REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE- RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJIAS”

LABORATORIO DE DINAMICA DE MAQUINAS

SECCION # 01

Vibraciones Forzadas Amortiguadas

INTEGRANTES:

Rey Deyvison 200610573

Marcano Francisco 20010514

Caracas, Marzo de2011

INTRODUCCION

En los sistemas mecánicos sometidos a una vibración forzada amortiguada su

respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Fuente

comúnmente de excitación armónica son el desbalance en maquinas rotativas,

fuerzas producidas por maquinas reciprocantes o el movimiento de la maquina

misma.

Este tipo de movimiento es más usado y que se encuentra generalmente en los

sistemas mecánicos de aquí su importancia en el estudio de esta practica.

OBJETIVO

El objetivo de esta practica es el de comprobar la ecuación que gobierna las

vibraciones forzadas.

MARCO TEORICO

Vibraciones Forzadas:

Las vibraciones forzadas son aquellos movimientos continuos o periódicos que

poseen una fuente de excitación que impide el descenso o la atenuación del

movimiento.

Las vibraciones forzadas son frecuentes en sistemas de ingeniería. Son

comúnmente producidas por desbalances en máquinas rotatorias, las vibraciones

forzadas pueden ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún

punto del sistema.

Cuando un sistema con un grado de libertad con amortiguamiento viscoso,

excitado por una fuerza armónica Fosent (fig.), su ecuación de movimiento es:

mX´´ + CX´ + KX = FoSent Ec.1

K C

KX CX

FoSent

La solución de esta ecuación consta de dos partes, la función complementaria,

que es la solución de la homogénea y la solución particular es una oscilación

estacionaria de la misma frecuencia de la excitación. Podemos suponer que la

solución particular es de la forma:

x = XSen(t - ) Ec.2

En donde la X es la amplitud de la oscilación y es la fase del desplazamiento con

respecto a la fuerza excitatriz.

La amplitud y la fase en la ecuación anterior se calculan sustituyendo la Ec. 2 en la

ecuación diferencial 1. Recordando que en el movimiento armónico las fases de la

velocidad y aceleración están adelante del desplazamiento en 90º y 180º

respectivamente, los términos de la ecuación diferencial se pueden desplegar

gráficamente, como se ve fácilmente en la (fig.) se tiene que:

Ec 3 y Ec 4

m2X

cX

Fo

MASAM

MASA M

t X

KX

Relación Vectorial Para Vibración Forzada Con Amortiguamiento.

Expresamos ahora las ecuaciones 3 y 4 en forma adimensional que permite una

concisa representación gráfica de estos resultados. Dividiendo numerador y

denominador de las ecuaciones 3 y 4 por K, obtenemos.

Ec.5

Ec.6

Las expresiones de arriba pueden expresarse en términos de las cantidades

siguientes:

n = K/m ; Frecuencia Natural De La Oscilación No Amortiguada.

C c = 2mn ; Amortiguamiento Critico.

= C/C c ; Factor De Amortiguamiento.

Las expresiones no dimensionales de amplitud y fase quedan como:

Ec.7

Ec.8

Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional XK/Fo y la fase son

funciones solamente de la razón de frecuencia /n y del factor de

amortiguamiento .

En resumen podemos escribir la ecuación diferencial y su solución completa,

incluyendo el término transitorio como:

Ec.9

Ec.10

Vibración Debida Al Desbalanceo En La Rotación.

Las fuerzas de entrada que excitan el movimiento vibratorio se originan a

menudo por el desbalanceo en la rotación. Tal desbalanceo en la rotación existe si

el centro de masa del cuerpo rígido rotatorio y el centro de rotación no coinciden.

En la siguiente fig. Se muestra una máquina desbalanceada en reposo sobre un

montaje anti – choques. Supóngase el rotor está girando a una velocidad

constante de (rad/seg) y que la masa desbalanceada m esta localizada a una

distancia r del centro de rotación. La masa desbalanceada producirá una fuerza

centrifuga de magnitud m2r.

Masa total M

K C X

En el presente análisis, limitamos el movimiento a la dirección vertical solamente,

aun cuando el desbalanceo en la rotación produzca la componente horizontal de la

fuerza. La componente vertical de esta fuerza, m2rSent actúa sobre los

cojinetes y es transmitida a la cimentación, causando de este modo que la

máquina vibre excesivamente.

Supongamos que la masa total del sistema M, la cual incluye la masa

desbalanceada m. Aquí consideramos solamente el movimiento vertical y

medimos el movimiento vertical X desde la posición de equilibrio en ausencia de la

fuerza de excitación.

Entonces, la ecuación de movimiento del sistema se hace:

Ec.11

Donde P(t) es la fuerza aplicada al sistema y esta dada por:

Ec.12

Al tomar transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación, suponiendo

cero las condiciones iniciales, tenemos que:

Ec.13

ó bien:

Ec.14

La función transferida senoidal:

Ec.15

Para la función de excitación P(t), la salida en estado permanente se obtiene de la

ecuación 2 como:

En esta ultima ecuación, si dividimos el numerador y el denominador de la

amplitud y los correspondientes al ángulo de fase por K y sustituimos K/M = n2 y

C/M = 2n en el resultado, la salida en estado permanente:

Ec.16

De esta ecuación vemos que la amplitud de la salida en estado permanente se

hace grande cuando el factor de amortiguamiento relativo es pequeño y que la

frecuencia de excitación esta próxima a la frecuencia natural n.

Vibraciones forzadas amortiguadas:

Si consideramos un sistema masa-amortiguador-resorte, sometido a la acción de

una fuerza exterior f(t), que se llamará la excitación. Esta fuerza puede producirse

por la acción de cualquier mecanismo ligado a la masa m. Si se miden el

desplazamiento a partir de la posición de equilibrio estática del sistema, la

ecuación del movimiento será:

m x + c x + k x = f(t)

Ahora bien, en general esta fuerza es una función cualquiera de tiempo, de tipo

periódico, la cual es generada por un sistema ajeno al sistema masa-

amortiguador-resorte.

Oscilaciones forzadas:

Un problema de gran importancia es aquel de las vibraciones de un oscilador, esto

es, las vibraciones que resultan cuando aplicamos una fuerza oscilatoria externa a

una partícula sometida a una fuerza elástica. Esto sucede, por ejemplo, cuando

colocamos un vibrador en una caja resonante y forzamos las paredes de la caja (y

el aire dentro), a oscilar, o cuando las ondas electromagnéticas, absorbidas por

una antena, actúan sobre el circuito de nuestro radio o nuestra televisión,

produciendo oscilaciones eléctricas forzadas.

Sea F = F0coswft la fuerza oscilante aplicada, siendo su frecuencia angular wf.

Suponiendo que la partícula está sometida a una fuerza elástica -kx y a una fuerza

de amortiguamiento -cv, su ecuación de movimiento es:

Realizando las sustituciones y ; tenemos:

(1)

la cual si suponemos: y

Puede escribirse en la forma:

(2)

Luego resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene que la solución será

(3)

Donde, por conveniencia, se ha dado un signo negativo a la fase inicial Φ. La

sustitución directa en la ecuación demuestra que será satisfactoria si la amplitud

esta dada por:

(4)

(5)

Nótese que tanto la amplitud la amplitud A como la fase inicial Φ no son ya

constantes arbitrarias, sino cantidades fijas que dependen de la frecuencia wf de

la fuerza aplicada. Matemáticamente esto significa que hemos obtenido una

solución "particular" de la ecuación diferencial. Donde (3) indica que las

oscilaciones forzadas no están amortiguadas, pero tienen amplitud constante y

frecuencia igual a aquella de la fuerza aplicada. Esto significa que la fuerza

aplicada supera a las fuerzas de amortiguamiento, y proporciona la energía

necesaria para mantener las oscilaciones.

La amplitud A está representada en función de la frecuencia wf para un valor dado

c. La amplitud tiene un máximo pronunciado cuando el denominador de la

ecuación (4) tiene su valor mínimo. Esto ocurre para la frecuencia wA, dada por

(6)

ANALISIS DIMENSIONAL Y FORMULAS

- K = constante del resorte [ New/m]

; Donde:

d = diámetro del alambre del resorte (cm)

G = modulo de elasticidad al corte = 8.1x105 Kgf/ cm2

D = diámetro del resorte (cm)

N = numero de espiras del resorte

- n = frecuencia de trabajo [1/seg] o [RPM]

- = densidad del material [Kgm/m3] = m/v

- V = volumen [cm3]

- Frecuencia natural (Wn)

Wn =

Donde:

n = frecuencia de trabajo [1/seg] o [RPM]

mv = masa de la viga[Kg]

M = masa del motor y sus accesorios[Kg]

a y b = longitudes [cm]

- Masa total (Mt)

Donde

MT = masa del resorte [New/m]

M = masa del motor y sus accesorios [ Kg]

a y b = longitudes [cm]

- Constantes de Amortiguamiento (C)

C = 2 Mt Wn =

Donde:

Mt = masa total [Kg]

Wn = frecuencia natural [1/seg]

= decremento logarítmico

PROCEDIMIENTO

1) Se procedió a montar el sistema mostrado en la fig.

Mm V

c

2) Se midieron todas las dimensiones de la viga y del resorte, el espesor del disco de aluminio y el diámetro del agujero y “e”

3) Para tres valores distintos de “a” se hizo vibrar el sistema; primero libremente y después acoplando el sistema de amortiguamiento; se procedió a graficar cada una de las vibraciones y se medio la frecuencia natural del sistema.

da

b

K

4) Utilizando el sistema de amortiguamiento con el último valor de “a”, se procedió a girar el motor 0,75; 0,9; 1; 1,2 y 1,5 veces la frecuencia natural y graficamos cada unos de los movimientos.

CALCULOS Y RESULTADOS

1.- Se tomaron las medidas del resorte, disco de aluminio y viga del sistema:

Resorte

N=16 espiras

Diámetros del resorte (D)= 4.5 cm

Diámetro del alambre (d )= 0.33 cm

Viga

Largo =755 mm 660 mm = 66cm

Ancho=25,7mm=2.57 cm

Espesor=12,7 mm=1,27 cm

Disco de Aluminio

Diámetro del disco =151.10mm

Diámetro el agujero = 31.65 mm

Espesor (t) =0.65 cm

e’ = 0.4 cm

Tambor:

Longitud de la circunferencia (Lc) = 29.2 cm

Tiempo en dar una vuelta = 16 seg

Longitudes b, d (constante ) y a variable

a1 = 24 cm a2= 33,5 cm a3= 39,1 cm

b = 66 cm

d = 12 cm

Relación de transmisión:

Numero de Dientes Disco de Aluminio = 72

Numero de Dientes Eje del Motor = 22

Relacion de transmisión = RT = 72/22 = 3,27

Calculo de la velocidad del tambor (Vtambor):

Tiempo promedio en dar una vuelta:

TP = 15.96 seg

Vtambor = Lc/Tp = 292mm/ 16seg = 18.25 mm/seg

2.- Con d=0 y para tres valores diferentes de a, calcular Wn, M y Mt

Calculo de la constante de rigidez del resorte (K)

K = (d4 G)/(8 D3 N) =

K = [(0.32 cm)4 8.1x105Kgf/cm2]/(8 (4.45 cm)3 16)

K = 0.7529 Kgf/cm (9,81New/1Kgf)(100cm/1m) K = 738,5949 Kg/seg2

Calculo de la masa de la viga

Densidad del acero acero =7.78 Kg/dm3

Vviga =largo x ancho x espesor=66 cm x 2,5 cm x 1,29 cm=212,85 cm3=0,00021 m3

luego, = mviga/Vviga mviga= Vviga x = 0,00021 m3 x 7780 Kg/m3

mviga = 1,66 Kg

Calculo de la frecuencia natural del sistema sin amortiguamiento (Wn)

De las gráficas obtenidas en el laboratorio para las vibraciones sin

amortiguamiento para cada valor de “a”, se mide la distancia que tardo en describir

un ciclo.

Para a1 = 24 cm x1 = 5 mm / ciclo

Wn = Vtambor/x1 = (18.25 mm /seg)/(5mm/ciclo) = 3,65 ciclo / seg

Wn =( 3.65 ciclos / seg ) (2 rad/ciclo) = 22,93 rad/seg

Wn = (3.65 ciclos/seg)(60seg/min) = 219 rpm

Para a2 = 33,5 cm x2 = 6 mm / ciclo

Wn = Vtambor/x2 = (18.25 mm /seg)/(6mm/ciclo) = 3,041 ciclo/seg

Wn =( 3.041 ciclos / seg ) (2 rad/ciclo) = 19,107 rad/seg

Wn = (3.041 ciclos/seg)(60seg/min) = 182,46 rpm

Para a3 = 39,1 cm x2 = 6,5 mm / ciclo

Wn = Vtambor/x2 = (18.25 mm /seg)/(6.5 mm/ciclo) = 2,8076 ciclo/seg

Wn =( 2.8076 ciclos / seg ) (2 rad/ciclo) = 17,64 rad/seg

Wn = (2.8076 ciclos/seg)(60seg/min) = 168,456 rpm

De la ecuación de frecuencia natural despejamos el valor de M para calcularlo,

con cada uno de los valores de “a”.

M = (b/a)2(K/Wn2 – mviga/3)

Para a1 = 24 cm

M = [(66cm)/(24cm)]2 {[(738,59 kg/seg2)/22,93 1/seg2]-1,66 Kg/3} = 6,43 Kg

Para a2 = 33,5 cm

M = [(66cm)/(33,5cm)]2 {[(738,59 kg/seg2)/19,107 1/seg2]-1,66 Kg/3} = 5,70 Kg

Para a3 = 39,1 cm

M = [(66cm)/(39,1cm)]2 {[(738,59 kg/seg2)/ 17,64 1/seg2]-1,66 Kg/3} = 5,18 Kg

Calculo de la masa total (Mt) para cada uno de los valores de “A”.

Mt =( mviga b2 )/3a 2 + M

Para a1 = 24 cm

Mt1 =[(1,66 Kg ) (66cm)2] / 3 (24cm)2 + 6,43 Kg

Mt1 = 10,61 Kg

Para a2 = 33,5 cm

Mt2 =[(1,66 Kg ) (66cm)2] / 3(33,5cm)2 + 5,70 Kg

Mt2 = 7,847 Kg

Para a3 = 39,1 cm

Mt3 =[(1,66 Kg ) (66cm)2] / 3(39,1cm)2 + 5,18 Kg Mt3 = 6,75 Kg

3.- Conectado C , Calcular las constantes de amortiguamiento ( C ), para cada

uno de los valores de a

C = 2 Mt Wn

Donde es el decremento logarítmico el cual es la relación de amplitudes, en las

gráficas de la vibración con amortiguamiento

Para a1 = 24 cm

Decremento logarítmico:

1 = ln ( 8,5/8) = 0.0606

2 = ln ( 7/6,5) = 0.0741

3= ln (5/4,5) = 0.1053

Promedio del decremento logaritmico

m = (1 +2 +3 ) / 3 = 0.08

C = 2 *10,61 Kg * 22.93(1/seg) * [(1/1+(2/0.08)2]1/2

C = 6,1947 Kg / seg

Para a2 = 33,5 cm

Decremento logarítmico:

1 = ln (15/14,5) = 0,0339

2 = ln (13/12,5) = 0,0392

3= ln (7,5/6,5)= 0,1431

Promedio

m = (1 +2 +3 ) / 3 = 0.0720

C = 2 *7,847 Kg * 19,107(1/seg) * [(1+(2/0,0720)2]1/2

C = 3,4359 Kg / seg

Para a3 = 39,1 cm

Decremento logarítmico:

1 = ln (13,3/13) = 0,0228

2 = ln (10,5/10) = 0,0487

3= ln (4/3)= 0,2876

Promedio

m = (1 +2 +3 ) / 3 = 0,1197

C = 2 *6,75 Kg * 17,64(1/seg) * [(1+(2/0,1197)2]1/2

C = 4,5359 Kg / seg

4.- Con el sistema 3, osea a = 39,1 cm, girar el motor a 0,75 – 0,9 – 1 – 1,1 – 1,2 –

1,5 veces la frecuencia natural y graficar XK/Fo vs. r

= c / Cc

Cc = 2MtWn

Para el sistema 3 con el valor de a3 = 39

Cc = 2*6,75 Kg *17.64(rad/seg) = 238,14 Kg/seg

= c/Cc = 4,53(Kg/seg)/238,14(Kg/seg) = 0,019022

Calculo de XK/Fo practico para diferentes valores de r :

- Calculo de la masa del disco de aluminio

Disco con hueco

A = (/4) [ (D2 – d2)] = (/4) [ (15,2)2 – (3.1)2)] cm2

A = 173,9111 cm2

V = A * espesor = 173,9111 cm2 * 0,65 cm = 113,0422 cm3

Como la densidad del aluminio es = 2700Kg / m3

Mcon hueco = 113,0422 cm3 * 2700(Kg/m3) (1m3/106 cm3)

Mcon hueco = 0,3052 Kg

Disco sin hueco

A = (/4) [ (D2 )] = (/4) [ (15.2)2 ] cm2

A = 181,4588 cm2

V = A * espesor = 181,4588 cm2 * 0,65 cm = 117,9482 cm3

Como la densidad del aluminio es = 2700Kg / m3

Msin hueco = 117,9482 cm3 * 2700(Kg/m3) (1m3/106 cm3)

Msin hueco = 0,3184 Kg

Mdisco = msinhueco –mconhueco = (0,3184 – 0,052)Kg

mdisco = 0,0132 Kg

- Calculo de la excentricidad “e”

e = [ (D – d ) /2 – e’ ] = [ (15,2-3,1)/2 –0.4]

e = 7,5625 cm

- Calculo de Fo

Fo = mew2 = 0,0132 Kg * 7,5625 cm * (13,23 rad/seg)2(1m/100cm)

Fo = 0,1747 New

El valor de X para sacar XK/Fo se calcula por medio de la siguiente formula

Valores Obtenidos Teoricos

R = W/WN XK/FO

0.75 2,2808

0.9 5,1666

1 26,1574

1.1 4,6579

1.2 2,2456

1.5 0,7851

R = W/WN W(RAD/SEG) FO (NEW) X(M) XK/FO

(PRACTICO)

0.75 13.23 0,1747 0,002 8,4555

0.9 15,876 0,2516 0,005 14,6778

1 17,64 0,3106 0,009 21,4015

1.1 19,404 0,3758 0,003 5,8961

1.2 21,168 0,4473 0,002 3,3024

1.5 26,46 0,6989 0.0015 1,5851

Tabla de datos

R = W/WN XK/FO

(PRACTICO)

XK/FO

(TEORICO)

0.75 8,4555 2,2808

0.9 14,6778 5,1666

1 21,4015 26,1574

1.1 5,8961 4,6579

1.2 3,3024 2,2456

1.5 1,5851 0,7851

Graficas de XK/Foteorico y XK/Fopractico vs. R

Cálculos de los errores absolutos y relativos con respecto a los valores de

XK/Fo teóricos y práctico

Para r = 0.75

Error absoluto

| 2,280 – 8,455| = 6,175

2,280 6,175

error relativo

(6,175/ 2,280) 100 = 270,83

Para r = 0.9

Error absoluto

| 5,166 – 14,677| = 9,511

5,166 9,511

error relativo

(9,511 / 5,166) 100 = 184,10

Para r = 1

Error absoluto

| 26,157 – 21,401| = 4,756

26,157 4,756

error relativo

(4,756 / 26,157) 100 = 18,18

Para r = 1.1

Error absoluto

| 4,657 – 5,896| = 1,239

4,657 1,239

error relativo

(1,239 / 4,657) 100 = 26,60

Para r = 1.2

Error absoluto

| 2,245 – 3,302| = 1,057

2,245 1,057

error relativo

(1,057 / 2,245) 100 = 47,08

Para r = 1.5

Error absoluto

| 0,785 – 1,585| =0,8

0,785 0,8

error relativo

(0,8 / 0,785) 100 = 101,91

causas del posible error

1- Errores humanos al realizar las mediciones. En estas fallas también se

incluyen los fallos por falta de una técnica adecuada de medición y los errores

de apreciación.

2- Que las gráficas no fuesen lo suficientemente exactas y la medición de las

amplitudes en las misma no eran exactas debido a que las mismas eran muy

pequeñas y de ciclos muy cortos.

CONCLUSION

Al finalizar el informe podemos concluir:

Que las vibraciones forzadas amortiguadas ocurren en casi todos los sistemas

mecánicos y es necesaria una fuerza excitatriz la cual genera las vibraciones y los

amortiguamientos que suavizan estas vibraciones y disminuyen su amplitud.

Se pudo observar que la frecuencia de vibración (n) disminuye a medida que la

fuerza excitatriz se aleja de la articulación

Que la masa faltante en el disco de aluminio provoca un desbalance el cual

produce una fuerza (Fo) que genera las vibraciones en el sistema.

BIBLIOGRAFIA

JUVINALL, Robert C. Fundamentos de diseño para ingeniería

mecánica. Editorial Limusa, México.1991.

ALONSO, Marcelo y FINN, Edward. Física.Volumen I, Fondo

Educativo Interamericano.U.S.A. 1976.

THOMSON, William T.Teoría de vibraciones. Editorial Prentice/Hall

Internacional. Editorial Dossat,S.A. 1.983 Madrid-España.