DTH1B3 - MATEMATIKA

TELEKOMUNIKASI I

Integral dan Teknik Integral

By : Dwi Andi Nurmantris

CAPAIAN PEMBELAJARAN

Mampu memahami integral sebagai anti turunan, dan mampu menentukan hasil integral dari berbagai bentuk fungsi.

Mampu membedakan penggunaan teknik integral untuk menyelesaikan integral pada fungsi.

MATERI PEMBELAJARAN

Integral a. Definisi Integral b. Penyelesaian Integral Fungsi c. Teknik integral

DEFINISI INTEGRAL

Kebalikan dari Turunan Anti Turunan Kegunaan :

Mencari fungsi asal jika diketahui fungsi turunannya

integral tak tentu (indefinite integral) Menentukan luas bidang dari sebuah kurva yang

dibatasi sumbu X integral tentu (definite integral)

DEFINISI INTEGRAL INTEGRAL TAK TENTU

Nilai domain tidak ditentukan

Jika Y = F(x) dan Y’ = F’(x) = f(x), maka “integral dari f(x) terhadap X” :

cxFdxxf )()(

Keterangan : tanda integral f(x) : integran F(x) : fungsi primitif c : konstanta

DEFINISI INTEGRAL Perhatikan tabel berikut:

Turunan

F(x) F’(x)

Integral

3x2 + 3

3x2

3x2 - 5

3x2 + 5

6x

6x

6x

6x

CxFdxxf )()(

Jika konstanta 3,-5 dan 5

adalah C ,maka fungsi F(x) =

3 x2 + C , dengan notasi integral dapat di tulis

DEFINISI INTEGRAL

xdx4 Cx 22

dxx23 Cx 3

dxx34 Cx 4

=

b. =

c. =

a.

Contoh :

DEFINISI INTEGRAL INTEGRAL TENTU

• Nilai domainnya ditentukan :

a b

a : batas bawah

b : batas atas

b

a

b

aaFbFxFxf )()()()(

DEFINISI INTEGRAL Perhatikan gambar di bawah ini!

Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian

(lebar tidak harus sama) dengan lebar selang

ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada selang [xi-1, xi]

diambil titik sampel xk maka jumlah Riemann

dituliskan sebagai :

k

n

kk xxf Δ )(

1

y

a

x

0 b

xi-1 xi xk

xi

DEFINISI INTEGRAL Perhatikan gambar di bawah ini!

y

a

x

0 b

xi-1 xi xk

xi

Selanjutnya didefinisikan bahwa:

k

n

k

kn

xxfdxxf Δ )( lim )(1

b

a

Bentuk b

a

)( dxxf

disebut dengan integral tentu

(Integral Riemann)

DEFINISI INTEGRAL Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan

sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral

i

n

i

in

b

a

xxfdxxfL 1

)()( lim

DEFINISI INTEGRAL

96152353|33 5

2

5

2 xdx

Contoh : y

2

x

0 5

3

3)( xf

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI

• Rumus Dasar

• Teknik Integral

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI RUMUS DASAR INTEGRAL

cbax

adx

bax

cxdxx

ncxn

dxx

caxdxa

cdx

nn

ln11

ln1

1dimana1

1

0

1

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI

a.

Contoh :

dx4 = Cx4

dxx7b. Cx

17

171

Cx 8

81

=

=

dxx 3

2

c. Cx

1

1

1 32

32

Cx 32

35

11

Cxx 3 2

53

=

=

=

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI RUMUS DASAR INTEGRAL

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

dxxfkdxxkf )()(

Perkalian dengan Konstanta

Penjumlahan dan pengurangan fungsi

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI

Contoh :

20

Cx

])[( 14

141

=

Cx ])[( 5

51

Cx 54

20

20

=

=

=

a.

dx4 dxx34

=

= dxx )44( 3

+

xx 44

xx 44

)(4 2Cx

dx4 dxx34 +

])[(4 1

13

131 Cx

1

4 4Cx 244 Cx

21 44 CC

+

+

+

C+

=

=

=

=

b.

LATIHAN SOAL

dxx34a.

dxx5 4b.

dxx 32

3c.

dxx 2)32(d.

dxx

x

2e.

dxxx

x 2)2(f.

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI RUMUS DASAR INTEGRAL (Fungsi Exponensial)

ca

adxa

cea

dxe

cedxe

xx

baxbax

xx

ln

1

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI

Contoh :

cedxe xx 22

2

100100

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI RUMUS DASAR INTEGRAL (Fungsi Trigonometri )

cxdxx

cxdxx

cxdxx

tansec

sincos

cossin

2

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI RUMUS DASAR INTEGRAL (Fungsi Hyperbolic )

cxdxx

cxdxx

sinhcosh

coshsinh

TEKNIK INTEGRAL

Substitusi Integral Parsial

TEKNIK INTEGRAL

Substitusi Integral Parsial

Jika u = g(x) dengan g adalah fungsi yang mempunyai turunan

Maka : xgfuf

dxdx

duxgf

dx

dxduufduuf

)(

)()(

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI

Contoh 1 :

Hitunglah

Jawab

Misalkan u = 3x + 5 , maka du = 3 dx , dx = 1/3 du

Substitusi ke fungsi di atas diperoleh

dxx )53sin(

Cx

Cu

duu

dxx

3

)53cos(

3

cos

3

sin)53sin(

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI

Contoh 2 : dxxxx 62 )145)(52(

dxxxx )52()145( 62

u )145( 2 xx

du dxx )52(

dxxxx )52()145( 62

Cu 7

71

Cxx 72

71 )145(

=

Missal

=

u

6u du=

=

=

LATIHAN SOAL

dxxx 23 .4b.

33

2

)4(

)43(

xx

dxxc.

a. dxxe x 53 2

9

TEKNIK INTEGRAL

Substitusi Integral Parsial

Formula Integral Parsial

u dv uv v du Catatan : pilih u yang turunannya lebih sederhana

PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI

Contoh :

LATIHAN SOAL

b.

a.

dxxx )4cos()53(

dxxx sin2