Integral Monte Carlo Ok

INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002 32

Ferry Jaya Permana

INTEGRAL MONTE CARLO

Intisari Nilai eksak dari integral tentu seringkali tidak dapat diperoleh karena anti turunan dari fungsi yang diintegralkan seringkali tidak dapat diperoleh. Ada beberapa metoda yang dapat digunakan untuk mencari nilai hampiran dari integral tentu tersebut dengan cara numerik. Pada tulisan ini akan dibahas salah satu metoda yaitu Integral Monte Carlo. Metoda ini memanfaatkan distribusi seragam U(0,1) dan menggunakan hukum bilangan besar (The Law of Large Numbers) sebagai landasan teori.

Abstract

In most cases, the exact value of the definite integral can’t be found because an antiderivative of the integrand can’t be found. There are several methods to approximate the value of a definite integral. One of these methods is Monte Carlo Integration. This method is based on the uniform distribution (0,1) and the law of large numbers.

Diterima : 18 Maret 2002

Disetujui untuk dipublikasikan : 20 Maret 2002

1. Pendahuluan Menurut Teorema Dasar Kalkulus II, jika suatu fungsi f kontinu pada suatu selang tertutup [a,b] dan F adalah suatu anti turunan dari f pada [a,b] maka integral

tentu ∫b

a

dxxf )( = F(b) – F(a). Tetapi

terdapat banyak integral tentu yang tidak dapat dievaluasi menggunakan Teorema Dasar Kalkulus karena antiturunan dari fungsi yang akan diintegralkan , yaitu F(x) tidak dapat ditentukan. Contohnya jika fungsi yang diintegralkan seperti :

dsb. ,sin ,1 ),(sin , 422

xx - xxxe−

Untuk mengatasi masalah ini, digunakan pengintegralan numerik. Nilai integral yang diperoleh merupakan nilai hampiran. Ada beberapa metoda yang umum digunakan misalnya metoda trapesium dan metoda Simpson. Berikut ini akan dibahas metoda lain yang dapat

dipakai untuk mencari nilai hampiran dari integral tentu yakni metode Integral Monte Carlo. 2. Landasan Teori Integral Monte Carlo memanfaatkan distribusi seragam U(0,1) dan Hukum Bilangan Besar (The Law of Large Numbers). Distribusi Seragam U(0,1) Misalkan X ∼ U(0,1). Maka pdf dari X adalah

1 , 0 1( )

0 , lainnya.x

f xx< <

, dan

ekspektasi dari X adalah 1 1

0 0

( ) 1 E X x. dx x dx= =∫ ∫ .

Jadi µx = E(X) tidak lain adalah integral dari f(x) = x pada interval [0,1]. Sedangkan ekspektasi dari g(X) adalah:

INTEGRAL, vol. 7 no. 1, April 2002

33

E(g(X)) = ∫ ∫=1

0

1

0

)(1).( dxxgdxxg .

Jadi integral tentu dari suatu fungsi g(x) dengan 0 < x < 1, tidak lain adalah nilai dari ekspektasi dari fungsi tersebut.

Hukum Bilangan Besar (The Law of Large Number): Misalkan X1, X2, …, Xn suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi yang mempunyai mean µ dan variansi σ2. Maka untuk

∀ ε > 0 berlaku : 1 ) -XPr(lim =<∞→

εµn

; dengan ∑=

=n

1iiX

n1 X .

Dengan kata lain,

∫∑∞

∞−=

⋅==→ dxxfxE(X)xn

n

ii )( 1 p

1µ ……………… ...................… (2.1)

dan ∫∑ =→=

1

01

p )( )(1 dxxgE(g(X))xgn

n

ii …………………................(2.2)

dengan Xi ∼ U(0,1), Ni∈ . Jadi nilai integral tentu dari suatu fungsi g(x), 0 < x <1 dapat dihampiri dengan nilai rata-rata dari g(xi) ; di mana xi adalah sampel acak U(0,1). Teknik ini disebut Integral Monte Carlo . Dalam perhitungan integral tentu yang batas-batas pengintegralannya bukan [0,1], dilakukan transformasi sehingga batas pengintegralannya menjadi [0,1]. Untuk itu perhatikan kasus-kasus berikut:

i) Misalkan diberikan : ∫b

a

dxxh )( . Untuk

itu ambil transformasi abaxy

−−

= .

Maka diperoleh: ( )dx b a dy= − , dan

ayabx +−= )( . Dengan demikian

( )( ) (( ) )b b

a a

h x dx h b a y a b a dy= − + −∫ ∫dengan Yi ∼ U(0,1), Ni∈ .

ii) Misalkan diberikan : ∫∞

0

)( dxxh .

Ambil transformasi berikut :

11+

=x

y . Sehinga diperoleh :

2

1dx dyy

= − dan 11−=

yx .

Maka diperoleh

20 0

1 1( ) 1h x dx h dyy y

∞ ∞ = − −

∫ ∫ ,

dengan Yi ∼ U(0,1), Ni∈ . iii) Misalkan diberikan:

∫ ∫1

0 0

),(x

dydxyxh .Pertama definisikan

fungsi baru Iy yaitu,

y

1 ,I

0,y x

untuk y lainnya<

=

. Maka

diperoleh ∫ ∫1

0 0

),(x

dydxyxh =

∫ ∫ ⋅1

0

1

0

),( dydxIyxh y .

Teknik Meminimumkan Galat. Salah satu teknik untuk mengurangi galat dalam hasil perhitungan dengan menggunakan metoda ini adalah sebagai berikut :


Sampel acak yang akan digunakan sebagai acuan dalam menghitung integral tentu, misal xi berasal dari X ∼ U(0,1), dibagi ke dalam dua bagian., dimana setengah bagian pertama, merupakan sampel yang dibangkitkan dari U(0,1) misalkan xi, i=1,2,3,...dan setengah yang lain nilainya = 1 – xi, dan ini merupakan sampel acak dari U(0,1) juga. Menggunakan teknik ini terlihat galat yang dihasilkan dari metoda ini, semakin kecil.

3. Contoh Perhitungan Berikut adalah contoh-contoh perhitungan integral tentu dengan menggunakan Integral Monte Carlo. Semua perhitungan dikerjakan dengan menggunakan MATLAB.

Contoh 1: Akan dihitung ∫1

0

x2.dx dan

π21∫1

0

2

21 x

e−

.dx..

Jika X adalah peubah acak yang berdistribusi U(0,1), maka E[f(X)]=

∫1

0

f(x).1.dx. Dengan menggunakan

Hukum Bilangan Besar: n1 ∑

∞

=1nix

p

→

E(X) = ∫∞

∞−

x.f(x).dx. Maka ∫1

0

g(x).dx

dapat dihampiri dengan n1 ∑

=

n

i 1g(xi) ,

jika diambil nilai n yang cukup besar. Prosedur perhitungan : 1. Bangkitkan nilai sampel xi. dengan

cara :Bangkitkan 10.000 nilai sampel xi. di mana 5.000 nilai sampel xi , i = 1,2, …, 5000 dibangkitkan dari sampel acak U(0,1), sedangkan 5.000 nilai sampel xi+5000 , i = 1,2, …, 5000 dibangkitkan dari 1- xi.

2. Hitung nilai f(xi). Untuk soal no. (i) bagian a dan b berturut-turut diambil

f(x) = x2, dan f(x) = π2

1 2

21 x

e−

.

3. Hitung nilai dari n1 ∑

=

n

i 1f(xi) , yaitu

mean dari f(xi). Nilai yang diperoleh merupakan nilai hampiran untuk nilai integral yang dicari.

Dipilih replikasi 1000 (percobaan dilakukan 1000 kali, kemudian diambil nilai rata-ratanya). Hasil perhitungan adalah sebagai berikut:

∫1

0

2dxx dxxe∫ −

1

0

221

21π

Nilai Hampiran 0.3333 0.3413

Tabel 1 Hampiran Integral Tentu menggunakan Integral Monte Carlo

Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus

II, diperoleh nilai eksak : ∫1

0

2dxx =

0.3333, dan menggunakan MAPLE

diperoleh dxxe∫ −

1

0

221

21π

= 0.3414.


35

Contoh 2:

Akan dihitung ∫1

0∫x

0

yxe + .dy.dx .

Definisikan fungsi indikator

≥<

=xyxy

xI y ,0,1

)( .

Maka ∫1

0∫x

0

yxe + .dx.dy =

∫1

0∫1

0

yxe + .Iy(x). dy. dx. Akibatnya

∫1

0∫x

0

yxe + .dx.dy dapat dihampiri

dengan n1 ∑

=

n

i 1f(xi,yi).I(xi,yi) untuk n

yang cukup besar, (xi,yi)∈D. Prosedur perhitungan: 1. Bangkitkan 10.000 nilai sampel

(xi,yi.) di mana 5.000 nilai sampel xi , i = 1,2, …, 5000 dibangkitkan dari sampel acak U(0,1), sedangkan 5.000 nilai sampel xi+5000 , i = 1,2, …, 5000 dibangkitkan dari 1- xi. Kemudian bangkitkan nilai sampel dari yi+5000 dari sampel acak U(0,1), sedangkan 5.000 nilai sampel yi , i = 1,2, …, 5000 dibangkitkan dari yi+5000 .

2. Hitung nilai f(xi,yi.)= i ix ye + , dan

I(xi,yi)10

,,

i i

i i

x yx y≥<

3. Hitung nilai dari n1 ∑

=

n

i 1f

(xi,yi).I(xi,yi), yaitu mean dari f (xi,yi).I(xi,yi). Nilai yang diperoleh

merupakan nilai hampiran untuk nilai integral yang dicari.

Dipilih replikasi 1000. Hasil perhitungan adalah sebagai berikut: ∫ ∫

+1

0 0

xdydxyxe = 1.4763.

Contoh 3: Akan dibuat Tabel Normal (0,1) dengan menggunakan Integral Monte Carlo. Pada tabel tersebut akan dihitung nilai dari P(0 ≤ Z ≤ z), dimana z ≥ 0. Jika Z peubah acak N(0,1), maka P(0 ≤

Z ≤ z) = π2

1∫

−z x

dxe0

2 .2

. Dengan

menggunakan transformasi y=zx

,

diperoleh dx = z. dy. Jika x=0 maka y = 0, dan jika x=z maka y = 1. Akibatnya

P(0 ≤ Z ≤ z) = π2

1∫

−z x

dxe0

2 .2

= z.

π21

. ∫1

0

2)(21 zy

e−

dy dan nilainya dapat

dihampiri oleh n1 ∑

=

n

i 1 π21

.zi.

21 ( )2 i iy z

e−

untuk nilai n yang cukup besar, dengan yi sampel acak yang dibangkitkan dari U(0,1). Dengan mengambil n = 10.000 dan replikasi = 360 diperoleh hasil sebagai berikut:


Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.148 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2356 0.2389 0.2421 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.258 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2734 0.2764 0.2793 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.291 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3105 0.3132 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3314 0.3339 0.3364 0.3389 1.0 0.3413 0.3437 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3707 0.3728 0.3749 0.3769 0.379 0.381 0.3829 1.2 0.3849 0.3868 0.3887 0.3906 0.3925 0.3943 0.3961 0.3979 0.3997 0.4014 1.3 0.4032 0.4049 0.4065 0.4082 0.4098 0.4114 0.413 0.4146 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4221 0.4236 0.425 0.4264 0.4278 0.4292 0.4305 0.4318 1.5 0.4331 0.4344 0.4357 0.4369 0.4382 0.4394 0.4406 0.4417 0.4429 0.444 1.6 0.4452 0.4463 0.4473 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4544 1.7 0.4554 0.4563 0.4572 0.4581 0.459 0.4599 0.4608 0.4616 0.4624 0.4632 1.8 0.464 0.4648 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4685 0.4692 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.475 0.4756 0.4762 0.4767 2.0 0.4773 0.4778 0.4783 0.4789 0.4794 0.4799 0.4803 0.4808 0.4813 0.4817 2.1 0.4822 0.4826 0.4831 0.4835 0.4839 0.4843 0.4847 0.4851 0.4855 0.4858 2.2 0.4862 0.4865 0.4869 0.4872 0.4876 0.4879 0.4882 0.4885 0.4888 0.4891 2.3 0.4894 0.4897 0.49 0.4903 0.4905 0.4908 0.491 0.4913 0.4915 0.4918 2.4 0.492 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4933 0.4935 0.4937 0.4939 2.5 0.4941 0.4942 0.4944 0.4946 0.4947 0.4949 0.4951 0.4952 0.4954 0.4955 2.6 0.4957 0.4958 0.496 0.4961 0.4962 0.4964 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 2.7 0.4969 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4978 0.4979 2.8 0.4979 0.498 0.4981 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4986 0.4987 2.9 0.4987 0.4988 0.4989 0.4989 0.499 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4993 3.0 0.4993 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4997 0.4997 0.4998

Tabel 2: Tabel Normal (0,1)

4. Kesimpulan Integral Monte Carlo merupakan salah satu alternatif yang dapat dipilih untuk mencari nilai hampiran dari integral tentu. Ada beberapa keuntungan dari metoda ini: 1. Perhitungan dengan metoda ini relatif

mudah 2. Dapat digunakan untuk mencari

hampiran integral tentu yang interval

pengintegralannya berupa interval yang panjangnya tak berhingga.

3. Dapat digunakan untuk mencari hampiran dari integral tentu dari fungsi lebih dari satu peubah.

4. Nilai hampiran yang diperoleh relatif cukup baik, asal dipilih n yang cukup besar (bandingkan tabel normal yang diperoleh dengan tabel normal pada buku [2]).


37

5. Daftar Pustaka [1] Edwin J.Purcell , Calkulus and

Analytic Geometri , 7th ed.,Prentice Hall.

[2] George G.Judge and friends, Introduction to the Theory and Practice of Econometrics,1988 .

[3] Hogg, R.V., and Craig, Introduction to Mathematical Statistics,5th ed. . Macmillan.

[4] Ross, Shelldon.M, Simulation, Harcourt Academic Press, 1997.

Penulis Ferry Jaya Permana adalah Dosen Tetap Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung.

Documents

Integral Monte Carlo Ok