Információs rendszerek alapjai 1

8/10/2019 Informcis rendszerek alapjai 1

1/488

Mszaki s termszettudomnyos alapismeretektananyagainak fejlesztse a mrnkkpzsbenPlyzati azonost: TMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0054

Boros Norbert, Fehrvri Arnold, Flep Dvid,

Kalls Gbor, Lovas Szilrd, Pukler Antal, Szrnyi MiklsSZE-MTK, Matematika s Szmtstudomny Tanszk

Szerkesztette: Pukler Antal

Informatikai rendszerek alapjai

2013
http://prevpage/http://goback/


2/488

IMPRESSZUM

cCOPYRIGHT: Boros Norbert, Fehrvri Arnold, Flep Dvid,Kalls Gbor, Lovas Szilrd, Pukler Antal, Szrnyi MiklsSzerkesztette:Pukler AntalSzchenyi Istvn Egyetem, Muszaki Tudomnyi Kar, Matematika s Szmtstudomny Tanszk

Lektor: Dr. Fvesi Istvn, Szegedi Tudomnyegyetem, Informatikai tanszkcsoport

cCreative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)A szerzo nevnek feltntetse mellett nem kereskedelmi cllal szabadonmsolhat, terjesztheto, megjelentetheto s eloadhat, de nem mdosthat.

ISBN 978-963-7175-85-5

Kiad:Szchenyi Istvn Egyetem, Muszaki Tudomnyi Kar

V1.2Tmogats:Kszlt a TMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0054 szm, Muszaki s termszettudomnyos alapismeretektananyagainak fejlesztse a mrnkkpzsben cmu projekt keretben.

Kulcsszavak:adatbrzols, hardver, opercis rendszerek, hlzatok, tblzatkezels,szveg- s kiadvnyszerkeszts

Tartalmi sszefoglal: A tananyag elso felben a kapcsold tantrgyak clkituzsnek megfeleloen az informatikai eszkzk gyakorlati hasznlata sorn nlklzhetetlen alapismereteket foglaltuk ssze. Az ittrintett fontosabb tmk a kvetkezok: adatbrzols, szmtgp-trtnelem, tmrts, titkosts, hardverismeretek, opercis rendszerek, hlzatok. A tananyag msodik felben kln modulknt szerepel az ltalnostblzatkezels s a szveg-, ill. kiadvnyszerkeszts bevezeto szintu trgyalsa.
http://prevpage/http://goback/http://goforward/http://goback/


3/488

Technikai megjegyzsek a jegyzet hasznlathoz.

Ez a tananyag egyelektronikus jegyzet.

2013-ban, a megjelens vben annyira elterjedtek az elektronikus tartalomfogyasztsra alkalmas eszkzk,hogy btran felttelezhetjk: az egyetemistk tlnyom tbbsge rendelkezik sajt szmtgppel, tablet-gppel

vagy elektronikus knyvolvasval. A tananyag elektronikus formja sok elonnyel rendelkezik a nyomtatotthozkpest:

Aktv tartalmak: az elektronikus vltozatban belso kereszthivatkozsok, klso linkek, mozgkpek, stb.helyezhetok el. A tartalomjegyzk fejezetszmai, az egyenlet- s brasorszmok automatikusan belso linketjelentenek, gy biztostjk a knyelmes s gyors belso hivatkozst, de a Szerzo tetszoleges helyre tud akra dokumentum belsejbe, akr egy klso webhelyre mutat linket elhelyezni, ami a szoksos klikkentssel

aktivizlhat. Rugalmassg: a nyomtatott knyv statikus, mg az elektronikus jegyzet esetben knnyu hibajavtsokat,

frisstseket alkalmazni.

Eroforrs-takarkossg, krnyezetvdelem: az elektronikus formban val terjeszts sokkal kisebb terhelstjelent a krnyezetre, mint a nyomtatott. Klnsen igaz ez, ha a tananyagban sok a sznes bra.

A hasznlt fjlformtum:PDF.A Portable Document Format azAdobeltal kifejlesztett formtum, mely igen szles krben elterjedt. Sokhelyrol szerezhetnk be programot, mely a PDF fjok olvassra alkalmas. Ezek egy rsze azonban nemtartalmazza a teljes szabvny minden elemt, ezrt specilis tartalmak nem, vagy nem pontosan jelenhetnekmeg, ha nem az Adobe olvasjt, az AdobeReader-t hasznljuk. (Letlthetoinnen.)

A legtbb megjelentoprogram jl fogja kezelni az alapszveget, brkat s linkeket, de gondok lehetneka specilisabb funkcikkal, pl. a begyazott dokumentumok kezelsvel, az aktv tesztek, krdovekhasznlatval.
http://www.adobe.com/http://get.adobe.com/reader/http://get.adobe.com/reader/http://www.adobe.com/http://prevpage/http://nextpage/http://goforward/http://goback/


4/488

A jegyzetkpernyon val megjelentsrelett optimalizlva.

A jelenlegi ltalnosan elrheto knyvolvas hardverek mrete s felbontsa kisebb, mint a nyomtatottknyvek s a szmtgpek monitorai ltalban fektetett helyzetuek. Ehhez igaztottuk a formtumot arraoptimalizlva, hogy fektetett kijelzon teljes kpernyos zemmdban lehessen olvasni. Ehhez lltottuk be akaraktertpust s -mretet valamint azt is, hogy csak kis margt hagyunk, minl tbb pixelt biztostva ezzel a

tartalomnak. Azrt, hogy teljes kpernyos zemmdban is lehessen naviglni, a margn kis navigl-ikonokathelyeztnk el, melyek a megszokott mdon kezelhetok:

Lapozs elore s htra: a fggoleges oldalak kzepn elhelyezett, nyjtott nyilakkal.

Cmoldalra ugrs: kis hzik szimblum a bal felso sarokban.

Vissza s eloreugrs a dokumentumban: kt kicsi szimblum a bal felso rszen. Ezek nem azonosak alapozssal, hanem a web-bngszok vissza- s elorelpshez hasonlan a hiperlinkeken val naviglstszolgljk.

A jegyzetsegtsget nyjt a tanuls temezsben.

A megtanuland tanagyag a szoksos fejezet-alfejezet felosztson tl leckkre val bontst is tartalmaz. Aleckk klnbzo szm alfejezetbol llhatnak, de kzs bennk, hogy a Szerzo megtls szerint egy leckeegylto helyben megtanulhat, azaz vrhatan 11,5 ra alatt feldolgozhat.

A leckk elejn rvid lers tallhat a trgyalt tmakrkrol, a szksges eloismeretekrol, a vgn pedignellenorzo krdsek, melyek sok esetben a PDF fjlban (AdobeReader-rel) aktv tartalomknt jelennek megfeleletkivlaszts teszt, szmszeru vagy kpletszeru krds formjban. rdemes teht lecknknt haladnia tanulsban, mert ez segt az temezs tervezsben illetve a leckevgi ellenorzsek segtenek annakeldntsben, tovbb szabad-e haladni vagy inkbb ezt vagy az elozo leckket kell jra elovenni.

Ha a tananyag indokolja, nagyobb egysgeket modulokba szerveznk s a modulok vgn a leckevginellenorzshez kpest komolyabb feladatblokkot tallhatunk.


5/488

Tartalom

1.Elosz

I. MODUL | A szmols trtnete s a kdols

1. lecke2.Trtneti ttekints, a szmols trtnete2.1. A szmok lersa

2.1.1.A rmai szmrs

2.1.2.Az arab-hindu szmrs, a tzes, helyirtkes szmrendszer2.1.3.TetszolegesA-alap szmrendszerek

2.1.4.Szmok trsa egyik szmrendszerbol msik szmrendszerre

2.1.5.Muveletek nem csak szmokkal, a Boole-algebra

2. lecke3.Kdols

3.1. A Boole-algebra objektumainak kdolsa3.2. Betuk s egyb jelek valamint tetszoleges szveg kdolsa

3.3. Szmok kdolsa

3.3.1.Nemnegatv egsz szmok kdolsa

3.3.2.Egsz szmok kdolsa kettes komplemens kddal

3.3.3.Egsz szmok kdolsa fesztett vagy tbbletes kddal
http://goback/


6/488

3.3.4.Vals szmok kdolsa

3.3.5.sszetett objektumok (pl. kpek) kdolsa

3. lecke4.Tmrts, titkosts4.1. Tmrts

4.1.1.Tmrto eljrsok

4.1.2.Az LZW-algoritmus

4.1.3.A Huffman-algoritmus

4.1.4.DCT-kdols

4.1.5.JPEG-tmrts

4.2. Titkosts4.2.1.Szimmetrikus s aszimmetrikus kulcs titkosts

4.2.2.Az RSA algoritmus

4.2.3.Kulcsgenerls

4.2.4.Rejtjelezs

4.2.5.Visszafejts

4.2.6.Nhny megjegyzs a titkosts matematikai alapjaihoz

4.2.7.Az RSA kdolssal kapcsolatos biztonsgi krdsek

4.2.8.Nyilvnos kulcs titkost eljrsok alkalmazsa


7/488

II. MODUL | A szmtgp trtnete s a hardverismeretek

4. lecke5.A szmolgp s a szmtgp trtnete

5.1. A szmolgpek az kortl napjainkig5.2. A szmtgpek kialakulsa

5.2.1.A mechanikus eszkzk

5.2.2.Elektromechanikus szmtgpek

5.3. Elektronikus szmtgpek

5.3.1.Technikai s tudomnyos alapok

5.3.2.A fejlods fobb llomsai

5.3.3.A Neumann-elvek

5.3.4.A Neumann-elvu szmtgp felptse s mukdse, a Neumann-architektra

5.3.5.A szmtgp mukdse

5.3.6.Harvard-architektra

5. lecke6.Szmtgp-genercik6.1. Az elso generci

6.2. A msodik generci

6.3. A harmadik generci

6.4. A negyedik generci napjaink szmtgpe

6.5. Az tdik generci
http://goback/


8/488

7.Szemlyi szmtgpek PC-k

7.1. Felptsk

7.2. Alaplap

7.3. Processzor

7.4. Memria7.5. Httrtrak

7.6. A PC-k bovthetosge

III. MODUL | Opercis rendszerek s szmtgp-hlzatok

6. lecke8.Opercis rendszerek9.Az opercis rendszer mint virtulis gp

10.Az opercis rendszer mint eroforrs-menedzser

11.Az opercis rendszer indtsa

11.1. BIOS

12.A szmtgpek mukdsnek szoftveres felttelei

13.Felhasznli felletek


9/488

7. lecke14.Folyamatok

15.temezs

16.Virtulis cmzs

17.Fjlkezels17.1. Ismert fjlrendszerek

18.Ismert opercis rendszerek

18.1. Microsoft Windows

18.2. Linux

18.3.Android19.Virtulis gp koncepci

8. lecke20.Szmtgp-hlzatok

21.A hlzathoz szksges eszkzk

22.A hlzatok osztlyozsa

22.1.A hlzatok kiterjedtsge

22.2.A rsztvevo kommunikcis partnerek szma

22.3. Hlzati topolgia

22.4.Adattviteli kzeg

22.5.A hlzati modellek a rsztvevok rangja


10/488

9. lecke23.ltalnos hlzati architektra23.1. ISO-OSI hlzati referencia modell

24.TCP/IP

24.1. IPv4 hlzatok25.ptsnk otthon hlzatot!

IV. MODUL | Kiadvnyszerkeszts

10. lecke26.Szmtgpes kiadvnyszerkesztsi alapismeretek26.1.Az rs trtnete

26.2.A knyvnyomtats kialakulsa

26.3. Tipogrfiai alapismeretek

26.3.1.Tipogrfiai szakkifejezsek

26.3.2. Tipogrfiai mrtkrendszerek

26.3.3. A tipogrfia alkotelemei27. A szveg szedse s szerkesztse

27.1.A nyers szveg bevitele

27.1.1. Specilis karakterek s szimblumok

27.1.2. Automatikus javts

27.1.3. Vezrlokarakterek


11/488

27.2. Mozgs a dokumentumban, blokkmuveletek

27.2.1. Mozgs a billentyuzettel

27.2.2. Mozgs az egr segtsgvel

27.2.3. Ugrs a dokumentum meghatrozott helyre

27.2.4. Kijells billentyuzettel27.2.5. Kijells egrrel

27.3.A begpelt szveg mdostsa

27.3.1. Visszavons, visszallts

27.3.2. Keress s csere

27.3.3. Kijellt szvegrsz msolsa, mozgatsa, trlse

27.4. Nyelvi ellenorzs

27.5. Korrektra

11. lecke28. Elrendezs, formai kialakts28.1.Az elrendezs megtervezse

28.1.1. Rend vagy kosz

28.1.2. Szimmetria

28.1.3. Egyensly s harmnia

28.1.4. Arny

28.1.5. Trkz s textra

28.2. Lapelrendezs


12/488

28.3. Szakaszszintu formzs

28.3.1. Szakaszok ltrehozsa

28.3.2. Hasbok

28.4. Bekezds szintu formzs

28.4.1. Bekezdsek igaztsa, behzsa, trkzk, sortvolsg28.4.2. Tabultorok

28.4.3. Felsorols s szmozs

28.4.4. Szegly s mintzat

28.4.5. Inicil

28.5. Karakterszintu formzs

28.6. Stlusok hasznlata

28.6.1. Stlus alkalmazsa

28.6.2. j stlus ltrehozsa

28.6.3. Stlus mdostsa s trlse

28.6.4. Stlusok msolsa dokumentumok kztt

28.7. Dokumentumsablonok29. A kiadvnyok felptse s elemei

29.1.A kiadvnyok felptse

29.1.1. Cmnegyedv

29.1.2. Tartalomjegyzk

29.1.3. Irodalomjegyzk


13/488

29.1.4. Mutatk

29.2. Dokumentumelemek

29.2.1. lofej, lolb

29.2.2. Idzetek

29.2.3. Utalsok29.2.4. Illusztrcik

29.2.5. Kpletek

29.2.6. Jegyzetek

29.2.7. Mezok

V. MODUL | Tblzatkezels modul

12. lecke30. A tblzatkezelsrol ltalban30.1.A tblzatkezels trtnete

30.2.A tblzatkezelo programok szolgltatsai

30.3.Adatbzis-kezelok s tblzatkezelok30.4. Problmamegolds tblzatkezelo programok segtsgvel

30.5. Melyik tblzatkezelo programot vlasszuk?

31. Egyszeru tblzatkezels

31.1. Kpernyoelemek

31.2.A munkakrnyezet belltsa


14/488

31.3. Fjlmuveletek

31.4. Mozgs a tblzatban

31.5.Adatok

31.5.1. Bers a cellkba, javts, trls

31.5.2.Adattpusok31.5.3.Kifejezsek

31.6. Blokkmuveletek

31.6.1. Megads, kijells, trls

31.6.2. Msols, mozgats

31.6.3. Beszrs

13. lecke31.7. Relatv, vegyes s abszolt cmek

32. Fggvnyek hasznlata

32.1.A fggvnyek megadsa

32.2. Matematikai, logikai s statisztikai fggvnyek

32.2.1. Vletlenszmok hasznlata

32.2.2. Felttelek

32.2.3. sszetett felttelek

32.2.4.A matematikai s logikai fggvnykategrik tovbbi elemzse

14. lecke32.3. Szveg-, ido- s dtumkezelo fggvnyek32.4. Egyb fontos fggvnyek


15/488

15. lecke32.5. Keresofggvnyek32.5.1.Pldk

33. Muveletek munkalapokkal

33.1. Tbb munkalap hasznlata, kapcsolt tblzatok

33.2. Lthatsg s vdelem

16. lecke34. A tblzat, mint adatbzis34.1. Rendezs

34.2. Szurs

34.2.1. AutoSzuro

34.2.2. Irnytott szuro

34.3.Adatbzis-kezelo fggvnyek

34.4. Kimutatsok

34.5. rvnyessgellenorzs

17. lecke35. Tblzatok formzsa35.1. Elrejts s felfeds

35.2.Az adatok megjelensnek formtuma

35.3. Mretvltoztatsok

35.4. Igazts a cellaterleten bell

35.5. Karakterformzs
http://goforward/http://goback/


16/488

35.6. Cellk sznezse, mintzata s bekeretezse

35.7. Rajzok s szvegdobozok

36. Diagramok

37. Nyomtats

38. Mintafeladat

38.1.A feladat lersa (kisbolygk)

38.2. tmutat az nll megoldshoz

38.2.1. A trfogat meghatrozsa

38.2.2. Tpusjellemzok

38.2.3. Szurs38.2.4. Tpusstatisztika 1.

38.2.5. Tpusstatisztika 2.

38.2.6. Diagramkszts

38.2.7. Formzsok

38.3. Megoldsok

39. Fogalomtr

40.Irodalomjegyzk
http://prevpage/http://nextpage/http://goforward/http://goback/


17/488

1. Elosz

Ebben a jegyzetben azokat az ismereteket trgyaljuk, amelyek a Szchenyi Istvn Egyetemen a nem informatikushallgatk alap-szmtstechnikai s alapinformatikai oktatsban szerepelnek. A kialaktsnl azt az elvetkvettk, hogy minden hallgat fggetlenl attl, hogy konkrtan milyen szakon tanul, s mennyire mlyenkell megismerkednie az adott rszterlettel haszonnal tudja forgatni a jegyzetet, s megtallja benne azokat

az ismereteket is, amelyek a rendelkezsre ll korltozott idokeret miatt az eloadsokon s gyakorlatokoncsak rvidebben kerlhetnek tertkre.

Az informatikai trgyak oktatsnak ksrojelensge az lland vltozs, ez a tanknyvr szerzo feladatt semknnyti meg. Az sszelltsnl az vezrelt bennnket, hogy ezt a dinamikus esetleg helyenknt nehezenrtheto nagyobb kpet egy magyarz stlusban megrt, brmikor fellapozhat gyujtemnnyel tmogassukmeg.

Fontos clunk volt, hogy a tananyag alkalmas legyen az nll feldolgozsra. Ezt tbb eszkz is segti:modulokra s leckkre bonts, ellenorzo krdsek, nll aktivitsok (gyakorlati feladatok).

A felpts sorn az ltalnos felhasznl szmra szksges ismeretek klasszikus trgyalsi sorrendjt kvettk(elso fejezetek), emellett a tmrts-titkosts, a kiadvnyszerkeszts s a tblzatkezels kapott helyet. Azegyes rszek s szerzoik:

A szmols trtnete, szmrsi rendszerek, kdols (Boros Norbert, Pukler Antal, Szrnyi Mikls)

Tmrts, titkosts (Boros Norbert, Kalls Gbor, Pukler Antal) Szmtgp trtnelem, szmtgp-genercik, a PC felptse (Boros Norbert, Lovas Szilrd, Pukler

Antal)

Opercis rendszerek, hlzatok (Flep Dvid)

Kiadvnyszerkeszts (Fehrvri Arnold)

Tblzatkezels (Boros Norbert, Kalls Gbor)


18/488

A szerkeszts Pukler Antal gondos munkja.

Az anyag elsajttsa akkor tekintheto sikeresnek, ha a hallgat kpess vlik a jegyzetnkben kituztt feladatokmegoldsra is. Ennek az llapotnak az elrse termszetesen fgg a korbbi egyni felkszltsgt ol, a tanulsisebessgtol, de tbb-kevesebb ido rfordtsval mindenki eredmnyes lehet.

Remljk ugyanakkor, hogy a jegyzetet a zrthelyikre s a vizsgra val felkszlsen tl is eredmnyesen

hasznljk majd a hallgatink.Ksznetnyilvnts: A szerkeszto s a szerzok ksznetket fejezik ki a Szchenyi Istvn Egyetemmunkatrsainak, nv szerint Bauer Pternek, Csbi Blnak, Hatwgner Miklsnak, Keresztes Pternek, KrnyeiLszlnak, Pusztai Plnak, Takcs Gbornak, Varjasi Norbertnek, valamint volt hallgatnknak Balics kosnak amunka sorn nyjtott rtkes segtsgkrt. Ugyancsak ksznet illeti Fvesi Istvnt az alapos s segto lektorimunkjrt.

Gyor, 2012. november

A Szerkeszto s a Szerzok


19/488

I. MODUL

A szmols trtnete s a kdols

Kulcsszavak: szmrendszer, adatkdols, titkosts, tmrts.


20/488

1. LECKEA szmols kezdetei, szmok lersa

1. lecke 1. oldal


21/488

Az elso leckben megismerkedhetnk a szmols kialakulsnak egy lehetsges vltozatval. A fejezetnek ez anhny sora olvasmny gyannt ajnlott az rdeklodoknek.

A szmok lersra hasznlt mdszerek kzl a rmai szmmegads szintn olvasmny, a hindu-arab mdszerviszont mr mindenkinek szl anyag. Itt sszefoglalva megtalljuk a kzpiskolban mr megismertszmrendszereket, kiegsztve jabb ismeretekkel is.

Ilyenek pldul a tetszoleges alap szmrendszerek ismertetse, tvlts a szmrendszerek kztt s aBoole-algebra alapjainak ismertetse.

1. lecke 2. oldal


22/488

2. Trtneti ttekints, a szmols trtnete

Arra a krdsre, hogy mikor s hogyan alakult ki az emberisg trtnetben a szmols, nehz egyrtelmus pontos vlaszt adni. A trtnszek a szmolssal kapcsolatos oskori leletek alapjn a kezdeteket a beszdkialakulsnak idejre teszik. Ahogy a kokorszakban (Kr. e. 500 000 Kr. e. 10 000) a beszd megjelent azemberisg trtnetben gy jelent meg a szmols is. Termszetesen nem a mai mdszerekkel szmolt osnk.

Nem voltak hatkony szmolst segto eszkzei, nem tudott esetleg rni sem, sot mg az rst sem ismerte.legfeljebb az ujjait vagy a krnyezetben fellelheto apr trgyakat hasznlhatta a szmolsra.

Hogy pontosan hogyan is jelent meg a mennyisgek kifejezshez a szmfogalom, nem tudjuk. Kialakulsnakcsak kzvetett bizonytkait ismerik az ostrtnettel foglalkoz trtnszek, s ezek magyarzatra is tbbfleelmlet ltezik, gy kzttk is vitatma a szmols kifejlodsnek mdja.

A kezdetekben a mennyisgek megadsra taln a mai egy, ketto, sok, ksobb a kevs, majd a semmi(=0) szavaknak megfelelo szavak szolgltak, s hossz vszzados (vezredes) fejlods kvetkezmnyekppenalakultak ki a ma ismert szmnevek kzl a kisebb mennyisgek nevei. Valsznunek ltszik, hogyaz egsz szmokkal prhuzamosan jelentek meg a trtszmok, hiszen a rszekre oszts a mindennapoktermszetes rendjben szmtalanszor elofordult, az gy kialakult rszmennyisgek megjelense, megnevezseelkerlhetetlenl hozz tartozott a szmols fejlodshez. Az is termszetesnek tunik, hogy kezdetekbena szmokat nem nllan, hanem valaminek a mennyisgt, nagysgt kifejezve hasznltk. Az absztraktszmfogalom, azaz a szmok nll lete csak a szmols fejlodsnek ksobbi szakaszn alakult ki. Rgszetileletek alapjn ez az idoszak a Kr. e. 20 000 krnykre teheto.

A fejlods sorn egy-egy szm kitntetett szerephez jutott, s erre plt fel az egsz szmrendszer. Ezta dominns szmot a szmrendszer alapjnak tekintjk. gy beszlhetnk kettes, hrmas, ... tzes, ...tizenhatos, sot akr hatvanas szmrendszerrol is. Gyakran elofordult az is, hogy az egyes szmrendszerekkeveredtek egymssal, ami akr a fejlods nem mindig szisztematikus voltbl vagy akr a klnbzo kultrkegymsra hatsbl kvetkezhetett. A Fld klnbzo terletein kialakult civilizcik szmrendszereit vizsglvamegllapthatjuk, hogy a tizenkettesig bezrlag minden szmrendszerre akadt plda. Termszetesen a fejlodsifolyamat sem idoben sem fejlettsgi fokban nem volt egyforma. Voltak terletek, ahol az ott lo npek mai

1. lecke 3. oldal


23/488

mrtkek szerint is nagyra rtkelheto rendszerben szmoltak, msutt alig jutottak tl a szmols kezdetein.Fejlett szmolsi technikkkal s rendszerekkel rendelkezett Eurzsiban a knai, a hindu, a mezopotmiai, agrg, a rmai, az arab, Afrikban az egyiptomi, ksobb az arab, Amerikban a maja kultrkr, br a trtnelemnem ugyanazon korban voltak meghatroz tnyezoi a Fld kultrjnak.

A szmols muveleti kzl a kezdetekkor megjelenhetett az sszeads, az oszts, a kivons, a szorzs (a ngy

alapmuvelet). Az kori matematikban mr tudtak hatvnyozni, nyoma van a gykvons, a logaritmus, sot azintegrls (!) kezdeteinek is.

Hogy a fejlods valahogyan a fentiek szerint trtnhetett, a rgszeti leleteken kvl a mai npek nyelvben isfellelheto szavak tmasztjk al. Ma az egsz vilgon a tzes alap rendszer a hivatalos szmrendszer. Depldul az angol vagy a nmet nyelvben a tizenegy, a tizenketto neve nem a tzes rendszer alapjn kpzodik(eleven, elf, illetve twelve, zwlf), ami arra utal, hogy az angol (szsz, normann) s a nmet (germn) npektermszetes mdon hasznltk a tizenkettes szmrendszert. Az orosz, a magyar nyelvek a tzes rendszer szerint

kpezik a tizenegy s a tizenketto szmneveket, de vannak nyomok mindkt nyelvben a tizenkettes rendszerismeretre s esetleges hasznlatra is. Az orosz (dgyuzsina), a magyar tucat ugyancsak a tizenketto neve. Atizenkettes rendszer ismeretre s hasznlatra utal az v tizenkt rszre val osztsa, a nap ktszer tizenktrval val mrse, az ra tszr tizenkt percre, a perc tszr tizenkt msodpercre val felosztsa is.

2.1. A szmok lersa

Az rsbelisg megjelense ugyangy, mint a beszd tbbi szavt, a szmok neveit is lerhatv tette. Aszmneveknek a tbbi szavakhoz hasonl megjelentse viszont nem segtette a szmolst vagy a szmokkalval muveletvgzst, ezrt a beszd szavainak lersra hasznlt mdszer helyett olyan formalizmusok alakultakki, amikben nhny szmot nll jellel lttak el, s ezekbol a jelekbol, klnbzo szablyok szerint ptettkfel a tbbit megad jelsorozatot. Nem clunk ezeknek a mdszereknek mindegyikt felsorolni, de kettovel mivel ezeket ma is hasznljk , rszletesebben foglalkozunk.

Az egyik a rmai szmrs s -rendszer, a msik a hindu eredetu arab kzvettssel Eurpba kerlo, gynevezettarab szmjegyeken alapul helyirtkes rendszer.

1. lecke 4. oldal


24/488

2.1.1. A rmai szmrs

Az kori Rma ltal hasznlt szmlers, amelyik nhny hatkony szmolsi mdszert is tmogatott,Eurpban egszen a 13. szzadig ltalnosan elterjedt forma volt. Manapsg viszonylag ritkn, de mg mindighasznljuk. A rmai rendszer a tzes szmrendszeren alapult, de az ts, sot a kettes (!) szmrendszer elemeit isfellelhetjk benne. Mivel a nulla jelet (a kzpkorig a nullt nem is tartottk szmnak!) nem ismerte, valamint

a trtek hasznlata nehzkess tenn a rendszer ismertetst, ezrt csak a termszetes szmok lersval sa velk val szmolssal foglalkozunk. A rendszer ismertetse sorn a muveletek kzl is csak az sszeadsthasznljuk, s az ezernl nagyobb nagysgrendu szmokkal nem foglalkozunk.

A latin nyelvben nll neve volt a szmoknak egytol tzig, a szznak, az ezernek, a millinak. A tbbiszmot a tzes rendszer szerint szsszettellel vagy tbb szbl ll szkapcsolattal kpeztk. (Mint ahogyana magyar nyelv is teszi.) A szmlers az sszeads-muveletre plt, az sszeadand mennyisgekhez alatin bc nagybetui kzl vlasztottak jelet. A2.1. tblzat tartalmazza az nll betuvel jellt szmokat

s betujelket. A tbbi szm jeleit ezekbol a betukbol az sszeads segtsgvel gy alaktottk ki, hogya szmot felbontottk olyan sszegre, amelynek tagjai csak a tblzatban szereplo szmok lehettek gy,hogy a klnbzo tzhatvnyok maximum ngyszer, a klnbzo tzhatvnyok tszrsei maximum egyszerszerepelhettek, s a tagok nem nvekvo sorrendben kvettk egymst. Ezutn a tagoknak megfelelo betut azsszeads sorrendjben egyms utn rtk. Jegyezzk meg: a fenti sszeg egyrtelmu tagokra val bontstadja minden szmnak, gy a szmhoz tartoz betusorozat mindig ugyanaz, brki s brmikor vgzi is el azsszeg megllaptst a megadott szably szerint.

2.1. tblzat.A rmai szmok jelei

Szm 1 5 10 50 100 500 1000

Tzhatvnyok segtsgvel felrva 100 5100 101 5101 102 5102 103

Jele I V X L C D M

1. lecke 5. oldal

N k k ld l d k ill l j k f l i k


25/488

Nzznk ezek utn egy pldt az elmondottak illusztrlsra. rjuk fel rmai szmknt a2634-et! 2634=1000+1000+500+100+10+10+10+1+1+1+1. A tblzat jeleit behelyettestve kapjuk:MMDCXXXIIII. Termszetesen a rmaiak, illetve a rmai szmokat hasznl kultrk szmolni tud polgraia 2634 felbontst formalizlva nem tudtk elvgezni, hiszen nem ismertk hozz az eszkzket (arab-hinduszmjegyek, helyirtkes szmrs), de a rmai szmrendszer szerint gondolkodva a szmrendszerkbentermszetes mdon tudtk lerni a szmokat. A fenti gondolatmenet a mi szmokrl alkotott elkpzelsnkalapjn adja meg a szmok rmai szmjegyekkel val lersnak mdjt. (Valjban nem ms, mint egy mdszerarra, hogy hogyan kell a vilgon ltalnosan hasznlt szmlersbl a rmai szmformt el olltani.)

Megjegyzendo, hogy a rmai rendszernek egy msik vltozata is ismert. Ebben a vltozatban az sszegfelrsnak szablyrendszere ms. Nevezetesen csak hrom egyforma klnbzo tzhatvny kvetheti egymst,a klnbzo tzhatvny tszrse maximum egyszer szerepelhet. Ha ngy tzhatvnyra lenne szksg, akkor anegyedik tag helyett a megfelelo tzhatvny-tszrs s tzhatvny kivonsval kell kialaktani az sszeget. Azsszegre (klnbsgre) val bonts ebben a rendszerben is egyrtelmu.

A 2634 ebben a formban a kvetkezo lesz: 1000+1000+500+100+10+10+10+51. A kivonsnak megfelelofelrs pedig a jelek fordtott sorrendjvel trtnik, azaz a szm rmai rendszeru alakja: MMDCXXXIV.

2.1.2. Az arab-hindu szmrs, a tzes, helyirtkes szmrendszer

A rmai szmok nem helyirtkes rendszerben vannak felrva. Itt is igaz ugyan, hogy a nagyobb szmot jelentojelek a szm felrsakor megelozik a kisebb rtkueket, de nem fgg a kpviselt rtk attl, hogy a sorban

hnyadik helyen vannak. Pldul a C akkor is szzat jelent, ha egyedl ll, s akkor is, ha vannak mg utnams jelek is, mondjuk: CLI.

Hogyan is plnek fel a helyirtkes szmrendszerek? Ennek a rendszernek a kialakulsban fontos lps voltazt szrevenni, hogy a nulla is szm, illetve a 0 is szmjegy. Ez a felismers a hindu szmols s szmrendszerbenmr az korban megtrtnt.

Eurpa csak a 13., 14. szzadban kezdte hasznlni a nullt, mgpedig a hindu szmjegyek megismerstkvetoen. Mivel ezeket a jegyeket (jeleket) arab kzvettssel ismertk meg, ezrt hvjukoket mg manapsg is

1. lecke 6. oldal

b j k k


26/488

arab szmjegyeknek.

2.1. bra.Muhammad Al-Hvarizmi

Az arab kzvettok egyik legjelentosebb kpviseloje MuhammadAl-Hvarizmi (780845), akinek latin nyelven megjeleno muvei nemcsakmegismertettk Eurpval a hindu szmrst s a szmjegyeket (0, 1,2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9), de kt muvnek cme alapjn alakult ki

az algebra s az algoritmus szavunk is. (Az algebra a matematikaegyik tudomnyterlete, az algoritmus pedig egy-egy feladathoz javasoltszisztematikus szmolsi mdszer, amely a feladatot egyrtelmuen, vgeslpsben megoldja.) A szmrendszer alapja a tz volt, ezrt tzes idegen szval decimlis szmrendszernek hvjuk. A szmrspedig azon a tnyen alapult, hogy minden nemnegatv vals szmfelrhat olyan tzhatvnyok sszegeknt, amelyben minden klnbzotzhatvny maximum kilencszer szerepelhet. Ennek az sszegnek a

rvidtett felrsbl keletkezik a szm helyirtkes alakja. Nem kellmst tenni, csak az sszegben szereplo tzhatvnyok egytthatjt jelentoszmjegyeket a kitevok nagysg szerinti sorrendjben lerni, amelyikkitevo nem szerepel az sszegben, annak az egytthatja nyilvn nulla,gy ennek a kitevonek megfelelo helyre nulla kerl. A nulladik kitevoegytthatja utn vesszot tesznk, ezzel jelezve, hogy befejezodtt azegszrsz, s a trtrsz kvetkezik.

Plda: Az 1948,4 valjban az 1 1000+9 100+4 1 0 + 8 1 + 4 1/10 =1 103 + 9 102 + 4 101 + 8 100 + 4 101 sszeg rvidtse. Ebben valbanmaximum kilencszer szerepel minden elofordul tzhatvny.

ltalnosan, ha a szmota-val jelljk, az elozoek kpletben:

a= an110n1 + an210

n2 + . . . + a1101 + a010

0 + a1101 + . . . + am10

m =n1

i=0 ai10i +

mi=1 ai10

i,

ahol aznaz egszrsz ,ma trtrsz szmjegyeinek szmt jelenti. s minden lehetsgesiindexreaielem a {0,

1. lecke 7. oldal

1 2 3 4 5 6 7 8 9} halmaznak azaz valamelyik szmjegy Az sszeg segtsgvel az szmot egyszeruen


27/488

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} halmaznak, azazaivalamelyik szmjegy. Az sszeg segtsgvel azaszmot egyszeruengy lehet felrni, hogy azaiegytthatkat az indexek szerint cskkeno sorrendben egyms utn rjuk, aza0utntizedesvesszot tesznk. Azaza =an1an2 . . . a1a0,a1 . . . am. A pozitivitst jelzo elojelet (+) ha akarjuk a szm el rhatjuk, de kirni nem szksges.

2.2. bra.Leonardo Pisano

Ha a szm negatv, akkor igaz, hogy a = |a|, de az |a| mr nemnegatv,

gy a hatvnyok sszegre val bonts az elozoek szerint elvgezheto, sa= an1an2 . . . a1a0,a1 . . . am. Amint ltjuk ezzel a mdszerrel brmilyenvals szm tz szmjeggyel (plusz hrom kiegszto jellel, az esetleges elojellels a tizedesvesszovel) felrhat. Az alapmuveletek a rendszer segtsgvelknnyen automatizlhatv vltak, ezrt elvgzsk knnyen tanulhat lett.Segdeszkzre az rtbln s rvesszon (ma a papron s ceruzn) kvlnem volt szksg. Ezt ismerte fel Leonardo Pisano (11701250), ismertebbnven Fibonacci, aki Al-Hvarizmi nyomn knyvet rt az arab-hindu szmokrl.

A kortrsak mgis idegenkedtek az j szmrstl s szmolstl, mivel azttartottk, hogy ezekkel a jelekkel rt feljegyzsek knnyen hamisthatk. Ami akzzel val rs esetben igaz is lehetett, hiszen a szmok vgre utlag bertnulla nagysgrendben vltoztathatta meg az rtkt, s ugyancsak knnyenlehetett a nullt hatosra vagy kilencesre trajzolni. Egy idore be is tiltottkaz arab-hindu szmok hasznlatt, ennek ellenre az j mdszer hamarosankiszortotta a rmai rendszert.

Jegyezzk meg: a tzes szmrendszerben a szmok jeleinek helyirtkesfelptshez pontosan tz szmjegy kell.

1. lecke 8. oldal

2 1 3 Tetszoleges A alap szmrendszerek


28/488

2.1.3. TetszolegesA-alap szmrendszerek

A 16., 17. szzadban rjttek arra is, hogy a helyirtkes felrsi md nemcsak a tzes, hanem tetszolegesszmrendszer esetn is hasznlhat, csak a szmjegyeket kell megfeleloen megvlasztani s megmutatni,hogy az adott szmrendszerben is egyrtelmuen felrhat minden szm a szmrendszer alapjnak hatvnyaitmegfeleloen sszegezve, s az sszegben minden hatvny legfeljebb az alap rtknl eggyel kevesebbszer

szerepelhet. Ez termszetesen a tzes rendszerhez hasonlan azt jelenti, hogy a szmjegyek szma mindenszmrendszerben pontosan az alapszm rtkvel egyezik meg!

2.3. bra. Gottfried WilhelmLeibniz

A szmjegyek kivlasztsa tznl kisebb alap esetn nem okozott fejtrst,hiszen a tzes rendszer szmjegyei kzl a feleslegeseket, az ppen vizsgltalapnl nagyobb vagy egyenlo rtku jegyeket elhagyva, a maradk alkalmaslesz a szmrendszer jegyeinek jellsre. Ha az alap tznl nagyobb, akkor aszksges szmjegyek szma is nagyobb, mint tz. Teht j szmjegyekre van

szksg. A mai gyakorlat szerint nem j jeleket szoks j szmjegyknt krelni,hanem az latin bc elejrol vlasztunk annyi nagybetut, amennyit az alaprtke megszab.

Manapsg a tzes szmrendszer mellett hasznljuk a kettes (binris) s atizenhatos (hexadecimlis) szmrendszereket is.

A kettes helyirtkes szmrendszer pontos, precz lerst Gottfried WilhelmLeibniz ksztette el az Explication de lArithmtique Binaire cmu knyvben.

A tzes rendszerhez hasonlan igaz, hogy kettes rendszerben is mindennemnegatv vals szm felrhat az alap, azaz a ketto hatvnyainak olyansszegeknt, amelyben minden kettohatvny maximum egyszer szerepel.Kplettel: tetszoleges nemnegatv a vals szmra igaz, hogy

a = an12n1 +an22

n2 +. . .+a121 +a02

0 + a121 + . . .+ am2

m =

n1i=0 ai2

i +

mi=1 ai2

i,

ahol minden lehetsgesiindexreaia 0 vagy az 1 szmjegy valamelyike. Az a kettes szmrendszerbeli alakja

1. lecke 9. oldal

pedig: a = a 1a 2 a1a0 a 1 a Negatv szm esetn ugyangy jrunk el mint ahogyan a tzes


29/488

pedig: a = an1an2 . . . a1a0,a1 . . . am. Negatv szm esetn ugyangy jrunk el, mint ahogyan a tzesszmrendszernl lttuk.

A kettes szmrendszer szmjegyeit (a 0-t s az 1-et) az angol nevk (binary digit) rvidtsbol bitnek is szoksnevezni.

Tizenhatos szmrendszert alkalmazva a tzes s a kettes rendszernl mr lertakat kapjuk, hogy minden

nemnegatv valsa-raa= an116

n1 + an216n2 + . . . + a12

1 + a0160 + a116

1 + . . . + am16m =

n1i=0 ai16

i +m

i=1 ai16i,

aholaiminden lehetsges indexre a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} halmaz valamelyik eleme. Az A,B, C, D, E s F jelek tizenhatos rendszerben rendre a 10, 11, 12, 13, 14 s 15 tzes szmrendszerbeli szmnakmegfelelo szmot jelentik. Az atizenhatos szmrendszerbeli alakja pedig: a = an1an2 . . . a1a0,a1 . . . am.Ha a szm negatv, akkor ugyangy jrhatunk el, mint a tzes s kettes alap rendszer esetben lttuk.

Mivel a szmok szmjegyekkel val helyirtkes lersakor a kapott jelsorozatbl nem lehet egyrtelmueneldnteni, hogy milyen szmrendszerben van ezrt jellni kell valamilyen mdon a szm szmjegyei mellettazt is, hogy melyik szmrendszert hasznltuk a szm felrsra. A szmrendszer jellsre tbbfle megoldsis hasznlatos. Mi a kvetkezokben a szm jegyei utn alsindexben s zrjelben a szmrendszer alapjt(tzes szmrendszerben) megadva jelezzk a hasznlt rendszert. (Pl.: 176(16) [kimondva tizenhatos alapszzhetvenhat], A1F(16)tizenhatos,1011(2),10(2)kettes,10(10),176(10)tzes szmrendszerben megadott szmok.Felhvjuk a figyelmet arra, hogy10(2)nem egyenlo10(10)-zel s176(16)nem egyenlo176(10)-tal.) Nem rjuk kiaz alapot, ha szmrendszer egyrtelmuen azonosthat.

A htkznapi letben a tzes szmrendszer a megszokott, gy nem kell az alapot megadni, ha egy szmot lerunk.A ksobbiekben az alap nlkl lert szmokat mindig tzes szmrendszerben megadott szmnak tekintjk, s atzes alapot csak akkor rjuk ki, ha hangslyozni szeretnnk azt, hogy a szm tzes rendszerben van lerva,megadva.

Aktivits: A fentiek alapjn gondoljuk t, hogy hogyan lehet lerni egy szmot nyolcas (oktlis)szmrendszerben.

1. lecke 10. oldal

2 1 4 Szmok trsa egyik szmrendszerbol msik szmrendszerre


30/488

2.1.4. Szmok trsa egyik szmrendszerbol msik szmrendszerre

Ezek utn felmerlhet az a krds, hogy hogyan kell ha szksgess vlik egyik szmrendszerben lertszmot egy msik szmrendszerbe trni.

Mivel tetszoleges szmrendszerbol tzes szmrendszerre val trs az egyszerubb, eloszr ezzel foglalkozunk.Az talaktshoz semmi ms nem kell, mint egyszeruen felrni azt az sszeget, amelynek rvidtsbol a szm

jelsorozatt kaptuk. Azokat a szmjegyeket, amelyek a tzes rendszerben nincsenek benne helyettesteni kellaz rtkk tzes rendszerbeli alakjval. Az gy kialakult sszegben mr minden tzes szmrendszerben vanfelrva, ha elvgezzk a muveleteket az eredmny is tzes szmrendszerbeli lesz, s ez ppen a szm tzesszmrendszerben megadott alakjt adja.

Plda: A1F(16)A162 + 1161+F160 10162 + 1161 + 15160 = 10256 + 16 + 151 = 2591(10).

1011(2)123 + 022 + 121 + 120 = 8 + 2 + 1 = 11(10).

AA,8(16)A161

+A160

+ 8161

1016 + 101 + 81/16 = 170,5

Aktivits:Adjuk meg a8A3E1(16),726(8),1010101,01(2)szmok tzes szmrendszerbeli alakjt!

Egy tetszolegesbvals szm tzes szmrendszerbol tetszolegesA-alap rendszerben val felrshoz nem kellmst tennnk, mint megkeresnnkA azon hatvnyainak sszegt, amely (tzes szmrendszerben) b-vel egyenlo.Azaz meg kell llaptani, hogy a

b= an1An1 + an2An2 + . . . + a1A1 + a0A0 + a1A1 + . . . + amAm =

n1i=0 aiAi +

mi=1 aiA

i

egyenlosg milyenn,msairtkekre teljesl. Ezekrol az rtkekrol csak annyit tudunk, hogy az sszesai< As nemnegatv.

Vizsgljuk eloszr az sszeg elso felt. Azt, amelyben az ai indexei nemnegatvok. Ez a rszsszeg a b-nekA-alap egszrszt adja meg, s lthat, hogy az utols tag kivtelvel minden ms tag oszthatA-val. Mivela < A, ezrt az is nyilvnval, hogy az sszeget azaz b egszrszt maradkos osztssal A-val elosztva

ppena0-t kapunk maradkul, a hnyados pedigan

1A

n2

+ an

2A

n3

+ . . . + a1A

0

lesz. EztA-val jra elosztva

1. lecke 11. oldal

a1-et kapunk maradkul. Ezeket a lpseket az jabb s jabb hnyadosra elvgezve rendre megkapjuk a tbbi


31/488

a1 et kapunk maradkul. Ezeket a lpseket az jabb s jabb hnyadosra elvgezve rendre megkapjuk a tbbipozitv indexuai-t. Az osztsokat akkor fejezzk be, ha a hnyados nullv vlik. Ez ppen az n-edik lpsbenkvetkezik be, s ekkor az utols egytthatt, az an1-et is megkapjuk. gy nyilvnval, hogy a maradkokrendre aza0, ..., an1rtkeket adjk, azaz ab-t elolltAszmrendszerbeli alakot definil sszeg elso felemr felrhat.

Az sszeg msodik felt vizsglva eloszr azt kell megllaptanunk, hogy ez a rszsszeg ppen b-nekA-alaptrtrszt adja meg. Vegyk szre, hogy ha ezt az sszeget azaz btrtrszt A-val szorozzuk, akkor a kapott

sszeg egy olyan A-alap szmot hatroz meg, amelynek egsz rsze ppen a1, a trtrsze pedig az sszeg,amely ugyancsak egy trtszm, csak a szmjegyeinek szma az A-alap alakban eggyel kevesebb, mint az elozotrtrsz volt. Ezt a trtszmot A-val szorozva az egszrsz a2, a trtrsz egy jabb trtszm, amelynekA-alap alakjban a3-tl am-ig szerepelnek a szmjegyek. A szorzsokat addig folytatva, amg a trtrsznullv nem vlik, megkaphatjuk a b A-alap alakjt megad sszeg sszes negatv indexu ai rtkeit s mrtkt is, ami nem lesz ms, mint a nulla trtrsz elrshez szksges szorzsok szma.

Sajnos elofordulhat, hogy a trtrsz sohasem vlik nullv. Ilyen esetben a b szmA-alap alakja vgtelen sokszmjeggyel lerhat trtrszbol ll. Ekkor a szorzst addig kell folytatni, amg elo nem kerl egy olyan trtrsz,amelyik mr a szorzsok eredmnyeknt megjelent. Ettol kezdve ugyanis periodikusan ismtlodni fog minden,a kt egyforma trtrsz kzti szorzat, gy a b A-alap alakja periodikus vgtelen trtrszu lesz.

Ezek alapjn az talaktst a kvetkezok szerint kell elvgezni:

1. Vlasszuk a szmot egszrszre s trtrszre.2. Hatrozzuk meg az egszrsz j szmrendszerbeli alakjt.

3. Hatrozzuk meg a trtrsz j szmrendszerbeli alakjt.

4. Vesszovel elvlasztva rjuk az egszrsz mg a trtrszt.

1. lecke 12. oldal

Plda: 1848,4(10)binris, oktlis s hexadecimlis talaktsa.


32/488

, (10) ,

1. A egszrsz: 1848(10), a trtrsz0,4(10)

2. Az egszrsz talaktsa. (Lsd a2.2. tblzatot. Csak az osztsi eredmnyeket tartalmazza a kiindulsiegszrszt nem!)

2.2. tblzat.Az egszrsz talaktsa2-es,8-as s16-os szmrendszerbe

2 8 16

index hnyados maradk hnyados maradk hnyados maradk

0 924(10) 0 231(10) 0 115(10) 8

1 462(10) 0 28(10) 7 7(10) 3

2 231(10) 0 3(10) 4 0(10) 7

3 115(10) 1 0(10) 3

4 57(10) 1

5 28(10) 1

6 14(10) 0

7 7(10) 08 3(10) 1

9 1(10) 1

10 0(10) 1

Az egszrsz alakjai a megadott szmrendszerekben: 11100111000(2),3470(8),738(16).


33/488

1. lecke 14. oldal

Plda: Mi a kettes szmrendszerbeli alakja a 738,6(16)-nak?


34/488

( )

1. talakts tzes szmrendszerre:738,6(16) = 7 16

2 + 3 161 + 8 160 +

i=1616i = 1848(10) + (6(10)/16(10))/(1(10) 1(10)/16(10)) =

1848(10)+ 2(10)/5(10)= 1848,4(10)A szmolsban felhasznltuk azt, hogy a

i=1616i egy a

1 = 6/16 kezdoelemu q = 1/16 kvciensu

mrtani sor, amelynek rtke aza1/(1 q)kplettel szmolhat.

2. A tzes szmrendszerbeli alak tovbbalaktsa kettes szmrendszerre (lsd a 2.4. tblzatot).

2.4. tblzat.Az 1848,4(10)talaktsa2-es szmrendszerbe

egszrsz osztsa trtrsz szorzsa

index hnyados maradk egszrsz trtrsz index0 924(10) 0 0 ,8(10) 1

1 462(10) 0 1 ,6(10) 2

2 231(10) 0 1 ,2(10) 3

3 115(10) 1 0 ,4(10) 4

4 57(10) 1 innen ismtlodik

5 28(10) 1

6 14(10) 0

7 7(10) 0

8 3(10) 1

9 1(10) 1

10 0(10) 1

1. lecke 15. oldal

A kettes szmrendszerbeli alak: 11100111000,0110(2).


35/488

( )

Aktivits:Mi az alakja nyolcas szmrendszerben a 1010101,01(2)s a8A3E1(16)szmoknak?

Termszetesen a szmokkal minden szmrendszerben lehet muveleteket vgezni. A ngy alapmuveletelvgzse nem is olyan nehz, ha felismerjk, hogy ugyanolyan szablyok rvnyesek, mint amiket a tzesszmrendszerben megismertnk. A problmt legfeljebb ezeknek a szablyoknak az adaptlsa okozza.Nehezebb a bonyolultabb muveletek hozzigaztsa tetszoleges, de nem tzes alap szmrendszerhez.

Nagy szmokkal, segdeszkz nlkl, mg a tzes rendszerben is problmt okozhat a ngy alapmuveletelvgzse. Manapsg a klnfle szmol eszkzk korban a segdeszkzk mindenki szmra elrhet ok.Sot, a ngy alapmuvelet mellett lehet hatvnyozni, gykt vonni, s nhny egyszeru fggvny rtkt is kitudjuk szmtani ezekkel az eszkzkkel. Nmelyik nemcsak tzes szmrendszerben tud szmolni, hanem kettesvagy tizenhatos rendszerben is.

2.1.5. Muveletek nem csak szmokkal, a Boole-algebra

A 19. szzad kzeptol a szmokkal val muveletvgzs mellett megjelentek ms objektumokon vgezhetomuveletek is, s kialakult az absztrakt algebra.

Szmtstechnikai szempontbl ennek a tudomnygnak legfontosabb terlete a Boole-algebra, amit George

Boole munkssga alapozott meg.A Boole-algebra egy olyan struktra, amely egy ktelemu halmazbl s a rajta elvgezheto muveletekbol plfel. A halmaz egyik elemt I(gaz), msik elemt H(amis) rtknek tekintjk. Ezeken az rtkeken maximum4 egyoperandus s 16 ktoperandus muvelet definilhat. Mi ezek kzl egy egyoperandus muveletet shrom ktoperandus muvelet fogunk megismerni.

A trgyaland egyoperandus muveletet negcinak nevezzk. A muveleti jele jel legyen. A muveletelvgzse pedig a kvetkezo: ha az operandus rtke I, akkor az eredmny legyen H, ha az operandus rtke


36/488

1. lecke 17. oldal

1. operandus: A 2. operandus: B eredmny: A=B


37/488

I I H

I H I

H I I

H H H

A logikai muveletek szmunkra a ksobbiekben felhasznlhat fontosabb tulajdonsgai:

Az s valamint a vagy muvelet:

asszociatv, azaz (AB)C = A(BC) = ABC s (AB)C = A(BC) = ABC.

kommutatv, azaz AB = BA s AB = BA.A kizr vagy kommutatv azaz (A=B) = (B=A), de nem asszociatv azaz ((A=B)=C) nem egyenlo(A=(B=C))-vel.

Az s muvelet disztributv a vagy muveletre, illetve a vagy az s-re, azaz: (AB)C = (AC)(BC),illetve (AB)C = (AC)(BC)

Termszetes ezek a legegyszerubb muveleti tulajdonsgok, tbbre nem is lesz szksgnk.

1. lecke 18. oldal

nellenorzs


38/488

1.Szmtsa t tzes szmrendszerre a kvetkezo szmokat: AF5(16),123(4),23,4(16),23,4(5).

2.Szmtsa t kettes szmrendszerre a kvetkezo szmokat: 1756,5(10),1756,5(16),1756,5(8).3. Bizonytsuk be, hogy minden kettes szmrendszerben felrhat, vges sok nullt tartalmaz racionlis

szm tzes szmrendszerben vges sok szmjeggyel felrhat. (Hasznljuk a mrtani sorozatra megtanultsszefggseket!)

4.Bizonytsuk be, hogy a tzes s a tizenhatos szmrendszerekben pontosan n >1darab szmjeggyel felrhatszmok kztt van olyan pr, amelyiknek egyik tagja tzes, a msik tizenhatos szmrendszerbol val, s anagyobbik nagyobb, mint a kisebbik 16-szorosa.

5.Jellje meg az igaz lltsokat!Tzes szmrendszerben lert, vges sok tizedesjegyet tartalmaz szm kettes szmrendszerben is vgessok szmjegyet tartalmaz trtrszbol ll.Kettes szmrendszerben lert szm, amelynek trtrsze vges sok szmjegyet tartalmaz, tzesszmrendszerben is vges sok tizedesjegyu lesz.Tzes szmrendszerben vges sok szmjeggyel lert szm kettes szmrendszerben is vges sokszmjeggyel lerhat.Elofordulhat, hogy tzes szmrendszerben vges sok szmjeggyel lert szm kettes szmrendszerbenvgtelen sok szmjeggyel lesz lerhat.Brmelyik egsz szm kdolhat vals szmknt is.


39/488

2. LECKE

Kdols

2. lecke 1. oldal

Ebben a leckben megismerjk a kdols fogalmt. Olyan kdrendszereket ismernk meg amiket aszmtstechnikban szoks alkalmazni a htkznapokban hasznlt kdrendszerek helyett


40/488

szmtstechnikban szoks alkalmazni a htkznapokban hasznlt kdrendszerek helyett.

Karakterek, jelek kdolsval kezdnk, s eljutunk az olyan sszetett objektumok kdolsnak egy lehetsgesvltozatig, mint amilyenek a kpek. A kpkdols vzlatos lersa inkbb csak olvassra ajnlott, de nemrdektelen senki szmra, hiszen olyan ismeretek tallunk a lersban, mint a digitalizls, a felbonts s annakmrtkegysge. Ezek az ismeretek a htkznapi letben is fontosak lehetnek.

Sokak szmra nem biztos, hogy nyilvnval mirt is van szksge a htkznapi szmtgp-hasznlnak akdolsok ismeretre. A vlasz nagyon egyszeru: mr a tblzatkezelok hasznlata sorn is elokerlnekolyan problmk, amiknek megoldsban nlklzhetetlen a kdols alapjainak ismerete. Nem kell tehtszmtstechnikusnak lenni ahhoz, hogy a kdols mibenltt ismernnk kelljen.

2. lecke 2. oldal

3. Kdols


41/488

Amint az elozoekbol ltszik, szinte a kezdetektol megjelentek azok a mdszerek, amelyek segtsgvel a szmokmegjelenthetok, ksobb lerhatk voltak, azaz kialakult a szmok kdolsa.

3.1. definci: Tgabb rtelemben kdolsnak hvjuk azt a mdszert, amely segtsgvel msok szmra is

elrhetov, rthetov tesszk gondolatainkat.

Ilyen kdols a beszd, az rs brmilyen formja, gy a szmok lersa is. Ilyen kdols eredmnye pldul anyolcnak a szoksos tzes szmrendszerben lert8(10), a kettes szmrendszerben megadott1000(2)vagy a rmaiszm VIII alakja is.

3.2. definci: Szukebb rtelemben kdolsrl akkor beszlnk, ha szoksos eszkzkkel (szmjegyekkel,

rssal, kppel, videval, hanggal) megadott objektumokat valamilyen egysges rendszerben jra megadunk,lerunk.

A tovbbiakban a szukebb rtelmu kdolst rtjk kdols alatt.

Klnsen fontoss vlt a kdols, amikor a szmols segtsre klnbzo eszkzket kezdett az emberisghasznlni. A kvetkezokben a jelen eszkzeinek hasznlathoz nlklzhetetlen kdolsokkal fogunkfoglalkozni. Ezeknek a kdolsoknak alapja a kettes szmrendszer, mivel eszkzeink elektronikus eszkzk,

s a kettes szmrendszer kt klnbzo bitje elektronikus eszkzkkel knnyen megjelentheto vagy knnyentovbbkdolhat gy pldul, hogy az 1-nek egy magas, mg a 0-nak egy alacsony feszltsgszintet feleltetnkmeg.

A klnbzo kdrendszereket vizsglva megklnbztethetnk fix hosszsg s vltoz hosszsg kdokblll kdrendszert. A kdok hosszt a kdban lvo jelek szmval szoks definilni. A szmtstechnikbanmindkt rendszert hasznljk.

2. lecke 3. oldal

3.1. A Boole-algebra objektumainak kdolsa


42/488

A legegyszerubb kdols, hiszen csak kt elemnek kell kdot vlasztani (I, H). Legfeljebb az okozhat fejtrst,hny jelbol lljon a kd, ha ragaszkodunk ahhoz, hogy a kdokat bitekbol ptjk fel. Egyetlen jelbol llkd esetn pldul az I objektumot 1-gyel, a H objektumot 0-val kdolhatjuk, 8 bites kd esetn az I kdja a11111111 jelsorozat, a H- a 00000000 jelsorozat lehet.

3.2. Betuk s egyb jelek valamint tetszoleges szveg kdolsa

Fix hosszsg kdolst hasznlunk, a kd hossza ltalban 8 vagy 16 binris jel, ritkbban el ofordul a 24 s32 kdhossz is.

Mivel 0 s 1 jelekbol 8 hosszsg kdot 256-flekppen lehet elolltani, ezrt ezzel a kdrendszerrel sszesen256 klnbzo jel kdolhat. Ezeket a jeleket, illetve kdjaikat szabvnyok hatrozzk meg. A legelterjedtebb

szabvnyok egyike az ASCII (American Standard Code for Information Interchange = amerikai szabvnykdinformcicserhez). Az elso 128 kd sztenderd, azaz llandsult jeleket tartalmaz, a msodik 128 kd azgynevezett kiterjesztett jelek kdjai.


43/488


44/488

2. lecke 6. oldal

A kiterjeszts tbbflekppen is trtnhet, a bemutatott plda a Latin1 kiterjesztsu vltozat. A kdrendszer elsofelt a3.1. bra, a msodik rszt a3.2. bra tartalmazza. A binris kdok mellett megtalljuk ezek decimlis
http://goback/


45/488

, g js hexadecimlis rtkt is. Az utbbi kt szmban az rtket nem kpviselo, az elol lvo nullkat elhagytuk.(A binris kdban fontosak a kdok kezdo nulli is, mivel ezek a kd szerves rszei. Ha elhagyhatk lennnek,akkor a kd nem lenne fix hosszsg!)

Lthat, hogy ebben a rendszerben sszefggo tmbt alkotnak az angol bc nagybetui s a kisbetui, valamint

a szmjegyek. Megtallhatk a jelek kztt az rsjelek, a gyakran hasznlt matematikai jelek, sok kezetes betujele s nhny specilis jel is.

Az ASCII rendszerben nem kdolhatk a tvolkeleti nyelvek betui, sot nmely eurpai bc klnleges betujesem. Ennek a problmnak a kikszblsre alkottk meg az Unicode, az UTF-8 rendszereket, Ezekben akdok 16, 24, 32, 40, 48 hosszsg 0 s 1 jelbol ll sorozatok. Ezekben a rendszerekben 16 bittel2562, 24bittel2563 klnbzo jelet lehet kdolni.

Ha jeleket tudunk kdolni, akkor mr szveget is. Hiszen nem kell mst tennnk, mint a szveg betuit,szmjegyeit, rsjeleit, betukzeit a jelek kdtblzatt felhasznlva kdoljuk, s a kdokat egyms mg rvamegkaphatjuk a kdoland szveg kdjt. Vegyk szre, hogy a kapott kd hossza fgg a jelek kdhossztls a szveg jeleinek szmtl is. Mivel a jelek szma ms s ms szvegben ltalban nem egyforma, ezrt aszveg ilyen kdolsa vltoz hosszsg kdot eredmnyez.

3.3. Szmok kdolsa

Termszetesen az elozo rszben lert kdolsi mdszer szmok kdolsra is j, de az gy kdolt szmokkal amuveletvgzs nehzkes lesz, teht alkalmasabb rendszert clszeru vlasztani. Sokfle szmkdols lehetsges.A kvetkezokben ngyfle mdszerrel fogunk foglalkozni.

3.3.1. Nemnegatv egsz szmok kdolsa

Ezeket a szmokat szmtstechnikban elojeltelen (angolul unsigned) szmoknak is szoks nevezni.Kdolsukra 8, 16, 32, 64 bites kdok a legelterjedtebbek. Nyolc bittel

0s

2

8

1 = 255, 16 bittel

0s

2. lecke 7. oldal

216 1 = 65535, 32 bittel 0 s 232 1 = 4294967295, 64 bittel 0s 264 1 = 18446744073709551615 kzeso szmokat szoks kdolni. A kd megllaptsa nagyon egyszeru. rjuk fel a kdoland szmot kettes
http://prevpage/


46/488

g p gy gy jszmrendszerben, rjunk elje annyi nullt, amennyi ahhoz kell, hogy a kd hossza megfelelo legyen. Amitkaptunk az a szm kdja! Fontos megjegyezni, hogy a fenti mdszerrel a megadott intervallumokon kvliegsz szmok nem kdolhatk!

3.3.2. Egsz szmok kdolsa kettes komplemens kddalEzeket a szmokat szmtstechnikban elojeles (angolul signed) szmoknak szoks nevezni. Szintn 8, 16, 32,64 bites kdokat hasznlunk a kdolshoz. Nyolc bittel a 27 =128s271 = 127, 16 bittel a215 =32768s215 1 = 32767, 32 bittel a231 =2147483648s231 1 = 2147483647, 64 bittel263 s263 1kz esoszmokat kdoljuk. A megadott intervallumokon kvl eso szmok ezzel a mdszerrel nem kdolhatk!

A kdols a kvetkezo (csak a nyolcbites vltozattal foglalkozunk, a msik hrom vltozatban ennek mintjra

trtnik a kdok megllaptsa). Ha a szm nemnegatv, akkor ugyangy, mint az el ozo kdolsi mdszernl vesszk a kettes szmrendszerbeli alakot, elje runk annyi nullt, hogy nyolc jelbol lljon, s mr kszen isvan a kd. Ha a szm negatv, akkor hozzadunk28 = 256-ot. Az eredmny 127-nl nagyobb, 256-nl kisebbpozitv szm lesz. Ennek vesszk a kettes szmrendszerbeli alakjt, s az lesz a negatv szmunk kdja.

Vegyk szre, a nemnegatv szm kdja mindig nullval, a negatv mindig eggyel kezdodik, ezrt a kd vezetobitje megadja azt is, hogy kd negatv vagy nemnegatv szmot jelent-e. Ezrt ezt a bitet szoks elojelbitnekis nevezni. Ez az elnevezs br helytelen, de annyira elterjedt, hogy itt is megemltjk, de mindenkppen

kihangslyozzuk, hogy nem az elojel kdolsra hasznljuk!A negatv szm kdjt kettes komplemens kdnak is nevezik.

A kettes komplemens kd megllaptsra egy kevesebb szmolst ignylo mdszert is lehet hasznlni. Amdszer azon alapul, hogy a2n 1szm kettes szmrendszerben pontosan n darab egyesbol ll, nulla nlkl.Ebbol a szmbl knnyu kivonni brmilyen n-nl kevesebb bitbol ll pozitv binris szmot, hiszen nem kellmst tenni, csak 0-t rni arra a helyirtkre, ahol a kivonandban 1 van, s 1-et arra, ahol 0 van. Az eredmnynem ms, mint az a szm, amit gy kapunk, hogy a kivonandban minden bitet az ellentettjre 0-t 1-re,

2. lecke 8. oldal

1-et 0-ra cserlnk, ms szval negljuk, s annyi 1-gyel kiegsztjk a szm elejn, hogyn jegyu legyen. Eza szm eggyel kisebb, mint a kivonand 1-szeresnek kettes komplemens kdja, ezrt a kettes komplemens


47/488

elrshez 1-et hozz kell adni. Amit kaptunk, az nem ms, mint a kivonand (pozitv) szm 1-szeresnek (ezmr negatv) kdja.

Plda: Szmtsuk ki a1848kettes komplemens kdjt! A megolds tblzatba foglalva:

1848 111 00111000negls 000 11000111

kiegszts 11111000 11000111

+1 00000000 00000001

1848kdja 11111000 11001000

rdemes megjegyezni, hogy a fenti mdszert mechanikusan alkalmazva a kettes komplemens kdra, a kdhoztartoz negatv szm abszolt rtknek kettes szmrendszerbeli alakjt, azaz a kdjt kapjuk. 1848esetn:

1848kdja 11111000 11001000

negls 00000111 00110111

kiegszts nem szksges

+1 00000000 000000011848 kdja 00000111 00111000

Aktivits:Szmtsuk ki a184832 bites komplemens kdjt!

Ebben a kdrendszerben kt szm sszegnek kdjt rgtn megkaphatjuk, ha a kdokat sszeadjuk, teht nemkell az sszeads elvgzshez oda-vissza kdolgatni, a szmok sszeadsa helyett elg a kdokat sszeadni.

2. lecke 9. oldal

Ezen kvl megsprolhatjuk a kivonst is, ugyanis a b = a+ (b) tetszoleges a s b esetn, az a s a bkdjnak sszege ebben a kdrendszerben ppen az a b szm kdja lesz. Ez pedig az elobb megismert
http://goback/


48/488

mechanikus mdszerrel knnyedn elollthat.

Jegyezzk meg, hogy ha kt szm sszege vagy klnbsge nagyobb, mint a kdolhat szmok intervallumnakvgpontja vagy kisebb, mint a kezdopontja, akkor a kdok sszege nem llt elo kdot, hiszen a krdses sszegvagy klnbsg ezzel a mdszerrel nem kdolhat!

Plda: 15921848 = 1592 + (1848) =256. Kdokkal:

1592 00000110 00111000

1848kdja 11111000 11001000

sszeg 11111111 00000000

Aktivits:Ellenorizzk, hogy az eredmny valban a 256kdja-e!

3.3.3. Egsz szmok kdolsa fesztett vagy tbbletes kddal

A komplemens kdhoz hasonlan ennl a kdolsnl is 8, 16, 32 vagy 64 bites kdokat szoks hasznlni. Ezzela mdszerrel kdolhat szmok 8 bit esetn 27 + 1 = 127s 27 = 128kz 16 bittel 215 + 1 = 32767

s 215

= 32768kz, 32 bites kdnl 231

+ 1 = 2147483647 s 231

= 2147483648kz, 64 bittel 263

+ 1s263 kz eso szmok lehetnek. ltalnosan: nbites kddal tetszoleges nbittel kdolhat szm kdjt akvetkezokppen kapjuk:

1. Szmtsuk ki aza + 2n1 1szmot. (A2n1 1-et tbbletnek szoks nevezni.)

2. Alaktsuk t kettes szmrendszerbe.

3. Ha szksges tegynk elje annyi nullt, hogy a bitek szma pontosan nlegyen.

2. lecke 10. oldal

A kapott jelsorozat lesz az a fesztett vagy ms nvvel a tbbletes kdja.
http://prevpage/


49/488

3.3.4. Vals szmok kdolsa

Mindenavals szm (a 0-t kivve) tetszolegesAszmrendszerben egyrtelmuen felrhat a kvetkezo mdon.a = mAk , ahol |m| az [1,A) intervallumba eso A-alap vals szm. m neve mantissza. k szintn A-alapegsz szm, a karakterisztika, de szoks exponensnek is nevezni. Aza = mAk alakot azaszmA-alap normlalakjnak nevezzk. Ha A = 2, akkor a norml alak kettes szmrendszerbeli s ebbol az alakbl kiindulvaszoks a vals szmok egyfajta kdolst felpteni.

Nem kell ugyanis mst tenni, mint megllaptani a kd hosszt, majd kdolni kell az m elojelt, az|m|-et, s ak-t.

Az elojel kdolshoz elg egy bit. Ezt a bitet mr valban nevezhetjk el ojelbitnek. Legyen a kd 0, ha pozitvszmot kdolunk, 1, ha negatv szmot kdolunk.

|m|kdja legyen az a bitsorozat, amit gy kapunk, hogy az |m|-bol elhagyjuk az egszrsz bitjt (ez a bit mindig1) s a (kettedes) vesszot. A megmarad bitsorozatot a vgn kiegsztjk nullkkal, ha nem elg hossz, illetvea vgt elhagyjuk, ha hosszabb, mint ahny bittel az |m|-et kdolnunk kell. Jegyezzk meg, hogy az |m|kdjaazt is meghatrozza, hogy a kd mennyire pontosan adja vissza az eredeti szmot, hiszen elofordulhat, hogy az|m|-bol el kell hagyni biteket, s emiatt a kdbl az a-nak csak kzelto rtkt kaphatjuk vissza.

Ak kdolsra a mr megismert k tervezett kdhossznak megfelelo tbbletes kdot hasznljuk. Az gykialaktott hrom kd egymsutnrsval kapjuk az a vals szm kdjt. A sorrend ltalban a kvetkezo: az

elojel kdja, a karakterisztika kdja, vgl a mantissza kdja.A pozitv s a negatv nulla megklnbztetheto, mivel a 0 kdja ebben a rendszerben ktfle lehet. A pozitvnulla kdja a csupa nullbl ll, a kdhossznak megfelelo bitsorozat, a negatv az elojelbiten egyet, msholcsupa nullt tartalmaz bitsorozat.

Ez a kdols az gynevezett lebegopontos kdolsi mdszerek egyike, s ha a ksobbiekben lebegopontos kdrllesz sz, erre a kdolsra kell gondolni.

2. lecke 11. oldal

Azt, hogy a kd milyen hossz legyen, s ezen bell hny bitet hasznlhatunk a karakterisztika, s hnyat amantissza kdolsra, szabvnyok hatrozzk meg.


50/488

Ilyen szabvnyok pldul az IEEE 7541985, IEEE 8541987, IEEE 1596.51993 szabvnyrendszerek. Ezekngy alaptpust definilnak, lersuk a3.5. tblzatban tallhat.

3.5. tblzat.Vals szmok szabvnykdjainak neve s kdhossza

Pontossg Bitek szma

Magyarul Angolul Hossz Elojel Kitevo Mantissza

Egyszeres Single float 32 1 8 23

Dupla Double float 64 1 11 52

Kiterjesztett Extended float 80 1 15 64

Ngyszeres Quadruple float 128 1 15 112

Mivel a ksobbi tanulmnyaink sorn olyan szmtgpes rendszereket ismernk meg, amelyekben a valsszmokat a Double float szerint kdoltk, gy ezzel a vltozattal kicsit tbbet foglalkozunk.

Amit a kdhoz tartoz adatokbl rgtn leolvashatunk: a karakterisztika kdolsnl az eltols 1023,a mantisszbl maximum 52 jelet tudunk felhasznlni. A kdrendszernek ugyancsak a szmtgpesfelhasznlsa miatt, a szabvny szerint nhny kdjt mskppen kell rtelmezni, mint ahogyan a lersblkvetkezne. Ezeket a klnlegessgeket foglalja ssze a3.6. tblzat.

3.3. definci: A nem normalizlt szm az a kettes szmrendszerbeli szm, aminek alakja m 211111111110,ahol0 < |m|< 1, s a trtrsz szmjegyeinek szma legfeljebb 52.

2. lecke 12. oldal


51/488

3.6. tblzat.A Double float klnleges kdjai

rtelmezs Elojel Karakterisztiknak Mantissznak

kdja megfelelo kd megfelelo kd

+0 0 00000000000 Minden bit 0

0 1 00000000000 Minden bit 0

+ vgtelen 0 11111111111 Minden bit 0

vgtelen 1 11111111111 Minden bit 0

+ Nem szm kdja 0 11111111111 legalbb egy nem nulla bit

Nem szm kdja 1 11111111111 legalbb egy nem nulla bit

Pozitv nem normalizlt szm 0 00000000000 legalbb egy nem nulla bit

Negatv nem normalizlt szm 1 00000000000 legalbb egy nem nulla bit

2. lecke 13. oldal

Plda: llaptsuk meg a1848,4kdjt az elozo kdrendszer szerint!

A negatv elojel kdja 1, a karakterisztika kdja 1010 + 1111111111 = 10000001001, a mantissz


52/488

1100111000011001100110011001100110011001100110011001. Ezeket egyms utn rva kapjuk a kdot:

1100000010011100111000011001100110011001100110011001100110011001.

Aktivits: llaptsuk meg, hogy a fenti kdbl melyik vals szmot lehet visszakdolni, s ez a szmmennyivel tr el a1848,4-tol!

Ezzel a mdszerrel trolt szmok nhny nevezetes rtkt s szabvnyos nevt tartalmazza a3.7. tblzat:

3.7. tblzat.Nevezetes rtkek a Double float kdolsban

Megnevezse Lersa rtke 10-es szmrendszerben

DBLMIN a kdolhat legkisebb szabvnyos pozitv szm 2.22507385850720138E308

DBLMAX a kdolhat legnagyobb szabvnyos pozitv szm 1.79769313486231571E+308

nincs a kdolhat leheto legkisebb (nem szabvny szerinti) 4.94065645841246544E324

pozitv szm.

DBLEPSILON kd-epszilon: az a legkisebb pozitv rtk, amit 1-hez 2.2204460492503125E16

adva olyan szmot kapunk, aminek kdja nem egyezik meg1 kdjval.

A tblzat utols oszlopban szereplo E jelentse: az E elotti szmot meg kell szorozni 10-nek azzal ahatvnyval, amit az E utni szm hatroz meg.

2. lecke 14. oldal

3.3.5. sszetett objektumok (pl. kpek) kdolsa

Nem clunk, hogy az sszetett objektumok nha mlyebb ismereteket is ignylo kdolst s kdrendszereiket


53/488

gy j y g yismertessk, de annak megrtshez, hogy egy nem szmjegyekkel val tgabb rtelemben kdolt objektumszmokkal is kdolhat, egy vzlatos pldt adunk a kdolshoz anlkl, hogy magt a kdrendszertismertetnnk.

Legyen egy ilyen objektum egy kp. Elso lps a kdolsban hogy a kpet diszkrt egysgek rendszerre bontjuk.Ezek az egysgek legyenek az gynevezett kppontok (a kppont angolul pixel). Minden kppont egy-egytglalap alak kprsz lesz. (A nyomdatechnikban hasonl felbontst alkalmaznak, itt a kppontok neveraszter, s nem mindig szablyos skidom, sot nem is mindig rintkeznek a raszterek egymssal.) A felbontsannl jobb s ennek kvetkezmnyekppen a pontokbl sszerakott kp annl jobban hasonlt az eredetikphez , minl tbb pontbl ll. Ezrt szoks a felbontst egy adott hosszsgegysgre (inch) eso pontokszmval jellemezni. A mrtkegysg a pont per inch (angolul: Dot Per Inch), rviden DPI. Minl nagyobb aDPI rtk, annl nagyobb s jobb a felbonts. Mivel a kpek ktdimenzisak, s a vzszintes-fggoleges irnypontra bonts nem szksgkppen egyezik meg, ezrt elofordulhat, hogy a vzszintes s a fggoleges felbontstszorzat alakban adjk meg, ahol az elso tnyezo a vzszintes, a msodik a fggoleges irny egy inch-re esopontszmot jelenti.

A kapott kppontok a kpet egy tglalap alak pontrendszerre bontjk. Ennek a rendszernek a pontjait amretk s a sznk jellemzi. A mret a DPI rtkbol minden pontra egysgesen megllapthat, a szn mindenpontban ms s ms lehet.

A kp bitekbol ll kdjt teht gy lehet megadni, hogy megadjuk a bitkdjt annak, hogy hny pontblll a kp vzszintesen, hny pontbl fggolegesen, majd egyenknt kdoljuk a pontok sznt is. A bitkdokategyms utn rva egy 0-1 sorozatot kapunk, s ez lesz a kp kdja. rdemes megemlteni, hogy ezzel a kdolsimechanizmussal visszakdolskor az eredeti kpnek egy egyszerubb vltozatt kapjuk. Ennek megrtshezelg azt ltni, hogy ms s ms felbontsra ms s ms kd alakul ki ugyanarrl a kprol, s a visszaalaktsutn a kpek csak hasonltani fognak egymsra is s az eredeti kpre is.

Azt a folyamatot, amely egy vals, folytonos objektumhoz diszkrt, legtbbszr binris kdot llt elo,

2. lecke 15. oldal

digitalizlsnak nevezzk.

Termszetesen ez a lers egy elnagyolt lersa az egyik lehetsges kdolsnak (legjobban az gynevezettl fik kd l h h l ) d hh h b l l bb b k k b kd l k


54/488

pixelgrafikus kdolshoz hasonlt), de ahhoz, hogy a bonyolultabb objektumok binris kdolst megrtsk elegendo.

A pixelgrafikus trolssal kapcsolatban clszeru vzlatosan megismerni az RGB modellt. Ebben a modellbenminden sznt hrom alapszn sszettelvel lltunk elo. Ezek a sznek: vrs (Red), zld (Green) kk (Blue). 16bites sznkd esetn a vrs sszetevo kdolsra 5, a zldre ugyancsak 5, a kkre 6 bitet szoks hasznlni. Ez65536-fle szn kdolst teszi lehetov, ami az emberi szem teljestokpessgt figyelembe vve egy htkznapikp kdolsra bosgesen elegendo. Sok ember a kppontok sznnek 8 bittel (256 fle szn) val kdolsakorkapott kdbl visszalltott kprol sem tudja megmondani, hogy mi a klnbsg az eredeti s a visszalltottkp kztt.

A kppontokhoz tartoz direkt kdok mellett a kp kdjban ltalban mg bizonyos kiegszto vagy jrulkosinformcit is kdolnak (pl. hibajavtsra). Ez a kd vgso hosszt, mrett csak minimlis mrtkbenmegnveli.

A pixelgrafikus kdolst elsosorban fnykpszeru kpek kdolsra hasznljk. A vonalakbl sszerakott kpekkdolsra nem clszeru mdszer. Az ilyen tpus brkat matematikai mdszerek vektorok segtsgvellnyegesen rvidebb kddal lehet lerni.

2. lecke 16. oldal

nellenorzs
http://goback/


55/488

1.Adja meg az ASCII kdjt a Nemzeti dal elso sornak.

2.Mi lesz a kdja a 100-nak, ha karaktersorozatknt, nemnegatv egszknt, ha egsz szmknt s ha valsszmknt kdoljuk?

3.Mi lesz az egyszeres pontossg kdja annak a szmnak, amelyiknek a dupla pontos kdja:1100000010011100111000011001100110011001100110011001100110011001? tmutat: llaptsukmeg a kdhoz tartoz szm norml alakjt, majd kdoljuk jra, most mr egyszeres pontossg kddal.

4.Jellje meg az igaz lltsokat!

A Boole-algebra elemeit egy bittel is lehet kdolni.

Minden egsz szmknt kdolhat szm kdolhat vals szmknt is.Minden negatv szm kdolhat egsz szmknt.

Vges sok olyan vals szm van, amelynek kdja ugyanaz.

Nem minden vals szmot lehet vals szmknt kdolni.

5.Van-e olyan szm, amelynek

Nemnegatv szmknt megllaptott kdja ugyanaz, mint az egsz szmknt megllaptott kd?

Vals szmknt megllaptott kdja megegyezik az egsz szmknt megllaptott kdjval?Valamilyen kdja ppen az a betu ASCII kdjval egyenlo?
http://prevpage/


56/488

3. LECKE

Tmrts, titkosts

3. lecke 1. oldal

Ebben a leckben azzal foglalkozunk, hogyan lehet egy ltezo kdot rvidebbel (tmrts), illetve mindenkiszmra nem visszakdolhatval (titkosts) helyettesteni.

A tmrtssel foglalkoz fejezetek viszonylag egyszerubb matematikai appartus ismeretvel megrthetok
http://goforward/http://goback/


57/488

A tmrtssel foglalkoz fejezetek viszonylag egyszerubb matematikai appartus ismeretvel megrthetok.Nhny olyan fogalom, aminek ismeretvel nem felttlenl rendelkezik a hallgat, ha nem is teljes precizitssal,de taln a megrtshez megfelelo mlysgben s felhasznls helyn megtallhat.

A titkosts mr komolyabb matematikai ismeretek ignyel. A modulhoz megadott irodalomban ezeknektrgyalsa megtallhat, a szvegben hivatkozunk ezekre.

Ez a lecke a nem muszaki szakos hallgatinknak teljes egszben olvasmnyknt szolgl. A muszaki szakokhallgati szmra a4.2.6fejezettol kezdodo rsz is csak rdekessgknt ajnlott.

rdeklodo olvask a tmk rszletesebb trgyalst az [1,4] tanknyvekben megtalljk.

3. lecke 2. oldal

4. Tmrts, titkosts

4.1. Tmrts
http://prevpage/http://nextpage/


58/488

A kdok tmrtsnl a legfobb clunk az, hogy a kd rvidebb legyen, gy kisebb helyet foglaljon el akdot tartalmaz hordozn. A tnyleges tmrtst az teszi lehetov, hogy a kd foleg ha hossz tartalmaz ismtlodo elemeket. Ezeket tkdolva, rvidebb kddal helyettestve rvidteni lehet az eredeti

kdot. Az tkdols ktfle lehet. Visszallthat kdolsrl beszlnk, ha a kdbl a kiinduls reproduklhat,adatvesztsesrol, ha a kiinduls csak kzeltoleg llthat vissza. Az egsz szmokra megismert kdolsimdszerek pldul visszallthat kdolsok, a vals szmokra megismert mdszer nem.

A htkznapi letben a tgabb rtelemben vett kdols eredmnyeit vizsglva sok olyan jellegzetessgetllapthatunk meg, amely a tmrtsben felhasznlhat.

rott szvegben pldul egyes betuk elofordulsa gyakoribb, mint msok;

Vonalas brnl ha kppontokra bontjuk az brt a nagy sszefggo fehr terlet sok egyforma egymstkveto kppontbl ll, ezrt ezekkel a pontokkal lert terletek sokkal rvidebben kdolhatk, minthaminden pontot kln kdolnnk;

Kppontokra bontott fnykpnl az egyms melletti kppontok sokszor csak kismrtkben vagy egyltalnnem klnbznek egymstl, (a klnbzosg elhanyagolhat, mivel visszakdols utn az j kp s argi kp kzti klnbsget a szemnk nem veszi szre) ezrt itt is rvidtheto a kd ahhoz kpest, mintha

minden kppontot kln kdolnnk; Filmek esetn az egyms utni kockk sokszor csak kismrtkben klnbznek.

3. lecke 3. oldal

4.1.1. Tmrto eljrsok

A tmrto eljrsok megfelelo tmrto mdszerek alkalmazsval kt fo muveletet vgeznek:


59/488

tkdols (becsomagols) az eredeti kdot becsomagoljk, azaz megprbljk a kdot rvidebb kddalhelyettesteni, amit egy kdburokkal vesznek krbe. A kdburok azt rja le, hogy a tmrts milyenmdszerrel trtnt. (ltalban az j kd a burokkal egytt kisebb mretu lesz);

Dekdols (kicsomagols) a tmrtett, rvidtett kdbl visszanyerik az eredeti kdot.

Ez a kt fo funkci gyakran mg kiegszl tovbbi tevkenysgekkel, amelyek szerepe a biztonsg nvelse:

Adatvdelem a tmrtshez j hatsfok hibajavt kdolst hasznlnak, amely folthibk (kd egyesrszeinek hibi) esetn is lehetov teszi a visszakdolst;

Titkosts a tmrtett kdbl csak egy kulcs (jelsz) megadsa utn fejthet o vissza az eredeti kd. Mraz eddig lertakbl is kikvetkeztethetjk, hogy ktfle tmrtsi, kdolsi mdszert klnbztetnk meg.

Vesztesgmentes tmrts esetn visszakdols (dekdols) utn teljesen az eredeti kdot nyerjk vissza.Szveg, program kdja csak gy tmrtheto (nyilvnval, hogy nem lenne rtelme egy programotvesztesgesen tmrteni). Sok esetben kpek kdjt is rdemes vesztesgmentesen rvidteni, de fontosmegjegyeznnk azt is, hogy nem minden kp kdja alakthat t kisebb mret ure vesztesgmentesen!

Vesztesges tmrtsnl az eredeti s dekdolt kd kztt kisebb eltrsek addnak, de ezek a mdszertmegfelelo krltekintssel alkalmazva nem zavarak, vagy szmunkra nem is szlelhetoek (szlelsnkfiziolgiai korltai miatt). Ezt a mdszert nyilvnvalan kpek, hanganyagok kdjnak rvidtsreclszeru hasznlni.

3. lecke 4. oldal

Aktivits:Bizonytsuk be, hogy nem minden kp kdja rvidtheto vesztesg nlkl! (Magyarzat: vannakolyan kpek, amelyek kdja nem tartalmaz vesztesgmentes tmrtst lehetov tevo rszeket.)Igazolsvzlat: Vizsgljuk csak azokat a kpeket, amelyek kdja pontosan ezer bitbol ll. Ilyen kp pontosan


60/488

21000 darab van. tegyk fel, hogy mindegyik kdot sikerlt rvidteni. Ezer bitnl rvidebb kd sszesen21 + 22 + . . . + 2999 =

999i=12

i = 21000 2darab van, ami kettovel kevesebb, mint az sszes ezer bitbol ll.gy szksgkppen van a rvidtett kdok kztt egyforma. Ezekbol az egyforma kdokbl az eredeti kt

klnbzo kd valamelyike nem dekdolhat, gy az a kp is csak vesztesggel llthat vissza, amelynekkdjt nem tudjuk dekdolni.

Fobb vesztesgmentes tmrto algoritmusok:

LZW-algoritmus (kidolgozi: Abraham Lempel, Jacob Ziv s Terry Welch);

Huffman-kdols (kidolgozja: David Albert Huffman).

A vesztesges tmrts fontosabb algoritmusai:

DCT-kdols (az angol Discrete Cosine Transform kifejezsbol)

JPEG-tmrts (Az angol Joint Photographic Experts Group kifejezsbol. Ez egy cg neve. Ok alkottkmeg a kpek kdolsra hasznlhat egyb ms szabvnyok mellett az gynevezett JPEG szabvnyt is.)

4.1.2. Az LZW-algoritmus

Az algoritmus egy sztr felptsvel kdol gy, hogy a sztrban szereplo elemeket a tmrtendo kdban asztrbeli indexkkel helyettesti [4]. A kdols lpsei:

1. lltsunk elo egy sztrat, amely a tmrtendo kd elemi kdjait fogja tartalmazni. Az elemi kdnak azt akdszeletet, kdrszletet tekinthetjk, amibol a teljes kd sszerakhat. Szvegben egy betu.

3. lecke 5. oldal

2. Az olvassi pozcit lltsuk egyre. Ez a pozci mutatja azt, hogy a kdolsban hol tartunk.

3. Az olvassi pozcitl kezdve vegynk le a tmrtendo kdbl annyi elemi kdot, hogy a levett kdsorozatszerepeljen a sztrban, de az eggyel tbb elemi kdbl ll kdsorozat mr ne.


61/488

szerepeljen a sztrban, de az eggyel tbb elemi kdbl ll kdsorozat mr ne.

4. Helyettestsk ezt a kdsorozatot a sztrbeli sorszmmal, azaz az indexvel. Vegyk fel a sztr vgreazt kdsorozatot ha van ilyen , amelyik egy elemi kddal hosszabb, mint amit a sztrba betettnk,majd lltsuk az olvassi pozcit arra az elemi kdra, amelyikkel kiegsztettk a sztrba val felvtelheza sorozatunkat.

5. Ha nem rtnk a tmrtendo kd vgre, akkor ismteljk meg a lpseket a 3. lpstol.

6. Ha a tmrtendo kd vgre rtnk, akkor az j kd az indexekbol ll sorozat lesz.

Plda: Legyen a tmrtendo kd a kvetkezo jelsorozat: almafaalattalmavan.

Az eredeti kd (almafaalattalmavan) 18 hossz, az j kd (12314191558a617) 15 hossz, ha nem is jelentosen,de rvidebb, mint az eredeti volt.

3. lecke 6. oldal

4.8. tblzat.Az LZW tmrto algoritmus alkalmazsa

A sztr A helyettestett kd Az j kd A kdols lpsei


62/488

s e ye es e d j d do s pseindex kd megjegyzs a 1 1. lps

1 a l 2 2. lps2 l m 3 3. lps3 m a 1 4. lps4 f A kiindulsi sztr f 4 5. lps5 t a 1 6. lps6 v al 8 7. lps7 n a 1 8. lps8 al 1. bovts t 5 9. lps

9 lm 2. bovts t 5 10. lpsa ma 3. bovts al 8 11. lpsb af 4. bovts ma a 12. lpsc fa 5. bovts v 6 13. lpsd aa 6. bovts a 1 14. lpse ala 7. bovts n 7 15. lpsf at 8. bovts

g tt 9. bovtsh ta 10. bovtsi alm 11. bovtsj mav 12. bovtsk va 13. bovtsl an 14. bovts

3. lecke 7. oldal

4.1.3. A Huffman-algoritmus

A Huffman-kdols [4] fix hosszsg kdokbl (egymsutnrssal) sszerakott kdok tmrtsrehasznlatos npszeru, hatkony s viszonylag egyszeru mdszer. Az eljrs vgrehajtsa sorn tblzatot


63/488

hasznlatos npszeru, hatkony s viszonylag egyszeru mdszer. Az eljrs vgrehajtsa sorn tblzatotksztnk az egyes elemek (pl. kppontok vagy karakterek) kdjainak az elemi kdoknak elofordulsigyakorisgrl. Ez alapjn ptjk fel az j kdokat (binris jelsorozatok); vltoz hossz kdszavakathasznlva, gyakoribb jelhez rvidebb kd tartozik, mg a ritkbbakhoz hosszabb (gy rheto el a tnyleges

tmrts).A hagyomnyos kdolsi mdszerek fix hossz kdokat hasznlnak, pl. karakterekre az ACSII kdolst.

A mdszer vesztesgmentes. rdekessg, hogy a vltoz hossz kdszavak egyrtelmu visszafejtst az teszilehetov, hogy gynevezett prefix kd [4] keletkezik (egyik elemi kd sem lehet kezdoszelete semelyik msikelemi kdnak). Az tkdolst, s ezltal a tmrtst, egy tipikus moh algoritmussal vgezzk el.

4.1. definci: A moh algoritmus olyan optimummeghatroz mdszer, amelyben minden elemi lpsloklis optimumot hatroz meg abban a remnyben, hogy ezltal az sszes elemi lpst vgrehajtva a globlis

optimumhoz jutunk.

Bizonythat, hogy a Huffman-kd optimlis tmrtst ad, azaz az eredmny mr nem javthat tovbb, ill.brmely ms mdszert alkalmazva sem kaphatunk jobb tmrtst (az igazolst nem trgyaljuk). Ez aztjelenti, hogy a tmrtst megvalst moh algoritmus valban globlis optimumot llt elo. (Nem mindenmoh algoritmus szolgltat globlis optimumot!) Az, hogy a tmrts milyen mrtku lesz, nyilvn a konkrtadatsor jellegzetessgeitol fgg. Nagyon sok szablyossg, ismtlods esetn akr az eredeti mret tredkt iselrhetjk, de nem teljesen egyenletes eloszlsnl minden esetben az eredetinl rvidebb kdot kapunk.

A mdszer a tmrts elvgzshez egy binris irnytott fagrfot pt fel, mgpedig gy, hogy minden itercislpsben egy-egy farszlettel bovl a fa, amg fel nem pl.

3. lecke 8. oldal

4.2. definci: A binris fagrf egy olyan struktra, amely pontokbl s lekbol pl fel a kvetkezo szablyokszerint

i d bl k ll l i d lh ki


64/488

minden pontbl vagy ketto vagy nulla l indulhat ki;

egy pont a gykrpont kivtelvel minden pontba pontosan egy l rkezik. A gykrpontba nemrkezik l.

Azokat a pontokat, amelyekbol nem indul ki l, leveleknek nevezzk. Egyetlen pontbl is llhat a binrisfa, ebben az esetben a fnak nincs le! Az leket s pontokat megcmkzhetjk, azaz kdokkal lthatjuk eloket. Ha a fagrfot le szeretnnk rajzolni, akkor a rajzon a pontokat valamilyen skidommal, az leket vonallaljelkpezzk.

A tmrto algoritmus a kvetkezo:

1. Ksztsnk egy tblzatot a tmrteni kvnt kdban elofordul elemi kdok gyakorisgrl. Adjunk megannyi egyetlen pontbl ll fagrfot, ahny elemi kdot talltunk, s minden pontra rjuk r kdknt eztaz elemi kdot s az eloforduls gyakorisgt. Rendezzk nvekvoen sorba a fagrfokat a gykrponthozrendelt gyakorisg szerint.

2. A sorba rendezett fagrfok kzl vegyk ki az elso kettot, s ksztsnk belolk egy j fagrfot gy,hogy vesznk egy j pontot ez lesz a gykrpont , ebbol a pontbl let vezetnk mindkt fagrf

gykrpontjhoz. Bal l menjen a kisebb, jobb l menjen a nagyobb rtku gykrponthoz. Ezzel ezekmr nem lesznek gykrpontok, hiszen mindegyikbe vezet mr l. Az j pontot cmkzzk meg a ktfelhasznlt fagrf gykrpontjban lvo gyakorisgi rtkek sszegvel (ez lesz az j fagrfban lvo elemikdok gyakorisga). Az j fagrf j bal lre rjunk 0-t az j jobb lre 1-et, majd illesszk be a fagrfoksorba az j grfot gy, hogy a gyakorisg szerinti nvekvo sorrend megmaradjon. (Megjegyzs: a fagrfokszma ezzel eggyel cskken!)

3. Ha egynl tbb fagrfunk van, ismteljk meg a 2. lpst.

3. lecke 9. oldal

4. Ha csak egy fagrf maradt, akkor ennek segtsgvel megllapthatjuk az elemi kdok helyre rand jkdot. Ugyanis ha megfigyeljk, ennek az egyetlen maradk fagrfnak a levlcmkiben ppen az elemikdok vannak, s ha a gykrponttl valamelyik levlhez a grf leinek felhasznlsval elmegynk, saz rints sorrendjben felrjuk az l cmkit a kapott bitsorozat alkalmas helyettesto kdja lehet a levl


65/488

az rints sorrendjben felrjuk az l cmkit, a kapott bitsorozat alkalmas helyettesto kdja lehet a levlelemi kdjnak. Az sszes levlre felrva ezeket a kdokat, s a tmrtendo kdban ezekre lecserlve azsszes elemi kdot, az eredeti tmrebb kdjt kapjuk.

Be lehet bizonytani, hogy az j kd nem hosszabb a rginl. Ha a rgivel megegyezo hosszsg, akkor a rgikd vesztesg nlkl nem rvidtheto, tmrtheto.

Az algoritmus mukdst egy konkrt pldn mutatjuk be [1]. Egy olyan, 100 000 karakterbol ll szvegetszeretnnk tmrteni, amelyben 6-fle karakter (mondjuk a, b, c, d, e, f betuk) fordulhat elo. Az eredetikdban a karakterek kdolsra hrombites fix hosszsg kdokat hasznltunk, a keletkezett kd hossza300 000 bit. Ezen szeretnnk javtani a tmrtssel. Az egyes karakterek ezerre reduklt elofordulsi

gyakorisgt a4.9. tblzat mutatja.

4.9. tblzat.Egy szvegben elofordul betuk gyakorisga

Karakterek a b c d e f

Gyakorisg ezerben 48 12 11 15 10 4

3. lecke 10. oldal

Az eljrs pldnkra a kvetkezo ft pti fel:


66/488

Az algoritmus elso lpsnek eredmnye.

Az algoritmus msodik lpsnek elsovgrehajtsval keletkezett grfsorozat.

Az algoritmus msodik lpsnekmsodik vgrehajtsval keletkezettgrfsorozat.

Az algoritmus msodik lpsnekharmadik vgrehajtsval keletkezett

grfsorozat.


67/488

3. lecke 12. oldal

4.10. tblzat.Az LZW tmrto algoritmus alkalmazsa

Karakterek a b c d e f

Fix hossz kdsz 000 001 010 011 100 101


68/488

Fix hossz kdsz 000 001 010 011 100 101

Vltoz hossz kdsz 0 101 100 111 1101 1100

4.1.4. DCT-kdols

Vesztesges tmrtsre alkalmas algoritmus. Mukdse vzlatosan kp tmrtett kdjnak megllaptsra a kvetkezo:

Osszuk a kpet ngyzet alak blokkokra. A ngyzetek mrett a lefedett kpponttal jellemezzk. (Pl. lehet 88kppontot tartalmaz ngyzet.) Minden ngyzethez tartoz pontrendszert kln kdolunk, A ngyzet bal felsosarkban lvo pontnak mint bzispontnak valamilyen kppont kdolsra alkalmas rendszerben megadjuk

a kdjt. A tbbi pontra meghatrozzuk, hogy a bzisponttl mennyire tr el, ezt az eltrst kdolva kapjuk apont kdjt, ami rvidebb, mintha a bzispontra alkalmazott mdszer szerint kdolnnk. Ez a kdols a kples tmeneteit rontja, de megjelenhetnek a kpen a blokkhatrok is.

Minl nagyobb a blokk mrete, annl kisebb mretu kdot kapunk, de annl rosszabb lesz a visszalltott kpminosge is.

4.1.5. JPEG-tmrts

Nagyon egyszeru tmrto eljrs. Kt lpsbol ll. Elso lps egy olyan DCT-kdols, amely gy mdosul,hogy a bzisponttl csak kismrtkben klnbzo pontokat gy veszi, mintha ezek a pontok a bzisponttalmegegyezo tulajdonsgak lennnek, majd egy Huffman-tmrts kvetkezik.

3. lecke 13. oldal

4.2. Titkosts

A kriptogrfia (titkosts) tbb ezer ves tudomny (muvszet); rsok s zenetek olyan (kdolt titkosanyagba trtno) rejtjelezsvel foglalkozik, amely illetktelen szemlyek szmra megnehezti ha sikerl


69/488

jl titkostani megakadlyozza a visszafejtst. A teljes titkost mdszernek nyilvnvalan olyannak kelllennie, hogy a jogosult fogad kpes legyen viszonylag egyszeruen s egyrtelmuen visszafejteni a szveget(kriptorendszer) [4].

Szintn tbb ezer ves kapcsold konkurens trstudomny (muvszet) a kriptoanalzis, amely rejtjelezettzenetek (illetktelen) feltrsvel foglalkozik.

A kriptogrfia tipikus alaphelyzete a kvetkezo:

Kommunikci zajlik kt szereplo kztt (Anna s Bla), amelyet lehallgathat egy klso szereplo (Emil) (akommunikci manapsg tbbnyire a szmtgpek kztt zajlik, az tvitelt az internet teszi lehetov);

Emiatt az zenetklds egy kulcs segtsgvel kdolva (titkostva) trtnik (encoding Efggvny), atitkostott zenet pedig egy (msik) kulccsal visszafejtheto (decoding D fggvny);

A titkosts lehet szimmetrikus (titkos) kulcs s aszimmetrikus (nyilvnos) kulcs.

4.2.1. Szimmetrikus s aszimmetrikus kulcs titkosts

A szimmetrikus (titkos) kulcs titkostsnl a kdolshoz s a visszafejtshez hasznlt kulcs megegyezik, vagy azegyik knnyen kiszmolhat a msikbl. gy a kulcsot felttlenl titokban kell tartani, ugyanis ha valaki kls osmgis hozzfr a kulcshoz, akkor kpes az sszes korbbi zenetet dekdolni, illetve brmelyik fl nevbenzenetet hamistani.

A rgi korok titkost eljrsai (egszen az elmlt vtizedekig) mind ezen az elven alapultak. Az elso ilyeneljrs az egyszeru betueltolsos titkosts volt (az bc betuit kdoltk, s az eredeti szvegben minden betutaz bcben megtallhat kdjval helyettestettek kdols: a4.11. tblzatban, visszakdols: a 4.12.

3. lecke 14. oldal


70/488

4.2. bra.A kriptogrfia alaphelyzete

4.3. bra.Szimmetrikus kulcs titkosts

tblzatban). Ezt a titkostst azonban igen egyszeru feltrni. A ksobbi fejlettebb vltozatokban mra szvegbeli elhelyezkedstol fggoen ms s ms volt ugyanannak a karakternek a kdja. (Akr egszenbonyolult szablyok alapjn az eredeti szveg egy adott betujnek a titkostott szvegben ms s ms betu felelmeg). Br sokszor idoignyesen, de ezek a kdolsok is mind feltrhetonek bizonyultak (pl. betuk, betuprok,betuhrmasok stb. elofordulsnak vizsglatval).

3. lecke 15. oldal

4.11. tblzat. NAVIGARENECESSEEST szveg titkostsa a betuk bcbeli sorszmnak 3-mal valmegnvelsvel trtnik. Klasszikus titkost eljrs


71/488

A feladi oldal:

zenet N A V I G A R E N E C E S S E E S TBetusorszm 13 0 21 8 6 0 17 4 13 4 2 4 18 18 4 4 18 19

3-mal eltoltan 16 3 24 11 9 3 20 7 16 7 5 7 21 21 7 7 21 22

Titkostva Q D Y L J D U H Q H F H V V H H V W

4.12. tblzat. NAVIGARENECESSEEST szveg visszafejtse a betuk bcbeli sorszmnak 3-mal valcskkentsvel trtnik. Klasszikus titkost eljrs visszafejtse

A feladoldal:

Titkostott Q D Y L J D U H Q H F H V V H H V W

zenet N A V I G A R E N E C E S S E E S TBetusorszm 16 3 24 11 9 3 20 7 16 7 5 7 21 21 7 7 21 22

3-mal cskkentve 13 0 21 8 6 0 17 4 13 4 2 4 18 18 4 4 18 19

Visszafejtve N A V I G A R E N E C E S S E E S T

3. lecke 16. oldal

A mdszer (megfelelo matematikai alapokkal) napjainkban is sok esetben nagyon jl alkalmazhat (tipikusanott, ahol a klds s a fogads egy helyen trtnik), ugyanakkor ltalnos hasznlatuk nem javasolt, mivelszmtgppel viszonylag gyorsan feltrhetok.

A gyakorlati alkalmazsnl nehzsget jelent mg hogy a kulcsot az adattvitel elott valahogy (zrt mdon) el


72/488

A gyakorlati alkalmazsnl nehzsget jelent mg, hogy a kulcsot az adattvitel elott valahogy (zrt mdon) elkell juttatni egyik fltol a msikig, tovbb sokszereplos krnyezetben minden kommunikcis partnerhezklnbzo kulcsot kell hasznlni, hisz kzs kulcs esetn el tudnk olvasni egyms zeneteit.

Jelljke-vel a nyilvnos kulcsot, ezt ismeri az zenet kldoje,d-vel a privt kulcsot, amit csak a cmzett ismer.Az aszimmetrikus (nyilvnos) kulcs titkost eljrsok ltalnos jellemzoje, hogyd =e, s gyakorlatilag nemszmthat kie-bold.

4.4. bra.Aszimmetrikus kulcs titkosts

A kdols s visszafejts lpsei a kvetkezok:

Egy nyilvnosan elrheto, megbzhat forrsbl (pl. magtl a cmzettol) megszerezzk a cmzett nyilvnoskulcst;

Az zenetet kdoljuk ezzel a kulccsal, majd elkldjk a cmzettnek;

3. lecke 17. oldal

A megkapott zenetet a cmzett sajt privt kulcsval visszafejti (a kdolt zenet csak ezzel a kulccsal nyithat!),a vgeredmny az eredeti, titkostatlan szveg lesz.

A legtbb ma hasznlt kommunikcis szabvny ilyen tpus megoldst alkalmaz a biztonsgos adatcserhez.Ezen az elven alapul a digitlis alrs ksztse s ellenorzse is.


73/488

Ezen az elven alapul a digitlis alrs ksztse s ellenorzse is.

4.2.2. Az RSA algoritmus

AzRS A[4] az egyik leggyakrabban hasznlt nyilvnos kulcs algoritmus. Az elnevezs rvidts, a kifejlesztokutatk neveibol (Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman; 1978). A mdszer bemutatsa annak idejn nagyfeltunst keltett, ugyanis itt szerepelt eloszr biztonsgos, jl alkalmazhat megoldssal nyilvnos kulcs.

Az algoritmus lpsei: kulcsgenerls, rejtjelezs, visszafejts. A kvetkezokben ezeket a tevkenysgeketrszletesen is ttekintjk (bizonyos matematikai ismeretekre szksg lesz a megrtshez). A korbbiaknakmegfeleloen Ea bekdols, D a visszafejts muvelete. Felhvjuk a figyelmet arra, hogy a kdjaink bitekbolllnak, gy minden kd egy kettes szmrendszerbeli szmknt rtelmezheto, s ezzel a szmmal tzesszmrendszerbe trva minden muvelet elvgezheto!

4.2.3. Kulcsgenerls

4.3. definci: Azasbszmok akkor relatv prmek, ha lnko(a,b) = 1(azazasblegnagyobb kzs osztja1).

Hasznlni fogjuk a (n) szmelmleti fggvnyt, ami az n-nl kisebb, az n-hez relatvprm-szmok szmthatrozza meg. Pl. (2) = 1, (3) = 2, (4) = 2, (5) = 4 stb. Ha a, b relatv prmek, akkor teljesl amultiplikativitsi szably is, azaz(N) =(a) (b), ha N=a b.

Tegyk fel, hogy Bla kldi majd az zenetet Annnak o lesz a cmzett.

Anna vlaszt vletlenszeruen kt (nagy, azaz akr szzjegyu) prmszmot, p-t s q-t (itt p = q), kiszmtja azN = p qszmot. Ezek utn vlaszt egyeszmot gy, hogy1 < e < (N) = (p)(q) = (p 1)(q 1) s

3. lecke 18. oldal

lnko(e,(N)) = 1.

Anna ezutn meghatrozza azt az egyrtelmudszmot, amelyre1 < d < (N)sed = 1(mod (N)).

Adszm itt azeinverze modulo(N), a modulo muvelet (rvidtve mod) pedig az osztsi maradkot kpzi.


74/488

Ezzel a kulcsgenerls befejezodtt, az(N,e)pr lesz Anna nyilvnos kulcsa,(N,d)pedig Anna titkos kulcsa.

4.2.4. RejtjelezsOsszuk blokkokra Bla zenetnek bitekkel lert kdjt (ezt a kdot valamely ismert kdrendszerrel alaktottaki Bla). A blokkokat gy alaktsuk ki, hogy a blokk kdjnak szmrtke minden blokk esetn legyenN-nlkisebb. Jelljkm-mel egy tetszoleges blokk ltal meghatrozott szmot!

Bla ismeri Anna nyilvnos kulcst, gy a kdol fggvnyt a kvetkezokppen definilhatja: E(n) = ne (modN). Ez alapjnmtitkos kdjaE(m) =me (modN)=c. Vgezzk el minden blokkra az talaktst, a keletkezotitkos kdokat egyms utn rva megkapjuk a titkos zenetet, amit el lehet kldeni Annnak.

4.2.5. Visszafejts

Jelljkc-vel a titkos zenet egy tetszoleges blokk-kdjnak szmrtkt.

Anna a titkos kulcsa alapjn definilja aD(n) = nd (modN) fggvnyt. Ezzel ki tudja szmtani a D(c) = cd

(modN) = mszmot. Be lehet bizonytani, hogy ez a szm ppen a cltal meghatrozott titkos kd eredetikdja lesz, azaz ppen az az mszm, amelyre c = E(m), teht D(E(m)) = m. Minden blokkra elvgezve a

szmolst visszakapjuk az eredeti zenet kdjt, am

Documents

Információs rendszerek alapjai 1