Ingranaggi conici, processi tecnologici di taglio/rettifica, micro-geometria delle ruote dentate

Meccanica Applicata alle Macchine 16 Maggio 2017

UNIVERSITÀ DI PISA Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale (DICI)

Alessio Artoni

Superfici primitive (assoidi)

assi incidenti assi sghembi

coni primitivi

iperboloidi primitivi

http://demonstrations.wolfram.com/ConnectingSkewAxlesWithHyperboloidalGears/

Pignoni ingrananti con ruote piano-coniche

a denti dritti (straight bevel gears)

a denti obliqui (skew bevel gears)

con denti a spirale (spiral bevel gears)

Generazione ingranaggi conici con ruota pianoconica

Generazione per inviluppo di pignone e corona mediante ruota pianoconica (virtuale): profili di assortimento

materializzata nella pratica da diverse tipologie di utensili

Durante il moto di generazione, la ruota pianoconica, il pignone e la corona si muovono solidali ai rispettivi assoidi

Ingranaggi spiroconici e ipoidi

coppia spiroconica per assi incidenti

(spiral bevel gears)

coppia ipoide per assi sghembi

(hypoid gears)

I torniti dentati sono tronchi di cono costruiti ‘attorno’ ai coni primitivi.

Gli iperboloidi primitivi si prestano male ad essere dentati: come torniti si usano tronchi di cono che ‘approssimano localmente’ le superfici assoidi.

Esempio ruota spiroconica

Ingranaggi spiroconici e ipoidi

Modulo power take-off (motore turbofan GE F404)

Differenziale posteriore (BMW)

SPIROCONICI

applicazioni aeronautiche e automotive (spinte: F1)

IPOIDI

applicazioni automotive

Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni automotive

Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni aerospace

Ingranaggi spiroconici e ipoidi: applicazioni marine

Tipico layout (Gleason) per taglio ingranaggi spiroconici/ipoidi

asse ruota pianoconica virtuale

fresa che simula un dente della ruota pianoconica virtuale

Schema concettuale per taglio Generated

Corona (Generated)

Pignone (Generated)

Utensile per il taglio del pignone, generazione per inviluppo (Generated)

Utensile per il taglio della corona, generazione per inviluppo

(Generated)

Schema concettuale per taglio Formate

L’utensile materializza un dente della corona: il pignone è ottenuto per inviluppo della corona stessa

(non viene utilizzata la ruota pianoconica)

Utensile per il taglio di forma della corona, senza generazione

(Formate)

Corona (Formate)

Pignone (Generated)

Utensile per il taglio del pignone, generazione per inviluppo (Generated)

Principali metodi di taglio ingranaggi conici

Face-milling (single indexing)

Face-hobbing (continuous indexing)

Metodo face-milling per taglio ingranaggi spiroconici/ipoidi

https://www.youtube.com/watch?v=tNks3OdE-FE

Metodo face-milling per rettifica ingranaggi spiroconici/ipoidi

Metodo face-hobbing per taglio ingranaggi spiroconici/ipoidi

https://www.youtube.com/watch?v=7paLPW3CjEs

Metodo Coniflex per taglio conici a denti dritti

https://www.youtube.com/watch?v=QTlo6bIIieE

Ingranaggi frontali: face gears

Per assi incidenti (soprattutto) e sghembi

coni primitivi (assi incidenti)

face gear drive

pignone cilindrico con denti a evolvente (dritti o elicoidali)

corona face, ottenuta come inviluppo del pignone (profili coniugati in contatto di linea)

Ingranaggi frontali: face gears

Limiti all’estensione del dente corona nel senso della fascia:

VANTAGGI dei face gear:

il pignone può spostarsi assialmente senza alterare le proprietà geometriche d’ingranamento sono possibili ingranamenti multipli si possono ottenere forti rapporti di trasmissione

SVANTAGGI dei face gear:

non è semplice rettificarli il pignone, cilindrico, si discosta dalla sua superficie primitiva (cono), peggiorando l’efficienza

meccanica (spesso lievemente)

punta (toe)

tallone (heel)

Ingranaggi frontali: face gears

Architettura trasmissione elicotteristica

Esempio di processo di taglio ingranaggi cilindrici

Taglio con shaper (coltello Fellows)

https://www.youtube.com/watch?v=_j6KQ96YZM0

Esempio di ciclo di lavoro ingranaggi cilindrici

https://www.youtube.com/watch?v=loIQ4XXqRHs

Un fatto

Nella quasi totalità delle ruote dentate cilindriche usate nell’ambito della trasmissione di potenza, puri profili a evolvente non esistono. In generale, la micro-geometria di tutti i tipi di ruote dentate nominalmente in contatto di linea viene modificata per avere contatto nominale di punto.

Perché le micro-correzioni?

Linee di contatto nominali su denti dritti ed elicoidali (profili a evolvente)

Cosa accade in caso di deformazioni elastiche dei denti e disallineamenti (errori di montaggio, deformazioni elastiche sotto carico dei supporti, imperfezioni costruttive)?

In caso di disallineamenti, il contatto potrebbe trasferirsi irrimediabilmente sugli spigoli del dente (edge-contact)

Contact Stress Distribution

Torque = 1000 lbf-in (113 N-m)

(MPa)

1647157815101441137213041235116710981029961892823755686618549480412343274206137690

Perché le micro-correzioni?

(ruota a denti dritti, 1 sola coppia di denti in presa)

Un metodo molto usato per stabilizzare il contatto nelle ruote a denti dritti è la bombatura del dente (lead crowning)

Bombatura del dente

Esempio di pignone con bombatura (estrema)

Per le ruote dentate cilindriche, la bombatura è pressoché indispensabile anche lungo il profilo. Si parla quindi di profile crowning e lead crowning

Bombatura del dente

Storicamente, profile crowning e lead crowning hanno avuto come obiettivo principale quello di tenere la zona dei contatti sufficientemente lontana dai bordi ed evitare edge-contact.

Spoglia del dente

Tip relief Tip relief e end relief

Scaricano le estremità del profilo del dente per evitare edge-contact e alleviare urti.

Errori geometrici, disallineamenti, deformabilità, urti, ecc. causano errori di trasmissione, principale causa di rumorosità e vibrazioni delle ruote dentate.

Perché le micro-correzioni?

Tip relief, end relief, lead crowning e profile crowning possono essere usati efficacemente per minimizzare l’errore di trasmissione. Oltre a questi tipi di modifiche micro-geometriche ne esistono altre, più sofisticate, dette di ordine superiore.

( ) ( ) ( )r th r ct p p p c

p

zez

φ φ φ φ= − = −

Consentono di distribuire il contatto in modo da sfruttare bene la fascia attiva del dente ed evitare edge-contact.

Importanza delle micro-correzioni

Alleviano l’entità degli urti durante la presa di contatto.

Consentono di minimizzare l’errore di trasmissione.

Consentono di ridurre lo sforzo di flessione a piede dente (bending stress).

Massimizzazione vita a fatica della coppia.

Minimizzazione rumorosità e vibrazioni.

Massimizzazione densità di potenza trasmissibile.

Profilo utensile modificato (rispetto a quello necessario per tagliare denti a evolvente).

Realizzazione pratica delle micro-correzioni

Le micro-correzioni prescritte (entità variabili tra 10 e 300 μm) risultano accurate solo se realizzate mediante rettifica.

Moti macchina modificati (durante il taglio di generazione per inviluppo).

Sono necessari strumenti di calcolo (ad es. FEM) in grado di stimare con accuratezza i parametri del contatto (pressioni di contatto, contact pattern, errori di trasmissione, ecc.)

Come si stabilisce l’entità delle micro-correzioni?

È necessario formulare il problema in questione come un problema di ottimizzazione, con opportuni obiettivi, le cui variabili di progetto coincidano con i valori ottimali da assegnare alle micro-correzioni.

NON ESISTONO FORMULE (sensate). L’entità delle correzioni è fissata tipicamente sulla base di esperienza individuale, know-how aziendale, trial and error.

Multi-objective Ease-off Optimization of Hypoid Gears for Their Efficiency, Noise and Durability Performances

11th ASME International Power Transmission and Gearing Conference Washington, DC, USA

Alessio Artoni (speaker)1,2 M. Gabiccini1, M. Guiggiani1, and A. Kahraman2

1 University of Pisa Dept. of Mechanical, Nuclear and Production Engineering

Pisa, Italy

2 The Ohio State University Gear and Power Transmission Research Laboratory

Columbus, Ohio, USA

Motivation

An ease-off topography

Micro-geometry (ease-off) optimization can remarkably enhance gear performance (especially, contact properties and transmission error).

Micro-geometry optimization has long been a tedious time-consuming (and costly) trial-and-error procedure.

(µm)

Motivation

Micro-geometry optimization involves often conflicting objectives, as well as design constraints.

Several software packages exist to accurately perform loaded tooth contact analysis, but they are mostly used a posteriori, to test some tentative tooth flank modification.

Transmission error (motion graph)

Contact pressure distribution

Our goal

To devise an automatic method to accurately optimize the ease-off topography of (hypoid) gears

in the presence of conflicting objectives

in the presence of constraints

including the available LTCA program “in the loop”.

Fundamentals of multi-objective optimization (MOO)

Space of the decision variables Space of the objectives

Pareto front feasible region F

MOO problems generally have infinitely many solutions: the so-called Pareto-optimal solutions, which form the Pareto front. For each of them, it is impossible to reduce one objective further without necessarily increasing some other objective.

(conflicting objectives, to be minimized)

A naïve approach to MOO

In gear literature, optimal solutions have typically been sought by solving

(scalarization through weighting)

This has strong limitations:

non-convex Pareto front extreme case

feasible objective region

Selected MOO method: achievement function

Projection of any reference point onto the Pareto front can be obtained by minimizing a special scalarizing function called achievement function

We specify an arbitrary reference point (desirable values for the objective functions, known by the gear engineer):

infeasible reference point feasible reference point

where the selected achievement function is

Implementation for hypoid gears

DIRECT global optimization algorithm, with bound constraint handling

(implemented with archive to minimize function calls)

LTCA interface to LTCA (input)

interface to LTCA (output)

achievement function

exact penalty function problem

optimal ease-off

solution satisfactory?

NO

gene

rate

new

refe

renc

e po

ints

YES

design variables (and their bounds)

objective functions (efficiency, pmax, LTE)

initial reference point

constraints (allowable contact

area, max ease-off)

normalizing coeffs., convergence

parameters, and other numerical parameters

INPUT

OUTPUT

Design variables

We need to be able to control the micro-geometry, namely the ease-off topography:

ease-off (μm)

it is represented here as a polynomial surface up to the 4th degree

it can be expressed by: 4 4

0 0( , ; ) i j

i

i

i jjm u v x u v

−

= == ∑∑x

The polynomial coefficients xij are our design variables (up to 14), to be determined:

01 02 40( , , , )x x x=x

Sets of design variables used in tests

VARIABLES FOR TEST 1

5 design variables, first- and second-degree ease-off coefficients:

pressure angle profile crowning

spiral angle twist (or “warping”)

lengthwise crowning

VARIABLES FOR TEST 2

14 design variables: third- and fourth-degree ease-off coefficients are added.

Objective functions

In the following numerical application, three (concurrent) objective functions were chosen:

average efficiency loss

pmax, maximum contact pressure

LTE, transmission error under load

The LTCA program used to evaluate the objective functions is the Hypoid Analysis Program (HAP), developed at The Ohio State University:

LTCA model: Kolivand, M., and Kahraman, A., 2009. “A load distribution model for hypoid gears using ease-off topography and shell theory.” Mech. Mach. Theory, 44(10), pp. 1848-1865.

Efficiency model: Kolivand, M., Li, S., and Kahraman, A., 2010. “Prediction of mechanical gear mesh efficiency of hypoid gear pairs.” Mech. Mach. Theory, 45(11), pp. 1568–1582.

Constraints

We need to avoid edge-loading.

( ) 0L =xROOT

TOE

Allowable Contact Area (ACA)

We require that the total load L acting outside a pre-specified ACA be zero:

One should comply with ANSI/AGMA 2005-D03 standard, Annex F, which specifies:

min ACA max ACA

Sample face-hobbed gear set for numerical tests

Basic design data Value

Ratio 11:43

Offset (mm) 30.0

Shaft angle (deg) 90.0

Nominal torque (Nm) 250.0

Nominal assembly errors E = 0.0 mm

P = 0.0 mm

G = 0.0 mm

α = 0.0 deg

Nominal operating conditions

Pinion speed (RPM) 2000

Lubricant type 75W90

Lubricant temperature (°C) 90

Pinion surface Rq roughness (μm) 1.34*

Gear surface Rq roughness (μm) 1.67*

*values for lapped surfaces, derived from: Masseth, J., and Kolivand, M., “Lapping and superfinishing effects on hypoid gears surface finish

and transmission errors, Proc. of the ASME IDETC/CIE 2007 Conference, Sept. 4-7, 2007, Las Vegas

Basic design conditions (drive side)

(Basic design obtained from Gleason Special Analysis File)

average efficiency loss = 4.93% (i.e., 95.07% efficiency)

pmax, maximum contact pressure = edge-contact

LTE, loaded transmission error (RMS) = 27.7 µrad

edge-loading

gear contact pattern

initial ease-off

Reference points

Initial reference point:

Three additional reference points are then generated by the reference point method:

4.93% 4.00%

edge-contact 1100 MPa

27.7 µrad 0.0 µrad

basic design

Results of TEST 1 (5 design variables)

Results of TEST 1 (5 design variables)

Results of TEST 1 (5 design variables)

Results of TEST 1 (5 design variables)

= basic design values

Results of TEST 2 (14 design variables)

= basic design values

Identificazione dei parametri macchina/utensile ottimali

Una volta determinata la micro-geometria ottimale, come risalire ai valori dei parametri macchina/utensile con cui generare tecnologicamente tale micro-geometria? È un problema di cinematica inversa (identificazione dei parametri).

Modello cinematico del generatore ipoide (Gleason)

Vettore dei parametri macchina

Modello del generatore cradle-style

Universal Motion Concept (UMC)

modified roll

vertical motion

helical motion

ecc…

Modello del profilo mola

Modello matematico del processo di generazione

La superficie inviluppo generica del dente è espressa da

famiglia inviluppante

equation of meshing

dove è il vettore dei parametri macchina.

La superficie di base del dente è generata con (parametri macchina di base ease-off nullo).

Il vettore normale alla superficie è , con

La superficie target del dente è generabile con i parametri incogniti (parametri macchina target ease-off prescritto).

Per la modellazione del metodo face-milling è stato adottato l’approccio invariante, che non richiede sistemi di riferimento.

Definizione di ease-off residuo

Con valori generici dei parametri macchina :

è calcolabile risolvendo il seguente sistema di 4 equazioni scalari

in 4 incognite:

Superficie target

Superficie di base

Superficie intermedia

Si ottiene

Formulazione come problema NLS (nonlinear least squares)

Lo scopo è minimizzare il vettore di ease-off residuo

ovvero minimizzarne una qualche norma. Se si sceglie la norma euclidea, il problema è quello di trovare che fornisca il minimo della funzione obiettivo (scalare)

Si tratta di un problema non lineare di ottimizzazione non vincolata ai minimi quadrati (NLS).

è una funzione (residuo) fortemente non lineare, ed è tale che

Per risolvere il problema NLS, il metodo di Levenberg-Marquardt con trust-region si è rivelato il più efficace.

In caso di failure di una coppia spiroconica aeronautica

In caso di failure di una coppia spiroconica aeronautica

Un recente progetto di ricerca DICI –

Ottimizzazione micro-geometria ingranaggi spiroconici per transfer gearbox (TGB) ed inlet gearbox (IGB) dei motori turbofan General Electric GEnx.

Applicazioni:

Boeing 787 Dreamliner Boeing 747-8 Intercontinental/Freighter

— Profilo aziendale (trasmissioni)

https://www.youtube.com/watch?v=cHRK3tk2xFs

— Stato dell’arte trasmissioni aerospace

https://www.youtube.com/watch?v=yBriY5dUnaQ

Altre tipologie di ruote dentate

Ruote elicoidali per trasmissione moto tra assi sghembi (contatto di punto)

Altre tipologie di ruote dentate

Vite-ruota elicoidale per trasmissione moto tra assi sghembi (elevati rapporti di trasmissione, scarsa efficienza)

Altre tipologie di ruote dentate

Rotismo epicicloidale per trasmissione moto tra alberi coassiali (si vedrà in dettaglio)

Il differenziale

Filmato del 1937 prodotto dalla Chevrolet Motor Division (General Motors)

https://www.youtube.com/watch?v=yYAw79386WI

Fonti

Litvin, Faydor L., and Alfonso Fuentes. Gear geometry and applied theory. Cambridge University Press, 2004.

Klingelnberg, Jan. Kegelräder: Grundlagen, Anwendungen. Springer Science & Business Media, 2008.

Stadtfeld, Hermann J. Handbook of bevel and hypoid gears: calculation, manufacturing and optimization. Rochester Institute of Technology, 1993.

www.zakgear.com

[altre fonti citate nelle singole slide]