Institut for Matematik Science and echnologyT Aarhus

Stereologi

Eva B. Vedel Jensen

Institut for Matematik

Science and Technology

Aarhus Universitet

Foredrag ved Matematiklærerdagen

18. marts 2016

Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen

Estimation af volumen - æggedeler design

UO


Estimation af volumen - æggedeler design

Æggedeler design

TU+mt , m ∈ Z, systematisk sæt af parallelle planer

(grå planer).

t er afstanden mellem naboplaner.

U er uniform i [0, t), så placeringen af planerne er tilfældig.

Lad Y ⊂ R3 med volumen V (Y ).

En central ("unbiased") estimator af V (Y ) er

V (Y ) = t∑m

A(Y ∩ TU+mt),

hvor A står for areal.


Bevis for centralitet

Estimatoren er en funktion af U, V (Y ) = g(U). Middelværdien er

EV (Y ) =

∫ t

0

g(u) · fU(u) du

=

∫ t

0

t∑m

A(Y ∩ Tu+mt) ·1

tdu

=∑m

∫ t

0

A(Y ∩ Tu+mt) du

=∑m

∫ (m+1)t

mtA(Y ∩ Tv ) dv

=

∫ ∞−∞

A(Y ∩ Tv ) dv = V (Y ).


Variansen af volumen estimatoren

Variansen af V (Y ) afhænger af formen af Y .

Systematiske planer giver sædvanligvis en mindre varians end

hvis planerne placeres uafhængigt af hinanden.

Under regularitetsbetingelser kan det vises, at V (Y ) er

asymptotisk supere�cient for t → 0.


Mere om volumen estimatoren

Arealer kan estimeres med et systematisk sæt af kvadrater.

U

Y

D0


Estimation af længde i planen


Estimation af længde - Bu�on's nåleproblem

Bu�on's nåleproblem

T , systematisk sæt af linier, tilfældigt placeret og orienteret,

afstand t mellem nabolinier.

Y ⊂ R2, liniestykke i planen af længde L(Y ) < t.

N(Y ∩ T ), antal skæringer mellem Y og T (enten 0 eller 1).

Da gælder

P(N(Y ∩ T ) > 0) =2L(Y )

πt.

Normalt bruges dette resultat til at estimere π, men i stereologien

bruges resultatet i stedet til at estimere L(Y ).


Estimation af længde i planen

T , systematisk sæt af linier, tilfældigt placeret og orienteret,

afstand t mellem nabolinier.

Y ⊂ R2, kurve i planen.

En central estimator af L(Y ) er

L(Y ) =π

2t N(Y ∩ T ).


Bevis for centralitet

Lad Y = ∪iYi , hvor Yi er et liniestykke med L(Yi ) < t. Da gælder

EL(Y ) = E[π2t N(Y ∩ T )

]=

π

2t E

∑i

N(Yi ∩ T )

=π

2t∑i

EN(Yi ∩ T )

=π

2t∑i

P(N(Yi ∩ T ) > 0)

=π

2t∑i

2L(Yi )

πt

=∑i

L(Yi ) = L(Y ).


Estimation af længde i rummet

UW

O

L(Y ) = 2t N(Y ∩ T )


Estimation af over�ade areal - fakir design

Y

OD0

W

S(Y ) = 2A(D0)N(Y ∩ T )


Estimation af over�ade areal - vertikale snit

p q

Vq, p


Estimation af antal partikler

Antal partikler i et snit afhænger ikke kun af antallet i 3D,

men også af deres størrelse.


Tomatsalat eksemplet



Antal i snit ∝ Antal i rummet × Middel partikel højde.

Lad TU være et plan med fast orientering og placering givet

ved U, der er uniform i et interval af længde D.

Lad Y1, . . . ,YN betegne N partikler med højder H(Yi ),i = 1, . . . ,N.

Da gælder

E#{i : TU ↑ Yi} ∝ N × H,

hvor H er middel partikel højden, H =∑

i H(Yi )/N.


Bevis

For den ite partikel gælder

P(TU ↑ Yi ) = H(Yi )/D.

Heraf fås

E#{i : TU ↑ Yi} =∑i

P(TU ↑ Yi ) =∑i

H(Yi )/D =1

D×N × H.



Løsningen er at bruge 2 planer, en såkaldt disector.

De 2 planer betegnes TU , TU+h, hvor h > 0.

Lad p(i) være det 'øverste' punkt af Yi , i = 1, . . . ,N.

Vi tæller Yi , hvis partiklens øverste punkt falder mellem

planerne, dvs. U < p(i) < U + h.

Sandsynligheden for at Yi bliver talt er dermed

P(U < p(i) < U + h) = P(p(i)− h < U < p(i)) = h/D.

Sandsynligheden afhænger ikke af i .


Estimation af partikel størrelser

Wicksell's problem: estimation af størrelsesfordeling af

kugleformede partikler ud fra observationer i snit.

Sandsynlighedstætheden g for fordelingen af de observerede

diametre af cirkulære snit opfylder

g(s) =s

m

∫ ∞s

1√t2 − s2

f (t) ds,

hvor f er den tilsvarende tæthed i 3D.

At �nde f udfra g er et 'ill-posed' inverst problem.

Den moderne stereologi beskæftiger sig med metoder til at

�nde størrelsesfordelingen af partikler af generel form.


Optisk snitning


Lokal stereologi

Lokal stereologi giver adgang til partikel størrelser i 3D.

Målinger på lokale snit anvendes.

T


Lokal stereologi - eksempler i 2D

Cirkel

r

Areal = πr2



Konveks form

rdf

Areal =∫ 2π0

12 r

2dφ = π

∫ 2π0

r2 dφ2π = πr2



Ikke-konveks form

r0

r1

r2

Areal(skraveret område)=12(r20 + r22 − r21 )dφ

Areal= πr2


Lokal stereologi - eksempel i 3D

w

r

dr

dv=r2drdw

Volumen= 4π3 r3


Lokal stereologi - n dimensioner

Den generaliserede Blaschke-Petkantschin formel:

c(n − q − r , p − q − r)

∫X1

· · ·∫Xq

g(x1, . . . , xq)

q∏i=1

dxni

=

∫Lnp(r)

∫X1∩Lp

· · ·∫Xq∩Lp

g(x1, . . . , xq)

×∇r+q(e1, . . . , er , x1, . . . , xq)n−pq∏

i=1

dxpi dLnp(r)

n = 3, q = 1, r = 0, p = 1: volumen i 3D via lokale snit!


Lokal stereologi - volumen i 3D

Isotropisk L1:23

∑x∈∂X∩L1(−1)

α(x)‖x‖3

Isotropisk L2, uniform G1 ⊆ L2 :

2A1

∑x∈∂(X∩L2)∩G1(−1)

α(x)∫ |x·ω|0

√v2 + ‖πL2L1x‖2dv

Vertikal L2, uniform G1 ⊆ L2, L1 ⊥ L1(0):π2A1

∑x∈∂(X∩L2)∩G1 ‖πL1x‖2

Isotropisk T2, uniform G1:

A2

∑x∈∂(X∩T2)∩G1(−1)

α(x)∫ |x·ω|0

F1,2

(t2

v2+‖πL⊥1

x‖2

)dv

Vertikal T2, uniform G1, L1 ⊆ L⊥1(0):

A2

∑x∈∂(X∩T2)∩G1(−1)

α(x)∫ |x·ω|0

F1,1

(t2

v2+‖π(L1(0)+L1)

⊥ x‖2

)dv


Lokal stereologi - over�adeareal i 3D

Isotropisk L2, isotropisk L1 ⊆ L2:2π∑

x∈X∩L1(1+ cotβx(π2− βx))‖x‖2

Isotropisk T2, uniform and isotropisk G1:

2A2

∑x∈X∩T2∩G1 F1,2(t

2/‖x‖2)−1

Vertikal T2, uniform and isotropisk G1:

2A2

∑x∈X∩T2∩G1 F1,1(t

2/‖πL⊥1(0)

x‖2)−1

Isotropisk T2, G1||T2:

2A2

∑x∈X∩T2∩G1 F1,1(t

2/‖πL⊥1

x‖2)−1


Lokal stereologi - længde i 3D

Isotropisk T2, uniform and isotropisk G2:

2A1

∑x∈X∩T2∩G2 F1,2(t

2/‖x‖2)−1

Vertikal T2, uniform and isotropisk G2:

2A1

∑x∈X∩T2∩G2 F1,1(t

2/‖πL⊥1(0)

x‖2)−1

Isotropisk T2, G2 ⊥ T2:

2A1

∑x∈X∩T2∩G2 F1,1(t

2/‖πL⊥1

x‖2)−1


Lokal stereologi - antal i 3D

Isotropisk T2:∑x∈X∩T2 F1,2(t

2/‖x‖2)−1

Vertikal T2:∑x∈X∩T2 F1,1(t

2/‖πL⊥1(0)

x‖2)−1


Avanceret statistisk billedanalyse

Antal kan bestemmes med større præcision, hvis synsfelter

computer-styres til informative områder (her det granulære cellelag,

vist blå).

6 Proportionator Sampling and Estimation

Figure 3. Estimating total number of granule cells in rat cerebellum. The blue granule cell layer is clearly visible

at 1.25X (upper left panel). The area of interest is delineated coarsely and partitioned into fields of view. The upper

right panel shows the fields of view with their assigned weight on a grey-scale. Middle left panel shows the distribution

of sampled fields (yellow rectangles) for the proportionator, the selected fields of view are almost surely in the granule

cell layer. As shown in the middle right panel!sampling with the traditional SURS!such fields of view may or may not

hit the blue region. The lower two panels are examples of counting at 100X magnification (oil lens).

Total number of GFP orexin neurons in mice brain

Two brains were studied from mature transgenic mice, where orexin neurons in lateral hypothalamus and

adjacent perifornical area could be visualized in situ by expression of enhanced green fluorescent protein

(Burdakov et al. 2006). Brains had been immersion fixed in 4% phosphate-buffered formaldehyde for a

few hours, cryo-protected and frozen in liquid nitrogen. The brains were cut exhaustively using a


Rumlig statistik

Lokale skaleringsmodeller (selv-similære)


Rumlig statistik

Rekonstruktion af netværk


Documents

Institut for Matematik Science and echnologyT Aarhus