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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
DISEÑO Y ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE UN CONTROLADOR DIFUSO PARA UN PÉNDULO
INVERTIDO
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
P R E S E N T A
ISRAEL ABRAHAM ALARCÓN SÁNCHEZ
ASESOR:
Dr. CARLOS ROMÁN MARIACA GASPAR
MÉXICO, D. F. 2014
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZ MATEOS"
TEMA DE TESIS
QUE PARA OBTENER EL TITlJLO DE INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN TESIS Y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL
DEBERA(N) DESARROLLAR c. ISRAEL ABRAHAM ALARCÓN SÁNCHEZ
"DISEÑO Y ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE UN CONTROLADOR DIFUSO PARA UN PÉNDULO INVERTIDO"
DISEÑAR E IMPLEMENTAR UN ALGORITMO DE CONTROL UTILIZANDO LÓGICA DIFUSA PARA LA ESTABILIZACIÓN DE UN PÉNDUW INVERTIDO ROTANTE DE UN GRADO DE LIBERTAD .
•:. INTRODUCCiÓN • •:. MARCO TEÓRICO . •:. DESARROLLO . •:. PRUEBAS y RESULTADOS . •:. CONCLUSIONES
ASESOR
DR. CARLOS ROMÁN MARIACA GASPAR)'I~;';":'i~ ;¡:- \í,-;.;.:: ~ ('e'
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ING. PATRICIA LORENA ~~EZ RAN'b .i JEFE DEL DEPARTAMENTO ACADÉMICOIW:·A.I'I1UT
'
INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
Índice General
CAPÍTULO 1.- Introducción1.1.- Objetivos ................................
1.2.- Justificación del proyecto
1.3.- Planteamiento del problema
CAPÍTULO 2.- Marco teórico2.1.- Lógica difusa ................................
2.2.- Control difuso ................................
2.3.- Funciones de membrecía
2.4.- Conjuntos difusos ................................
2.5.- Tipos de sistemas difusos
2.6.- Modulo de fusificación ................................
2.7.- Base de conocimientos ................................
2.8.- Motor de inferencia ................................
2.9.- Módulo de defusificación
2.10.- Base de Reglas................................
2.11.- Modelo Mamdani ................................
2.12.- Modelo Takagi-Sugeno
2.13.- Análisis de estabilidad de sistemas difusos
2.13.1.- Consideraciones acerca de la estabilidad de sistemas difusos
2.13.2.- Estado del arte de estabilidad de sistemas difusos
2.14.- Control PID ................................
2.15.- Sistemas de control a lazo abierto
2.16.- Sistemas de control a lazo cerrado
2.17.- Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo abie
2.18.- Matlab ................................
2.19.- Simulink ................................
2.20.- Puente H ................................
2.21.- Giroscopio ................................
2.22.- Tarjeta de Adquisición de Datos (DAC)
2.23.- Optoacoplador ................................
2.24.- Operación y circuito NOT también llamado Inversor
2.25.- Potenciómetro ................................
2.26.- Motor de Corriente Directa
2.26.1.- Obtención del voltaje DC de salida de la espira rotatoria
2.26.2.- Par inducido en la espira rotatoria
2.26.3.- Conmutación en una espira
2.26.4.- Desplazamiento de las escobillas
2.26.5.- Ecuaciones de voltaje interno generado y par inducido en máquinas
2.27.- Modelo matemático del p
2.27.1.- Análisis no lineal ................................
3
Índice
Introducción ......................................................................................
......................................................................................................................
Justificación del proyecto ..............................................................................................
Planteamiento del problema .........................................................................................
Marco teórico ..................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
Funciones de membrecía .............................................................................................
................................................................................................
Tipos de sistemas difusos ............................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
Módulo de defusificación ............................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
Sugeno-Kang (TSK) ................................................................
Análisis de estabilidad de sistemas difusos ................................................................
Consideraciones acerca de la estabilidad de sistemas difusos ................................
Estado del arte de estabilidad de sistemas difusos .....................................................
................................................................................................
Sistemas de control a lazo abierto ................................................................
Sistemas de control a lazo cerrado ................................................................
Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo abie
......................................................................................................................
....................................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
Tarjeta de Adquisición de Datos (DAC) ................................................................
................................................................................................
Operación y circuito NOT también llamado Inversor ...................................................
................................................................................................
Motor de Corriente Directa .......................................................................................
Obtención del voltaje DC de salida de la espira rotatoria ................................
Par inducido en la espira rotatoria................................................................
Conmutación en una espira DC sencilla de cuatro espiras ................................
de las escobillas ................................................................
Ecuaciones de voltaje interno generado y par inducido en máquinas DC
Modelo matemático del péndulo invertido ................................................................
................................................................................................
Índice
...................... 5
...................... 7
.............................. 8
......................... 9
.................. 11
............................................... 11
............................................. 11
............................. 12
........................................ 16
............................ 16
................................ 20
................................ 21
.................................... 22
............................ 23
........................................... 25
...................................... 26
............................................. 28
................................. 28
.................................... 29
..................... 30
................................................ 56
............................................. 59
............................................ 59
Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo abierto . 60
...................... 61
.................... 61
.................................................. 61
................................................. 62
....................................... 63
.......................................... 63
................... 63
.......................................... 64
....................... 65
........................................... 65
............................................... 66
.......................................... 67
................................................. 68
DC................... 69
................................ 70
........................................... 74
2.27.2.- Análisis lineal ................................
CAPÍTULO 3.- Desarrollo ................................
3.1.- Primera etapa: Diseño del controlador difuso
3.1.1.- Diagrama de flujo ................................
3.2.- Segunda etapa: Simulaciones
3.2.1.- Control PID ................................
3.2.2.- Control difuso ................................
3.2.3.- Análisis de estabilidad
3.3.- Tercera etapa: Implementación
CAPÍTULO 4.- Pruebas y resultados4.1.-Modificaciones ................................
4.2.- Trabajo a futuro ................................
CONCLUSIONES ................................
BIBLIOGRAFÍA ................................
GLOSARIO ................................
ANEXOS ................................
ANEXO 1.- Giroscopio LPY530AL
ANEXO 2.- Puente H L293D ................................
ANEXO 3.- Optoacoplador MOC2130
ANEXO 4.- Compuerta NOT 74LS04
ANEXO 5.- Regulador de voltaje LM317A
ANEXO 6.- DACPH1018 ................................
ANEXO7.- Potenciómetro de precisión de 10 vueltas
4
Índice
................................................................................................
........................................................................................
Primera etapa: Diseño del controlador difuso ..............................................................
................................................................................................
Segunda etapa: Simulaciones ......................................................................................
.....................................................................................................................
................................................................................................
Análisis de estabilidad ................................................................................................
Tercera etapa: Implementación ...................................................................................
Pruebas y resultados ................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
..................................................................................................................
Giroscopio LPY530AL ........................................................................................
................................................................................................
oacoplador MOC2130 .................................................................................
Compuerta NOT 74LS04 ....................................................................................
Regulador de voltaje LM317A ................................................................
................................................................................................
Potenciómetro de precisión de 10 vueltas ..........................................................
Índice
................................................ 74
........................ 81
.............................. 81
........................................... 88
...................... 89
..................... 91
................................................. 94
.................................... 96
................... 99
.................................. 107
........................................... 112
........................................ 115
................................... 117
....................................... 119
.............................................. 123
.................. 125
........................ 125
................................ 126
................. 127
.................... 128
........................................... 129
...................................... 130
.......................... 131
5
Capítulo 1.- Introducción
CAPÍTULO 1.- Introducción
Los sistemas de control tienen una gran relevancia en los procesos tecnólogicos
modernos, ya que brindan grandes beneficios a través de su uso. La aplicación de
la teoría de control a problemas prácticos ha sido demostrada en muchas
ocasiones diseñando leyes de control para sistemas modernos simples y
complejos. [9]Entre algunas de las dificultades que presentan estas aplicaciones
se encuentran las dinámicas no modeladas, las no linealidades asociadas tanto al
sistema como a las incertidumbres, las perturbaciones y los cambios en los
parámetros. Un ejemplo típico de sistema inestable es el péndulo invertido.
El péndulo invertido es uno de los sistemas más empleados en la educación de la
teoría de control moderna, se compone básicamente de un brazo articulado
montado en un carro, que puede moverse de forma horizontal; [2] el brazo se
mueve libremente alrededor de la articulación en el carro, y el objetivo del control
es llevar el brazo al punto de equilibrio.
A la fecha, se han propuesto diversas aproximaciones del control y estabilidad del
péndulo, como son:
1) Mikukcic y Chen [17] crearon un conjunto de reglas difusas para el control
del péndulo invertido por el método de agrupación.
2) Kawaji y Maeda [18] construyeron un controlador difuso simple que
detectaba y mantenía en posición vertical el péndulo mediante una tarjeta
virtual, pero a este controlador se le dificultaba estabilizar completamente el
péndulo en un tiempo pequeño.
3) Kyung y Lee [19] presentaron un controlador difuso cuya base de reglas fue
derivada de tres redes neuronales. Aunque este controlador lograba
estabilizar el péndulo en 8 segundos, necesito 396 reglas, para lograr el
control adecuado.
4) Sakai y Takahama [20] aplicaron un método de optimización no-lineal para
entrenar al controlador, sin embargo el controlador tardaba 200 segundos
en estabilizar el péndulo.
6
Capítulo 1.- Introducción
Una de las principales aplicaciones de éste sistema es en el diseño de control de
la postura y caminata de robots bípedos, posición satelital con respecto a antena,
el transportador personal segway, entre otros.
En el Instituto Politécnico Nacional Bárcenas Cortes Luis Mario y Pérez Martínez
Cesar [21] diseñaron un controlador difuso para un sistema péndulo invertido, el
cual consta de 81 reglas y en donde el análisis únicamente se realiza en el
controlador difuso.
En la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México,
José Antonio Montiel Ramírez [22], realiza un controlador difuso para un sistema
péndulo invertido el cual consta de 27 reglas utilizando un método de
defusificación singletons. Dicho control está basado solo en las variables del
ángulo y la velocidad angular, por lo que no controla la posición del móvil.
Este trabajo está enfocado en desarrollar un controlador difuso para un sistema
péndulo invertido, con el objetivo principal de evaluar las propiedades de
estabilidad que presenta éste controlador, aplicado al modelo no lineal y a su
versión linealizada; para éste último caso se hace una validación de los resultados
obtenidos al comparar su respuesta contra la del controlador PID clásico.
Posteriormente se desarrolla el prototipo para obtener un mejor enfoque y
comprensión del modelo difuso.
7
Capítulo 1.- Introducción
1.1 .- Objetivos
a) General
Diseñar e implementar un algoritmo de control utilizando lógica difusa para
la estabilización de un péndulo invertido rotante de un grado de libertad.
b) Específicos
Obtener un modelo matemático que describa el comportamiento dinámico
del péndulo invertido montado sobre un móvil.
Diseñar una estrategia de control difuso para controlar la posición del móvil
manteniendo al péndulo invertido acoplado en su punto de operación
inestable.
Implementar el algoritmo de control obtenido en MATLAB simulink para
ilustrar sus propiedades y principio de funcionamiento.
Comparar el desempeño de la estrategia propuesta contra otra de control
clásico tomada de la literatura a partir de sus simulaciones.
Analizar la estabilidad del controlador diseñado empleando los métodos de
trayectoria lingüística y de trayectoria sobre los planos de fase.
Construir el prototipo mecánico del péndulo invertido montado sobre un
móvil controlado mediante lógica difusa utilizando la PC y una DAQ.
8
Capítulo 1.- Introducción
1.2 .- Justificación del proyecto
Actualmente nuestra institución no cuenta con equipo de laboratorio que apoye las
materias impartidas en el plan de estudio, dejando a estas en su mayoría en
análisis matemático y simulación. Con lo cual, el prototipo del péndulo invertido
servirá como apoyo a prácticas de laboratorio para las materias de control
inteligente, sistemas no lineales, control analógico, servomecanismos, entre otras.
Debido a que el péndulo invertido es el ejemplo básico con el cual podemos
entender las aplicaciones del desarrollo a nivel industrial.
Este proyecto puede ser aplicado no solo a nivel educativo, debido a que, al contar
con técnicas de control moderno, podemos encontrar ejemplos en la industria, tal
es el caso de los segway1 que día a día siguen innovándose exponencialmente,
además de aplicarse en robots, satélites modernos, entre otros. [16]
La lógica difusa ha surgido como un método importante para el control de
subsistemas y procesos industriales complejos, así como, también para la
electrónica de entretenimiento y hogar, sistemas de diagnóstico y otros sistemas
expertos. [15]
Al realizar la comparación entre ambas técnicas de control (clásico y difuso) se
podrá observar el desempeño de ambas de forma simulada para comprender
algunas de las ventajas y desventajas que presenta una de la otra.
1Vehículo de transporte ligero giroscópico de dos ruedas, con auto balanceo controlado. Es producido por la compañía Segway
9
Capítulo 1.- Introducción
1.3.- Planteamiento del problema
El proyecto a desarrollar de manera simulada y física es un algoritmo de control
utilizando lógica difusa un péndulo invertido rotante; con el cual se controlará el
péndulo tanto en el ángulo como en la posición del carro tomando en cuenta las
diversas características que afectan su equilibrio, como son las perturbaciones,
longitud, velocidad, masa, fuerza, fricción y gravedad.
Se desea implementar este estudio y proyecto para acrecentar el interés en la
comunidad politécnica, debido a que no solo tiene fines académicos si no también
puede ser utilizado para fines de investigación y lucro. Las limitaciones en las
aplicaciones que derivan del péndulo solo se ven limitadas por la imaginación de
quien lo utiliza.
Los péndulos invertidos existentes en su gran mayoría están basados en el
diseño del control solo en el ángulo y están realizados por un control PID, es decir,
control proporcional integral derivativo.
Con el control difuso se puede lograr un control más eficiente y con mejor ahorro
de energía ya que utiliza un proceso más complejo pero reducido en software
comparado con el PID.
10
Capítulo 1.- Introducción
11
Capítulo 2.- Marco teórico
CAPÍTULO 2.- Marco teórico
2.1.- Lógica difusa
La lógica difusa es una extensión de la lógica clásica diseñada para permitir el
razonamiento sobre conceptos imprecisos. Así podremos formalizar proposiciones
como “la velocidad del motor es muy alta” o “el paciente tiene una fiebre
moderada”, que son difíciles de representar adecuadamente en la lógica clásica.
Básicamente, la lógica difusa es una lógica multivaluada que permite una
gradación continua en el valor de verdad de una proposición, al poder utilizar
cualquier valor en el intervalo 0,1. [4]
Actualmente, la lógica difusa se aplica sobre todo al desarrollo de sistemas
expertos difusos. El uso de conceptos difusos permite definir reglas que formalicen
conocimiento impreciso de manera natural (por ejemplo, “si el paciente tiene fiebre
alta y es muy joven, entonces la dosis debe ser moderada”). En particular, el
número de aplicaciones en el área de ingeniería y control industrial es muy
elevado, ya que los sistemas difusos permiten, formulando reglas sencillas,
conseguir un “control suave” de los procesos.
2.2.- Control difuso
El control difuso es una clase de los sistemas basados en conocimiento KBS2.
Una definición muy general para un sistema KBS es la siguiente:
Un KBS para el control de lazo cerrado es un sistema de control que mejora el
funcionamiento, la confiabilidad y la solidez de control mediante la incorporación
de conocimiento que no puede ser incluido en el modelo analítico en el cual se
basa el diseño de un algoritmo de control, conocimiento que es usualmente
considerado por modos manuales de operación o por otros mecanismos lógicos
auxiliares. [3]
2Del ingles Knowledge Based System
12
Capítulo 2.- Marco Teórico
Un sistema de control difuso es un sistema experto en tiempo real, que
implementa parte de la experiencia de los operadores, la cual por sí misma no se
puede expresar fácilmente, como los parámetros de un control PID o como
ecuaciones diferenciales (sean estas lineales o no lineales, continuos o discretos).
2.3.- Funciones de membrecía
Los valores lingüísticos adoptados por las variables en la regla antecedente y
consecuente, y la representación simbólica de las normas son lo suficientemente
buenos para permitir un análisis cualitativo sobre la estabilidad del sistema de lazo
cerrado. Sin embargo, para las necesidades de la descripción cuantitativa del
comportamiento del sistema de lazo cerrado, con la participación del cálculo de la
salida de control cuantitativo, se necesita una interpretación cuantitativa del
significado de los valores lingüísticos. Permitiendo los dominios físicos de
, ∆ , ∆ , ∆ , ∆ respectivamente. Los elementos de estos dominios se
denotan por , ∆ , ∆ .El significado o interpretación de un valor particular LX
lingüística de una variable x viene dada por conjuntos difusos o definido en
el dominio (el universo del discurso) X de x como:
/
Ahora suponiendo eso ∆ ∆ , , , , , , 3, . ., los
términos del conjunto que contienen los valores lingüísticos de las tres variables
lingüísticas son iguales. En este caso tenemos que definir veintiún funciones de
pertenencia que representa el significado de cada valor lingüístico del plazo fijado
por encima de los respectivos dominios , ∆ ∆ .Para la eficiencia
computacional, el uso eficiente de la memoria, y las necesidades de análisis de
rendimiento, se requiere una representación uniforme de las funciones de
pertenencia. Esta representación uniforme se puede lograr mediante el empleo de
3Conjunto de términos de reglas de errores en un dominio normalizado
13
Capítulo 2.- Marco Teórico
funciones de membresía de una forma uniforme y definición paramétrica y
funcional.
Figura 2.1.- Mapeo del conjunto de términos de error normalizados en el dominio [-6,6]
Las opciones más populares para la forma de la función de membresía son
triangulares, trapezoidales, y las funciones en forma de campana. Estas tres
opciones se pueden explicar por el ápice que se puede obtener de una descripción
paramétrica y funcional de la función de pertenencia, almacenar la memoria ápice
uso mínimo, y manipulados de manera eficiente, en términos de requisitos de
tiempo real, por el motor de inferencia. Las figuras 2.2, 2.3 y 2.4 representan las
tres opciones para las funciones de membresía. [3]
Figura 2.2. Función de membresía triangular ; , ,)
1
12
α β γ
14
Capítulo 2.- Marco Teórico
Figura 2.3. Función de membresía trapezoidal ∏ ; , , ,
Figura 2.4. Función de membresía de forma campana ; ,
Es fácil ver que la descripción paramétrica y funcional de la función de membresía
de forma triangular es la que predomina en este tipo de funciones de membresía.
Una vez que la forma de la función de membresía se ha seleccionado, hay que
asignar cada elemento del conjunto de términos en el dominio de la variable
lingüística correspondiente.
En un conjunto bien definido, la pertenencia o no pertenencia de un elemente x a
un conjunto A se describe mediante la función característica como se
describe a continuación.
1,0,
1
12
α β γ
1
12
γ‐β γ γ+β
15
Capítulo 2.- Marco Teórico
Dicha función es llamada función de membresía de A, y está definida para todos
los elementos del universo, esta función hace un mapeo de todo el universo U a
su conjunto de evaluación de dos elementos 0,1, esto se escribe como:
: 0,1
La asignación de los valores lingüísticos de una variable en su dominio puede
afectar al rendimiento de la FKBC de varias maneras.
Generalmente se aplican funciones de transferencia triangulares, cuando el
sistema difuso se emplea como estrategia de control, y gaussianas, cuando se
emplea el sistema difuso como aproximador universal, en los antecedentes y
pulsos unitarios en los consecuentes. Las funciones de membresía en las que el
ancho derecho e izquierdo coincide se denominan simétricas, en caso contrario
asimétricas. Al punto en el que se cortan dos funciones de membresía se le
denomina punto de cruce. El nivel de cruce es el grado de membresía que
adquiere el punto de cruce en cualquiera de las dos funciones de membresía. Al
número de puntos de cruce entre dos funciones de membresía se denomina
relación de punto de cruce. Las funciones de membresía de los antecedentes, con
respecto a estos últimos parámetros, suelen ser de tal forma que el nivel del punto
de cruce es distinto de cero.
El empleo de funciones de membresía gaussianas en los antecedentes, al usar los
sistemas difusos como aproximadores universales, se debe a que generan
funciones escalares de salida, en función de las entradas escalares, continuas y
derivables. Esto permite la aplicación de los algoritmos de propagación hacia atrás
de mínimos cuadrados recursivos para determinar la estructura difusa que mejor
aproxima una determinada superficie de entrada.
16
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.4.- Conjuntos difusos
La lógica difusa trabaja con conjuntos a los cuales llamamos conjuntos difusos,
estos conjuntos están definidos por sus funciones de pertenencia, la cual expresa
la distribución de verdad de una variable.
Un conjunto difuso se puede definir matemáticamente al asignar a cada posible
individuo que existe en el universo, un valor que representa su grado de
membresía en el conjunto difuso. Este grado de membresía indica cuando el
elemento es similar o compatible con el concepto representado por el conjunto
difuso.
2.5.- Tipos de sistemas difusos
Generalmente se consideran tres tipos de sistemas de control difuso. El tipo I es el
clásico que se usó por primera vez en el control de una máquina de vapor por
Mamdani. En este tipo de sistemas se usan conjuntos difusos en la premisa y en
la consecuencia de cada regla. [15]
: Si ( ) y … y
Entonces … …(1)
Donde , 1,2, … , son conjuntos difusos para ,
1,2, … , 2 los conjuntos difusos para 1,2, … , son los conjuntos
difusos para , con sus funciones de pertenencia
, , respectivamente. … son los conjuntos difusos
para .
Existen varios métodos para implementar la inferencia difusa con este tipo de
reglas, y de obtener el valor numérico de la conclusión final (defusificación).
Ri1...in
17
Capítulo 2.- Marco Teórico
El segundo tipo de sistemas de control difuso es aquél con consecuente de tipo
singleton, es decir, un número real. Estos sistemas de tipo II son realmente un
caso especial de los de tipo I.
: Si ( ) y … y
Entonces … …(2)
Siendo … un número real. Los sistemas de típo II se utilizaron primero como
controladores difusos, para el control de seguimiento de automóviles, y
posteriormente en el control de un brazo robot (Ishikawa, 1988). Un sistema de
control difuso de tipo I es lingüísticamente aceptable, ya que utiliza variables
difusas en ambas partes, premisa y consecuencia. Por el contrario, los sistemas
de tipo II tienen la ventaja de que se puede reducir el numero de parámetros en el
consecuente de cada regla, gracias a que la consecuencia es un número real.
Los sistemas de tipo III consisten en un conjunto de reglas, cada una de las cuales
definen un sistema dinámico de orden n localmente válido. Se expresan de la
siguiente forma:
: Si ( ) y … y
Entonces … ∑ … …(3)
Este tipo de sistemas (Sugeno, 1985) y (Takagi and Sugeno, 1985) se utilizó como
controlador por primera vez en el control de un modelo de coche.
Como se puede observar, los sistemas de tipo II, de nuevo, son un caso especial
de sistemas de tipo III.
La necesidad de disponer de métodos de análisis de estabilidad para el diseño de
controladores difuso basados en modelos se discute en (Sugeno, 1985). En lo que
concierne al sistema del tipo I, en (Braae and Rutherford, 1979) se suministra un
modelo difuso de un sistema no lineal y se diseña un controlador difuso para que
Ri1...in
Ri1...in
18
Capítulo 2.- Marco Teórico
el sistema en cadena cerrada, descrito por reglas difusas, sea estable. Su método
es heurístico, pero muestra el objetivo del control difuso.
Existen muchos trabajos sobre la estabilidad de sistemas de control difuso de tipo
I. La mayoría de esos trabajos se centran en el estudio de las características de
los controladores difusos, sin tener en cuenta las propiedades de los modelos
difusos de los sistemas a controlar. En esos trabajos se lleva a cabo un análisis de
estabilidad del conjunto sistema no difuso con controlador difuso, y tratan el
segundo como un controlador no lineal. Como tal, reducen el problema de análisis
de estabilidad a la teoría clásica de estabilidad no lineal, como por ejemplo, el
análisis en el plano de fases para sistemas no lineales de bajo orden. En (Hojo et
al., 1992) y (Kickert and Mamdani, 1978) se presenta una aplicación de la función
descriptiva al análisis de la estabilidad de un sistema lineal con un controlador
difuso.
Otro enfoque muy estudiado ha sido el uso del criterio del círculo y su versión
extendida: el criterio de conicidad.
En otra línea, hay muchos estudios de estabilidad en el ajuste del control de modo
deslizante (SM) o sistemas de estructura variable. La idea está en lograr un control
robusto con el diseño de un controlador difuso de modo deslizante, que cambie su
estrategia de control con una superficie de conmutación.
Con relación a la robustez de la estabilidad, existen índices de estabilidad (Ollero
et al., 1995), basados en la teoría cualitativa.
Finalmente, existen muchos estudios sobre la estabilidad de los sistemas de
control descritos mediante relaciones difusas que, sin embargo, no parecen
prometedoras. Aunque incluyen teóricamente las expresiones de reglas del tipo si
- entonces, las expresiones difusas relacionales llegan a ser muy complicadas en
el caso multivariable.
Todavía no está madura una teoría general para el análisis de estabilidad de
sistemas difusos de tipo I. Lo habitual es que el análisis de estabilidad sea
19
Capítulo 2.- Marco Teórico
heurístico, y que el sistema a controlar no sea un sistema difuso sino un sistema
lineal.
En la teoría clásica de control, el análisis de estabilidad de un sistema de control
está basado en el análisis de sistemas dinámicos no forzados, es decir, un
sistema sin entrada de control. Por lo tanto, lo que se necesita en primer lugar es
un método de análisis de estabilidad para sistemas dinámicos difusos no forzados.
Siempre que se considere un sistema de tipo III, el análisis de estabilidad está
siendo planteado según esta idea.
La estabilidad de un sistema no forzado de tipo III fue en primer lugar analizada
para el caso discreto en (Tanaka and Sugeno, 1990), donde se aplicó el enfoque
de la función de Lyapunov. Otros trabajos relacionados con la estabilidad,
(Kawamoto et al., 1993) y (Tanaka and Sugeno, 1992), tratan tanto los sistemas
de tiempo discreto como los de tiempo continuo.
A partir de ellos, muchos han sido los trabajos llevados a cabo sobre sistemas de
control de tipo III. Basado en las condiciones de estabilidad, el control basado en
modelos de sistemas de tipo III se ha desarrollado para el caso discreto y también
para el caso continuo. En estos estudios se usan los modelos del espacio de
estado.
20
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.6.- Modulo de fusificación
La estructura principal de un FKBC se ilustra en la figura 2.5 y se conforma de los
siguientes componentes:[3]
El módulo de fusificación (FM) realiza las siguientes funciones:
FM-F1: realiza una transformación de escala (a la normalización de
entrada) que asigna los valores físicos de las variables de estado del actual
proceso de normalización (dominio normalizado). También asigna el valor
normalizado de la variable de control de salida sobre su dominio físico
(desnormalización de salida). Cuando un dominio normalizado no se utiliza,
entonces no hay necesidad de FM-F1
FM-F2: Realiza la llamada fusificación que convierte un point-wise, al valor
actual de una variable de estado del proceso en un conjunto difuso, con el
fin de hacerla compatible con la representación de conjuntos difusos de la
variable de estado del proceso en el antecedente de la regla.
Elección de la estrategia de fusificación:
La elección es determinada por el tipo de motor de inferencia o de activación de la
regla empleada en el uso particular de un FKBC. Por lo tanto solo hay dos
opciones disponibles:
1.- Fusificación en el caso de que la inferencia este basada en la composición.
2.- Fusificación en el caso de que la inferencia este basada en la regla individual.
La etapa de fusificación se encarga de la transformación de las variables
controladas entregadas por el proceso, en variables de tipo lingüísticas, como
resultado de la fusificación se obtienen valores lingüísticos medidos.
21
Capítulo 2.- Marco Teórico
Flujo computacional
Flujo de información
Traducción simbólica del significado
Figura 2.5.- Estructura de un FKBC
2.7.- Base de conocimientos La base de conocimientos de un FKBC consiste en una base de datos y una base
de reglas.
Las funciones básicas de la base de datos es proporcionar la información
necesaria para el buen funcionamiento del módulo de fusificación, la base de
reglas, y para el módulo de defusificación. Esta información incluye:[3]
Conjuntos difusos (funciones de membresía) representa el significado de los
valores lingüísticos del estado del proceso y las variables de control de salida.
Normalización
FM‐F1
Desnormalización
DM‐F1
Fusificación
FM‐F2
Defusificación
DM‐F2
Motor de
inferencia
Base de reglas
Sentido de la
representación
Base de datos
Base de reglas
Representación
simbólica
Estado del proceso nítido
Valores
Salida de control nítido
Valores
FM DM
Opcional
Obligatorio
22
Capítulo 2.- Marco Teórico
Dominios físicos y sus homólogos normalizados junto con la
normalización/desnormalización (ampliación) de sus factores.
Si el dominio del estado del proceso y las variables de control de salida se han
discretizado, la base de datos también contiene información sobre la cuantificación
(discretización). Para el caso predominante continuo y dominios normalizados los
parámetros de diseño de la base de datos incluyen:
Elección de las funciones de membresía
Elección de los factores de escalamiento
La función básica de la base de reglas es representar de una manera estructurada
la política de control de la experiencia del proceso de un operador en forma de un
conjunto de normas de producción, tales como:
Sí (proceso del estado) entonces (salida de control)
La parte ‘Si’ de esta norma se llama antecedente de la regla y es la descripción de
un estado del proceso en términos de una combinación lógica de las
proposiciones atómicas difusas. La parte ‘entonces’ de esta norma es llamada la
consecuencia de la regla y es también una descripción de la salida de control en
términos de combinaciones lógicas de las proposiciones difusas.
2.8.- Motor de inferencia Has dos tipos básicos de métodos empleados en el diseño del motor de inferencia
de un FKBC: [3]
1) Composición a base de inferencia (disparo)
2) Regla individual de inferencia de base (disparo)
En nuestro caso solo consideraremos el segundo tipo de inferencia, debido a su
uso predominante en las aplicaciones del FKBC. La función básica del motor de
inferencia del segundo tipo consiste en calcular el valor total de la variable de
salida de control basado en las contribuciones individuales de cada regla en la
23
Capítulo 2.- Marco Teórico
base de reglas. La contribución de cada individuo representa los valores de las
variables de control de salida calculado por una sola regla. La salida del módulo
de fusificación, que representa los valores actuales, nítidos de las variables de
procesos de estado, se corresponde a cada antecedente de la regla y un grado de
satisfacción de la altura de cada regla establecida. El conjunto de todos los valores
de salida de las normas de control representan el valor total de salida de control,
en este contexto los parámetros de diseño para el motor de inferencia son los
siguientes:
Elección de representar el significado de una norma única de producción.
Elección de representar el significado del conjunto de normas.
Elección del motor de inferencia.
Probar el conjunto de reglas para consistencia e integridad.
En esta etapa se realiza la tarea de calcular las variables de salida a partir de las
variables entrada, mediante las reglas y la inferencia difusa, entregando conjuntos
difusos de salida.
2.9.- Módulo de defusificación
Las funciones del modulo de defusificación (DM) son las siguientes: [3]
DM-F1: Realiza la llamada defusificación la cual convierte el conjunto de los
valores de las salidas modificadas en un solo valor del point-wise.
DM-F2: Realiza una salida desnormalizada a la cual se le asigna el valor
del point-wise de la salida de control, en su dimensión física. DM-F2 no es
necesaria si los dominios no normalizados se utilizan.
El parámetro de diseño del DM es:
Elección del operador de defusificación.
En aplicaciones de control, el conjunto difuso inferido como salida debe
convertirse a un valor escalar. El resultado de la inferencia difusa es retraducido
de un concepto lingüístico a una salida física gracias al proceso de defusificación.
24
Capítulo 2.- Marco Teórico
∑
∑
Donde q es el número de niveles de cuantización de salida, Zj es la suma de las salidas de control en el nivel de cuantización j y representa los valores de la
función de membresía en c. En otras palabras este método asigna el centro del área de la salida difusa final al valor defusificados.
El centro de área también es llamado centro de gravedad o centroide.
Figura 2.6.- Método de defusificación de Centro de Área (COA) En la figura 2.7 se describen los pasos para poder realizar un sistema difuso, esto
es, si tenemos una entrada (valor numérico), se puede representar este valor con
una variable lingüística de un peso dado, después se realiza la evaluación de las
reglas que son las que gobiernan el sistema difuso, por último se vuelve a pasar
de una variable lingüística a un valor numérico.
Figura 2.7.- Máquina de inferencia difusa
25
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.10.- Base de Reglas Los parámetros de diseño de la base de reglas incluyen: [8]
Elección del estado de proceso y las variables de control de salida.
Elección de los contenidos de la regla antecedente y de la regla
consecuente.
Elección de los conjuntos de términos (rangos de valores lingüísticos) para
el estado del proceso y las variables de control de salida.
Derivación de la serie de reglas.
Las reglas usadas en un sistema de base de reglas son generalmente expresadas
en una forma tal como:
“Si x es A entonces y es B”
Donde A y B son conjuntos difusos, x esta en el dominio de A y y en el dominio de
B. Esto suena como una implicación, como “A implica B”. Hay muchas
generalizaciones de la operación de implicación lógica clásica a los conjuntos
difusos. Pero la mayoría de los mecanismos de inferencia usados en sistemas de
control lógico difusos no son generalizaciones de la implicación clásica.
El razonamiento aplicado en lógica difusa es a menudo descrito en términos
generalizados
Premisa 1 x es
Premisa 2 Si x es A entonces y es B
Conclusión y es
Donde , , , son conjuntos difusos que presentan conceptos difusos. El
cálculo de puede llevar a cabo a través de una norma básica de inferencia
llamado de composición, a saber, o donde R es una relación difusa que
representa la proposición de implicación o proposición condicional difusa “Premisa
2”. Este sistema de inferencia es a veces descrito como un problema de
interpolación. La interpolación se encuentra en el corazón de la utilidad de los
sistemas basados en reglas difusas, porque hace posible emplear un número
26
Capítulo 2.- Marco Teórico
relativamente pequeño de reglas difusas para caracterizar una relación compleja
entre dos o más variables. Una serie de fórmulas se han propuesto para esta
implicación, la más común es la conjunción de composición.
,
Entonces se define como:
Describiremos dos métodos de inferencia (método de Mamdani y método de
Takagi-Sugeno-Kang) comúnmente usados para interpretar un conjunto de reglas.
Si x es Ai, entonces y es Bi, i=1,2,…,n
Aquí se contiene las reglas difusas que encierran el conocimiento necesario por la
solución del problema de control. Las reglas de control constan de regla
si<condiciones>entonces<acciones>.
2.11.- Modelo Mamdani
Dadas las reglas “Si x es Ai entonces y es Bi,”[8]
1,… ,
Donde:
, , … ,
Se combinan en el modelo Mamdani como:
,
Para cada k-tupla
, , … ,
27
Capítulo 2.- Marco Teórico
Esto da un conjunto difuso Rx definido por:
Notar que para la expansión del conjunto de reglas
Ri : Si Ai1 y Ai2 y … y Aik entonces Bi, i=1,2,…,n
Se ve como:
, , … , , …
En control difuso, el número … es
llamado la fuerza de la regla Ri para la entrada x. El conjunto difuso ,
es llamado como la salida de control de la regla Ri para la entrada x,
y el conjunto difuso Rx (y) es la salida de control de agregados para la entrada x.
En la figura 2.8 se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control
basado en el modelo Mamdani, dicho sistema consta de cuatro partes.
Figura 2.8.- Estructura de un controlador difuso Mamdani.
Interface de
Fusificación
Base de
Reglas
Máquina
de
inferencia
Defusificación
Entrada
no difusa
Salida no
difusa
28
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.12.- Modelo Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
Para el modelo TSK, las reglas están dadas de la forma:[8]
Ri : Si x1 es Ai1 y x2es Ai2 y … y xik es Aik
Entonces:
, , … , , 1,2, … ,
O
Ri : Si x1 es Ai entonces:
, 1,2, … ,
Donde:
, , … ,
Son funciones:
…
Esas reglas son combinadas y obtenemos la siguiente función:
… …
Por lo tanto, este modelo produce una función real valorada.
2.13.- Análisis de estabilidad de sistemas difusos
El análisis de estabilidad es uno de los conceptos más importantes en el análisis
de sistemas de control difuso. El éxito del Controlador de Lógica difusa (FLC) no
implica que no sea necesaria una teoría de estabilidad. Debe decirse que, a pesar
de todo el éxito del control difuso en aplicaciones industriales, la estabilidad no
29
Capítulo 2.- Marco Teórico
está totalmente garantizada. Tal vez uno de los inconvenientes que habría si no
existiera un método de análisis de estabilidad, sería que no se podría aplicar un
enfoque basado exclusivamente en modelos para el diseño de controladores
difusos. [15]
El diseño de un controlador difuso basado en reglas implica la necesidad de una
técnica de estabilidad. La carencia de herramientas para el análisis dinámico de
este tipo de sistemas supuso durante años una dura crítica. Como hemos dicho, la
eficiencia del FLC no implica que la estabilidad del sistema esté totalmente
asegurada.
Entre las muchas dificultades que presenta el análisis de estabilidad global y
asintótica de sistemas de control difuso, está el caso en el que dicho sistema es
localmente estable en un determinado punto de trabajo. Pero para sistemas no
lineales esta estabilidad sólo está garantizada alrededor de dicho punto. En estos
casos, el sistema puede ser localmente estable alrededor del punto activo de
trabajo pero no globalmente estable.
2.13.1.- Consideraciones acerca de la estabilidad de sistemas difusos
El concepto de estabilidad es básico en todos los sistemas de control, siendo los
sistemas de control difuso un caso especial de sistemas de control no lineal. Esto
significa que los métodos de análisis de estabilidad y los resultados de la teoría de
sistemas no lineales, como el método de Lyapunov, se pueden aplicar también a
los sistemas difusos. A la estabilidad de Lyapunov se ha prestado mucha atención
en los últimos años, lo que posiblemente haya sido fomentado por la existencia de
métodos de optimización numérica convexa para la búsqueda de funciones de
Lyapunov. [15]
La mayoría de los trabajos publicados sobre análisis de estabilidad de sistemas de
control difuso, parten del conocimiento previo del modelo matemático de la planta,
expresándolo como un sistema dinámico, bien en tiempo continuo, o bien en
tiempo discreto. En muchos trabajos se supone que el modelo del controlador es
30
Capítulo 2.- Marco Teórico
difuso, pero el de la planta no. De hecho, la mayoría de los sistemas
experimentales usados para el diseño de sistemas de control difuso, como el
péndulo invertido, un sistema de pelota y balancín, son de esta naturaleza.
2.13.2.- Estado del arte de estabilidad de sistemas difusos
En este apartado se recogen las principales líneas de investigación que tratan de
dar una solución global al análisis de estabilidad de sistemas difusos.
2.13.2.1.- El Plano de Fases o Análisis Geométrico
Inicialmente, el controlador difuso se analizó mediante métodos tradicionales
algebraicos, los cuales tienen éxito particularmente en el análisis de la estabilidad,
siempre que el proceso sea modelado también algebraicamente. Estos métodos
tienen la limitación de que el modelo algebraico puede ser utilizado también para
modelar el controlador difuso. Mediante esta técnica, se obtienen controladores
difusos eficientes, especialmente para controlar sistemas no lineales de bajo
orden. [15]
En (Braae and Rutherford, 1979) se propuso una trayectoria lingüística del plano
de fases para analizar y mejorar la estabilidad, modificando las reglas de control.
El sistema será estable si la trayectoria lingüística converge al punto de equilibrio.
Como ejemplo, se considera el sistema lingüístico representado mediante las
siguientes ecuaciones:
, …(4)
Φ …(5)
Que representan las reglas mostradas en el cuadro 2.9 de forma matricial.
31
Capítulo 2.- Marco Teórico
Figura 2.9.-Reglas difusas mediante el plano de fases.
Por ejemplo, el elemento NM en la matriz representa la regla:
: Si u es PP y x es NG entonces es NM y el elemento NG, la siguiente regla
: Si x es NG entonces y es NG
Siendo y la salida del sistema.
Cuando u es PP y x es NG, entonces el cambio del estado es NM. Esto quiere
decir que el estado del sistema x se hace más negativo. Dado que el sistema
alcanza su máximo valor lingüístico negativo, esta situación revela su inestabilidad
lingüística.
En (Aracil et al., 1988) se propone la aplicación de los enfoques del espacio de
estado geométrico al análisis de estabilidad de los sistemas de control difuso. Este
método abarca los conceptos incluidos en el enfoque de trayectorias lingüísticas, y
puede usarse para analizar la estabilidad del estado, así como para detectar ciclos
límites, oscilaciones y otros comportamientos dinámicos.
32
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.13.2.2.- Criterio del Círculo
La aplicación del criterio del círculo a sistemas difusos, se utiliza el criterio del
círculo para el análisis de la estabilidad de los sistemas de control difuso.
El problema es estudiar la estabilidad en el origen para una clase de no
linealidades que satisfacen la condición de sector dada. Si el origen es global y
asintóticamente estable para todas las no linealidades en el sector, el sistema se
denomina absolutamente estable. Este problema se denomina también problema
de Lur. [15]
Debido a que un sistema con FLC es un sistema no lineal, hay que llevar a cabo
dos análisis diferentes de estabilidad: un análisis local alrededor del punto de
trabajo y otro global, para comprobar si existen otros puntos de equilibrio o ciclos
límites. Para analizar el problema de estabilidad local en sistemas de control
difuso, se han aplicado algunos de los métodos tradicionales para análisis de
estabilidad de sistemas no lineales de control (Wang, 1997) y (Yager and Filev,
1994). El criterio del círculo y el criterio relacionado de Popov, han sugerido
también ideas para analizar la estabilidad de sistemas difusos del tipo de Mamdani
sobre una planta lineal.
Estos métodos se pueden aplicar a sistemas no lineales que puedan
representarse mediante un sistema lineal realimentado con un elemento no lineal.
En el caso del control difuso, como elemento no lineal se tienen las reglas difusas
de tipo I, como se ve en la figura 4.10
Figura 4.10.- Sistema en lazo cerrado con un controlador difuso.
33
Capítulo 2.- Marco Teórico
La aplicación del criterio del círculo al análisis de estabilidad absoluta de un
sistema realimentado con una no linealidad ϕ, y con limites en un sector, se
muestra en la figura 4.11.
Figura 4.11.- No linealidad limitada por un sector.
En el caso de sistemas MIMO (ver figura 4.12), se supone que G(s) es una matriz
de función de transferencias cuadrada m × m racional para un sistema lineal, y
asintóticamente estable. El elemento no lineal Φ(e,t) es una matriz diagonal.
Figura 4.12.- Un sistema MIMO realimentado con un controlador no lineal.
Φ , Φ , , 1,2, … ,
m es el número de entradas y salidas en el caso de que el sistema sea una matriz
cuadrada, y las funciones Φ , cumplen la restricción:
Φ ,
El sistema MIMO se descompone en un conjunto de subsistemas. La forma
inversa del criterio de estabilidad del sistema y el radio del círculo ,
se representan como sigue.
34
Capítulo 2.- Marco Teórico
Si el sistema es diagonal-fila dominante,
| | ∑ | | …(6)
Mientras que si el sistema es diagonal-columna dominante,
| | ∑ | | …(7)
Siendo el elemento ki de .
Así, el sistema MIMO es global y asintóticamente estable, si la banda de Nyquist
del modelo de la planta inversa evita el origen y el círculo de diámetro , ,
y rodea a ambos el mismo número de veces en sentido horario, tal y como se
refleja en la figura 4.13.
Figura 4.13.- La banda de Nyquist inversa de un sistema no lineal MIMO realimentado
La aplicación del enfoque de tipo Lur a la estabilidad de sistemas de control del
tipo I, produce sólo resultados conservadores, ya que considera el control basado
en reglas como un controlador no lineal. Y cuando se adapta o se introduce un
controlador difuso en un controlador no lineal, se pierden algunas características
del controlador difuso, debido al uso de un sólo límite de sector.
2.13.2.3.- Criterio de conicidad
La generalización del criterio del círculo a sistemas multivariables conduce al
criterio de conicidad. El criterio se replantea y aplica al análisis y diseño de
35
Capítulo 2.- Marco Teórico
sistemas de control difuso en (French and Rogers, 1998), (Kang et al., 1998) y
(Ray et al., 1984).[15]
La restricción de que el sistema lineal de la figura 4.14 debe ser Hurwitz, se puede
evitar usando la transformación de lazo mostrada en la figura 4.15. Un sistema
que no es Hurwitz con una no linealidad que cumple la condición del sector con
K≠0, se puede expresar de la forma anterior, utilizando la realimentación mostrada
en la figura 4.15. El nuevo sistema lineal queda expresado de la forma:
y la nueva no linealidad pertenece al sector [0,K], con . Esto conduce
al criterio del círculo multivariable (Criterio de conicidad).
Figura 4.14.- Descomposición del sistema
Figura 4.15.- Transformación de la retroalimentación
36
Capítulo 2.- Marco Teórico
Según el teorema de pequeña ganancia, un sistema realimentado compuesto de
dos sistemas estables es estable, si el producto de las ganancias es menor que
uno, es decir, si
11
En (Cuesta et al., 1999) se muestra la aplicación de los métodos en el dominio de
la frecuencia a sistemas MIMO. El método propuesto está basado en la
formulación del problema de Lur, tal y como se muestra en la figura 4.10, donde el
sistema difuso T-S se puede descomponer en una parte lineal y en otra no lineal.
Además, esta técnica lleva directamente a la aplicación de técnicas de estabilidad
de entrada/salida, tales como el criterio de conicidad.
El sistema difuso representado mediante el modelo T-S es:
: Si ( … ) entonces
… … …(8)
Siendo el peso de cada regla
… … …(9)
La ecuación (8) se puede escribir como
∑ …∑ … 1 … … … …(10)
es decir, que las partes lineal y no lineal se pueden separar, y el modelo T-S
resultante se muestra en la figura 2.16.
Ri1...in
37
Capítulo 2.- Marco Teórico
Figura 2.16.- Descomposición del modelo T-S
2.13.2.4.- Criterio de Popov
Este criterio se aplica solamente a no linealidades invariantes con el tiempo.
Considérese el sistema de la figura 2.24.3.4.1, siendo φ la no linealidad invariante
en el tiempo, que satisface el sector [0, K], con K diagonal positiva. Si la parte
lineal G(s) es asintóticamente estable, el sistema realimentado es estable siempre
que exista un 0 tal que
10
Si Re[G(jw)] se dibuja frente a wIm[G(jw)], tomando w como parámetro, entonces
la condición se cumple si el diagrama resultante está a la derecha de la línea que
intercepta −1/K con la tangente −1/η. Este diagrama se denomina diagrama de
Popov.[15]
2.13.2.5.- Índices de Estabilidad
En (Aracil et al., 1993), aparecen nuevos métodos para analizar la estabilidad de
sistemas de control difuso, basados en la teoría cualitativa de sistemas no
lineales, que incluyen índices de estabilidad.
38
Capítulo 2.- Marco Teórico
En (Ollero et al., 1995), se trata el diseño de los sistemas basados en reglas de
control difuso estables y se determinan nuevas expresiones para calcular los
índices anteriores. Su utilidad radica en proporcionar una medida de estabilidad
relativa.[15]
El trabajo presenta procedimientos que hacen uso de estos índices, con el fin de
mejorar el diseño de los sistemas de control difuso mediante la modificación de las
reglas, y conseguir alcanzar la estabilidad global y mejorar el comportamiento
dinámico de una planta no lineal.
El sistema de control basado en reglas con una acción de control Φ ,
aparece reflejado en la figura 2.17.
Figura 2.17.- Sistema de control basado en reglas.
Para el caso bidimensional, la ecuación del sistema se representa como sigue:
, , …(11)
, , …(12)
Se supone que el origen es el punto de equilibrio y que es estable. El sistema será
inestable si un autovalor real cruza el eje imaginario y se convierte en positivo
(bifurcación estática) o los autovalores complejos conjugados cruzan el eje
imaginario y tienen valores positivos (bifurcación Hopf).
39
Capítulo 2.- Marco Teórico
Sea J la matriz Jacobiana del sistema en el punto de equilibrio, y sea
det …(13)
la ecuación característica de J, siendo det y
La medida de la estabilidad relativa del punto de equilibrio en el origen, viene dada
por los dos índices. Uno de ellos indica la pérdida de estabilidad cuando un
autovalor cruza el eje imaginario. Por lo tanto, su valor ofrece una medida de cómo
de lejos está el sistema de la situación donde la estabilidad se pierde.
det …(14)
El otro índice está relacionado a la pérdida de estabilidad cuando dos autovalores
complejos conjugados cruzan el eje imaginario (ciclo límite).
tr …(15)
Cuanto más grande sea el valor positivo de los dos índices, más grande será el
grado de estabilidad relativa. La anulación de cualquiera de ellos conduce a la
pérdida de estabilidad. Los dos índices dependen de la matriz J en el punto de
equilibrio y se usan para estudiar la estabilidad relativa del punto de equilibrio
situado en el origen.
2.13.2.6.- Estabilidad de Lyapunov
La estabilidad de Lyapunov ha tenido históricamente mucho interés en el análisis
de sistemas difusos y en el diseño de controladores difusos.[15]
Sea un sistema de la forma
Con x = 0 un punto de equilibrio.
Sea
0 0, 0 0 0
40
Capítulo 2.- Marco Teórico
Entonces x = 0 es estable. Además, si 0 0, entonces x = 0 es
asintóticamente estable. Si además de las condiciones mencionadas
anteriormente, la condición:
∞ ∞
Se cumple, entonces x = 0 es global y asintóticamente estable. Las condiciones
del teorema de estabilidad de Lyapunov son sólo suficientes. El que no se
cumplan no significa que el sistema no sea estable, ni global y asintóticamente
estable.
Sea la función cuadrática de Lyapunov
Con P una matriz simétrica real. En este caso, V(x) es definida positiva sí y sólo sí
todos los autovalores de P son positivos. Si es definida positiva, se
puede decir que P es definida positiva. Para un sistema lineal , la derivada
de V es
En el caso lineal, la estabilidad cuadrática de Lyapunov implica encontrar una
matriz P que cumpla las dos condiciones siguientes:
0
0 …(16)
La solución se puede obtener analíticamente resolviendo la ecuación
. La solución existe si A es una matriz Hurwitz, esto es, si 0 para todos
los autovalores de A. Las funciones cuadráticas de Lyapunov se pueden utilizar
para estudiar la estabilidad de sistemas del tipo
…(17)
41
Capítulo 2.- Marco Teórico
Cuando A(x) está dentro de un convexo de matrices … , … , … , … . Esto es
equivalente a
∑ …∑ … …
∑ …∑ … …(18)
Donde … toma valores en [0,1] y ∑ ∑ … 1. En este caso, el
sistema es global y asintóticamente estable, si existe una matriz común P tal que
0
… … 0 …(19)
Esto equivale a decir que se debe hallar una función de Lyapunov común a todos
los subsistemas lineales … . El problema de la estabilidad cuadrática de (19) no
tiene solución analítica. Sin embargo, se puede solucionar mediante optimización
convexa, siempre que la condición de la ecuación (19) sea LMI en P (se
mencionara en 27). La estabilidad cuadrática se puede aplicar a examinar la
estabilidad del modelo de T-S, tal y como se verá más adelante, ya que éste se
puede describir según (17).
2.13.2.7.- Estabilidad del Modelo de Takagi-Sugeno
Para cubrir todos los aspectos relativos a la estabilidad global y asintótica, y al
diseño de sistemas de control difuso, se analiza a continuación el modelo T-S,
ampliamente extendido en la literatura de lógica difusa, y caracterizado por ser un
modelo más analítico y dinámico que el resto. El objetivo es la obtención, de
manera analítica y generalizada, de una solución global a la estabilidad de los
sistemas difuso. [15]
42
Capítulo 2.- Marco Teórico
A raíz de la aparición del modelo T-S, se abrió una importante línea de
investigación relacionada con la teoría de análisis dinámico y de estabilidad,
aplicable a los sistemas difusos. Debido a que las conclusiones de las reglas que
usa este modelo suelen ser sistemas lineales, los investigadores se aprovechan
de la existente teoría de control lineal para su análisis. La solución aquí
presentada corresponde a un modelo difuso con consecuentes afines.
Existen numerosos trabajos en la literatura centrados en el análisis de estabilidad
del modelo difuso T-S. La existencia de un modelo T-S apropiado se asume
previamente. En (Tanaka and Sugeno, 1992), se deriva una condición suficiente
para la estabilidad global y asintótica de un sistema difuso en el sentido de
Lyapunov: debe existir una función (una matriz común definida positiva simétrica
P) para todos los subsistemas, tal y como se vio en (19). Esto constituye un
resultado muy importante, y se ha profundizado en él con el fin de afinar los
resultados. Sin embargo, el problema de la estabilidad cuadrática de la ecuación
(19) no tiene solución analítica, ya que su método es únicamente aplicable a
sistemas discretos invariantes con el tiempo.
En (Lo and Chen, 1999) se analizó la estabilidad del modelo de T-S aplicando los
resultados de Khartinov (Khartinov, 1979), que demuestran que una familia de
polinomios es Hurwitz, si y sólo si sus polinomios extremos son Hurwitz. En el
caso de tener que resolver un conjunto de desigualdades de Lyapunov, se añade
la dificultad de tener que construir una función de Lyapunov, para lo cual no existe
una manera efectiva analítica. Sin embargo, existen varios trabajos que tratan de
resolver este problema numéricamente mediante algoritmos de programación
convexos muy eficientes, incluyendo las LMI (Boyd et al., 1994), (Johansson et al.,
1999).
(Tanaka and Sano, 1994) introdujeron el concepto de estabilidad robusta para
sistemas de control difuso de tipo T-S, con la incertidumbre en los parámetros de
las premisas, utilizando condiciones de robustez débiles. Para introducir el criterio
de estabilidad robusta, se definen la región admisible y la región de variación,
equivalentes al margen de estabilidad conocido de la teoría de control clásica.
43
Capítulo 2.- Marco Teórico
En (Feng et al., 1997) los sistemas difusos están representados mediante una
familia de modelos locales en el espacio de estado. El controlador se obtiene
diseñando cada controlador local por realimentación del estado e introduciendo un
controlador compensatorio. El controlador compensatorio está basado en la
conocida teoría de control de estructura variable. Se demuestra que este
controlador garantiza la estabilidad global y asintótica del sistema difuso en
cadena cerrada.
En (Kosko, 1997), (Tanaka and Sano, 1994) y (Tanaka and Sugeno, 1992), se
obtienen algunos de los resultados más importantes en el análisis de sistemas
difusos. El objetivo se centra en la búsqueda de una condición de estabilidad
global y asintótica para sistemas difusos. Los teoremas presentados se han
aplicado a casos particulares del modelo difuso T-S, donde se supone que el
término independiente es cero, lo cual significa que el sistema se linealiza en torno
al origen. Esto condiciona su generalización. Como se sabe, el término
independiente en un sistema lineal no afecta a la estabilidad, sino a la entrada. En
los sistemas difusos no ocurre así, debido a que estos son el resultado de la
inferencia de todos sus subsistemas. Esto provoca que el término independiente
deje de ser constante, pasando a ser una función dependiente de las variables del
sistema, de manera que influye en la dinámica resultante del mismo.
En (Al-Hadithi, 2002), (Matía et al., 2000b), (Matía et al., 2002), (Matía et al.,
1999b) y (Al- Hadithi et al., 2002) se desarrolla un teorema que trata de encontrar
una solución global a la estabilidad del modelo difuso general T-S, utilizando el
método directo de Lyapunov para encontrar una matriz definida positiva P. El
sistema difuso representado por
…(20)
44
Capítulo 2.- Marco Teórico
Figura 2.18.-El modelo general afín T-S
Que también es posible representarlo de la siguiente forma:
…(21)
Es global y asintóticamente estable, si existe un matriz P definida positiva, tal que,
0:
0 …(22)
En (Matía et al., 1999a) se presenta otro teorema similar que persigue la
estabilidad global y asintótica. El sistema difuso definido por la forma general del
modelo de T-S de la ecuación (21) es global y asintóticamente estable si:
1- 1 Para un sistema de 1er orden
2- 1
Para un sistema de 2º orden
La aplicación de estos teoremas es extensible también al análisis de la estabilidad
global y asintótica de los sistemas no lineales.
En (Matía et al., 2000a) se analiza la estabilidad global y asintótica de sistemas
difusos discretos basados en el modelo general discreto de T- S (Takagi and
Sugeno, 1985). El modelo discreto propuesto por Takagi-Sugeno, se describe
45
Capítulo 2.- Marco Teórico
mediante reglas del tipo si-entonces, que localmente representan la relación lineal
entrada/salida del sistema. Cada regla del sistema libre es de la forma:
… : … 1
Entonces … 1 … … … 1 …(23)
(Tanaka and Sugeno, 1992) presentaron las condiciones suficientes de estabilidad
para el sistema difuso discreto representado por la ecuación (23), haciendo la
simplificación (poco realista) 0 , es decir … 0,
1, . . . , , 1, . . . , . Según esto, el sistema difuso definido por las reglas
mostradas en (23), con … 0, . . . , , que se puede representar de otra
forma como 1 , es global y asintóticamente estable si
existe una matriz P definida positiva, tal que
… … 0 …(24)
1, . . . , , 1, . . . , .
Existen también planteamientos para el modelo difuso afín. La figura 2.19 muestra
un sistema difuso discreto linealizado en varios puntos de trabajo pasando por el
origen. El área sombreada representa la región inestable. En esta figura se
aprecia que el sistema 1 , se encuentra acotado por los
subsistemas 1 , por lo que sería estable si estos lo fueran
(sólo para n = 1). Sin embargo, los sistemas de la forma 1
no existen en la práctica, pues no parece lógico ni real que un
sistema se linealice en varios puntos de trabajo y que todas estas linealizaciones
pasen por el origen.
Por otro lado, en el análisis de sistemas de este tipo, no se ha tomado en
consideración el efecto de las funciones de pertenencia. Es evidente que la
condición de estabilidad mencionada en el teorema anterior, y desarrollada en
(Tanaka and Sugeno, 1992) y (Kosko, 1997), es sólo suficiente para asegurar la
46
Capítulo 2.- Marco Teórico
estabilidad del sistema difuso linealizado por varios subsistemas de la
1 .
Figura 2.19.- Un sistema difuso linealizado en varios puntos de trabajo pasando por el origen.
El caso general con … 0 ya no es tan sencillo, tal y como se muestra a
continuación. El modelo T-S de primer orden será
: entonces:
… 1 …(25)
Aplicando la condición de estabilidad de Lyapunov a este sistema, se obtiene:
| 1 | | | | |
La figura 2.20 muestra el comportamiento de este sistema difuso. Como se puede
observar, el sistema está linealizado en varios puntos de trabajo y no todas las
líneas pasan por el origen, como en el caso en el que 0. Por lo tanto, no es
posible determinar si 1 caerá o no en la región inestable, sin tener en
consideración las funciones de pertenencia (su forma y el universo de discurso).
Se ha de mencionar también que las condiciones de estabilidad propuestas en
(Tanaka and Sugeno, 1992) dependen de … , es decir, de los autovalores de
47
Capítulo 2.- Marco Teórico
los subsistemas (si están dentro o fuera del círculo unitario), mientras que no
dependen de las funciones de pertenencia.
Figura 2.20.- Ejemplo de la estabilidad del modelo general de T-S
Otra línea de investigación (Matía et al., 2000a), (Al-Hadithi, 2002), consiste en
elegir funciones de pertenencia rectangulares y analizar el efecto que éstas tienen
(esto significa, conjuntos crisp) como se ve en la figura 2.21. En dicha figura, el
límite de cada conjunto difuso se ha puesto en el punto de intersección de ambos
subsistemas, para garantizar que se obtiene una función continua. Es siempre
posible, en este caso, determinar la estabilidad del sistema difuso discreto. Lo que
se consigue con este tipo de funciones de pertenencia, es que el sistema difuso
(ahora lineal por tramos) no entre en la zona de inestabilidad, gracias a la
Figura 2.21.- Funciones de pertenencia rectangulares.
característica de este tipo de funciones de pertenencia. Con su uso, no existe la
interpolación entre reglas, con lo cual ello no afecta a la estabilidad y se elimina la
posibilidad de que el sistema entre en la zona inestable, tal y como se ve en la
figura 2.22.
48
Capítulo 2.- Marco Teórico
Figura 2.22.- Función lineal por tramos.
En (Tanaka and Sano, 1994) y (Tanaka and Sugeno, 1992), se analiza la
estabilidad de un sistema, en el cual todos sus subsistemas son estables. Sin
embargo, el sistema difuso resultante no lo es. Obviamente, no existe una matriz
común definida positiva y, según las condiciones de estabilidad vistas, no se
puede confirmar la estabilidad del sistema difuso. El modelo difuso de este
ejemplo se puede representar mediante las siguientes reglas:
: 1 1 0,5 1
: 1 1 0,5 1
Las condiciones iníciales son 0 0,7 and 1 0,9. Se puede plantear la
siguiente pregunta: ¿Para que condiciones iniciales el sistema difuso es estable o
no? La pregunta se puede responder estudiando el dominio de atracción del
origen. El sistema difuso es:
1 1
1 1 0,5 1 ….(26)
Como se ha mencionado anteriormente, el sistema es inestable para las
condiciones iníciales dadas (Tanaka and Sugeno, 1992). Para encontrar el rango
de las condiciones iníciales para el cual el sistema es estable, se supone que
existe una función de Lyapunov como:
49
Capítulo 2.- Marco Teórico
– 1 0
∆ 1 1 0
Tal que,
| 1 | | 1 |, 0, esto es,
1 0
Sustituyendo 1 desde (26), se obtiene
| 1 0,5 1 | | 1 |,
0, , 1 0
Lo cual implica que,
1,5 0,5
y 1 cualquiera dentro del universo de discurso. Por lo tanto, dado que esto
es válido k, se tiene que las condiciones iníciales deben estar en el intervalo [−1,
0,5]. La figura 2.23 muestra el dominio de atracción de estabilidad (Wang et al.,
1996), donde las áreas negras representan las regiones de inestabilidad. Si se
compara este rango
Figura 2.23.- Dominio de atracción calculado por Wang
50
Capítulo 2.- Marco Teórico
de valores iníciales del sistema, que aseguran la estabilidad global y asintótica,
con el dominio de atracción demostrado en (Wang et al., 1996), se puede concluir
que el método propuesto en (Al- Hadithi, 2002) incluye al otro.
Finalmente, los límites obtenidos de las condiciones iníciales que aseguran la
estabilidad del sistema difuso, indican que cualquier condición inicial seleccionada
entre estos límites conduce a un sistema difuso estable. Por otra parte, esto no
significa que el sistema sea inestable fuera de esta región (la zona enmarcada por
la línea discontinua) tal y como se ve en la figura 2.23.
La idea de examinar la estabilidad mediante los rangos de condiciones iníciales,
permite obtener resultados altamente positivos y parece una técnica prometedora.
La única limitación es que sólo se puede aplicar a sistemas de bajo orden porque
en sistemas de orden elevado hay que suponer algunas condiciones iníciales para
poder hallar las demás, lo que no siempre puede llevarse a cabo con sistemas
reales.
2.13.2.8.- Desigualdades Matriciales Lineales (LMI)
Como se ha explicado anteriormente, el problema de la estabilidad cuadrática
basado en el método directo de Lyapunov de la ecuación (19) no tiene solución
analítica. Cuando no se puede encontrar una función global cuadrática de
Lyapunov, una manera potente es de atacar el problema es considerar funciones
que sean cuadráticas por tramos. La búsqueda de funciones cuadráticas por
tramos de Lyapunov se puede hacer mediante la optimización convexa como en
los métodos de las LMI. [15]
51
Capítulo 2.- Marco Teórico
Sea el modelo de T-S de la forma:
: …
Entonces 1
1,2, … , …(27)
Donde denota la l-ésima regla difusa, m el número de reglas,
1,2, . . . , son los conjuntos difusos, representa el vector de estado,
representa el vector de entrada, representa el vector de
salida y , , , son las matrices del l-ésimo modelo local y
, , . . . , son algunas variables medibles.
Se supone que 0 0. El modelo T-S se puede describir como:
: …
Entonces 1
1,2, … , …(28)
También se puede escribir como:
1 ∑ …(29)
Existen varias técnicas basadas en funciones cuadráticas por tramos. Se necesita
llevar a cabo una partición del espacio de la premisa, o la partición del espacio de
estado en el caso de (Cao et al., 1996a), (Cao et al., 1997). Este
enfoque se denomina el primer tipo de partición. Se definen m regiones en el
espacio de la variable de premisa como sigue:
| , 1,2, … , , …(30)
Con ello, el modelo global T-S (29) se puede expresar en cada región local como:
1 ∆ …(31)
52
Capítulo 2.- Marco Teórico
Donde,
,
Para analizar la estabilidad, se introducen los límites superiores del término e
incertidumbre ∆ en (31).
…(32)
Además, se define un conjunto Ω que representa todas las posibles transiciones
entre regiones.
, | , 1 , , , …(33)
Sea entonces la función cuadrática por tramos de Lyapunov:
,
El sistema difuso representado en (28), o su equivalente (31), es global y
asintóticamente estable, si existe un conjunto de matrices definidas positivas
P_l,l L tal que se satisfagan las siguientes LMI (Feng, 2004b):
0, , …(34)
0, , …(35)
En (Johansson et al., 1999) se presenta un enfoque computacional para el análisis
de estabilidad de sistemas no lineales y sistemas híbridos. Este enfoque se
denomina el segundo tipo de partición. El objetivo es desarrollar un enfoque de
análisis de estabilidad para una clase de sistemas no lineales por tramos. Estos
sistemas aparecen en sistemas híbridos de control, sistemas de planificación de
ganancias, o aproximaciones de otros sistemas no lineales.
53
Capítulo 2.- Marco Teórico
La búsqueda de una función cuadrática por tramos de Lyapunov se formula como
un problema convexo de optimización en términos de desigualdades matriciales
lineales. Se estudia también la relación con los métodos basados en el dominio de
la frecuencia, tales como el criterio del círculo y el criterio de Popov. Esta técnica
se ha extendido con el fin de tratar los problemas de análisis de comportamientos
y de control óptimo en (Rantzer and Johansson, 1997).
El enfoque se basa en la partición del espacio de la variable premisa en dos tipos
de regiones. Algunas de estas regiones son crisp y otras difusas. La región crisp
es aquella en la cual 1 para . La dinámica del sistema en esta región
se representa mediante uno de los modelos locales del sistema difuso descrito en
ecuación (28).
La región difusa se define como la región donde 0 1, mientras que la
dinámica del sistema en esta región se representa mediante la combinación
convexa de varios modelos locales lineales. En un caso extremo, cuando todas las
regiones del modelo T-S son de tipo crisp, es decir, 1 para algunos valores
de l, y todas las otras funciones de pertenencia son iguales a cero, el sistema
dado en (29) se convierte en un sistema lineal por tramos.
1 , , …(36)
Con esta partición, el sistema difuso (29) queda descrito como una combinación
convexa de modelos lineales:
1 ∑ , , …(37)
Con 0 1, ∑ 1
De forma similar a como se hizo en la ecuación (33), se define un conjunto que
representa todas las posibles transiciones entre regiones del sistema (35):
, | , 1 , , , …(38)
54
Capítulo 2.- Marco Teórico
Según (Wang and Feng, 2004), el sistema difuso representado en (28) o en (37)
es global y asintóticamente estable, si existe un conjunto de matrices definidas
positivas , tal que se satisfaga las siguientes LMI:
0, , …(39)
0, , Ω, …(40)
2.13.2.9.- Funciones difusas de Lyapunov
Los autores en (Choi and Park, 2003), (Guerra and Vermeiren, 2004), (Tanaka et
al., 2003), (Wang et al., 2004b) y (Zhou et al., 2005), presentaron resultados sobre
estabilidad basados en funciones no cuadráticas, o lo que se denomina funciones
difusas de Lyapunov, que pueden ser representadas como:
∑ …(41)
(Zhou et al., 2005) demuestra que el sistema difuso (28) o (29) es global y
asintóticamente estable, si existe un conjunto de matrices definidas positivas
, tal que se satisfagan las siguientes LMI:
0, , …(42)
En (Kim and Kim, 2001) y (Kim and Kim, 2002), se analiza la estabilidad del
modelo afín T-S, utilizando funciones cuadráticas de Lyapunov. En (Feng, 2004b),
(Johansson et al., 1999) y (Wang and Feng, 2004), se desarrollan métodos de
análisis de estabilidad basados en funciones cuadráticas por tramos de Lyapunov.
En (Feng, 2006) se presenta un análisis basado en el segundo tipo de partición de
espacio y en las funciones cuadráticas por tramos de Lyapunov. Se define
como el conjunto de índices para las regiones que no contienen al origen.
También se define:
0 1, 1 …(43)
55
Capítulo 2.- Marco Teórico
0 .De forma similar a (37) con 0, el sistema
difuso en (28) se puede escribir como sigue:
1 ∑ , …(44)
Se utiliza la siguiente función de Lyapunov:
, , , ,
…(45)
Esta función combina la capacidad de la función cuadrática de Lyapunov cerca del
punto de equilibrio, con la flexibilidad de la función por tramos en otros puntos del
espacio.
Se aplica el procedimiento S (Boyd et al., 1994) para reducir el conservadurismo
de los resultados de la estabilidad. Se utiliza este procedimiento (Johansson et al.,
1999) para construir unas matrices , para cada región, tal que
0, , …(46)
(Feng, 2004b) y (Wang et al., 2004a) demuestran que el sistema difuso descrito en
(28) con 0, o su equivalente (44), es global y asintóticamente estable, si
existen matrices simétricas , , , y matrices simétricas , , tal
que , , tengan valores no negativos y que se satisfagan las siguientes
LMI:
0 , …(47)
0, , …(48)
0 , …(49)
0, , …(50)
0, , Ω, , , …(51)
0, , Ω, , , …(52)
56
Capítulo 2.- Marco Teórico
0, , Ω, , …(53)
0, , Ω, , …(54)
2.13.2.10.- Estabilidad Energética de Sistemas Difusos
(Kiszka et al., 1985) propusieron criterios para el análisis de estabilidad de
sistemas difusos, mediante la definición de funciones de energía. El análisis de
estabilidad incluye la consideración de la dinámica difuso definida por relaciones
difusas. La evaluación del comportamiento se basa en la estructura de estas
relaciones difusas. [15]
Este enfoque ha sido adoptado por varios autores como (Glas, 1984) y (Tong et
al., 1980). Sin embargo, estas técnicas estructurales tienen dificultades a la hora
de predecir analíticamente la evolución dinámica del sistema (Chen and Tsao,
1989), y requieren condiciones conservadoras para asegurar la estabilidad
(Langari and Tomizuka, 1990).
Un sistema dinámico es estable si su energía total disminuye monótonamente
hasta que alcanza un estado de equilibrio, lo que encaja con el concepto de
estabilidad de Lyapunov. La estabilidad de un sistema dinámico difuso está
basada en la generalización de esta noción. Si un sistema difuso dinámico libre
tiene un estado de equilibrio asintóticamente estable, la energía almacenada por el
sistema decae con el tiempo, alcanzando su valor mínimo en el punto de
equilibrio.
2.14.- Control PID
El principio básico del esquema de control PID es que actúa sobre la variable a ser
manipulada a través de una apropiada combinación de las tres acciones de
control: acción de control proporcional (donde la acción de control es proporcional
a la señal de error actuante, la cual es la diferencia entre la entrada y la señal de
realimentación); la acción de control integral (donde la acción de control es
proporcional a la integral de la señal de error actuante) y la acción de control
57
Capítulo 2.- Marco Teórico
derivativa (donde la acción de control es proporcional a la derivada de la señal de
error actuante).[10]
En situaciones donde muchas plantas se controlan directamente mediante una
sola computadora digital, la mayoría de los lazos de control se pueden manipular
mediante esquemas de control PID.
La acción de control PID en controladores analógicos está dada por
1
Donde e(t) es la entrada al controlador (señal de error actuante), m(t) es la salida
del controlador (la señal manipulada), K es la ganancia proporcional, T, es el
tiempo integral (o tiempo de reajuste) y Td es el tiempo derivativo (o tiempo de
adelanto).
Para obtener la función de transferencia pulso del controlador PID digital, se
puede discretizar la ecuación anterior. Donde finalmente obtenemos la siguiente
ecuación:
12
11
1
O bien:
11
Donde, la ganancia proporcional es:
2 2
La ganancia integral es:
58
Capítulo 2.- Marco Teórico
La ganancia derivativa es:
La función de transferencia pulso del controlador PID digital se convierte en:
11
El diagrama del controlador Proporcional Integral Derivativo se muestra en la
figura 2.24.
Figura 2.24.- Controlador PID
Las leyes de control lineales en la forma de acciones de control PID, tanto en la
forma posicional como en la velocidad, son básicas en controles digitales debido a
que con frecuencia dan soluciones satisfactorias a muchos problemas prácticos
de control, en particular a problemas de procesos. Estas leyes de control se
pueden implantar mediante software, y por lo tanto las restricciones de hardware
de los controladores PID se pueden ignorar por completo.
59
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.15.- Sistemas de control a lazo abierto
Los sistemas de control a lazo abierto son en los cuales la salida no afecta la
acción de control, en otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no
se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. En cualquier
sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de
referencia. Por tanto, a cada entrada de referencia le corresponde una condición
operativa fija; como resultado, la precisión del sistema depende de la calibración.
Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no
realiza la tarea deseada. En la práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se
conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas
ni externas. Es evidente que estos sistemas no son de control realimentado.
Cualquier sistema de control que opere con una base de tiempo es en lazo
abierto. Por ejemplo, el control del tránsito mediante señales operadas con una
base de tiempo es otro ejemplo de control en lazo abierto.[9]
2.16.- Sistemas de control a lazo cerrado
Los sistemas de control a lazo cerrado son aquellos sistemas realimentados. En
un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error
de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de
realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de la señal
de salida y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar la salida
del sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre
implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del
sistema. [9]
60
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.17.- Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo abierto Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la
realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las
perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros del
sistema. Por tanto, es posible usar componentes relativamente precisos y baratos
para obtener el control adecuado de una planta determinada, en tanto que hacer
eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto. Desde el punto de vista
de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar,
porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la
estabilidad es una función principal en el sistema de control en lazo cerrado, lo
cual puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de
amplitud constante o cambiante.
Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las
entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control
en lazo abierto. Los sistemas de control en lazo cerrado sólo tienen ventajas
cuando se presentan perturbaciones impredecibles y/o variaciones impredecibles
en los componentes del sistema. Observe que la valoración de la energía de
salida determina en forma parcial el costo, el peso y el tamaño de un sistema de
control. La cantidad de componentes usados en un sistema de control en lazo
cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de control equivalente en
lazo abierto. Por tanto, el sistema de control en lazo cerrado suele tener costos y
potencias más grandes. Para disminuir la energía requerida de un sistema, se
emplea un control en lazo abierto cuando puede aplicarse. Por lo general, una
combinación adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos
costosa y ofrecerá un desempeño satisfactorio del sistema general.[9]
61
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.18.- Matlab
Matlab es un potente lenguaje diseñado para la computación técnica. Matlab
puede ser utilizado en computación matemática, modelado y simulación, análisis y
procesamiento de datos, visualización y representación de gráficos, así como para
el desarrollo de algoritmos. [5]
Matlab es ampliamente conocido y utilizado en universidades e institutos para el
aprendizaje en cursos básicos y avanzados de matemáticas, ciencias y,
especialmente, ingeniería. El programa estándar de Matlab comprende una serie
de herramienta (funciones) que pueden ser utilizadas para resolver problemas
comunes, pero Matlab incorpora, además, otras librerías específicas llamadas
toolbox, que son colecciones de funciones especializadas y diseñadas para
resolver problemas muy específicos.
2.19.- Simulink
Simulink es un entorno para simulación y diseño basado en modelos para
sistemas dinámicos y embebidos. Proporciona un entorno gráfico-interactivo y
conjunto de bibliotecas de bloques que le permiten al usuario diseñar, simular,
implementar y probar una variedad de sistemas variables en el tiempo, con
aplicaciones en control, comunicaciones, procesamiento de señales, de video y de
imágenes. [12]
2.20.- Puente H
Un puente H es un dispositivo capaz de soportar el flujo bidireccional de corriente
invertida. En la figura 2.25 se muestra la configuración y función de un puente H.
Este circuito es básicamente un arreglo de cuatro interruptores acomodados como
se puede observar. Los interruptores (A, B, C y D) pueden ser de transistores
bipolares, mosfets, jfets, relevadores o cualquier combinación de elementos. Los
puentes H se utilizan para hacer funcionar el elemento central en ambos sentidos
sin tener que manejar voltajes negativos.
62
Capítulo 2.- Marco Teórico
Si se cierran solamente los contactos A y D la corriente circulará en un sentido a
través del sistema al que esté conectado, y si se cierran solamente los contactos B
y C la corriente circulará en sentido contrario.
Figura2.25.- Puente H
Siempre se debe tener cuidado en no cerrar los contactos A y B o C y D al mismo
tiempo, porque se ocasionaría un corto circuito. Es recomendable colocar diodos
de protección para el motor, para asegurar que la corriente no regrese, debido al
efecto inductivo de sus bobinas.
2.21.- Giroscopio
El giroscopio está basado en un fenómeno físico: una rueda girando se resiste a
que se le cambie el plano de giro (o lo que es lo mismo, la dirección del eje de
rotación). Esto se debe a lo que en física se llama principio de conservación del
momento angular.
Si bien existe al menos un sensor giroscópico integrado cuyo funcionamiento
continúa basado en un elemento circular (un anillo, en el caso que conocemos), la
realidad es que la mayoría de los sensores actuales de pequeño tamaño, como los
que se utilizan en modelos de helicópteros y robots, están basados en integrados
cuya alma son pequeñas lengüetas vibratorias, construidas directamente sobre el
chip de silicio. Su detección se basa en que las piezas cerámicas en vibración son
sujetas a una distorsión que se produce por el efecto Coriolis (son cambios en la
velocidad angular).
63
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.22.- Tarjeta de Adquisición de Datos (DAC)
La utilización de las tarjetas de adquisición de datos ha conseguido una gran
aceptación en muchas aplicaciones. Se conectan directamente al bus del
ordenador y permiten adquirir y procesar datos en tiempo real. Cada modelo de
tarjeta presenta varias funcionalidades, lo que proporciona mucha flexibilidad y
operatividad para las necesidades de medida y de control. El Objetivo final de esta
flexibilidad es la posibilidad de poder adaptar la misma tarjeta a diferentes
aplicaciones.[7]
2.23.- Optoacoplador
En un optoacoplador se combinan una fuente de luz, normalmente un Led
infrarrojo de AsGa4 y un fotodetector de Si5, que puede ser desde un simple
fotodiodo hasta una combinación de éste con un circuito integrado que incluye un
regulador de tensión y un circuito elemental para el procesamiento de la señal.
Aunque es posible formar un optoacoplador mediante componentes discretos, el
diseño con elementos integrados ofrece muchas ventajas. [11]
2.24.- Operación y circuito NOT también llamado Inversor La operación NOT dice que si se somete una variable A a dicha operación, el
resultado x se puede expresar como: [14]
X A
Donde la barra sobrepuesta representa la operación NOT. Esta expresión se lee “x
es igual a la negación de A”, o “x es igual al inverso de A”, o “x es igual al
complemento de A”.
4Semiconductor que se encuentra formado por la combinación de Galio (Ga) y el Arsénico (As) utilizada para obtener arseniuro de galio (AsGa). 5Semiconductor de Silicio.
64
Capítulo 2.- Marco Teórico
A X = 0 1 1 0
Tabla 2.1.- Tabla de verdad
Fig. 2.26.- Símbolo
Este circuito lógico es más conocido como Inversor, solo tiene una entrada y su
salida es el inverso de dicha entrada.
2.25.- Potenciómetro
Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía
mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de
desplazamiento mecánico, ya sea lineal o de rotación. Cuando se aplica un voltaje
a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida, que se mide
entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada, ya
sea linealmente o de acuerdo con alguna relación no lineal.
Los potenciómetros rotatorios están disponibles comercialmente en
presentaciones de una u varias revoluciones múltiples, con movimiento de rotación
limitado o no limitado. Comúnmente, los potenciómetros están hechos de alambre
o de material resistente plástico conductivo.[6]
A X= A
65
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.26.- Motor de Corriente Directa
Los motores de corriente directa (CD) tienen características variables y se usan
mucho en propulsión con velocidad variable. Pueden proporcionar un alto par de
arranque, y también es posible obtener el control de velocidad dentro de márgenes
amplios. Los motores de CD juegan un papel importante en los sistemas de
propulsión industriales modernos.[13]
2.26.1.- Obtención del voltaje DC de salida de la espira rotatoria
La figura 2.27 corresponde a una gráfica del voltaje etot generado por la espira
rotatoria. Como se muestra, el voltaje de salida de la espira toma alternadamente
un valor positivo constante y un valor negativo constante.[1]
Figura 2.27.- Voltaje de salida de la espira
Para poder hacer que esta máquina produzca un voltaje DC en lugar del voltaje
AC se muestra en la figura 2.28 aquí se adicionan al extremo de la espira dos
segmentos conductores semicirculares y se sitúan dos contactos fijos en un
ángulo tal que en el instante cuando el voltaje en la espira es cero, los contactos
cortocircuitan los dos segmentos. De este modo, cada vez que el voltaje de la
espira es cero, los contactos también cambian las conexiones, y la salida de los
contactos está siempre construida de la misma manera. Este proceso de cambio
de conexión se conoce como conmutación. Los segmentos semicirculares rotantes
se denominan segmentos de conmutación y los contactos fijos se llaman
escobillas.
66
Capítulo 2.- Marco Teórico
Figura 2.28.-Producción de una salida DC de la máquina con colector y escobillas
2.26.2.- Par inducido en la espira rotatoria
Para determinar el par se observará a detalle la espira mostrada en la figura 2.29,
el método que debe emplearse para determinar el par sobre la espira consiste en
tener por separado cada segmento de ésta y luego sumar los efectos de los
segmentos individuales.[1]
Figura2.9.- Deducción de una ecuación para el par inducido en la espira
La fuerza inducida sobre un segmento de la espira está dada por la siguiente
ecuación:
Y el par sobre el segmento está dado por:
Donde es el ángulo entre r y F, el par es cero en todos los puntos en los que la
espira está situada fuera de las caras polares.
67
Capítulo 2.- Marco Teórico
El par inducido resultante total en la espira está dado por:
2 bajo las caras polares
0 por fuera de las caras polares
Dado que y , la expresión del par se puede reducir a:
2
bajo las caras polares
0 por fuera de las caras polares
Entonces, el par producido en la máquina es el producto del flujo y la corriente en
ella multiplicada por una cantidad que representa la construcción mecánica de la
máquina (el porcentaje del rotor cubierto por las caras polares). En general, el par
en cualquier máquina real dependerá de los mismos tres factores.
1.- El flujo en la máquina
2.- La corriente en la máquina
3.- Una constante que representa la construcción de la máquina
2.26.3.- Conmutación en una espira DC sencilla de cuatro espiras
La conmutación e el proceso de convertir los voltajes y corrientes AC producidos
en el rotor de una maquina DC en voltajes y corrientes d en sus terminales. La
figura 2.30 muestra una maquina sencilla de cuatro espiras y dos polos.[1]
68
Capítulo 2.- Marco Teórico
Figura 2.30.- Máquina DC de cuatro espiras y dos polos
Esta máquina tiene cuatros espiras completas incrustadas en ranuras labradas en
el acero laminado de este rotor. Las caras polares de la maquina son curvas para
proveer un ancho uniforme del entrehierro y dar una densidad de flujo uniforme en
todo punto situado bajo las caras.
Como en el caso de una espira rotacional sencilla, los segmentos rotantes a los
cuales están unidas las espiras se llaman segmentos del conmutador (o del
colector), y las piezas estacionarias que se montan en la parte superior de los
segmentos móviles se llaman escobillas. En las maquinas reales, los segmentos
del conmutador están hechos de barras de cobre. Las escobillas están hechas de
una mezcla que contiene grafito, de modo que causa un rozamiento muy pequeño
cuando tocan los segmentos de conmutación rotantes.
2.26.4.- Desplazamiento de las escobillas Los intentos para mejorar el proceso de conmutación en las máquinas DC reales
se llevaron a cabo para detener el chispeo en las escobillas, causado por el
desplazamiento del plano neutro y los efectos de la bobina, el plano neutro se
mueve con cada cambio de carga y la dirección del desplazamiento se invierte
cuando la máquina pasa de operación de motor a operación de generador. El
desplazamiento de las escobillas puede detener el chisporroteo de la escobilla
pero agravaría el efecto de debilitamiento del flujo de la reacción del inducido en
la máquina; esto se demuestra por dos efectos:[1]
69
Capítulo 2.- Marco Teórico
1.- La fuerza magnetomotriz del rotor tiene ahora una componente vectorial que se
opone a la fuerza magnetomotriz de los polos.
2.- El cambio en la distribución de la corriente del inducido se concentra aún más
en las partes saturadas de las caras polares.
En la actualidad el desplazamiento de escobillas se utiliza únicamente en
máquinas muy pequeñas que todavía giran como motores, debido a que las otras
soluciones mejores resultarían costosas en esos motores pequeños.
2.26.5.- Ecuaciones de voltaje interno generado y par inducido en máquinas DC. En toda máquina DC, el par depende de tres factores:[1]
1.- El flujo en la maquina
2.- La corriente de armadura (o rotor) IA en la maquina
3.- Una constante que depende de la construcción DC de la maquina
Para determinar el par en un solo conductor en el motor puede ser expresado como:
Puesto que hay Z conductores, el par inducido total en el rotor de una maquina DC
real es:
El flujo por polo en esta máquina se puede expresar como:
2 2
En consecuencia, el par inducido total se puede expresar como:
70
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.27.- Modelo matemático del péndulo invertido
Partiendo del siguiente esquema (figura 2.31) del péndulo invertido[2]:
Figura 2.31.- Esquema del péndulo invertido
Donde:
M: Masa del carro
u: Fuerza (variable de entrada)
x: Desplazamiento horizontal
θ: Ángulo del punto de apoyo
m: Masa del péndulo
g: Aceleración de la gravedad
l: Distancia del origen al punto
M
mg
θ
x
u
l
71
Capítulo 2.- Marco Teórico
Tenemos entonces que:
… 1
… 2
… 3
… 4
… 5
Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (1):
… 6
Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (2):
cos
… 7
Derivando la ecuación (6):
… 8
Derivando la ecuación (7):
… 9
72
Capítulo 2.- Marco Teórico
De la ecuación (8) despejamos :
… 10
De la ecuación (9):
… 11
Igualando la ecuación (10) con la ecuación (11) y despejando :
Agrupando términos:
… 12
De la ecuación (8) despejamos :
… 13
De la ecuación (9) despejamos :
73
Capítulo 2.- Marco Teórico
… 14
Igualamos las ecuaciones (13) y (14) y despejamos :
… 15
De las ecuaciones (14) y (15) obtenemos finalmente:
… 16
… 17
74
Capítulo 2.- Marco Teórico
2.27.1.- Análisis no lineal
Definiendo las siguientes variables de estado:
Obtenemos de las ecuaciones (16) y (17) las siguientes ecuaciones que
representan el modelo de estado no lineal:
… 18
… 19
… 20
… 21
2.27.2.- Análisis lineal
Si se realiza una estructura de control que logra mantener al sistema funcionando
en torno al estado definido por 0, las ecuaciones (18), (19),
(20) y (21) pueden linealizarse en torno a dicho punto de funcionamiento:
75
Capítulo 2.- Marco Teórico
f2
x1 0
x1
x2 0
0
f2
x2 0
x2
x2 0
1
f2
x3 0
x3
x2 0
0
f2
x4 0
x4
x2 0
0
f2
x1 0
x2
mlsenx3x42 mgsenx3 cos x3 u
M msen2x3
0
0
f2
x2 0
x2
mlsenx3x42 mgsenx3 cos x3 u
M msen2x3
0
0
f2
x3 0
x2
mlsenx3x42 mgsenx3 cos x3 u
M msen2x3
0
ml cos x3x42 1
M msen2x3
2msen2x3
M msen2x3 2
mg
cos 2x3 M msen2x3
2msen2x3 cos2 x3
M msen2x3 2
2umsenx3 cos x3
M msen2x3 0
ml cos 0 0 2 1
M msen2 0
2msen2 0 M msen2 0 2
mg
cos 0 M msen2 0
2msen2 0 cos2 0
M msen2 0 2
2umsen 0 cos 0
M msen2 0
mg
M
f2
x4 0
x2
mlsenx3x42 mgsenx3 cos x3 uM msen2x3
0
2mlsenx3x4
M msen2x3 0
2mlsen 0 0 M msen2 0
0
76
Capítulo 2.- Marco Teórico
f3
x1 0
x1
x4 0
0
f3
x2 0
x2
x4 0
0
f3
x3 0
x3
x4 0
0
f3
x4 0
x4
x4 0
1
f4
x1 0
x1
M m g senx3 cos x3u mlsenx3 cos x3x42
lM lmsen2x3
0
0
f4
x2 0
x2
M m g senx3 cos x3u mlsenx3 cos x3x42
lM lmsen2x3
0
0
f4
x3 0
x2
M m g senx3 cos x3u mlsenx3 cos x3x42
lM lmsen2x3
0
M m g cos x3
lM lmsen2x3
2lmsen2x3 cos x3
lM lmsen2x3 2
mlx4
2 cos 2x3 lM lmsen2x3
2lmsen2x3 cos2 x3
lM lmsen2x3 2
usenx3
lM lmsen2x3
2lmsenx3 cos2 x3
lM lmsen2x3 2
0
M m g cos 0 lM lmsen2 0
2lmsen2 0 cos 0 lM lmsen2 0 2
mlx4
2 cos 0 lM lmsen2 0
2lmsen2 0 cos2 0 lM lmsen2 0 2
usen 0
lM lmsen2 0 2lmsen 0 cos2 0 lM lmsen2 0 2
(M m)g
lM
f4
x4 0
x2
M m g senx3 cos x3umlsenx3 cos x3x42
lM lmsen2x3
0
2mlsenx3 cos x3x4
lM lmsen2x3 0
2mlsen 0 cos 0 0
lM lmsen2x3 0 0
77
Capítulo 2.- Marco Teórico
f1u 0
u
x2 0
0
f2
u 0
u
mlsenx3x42 mgsenx3 cos x3 u
M msen2x3
0
1
M msen2 0
1
M
f3
u 0
u
x4 0
0
f4
u 0
u
M m g senx3 cos x3u mlsenx3 cos x3x42
lM lmsen2x3
0
cos 0
lM lmsen2 0
1
lM
Obteniéndose el siguiente modelo lineal del sistema:
…(22)
Si las variables de salida del sistema son θ(t) y x(t), se puede escribir la ecuación
de salida del modelo como:
1 0 0 00 0 1 0
… 23
Los puntos de equilibrio estable de este sistema se encuentran para los valores de k pares:
2 12
; 0,2,4…
Los puntos de equilibrio no estable de este sistema se encuentran para los valores de k impares:
2 12
; 1,3,5…
78
Capítulo 2.- Marco Teórico
Para poder observar los puntos de equilibrio del péndulo se tomara en cuenta un péndulo simple (Figura 2.32):
Figura 2.32.- Péndulo simple
Cuyas ecuaciones dinámicas son:
… 24
… 25
x1: Ángulo del punto de apoyo
x2: Velocidad angular
g: Aceleración de la gravedad
l: Distancia del origen al punto
k: Coeficiente de fricción viscosa
m: Masa del péndulo
Para que y sean cero en (24) y (25) se necesita que 0 y 0, es decir que los puntos de equilibrio son:
2 ; 0,1,2, … 0
79
Capítulo 2.- Marco Teórico
El péndulo está en reposo sólo en dirección vertical ya sea hacia arriba ( sea un múltiplo par de ) o hacia abajo ( sea multiplo impar de ), en ambos casos la velocidad angular es 0.
En el retrato de fase (figura 2.33) se pueden observan los puntos de equilibrio.
Figura 2.33.- Plano de fase del péndulo simple
80
Capítulo 2.- Marco Teórico
81
Capítulo 3.- Desarrollo
CAPÍTULO 3.- Desarrollo 3.1.- Primera etapa: Diseño del controlador difuso
El control que se emplea en este trabajo se desarrolla con ayuda del software
MATLAB, con el toolbox de lógica difusa que viene en este software. El sistema de
inferencia difuso que se utiliza se compone principalmente de tres partes como se
muestra en la figura 3.1.
Figura 3.1.- Sistema de inferencia difuso
En la primera fase de nuestro sistema escogemos las variables lingüísticas y
creamos las funciones de membresía para cada una de las variables.
El modelo a emplear es Mamdani. En la figura 3.2 se observa el diagrama general
que muestra el editor del sistema de inferencia difuso.
Figura3.2.- Editor del Sistema de Inferencia Difuso
Entradas
Salidas
Editor de
reglas
82
Capítulo 3.- Desarrollo
Las variables lingüísticas que se tienen a la entrada del sistema difuso son cuatro:
ángulo, velocidad angular, error y velocidad-carro.
En la figura 3.3 se muestran las funciones de membresía que componen a la
primera variable de entrada ángulo.
Figura 3.3.- Funciones de membresía de la variable “Ángulo”
Como se puede observar el universo de la variable es de -0.5° a 0.5°, siendo estos
el ángulo negativo y el ángulo positivo.
Los grados de pertenencia se calculan con las ecuaciones de las rectas y
asignando un valor máximo, en este caso es el “1”, por lo tanto las funciones
quedan de la siguiente manera.
á0.5 0.5 á 0.50.5 0.5 á 0.5
En la figura 3.4 se muestran las funciones de membresía que componen a la
segunda variable de entrada velocidad angular.
Figura 3.4.- Funciones de membresía de la variable “Velocidad angular”
83
Capítulo 3.- Desarrollo
Como se puede observar el universo de la variable es de -1.5 a 1.5 , siendo
estos el ángulo negativo y el ángulo positivo.
Los grados de pertenencia se calculan con las ecuaciones de las rectas y
asignando un valor máximo, en este caso es el “1”, por lo tanto las funciones
quedan de la siguiente manera.
1
30
1
2para 1.5 1.5
1
30
1
2para 1.5 velocidad angular 1.5
En la figura 3.5 se muestran las funciones de membresía que componen a la
tercera variable de entrada error.
Figura 3.5.- Funciones de membresía de la variable “Error”
Como se puede observar el universo de la variable es de -17 a 17, siendo estos el
rango del error.
Los grados de pertenencia se calculan con las ecuaciones de las rectas y
asignando un valor máximo, en este caso es el “1”, por lo tanto las funciones
quedan de la siguiente manera.
1
34
1
2para 17 17
1
34
1
2para 17 17
84
Capítulo 3.- Desarrollo
En la figura 3.6 se muestran las funciones de membresía que componen a la
cuarta variable de entrada velocidad-carro.
Figura 3.6.- Funciones de membresía de la variable “Velocidad-Carro”
Como se puede observar el universo de la variable es de -5 a 5, siendo estos el
rango de la velocidad del carro.
Los grados de pertenencia se calculan con las ecuaciones de las rectas y
asignando un valor máximo, en este caso es el “1”, por lo tanto las funciones
quedan de la siguiente manera.
110
0.5 para 5 5
110
0.5 para 5 velocidad carro 5
Una vez que el algorimo de fusificación ha sido desarrollado, el visualizador de
reglas que se observa en la figura 3.7 es una visión simplificada del sistema de
inferencia difusa.
85
Capítulo 3.- Desarrollo
Figura 3.7.- Reglas
En la figura 3.7 se puede apreciar el comportamiento de las variables de entrada
que se desean manipular.
El controlador de lógica difusa se construye con las siguientes bases de reglas:
1.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es negativo y
velocidad carro es negativo entonces control es NG.
2.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es negativo y
velocidad carro es positivo entonces control es NM.
3.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es positivo y
velocidad carro es negativo entonces control es CERO.
4.-Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es positivo y
velocidad carro es positivo entonces control es PP.
5.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es negativo y
velocidad carro es negativo entonces control es NM.
86
Capítulo 3.- Desarrollo
6.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es negativo y
velocidad carro es positivo entonces control es NP.
7.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es positivo y
velocidad carro es negativo entonces control es PP.
8.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es positivo y
velocidad carro es positivo entonces control es PM.
9.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es negativo y
velocidad carro es negativo entonces control es NM.
10.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es negativo y
velocidad carro es positivo entonces control es NP.
11.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es positivo y
velocidad carro es negativo entonces control es PP.
12.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es positivo y
velocidad carro es positivo entonces control es PM.
13.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es negativo y
velocidad carro es negativo entonces control es NP.
14.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es negativo y
velocidad carro es positivo entonces control es CERO.
15.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es positivo y
velocidad carro es negativo entonces control es PM.
16.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es positivo y
velocidad carro es positivo entonces control es PG.
87
Capítulo 3.- Desarrollo
En la salida con el modelo Mamdani las funciones de membresía quedan como se
muestra en la figura 3.8.
Figura 3.8.- Función de salida con el modelo Mamdani
Por otra parte el visualizador de superficie permite observar la relación entre las
variables de entrada y salida.
Figura 3.9.- Visualizador de superficie para el control de la posición del péndulo
88
Capítulo 3.- Desarrollo
3.1.1.- Diagrama de flujo
Figura 3.10.- Diagrama de flujo para el control de la posición del péndulo
Inicio
¿Velocidad angular
< umbral ?
¿Ángulo
= o ?
Var. Ref= extremo derecho
Generación de
comando de control
Var. Ref= referencia anterior
Fin
Var Ref= extremo izquierdo
NO
NO
SI
SI
89
Capítulo 3.- Desarrollo
3.2.- Segunda etapa: Simulaciones
Se construye la planta en base a las formulas (16) y (17), se diseña el diagrama a bloques en lazo abierto como se muestra en la figura 3.9 utilizando la paquete MATLAB simulink.
Figura 3.11. Sistema a lazo abierto
Se estimula al péndulo con un escalón para observar su comportamiento obteniendo las siguientes graficas:
Figura 3.12.- Angulo.
Figura 3.13.- Velocidad angular.
90
Capítulo 3.- Desarrollo
Figura 3.14.- Posición.
Figura 3.15.- Velocidad carro.
De las figuras anteriores se observar que las variables del ángulo y velocidad
angular tienden a presentar oscilaciones sostenidas mientras que la posición y la
velocidad carro tienden al infinito. De esto se puede interpretar en que este nunca
alcanza a la referencia.
Visto esto, se procede a realizar las simulaciones correspondientes de control
clásico y control difuso para observar el comportamiento de cada uno de éstos
sistemas, con ayuda de la herramienta de MATLAB Simulink.
La simulación del control se emplea en el desarrollo de un control en lazo cerrado,
aplicado a un sistema de control de posición.
91
Capítulo 3.- Desarrollo
3.2.1.- Control PID
El siguiente diagrama a bloques (figura 3.16) se muestra el control PID utilizado en
el péndulo invertido.
Figura 3.16.- Diagrama a bloques del péndulo invertido utilizando control PID
Donde son utilizadas las variables reales del prototipo:
Masa del carro: 0.12 kg
Masa del péndulo: 0.05 kg
Distancia del péndulo: .
m
Aceleración de gravedad: 9.8
Las variables del control PID que se emplean son las siguientes, las cuales son
tomadas del ejemplo de péndulo invertido aplicando el control PID incluido en los
ejemplos con animación del software Matlab.
4.2
Referencia
U
carro
pendulo
Pendulo
1s
Integrador
-9.4
Ganancia Proporcional
7.12s
s+2
Ganancia Derivativa
-K-
GananciaIntegral
Cart
PendulumX
Estimador de Estado Discreto
92
Capítulo 3.- Desarrollo
La ganancia proporcional es:
9.4
La ganancia integral es:
0.06
La ganancia derivativa es:
7.122
De las cuales se obtienen las siguientes gráficas (figuras 3.17 a 3.20):
Figura 3.17.- Gráfica de la señal de control (U) utilizando control PID
Figura 3.18.- Gráficas de la señal de entrada vs señal de salida utilizando
control PID
93
Capítulo 3.- Desarrollo
Figura 3.19.- Gráfica del error medio cuadrático utilizando control PID
Figura 3.20.- Gráfica del error instantáneo utilizando control PID
94
Capítulo 3.- Desarrollo
3.2.2.- Control difuso
En la figura 3.21 se muestra el diagrama a bloques del control por lógica difusa del péndulo invertido.
Figura 3.22.- Diagrama a bloques del péndulo invertido utilizando control difuso
Utilizando las variables reales del prototipo del péndulo invertido se obtienen las siguientes graficas (figuras 3.23 a 3.26).
Figura 3.23.- Gráfica de la señal de control (U) utilizando control difuso
4.2
Reference
U
Péndulo
Vel ángulo
Carro
Vel carro
Péndulo
Mux
Controlador Lógico Difuso con
Base de Reglas
95
Capítulo 3.- Desarrollo
Figura 3.24.- Gráficas de la señal de entrada vs señal de salida utilizando control difuso
Figura 3.25.- Gráfica del error medio cuadrático utilizando control difuso
Figura 3.26.- Gráfica del error instantáneo utilizando control difuso
96
Capítulo 3.- Desarrollo
3.2.3.- Análisis de estabilidad
Análisis del plano de fase de y como coordenadas en lazo abierto.
Figura 2.27.- Plano de fase del sistema en lazo abierto
Se observa que el sistema parte del punto que corresponde a sus condiciones iníciales y se desplaza hacia el punto de equilibrio llegando a un ciclo límite, es decir, se mantendrá rodeando al punto de equilibrio y nunca lo alcanzara.
Sin embargo se observa que este no llega al punto de equilibrio deseado por si mismo por lo que se aplicara el controlador PID y Difuso para observar su comportamiento en lazo cerrado.
Para el análisis de estabilidad se realizara de dos distintos métodos, el primero conocido como trayectoria lingüística, en el cual la trayectoria indicara la estabilidad del sistema si esta converge en el punto de equilibrio. El segundo será analizando la trayectoria sobre los planos de fase en el que se graficara el desplazamiento angular contrala velocidad.
En el modelo no lineal se emplea el espacio de estados a través de la trayectoria lingüística, de esta forma se observan las reglas que se activan y la trayectoria que estas toman como se muestra en la figura 3.28, donde comienza desde que se encuentra en el punto de equilibrio y presenta una perturbación, actúan las reglas en forma de espiral hasta que llega nuevamente al punto de equilibrio.
97
Capítulo 3.- Desarrollo
Figura 3.28.- Trayectoria lingüística del controlador difuso del péndulo invertido
Se realiza una respuesta transitoria a través de una entrada escalón unitario, de este modo se observa la comparación entre el control difuso y el control PID en la figura 3.29.
Figura 3.29.- Respuesta transitorio para el sistema lineal con el controlador difuso y PID
En la figura 3.30 se compara el error instantáneo entre el control difuso y el control PID.
Figura 3.30.- Comparativa del error instantáneo entre controlador difuso y PID.
Para el segundo método se analizara el plano de fase, en el cual se grafica la posición angular contra la velocidad angular utilizando un escalón unitario. En la
98
Capítulo 3.- Desarrollo
figura 3.31 se puede observar el plano de fase a través de los controladores difuso y PID.
Figura 3.31.- Plano de fase del modelo lineal con el controlador difuso y PID
Se realiza un acercamiento para observar la trayectoria del plano de fase en forma de espiral.
Figura 3.32.- Acercamiento del plano de fase en el control difuso
99
Capítulo 3.- Desarrollo
3.3.- Tercera etapa: Implementación
Se busca un riel cuya función sea fungir de eje principal sobre el cual se podrá
montar el péndulo, para el cual se adapta un riel de impresora.
Fotografía 3.1.- Riel de la impresora a emplear
Para la fabricación del péndulo se utiliza una barra metálica devastada con ayuda
de un torno para reducir su peso.
Fotografía 3.2.- Barra metálica empleada como péndulo
Se procede a buscar una base que soporte el péndulo, considerando una altura
adecuada para que el péndulo sea capaz de girar libremente.
100
Capítulo 3.- Desarrollo
Fotografía 3.3.- Base a emplear para el péndulo invertido
Para poder tomar la lectura de voltaje correspondiente a la posición que se
requiere mantener el carrito sobre el riel y conservar el equilibrio, se coloca un
potenciómetro de precisión que obtiene una variable de referencia y mantiene la
relación distancia-voltaje, dado que el riel tiene un límite.
Fotografía 3.4.- Potenciómetro de precisión empleado para la lectura de
distancia-voltaje
Se delimita la distancia del riel para delimitar el rango de voltaje que muestran las
lecturas.
101
Capítulo 3.- Desarrollo
Fotografía 3.5.- Riel con delimitación del rango
Finalmente se obtiene el prototipo del péndulo invertido que se muestra en la fotografía 3.6.
Fotografía 3.6.- Prototipo ensamblado del péndulo invertido
102
Capítulo 3.- Desarrollo
Para poder medir los grados de libertad del péndulo se coloca un giroscopio
modelo LPY530AL.
Fotografía 3.7.- Placa del giroscopio, vista inferior
Fotografía 3.8.- Placa del giroscopio, vista superior
103
Capítulo 3.- Desarrollo
Se agrega un optoacoplador MOC3021 entre la DAC y el Puente H para evitar los
picos de voltaje que puedan dañar a la DAC y/o a la computadora, cuyo diagrama
se muestra en la figura 3.32, el cuál posteriormente se conecta al puente H. Se
emplea una compuerta lógica not 74LS04 para dar el cambio de dirección al carril
del péndulo.
Figura 3.32.- Circuito del optoacoplador
Se emplea un circuito integrado L293D como puente H, el cual cuenta con
protección de diodos que protegerá de algún rebote de corrientes del motor, el
cual no presenta un alto consumo de voltaje y corriente, cuenta con una
configuración de circuitos operacionales y diodos que permiten el cambio de
sentido al motor, es decir de izquierda a derecha y viceversa. La implementación
de este resulta económica ya que evita emplear transistores y/o relevadores, por
que los relevadores contienen bobinas y estas generan ruido en las señales,
afectando el dato obtenido de la señal del ángulo del péndulo.
Fotografía 3.9.- Adaptación del MOC3021 entre la DAC y el Puente H
104
Capítulo 3.- Desarrollo
Se utiliza un regulador de voltaje para regular el voltaje de 3.3 volts necesarios
para alimentar el giroscopio, este circuito se diseña con ayuda del circuito
integrado LM317A el cual se muestra en la figura 3.33.
Figura 3.33.- Circuito del reductor de voltaje
Se limita el péndulo en un rango de 45° a 135°, debido a que el control realiza en
base a ese rango.
Fotografía 3.10.- Péndulo limitado entre 45° y 135°
105
Capítulo 3.- Desarrollo
Para la adquisición de datos se emplea como interfaz una Tarjeta de Adquisición
de Datos, por sus siglas en ingles DAC (Data Acquisition Card).
Figura 3.34.- Esquema general del prototipo físico
Se modifica el control para su implementación utilizando la DAC.
Figura 3.35.- Control implementado
106
Capítulo 3.- Desarrollo
107
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
CAPÍTULO 4.- Pruebas y resultados Se realizan pruebas al giroscopio sin montar y se obtienen las siguientes gráficas.
Figura 4.1.- Voltaje de referencia en estado estable del giroscopio
Figura4.2.- Voltaje de referencia en movimiento hacia el lado izquierdo
108
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Figura4.3.- Voltaje de referencia en movimiento hacia el lado derecho
De igual manera se realizan las pruebas con la Tarjeta de Adquisición de Datos
PH1018 que se utiliza como interfaz entre la computadora y el péndulo.
Fotografía 4.1.- Prueba del puente H conectado al péndulo, utilizando como interfaz entre la computadora, el péndulo y la DAC PH1018
109
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Desde la computadora, por medio de la DAC (interfaz) se manda una señal a una
de las salidas digitales donde está conectado el puente H (L293D) para hacerlo
girar hacia la izquierda, derecha o nada de la siguiente forma:
00 Nada 01 Izquierda 10 Derecha
Tabla 4.1.- Combinaciones lógicas para hacer girar el sentido del carro
Nota: La combinación 11 no se toma en cuenta ya que el péndulo no puede ir en
ambas direcciones al mismo tiempo.
Obteniendo rango de la posición del carrito a lo largo de la barra utilizando la DAC.
Figura 4.4.- Valor mínimo de la posición del carrito
Figura 4.5.- Valor máximo de la posición del carrito
110
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Se modifican los rangos del ángulo, velocidad angular, error y velocidad del carro.
Figura 4.6.- Modificación del rango del ángulo
Figura 4.7.- Modificación del rango de la velocidad angular
111
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Figura 4.8.- Modificación del rango del error
Figura 4.9.- Modificación del rango de la velocidad del carro
112
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
4.1.-Modificaciones
Se hace el cambio del giroscopio por un potenciómetro de precisión dado que la
respuesta del giroscopio es lenta a la necesaria para el control. Se utiliza un
potenciómetro de precisión al igual que en la posición del carrito. Para esta
implementación se rediseña y manufactura la barra en la que se monta el péndulo,
de esta forma la barra embona con la flecha del potenciómetro.
Fotografía 4.2.- Adaptación del potenciómetro al péndulo
Se cambia el potenciómetro de precisión que determina la posición del carrito por
un trimpot de 25 vueltas, esto es porque se requiere la parte variable lineal del
voltaje que se obtiene en las primeras 5 vueltas del potenciómetro. El cambio se
hace por un trimpot debido a que en México solo es comercial hasta un
potenciómetro de precisión de 10 vueltas mientras que el trimpot es de 25. Este se
adapta en la flecha del motor.
Fotografía 4.3.- Adaptación del trimpot en flecha del motor.
113
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Se modifica el rango del error.
Figura 4.10.- Modificación del rango del error
Se agrega una pieza diseñada en madera que sustituye el cambio del
potenciómetro de precisión en la posición del carrito y se cambia el engrane del
mismo, ya que al hacer los cambios rápidos de giro se presento un barrido en el
engrane original.
Fotografía 4.4.- Nuevo engrane implementado.
Fotografía 4.5.- Pieza diseñada para sostener el engrane.
114
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Se recortan las barras de madera que sostienen al péndulo para minimizar las vibraciones resultantes del movimiento del carrito y se procede a realizar las pruebas de control.
Fotografía 4.6.- Implementación del control
115
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
4.2.- Trabajo a futuro
Un objetivo que no se alcanzado en el trabajo, fue la implementación física del péndulo. Como se menciono en las conclusiones, los sensores son fundamentales en la adquisición de datos y este fue el principal problema en la implementación, por lo que este trabajo puede ser retomado para mejorar los sensores y así lograr la estabilidad del péndulo. El control del péndulo a futuro puede ser:
Diseñado en función de dos ejes debido a que el trabajo realizado solo fue considero un solo eje.
Tomando en cuenta que el control del péndulo se realizo con la condición inicial de que este estuviera en el punto de equilibrio inestable, este puede ser rediseñado para que pueda lograr el control partiendo de cualquier condición inicial.
Realizar el control del péndulo mediante redes neuronales.
116
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
117
Conclusiones
CONCLUSIONES En el desarrollo de este trabajo se implemento un sistema mecánico simple, sin
embargo dicho sistema tiene una gran complejidad debido a que es de carácter
inestable y subactuado, que es una de las razones del porque es uno de los
sistemas más utilizados para la enseñanza.
Para que se logre el control de un sistema, este debe de contar con sensores
precisos que detecten el cambio de giro o posición de una manera rápida y
efectiva, ya que la obtención de éstos datos son esenciales para lograr la
estabilización del sistema.
Las técnicas clásicas necesitan modelar el sistema a controlar en términos
estrictamente precisos. Esto las dificulta para controlar sistemas complicados
donde no se pueda obtener un modelo matemático. Con lo que las limita a
controlar sistemas con incertidumbre.
Se diseño y comparo una ley de control difuso y un control PID, para poder
observar la respuesta de cada uno. Donde la lógica difusa sigue la respuesta del
control PID, con algunas modificaciones para lograr un mejor comportamiento no
lineal.
Una vez que se realizaron las simulaciones correspondientes con cada control en
el péndulo, se observan que las respuestas presentan una similitud con la señal
de entrada, sin embargo hay una diferencia en el tiempo en que esta se adecua a
ella, con lo que se demuestra que el control por lógica difusa tiene una respuesta
más rápida y cercana a la referencia que el control PID.
La lógica difusa proporciona un medio para enfrentar situaciones del mundo real,
situaciones complejas y dinámicas que son más fácilmente caracterizadas por
palabras que por matemáticas.
118
Conclusiones
La lógica difusa es una teoría con fundamentos matemáticos sólidos, donde se
utiliza en concepto de verdad parcial, además de que su diseño es sencillo ya que
se basa en conocimiento de un operador de proceso, donde dicho control es el
control de lazos simples, normalmente controlados usando controladores PID. Sin
embargo realiza un ajuste mediante un proceso de prueba y errora base de
condiciones lógicas.
Sin embargo en la calibración del controlador difuso no se asegura un resultado
optimo inmediato, debido a esto no resulta sencillo introducir modificaciones al
controlador difuso, que es una de las principales desventajas al control clásico.
El control por lógica difusa es prácticamente nuevo en nuestro país, sin embargo
este fue innovado en los años 80´s, donde Japón es uno de los países donde se
ha implementado en la mayoría de su sector industrial, y sumando sus altas
normas de calidad, han hecho que sus productos sean de muy alto rendimiento.
Uno de los errores al suponer que el control difuso es mejor es afirmar que todo
proceso puede ser controlado de esta manera y obtener un desempeño superior al
de las técnicas de control convencional.
La vida real está llena de situaciones que requieren del razonamiento aproximado
para manipular información cualitativa más que cuantitativa.
Un sistema difuso puede resolver problemas tal como lo haría un ser humano.
119
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Bibliografía
123
Glosario
GLOSARIO Conjunto difuso: Se representa por medio de funciones de membresía definidas
en el universo del que se habla.
DAC: Tarjeta de Adquisición de datos.
Defusificación: Genera la actuación a partir de la variable lingüística de salida
inferida.
FKBS (Fuzzy Knowledge Based Controller): Controlador Basado en el
Conocimiento Difuso.
Función de membresía: Da el grado de membresía de cualquier elemento en el
conjunto, es decir mapea los elementos del universo en valores numéricos dentro
de un intervalo.
Función de pertenencia: Grado en el cual un elemento pertenece al valor
lingüístico asociado.
Fusificación: Asociación de cada entrada escalar a un grado de membresía
sobre un conjunto difuso.
Gradación: Serie ordenada gradualmente.
KBS (Knowledge Based Controller): Basado en el conocimiento del controlador.
Matlab: Es un lenguaje de alto nivel y un entorno interactivo que le permite al
usuario realizar tareas de análisis y procesamiento de datos, además de una
visualización y representación de gráficos.
MLP: Perceptron multicapa Simulink: Simulink es una herramienta de Matlab que permite de una manera
gráfica, modelar, analizar y simular una gran variedad de sistemas físicos y
matemáticos.
PID: Proporcional-Integral-Derivativo.
124
Glosario
TSK: Takagi-Sugeno-Kang.
Toolbox de lógica difusa: Es una herramienta que tiene la capacidad de crear y
editar sistemas de inferencia difusa.
Universo: Es el intervalo de valores que pueden tomar los elementos que poseen
la propiedad enunciada en la variable lingüística.
125
Anexos
ANEXOS
ANEXO 1.- Giroscopio LPY530AL
Sensor: Dual axis pitch and yaw ±300°/s analog gyroscope.
3.3 V
126
Anexos
ANEXO 2.- Puente H L293D L293D Quadruple half-h drivers.
Parte del L293D que se utilizo para el motor del carril en el péndulo invertido:
Supply voltage …………………………………………………………………..…... 36 V Output supply voltage, VCC2 ………………………........................................... 36 V Input voltage, VI ….………………………………………………………..………… 7 V Output voltage range, VO …………..………………………........ –3 V to VCC2 + 3 V Peak output current, IO (nonrepetitive, t 5 ms): L293 ………….…………….. 2 A Peak output current, IO (nonrepetitive, t 100 s): L293D ………………….. 1.2 A Continuous output current, IO: L293 ……..……………………………………... 1 A Continuous output current, IO: ………………………….……………………. 600mA Continuous total dissipation at (or below) 25C free-air temperature …... 2075 mW Continuous total dissipation at 80C case temperature ………….………. 5000 mW Maximum junction temperature ……………………….…………………….. TJ 150C Storage temperature range, Tstg ………..…………………………… –65C to 150C
127
Anexos
ANEXO 3.- Optoacoplador MOC2130
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Anexos
ANEXO 4.- Compuerta NOT 74LS04
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Anexos
ANEXO 5.- Regulador de voltaje LM317A
130
Anexos
ANEXO 6.- DACPH1018
131
Anexos
ANEXO7.- Potenciómetro de precisión de 10 vueltas
