UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per,
DECANA DE AMRICA)
FACULTAD DE INGENIERA ELECTRNICA, ELCTRICA Y
TELECOMUNICACIONES
CURSO : PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
PROFESOR : ING. FLAVIO CARRILLO
TRABAJO : INFORME DE LABORATORIO N 3 TEMA : ECUACIONES EN
DIFERENCIA CON COEFICIENTES CONSTANTES.
ALUMNO : ROA VALLADARES JORDAN WILMER
N MATRCULA : 11190223
LIMA - 2014
I. INTRODUCCIN
Una clase importante de sistemas discretos es aquella en la cual
la entrada y la salida estn relacionadas a travs de una Ecuacin de
Diferencias Lineal con Coeficientes Constantes. Las ecuaciones de
este tipo se utilizan para describir el comportamiento secuencial
de procesos muy diferentes, como por ejemplo, las ecuaciones de
diferencias surgen de la descripcin de la acumulacin de ahorros en
una cuenta de ahorros en una cuenta de ahorros y se pueden utilizar
tambin para describir una simulacin digital de un sistema continuo
descrito por una ecuacin diferencial. Las ecuaciones surgen con
frecuencia en la especificacin de sistemas discretos diseados para
realizar operaciones particulares en la seal de entrada. Por
ejemplo, el sistema que calcula la diferencia entre valores
sucesivos de entrada y el sistema que calcula el valor promedio de
la entrada sobre un intervalo, son descritos mediante ecuaciones de
diferencias.
II. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL* ACTIVIDADES- RESPUESTA AL
IMPULSO UNITARIOEjercicio 3.1 Analticamente hallar la respuesta
impulsional h[n] del siguiente sistema SLDIT descrito por la
ecuacin de diferencias siguiente:
(3.10)en el intervalo -10n100.
Luego utilizando Matlab, graficar y comparar con los resultados
obtenidos analticamente para h[n].
SISTEMAS RECURSIVOSEjercicio No. 3.2Utilizando, Scilab 4.1 o
Matlab 6.0 crea los vectores b y a que contengan respectivamente
los coeficientes de x[n] e y[n], de la siguiente ecuacin de
diferencias: (3.11)Tomando en consideracin la funcin de y[n]
caracterizada por la ecuacin (3.11), desarrollar los siguientes
ejercicios:a) Sabiendo que este sistema es un SDLIT, calcular 20
muestras de sus muestras impulsionales para = 1, h1[n], y para =
0.5, h2[n]. represente dichas respuestas impulsionales y a la vista
de estas grficas discuta las propiedades de causalidad y
estabilidad de ambos sistemas.
b) Calcular analticamente y[n], asumiendo condiciones iniciales
cero, y 50 muestras para:
Ahora utilizando Matlab crear un vector x[n] para los casos (I)
y (II) de acuerdo a 3.11, para 0n49. Genere los puntos dentro del
intervalo propuesto para obtener la respuesta de cada uno de los
casos, luego representarlos grficamente y compararlos con la
solucin obtenida en forma analtica.Para el caso (III) crear un
vector n[n] para TS=500 mseg, f = 1KHz, 2KHz, 4KHz, 5KHz, 8KHz y 10
KHz y 0n100 muestras. Luego obtenga los puntos de respuesta dentro
del intervalo propuesto para cada uno de los casos, representarlos
grficamente, compare los resultados obtenidos tanto en forma grfica
como analtica.
c) Ahora en el caso (IV), fijar la condicin inicial al filtro en
0.5 y asignar el valor de = 0.5. Evalu y represente la salida del
sistema. Comente las diferencias del resultado obtenido.
SISTEMAS NO RECURSIVOSEjercicio No. 3.3Sea un sistema descrito
por la ecuacin: (3.12)1. Calcular su respuesta impulsional a mano.
Utilizando la funcin obtenga dicha respuesta y dibuje con el
correcto eje de tiempos.
2. Es causal dicho sistema? Es estable?
3. Si la entrada es x[n]=3(u[n] u[n-10]), obtenga la salida y
dibjela.En el clculo de la respuesta de un sistema descrito por una
ecuacin en diferencias puede resultar tedioso. El objetivo de esta
seccin no es, por lo tanto, presentar un procedimiento eficiente
para el clculo de esa respuesta, sino mostrar la relacin entre las
propiedades de linealidad, invarianza en el tiempo, causalidad y
estabilidad de un sistema discreto en funcin de los coeficientes y
condiciones iniciales que lo describen. En el tema correspondiente
al estudio de la Transformada Z se presentar un procedimiento mucho
ms sencillo para determinar la respuesta requerida.
ESTABILIDAD DE UN SISTEMA SDLITPara determinar la estabilidad
SDLIT, lo podemos realizar conociendo h[n] para todo n y aplicar la
condicin de estabilidad calculando S utilizando la siguiente
expresin:
El sistema ser estable si S es un valor finito o dicho de otra
manera la suma converge a un valor finito.Ejercicio 3.4Evaluar la
estabilidad para los sistema SDLIT de las Ec(3.10), (3.11) y (3.12)
utilizando las respuestas impulsionales de cada una de ellas.III.
Resultados
Ejercicio No. 3.1 a=[1,-1.8*cos(pi/16),0.81];b=[1,0.5];x=
[zeros(1,10) 1 zeros(1,100)];n=[-10:100];y =
filter(b,a,x);stem(n,y)title('Respuesta Impulsional
h[n]');ylabel('h[n]'),xlabel('n')
Figura 3.1.Ejercicio No. 3.2
a) a1=[1,- 1];b1=[1];x= [zeros(1,10) 1
zeros(1,10)];n=[-10:10];y1 = filter(b1,a1,x); a2=[1,-
0.5];b2=[1];y2= filter(b2,a2,x);
figure(1)stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h1[n], cuando
alfa=1')ylabel('h1[n]'), xlabel('n')
figure(2)stem(n,y2)title('Respuesta Impulsional h2[n], cuando
alfa=0.5')ylabel('h2[n]'), xlabel('n')
Figura 3.2.a.A.
Figura 3.2.a.B.
b)
% (I)
%Ejercicio 3.2.b cuando alfa=1 y x(n)=impulso
unitarioa=[1,-1];b=[1];x= [zeros(1,0) 1
zeros(1,49)];n=[0:49];figure(1)y =
filter(b,a,x);stem(n,y)title('Respuesta impulsional h[n], cuando
alfa=1');ylabel('h[n]'), xlabel('n') %Ejercicio 3.2.b cuando
alfa=0.5 y x(n)=impulso unitarioa=[1,-0.5];b=[1];x= [zeros(1,0) 1
zeros(1,49)];n=[0:49];figure(2)y =
filter(b,a,x);stem(n,y)title('Respuesta impulsional h[n], cuando
alfa=0.5');ylabel('h[n]'), xlabel('n')
Figura 3.2.b.I.A.
Figura 3.2.b.I.B. % (II) %Ejercicio 3.2.b cuando alfa=1 y x(n)=
escaln unitarioa=[1,-1];b=[1];x= [zeros(1,10)
ones(1,41)];n=[-10:40];y =
filter(b,a,x);figure(1)stem(n,y)title('Respuesta impulsional h[n],
cuando alfa=1');ylabel('h[n]'), xlabel('n') %Ejercicio 3.2.a.
cuando alfa=0.5 y x(n)= escaln unitarioa=[1,-0.5];b=[1];x=
[zeros(1,10) ones(1,41)];n=[-10:40];y =
filter(b,a,x);figure(2)stem(n,y)title('Respuesta impulsional h[n],
cuando alfa=0.5');ylabel('h[n]'), xlabel('n')
Figura 3.2.b.II.A.
Figura 3.2.b.II.B. % (III) %Ejercicio 3.2.b cuando alfa=1 y
x[n]= cos(pi*f*Ts*n)a=[1,-1];b=[1];n=0:100;F=[1000 2000 4000 5000
8000 10000]x1= cos(pi*F(1)/200000*n).*[ones(1,101)];x2=
cos(pi*F(2)/200000*n).*[ones(1,101)];x3=
cos(pi*F(3)/200000*n).*[ones(1,101)];x4=
cos(pi*F(4)/200000*n).*[ones(1,101)];x5=
cos(pi*F(5)/200000*n).*[ones(1,101)];x6=
cos(pi*F(6)/200000*n).*[ones(1,101)]; figure(1)y1 =
filter(b,a,x1);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=1KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(2)y2 =
filter(b,a,x2);stem(n,y2);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=2KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(3)y3 =
filter(b,a,x3);stem(n,y3);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=4KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(4)y4 =
filter(b,a,x4);stem(n,y4);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=5KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(5)y5 =
filter(b,a,x5);stem(n,y5);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=8KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(6)y6 =
filter(b,a,x6);stem(n,y6);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=10KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]')
Figura 3.2.b.III.A.
%Ejercicio 3.2.b cuando alfa=0.5 y x[n]=
cos(pi*f*Ts*n)a=[1,-0.5];b=[1];n=0:100;F=[1000 2000 4000 5000 8000
10000]x1= cos(pi*F(1)/200000*n).*[ones(1,101)];x2=
cos(pi*F(2)/200000*n).*[ones(1,101)];x3=
cos(pi*F(3)/200000*n).*[ones(1,101)];x4=
cos(pi*F(4)/200000*n).*[ones(1,101)];x5=
cos(pi*F(5)/200000*n).*[ones(1,101)];x6=
cos(pi*F(6)/200000*n).*[ones(1,101)]; figure(1)y1 =
filter(b,a,x1);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=1KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(2)y2 =
filter(b,a,x2);stem(n,y2);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=2KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(3)y3 =
filter(b,a,x3);stem(n,y3);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=4KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(4)y4 =
filter(b,a,x4);stem(n,y4);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=5KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(5)y5 =
filter(b,a,x5);stem(n,y5);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=8KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]') figure(6)y6 =
filter(b,a,x6);stem(n,y6);title('Respuesta Impulsional h[n], cuando
f=10KHz')xlabel('n'),ylabel('h[n]')
Figura 3.2.b.III.B.
c) % (IV) %Ejercicio 3.2.c cuando alfa=0.5 y x(n)=
exp(-0.5n)*u[n]a=[1,-0.5];b=[1];n=0:100;x=
exp(-0.5*n).*[ones(1,101)];y =
filter(b,a,x);stem(n,y);title('Respuesta Impulsional
h[n]');xlabel('n'),ylabel('h[n]')
Figura 3.2.c. Ejercicio No. 3.3
1.
a1=[1];b1=[-2,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20];x=
[zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 = filter(b1,a1,x);
stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional h[n] - Sistema no
Recursivo')ylabel('h[n]'), xlabel('n')
Figura 3.3.1.
2. El sistema no es causal, pues extiendo el sistema
tenemos:
Y[n] + 2x[n+2] 20x[n-20] = x[n-1] + 2x[n-2] + 3x[n-3] + 4x[n-4]
+ 5x[n-5] + 6x[n-6] + 7n[n-7] + 8n[n-8] + 9x[n-9] + 10x[x-10] +
11x[n-11] + 12x[n-12] + 13x[n-13] + 14x[n-14] + 15x[n-15] +
16x[n-16] + 17n[n-17] + 18n[n-18] + 19x[n-19]
Y observamos que los valores de la entrada del sistema, depende
de los valores pasados y futuros, y el concepto de un sistema
causal, es que slo dependa de presentes y pasados, lo cual no es el
caso cuando observamos la entrada: x[n-1], y de las dems.
3.
a1=[1];b1=[-2,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20];n=[-40:40];x=zeros(size(n));x(n>=0
& n 0, la respuesta impulsional ser aquella que nos d a conocer
las caractersticas del sistema, ya sea casual, lineal o estable,
como se puede apreciar en la Figura 3.1., el sistema del Problema
No. 3.1 no es estable pues, no es acotado por la derecha, adems no
es causal, pues depende slo de sus valores futuros y
presentes.Ejercicio No. 3.2 a) La respuesta impulsional h1[n],
cuando = 1, es la funcin y la respuesta impulsional h2[n], cuando =
0.5, es la funcin .b) Para los cuatros sistemas propuestos al
variar la funcin de x[n], se observa en las grficas que todas son
acotadas por la izquierda mas no por la derecha, en consecuencia
tenemos sistemas no estables. c) De manera similar que en la parte
b) se observa en (IV).Ejercicio No. 3.31. Es un Sistema No
Recursivo, donde N = 0, se observa a travs del grfico de la Figura
3.3.1., que es un sistema estable, acotado por derecha e
izquierda.2. Extendiendo el Sistema se aprecia que estamos tratando
a un sistema no causal y estable.3. Dndole otro valor a x[n], se
aprecia que este nueva asignacin es estable, por lo cual al sistema
completo tambin le dar un carcter estable.Ejercicio No. 3.4En esta
parte del laboratorio se estudi la estabilidad de los sistemas
propuestos mediante sus grficas y las tablas de valores de los
puntos del sistema se pude concluir eso.
VI. CuestionarioPara los sistemas discretos propuestos
utilizando la grfica de respuesta impulsional y de frecuencia de
cada uno de ellos, analizar las propiedades de linealidad,
invarianza en el tiempo, causalidad y estabilidad.
VII. Desarrollo del Cuestionario
1) Respuesta
Impulsional:a1=[1,0.13,0.52,0.3];b1=[0.16,-0.48,0.48,-0.16];x=
[zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 =
filter(b1,a1,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional
h1[n]')ylabel('h1[n]'), xlabel('n')
Respuesta en
Frecuencia:a=[1,0.13,0.52,0.3];b=[0.16,-0.48,0.48,-0.16];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y
= filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia
g1[n]');ylabel('g1[n]'), xlabel('n')
2) Respuesta Impulsional:a1=[1,0,-0.268];b1=[0.634,0,-0.634];x=
[zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 =
filter(b1,a1,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional
h2[n]')ylabel('h2[n]'), xlabel('n')
Respuesta en
Frecuencia:a=[1,0,-0.268];b=[0.634,0,-0.634];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y
= filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia
g2[n]');ylabel('g2[n]'), xlabel('n')
3) Respuesta Impulsional:a1=[1,0,0.268];b1=[0.634,0,0.634];x=
[zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 =
filter(b1,a1,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional
h3[n]')ylabel('h3[n]'), xlabel('n')
Respuesta en
Frecuencia:a=[1,0,0.268];b=[0.634,0,0.634];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y
= filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia
g4[n]');ylabel('g4[n]'), xlabel('n')
4) Respuesta Impulsional:a1=[10,-5,1];b1=[1,-5,10];x=
[zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 =
filter(b1,a1,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional
h4[n]')ylabel('h4[n]'), xlabel('n')
Respuesta en
Frecuencia:a=[10,-5,1];b=[1,-5,10];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y
= filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia
g4[n]');ylabel('g4[n]'), xlabel('n')
5) Respuesta Impulsional:a=[1,-0.833,1.67];b=[0,0.33];x=
[zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 =
filter(b,a,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional
h5[n]')ylabel('h5[n]'), xlabel('n')
Respuesta en
Frecuencia:a=[1,-0.833,1.67];b=[0,0.33];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y
= filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia
g5[n]');ylabel('g5[n]'), xlabel('n')
6)
Con T=10;
Respuesta Impulsional:a=[1];T=input('ingrese el valor del vector
T : ');fs = 2;tmax=100;tmin=0;w = (1/fs);ts = [tmin:1/fs:-w 0
w:1/fs:tmax];x =[zeros(1,(abs(tmin)*fs)) 1
zeros(1,(abs(tmax)*fs))];
n=0:100;r=T.*n+2*T;m=T.*n-5*T;k=length(m);b=zeros(k);b=r;y =
filter(b, a, x); stem(y);title('Respuesta Impulsional
h6[n]');ylabel('h6[n]'),xlabel('n')
Respuesta en Frecuencia:a=[1];T=input('ingrese el valor del
vector T : ');
n=0:100;ts=0.5;f=1000;r=T.*n+2*T;m=T.*n-5*T;x=cos(pi*f*ts.*n);
k=length(m);b=zeros(k);b=r;y = filter(b, a, x);
stem(y);title('Respuesta en frecuencia
g6[n]');ylabel('h6[n]'),xlabel('n')
7) Respuesta Impulsional:a=[1];b=[2];x= [zeros(1,30) 1
zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 =
filter(b,a,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional
h7[n]')ylabel('h7[n]'), xlabel('n')
Respuesta en
Frecuencia:a=[1];b=[2];n=-30:30ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y =
filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia
g7[n]');ylabel('g7[n]'), xlabel('n')
8) Con: T=10 y s=1
Respuesta Impulsional:a=[1];T=input('ingrese el valor del vector
T : ');s=input('ingrese el valor del vector a enter 0 y 1 :
');%IMPULSOfs = 2;tmax=100;tmin=0;w = (1/fs);ts = [tmin:1/fs:-w 0
w:1/fs:tmax];x =[zeros(1,(abs(tmin)*fs)) 1
zeros(1,(abs(tmax)*fs))];%fin de
impulson=0:100;m=n.*T+T;k=length(m);b=zeros(k);b=s;y = filter(b, a,
x);stem(y);title('Respuesta Impulsional
h8[n]');ylabel('h8[n]'),xlabel('n')
Respuesta en Frecuencia:a=[1];T=input('ingrese el valor del
vector T : ');s=input('ingrese el valor del vector a enter 0 y 1 :
');n=0:100;ts=0.5;f=1000;m=T.*n-5*T;x=cos(pi*f*ts.*n);k=length(m);b=zeros(k);b=s;y
= filter(b, a, x);stem(y);title('Respuesta en Frecuencia
h8[n]');ylabel('h8[n]'),xlabel('n')
9) Con: T=10 y s=0.95
Respuesta Impulsional:a=[1];T=input('ingrese el valor del vector
T : ');s=input('ingrese el valor del vector a enter 0 y 1 :
');w1=T*pi;tm=2*T;fs = 2;tmax=100;tmin=0;w = (1/fs);ts =
[tmin:1/fs:-w 0 w:1/fs:tmax];x =[zeros(1,(abs(tmin)*fs)) 1
zeros(1,(abs(tmax)*fs))];%fin de
impulson=0:100;s=sin(T.*n*w1*tm);m=n.*T+T;k=length(m);b=zeros(k);b=s;y
= filter(b, a, x);stem(y);title('Respuesta Impulsional
h9[n]');ylabel('h9[n]'),xlabel('n')
Respuesta en Frecuencia:a=[1];T=input('ingrese el valor del
vector T : ');s=input('ingrese el valor del vector a enter 0 y 1 :
');w1=T*pi;tm=2*T;n=0:100;ts=0.5;f=1000;m=T.*n-5*T;x=cos(pi*f*ts.*n);s=sin(T.*n*w1*tm);k=length(m);b=zeros(k);b=s;y
= filter(b, a, x);stem(y);title('Respuesta en Frecuencia
h9[n]');ylabel('h9[n]'),xlabel('n')
10) Respuesta Impulsional:a=[1];b=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,1];x=
[zeros(1,30) 1 zeros(1,30)];n=[-30:30];y1 =
filter(b,a,x);stem(n,y1);title('Respuesta Impulsional
h10[n]')ylabel('h10[n]'), xlabel('n')
Respuesta en
Frecuencia:a=[1];b=[1,0,0,0,0,0,1,0,0,1];n=-30:30;ts=0.5;f=5000;x=cos(pi*f*ts.*n);y
= filter(b, a, x);stem(n,y);title('Respuesta en frecuencia
g10[n]');ylabel('g10[n]'), xlabel('n')
VIII. Conclusiones y Recomendaciones
El estudio de las ecuaciones en diferencias contribuye a que el
estudiante aborde con menos dificultad en los sistemas discretos.
Adems estos sistemas tienen la ventaja de ser modelos ms ajustados
a la realidad y nos da a conocer las caractersticas de los
diferentes sistemas, a travs de sus respuestas impulsionales y en
frecuencia, sus grficas darn observar si son causales, lineales,
estables, etc.Los sistemas continuos son una alternativa para la
solucin de los problemas prcticos que no tienen respuesta en
sistemas discretos, la investigacin que se puede hacer directamente
en ecuaciones en diferencias por ejemplo puede permitir encontrar
nuevas soluciones comnmente representadas en modelos continuos.
IX. BibliografaSeales y Sistemas. Alan V. Oppenheim y Alan S.
Willsky; Prentice Hall, segunda edicin. 1997.
