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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I
Integración por partes
Los ejercicios que se presentarán en este materialpretenden aclarar las dudas sobre una de lastécnicas de integración.
Ya en el estudio de las derivadas se encontrabanfórmulas para suma, resta, productos y cocientes, enel caso de las integrales lo que existe son técnicaspara integrar dichas funciones.
Presentación
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Tema: Integración por partes | Unidad XI
Índice
Presentación 2
A manera de inicio 4Ejercicio 1 7
Ejercicio 2 10Ejercicio 3 15Cierre 18Créditos 19
Tema: Integración por partes | Unidad XI
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A manera de inicio
Esta es otra técnica que se utiliza para expresar unaintegral de forma que se pueda determinar másfácilmente el cálculo de la misma.
Dentro de las integrales indefinidas es importanteresaltar que estas pueden usarse para calcular áreaso volúmenes de sólidos revolucionados, haciendouso de lo que se conoce como integral indefinida.
Tema: Integración por partes | Unidad XI
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Integración por partes
Como veremos, la fórmula que se presentará seráútil para integrar un producto de funciones, en lasque, dependiendo de las características que éstascumplan, es mejor seguir el siguiente patrón con elobjetivo que la integral resultante en el miembro dela derecha sea más simple de calcular, que la integraloriginal.
La fórmula será la siguiente:
!" #$ = "$ −!$ #"
Tema: Integración por partes | Unidad XI
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Un día Vi una vaca Vestida
De Uniforme
Integración por partes
Para la aplicación de dicha fórmula es necesarioescoger de las dos funciones que tendrá una que sederive ! y otra que se integre "# , para laescogencia de la función que vamos a derivar sepuede usar la siguiente expresión que funciona parala mayoría de los casos:
$%&'(Que significa:
$ = *+#,-./. 0-123+34é0-16/.% = 732/-í0416/.& = 9:2,;-/16/.' = <-123+34é0-16/.( = =>?3+,+61/:,.
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Ejercicio 1
Calcule la siguiente integral
! "# − % &# '#
Paso 1 Se determina la función que se va a derivar y la función que se va a integrar.
(&)*+,)- = 70 − 82- = 7 20
345&6),)27 = 897 = 89
Recuerde:3:;<=
Algebraica está antes de exponencial, por lo que seescoge "# − % para derivar y &# para integrar.
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Ejercicio 1
Paso 2Se aplica la fórmula para integración por partes:
!" #$ = "$ −!$ #"
! 7( − 8 *+ #( = (
)
7(
− 8 *+ − !*+ 7 #(
Paso 3Ahora se resuelve la expresión
7( − 8 *+ − !*+ 7#(
7( − 8 *+ − 7*+ + /
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Ejercicio 1
Paso 4Simplificando
!" 7$ − 8 − 7 + (!" 7$ − 15 + (
Paso 5Respuesta
!" 7$ − 15 + (
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Ejercicio 2
Calcule la siguiente integral
!"# $%& '# (#
Paso 1 Se determina la función que se va a derivar y la función que se va a integrar.
)"*+,-*. = 012 74
5. = −278 74 9 7 545. = −7278 74 54
:;<"=*-*5> = 7?> = 7?
Recuerde::@ABC
Trigonométrica está antes de exponencial, por lo quese escoge $%& '# para derivar y "# para integrar.
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Ejercicio 2
Paso 2Se aplica la fórmula para integración por partes:
!" #$ = "$ − !$ #"
!'()*+ 7- #- = )*+ 7- '( − !'( . − 7+'/ 7- #-
Paso 3Ahora se resuelve la expresión
)*+ 7- '( − !'( . − 7+'/ 7- #-
)*+ 7- '( − −7!'( +'/ 7- #-
)*+ 7- '( + 7!'( +'/ 7- #-
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Ejercicio 2
Paso 4Se vuelve a aplicar integración por partes para laexpresión −7∫ $% &$' 7( )( y se conserva lodemás:
*+& 7( $% + 7-$% &$' 7( )(
*+& 7( $% − 7 )(
Paso 5Ahora se simplifica la expresión
*+& 7( $% + 7 &$' 7( $% − -$% 7*+& 7( )(
*+& 7( $% + 7 &$' 7( $% − 7-$% *+& 7( )(
./012304 = &$' 7(
)4 = *+& 7( 6 7 )()4 = 7*+& 7( )(
789/:030); = $%; = $%
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Ejercicio 2
Continuación del Paso 5
!"# 7% &' + 7#&) 7% &' − 49-&' !"# 7% .%
Paso 6Note que nos sigue quedando ∫ &' !"# 7% .%, quees con lo que iniciamos el ejercicio, entra en unciclo, por lo que es necesario hacer una ecuación:
!"# 7% &' + 7#&) 7% &' − 49-&' !"# 7% .% = -&' !"# 7% .%
!"# 7% &' + 7#&) 7% &' = -&' !"# 7% .% + 49-&' !"# 7% .%
!"# 7% &' + 7#&) 7% &' = 50-&' !"# 7% .%
!"# 7% &' + 7#&) 7% &'50 = -&' !"# 7% .%
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Ejercicio 2
Paso 7Respuesta
!"# 7% &' + 7#&) 7% &'50 + ,
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Ejercicio 3Calcule la siguiente integral
!"# $ % &%
Paso 1 Se determina la función que se va a derivar y la función que se va a integrar.
'()*+,)- = /0 1 2
3- = 11 2 5
131 27
32
3- = 132 32
8#9(:),)3; = 1; = 2
Recuerde:<=>?@
Logarítmica está antes de algebraica, por lo que seescoge "# $ % para derivar y A para integrar.
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Ejercicio 3
Paso 2Se aplica la fórmula para integración por partes:
!" #$ = "$ − !$ #"
! '( ) * #* = '( ) * + * − !* + 13* #*
'( ) * + * − !13 #*
Paso 3Ahora se resuelve la expresión
'( ) * + * − !13 #*
*'( ) * − *3 + /
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Ejercicio 3
Paso 4Respuesta
!"# $ ! − !3 + (
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Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara resolver problemas de Integración porpartes, con los cuáles pueda construir los nuevosconocimientos que vendrán en Cálculo I.
“Todas las verdades son fáciles de
entender, una vez descubiertas. El
caso es descubrirlas.”
Galileo Galiley
A manera de cierreA manera de cierre
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CréditosUniversidad Técnica Nacional
Coordinación de Matemáticas y Estadística
ContenidoAutor: Gerardo Arroyo Brenes
Producción del recurso didáctico:Productora académica: Guadalupe Camacho Zúñiga
Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde
Derecho de AutorQueda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Integración por partes], por cualquier
medio o procedimiento, conocido o por conocerse, sinel consentimiento previo de los titulares de losderechos, así como de las obras literarias, artísticas o
científicas particulares que contiene.
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