FISICA II VIBRACIONES AMORTIGUADAS PRESENTADO POR OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAM 2010

FISICA IIFISICA IIVIBRACIONES VIBRACIONES

AMORTIGUADASAMORTIGUADASPRESENTADO PORPRESENTADO POR

OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍAOPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA

Docente de la Facultad de Ciencias Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAMde la UNASAM

2010

OBJETIVOSOBJETIVOSDespués de finalizada esta unidad el Después de finalizada esta unidad el alumno será capaz dealumno será capaz de

Resolver ejercicios y problemas de vibracio Resolver ejercicios y problemas de vibracio libres amortiguadaslibres amortiguadas

Aplicar las leyes de Newton al estudio de las Aplicar las leyes de Newton al estudio de las vibraciones libres con amortiguamientovibraciones libres con amortiguamiento

Diferenciar un movimiento sobreamortiguado, Diferenciar un movimiento sobreamortiguado, criticamente amortiguadao y subamortiguadocriticamente amortiguadao y subamortiguado

• Sistema mecánico Sistema mecánico masa resorte masa resorte amortiguadoramortiguador

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN• En análisis vibratorio considerado hasta ahora En análisis vibratorio considerado hasta ahora

no ha incluido el efecto de la fricción o el no ha incluido el efecto de la fricción o el amortiguamiento del sistema y como resultado amortiguamiento del sistema y como resultado de ello, las soluciones obtenidas son solo una de ello, las soluciones obtenidas son solo una aproximación cercana al movimiento real.aproximación cercana al movimiento real.

• Debido a que todas las vibraciones se disipan Debido a que todas las vibraciones se disipan con el tiempo, la presencia de fuerzas con el tiempo, la presencia de fuerzas amortiguadoras debe incluirse en el análisis.amortiguadoras debe incluirse en el análisis.

• Se dice que un sistema tiene amortiguamiento Se dice que un sistema tiene amortiguamiento cuando posee elementos que disipan energía.cuando posee elementos que disipan energía.

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN• Existen varios tipos de amortiguamiento:Existen varios tipos de amortiguamiento:

(a)(a)Amortiguamiento viscosoAmortiguamiento viscoso, , lo experimentan lo experimentan los cuerpos que se mueven con una velocidad los cuerpos que se mueven con una velocidad moderada en el interior de fluidos;moderada en el interior de fluidos;

(b)(b)Amortiguamiento de CoulombAmortiguamiento de Coulomb, , producido producido por el movimiento relativo de superficies por el movimiento relativo de superficies secas; ysecas; y

(c) A(c) Amortiguamiento estructuralmortiguamiento estructural, es producido , es producido por la fricción interna del material elástico.por la fricción interna del material elástico.

En esta sección nos dedicaremos únicamente En esta sección nos dedicaremos únicamente al estudio del amortiguamiento viscoso.al estudio del amortiguamiento viscoso.

II.II. Amortiguador viscoso Amortiguador viscoso lineal.lineal. Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma

natural cuando sistemas mecánicos oscilan en el natural cuando sistemas mecánicos oscilan en el interior de un medio fluido.interior de un medio fluido.

También aparece en sistemas mecánicos utilizados También aparece en sistemas mecánicos utilizados para regular la vibración.para regular la vibración.

Este tipo de amortiguador está formado por un Este tipo de amortiguador está formado por un pistón el cual se mueve en el interior de un cilindro pistón el cual se mueve en el interior de un cilindro el cual contiene un fluido viscoso como el aceite. Al el cual contiene un fluido viscoso como el aceite. Al moverse el émbolo se opone el fluido el cual debe moverse el émbolo se opone el fluido el cual debe atravesar pequeños orificios practicados en el atravesar pequeños orificios practicados en el émbolo.émbolo.

II.II. Amortiguador viscoso Amortiguador viscoso lineal.lineal. Para nuestro estudio vamos a utilizar los Para nuestro estudio vamos a utilizar los

amortiguadores lineales, en este caso la fuerza de amortiguadores lineales, en este caso la fuerza de fricción debido al amortiguamiento es directamente fricción debido al amortiguamiento es directamente proporcional a la velocidad lineal siendo la proporcional a la velocidad lineal siendo la constante de proporcionalidad el llamado constante de proporcionalidad el llamado ccoeficiente de amortiguamientooeficiente de amortiguamiento (c)(c). Esta fuerza . Esta fuerza se expresa se expresa

VF cx

III.III. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADASVIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS Consideremos una partícula Consideremos una partícula

de masa de masa sujeta a un sujeta a un resorte ideal de rigidez resorte ideal de rigidez k y k y a un amortiguador a un amortiguador tal tal como se muestra en la como se muestra en la figura.figura.

Si el movimiento descrito Si el movimiento descrito por por mm es vertical, la es vertical, la vibración amortiguada es vibración amortiguada es de un solo grado de de un solo grado de libertad.libertad.

Aplicando las ecuaciones de Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tieneequilibrio se tiene 0

0 (1)

x

st

F

mg k

III.III. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADASVIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS Si ahora se desplaza a Si ahora se desplaza a mm un un

desplazamiento desplazamiento xxmm menor menor que δque δstst desde la posición de desde la posición de equilibrio y se suelta sin equilibrio y se suelta sin velocidad inicial la partícula velocidad inicial la partícula se moverá describiendo una se moverá describiendo una oscilación libre amortiguadaoscilación libre amortiguada

Para determinar las Para determinar las ecuaciones que gobiernan a ecuaciones que gobiernan a la vibración consideremos a la vibración consideremos a la partícula en una posición la partícula en una posición arbitraria arbitraria xx medida a partir medida a partir de la posición de equilibrio de la posición de equilibrio como se muestracomo se muestra

III.III. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADASVIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS Aplicando la segunda ley Aplicando la segunda ley

de Newton en dirección x de Newton en dirección x resultaresulta

Al remplazar la ecuación Al remplazar la ecuación (1) en (2), resulta(1) en (2), resulta

Esta ecuación diferencial es Esta ecuación diferencial es de segundo orden lineal de segundo orden lineal homogénea con homogénea con coeficientes constantes. Su coeficientes constantes. Su solución es solución es

(2)x x

st

F ma

mg k x cx mx

0 (3)mx cx k

(4)tx Ae

III.III. VIBRACIONES LIBRES VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADASAMORTIGUADAS

Remplazando la ecuación (4) conjuntamente con Remplazando la ecuación (4) conjuntamente con sus derivadas en la ecuación (3) se obtiene la sus derivadas en la ecuación (3) se obtiene la ecuación característica expresada porecuación característica expresada por

Las raíces de esta ecuación sonLas raíces de esta ecuación son

La solución general de la ecuación diferencial esLa solución general de la ecuación diferencial es

2 0 (5)m c k 2

1,2

4 (6)

2

c c mk

m

1 2 (7)t tx Be Ce


Coeficiente de amortiguamiento Coeficiente de amortiguamiento críticocrítico cccrcr. .

Es el valor del coeficiente de amortiguamiento para Es el valor del coeficiente de amortiguamiento para el cual se hace cero la cantidad subradical de la el cual se hace cero la cantidad subradical de la ecuación (6), en consecuenciaecuación (6), en consecuencia

El coeficiente de amortiguamiento crítico El coeficiente de amortiguamiento crítico representa la cantidad mínima de representa la cantidad mínima de amortiguamiento requerida para que el amortiguamiento requerida para que el movimiento no sea vibratoriomovimiento no sea vibratorio..

2 2 (8)cr n

kc m m

m


Movimiento sobre Movimiento sobre amortiguado.amortiguado.

En este caso c > cEn este caso c > ccrcr, entonces las dos raíces de , entonces las dos raíces de la ecuación característica son reales y la ecuación característica son reales y diferentes. diferentes.

Por tanto la solución puede escribirsePor tanto la solución puede escribirse1 2t tx Ae Be


Movimiento críticamente amortiguado.Movimiento críticamente amortiguado.

Aquí c = cAquí c = ccrcr, en este caso las dos raíces son , en este caso las dos raíces son iguales. La solución general seráiguales. La solución general será

ntx A Bt e


Movimiento subamortiguado.Movimiento subamortiguado.• Las raíces de la ecuación (6) son complejas y Las raíces de la ecuación (6) son complejas y

conjugadas.conjugadas.

• Donde Donde =c/2m y ω=c/2m y ωdd es la frecuencia circular es la frecuencia circular amortiguada dada poramortiguada dada por

• El período de la vibración amortiguada seráEl período de la vibración amortiguada será

2

1,2 2 2 d

c k ci i

m m m

2

2d

k c

m m

2

2 2

2

dd k c

m m


Movimiento subamortiguado.Movimiento subamortiguado.

En este caso la solución es de la formaEn este caso la solución es de la forma

El movimiento descrito por la ecuación se El movimiento descrito por la ecuación se dice que es dice que es periódico en el tiempoperiódico en el tiempo de de amplitud decreciente tal como se muestra amplitud decreciente tal como se muestra en la figura en la figura

En donde se observa que el “En donde se observa que el “períodoperíodo” es el ” es el tiempo entre dos valles o picostiempo entre dos valles o picos

0t

dx x e Sen t


Movimiento subamortiguado.Movimiento subamortiguado.


Decremento logarítmico (Decremento logarítmico ())

Es una cantidad que nos permite medir la velocidad Es una cantidad que nos permite medir la velocidad de decaimiento de una oscilación, se expresa como de decaimiento de una oscilación, se expresa como el logaritmo de la razón entre cualquier par de el logaritmo de la razón entre cualquier par de amplitudes sucesivas positivas (o negativas). Esto amplitudes sucesivas positivas (o negativas). Esto eses

La razón de amplitudes esLa razón de amplitudes es

El decremento logarítmico esEl decremento logarítmico es

11 0

tx x e 1 )(

2 0dtx x e

1

1

01

2 0

d

d

t

t

x exe

x x e

1

1

ln ln dx

ex


Razón de amortiguamiento.Razón de amortiguamiento.

También conocido como factor de También conocido como factor de amortiguamiento, es una cantidad definida amortiguamiento, es una cantidad definida como la razón entre el coeficiente de como la razón entre el coeficiente de amortiguamiento (amortiguamiento (cc) y el coeficiente de ) y el coeficiente de amortiguamiento cítrico (amortiguamiento cítrico (cccrcr), esto es), esto es

En función de esta cantidad se pueden obtener En función de esta cantidad se pueden obtener las siguientes relacioneslas siguientes relaciones

22cr n

c c cc

c mmk

21,2 1n ni


Razón de amortiguamiento.Razón de amortiguamiento.

En función de la razón de amortiguamiento se En función de la razón de amortiguamiento se puede decir que un movimiento es sobre puede decir que un movimiento es sobre amortiguado si (ξ > 1), es críticamente amortiguado si (ξ > 1), es críticamente amortiguado si (ξ =0) y subamortiguado sí (ξ < amortiguado si (ξ =0) y subamortiguado sí (ξ < 1).1).

Para el caso de un movimiento Para el caso de un movimiento subamortiguado, subamortiguado, la pulsación propia la pulsación propia amortiguada, el período amortiguadoamortiguada, el período amortiguado y el y el decremento logarítmico se escriben en la decremento logarítmico se escriben en la forma.forma. 21d n 2

2

1d

n

2

2

1

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNHalle el valor de la razón de Halle el valor de la razón de amortiguamiento del dispositivo sencillo amortiguamiento del dispositivo sencillo compuesto de una masa, amortiguador y compuesto de una masa, amortiguador y resorte.resorte.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNHalle el valor del coeficiente de Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso para el cual la amortiguamiento viscoso para el cual la razón de amortiguamiento del sistema vale. razón de amortiguamiento del sistema vale. (a) 0,5 y (b) 1,0(a) 0,5 y (b) 1,0

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNHalle la razón de amortiguamiento del Halle la razón de amortiguamiento del sistema representado. Se desprecian las sistema representado. Se desprecian las masas de las poleas y el rozamiento en las masas de las poleas y el rozamiento en las mismas y se supone que el cable está mismas y se supone que el cable está siempre tenso.siempre tenso.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNEl cuerpo W de 12 kg mostrado en la figura es El cuerpo W de 12 kg mostrado en la figura es sustentado por tres resortes y tres amortiguadores sustentado por tres resortes y tres amortiguadores viscosos como se muestra en la figura. Si viscosos como se muestra en la figura. Si kk11 = k = k22 = = 150 N/m150 N/m; ; kk33= 120 N/m= 120 N/m; β; β11 = β = β22 = 0,8 N.s/m= 0,8 N.s/m y y ββ33=1,4 N.s/m=1,4 N.s/m y para iniciar el movimiento se y para iniciar el movimiento se desplaza al cuerpo desplaza al cuerpo 100 mm100 mm hacia abajo y se suelta hacia abajo y se suelta desde el reposos. Determine: (a) La ecuación desde el reposos. Determine: (a) La ecuación diferencial que describe el movimiento, (b) la diferencial que describe el movimiento, (b) la frecuencia (si existe) y (c) el decremento frecuencia (si existe) y (c) el decremento logarítmico.logarítmico.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNSe muestra una barra de 2,25 m de longitud y 200 N Se muestra una barra de 2,25 m de longitud y 200 N de peso en la posición de equilibrio estático y de peso en la posición de equilibrio estático y soportada por un muelle de rigidez k =14 N/mm. La soportada por un muelle de rigidez k =14 N/mm. La barra está conectada a un amortiguador con un barra está conectada a un amortiguador con un coeficiente de amortiguamiento c = 69 N.s/m. coeficiente de amortiguamiento c = 69 N.s/m. Determine: (a) La ecuación diferencial para el Determine: (a) La ecuación diferencial para el movimiento angular de la barra, (b) el tipo de movimiento angular de la barra, (b) el tipo de movimiento resultante, (c) el período y la frecuencia movimiento resultante, (c) el período y la frecuencia del movimiento (si procede) y (d) la razón de del movimiento (si procede) y (d) la razón de amortiguamiento.amortiguamiento.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Un cilindro uniforme que pesa 35 N, rueda sin Un cilindro uniforme que pesa 35 N, rueda sin

deslizar por una superficie horizontal como se deslizar por una superficie horizontal como se muestra en la figura. El resorte y e amortiguador muestra en la figura. El resorte y e amortiguador están conectados a un pequeño pasador exento de están conectados a un pequeño pasador exento de fricción situado en el centro G del cilindro de 20 cm fricción situado en el centro G del cilindro de 20 cm de diámetro. Determine: (a) La ecuación diferencial de diámetro. Determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento.(c) El tipo de movimiento.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUn bloque que pesa 100 N se desliza por una superficie sin Un bloque que pesa 100 N se desliza por una superficie sin fricción, según se indica. Los dos resortes están sometidos a fricción, según se indica. Los dos resortes están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y sin tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y sin fricción. Si se desplaza al bloque 75 mm a la izquierda de su fricción. Si se desplaza al bloque 75 mm a la izquierda de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad de posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad de 1,25 m/s hacia la derecha cuando t = 0, determine: (a) la 1,25 m/s hacia la derecha cuando t = 0, determine: (a) la ecuación diferencial que rige el movimiento, (b) el período de ecuación diferencial que rige el movimiento, (b) el período de la vibración resultante, (c) la posición del bloque en función la vibración resultante, (c) la posición del bloque en función de tiempo.de tiempo.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNDos barras esbeltas están Dos barras esbeltas están soldadas según se indica. soldadas según se indica. La barra ABC pesa 10 N y La barra ABC pesa 10 N y en la posición de en la posición de equilibrio está horizontal. equilibrio está horizontal. La barra BD pesa 15 N y La barra BD pesa 15 N y en la posición de en la posición de equilibrio está vertical. equilibrio está vertical. Determine: (a) a) la razón Determine: (a) a) la razón de amortiguamiento ζ. de amortiguamiento ζ. (b) el tipo de movimiento (b) el tipo de movimiento y (c) la frecuencia y el y (c) la frecuencia y el período del movimiento período del movimiento (si procede).(si procede).

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUn cilindro uniforme de 5 kg rueda sin deslizar por Un cilindro uniforme de 5 kg rueda sin deslizar por un plano inclinado, según se muestra. El resorte un plano inclinado, según se muestra. El resorte está unido a un hilo ligero inextensible, arrollado está unido a un hilo ligero inextensible, arrollado sobre el cilindro y el amortiguador lo están a un sobre el cilindro y el amortiguador lo están a un pequeño pasador sin fricción situado en el centro G pequeño pasador sin fricción situado en el centro G del cilindro de 400 mm de diámetro. Determine: (a) del cilindro de 400 mm de diámetro. Determine: (a) la razón de amortiguamiento. (b) el tipo de la razón de amortiguamiento. (b) el tipo de movimiento y (c) la frecuencia y el período del movimiento y (c) la frecuencia y el período del movimiento (si procede).movimiento (si procede).

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Una bola esférica de 134 Una bola esférica de 134 N de peso está soldada a N de peso está soldada a una barra ligera vertical una barra ligera vertical que, a su vez, está soldada que, a su vez, está soldada en el punto B a una biela en el punto B a una biela horizontal. Un muelle de horizontal. Un muelle de rigidez k = 8,8 N/mm y un rigidez k = 8,8 N/mm y un amortiguador c = 179 amortiguador c = 179 N.s/m está conectados a la N.s/m está conectados a la biela horizontal. Si A se biela horizontal. Si A se desplaza 75 mm hacia la desplaza 75 mm hacia la derecha, ¿Cuánto tiempo derecha, ¿Cuánto tiempo tardará en volver a la tardará en volver a la configuración vertical?.configuración vertical?.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Los dos bloques de la figura Los dos bloques de la figura

penden, en un plano vertical, penden, en un plano vertical, de una barra de masa de una barra de masa despreciable que está despreciable que está horizontal en la posición de horizontal en la posición de equilibrio. Si equilibrio. Si a = 15 cma = 15 cm y se y se suponen oscilaciones de suponen oscilaciones de pequeña amplitud, determine: pequeña amplitud, determine: (a) La ecuación diferencial del (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d) El período de movimiento ; (d) El período de la vibración resultante (si de la vibración resultante (si procede) y (c) El valor de a procede) y (c) El valor de a para el amortiguamiento para el amortiguamiento críticocrítico

•

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• La barra rígida en forma La barra rígida en forma

de T y de masa de T y de masa despreciable mostrada despreciable mostrada en la figura gira en un en la figura gira en un plano vertical alrededor plano vertical alrededor de un eje horizontal que de un eje horizontal que pasa por e punto O. El pasa por e punto O. El equilibrio del sistema se equilibrio del sistema se perturba girando la perturba girando la barra y liberándola del barra y liberándola del reposo. Calcule la reposo. Calcule la frecuencia amortiguada frecuencia amortiguada y la razón entre los y la razón entre los ciclos primer y tercero.ciclos primer y tercero.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Calcular la razón de amortiguamiento ξ del Calcular la razón de amortiguamiento ξ del

sistema representado en la figura si la masa y el sistema representado en la figura si la masa y el radio de giro del cilindro escalonado son radio de giro del cilindro escalonado son m = 9 m = 9 kg kg y y KKGG = 140 mm, = 140 mm, la constante del resorte es la constante del resorte es k k = 2,6 kN/m = 2,6 kN/m y el coeficiente de amortiguamiento y el coeficiente de amortiguamiento del cilindro hidráulico es c = 30 N.s/m. El del cilindro hidráulico es c = 30 N.s/m. El cilindro rueda sin deslizamiento sobre su radio cilindro rueda sin deslizamiento sobre su radio r r = 150 mm= 150 mm y el resorte actúa tanto a tracción y el resorte actúa tanto a tracción como a compresión.como a compresión.

•

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Para el sistema representado escribir su ecuación Para el sistema representado escribir su ecuación diferencial de movimiento en función de la variable diferencial de movimiento en función de la variable xx. Hallar la expresión del índice de amortiguamiento . Hallar la expresión del índice de amortiguamiento en función de las constantes del sistema en función de las constantes del sistema indicadas. Desprecie la masa de la palanca AB y indicadas. Desprecie la masa de la palanca AB y suponer que se efectúan pequeñas oscilaciones en suponer que se efectúan pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio representada.torno a la posición de equilibrio representada.

•

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• La barra uniforme de masa m está en La barra uniforme de masa m está en equilibrio en la posición horizontal. (a) equilibrio en la posición horizontal. (a) Deduzca la ecuación diferencial de Deduzca la ecuación diferencial de movimiento para pequeñas oscilaciones de movimiento para pequeñas oscilaciones de la barra. (b) Determine la razón de la barra. (b) Determine la razón de amortiguamiento si amortiguamiento si m =m = 16 kg16 kg; ; cc11 = 30 = 30 N.s/mN.s/m; ; cc22 = 20 N.s/m = 20 N.s/m y y k = 90 N/mk = 90 N/m..

•

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNLa plataforma, soportada por un pasador en B y La plataforma, soportada por un pasador en B y un muelle en C, está en equilibrio en la posición un muelle en C, está en equilibrio en la posición que se muestra. Cuando el amortiguador que se muestra. Cuando el amortiguador viscoso situado en A se desconecta, la viscoso situado en A se desconecta, la frecuencia del sistema para pequeñas frecuencia del sistema para pequeñas oscilaciones es 2,52 Hz. Determine el oscilaciones es 2,52 Hz. Determine el coeficiente de amortiguamiento c que coeficiente de amortiguamiento c que amortiguará críticamente al sistema.amortiguará críticamente al sistema.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNDerive la ecuación diferencial para el Derive la ecuación diferencial para el movimiento de del sistema mostrado movimiento de del sistema mostrado inicialmente en equilibrio. Desprecie la inicialmente en equilibrio. Desprecie la masa del cuerpo AB y considere oscilaciones masa del cuerpo AB y considere oscilaciones pequeñaspequeñas

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Una masa de 4 kg está Una masa de 4 kg está

suspendida en un plano suspendida en un plano vertical según se muestra. Los vertical según se muestra. Los dos resortes están sometidos s dos resortes están sometidos s y tracción en todo momento y y tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y sin las poleas son pequeñas y sin fricción. Si se lleva a la masa a fricción. Si se lleva a la masa a 15 mm por encima de su 15 mm por encima de su posición de equilibrio y se posición de equilibrio y se suelta con una velocidad de suelta con una velocidad de 750mm/s hacia abajo cuando t 750mm/s hacia abajo cuando t = 0. Halla: (a) La ecuación que = 0. Halla: (a) La ecuación que rige al movimiento, (b) el rige al movimiento, (b) el periodo y la amplitud de la periodo y la amplitud de la vibración resultante, (c) la vibración resultante, (c) la posición de la masa en función posición de la masa en función del tiempo.del tiempo.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Una barra uniforme de 1,6 kg está Una barra uniforme de 1,6 kg está

articulada en O y sujeta en A por un muelle articulada en O y sujeta en A por un muelle y en B está unida a un amortiguador. Halle: y en B está unida a un amortiguador. Halle: (a) La ecuación diferencial del movimiento (a) La ecuación diferencial del movimiento para pequeñas oscilaciones, (b) El ángulo para pequeñas oscilaciones, (b) El ángulo que forma la barra con la horizontal 5 que forma la barra con la horizontal 5 segundos después de empujar la barra 23 segundos después de empujar la barra 23 mm hacia abajo y soltarla.mm hacia abajo y soltarla.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Halle el valor del Halle el valor del

coeficiente de coeficiente de amortiguamiento viscoso amortiguamiento viscoso para el cual es crítico el para el cual es crítico el amortiguamiento del amortiguamiento del sistema representado.sistema representado.

•

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Las dos masas mostradas en la figura se deslizan Las dos masas mostradas en la figura se deslizan

por superficies sin fricción. En la posición de por superficies sin fricción. En la posición de equilibrio la barra ABC está vertical, siendo equilibrio la barra ABC está vertical, siendo despreciable la masa. Si a = 100 mm y se suponen despreciable la masa. Si a = 100 mm y se suponen oscilaciones de pequeña amplitud, determine: (a) La oscilaciones de pequeña amplitud, determine: (a) La razón de amortiguamiento; (b) El tipo de razón de amortiguamiento; (b) El tipo de movimiento; (c) La frecuencia y el período del movimiento; (c) La frecuencia y el período del movimiento (si procede) y (d) El valor de a que da movimiento (si procede) y (d) El valor de a que da amortiguamiento crítico.amortiguamiento crítico.

•

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• El bloque de 25 N de peso de la figura se desliza por una El bloque de 25 N de peso de la figura se desliza por una

superficie horizontal sin fricción mientras que el que pesa 15 N superficie horizontal sin fricción mientras que el que pesa 15 N pende en un plano vertical. La barra ABC tiene una masa pende en un plano vertical. La barra ABC tiene una masa despreciable y en la posición de equilibrio tiene su brazo AB despreciable y en la posición de equilibrio tiene su brazo AB horizontal. Si c = 250 N.s/m y se supone oscilaciones horizontal. Si c = 250 N.s/m y se supone oscilaciones pequeñas, determine: : (a) La ecuación diferencial del pequeñas, determine: : (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d) El período de la vibración resultante (si movimiento ; (d) El período de la vibración resultante (si procede) y (c) El valor de a para el amortiguamiento críticoprocede) y (c) El valor de a para el amortiguamiento crítico

•

Documents

FISICA II VIBRACIONES AMORTIGUADAS PRESENTADO POR OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAM 2010