Integra˘c~ao Num ericaluciac/cn/192-integracao.pdf · 2019-11-26 · F ormulas de Newton-Cotes F ormulas de Gauss-Legendre Regra dos Trap ezios Regra 1/3 de Simpson F ormulas deNewton-Cotes:

Formulas de Newton-CotesFormulas de Gauss-Legendre

Integracao Numerica

Lucia Catabriga e Andrea Maria Pedrosa Valli

Departamento de InformaticaUniversidade Federal do Espırito Santo - UFES, Vitoria, ES, Brasil

1-22


Integracao Numerica

1 Formulas de Newton-Cotes

Regra dos TrapeziosRegra 1/3 de Simpson

2 Formulas de Gauss-Legendre

2-22



Formulas de Newton-Cotes:

f (x) = pm(x) + Em(x)

onde pm(x) = polinomio interpolador de grau mEm(x) = erro na interpolacao

⇒∫ b

af (x)dx =

∫ b

apm(x)dx +

∫ b

aEm(x)dx

Formulas:1 A regra dos Trapezios (m = 1)2 A regra 1/3 de Simpson (m = 2)

3-22



A regra dos Trapezios usando um subintervalo em [a, b]:∫ b

af (x)dx ≈

∫ b

ap1(x)dx = f (a)+f (b)

2 (b − a)

A regra dos Trapezios usando mais de um subintervalo em [a, b]:

4-22



A regra dos Trapezios usando n subintervalos em [a, b]:∫ b

a

f (x)dx =n−1∑i=0

∫ xi+1

xi

f (x) dx =n−1∑i=0

∫ xi+1

xi

( p1(x) + E1(x) ) dx

5-22



∫ xi+1

xi

p1(x) dx =

∫ xi+1

xi

(f (xi )

x − xi+1

xi − xi+1+ f (xi+1)

x − xixi+1 − xi

)dx

=f (xi ) + f (xi+1)

2(xi+1 − xi )

∫ xi+1

xi

E1(x) dx =

∫ xi+1

xi

f ′′(ξx)

2!(x − xi )(x − xi+1) dx

(pelo TVI)1 =f ′′(ξi )

2

[−(xi+1 − xi )

3

6

]= − f ′′(ξi )

12(xi+1 − xi )

3, ξi ∈ (xi , xi+1)

⇒∫ xi+1

xi

f (x) dx =f (xi ) + f (xi+1)

2(xi+1 − xi )

− f ′′(ξi )

12(xi+1 − xi )

3, ξi ∈ (xi , xi+1)

1Se f ′′ e continua, ∃ ξi ∈ (xi , xi+1) tal que6-22



Vamos assumir que xi+1 − xi = h, i = 0, 1, · · · , n − 1. Entao,∫ b

a

f (x)dx =n−1∑i=0

∫ xi+1

xi

f (x) dx

≈n−1∑i=0

f (xi ) + f (xi+1)

2(xi+1 − xi ) =

h

2

n−1∑i=0

(f (xi ) + f (xi+1))

=h

2[f (x0) + f (x1) + f (x1) + f (x2) + · · ·+ f (xn−1) + f (xn)]

=h

2[ f (x0) + 2 ( f (x1) + f (x2) + · · ·+ f (xn−1) ) + f (xn) ]

⇒∫ b

a

f (x)dx ≈ A0f (x0) + A1f (x1) + · · ·+ Anf (xn)

onde

A0 = An =h

2, A1 = A2 = · · · = An−1 = h

7-22



∫ b

a

E1(x)dx =n−1∑i=0

− f ′′(ξi )

12(xi+1 − xi )

3

= −h3

12

n−1∑i=0

f ′′(ξi ), ξi ∈ (xi , xi+1)

(TVI) = −h3

12f ′′(ξ)

n−1∑i=0

1, ξ ∈ (a, b)

= −nh3

12f ′′(ξ)

= −h2

12(b − a) f ′′(ξ)

Teorema do Valor Intermediario (TVI): f ′′(x) e uma funcao contınua em[a, b] e min ≤ c ≤ max ⇒ ∃ pelo menos um ξ ∈ [a, b] tal que f ′′(ξ) = c .

8-22



A regra dos Trapezios:

⇒∫ b

a

f (x)dx = A0f (x0) + A1f (x1) + · · ·+ Anf (xn)− nh3

12f ′′(ξ)

onde

A0 = An =h

2, A1 = A2 = · · · = An−1 = h

9-22



Limitante para o erro na regra dos Trapezios:

|ET | ≤nh3

12M2, onde M2 = max

x∈[a,b]|f ′′(x)|

Observacao: a regra dos Trapezios integra sem erros polinomios degrau menor ou igual a 1. Ex: f (x) = x em [0, 1]∫ 1

0x dx =

x2

2|10 =

1

2

Basta usar apenas um subintervalo em [0, 1], x0 = 0, x1 = 1 ⇒h = 1: ∫ 1

0x dx =

1

2f (0) +

1

2f (1) =

1

2

Exemplo: calcule uma aproximacao para integral abaixo usando 4 e8 subintervalos, calcule o erro exato e estime o erro cometido.∫ 2

1ex dx = e2 − e1 = 4.670774

10-22



A regra 1/3 de Simpson usando dois subintervalo em [a, b]:∫ b

a

f (x)dx =

∫ b

a

( p2(x) + E2(x) )dx

∫ b

a

f (x)dx ≈∫ x2

x0

( f (x0)(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)+ f (x1)

(x − x0)(x − x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)+

f (x2)(x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)) dx

=h

3( f (x0) + 4f (x1) + f (x2) )

11-22



∫ x2

x0

E2(x) dx =

∫ x2

x0

f ′′′(ξx)

3!(x − x0)(x − x1)(x − x2) dx = 0

Considere o proximo termo na serie de Taylor para calcular o erro:

⇒∫ x2

x0

f (4)(ξx)

4!(x − x0)(x − x1)2(x − x2) dx

(TVI ) = −h5

90f (4)(ξ), ξ ∈ (x0, x2)

Somando os erros e assumindo um numero par de divisoes (n par) em[a, b], temos:

⇒ ES =

n/2∑k=1

−h5

90f (4)(ξk), ξk ∈ (x2k−2, x2k)

(TVI ) = −h5

90f (4)(ξ)

n/2∑k=1

1, ξ ∈ (a, b)

= −nh5

180f (4)(ξ) = − h4

180(b − a) f (4)(ξ)

12-22



Vamos assumir que xi+1 − xi = h, i = 0, 1, · · · , n − 1. Entao,

∫ b

af (x)dx =

n/2∑k=1

∫ x2k

x2k−2

f (x) dx

≈n/2∑k=1

h

3( f (x2k−2) + 4f (x2k−1) + f (x2k) )

=h

3( f (x0) + 4f (x1) + f (x2) + f (x2) + 4f (x3) + f (x4) +

+ · · ·+ f (xn−2) + 4f (xn−1) + f (xn) )

=h

3( f (x0) + f (xn) +

+ 4 [ f (x1) + f (x3) + · · ·+ f (xn−1) ] +

+ 2 [ f (x2) + f (x4) + · · ·+ f (xn−2) ] )

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A regra 1/3 de Simpson

⇒∫ b

a

f (x)dx = A0f (x0) + A1f (x1) + · · ·+ Anf (xn)− nh5

180f (4)(ξ)

onde

A0 = An = h/3

A1 = A3 = · · · = An−1 = 4h/3

A2 = A4 = · · · = An−2 = 2h/3

14-22



Limitante para o erro na regra 1/3 de Simpson:

|ES | ≤nh5

180M4, onde M4 = max

x∈[a,b]|f (4)(x)|

Observacao: a regra 1/3 de Simpson integra sem erros polinomios de graumenor ou igual a 3. Ex: f (x) = x3 em [0, 1]∫ 1

0

x3 dx =x4

4|10 =

1

4

=1/2

3(f (0) + 4f (0.5) + f (1)), (h = 1/2)

=1

6(4(

1

2)3 + 1) =

1

6(

1

2+ 1) =

1

4

Exemplo: calcule uma aproximacao para integral abaixo usando 4 e 8subintervalos, calcule o erro exato e estime o erro cometido.∫ 2

1

ex dx = e2 − e1 = 4.670774

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Bibliografia Basica

Ideia do metodo de Quadratura Gaussiana: Vamos considerar inicialmenteintegrais definidas no intervalo padrao t ∈ [−1, 1]: determinart1, t2, · · · , tn,A1,A2, · · · ,An de forma que a integral seja exata parapolinomios de grau ≤ 2n − 1.∫ 1

−1

g(t)dt ≈ A1g(t1) + A2g(t2) + · · ·+ Ang(tn)

Exemplo: n = 2 (2 pontos de integracao). Formula exata para polinomiosde grau menores ou iguais a 2n − 1 = 3:∫ 1

−1

g(t)dt ≈ A1g(t1) + A2g(t2)

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Bibliografia Basica

2 =

∫ 1

−1

1dt = A1 + A2

0 =

∫ 1

−1

tdt = A1t1 + A2t2

2

3=

∫ 1

−1

t2dt = A1(t1)2 + A2(t2)2

0 =

∫ 1

−1

t3dt = A1(t1)3 + A2(t2)3

Sistema de equacoes nao-linear com 4 equacoes e 4 incognitas. Resolvendo:

t2/t1 = ±√

3/3 (pontos da quadratura)

A1 = A2 = 1 (pesos da quadratura)

Exemplo: calcular uma aproximacao para a integral abaixo usandoquadratura Guaussiana com 2 pontos.∫ 1

−1

ex dx = e1 − e−1 = 2.350402

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Bibliografia Basica

Tabela de pontos e pesos da quadratura Gaussiana

18-22


Bibliografia Basica

Mudanca de variavel de x ∈ [a, b] e t ∈ [−1, 1]:

x − a+b2

t − 0=

b − a

2⇒ x =

a + b

2+

b − a

2t ⇒ dx =

b − a

2dt

⇒∫ b

a

f (x)dx =b − a

2

∫ 1

−1

g(t)dt, g(t) = f (a + b

2+

b − a

2t)

≈ b − a

2(A1g(t1) + A2g(t2) + · · ·+ Ang(tn) )

Exemplo: calcular uma aproximacao para a integral abaixo usandoquadratura Gaussiana com dois pontos.∫ 2

1

ex dx = e2 − e1 = 4.670774

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Bibliografia Basica

Limitante Superior do Erro cometido na QuadraturaGaussiana

‖EQG‖ ≤(b − a)2n+1(n!)4

((2n)!)3(2n + 1)M2n

M2n = maxa≤x≤b‖f (2n)(x)‖

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Bibliografia Basica

Exercıcios Sugeridos - Referencia [1]

5.1 (a), (b) e (d)

5.2

5.3

5.6

5.7

5.11

5.12

5.36

5.39

5.40

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Bibliografia Basica

Bibliografia Basica[1] Algoritmos Numericos, Frederico F. Campos, Filho - 2a Ed.,

Rio de Janeiro, LTC, 2007.[2] Metodos Numericos para Engenharia, Steven C. Chapa e

Raymond P. Canale, Ed. McGraw-Hill, 5a Ed., 2008.[3] Calculo Numerico - Aspectos Teoricos e Computacionais,

Marcia A. G. Ruggiero e Vera Lucia da Rocha Lopes, Ed. PearsonEducation, 2a Ed., 1996.

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Documents

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