2 Oscilaciones Amortiguadas y Forzadas

Amortiguador de auto

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Disminución de la amplitud de

oscilación causada por fuerzas

disipadoras:

AMORTIGUACION

Si una campana que oscila se deja de impulsar,

tarde o temprano las fuerzas amortiguadoras

(resistencia del aire y fricción en el punto de

suspensión) harán que deje de oscilar.

2 Lic. Fís. John Cubas Sánchez


v

02 2

2

2

xtd

xd

td

xdo

kxvma

xm

kv

ma

xm

k

td

xd

mtd

xd

2

2

Donde:

m

ko 2

m

2

o = Frecuencia natural del sistema

= constante de amortiguamiento

= frecuencia de amortiguación


22 )()( o

m2


( <0)

)cos( teAx t

El movimiento es oscilatorio:

= Frecuencia de las oscilaciones

subamortiguadas

02 2

2

2

xtd

xd

td

xdo



Subamortiguación

Lenta disminución de la amplitud de oscilación


( =0)


x

tetBAx )(

El movimiento no es oscilatorio:

02 2

2

2

xtd

xd

td

xdo



Amortiguación Crítica

Retorno más rápido a la posición de equilibrio.


x

( >0)

ttt eeBeAx )( ''

22 )()(' o


Retorno lento a la posición de equilibrio

’ = Frecuencia de las oscilaciones

sobreamortiguadas

02 2

2

2

xtd

xd

td

xdo



Comparación

x x



22

2

1

2

1kxmvE x Energía en las oscilaciones amortiguadas:

Potencia producida por la fuerza amortiguadora:

dt

kxmvd

dt

dEx

22

2

1

2

1

dt

dxxk

dt

dvmv

dt

dE xx

xv

xkmavdt

dExx

kxvma xx

Del DCL de las Oscilaciones amortiguadas:

xx vkxma

Reemplazando:

xx vvdt

dE

2

xvdt

dE


OSCILACIONES FORZADAS

La frecuencia de los

pasos de una compañía

de soldados (al

marchar) fue cercana a

la vibración natural del

puente (Resonancia).



El horno microondas utiliza una

onda electromagnética

(periódica) para excitar las

moléculas del agua y, de esta

forma, calentar los alimentos. La

frecuencia de microondas

concuerda con una de las

frecuencias naturales de

oscilación de la molécula del

agua (resonancia), y por ello es

que la mayor parte de la energía

la absorbe este elemento y no

otro (el tapper no se calienta por

las microondas si no porque está

en contacto con el agua

caliente).



v

)tcos(Ftd

xdxk

td

xdm fo

2

2

m2

m

ko

2

(Ecuación diferencial lineal no homogénea)

)tcos(m

Fx

td

xd

td

xdf

oo

2

2

2

2


SOLUCION = SOLUCION EC. HOMOGENEA ASOCIADA + SOLUCION PARTICULAR


Ecuación homogénea asociada:

022

2

2

xtd

xd

td

xdo

)tcos(eAx t

22 )()( o




Solución Particular:

cos( )fx B t

2 2

2

f o

f

arc tg

2222)2()(

1

fof

o

m

FB

0 15 Lic. Fís. John Cubas Sánchez

2 2

f o

2 f

2 2 2 2( ) (2 )f o f

)tcos(B)tcos(eAx ft



0



)tcos(B)tcos(eAx ft

(Estado estacionario)

1t (Tiempo de relajación)


Lic. Fís. John Cubas Sánchez 18

B

F F = B

2222)2()(

1

fof

o

m

FB

Sabemos que la amplitud en la

fase estacionaria está dada por:

Para que existan resonancia en la

amplitud (amplitud máxima):

0F

dB

d

Así:

2 2 2 2

1

( ) ( 2 )0

o

f o f

F

Fd

m

d

12 2 2 2 2( ) ( 2 )

0

of o f

F

Fd

m

d

Lic. Fís. John Cubas Sánchez 19

3

2 2 2 2 2 2 2 221

( ) 4 2( ) 2 8 02

of o f f o f f

F

m

2 2 2

32 2 2 2 2

4 20

2( ) 4

f f oo

f o f

F

m

2 2 22 0f o

De donde, la frecuencia de resonancia de la amplitud es:

2 22f o B O:

2

22B f

k

m m

De manera que cuando no hay amortiguación ( = 0; = 0), la frecuencia de

resonancia es igual la frecuencia natural del oscilador:

B f o

k

m La resonancia se vuelve infinita: B

RESONANCIA DE LA AMPLITUD


1o

f

Resonancia

=

o

f

k

Fo

k

Fo

k

Fo

k

Fo

k

Fo1

2

3

4

5

= 0

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