Innledning - file · Web viewMappearbeid om sannsynlighet og kombinatorikk. Innledning. I dette mappearbeidet om sannsynlighet og kombinatorikk skal vi presentere et forslag på et

Lars Erik S. Loraas og Desiré Poulsen, GLU.5.-10. (Mappearbeid uke 7).

Mappearbeid om sannsynlighet og kombinatorikkInnledningI dette mappearbeidet om sannsynlighet og kombinatorikk skal vi presentere et forslag på et

undervisningsopplegg i dette temaet. Opplegget er en oppstart av temaet for en klasse, og vi

legger vekt på å fremme elevaktivitet. Vi har valgt å lage et opplegg for niende klasse, med

utgangspunkt i læreverket “Faktor” (presentert under), og vil gjennomgående begrunne alle

valg vi tar i forhold til undervisningsopplegget, med relevant teori.

Oppgaven er bygget opp slik at det først kommer en introduksjon av læreboken samt

lærerveiledningen vi har tatt utgangspunkt i. Deretter har vi et avsnitt om kommunikasjon,

for så å presentere selve undervisningsopplegget. Helt til slutt kommer det en presentasjon

av selve matematikken vi som lærere må kunne for å gjennomføre opplegget for en gruppe

elever.

Lærebok og lærerveiledning

Faktor 2 er matematikkboken for niendeklassinger, og den andre av i alt tre grunnbøker de

skal igjennom på ungdomstrinnet. Det følger med en oppgavebok og en lærerveiledning.

Temaet kombinatorikk og sannsynlighet er en del av kapittel 4 “Statistikk og

sannsynlighetsregning”. Kapittelet begynner med ca. 20 sider om statistikk før det tar for seg

kombinatorikk før sannsynlighetsregning. Underkapitlet om kombinatorikk starter med et

eksempel, der en dame skal bestille mat på en restaurant. Hun har noen muligheter å velge

mellom. Forrett: Salat, hovedrett: laks, biff og vegetar, dessert: is og frukt. Oppgaven spør

om hvor mange ulike menykombinasjoner hun kan velge mellom? Dette ser vi som en

inngangsport til elevaktivitet, fordi bildet åpner opp for diskusjon rundt temaet. Under

bildet, blir det forklart med tekst om hvor mange kombinasjons muligheter hun har å velge

mellom. Dette blir forklart på en fin og enkel måte, slik at elevene med sin grunnferdighet

forstår konteksten og greier å tolke teksten.

1


Læreboken har også uthevet en regel, som står i grønt. “Vi finner antall mulige utfall ved å

multiplisere antall muligheter med hverandre”. Dette er en regel som må gjennomgås med

lærer, slik at elevene får et visuelt bilde i hodet, og kan bruke denne “huskelappen” til andre

oppgaver.

Det er et eksempel til om kombinatorikk, som også er forklart på en enkel og tydelig måte

for elevene. Eksempelet går ut på hvor mange veier Martin kan velge mellom for å komme til

skolen. Etter dette eksempelet så er det regnetreningsoppgaver, som går på dagligdagse

ting, som da skaper et visuelt bilde i hodet for elevene.

Elevene har også en oppgavebok som de kan benytte. I hvert kapitel er den delt opp i tre

vanskelighetsgrader. Det gjør det enklere for elevene å finne oppgaver som passer til nivået

de er på. Hver kategori er delt opp i fargekoder. Kategori 1 (blå): Enkle oppgaver som gir

trening i det grunnleggende lærestoffet. Kategori 2 (grønn): Mer sammensatte og varierte

oppgaver for videre utvikling. Kategori 3 (rød): Oppgaver som byr på større utfordringer.

Boken har også to andre kategorier, den ene heter litt av hvert (brun) som består av

repetisjonsoppgaver og den andre er øvingsoppgaver til Digital manual (gul) oppgaver for

bruk av kalkulator og regneark.

Lærerveiledningen tar ikke høyde for å skape en elevaktiv undervisning, som det står om i

LK06, da teksten til eksempeloppgaven lyder slik: Her tar vi for oss enkle kombinatoriske

problemer som løses ved multiplikasjon – multiplikasjonprinsippet. Ved å tegne opp og telle

mulighetene vil elevene se at løsningen ligger i å multiplisere de ulike mulighetene med

hverandre. Her kommer de inn på hvordan man som lærer kan visualisere emnet for

elevene, men det står ikke noe om hvordan du kan legge opp et opplegg slik at du kan få en

elevaktiv undervisningstime.

Når du kommer til oppgaveløsing, så får du hjelp til hva elevene oftest sliter med. De skriver

hva som er de typiske feilene elevene gjør. Lærerveiledningsteksten henviser til en konkret

oppgave, og viser eksempler på vanlige misoppfatninger hos elever. Dette kan være et godt

hjelpemiddel for deg som lærer, slik at du er bevisst på hva elevene som regel misforstår.

2


KommunikasjonI klasserommet er det viktig å kunne få til en god kommunikasjon mellom lærer-elev og elev-

elev. Eleven vil få et større læringsutbytte, og vil oppfatte matematikk faget på en helt annen

måte, enn hvis det bare er regler og formler som skal følges. Dessuten inngår det i følge

LK06, språklige aspekter i en matematisk kompetanse, som det å resonere og kommunisere

ideer (LK06, 2006). Det er noen viktige faktorer som spiller inn når du skal få til en god

kommunikasjon i klasserommet, som vi som lærere må ta til følge når vi skal lage et

undervisningsopplegg.

Kunnskapsløfte 2006 stiller nye krav til kommunikasjon i matematikk. Elevene skal kunne

utrykke seg muntlig i matematikkfaget. Det vil si at de må kunne argumentere, begrunne

påstander og legge frem ideer i fellesskapet. Det hjelper ikke at du som lærer tar et svar for

gitt, du må utfordre eleven til å kunne kommunisere i fellesskapet, og begrunne det hun/han

mener (Karlsen mfl. 2009). For at du skal kunne holde en slik kommunikasjon i klassen, er du

avhengig av at elevene har en klar og trygg kontekst rundt seg. Slik at de tørr å ta initiativet i

en faglig diskusjon. Du som leder må opptre som en trygg og rolig voksen og elevene må vite

at du som lærer har klare mål, og forventninger til dem (Lillejord mfl. 2010). For å skape en

god kommunikasjon i klasserommet, så er det viktig at du kommer med en god oppgave til

elevene. Det vil si at du som lærer velger en oppgave med høye kognitive krav, at oppgaven

er åpen, rik og som innbyr til problemløsning og utforskning (Skott mfl. 2009). En

problemløsningsoppgave handler om at en ikke har en ferdig oppskrift for å løse oppgaven

(Karlsen mfl. 2009). For å skape en kommunikasjon ut i fra en problemløsnings oppgave, er

det viktig å komme med feedback, og oppfølgingsspørsmål. Når du stiller et

oppfølgingsspørsmål til eleven åpner det muligheten til å komme med antagelser og

hypoteser. Elevens svar blir ikke direkte evaluert som rett eller galt, men du som lærer ber i

stedet om en forklaring på hvordan de har tenkt (Karlsen mfl. 2009). Svaret fra eleven kan

være galt, men læreren viser at man ikke tar svaret for gitt, og at alle tenker forskjellige. I

noen sammenhenger så vil eleven oppdage at det hun/han svarte, var feil, og konkluderer

med at “jeg ser at jeg har tenkt feil”. Du som lærer prøver å sette ord på tankegangen deres,

slik at de oppdage dette, uten at eleven vil føle noe ubehag. Lærerens inngangsspørsmål og

oppfølgingsspørsmål gir videre en mulighet for andre elever til å komme med sine svar og

3


tanker, slik at det blir naturlig med en matematisk samtale (ibid). IRE-modellen går på det

motsatte av dette. Igangsetting, Respons og Evaluering. Denne type undervisningen går ut på

en enveiskommunikasjon mellom lærer-elev. Læreren kan stille et spørsmål til Jens (vilkårlig

navn), hva er svaret på oppgave 1? Jens: 23 kroner. Lærer: Riktig, bra Jens. Dette vil ikke

sette i gang noen matematisk diskusjon, noe vi som lærere ønsker, ettersom vi vil legge opp

til en elevaktiv undervisning.

Siste faktoren vi vil nevne, er hvordan vi som lærere organiserer klasserommet. En god

organisering i klasserommet kan enklere føre til en matematisk kommunikasjon. Dette må

læreren gjøre bevist for å få til et godt læringsmiljø, der det går an å diskutere og utforske i

felleskapet. (Ogden 2001 i Bergkaste mfl. 2010). I Bergkaste har de skrevet opp tre punkter

som man burde ta hensyn til når man skal organisere klasserommet, for at det skal bli et

godt læringsmiljø:

- Lærer må kunne få øyekontakt med alle elevene når det undervises i plenum eller gis

felles beskjeder.

- Lærer må kunne komme frem til alle elever på en rask og smidig måte for å gi hjelp,

ros eller korrigering.

- Eleven må kunne bevege seg for å gjøre nødvendige ærend i klasserommet uten at

det oppstår for store forstyrrelser eller “trafikkork”.

I vår time ville vi tatt i bruk hesteskoen. Grunnen til det er at det er enkelt å kunne

kommunisere, fordi du har hele tiden blikkontakt med elevene. Det er også enklere for dem

å kunne hente matematiske redskaper, og det er ingen som greier å “lure” seg unna, slik at

flere blir med på kommunikasjonen som foregår.

Som en oppsummering så er det viktig å forstå elevens tekning. Enkleste måten å finne ut

dette på er via kommunikasjon i klasserommet, dermed er det viktig at vi som lærere legger

til rette for en god kommunikasjon, som nevnt over. Det er også viktig at vi kommer med

feedback og oppfølgingsspørsmål, som kan føre til en større diskusjon i klassen, eller en

større forståelse blant elevene (Karlsen PP: kommunikasjon 2011). Det å diskutere og stille

hypoteser i fellesskapet vil også øke elevenes motivasjon (Skott m.fl. 2009). Organisering i

klasserommet har også en innvirkning på elevenes læringsmiljø (Bergkaste mfl. 2010).

4


UndervisningsoppleggVi har valgt å ta utgangspunkt i temaet kombinatorikk, da vi mener det er naturlig å klargjøre

for elevene nøyaktig hva kombinatorikk er, og hvordan man kan bruke dette i ulike

matematiske og dagligdagse sammenhenger, før man går inn på selve

sannsynlighetsregningen. Kombinatorikk handler om å undersøke ulike

kombinasjonsmuligheter og om å finne systematiske måter å telle opp på (Breiteig, Venheim

2005), og er også et nyttig verktøy innen sannsynlighetsregning.

Vi har valgt å starte undervisningsopplegget om kombinatorikk kollektivt og legge vekt på

elevaktivitet, dette gjør at elevene lærer med forståelse (Karlsen, L. og Vinje- Christensen

2010). Elevaktivitet er også en viktig faktor for å skape motivasjon hos elevene, fordi når vi

som lærere legger frem utforskende og/eller åpne oppgaver, som er oppgavesjangeren det

ofte legges vekt på innen elev aktiv undervisning (ibid.), vil elevene med hjelp og veiledning

fra lærer ofte klare å løse relativt vanskelige oppgaver, noe som gir mestringsfølelse, som er

den største motivasjonsfaktoren for å lære (Lillejord m.fl.). I tillegg vil vi gjennom vårt

undervisningsopplegg, ta sikte på måloppnåelse elevene skal inneha etter fullført

ungdomsskole, ved å følge LK06 hvor det presiseres at “mål for opplæringen er at elevene

skal kunne vise med eksempler og bestemme antall muligheter i enkle kombinatoriske

problemer” (LK06, 2006: 31). Ettersom vi har tatt utgangspunkt i et læreverk for niende

klasse, begynner vi helt grunnleggende med å jobbe opp forståelsen, rundt emnet

kombinatorikk.

For å tydeliggjøre ovenfor elevene hva de skal lære, presenterer vi målet for timen

(kombinatorikk) og skriver dette ned med store bokstaver, på tavlen. Dette gjør elevene mer

mottakelige for stoffet, da vet de nøyaktig hva det skal handle om, i motsetning til å bare

starte opp med for eksempel å regne oppgaver individuelt. Det har gjennom forskning

kommet frem at de fleste elevene hopper over overskrifter, bilder og tekst, slik at de ikke får

med seg nøyaktig hva det er de holder på med å lære seg, derfor er det viktig at vi som

lærere er nøye med førarbeidet (Maagerø, 2009). Dessuten er det av stor fordel å starte nye

temaer kollektivt, da det er vanskelig for oss som lærere å avdekke eventuelle

misoppfatninger, hvis vi overlater elevene til seg selv. Vi har derfor valgt å starte med denne

overskriften på tavlen, med en samtale rundt dette. Hva tenker elevene på når de hører

ordet kombinatorikk? Vet de noe om hva det handler om? Osv. Dette gjør vi for å aktivere

5


eventuelle førkunnskaper, og for å knytte det nye temaet opp mot ting de kjenner seg igjen i

fra tidligere (“kontakt med knagger de har fra før”). Dessuten er det et krav i LK06 som går

på å trene elevene i å kunne utrykke seg muntlig i faget matematikk, noe som innebærer “ å

gjøre antakelser, stille spørsmål, argumentere og forklare en tankegang ved hjelp av

matematikk” (LK06, 2006:26). Vi noterer stikkord fra elevene rundt “kombinatorikk” på

tavla, og forteller at vi skal ta det opp igjen senere og supplere med det vi nå kommer til å

lære, og evt. korrigere det vi trudde om temaet, som viser seg å ikke stemme. En slik

“tankekart-metode” er en god forberedelse til temaet, fordi det er med på å gjøre elevene

bevisst på hva det handler om, og i tillegg aktiveres tidligere forkunnskaper (Karlsen, L.

20011, pp: lesing av fagtekster).

Deretter har vi valgt å ta introduksjonsbildet til kombinatorikk fra elevenes lærebok, opp på

lysbilde, slik at vi kan legge til rette for en åpen, problemløsende oppgave, rundt dette bildet.

6


Vi har valgt å la elevene følge med foran på lysbildet, fremfor i hver sin bok, da vi ønsker å

legge til rette for en god felles kommunikasjon, og prosessen frem mot hvordan vi kan løse

problemet lysbildet presenterer, fremfor selve løsningen (produktet). Noe også Skott m.fl.

trekker frem i sin bok “Delta”, hvor de peker på at det har skjedd en bevegelse innen

matematikkundervisning, som nå går på at man legger større vekt på fagets prosesser,

fremfor fagets produkter, dette bygger opp forståelsen hos elevene (Skott m. fl. 2009). Hvis

vi i stede hadde bedt elevene se i hver sin bok, ville de raskt sett løsningen på problemet da

læreboken presenterer dette rett under bildet. Dette er ikke ønskelig rundt en

problemløsende, åpen oppgave, da det ikke gir rom for refleksjon, og tid til å tenke. Ifølge

LK06 inngår det problemløsning i en matematisk kompetanse, slik at vi som lærere må legge

dette til grunn i vår undervisning (LK06, 2006).

På bildet ser vi en situasjon hvor en dame skal bestille mat på en restaurant. Spørsmålet vi

ønsker å stille klassen er “på hvor mange måter kan vi sette sammen ulike måltider ut ifra

denne menyen, hvis måltidet skal bestå av forrett, hovedrett og dessert?”. Dette vil vi at

elevene først, kort, skal diskutere med sidemannen, før vi får forslag opp på tavla. Mange

elever vil kanskje begynne å prøve å telle, og kanskje noen også kommer frem til riktig svar.

Det er, som nevnt, ikke svaret i seg selv vi er mest interessert i, men vi ønsker å stille elevene

ovenfor noen dagligdagse “problemer”, og utfordre de på hvordan de kan komme frem til

løsningen. Bevisst har vi ikke gitt noen formel for å regne ut dette på forhånd, da en elevaktiv

undervisning baserer seg på å bygge opp forståelsen hos elevene, noe reproduksjon av

algoritmer og formler ikke gjør (Skott m.fl. 2009). Det er da mer fordelaktig å forklare

formlene etterpå, da de lettere ser hvorfor de er som de er, i tillegg klarer elevene da noen

ganger å utvikle disse formlene selv, på grunnlag av kunnskaper de tilegner seg under

prosessen med å løse problemene (ibid.)

Når elevene har fått noen minutter på å komme frem til en løsning inviterer vi elevene til å

komme med forslag på hvor mange måltider vi kan sette sammen, og diskuterer dette. Det

er da en fordel å tegne situasjonen på tavla sammen med elevene slik at vi som lærere drar

de mot å se at oppgaven kan løses enten ved å sette opp systematisk, eller ved

multiplikasjon.

7


Vi introduserer da multiplikasjonsprinsippet uten å skrive opp noen formel for det, vi viser i

stede hvordan det fungerer i praksis, noe som gjør det lettere å forstå at det er fornuftig å

gjøre det på denne måten i tilfeller hvor det blir vanskeligere å tegne og telle opp. I dette

tilfellet var det snakk om 6 mulige utfall (1 forrett 3 hovedretter 2 desserter = 6 mulige ∙ ∙måltider), slik at det her er fullt mulig å finne det ut ved å skrive opp rettene systematisk. Det

vi ønsker er å vise at de kan overføre denne måten å tenke på ved lignende situasjoner hvor

det er større tall, når det blir vanskelig å skrive/tegne alle mulighetene. I tillegg er det også

elever som forstår det best med tall, og liker en teoretisk inngang.

En annen måte å vise elevene eksempelet med å sette sammen ulike måltider på, er ved å

skrive opp alle mulighetene (kombinasjonene) med den ene hovedretten, for så å

multiplisere med antall hovedretter ettersom at da må hver og én hovedrett ha like mange

muligheter for kombinasjoner som denne.

8


Etter denne første introduksjonen om kombinatorikk, legger vi opp til å ha to påfølgende

eksempler for å klargjøre begrepet enda tydeligere. Dette gjør vi fordi vi ønsker å la elevene

se ulike innganger til emnet kombinatorikk. Alle elever lærer på ulike måter, slik at å gi flere

eksempler for elevene, øker muligheten for at flest mulig (helst alle), forlater

undervisningsøkten med ny kunnskap og forståelse. Vi tar utgangspunkt i kjente situasjoner,

fordi dette aktiverer førkunnskaper hos elevene, ettersom “de kjenner seg igjen”. Elevene

kan også lettere relatere matematikken til virkelige hendelser, og skape et eierforhold til

matematikken. Å ta utgangspunkt i kjente situasjoner gjør også at elevene ser matematikken

som mer hensiktsmessig (forelesning 2010. Karlsen, L.).

Påfølgende eksempel vi presenterer for elevene handler om ulike kombinasjoner av veier. Vi

setter først opp to byer/steder på tavla, elevene kjenner til, og finner frem til ulike veier man

kan ta fra by nr.1 til by nr. 2 (e18, riksvei, etc.). Vi lar elevene komme med forslag på ulike

veier, da dette aktiverer en type førkunnskap, slik at det kan bli letter å forstå ettersom de

“kjenner seg igjen”, som nevnt i avsnittet over, og fordi det skaper motivasjon å kunne bidra

i undervisningen. Deretter diskuterer vi med elevene hvor mange ulike veier vi kan ta fra by

nr.1 til by nr. 2. Ettersom de selv har kommet med forslag på veier, som vi har tegnet opp på

tavla, blir det bare for elevene å telle opp dette, for å få svar på hvor mange mulige veier de

kan ta som fører frem til målet. Det som blir mer spennende og utforskende, er når vi fører

på en tredje by, og begynner å sette på nye veier (elevene) man kan ta fra by nr.2 til by nr. 3.

“Hvor mange ulike måter kan vi nå komme oss fra by nr. 1 til by nr.3?”

Vi lar elevene diskutere kort med sidemannen, og får i gang en dialog ved å la elevene

komme med forslag. Etter hvert som vi teller opp veier, fører vi elevene over på å se at antall

kombinasjoner kommer frem ved å multiplisere antall veier fra by nr.1 til by nr.2, med antall

veier fra by nr. 2 til by nr. 3. Vi inviterer elevene til å forklare hvordan man kan finne svar på

problemet, og ved behov for presisering gjenforteller vi det eleven forklarer, mens vi peker

9


på tegningen slik at klassen kan se sammenhengen med situasjonen vi tok utgangspunkt i, og

veien frem til løsningen.

Til slutt kommer vi frem til at antall kombinasjoner av veier (ulike måter å komme fra by 1 til

by 3 på) blir å multiplisere 4 med 3, ettersom at ved for eksempel vei 1, har vi ytterlige 3 valg

videre for å komme seg fra by nr. 2 til by nr. 3 (se tegning). Hver og en vei fra by nr 1 til by nr

2 har tre veivalg videre, dermed blir antall muligheter for veivalg 4veier 3veier =12 mulige ∙kombinasjoner av veier.

Siste eksempel, ønsker vi også å ta sammen med elevene i fellesskap, da det er til nytte i

mange oppgaver forbundet med kombinatorikk hvor rekkefølgen spiller en rolle. Vi inviterer

et antall elever opp foran i klassen (eks: 4 stk) og stiller spørsmålet “på hvor mange ulike

måter kan disse elevene stille seg i kø på?” Vi viser elevene at når f.eks Karl står som nr 1, er

det 3 elever igjen som kan velge å stå på andre plass i køen, etter Sofie har stilt seg opp som

nr 2, er det ytterlige 2 valg igjen som kan stille seg på tredje plass, og til slutt står da nr 4

igjen og det er bare denne ene som kan stå til slutt. Dette gir 4 3 2 1=24 ulike måter å ∙ ∙ ∙stille seg i kø på. Vi skriver opp multiplikasjonsstykket på tavlen, og forsikrer oss om at

elevene forstår hvorfor det må bli 24 mulige kombinasjoner ved å la et par elever forklare for

resten av klassen. Merker vi at det er usikkerhet eller misoppfatninger gjør vi hele

eksempelet på nytt. Meningen er å visualisere bilder på ulike situasjoner, som kan hjelpe

elevene til å løse oppgaver i matematikken og hverdagslivet i senere anledninger.

Etter disse 3 eksemplene med, menykartet, veivalgene og køprinsippet, introduserer vi

elevene for læreboken, og viser til eksemplene i denne, slik at de senere vet hvor de kan se

dersom de trenger veiledning og ikke har noen tilgjengelig. Dette fordi vi ønsker å gjøre

elevene klar over den ressursen det er å bruke læreboken, da det via forskning har kommet

frem at elever ofte hopper over mange meningsfyllende “biter” i multimodale tekster, noe

matematiske tekster er et godt eksempel på, som medfører at elevene ofte ikke forstår den

hele og fulle meningen, da de ikke bruker boken slik forfatteren har ment (Maagerø, E.

2009).

10


Oppsummering/refleksjonVi ønsker å ha en tydelig oppsummering/refleksjon på slutten av vår undervisningsøkt. Etter

de tre eksemplene vi har gjort med elevene, vil vi gjerne omsette det praktiske vi har gjort, til

teori. I boka så står det en regel som lyder følgende: Vi finner mulige utfall ved å multiplisere

antall muligheter med hverandre. Vi vil vise denne regelen opp i mot det vi har gjort i de

foregående eksemplene. Vi ønsker da å presisere for elevene at dette er regelen

matematikkboken bruker, slik at det er greit å kjenne til den, men at de kan bruke

opptellingsmetoden i stedefor regelen dersom de synes det er lettere. Vi vil også presisere at

denne regelen kan være til god hjelp hvis du for eksempel har 30 forskjellige veier å velge

mellom, i stede for 3 og 4 som vi hadde i sta. Dette får eleven selv velge, ut i fra hva hun/han

synes er enklest å forstå. Vi viser også sammenhengen mellom regelen og det praktiske vi

har gjort med elevene, ved å sette det opp som et multiplikasjonsstykke på tavlen. Dermed

får vi overført praktiske tydelige over til regler/teori.

Som del av oppsummering vil vi at elevene skal skrive en kort logg på det vi har gjort i timen.

Da forskning viser til at loggføring gir en positiv innvirkning for elevens læringskurve (Wittek,

A.L. 2011). Elevene har en egen loggbok som de fører inn i på slutten av timen. Spørsmål de

må svarer på lyder slikt: Hva har du lært i denne timen, som du ikke kunne fra før? Er det noe

du trenger mer hjelp til, for å forstå det vi har gjort i timen? Hva synes du om denne timen,

hvorfor? Grunnen til at vi velger å gjøre dette de siste 3 minuttene av timen og ikke hjemme,

er fordi vi synes det er såpass viktig at elevene får skrevet loggen umiddelbart etter

undervisningsøkten, slik at får satt ord på det de akkurat har lært. I tillegg er dette et viktig

arbeid for oss lærer i forhold til formativ vurdering. Vi kan da ta med loggarbeidet hjem, og

ut i fra dette legge opp undervisningsløpet videre, etter hvor elevene står på nåværende

tidspunkt i faget. I LK06 er en av grunnferdighetene å kunne utrykke seg skriftlig noe som i

matematikk innebærer å kunne forklare en tankegang og sette ord på oppdagelser og ideer

(LK06 2006;26) Dette er noe elevene vil få trening i ved å skrive logg.

Vi velger også å gi elevene en hjemmelekse. Den går ut på at de skal lese eksemplene i

boken, som vi underviste i. De skal skrive kort hva eksemplene handler om og skrive ned

vanskelige ord. Dette vil vi ta i betraktning når vi skal sette opp neste undervisningsopplegg.

Dette vil øke elevens leseforståelse innenfor matematikk faget, som det også står om i LK06.

11


“Å kunne lese i matematikk innebærer å tolke og dra nytte av tekster med matematisk

innhold og med innhold fra dagligliv og yrkesliv” (LK06 2006;26).

Matematikken som inngår i undervisningsoppleggetKombinatorikk er et felt som blir kalt for diskret matematikk. Det vil si at man ikke bruker

begreper som grense, kontinuitet og uendelighet, og heller ikke irrasjonale tall. Mange

kombinatoriske oppgaver egner seg fint til utforskninger for elever. Arbeidet med

kombinatorikk bygger på to enkle grunnprinsipper: addisjonsprinsippet og

multiplikasjonsprinsippet.

Addisjonsprinsippet:

Vi har to mengder A og B

a) Når vi slår sammen alle elementene i A og B, får vi mengden A∪B, som kalles

unionen av A og B.

b) Mengden som består av de elementene som forekommer begge steder, i både A og i

B, noteres A∩B, og dette kalles snittet av A og B.

c) Når A er en mengde, lar vi n(A) bety antall elementer i A.

Ut i fra dette kan vi formulere addisjonsprinsippet:

Antall elementer til sammen i to mengder A og B er lik antallet i A pluss antallet i B minus

antallet som opptrer i begge:

n(A∪B)=n ( A )+n (B )−n(A∩B)

Addisjonsprinsippet går ut på å legge sammen antall delmengder vi har, for deretter trekke i

fra de delmengdene som opptrer flere ganger. Slik at de ikke blir telt med dobbelt. Dette kan

lettere sees ved å lage venndiagram.

Multiplikasjonsprinsippet:

Når vi gjør er sammensatt valg, blir det totale antall kombinasjonsmuligheter lik produktet av

antall muligheter ved hvert delvalg.

12


Dette kan utrykkes ved symboler fra mengdelæren.

Når A og B er to mengder, skal A×B bety mengden av ordnede par med første element fra A

og andre element fra B.

Da blir multiplikasjonsprinsippet slik: For to mengder A og B gjelder at

n ( A×B )=n(A)∙ n(B)

Når vi gjør et sammensatt valg kan vi finne antall kombinasjoner, ved å multiplisere valgene

med hverandre, dette gjelder ordnet med tilbakelegging.

Når elevene i grunnskolen arbeider med multiplikasjon, kommer de også inn på

multiplikasjonsprinsippet. De kan løse oppgaver av typen: 3 typer iskrem og 5 typer saus –

hvor mange forskjellige “is i glas” kan vi lage? Som eventuell innføring i multiplikasjon i

småskolen faller muligens denne konkretiseringen vanskeligere enn gjentatt addisjon. De

kan ikke telle opp disse 15 kombinasjonene på samme konkrete måte som de kan telle opp 3

rekker med 5 brusflasker. I mappeoppgaven har vi vist flere eksempler på hvordan vi kan

konkretisere multiplikasjonsprinsippet for elever ved hjelp av kjente situasjoner.

Permutasjon

Ved opptak av studenter til en skole skal det lages ei venteliste på frem søkere. Det viser seg

at åtte søkere står fullstendig likt i konkurransen om disse fem plassene. Det må derfor

trekkes lodd blant de åtte som står likt. Hvor mange ulike ventelister, nummerert fra 1 til 5,

kan det tenkes?

Det er 8 muligheter for det første navnet. Når dette er trukket ut, er det så 7

muligheter for det andre navnet. Slik fortsetter det. I følge multiplikasjonsprinsippet er det

derfor 8∙7∙6∙5∙4= 6720 mulige slike ventelister.

En delmengde på k elementer ordnet i en bestemt rekkefølge av en samling på i alt n

elementer kalles en k-permutasjon av denne n-mengden.

Det er altså 6720 ulike 5-permutasjoner av en 8-mengde.

Av alle de åtte elementene i 8-mengden er det 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 mulige permutasjoner. Dette

tallet vil vi skrive kortere som 8!, som utales 8 fakultet.

13


Ut i fra vårt eksempel, med kø prinsippet som det er 4 personer som står i en kø, handler

dette om hvor mange måter kan de stå i kø på? Førstemann gir 4 valg, da er det 3 valg igjen

til 2.plass, 2 igjen til 3.plassen og 1 igjen til siste plass, dette gir 4∙3 ∙2∙1=24, og gir eksempel

på kombinatorikk, permutasjoner og multiplikasjonsprinsippet.

AvslutningVi har i denne mappeinnleveringen lagt frem et forslag på et undervisningsopplegg i

kombinatorikk, som en oppstart av temaet. Vi har lagt vekt på en elevaktiv inngang, og

mener at å presentere temaet med flere ulike eksempler slik vi har gjort, gir elevene en

bedre innsikt og forståelse ettersom at alle lærer på ulike måter med ulike innfallsvinkler.

Disse eksemplene fra dagliglivet (menykartet, veivalg og køprinsippet), er for å legge til

grunn en forståelse, som senere skal hjelpe elevene med å tenke matematisk, og dermed

klare å løse oppgaver med forståelse fremfor kun å reprodusere en algoritme, som raskt blir

glemt igjen dersom den er lært uten forståelsen i bunn (Skott m.fl. 2009). Vi har som

tidligere nevnt lagt vekt på problemløsning, ved at vi ikke har gitt elevene en formel for å

løse oppgavene vi presenterer på forhånd. Dette er også vektlagt i LK06, hvor det blant

annet fremheves som en grunnleggende ferdighet: “Å kunne regne matematikk utgjør en

grunnstamme i matematikkfaget. Det dreier seg om problemløsning og utforskning med

utgangspunkt i praktiske, dagligdagse situasjoner og problemer av matematisk art” (LK06,

2006: 27). Noe vi som lærere bør ta til etterretning når vi skal lage undervisningsopplegg. Vi

har også lagt vekt på å ha en tydelig før-arbeid del med tankekartet og diskusjon, hoveddel

med tre felles elevaktive oppgaver, og en etter-arbeids del med bruk av oppsummering, logg

og hjemmelekse, for å tydeliggjøre ovenfor elevene hva de nå har tilegnet seg av kunnskap.

Dette er bevisste valg vi tar, for å hjelpe elevene med å forstå hvordan det nye stoffet henger

sammen med andre ting de kan fra før, hvordan man kan se ting fra ulike innganger og

hjelpe de med å få mest mulig eierforhold til det nye temaet.

14


Litteraturliste

Bergkastet, I., Dahl, L. og Hansen, K.A., (2010). Elevenes læringsmiljø- lærerens muligheter. En praktisk håndbok i relasjonsorientert klasseledelse. Universitetsforlaget.

Breiteig, T. & Venhei, R., (2005). Matematikk for lærere 2, 4 utgave. Universitetsforlaget AS.

Karlsen, L. & Vinje-Christensen, P. (2009) Elevaktiv matematikkundervisning. Hvordan omsette didaktisk teori til praksis. I Aagre, W. (red.) Lærerutdanning for ungdomstrinnet, s. 199-124. Oslo, Gyldendal.

Karlsen, L. (2010). Powerpoint: Elevaktivitet.

Karlsen, L. (2011). Powerpoint: Kommunikasjon.

Karlsen, L. (2011) powerpoint: Lesing av fagtekster i matematikk. Tekstsamtalen. Litt om skriving.

Lillejord, S., Manger, T., Nordahl, T., (2010). Livet i skolen 2. Grunnbok i pedagogikk og elevkunnskap: Lærerprofesjonalitet. Fagbokforlaget.

Maagerø, E. (2009). “De langsomme tekstene. Om å lese matematikk”. Læsepedagogen 5/2009, s.22-27.

Skott, J., Jess, K., Hansen, H.C., (2009). Matematikk for lærerstuderende. DELTA. Fagdidaktikk. Forlaget Samfundslitteratur.

Utdannings- og forskningsdepartementet (2006). Kunnskapsløftet. Læreplan for grunnskolen og videregående opplæring.

Wittek, A.L. (2011). Powerpoint: Prosessorientert skriving.

15

Documents

Innledning - file · Web viewMappearbeid om sannsynlighet og kombinatorikk. Innledning. I dette mappearbeidet om sannsynlighet og kombinatorikk skal vi presentere et forslag på et