Upload
ainulavida
View
194
Download
40
Embed Size (px)
Citation preview
Pengintegralan Parsial
Pengintegralan Parsial
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Jember
18 Maret 2014
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Parsial
Pengintegralan Parsial
1 Pengintegralan Parsial
2 Pengintegralan Parsial Berulang
3 Rumus Reduksi
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Parsial
Pengintegralan Parsial
1 Pengintegralan Parsial
2 Pengintegralan Parsial Berulang
3 Rumus Reduksi
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan Parsial
Pengintegralan Parsial
1 Pengintegralan Parsial
2 Pengintegralan Parsial Berulang
3 Rumus Reduksi
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Misalkan u = u(x) dan v = v(x) merupakan dua fungsi, makaDx [uv ] = u′v + uv ′
uv =∫
u′v dx +∫
uv ′ dx∫uv ′ dx = uv −
∫u′v dx atau∫
u dv = uv −∫
v du
Contoh
Tentukan∫
x cos x dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Misalkan u = u(x) dan v = v(x) merupakan dua fungsi, makaDx [uv ] = u′v + uv ′
uv =∫
u′v dx +∫
uv ′ dx∫uv ′ dx = uv −
∫u′v dx atau∫
u dv = uv −∫
v du
Contoh
Tentukan∫
x cos x dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Memilih u dan dv yang tepat∫x cos x dx
Misal:u = x maka du = dxdv = cos x dx maka v = sin x∫
u dv = uv −∫
v du∫x cos x dx = x sin x −
∫sin x dx
= x sin x + cos x + C∫x cos x dx
Misal:u = cos x maka du = − sin x dxdv = x dx maka v = x2
2∫u dv = uv −
∫v du∫
x cos x dx = cos x x2
2 −∫ x2
2 (− sin x dx)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Memilih u dan dv yang tepat∫x cos x dx
Misal:u = x maka du = dxdv = cos x dx maka v = sin x∫
u dv = uv −∫
v du∫x cos x dx = x sin x −
∫sin x dx
= x sin x + cos x + C∫x cos x dx
Misal:u = cos x maka du = − sin x dxdv = x dx maka v = x2
2∫u dv = uv −
∫v du∫
x cos x dx = cos x x2
2 −∫ x2
2 (− sin x dx)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Contoh 1
Tentukan∫
ln x dx
Jawab
Misal:u = ln x maka du = 1
x dxdv = dx maka v = x∫
u dv = uv −∫
v du∫ln x dx = x ln x −
∫x 1
x dx= x ln x − x= x(ln x − 1)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Contoh 1
Tentukan∫
ln x dx
Jawab
Misal:u = ln x maka du = 1
x dxdv = dx maka v = x∫
u dv = uv −∫
v du∫ln x dx = x ln x −
∫x 1
x dx= x ln x − x= x(ln x − 1)
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Contoh 2
Tentukan∫
arcsin x dx
Jawab
Misal:u = arcsin x maka du = 1√
1−x2dx
dv = dx maka v = x∫u dv = uv −
∫v du∫
sin−1x dx = xsin−1x −∫
x 1√1−x2
dx
= xsin−1x + 12
∫(1− x2)
− 12 d(1− x2)
= xsin−1x + 12 .2(1− x2)
12 + C
= xsin−1x +√
1− x2 + CAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Contoh 2
Tentukan∫
arcsin x dx
Jawab
Misal:u = arcsin x maka du = 1√
1−x2dx
dv = dx maka v = x∫u dv = uv −
∫v du∫
sin−1x dx = xsin−1x −∫
x 1√1−x2
dx
= xsin−1x + 12
∫(1− x2)
− 12 d(1− x2)
= xsin−1x + 12 .2(1− x2)
12 + C
= xsin−1x +√
1− x2 + CAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial Berulang
Hitunglah∫
x2 sin x dxMisal:u = x2 maka du = 2x dxdv = sin x dx maka v = − cos x∫
x2 sin x dx = −x2 cos x + 2∫
x cos x dxlihat perhitungan sebelumnya∫
x cos x dx=x sin x + cos x + Csehingga∫
x2 sin x dx = −x2 cos x + 2[x sin x + cos x + C]= −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + K
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Lanjutan... memilih u dan dv yang tepat
∫x2 sin x dx = −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + K∫
x cos x dx = (cos x)x2
2 −∫ x2
2 (− sin x dx )
= (cos x)x2
2 + 12
∫x2 sin x dx
= (cos x)x2
2 + 12 [−x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + K ]
= x sin x + cos x + C
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial Berulang
Contoh 3
Tentukan∫
ex sin x dx
Jawab
Misal:u = ex maka du = ex dxdv = sin x dx maka v = − cos x∫
ex sin x dx = −ex cos x +∫
ex cos x dxu = ex maka du = ex dxdv = cos x dx maka v = sin x∫
ex cos x dx = ex sin x −∫
ex sin x dxJadi
∫ex sin x dx = −ex cos x + ex sin x −
∫ex sin x dx
= −12ex [cos x − sin x ] + K
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial Berulang
Contoh 3
Tentukan∫
ex sin x dx
Jawab
Misal:u = ex maka du = ex dxdv = sin x dx maka v = − cos x∫
ex sin x dx = −ex cos x +∫
ex cos x dxu = ex maka du = ex dxdv = cos x dx maka v = sin x∫
ex cos x dx = ex sin x −∫
ex sin x dxJadi
∫ex sin x dx = −ex cos x + ex sin x −
∫ex sin x dx
= −12ex [cos x − sin x ] + K
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Rumus Reduksi
∫f n(x)dx = g(x) +
∫f k (x)dx
dengan k < n, pangkat dari f berkurang, sehingga bisadiselesaikan menggunakan pengintegralan parsial.
Contoh 4
Dengan menggunakan rumus reduksi, tentukan∫
sinnx dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Rumus Reduksi
∫f n(x)dx = g(x) +
∫f k (x)dx
dengan k < n, pangkat dari f berkurang, sehingga bisadiselesaikan menggunakan pengintegralan parsial.
Contoh 4
Dengan menggunakan rumus reduksi, tentukan∫
sinnx dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Rumus Reduksi
Jawab
Ubah menjadi∫
sinnx dx=∫
sinn−1x sin x dxMisalkan:u = sinn−1x maka du = (n − 1) sin(n−2) x cos x dxdv = sin x dx maka v = − cos xsehingga∫
sinnx dx = −sinn−1x cos x + (n − 1)∫
sin(n−2) x cos2 x dx= −sinn−1x cos x + (n − 1)
∫sin(n−2) x(1− sin2 x) dx
= −sinn−1x cos x + (n − 1)∫
sin(n−2) x − (n − 1)∫
sinn x dxpindah ruas1 +(n−1)
∫sinn x dx = −sinn−1x cos x +(n−1)
∫sin(n−2) x dx
sehingga diperoleh,∫sinnx dx = − sinn−1 x cos x
n + n−1n
∫sinn−2 x dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Rumus Reduksi
Contoh 5
Gunakan rumus reduksi untuk menghitung∫ π
20 sin8 x dx
Jawab∫ π2
0 sin8 x dx = (− sinn−1 x cos xn )
π20 + n−1
n
∫ π2
0 sinn−2 x dx∫ π2
0 sin8 x dx = [− sin7 x cos x8 ]
π20 + 7
8
∫ π2
0 sin6 x dx
= 0 + 78 [(− sin5 x cos x
6 )π20 + 5
6
∫ π2
0 sin4 x dx ]
= 78 .5
6 [(− sin3 x cos x4 )
π20 + 3
4
∫ π2
0 sin2 x dx ]
= 78 .5
6 .34 [(− sin x cos x
2 )π20 + 1
2
∫ π2
0 sin0 x dx ]
Jadi∫ π
20 sin8 xdx = 7
8 .56 .3
4 .12 [
∫ π2
0 1 dx ]
= 78 .5
6 .34 .1
2 .π2 = 35
256π
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Rumus Reduksi
Contoh 5
Gunakan rumus reduksi untuk menghitung∫ π
20 sin8 x dx
Jawab∫ π2
0 sin8 x dx = (− sinn−1 x cos xn )
π20 + n−1
n
∫ π2
0 sinn−2 x dx∫ π2
0 sin8 x dx = [− sin7 x cos x8 ]
π20 + 7
8
∫ π2
0 sin6 x dx
= 0 + 78 [(− sin5 x cos x
6 )π20 + 5
6
∫ π2
0 sin4 x dx ]
= 78 .5
6 [(− sin3 x cos x4 )
π20 + 3
4
∫ π2
0 sin2 x dx ]
= 78 .5
6 .34 [(− sin x cos x
2 )π20 + 1
2
∫ π2
0 sin0 x dx ]
Jadi∫ π
20 sin8 xdx = 7
8 .56 .3
4 .12 [
∫ π2
0 1 dx ]
= 78 .5
6 .34 .1
2 .π2 = 35
256π
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Latihan Soal
1 Buktikan!∫
cosn xdx = cosn−1 x sin xn + n−1
n
∫cosn−2 x dx
2 Hitunglah∫
sin7 x dxDengan Pengintegralan parsial, selesaikan integraldibawah ini
3∫
x sin 3x dx4
∫ √x ln x dx
5∫
x2ex dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Latihan Soal
1 Buktikan!∫
cosn xdx = cosn−1 x sin xn + n−1
n
∫cosn−2 x dx
2 Hitunglah∫
sin7 x dxDengan Pengintegralan parsial, selesaikan integraldibawah ini
3∫
x sin 3x dx4
∫ √x ln x dx
5∫
x2ex dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Latihan Soal
1 Buktikan!∫
cosn xdx = cosn−1 x sin xn + n−1
n
∫cosn−2 x dx
2 Hitunglah∫
sin7 x dxDengan Pengintegralan parsial, selesaikan integraldibawah ini
3∫
x sin 3x dx4
∫ √x ln x dx
5∫
x2ex dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Latihan Soal
1 Buktikan!∫
cosn xdx = cosn−1 x sin xn + n−1
n
∫cosn−2 x dx
2 Hitunglah∫
sin7 x dxDengan Pengintegralan parsial, selesaikan integraldibawah ini
3∫
x sin 3x dx4
∫ √x ln x dx
5∫
x2ex dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Latihan Soal
1 Buktikan!∫
cosn xdx = cosn−1 x sin xn + n−1
n
∫cosn−2 x dx
2 Hitunglah∫
sin7 x dxDengan Pengintegralan parsial, selesaikan integraldibawah ini
3∫
x sin 3x dx4
∫ √x ln x dx
5∫
x2ex dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014
Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang
Rumus Reduksiemail : [email protected]
Pengintegralan Parsial
Latihan Soal
1 Buktikan!∫
cosn xdx = cosn−1 x sin xn + n−1
n
∫cosn−2 x dx
2 Hitunglah∫
sin7 x dxDengan Pengintegralan parsial, selesaikan integraldibawah ini
3∫
x sin 3x dx4
∫ √x ln x dx
5∫
x2ex dx
Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014