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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DO MARANHÃO – IFMA
CAMPUS MONTE CASTELO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE FÍSICA
MESTRADO NACIONAL PROFISSIONAL EM ENSINO DE FÍSICA
Produto Educacional da Dissertação de Mestrado
SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS POR INTERMÉDIO DO GNUPLOT
COMO RECURSO DIDÁTICO PARA O ENSINO DE FÍSICA
José Roberto Penha Soares
Orientador: Prof. Dr. Antonio Soares dos Anjos Filho
São Luís – MA
Janeiro/2020
1
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 - Página oficial para aquisição do software gnuplot............................. 4
Figura 02 - Pasta do aplicativo gnuplot no menu Iniciar do Windows.................. 5
Figura 03 - Tela de abertura do gnuplot na plataforma do Windows.................... 6
Figura 04 - Resultado simples do comando plot executado no ambiente de
trabalho...............................................................................................
8
Figura 05 - Resultado simples do comando splot executado no ambiente de
trabalho..............................................................................................
9
Figura 06 - Exemplo de demonstração de um script no gnuplot.......................... 9
Figura 07 - Gráficos gerados pelo script executável de nome “curvas.plt” .......... 10
Figura 08 - Imagem de uma simulação de movimento retilíneo uniforme........... 14
Figura 09 - Arquivo-script do aplicativo MRU de nome “Inic_MRU.txt” ............... 16
Figura 10 - Exibição da janela de informação sobre as teclas de atalho ao
iniciar uma simulação do movimento retilíneo uniforme ....................
17
Figura 11 - Imagem de uma simulação de movimento retilíneo uniformemente
variado ..............................................................................................
21
Figura 12 - Arquivo-script do aplicativo MRUV de nome “Inic_MRUV.txt” ........... 23
Figura 13 - Exibição da janela de informação sobre as teclas de atalho ao
iniciar simulação do movimento retilíneo uniformemente variado......
24
Figura 14 - Imagem de uma simulação de lançamento vertical - Queda Livre .... 28
Figura 15 - Quadro final da execução de uma simulação de lançamento
vertical - Queda Livre.........................................................................
29
Figura 16 - Arquivo-script do aplicativo Queda Livre de nome
“Inic_Queda_Livre.txt” .......................................................................
31
2
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO................................................................................................. 3
1.0 Software Gnuplot: Aquisição e Instalação ........................................... 4
1.1 Ambiente de Trabalho e os Principais Comandos Básicos ................ 5
2.0 Simuladores Virtuais do Produto Educacional..................................... 11
2.1 Estratégias e Sugestões de Utilização dos Simuladores Virtuais ..... 12
2.2 Objetivos do Produto Educacional ........................................................ 13
2.3 Simulador Virtual do Movimento Retilíneo Uniforme........................... 14
2.3.1 Plano de Atividade: Primeiro Encontro ................................................ 17
2.4 Simulador Virtual do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado . 21
2.4.1 Plano de Atividade: Segundo Encontro ................................................ 24
2.5 Simulador Virtual do Lançamento Vertical – Queda Livre.................. 28
2.5.1 Plano de Atividade: Terceiro Encontro ................................................ 32
3.0 Considerações Finais ............................................................................ 36
4.0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................ 37
APÊNDICE A – Código Fonte do Aplicativo – MRU ............................ 38
APÊNDICE B – Código Fonte do Aplicativo – MRUV ........................... 40
APÊNDICE C – Código Fonte do Aplicativo – Queda Livre ................ 43
3
APRESENTAÇÃO
Este Produto Educacional foi desenvolvido no Departamento de Física do
Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia do Maranhão - IFMA, Campus
Monte Castelo, no programa de Pós-Graduação do Mestrado Nacional Profissional
em Ensino de Física (MNPEF). O produto educacional aqui disponibilizado trata-se
de um módulo didático constituído por três simuladores virtuais desenvolvidos por
intermédio do software gnuplot que podem ser utilizados por professores do primeiro
ano do ensino médio como um material instrucional complementar nas intervenções
didáticas de ensino de Física nos níveis do ensino da educação básica,
especificamente, no estudo da Cinemática Escalar.
Para auxiliar os professores, este guia de uso do presente produto educacional,
contém algumas sugestões e dicas de utilização das simulações computacionais
criadas para trabalhar com os alunos os conteúdos sobre movimentos
unidimensionais, a saber, o movimento retilíneo uniforme (M.R.U), o movimento
retilíneo uniformemente variado (M.R.U.V) e queda livre.
Cada uma dessas simulações (simuladores virtuais), que podem ser
implementadas facilmente pelos professores em atividades exploratórias, tem por
objetivo facilitar o processo de ensino-aprendizagem por meio de estímulos a
curiosidade do aluno, despertando o interesse desse aluno, pelo conteúdo
ministrado, através da utilização das chamadas tecnologias de informação e
comunicação.
Em escolas públicas, onde as infraestruturas de ensino são as mínimas,
acreditamos que as simulações computacionais, como recursos didáticos
complementares, como os simuladores virtuais aqui desenvolvidos, devam ser
inseridas no processo de ensino para ampliar as condições para uma aprendizagem
mais eficiente e significativa.
A seguir, apresentamos as orientações básicas sobre a aquisição/instalação do
software gnuplot, dos principais comandos do software gnuplot, e as atividades que
podem ser desenvolvidas com a ajuda das simulações computacionais
desenvolvidas por intermédio desse software.
4
1.0 Software Gnuplot: Aquisição e Instalação
O gnuplot é um aplicativo computacional portátil de distribuição gratuita (free
software) e de código fonte aberto (open source software) disponível em diferentes
sistemas operacionais (Windows, Linux, UNIX, OS/2, entre outros), destinado à
criação e visualização de gráficos em duas dimensões (2D) ou três dimensões (3D),
que vem sendo muito utilizado em diversas áreas das Ciências que operam com
gráficos, com aplicações em pesquisas científicas nas áreas de Matemática,
Estatística, Física e Engenharias, etc (Janert, 2010).
A aquisição do software gnuplot nas diferentes plataformas (Windows, Linux,
UNIX, ...), e de tutoriais sobre seu uso, deve ser realizada na página oficial do
software, em <http://www.gnuplot.info/>, como indica a figura 1.
Figura 1 – Página oficial para aquisição do software gnuplot.
Na página apresentada, selecione o link Download para adquirir o arquivo do
programa, que deve ser instalado, segundo o padrão de instalação do sistema
operacional em uso (Mansano, 2003). Proceda a instalação de acordo com seu
sistema operacional e execute o programa.
Terminada a instalação, inicie o programa gnuplot, executando a seguinte
sequência de comandos na plataforma Windows (Figura 2):
5
Botão Iniciar → Todos os Programas → gnuplot → gnuplot (versão)
Figura 2 – Pasta do aplicativo gnuplot no menu Iniciar do Windows.
1.1 Ambiente de Trabalho e os Principais Comandos Básicos
A figura 3 abaixo apresenta a tela de abertura do ambiente de trabalho na
plataforma Windows. Nesse ambiente de trabalho, o usuário interage com a inserção
de comandos adequados na chamada “linha de comando”, indicada pelo prompt de
entrada “gnuplot>” e pressionando a tecla <Enter> para ativá-los. Ao inicializar o
aplicativo gnuplot, informações acerca da versão do programa, dos criadores e
colaboradores deste aplicativo bem como um site na internet são geralmente
reportadas para maiores informações a respeito deste software.
6
Figura 3 - Tela de abertura do gnuplot na plataforma do Windows (versão 5.0.5).
Para sair do programa, basta digitar na linha de comando gnuplot>, a
instrução exit ou quit, e em seguida, acionar a tecla <Enter>.
A interação do usuário com o ambiente gnuplot pode ocorrer de três formas
distintas (Galo, 2017). Na primeira e mais simples, a interação é feita através da
inserção de comandos diretamente no ambiente de trabalho, como ocorre na maioria
das linguagens de programação numérica (como o Maple, Matlab, Scilab, etc). Já a
segunda forma, é a partir de arquivo scripts, que são programas escritos na
linguagem do gnuplot, os quais podem, posteriormente, ser carregados e
executados através do comando load, no próprio ambiente do programa. E, por
último, através de sua interação com outros programas de programação
computacional, na qual a interatividade ocorre com este último programa, que cria o
script programável e o executa, sem que ocorra a interação direta com o usuário.
Este programa vem sendo desenvolvido desde sua criação em 1986, tendo
passado por uma série de aperfeiçoamentos. Atualmente na versão 5.0.5, serve
também como mecanismo de plotagem externo para outros softwares mais
7
complexos, a partir dos dados gerados por eles. Neste trabalho utilizamos a versão
5.0.5 do referido programa1.
Na internet, é possível encontrar vários tutoriais e apostilas contendo os
principais comandos do aplicativo gnuplot, com uma série de exemplos de gráficos
em duas e três dimensões (Capellari, 2004; Viana, 2011; Galo, 2017). Aqui,
apresentamos somente os principais comandos e a sua forma de uso através de
arquivos-script, com o intuito de fornecer as informações necessárias para uma
melhor compreensão e utilização do trabalho que se segue.
A título de informação, a inserção de comentários no aplicativo gnuplot pode
ser feito após o símbolo cerquilha (#). Ou seja, tudo após o cerquilha (#) será
apenas um comentário: muito usado em aplicações com muitas instruções.
a) Comando plot
O comando plot é o principal comando do aplicativo gnuplot para realizar
gráficos em duas dimensões. Para isso, ele precisa receber informação como: a
função ou nome do arquivo que contém o conjunto de dados a serem plotados.
Sintaxe do comando plot:
plot {<função>|"nome do arquivo”} {<título>} {with <estilo>}
{definições de cor e largura}
Exemplo de uso do comando plot digitado no próprio ambiente de trabalho:
Nesse exemplo, o comando plot é executado com a adição de um título
“Função Linear” associado à curva traçada, sendo esta representada por uma linha
com pontos (with linespoint) de cor vermelha (linecolor “red”) (figura 4).
1 Recomendamos fortemente que utilize essa versão (ou próxima) para o uso dos simuladores virtuais aqui desenvolvidos.
8
Figura 4 – Resultado simples do comando plot executado no ambiente de trabalho.
b) Comando splot
O comando splot é extremamente similar ao plot, porém usa-se para
realizar gráficos em três dimensões, ou seja, para plotar superfícies. Logo, para
executá-lo deve especificar funções de duas variáveis ou um arquivo de dados com
três colunas no mínimo.
Sintaxe do comando splot:
splot {<função>|"nome do arquivo”} {<título>} {with <estilo>}
{definições de cor e largura}
O exemplo a seguir ilustra o uso comando splot e a figura 5 exibe o respectivo
resultado obtido a partir da instrução digitada no próprio ambiente de trabalho
9
Figura 5 - Resultado simples do comando splot no ambiente de trabalho.
c) Arquivos Scripts no gnuplot
Conforme dito anteriormente, um dos modos de interação com o ambiente
gnuplot é através do carregamento de um arquivo que guarda instruções válidas que
geraria um determinado gráfico. Este arquivo é denominado arquivo script e pode
ser criado em qualquer editor de texto puro (como o Bloco de Notas do Windows e o
gedit do Linux). A figura 6 apresenta um exemplo simples de um arquivo script
gerado e salvo no editor do bloco de notas de nome “curvas.txt”.
Figura 6: Exemplo de demonstração de um script no gnuplot.
10
Para este exemplo de arquivo script acima, salvo no diretório corrente2 do
gnuplot, o seu carregamento e execução é feito digitando na linha de comando do
gnuplot, a instrução:
> load “curvas.txt”
Por outro lado, salvando este mesmo arquivo, através do menu Arquivo →
Salvar como... de nome “curvas.plt” (ou seja, de extensão *.plt), este arquivo se
tornará em um arquivo executável do aplicativo gnuplot, podendo ser utilizado em
qualquer computador de sistema operacional Windows com o gnuplot já instalado.
Assim, basta um duplo clique no arquivo executável “curvas.plt”, o resultado
será o apresentado pela figura 7.
Figura 7: Gráficos gerados pelo script executável de nome “curvas.plt”
Vale salientar que neste trabalho, todos os scripts (códigos programáveis)
foram escritos no editor bloco de notas e salvos na extensão *.plt, tornando-os em
arquivos executáveis do aplicativo gnuplot (na plataforma Windows). Além disso, é
2 Para verificar o diretório corrente do gnuplot, digite no ambiente de trabalho o comando pwd após o
prompt de comando gnuplot > e tecle Enter. O resultado informa o nome do diretório corrente.
11
importante informá-los que os arquivos código-fonte de cada uma de nossas
simulações computacionais foram divididos em dois arquivos-script, pelos seguintes
motivos:
i) para tornar o código-fonte mais seguro, evitando alterações indesejadas
que possam comprometer o seu pleno funcionamento;
ii) para efeitos didáticos, uma vez que as atividades a serem desenvolvidas
com ajuda dessas simulações são do tipo exploratórias, onde o usuário
pode analisar e discutir diferentes situações de movimento alterando
somente os parâmetros de entrada e as condições iniciais do problema
em questão.
Para maiores informações sobre o software gnuplot, recomendamos a leitura
das seguintes referências: Mansano, 2003, Capellari, 2004; Viana, 2011; Galo, 2017;
Williams e Kelley, 2017.
2.0 Simuladores Virtuais do Produto Educacional
Com a utilização do software gnuplot, desenvolvemos um módulo didático
constituído por três simulações computacionais (simuladores virtuais) que podem ser
utilizadas como um material instrucional complementar que permite a visualização
do movimento de corpos, especificamente dos Movimentos Retilíneo Uniforme
(M.R.U) e do Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V), simultaneamente com as
suas representações gráficas.
Cada uma dessas simulações (simuladores virtuais) tem por objetivo facilitar o
processo ensino-aprendizagem por meio de estímulos a curiosidade do aluno,
despertando o interesse desse aluno, pelo conteúdo ministrado, através da
utilização da tecnologia. Aqui, salientamos que o nosso produto educacional,
segundo as classificações da literatura (Souza et al, 2015), enquadra-se na
categoria de material didático, que visa esses objetivos: o de facilitar o processo de
ensino-aprendizagem, criando ambientes de ensino e de aprendizagem com maior
participação ativa dos alunos e com a construção de um aprendizado mais
significativo.
12
2.1 Estratégias e Sugestões de Utilização dos Simuladores Virtuais
Esses simuladores virtuais (animações interativas) deverão ser apresentados
aos estudantes do primeiro ano do ensino médio quando esses conteúdos estiverem
sendo abordados teoricamente em sala de aula. Além de ilustrar os movimentos que
estão sendo estudados através do uso desses simuladores virtuais, devem-se
explorar e discutir os conceitos e as características dos movimentos visualizados nas
simulações computacionais.
Acreditamos que estes aplicativos possam ser utilizados em atividades com
enfoques qualitativos e quantitativos, uma vez que, ambos os enfoques são capazes
de fornecer contribuições significativas para a aprendizagem conceitual dos alunos.
Segundo Elias e colaboradores (2009), para que os recursos computacionais
possam ser adequadamente inseridos nesses ambientes devem ser adotadas
metodologias de ensino que impeçam a utilização dos computadores como meros
instrumentos para expor conteúdos substituindo o giz e a lousa, reproduzindo,
assim, o ensino tradicional. Desse modo, é necessário considerar os objetivos
educacionais que deverão ser atingidos, de acordo com cada conteúdo e momento
vivenciado, levando em conta o que preconizam os PCNEM a respeito das
competências e habilidades a serem desenvolvidas nos alunos e, a partir disso,
buscar usos adequados para o computador que propiciem o alcance desses
objetivos.
Após a utilização desses simuladores virtuais, deve-se avaliar a aprendizagem
dos alunos. Espera-se que as simulações, além de ajudarem na fixação dos
conceitos abordados, possam despertar ou ampliar o interesse dos alunos pelo
aprendizado de ciências.
E, como estratégia de utilização em sala de aula, consideramos que o uso
desses simuladores virtuais de forma diluída, utilizando-se apenas uma pequena
parte do tempo da aula (cerca de 20 a 25 minutos), após ter sido feita a discussão
teórica do assunto, ou até mesmo antes, como um organizador prévio segundo a
teoria da aprendizagem significativa, seja a forma de uso considerada mais
proveitosa (Yamamoto; Barbeta, 2001).
13
2.2 Objetivos do Produto Educacional
O trabalho do professor tem como objetivo, organizar um meio que
possibilite a aprendizagem de conteúdos disciplinares e o desenvolvimento de
capacidades específicas dos alunos. O professor deve estimular a aprendizagem e
diminuir a sensação de solidão do aluno, suas orientações devem possibilitar a
criação de ambientes de participação, colaboração e constantes desafios. O uso de
simulações com a utilização do aplicativo gnuplot, busca alcançar esse objetivo de
forma pragmática e sem altos custos financeiros.
Segundo Yamamoto e Barbeta (2001, p. 218), nas aulas de teoria, em que a
quantidade de alunos é maior do que no laboratório, as intervenções ilustrativas com
o emprego das simulações devem ser realizadas pelo próprio professor, com o uso
de computador conjugado com projetor multimídia. Desta forma, pode-se com estas
demonstrações, repetir várias vezes o experimento, com modificação de vários
parâmetros, buscando auxiliar o aluno na visualização dos movimentos discutidos.
São objetivos específicos do Produto Educacional:
✓ Despertar o interesse do aluno, pelo conteúdo ministrado, através da
utilização da tecnologia;
✓ Organizar um meio que possibilite a aprendizagem de conteúdos através
de observações em simulações;
✓ Relacionar as variações de tempo e espaço com a velocidade no
Movimento Retilíneo Uniforme;
✓ Relacionar as variações de tempo e velocidade com a aceleração no
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado;
✓ Observar as características do Movimento Retilíneo Uniforme e do
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado;
✓ Fazer a leitura de gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme e do
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, construídos nas simulações;
✓ Observar as características específicas do Movimento de Queda Livre;
14
✓ Observar a diferença entre a trajetória descrita pelo móvel e a
representação da posição (altura) em função do tempo;
✓ Identificar os intervalos em que os movimentos têm comportamentos
distintos: progressivo, retrógrado, acelerado, retardado.
✓ Interpretar corretamente o significado acerca dos coeficientes angulares e
das propriedades das áreas sob os diversos gráficos.
2.3 Simulador Virtual do Movimento Retilíneo Uniforme - MRU
O primeiro aplicativo virtual permite visualizar, analisar e discutir as principais
características e propriedades associadas ao Movimento Retilíneo Uniforme. Nesse
aplicativo, temos no seu layout, um automóvel que se desloca em linha reta com
velocidade escalar constante. Alterando os parâmetros de entrada, você pode
visualizar o estado de repouso (v = 0), o estado de movimento progressivo (v > 0) e
o estado de movimento retrógrado (v < 0) e os respectivos gráficos da posição e da
velocidade em função do tempo.
Figura 8 – Imagem de uma simulação de movimento retilíneo uniforme.
15
Vale salientar que cada um dos três aplicativos disponibilizado nesse produto
educacional, possibilita explorar uma série de movimentos diferentes dependendo
dos valores dos parâmetros de entrada, fornecidos pelo professor-usuário do
aplicativo, com o objetivo de facilitar a construção do conhecimento sobre
movimentos retilíneos unidimensionais através de simulações computacionais.
As orientações básicas para o uso deste simulador virtual – chamado aplicativo
MRU – após a instalação do aplicativo gnuplot são descritas abaixo:
1. o código fonte desse aplicativo está dividido em dois arquivos: um arquivo
script de nome “Inic_MRU.txt” (salvo na extensão própria do aplicativo
Bloco de Notas), que contém os parâmetros de entrada, conforme mostra
a figura 9; o outro arquivo-script de nome “MRU.plt” (que deve ser salvo na
extensão *.plt), contém todo o código de programação da simulação do
movimento MRU (Apêndice A). Embora salvos em extensões diferentes,
ambos são criados no Bloco de Notas, simplesmente copiando e colando
os scripts apresentados abaixo.
Código do arquivo-script Inic_MRU.txt:
# script do inicializador do movimento uniforme - MRU
# Altere os parâmetros de entrada neste script.
# Não altere nada no script “MRU.plt”
#====================================================
xo=5 # posição inicial - m
v=10 # velocidade - m/s
t_transito=20 # tempo de trânsito - s
graficos=1 # 1 - sim; 0 - não
#====================================================
Código do arquivo-script MRU.plt:
É todo o código fonte disponibilizado no Apêndice A, basta copiar todo o texto
do arquivo e salvá-lo com o nome “MRU.plt”.
16
Figura 9 – Arquivo-script do aplicativo MRU de nome “Inic_MRU.txt”.
2. Para alterar os parâmetros de entrada, basta modificar os valores dos
parâmetros no arquivo “Inic_MRU.txt” e salvar as alterações a cada
mudança. Você pode usar a tecla de atalho Ctrl+S para salvar as
alterações. Esse arquivo não precisa ser fechado durante a utilização do
aplicativo.
3. A última linha de instrução graficos=1 (ou 0) do script “Inic_MRU.txt”
possibilita a inserção dos gráficos das principais grandezas físicas, em
evolução durante a animação do sistema físico.
4. Para o aplicativo MRU funcionar, basta dá um duplo clique no arquivo
executável “MRU.plt”. Esse arquivo ao ser carregado, ele absorve os
parâmetros de entrada salvos do arquivo-script “Inic_MRU.txt”.
5. Nesse aplicativo existem duas teclas de atalho que podem ser usadas
durante a evolução das animações, tornando os aplicativos com um grau
maior de interatividade. Estas teclas de atalho são (Figura 10):
Tecla a – para pausar a animação;
Tecla g – para habilitar e desabilitar a exibição dos gráficos.
17
Figura 10 – Exibição da janela de informação sobre as teclas de atalho ao iniciar uma simulação do movimento retilíneo uniforme
2.3.1 Plano de Atividade: Primeiro Encontro
CONTEÚDO: Movimento Retilíneo Uniforme – MRU OBJETIVOS:
✓ Calcular a velocidade média no MRU;
✓ Construir e interpretar os gráficos do MRU;
✓ Caracterizar o MRU: progressivo, retrógrado.
MATERIAIS DIDÁTICOS:
✓ Data Show;
✓ Computador;
✓ Software gnuplot;
✓ Lousa e pincel.
Nesse primeiro encontro, o conteúdo de MRU deve ser trabalhado juntamente
com o aplicativo MRU, explicando as principais características desse tipo de
movimento, de modo que os alunos possam visualizá-los. Também devem ser
evidenciados os gráficos construídos pelo aplicativo: gráfico da posição em função
do tempo (x versus t) e da velocidade em função do tempo (v versus t), com ênfase
18
para a igualdade numérica entre o deslocamento do móvel e a área destacada no
gráfico v(t) versus t.
Nesta aula, deve-se utilizar a equação
𝑣𝑚é𝑑 =∆𝑥
∆𝑡=
𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡0)
𝑡 − 𝑡0
para calcular a velocidade média em diferentes intervalos de tempo, e a função
horária da posição em função do tempo:
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣. 𝑡
As simulações devem ser repetidas quantas vezes necessárias, para que os
alunos alcancem os objetivos desejados.
Para usar o aplicativo MRU, primeiro mantenha o arquivo script de nome
“Inic_MRU.txt” aberto, e em seguida, altere os valores dos parâmetros de entrada:
posição inicial, velocidade, tempo de trânsito, e habilite (ou não) os gráficos fazendo
a variável graficos=1 (ou 0). Salve o arquivo script “Inic_MRU.txt” usando a
tecla de atalho Ctrl+S (não precisa fechá-lo), e dê um duplo clique no arquivo
“MRU.plt” para iniciar a simulação.
Verificação de Aprendizagem
Questão 01 – Um móvel desloca-se em movimento retilíneo uniforme, e no instante
𝒕𝟎 = 𝟎 passa por 𝒙𝟎 = 𝟏𝟎 𝒎 com 𝒗 = 𝟐. 𝟎 𝒎/𝒔. A partir dessas informações,
determine a posição do móvel nos instantes:
a) 𝑡1 = 3 𝑠 e 𝑡2 = 5 𝑠
b) 𝑡1 = 5 𝑠 e 𝑡2 = 8 𝑠
c) 𝑡1 = 10 𝑠 e 𝑡2 = 14 𝑠
Questão 02 – Usando os dados da questão 01, determine a velocidade média
desenvolvida pelo móvel entre os instantes:
a) 𝑡1 = 3 𝑠 e 𝑡2 = 5 𝑠
b) 𝑡1 = 5 𝑠 e 𝑡2 = 8 𝑠
c) 𝑡1 = 10 𝑠 e 𝑡2 = 14 𝑠
19
Questão 03 – Compare as velocidades média obtidas nos intervalos de tempo, ∆𝑡 =
𝑡2 − 𝑡1, calculadas nos itens da questão anterior. Explique o resultado obtido.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Questão 04 – Considerando que um móvel descreve um movimento retilíneo
uniforme com 𝒙𝟎 = 𝟐𝟒 𝒎 e 𝒗 = 𝟑. 𝟎 𝒎/𝒔 no instante 𝒕𝟎 = 𝟎. Determine os instantes
de tempo em que o móvel passa pelas seguintes posições:
a) 𝑥1 = 36 𝑚 e 𝑥2 = 42 𝑚
b) 𝑥3 = 44 𝑚 e 𝑥4 = 56 𝑚
c) 𝑥5 = 50 𝑚 e 𝑥6 = 64 𝑚
Questão 05 – Determine a velocidade média desenvolvida nos respectivos
deslocamentos escalares da questão 04. Explique o resultado obtido.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Questão 06 – Usando o aplicativo MRU, altere o valor de 𝒙𝟎 (posição inicial) para
350 e o valor de 𝒗 (velocidade) para – 16.0 (negativa).
a) Verifique a posição do móvel nos instantes:
i) 𝑡1 = 3 𝑠 e 𝑡2 = 8 𝑠
ii) 𝑡1 = 12 𝑠 e 𝑡2 = 20 𝑠
b) Determine a velocidade média desenvolvidas pelo móvel nos intervalos de tempo,
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1.
c) Determine o instante de tempo em que o móvel passa pela origem das posições.
d) O movimento é dito progressivo ou retrógrado? O que significa a presença do
sinal negativo para a velocidade?
Questão 07 – Usando os dados da questão anterior, construa o gráfico da posição e
da velocidade em função do tempo para um intervalo de observação t=20s, e
compare com os gráficos construídos na simulação.
20
Questão 08 – Usando o aplicativo MRU, altere o valor de 𝒙𝟎 (posição inicial) para
240 e o valor de 𝒗 (velocidade) para + 8.0 (positiva).
a) Verifique a posição do móvel nos instantes:
i) 𝑡1 = 3 𝑠 e 𝑡2 = 10 𝑠
ii) 𝑡1 = 12 𝑠 e 𝑡2 = 25 𝑠
b) Determine a velocidade média desenvolvida pelo móvel nos intervalos de tempo,
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1.
c) O movimento é dito progressivo ou retrógrado? Justifique sua resposta.
d) Construa os gráficos da posição e da velocidade em função do tempo, e compare
com os gráficos construídos na simulação.
e) Determine a velocidade do móvel a partir do gráfico da posição x versus tempo t.
f) Determine o deslocamento escalar do móvel entre os instantes citados no item a)
a partir do gráfico da velocidade v versus tempo t. E compare com os resultados
encontrados no item a).
Questão 09 – Usando o aplicativo MRU, altere o valor de 𝒙𝟎 (posição inicial) para 24
e o valor de 𝒗 (velocidade) para - 6.0 (negativa).
a) Determine o instante em que o móvel passa pela origem das posições.
b) Determine a posição do móvel nos instantes:
ii) 𝑡1 = 3 𝑠 e 𝑡2 = 10 𝑠
ii) 𝑡1 = 12 𝑠 e 𝑡2 = 25 𝑠
c) Determine a velocidade média desenvolvida pelo móvel nos intervalos de tempo,
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1.
c) O movimento é dito progressivo ou retrógrado? Justifique sua resposta.
d) Construa os gráficos da posição e da velocidade em função do tempo, e compare
com os gráficos construídos na simulação.
e) Determine a velocidade do móvel a partir do gráfico da posição x versus tempo t.
f) Determine o deslocamento escalar do móvel entre os instantes citados no item b)
a partir do gráfico da velocidade v versus tempo t. E compare com os resultados
encontrados no item b).
21
2.4 Simulador Virtual do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado - MRUV
O segundo aplicativo virtual permite visualizar, analisar e discutir as principais
características e propriedades associadas ao Movimento Retilíneo Uniformemente
Variado. Nesse aplicativo, temos também no seu layout, um automóvel que se
desloca em linha reta com aceleração escalar constante.
Figura 11 – Imagem de uma simulação de movimento retilíneo uniformemente
variado.
Dependendo dos valores dos parâmetros de entrada, e com a ajuda de teclas
de atalho, pode-se como atividades:
a) examinar o valor da aceleração média em diferentes intervalos de tempo, e
concluir juntamente com os alunos que a mudança na velocidade ocorre de
maneira uniforme devido a uma aceleração escalar constante;
b) examinar situações de movimento com aceleração positiva, negativa e nula;
c) verificar o comportamento da posição e das velocidades através dos valores
impressos à direita da animação, e a partir dos gráficos construídos;
d) identificar os intervalos de movimento acelerado e retardado, e os instantes
de inversão de movimento (quando ocorrer);
22
e) examinar os significados dos coeficientes angulares e das propriedades das
áreas sob os diversos gráficos da velocidade e da aceleração;
f) criar condições em sala de aula para que os alunos aprendam a interpretar e
utilizar os gráficos como uma das representações do fenômeno físico;
g) fazer questionamentos acercas dos principais conceitos trabalhados na aula e
observados nas simulações, e confrontar as concepções prévias pelos
conceitos fisicamente aceitos.
As orientações básicas para o uso deste simulador virtual – chamado aplicativo
MRUV – após instalação do aplicativo gnuplot são descritas abaixo:
1. o código fonte desse aplicativo está dividido em dois arquivos: um arquivo
script de nome “Inic_MRUV.txt” (salvo na extensão *.txt), que contém os
parâmetros de entrada, conforme mostra a figura 12; o outro arquivo-script
de nome “MRUV.plt” (salvo na extensão *.plt), contém todo o código de
programação da simulação do movimento MRUV (Apêndice B). Como no
aplicativo MRU, embora estes arquivos sejam salvos em extensões
diferentes, ambos são criados no Bloco de Notas, simplesmente copiando
e colando os scripts apresentados abaixo.
Código do arquivo-script Inic_MRUV.txt:
# script dos dados de entrada do movimento MRUV
# Altere os parâmetros de entrada neste script.
# Não altere nada no script “MRUV.plt”
#=============================================================
xo=5.0 # posição inicial - m
vo=5.0 # velocidade inicial - m/s
a=2.0 # aceleração – m/s²
t_transito=20 # tempo de trânsito - s
graficos=1 # 1 - sim; 0 - não
Código do arquivo-script MRUV.plt:
É todo o código fonte disponibilizado no Apêndice B, basta copiar todo o texto
do arquivo e salvá-lo com o nome “MRUV.plt”.
23
Figura 12 – Arquivo-script do aplicativo MRUV de nome “Inic_MRUV.txt”.
2. Para alterar os parâmetros de entrada, basta modificar os valores dos
parâmetros no arquivo “Inic_MRUV.txt” e salvar as alterações a cada
mudança. Você pode usar a tecla de atalho Ctrl+S para salvar as
alterações. Esse arquivo não precisa ser fechado durante a utilização do
aplicativo.
3. A última linha de instrução graficos=1 (ou 0) do script “Inic_MRUV.txt”
possibilita a inserção dos gráficos das principais grandezas físicas, em
evolução durante a animação do sistema físico.
4. Para o aplicativo MRUV funcionar, basta dá um duplo clique no arquivo
executável “MRUV.plt”. Esse arquivo ao ser carregado, ele absorve os
parâmetros de entrada salvos do arquivo-script “Inic_MRUV.txt”.
5. Nesse aplicativo existem duas teclas de atalho que podem ser usadas
durante a evolução das animações, tornando os aplicativos com um grau
maior de interatividade. Estas teclas de atalho são (Figura 13):
Tecla a – para pausar a animação;
Tecla g – para habilitar e desabilitar a exibição dos gráficos.
24
Figura 13 – Exibição da janela de informação sobre as teclas de atalho ao iniciar uma simulação do movimento retilíneo uniformemente variado
2.4.1 Plano de Atividade: Segundo Encontro
CONTEÚDO: Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – MRUV
OBJETIVOS:
✓ Calcular a aceleração média no MRUV;
✓ Caracterizar o MRUV;
✓ Diferenciar o MRUV do MRU.
✓ Criar gráficos do MRUV
MATERIAIS DIDÁTICOS:
✓ Data Show;
✓ Computador;
✓ Software gnuplot;
✓ Lousa e pincel
Nesse segundo encontro, com o auxílio do aplicativo MRUV pode-se definir o
conceito de aceleração escalar e discutir os comportamentos da posição e da
velocidade em função do tempo em situações de movimento retilíneo com
aceleração constante. É importante nessa segunda aplicação que seja dada uma
atenção especial para a interpretação dos gráficos gerados durante a simulação:
25
gráfico da posição em função do tempo (x versus t), da velocidade em função do
tempo (v versus t) e da aceleração em função do tempo (a versus t). E, de forma
semelhante ao estudo da primeira aplicação, enfatizar algumas propriedades
relevantes, como a igualdade numérica entre o deslocamento do móvel e área
destacada no gráfico v(t) versus t, e a variação da velocidade e a área destacada no
gráfico a(t) versus t.
Nesta aplicação deve-se utilizar a equação,
𝑎𝑚é𝑑 =∆𝑣
∆𝑡=
𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡0)
𝑡 − 𝑡0
para calcular a aceleração média em diferentes intervalos de tempo, e as funções
horárias da velocidade e da posição, definidas respectivamente por,
𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡
e
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0. 𝑡 +1
2𝑎. 𝑡2
para determinar os valores da velocidade e da posição do móvel em um determinado
instante, t, e assim construir os gráficos 𝑥(𝑡) e 𝑣(𝑡) em função do tempo.
Para usar o aplicativo MRUV, mantenha o arquivo script de nome
“Inic_MRUV.txt” aberto, e em seguida, altere os valores dos parâmetros de entrada:
posição inicial, velocidade inicial, aceleração, tempo de trânsito. Salve o arquivo
script “Inic_MRUV.txt” usando a tecla de atalho Ctrl+S (não precisa fechá-lo), e dê
um duplo clique no arquivo “MRUV.plt” para iniciar a simulação.
Verificação de Aprendizagem
Questão 01 – Um corpo móvel deslocando em linha reta, passa em 𝑥0 = 10 𝑚
com 𝑣0 = 5 𝑚/𝑠 (no instante 𝑡0 = 0) desenvolvendo uma aceleração constante 𝑎 =
4 𝑚/𝑠2. A partir dessas informações, determine:
a) a função horária das posições e das velocidades em função do tempo.
26
b) a velocidade média, 𝑣𝑚é𝑑, e a aceleração média, 𝑎𝑚é𝑑, desenvolvida pelo móvel
entre os instantes:
i) 𝑡1 = 2 𝑠 e 𝑡2 = 5 𝑠
ii) 𝑡1 = 6 𝑠 e 𝑡2 = 10 𝑠
iii) 𝑡1 = 12 𝑠 e 𝑡2 = 15 𝑠
c) compare os valores das velocidades médias obtidas nos intervalos de tempo, ∆𝑡 =
𝑡2 − 𝑡1, e explique os resultados obtidos.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
d) compare os valores das acelerações médias obtidas nos intervalos de tempo,
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1, e explique os resultados obtidos.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Questão 02 – Assumindo os seguintes valores para o móvel do aplicativo MRUV:
𝒙𝟎 = 𝟓𝟎 (posição inicial), 𝒗𝟎 = 𝟖. 𝟎 (velocidade inicial) e 𝒂𝟎 = 𝟔. 𝟎 (aceleração).
a) Escreva as funções horárias da posição e da velocidade desse móvel.
b) Verifique a posição e a velocidade do móvel nos instantes:
i) 𝑡1 = 6 𝑠 e 𝑡2 = 15 𝑠
ii) 𝑡1 = 10 𝑠 e 𝑡2 = 20 𝑠
c) Determine a aceleração média desenvolvidas pelo móvel nos intervalos de tempo,
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1. Compare com o valor da aceleração dada na questão.
d) Construa os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração em função do
tempo para um intervalo de observação t=15 s, e compare com os gráficos
construídos na simulação.
e) Determine o deslocamento escalar e a variação da velocidade entre os instantes
de tempo:
i) 𝑡0 = 0 e 𝑡1 = 6 𝑠
ii) 𝑡0 = 0 e 𝑡1 = 8 𝑠.
iii) 𝑡0 = 0 e 𝑡1 = 12 𝑠.
27
f) Compare os resultados obtidos do item e) com os resultados apresentados na
simulação. Interprete os resultados.
Questão 03 – Usando o aplicativo MRUV, altere o valor de 𝒙𝟎 (posição inicial) para
20 e o valor de 𝒗𝟎 (velocidade) para 16.0 (positiva) e o valor da aceleração 𝒂𝟎 para -
2.0 (negativa), com tempo de observação igual a t=20 s.
a) Escreva as funções horárias da posição e da velocidade em função do tempo.
b) Determine o instante de tempo que o móvel passa pela origem das posições.
c) Determine o instante e a posição na qual ocorreu a inversão do movimento.
d) Caracterize o movimento em progressivo, retrógrado, acelerado e retardado
durante o intervalo de 20 segundos.
d) Determine o deslocamento escalar e a variação da velocidade nos seguintes
intervalos de tempo:
i) 𝑡0 = 0 e 𝑡1 = 8 𝑠.
ii) 𝑡1 = 8 e 𝑡2 = 16 𝑠.
iii) 𝑡0 = 0 e 𝑡2 = 20 𝑠.
e) Trace os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo,
e compare com os gráficos gerados pelo aplicativo na simulação.
Questão 04 – Usando o aplicativo MRUV, altere o valor de 𝒙𝟎 (posição inicial) para -
10 (negativo), 𝒗𝟎 (velocidade inicial) para -16.0 (negativa) e o valor da aceleração
𝒂𝟎 para 4.0 (positiva), com tempo de observação igual a t=15 s.
a) Determine o instante de tempo que o móvel passa pela origem das posições.
b) Determine o instante e a posição na qual ocorreu a inversão do movimento.
c) Caracterize o movimento em progressivo, retrógrado, acelerado e retardado
durante o intervalo de 15 segundos.
d) Determine o deslocamento escalar e a variação da velocidade nos seguintes
intervalos de tempo:
i) 𝑡0 = 0 e 𝑡1 = 4 𝑠.
ii) 𝑡1 = 4 e 𝑡2 = 15 𝑠.
iii) 𝑡0 = 0 e 𝑡2 = 15 𝑠
e) Trace os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo,
e compare com os gráficos gerados pelo aplicativo na simulação.
28
2.5 Simulador Virtual do Lançamento Vertical – Queda Livre
O terceiro aplicativo virtual permite visualizar, analisar e discutir o movimento
uniformemente variado ao longo do eixo vertical. Nesse caso, o movimento do corpo
desenvolve-se com a aceleração gravitacional (queda livre). Com esse aplicativo,
podem ser exploradas situações que exemplificam corpos arremessados
verticalmente para cima a partir do solo (ou de uma determinada altura), e de
situações de corpos arremessados verticalmente para baixo (ou simplesmente
abandonados) de uma determinada altura.
A figura 14 exibe uma situação de um projétil arremessado para cima a partir
de uma determinada altura (topo de um edifício). Observando a evolução do corpo,
durante a subida e descida, é possível destacar os significados de movimentos
retardado e acelerado a partir do comportamento do módulo do vetor velocidade.
Figura 14 – Imagem de uma simulação de lançamento vertical – Queda Livre.
A figura 15 exibe a situação final desse projétil arremessado para cima a partir
de uma determinada altura (topo de um edifício). No quadro dos parâmetros, é
29
possível, observar o tempo de subida, o tempo de vôo, a altura máxima atingida pelo
corpo, e a velocidade do mesmo ao tocar o solo.
Assim, com o uso desse simulador virtual pode-se em atividades de ensino:
- discutir os conceitos de movimento retardado e acelerado, com a respectiva
diminuição (aumento) do módulo vetor velocidade durante a subida (descida);
- identificar o valor da velocidade no ponto mais alto e a respectiva altura
máxima;
- compreender o significado do tempo de subida, do tempo de descida, e do
tempo total de vôo;
- discutir a diferença entre a trajetória descrita pelo projétil e o gráfico da altura
versus tempo;
- discutir o gráfico da velocidade versus tempo nos intervalos de tempo que
ocorre movimento retardado e acelerado, respectivamente.
Ou seja, com este simulador virtual, é possível trabalhar todos os conceitos e
características associadas a um movimento retilíneo com aceleração constante.
Figura 15 – Quadro final da execução de uma simulação de lançamento vertical –
Queda Livre
30
As orientações básicas para o uso deste simulador virtual – chamado aplicativo
Queda Livre – seguem as mesmas descrições já citadas, a saber:
1. o código fonte desse aplicativo também está dividido em dois arquivos: um
arquivo script de nome “Inic_Queda_Livre.txt” (salvo na extensão *.txt),
que contém os parâmetros de entrada, conforme mostra a figura 16; o
outro arquivo-script de nome “Queda_Livre.plt” (salvo na extensão *.plt),
contém todo o código de programação da simulação Queda Livre
(Apêndice C). Como nos aplicativos anteriores, embora estes arquivos
sejam salvos em extensões diferentes, ambos são criados no Bloco de
Notas, simplesmente copiando e colando os scripts apresentados abaixo.
Código do arquivo-script Inic_Queda_Livre.txt:
# script dos dados de entrada do aplicativo Queda Livre
# Altere os dados de entrada neste script.
# Não altere nada no script “Queda_Livre.plt”
#=========================================================
yo=10 # altura inicial - m
vo=20 # velocidade inicial - m/s
g=9.8 # aceleração da gravidade – m/s²
graficos=1 # 1 - sim; 0 - não
Código do arquivo-script Queda_Livre.plt:
É todo o código fonte disponibilizado no Apêndice C, basta copiar todo o texto
do arquivo e salvá-lo com o nome “Queda_Livre.plt”.
31
Figura 16 – Arquivo-script do aplicativo Queda Livre de nome “Inic_Queda_Livre.txt”.
2. Para alterar os parâmetros de entrada, basta modificar os valores dos
parâmetros no arquivo “Inic_Queda_Livre.txt” e salvar as alterações a
cada mudança (Ctrl+S). Esse arquivo não precisa ser fechado durante a
utilização do aplicativo.
3. A última linha de instrução graficos=1 (ou 0) do script
“Inic_Queda_Livre.txt” possibilita a inserção dos gráficos das principais
grandezas físicas, em evolução durante a animação do sistema físico.
4. Para o aplicativo Queda Livre funcionar, basta dá um duplo clique no
arquivo executável “Queda_Livre.plt”. Esse arquivo ao ser carregado, ele
absorve os parâmetros de entrada salvos do arquivo-script
“Inic_Queda_Livre.txt”.
5. Nesse aplicativo existem também duas teclas de atalho que podem ser
usadas durante a evolução das animações, tornando os aplicativos com
um grau maior de interatividade. Estas teclas de atalho são:
Tecla a – para pausar a animação;
Tecla g – para habilitar e desabilitar a exibição dos gráficos.
32
2.5.1 Plano de Atividade – Terceiro Encontro
CONTEÚDO: Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, com aceleração da
gravidade.
OBJETIVOS:
✓ Calcular tempo de vôo e altura máxima em um lançamento vertical;
✓ Caracterizar o movimento de lançamento vertical;
✓ Diferenciar os movimentos acelerado de retardado;
✓ Criar e interpretar os gráficos do movimento de lançamento vertical;
✓ Reconhecer movimentos naturais com características de queda livre.
MATERIAIS DIDÁTICOS:
✓ Data Show;
✓ Computador;
✓ Software gnuplot;
✓ Lousa e pincel
Neste terceiro encontro, será apresentado outra simulação de Movimento
Retilíneo Uniformemente Variado, cuja aceleração do movimento, neste caso, será a
aceleração gravitacional (lançamento vertical). As demonstrações exploradas por
intermédio dessas simulações podem exemplificar situações de corpos
arremessados verticalmente para cima a partir do solo (ou de uma determinada
altura), e de situações de corpos arremessados verticalmente para baixo (ou
simplesmente abandonados) de uma determinada altura.
Conforme já elencados anteriormente, com o auxílio desse aplicativo
“Queda_Livre”, é possível trabalhar todos os conceitos e características associadas
a um movimento retilíneo com aceleração constante. Lembrando que nesta seção, o
vetor aceleração será definido sempre com o sentido contrário ao sentido positivo do
eixo-y, e o seu valor será restringido ao módulo dessa aceleração gravitacional.
Desta forma, as funções horárias utilizadas nesse encontro (e definidas no aplicativo
“Queda Livre”) passa a ser as seguintes:
𝑣(𝑡) = 𝑣0 − 𝑔. 𝑡
e
𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑣0. 𝑡 −1
2𝑔. 𝑡2
33
onde 𝑦0, 𝑣0 representam respectivamente os valores da posição (altura) e da
velocidade no instante 𝑡0 = 0, e 𝑔 o módulo da aceleração desenvolvida pelo corpo
em queda livre.
Verificação de Aprendizagem
Questão 01 – Suponha que uma partícula seja lançada verticalmente para cima a
partir do solo com velocidade inicial 𝑣0 = 25 𝑚/𝑠 (no instante 𝑡0 = 0). Considerando
que 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠² nesse local e que o efeito do ar é desprezível. Determine:
a) a função horária das posições e das velocidades em função do tempo.
b) o tempo de subida e a altura máxima atingida pela partícula.
c) o tempo de trânsito e a velocidade da partícula ao retornar o solo.
d) o instante de tempo e a altura da partícula no momento que sua velocidade
assume o valor 𝑣 = 11.50 𝑚/𝑠.
e) Nesse instante de tempo, o movimento é dito acelerado ou retardado? Justifique
sua resposta.
f) os instantes de tempo e as velocidades desenvolvidas pela partícula quando
estiver a 4.9 𝑚 de altura em relação ao solo.
Questão 02 – Uma pedra é abandonada do repouso, de um prédio de 10 m de
altura, em relação ao solo, em um local onde 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠² e o efeito do ar é
desprezível. Determine:
a) o tempo gasto pela pedra para chegar ao solo.
b) a velocidade com que a pedra atinge o solo.
c) o instante de tempo e a velocidade da partícula na metade do percurso em queda
livre.
d) a altura da pedra em relação ao solo quando sua velocidade é igual a -12.04 m/s.
e) construa os gráficos da posição e da velocidade em função do tempo para esse
movimento.
Questão 03 – Considere que uma partícula seja lançada do topo de um edifício de
20 m de altura, com velocidade inicial 𝑣0 = 20 𝑚/𝑠 (no instante 𝑡0 = 0). Adotando
𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠² nesse local e supondo desprezível o efeito do ar. Determine:
34
a) o tempo de subida e a altura máxima atingida pela partícula em relação ao topo
do edifício e em relação ao solo.
b) a velocidade da partícula e o instante de tempo no momento que partícula atinge
o solo.
c) determine os intervalos de tempo em que a partícula desenvolve movimentos
retardado e acelerado, respectivamente.
d) Construa os gráficos da posição (altura) e da velocidade em função do tempo.
Compare com os gráficos gerados pelo aplicativo “Queda_Livre” usando os dados
da questão como os valores dos parâmetros de entrada.
Questão 04 – Sabendo que uma partícula foi lançada de uma determinada altura
𝑦𝑜 ≠ 0 com uma velocidade 𝑣0 (positiva) e que esta atingiu a altura máxima e o solo
nos instantes 𝑡1 = 3.06 𝑠 e 𝑡2 = 6.50 𝑠, respectivamente. Adotando 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠²
nesse local, e os efeitos do ar desprezível. Determine:
a) a velocidade inicial e a altura de lançamento da partícula.
b) a velocidade da partícula ao atingir o solo.
c) a altura e a velocidade da partícula nos instantes 𝑡 = 2.0 𝑠 e 𝑡 = 5.0 𝑠. Classifique
o movimento nesses instantes de tempo.
d) Trace o gráfico da posição e da velocidade e compare com os gráficos gerados
pelo aplicativo “Queda Livre”, com os seguintes dados de entrada: 𝑦𝑜 = 12 m e 𝑣𝑜 =
30 𝑚/𝑠.
Questão 05 – Usando o aplicativo “Queda Livre”, com os seguintes valores para os
parâmetros de entrada: 𝑦𝑜 = 20 m; 𝑣𝑜 = +15 𝑚/𝑠 e 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠². Determine:
a) as funções horárias da posição e da velocidade para esse corpo.
b) o tempo de subida, a altura máxima, o instante de tempo e a velocidade da
partícula ao atingir o solo.
c) Compare os resultados obtidos com os apresentados pelo aplicativo.
d) Construa os gráficos da posição (altura), da velocidade e da aceleração em
função do tempo, e compare com os gerados pelo aplicativo.
Questão 06 – Dado que uma partícula foi lançada de uma determinada altura 𝑦𝑜 ≠ 0
com uma velocidade 𝑣0 (positiva) e que esta atingiu o solo após o intervalo de tempo
35
∆𝑡 = 7.61 𝑠 com uma velocidade 𝑣 = −38.63 𝑚/𝑠. Adotando 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠² nesse
local, e assumindo desprezível os efeitos do ar. Determine:
a) a velocidade inicial e a altura de lançamento da partícula.
b) o tempo de subida e altura máxima atingida pela partícula.
c) a altura e a velocidade da partícula nos instantes 𝑡 = 3.0 𝑠 e 𝑡 = 6.0 𝑠. Classifique
o movimento nesses instantes de tempo.
d) Trace o gráfico da posição e da velocidade e compare com os gráficos gerados
pelo aplicativo “Queda Livre”, com os seguintes dados de entrada: 𝑦𝑜 = 10 m e 𝑣𝑜 =
36 𝑚/𝑠.
Questão 07 – Suponha duas partículas que no mesmo instante começam a cair em
queda livre de alturas diferentes: uma, do topo de um prédio de 20 m de altura que
fora arremessada para baixo com velocidade igual 8 m/s; e a outra partícula que foi
abandonada do repouso de uma janela exatamente a 10 m de altura em relação ao
solo. Desprezando os efeitos do ar e assumindo 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠² nesse local.
Determine:
a) qual das duas partículas atinge primeiro o solo.
b) as velocidades com que as partículas atingem o solo.
c) verifique o instante de tempo, se ocorre, em que há a passagem de uma partícula
pela outra.
d) usando o aplicativo “Queda Livre”, assuma os seguintes valores para os
parâmetros de entrada: partícula 1 - 𝑦𝑜 = 20; 𝑣𝑜 = −8; 𝑔 = 9.8; e para partícula 2 -
𝑦𝑜 = 10; 𝑣𝑜 = 0; 𝑔 = 9.8, e verifique os seus resultados.
Ressaltamos aqui, que as atividades desenvolvidas com o Produto Educacional
são atividades exploratórias, onde o estudante é levado a explorar um modelo
previamente preparado pelo professor.
Por último, informamos que está em construção uma página na internet do
programa de Pós-Graduação do Mestrado em Ensino de Física, deste pólo 63, que
estarão estes simuladores virtuais e outros, sobre o conteúdo programático
movimento Unidimensional e Bidimensional, que poderão ser utilizados por
professores e alunos nos níveis do ensino médio e ensino superior.
36
3. Considerações Finais
Neste trabalho desenvolvemos um produto educacional constituído por três
simulações computacionais produzidas por intermédio do aplicativo computacional
gnuplot. O produto educacional tem como objetivo auxiliar professores do ensino
médio no processo ensino-aprendizagem na disciplina Física.
Este produto foi implementado em sala de aula durante minha pesquisa de
Mestrado no curso de Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física, e como
objetos de mensuração de sua eficácia como um material potencialmente
significativo, questionários de avaliação e de diagnóstico se fizeram presentes. De
acordo com os resultados obtidos a partir desses questionários, os alunos da turma
teste, onde o Produto Educacional foi aplicado, tiveram um rendimento superior aos
alunos da turma controle, onde não houve aplicação do Produto Educacional. Isto foi
verificado nas análises dos resultados, que mostraram que antes da aplicação do
Produto Educacional os alunos das duas turmas acertaram praticamente o mesmo
número de questões, enquanto que após a aplicação do Produto Educacional em
uma das turmas, os alunos dessa turma acertaram um numero muito maior de
questões do que os alunos da turma onde o produto não foi aplicado. Além disso,
segundo as respostas dos alunos no questionário diagnóstico, as respostas foram
que eles ficaram mais interessados pela disciplina e que a aula se tornou mais
interessante, sem contar que a participação dos alunos nas aulas em que as
simulações foram trabalhadas foi muito maior que nas aulas anteriores, onde não
havia apresentação de simulações.
Desta forma concluímos que a utilização das tecnologias do ensino, em
especial as simulações constituem-se ferramenta importantíssima no
desenvolvimento do processo ensino-aprendizagem, pois contribuem
significativamente para a fixação dos conteúdos abordados em aulas de Física como
também contribuem para despertar o interesse dos alunos pela disciplina.
37
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CAPELLARI, C. A, Introdução ao Gnuplot. UDESC – Universidade do Estado de
Santa Catarina, 2004. Disponível em
http://www.if.ufrj.br/~helder/MetComp/doc/gnuplot_capellari.pdf, acesso em
25/05/2019.
ELIAS, D. C. N.; ARAÚJO, M. S. T.; ARAUJO JR, C. F.; AMARAL, L. H. Tendências
das propostas de utilização das ferramentas computacionais no ensino de
Física no nível médio e superior. In: VII Encontro Nacional de Pesquisa em
Educação em Ciências. Florianópolis/SC, Nov, 2009. Disponível em:
http://posgrad.fae.ufmg.br/posgrad/viienpec/pdfs/94.pdf, acesso em 25/05/2019.
GALO, M. Introdução ao uso do aplicativo Gnuplot. UNESP – Universidade
Estadual Paulista, FCT Campus Presidente Prudente, 2017. Disponível em
http://www2.fct.unesp.br/docentes/carto/galo/web/gnuplot/gnu_tutorial.htm, acesso
em 25/05/2019.
JANERT, P. K. Gnuplot in Action: Understanding Data with Graphs. Greenwich,
(Manning Publications Co) 2010.
MANSANO, J. A. N. G. Gnuplot: guia de introdução e aplicação, Editora Érica,
São Paulo, 2003.
SOUZA, M. J. F. S., MELLO, T. F. O., VILELA, L. G. A. F., RIBEIRO, E. A. L.,
DIOGO, R. C., GUIMARÃES, C. S. Análise dos produtos de programas de
mestrado profissional: um recorte envolvendo o Ensino de Matemática na
Região Sul do Brasil. X Encontro Nacional de Pesquisa em Educação em Ciências
– X ENPEC, Águas de Lindóia, SP - Novembro de 2015.
VIANA, P. A, Introdução ao aplicativo Gnuplot. UFPA – Universidade Federal do
Pará, 2011. Disponível em
http://www.sobralmatematica.org/monografias/paty.alvi_livroGnuplot.pdf, acesso em
25/05/2019.
WILLIAMS, T; KELLEY, C. gnuplot 5.0: An Interactive Plotting Program. version
5.07 (2017). Disponível em http://www.gnuplot.info/docs_5.0/gnuplot.pdf acesso em
25/05/2019.
YAMAMOTO, I; BARBETA, V. B. Simulações de Experiências como Ferramenta
de Demonstração Virtual em Aulas de Teoria de Física. Rev. Bras. Ens. Fís. vol.
23, n. 2, p 215-225, 2001.
38
APÊNDICE A
CÓDIGO-FONTE DO APLICATIVO - MRU
# Script do movimento uniforme. Não altere nada neste script.
# Qualquer mudança de parâmetro, faça no script Inic_MRU.txt
reset;
load “Inic_MRU.txt”
#--------------------- Observações ----------------------------
if(t_transito<=0.0){pause -1 "Valor impróprio para tempo de observação"; exit};
if(graficos!=0 && graficos!=1){pause -1 "Assuma apenas os valores 0 ou 1 para graficos"; exit};
bind a 'pause -1 "continue?"'; bind g "graficos=(graficos==1)?0:1;"
#--------------------------------------------------------------
#--------- Dimensão da Janela e Aparência dos Objetos ---------
unset key; unset tics; unset mouse; set colors classic;
prop1='enhanced font "Helvetica,10" persist ctrl';
titulo="Movimento Retilíneo Uniforme - M.R.U"; VAR='[it=0:t]';
set term wxt title titulo size 1000,550 @prop1; set border 31 lc -1 lw 2;
st0='tc lt 3 font ",14"'; st1='tc lt -1 font ",14"'; st2='tc lt 1 font ",14"';
st3='tc lt 1 font "Symbol,14"'; st4='fc rgb "red" fs solid 1.0 border lt -1';
st5='fc rgb "gray50" fs solid 1.0 border lt -1'; st6='fc rgb "gray20" front fs solid 1.0 border lt -1';
st7='fc rgb "gray80" front fs solid 1.0 border lt -1'; st8='fc rgb "slategray" fs solid 1.0 border lt -1';
DEL3='unset xl; unset yl; unset tics; unset mxtics; unset mytics; unset zeroaxis';
INICIO='if(t==0){unset parametric; unset multiplot; pause -1 "a - Pausar; g - Gráfico. Iniciar
movimento?"}';
#--------------------- Cálculos Físicos -----------------------
x(t)=xo+v*t; y(t)=0.0; xmin=x(0); xmax=x(t_transito); vmin=0.0; vmax=1.5*v;
if(v<0.0){xmin=x(t_transito); xmax=x(0); vmin=1.5*v; vmax=0.0;}
if(v==0){xmin=xo-1.0*t_transito; xmax=xo+1.0*t_transito; vmin=-0.5; vmax=0.5;}
tipo_mov=(v==0)?"Repouso":((v<0)?"Mov. Retrógrado":"Mov. Progressivo");
Tempo(t)=(t==0)?sprintf("T_{trânsito} = %.2f s", t_transito):sprintf("T = %.2f s", t);
Escx=0.1*(xmax-xmin); Escy=Escx; Esc_v=0.1*(vmax-vmin);
#----------------------- Carro --------------------------------
Esc_carro=(v<0.0)?-Escx:Escx; Dx(x)=x*Esc_carro; Dy(y)=y*Escy; Raio=0.11*Escy;
x1(t)=x(t)+Dx(0.5);y1(t)=y(t); x2(t)=x(t)+Dx(-0.5);y2(t)=y1(t); x3(t)=x2(t);y3(t)=y1(t)+Dy(0.045);
x4(t)=x3(t)+Dx(0.30);y4(t)=y3(t); x5(t)=x4(t);y5(t)=y1(t)+Dy(0.080); x6(t)=x5(t)+Dx(0.40);y6(t)=y5(t);
x7(t)=x6(t)+Dx(0.14);y7(t)=y3(t); x8(t)=x1(t);y8(t)=y1(t)+Dy(0.033); x9(t)=x4(t)+Dx(0.03);y9(t)=y3(t);
x10(t)=x4(t)+Dx(0.22);y10(t)=y5(t)+Dy(-0.005); x11(t)=x10(t)+Dx(0.03);y11(t)=y10(t);
x12(t)=x6(t)+Dx(-0.02);y12(t)=y11(t); x13(t)=x7(t)+Dx(-0.04);y13(t)=y9(t); x14(t)=x11(t);y14(t)=y9(t);
x15(t)=x2(t)+Dx(0.23);y15(t)=y(t); x16(t)=x1(t)+Dx(-0.20);y16(t)=y(t);
x17(t)=x2(t)+Dx(0.08);y17(t)=y(t)+Dy(0.01); x18(t)=x1(t)+Dx(-0.06);y18(t)=y17(t);
carro='set object 1 polygon from x1(t),y1(t) to x2(t),y2(t) to x3(t),y3(t) to x4(t),y4(t) \
to x5(t),y5(t) to x6(t),y6(t) to x7(t),y7(t) to x8(t),y8(t) to x1(t),y1(t) @st4';
janelas='set object 2 rect from x9(t),y9(t) to x10(t),y10(t) @st5; set object 3 polygon from \
x11(t),y11(t) to x12(t),y12(t) to x13(t),y13(t) to x14(t),y14(t) to x11(t),y11(t) @st5';
39
pneus='set object 4 circle at x15(t),y15(t) size Raio @st6; set object 6 circle at x15(t),y15(t) \
size 0.6*Raio @st7; set object 5 circle at x16(t),y16(t) size Raio @st6; set object 7 circle at \
x16(t),y16(t) size 0.6*Raio @st7';
parachoques='set object 8 rect from x2(t),y2(t) to x17(t),y17(t) @st8; set object 9 rect from \
x1(t),y1(t) to x18(t),y18(t) @st8';
CARRO='@carro; @janelas; @pneus; @parachoques';
AMBIENTE='set object 10 rect from p1,-0.1*Escy to p2,-0.01*Escy fc rgb "green" fs solid 1.0 \
noborder behind; set object 11 rect from p1,-0.01*Escy to p2,Escy fc rgb "cyan" fs transparent \
solid 0.1 noborder behind';
VETORES='set arrow 1 from x(t),-0.02*Escy to x(t),-0.08*Escy head front lc 3; set arrow 2 from \
x(t),y5(t)+Dy(0.01) to x(t+5.0*dt),y5(t)+Dy(0.01) front lc 1 lw 2';
DEL1='unset object'; DEL2='unset arrow; unset xtics';
#--------------------- Começa a animação ---------------------
t=0; N=100; dt=1.0*t_transito/N;
do for[j=0:N]{ set multiplot;
set size 0.24,1.0; set origin 0,0; set xr[0:1]; set yr[0:1];
set label 1 "Movimento M.R.U" at 0.5,0.90 center @st0;
set label 2 sprintf("X_o = %.2f m",x(0)) at 0.05,0.75 left @st0;
set label 3 sprintf("V = %.2f m/s", v) at 0.05,0.65 left @st0;
set label 4 Tempo(t) at 0.05,0.55 @st1; set label 5 sprintf("X = %.2f m", x(t)) at 0.05,0.45 @st2;
set label 6 sprintf("D ") at 0.05,0.35 @st3; set label 7 sprintf("X = %.2f m", abs(t*v)) at 0.12,0.35 @st2;
set label 8 tipo_mov at 0.5,0.15 center @st2;
p 0.85 lc -1 lw 2; unset label;
set parametric;
set origin 0.22,0.0; set size 0.77,1.0; set trange[0:t_transito]; set yr[-0.1*Escy:Escy];
p1=xmin-1.2*Escx; p2=xmax+1.2*Escx; set xr[p1:p2]; set xtics Escx nomirror; set mxtics 4;
@CARRO; @AMBIENTE; @VETORES;
plot @VAR x(it),-0.01*Escy lc 3; @DEL1; @DEL2;
if(graficos==1){
set xr[0:1.05*t_transito]; set xl "t" offset 0,0.8; set mxtics 2; set mytics 2;
set xtics t_transito/5.0 nomirror offset 0,0.4; set zeroaxis lc 0;
set origin 0.28,0.45; set size 0.30,0.50;
set yr[xmin-0.5*Escx:xmax+0.5*Escx]; set yl "x(t)"; set ytics Escx nomirror;
p @VAR it,x(it) lc 1 lw 2;
set origin 0.60,0.45; set size 0.30,0.50;
set yr[vmin:vmax]; set yl "v(t)"; set ytics Esc_v nomirror; hv=(v==0)?0.3:1.2*v;
set label 1 sprintf("Área=%.2f", abs(t*v)) at 0.5*t_transito, hv center tc lt 1 font ",13";
p @VAR it, v lc 1 lw 3, it, 0.98*v w i lc 2; unset label 1; @DEL3;
}
@INICIO; pause 0.05; t=t+dt; unset parametric; unset multiplot;
}
pause -1 "Simular novamente?"; reread;
40
APÊNDICE B
CÓDIGO-FONTE DO APLICATIVO – MRUV
# Script do movimento uniformemente variado. Não altere nada neste script.
# Qualquer mudança de parâmetro, faça no script Inic_MRUV.txt
reset;
load “Inic_MRUV.txt”
#--------------------- Observações ---------------------------
if(t_transito<=0.0){pause -1 "Valor impróprio para tempo de observação"; exit}; vira=0;
if(vira!=0 && vira!=1){pause -1 "Assuma apenas os valores 0 ou 1 para inversão do carro"; exit};
if(graficos!=0 && graficos!=1){pause -1 "Assuma apenas os valores 0 ou 1 para graficos"; exit};
bind a 'pause -1 "continue?"'; bind g "graficos=(graficos==1)?0:1;"
#-------------------------------------------------------------------
#--------- Dimensão da Janela e Aparência dos Objetos --------
unset key; unset tics; unset mouse; set colors classic;
titulo="Movimento Retilíneo Uniformemente Variado - M.R.U.V"; VAR='[it=0:t]';
set term wxt title titulo size 1000,550 @prop1; set border 31 lc -1 lw 2;
prop1='enhanced font "Helvetica,10" persist ctrl';
st0='tc lt 3 font ",14"'; st1='tc lt -1 font ",14"'; st2='tc lt 1 font ",14"'; st3='tc lt 1 font "Symbol,14"';
st4='fc rgb "red" fs solid 1.0 border lt -1'; st5='fc rgb "gray50" fs solid 1.0 border lt -1';
st6='fc rgb "gray20" front fs solid 1.0 border lt -1'; st7='fc rgb "gray80" front fs solid 1.0 border lt -1';
st8='fc rgb "slategray" fs solid 1.0 border lt -1';
DEL3='unset xl; unset yl; unset tics; unset mxtics; unset mytics; unset zeroaxis';
INICIO='if(t==0){unset parametric; unset multiplot; pause -1 "a - Pausar; g - Gráfico. Iniciar
movimento?"}';
# ---------------Cálculos Físicos --------------------
x(t)=xo+vo*t+0.5*a*t**2; y(t)=0.0; v(t)=vo+a*t; xmin=x(0); xmax=x(0); vmin=v(0); vmax=v(0);
t=0; N=200; dt=1.0*t_transito/N;
do for[j=0:N]{xn=x(t); vn=v(t); xmin=(xn<xmin)?xn:xmin; xmax=(xn>xmax)?xn:xmax;
vmin=(vn<vmin)?vn:vmin; vmax=(vn>vmax)?vn:vmax; t=t+dt;}
amin=(a<0)?1.5*a:0.0; amax=(a<0)?0.0:1.5*a;
tipo_mov(t)=(a*v(t)<0)?"Movimento Retardado":"Movimento Acelerado";
if(a==0.0){ amin=-0.5; amax=0.5;
if(vo>0.0){ vmin=0.0; vmax=1.5*vo; tipo_mov(t)="Mov. Uniforme \n Progressivo"};
if(vo<0.0){ vmin=1.5*vo; vmax=0.0; vira=1; tipo_mov(t)="Mov. Uniforme \n Retrógrado"};
if(vo==0.0){ xmin=xo-1.0*t_transito; xmax=xo+1.0*t_transito; vmin=-0.5; vmax=0.5;
tipo_mov(t)="Repouso";};
}
Tempo(t)=(t==0)?sprintf("T_{trânsito} = %.2f s", t_transito):sprintf("T = %.2f s", t);
houve_inversao=0;
if(vo*a<0.0){t_inv=-1.0*vo/a; x_inv=x(t_inv); v_inv=v(t_inv); houve_inversao=1;}
Escx=0.10*(xmax-xmin); Escy=Escx; Esc_v=0.1*(vmax-vmin); Esc_a=0.1*(amax-amin);
41
# ------------ carro ---------------------------------
Esc_carro(t)=(v(t)<0.0)?(1-2*vira)*Escx:Escx; Dx(x)=x*Esc_carro(t); Dy(y)=y*Escy; Raio=0.11*Escy;
x1(t)=x(t)+Dx(0.5); y1(t)=y(t); x2(t)=x(t)+Dx(-0.5); y2(t)=y1(t); x3(t)=x2(t); y3(t)=y1(t)+Dy(0.045);
x4(t)=x3(t)+Dx(0.30);y4(t)=y3(t); x5(t)=x4(t);y5(t)=y1(t)+Dy(0.080); x6(t)=x5(t)+Dx(0.40);y6(t)=y5(t);
x7(t)=x6(t)+Dx(0.14);y7(t)=y3(t); x8(t)=x1(t); y8(t)=y1(t)+Dy(0.033); x9(t)=x4(t)+Dx(0.03);y9(t)=y3(t);
x10(t)=x4(t)+Dx(0.22); y10(t)=y5(t)+Dy(-0.005); x11(t)=x10(t)+Dx(0.03); y11(t)=y10(t);
x12(t)=x6(t)+Dx(-0.02); y12(t)=y11(t); x13(t)=x7(t)+Dx(-0.04); y13(t)=y9(t); x14(t)=x11(t);y14(t)=y9(t);
x15(t)=x2(t)+Dx(0.23); y15(t)=y(t); x16(t)=x1(t)+Dx(-0.20); y16(t)=y(t);
x17(t)=x2(t)+Dx(0.08); y17(t)=y(t)+Dy(0.01); x18(t)=x1(t)+Dx(-0.06); y18(t)=y17(t);
carro='set object 1 polygon from x1(t),y1(t) to x2(t),y2(t) to x3(t),y3(t) to x4(t),y4(t) to \
x5(t),y5(t) to x6(t),y6(t) to x7(t),y7(t) to x8(t),y8(t) to x1(t),y1(t) @st4';
janelas='set object 2 rect from x9(t),y9(t) to x10(t),y10(t)@st5; set object 3 polygon from \
x11(t),y11(t) to x12(t),y12(t) to x13(t),y13(t) to x14(t),y14(t) to x11(t),y11(t) @st5';
pneus='set object 4 circle at x15(t),y15(t) size Raio @st6; set object 6 circle at x15(t),y15(t) \
size 0.6*Raio @st7; set object 5 circle at x16(t),y16(t) size Raio @st6; \
set object 7 circle at x16(t),y16(t) size 0.6*Raio @st7';
parachoques='set object 8 rect from x2(t),y2(t) to x17(t),y17(t) @st8; set object 9 rect from \
x1(t),y1(t) to x18(t),y18(t) @st8';
CARRO='@carro; @janelas; @pneus; @parachoques';
AMBIENTE='set object 10 rect from p1,-0.1*Escy to p2,-0.01*Escy fc rgb "green" fs solid 1.0 \
noborder behind; set object 11 rect from p1,-0.01*Escy to p2,Escy fc rgb "cyan" fs transparent \
solid 0.1 noborder behind';
VETORES='set arrow 1 from x(t),-0.02*Escy to x(t),-0.08*Escy head front lc 3; set arrow 2 from \
x(t),y5(t)+Dy(0.01) to x(t+5.0*dt),y5(t)+Dy(0.01) front lc 1 lw 2';
DEL1='unset object'; DEL2='unset arrow; unset xtics';
#========================== Começa a animação ================
t=0; do for[j=0:N]{ set multiplot;
set size 0.23,1.0; set origin 0,0; set xr[0:1]; set yr[0:1];
set label 1 "Movimento M.R.U.V" at 0.5,0.90 center @st0;
set label 2 sprintf("X_o = %.2f m", x(0)) at 0.05,0.80 left @st0;
set label 3 sprintf("V_o = %.2f m/s", v(0)) at 0.05,0.70 left @st0;
set label 4 sprintf("a = %.2f m/s^{2}", a) at 0.05,0.60 left @st0;
set label 5 Tempo(t) at 0.05,0.50 @st1;
set label 6 sprintf("X = %.2f m", x(t)) at 0.05,0.40 left @st2;
set label 7 sprintf("V = %.2f m/s", v(t)) at 0.05,0.30 @st2;
set label 8 sprintf("D ") at 0.05,0.22 @st3;
set label 9 sprintf("X = %.2f m", x(t)-x(0)) at 0.12,0.22 @st2;
set label 10 sprintf("D ") at 0.05,0.14 @st3;
set label 11 sprintf("V = %.2f m/s", v(t)-v(0)) at 0.12,0.14 @st2;
set label 12 tipo_mov(t) at 0.5,0.08 center @st0;
p 0.85 lc -1 lw 2; unset label;
set parametric;
set origin 0.21,0.0; set size 0.80,1.0; set trange[0:t_transito]; set yr[-0.1*Escy:Escy];
p1=xmin-1.2*Escx; p2=xmax+1.2*Escx; set xr[p1:p2]; set xtics Escx nomirror; set mxtics 4;
@CARRO; @AMBIENTE; @VETORES;
plot @VAR x(it),-0.01*Escy lc 3; @DEL1; @DEL2;
42
if(graficos==1){
set xr[0:1.05*t_transito]; set xl "t" offset 0,1; set mxtics 2; set mytics 2;
set xtics t_transito/5.0 offset 0,0.4 nomirror; set zeroaxis lc 0;
set origin 0.23,0.50; set size 0.27,0.45;
set yr[xmin-0.5*Escx:xmax+0.5*Escx]; set yl "x(t)" offset 0.8,0; set ytics Escx nomirror;
if(houve_inversao && t>=t_inv){ hx=(a<0)?0.7*xmin:0.9*xmax;
set label 1 sprintf("x_{inv}=%.2f m \n t_{inv}=%.2f s", x_inv, t_inv) at 0.1*t_transito, hx tc lt 1 font
",13" front;}
p @VAR it, x(it) lw 3; if(houve_inversao && t>=t_inv){unset label 1}
set origin 0.49,0.50; set size 0.26,0.45; set yr[vmin-Esc_v:vmax+Esc_v]; set yl "v(t)" offset 0.8,0;
set ytics 2*Esc_v; hv=(a==0 && vo==0)?0.3:(a==0)?1.2*vo:((a<0)?0.8*vmin:0.8*vmax);
set label 1 sprintf("D") at 0.08*t_transito, hv tc lt 1 font "Symbol,13" front;
set label 2 sprintf("X=%.2f m", x(t)-x(0)) at 0.14*t_transito, hv tc lt 1 font ",13" front;
p @VAR it, v(it) lw 3, it, 0.98*v(it) w i lc 2; do for[i=1:2]{unset label i};
set origin 0.74,0.50; set size 0.26,0.45; ay=(a==0)?amax:abs(a); set yr[amin:amax];
set yl "a(t)" offset 0.8,0; set ytics 0.5*ay nomirror; ha=(a==0)?0.3:1.2*a;
set label 1 sprintf("D") at 0.08*t_transito, ha tc lt 1 font "Symbol,13" front;
set label 2 sprintf("V=%.2f m/s", t*a) at 0.14*t_transito, ha tc lt 1 font ",13" front;
p @VAR it, a lw 3, it, 0.98*a w i lc 2; do for[i=1:2]{unset label i}; @DEL3;
}
@INICIO; pause 0.01; t=t+dt; unset parametric; unset multiplot;
}
pause -1 "Simular novamente?"; reread;
43
APÊNDICE C
CÓDIGO-FONTE DO APLICATIVO - QUEDA LIVRE
# Script do movimento m.r.u.v. - queda livre. Não altere nada neste script. # Qualquer mudança de parâmetro, faça no script Inic_Queda_Livre.txt reset; load “Inic_Queda_Livre.txt”; #------------------ Observações ------------------------------ if(yo<0.0){pause -1 "Altura inicial imprópria. Assuma yo>=0"; exit} if(vo==0.0 && yo==0.0){pause -1 "Estado de Repouso sobre o solo"; exit} if(vo<0.0 && yo==0.0){pause -1 "Se V<0.0, assuma yo>0"; exit} if(g<=0.0){pause -1 "Valor Impróprio. Assuma g > 0"; exit}; if(graficos!=0 && graficos!=1){pause -1 "Assuma apenas os valores 0 ou 1 para graficos"; exit}; bind a 'pause -1 "continue?"'; bind g "graficos=(graficos==1)?0:1;" #------------------------------------------------------------- #--------- Dimensão da Janela e Aparência dos Objetos -------- unset key; unset tics; set colors classic; unset mouse; VAR='[it=0:t]'; set term wxt title "M.R.U.V - Queda Livre" size 1000,600 @prop1; prop1='enhanced font "Helvetica,10" persist ctrl'; set border 31 lc -1 lw 2; st0='tc lt 3 font ",14"'; st1='tc lt -1 font ",14"'; st2='tc lt 1 font ",14"'; st3='fc rgbcolor "gray70" fs solid 1.0 border lt -1 front'; st4='fc rgb "green" fs pattern 2 noborder'; st5='fc rgb "cyan" fs transparent solid 0.1 noborder behind'; st6='fc rgb "brown" fs pattern 2 border'; st7='fc rgb "white" fs solid 1.0 border lt 8'; DEL3='unset xl; unset yl; unset tics; unset format; unset zeroaxis'; INICIO='if(t==0){unset parametric; unset multiplot; pause -1 "a - Pausar; g - Gráfico. Iniciar movimento?"}'; # -----------Cálculos Físicos ------------------------ x(t)=0; y(t)=yo+vo*t-0.5*g*t**2; v(t)=vo-g*t; dy=(vo**2)/(2.0*g); H=yo+dy; tsub=1.0*vo/g; tqueda=sqrt(2.0*H/g); tvoo=tsub+tqueda; vf=v(tvoo); if(vo<0.0){tsub=0.0; dy=0.0; H=yo; vf=-sqrt(vo**2+2*g*yo); tqueda=(vo-vf)/g; tvoo=tqueda} tipo_mov(t)=(t==0)?"Repouso":((v(t)>0)?"Movimento Retardado":"Movimento Acelerado"); N=200; dt=1.0*tvoo/N;
#----- Parâmetros do Prédio, Projetil, e eixo X -------- A_max=20; Raio=0.02*A_max; x1=-0.25*A_max; x2=A_max; y1=-0.15*H; y2=1.1*H; par_1=-0.22*A_max; Jan_1=par_1+0.04*A_max; par_2=-0.03*A_max; Jan_2=par_2-0.04*A_max; Xseta=0.20*A_max; Xlabel=0.25*A_max; Y1seta=0.7*H; Y2seta=0.6*H; Ylabel=0.65*H; projetil='set object 1 circle at x(t),y(t) size Raio @st3'; ambiente='set object 2 rect from x1,y1 to x2,0 @st4; set object 3 rect from x1,0 to x2,y2 @st5'; vetores='set arrow 1 from x(t),y(t) to x(t),y(t+6*dt) lc 1 lw 2; set arrow 2 from Xseta,Y1seta to \ Xseta, Y2seta front lc 3 lw 2'; rotulo='set label 1 "g" at Xlabel, Ylabel tc lt 3 font ",14"'; CENARIO='@projetil; @ambiente; @vetores; @rotulo'; n=3; m=2; PREDIO='if(yo>0.0){n=n+1; set object n rect from par_1,0 to par_2,yo @st6; k=2; \ do for[i=1:4]{n=n+1; set object n rect from Jan_1,k*yo/16.0 to Jan_2,(k+1)*yo/16.0; \ set object n @st7; k=k+4} l=1; \ do for[i=1:3]{m=m+1; set arrow m from par_1,0.25*l*yo to par_2,0.25*l*yo nohead ls 8; l=l+1} \ }'; DEL1='unset object'; DEL2='unset arrow; unset tics';
44
#========= Começa a animação ====================================== t=0; do for[j=0:N]{ set multiplot; set size 0.25,1.0; set origin 0,0; set xr[0:1]; set yr[0:1]; set label 1 "M.R.U.V - Queda Livre" at 0.5,0.95 center @st0; set label 2 sprintf("Y_o=%.2f m",y(0)) at 0.05,0.85 left @st0; set label 3 sprintf("V_o=%.2f m/s",v(0)) at 0.05,0.76 left @st0; set label 4 sprintf("a =%.2f m/s^{2}",g) at 0.05,0.67 left @st0; set label 5 sprintf("T =%.2f s", t) at 0.05,0.58 left @st1; set label 6 sprintf("Y =%.2f m", y(t)) at 0.05,0.49 @st2; set label 7 sprintf("V =%.2f m/s",v(t)) at 0.05,0.40 @st2; set label 8 tipo_mov(t) at 0.5,0.08 center @st1; m=8; if(t>=tsub){m=m+1; set label m sprintf("T_{subida} = %.2f s", tsub) at 0.05,0.32 @st2; m=m+1; set label m sprintf("H_{max} = %.2f m", H) at 0.05,0.24 @st2;} if(t>=0.99*tvoo){m=m+1; set label m sprintf("T_{voo} = %.2f s", tvoo) at 0.05,0.16 @st2;} p 0.90 lc -1 lw 2; unset label; set parametric; set origin 0.24,0.0; set size 0.47,1.0; set trange[0:tvoo]; set xr[x1:x2]; set yr[y1:y2]; set ytics 0.1*H nomirror; set mytics 2; set ytics format "%.2f"; @CENARIO; @PREDIO; p @VAR x(it), y(it) w d lc 0; @DEL1; @DEL2; unset label 1; if(graficos==1){
set xr[0:1.1*tvoo]; set xtics 0.25*tvoo nomirror offset 0,0.3; set mxtics 2; set xl "t" offset 0,0.8; set mytics 2; set zeroaxis; set tics format "%.2f"; set origin 0.7,0.60; set size 0.30,0.4; set yr[-0.05*H:1.1*H]; set yl "y(t)" offset 0.8,0; set ytics 0.2*H nomirror; p @VAR it, y(it) lc 1 lw 3; set origin 0.7,0.31; set size 0.30,0.30; vmin=1.2*vf; vmax=(vo==0)?-0.1*vf:((vo<0)?0.8*vo:1.2*vo); set yr[vmin:vmax]; set yl "v(t)" offset 0.8,0; set ytics 0.25*abs(vf) nomirror; p @VAR it,v(it) lc 3 lw 3; set origin 0.7,0.02; set size 0.30,0.30; set yr[0:1.2*g]; set yl "a(t)" offset 0.8,0; set ytics g/4.0 nomirror; p @VAR it, g lc 2 lw 3; @DEL3; }
@INICIO; pause 0.01; t=t+dt; unset parametric; unset multiplot; } pause -1 "Simular novamente?"; reread;
