Metodología Para la Operación óptima dePlantas de Cogeneración-Edición Única

Title Metodología Para la Operación óptima de Plantas deCogeneración-Edición Única

Issue Date 2003-05-01

Publisher Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

Abstract Tesis de posgrado presentada para obtener el grado de Maestroen Ciencias especialidad en Ingenieria Energética

Item Type Tesis de maestría

Downloaded 06/05/2018 05:17:23

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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

METODOLOGÍA PARA LA OPERACIÓN ÓPTIMA DE PLANTAS DE COGENERACIÓN

TESIS

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA ENERGÉTICA

POR:

MANUEL ÁNGEL GONZÁLEZ CHAPA

MONTERREY, N. L. MAYO DE 2003

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Manuel Ángel González Chapa sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado académico de Maestro en Ciencias con especialidad en:

INGENIERÍA ENERGÉTICA

Comité de Tesis:

______________________________ José Ramón Vega Galaz, Ph. D.

Asesor ____________________________ ____________________________ Javier Rodríguez Bailey, M. C. José Luis López Salinas, M. C. Sinodal Sinodal

Aprobado:

________________________________ Federico Viramontes Brown, Ph. D.

Director del Programa de Graduados en Ingeniería

DEDICATORIA

A mis padres Irma Yolanda y

Manuel Ángel: con la admiración y el orgullo de siempre.

A mi hermana Irma Yolanda y a

su esposo César: con respeto. A mi sobrino César Alejandro: por ser el motor que me impulsó para seguir adelante durante este proceso. A mi novia Consuelo Nohemí: con todo mi amor.

A mis familiares y amigos: por

El apoyo incondicional que siempre me han brindado.

AGRADECIMIENTOS

A Dios... A mi familia: por compartir conmigo todos mis sueños e ideales. A mis sinodales: por sus valiosos comentarios durante la revisión de la tesis. Al Dr. José Ramón Vega Galaz: por el apoyo moral y su valiosa contribución para la realización de este trabajo.

RESUMEN

El objetivo de esta tesis es presentar una metodología para la solución del problema de operación óptima de plantas de cogeneración. Iniciamos con una introducción general al problema de optimización especialmente centrado en el origen de este tipo de problemas. Más adelante hacemos una revisión en la literatura reciente acerca de trabajos similares al presente para una mejor ubicación y contextualización de los temas abordados en la presente tesis. Enseguida se hace un repaso a los principales conceptos termodinámicos y de optimización necesarios para modelar la función objetivo y las restricciones que se utilizan en los algoritmos propuestos. El principal apoyo computacional para analizar los aspectos termodinámicos de los ciclos de cogeneración fueron los programas que ofrece la compañía estadounidense THERMOFLOW. Más adelante explicamos paso a paso la metodología que nos lleva a la solución del problema de operación óptima de las plantas de cogeneración, la cual se logra haciendo las modificaciones y adaptaciones pertinentes en el algoritmo de optimización. La herramienta computacional utilizada para resolver el problema de optimización fue el paquete MATLAB. Esto se debió a la facilidad que presentan las funciones de optimización preconstruidas contenidas en su utilería. Enseguida mostramos mediante tres casos de estudio la eficacia del método explicado anteriormente. Los resultados encontrados son satisfactorios y confiables. Finalmente se ofrecen algunas conclusiones derivadas de la experiencia adquirida en la elaboración del presente trabajo, así como la propuesta de algunos trabajos futuros relacionados con el presente.

ÍNDICE RESUMEN................................................................................................................................ i ÍNDICE..................................................................................................................................... ii LISTA DE FIGURAS .............................................................................................................. iv

CAPÍTULO I 1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................ 9

1.1 Revisión de literatura......................................................................................... 11

CAPÍTULO II 2. MARCO DE REFERENCIA .......................................................................................... 16

2.1 Termodinámica................................................................................................... 16 2.1.1 Principios Termodinámicos. .................................................................... 16 2.1.2 Sistemas de cogeneración. ...................................................................... 16

2.1.2.1 Esquemas con turbinas de vapor. .................................................... 17 2.1.2.1.1 Análisis de las turbinas de vapor (ciclo Rankine). ................... 17

2.1.2.2 Esquemas con turbinas de gas. ........................................................ 22 2.1.2.2.1 Análisis de las turbinas de gas (ciclo Brayton). ....................... 23

2.1.2.3 Esquemas con turbinas de vapor acopladas a turbinas de gas (ciclo combinado). .............................................................................. 25

2.1.2.4 Esquemas con motor reciprocante o alternativo. ........................... 26 2.1.2.4.1 Análisis de motores de ignición por chispa (ciclo Otto).......... 27 2.1.2.4.2 Análisis de motores de ignición por compresión (ciclo Diesel)....28

2.1.3 Calderas de recuperación de calor ‘HRSG’. ........................................... 28 2.1.3.1 ‘HRSG’ sin postcombustión. ............................................................. 29 2.1.3.2 ‘HRSG’ con postcombustión. ............................................................ 29 2.1.3.3 ‘HRSG’ con máxima postcombustión............................................... 30 2.1.3.4 Aspectos de diseño. ........................................................................... 30

2.1.3.4.1 Temperatura mínima de corrosión. ............................................ 30 2.1.3.4.2 El punto ‘pinch’............................................................................. 31 2.1.3.4.3 Caídas de presión......................................................................... 31

2.1.3.5 Flujo másico de vapor. ....................................................................... 31 2.2 Optimización....................................................................................................... 32

2.2.1 Conceptos. ................................................................................................. 32 2.2.1.1 Función objetivo. ................................................................................ 33 2.2.1.2 Restricciones....................................................................................... 34 2.2.1.3 Condiciones de operación vs. diseño. ............................................. 35 2.2.1.4 Formulación matemática.................................................................... 35

2.2.2 Métodos clásicos....................................................................................... 37 2.2.2.1 Métodos de cálculo............................................................................. 38 2.2.2.2 Métodos de búsqueda. ....................................................................... 38 2.2.2.3 Programación lineal y dinámica. ....................................................... 39 2.2.2.4 Programación geométrica y otros. ................................................... 39 2.2.2.5 Procedimiento para enfrentar problemas de optimización. ........... 39

2.2.3 Algoritmos aplicados a sistemas de cogeneración............................... 40 2.2.3.1 Relajación Lagrangiana...................................................................... 41 2.2.3.2 Explotación del grado de separabilidad. .......................................... 43 2.2.3.3 Consideración especial de turbinas de vapor acopladas a turbinas

de gas (ciclo combinado)................................................................... 51

CAPÍTULO III 3. METODOLOGÍA ........................................................................................................... 52

3.1 Modelación de unidades generadoras............................................................. 52 3.1.1 Función objetivo........................................................................................ 53

3.1.1.1 Índices característicos. ...................................................................... 54 3.1.1.1.1 ‘Heat Rate’. .................................................................................... 55 3.1.1.1.2 ‘Incremental Heat Rate’................................................................ 56

3.1.1.2 Objetivo en función de generación. .................................................. 56 3.1.1.2.1 Unidades de potencia. ................................................................. 57 3.1.1.2.2 Unidades de cogeneración.......................................................... 57 3.1.1.2.3 Calderas auxiliares....................................................................... 58 3.1.1.2.4 Consideración de energía comprada a la red eléctrica de

servicio público. ........................................................................... 58 3.1.2 Restricciones. ............................................................................................ 59

3.1.2.1 Restricciones locales. ........................................................................ 59 3.1.2.2 Restricciones globales....................................................................... 60

3.2 Aplicación del algoritmo de optimización. ...................................................... 60 3.2.1 Consideraciones........................................................................................ 60 3.2.2 Descripción del algoritmo. ....................................................................... 61

CAPÍTULO IV

CASOS DE ESTUDIO........................................................................................................... 63 4.1 Caso No. 1........................................................................................................... 63 4.2 Caso No. 2........................................................................................................... 65 4.3 Caso No. 3........................................................................................................... 66

4.3.1 Cogeneración............................................................................................. 67 4.3.2 Caldera auxiliar. ......................................................................................... 69 4.3.3 Energía comprada a la red eléctrica de servicio público. ..................... 70 4.3.4 Optimización. ............................................................................................. 71

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS..................... 74

Conclusiones................................................................................................................... 74 Recomendaciones para trabajos futuros. .................................................................... 75

REFERENCIAS..................................................................................................................... 76 APÉNDICE ............................................................................................................................ 81

A1 Ejemplo de cogeneración ciclo Rankine modificado con regeneración...... 81 A2 Índices característicos. ..................................................................................... 83 A3 Caso No. 1........................................................................................................... 86 A4 Caso No. 2........................................................................................................... 92 A5 Caso No. 3......................................................................................................... 100

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Costos en una planta de ciclo combinado 1 Figura 2.1 Esquema de los componentes de un ciclo térmico Rankine simple 10 Figura 2.2 Diagrama Ts ciclo Rankine 10 Figura 2.3 Esquema de cogeneración ciclo Rankine con regeneración 11 Figura 2.4 Diagrama Ts cogeneración ciclo Rankine con regeneración 11 Figura 2.5 Proceso de transformación de la energía contenida en el

combustible a través de los distintos componentes que componen la planta de vapor 11

Figura 2.6 Esquema de cogeneración ciclo Brayton con ‘HRSG’ 15 Figura 2.7 Diagrama Ts para el ciclo Brayton ideal y real 16 Figura 2.8 Sistema de cogeneración con turbina de vapor y turbina de gas 18 Figura 2.9 Diagramas Pv y Ts para el ciclo Otto de aire estándar 19 Figura 2.10 Diagramas Pv y Ts del ciclo Diesel ideal 20 Figura 2.11 ‘HRSG’ convección forzada 22 Figura 2.12 Diagrama típico que muestra el calor que gana el agua y el que

ceden los gases 24 Figura 2.13 Diagrama simplificado de optimización y control en la industria 28 Figura 2.14 Algunos métodos de optimización 29 Figura 2.15 Método de solución 32 Figura 2.16 Diagrama de flujo para la solución al problema primo 35 Figura 2.17 Esquema utilizado para plantear el algoritmo de despacho

económico involucrando plantas de cogeneración 35 Figura 2.18 Zona de operación factible para una unidad de cogeneración 39 Figura 3.1 Diagrama de flujo para realizar la modelación de las unidades

generadoras (potencia, cogeneración y calderas auxiliares) 45 Figura 3.2 Diagrama de flujo del algoritmo de optimización usado en MATLAB 54 Figura 4.1 Región de operación factible para la unidad de cogeneración 2 55 Figura 4.2 Región de operación factible para la unidad de cogeneración 3 56 Figura 4.3 Región de operación factible para la unidad de cogeneración 59 Figura 4.4 Potencia neta suministrada por el combustible 60 Figura 4.5 Ajuste de la función de costo para la unidad 1 60 Figura 4.6 Curva entrada-salida para la caldera auxiliar 61 Figura 4.7 Función de costo para la caldera auxiliar 62 Figura 4.8 Función de costo por hora para la energía comprada a la red

eléctrica de servicio público 62 Figura 4.9 Pronóstico de demandas para la industria papelera a lo largo del día 64 Figura 4.10 Unidades que entrarán en operación a lo largo del día 65 Figura 4.11 Costo mínimo necesario para satisfacer las demandas térmicas y

eléctricas a lo largo del día 65

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

Un sistema de potencia eléctrica está formado por diversas plantas de generación: principalmente hidroeléctricas, eólicas, termoeléctricas y otras de menor importancia por su tamaño. Las plantas termoeléctricas son las mayores productoras en países como México, donde su economía tiene una fuerte dependencia del petróleo y ese recurso es abundante, aunque limitado. La factibilidad para instalar y operar una planta de generación de energía eléctrica depende de un gran número de variables. Algunas de ellas son: la inversión inicial, su disponiblidad, los costos de operación y mantenimiento que involucre, así como el precio del combustible y los factores de carga con que operen dichas plantas. Otras variables, como las condiciones atmosféricas y la situación geográfica también pueden influir en su factibilidad técnica y económica aunque no de modo tan determinante como las anteriores. Por esta razón, cada caso debe analizarse de modo particular. Como puede verse en la figura 1.1 la variable que más influye en la decisión final de instalarse o no una planta de generación es el costo del combustible.

17% 8%

75%

COSTO INICIAL

COSTO COMBUSTIBLE

COSTO MANTENIMIENTO

Figura 1.1. Costos en una planta de ciclo combinado [7]∗ .

Las plantas termoeléctricas utilizan combustibles fósiles para el proceso de transformación de la energía, normalmente combustóleo y gas natural. Por tanto, es lógico que la operación óptima de dichas plantas esté centrada en el uso racional del combustible y de esta manera conseguir ahorros económicos así como menores emisiones contaminantes a la atmósfera tales como los óxidos de nitrógeno (NOx) y carbono (CO2) principalmente. Otro efecto benéfico de la operación óptima de estas plantas es el cuidado que se tiene al usar de modo racional los recursos no renovables como son los combustibles fósiles. La operación económica de los sistema de potencia eléctrica involucra la generación y la entrega y puede subdividirse en dos partes: la primera es el ‘Despacho Económico’ (ED) en donde el objetivo es minimizar los costos en la producción de

∗ Nota. Las referencias en esta tesis aparecen entre [ ].

potencia, la segunda concierne la minimización de pérdidas en la entrega de dicha potencia hacia las cargas. En México el sistema de potencia cuenta con un gran problema de este último tipo, ya que la infraestructura de transmisión es antigua y las pérdidas de energía por este concepto son muy altas [8]. Otro problema relacionado con los aspectos económicos en sistemas de potencia es el de decidir con cuáles unidades se estará generando la potencia y cuáles deben apagarse, este problema es llamado ‘Compromiso de Unidades’ o ‘Unit Commitment’ (UC) y será abordado en un caso de estudio de la presente tesis aunque sin profundizar en el mismo. Un tipo de planta termoeléctrica que ha cobrado mucha importancia debido a su mejor eficiencia global de diseño son los sistemas de cogeneración. Su principal peculiaridad es que producen de modo simultáneo energía eléctrica y térmica, con lo cual su operación requiere de un procedimiento también particular. Para asegurar que estas plantas alcancen la eficiencia para la cual fueron diseñadas es necesario, entre otros factores, operarlas de modo adecuado, tomando las mejores decisiones ante las variaciones de demanda eléctrica y térmica. Esto se puede lograr utilizando métodos de operación óptima lo cual involucra un proceso complejo de modelación, análisis, diseño de algoritmos e implementación de los mismos para que finalmente se lleguen a controlar dichas plantas según las previsiones analizadas por dichos algoritmos. Las mejores decisiones operativas dependerán de que tan bien diseñado esté el método de optimización. La optimización de una planta de cogeneración parte desde el diseño de la misma, y si se trata de una planta nueva se tendrán mayores opciones para optimizarla, en tanto que, al tener la planta ya instalada lo único que puede optimizarse es su operación y mantenimiento. El factor primordial para un diseño óptimo de planta de cogeneración es la relación H/E llamado ‘Calor en Electricidad’; esta relación expresa las demandas térmicas y eléctricas máximas del usuario. El resultado de la relación H/E sirve para seleccionar el tipo de esquema de cogeneración, que puede ser entre otros: turbinas de gas con recuperador de calor (2 < H/E < 10), turbinas de vapor (H/E > 10), ciclo combinado (H/E < 2), motor de combustión interna (H/E < 2), entre otros arreglos. Entre otros factores que inciden en hacer más factible una cogeneración se encuentran: el tipo de combustible, la variación en el consumo de vapor, el agua de enfriamiento, la disponibilidad de vapor a proceso y electricidad, el costo de la inversión, protección ambiental y situación geográfica [3]. En una planta de potencia tenemos un tipo de energía útil (electricidad) y el problema (ED) puede resolverse fácilmente por medio de los multiplicadores de

Lagrange; en una planta de cogeneración el problema de los multiplicadores se hace un poco más difícil ya que se tienen dos tipos de energía útiles (calor y electricidad) y el punto óptimo debe satisfacer ambas demandas de energía; además existe otro tipo de restricciones cuando la unidad opera con/sin quemador secundario haciendo el problema de ‘Despacho Económico de Cogeneración’ (CED) más complicado. Sin embargo, tiene una ventaja sobre los sistemas de potencia convencionales, esta ventaja se debe a que en un sistema de cogeneración el usuario es el propio cogenerador y las pérdidas en las líneas de transmisión pueden suponerse cero. Antes de formular (ED) y (CED) se deben obtener las funciones de costo por hora, así como las restricciones de operación para cada unidad. Ambos requerimientos pueden obtenerse al realizar el análisis termodinámico de cada unidad o mediante pruebas experimentales [10].

1.1 Revisión de literatura.

Los problemas (ED) y (UC) se resuelven por diversas técnicas de optimización, algunos métodos clásicos para resolver el despacho económico son la programación cuadrática y el método de los multiplicadores de Lagrange (1.1), en [14] y [15] se resuelve junto con el problema de minimizar las pérdidas en la entrega de energía por medio de un programa de flujo de potencia óptimo con base en el método numérico de Newton-Raphson, mientras que el problema (UC) puede resolverse usando técnicas de optimización dinámica por etapas o escenarios.

0 φFT =−∇ λ (Ec.1.1) Donde: ∇ : Función gradiente o derivada parcial, k

zj

yi

x ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ TTT FFF .

FT : Función objetivo o función de costo del sistema, F1+F2+...+Fn ($/h). λ : Multiplicadores de Lagrange ($/kWh). φ : Restricciones de igualdad, Pg1+Pg2+...+Pgn-PL-PD=0 (kW). Pg : Potencia generada (kW). PL : Pérdidas de potencia (kW). PD : Potencia demandada (kW). El problema (ED) requiere de construir las funciones de costo adecuadas (en función de la potencia generada), establecer las restricciones locales (para cada unidad) y las restricciones globales (equilibrio entre la producción de energía eléctrica para la satisfacción de la demanda) así como el conocer la ecuación de las pérdidas por transmisión y sus correspondientes coeficientes β como se expresa en (1.2) cuando debe tomarse en cuenta la minimización de pérdidas en la red de transmisión.

001

011

BPBPBPP gi

K

iigjij

K

jgi

K

iL ++= ∑∑∑

===

(Ec.1.2)

El sistema representado en (1.2) tiene K unidades y por tanto K filas y K columnas y los términos β son llamados ‘coeficientes de pérdidas’ o ‘coeficientes β’. La matriz β es cuadrada (K x K) y simétrica. Esta ecuación se expresa en función de la potencia de salida de cada unidad (Pg). En [33] se presentan modelos para la ecuación de las pérdidas basados en interpolaciones de soluciones a flujo de carga. El problema (UC) hace una planeación de la mejor combinación de unidades a estar disponibles para abastecer la predicción de carga del sistema sobre un período de tiempo futuro y minimiza los costos agregados de arranque, de operación y de apagado. En la literatura encontramos una variedad de técnicas para resolver el problema (ED) para sistemas de potencia, en [18] y [35] estudian el algoritmo de optimización del punto interior, en [19] transforman el problema de optimización a un problema que maneja una ecuación de n-esimo orden polinomial, al invertir las funciones de costo incremental, logrando menor tiempo de cómputo y mayor exactitud. En [16] y [17] resuelven el problema (ED) para sistemas de potencia utilizando algoritmos genéticos de redes neuronales, en [16] alteran el problema introduciendo una función ‘sigmoidal’ y resuelven el problema directamente, sin necesidad de iteraciones. En [34] se propone otro método directo para llegar a la solución. Otros métodos son desarrollados en [23]-[27] y [29]-[31]. En [37] resuelven el problema analíticamente. El problema (UC) para sistemas de potencia lo han tratado en [9],[21],[25],[36] y [48]. En [48] resuelven ambos problemas señalando la distinción entre los multiplicadores de Lagrange que dan la solución (UC) y aquellos que dan la solución (ED). En [28] y [36] se presenta una recopilación de literatura sobre (ED) en plantas de potencia y en [36] se incluye a plantas de cogeneración con modelos basados en relajación lagrangiana. Este trabajo basa sus estudios en plantas de cogeneración, por esta razón se le dará mayor peso en la revisión de literatura. A continuación se presentan una serie de trabajos misceláneos sobre el tema. En [39] obtienen la mejor estrategia de control resolviendo una secuencia de ‘Programación Lineal con Mezcla Entera’ (MILP), tomando como referencia el modelo lineal discutido en [38]. Las posibles condiciones de operación incluyen compra-venta de potencia a la red, aplicar las restricciones de demanda y apagar la planta. En [46] resuelven el problema (CED) y (UC) a la vez usando (MILP). El

problema puede resolverse con mayor facilidad y con menor tiempo de cómputo con una ‘Estrategia Dinámica de Búsqueda’ (DSS) basada en (MILP) como se muestra en [43]. En [40] muestran un algoritmo eficiente para (CED) donde indican el alto grado de separabilidad de la función objetivo y de las restricciones. Muestran que para que el algoritmo trabaje, la función de costo de una unidad de cogeneración debe ser convexa en ambas variables independientes (pi y hi), como se muestra en (1.3); el término con el coeficiente lineal en ‘p’ y ‘h’ es llamado ‘término de acoplamiento’ y sirve para garantizar la dependencia entre la producción de electricidad y de calor.

iiiiiiiiiiiiic hphhpphpC ζεδγβα +++++= 22, ),( (Ec.1.3)

En esta ecuación ‘C’ es la función de costo por hora; de ‘α ... ζ’ representan los coeficientes de ajuste de la función, el sub índice ‘c’ se refiere a que es una unidad de cogeneración y el sub índice ‘i’ es para enumerar cada unidad. La producción de p y h se asume que caerá en un plano limitado por ni líneas (2.46). En [41] dividen (CED) en 2 subproblemas, el ‘Despacho de Calor’ (HD) y el ‘Despacho de Potencia’ (PD), estos subproblemas se conectan a través de las restricciones de operación facible de las unidades de cogeneración. El problema se desarrolla en dos capas, la capa superior resuelve el problema (PD) iterativamente por la técnica de relajación Lagrangiana y en cada iteración, la capa interior resuelve el (HD) por el método de búsqueda del gradiente. En [42] analizan el problema (CED) y definen que si se trata de un esquema de ciclo combinado el problema debe tomar en cuenta la turbina de vapor, la cual no consume combustible sino vapor y a cambio entrega potencia; es decir, siempre que la unidad se encuentre operando, el vapor a la salida de ésta será mucho menor al inyectado a la misma. Las funciones de costo mostradas en el trabajo fueron utilizadas por primera vez en [41], cabe resaltar que existe un error en la generación entregada por la unidad dos pero el algoritmo funciona correctamente aplicando las restricciones debidas. En [44] se agregan al problema restricciones en cuestión de contaminantes. En [45] discuten el problema cuando el sistema utilitario compra energía a un cogenerador, incluyendo el servicio de porteo. Si es conveniente tanto al sistema utilitario como al cogenerador, este último puede vender la energía eléctrica a otro usuario usando la red del sistema utilitario; de lo contrario el cuerpo regulador decidirá que el sistema utilitario debe comprar el excedente cuando el costo del cogenerador a la entrada del mercado de energía es alto. El problema lo resuelven usando teoría de juegos, donde los jugadores son un cuerpo regulador, el sistema eléctrico utilitario y el cogenerador. Demuestran que el cogenerador que puede abastecer su exceso de energía durante períodos pico toma ventaja en el mercado.

En [47] suponen que los precios en el mercado ‘spot’ se conocen y analizan el problema con técnicas de programación lineal. La operación óptima agregando costos de agua se discute en [50]. Problemas relacionados con la operación de plantas no utilitarias como cogeneradoras, productores de energía independientes, turbinas de viento, entre otras se enumeran en [51]. El desarrollo de un método y un modelo basado en la teoría de programación dinámica se discute en [52]; en el sistema de cogeneración analizado se agrega un dispositivo de almacenamiento de calor. En [53] desarrollan un algoritmo basado en ‘Programación Evolutiva’ (EP) para resolver el problema (CED). La (EP) no depende de las derivadas de la función objetivo por lo que se pueden usar funciones discontinuas y no-monotónicas. Ejemplifican el uso del algoritmo usando las funciones de costo mostradas por primera vez en [41]. El (CED) puede resolverse usando el método de mínimos cuadrados si la generación eléctrica y térmica puede representarse con modelos lineales [54]. La modelación de los primo-motores en una planta (de potencia o cogeneración) basa gran parte de sus resultados en bases físicas. La modelación nos proporciona las bases para obtener las funciones de costo, las restricciones de operación, la potencia de salida y el flujo de vapor a proceso entre otros. En [38] por ejemplo, se modelan seis esquemas de cogeneración mediante bases termodinámicas; muestran para cada esquema las curvas que describen la operación de los mismos en una gráfica H/Enom vs E/Enom donde H y E representan el calor útil a proceso y potencia eléctrica respectivamente y en donde dichas curvas tienen un comportamiento lineal. La modelación de plantas de generación de energía eléctrica va orientada a objetivos muy diversos. En [58] por ejemplo, estudian la dinámica de los sistemas de potencia para mantener sincronismo bajo pequeñas perturbaciones, consideran la dinámica de los equipos activos tales como máquinas sincrónicas, sistemas de exitación, primo-motores, entre otros, así como linearización de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento en operación del sistema. En [57] consideran modelos por bloques para mejorar la confiabilidad en plantas de potencia con turbinas de gas y ciclo combinado; estos modelos se estudian para grandes perturbaciones en el sistema. En [56] estudian la validez de modelos por bloques grandes para plantas de ciclo combinado ya que éstos dan una respuesta más rápida de voltaje y frecuencia en grandes perturbaciones. En [55] muestran que para estudios dinámicos no es necesario un modelo detallado de la caldera y de la turbina de vapor, ya que éstos

tienen características dinámicas lentas. En [49] se presenta un modelo no-lineal para una cogeneración con una microturbina de gas basado en principios generales de operación de compresores y turbinas de gas, así como en balances de energía y masa; expresan que la no-linealidad se debe a la compresión/expansión adiabática de la ley de los gases ideales en el compresor y la turbina respectivamente. Aunque la lista de referencias no está completa, nos parece suficiente para tener una orientación del problema de operación óptima de plantas de cogeneración. Para una visión exhaustiva se recomienda ver el journal de la IEEE Transactions on Power Systems.

CAPÍTULO II

MARCO DE REFERENCIA

En este capítulo se presenta la base teórica esencial para poder resolver el problema (CED). La sección se divide en dos partes: termodinámica y optimización. En la primera se explica la teoría termodinámica y los ciclos base para comenzar la modelación; en la segunda se describe la teoría de optimización y los algoritmos base para la realización de este tabajo.

2.1 Termodinámica.

2.1.1 Principios Termodinámicos.

Las leyes de la termodinámica son reglas matemáticas basadas en la observación de los acontecimientos que ocurren en la naturaleza. La base de la primera ley de la termodinámica (ley de la conservación de la energía) se encuentra al observar que el calor y el trabajo son dos formas de energía mutuamente convertibles; la ley describe a un sistema que opera cíclicamente y que produce trabajo neto de una fuente de calor. La segunda ley de la termodinámica enuncia que dicho sistema no puede convertir todo el calor suministrado al mismo en trabajo mecánico, ya que tendremos pérdidas de calor.

2.1.2 Sistemas de cogeneración.

Existen dos formas para clasificar los sistemas de cogeneración (producción simultánea de energía eléctrica y térmica útil), una es en base a la producción de electricidad y calor, la otra en base al primo-motor usado para la producción de energía (clasificación más usada). En base a la producción de electricidad y calor los sistemas se dividen en sistemas superiores ‘Topping cycles’ y en sistemas inferiores ‘Bottoming cycles’. Los sistemas superiores son aquellos en los que la energía primaria se utiliza para producir dos tipos de energía útil aprovechable en el proceso industrial. En los sistemas inferiores la energía primaria se utiliza en el proceso industrial y la energía calorífica no aprovechable en el mismo se emplea para generar energía mecánica o eléctrica. En base al primo-motor los arreglos son los siguientes:

!" Esquemas con turbinas de vapor. !" Esquemas con turbinas de gas.

!" Esquemas con turbinas de gas acopladas a turbinas de vapor (ciclo combinado).

!" Esquemas con motor reciprocante o alternativo.

2.1.2.1 Esquemas con turbinas de vapor.

Bajo este esquema se produce energía mecánica en una turbina, mediante la expansión de vapor a alta presión generado en una caldera convencional, la energía mecánica se transforma en eléctrica mediante el acoplamiento de un generador eléctrico. Este esquema tiene eficiencias globales entre el 85 y 90 %, alta seguridad de operación y por lo general la vida útil del equipo es larga (aproximadamente 25 años); sin embargo se requieren altos costos de inversión y el tiempo de arranque es lento. Las turbinas de vapor se dividen en tres tipos: a contrapresión, a extracción y a condensación. La característica principal en las turbinas a contrapresión es que el vapor a la salida de la turbina se envía directamente al proceso. En las turbinas de extracción/condensación una parte del vapor puede extraerse en uno o varios puntos (pasos de la turbina) antes de la salida al condensador obteniendo vapor a proceso a varias presiones, mientras que el resto del vapor se expande hasta la salida rumbo al condensador. Cuando la turbina es de extracción controlada, la presión de extracción se mantiene constante al variar el caudal de vapor extraído por medio de un regulador de presión que actúa sobre el vapor de entrada de la turbina. Si la extracción es no controlada, la presión del vapor extraído estará sometida a variaciones importantes en función del caudal de vapor a la salida de la turbina [2]. Los esquemas con turbina de vapor funcionan generalmente bajo el ciclo Rankine (usado en grandes plantas de potencia). A continuación se presenta un breve análisis de este ciclo.

2.1.2.1.1 Análisis de las turbinas de vapor (ciclo Rankine).

En la figura 2.1 se presenta un esquema con ciclo Rankine, el vapor sale de la caldera (estado 1’) generalmente sobrecalentado y entra a la turbina donde se expansiona isentrópicamente (estado 2), pasa al condensador donde el fluido de enfriamiento condensa el vapor hasta cambiarlo de fase a líquido saturado (estado 3), luego el líquido se bombea isentrópicamente hasta la caldera como líquido subenfriado (estado B), en la caldera el fluido comprimido se calienta hasta que se

vuelve saturado (estado 4), se lleva hasta la fase de vapor saturado (estado 1) y sale de la caldera como vapor sobrecalentado (estado 1’), y el ciclo comienza de nuevo. El proceso puede ejemplificarse con el diagrama Ts de la figura 2.2.

Figura 2.1. Esquema de los componentes de un ciclo térmico Rankine simple.

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.00

100

200

300

400

500

600

700

s [kJ/kg-K]

T [°

C]

6 M Pa

0.4 M Pa

0.2 0.4 0.6 0.8

1'

1

23

B

4

Figura 2.2. Diagrama Ts ciclo Rankine.

En plantas de cogeneración el ciclo se modifica para satisfacer las demandas de calor y electricidad. Pueden realizarse una variedad de esquemas según las necesidades. En este trabajo se presenta un esquema de una planta de vapor modificado con regeneración, como se muestra en la figura 2.3. El diagrama Ts corresponde a la figura 2.4. El ciclo puede analizarse evaluando cada elemento que compone a la planta de vapor, como se muestra en la figura 2.5, donde se observa el proceso de transformación de la energía contenida en el combustible hasta llegar a los productos finales: calor y electricidad [10].

1

2

3

4

Turbina

Condensador

Caldera

Bomba Torre de

enfriamiento

Generador eléctrico

Figura 2.3. Esquema de cogeneración ciclo Rankine con regeneración.

0 2 4 6 8 100

100

200

300

400

500

600

700

s [kJ/kg-K]

T [°

C]

6 M Pa

0.4 M Pa

0.01 M Pa 0.2 0.4 0.6 0.8

1

2

3

4

5

6,7,8

9

Figura 2.4. Diagrama Ts cogeneración ciclo Rankine con regeneración.

Figura 2.5. Proceso de transformación de la energía contenida en el combustible a través de los

distintos componentes que componen la planta de vapor [10].

Caldera ηc

Turbina ηt

Generador ηg

Qc Qs Pm Pg

Qcd

Turbina

Cd

Proceso

FWH Mezclador

1

2 3

4 5

6

7 8 9

Turbina

Proceso

FWH Mezclador

1

2 3

4 5

6

7 8 9

Bomba Bomba

Caldera

Torre de enfriamiento

Generador eléctrico

La energía global para cogenerar se expresa por la suma de la capacidad en calderas (2.1). También puede calcularse utilizando (2.2).

)( 911

..

ii

B

iis hhmQ −= ∑

=

(Ec.2.1)

Donde:

sQ.

: Potencia calorífica total disponible para cogenerar o calor transferido al vapor (kWt,BTU/s).

.

im : Flujo de vapor de la caldera (kg/s,lbm/s). B : Número de calderas.

ih1 : Entalpía a la salida del sobrecalentador de la caldera i (kJ/kg,BTU/lbm).

ih9 : Entalpía del agua de alimentación a la caldera i (kJ/kg,BTU/lbm).

ci

B

iicis fPCImQ ∑

=

=1

..η (Ec.2.2)

Donde: PCI : Poder calorífico inferior del combustible (kJ/kg,BTU/lbm).

ciη : Eficiencia de la 2ª. ley de la caldera i (<1).

cif : Factor de evaporación de la caldera i (kg/s/kg/s).El cif representa la razón del flujo másico de combustible y el flujo másico del vapor. El calor transferido por la caldera ‘Qc’ en el proceso de combustión siempre es mayor al calor que recibe el agua ‘Qs’, ya que la eficiencia de la caldera ‘ηc’ siempre es menor a 1 (2.3).

c

sc

QQ

η

..

= (Ec.2.3)

La potencia mecánica real entregada por la turbina ‘Pm’ está dada por (2.4); la parte que se va al proceso ‘Qp’ (2.5) y al calentador de agua de alimentación ‘Qfwh’ (2.6) es directamente proporcional al flujo másico de vapor en la extracción ‘ pm

. ’; de la misma manera la parte a condensar ‘Qcd’ (2.7) depende del flujo másico restante que se expande por completo en la turbina ‘ )(

..

pv mm − ’.

∑=

−−+−=

T

i

pvvtim hhmmhhmP1

32

..

21

.))(()(η (Ec.2.4)

∑=

−=P

i

pp hhmQ1

62

..)(% (Ec.2.5)

∑=

−=FWH

i

pfwh hhmQ1

72

..)(% (Ec.2.6)

∑=

−−=C

i

pvcd hhmmQ1

43

...))(( (Ec.2.7)

Donde: T : Número de turbinas. P : Número de procesos. FWH : Número de calentadores de agua de alimentación. C : Número de condensadores. h1 : Entalpía a la entrada de la turbina i (kJ/kg,BTU/lbm). h2 : Entalpía en la extracción de la turbina i (kJ/kg,BTU/lbm). h3 : Entalpía en la entrada del condensador (kJ/kg,BTU/lbm). h4 : Entalpía a la salida del condensador (kJ/kg,BTU/lbm). h6 : Entalpía en las condiciones de salida del proceso (kJ/kg,BTU/lbm). h7 : Entalpía en las condiciones de salida del ‘FWH’ (kJ/kg,BTU/lbm). ηti : Eficiencia de 2ª. ley de la turbina i (<1). El generador eléctrico transforma la potencia mecánica ‘Pm’ en potencia eléctrica ‘Pg’ al multiplicar ésta por la eficiencia del mismo ‘ηg’ (2.8).

gmg PP η= (Ec.2.8) La potencia en bombas ‘Ppump’ queda expresado idealmente por (2.9) y realmente por (2.10).

))(()( 45

..

89

.hhmmhhmP pvvpump −−+−= (Ec.2.9)

pump

pv

pump

v

pump

hhmmhhmP

η))((

η)( 45

..

89

.−−

+−

= (Ec.2.10)

Donde: h5 : Entalpía del agua que va a alimentar el ‘FWH’ (kJ/kg,BTU/lbm). h8 : Entalpía del agua a la salida del mezclador (kJ/kg,BTU/lbm). h9 : Entalpía del agua a la entrada de la caldera (kJ/kg,BTU/lbm). ηpump : Eficiencia de la 2ª. ley para las bombas del sistema (<1). La potencia neta entregada por la turbina ‘Pneta’ está dada por (2.11), (2.12).

pumpmneta PPP −= (Ec.2.11)

−−+−−

−−+−= ∑

= pump

pv

pump

vT

i

pvvtineta

hhmmhhmhhmmhhmP

η))((

η)())(()( 45

..

89

.

132

..

21

.η (Ec.2.12)

La eficiencia de cogeneración ciclo Rankine ‘ηcog’ es la razón de los productos (calor ‘Qp’ y electricidad ‘Pg’) y lo que se transfiere en la caldera ‘Qc’ (2.13).

c

pgcog

Q

QP.

.

η+

= (Ec.2.13)

En el apéndice A1 puede verse un ejemplo del ciclo termodinámico representado en la figura 2.3.

2.1.2.2 Esquemas con turbinas de gas.

Una turbina de gas se compone de: un compresor, el cual comprime el fluido de trabajo (usualmente aire) elevándolo a una presión entre cuatro y treinta veces la presión atmosférica, el aire comprimido pasa a una cámara de combustión, donde se inyecta combustible y se quema a presión constante, llegando a temperaturas de 800 a 1200 oC. Los productos de combustión (alta presión y temperatura) salen de la cámara de combustión y entran a una turbina, donde son expandidos, produciendo potencia mecánica, que se usa para mover al compresor y generalmente a un generador eléctrico, que transforma la potencia mecánica en potencia eléctrica. Los gases a la salida de la turbina se encuentran a alta temperatura (420-530 oC). El compresor de una turbina de gas consume una gran parte de la potencia que se produce en la turbina (aproximadamente 40 %). Las turbinas de gas generan potencia con una eficiencia del orden del 30 %, pero ésta se incrementa de manera considerable si se agrega un recuperador de calor de los gases de escape de la turbina. Los gases de escape de la turbina son relativamente limpios, debido a los combustibles limpios y ligeros usados en las turbinas de gas (gas natural o destilados ligeros del petróleo). Estos gases de escape pueden usarse directamente en muchos procesos de secado o para producir vapor en una caldera de recuperación de calor ‘HRSG’. La potencia en las turbinas de gas no puede ser modulada como en una turbina de vapor sin disminuir su eficiencia; por tanto, deben operar a carga nominal [2]. Los esquemas con turbina de gas funcionan generalmente bajo el ciclo Brayton. A continuación se presenta un breve análisis de este ciclo.

2.1.2.2.1 Análisis de las turbinas de gas (ciclo Brayton).

En el ciclo Brayton ideal los procesos de compresión/expansión se suponen isentrópicos, y los de suministro/extracción de calor, a presión constante. Un esquema con turbina de gas usado en cogeneración se presenta en la figura 2.6. En este esquema los gases de escape de la turbina pasan a través de un recuperador de calor ‘HRSG’, y el vapor generado en esta sección se usa directamente en el proceso.

Figura 2.6. Esquema de cogeneración ciclo Brayton con ‘HRSG’. El análisis del ciclo Brayton puede relizarse considerando que el aire de entrada al compresor de la turbina se comporta como gas ideal (gas perfecto); es decir, que cumple con la ecuación de estado característica de los gases ideales (PV γ = cte.), donde ‘γ’ es la relación de calores específicos: Cp/Cv. Además, la relación de presiones y de temperaturas se rigen teóricamente por (2.14) y (2.15), donde los subíndices de estos representan a los estados mostrados en la figura 2.6 y 2.7. Por tanto podemos escribir (2.16).

4

3

1

2

P

P

P

P= (Ec.2.14)

4

3

1

2

T

T

T

T= (Ec.2.15)

( ) ( )1γγ

4

3

4

31γγ

1

2

1

2−−

==

=

T

T

P

P

T

T

P

P (Ec.2.16)

En la figura 2.7, el plano mostrado con líneas continuas (1-2-3-4-1) representa el ciclo ideal. La entalpía específica ‘h’ de cada estado se encuentra al multiplicar la temperatura correspondiente ‘T#’ por el calor específico ‘Cp’ [1]. Si conocemos la eficiencia de la turbina ‘ηt’, del compresor ‘ηc’, y si podemos conocer la eficiencia de la cámara de combustión ‘ηcc’ tendremos el comportamiento real del ciclo representado en el plano formado por las líneas punteadas (1-2r-3r-4r-1) en la figura 2.7.

1

2 3

4 5

6

7

Compresor

C C

Turbina Generador eléctrico

HRSG

4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

s [kJ/kg-K]

T [K

]

101.3 kPa

1216 kPa

Air

1

2

3

4

2r

3r

4r

Figura 2.7. Diagrama Ts para el ciclo Brayton, _____ ideal, ----- real.

La eficiencia de la turbina se reduce con el aumento de temperatura del aire a la entrada del compresor; por cada 10 oC de incremento la turbina pierde 9 % de su potencia [3]. Esto se puede evitar si se instala un sistema de enfriamiento del aire, por ejemplo, un sistema por absorción que utilice el vapor generado en el recuperador de calor. Las entalpías específicas en los estados reales (2r y 4r) se expresan en (2.17) y (2.18).

112

2 η)(

hhh

hc

r +−= (Ec.2.17)

3344 ))(η( hhhh tr +−= (Ec.2.18)

La potencia suministrado en la cámara de combustión ‘Pcc’ se expresa en (2.19), la potencia requerida para mover el compresor ‘Pc’ con (2.20) y la potencia mecánica en la turbina ‘Pt’ con (2.21).

)( 23

.

rpcc TTCmP −= , ( )rcc hhmP 23

.−= (Ec.2.19)

)( 12

.TTCmP rpc −= , ( )12

.hhmP rc −= (Ec.2.20)

)( 43

.

rrpt TTCmP −= , ( )rrt hhmP 43

.−= (Ec.2.21)

La potencia neta ‘Pneta’ es la diferencia de la potencia mecánica realizada en la turbina y la consumida en el compresor (2.22).

[ ])()( 1243

.hhhhmP rrrneta −−−= (Ec.2.22)

La inyección del combustible en la cámara de combustión debe hacerse con una presión alta (superior a la del aire suministrado al combustor), esto se hace usualmente con un compresor de gas, que requiere potencia del orden de 5 % Pt aproximadamente [2]. La turbina de gas es una máquina volumétrica, su funcionamiento es directamente proporcional a los cambios de flujo másico de aire que entra a ésta [3]. La relación de presión ambiente del sitio de instalación y presión a nivel del mar es un factor de corrección por elevación ‘δ’ (2.23).

marnivel

ambiente

P

P

−

=δ (Ec.2.23)

Además debe considerarse que la eficiencia del ciclo Brayton de aire es función de la relación isentrópica de presiones [3]. El flujo de vapor que va al proceso se genera en el ‘HRSG’ como se describe más adelante. Con este valor podemos calcular la eficiencia del sistema de cogeneración de la misma manera a la descrita en (2.13).

2.1.2.3 Esquemas con turbinas de vapor acopladas a turbinas de gas (ciclo combinado).

Cuando la demanda térmica del proceso industrial es baja, la descarga de una turbina de gas puede aprovecharse generando vapor a alta presión y temperatura en una caldera de recuperación de calor, donde este vapor puede alimentar a una turbina de vapor que suministre electricidad adicional. La operación de una planta de ciclo combinado es función de los ciclos Brayton y Rankine. La turbina de gas opera bajo el ciclo Brayton, y la turbina de vapor lo hace a su vez con el ciclo Rankine. En la figura 2.8 se muestra un sistema de cogeneración bajo el esquema de ciclo combinado. El ciclo combinado es muy utilizado en plantas de potencia, gracias a su alta eficiencia eléctrica. El análisis del ciclo puede realizarse con los conceptos explicados en la parte de ciclos con turbinas de gas y con turbinas de vapor, así como la parte de ‘HRSG’.

Figura 2.8. Sistema de cogeneración con turbina de vapor y turbina de gas.

2.1.2.4 Esquemas con motor reciprocante o alternativo.

Este tipo de arreglos son muy usados gracias a su disponibilidad de tamaños (10 – 60,000 HP), a su eficiencia eléctrica (34 – 40 %) y a la variedad de combustibles que pueden usar (gas metano, gas LP, diesel, gasolina, mezclas de combustibles gaseosos y líquidos). Pueden clasificarse de acuerdo a: ciclo termodinámico (Diesel u Otto), velocidad del motor (alta. 900 – 1800 rpm, media. 600 – 1200 rpm, baja. 120 – 180 rpm), tipo de aspiración (natural, supercargado y turbocargado) y número de tiempos de ciclo (dos y cuatro tiempos) [2] y [3]. En motores que trabajan bajo el ciclo Otto, la mezcla aire/combustible se introduce al cilindro, se comprime por el pistón y se hace explotar mediante la chispa eléctrica de una bujía. Los productos de combustión incrementan la presión y entregan trabajo al provocar el retroceso del pistón mediante la expansión de los gases. En el ciclo Otto de cuatro tiempos se asume que no hay caída de presión. En motores que trabajan bajo el ciclo Diesel, el aire se comprime hasta que su temperatura se aproxima a la temperatura de inflamación del combustible, entonces se inyecta este último en el interior del cilindro y se produce la explosión.

1

2

3

4

5

6

7

D/A 8

9

Compresor

C C

Turbina Generador eléctrico

HRSG

Proceso

Generador eléctrico Turbina de

vapor

2.1.2.4.1 Análisis de motores de ignición por chispa (ciclo Otto).

El ciclo teórico se describe en cuatro procesos internamente reversibles, una carrera de alimentación y una de expulsión compresión. En la figura 2.9 se muestran los diagramas PV y Ts del ciclo ideal. El émbolo se encuentra en el punto muerto inferior ‘PMI’ (punto 1). A medida que el pistón se mueve hacia el punto muerto superior ‘PMS (punto 2) se lleva a cabo el proceso de compresión isentrópico. Se añade calor al aire a volumen constante, alcanzando valores altos de temperatura y presión (punto 2-3). Luego se desplaza el pistón al ‘PMI’ (punto 4) en una expansión isentrópica y se expulsa el calor a volumen constante hasta llegar al ‘PMI’ (punto 1).

Figura 2.9. Diagramas PV y Ts para el ciclo Otto de aire estándar.

Usando aire estándar, se tiene que el calor suministrado al ciclo ‘Qs’ y el rechazado por el mismo ‘Qr’ se expresan con (2.24) y (2.25) respectivamente.

)( 23 TTCQ vs −= (Ec.2.24) )( 14 TTCQ vr −= (Ec.2.25)

En donde ‘T#’ es la temperatura en el estado mostrado en los diagramas PV y Ts descritos en la figura 2.9 y ‘Cv’ es el calor específico a volumen constante. El trabajo neto se obtiene con (2.26) y la eficiencia del ciclo con (2.27).

)()( 1423 TTCTTCW vvneto −−−= (Ec.2.26)

)1/()1/()(11η

23

14

2

1

23

14

−−−=

−−−==

TT

TT

T

T

TT

TT

Q

W

s

netociclo (Ec.2.27)

Ya que V2=V3, V1=V4, la eficiencia del ciclo se puede expresar con (2.28)

1γ

1

2

2

1 )(11η −−=−=V

V

T

Tciclo (Ec.2.28)

Donde γ es: Cp/Cv.

2.1.2.4.2 Análisis de motores de ignición por compresión (ciclo Diesel).

El ciclo teórico de cuatro tiempos se describe en los siguientes procesos y se representa en los diagramas PV y Ts de la figura 2.10.

!" 0-1 Aspiración de aire (compresión sin combustible). !" 1-2 Compresión isentrópica. !" 2-3 Combustión a presión constante. !" 3-4 Expansión isentrópica. !" 4-1 Rechazo de calor. !" 1-0 Descarga.

Figura 2.10. Diagramas PV y Ts del Ciclo Diesel ideal.

El calor suministrado y el rechazado se obtienen con las mismas fórmulas descritas para el ciclo Otto, con la diferencia de que en la fórmula de calor suministrado en lugar de Cv usamos Cp. La eficiencia del ciclo se obtiene con (2.29).

])1γ(

1[11ηγ

1γ −−−= −

c

cciclo r

r

r (Ec.2.29)

Donde: rc : Grado de admisión: V3/V2. r : Relación de compresión.

2.1.3 Calderas de recuperación de calor ‘HRSG’.

Las calderas de recuperación de calor son usadas para varias aplicaciones; en sistemas de cogeneración se acoplan a turbinas de gas y/o motores reciprocantes. Estas calderas pueden ser de convección forzada o natural. En las primeras, los tubos son horizontales y las calderas verticales; la circulación de la mezcla agua-vapor a través de los tubos del evaporador y el domo se efectúa por bomas. En las de convección natural, los tubos de la caldera son verticales y la diferencia de

temperaturas entre el agua y la mezcla agua-vapor es la que produce la circulación en la caldera [3]. Cuando la temperatura es baja, gran parte de la transferencia de calor es por convección. La diferencia de temperatura entre los gases de escape y el agua o vapor es pequeña, como para obtener un buen aprovechamiento de calor, por tanto debe incrementarse el área de transferencia en el recuperador, lo que ocasiona una mayor caída de presión, perdiendo potencia en la turbina; sin embargo, se pueden poner tubos aletados de menor diámetro, ayudando con esto al problema[3]. Un ‘HRSG’ (Heat Recovery Steam Generator) se compone de tres secciones: sobrecalentador, evaporador y economizador como se muestra en la figura 2.11. Los gases de escape de la turbina entran al sobrecalentador y salen por el economizador. El agua de alimentación entra al ‘HRSG’ por el economizador, y abandona éste en condiciones de saturación. Entra al evaporador y se evapora debido a la ganancia de calor de los gases, saliendo en estado de vapor saturado. El vapor saturado entra al sobrecalentador y lo abandona en condiciones de vapor sobrecalentado. Todo esto se debe a que el flujo másico agua-vapor gana calor del flujo másico de los gases, mientras que éstos ceden el calor al agua-vapor. Las calderas de recuperación se clasifican en tres categorías [3]:

!" Calderas de recuperación de calor sin postcombustión. !" Calderas de recuperación de calor con postcombustión. !" Calderas de recuperación de calor con máxima postcombustión.

2.1.3.1 ‘HRSG’ sin postcombustión.

Las ‘HRSG’ sin postcombustión, usan solo la energía contenida en los gases de escape de la turbina, y por tanto, la generación de vapor es función del flujo másico de los gases de escape de la turbina y de su temperatura [4]. Estas calderas se usan cuando los requerimientos de vapor en la planta son tales que se pueden suministrar con la energía de los gases de escape de la turbina. La temperatura de los gases dependen del tipo de turbina utilizada, su rango está entre 430 – 570 oC [3].

2.1.3.2 ‘HRSG’ con postcombustión.

Las ‘HRSG’ con postcombustión (quemador auxiliar o secundario) inyectan y queman combustible aprovechando el aire en exceso (14 – 16 % en volumen de oxígeno) y el calor de los gases de escape de la turbina, mejorando el proceso de combustión y generando la misma cantidad de vapor que generaría una caldera convencional, con menor admisión de combustible [3] y [4]. La temperatura máxima de los gases en estas calderas es de 930 oC, sin requerir enfriamiento en las paredes de las mismas [3].

Figura 2.11. ‘HRSG’ convección forzada.

2.1.3.3 ‘HRSG’ con máxima postcombustión.

Las ‘HRSG’ con máxima postcombustión son similares en diseño a las calderas convencionales. Si tienen 10 % de aire en exceso pueden generar de 6 a 7 veces el vapor que se genera en un recuperador de calor sin postcombustión, además el combustible requerido para ello puede ser de 7 a 8 % menor al requerido en una caldera convencional [3].

2.1.3.4 Aspectos de diseño.

Un diseño óptimo de caldera de recuperación debe cumplir con ciertas condiciones [3]:

!" Se debe obtener la mayor eficiencia en el aprovechamiento del calor de los gases de combustión.

!" Las pérdidas de presión en el banco de tubos deberá ser mínima para no afectar la potencia de salida de la turbina de gas.

!" Se debe evitar disminuir la temperatura de los gases a la salida del recuperador, por debajo de la temperatura de rocío.

2.1.3.4.1 Temperatura mínima de corrosión.

El diseño de una caldera de recuperación debe tomar en cuenta que la temperatura mínima de corrosión no se alcance; es decir, las superficies en contacto con los gases

deben estar a una temperatura superior al punto de rocío del ácido sulfúrico (entre 120 y 150 oC) el cual depende de: la cantidad de azufre contenida en el combustible, el exceso de aire en la combustión, la razón de conversión de “x” cantidad de SO2 en SO3 y la cantidad de agua contenida en los gases de escape. Con combustibles libres de azufre, la temperatura del agua de alimentación no debe estar por debajo del punto de rocío del agua.

2.1.3.4.2 El punto ‘pinch’.

El diseño óptimo de una ‘HRSG’ debe obtener la mejor razón costo/beneficio. El costo depende en gran parte de la superficie del intercambiador (40 – 50 % del costo total). El indicador para el diseño es el punto ‘pinch’ o punto de pliegue del evaporador (diferencia de temperaturas entre los gases de combustión a la salida del evaporador y la temperatura de saturación correspondiente a la presión del vapor generado en esa sección). Para un buen diseño el punto ‘pinch’ debe estar entre 8 y 10 oC.

2.1.3.4.3 Caídas de presión.

Una superficie del intercambiador muy grande tiene grandes caídas de presión en los ductos del gas y como resultado se reduce la potencia de salida de la turbina de gas. Una caída de presión de 10 mbar reduce en 0.8 % la eficiencia y la potencia de salida de una turbina de gas.

2.1.3.5 Flujo másico de vapor.

El flujo de vapor se obtiene al realizar un balance de energía entre el calor absorbido por el vapor y el cedido por los gases (2.30).

BD

sevpgasesvapor

hh

TTCmm

−−

=)( 4

..

(Ec.2.30)

Donde: T4 : Temperatura de los gases a la entrada del recuperador de calor. Tsev : Temperatura de los gases a la salida del evaporador (lado gases). hD : Entalpía del vapor a la salida del recuperador. hB : Entalpía del agua a la entrada del evaporador (lado agua-vapor). La temperatura del punto de pliegue ‘Tp’, es en realidad una delta de temperaturas expresada por (2.31).

Bsevp TTT −= (Ec.2.31) Donde: TB : Temperatura del agua de entrada al evaporador (lado agua-vapor). De (2.31) puede despejarse ‘Tsev’ para encontrar el flujo másico de vapor (2.30). El porcentaje de energía recuperada en cada sección de la caldera se expresa de (2.33) a (2.35), donde (2.32) representa el calor recuperado total ‘Qrec’. El diagrama de temperatura vs. % energía recuperada para un recuperador sin postcombustión se muestra en la figura 2.12.

ADrec hhQ −= (Ec.2.32)

100% xhh

hhER

AD

ABorEconomizad −

−= (Ec.2.33)

100% xhh

hhER

AD

BCEvaporador −

−= (Ec.2.34)

100% xhh

hhER

AD

CDtadorSobrecalen −

−= (Ec.2.35)

Donde: hA : Entalpía del agua de entrada al economizador. hC : Entalpía a la salida del evaporador (lado agua-vapor).

% Energía recuperada

0

200

400

600

800

1000

1200

0 20 40 60 80 100 120% Energía recuperada

Tem

per

atu

ra

Figura 2.12. Diagrama típico que muestra el calor que gana el agua y el que ceden los gases.

2.2 Optimización.

2.2.1 Conceptos.

Generalmente la optimización de un sistema está enfocada a su equipo (geometría, dimensiones, materiales y componentes). El equipo se refiere a las partes del sistema, componentes que no pueden ser modificados fácilmente y puntos que determinan las especificaciones del sistema. El desempeño del sistema depende de

D

C B

A

gasesm.

condiciones de operación, como temperatura, presión, flujo másico y calor inyectado al mismo. Estas condiciones de forma general pueden ser variadas muy fácilmente sobre los límites del equipo. Por tal razón, la salida de un sistema, así como los costos en los que se incurre, también deben ser optimizados con respecto a las condiciones de operación. El óptimo debe estar expresado en términos de las condiciones para obtener la más alta eficiencia o el valor de salida más grande [6]. El proceso de optimización es una continuación del proceso de diseño, el cual comienza con la formulación del problema de diseño e involucra diseño conceptual, modelación, simulación y evaluación.

2.2.1.1 Función objetivo.

Cualquier proceso de optimización requiere especificación de una cantidad o función la cual será minimizada o maximizada. Ésta es conocida como función objetivo y representa el aspecto o característica que es de interés particular en una circunstancia dada. Algunas funciones objetivo optimizadas frecuentemente en sistemas térmicos son: 1. Peso, 2. Volumen, tamaño, 3. Consumo de energía, 4. Transferencia de calor, 5. Eficiencia, 6. Utilidad total del sistema, 7. Costos incurridos en el sistema, 8. Efectos ambientales, 9. Durabilidad y garantía de funcionamiento, 10. Seguridad, 11. Desempeño y salida del sistema. Denotemos la función objetivo que será optimizada por U, en donde U es una función de n variables independientes en el problema x1, x2, x3,..., xn. Entonces la función objetivo y el proceso de optimización deben expresarse con (2.36):

optn U) ,..., x, x, x U(xU →= 321 (Ec.2.36)

Donde Uopt denota el valor óptimo de U. Las x’s representan las variables de diseño así como las condiciones de operación, las cuales cambiarán para obtener un diseño funcional u óptimo. El proceso de optimización involucra encontrar los valores de las diferentes variables de diseño para las cuales la función objetivo es maximizada o minimizada, sin violar las restricciones.

2.2.1.2 Restricciones.

Las restricciones en un sistema determinado surgen debido a las limitaciones en los rangos de las variables físicas y a los principios básicos de conservación que se deben satisfacer. Las restricciones sobre las variables deben surgir debido al espacio, equipo y materiales que estén siendo usados. Las restricciones limitan el dominio en donde recaen los diseños funcionales u óptimos. Muchas de ellas surgen debido a las leyes de la conservación, particularmente a aquellas relacionadas a la masa, momento y energía en los sistemas térmicos. Hay dos tipos de restricciones, restricciones de igualdad y de desigualdad. Y como su nombre lo dice, las restricciones de igualdad son ecuaciones de la forma:

0) x,..., x, x,(xG0) x,..., x, x,(xG

n3212

n3211

==

.

.

. 0) x,..., x, x,(xG n321 =m

De forma similar, las restricciones de desigualdad indican el valor máximo o mínimo de una función y deben ser expresadas como:

2n3212

1n3211

C) x,..., x, x,(xHC) x,..., x, x,(xH

≤≤

.

.

.

ll C) x,..., x, x,(xH n321 ≤ Por lo tanto, cualquiera de los dos límites superior o inferior deben estar dados por una restricción de desigualdad. Aquí, las C’s son constantes, o funciones conocidas. Las restricciones de igualdad m y desigualdad l están dadas para un problema general de optimización en términos de las funciones G y H, las cuales dependen de las n variables de diseño x1, x2, x3,..., xn. Las restricciones de igualdad comúnmente son obtenidas de las leyes de la conservación. Las ecuaciones de conservación deben ser empleadas en sus formas diferenciales e integrales, dependiendo de las necesidades del problema. Entonces esas ecuaciones restringen los valores que sean asumidos por las variables de diseño y las condiciones de operación.

2.2.1.3 Condiciones de operación vs. diseño.

Las condiciones de operación varían de una aplicación a otra y de un sistema a otro. El rango de variación de esas condiciones generalmente se fija por el equipo. Las condiciones de operación en los sistemas térmicos generalmente se especifican en términos de [6]: 1. Calor inyectado al sistema, 2. Temperatura, 3. Presión, 4. Flujo másico o volumétrico, 5. Velocidad, 6. Composición química. Todas estas variables que caracterizan la operación de un sistema térmico determinado se deben establecer con valores diferentes, sobre los límites determinados en el diseño del sistema, y así afectar de manera positiva al valor de descarga del sistema.

2.2.1.4 Formulación matemática.

La formulación matemática básica del problema de optimización en términos de la función objetivo y las restricciones se resume en los siguientes pasos [5] y [6]: 1. Determinación de las variables de diseño, xi donde i = 1, 2, 3, ..., n. 2. Selección y definición del modelo (función objetivo), U. 3. Determinación de las restricciones de igualdad, Gi = 0, donde i = 1, 2, 3, ...,

m. 4. Determinación de las restricciones de desigualdad, Hi ≤ o ≥ Ci, donde i = 1,

2, 3,..,l. 5. Conversión de las restricciones de desigualdad a restricciones de igualdad si

así se desea (agregando variable de holgura).

La selección de las variables de diseño xi y la función objetivo U es de extrema importancia para el éxito del proceso de optimización, ya que éstas definen básicamente el problema. La complejidad del mismo está determinada principalmente por el número de variables independientes y, por tanto, es importante enfocarnos en las variables dominantes en lugar de considerar todo lo que deba afectar a la solución. De manera similar, la selección de la función objetivo demanda gran cuidado. Debe representar las partes más importantes del sistema y a la aplicación para la cual es demandada. Por lo tanto, la formulación matemática general para el sistema de optimización se debe establecer como (2.37).

optn U) ,..., x, x, x U(xU →= 321

con 0) x,..., x, x,(xG n3211 = para i = 1, 2, 3, ..., m y ll o C) x,..., x, x,(xH n321 ≥≤ para i = 1, 2, 3, ..., l (Ec.2.37)

Si el número de restricciones de igualdad m es igual al número de variables independientes n, las ecuaciones de restricción serán resueltas de manera simple para obtener las variables. Si m > n, el problema está sobre restringido, y no es posible obtener una solución única ya que para encontrar una solución se deben descartar algunas restricciones. Si m < n, se obtiene un problema de optimización. La perspectiva industrial del problema de optimización se resume en la figura 2.13.

Figura 2.13. Diagrama simplificado de optimización y control en la industria [5].

Con los modelos obtenemos ecuaciones de simulación, que se usarán en las técnicas de optimización. Un procedimiento general es el de desarrollar un modelo preciso a partir de las leyes fundamentales de la termodinámica, fenómenos de transporte y de cinética, y leyes físicas en general. Lo anterior conduce a un modelo que representa exclusivamente los cambios físicos y químicos que ocurren bajo una amplia variedad de condiciones. Los modelos tienden a ser de forma complicada; por lo que se prueban sobre el intervalo de operación de las variables del proceso y se desarrollan ecuaciones de regresión matemáticamente más simples, que se usarán después en conjunto con las técnicas para la optimización de la planta. Es posible encontrar una descripción satisfactoria del proceso considerando sólo aquellas variables que afectan el comportamiento económico del proceso o de la planta.

Modelo del proceso

Ecuaciones de simulación

Métodos de optimización

Modelo económico

Control con computadora

Control de procesos (estado estacionario en

línea)

Optimización de planta

2.2.2 Métodos clásicos.

La figura 2.14 muestra que la teoría de optimización tiene dos divisiones muy claras. Una es la programación matemática, cuyo objetivo es ubicar el mejor punto x(x1, ..., xn) que optimice un modelo económico. La otra rama muestra los métodos variacionales, cuyo objetivo es ubicar la mejor función y(x) que optimice el modelo económico del proceso.

Optimización

Programación matemática Métodos variacionales Objetivo: Encontrar el mejor punto que optimice el modelo económico.

Objetivo: Encontrar la mejor función que optimice el modelo.

Formulación matemática Formulación matemática Optimizar y(x), x = (x1, x2, ..., xn) Sujeta a: fj(x) ≤ 0 j = 1, 2,..., m

Optimizar J[y(x), y’(x)]dx Sujeta a: restricciones algebraicas, integrales o diferenciales.

Métodos Métodos Analíticos Cálculo de variaciones Programación geométrica Programación dinámica (continua) Programación lineal Programación dinámica (discreta) Programación no lineal Técnicas de búsqueda Principio del máximo Programación geométrica (discreta) Programación cuadrática Programación separable Programación convexa Programación entera Programación combinacional Programación heurística

Principio del máximo (continuo)

Figura 2.14. Algunos métodos de optimización [5].

Los métodos de programación matemática se aplican a problemas independientes del tiempo o en estado estático, mientras que los métodos variacionales son dependientes del tiempo. Debe tomarse en cuenta la estructura y complejidad de las ecuaciones, ya que la mayor parte de los procedimientos de programación matemática pueden hacer uso de la forma especial de los modelos económicos y del proceso (ecuaciones de restricción). Por ejemplo: la programación lineal, en donde todas las ecuaciones son lineales, y la programación geométrica, en donde todas las ecuaciones son polinomios.

Es muy importante tener la capacidad de reconocer las posibilidades de diversas técnicas de optimización en las distintas formulaciones del modelo económico y del proceso. Si se puede obtener una representación satisfactoria del comportamiento del sistema usando sólo ecuaciones lineales, se utilizará la programación lineal, garantizándose con esto que se encontrará un óptimo global. Sin embargo, si se recurre a ecuaciones no lineales para representar el sistema, será necesario recurrir a las técnicas de búsqueda para ubicar el óptimo. Desafortunadamente las técnicas de búsqueda cuando encuentran un punto sólo indican que es mejor que el punto de partida inicial, sin garantizar que éste sea el máximo o mínimo global. Existen varios métodos que pueden ser empleados para resolver el problema matemático de optimización. Cada uno tiene sus limitantes y ventajas sobre los otros. Ahora consideraremos los métodos de optimización más comunes y discutiremos la naturaleza y el tipo de ecuaciones que los rigen.

2.2.2.1 Métodos de cálculo.

El uso del cálculo para determinar el óptimo se basa en derivaciones de la función objetivo y de sus restricciones. Las derivaciones se usan para indicar la locación de un mínimo o un máximo sabiendo que en un punto local óptimo, la pendiente es cero. Las ecuaciones y expresiones que formulan el problema deben ser continuas y de buen comportamiento. Un método importante que emplea cálculo para optimización es el método de los multiplicadores de Lagrange (1.1). La función objetivo y las restricciones se combinan a través del uso de constantes (multiplicadores de Lagrange), para dar paso a un sistema de ecuaciones algebraicas. Estas ecuaciones son resueltas analítica o numéricamente. El rango de aplicación de los métodos de cálculo para la optimización de sistemas térmicos es algo limitada debido a las complejidades que comúnmente surgen en dichos sistemas. Los métodos de cálculo son convenientes cuando un sistema tiene expresiones continuas y fácilmente diferenciables. Estos indican la naturaleza de las funciones involucradas, su comportamiento en el dominio, y las características básicas del óptimo. Además, el método de los multiplicadores de Lagrange provee información de los multiplicadores sobre la sensibilidad del óptimo con respecto a los cambios en las restricciones.

2.2.2.2 Métodos de búsqueda.

Estos métodos involucran la selección de la mejor solución de un número de soluciones factibles. Si las variables de diseño pueden ser tomadas en ciertos valores fijos, diversas combinaciones de las mismas se pueden considerar para obtener

diseños aceptables. Si estas variables varían continuamente sobre sus rangos permitidos, se genera un número finito de diseños aceptables. Los métodos de búsqueda pueden ser fácilmente usados en circunstancias donde los métodos de cálculo demandan funciones continuas.

2.2.2.3 Programación lineal y dinámica.

La programación lineal puede ser aplicada solo si la función objetivo y las restricciones son lineales. Los sistemas térmicos se caracterizan por ecuaciones no lineales, por tal causa, el método de programación lineal no es muy importante en la optimización de éstos. La programación dinámica es usada para encontrar la mejor ruta a través de series de distintos escenarios o pasos para alcanzar una tarea determinada. Por tanto, el resultado obtenido de la programación dinámica no es un punto en donde la función objetivo es óptima, sino una curva o ruta, sobre la cual la función es optimizada.

2.2.2.4 Programación geométrica y otros.

La programación geométrica es un método de optimización que puede ser aplicado si las restricciones y la función objetivo se representan como sumas de polinomios. Las variables independientes en estos polinomios pueden tener exponentes positivos o negativos, enteros o no enteros como se muestra en (2.38).

dcxbxaxU +++= − 5.02

2.12

21 (Ec.2.38)

Donde a, b, c y d son constantes, que también pueden ser positivas o negativas, y x1 y x2 son las variables independientes. Algunos métodos de optimización han sido desarrollados en años recientes debido a la gran necesidad de optimizar sistemas y procesos. Muchos de ellos tienen un uso específico y no son fácilmente aplicables a los sistemas térmicos. Entre ellos se encuentran los métodos de optimización de forma, trayectoria y estructura, los cuales involucran técnicas especializadas para buscar el óptimo deseado. Frecuentemente, procedimientos de solución de la técnica de elemento finito están ligados con la estrategia relevante de optimización.

2.2.2.5 Procedimiento para enfrentar problemas de optimización.

Un método para enfrentar los problemas de optimización se muestra en la figura 2.15.

Comienzo

2.2.3 Algoritmos aplicados a sistemas de cogeneración.

El problema de despacho económico (ED) en una planta de potencia eléctrica convencional trata la pregunta de cómo distribuir una carga de potencia sobre las unidades que se encuentran en servicio de tal forma que el costo total del combustible sea el mínimo. La solución clásica del problema se logra asumiendo que cada unidad térmica tiene una función de costo cuadrática convexa o lineal. La

Programación matemática

Hay restricciones en el problema

Es posible usar multiplicadores de

Lagrange

Funciones objetivo y restricciones

lineales

Funciones objetivo y restricciones

polinomios

Es posible formular el

problema en etapas

Resuelva usando técnicas de búsqueda

Función o punto óptimo

Métodos variacionales

Forme función de Lagrange

Derive y resuelva ecuaciones

diferenciales

Resuelva usando programación lineal

Resuelva usando programación

geométrica

Resuelva usando programación

dinámica

¿La respuesta es satisfactoria?

Pare

Regresa a la partida

función

no

sí

sí

sí

sí

sí

sí

no

no

no

no

no

punto

Figura 2.15. Método de solución

estrategia de solución consiste en encontrar un valor particular del costo marginal ‘λ’ de tal forma que la producción de potencia sea igual a la demanda total. El problema se vuelve más complejo si las unidades térmicas producen más de una energía útil; como es el caso de los sistemas de cogeneración, en donde se producen dos tipos de energías aprovechables (calor y electricidad). En tal caso, se deben satisfacer ambas demandas de energía. Se han sugerido e implementado un buen número de técnicas de optimización para resolver el problema de despacho económico de sistemas de cogeneración (CED) así como el problema de compromiso de unidades (UC). Estas técnicas incluyen a la programación lineal, cuadrática, dinámica, relajación lagrangiana, entre otras técnicas mencionadas en la revisión de literatura. Los métodos basados en la relajación lagrangiana han sido los dominantes en los últimos años gracias a la estructura separable del problema. La metodología de esta técnica así como algunas derivaciones de ella encontradas en la literatura, se describen a continuación.

2.2.3.1 Relajación Lagrangiana.

Los algoritmos basados en relajación tienen un buen desempeño para muchos tipos de problemas de programación matemática que tienen la propiedad de incluir restricciones ‘simples’ y ‘complicadas’. Las restricciones complicadas; son llamadas así porque cuando son removidas o modificadas, el problema se hace más simple. Una de las técnicas más importantes de relajación es la relajación Lagrangiana y se describe a continuación [36]. Consideremos el siguiente problema de programación matemática (2.39).

)]([min xfx

Sujeto a: ej mjxg ,...,1,0)( ==

ij mjxh ,...,1,0)( =≤ 'nn ZRXx ×⊂∈ (Ec.2.39)

Donde X define el conjunto de restricciones simples y x* es la solución óptima. Las restricciones complicadas se representan con

ej mjxg ,...,1,0)( == , y

ij mjxh ,...,1,0)( =≤ . Este problema es llamado el problema primo. Definiendo el conjunto de multiplicadores de Lagrange )λ,...,(λλ 1 me= y

)μ,...,(μμ 1 mi= , 0μ ≥ , asociados con las restricciones ))(),...,(()( 1 xgxgxg me= y

))(),...,(()( 1 xhxhxh mi= respectivamente. Combinando y agregando a la función objetivo obtenemos el problema relajado (2.40).

)](μ)(λ)([minμ),(λ xhxgxf TT

x++=Φ

Sujeto a: 'nn ZRXx ×⊂∈ (Ec.2.40)

Donde μ),(λΦ es la función objetivo dual. Al construir el problema relajado, la función objetivo dual forma una frontera inferior sobre el valor de la función objetivo de cada solución factible del problema primo (2.39). Para encontrar la mejor frontera inferior maximizamos μ),(λΦ y el problema dual es (2.41).

μ)],(λ[maxμ,λ

Φ

Sujeto a: 0λ≥ (Ec.2.41)

Con la solución óptima )μ,(λ ** . En donde )()()μ,(λμ),(λ *** xfxf ≤≤Φ≤Φ . Cuando el problema primo es no convexo, el objetivo primo óptimo es estrictamente más grande que el objetivo dual óptimo. Esta diferencia de objetivos se conoce como ‘diferencia de dualidad’ y se representa con (2.42). Esto significa que la convergencia no se logrará.

μ),(λ)(δ Φ−= xf (Ec.2.42) El algoritmo de solución al problema primo se resume en los siguientes pasos:

0. En n=0, Introduzca nμ],[λ . 1. Resuelva el problema relajado con nμ],[λ . 2. Construya una solución prima factible. 3. Si el criterio de convergencia se satisface, pare. 4. Evalúe 1μ],[λ +n y vaya al paso 1.

El diagrama de flujo para la solución de dicho problema se muestra en la figura 2.16.

Figura 2.16. Diagrama de flujo para la solución al problema primo.

2.2.3.2 Explotación del grado de separabilidad.

En [40] Rooijers y van Amerongen tratan el problema del despacho económico de un sistema que cuenta con unidades de potencia convencionales, unidades de cogeneración y unidades térmicas convencionales (calderas auxiliares) como se muestra en la figura 2.17. Muestran que el problema bajo consideración tiene una característica especial: alta separabilidad de la función objetivo y de las restricciones; en donde, la separabilidad la definen dado el hecho de que la función objetivo es la suma de la función de costo de las unidades por separado y la mayoría de las restricciones están ligadas a una unidad en específico y por consiguiente a una o dos variables.

Figura 2.17. Esquema utilizado para plantear el algoritmo de despacho económico involucrando plantas de cogeneración [40].

La función objetivo es la suma de las funciones de costo para cada unidad (2.43). En donde las funciones de costo tienen forma cuadrática convexa para los tres tipos de unidades descritos como se muestra en (2.44).

P P P P P P P P

H H H H H H H

P/H P/H P/H P/H P/H P/H

H

P

P-load

-loadH-loadH

Unidades de potencia convencionales

Unidades térmicasconvencionales (calderas)

Unidades de cogeneración

[λ,µ]n

Resolver Φ(λ,µ)

Construir Sol. Prima

Sol. P. Tol≤ Pare

[λ,µ]n+1

s

n

)(),()( ,,, ihi

ihiici

iciei

ie hChpCpCC ∑∑∑∈∈∈

++= (2.43)

Donde: )(, i

eiie pC∑

∈

: Suma de las funciones de costo de las unidades de potencia.

),(, iici

ic hpC∑∈

: Suma de las funciones de costo de las unidades de

cogeneración. )(, i

hiih hC∑

∈

: Suma de las funciones de costo de calderas auxiliares.

2

, γβα)( iiiiiiie pppC ++=

iiiiiiiiiiiiic hphhpphpC ζεδγβα +++++= 22, ),(

2, γβα)( iiiiiiih hhhC ++= (Ec.2.44)

En estas ecuaciones ‘C’ es la función de costo por hora; de ‘α ... ζ’ representan los coeficientes de ajuste de cada función, los subíndices ‘e,c,h’ se refieren a unidades de potencia, cogeneración y calderas, respectivamente. El subíndice ‘i’ es para enumerar cada unidad. El término con el coeficiente lineal en ‘p’ y ‘h’ es llamado ‘término de acoplamiento’ y sirve para garantizar la dependencia entre la producción de electricidad y de calor. Las restricciones locales para los objetivos en plantas de potencia y calderas auxiliares se representan con (2.45).

maxminiii ppp ≤≤ maxmin

iii hhh ≤≤ (Ec.2.45) La producción de p y h se asume que caerá en un plano limitado por ni líneas descritas por (2.46).

ijiijiiji n1jchbpa ,=≥+ (Ec.2.46) Hay solo dos restricciones de gran impacto en el sistema (restricciones globales): balance de calor (2.47) y balance de electricidad (2.48).

demand

hii

cii hhh =+∑∑

∈∈

(Ec.2.47)

demand

cii

eii ppp =+∑∑

∈∈

(Ec.2.48)

La solución del problema debe satisfacer las condiciones de Kuhn-Tucker de primer orden (2.49)-(2.52).

0μλ ,, =−−

∂∂

iepi

ie

p

C (Ec.2.49)

0μλ ,, =−−

∂∂ ∑

jjijicp

i

ic ap

C (Ec.2.50)

0μλ ,, =−−

∂∂ ∑

jjijich

i

ic bh

C (Ec.2.51)

0μλ ,, =−−

∂∂

ihhi

ih

h

C (Ec.2.52)

Donde: pλ : Multiplicador correspondiente a la potencia eléctrica.

hλ : Multiplicador correspondiente a la potencia térmica.

ie,μ : Multiplicador que corresponde a la frontera en la unidad convencional de potencia i.

jic,μ : Multiplicador que corresponde a la frontera j en la unidad de cogeneración i.

ih,μ : Multiplicador que corresponde a la frontera en la caldera auxiliar i. Este tipo de problema es conveniente resolverlo con programación dual parcial separable ‘DSP’, en donde el enfoque principal cae en la determinación de los multiplicadores correspondiendo a las restricciones globales. Las variables de estado así como los multiplicadores de las restricciones locales se pueden obtener fácilmente una vez que los multiplicadores globales son conocidos. El procedimiento de solución [40] se desarrolla en dos niveles: en el nivel inferior, buscamos las variables de estado (niveles de producción de las distintas unidades); estos niveles de producción se encuentran resolviendo pequeños problemas de optimización (uno para cada unidad) ya que conocemos el valor de los multiplicadores. En el nivel superior el problema del despacho se reduce a encontrar aquel valor particular de los multiplicadores de manera que se satisfagan las restricciones del balance de potencia y del balance de calor. Este método está fuertemente relacionado con el problema (ED) convencional y con el procedimiento (UC) con relajación Lagrangiana y se describe a continuación. Los pequeños problemas de optimización para obtener los multiplicadores se resuelven usando Lagrange (1.1). Las funciones objetivo a minimizar son:

!" Unidades de potencia, 0λ)(, =− ipiie ppC !" Unidades de cogeneración, 0λλ),(, =−− ihipiiic hphpC !" Calderas auxiliares, 0λ)(, =− ihiih hhC

Una vez que conocemos los multiplicadores es fácil encontrar la solución que satisfaga las restricciones locales (2.45) y (2.46) y las condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker (2.49)-(2.52), excepto por las dos restricciones globales (2.47) y (2.48). Por tanto, el problema de optimización es encontrar los multiplicadores que satisfagan las restricciones globales. En el siguiente procedimiento iterativo basado en el método de Newton se muestra la relación entre los multiplicadores y los niveles de producción, y la relación en los cambios de los mismos:

0. Establezca la tolerancia, TOL. 1. Inicialice los multiplicadores pλ y hλ . 2. Determine la producción de calor y electricidad resolviendo el subproblema

para cada unidad. 3. Determine el acercamiento en los niveles de producción p∆ y h∆ .

DO WHILE ( | p∆ | > TOL o | h∆ | > TOL ) a. Determine (actualice) la matriz de sensibilidad ‘S’ (matriz jacobiana)

que relaciona los cambios en los multiplicadores y los cambios en los niveles de producción.

∆∆

=

∆∆

h

pS

h

p

λλ

][

b. Resuelva la matriz de sensibilidad. c. Determine un paso conveniente α , 1α0 ≤≤ d. Actualice los multiplicadores

ppp λαλ:λ ∆+=

hhh λαλ:λ ∆+= e. Determine (actualice) los niveles de producción para cada unidad y

los multiplicadores μ que corresponden a las restricciones locales. f. Determine la producción total de electricidad y de calor.

END DO En [41] Guo Tao et al. presentan un algoritmo para el problema (CED) basado en la interpretación física de las restricciones que forman la zona factible de operación de las unidades de cogeneración. El algoritmo se puede visualizar como una composición de dos subproblemas: el despacho de calor (HD) y el despacho de potencia (PD). Los subproblemas están conectados por la zona que forman las restricciones de operación factible de cada unidad (FOR) expresadas por (2.46) y por la figura 2.18. Estas restricciones se describen en la función Lagrangiana por los multiplicadores. Los multiplicadores influyen en el proceso de solución al cambiar los costos incrementales de los subproblemas de manera que una solución global óptima sea alcanzada.

Región de operación factible

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

0 30 60 90 120 150 180 210

Calor [MW]

Po

ten

cia

[M

W]

Figura 2.18. Zona de operación factible para una unidad de cogeneración.

La función Lagrangiana del problema se expresa con (2.53).

∑ ∑ ∑∑∑= = ===

+−−+++=h p ccp n

k

n

i

n

jjidpkk

n

jjij

n

iii ppphChpCpCF

1 1 111)(λ)(),()(

∑ ∑ ∑∑= = ==

+−++−−c p ckn

i

n

i

n

jj

mjjjpii

n

kkjdh hppphhh

1 1 11)]([{μμ)(λ

∑=

+−hn

kkkj

mjjjh hphh

1μ)]}([μ (Ec.2.53)

Donde: C : Costo de producción. p : Es la potencia generada por unidad. h : Es el calor generado por unidad. hd y pd : Son las demandas de calor y potencia en el sistema. i,j,k : Son los índices que representan a las unidades de potencia, cogeneración y calderas auxiliares. np,c,h : Número de los distintos tipos de unidades mencionados arriba. pm, hm : Toma los valores mínimos o máximos de p y h dependiendo si es alcanzado el límite superior o inferior. Las condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker son (2.54)-(2.57):

0μλ)(

=+−=∂∂

ipi

ii

i dp

pdC

p

F (Ec.2.54)

0)(

μμλ),(

=−+−∂

∂=

∂∂

j

jmj

jhjppj

jjj

j dp

pdh

p

phC

p

F (Ec.2.55)

0)(

μμλ),(

=−+−∂

∂=

∂∂

j

jmj

jpjhhj

jjj

j dh

hdp

h

phC

h

F (Ec.2.56)

A B

C D

0μλ)( =+−=∂∂

khk

kk

k dh

hdC

h

F (Ec.2.57)

Los términos j

jmj

dp

pdh )( y

j

jmj

dh

hdp )( son los índices incrementales de las capacidades

de calor y potencia de la unidad j con respecto a jp y jh respectivamente. Matemáticamente, estos términos son tangentes a la curva frontera de la región factible con respecto a jp y jh . Para la solución óptima del multiplicador pλ (costo marginal de potencia) se tiene (2.58).

j

jmj

jhjpj

jjji

i

iip dp

pdh

p

phC

dp

pdC )(μμ

),(μ)(λ −+

∂∂

=+= (Ec.2.58)

Para i = 1,…,np y j = 1,…,nc. La variable iμ es el multiplicador de la restricción de capacidad de potencia de la unidad de potencia i y puede tomar valores positivos, negativos o cero, cuando la generación de potencia de la unidad alcanza sus límites inferior o superior, o está dentro de éstos. La definición aplica para la variable kμ , usada por las calderas auxiliares. Las variables jpμ y jhμ son los multiplicadores de la región factible. La relación entre los multiplicadores de restricción de la región factible se prueba al

asumir que j

jmj

dp

pdh )(

j

jmj

dh

hdp )(=1. Se multiplica (2.55) por

j

jmj

dh

hdp )( y (2.56) por

j

jmj

dp

pdh )( obteniendo (2.59) y (2.60).

j

jmj

pj

jjj

j

jmj

jpjh dh

hdp

p

phC

dh

hdp )(λ

),()(μμ

−

∂∂

=− (Ec.2.59)

j

jmj

hj

jjj

j

jmj

jhjp dp

pdh

h

phC

dp

pdh )(λ

),()(μμ

−

∂∂

=− (Ec.2.60)

Al evaluar (2.60) en (2.55) tenemos amarrada la restricción de la unidad j en el subproblema (HD):

j

jmj

hj

jjj

j

jjjp dp

pdh

h

phC

p

phC )(λ

),(),(λ

−

∂∂

+∂

∂= (2.61)

La parte derecha de (2.61) es llamada ‘costo incremental de potencia modificado’. El

término hj

jjj

h

phCλ

),(−

∂∂

, es la diferencia entre el costo incremental de calor de la

unidad y el costo marginal de calor del sistema. El término

j

jmj

hj

jjj

dp

pdh

h

phC )(λ

),(

−

∂∂

, representa la razón de incremento (decremento) del

costo de producción del sistema. El algoritmo para resolver el problema (CED) se basa en la interpretación de (2.61). La capa externa usa la técnica de relajación Lagrangiana para resolver el (PD) iterativamente. En cada iteración, la capa interna resuelve el (HD) con los límites de capacidad de calor de cada unidad pasados por la capa externa. Las restricciones amarradas en la solución del (HD) son alimentadas a la capa externa para modificar los costos incrementales de las unidades de cogeneración. El subproblema (HD) consiste en minimizar (2.62).

∑∑==

+hc n

kkk

n

jjjj hCphC

11)(),(

Sujeto a:

∑∑==

=+hc n

kdk

n

jj hhh

11

cjjjjj njphhph ,,1),()( maxmin !=≤≤

hkkk nkhhh ,,1,maxmin !=≤≤ (Ec.2.62) En donde cj njp ,,1, != , )(min

jj ph y )(maxjj ph se obtienen del (PD) en la capa

externa del problema. El subproblema (HD) es un problema de optimización no lineal y puede resolverse por el método de búsqueda del gradiente. El subproblema (PD) consiste en minimizar (2.63).

∑ ∑= =

+p cn

i

n

jjjjii phCpC

1 1),()(

Sujeto a: piii nippp ,,1,maxmin !=≤≤

cjjjjj njhpphp ,,1),()( maxmin !=≤≤

cjjjjj njphhph ,,1),()( maxmin !=≤≤ (Ec.2.63)

En donde ya conocemos cj njh ,,1, != . La función Lagrangiana del subproblema (PD) se expresa con (2.64).

+−−++= ∑∑∑∑====

cpcp n

jj

n

iidp

n

jjjj

n

iiip pppphCpCF

1111)(λ),()(

)]}([μ)]([{μμ11

jmjjjh

n

jj

mjjjp

n

iii phhhppp

cp

−+−+∑∑==

(2.64)

Las condiciones de Kuhn-Tucker de primer orden son (2.65) y (2.66).

0μλ)( =+−=∂∂

ipi

ii

i

p

dp

pdC

p

F (2.65)

0λ)(

λ),(),(

=−

−

∂∂

+∂

∂=

∂∂

pj

jmj

hj

jjj

j

jjj

j

p

dp

pdh

h

phC

p

phC

p

F (Ec.2.66)

El algoritmo de solución para resolver el problema (PD) por medio de la técnica de relajación Lagrangiana se describe a continuación [41]:

0. Inicie con la generación de potencia a máxima capacidad en cada unidad. 1. Calcule los límites de capacidad de calor de las unidades de cogeneración

buscando en sus regiones de operación factible. 2. Resuelva el (HD) y obtenga el costo marginal de calor del sistema hλ ;

establezca hλ en cero, o en un número suficientemente grande si ocurre déficit o exceso de producción de calor.

3. Si la generación total de potencia iguala la demanda de la misma, EXIT, ELSE CONTINUE

4. Calcule el costo incremental de potencia por unidad para unidades de

cogeneración con j

jmj

hj

jjj

j

jjjp dp

pdh

h

phC

p

phC )(λ

),(),(λ

−

∂∂

+∂

∂= y para

unidades de potencia con i

ii

dp

pdC )( .

5. Seleccione la unidad con el costo incremental más alto y reduzca su producción de potencia con p∆ .

6. Vuelva al paso 1.

2.2.3.3 Consideración especial de turbinas de vapor acopladas a turbinas de gas (ciclo combinado).

Un esquema típico de ciclo combinado se compone de turbina de gas, caldera de recuperación de calor, turbina de vapor y generadores eléctricos acoplados en ambas turbinas, como se muestra en la figura 2.8. Al realizar el problema (CED) para un ciclo combinado, la turbina de gas junto con su generador eléctrico y la caldera de recuperación de calor pueden considerarse como una sola unidad que consume combustible y produce potencia eléctrica y calor útil. A su vez la turbina de vapor (contrapresión) junto con su generador eléctrico debe considerarse como una unidad por separado que consume vapor y produce ambos tipos de energía útil [42]. La cantidad de energía térmica suministrada a la turbina de vapor siempre es mayor a la cantidad de energía térmica entregada por la misma; es decir, la turbina entregará más potencia eléctrica, pero absorberá calor útil [42].

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA

En este capítulo se describen los pasos para resolver el problema de Despacho Económico donde se involucran unidades generadoras de potencia, de cogeneración y calderas auxiliares operando en paralelo. Además se propone una forma de tomar en cuenta la energía eléctrica que puede comprarse a la red eléctrica de servicio público. La obligación primaria de una planta es dar servicio y garantizar continuidad en cualquier condición, sin embargo, realizar la máxima economía compatible con esta obligación es muy importante pues aumenta al máximo las utilidades [12]. La economía de generación depende de una serie de factores que se pueden clasificar en tres categorías principales: de proyecto, de mantenimiento y de operación. Cuando ya se cuenta con un diseño de planta y el mantenimiento es eficiente, podemos decir que las cuestiones económicas dependen básicamente de los criterios con que se opere; es decir, con qué máquina o máquinas se satisfacen las demandas en cada momento y cómo es la distribución de las cargas entre dichas máquinas. Esto es conocido como Despacho Económico (ED). El capítulo se divide en:

!" Modelación de unidades generadoras. !" Aplicación del Algoritmo de Optimización.

3.1 Modelación de unidades generadoras.

La formulación del problema (ED) se logra una vez que se conoce la función objetivo a ser optimizada así como las restricciones. La función objetivo en el problema de despacho representa el costo por hora que se tiene al generar cierta cantidad de energía útil, por tal motivo es común llamarle ‘función de costo por hora’. En el problema de despacho aparecen dos tipos de restricciones: las restricciones locales (representan los rangos de operación de las unidades) y las restricciones globales (relacionadas con el balance de energía generada y demandada). En la literatura se ha encontrado que la modelación de las funciones de costo por hora, así como de las restricciones locales para los diferentes tipos de unidades puede realizarse a partir de pruebas experimentales y relaciones termodinámicas [10]. En el presente trabajo el análisis termodinámico es el punto de partida para la modelación de los diferentes tipos de unidades.

En la figura 3.1 se presenta el diagrama de flujo que representa el proceso para realizar la modelación de las unidades de generación.

Figura 3.1. Diagrama de flujo para realizar la modelación de las unidades generadoras (potencia, cogeneración y calderas auxiliares).

3.1.1 Función objetivo.

La función objetivo es la ecuación que representa económicamente al modelo del proceso que deseamos maximizar o minimizar. El problema (ED) generalmente inicia con un modelo que describe al proceso de transformación de la energía, el cual se obtiene a partir de relaciones termodinámicas y datos generales de los equipos. Para llegar al modelo económico primero debemos obtener el comportamiento del proceso bajo estudio y realizar ecuaciones de simulación, como se describe en la figura 2.13. Este comportamiento lo describen las curvas entrada-salida. Las unidades consideradas en el estudio, son unidades térmicas, que queman algún tipo de combustible fósil; por tanto, la operación económica de estas unidades debe considerar la relación de potencia inyectada a las unidades (proporcionada por el combustible) y la generación de las mismas. La potencia inyectada por el combustible en este trabajo le llamamos ‘Qc’, mientras que la generación puede ser eléctrica ‘Pg’ (unidades de potencia), térmica ‘Qp’ (calderas auxiliares) o ambas cuando se trata de unidades de cogeneración. Estos valores generalmente se obtienen para cargas nominales de operación, sin embargo,

ANÁLISIS

TERMODINÁMICO

UNIDADES GENERADORAS

VARIABLES

MODELOS

COSTO POR UNIDAD

DE ENERGÍA

FUNCIÓN DE COSTO

F

ECUACIONES DE REGRESIÓN EN

FUNCIÓN DE GENERACIÓN

RESTRICCIONES

FUNCIÓN OBJETIVO

TTHHEERRMMOOFFLLEEXX

ÍNDICES CARACTERÍSTICOS

para nuestro estudio es necesario observar el desempeño a diferentes valores de carga ya que los valores de demanda cambian con respecto al tiempo y es poco probable que operen siempre a carga nominal. En este trabajo, las curvas de entrada-salida se obtienen gracias a un paquete computacional de la compañía THERMOFLOW (Thermoflex) que tiene gran flexibilidad para obtener diferentes casos de simulación, al variar ciertas variables. Para fines prácticos, el desempeño a diferentes valores de carga puede obtenerse introduciendo un vector de flujo másico con valores entre un máximo y un mínimo que puede tomarse en operación o mediante una función discretizada en el tiempo durante un período determinado [10], esta discretización puede hacerse a intervalos estacionales, mensuales, diarios, por horas, entre otros. Cabe señalar que entre más pequeño sea el intervalo se tendrá una mayor visión de la operación diaria (3.1).

]m..,,m,m,m[ m k

.

3

.

2

.

1

.

t

.…= (Ec.3.1)

Donde:

t

.m : Vector que contiene el flujo másico de todo el período Tn.

j

.m : Flujos de vapor discretizados en K períodos (j = 1,2,3,...,K).

3.1.1.1 Índices característicos.

Los índices característicos representan de alguna manera qué parte de la energía contenida en el combustible sirve para producir electricidad y qué parte sirve para producir calor útil. Estos índices cambian de acuerdo al tipo de esquema utilizado, por ejemplo; en plantas de potencia utilizamos el índice de calor o ‘Heat Rate’, mientras que en plantas de cogeneración utilizamos el índice de calor incremental o ‘Incremental Heat Rate’. Las calderas auxiliares usan un índice que relaciona entrada-salida similar al ‘Heat Rate’. Una forma de distribuir la energía obtenida del combustible en cada una de sus respectivas formas se observa en [10], donde asignan la parte que corresponde a la producción de calor con (3.2) y la parte que corresponde a la producción de electricidad con (3.3).

p

losscdmc

Q

QQPQCCC

−−−= (Ec.3.2)

g

pc

P

QQCCE

−= (Ec.3.3)

Donde: CCC : Combustible correspondiente a calor (BTU/kWh). CCE : Combustible correspondiente a electricidad (BTU/kWh).

cdQ : Calor disipado en condensadores (BTU/h).

lossQ : Pérdidas térmicas a lo largo del ciclo (BTU/h). Las ecuaciones (3.2) y (3.3) pueden usarse para calcular el costo por kWh para cada tipo de energía al multiplicarlo por su generación correspondiente. Debe señalarse que en cualquier ecuación debe descontarse el calor disipado en condensadores, así como las pérdidas térmicas a lo largo del ciclo. En el apéndice A2 puede observarse un ejemplo en la aplicación de estos índices. A continuación se describen los índices característicos más usados para asignar la parte de energía que se destina para la producción de potencia en plantas de potencia convencionales, así como en sistemas de cogeneración.

3.1.1.1.1 ‘Heat Rate’.

En plantas de potencia convencionales la curva del ‘Heat Rate’ (3.4) indica la relación entre la energía suministrada por el combustible ‘Qc’ y la potencia eléctrica generada ‘Pg’. Cuando el valor de este índice es bajo, indica que ha sido empleado eficientemente en la generación de potencia [3]. Representándolo adimensionalmente es el recíproco de la eficiencia térmica para dichas plantas (3.5).

g

combcomb

g

c

P

PCm

P

QHR

.

== (Ec.3.4)

HRt

1η = (Ec.3.5)

Donde: HR : ‘Heat Rate’ (BTU/kWh, kWt/kWe).

combm.

: Flujo másico de combustible (lb/h,kg/h). combPC : Poder calorífico del combustible (BTU/lb,kJ/kg). Generalmente se

expresa con el poder calorífico inferior, sin embargo, en el problema (ED) debe considerarse el poder calorífico superior.

3.1.1.1.2 ‘Incremental Heat Rate’.

El índice de calor incremental o neto (3.6) es similar al ‘Heat Rate’, ya que también relaciona el combustible utilizado para la producción de energía eléctrica en sistemas de cogeneración. Se define como el consumo de combustible requerido exclusivamente para la producción de electricidad [3].

g

caldera

pc

P

QQ

IHRη

−= (Ec.3.6)

Donde: IHR : Índice de calor neto o incremental (BTU/kWh,kWt/kWe).

calderaη : Eficiencia de la caldera o calentador de agua o fluido térmico (<1). Al igual que el ‘Heat Rate’, el recíproco del ‘IHR’ (adimensional) representa la eficiencia de generación de potencia en un sistema de cogeneración (3.7).

IHRgeneración

1η = (Ec.3.7)

La parte que se destina para la producción de calor puede obtenerse mediante (3.8).

IHRQCCC c −= (Ec.3.8)

Cabe resaltar que (3.2) no es igual a (3.8), ya que (3.2) es el combustible que realmente se transforma en calor útil; sin embargo (3.8) sirve para poder calcular el costo para producir el calor útil, cargando a éste las pérdidas en el ciclo. En el apéndice A2 se muestra un ejemplo de cómo pueden obtenerse las curvas de los índices característicos de una manera práctica, cuando no se cuenta con paquetes especializados.

3.1.1.2 Objetivo en función de generación.

Una vez conocidos los índices característicos para cada esquema es relativamente sencillo obtener la función del costo por hora de acuerdo a la generación entregada por los mismos, tal y como lo requiere el problema de optimización.

3.1.1.2.1 Unidades de potencia.

La función de costo en una unidad convencional se obtiene a partir de la curva característica de ‘Heat Rate’, donde éste se expresa en BTU/kWh. Si multiplicamos la curva de ‘Heat Rate’ por la generación de la unidad en kW, encontraremos la potencia suministrada por el combustible ‘Qc’. Luego considerando el costo del combustible utilizado por unidad de energía tenemos (3.9).

cfge CPHRF ⋅⋅= (Ec.3.9) Donde:

eF : Función de costo por hora para unidades de potencia ($/h).

cfC : Costo del combustible por unidad de energía ($/BTU) El siguiente paso es realizar un ajuste de curva para representar la función de costo en función de la generación eléctrica. Por lo general se usa un ajuste lineal o cuadrático como se muestra en la primer ecuación de (2.44), donde esta curva generalmente es monotónica y convexa.

3.1.1.2.2 Unidades de cogeneración.

En unidades de cogeneración podemos encontrar la función de costo por hora partiendo de los índices característicos en sistemas de cogeneración (IHR y CCC), tal y como se obtienen para unidades de potencia; es decir, multiplicando cada uno de éstos por su generación respectiva. Otra manera de obtener la función de costo es usar directamente el combustible suministrado (3.10).

cfccog CQF ⋅= (Ec.3.10)

Donde: cogF : Función de costo por hora para unidades de cogeneración ($/h).

Después debemos realizar un ajuste de curva en función de las dos variables independientes (potencia y calor), tal y como se muestra en (1.3). La función de costo ajustada debe tener buen comportamiento para garantizar éxito en el algoritmo de optimización. En caso de no obtener funciones bien comportadas, es posible modificar un poco el ajuste sacrificando un poco de precisión con el fin de tener valores positivos en los coeficientes de las variables con término lineal y cuadrático.

3.1.1.2.3 Calderas auxiliares.

Generalmente cuando se decide instalar un sistema de cogeneración, se dejan las calderas que originalmente abastecían el calor útil para proceso. Estas calderas se dejan como una especie de respaldo para entrar en el momento en que la demanda de calor así lo requiera. La función de costo usada en estas unidades se obtiene al igual que en las unidades de potencia a partir de un índice que relaciona la potencia contenida en el combustible suministrado y su generación correspondiente ‘Qp’ o introduciendo directamente la potencia suministrada por el combustible (3.11).

cfch CQF ⋅= (Ec.3.11)

Donde: hF : Función de costo por hora para calderas auxiliares ($/h).

El ajuste de esta curva se realiza en función de la generación de calor útil y por lo general tiene forma lineal o cuadrática como se muestra en la última ecuación de (2.44).

3.1.1.2.4 Consideración de energía comprada a la red eléctrica de servicio público.

La energía eléctrica que puede ser comprada en un momento dado a la red eléctrica de servicio público puede representarse como una función de costo, tal y como si esta energía la obtuviéramos de un ciclo de potencia convencional. Esta función de costo puede obtenerse a partir de los datos generales de la tarifa contratada en la industria. En esta tesis consideramos un costo promedio por unidad de energía según la tarifa contratada y al realizar el producto con la demanda de potencia eléctrica obtenemos (3.12).

fcfe DTF ⋅= (Ec.3.12) Donde:

cfeF : Función de costo por hora para la electricidad que puede comprarse a la red eléctrica de servicio público ($/h).

T : Costo promedio de la energía eléctrica, el cuál depende de la tarifa y de los factores de carga ($/kWh).

fD : Demanda facturable de potencia eléctrica (kW).

3.1.2 Restricciones.

Las restricciones representan los límites de generación en los que pueden operar los equipos. En el problema de despacho estas restricciones pueden clasificarse como: restricciones locales y restricciones globales [40].

3.1.2.1 Restricciones locales.

En unidades de potencia y en calderas auxiliares estas restricciones restringen la generación de potencia y calor respectivamente, y son únicas para cada tipo de unidad (2.45). En unidades de cogeneración las restricciones locales forman un plano de ni líneas como se muestra en la figura 2.18 y en (2.46). En este trabajo en lugar de usar las restricciones de desigualdad mostradas en (2.46) que describen la suma aritmética de ambos tipos de energía, usamos ajustes lineales de igualdad garantizando la relación de producción de ambos tipos de energía (3.13) ya que las primeras no garantizan la solución óptima del problema, como se observará más adelante en uno de los casos de estudio.

bmhp += (Ec.3.13)

Donde: p : Potencia eléctrica (kW). m : Pendiente del ajuste (kWe/kWt). h : Calor útil (kW). b : Cruce con el eje p . Estas líneas se describen con los segmentos representados en la figura 2.17, donde:

!" A – B. Representa el caso de tener encendido el quemador secundario a su máxima capacidad, variando lo que va al proceso.

!" B – C. Representa variar el consumo de combustible en el quemador secundario desde su mínimo hasta su máximo obteniendo la máxima extracción de calor.

!" C – D. Representa el caso de tener encendido el quemador secundario a su mínima capacidad, variando lo que va al proceso.

!" D – A. Representa variar el consumo de combustible en el quemador secundario desde su mínimo hasta su máximo obteniendo la mínima extracción de calor.

3.1.2.2 Restricciones globales.

Estas restricciones son las que dan el equilibrio entre la generación y la demanda. El equilibrio de potencia se obtiene con (2.47) mientras que el de calor con (2.48).

3.2 Aplicación del algoritmo de optimización.

La solución al problema de optimización se logra gracias a una subrutina del paquete computacional MATLAB. Esta subrutina funciona con diferentes métodos según las condiciones del problema, aunque generalmente usa técnicas iterativas basadas en métodos de Newton. Esta herramienta no trabaja si involucramos todas las restricciones presentes en el problema; por tanto, en este capítulo se presenta una forma de llegar a la solución sin tener que resolver un problema complejo de optimización obteniendo buenos resultados.

3.2.1 Consideraciones.

Ya que las restricciones locales de desigualdad para sistemas de cogeneración mostradas en [40] no garantizan la solución óptima del problema, en este trabajo consideramos restricciones de igualdad que garantizan la relación adecuada en la generación de cada tipo de energía (3.12), sin embargo, haciendo esto, el número de restricciones de igualdad es mayor al número de variables independientes; es decir, el problema está sobre restringido. Para evitar esto, podemos correr el problema con todas las restricciones salvo las que describen esta relación. Si la solución está dentro del área factible de operación para las unidades de cogeneración, el problema está resuelto, de otra manera podemos utilizar la restricción más cercana aplicando la ecuación del punto a la recta (3.14), siempre y cuando las unidades de cogeneración tengan el menor costo incremental.

22Distancia

lm

blpmh

+

+−= (Ec.3.14)

En donde la ecuación (3.13) debe igualarse a 0, obteniendo con esto la forma presentada en el numerador de (3.14). Por lo que respecta a la función objetivo, esta puede obtenerse como la suma de las funciones de costo para las diferentes unidades consideradas en el problema (2.43), gracias a su alto grado de separabilidad.

3.2.2 Descripción del algoritmo.

La solución al problema se obtiene utilizando la subrutina fmincon que se encuentra en la caja de herramientas de optimización de MATLAB. La subrutina fmincon resuelve problemas de la forma mostrada en (3.15).

)(min xFx

Sujeto a: eqeq BxABAx =≤ , 0)(,0)( =≤ xCxC eq

UBxLB ≤≤ (Ec.3.15)

Donde: )(xF : Función objetivo del problema (puede ser cuadrática o lineal).

A,B : Vector que contiene los coeficientes de las restricciones lineales de desigualdad. C : Vector que contiene los coeficientes de las restricciones no lineales de desigualdad. Aeq,Beq : Vector que contiene los coeficientes de las restricciones lineales de igualdad. Ceq : Vector que contiene los coeficientes de las restricciones no lineales de igualdad. LB,UB : Límites o fronteras para la generación. La subrutina trabaja con un archivo principal donde se da el vector inicial y las restricciones, mientras que la función objetivo debe darse entrada en otro archivo donde además se deben indicar las derivadas parciales para el objetivo con respecto a cada variable. El algoritmo usado en MATLAB puede resumirse en los siguientes pasos:

0. Damos el vector inicial 0x para la generación de cada tipo de energía al archivo principal.

1. Damos la matriz que representa a las restricciones locales para unidades de potencia y calderas auxiliares, así como las restricciones globales al archivo principal.

2. Creamos el archivo con la función objetivo y su primer derivada parcial. 3. Corremos el archivo principal y checamos si la generación para las unidades

de cogeneración se encuentra dentro de la zona de operación factible (FOR), siempre y cuando éstas tengan generación.

IF (p,h) ∈ FOR Solución óptima encontrada. ELSE

Obtenemos la restricción más cercana con (3.14) y la aplicamos en el archivo principal.

4. Corremos el archivo principal y obtenemos el vector solución. El diagrama de flujo para dicho algoritmo de optimización se observa en la figura 3.2.

Figura 3.2. Diagrama de flujo del algoritmo de optimización usado en MATLAB.

X0 = [p1 p2 ..h1 h2..]

Restr. Loc. (potencia, calderas)

Restr. Glob.

Corremos principal.m

pprriinncciippaall..mm

Obj. y x

F

∂∂

ffuunn..mm

(p,h) FOR ∈Sol.

óptima encontrada

Aplicar R.L.C. Más cercana a princ.m

22Distancia

lm

blpmh

+

+−=

s

n

CAPÍTULO IV

CASOS DE ESTUDIO

En este capítulo se presentan tres casos de estudio; los dos primeros sirven para verificar el procedimiento de optimización propuesto, mientras que en el tercero obtiene el mínimo costo de operación para una cogeneración en una industria productora de papel a lo largo de un día.

4.1 Caso No. 1.

Para este caso se utilizan las funciones de costo y los límites de capacidad de cuatro unidades mostradas por primera vez en [41]. Las cuatro unidades operan en paralelo. La unidad 1 es una unidad de potencia eléctrica convencional; su función de costo por hora y sus límites de capacidad se expresan con (4.1).

150 pFe = 1500 1 ≤≤ p (Ec.4.1)

Las unidades 2 y 3 son unidades de cogeneración; sus funciones de costo por hora se observan en (4.2) y (4.3) respectivamente, mientras que sus límites de capacidad se observan en las figuras 4.1 y 4.2.

22222

2222 031.003.02.40345.05.142650 hphhppFcog +++++= (Ec.4.2)

33233

2333 011.0027.06.00435.0361250 hphhppFcog +++++= (Ec.4.3)

Región de operación factibleunidad 2

y = -0.1778x + 247

y = 1.7819x - 105.74y = -0.1698x + 98.8

0306090

120150180210240270

0 30 60 90 120 150 180 210Calor [MW]

Po

ten

cia

[MW

]

4.1. Región de operación factible para la unidad de cogeneración 2.

La unidad 4 es una caldera auxiliar; su función de costo por hora y sus límites de capacidad se expresan con (4.4).

44.23 hFh = 2.26950 4 ≤≤ h (Ec.4.4)

Región de operación factibleunidad 3

y = -0.1512x + 130.7

y = 1.1584x - 46.881

y = -0.0677x + 45.076

0

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Calor [MW]

Po

ten

cia

[MW

]

4.2. Región de operación factible para la unidad de cogeneración 3.

Las funciones de costo para las cuatro unidades se expresan en USD/MW, mientras que la generación (eléctrica ‘ p ’y térmica ‘ h ’) se expresa en MW. Las demandas (eléctrica y térmica) son 200 MW y 115 MW respectivamente. De la zona de operación factible para las unidades de cogeneración 2 y 3, figuras 4.1 y 4.2 ajustamos linealmente cada una de las ni líneas que forman el plano y obtenemos las restricciones locales de igualdad de la forma (3.13), tal y como puede observarse en las figuras 4.1 y 4.2. Corremos el problema siguiendo los pasos 0 – 3 del algoritmo y obtenemos el vector solución, como se muestra en (4.5).

]011500000.400000.1600[=x (Ec.4.5)

Donde ][ 432321 hhhpppx = . Checamos si los puntos están dentro del (FOR) para las unidades de cogeneración 2 y 3. Notamos que la unidad 3 está fuera de la región factible, por tanto aplicamos (3.14) a todas las restricciones de la unidad. La distancia más corta se obtiene con (4.6).

881.461584.1 −= hp (Ec.4.6) Aplicamos la restricción y corremos de nuevo el problema obteniendo el vector solución (4.7), el cual está dentro de la zona del (FOR) para ambas unidades y nos da la misma solución mostrada en [41].

]00009.759991.390000.400000.1600[=x (Ec.4.7) Lo que nos indica que para esa demanda las únicas unidades que estarán trabajando serán las cogeneraciones 2 y 3. La función de costo evaluada en la solución es de 9,257.1 USD. La programación para este caso aplicando el algoritmo propuesto así como los resultados obtenidos con el mismo pueden observarse en el apéndice A3, donde además se prueba con las restricciones locales de desigualdad mostradas en la literatura, tal y como se expresa en (2.46) obteniendo el mismo resultado.

4.2 Caso No. 2.

En este caso corremos el problema con los objetivos y restricciones mostrados en [42], los cuales son los mismos usados en [41] salvo que se agrega una turbina de vapor a contrapresión (unidad 5), la cual entrega una potencia eléctrica máxima de 80 MW y consume 120 MW de calor útil. Las demandas para la electricidad y el calor son 250 y 115 MW respectivamente. Corremos el problema siguiendo los pasos 0 – 3 del algoritmo y obtenemos el vector solución, como se muestra en (4.8).

]0.1200.800.300.400.1650.400.1300.0[ −−=x (Ec.4.8)

Donde ][ 55432321 hphhhpppx = . Checamos si los puntos están dentro del (FOR) para las unidades de cogeneración 2 y 3. Notamos que ambas se encuentran fuera de la región factible, por tanto aplicamos (3.14) a todas las restricciones en ambas unidades. Para la unidad 2 la distancia más corta se obtiene con (4.9), mientras que para la unidad 3 la distancia más corta se obtiene con (4.10).

74.1057819.1 −= hp (Ec.4.9) 076.450677.0 +−= hp (Ec.4.10)

Aplicamos las restricciones y corremos de nuevo el problema obteniendo el vector solución (4.11), el cual está dentro de la zona del (FOR) para ambas unidades.

]0000.1200000.807252.279778.742970.1320000.400000.1300[ −=x (Ec.4.11)

El resultado de este caso difiere del obtenido en [42] ya que el resultado mostrado en ese trabajo tiene a la unidad 2 operando fuera del (FOR). La función de costo evaluada en la solución es de 10,370 USD. Al correr el problema de optimización aplicando las restricciones de desigualdad del tipo de (2.43) se obtiene el vector solución (4.12), el cual está dentro de la región de operación factible; sin embargo, la función de costo evaluada en la solución es de 10,622 USD.

120.0000]- 80.0000 40.9576 62.2297 131.8126 40.8630 129.1370 -0.0000[=x (Ec.4.12) Los resultados obtenidos nos muestran que al aplicar las restricciones de desigualdad del tipo de (2.46) no se garantiza el punto óptimo. La programación para ambos procedimientos y sus resultados pueden observarse en el apéndice A4.

4.3 Caso No. 3.

En este caso se presenta un sistema de cogeneración operando con ciclo combinado que abastece de electricidad y calor a una industria productora de papel localizada en la zona norte del país. El esquema del ciclo puede observarse en el apéndice A5. La papelera tiene contratada una tarifa con un costo promedio de 0.06 USD/kWh de energía eléctrica, en donde ya está integrado el factor de carga; además cuenta con una caldera auxiliar que puede abastecer vapor a proceso cuando sea requerido. Las demandas de electricidad y de calor en un momento determinado del día son 50 y 40 MW respectivamente. Para la modelación del ciclo termodinámico de cogeneración así como de la caldera auxiliar usamos los programas que ofrece la compañía estadounidense Thermoflow, en especial el paquete Thermoflex, en donde analizamos varios casos para encontrar la curva entrada-salida, así como las restricciones en las unidades. Esto se realiza editando las entradas y dejando el equipo con un diseño fijo; con lo que podemos mover las variables que deseemos para obtener el comportamiento del ciclo a cargas parciales en las unidades. Lo anterior puede observarse en el apéndice A5. La turbina de gas trabajará siempre a carga nominal, ya que la demanda mínima de la planta así lo requiere. Además si la turbina de gas no trabaja a carga nominal, la caldera de recuperación de calor no abastece vapor para alimentar a las turbinas de vapor. En este caso la industria puede operar con:

1. Cogeneración.

2. Caldera auxiliar. 3. Energía comprada a la red eléctrica de servicio público.

4.3.1 Cogeneración.

Las únicas variables involucradas en la cogeneración necesarias para obtener la curva entrada-salida y las restricciones para este caso son la temperatura del quemador secundario así como el flujo másico de vapor que requiere el proceso. Las restricciones aplicadas son las que observamos en la figura 4.3, éstas se obtienen:

!" Variando la temperatura desde un mínimo hasta un máximo permisible en el quemador secundario y dejamos el flujo másico de vapor a proceso a su capacidad mínima; con esto obtenemos la restricción para máxima extracción de potencia.

!" Variando el flujo másico de vapor a proceso (de su mínimo a su máximo) y dejamos la temperatura del quemador secundario a su mínima capacidad, encontrando la restricción para el mínimo consumo de combustible.

!" La restricción para máxima extracción de calor se obtiene al variar la temperatura del quemador secundario (de su mínima a su máxima capacidad) y dejar el flujo másico de vapor a proceso a su capacidad máxima.

!" La restricción del máximo consumo de combustible se obtiene amarrando la temperatura del quemador secundario a todo lo que da y variando el flujo másico de vapor a proceso (de mínimo a máximo).

Al correr los casos para conocer las restricciones también podemos conocer otras variables que intervienen en el ciclo; entre las más importantes tenemos el flujo másico de combustible suministrado, la generación neta (eléctrica y térmica) y las eficiencias, entre otras.

Región de operación factible

y = 19064x - 28220

y = -0.103x + 51.982

y = -0.119x + 42.407

y = x + 32

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

0 5 10 15 20 25 30 35 40

H [MW]

P [

MW

]

Quem sec max Max ext calor Quem sec min Max ext pot

Figura 4.3. Región de operación factible para la unidad de cogeneración.

En el informe de energía del Thermoflex no cargamos el combustible que metemos como proceso para alimentar a los auxiliares, por lo que usamos una potencia neta suministrada por el combustible ‘Qcneta’, la cual se representa con la figura 4.4 para los valores extremos.

Figura 4.4. Potencia neta suministrada por el combustible ‘Qcneta’.

Considerando que la papelera compra futuros [11] para mantener el precio del gas natural constante y que el precio del combustóleo es similar al del gas natural podemos obtener la función de costo por hora usando (3.10) y ajustar una curva en función de generación de la forma (1.3) como se muestra en la figura 4.5. La función de costo por hora ajustada se expresa en (4.13).

112

112111 5.025.02393.2925.03095.121712.920 hphhppFcog ++−++= (Ec.4.13)

Donde:

1cogF : Función de costo por hora del ciclo de cogeneración (USD/h).

11,hp : Potencia y calor de la cogeneración (MW).

Figura 4.5. Ajuste de la función de costo para la unidad 1.

P [MW] H [MW]

F [USD/h]

Podemos sacrificar un poco de precisión (4.14) para lograr que la función de costo sea convexa y pueda usarse el algoritmo de optimización.

9885.02 =aR (Ec.4.14)

En donde 2

aR es el coeficiente de determinación múltiple ajustado. Para no perder mucho en el ajuste, el término ( 12393.29 h− ) tiene coeficiente negativo; sin embargo se debe procurar que al obtener el costo incremental ‘λ’ obtengamos un valor positivo para que el algoritmo encuentre el óptimo. Esto es, la

solución debe satisfacer 05.05.02393.29 111

1 ≥++−=∂

∂ph

h

Fcog .

4.3.2 Caldera auxiliar.

La caldera auxiliar puede generar hasta 80 lb/s de vapor. Usando Thermoflex podemos encontrar su curva entrada-salida, así como sus límites de generación; considerando que consume gas natural, como se observa en la figura 4.6. Usando (3.11) encontramos su función de costo por hora, la cual podemos ajustar en función de la generación de vapor, como se muestra en (4.15) y en la figura 4.7.

Qc vs. H

y = 1.2777x + 1.1594

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

60 68 76 84 92 100 108 116 124

H [MW]

Qc

[MW

]

Figura 4.6. Curva entrada-salida para la caldera auxiliar.

F vs. H

y = 17.438x + 0.0158

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

60 70 80 90 100 110 120 130H [MW]

F [

US

D/h

]

Figura 4.7. Función de costo para la caldera auxiliar.

0158.0438.17 2 += hFh (Ec.4.15)

Los límites de generación para la caldera son 0385.1230 2 ≤≤ h .

4.3.3 Energía comprada a la red eléctrica de servicio público.

La función de costo por hora se obtiene con (3.12). Si ajustamos linealmente el costo por unidad de energía representará la pendiente, tal y como se expresa en (4.16) y como puede observarse en la figura 4.8.

360 pFcfe = (Ec.4.16)

Fcfe vs. P

y = 60x

2000

3000

4000

5000

6000

7000

30 40 50 60 70 80 90 100 110P [MW]

Fcf

e [U

SD

/h]

Figura 4.8. Función de costo por hora para la energía comprada a la red eléctrica de servicio

público.

Una vez que tenemos todos los objetivos y las restricciones podemos obtener la optimización.

4.3.4 Optimización.

La función objetivo para el despacho se obtiene con la suma de (4.13), (4.15) y (4.16). Corremos el problema siguiendo los pasos 0 – 3 del algoritmo y obtenemos el vector solución, como se muestra en (4.17).

]4560.35440.3600000.50[=x (Ec.4.17)

Donde ][ 2131 hhppx = . Checamos si los puntos están dentro del (FOR) para la cogeneración. Notamos que la solución se encuentra fuera de la región factible, por tanto aplicamos (3.14) a las restricciones de la cogeneración. La distancia más corta se obtiene con (4.18).

982.51103.0 +−= hp (Ec.4.18) Aplicamos (4.18) y corremos de nuevo el problema obteniendo el vector solución (4.19), el cual está dentro de la zona del (FOR). La función de costo evaluada en la solución es de 2,408.5 USD.

]4560.35440.367820.12180.48[=x (Ec.4.19)

La edición de entradas al Thermoflex así como la optimización puede observarse en el apéndice A5. Cuando se tienen pocas unidades, como en este caso, es posible encontrar la solución al (UC) de una manera sencilla mediante programación dinámica. El pronóstico de las demandas requeridas por la industria a lo largo de un día son como se muestran en la figura 4.9. Además se sabe que el tiempo para poner a régimen la caldera auxiliar es de 10 horas.

Perfíl de demandas

10

20

30

40

50

60

tiempo [h]

Dem

and

a [M

W]

Potencia Calor

Figura 4.9. Pronóstio de demandas para la industria papelera a lo largo de un día.

Según el perfíl de demandas mostrado en la figura 4.9 hay varias horas en las que las demandas son iguales como se muestra a continuación:

PROBLEMAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 tiempo [h] [23-4] [5] [6-7] [8-9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17-18] [19-20] [21-22]

PD [MW] 38.096 39.5 43 44 44 45 50 60 62 62 55 48 40 39

HD [MW] 27 29 30.7 35 36 36 40 40 40 42 43 35 32 30

Por tanto ahora tenemos que resolver 14 problemas de optimización para las diversas demandas mostradas. Los resultados obtenidos después de seguir el algoritmo de optimización para cada problema se muestra a continuación:

1. ]00.2701940.39[=x . F = 1,708.6 USD. 2. ]00.2905.39[=x . F = 1,731.5 USD. 3. ]07.3000.43[=x . F = 1,909.8 USD. 4. ]03500.44[=x . F = 1,998.7 USD. 5. ]00.3600.44[=x . F = 2,009.2 USD. 6. ]00.3600.45[=x . F = 2,061.7 USD. 7. ]4560.35440.367820.12180.48[=x . F = 2,408.5 USD. 8. ]456.35440.367820.112180.48[=x . F = 3,008.5 USD. 9. ]456.35440.367820.132180.48[=x . F = 3,128.5 USD. 10. ]456.55440.367820.132180.48[=x . F = 3,163.4 USD. 11. ]456.65440.367820.62180.48[=x . F = 2,760.9 USD. 12. ]00.3500.48[=x . F = 2,209.9 USD. 13. ]00.3200.40[=x . F = 1,772.9 USD. 14. ]00.3000.39[=x . F = 1,713.3 USD.

Todos los problemas son triviales, salvo el problema 1, el cual, no logra satisfacer simultaneamente las demandas debido a que son pocas unidades y a que la unidad con los menores costos incrementales para ambas energías es la de cogeneración. En este caso se deben observar los valores de lambda (costos incrementales) evaluados en la solución y tomar la mejor decisión en función de éstos. La decisión tomada en este problema fue la de generar más potencia; el excedente de potencia puede venderse a la red eléctrica de servicio público e inclusive a alguna industria vecina (si el marco regulador lo permite), bajando con esto la función de costo (el resultado de F para el problema 1 mostrado arriba no toma en cuenta la venta del excedente). La programación y los resultados para este problema pueden verse en el apéndice A5. La operación de las diversas unidades puede observarse en la figura 4.10. La caldera auxiliar debe arrancarse y ponerse a régimen a las 2:00 AM para poder utilizarla a las 12:00 PM. Haciendo esto, se incurrirá en un costo de ‘stand-by’.

12:0

0 A

M

2:00

AM

4:00

AM

6:00

AM

8:00

AM

10:0

0 A

M

12:0

0 P

M

2:00

PM

4:00

PM

6:00

PM

8:00

PM

10:0

0 P

M

12:0

0 A

M

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Gen

erac

ión

[M

W]

Unidades en operación

h2 caldera p3 cfe h1 cogen p1 cogen

Figura 4.10. Unidades que entrarán en operación a lo largo del día. Los costos de operación a lo largo del día (sin contar los costos de arranque y de ‘stand-by’) se muestran en la figura 4.11.

F vs. t

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

12:0

0 A

M

1:00

AM

2:00

AM

3:00

AM

4:00

AM

5:00

AM

6:00

AM

7:00

AM

8:00

AM

9:00

AM

10:0

0 A

M

11:0

0 A

M

12:0

0 P

M

1:00

PM

2:00

PM

3:00

PM

4:00

PM

5:00

PM

6:00

PM

7:00

PM

8:00

PM

9:00

PM

10:0

0 P

M

11:0

0 P

M

12:0

0 A

M

t [h]

F [

$/h

]

Figura 4.11. Costo mínimo necesario para satisfacer las demandas térmicas y eléctricas a lo largo del día.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS

Conclusiones.

En esta tesis se presentó una metodología para resolver el problema de despacho económico para unidades de cogeneración (CED). Además de estas unidades, en el problema pueden incluirse otro tipo de unidades generadoras tales como calderas auxiliares y unidades de potencia eléctrica; gracias al alto grado de separabilidad de la función objetivo. Además se presentó una consideración para incluir al problema la energía eléctrica que puede comprarse a la red eléctrica de servicio público. La metodología para encontrar el óptimo se logró haciendo ciertas modificaciones y consideraciones a algoritmos ya existentes aplicando una herramienta de optimización del paquete computacional MATLAB. Se mostró que las restricciones locales de desigualdad para las unidades de cogeneración no siempre garantizan el éxito en el problema; por tanto, en este trabajo dichas restricciones fueron tomadas como igualdades. Haciendo esto, el problema se sobrerestringe; sin embargo, aplicando las consideraciones pertinentes se llegó a la solución óptima. El algoritmo requiere de funciones objetivo convexas y bien comportadas para garantizar éxito; sin embargo, se demostró que mientras se tenga cuidado en el uso de una función no convexa (observando su grandiente) podemos encontrar una solución óptima. Para formular el problema de optimización es necesario conocer la función objetivo y las restricciones que describen el comportamiento de las unidades generadoras. Esto se realiza modelando las unidades. El proceso de modelación incia con el análisis termodinámico de las unidades térmicas siguiendo con un proceso de ajuste de curva para encontrar ecuaciones de regresión en función de la generación en las mismas. La modelación para las funciones objetivo así como las restricciones consideradas en este trabajo fueron obtenidas gracias a los programas computacionales que ofrece la compañía THERMOFLOW. Se incluyen tres casos de estudio; en los primeros dos se prueban funciones de costo y restricciones encontradas en la literatura. Los resultados son satisfactorios en ambos casos, inclusive se encuentra que la solución mostrada en [42] no es la óptima. En el tercer caso se resuelve el problema de despacho económico para el esquema de cogeneración de una planta productora de papel ubicada en el norte del país. Además del despacho estático se resolvió de una manera sencilla el problema del compromiso de unidades en operación (UC) para dicha planta al considerar planas las demandas en ciertos períodos de tiempo.

Se encontró que en ciertos momentos es mejor generar más potencia eléctrica, por tanto hay que remover del problema la restricción de equilibrio de demanda eléctrica (esta decisión se toma observando el gradiente).

Recomendaciones para trabajos futuros.

!" Extensión del algoritmo usado en este trabajo para resolver el problema

(CED) estático, agregando a éste restricciones dependientes del tiempo, y convirtiéndolo así en un despacho económico dinámico (que sería la solución simultánea al problema de despacho y al de compromiso de unidades).

!" Integrar la operación óptima al proceso de diseño para una planta de cogeneración nueva.

!" Agregar restricciones para minimizar emisiones contaminantes en el problema (CED).

!" Implementación del algoritmo en tiempo real. !" Verificar matemáticamente el algoritmo usado en este trabajo y comprobar si

tiene validez al usar funciones objetivo no cuadráticas. !" Incluír modelos agregando pérdidas en la red de transmisión cuando varias

unidades cogeneradoras están integradas en un sistema de potencia eléctrica con un mercado de energía abierto.

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APÉNDICE

A1 Ejemplo de cogeneración ciclo Rankine modificado con regeneración. El vapor entra a la turbina a 6 MPa y 450 oC, 60% del vapor se extrae de la turbina a una presión de 0.4 MPa, mientras el resto se expande a 10 kPa y es alimentado al condensador. Una parte del vapor extraído se usa para calentar agua, mientras el resto es usado en un proceso de secado. A la salida del proceso tenemos líquido saturado, el cual es mezclado con el agua que sale del calentador de agua y la mezcla es bombeada de nuevo hasta la caldera. Asumiendo que las eficiencias de los equipos están al 100% determine el flujo másico de vapor que pasa por la caldera si la potencia neta es de 15 MW. El código puede programarse en el paquete EES (Engineering Equation Solver). cog_vapor.ees. P_neta=15000 "kW"1 "Estado 1" P[1]=6 "MPa" T[1]=450 "C" h[1]=ENTHALPY(Steam_NBS,T=T[1],P=P[1]) s[1]=ENTROPY(Steam_NBS,T=T[1],P=P[1]) "Estado 2" s[2]=s[1] P[2]=0.4 h[2]=ENTHALPY(Steam_NBS,s=s[2],P=P[2]) T[2]=TEMPERATURE(Steam_NBS,h=h[2],P=P[2]) "Estado 3" s[2]=s[3] P[3]=.01 "MPa" h[3]=ENTHALPY(Steam_NBS,P=P[3],s=s[3]) T[3]=TEMPERATURE(Steam_NBS,h=h[3],P=P[3]) "Estado 4" P[4]=P[3] x[4]=0 h[4]=ENTHALPY(Water,x=x[4],P=P[4]) s[4]=ENTROPY(Water,x=x[4],P=P[4]) T[4]=TEMPERATURE(Water,x=x[4],P=P[4]) "Estado 5" P[5]=P[2] s[5]=s[4] h[5]=ENTHALPY(Water,P=P[5],s=s[5]) T[5]=TEMPERATURE(Water,P=P[5],s=s[5]) "Estado 6" P[6]=0.4 "MPa" x[6]=0

h[6]=ENTHALPY(Water,P=P[6],x=x[6]) s[6]=ENTROPY(Water,P=P[6],x=x[6]) T[6]=TEMPERATURE(Water,P=P[6],x=x[6]) "Estado 7" P[7]=P[6] x[7]=0 h[7]=ENTHALPY(Water,P=P[7],x=x[7]) s[7]=ENTROPY(Water,P=P[7],x=x[7]) T[7]=TEMPERATURE(Water,P=P[7],x=x[7]) "Estado 8" P[8]=P[7] h[8]=h[7] s[8]=s[7] T[8]=T[7] "Estado 9" P[9]=P[1] s[9]=s[8] h[9]=ENTHALPY(Water,P=P[9],s=s[9]) T[9]=TEMPERATURE(Water,P=P[9],s=s[9]) m_dot_vapor=P_neta/((h[1]-h[2])*0.6+(h[1]-h[3])*0.4-(h[5]-h[4])*0.4-(h[9]-h[8])) El arreglo de las propiedades termodinámicas y la solución se muestran a continuación:

A2 Índices característicos.

Con los valores de entalpía obtenidos de cog_vapor.ees podemos representar los índices característicos al variar el flujo másico de vapor que circula a través del ciclo elaborando un programa sencillo en matlab. En el archivo de matlab introducimos curvas ajustadas para la eficiencia de la turbina y la caldera de datos obtenidos en [10]; además consideramos la eficiencia del generador eléctrico constante. curvas.m % CALCULO DE CURVAS CARACTERISTICAS EN UNA PLANTA DE COGENERACION CICLO % RANKINE CON TURBINA EXTRACCION/CONDENSADO mv=[8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]; % Flujo másico total de vapor [kg/s] mp1=5; % Flujo másico de vapor a proceso [kg/s] mp2=10; % Flujo másico de vapor a proceso [kg/s] h1=3302; % Entalpia del vapor a la salida de la caldera [kJ/kg] h2=2665; % Entalpia del vapor en la extracción a proceso [kJ/kg] h3=2128; % Entalpia del vapor a condensación [kJ/kg] h4=191.7; % Entalpia a la salida del condensador [kJ/kg] h6=604.8; % Entalpia a la salida del proceso [kJ/kg] h7=h6; h9=610.9; % Entalpia del agua de alimentación a la caldera [kJ/kg] for i=1:13; eta_turbina(i)=0.005*mv(i)+0.85; % Eficiencia de la turbina eta_caldera(i)=0.7154+0.0404*mv(i)-0.0038*mv(i)^2+1E-4*mv(i)^3; % Eficiencia de la caldera eta_gen=0.97; % Eficiencia del generador Pm1(i)=eta_turbina(i)*(mv(i)*(h1-h2)+(mv(i)-mp1)*(h2-h3)); Pg1(i)=Pm1(i)*eta_gen; Pm2(i)=eta_turbina(i)*(mv(i)*(h1-h2)+(mv(i)-mp2)*(h2-h3)); Pg2(i)=Pm2(i)*eta_gen; Qs(i)=mv(i)*(h1-h9); Qc(i)=Qs(i)/eta_caldera(i); Qp1=mp1*(h2-h7); Qp2=mp2*(h2-h7); Qcd1(i)=(mv(i)-mp1)*(h3-h4); Qcd2(i)=(mv(i)-mp2)*(h3-h4); Qloss1(i)=Qc(i)-Qp1-Pg1(i)-Qcd1(i); Qloss2(i)=Qc(i)-Qp2-Pg1(i)-Qcd2(i); CCE1(i)=((Qc(i)-Qp1)/Pg1(i))*3412.1412; CCE2(i)=((Qc(i)-Qp2)/Pg2(i))*3412.1412; CCC1(i)=((Qc(i)-Pm1(i)-Qcd1(i)-Qloss1(i))/Qp1)*3412.1412; CCC2(i)=((Qc(i)-Pm2(i)-Qcd2(i)-Qloss2(i))/Qp2)*3412.1412;

ICN1(i)=(Qc(i)-Qp1/eta_caldera(i))/Pg1(i); ICN2(i)=(Qc(i)-Qp2/eta_caldera(i))/Pg2(i); end figure(1) plot(Pg1,CCE1,'r') hold on plot(Pg2,CCE2,'b') grid title('CCE vs Pg') xlabel('Pg [kW]') ylabel('CCE [BTU/kWh]') gtext('mp = 5 kg/s') gtext('mp = 10 kg/s') title('Combustible correspondiente a electricidad') hold off figure(2) plot(Pg1,CCC1,'r') hold on plot(Pg2,CCC2,'b') grid title('CCC vs Pg') xlabel('Pg [kW]') ylabel('CCC [BTU/kWh]') gtext('mp = 5 kg/s') gtext('mp = 10 kg/s') title('Combustible correspondiente a calor') hold off figure(3) plot(Pg1,ICN1,'r') hold on plot(Pg2,ICN2,'b') xlabel('Pg [kW]') ylabel('ICN [kWt/kWe]') gtext('mp = 5 kg/s') gtext('mp = 10 kg/s') title('Indice de calor neto') grid hold off figure(4) plot(mv,Pg1,'r') hold on plot(mv,Pg2,'b') xlabel('mv [kg/s]') ylabel('Pg [kW]') grid gtext('mp = 5 kg/s') gtext('mp = 10 kg/s') title('Potencia eléctrica') hold off figure(5) plot(Pg1,Qc*3412.1412,'r')

hold on plot(Pg2,Qc*3412.1412,'b') xlabel('Pg [kW]') ylabel('Qc [BTU/h]') grid gtext('mp = 5 kg/s') gtext('mp = 10 kg/s') title('Indice de calor') hold off El resultado gráfico se muestra a continuación:

A3 Caso No. 1.

Para resolver la optimización usamos los archivos solobounds03.m y solobounds.m, los cuales requieren de la función fun10.m. El primer archivo muestra los pasos 0-3 del algoritmo de optimización; mientras que el segundo nos da el resultado óptimo. solobounds03.m x0=[0 200 100 90 40 30]; A=[]; B=[]; Aeq=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1]; Beq=[200 115]; LB=[0 81 40 0 0 0]; UB=[150 247 125.8 180 135.6 2695.2]; options=optimset('LargeScale','off') [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon('fun10',x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,[],options) fun10.m function [y,g]=fun10(x) y=50*x(1)+2650+14.5*x(2)+0.0345*x(2)^2+4.2*x(4)+0.03*x(4)^2+0.031*x(2)*x(4)+1250+36*x(3)+0.0435*x(3)^2+0.6*x(5)+0.027*x(5)^2+0.011*x(3)*x(5)+23.4*x(6); if nargout>1 g = [50;14.5+0.0345*2*x(2)+0.031*x(3);36+2*0.0435*x(3)+0.011*x(5); 4.2+2*0.03*x(4)+0.031*x(2); 0.6+0.027*2*x(5)+0.011*x(3); 23.4]; end solobounds.m x0=[0 200 100 90 40 30]; A=[]; B=[]; Aeq=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 -1.1584 0]; Beq=[200 115 -46.881];

LB=[0 81 40 0 0 0]; UB=[150 247 125.8 180 135.6 2695.2]; options=optimset('LargeScale','off') [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon('fun10',x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,[],options) Los resultados para ambos archivos se muestran a continuación: >> solobounds03 options =

ActiveConstrTol: [] DerivativeCheck: [] Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] Display: [] GoalsExactAchieve: [] GradConstr: [] GradObj: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: [] LineSearchType: [] MaxFunEvals: [] MaxIter: [] MaxPCGIter: [] MaxSQPIter: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] ShowStatusWindow: [] TolCon: [] TolFun: [] TolPCG: [] TolX: [] TypicalX: []

Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2

3 5 6 8 x = 0 160.0000 40.0000 0 115.0000 0 fval = 9.0895e+003 exitflag = 1 output =

iterations: 5 funcCount: 41 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [] cgiterations: []

lambda =

lower: [6x1 double] upper: [6x1 double] eqlin: [2x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [0x1 double] ineqnonlin: [0x1 double]

grad =

50.0000 25.5401 40.7448 9.1601 7.2499 23.4000

hessian = 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.5122 -0.2952 -0.2155 -0.2465 0.1250 -0.0000 -0.2952 0.4732 -0.0242 -0.0132 -0.3595 0.0000 -0.2155 -0.0242 0.3862 0.3262 0.2002 -0.0000 -0.2465 -0.0132 0.3262 0.3802 0.2002 -0.0000 0.1250 -0.3595 0.2002 0.2002 0.4765 >> >> solobounds options =

ActiveConstrTol: [] DerivativeCheck: [] Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] Display: [] GoalsExactAchieve: []

GradConstr: [] GradObj: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: [] LineSearchType: [] MaxFunEvals: [] MaxIter: [] MaxPCGIter: [] MaxSQPIter: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] ShowStatusWindow: [] TolCon: [] TolFun: [] TolPCG: [] TolX: [] TypicalX: []

Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2 3 4 6 9 x = 0 160.0000 40.0000 39.9991 75.0009 0 fval = 9.2571e+003 exitflag = 1 output =

iterations: 2 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [] cgiterations: []

lambda =

lower: [6x1 double] upper: [6x1 double]

eqlin: [3x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [0x1 double] ineqnonlin: [0x1 double]

grad =

50.0000 26.7801 40.3052 11.5599 5.0901 23.4000

hessian = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.8630 -0.2152 -0.1781 0.1351 -0.1221 -0.0000 -0.2152 0.6662 -0.2768 0.2055 -0.1832 -0.0000 -0.1781 -0.2768 0.7706 0.1709 -0.1527 0.0000 0.1351 0.2055 0.1709 0.8774 0.1069 -0.0000 -0.1221 -0.1832 -0.1527 0.1069 0.9084 >> El archivo aplicando las restricciones locales de desigualdad aplicadas en la literatura se muestra con el archivo sbalterno.m. sbalterno.m x0=[0 200 100 90 40 30]; A=[0 1 0 0.1778 0 0 0 -1 0 1.7819 0 0 0 -1 0 -0.1698 0 0 0 0 1 0 0.1512 0 0 0 -1 0 1.1584 0 0 0 -1 0 -0.0677 0]; B=[247 105.74 -98.8 130.7 46.88 -45.076]; Aeq=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1]; Beq=[200 115]; LB=[0 81 40 0 0 0]; UB=[150 247 125.8 180 135.6 2695.2]; options=optimset('LargeScale','off')

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon('fun10',x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,[],options) El resultado de dicho archivo es: >> sbalterno options =

ActiveConstrTol: [] DerivativeCheck: [] Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] Display: [] GoalsExactAchieve: [] GradConstr: [] GradObj: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: [] LineSearchType: [] MaxFunEvals: [] MaxIter: [] MaxPCGIter: [] MaxSQPIter: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] ShowStatusWindow: [] TolCon: [] TolFun: [] TolPCG: [] TolX: [] TypicalX: []

Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2 3 5 8 19 x = 0 160.0000 40.0000 40.0000 75.0000 0

fval = 9.2571e+003 exitflag = 1 output =

iterations: 5 funcCount: 41 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [] cgiterations: []

lambda =

lower: [6x1 double] upper: [6x1 double] eqlin: [2x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [6x1 double] ineqnonlin: [0x1 double]

grad = 50.0000 26.7800 40.3050 11.5600 5.0901 23.4000 hessian = 1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.6830 -0.3882 -0.0874 -0.1862 -0.0488 0.0000 -0.3882 0.5039 -0.1398 -0.0744 -0.1877 -0.0000 -0.0874 -0.1398 0.3547 0.2932 0.2701 0.0000 -0.1862 -0.0744 0.2932 0.3541 0.2608 -0.0000 -0.0488 -0.1877 0.2701 0.2608 0.3358 >>

A4 Caso No. 2.

Para resolver la optimización con el procedimiento propuesto usamos los archivos soloboundscc03.m y soloboundscc.m, los cuales requieren de la función fun10.m mostrada en el apéndice A3. El primer archivo muestra los pasos 0-3 del algoritmo de optimización; mientras que el segundo nos da el resultado óptimo.

soloboundscc03.m

x0=[0 200 100 90 40 30 70 -110]; A=[]; B=[];

Aeq=[1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1]; Beq=[250 115 80 -120]; LB=[0 81 40 0 0 0 0 -120]; UB=[150 247 125.8 180 135.6 2695.2 80 0]; options=optimset('LargeScale','off') [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon('fun10',x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,[],options) soloboundscc.m x0=[0 200 100 90 40 30 80 -110]; A=[]; B=[]; Aeq=[1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 -1.7819 0 0 0 0 0 0 1 0 .0677 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1]; Beq=[250 115 -105.74 45.076 80 -120]; LB=[0 81 40 0 0 0 0 -120]; UB=[150 247 125.8 180 135.6 2695.2 80 0]; options=optimset('LargeScale','off') [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon('fun10',x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,[],options) Los resultados para ambos archivos son: >> soloboundscc03 options =

ActiveConstrTol: [] DerivativeCheck: []

Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] Display: [] GoalsExactAchieve: [] GradConstr: [] GradObj: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: [] LineSearchType: [] MaxFunEvals: [] MaxIter: [] MaxPCGIter: [] MaxSQPIter: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] ShowStatusWindow: [] TolCon: [] TolFun: [] TolPCG: [] TolX: [] TypicalX: []

Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2 3 4 19 x = -0.0000 130.0000 40.0000 165.0000 40.0000 30.0000 80.0000 -120.0000 fval = 1.0839e+004 exitflag = 1 output =

iterations: 2 funcCount: 21 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [] cgiterations: []

lambda = lower: [8x1 double] upper: [8x1 double] eqlin: [4x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [0x1 double] ineqnonlin: [0x1 double]

grad =

50.0000 28.5849 39.9201 18.1300 3.2001 23.4000 0 0

hessian = 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.6674 -0.2735 0.3577 0.0025 -0.0000 0.0489 -0.0489 -0.0000 -0.2735 0.7898 0.2958 0.0052 -0.0000 0.0419 -0.0419 0.0000 0.3577 0.2958 0.6155 -0.0023 0.0000 -0.0524 0.0524 0.0000 0.0025 0.0052 -0.0023 1.0007 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0489 0.0419 -0.0524 -0.0000 0.0000 0.9930 0.0070 -0.0000 -0.0489 -0.0419 0.0524 0.0000 -0.0000 0.0070 0.9930 >> >> soloboundscc options =

ActiveConstrTol: [] DerivativeCheck: [] Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] Display: [] GoalsExactAchieve: [] GradConstr: [] GradObj: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: [] LineSearchType: [] MaxFunEvals: [] MaxIter: [] MaxPCGIter: []

MaxSQPIter: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] ShowStatusWindow: [] TolCon: [] TolFun: [] TolPCG: [] TolX: [] TypicalX: []

Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2 3 4 5 6 7 9 x = 0 130.0000 40.0000 132.2970 74.9778 27.7252 80.0000 -120.0000 fval = 1.0370e+004 exitflag = 1 output =

iterations: 3 funcCount: 31 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [] cgiterations: []

lambda =

lower: [8x1 double] upper: [8x1 double] eqlin: [6x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [0x1 double] ineqnonlin: [0x1 double]

grad =

50.0000 27.5711 40.3048 16.1679 5.0888 23.4000 0 0

hessian = 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5567 -0.3499 0.2682 0.0786 0.1390 0 -0.0651 0 -0.3499 0.7229 0.2222 0.1225 0.0512 0 -0.0537 0 0.2682 0.2222 0.8414 -0.0769 -0.0445 0 0.0381 0 0.0786 0.1225 -0.0769 0.5494 0.4722 0 0.0152 0 0.1390 0.0512 -0.0445 0.4722 0.4590 0 0.0153 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 -0.0651 -0.0537 0.0381 0.0152 0.0153 0 0.9908 >> La programación para la optmimización usando las restricciones de desigualdad del tipo encontrado en la literatura se muestra con el archivo sbccalterno.m. sbccalterno. x0=[0 200 100 90 40 30 80 -110]; A=[0 1 0 0.1778 0 0 0 0 0 -1 0 1.7819 0 0 0 0 0 -1 0 -0.1698 0 0 0 0 0 0 1 0 0.1512 0 0 0 0 0 -1 0 1.1584 0 0 0 0 0 -1 0 -0.0677 0 0 0]; B=[247 105.74 -98.8 130.7 46.88 -45.076]; Aeq=[1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1]; Beq=[250 115 80 -120]; LB=[0 81 40 0 0 0 0 -120]; UB=[150 247 125.8 180 135.6 2695.2 80 0]; options=optimset('LargeScale','off') [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon('fun10',x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,[],options) Los resultados a sbccalterno.m se muestran a continuación: >> sbccalterno

options = ActiveConstrTol: [] DerivativeCheck: [] Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] Display: [] GoalsExactAchieve: [] GradConstr: [] GradObj: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: [] LineSearchType: [] MaxFunEvals: [] MaxIter: [] MaxPCGIter: [] MaxSQPIter: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] ShowStatusWindow: [] TolCon: [] TolFun: [] TolPCG: [] TolX: [] TypicalX: []

Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2 3 4 19 26 x = -0.0000 129.1370 40.8630 131.8126 62.2297 40.9576 80.0000 -120.0000 fval = 1.0622e+004 exitflag = 1 output =

iterations: 2 funcCount: 21

stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [] cgiterations: []

lambda =

lower: [8x1 double] upper: [8x1 double] eqlin: [4x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [6x1 double] ineqnonlin: [0x1 double]

grad = 50.0000 27.4968 40.2395 16.1119 4.4098 23.4000 0 0 hessian = 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.5654 -0.3507 0.2679 0.1400 0.0707 0.0000 -0.0645 -0.0000 -0.3507 0.7237 0.2225 0.1150 0.0590 0.0000 -0.0539 0.0000 0.2679 0.2225 0.8410 -0.0843 -0.0417 -0.0000 0.0381 0.0000 0.1400 0.1150 -0.0843 0.9555 -0.0222 -0.0000 0.0202 0.0000 0.0707 0.0590 -0.0417 -0.0222 0.9891 -0.0000 0.0100 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0645 -0.0539 0.0381 0.0202 0.0100 0.0000 0.9909 >>

A5 Caso No. 3.

Esquema de cogeneraión de la industria papelera.

La edición de las entradas al programa Thermoflex se realiza a través de ventanas, algunas de ellas se muestran a continuación. Una vez editadas todas las entradas para los componentes de la planta corremos el programa en modo termodinámico o de ingeniería. El resultado nos proporciona el diseño óptimo. Para realizar la simulación debemos editar los casos. Las variables que podemos alterar para obtener resultados del equipo en carga parcial para la cogeneración son la temperatura a la salida del quemador secundario y el flujo másico de vapor a proceso. Esto se realiza en el menú ‘Edit’ con la opción ‘Define macro cases’, donde se seleccionan las variables y se da el rango en que pueden operar. Éstos rangos pueden observarse en las siguientes figuras:

Los programas modificados deben correrse en modo ‘off-design’; es decir, con el equipo de diseño amarrado. La edición de entradas para la caldera auxiliar se muestra en la siguiente figura:

La variable para encontrar el desempeño a carga parcial es el flujo másico de vapor a la salida de la caldera. La optimización se realiza usando los archivos papelera.m y papelera2.m, los cuales requieren de la función fun100.m. El primer archivo muestra los pasos 0-3 del algoritmo de optimización; mientras que el segundo nos da el resultado óptimo. papelera.m x0=[40 90 30 60]; A=[]; B=[]; Aeq=[1 1 0 0

0 0 1 1]; Beq=[50 40]; LB=[38.096 0 1.4825 0]; UB=[51.76 115 36.544 123.0385]; options=optimset('LargeScale','off') [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon('fun100',x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,[],options) fun100.m function [y,g]=fun100(x) y=920.1712+12.3095*x(1)+0.25*x(1)^2-29.2393*x(3)+0.25*x(3)^2+0.5*x(1)*x(3)+17.438*x(4)+0.0158+60*x(2); if nargout>1 g = [12.3095+2*0.25*x(1)+0.5*x(3);60;-29.2393+0.25*2*x(3)+0.5*x(1);17.438]; end papelera2.m x0=[40 90 30 60]; A=[]; B=[]; Aeq=[1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0.103 0]; Beq=[50 40 51.982]; LB=[38.096 0 1.4825 0]; UB=[51.76 115 36.544 123.0385]; options=optimset('LargeScale','off') [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon('fun100',x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,[],options) Los resultados para ambos archivos son: >> papelera options =

ActiveConstrTol: [] DerivativeCheck: []

Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] Display: [] GoalsExactAchieve: [] GradConstr: [] GradObj: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: [] LineSearchType: [] MaxFunEvals: [] MaxIter: [] MaxPCGIter: [] MaxSQPIter: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] ShowStatusWindow: [] TolCon: [] TolFun: [] TolPCG: [] TolX: [] TypicalX: []

Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2 4 9 x = 50.0000 0 36.5440 3.4560 fval = 2.3999e+003 exitflag = 1 output =

iterations: 5 funcCount: 31 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [] cgiterations: []

lambda = lower: [4x1 double] upper: [4x1 double] eqlin: [2x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [0x1 double] ineqnonlin: [0x1 double]

grad =

55.5815 60.0000 14.0327 17.4380

hessian = 1.4109 0.0655 0.5965 0.0965 0.0655 0.1516 -0.2489 -0.2489 0.5965 -0.2489 1.0063 0.5063 0.0965 -0.2489 0.5063 0.5063 >> >> papelera2 options =

ActiveConstrTol: [] DerivativeCheck: [] Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] Display: [] GoalsExactAchieve: [] GradConstr: [] GradObj: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: [] LineSearchType: [] MaxFunEvals: [] MaxIter: [] MaxPCGIter: [] MaxSQPIter: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] ShowStatusWindow: [] TolCon: [] TolFun: [] TolPCG: []

TolX: [] TypicalX: []

Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2 3 10 x = 48.2180 1.7820 36.5440 3.4560 fval = 2.4085e+003 exitflag = 1 output =

iterations: 4 funcCount: 25 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [] cgiterations: []

lambda =

lower: [4x1 double] upper: [4x1 double] eqlin: [3x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [0x1 double] ineqnonlin: [0x1 double]

grad =

54.6905 60.0000 13.1417 17.4380

hessian = 1.9525 0.0536 0.8137 0.1696 0.0536 0.1480 -0.2640 -0.2543 0.8137 -0.2640 1.0880 0.5285 0.1696 -0.2543 0.5285 0.4849 >> El archivo final para el problema 1 (de 11:00 PM – 4:00 AM) se muestra con p01b.m. p01b.m x0=[40 90 30 60];

A=[]; B=[]; Aeq=[0 0 1 1 1 0 0.119 0]; Beq=[27 42.407]; LB=[38.096 0 1.4825 0]; UB=[51.76 115 36.544 123.0385]; options=optimset('LargeScale','off') [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon('fun100',x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,[],options) Los resultados para dicho problema son: >> p01b options =

ActiveConstrTol: [] DerivativeCheck: [] Diagnostics: [] DiffMaxChange: [] DiffMinChange: [] Display: [] GoalsExactAchieve: [] GradConstr: [] GradObj: [] Hessian: [] HessMult: [] HessPattern: [] HessUpdate: [] Jacobian: [] JacobMult: [] JacobPattern: [] LargeScale: 'off' LevenbergMarquardt: [] LineSearchType: [] MaxFunEvals: [] MaxIter: [] MaxPCGIter: [] MaxSQPIter: [] MeritFunction: [] MinAbsMax: [] Preconditioner: [] PrecondBandWidth: [] ShowStatusWindow: [] TolCon: [] TolFun: [] TolPCG: []

TolX: [] TypicalX: []

Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2 4 6 x = 39.1940 0 27.0000 0 fval = 1.7086e+003 exitflag = 1 output =

iterations: 4 funcCount: 25 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: [] cgiterations: []

lambda =

lower: [4x1 double] upper: [4x1 double] eqlin: [2x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [0x1 double] ineqnonlin: [0x1 double]

grad =

45.4065 60.0000 3.8577 17.4380

hessian = 2.2561 -0.1350 1.0514 0.3425 -0.1350 0.0609 -0.1158 -0.0998 1.0514 -0.1158 0.8119 0.2463 0.3425 -0.0998 0.2463 0.2055 >>