Integral Luas Daerah

LUAS DAERAH DAN

VOLUME BENDA PUTAR

DALAM MENENTUKAN LUAS DAERAH DAN

VOLUME BENDA PUTAR, DISARANKAN UNTUK

MENGGAMBAR GRAFIKNYA TERLEBIH DULU.

Dengan menggambar grafiknya maka

Daerah yang diminta akan lebih jelas

tampak.

MENGGAMBAR GRAFIK

Fungsi linear: y = mx + cCari titik potong pada sumbu x dan y.

Fungsi kuadrat: y = ax2 + bx + cCari titik potong pada sumbu x dan yCari sumbu simetri: xs = –b/2a

Fungsi kubik:Turunan pertama = 0Cek tanda + – + –Sketsa grafiknya

Fungsi linear: y = mx + c

Cari titik potong pd sb. x & y

Contoh:

gambarkan y = 8 – 2x

Buat hubungan x & y :

x y

0 8

4 0

Fungsi kuadrat: y = ax2 + bx + c- Cari titik potong pd sumbu x & y

- Cari sumbu simetri: xs = –b/2a

Contoh:Gambarkan y = x2 – 2x – 8

x y

0 –8

–2 0

4 0

Sb. simetri: xs = –(–2) / 2 . 1 = 1

MENENTUKAN FUNGSI DARI GRAFIKFungsi linear/garis lurus:

a) Jika diketahui titik potong dgn sumbu “angka di sb. x kali dgn y dan angka di sb. y kali dgn x”

b) Diketahui 2 titik sembarang Cari gradien: m = y / x Pakai rumus: y – y1 = m(x – x1) atau y = mx + c

Fungsi kuadrat: y = ax2 + bx + c

a) Diketahui Puncak dan 1 titik sembarang Pakai: y – yP = a (x – xP)

2 dan cari nilai “a”

b) Diketahui titik potong dgn sumbu x (x1, 0), (x2, 0) dan 1 titik lain

Pakai: y = a (x – x1) (x – x2) dan cari nilai “a”

c) Diketahui 3 titik sembarang Pakai: y = ax2 + bx + c dgn eliminasi 3 var, cari nilai “a, b,

c”

A(1, 5)

LUAS DAERAH

1.

LUAS DAERAH

2.

LUAS DAERAH

3.

4.

5.

6.

12107

38

425

totalLuas

AB

Cari titik potong garis & parabola

2x – 1 = –x2 + 2x + 8

x2 = 9 x1 = 3 , x2 = –3

3–3

Titik potong garis & sumbu x

2x – 1 = 0 x = 0,5

0,5

Titik potong parabola & sumbu x

–x2 + 2x + 8 = 0

x2 – 2x – 8 = 0 4 ˅ –2 –2 4

4

3

2 82 dxxxLB

38

83

4

3

23

xx

x

425

255,2

AL

7.

6221

2 2 xxx

2)( xxg

6221

2 2 xxx

Titik potong garis & parabola:

(x – 2) ( x + 8) = 0 x = 2 ˅ –8

016608321 22 xxxx

2

8

2 8321

dxxxLuas

2

8

23

82

36

x

xx

3250

64963

256166

34

–0,5x2 – 3x + 8 = 0 D = (–3)2 – 4 (–0,5) 8 = 25

26a

DDLuas

3250

5,06

25252

Luas

8.

9.

LUAS ARSIRAN = TRAPES BESAR – TRAPES KECIL

222

622

264

LUAS ARSIRAN = TRAPES BESAR – TRAPES KECIL

442

154

235

1

2

Pers. garis 1: y = 7 – x

Pers. garis 2: y = 6 – 0,5x

saat x = 2 y1 = 5 & y2 = 5

saat x = 6 y1 = 1 & y2 = 3

DISKRIMINAN: D = 22 – 4 .(–2) .4 = 36

946636

)2(6

3636

6 22

a

DDarsiranLuas

Pers. garis : y = 2x + 2

Pers. parabola : y = 2x2 – 2

Atas kurang Bawah:

2x + 2 – (2x2 – 2) = 0

2x + 4 – 2x2 = 0

LUAS ARSIRAN = 4 + 5 – 8/3 = 19/3

38

232

4316

23

222

2

1

32

1

2

x

xdxxCLuas

Pers. garis : y = 2x + 2

Pers. parabola : y = 2x2 – 2

Luas A = 0,5 . 2 . 4 = 4

A

B

C

Luas trapesium BC:

= 0,5 (4 + 6) x 1 = 5

Bisa juga: luas pd soal sebelumnya dikurangi dgn luas yg di bawah sumbu x

Bisa juga: . . . ?

Pers. garis : y = –1,5x + 6

Pers. parabola : y = 3 – x2

317

6338

34

33

323

2

0

232

0

2

x

xxdxxxarsiranLuas

Atas – bawah :

–1,5x + 6 – (3 – x2) = x2 – 1,5x + 3

Pers. garis: y = –2x + 6

LB = 0,5 . 1 . 2 = 1

A B

2

2

232

2

21

232

2

xdxxLA

316

0832

Larsir = 16/3 + 1 = 19/3

Pers. garis: y = x – 2

2

2

23

)2(24

dxxxx

LA

2

2

234

42316

x

xxx

2

2

23

44

dxxxx

332

8238

18238

1

Larsir = 32/3 + 5/3 = 37/3

24

23

xx

y

A B

35

24

24

2

23

dxx

xxLB

GRAFIK DIPUTAR MENJADI

Parabola : x2 = y + 3

Garis : y = x + 3

Atas – bawah :

x + 3 – (x2 – 3 ) = –x2 + x + 6

D = 12 – 4 . (–1) . 6 = 25

6125

)1(6

2525

6 22

a

DDarsiranLuas

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan

sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x0 a bx

y

ax

0 b

b

adxxf )(

Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi

Integral

Tentukan limitnya

n

)(xf

n

iii xxf

1)(

)(xf

in

ii

n

b

axxfdxxfL

1)()( lim

Menghitung Luas dengan Integral

Kegiatan pokok dalam menghitung

luas daerah dengan integral tentu

adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi

Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi

6. Nyatakan dalam integral

x0

y)(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi

a

dxxf0

)(L


Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis

x = 3

Contoh 3.Contoh 3.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya


3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi

4. Jumlahkan luasnya L xi2

xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix

JawabJawab


Hal.: 36 Integral

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan

Aj -(4xj - xj2)xj

4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan

A -(4xj - xj2)xj

5. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi

dan A = lim -(4xj - xj2)xj

6. Nyatakan dalam integral

y

0x54

24)( xxxf

dxxx 4

0

2)4(L dxxx 5

4

2)4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5

Contoh Contoh 44..

JawabJawab

NextBack Home


Hal.: 37 Integral

dxxx 4

0

2)4(L

dxxx 5

4

2)4(A

y

0x54

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

40

33122L xx

3643

312 320)4()4(2L

54

33122A xx

33123

312 )4()4(2)5()5(2A

364

3125 3250A

18A 361

1832 daerah Luas 361

364

13 daerah Luas NextBack Home


Hal.: 38 Integral

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada

selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi,

aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat

ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.



2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x

4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ]

x

5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

ba

dxxgxfb

a )()(L

)(xfy

)(xgy

0x

Li

x

x

)()( xgxf

NextBack Home


Hal.: 39 Integral

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 -

x

Contoh 5.Contoh 5.

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 13. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x

4. Jumlahkan luasnya

L (2 - x - x2)x

5. Tentukan limit jumlah luasnyaL = lim (2 - x - x2)x


dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1-2-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

JawabJawab

NextBack Home

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

Hal.: 40 Integral

dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2-1-2-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1

23

3

22L

xxx

3

3)2(2

2)2(3

312

21 )2(2)1(2L

38

31

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L

NextBack Home


Hal.: 41 Integral

Untuk kasus tertentu pemartisian

secara vertikal menyebabkan

ada dua bentuk integral.

Akibatnya diperlukan waktu lebih

lama untuk menghitungnya.

)(xfy y

a b

Lix

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai

0x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

adxxgxf )()(

NextBack Home


Hal.: 42 Integral

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan

diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah

tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari

sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

cdyyfyg )()(

Li y

c

d

)()( yfyg

NextBack Home


Hal.: 43 Integral

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan

sumbu x

Contoh Contoh 66..

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y –

2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 23. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y

4. Jumlahkan luasnya

L (6 - y - y2)y

5. Tentukan limitnyaL = lim (6 - y - y2)y


Luas daerah =

2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

06

Liy

y

2)6( yy

JawabJawab

NextBack Home


Hal.: 44 Integral

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

06

Li yy

2)6( yy

Luas daerah = 2

03

3

26

yyy

Luas daerah = 0332

22)2(6

Luas daerah =

38112

Luas daerah = 325

Home Back Next


Hal.: 45 Integral

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh

360º, maka akan terbentuk suatu

benda putar. Kegiatan pokok

dalam menghitung volume benda

putar dengan integral adalah:

partisi, aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan

menyatakan dalam integral tentu. Gb. 4

Home NextBack

Volume Benda Putar

Hal.: 46 Integral

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan

adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan

bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk

menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode

cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabungy

0 x

y

x

0x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

NextBack Home

Volume Benda Putar

Hal.: 47 Integral

Metode cakram yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan volume

mentimun dengan memotong-

motongnya sehingga tiap potongan

berbentuk cakram.

NextBack Home

Volume Benda Putar Metode Cakram

Hal.: 48 Integral

Bentuk cakram di samping dapat

dianggap sebagai tabung dengan jari-

jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi

sebagai V r2h atau V

f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam integral

diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 xdxxfa0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfr

NextBack Home


Hal.: 49 Integral

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y =

x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.Contoh 7.



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

y

2x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

JawabJawab

NextBack Home


Hal.: 50 Integral

y

h=x

x

x

12 xr

V r2h

V (x2 + 1)2 x

V (x2 + 1)2 x

V = lim (x2 + 1)2

x dxxV 2

0

22 )1(

dxxxV 2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

NextBack Home


Hal.: 51 Integral

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y =

x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 8.Contoh 8.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

bentuk integral.

2

yy

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

JawabJawab

NextBack Home


Hal.: 52 Integral

V r2h

V (y)2 y

V y y

V = lim y y

dyyV 2

0

2

02

21 yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV 2

0

2VNextBack Home


Hal.: 53 Integral

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan memotong-

motongnya yang potongannya

berbentuk cincin.

NextBack Home

Volume Benda Putar Metode Cincin

Hal.: 54 Integral

Menghitung volume benda putar

dengan menggunakan metode

cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di

samping, yaitu V= (R2 – r2)h

hr

R

Gb. 5

NextBack Home


Hal.: 55 Integral

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh

360º.

Contoh 9.Contoh 9.



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

JawabJawab

NextBack Home


Hal.: 56 Integral

y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

V (R2 – r2) h

V [ (2x)2 – (x2)2 ] x

V (4x2 – x4) x

V (4x2 – x4) x

V = lim (4x2 – x4) x

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)( 532

332 V

)( 1596160V

1564V

NextBack Home


Hal.: 57 Integral

Metode kulit tabung yang digunakan

untuk menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti

menentukan volume roti pada gambar

disamping.

NextBack Home

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

Hal.: 58 Integral

rr

h

h

2rΔr

V = 2rhΔr

NextBack Home


Hal.: 59 Integral

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi

kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y

sejauh 360º.

Contoh 10.Contoh 10.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi.

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

bentuk integral.

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

JawabJawab

NextBack Home


Hal.: 60 Integral

0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = xx

h = x2

0

x

1 21 2

y

1

2

3

4

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = lim 2x3x

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

NextBack Home


Hal.: 61 Integral

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal

dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi

tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung

dengan metode cincin adalah sebagai berikut.

0

x

1 2-2 -1

y

1

2

3

4

V (R2 – r2)y

V (4 - x2)y

V (4 – y)y

V = lim (4 –

y)y dxyV 4

04

4

0

2214 yyV

)816( V

8V

0

x

1 2x

2xy y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

Home Back Next


Documents

Integral Luas Daerah