg, a rmai, az arab, Afrikban az egyiptomi, ksobb az arab, Amerikban a maja kultrkr, br a trtnelemnem ugyanazon korban voltak meghatroz tnyezoi a Fld kultrjnak.

A szmols muveleti kzl a kezdetekkor megjelenhetett az sszeads, az oszts, a kivons, a szorzs (a ngyalapmuvelet). Az kori matematikban mr tudtak hatvnyozni, nyoma van a gykvons, a logaritmus, sot azintegrls (!) kezdeteinek is.

Hogy a fejlods valahogyan a fentiek szerint trtnhetett, a rgszeti leleteken kvl a mai npek nyelvben isfellelheto szavak tmasztjk al. Ma az egsz vilgon a tzes alap rendszer a hivatalos szmrendszer. Depldul az angol vagy a nmet nyelvben a tizenegy, a tizenketto neve nem a tzes rendszer alapjn kpzodik(eleven, elf, illetve twelve, zwlf), ami arra utal, hogy az angol (szsz, normann) s a nmet (germn) npektermszetes mdon hasznltk a tizenkettes szmrendszert. Az orosz, a magyar nyelvek a tzes rendszer szerintkpezik a tizenegy s a tizenketto szmneveket, de vannak nyomok mindkt nyelvben a tizenkettes rendszerismeretre s esetleges hasznlatra is. Az orosz (dgyuzsina), a magyar tucat ugyancsak a tizenketto neve. Atizenkettes rendszer ismeretre s hasznlatra utal az v tizenkt rszre val osztsa, a nap ktszer tizenktrval val mrse, az ra tszr tizenkt percre, a perc tszr tizenkt msodpercre val felosztsa is.

2.1. A szmok lersa

Az rsbelisg megjelense ugyangy, mint a beszd tbbi szavt, a szmok neveit is lerhatv tette. Aszmneveknek a tbbi szavakhoz hasonl megjelentse viszont nem segtette a szmolst vagy a szmokkalval muveletvgzst, ezrt a beszd szavainak lersra hasznlt mdszer helyett olyan formalizmusok alakultakki, amikben nhny szmot nll jellel lttak el, s ezekbol a jelekbol, klnbzo szablyok szerint ptettkfel a tbbit megad jelsorozatot. Nem clunk ezeknek a mdszereknek mindegyikt felsorolni, de kettovel mivel ezeket ma is hasznljk , rszletesebben foglalkozunk.

Az egyik a rmai szmrs s -rendszer, a msik a hindu eredetu arab kzvettssel Eurpba kerlo, gynevezettarab szmjegyeken alapul helyirtkes rendszer.

1. lecke 4. oldal

2.1.1. A rmai szmrs

Az kori Rma ltal hasznlt szmlers, amelyik nhny hatkony szmolsi mdszert is tmogatott,Eurpban egszen a 13. szzadig ltalnosan elterjedt forma volt. Manapsg viszonylag ritkn, de mg mindighasznljuk. A rmai rendszer a tzes szmrendszeren alapult, de az ts, sot a kettes (!) szmrendszer elemeit isfellelhetjk benne. Mivel a nulla jelet (a kzpkorig a nullt nem is tartottk szmnak!) nem ismerte, valaminta trtek hasznlata nehzkess tenn a rendszer ismertetst, ezrt csak a termszetes szmok lersval sa velk val szmolssal foglalkozunk. A rendszer ismertetse sorn a muveletek kzl is csak az sszeadsthasznljuk, s az ezernl nagyobb nagysgrendu szmokkal nem foglalkozunk.

A latin nyelvben nll neve volt a szmoknak egytol tzig, a szznak, az ezernek, a millinak. A tbbiszmot a tzes rendszer szerint szsszettellel vagy tbb szbl ll szkapcsolattal kpeztk. (Mint ahogyana magyar nyelv is teszi.) A szmlers az sszeads-muveletre plt, az sszeadand mennyisgekhez alatin bc nagybetui kzl vlasztottak jelet. A 2.1. tblzat tartalmazza az nll betuvel jellt szmokats betujelket. A tbbi szm jeleit ezekbol a betukbol az sszeads segtsgvel gy alaktottk ki, hogya szmot felbontottk olyan sszegre, amelynek tagjai csak a tblzatban szereplo szmok lehettek gy,hogy a klnbzo tzhatvnyok maximum ngyszer, a klnbzo tzhatvnyok tszrsei maximum egyszerszerepelhettek, s a tagok nem nvekvo sorrendben kvettk egymst. Ezutn a tagoknak megfelelo betut azsszeads sorrendjben egyms utn rtk. Jegyezzk meg: a fenti sszeg egyrtelmu tagokra val bontstadja minden szmnak, gy a szmhoz tartoz betusorozat mindig ugyanaz, brki s brmikor vgzi is el azsszeg megllaptst a megadott szably szerint.

2.1. tblzat. A rmai szmok jelei

Szm 1 5 10 50 100 500 1000

Tzhatvnyok segtsgvel felrva 100 5 100 101 5 101 102 5 102 103

Jele I V X L C D M

1. lecke 5. oldal

Nzznk ezek utn egy pldt az elmondottak illusztrlsra. rjuk fel rmai szmknt a2634-et! 2634=1000+1000+500+100+10+10+10+1+1+1+1. A tblzat jeleit behelyettestve kapjuk:MMDCXXXIIII. Termszetesen a rmaiak, illetve a rmai szmokat hasznl kultrk szmolni tud polgraia 2634 felbontst formalizlva nem tudtk elvgezni, hiszen nem ismertk hozz az eszkzket (arab-hinduszmjegyek, helyirtkes szmrs), de a rmai szmrendszer szerint gondolkodva a szmrendszerkbentermszetes mdon tudtk lerni a szmokat. A fenti gondolatmenet a mi szmokrl alkotott elkpzelsnkalapjn adja meg a szmok rmai szmjegyekkel val lersnak mdjt. (Valjban nem ms, mint egy mdszerarra, hogy hogyan kell a vilgon ltalnosan hasznlt szmlersbl a rmai szmformt elolltani.)

Megjegyzendo, hogy a rmai rendszernek egy msik vltozata is ismert. Ebben a vltozatban az sszegfelrsnak szablyrendszere ms. Nevezetesen csak hrom egyforma klnbzo tzhatvny kvetheti egymst,a klnbzo tzhatvny tszrse maximum egyszer szerepelhet. Ha ngy tzhatvnyra lenne szksg, akkor anegyedik tag helyett a megfelelo tzhatvny-tszrs s tzhatvny kivonsval kell kialaktani az sszeget. Azsszegre (klnbsgre) val bonts ebben a rendszerben is egyrtelmu.

A 2634 ebben a formban a kvetkezo lesz: 1000+1000+500+100+10+10+10+51. A kivonsnak megfelelofelrs pedig a jelek fordtott sorrendjvel trtnik, azaz a szm rmai rendszeru alakja: MMDCXXXIV.

2.1.2. Az arab-hindu szmrs, a tzes, helyirtkes szmrendszer

A rmai szmok nem helyirtkes rendszerben vannak felrva. Itt is igaz ugyan, hogy a nagyobb szmot jelentojelek a szm felrsakor megelozik a kisebb rtkueket, de nem fgg a kpviselt rtk attl, hogy a sorbanhnyadik helyen vannak. Pldul a C akkor is szzat jelent, ha egyedl ll, s akkor is, ha vannak mg utnams jelek is, mondjuk: CLI.

Hogyan is plnek fel a helyirtkes szmrendszerek? Ennek a rendszernek a kialakulsban fontos lps voltazt szrevenni, hogy a nulla is szm, illetve a 0 is szmjegy. Ez a felismers a hindu szmols s szmrendszerbenmr az korban megtrtnt.

Eurpa csak a 13., 14. szzadban kezdte hasznlni a nullt, mgpedig a hindu szmjegyek megismerstkvetoen. Mivel ezeket a jegyeket (jeleket) arab kzvettssel ismertk meg, ezrt hvjuk oket mg manapsg is

1. lecke 6. oldal

arab szmjegyeknek.

2.1. bra. Muhammad Al-Hvarizmi

Az arab kzvettok egyik legjelentosebb kpviseloje MuhammadAl-Hvarizmi (780845), akinek latin nyelven megjeleno muvei nemcsakmegismertettk Eurpval a hindu szmrst s a szmjegyeket (0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), de kt muvnek cme alapjn alakult kiaz algebra s az algoritmus szavunk is. (Az algebra a matematikaegyik tudomnyterlete, az algoritmus pedig egy-egy feladathoz javasoltszisztematikus szmolsi mdszer, amely a feladatot egyrtelmuen, vgeslpsben megoldja.) A szmrendszer alapja a tz volt, ezrt tzes idegen szval decimlis szmrendszernek hvjuk. A szmrspedig azon a tnyen alapult, hogy minden nemnegatv vals szmfelrhat olyan tzhatvnyok sszegeknt, amelyben minden klnbzotzhatvny maximum kilencszer szerepelhet. Ennek az sszegnek arvidtett felrsbl keletkezik a szm helyirtkes alakja. Nem kellmst tenni, csak az sszegben szereplo tzhatvnyok egytthatjt jelentoszmjegyeket a kitevok nagysg szerinti sorrendjben lerni, amelyikkitevo nem szerepel az sszegben, annak az egytthatja nyilvn nulla,gy ennek a kitevonek megfelelo helyre nulla kerl. A nulladik kitevoegytthatja utn vesszot tesznk, ezzel jelezve, hogy befejezodtt azegszrsz, s a trtrsz kvetkezik.

Plda: Az 1948,4 valjban az 1 1000 + 9 100 + 4 10 + 8 1 + 4 1/10 =1 103 +9 102 +4 101 +8 100 +4 101 sszeg rvidtse. Ebben valbanmaximum kilencszer szerepel minden elofordul tzhatvny.

ltalnosan, ha a szmot a-val jelljk, az elozoek kpletben:

a = an110n1 + an210

n2 + . . .+ a1101 + a010

0 + a1101 + . . .+ am10

m =n1

i=0 ai10i +m

i=1 ai10i,

ahol az n az egszrsz , m a trtrsz szmjegyeinek szmt jelenti. s minden lehetsges i indexre ai elem a {0,

1. lecke 7. oldal

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} halmaznak, azaz ai valamelyik szmjegy. Az sszeg segtsgvel az a szmot egyszeruengy lehet felrni, hogy az ai egytthatkat az indexek szerint cskkeno sorrendben egyms utn rjuk, az a0 utntizedesvesszot tesznk. Azaz a = an1an2 . . . a1a0,a1 . . . am. A pozitivitst jelzo elojelet (+) ha akarjuk a szm el rhatjuk, de kirni nem szksges.

2.2. bra. Leonardo Pisano

Ha a szm negatv, akkor igaz, hogy a = |a|, de az |a| mr nemnegatv,gy a hatvnyok sszegre val bonts az elozoek szerint elvgezheto, sa = an1an2 . . . a1a0,a1 . . . am . Amint ltjuk ezzel a mdszerrel brmilyenvals szm tz szmjeggyel (plusz hrom kiegszto jellel, az esetleges elojellels a tizedesvesszovel) felrhat. Az alapmuveletek a rendszer segtsgvelknnyen automatizlhatv vltak, ezrt elvgzsk knnyen tanulhat lett.Segdeszkzre az rtbln s rvesszon (ma a papron s ceruzn) kvlnem volt szksg. Ezt ismerte fel Leonardo Pisano (11701250), ismertebbnven Fibonacci, aki Al-Hvarizmi nyomn knyvet rt az arab-hindu szmokrl.A kortrsak mgis idegenkedtek az j szmrstl s szmolstl, mivel azttartottk, hogy ezekkel a jelekkel rt feljegyzsek knnyen hamisthatk. Ami akzzel val rs esetben igaz is lehetett, hiszen a szmok vgre utlag bertnulla nagysgrendben vltoztathatta meg az rtkt, s ugyancsak knnyenlehetett a nullt hatosra vagy kilencesre trajzolni. Egy idore be is tiltottkaz arab-hindu szmok hasznlatt, ennek ellenre az j mdszer hamarosankiszortotta a rmai rendszert.

Jegyezzk meg: a tzes szmrendszerben a szmok jeleinek helyirtkesfelptshez pontosan tz szmjegy kell.

1. lecke 8. oldal

2.1.3. Tetszoleges A-alap szmrendszerek

A 16., 17. szzadban rjttek arra is, hogy a helyirtkes felrsi md nemcsak a tzes, hanem tetszolegesszmrendszer esetn is hasznlhat, csak a szmjegyeket kell megfeleloen megvlasztani s megmutatni,hogy az adott szmrendszerben is egyrtelmuen felrhat minden szm a szmrendszer alapjnak hatvnyaitmegfeleloen sszegezve, s az sszegben minden hatvny legfeljebb az alap rtknl eggyel kevesebbszerszerepelhet. Ez termszetesen a tzes rendszerhez hasonlan azt jelenti, hogy a szmjegyek szma mindenszmrendszerben pontosan az alapszm rtkvel egyezik meg!

2.3. bra. Gottfried WilhelmLeibnitz

A szmjegyek kivlasztsa tznl kisebb alap esetn nem okozott fejtrst,hiszen a tzes rendszer szmjegyei kzl a feleslegeseket, az ppen vizsgltalapnl nagyobb vagy egyenlo rtku jegyeket elhagyva, a maradk alkalmaslesz a szmrendszer jegyeinek jellsre. Ha az alap tznl nagyobb, akkor aszksges szmjegyek szma is nagyobb, mint tz. Teht j szmjegyekre vanszksg. A mai gyakorlat szerint nem j jeleket szoks j szmjegyknt krelni,hanem az latin bc elejrol vlasztunk annyi nagybetut, amennyit az alaprtke megszab.

Manapsg a tzes szmrendszer mellett hasznljuk a kettes (binris) s atizenhatos (hexadecimlis) szmrendszereket is.

A kettes helyirtkes szmrendszer pontos, precz lerst Gottfried WilhelmLeibnitz ksztette el az Explication de lArithmtique Binaire cmuknyvben.

A tzes rendszerhez hasonlan igaz, hogy kettes rendszerben is mindennemnegatv vals szm felrhat az alap, azaz a ketto hatvnyainak olyansszegeknt, amelyben minden kettohatvny maximum egyszer szerepel.Kplettel: tetszoleges nemnegatv a vals szmra igaz, hogy

a = an12n1 + an22

n2 + . . .+ a121 + a02

0 + a121 + . . .+ am2

m =n1

i=0 ai2i +m

i=1 ai2i,

ahol minden lehetsges i indexre ai a 0 vagy az 1 szmjegy valamelyike. Az a kettes szmrendszerbeli alakja

1. lecke 9. oldal

pedig: a = an1an2 . . . a1a0,a1 . . . am. Negatv szm esetn ugyangy jrunk el, mint ahogyan a tzesszmrendszernl lttuk.

A kettes szmrendszer szmjegyeit (a 0-t s az 1-et) az angol nevk (binary digit) rvidtsbol bitnek is szoksnevezni.

Tizenhatos szmrendszert alkalmazva a tzes s a kettes rendszernl mr lertakat kapjuk, hogy mindennemnegatv vals a-ra

a = an116n1 + an216

n2 + . . .+ a121 + a016

0 + a1161 + . . .+ am16

m =n1

i=0 ai16i +m

i=1 ai16i,

ahol ai minden lehetsges indexre a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} halmaz valamelyik eleme. Az A,B, C, D, E s F jelek tizenhatos rendszerben rendre a 10, 11, 12, 13, 14 s 15 tzes szmrendszerbeli szmnakmegfelelo szmot jelentik. Az a tizenhatos szmrendszerbeli alakja pedig: a = an1an2 . . . a1a0,a1 . . . am.Ha a szm negatv, akkor ugyangy jrhatunk el, mint a tzes s kettes alap rendszer esetben lttuk.

Mivel a szmok szmjegyekkel val helyirtkes lersakor a kapott jelsorozatbl nem lehet egyrtelmueneldnteni, hogy milyen szmrendszerben van ezrt jellni kell valamilyen mdon a szm szmjegyei mellettazt is, hogy melyik szmrendszert hasznltuk a szm felrsra. A szmrendszer jellsre tbbfle megoldsis hasznlatos. Mi a kvetkezokben a szm jegyei utn alsindexben s zrjelben a szmrendszer alapjt(tzes szmrendszerben) megadva jelezzk a hasznlt rendszert. (Pl.: 176(16) [kimondva tizenhatos alapszzhetvenhat], A1F(16) tizenhatos, 1011(2), 10(2) kettes, 10(10), 176(10) tzes szmrendszerben megadott szmok.Felhvjuk a figyelmet arra, hogy 10(2) nem egyenlo 10(10)-zel s 176(16) nem egyenlo 176(10)-tal.) Nem rjuk kiaz alapot, ha szmrendszer egyrtelmuen azonosthat.

A htkznapi letben a tzes szmrendszer a megszokott, gy nem kell az alapot megadni, ha egy szmot lerunk.A ksobbiekben az alap nlkl lert szmokat mindig tzes szmrendszerben megadott szmnak tekintjk, s atzes alapot csak akkor rjuk ki, ha hangslyozni szeretnnk azt, hogy a szm tzes rendszerben van lerva,megadva.

Aktivits: A fentiek alapjn gondoljuk t, hogy hogyan lehet lerni egy szmot nyolcas (oktlis)szmrendszerben.

1. lecke 10. oldal

2.1.4. Szmok trsa egyik szmrendszerbol msik szmrendszerre

Ezek utn felmerlhet az a krds, hogy hogyan kell ha szksgess vlik egyik szmrendszerben lertszmot egy msik szmrendszerbe trni.

Mivel tetszoleges szmrendszerbol tzes szmrendszerre val trs az egyszerubb, eloszr ezzel foglalkozunk.Az talaktshoz semmi ms nem kell, mint egyszeruen felrni azt az sszeget, amelynek rvidtsbol a szmjelsorozatt kaptuk. Azokat a szmjegyeket, amelyek a tzes rendszerben nincsenek benne helyettesteni kellaz rtkk tzes rendszerbeli alakjval. Az gy kialakult sszegben mr minden tzes szmrendszerben vanfelrva, ha elvgezzk a muveleteket az eredmny is tzes szmrendszerbeli lesz, s ez ppen a szm tzesszmrendszerben megadott alakjt adja.

Plda: A1F(16) A162 + 1 161+F160 10 162 + 1 161 + 15 160 = 10 256 + 16 + 15 1 = 2591(10).1011(2) 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 = 8 + 2 + 1 = 11(10).AA,8(16) A161+A160 + 8 161 10 16 + 10 1 + 8 1/16 = 170,5

Aktivits: Adjuk meg a 8A3E1(16), 726(8), 1010101,01(2) szmok tzes szmrendszerbeli alakjt!

Egy tetszoleges b vals szm tzes szmrendszerbol tetszoleges A-alap rendszerben val felrshoz nem kellmst tennnk, mint megkeresnnkA azon hatvnyainak sszegt, amely (tzes szmrendszerben) b-vel egyenlo.Azaz meg kell llaptani, hogy a

b = an1An1 + an2A

n2 + . . .+ a1A1 + a0A

0 + a1A1 + . . .+ amA

m =n1

i=0 aiAi +m

i=1 aiAi

egyenlosg milyen n, m s ai rtkekre teljesl. Ezekrol az rtkekrol csak annyit tudunk, hogy az sszes ai < As nemnegatv.

Vizsgljuk eloszr az sszeg elso felt. Azt, amelyben az ai indexei nemnegatvok. Ez a rszsszeg a b-nekA-alap egszrszt adja meg, s lthat, hogy az utols tag kivtelvel minden ms tag oszthat A-val. Mivela < A, ezrt az is nyilvnval, hogy az sszeget azaz b egszrszt maradkos osztssal A-val elosztvappen a0-t kapunk maradkul, a hnyados pedig an1An2+an2An3+ . . .+a1A0 lesz. Ezt A-val jra elosztva

1. lecke 11. oldal

a1-et kapunk maradkul. Ezeket a lpseket az jabb s jabb hnyadosra elvgezve rendre megkapjuk a tbbipozitv indexu ai-t. Az osztsokat akkor fejezzk be, ha a hnyados nullv vlik. Ez ppen az n-edik lpsbenkvetkezik be, s ekkor az utols egytthatt, az an1-et is megkapjuk. gy nyilvnval, hogy a maradkokrendre az a0, ..., an1 rtkeket adjk, azaz a b-t elollt A szmrendszerbeli alakot definil sszeg elso felemr felrhat.

Az sszeg msodik felt vizsglva eloszr azt kell megllaptanunk, hogy ez a rszsszeg ppen b-nek A-alaptrtrszt adja meg. Vegyk szre, hogy ha ezt az sszeget azaz b trtrszt A-val szorozzuk, akkor a kapottsszeg egy olyan A-alap szmot hatroz meg, amelynek egsz rsze ppen a1, a trtrsze pedig az sszeg,amely ugyancsak egy trtszm, csak a szmjegyeinek szma az A-alap alakban eggyel kevesebb, mint az elozotrtrsz volt. Ezt a trtszmot A-val szorozva az egszrsz a2, a trtrsz egy jabb trtszm, amelynekA-alap alakjban a3-tl am-ig szerepelnek a szmjegyek. A szorzsokat addig folytatva, amg a trtrsznullv nem vlik, megkaphatjuk a b A-alap alakjt megad sszeg sszes negatv indexu ai rtkeit s mrtkt is, ami nem lesz ms, mint a nulla trtrsz elrshez szksges szorzsok szma.

Sajnos elofordulhat, hogy a trtrsz sohasem vlik nullv. Ilyen esetben a b szm A-alap alakja vgtelen sokszmjeggyel lerhat trtrszbol ll. Ekkor a szorzst addig kell folytatni, amg elo nem kerl egy olyan trtrsz,amelyik mr a szorzsok eredmnyeknt megjelent. Ettol kezdve ugyanis periodikusan ismtlodni fog minden,a kt egyforma trtrsz kzti szorzat, gy a b A-alap alakja periodikus vgtelen trtrszu lesz.

Ezek alapjn az talaktst a kvetkezok szerint kell elvgezni:

1. Vlasszuk a szmot egszrszre s trtrszre.

2. Hatrozzuk meg az egszrsz j szmrendszerbeli alakjt.

3. Hatrozzuk meg a trtrsz j szmrendszerbeli alakjt.

4. Vesszovel elvlasztva rjuk az egszrsz mg a trtrszt.

1. lecke 12. oldal

Plda: 1848,4(10) binris, oktlis s hexadecimlis talaktsa.

1. A egszrsz: 1848(10), a trtrsz 0,4(10)

2. Az egszrsz talaktsa. (Lsd a 2.2. tblzatot. Csak az osztsi eredmnyeket tartalmazza a kiindulsiegszrszt nem!)

2.2. tblzat. Az egszrsz talaktsa 2-es, 8-as s 16-os szmrendszerbe

2 8 16

index hnyados maradk hnyados maradk hnyados maradk

0 924(10) 0 231(10) 0 115(10) 8

1 462(10) 0 28(10) 7 7(10) 3

2 231(10) 0 3(10) 4 0(10) 7

3 115(10) 1 0(10) 3

4 57(10) 1

5 28(10) 1

6 14(10) 0

7 7(10) 0

8 3(10) 1

9 1(10) 1

10 0(10) 1

Az egszrsz alakjai a megadott szmrendszerekben: 11100111000(2), 3470(8), 738(16).

1. lecke 13. oldal

3. A trtrsz talaktsa. (Lsd a 2.3. tblzatot. Csak a szorzsi eredmnyeit tartalmazza az talaktandszm trtrszt, amit az elso szorzshoz hasznlunk, nem!)

2.3. tblzat. A trtrsz talaktsa 2-es, 8-as s 16-os szmrendszerbe

2 8 16

szorzat szorzat szorzat

index egszrsz trtrsz egszrsz trtrsz egszrsz trtrsz

1 0 ,8(10) 3 ,2(10) 6 ,4(10)2 1 ,6(10) 1 ,6(10) innen ismtlodik3 1 ,2(10) 4 ,8(10)4 0 ,4(10) 6 ,4(10)

innen ismtlodik innen ismtlodik

A trtrsz j alakjai: 0,0110(2), 0,3146(8), 0,6(16). A szmjegyek feletti pontok a periodikusan ismtlodoszakaszt jellik ki.

4. Az j teljes alakok: 11100111000,0110(2), 3470,3146(8), 738,6(16).

Aktivits: Szmtsuk ki, mekkora hibt vtnk, ha az talaktskor keletkezo vgtelen trt jegyeit egy adotti kitevotol elhagyjuk!

Valamely vals szm tetszoleges A alaprl tetszoleges B alapra val talaktsa, ha sem A sem B nem tz,kt menetben trtnhet. Eloszr alaktsuk t a szmot tzes alap formra, majd ezt alaktsuk tovbb B-alapalakra.

1. lecke 14. oldal

Plda: Mi a kettes szmrendszerbeli alakja a 738,6(16)-nak?

1. talakts tzes szmrendszerre:738,6(16) = 7 162 + 3 161 + 8 160 +

i=1 6 16i = 1848(10) + (6(10)/16(10))/(1(10) 1(10)/16(10)) =

1848(10) + 2(10)/5(10) = 1848,4(10)A szmolsban felhasznltuk azt, hogy a

i=1 6 16i egy a1 = 6/16 kezdoelemu q = 1/16 kvciensu

mrtani sor, amelynek rtke az a1/(1 q) kplettel szmolhat.

2. A tzes szmrendszerbeli alak tovbbalaktsa kettes szmrendszerre (lsd a 2.4. tblzatot).

2.4. tblzat. Az 1848,4(10) talaktsa 2-es szmrendszerbe

egszrsz osztsa trtrsz szorzsa

index hnyados maradk egszrsz trtrsz index

0 924(10) 0 0 ,8(10) 11 462(10) 0 1 ,6(10) 22 231(10) 0 1 ,2(10) 33 115(10) 1 0 ,4(10) 44 57(10) 1 innen ismtlodik

5 28(10) 1

6 14(10) 0

7 7(10) 0

8 3(10) 1

9 1(10) 1

10 0(10) 1

1. lecke 15. oldal

A kettes szmrendszerbeli alak: 11100111000,0110(2).

Aktivits: Mi az alakja nyolcas szmrendszerben a 1010101,01(2) s a 8A3E1(16) szmoknak?

Termszetesen a szmokkal minden szmrendszerben lehet muveleteket vgezni. A ngy alapmuveletelvgzse nem is olyan nehz, ha felismerjk, hogy ugyanolyan szablyok rvnyesek, mint amiket a tzesszmrendszerben megismertnk. A problmt legfeljebb ezeknek a szablyoknak az adaptlsa okozza.Nehezebb a bonyolultabb muveletek hozzigaztsa tetszoleges, de nem tzes alap szmrendszerhez.

Nagy szmokkal, segdeszkz nlkl, mg a tzes rendszerben is problmt okozhat a ngy alapmuveletelvgzse. Manapsg a klnfle szmol eszkzk korban a segdeszkzk mindenki szmra elrhetok.Sot, a ngy alapmuvelet mellett lehet hatvnyozni, gykt vonni, s nhny egyszeru fggvny rtkt is kitudjuk szmtani ezekkel az eszkzkkel. Nmelyik nemcsak tzes szmrendszerben tud szmolni, hanem kettesvagy tizenhatos rendszerben is.

2.1.5. Muveletek nem csak szmokkal, a Boole-algebra

A 19. szzad kzeptol a szmokkal val muveletvgzs mellett megjelentek ms objektumokon vgezhetomuveletek is, s kialakult az absztrakt algebra.

Szmtstechnikai szempontbl ennek a tudomnygnak legfontosabb terlete a Boole-algebra, amit GeorgeBoole munkssga alapozott meg.

A Boole-algebra egy olyan struktra, amely egy ktelemu halmazbl s a rajta elvgezheto muveletekbol plfel. A halmaz egyik elemt I(gaz), msik elemt H(amis) rtknek tekintjk. Ezeken az rtkeken maximum4 egyoperandus s 16 ktoperandus muvelet definilhat. Mi ezek kzl egy egyoperandus muveletet shrom ktoperandus muvelet fogunk megismerni.

A trgyaland egyoperandus muveletet negcinak nevezzk. A muveleti jele jel legyen. A muveletelvgzse pedig a kvetkezo: ha az operandus rtke I, akkor az eredmny legyen H, ha az operandus rtke

1. lecke 16. oldal

H, akkor az eredmny I. Formlisan: I=H, H=I. A muvelet lerst gynevezett igazsgtbla segtsgvel ismegadhatjuk.

operandus: A eredmny: AI H

H I

A ktoperandus muveletek egyikt s, a msikat vagy, a harmadikat kizr vagy muveletnek nevezzk,a muveleti jelk: , , valamint 6=. A muveletek igazsgtblja:

1. operandus: A 2. operandus: B eredmny: ABI I I

I H H

H I H

H H H

1. operandus: A 2. operandus: B eredmny: ABI I I

I H I

H I I

H H H

1. lecke 17. oldal

1. operandus: A 2. operandus: B eredmny: A6=BI I H

I H I

H I I

H H H

A logikai muveletek szmunkra a ksobbiekben felhasznlhat fontosabb tulajdonsgai:

Az s valamint a vagy muvelet:

asszociatv, azaz (AB)C = A(BC) = ABC s (AB)C = A (BC) = ABC.

kommutatv, azaz AB = BA s AB = BA.

A kizr vagy kommutatv azaz (A 6=B) = (B6=A), de nem asszociatv azaz ((A6=B)6=C) nem egyenlo(A6=(B6=C))-vel.Az s muvelet disztributv a vagy muveletre, illetve a vagy az s-re, azaz: (AB)C = (AC)(BC),illetve (AB)C = (AC)(BC)Termszetes ezek a legegyszerubb muveleti tulajdonsgok, tbbre nem is lesz szksgnk.

1. lecke 18. oldal

nellenorzs

1. Szmtsa t tzes szmrendszerre a kvetkezo szmokat: AF5(16), 123(4), 23,4(16), 23,4(5).

2. Szmtsa t kettes szmrendszerre a kvetkezo szmokat: 1756,5(10), 1756,5(16), 1756,5(8).

3. Bizonytsuk be, hogy minden kettes szmrendszerben felrhat, vges sok nullt tartalmaz racionlisszm tzes szmrendszerben vges sok szmjeggyel felrhat. (Hasznljuk a mrtani sorozatra megtanultsszefggseket!)

4. Bizonytsuk be, hogy a tzes s a tizenhatos szmrendszerekben pontosan n > 1 darab szmjeggyel felrhatszmok kztt van olyan pr, amelyiknek egyik tagja tzes, a msik tizenhatos szmrendszerbol val, s anagyobbik nagyobb, mint a kisebbik 16-szorosa.

5. Jellje meg az igaz lltsokat!

Tzes szmrendszerben lert, vges sok tizedesjegyet tartalmaz szm kettes szmrendszerben is vgessok szmjegyet tartalmaz trtrszbol ll.Kettes szmrendszerben lert szm, amelynek trtrsze vges sok szmjegyet tartalmaz, tzesszmrendszerben is vges sok tizedesjegyu lesz.Tzes szmrendszerben vges sok szmjeggyel lert szm kettes szmrendszerben is vges sokszmjeggyel lerhat.Elofordulhat, hogy tzes szmrendszerben vges sok szmjeggyel lert szm kettes szmrendszerbenvgtelen sok szmjeggyel lesz lerhat.Brmelyik egsz szm kdolhat vals szmknt is.

2. LECKE

Kdols

2. lecke 1. oldal

Ebben a leckben megismerjk a kdols fogalmt. Olyan kdrendszereket ismernk meg amiket aszmtstechnikban szoks alkalmazni a htkznapokban hasznlt kdrendszerek helyett.

Karakterek, jelek kdolsval kezdnk, s eljutunk az olyan sszetett objektumok kdolsnak egy lehetsgesvltozatig, mint amilyenek a kpek. A kpkdols vzlatos lersa inkbb csak olvassra ajnlott, de nemrdektelen senki szmra, hiszen olyan ismeretek tallunk a lersban, mint a digitalizls, a felbonts s annakmrtkegysge. Ezek az ismeretek a htkznapi letben is fontosak lehetnek.

Sokak szmra nem biztos, hogy nyilvnval mirt is van szksge a htkznapi szmtgp-hasznlnak akdolsok ismeretre. A vlasz nagyon egyszeru: mr a tblzatkezelok hasznlata sorn is elokerlnekolyan problmk, amiknek megoldsban nlklzhetetlen a kdols alapjainak ismerete. Nem kell tehtszmtstechnikusnak lenni ahhoz, hogy a kdols mibenltt ismernnk kelljen.

2. lecke 2. oldal

3. Kdols

Amint az elozoekbol ltszik, szinte a kezdetektol megjelentek azok a mdszerek, amelyek segtsgvel a szmokmegjelenthetok, ksobb lerhatk voltak, azaz kialakult a szmok kdolsa.

3.1. definci: Tgabb rtelemben kdolsnak hvjuk azt a mdszert, amely segtsgvel msok szmra iselrhetov, rthetov tesszk gondolatainkat.

Ilyen kdols a beszd, az rs brmilyen formja, gy a szmok lersa is. Ilyen kdols eredmnye pldul anyolcnak a szoksos tzes szmrendszerben lert 8(10), a kettes szmrendszerben megadott 1000(2) vagy a rmaiszm VIII alakja is.

3.2. definci: Szukebb rtelemben kdolsrl akkor beszlnk, ha szoksos eszkzkkel (szmjegyekkel,rssal, kppel, videval, hanggal) megadott objektumokat valamilyen egysges rendszerben jra megadunk,lerunk.

A tovbbiakban a szukebb rtelmu kdolst rtjk kdols alatt.

Klnsen fontoss vlt a kdols, amikor a szmols segtsre klnbzo eszkzket kezdett az emberisghasznlni. A kvetkezokben a jelen eszkzeinek hasznlathoz nlklzhetetlen kdolsokkal fogunkfoglalkozni. Ezeknek a kdolsoknak alapja a kettes szmrendszer, mivel eszkzeink elektronikus eszkzk,s a kettes szmrendszer kt klnbzo bitje elektronikus eszkzkkel knnyen megjelentheto vagy knnyentovbbkdolhat gy pldul, hogy az 1-nek egy magas, mg a 0-nak egy alacsony feszltsgszintet feleltetnkmeg.

A klnbzo kdrendszereket vizsglva megklnbztethetnk fix hosszsg s vltoz hosszsg kdokblll kdrendszert. A kdok hosszt a kdban lvo jelek szmval szoks definilni. A szmtstechnikbanmindkt rendszert hasznljk.

2. lecke 3. oldal

3.1. A Boole-algebra objektumainak kdolsa

A legegyszerubb kdols, hiszen csak kt elemnek kell kdot vlasztani (I, H). Legfeljebb az okozhat fejtrst,hny jelbol lljon a kd, ha ragaszkodunk ahhoz, hogy a kdokat bitekbol ptjk fel. Egyetlen jelbol llkd esetn pldul az I objektumot 1-gyel, a H objektumot 0-val kdolhatjuk, 8 bites kd esetn az I kdja a11111111 jelsorozat, a H- a 00000000 jelsorozat lehet.

3.2. Betuk s egyb jelek valamint tetszoleges szveg kdolsa

Fix hosszsg kdolst hasznlunk, a kd hossza ltalban 8 vagy 16 binris jel, ritkbban elofordul a 24 s32 kdhossz is.

Mivel 0 s 1 jelekbol 8 hosszsg kdot 256-flekppen lehet elolltani, ezrt ezzel a kdrendszerrel sszesen256 klnbzo jel kdolhat. Ezeket a jeleket, illetve kdjaikat szabvnyok hatrozzk meg. A legelterjedtebbszabvnyok egyike az ASCII (American Standard Code for Information Interchange = amerikai szabvnykdinformcicserhez). Az elso 128 kd sztenderd, azaz llandsult jeleket tartalmaz, a msodik 128 kd azgynevezett kiterjesztett jelek kdjai.

2. lecke 4. oldal

3.1. bra. Az ASCII kdtblzat elso fele

DEC OKT HEX BIN Jel DEC OKT HEX BIN Jel DEC OKT HEX BIN Jel DEC OKT HEX BIN Jel 0 0 0 00000000 NUL 32 40 20 00100000 64 100 40 01000000 @ 96 140 60 01100000 ` 1 1 1 00000001 SOH 33 41 21 00100001 ! 65 101 41 01000001 A 97 141 61 01100001 a 2 2 2 00000010 STX 34 42 22 00100010 " 66 102 42 01000010 B 98 142 62 01100010 b 3 3 3 00000011 ETX 35 43 23 00100011 # 67 103 43 01000011 C 99 143 63 01100011 c 4 4 4 00000100 EOT 36 44 24 00100100 $ 68 104 44 01000100 D 100 144 64 01100100 d 5 5 5 00000101 ENQ 37 45 25 00100101 % 69 105 45 01000101 E 101 145 65 01100101 e 6 6 6 00000110 ACK 38 46 26 00100110 & 70 106 46 01000110 F 102 146 66 01100110 f 7 7 7 00000111 BEL 39 47 27 00100111 ' 71 107 47 01000111 G 103 147 67 01100111 g 8 10 8 00001000 BS 40 50 28 00101000 ( 72 110 48 01001000 H 104 150 68 01101000 h 9 11 9 00001001 HT 41 51 29 00101001 ) 73 111 49 01001001 I 105 151 69 01101001 i

10 12 0A 00001010 LF 42 52 2A 00101010 * 74 112 4A 01001010 J 106 152 6A 01101010 j 11 13 0B 00001011 VT 43 53 2B 00101011 + 75 113 4B 01001011 K 107 153 6B 01101011 k 12 14 0C 00001100 FF 44 54 2C 00101100 , 76 114 4C 01001100 L 108 154 6C 01101100 l 13 15 0D 00001101 CR 45 55 2D 00101101 - 77 115 4D 01001101 M 109 155 6D 01101101 m 14 16 0E 00001110 SO 46 56 2E 00101110 , 78 116 4E 01001110 N 110 156 6E 01101110 n 15 17 0F 00001111 SI 47 57 2F 00101111 / 79 117 4F 01001111 O 111 157 6F 01101111 o 16 20 10 00010000 DLE 48 60 30 00110000 0 80 120 50 01010000 P 112 160 70 01110000 p 17 21 11 00010001 DC1 49 61 31 00110001 1 81 121 51 01010001 Q 113 161 71 01110001 q 18 22 12 00010010 DC2 50 62 32 00110010 2 82 122 52 01010010 R 114 162 72 01110010 r 19 23 13 00010011 DC3 51 63 33 00110011 3 83 123 53 01010011 S 115 163 73 01110011 s 20 24 14 00010100 DC4 52 64 34 00110100 4 84 124 54 01010100 T 116 164 74 01110100 t 21 25 15 00010101 NAK 53 65 35 00110101 5 85 125 55 01010101 U 117 165 75 01110101 u 22 26 16 00010110 SYN 54 66 36 00110110 6 86 126 56 01010110 V 118 166 76 01110110 v 23 27 17 00010111 ETB 55 67 37 00110111 7 87 127 57 01010111 W 119 167 77 01110111 w 24 30 18 00011000 CAN 56 70 38 00111000 8 88 130 58 01011000 X 120 170 78 01111000 x 25 31 19 00011001 EM 57 71 39 00111001 9 89 131 59 01011001 Y 121 171 79 01111001 y 26 32 1A 00011010 SUB 58 72 3A 00111010 : 90 132 5A 01011010 Z 122 172 7A 01111010 z 27 33 1B 00011011 ESC 59 73 3B 00111011 ; 91 133 5B 01011011 [ 123 173 7B 01111011 { 28 34 1C 00011100 FS 60 74 3C 00111100 < 92 134 5C 01011100 \ 124 174 7C 01111100 | 29 35 1D 00011101 GS 61 75 3D 00111101 = 93 135 5D 01011101 ] 125 175 7D 01111101 } 30 36 1E 00011110 RS 62 76 3E 00111110 > 94 136 5E 01011110 ^ 126 176 7E 01111110 ~ 31 37 1F 00011111 US 63 77 3F 00111111 ? 95 137 5F 01011111 _ 127 177 7F 01111111

2. lecke 5. oldal

3.2. bra. Az ASCII kdtblzat Latin1 jeleket tartalmaz msodik fele

DEC OKT HEX BIN Jel DEC OKT HEX BIN Jel DEC OKT HEX BIN Jel DEC OKT HEX BIN Jel 128 200 80 10000000 160 240 A0 10100000 192 300 C0 11000000 224 340 E0 11100000 129 201 81 10000001 161 241 A1 10100001 193 301 C1 11000001 225 341 E1 11100001 130 202 82 10000010 162 242 A2 10100010 194 302 C2 11000010 226 342 E2 11100010 131 203 83 10000011 163 243 A3 10100011 195 303 C3 11000011 227 343 E3 11100011 132 204 84 10000100 164 244 A4 10100100 196 304 C4 11000100 228 344 E4 11100100 133 205 85 10000101 165 245 A5 10100101 197 305 C5 11000101 229 345 E5 11100101 134 206 86 10000110 166 246 A6 10100110 198 306 C6 11000110 230 346 E6 11100110 135 207 87 10000111 167 247 A7 10100111 199 307 C7 11000111 231 347 E7 11100111 136 210 88 10001000 168 250 A8 10101000 200 310 C8 11001000 232 350 E8 11101000 137 211 89 10001001 169 251 A9 10101001 201 311 C9 11001001 233 351 E9 11101001 138 212 8A 10001010 170 252 AA 10101010 202 312 CA 11001010 234 352 EA 11101010 139 213 8B 10001011 171 253 AB 10101011 203 313 CB 11001011 235 353 EB 11101011 140 214 8C 10001100 172 254 AC 10101100 204 314 CC 11001100 236 354 EC 11101100 141 215 8D 10001101 173 255 AD 10101101 205 315 CD 11001101 237 355 ED 11101101 142 216 8E 10001110 174 256 AE 10101110 206 316 CE 11001110 238 356 EE 11101110 143 217 8F 10001111 175 257 AF 10101111 207 317 CF 11001111 239 357 EF 11101111 144 220 90 10010000 176 260 B0 10110000 208 320 D0 11010000 240 360 F0 11110000 145 221 91 10010001 177 261 B1 10110001 209 321 D1 11010001 241 361 F1 11110001 146 222 92 10010010 178 262 B2 10110010 210 322 D2 11010010 242 362 F2 11110010 147 223 93 10010011 179 263 B3 10110011 211 323 D3 11010011 243 363 F3 11110011 148 224 94 10010100 180 264 B4 10110100 212 324 D4 11010100 244 364 F4 11110100 149 225 95 10010101 181 265 B5 10110101 213 325 D5 11010101 245 365 F5 11110101 150 226 96 10010110 182 266 B6 10110110 214 326 D6 11010110 246 366 F6 11110110 151 227 97 10010111 183 267 B7 10110111 215 327 D7 11010111 247 367 F7 11110111 152 230 98 10011000 184 270 B8 10111000 216 330 D8 11011000 248 370 F8 11111000 153 231 99 10011001 185 271 B9 10111001 217 331 D9 11011001 249 371 F9 11111001 154 232 9A 10011010 186 272 BA 10111010 218 332 DA 11011010 250 372 FA 11111010 155 233 9B 10011011 187 273 BB 10111011 219 333 DB 11011011 251 373 FB 11111011 156 234 9C 10011100 188 274 BC 10111100 220 334 DC 11011100 252 374 FC 11111100 157 235 9D 10011101 189 275 BD 10111101 221 335 DD 11011101 253 375 FD 11111101 158 236 9E 10011110 190 276 BE 10111110 222 336 DE 11011110 254 376 FE 11111110 159 237 9F 10011111 191 277 BF 10111111 223 337 DF 11011111 255 377 FF 11111111

2. lecke 6. oldal

A kiterjeszts tbbflekppen is trtnhet, a bemutatott plda a Latin1 kiterjesztsu vltozat. A kdrendszer elsofelt a 3.1. bra, a msodik rszt a 3.2. bra tartalmazza. A binris kdok mellett megtalljuk ezek decimliss hexadecimlis rtkt is. Az utbbi kt szmban az rtket nem kpviselo, az elol lvo nullkat elhagytuk.(A binris kdban fontosak a kdok kezdo nulli is, mivel ezek a kd szerves rszei. Ha elhagyhatk lennnek,akkor a kd nem lenne fix hosszsg!)

Lthat, hogy ebben a rendszerben sszefggo tmbt alkotnak az angol bc nagybetui s a kisbetui, valaminta szmjegyek. Megtallhatk a jelek kztt az rsjelek, a gyakran hasznlt matematikai jelek, sok kezetes betujele s nhny specilis jel is.

Az ASCII rendszerben nem kdolhatk a tvolkeleti nyelvek betui, sot nmely eurpai bc klnleges betujesem. Ennek a problmnak a kikszblsre alkottk meg az Unicode, az UTF-8 rendszereket, Ezekben akdok 16, 24, 32, 40, 48 hosszsg 0 s 1 jelbol ll sorozatok. Ezekben a rendszerekben 16 bittel 2562, 24bittel 2563 klnbzo jelet lehet kdolni.

Ha jeleket tudunk kdolni, akkor mr szveget is. Hiszen nem kell mst tennnk, mint a szveg betuit,szmjegyeit, rsjeleit, betukzeit a jelek kdtblzatt felhasznlva kdoljuk, s a kdokat egyms mg rvamegkaphatjuk a kdoland szveg kdjt. Vegyk szre, hogy a kapott kd hossza fgg a jelek kdhossztls a szveg jeleinek szmtl is. Mivel a jelek szma ms s ms szvegben ltalban nem egyforma, ezrt aszveg ilyen kdolsa vltoz hosszsg kdot eredmnyez.

3.3. Szmok kdolsa

Termszetesen az elozo rszben lert kdolsi mdszer szmok kdolsra is j, de az gy kdolt szmokkal amuveletvgzs nehzkes lesz, teht alkalmasabb rendszert clszeru vlasztani. Sokfle szmkdols lehetsges.A kvetkezokben ngyfle mdszerrel fogunk foglalkozni.

3.3.1. Nemnegatv egsz szmok kdolsa

Ezeket a szmokat szmtstechnikban elojeltelen (angolul unsigned) szmoknak is szoks nevezni.Kdolsukra 8, 16, 32, 64 bites kdok a legelterjedtebbek. Nyolc bittel 0 s 28 1 = 255, 16 bittel 0 s

2. lecke 7. oldal

216 1 = 65535, 32 bittel 0 s 232 1 = 4294967295, 64 bittel 0 s 264 1 = 255 kz eso szmokat szokskdolni. A kd megllaptsa nagyon egyszeru. rjuk fel a kdoland szmot kettes szmrendszerben, rjunkelje annyi nullt, amennyi ahhoz kell, hogy a kd hossza megfelelo legyen. Amit kaptunk az a szm kdja!Fontos megjegyezni, hogy a fenti mdszerrel a megadott intervallumokon kvli egsz szmok nem kdolhatk!

3.3.2. Egsz szmok kdolsa kettes komplemens kddal

Ezeket a szmokat szmtstechnikban elojeles (angolul signed) szmoknak szoks nevezni. Szintn 8, 16, 32,64 bites kdokat hasznlunk a kdolshoz. Nyolc bittel a27 = 128 s 271 = 127, 16 bittel a215 = 32768s 215 1 = 32767, 32 bittel a 231 = 2147483648 s 215 1 = 2147483647, 64 bittel 263 s 263 1 kz esoszmokat kdoljuk. A megadott intervallumokon kvl eso szmok ezzel a mdszerrel nem kdolhatk!

A kdols a kvetkezo (csak a nyolcbites vltozattal foglalkozunk, a msik hrom vltozatban ennek mintjratrtnik a kdok megllaptsa). Ha a szm nemnegatv, akkor ugyangy, mint az elozo kdolsi mdszernl vesszk a kettes szmrendszerbeli alakot, elje runk annyi nullt, hogy nyolc jelbol lljon, s mr kszen isvan a kd. Ha a szm negatv, akkor hozzadunk 28 = 256-ot. Az eredmny 127-nl nagyobb, 256-nl kisebbpozitv szm lesz. Ennek vesszk a kettes szmrendszerbeli alakjt, s az lesz a negatv szmunk kdja.

Vegyk szre, a nemnegatv szm kdja mindig nullval, a negatv mindig eggyel kezdodik, ezrt a kd vezetobitje megadja azt is, hogy kd negatv vagy nemnegatv szmot jelent-e. Ezrt ezt a bitet szoks elojelbitnekis nevezni. Ez az elnevezs br helytelen, de annyira elterjedt, hogy itt is megemltjk, de mindenkppenkihangslyozzuk, hogy nem az elojel kdolsra hasznljuk!

A negatv szm kdjt kettes komplemens kdnak is nevezik.

A kettes komplemens kd megllaptsra egy kevesebb szmolst ignylo mdszert is lehet hasznlni. Amdszer azon alapul, hogy a 2n1 szm kettes szmrendszerben pontosan n darab egyesbol ll, nulla nlkl.Ebbol a szmbl knnyu kivonni brmilyen n-nl kevesebb bitbol ll pozitv binris szmot, hiszen nem kellmst tenni, csak 0-t rni arra a helyirtkre, ahol a kivonandban 1 van, s 1-et arra, ahol 0 van. Az eredmnynem ms, mint az a szm, amit gy kapunk, hogy a kivonandban minden bitet az ellentettjre 0-t 1-re,1-et 0-ra cserlnk, ms szval negljuk, s annyi 1-gyel kiegsztjk a szm elejn, hogy n jegyu legyen. Ez

2. lecke 8. oldal

a szm eggyel kisebb, mint a kivonand 1-szeresnek kettes komplemens kdja, ezrt a kettes komplemenselrshez 1-et hozz kell adni. Amit kaptunk, az nem ms, mint a kivonand (pozitv) szm 1-szeresnek (ezmr negatv) kdja.

Plda: Szmtsuk ki a 1848 kettes komplemens kdjt! A megolds tblzatba foglalva:

1848 111 00111000

negls 000 11000111

kiegszts 11111000 11000111

+1 00000000 00000001

1848 kdja 11111000 11001000

rdemes megjegyezni, hogy a fenti mdszert mechanikusan alkalmazva a kettes komplemens kdra, a kdhoztartoz negatv szm abszolt rtknek kettes szmrendszerbeli alakjt, azaz a kdjt kapjuk. 1848 esetn:

1848 kdja 11111000 11001000negls 00000111 00110111

kiegszts nem szksges

+1 00000000 00000001

1848 kdja 00000111 00111000

Aktivits: Szmtsuk ki a 1848 32 bites komplemens kdjt!

Ebben a kdrendszerben kt szm sszegnek kdjt rgtn megkaphatjuk, ha a kdokat sszeadjuk, teht nemkell az sszeads elvgzshez oda-vissza kdolgatni, a szmok sszeadsa helyett elg a kdokat sszeadni.Ezen kvl megsprolhatjuk a kivonst is, ugyanis a b = a + (b) tetszoleges a s b esetn, az a s a b

2. lecke 9. oldal

kdjnak sszege ebben a kdrendszerben ppen az a b szm kdja lesz. Ez pedig az elobb megismertmechanikus mdszerrel knnyedn elollthat.

Jegyezzk meg, hogy ha kt szm sszege vagy klnbsge nagyobb, mint a kdolhat szmok intervallumnakvgpontja vagy kisebb, mint a kezdopontja, akkor a kdok sszege nem llt elo kdot, hiszen a krdses sszegvagy klnbsg ezzel a mdszerrel nem kdolhat!

Plda: 1592 1848 = 1592 + (1848) = 256. Kdokkal:

1592 00000110 00111000

1848 kdja 11111000 11001000sszeg 11111111 00000000

Aktivits: Ellenorizzk, hogy az eredmny valban a 256 kdja-e!

3.3.3. Egsz szmok kdolsa fesztett vagy tbbletes kddal

A komplemens kdhoz hasonlan ennl a kdolsnl is 8, 16, 32 vagy 64 bites kdokat szoks hasznlni. Ezzela mdszerrel kdolhat szmok 8 bit esetn 27 + 1 = 127 s 27 = 128 kz 16 bittel 215 + 1 = 32767s 215 = 32768 kz, 32 bites kdnl 231 + 1 = 2147483647 s 231 = 2147483648 kz, 64 bittel 263 + 1s 263 kz eso szmok lehetnek. ltalnosan: n bites kddal tetszoleges n bittel kdolhat szm kdjt akvetkezokppen kapjuk:

1. Szmtsuk ki az a+ 2n1 1 szmot. (A 2n1 1-et tbbletnek szoks nevezni.)

2. Alaktsuk t kettes szmrendszerbe.

3. Ha szksges tegynk elje annyi nullt, hogy a bitek szma pontosan n legyen.

A kapott jelsorozat lesz az a fesztett vagy ms nvvel a tbbletes kdja.

2. lecke 10. oldal

3.3.4. Vals szmok kdolsa

Minden a vals szm (a 0-t kivve) tetszoleges A szmrendszerben egyrtelmuen felrhat a kvetkezo mdon.a = mAk , ahol |m| az [1,A) intervallumba eso A-alap vals szm. m neve mantissza. k szintn A-alapegsz szm, a karakterisztika, de szoks exponensnek is nevezni. Az a = mAk alakot az a szm A-alap normlalakjnak nevezzk. Ha A = 2, akkor a norml alak kettes szmrendszerbeli s ebbol az alakbl kiindulvaszoks a vals szmok egyfajta kdolst felpteni.

Nem kell ugyanis mst tenni, mint megllaptani a kd hosszt, majd kdolni kell az m elojelt, az |m|-et, s ak-t.

Az elojel kdolshoz elg egy bit. Ezt a bitet mr valban nevezhetjk elojelbitnek. Legyen a kd 0, ha pozitvszmot kdolunk, 1, ha negatv szmot kdolunk.

|m| kdja legyen az a bitsorozat, amit gy kapunk, hogy az |m|-bol elhagyjuk az egszrsz bitjt (ez a bit mindig1) s a (kettedes) vesszot. A megmarad bitsorozatot a vgn kiegsztjk nullkkal, ha nem elg hossz, illetvea vgt elhagyjuk, ha hosszabb, mint ahny bittel az |m|-et kdolnunk kell. Jegyezzk meg, hogy az kdja aztis meghatrozza, hogy a kd mennyire pontosan adja vissza az eredeti szmot, hiszen elofordulhat, hogy az|m|-bol el kell hagyni biteket, s emiatt a kdbl az a-nak csak kzelto rtkt kaphatjuk vissza.A k kdolsra a mr megismert k tervezett kdhossznak megfelelo tbbletes kdot hasznljuk. Az gykialaktott hrom kd egymsutnrsval kapjuk az a vals szm kdjt. A sorrend ltalban a kvetkezo: azelojel kdja, a karakterisztika kdja, vgl a mantissza kdja.

A pozitv s a negatv nulla megklnbztetheto, mivel a 0 kdja ebben a rendszerben ktfle lehet. A pozitvnulla kdja a csupa nullbl ll, a kdhossznak megfelelo bitsorozat, a negatv az elojelbiten egyet, msholcsupa nullt tartalmaz bitsorozat.

Ez a kdols az gynevezett lebegopontos kdolsi mdszerek egyike, s ha a ksobbiekben lebegopontos kdrllesz sz, erre a kdolsra kell gondolni.

Azt, hogy a kd milyen hossz legyen, s ezen bell hny bitet hasznlhatunk a karakterisztika, s hnyat amantissza kdolsra, szabvnyok hatrozzk meg.

2. lecke 11. oldal

Ilyen szabvnyok pldul az IEEE 7541985, IEEE 8541987, IEEE 1596.51993 szabvnyrendszerek. Ezekngy alaptpust definilnak, lersuk a 3.5. tblzatban tallhat.

3.5. tblzat. Vals szmok szabvnykdjainak neve s kdhossza

Pontossg Bitek szma

Magyarul Angolul Hossz Elojel Kitevo Mantissza

Egyszeres Single float 32 1 8 23

Dupla Double float 64 1 11 52

Kiterjesztett Extended float 80 1 15 64

Ngyszeres Quadruple float 128 1 15 112

Mivel a ksobbi tanulmnyaink sorn olyan szmtgpes rendszereket ismernk meg, amelyekben a valsszmokat a Double float szerint kdoltk, gy ezzel a vltozattal kicsit tbbet foglalkozunk.

Amit a kdhoz tartoz adatokbl rgtn leolvashatunk: a karakterisztika kdolsnl az eltols 1023,a mantisszbl maximum 52 jelet tudunk felhasznlni. A kdrendszernek ugyancsak a szmtgpesfelhasznlsa miatt, a szabvny szerint nhny kdjt mskppen kell rtelmezni, mint ahogyan a lersblkvetkezne. Ezeket a klnlegessgeket foglalja ssze a 3.6. tblzat.

3.3. definci: A nem normalizlt szm az a kettes szmrendszerbeli szm, aminek alakja m 211111111110,ahol 0 < |m| < 1 , s a trtrsz szmjegyeinek szma legfeljebb 52.

2. lecke 12. oldal

3.6. tblzat. A Double float klnleges kdjai

rtelmezs Elojel Karakterisztiknak Mantissznak

kdja megfelelo kd megfelelo kd

+0 0 00000000000 Minden bit 0

0 1 00000000000 Minden bit 0+ vgtelen 0 11111111111 Minden bit 0

vgtelen 1 11111111111 Minden bit 0

+ Nem szm kdja 0 11111111111 legalbb egy nem nulla bit

Nem szm kdja 1 11111111111 legalbb egy nem nulla bit

Pozitv nem normalizlt szm 0 00000000000 legalbb egy nem nulla bit

Negatv nem normalizlt szm 1 00000000000 legalbb egy nem nulla bit

2. lecke 13. oldal

Plda: llaptsuk meg a 1848,4 kdjt az elozo kdrendszer szerint!A negatv elojel kdja 1, a karakterisztika kdja 1010 + 1111111111 = 10000001001, a mantissz1100111000011001100110011001100110011001100110011001. Ezeket egyms utn rva kapjuk a kdot:

1100000010011100111000011001100110011001100110011001100110011001.

Aktivits: llaptsuk meg, hogy a fenti kdbl melyik vals szmot lehet visszakdolni, s ez a szmmennyivel tr el a 1848,4-tol!

Ezzel a mdszerrel trolt szmok nhny nevezetes rtkt s szabvnyos nevt tartalmazza a 3.7. tblzat:

3.7. tblzat. Nevezetes rtkek a Double float kdolsban

Megnevezse Lersa rtke 10-es szmrendszerben

DBLMIN a kdolhat legkisebb szabvnyos pozitv szm 2.22507385850720138E308

DBLMAX a kdolhat legnagyobb szabvnyos pozitv szm 1.79769313486231571E+308

nincs a kdolhat leheto legkisebb (nem szabvny szerinti) 4.94065645841246544E324

pozitv szm.

DBLEPSILON kd-epszilon: az a legkisebb pozitv rtk, amit 1-hez 2.2204460492503125E16

adva olyan szmot kapunk, aminek kdja nem egyezik meg

1 kdjval.

A tblzat utols oszlopban szereplo E jelentse: az E elotti szmot meg kell szorozni 10-nek azzal ahatvnyval, amit az E utni szm hatroz meg.

2. lecke 14. oldal

3.3.5. sszetett objektumok (pl. kpek) kdolsa

Nem clunk, hogy az sszetett objektumok nha mlyebb ismereteket is ignylo kdolst s kdrendszereiketismertessk, de annak megrtshez, hogy egy nem szmjegyekkel val tgabb rtelemben kdolt objektumszmokkal is kdolhat, egy vzlatos pldt adunk a kdolshoz anlkl, hogy magt a kdrendszertismertetnnk.

Legyen egy ilyen objektum egy kp. Elso lps a kdolsban hogy a kpet diszkrt egysgek rendszerre bontjuk.Ezek az egysgek legyenek az gynevezett kppontok (a kppont angolul pixel). Minden kppont egy-egytglalap alak kprsz lesz. (A nyomdatechnikban hasonl felbontst alkalmaznak, itt a kppontok neveraszter, s nem mindig szablyos skidom, sot nem is mindig rintkeznek a raszterek egymssal.) A felbontsannl jobb s ennek kvetkezmnyekppen a pontokbl sszerakott kp annl jobban hasonlt az eredetikphez , minl tbb pontbl ll. Ezrt szoks a felbontst egy adott hosszsgegysgre (inch) eso pontokszmval jellemezni. A mrtkegysg a pont per inch (angolul: Dot Per Inch), rviden DPI. Minl nagyobb aDPI rtk, annl nagyobb s jobb a felbonts. Mivel a kpek ktdimenzisak, s a vzszintes-fggoleges irnypontra bonts nem szksgkppen egyezik meg, ezrt elofordulhat, hogy a vzszintes s a fggoleges felbontstszorzat alakban adjk meg, ahol az elso tnyezo a vzszintes, a msodik a fggoleges irny egy inch-re esopontszmot jelenti.

A kapott kppontok a kpet egy tglalap alak pontrendszerre bontjk. Ennek a rendszernek a pontjait amretk s a sznk jellemzi. A mret a DPI rtkbol minden pontra egysgesen megllapthat, a szn mindenpontban ms s ms lehet.

A kp bitekbol ll kdjt teht gy lehet megadni, hogy megadjuk a bitkdjt annak, hogy hny pontbl lla kp vzszintesen, hny pontbl fggolegesen, megadjuk a bitkdjt a vzszintes s fggoleges pontmretnek,majd egyenknt kdoljuk a pontok sznt is. A bitkdokat egyms utn rva egy 0-1 sorozatot kapunk, s ez lesza kp kdja. rdemes megemlteni, hogy ezzel a kdolsi mechanizmussal visszakdolskor az eredeti kpnekegy egyszerubb vltozatt kapjuk. Ennek megrtshez elg azt ltni, hogy ms s ms felbontsra ms s mskd alakul ki ugyanarrl a kprol, s a visszaalakts utn a kpek csak hasonltani fognak egymsra is s azeredeti kpre is.

2. lecke 15. oldal

Azt a folyamatot, amely egy vals, folytonos objektumhoz diszkrt, legtbbszr binris kdot llt elo,digitalizlsnak nevezzk.

Termszetesen ez a lers egy elnagyolt lersa az egyik lehetsges kdolsnak (legjobban az gynevezettpixelgrafikus kdolshoz hasonlt), de ahhoz, hogy a bonyolultabb objektumok binris kdolst megrtsk elegendo.

A pixelgrafikus trolssal kapcsolatban clszeru vzlatosan megismerni az RGB modellt. Ebben a modellbenminden sznt hrom alapszn sszettelvel lltunk elo. Ezek a sznek: vrs (Red), zld (Green) kk (Blue). 16bites sznkd esetn a vrs sszetevo kdolsra 5, a zldre ugyancsak 5, a kkre 6 bitet szoks hasznlni. Ez65536-fle szn kdolst teszi lehetov, ami az emberi szem teljestokpessgt figyelembe vve egy htkznapikp kdolsra bosgesen elegendo. Sok ember a kppontok sznnek 8 bittel (256 fle szn) val kdolsakorkapott kdbl visszalltott kprol sem tudja megmondani, hogy mi a klnbsg az eredeti s a visszalltottkp kztt.

A kppontokhoz tartoz direkt kdok mellett a kp kdjban ltalban mg bizonyos kiegszto vagy jrulkosinformcit is kdolnak (pl. hibajavtsra). Ez a kd vgso hosszt, mrett csak minimlis mrtkbenmegnveli.

A pixelgrafikus kdolst elsosorban fnykpszeru kpek kdolsra hasznljk. A vonalakbl sszerakott kpekkdolsra nem clszeru mdszer. Az ilyen tpus brkat matematikai mdszerek vektorok segtsgvellnyegesen rvidebb kddal lehet lerni.

2. lecke 16. oldal

nellenorzs

1. Adja meg az ASCII kdjt a Nemzeti dal elso sornak.

2. Mi lesz a kdja a 100-nak, ha karaktersorozatknt, nemnegatv egszknt, ha egsz szmknt s ha valsszmknt kdoljuk?

3. Mi lesz az egyszeres pontossg kdja annak a szmnak, amelyiknek a dupla pontos kdja:1100000010011100111000011001100110011001100110011001100110011001? tmutat: llaptsukmeg a kdhoz tartoz szm norml alakjt, majd kdoljuk jra, most mr egyszeres pontossg kddal.

4. Jellje meg az igaz lltsokat!

A Boole-algebra elemeit egy bittel is lehet kdolni.

Minden egsz szmknt kdolhat szm kdolhat vals szmknt is.

Minden negatv szm kdolhat egsz szmknt.

Vges sok olyan vals szm van, amelynek kdja ugyanaz.

Nem minden vals szmot lehet vals szmknt kdolni.

5. Van-e olyan szm, amelynek

Nemnegatv szmknt megllaptott kdja ugyanaz, mint az egsz szmknt megllaptott kd?

Vals szmknt megllaptott kdja megegyezik az egsz szmknt megllaptott kdjval?

Valamilyen kdja ppen az a betu ASCII kdjval egyenlo?

3. LECKE

Tmrts, titkosts

3. lecke 1. oldal

Ebben a leckben azzal foglalkozunk, hogyan lehet egy ltezo kdot rvidebbel (tmrts), illetve mindenkiszmra nem visszakdolhatval (titkosts) helyettesteni.

A tmrtssel foglalkoz fejezetek viszonylag egyszerubb matematikai appartus ismeretvel megrthetok.Nhny olyan fogalom, aminek ismeretvel nem felttlenl rendelkezik a hallgat, ha nem is teljes precizitssal,de taln a megrtshez megfelelo mlysgben s felhasznls helyn megtallhat.

A titkosts mr komolyabb matematikai ismeretek ignyel. A modulhoz megadott irodalomban ezeknektrgyalsa megtallhat, a szvegben hivatkozunk ezekre.

Ez a lecke a nem muszaki szakos hallgatinknak teles egszben olvasmnyknt szolgl. A muszaki szakokhallgati szmra a 4.2.6 fejezettol kezdodo rsz is csak rdekessgknt ajnlott.

rdeklodo olvask a tmk rszletesebb trgyalst az [1,4] tanknyvekben megtalljk.

3. lecke 2. oldal

4. Tmrts, titkosts

4.1. Tmrts

A kdok tmrtsnl a legfobb clunk az, hogy a kd rvidebb legyen, gy kisebb helyet foglaljon el akdot tartalmaz hordozn. A tnyleges tmrtst az teszi lehetov, hogy a kd foleg ha hossz tartalmaz ismtlodo elemeket. Ezeket tkdolva, rvidebb kddal helyettestve rvidteni lehet az eredetikdot. Az tkdols ktfle lehet. Visszallthat kdolsrl beszlnk, ha a kdbl a kiinduls reproduklhat,adatvesztsesrol, ha a kiinduls csak kzeltoleg llthat vissza. Az egsz szmokra megismert kdolsimdszerek pldul visszallthat kdolsok, a vals szmokra megismert mdszer nem.

A htkznapi letben a tgabb rtelemben vett kdols eredmnyeit vizsglva sok olyan jellegzetessgetllapthatunk meg, amely a tmrtsben felhasznlhat.

rott szvegben pldul egyes betuk elofordulsa gyakoribb, mint msok;

Vonalas brnl ha kppontokra bontjuk az brt a nagy sszefggo fehr terlet sok egyforma egymstkveto kppontbl ll, ezrt ezekkel a pontokkal lert terletek sokkal rvidebben kdolhatk, minthaminden pontot kln kdolnnk;

Kppontokra bontott fnykpnl az egyms melletti kppontok sokszor csak kismrtkben vagy egyltalnnem klnbznek egymstl, (a klnbzosg elhanyagolhat, mivel visszakdols utn az j kp s argi kp kzti klnbsget a szemnk nem veszi szre) ezrt itt is rvidtheto a kd ahhoz kpest, minthaminden kppontot kln kdolnnk;

Filmek esetn az egyms utni kockk sokszor csak kismrtkben klnbznek.

3. lecke 3. oldal

4.1.1. Tmrto eljrsok

A tmrto eljrsok megfelelo tmrto mdszerek alkalmazsval kt fo muveletet vgeznek:

tkdols (becsomagols) az eredeti kdot becsomagoljk, azaz megprbljk a kdot rvidebb kddalhelyettesteni, amit egy kdburokkal vesznek krbe. A kdburok azt rja le, hogy a tmrts milyenmdszerrel trtnt. (ltalban az j kd a burokkal egytt kisebb mretu lesz);

Dekdols (kicsomagols) a tmrtett, rvidtett kdbl visszanyerik az eredeti kdot. Ez a kt fo funkcigyakran mg kiegszl tovbbi tevkenysgekkel, amelyek szerepe a biztonsg nvelse:

Adatvdelem a tmrtshez j hatsfok hibajavt kdolst hasznlnak, amely folthibk (kd egyesrszeinek hibi) esetn is lehetov teszi a visszakdolst;

Titkosts a tmrtett kdbl csak egy kulcs (jelsz) megadsa utn fejtheto vissza az eredeti kd. Mraz eddig lertakbl is kikvetkeztethetjk, hogy ktfle tmrtsi, kdolsi mdszert klnbztetnk meg.

Vesztesgmentes tmrts esetn visszakdols (dekdols) utn teljesen az eredeti kdot nyerjk vissza.Szveg, program kdja csak gy tmrtheto (nyilvnval, hogy nem lenne rtelme egy programotvesztesgesen tmrteni). Sok esetben kpek kdjt is rdemes vesztesgmentesen rvidteni, de fontosmegjegyeznnk azt is, hogy nem minden kp kdja alakthat t kisebb mreture vesztesgmentesen!

Vesztesges tmrtsnl az eredeti s dekdolt kd kztt kisebb eltrsek addnak, de ezek a mdszertmegfelelo krltekintssel alkalmazva nem zavarak, vagy szmunkra nem is szlelhetoek (szlelsnkfiziolgiai korltai miatt). Ezt a mdszert nyilvnvalan kpek, hanganyagok kdjnak rvidtsreclszeru hasznlni.

3. lecke 4. oldal

Aktivits: Bizonytsuk be, hogy nem minden kp kdja rvidtheto vesztesg nlkl! (Magyarzat: vannakolyan kpek, amelyek kdja nem tartalmaz vesztesgmentes tmrtst lehetov tevo rszeket.)Igazolsvzlat: Vizsgljuk csak azokat a kpeket, amelyek kdja pontosan ezer bitbol ll. Ilyen kp pontosan21000 darab van. tegyk fel, hogy mindegyik kdot sikerlt rvidteni. Ezer bitnl rvidebb kd sszesen21 + 22 + . . .+ 2999 =

999i=1 2

i = 21000 2 darab van, ami kettovel kevesebb, mint az sszes ezer bitbol ll.gy szksgkppen van a rvidtett kdok kztt egyforma. Ezekbol az egyforma kdokbl az eredeti ktklnbzo kd valamelyike nem dekdolhat, gy az a kp is csak vesztesggel llthat vissza, amelynekkdjt nem tudjuk dekdolni.

Fobb vesztesgmentes tmrto algoritmusok:

LZW-algoritmus (kidolgozi: Abraham Lempel, Jacob Ziv s Terry Welch).

Huffman-kdols (kidolgozja: David Albert Huffman);

A vesztesges tmrts fontosabb algoritmusai:

DCT-kdols (az angol Discrete Cosine Transform kifejezsbol)

JPEG-tmrts (Az angol Joint Photographic Experts Group kifejezsbol. Ez egy cg neve. Ok alkottkmeg a kpek kdolsra hasznlhat egyb ms szabvnyok mellett az gynevezett JPEG szabvnyt is.)

4.1.2. Az LZW-algoritmus

Az algoritmus egy sztr felptsvel kdol gy, hogy a sztrban szereplo elemeket a tmrtendo kdban asztrbeli indexkkel helyettesti [4]. A kdols lpsei:

1. lltsunk elo egy sztrat, amely a tmrtendo kd elemi kdjait fogja tartalmazni. Az elemi kdnak azt akdszeletet, kdrszletet tekinthetjk, amibol a teljes kd sszerakhat. Szvegben egy betu.

3. lecke 5. oldal

2. Az olvassi pozcit lltsuk egyre. Ez a pozci mutatja azt, hogy a kdolsban hol tartunk.

3. Az olvassi pozcitl kezdve vegynk le a tmrtendo kdbl annyi elemi kdot, hogy a levett kdsorozatszerepeljen a sztrban, de az eggyel tbb elemi kdbl ll kdsorozat mr ne.

4. Helyettestsk ezt a kdsorozatot a sztrbeli sorszmmal, azaz az indexvel. Vegyk fel a sztr vgreazt kdsorozatot ha van ilyen , amelyik egy elemi kddal hosszabb, mint amit a sztrba betettnk,majd lltsuk az olvassi pozcit arra az elemi kdra, amelyikkel kiegsztettk a sztrba val felvtelheza sorozatunkat.

5. Ha nem rtnk a tmrtendo kd vgre, akkor ismteljk meg a lpseket a 3. lpstol.

6. Ha a tmrtendo kd vgre rtnk, akkor az j kd az indexekbol ll sorozat lesz.

Plda: Legyen a tmrtendo kd a kvetkezo jelsorozat: almafaalattalmavan.

Az eredeti kd (almafaalattalmavan) 18 hossz, az j kd (12314191558a617) 15 hossz, ha nem is jelentosen,de rvidebb, mint az eredeti volt.

3. lecke 6. oldal

4.8. tblzat. Az LZW tmrto algoritmus alkalmazsa

A sztr A helyettestett kd Az j kd A kdols lpseiindex kd megjegyzs a 1 1. lps

1 a l 2 2. lps2 l m 3 3. lps3 m a 1 4. lps4 f A kiindulsi sztr f 4 5. lps5 t a 1 6. lps6 v al 8 7. lps7 n a 1 8. lps8 al 1. bovts t 5 9. lps9 lm 2. bovts t 5 10. lpsa ma 3. bovts al 8 11. lpsb af 4. bovts ma a 12. lpsc fa 5. bovts v 6 13. lpsd aa 6. bovts a 1 14. lpse ala 7. bovts n 7 15. lpsf at 8. bovtsg tt 9. bovtsh ta 10. bovtsi alm 11. bovtsj mav 12. bovtsk va 13. bovtsl an 14. bovts

3. lecke 7. oldal

4.1.3. A Huffman-algoritmus

A Huffman-kdols [4] fix hosszsg kdokbl (egymsutnrssal) sszerakott kdok tmrtsrehasznlatos npszeru, hatkony s viszonylag egyszeru mdszer. Az eljrs vgrehajtsa sorn tblzatotksztnk az egyes elemek (pl. kppontok vagy karakterek) kdjainak az elemi kdoknak elofordulsigyakorisgrl. Ez alapjn ptjk fel az j kdokat (binris jelsorozatok); vltoz hossz kdszavakathasznlva, gyakoribb jelhez rvidebb kd tartozik, mg a ritkbbakhoz hosszabb (gy rheto el a tnylegestmrts).

A hagyomnyos kdolsi mdszerek fix hossz kdokat hasznlnak, pl. karakterekre az ACSII kdolst.

A mdszer vesztesgmentes. rdekessg, hogy a vltoz hossz kdszavak egyrtelmu visszafejtst az teszilehetov, hogy gynevezett prefix kd [4] keletkezik (egyik elemi kd sem lehet kezdoszelete semelyik msikelemi kdnak). Az tkdolst, s ezltal a tmrtst, egy tipikus moh algoritmussal vgezzk el.

4.1. definci: A moh algoritmus olyan optimummeghatroz mdszer, amelyben minden elemi lpsloklis optimumot hatroz meg abban a remnyben, hogy ezltal az sszes elemi lpst vgrehajtva a globlisoptimumhoz jutunk.

Bizonythat, hogy a Huffman-kd optimlis tmrtst ad, azaz az eredmny mr nem javthat tovbb, ill.brmely ms mdszert alkalmazva sem kaphatunk jobb tmrtst (az igazolst nem trgyaljuk). Ez aztjelenti, hogy a tmrtst megvalst moh algoritmus valban globlis optimumot llt elo. (Nem mindenmoh algoritmus szolgltat globlis optimumot!) Az, hogy a tmrts milyen mrtku lesz, nyilvn a konkrtadatsor jellegzetessgeitol fgg. Nagyon sok szablyossg, ismtlods esetn akr az eredeti mret tredkt iselrhetjk, de nem teljesen egyenletes eloszlsnl minden esetben az eredetinl rvidebb kdot kapunk.

A mdszer a tmrts elvgzshez egy binris irnytott fagrfot pt fel, mgpedig gy, hogy minden itercislpsben egy-egy farszlettel bovl a fa, amg fel nem pl.

3. lecke 8. oldal

4.2. definci: A binris fagrf egy olyan struktra, amely pontokbl s lekbol pl fel a kvetkezo szablyokszerint

minden pontbl vagy ketto vagy nulla l indulhat ki;

egy pont a gykrpont kivtelvel minden pontba pontosan egy l rkezik. A gykrpontba nemrkezik l.

Azokat a pontokat, amelyekbol nem indul ki l, leveleknek nevezzk. Egyetlen pontbl is llhat a binrisfa, ebben az esetben a fnak nincs le! Az leket s pontokat megcmkzhetjk, azaz kdokkal lthatjuk eloket. Ha a fagrfot le szeretnnk rajzolni, akkor a rajzon a pontokat valamilyen skidommal, az leket vonallaljelkpezzk.

A tmrto algoritmus a kvetkezo:

1. Ksztsnk egy tblzatot a tmrteni kvnt kdban elofordul elemi kdok gyakorisgrl. Adjunk megannyi egyetlen pontbl ll fagrfot, ahny elemi kdot talltunk, s minden pontra rjuk r kdknt eztaz elemi kdot s az eloforduls gyakorisgt. Rendezzk nvekvoen sorba a fagrfokat a gykrponthozrendelt gyakorisg szerint.

2. A sorba rendezett fagrfok kzl vegyk ki az elso kettot, s ksztsnk belolk egy j fagrfot gy,hogy vesznk egy j pontot ez lesz a gykrpont , ebbol a pontbl let vezetnk mindkt fagrfgykrpontjhoz. Bal l menjen a kisebb, jobb l menjen a nagyobb rtku gykrponthoz. Ezzel ezekmr nem lesznek gykrpontok, hiszen mindegyikbe vezet mr l. Az j pontot cmkzzk meg a ktfelhasznlt fagrf gykrpontjban lvo gyakorisgi rtkek sszegvel (ez lesz az j fagrfban lvo elemikdok gyakorisga). Az j fagrf j bal lre rjunk 0-t az j jobb lre 1-et, majd illesszk be a fagrfoksorba az j grfot gy, hogy a gyakorisg szerinti nvekvo sorrend megmaradjon. (Megjegyzs: a fagrfokszma ezzel eggyel cskken!)

3. Ha egynl tbb fagrfunk van, ismteljk meg a 2. lpst.

3. lecke 9. oldal

4. Ha csak egy fagrf maradt, akkor ennek segtsgvel megllapthatjuk az elemi kdok helyre rand jkdot. Ugyanis ha megfigyeljk, ennek az egyetlen maradk fagrfnak a levlcmkiben ppen az elemikdok vannak, s ha a gykrponttl valamelyik levlhez a grf leinek felhasznlsval elmegynk, saz rints sorrendjben felrjuk az l cmkit, a kapott bitsorozat alkalmas helyettesto kdja lehet a levlelemi kdjnak. Az sszes levlre felrva ezeket a kdokat, s a tmrtendo kdban ezekre lecserlve azsszes elemi kdot, az eredeti tmrebb kdjt kapjuk.

Be lehet bizonytani, hogy az j kd nem hosszabb a rginl. Ha a rgivel megegyezo hosszsg, akkor a rgikd vesztesg nlkl nem rvidtheto, tmrtheto.

Az algoritmus mukdst egy konkrt pldn mutatjuk be [1]. Egy olyan, 100 000 karakterbol ll szvegetszeretnnk tmrteni, amelyben 6-fle karakter (mondjuk a, b, c, d, e, f betuk) fordulhat elo. Az eredetikdban a karakterek kdolsra hrombites fix hosszsg kdokat hasznltunk, a keletkezett kd hossza300 000 bit. Ezen szeretnnk javtani a tmrtssel. Az egyes karakterek ezerre reduklt elofordulsigyakorisgt a 4.9. tblzat mutatja.

4.9. tblzat. Egy szvegben elofordul betuk gyakorisga

Karakterek a b c d e f

Gyakorisg ezerben 48 12 11 15 10 4

3. lecke 10. oldal

Az eljrs pldnkra a kvetkezo ft pti fel:

Az algoritmus elso lpsnek eredmnye.

Az algoritmus msodik lpsnek elsovgrehajtsval keletkezett grfsorozat.

Az algoritmus msodik lpsnekmsodik vgrehajtsval keletkezettgrfsorozat.

Az algoritmus msodik lpsnekharmadik vgrehajtsval keletkezettgrfsorozat.

3. lecke 11. oldal

Az algoritmus msodik lpsneknegyedik vgrehajtsval keletkezettgrfsorozat.

Az algoritmus msodik lpsnek tdikvgrehajtsval keletkezett grfsorozat.Ez egyben a vgeredmny is.

4.1. bra. A Huffman-kdol eljrs mukdse a fenti pldra.

A fa alapjn megllaptott j elemi kdok a 4.10. tblzatban vannak sszegyujtve. Ezekkel a rgi elemi kdokathelyettestve kapjuk a tmrtett bitsorozatot.

Lthat, hogy vltoz hossz kdolsnl (48000 1+12000 3+11000 3+15000 3+10000 4+4000 4) = 218000bit lesz a kd hossza. Ez nagyjbl 27%-os megtakartst eredmnyez.

A Huffman-kdolst gyakran hasznljk a tmrto programokban (termszetesen ms tovbbi algoritmusokatis).

3. lecke 12. oldal

4.10. tblzat. Az LZW tmrto algoritmus alkalmazsa

Karakterek a b c d e f

Fix hossz kdsz 000 001 010 011 100 101

Vltoz hossz kdsz 0 101 100 111 1101 1100

4.1.4. DCT-kdols

Vesztesges tmrtsre alkalmas algoritmus. Mukdse vzlatosan kp tmrtett kdjnak megllaptsra a kvetkezo:

Osszuk a kpet ngyzet alak blokkokra. A ngyzetek mrett a lefedett kpponttal jellemezzk. (Pl. lehet 88kppontot tartalmaz ngyzet.) Minden ngyzethez tartoz pontrendszert kln kdolunk, A ngyzet bal felsosarkban lvo pontnak mint bzispontnak valamilyen kppont kdolsra alkalmas rendszerben megadjuka kdjt. A tbbi pontra meghatrozzuk, hogy a bzisponttl mennyire tr el, ezt az eltrst kdolva kapjuk apont kdjt, ami rvidebb, mintha a bzispontra alkalmazott mdszer szerint kdolnnk. Ez a kdols a kples tmeneteit rontja, de megjelenhetnek a kpen a blokkhatrok is.

Minl nagyobb a blokk mrete, annl kisebb mretu kdot kapunk, de annl rosszabb lesz a visszalltott kpminosge is.

4.1.5. JPEG-tmrts

Nagyon egyszeru tmrto eljrs. Kt lpsbol ll. Elso lps egy olyan DCT-kdols, amely gy mdosul,hogy a bzisponttl csak kismrtkben klnbzo pontokat gy veszi, mintha ezek a pontok a bzisponttalmegegyezo tulajdonsgak lennnek, majd egy Huffman-tmrts kvetkezik.

3. lecke 13. oldal

4.2. Titkosts

A kriptogrfia (titkosts) tbb ezer ves tudomny (muvszet); rsok s zenetek olyan (kdolt titkosanyagba trtno) rejtjelezsvel foglalkozik, amely illetktelen szemlyek szmra megnehezti ha sikerljl titkostani megakadlyozza a visszafejtst. A teljes titkost mdszernek nyilvnvalan olyannak kelllennie, hogy a jogosult fogad kpes legyen viszonylag egyszeruen s egyrtelmuen visszafejteni a szveget(kriptorendszer) [4].

Szintn tbb ezer ves kapcsold konkurens trstudomny (muvszet) a kriptoanalzis, amely rejtjelezettzenetek (illetktelen) feltrsvel foglalkozik.

A kriptogrfia tipikus alaphelyzete a kvetkezo:

Kommunikci zajlik kt szereplo kztt (Anna s Bla), amelyet lehallgathat egy klso szereplo (Emil) (akommunikci manapsg tbbnyire a szmtgpek kztt zajlik, az tvitelt az internet teszi lehetov);

Emiatt az zenetklds egy kulcs segtsgvel kdolva (titkostva) trtnik (encoding E fggvny), atitkostott zenet pedig egy (msik) kulccsal visszafejtheto (decoding D fggvny);

A titkosts lehet szimmetrikus (titkos) kulcs s aszimmetrikus (nyilvnos) kulcs.

4.2.1. Szimmetrikus s aszimmetrikus kulcs titkosts

A szimmetrikus (titkos) kulcs titkostsnl a kdolshoz s a visszafejtshez hasznlt kulcs megegyezik, vagy azegyik knnyen kiszmolhat a msikbl. gy a kulcsot felttlenl titokban kell tartani, ugyanis ha valaki klsosmgis hozzfr a kulcshoz, akkor kpes az sszes korbbi zenetet dekdolni, illetve brmelyik fl nevbenzenetet hamistani.

A rgi korok titkost eljrsai (egszen az elmlt vtizedekig) mind ezen az elven alapultak. Az elso ilyeneljrs az egyszeru betueltolsos titkosts volt (az bc betuit kdoltk, s az eredeti szvegben minden betutaz bcben megtallhat kdjval helyettestettek kdols: a 4.11. tblzatban, visszakdols: a 4.12.

3. lecke 14. oldal

4.2. bra. A kriptogrfia alaphelyzete

4.3. bra. Szimmetrikus kulcs titkosts

tblzatban). Ezt a titkostst azonban igen egyszeru feltrni. A ksobbi fejlettebb vltozatokban mra szvegbeli elhelyezkedstol fggoen ms s ms volt ugyanannak a karakternek a kdja. (Akr egszenbonyolult szablyok alapjn az eredeti szveg egy adott betujnek a titkostott szvegben ms s ms betu felelmeg). Br sokszor idoignyesen, de ezek a kdolsok is mind feltrhetonek bizonyultak (pl. betuk, betuprok,betuhrmasok stb. elofordulsnak vizsglatval).

3. lecke 15. oldal

4.11. tblzat. NAVIGARENECESSEEST szveg titkostsa a betuk bcbeli sorszmnak 3-mal valmegnvelsvel trtnik. Klasszikus titkost eljrs

A feladi oldal:

zenet N A V I G A R E N E C E S S E E S T

Betusorszm 13 0 21 8 6 0 17 4 13 4 2 4 18 18 4 4 18 19

3-mal eltoltan 16 3 24 11 9 3 20 7 16 7 5 7 21 21 7 7 21 22

Titkostva Q D Y L J D U H Q H F H V V H H V W

4.12. tblzat. NAVIGARENECESSEEST szveg visszafejtse a betuk bcbeli sorszmnak 3-mal valcskkentsvel trtnik. Klasszikus titkost eljrs visszafejtse

A feladoldal:

Titkostott Q D Y L J D U H Q H F H V V H H V W

zenet N A V I G A R E N E C E S S E E S T

Betusorszm 16 3 24 11 9 3 20 7 16 7 5 7 21 21 7 7 21 22

3-mal cskkentve 13 0 21 8 6 0 17 4 13 4 2 4 18 18 4 4 18 19

Visszafejtve N A V I G A R E N E C E S S E E S T

3. lecke 16. oldal

A mdszer (megfelelo matematikai alapokkal) napjainkban is sok esetben nagyon jl alkalmazhat (tipikusanott, ahol a klds s a fogads egy helyen trtnik), ugyanakkor ltalnos hasznlatuk nem javasolt, mivelszmtgppel viszonylag gyorsan feltrhetok.

A gyakorlati alkalmazsnl nehzsget jelent mg, hogy a kulcsot az adattvitel elott valahogy (zrt mdon) elkell juttatni egyik fltol a msikig, tovbb sokszereplos krnyezetben minden kommunikcis partnerhezklnbzo kulcsot kell hasznlni, hisz kzs kulcs esetn el tudnk olvasni egyms zeneteit.

Jelljk e-vel a nyilvnos kulcsot, ezt ismeri az zenet kldoje, d-vel a privt kulcsot, amit csak a cmzett ismer.

Az aszimmetrikus (nyilvnos) kulcs titkost eljrsok ltalnos jellemzoje, hogy d 6= e, s gyakorlatilag nemszmthat ki e-bol d.

4.4. bra. Aszimmetrikus kulcs titkosts

A kdols s visszafejts lpsei a kvetkezok:

Egy nyilvnosan elrheto, megbzhat forrsbl (pl. magtl a cmzettol) megszerezzk a cmzett nyilvnoskulcst;

Az zenetet kdoljuk ezzel a kulccsal, majd elkldjk a cmzettnek;

3. lecke 17. oldal

A megkapott zenetet a cmzett sajt privt kulcsval visszafejti (a kdolt zenet csak ezzel a kulccsal nyithat!),a vgeredmny az eredeti, titkostatlan szveg lesz.

A legtbb ma hasznlt kommunikcis szabvny ilyen tpus megoldst alkalmaz a biztonsgos adatcserhez.Ezen az elven alapul a digitlis alrs ksztse s ellenorzse is.

4.2.2. Az RSA algoritmus

Az RSA [4] az egyik leggyakrabban hasznlt nyilvnos kulcs algoritmus. Az elnevezs rvidts, a kifejlesztokutatk neveibol (Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman; 1978). A mdszer bemutatsa annak idejn nagyfeltunst keltett, ugyanis itt szerepelt eloszr biztonsgos, jl alkalmazhat megoldssal nyilvnos kulcs.

Az algoritmus lpsei: kulcsgenerls, rejtjelezs, visszafejts. A kvetkezokben ezeket a tevkenysgeketrszletesen is ttekintjk (bizonyos matematikai ismeretekre szksg lesz a megrtshez). A korbbiaknakmegfeleloen E a bekdols, D a visszafejts muvelete. Felhvjuk a figyelmet arra, hogy a kdjaink bitekbolllnak, gy minden kd egy kettes szmrendszerbeli szmknt rtelmezheto, s ezzel a szmmal tzesszmrendszerbe trva minden muvelet elvgezheto!

4.2.3. Kulcsgenerls

4.3. definci: Az a s b szmok akkor relatv prmek, ha lnko(a,b) = 1 (azaz a s b legnagyobb kzs osztja1).

Hasznlni fogjuk a (n) szmelmleti fggvnyt, ami az n-nl kisebb, az n-hez relatvprm-szmok szmthatrozza meg. Pl. (2) = 1, (3) = 2, (4) = 2, (5) = 4 stb. Ha a, b relatv prmek, akkor teljesl amultiplikativitsi szably is, azaz (N) = (a) (b), ha N = a b.Tegyk fel, hogy Bla kldi majd az zenetet Annnak o lesz a cmzett.

Anna vlaszt vletlenszeruen kt (nagy, azaz akr szzjegyu) prmszmot, p-t s q-t (itt p 6= q), kiszmtja azN = p q szmot. Ezek utn vlaszt egy e szmot gy, hogy 1 < e < (N) = (p)(q) = (p 1)(q 1) s

3. lecke 18. oldal

lnko(e,(N)) = 1.

Anna ezutn meghatrozza azt az egyrtelmu d szmot, amelyre 1 < d < (N) s ed = 1 (mod (N)).

A d szm itt az e inverze modulo (N), a modulo muvelet (rvidtve mod) pedig az osztsi maradkot kpzi.

Ezzel a kulcsgenerls befejezodtt, az (N,e) pr lesz Anna nyilvnos kulcsa, (N,d) pedig Anna titkos kulcsa.

4.2.4. Rejtjelezs

Osszuk blokkokra Bla zenetnek bitekkel lert kdjt (ezt a kdot valamely ismert kdrendszerrel alaktottaki Bla). A blokkokat gy alaktsuk ki, hogy a blokk kdj