Integrales Racionales o Fracción Simple

Caso 1:

Integrales que contienen en el denominador factores lineales que no se repiten

(es decir factores con potencia igual a uno).

El artificio consiste en anexar un valor por cada factor lineal presente. Como se muestra a continuación:

Ejemplo

--> 

Caso 2:

Los factores del denominador son lineales y estos se repiten. Es decir hay factores con una potencia mayor que 1. (ax + b)n, con n > 1.

Para este caso se asume, al igual que en el caso anterior, un nuevo valor para cada factor lineal. Aquellos que tienen una potencia se les

anexa uno tantas veces como lo indique el exponente en orden creciente o decreciente, como se ve a continuación:

--> 

Caso 3:

El denominador tiene factores cuadráticos y estos no se repiten.

Para este caso se asume, un nuevo valor para cada factor lineal y uno para el término independiente.

Caso 4:-->El denominador tiene factores cuadráticos que se repiten, es decir que

Unos grandes almacenes

encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.  El fabricante dispone

para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster.

Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster.  Para cada chaqueta se

necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.  El precio del pantalón se fija en 50

€ y el de la chaqueta en 40 €.  ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe

suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta

máxima?

 1  Elección de las incógnitas.

x = número de pantalones

y = número de chaquetas

 2  Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

 3  Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

pantalones chaquetas disponible

algodón 1 1,5 750

poliéster 2 1 1000

x + 1.5y ≤ 750   2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales,

tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos

un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

2·0 + 3·0 ≤ 1 500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde

se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2·0 + 0 ≤ 1 00

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la

solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las

soluciones factibles.

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones

factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos

son las soluciones a los sistemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

 6  Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000 €

f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000 €

f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar  375 pantalones y 250 chaquetas para

obtener un beneficio de 28750 € .

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L2. Para su

fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y

de 30 minutos para el L 2; y un trabajo de máquina para L 1 y de 10 minutos

para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la

máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10

euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el

máximo beneficio.

 1  Elección de las incógnitas.

x = nº de lámparas L 1

y = nº de lámparas L 2

 2  Función objetivo

f(x, y) = 15x + 10y

 3  Restricciones

Pasamos los tiempos a horas

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

L1 L2 Tiempo

Manual 1/3 1/2 100

Máquina 1/3 1/6 80

1/3x + 1/2y ≤ 100

1/3x + 1/6y ≤ 80

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos

restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello

tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100

1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la

solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las

soluciones factibles.

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones

factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos

son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar  210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para

obtener un beneficio de 3 750 € .

Ejercicio 3 resuelto

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con

un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3. Los del

tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La

contratan para el transporte de 3 000 m 3 de producto que necesita

refrigeración y 4 000 m 3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de

un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada

tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

 1  Elección de las incógnitas.

x = camiones de tipo A

y = camiones de tipo B

 2  Función objetivo

f(x,y) = 30x + 40y

 3  Restricciones

A B Total

Refrigerado 20 30 3 000

No refrigerado 40 30 4 000

20x + 30y ≥ 3 000

40x + 30y ≥ 4 000

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones

factibles.

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 400/3) = 30 · 0 + 40 · 400/3 = 5 333.332

f(150, 0) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500

Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y.

f(50, 67) = 30 · 50 + 40 · 67 = 4180   Mínimo

El coste mínimo son 4 180 € para A = 50 yz B = 67.

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición

mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En

el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una

composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una

composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10

euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada

tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

 1  Elección de las incógnitas.

x = X

y = Y

 2  Función objetivo

f(x,y) = 10x + 30y

 3  Restricciones

X Y Mínimo

A 1 5 15

B 5 1 15

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones

factibles.

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450

f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150

f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100   Mínimo

El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar.

Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400

bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el

primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo,

pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete

serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de

cada tipo para obtener el máximo beneficio?

 1  Elección de las incógnitas.

x = P1

y = P2

 2  Función objetivo

f(x, y) = 6.5x + 7y

 3  Restricciones

P1 P2 Disponibles

Cuaderno

s2 3 600

Carpetas 1 1 500

Bolígrafos 2 1 400

2x + 3y ≤ 600

x + y ≤ 500

2x + y ≤ 400

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones

factibles.

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €

f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €

f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 €    Máximo

La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la

temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste

en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B

consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se

desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.

¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

 1  Elección de las incógnitas.

x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

 2  Función objetivo

f(x, y) = 30x + 50y

 3  Restricciones

A BMíni

mo

Camisas 1 3 200

Pantalo

nes1 1 100

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

 y ≥ 10

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones

factibles.

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 €    Máximo

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 € .

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de

transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo

dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el

de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que

utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la

escuela.

 1  Elección de las incógnitas.

x = autobuses pequeños

y = autobuses grandes

 2  Función objetivo

f(x, y) = 600x + 800y

 3  Restricciones

40x + 50y ≥ 400

x + y ≤ 9

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones

factibles.

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 €

f(0, 9) = 600 · 0 + 800· 9 = 7 200 €

f(5, 4) = 600 · 5 + 800· 4 = 6 200 €    Mínimo

El coste mínimo es de 6 200 € , y se consigue 4 autobuses grandes y 5

pequeños .