Interaktiivne ülesannete lahendamise keskkond

Versioon 1.0

Kasutajajuhend õpetajale

Tartu Ülikooli Arvutiteaduse instituut Sihtasutus Tiigrihüpe

2008

Sisukord Sisukord...................................................................................................................................... 2 Saateks........................................................................................................................................ 3 1. T-algebra otstarve ja tööks vajalikud failid............................................................................ 4 2. T-algebra ülesannete lahendamise dialoog ........................................................................ 6

2.1. T-algebra dialoogi põhiideed .......................................................................................... 6 2.2 T-algebra õpilase programmi ekraan................................................................................ 7 2.3 Õpilase töö lahendussammul. Sisestusmoodid................................................................. 9 2.4 Vastuse andmine ............................................................................................................ 15 2.5 Sammude ja sammu osade tagasivõtmine...................................................................... 16

3. Mida T-algebra kontrollib? .................................................................................................. 17 3.1 Operatsiooni valik .......................................................................................................... 17 3.2 Operandide märkimine................................................................................................... 17 3.3 Teisendussammu tulemus .............................................................................................. 18 3.4. Vea asukoha märkimine ................................................................................................ 20 3.5 Avaldise lõppkuju (mida kontrollitakse ja mida mitte).................................................. 21

4. Lahendamise tulemuste vaatamine....................................................................................... 23 4.1 Lahenduste vaatamine ja jätkamine ............................................................................... 23 4.2 Vigade ja abikasutamiste loendid ajalises järjekorras.................................................... 23 4.3 Vigade ja abikasutamiste loendajad ülesannete kaupa................................................... 24 4.4 Lahenduste statistika ................................................................................................ 25

5. T-algebra ülesannete tüübid ................................................................................................. 26 5.1 Tüüpide nimekiri ............................................................................................................ 26 5.2 Mida määrab ülesande tüüp?.......................................................................................... 28 5.3 T-algebra tüüpide poolt ülesande algsetele avaldistele ja parameetritele esitatavad nõuded .................................................................................................................................. 29 5.4 Milliseid tüüpe T-algebras pole? Väliste lisatingimuste kasutamisest........................... 34

6. T-algebra teisendusreeglid ................................................................................................... 36 7. Ülesannete sisestamine ja toimetamine õpetaja programmiga............................................. 38

7.1 T-algebra õpetaja programmi ekraan ............................................................................. 38 7.2 Ülesannete faili üldised parameetrid .............................................................................. 39 7.3 Ülesannete sisestamine ja toimetamine.......................................................................... 41 7.4. Avaldiste ja parameetrite juhuslik genereerimine ......................................................... 43

2

Saateks Käesolev juhend on programmipaketi T-algebra kirjeldus, mis on kirjutatud õpilaste

tööd juhendava õpetaja jaoks pikemaajaliseks kasutamiseks (st pigem teatmematerjaliks T-algebra kasutamisel tekkivate küsimuste lahendamisel kui programmi esialgseks tutvustamiseks või algõpetuse tutorialiks).

Lugejalt on eeldatud põhikooli matemaatika tundmist õpetaja tasemel, samuti üldotstarbelise tarkvara (tekstitöötlus, tabelarvutus, failihaldus) kasutamise kogemusi.

T-algebra on programm, mis katab avaldiste teisendamisega seotud tehnilist laadi harjutused alates täisarvuliste avaldiste väärtuse arvutamisest kuni lineaarsete võrrandisüsteemideni. Autorid on püüdnud T-algebraga mehhaniseerida osa õpetaja tööst – järgmise lahendussammu soovitamise (kui õpilane seda küsib), kohese tagasiside andmise vigade puhul ja vigade statistika kogumise. Kõigi valdkondade ülesannete lahendamine on püütud disainida ühtsel viisil, et õpilane ei peaks iga uue peatüki või koguni õppetüki jaoks uue programmi kasutamist ära õppima. Ühtsete ideede järgi antakse ka nõuandeid ja tagasisidet vigade kohta. Kindlasti vajavad programmi tööpõhimõtted harjumist nii õpilase kui õpetaja poolt. Üht-teist nendest põhimõtetest ja põhimõtete alusel kujunenud konkreetsetest mängureeglitest on kirjas selles juhendis, mida võib siis üsna mitmel puhul uurida.

Esiteks võiks juhendi läbi vaadata T-algebra tundmaõppimist alustades, et teada saada, mis programm see on, millisel viisil saab teda kasutada, mida on autorid tema sisse püüdnud panna ja mida sinna ei ole pandud. Selle esimese lugemise juures võiks need osad, mis tehnilisi detaile esitavad, rahulikult ka vahele jätta.

Teine lugemise põhjus võiks olla otsene valmistumine tööks klassis. Juhendis on kirjeldatud, milline on T-algebra õpilase programmi dialoog ülesandeid lahendades, mida ja millises järjekorras peab õpilane tegema, mida programm kontrollib, milliseid veateateid ja millist nõu annab, millist infot õpilase tegevuse kohta salvestab. Mingi ettekujutus kõigest sellest tekib õpetajal muidugi ka siis, kui ta ise õpilase rolli proovib ja ülesandeid läbi lahendades abi küsib, kõikvõimalikke vigu simuleerib, veateateid loeb ning neidsamu vigu hiljem failist üle vaatab. Juhendi lugemine võimaldab ehk kindlama skeemi abil vajalikku valdkonda läbi proovida. Juhendis on püütud rääkida natuke ka sellest, mida T-algebra ei tee, st mida ta jätab õpetaja teha.

Kolmandaks võib juhend kasulikuks osutuda, kui õpilase või õpetaja programmi töö juures ilmneb mõni nõuanne, veateade vms, mis pole õpilasele või õpetajale endale kohe mõistetav. Siis on kasulik aru saada, millist teed mööda programm oma otsuseni jõudis.

Neljandaks võiks juhendit vaadata siis, kui asutakse mingi konkreetse teema jaoks ise ülesandeid koostama. Juhendis on loetletud T-algebras realiseeritud ülesannete tüübid ja nõuded iga tüübi algsele avaldisele (võrrandile, võrratusele, võrrandisüsteemile). On räägitud, millisel määral õpetaja programm kontrollib koostatud ülesannet, kuidas õpetaja saab näha T-algebra automaatlahendaja poolt leitud lahendust ja vastust, kuidas kasutada juhuslike avaldiste generaatorit nii juhusliku avaldisega ülesannete tekitamiseks kui ka fikseeritud ülesande valimiseks.

Viiendaks on juhendis püütud natuke kirjutada ka sellest, millisel viisil võib T-algebrat kasutada selliste ülesannete juures, mis otseselt ühegi programmis realiseeritud ülesandetüübi alla ei kuulu.

Kõigist märgatud vigadest programmis ja ettepanekutest palume kirjutada T-algebra projekti juhile aadressil rein.prank@ut.ee

Head lugemist ja proovimist!

3

1. T-algebra otstarve ja tööks vajalikud failid T-algebra on interaktiivne ülesannete lahendamise keskkond põhikooli algebra avaldiste

teisendamisel põhinevate ülesannete koostamiseks ja lahendamiseks järgmistes valdkondades: 1. Täisarve ja kümnendmurde sisaldavate avaldiste väärtuste arvutamine (4 ülesannete

tüüpi). 2. Harilikud murrud (16 tüüpi). 3. Lineaarvõrrandid, -võrratused ja lineaarsed võrrandisüsteemid (23 tüüpi). 4. Astmed, üksliikmed ja hulkliikmed (18 tüüpi).

Paketis on õpetaja ja õpilase programm. Õpilase programmiga saab lahendada ülesannete failis olevaid ülesandeid ja vaadata

lahendusfailis salvestatud tulemusi, koostatud lahendusi ja tehtud vigu. Ülesannete lahendamine toimub paberil töötamisele sarnaste sammude kaupa. Igal sammul õpilane

1) valib sammuks teisendusreegli, 2) märgib teisendamisele kuuluva(d) osa(d) avaldises, 3) sestab sammu tulemuse. Programm kontrollib õpilase tööd ja järgmise sammu juurde saab asuda alles siis, kui

eelmises on vead parandatud. Õpilane saab ka programmilt sammu tegemisel abi küsida (teisendusreegli valik, operandide valik, teisenduse tulemus) või koguni tervet lahendust vaadata, kui ülesannete failis pole seda keelatud. Programm salvestab tekkinud (lõpetatud või pooliku) lahenduse ning kõik veasituatsioonid ning abi küsimise momendid lahenduste faili. Poolikut lahendust saab ka jätkata.

Teise funktsioonina saab õpilase programmiga vaadata salvestatud lahendusi, lahendamisel tekkinud vea- ja abisituatsioone ning vigade statistikat.

Õpetaja programmiga saab koostada ülesannete faile. Iga ülesande jaoks tuleb valida üks T-algebras realiseeritud ülesandetüüp, sisestada vastavalt tüübile algne avaldis, võrrand, võrratus või võrrandisüsteem ja mõnede ülesandetüüpide korral veel vajalikud täiendavad andmed (näiteks võrrandi lahendi kontrollimise tüübi korral kontrollimisele kuuluv tundmatu väärtus, hariliku murru kümnendlähendi leidmisel nõutav täpsus jne). Sisestamise asemel saab lasta algandmeid ka juhuslikult genereerida, valides soovitava raskusastme, mis määrab avaldise kuju ja suuruse. Programm kontrollib, et sisestatud avaldis (võrrand, …) vastaks valitud ülesandetüübi nõuetele ja oleks selles tüübis õpilase käsutusse antud vahenditega lahenduv. Õpetaja saab sisestatud ülesande sobivuse hindamiseks ka vaadata ülesande vastust ja/või T-algebra automaatlahendaja poolt leitud standardlahendust. Vastavalt töö eesmärgile saab valida ka mitmeid lahendamisrežiimi parameetreid (sammu tulemuse sisestamise režiim (edaspidi – mood, vt. jaotis 3.3) ja programmipoolse abi lubamine/keelamine).

Peale programmifailide T_algebra.exe (õpilase programm) ja T_algebra_opetaja.exe (õpetaja programm) on paketis veel keele valikut võimaldavad teadete failid (näiteks Eesti.mes, English.mes, Russian.mes). Kui teadete faile ei ole, siis annab programm teateid eesti keeles. Õpilase tööks on vajalik ainult õpilase programm ja eesti keelest erineva töökeele korral ka vastav teadete fail. Õpetaja vajab mõlemat programmi ja sõltuvalt keelest ka teadete faili. Teadete failid on õpilase ja õpetaja programmil ühised.

Programm ei vaja installeerimist. Tema kasutamiseks piisab failide kopeerimisest soovitavasse kausta. Töö käigus moodustab T-algebra konfiguratsioonifaili t_algebra.ini, mida ei ole vaja uude asukohta kopeerida.

Peale programmipaketi on õpilasel töö alustamiseks vaja veel temale antavate ülesannetega ülesannete kogu (laiend .yls). Seansi lõppedes ja ka failimenüüs vastavale

4

nupule vajutades salvestatakse nii kõik kogus olnud ülesanded kui õpilase lahendamistulemused lahenduste faili (laiend .lah). Järgmisteks seanssideks tuleb sama ülesannetekoguga töötamise jätkamiseks avada pooleliolev lahenduste fail, uute ülesannete puhul muidugi vastav uus ülesannete kogu.

T-algebra komplekt sisaldab ka autorite poolt kaasa antud ülesannete kogusid, milles on umbes sama palju T-algebras olemasolevate ülesandetüüpide ülesandeid kui Eestis kasutusel olevates õpikutes. Seal on ühes failis tavaliselt ühe õppetüki ülesanded. Segaduste vältimiseks on parem, kui õpilaste poolt kasutatavates kaustades liigseid ülesannete faile ei ole.

5

2. T-algebra ülesannete lahendamise dialoog

2.1. T-algebra dialoogi põhiideed Algebra ülesannete lahendamiseks on maailma koolides ja ülikoolides kasutusel

mitmeid erinevate ideede järgi töötavaid programme. Kõige rohkem kasutatakse arvutialgebra süsteeme (Eesti koolidele ja eesti keeles on neist tasuta kättesaadav WIRIS), millega töötades kasutaja annab käsu (Lihtsusta, Tegurda, Lahenda vms) ja programm teeb vastava tehnilise töö. Sellist tarkvara saab kasutada näiteks praktilise tagapõhjaga tekstülesannete lahendamiseks, ilma et peaks muretsema tekkivate avaldiste ja võrrandite tehnilise keerukuse pärast. On aga ilmne, et teisendamise ja võrrandite lahendamise meetodite ja tehnika harjutamiseks on vaja ka programme, millega töötades õpilane teeb nii algoritmilised otsused kui tehnilise töö ja arvulised arvutused ise. Õpilasel peab olema võimalus teha igal tasemel vigu ja saada programmilt tagasisidet oma töö kohta.

Milliseid otsuseid peab õpilane ülesannet lahendades tegema? Avaldiste, võrrandite, võrratuste või süsteemide teisendamise igal sammul õpilane:

1. Valib teisendusoperatsiooni, mis vastab mingile sammule antud ülesandetüübi lahendusalgoritmis (või mingi juba varem tuntud arvutus- või lihtsustusoperatsiooni),

2. Valib selle operatsiooni jaoks operandid (avaldise/võrrandi/võrratuse/süsteemi mingid konkreetsed osad).

3. Asendab need osad teisenduse tulemusega. Näiteks võib õpilane mingil sammul otsustada koondada hulkliikmes teatud hulga

sarnaseid liikmeid. Ta kirjutab siis muud avaldise osad muutmatuna järgmisele reale, aga asendab koondatud liikmed koondamise tulemusega. Mõnedel ülesannete tüüpidel (näiteks tegurdamine) ei tarvitse küll olla koolis õpetatavat üldist algoritmi, aga lahendussammud on ikka samasuguse struktuuriga.

Kui ülesannet lahendatakse paberil, siis sammu kahel esimesel etapil tehtud otsuseid tavaliselt kirja ei panda ja paberil on nähtav ainult sammu tulemus – teisendatud avaldis/võrrand/võrrandisüsteem. Vahetu analoogia traditsioonilise tehnoloogiaga on realiseeritud näiteks Prantsusmaal Grenoble’i ülikoolis loodud programmis APLUSIX, kus teisendussamm seisneb sisuliselt teisenduse järgmise rea sisestamises, s.t. ilmutatud kujul toimub ainult lahendussammu kolmas etapp. Õpilane teeb aga vigu ka kahe esimese etapi juures (otsustades näiteks koondada liikmeid, mis pole sarnased või asuvad avaldises erinevates osades) ja mõnikord on siis isegi õpetajal vale tulemuse täpseid põhjusi üsna raske ära aimata, kui ta ei tea, mida õpilane teha tahtis. Programm suudab siis tavaliselt ainult teatada, et sisestatud avaldis (või võrrand jne) pole eelmisega võrdne (samaväärne).

T-algebra lahendussammu dialoogis nõutakse õpilaselt ka lahendussammu kahe esimese etapi otsuste sisestamist. Õpilasel tuleb igal sammul

- valida menüüst teisendusoperatsioon, - märkida avaldises operand(id), millele ta operatsiooni rakendab, - sisestada ühte või mitmesse sisestuskasti operatsiooni rakendamisel saadav avaldise

osa (märkimata osa kopeeritakse automaatselt järgmisele reale). Saadud informatsiooni kasutades suudab programm diagnoosida ka paljusid sammu

esimestel etappidel tehtud vigu ja vältida nendel juhtudel mõttetut teisenduse tulemuse sisestamist. Näiteks ei luba programm asuda koondama liikmeid, mis ei ole sarnased, või asuda taandama arve, millel pole ühist tegurit. Samuti saab pärast sammu tulemuse sisestamist kontrollida, kas sisestatud tulemus on üldse valitud teisendusele vastava kujuga (sisaldab vajaliku hulga liikmeid, on koondamise korral üksliige, tegurdamise korral korrutis, taandamise korral on arvud vähenenud jne).

6

Dialoog, kus sammu kahe esimese etapi otsused on õpilase poolt ilmutatud kujul sisestatud, võimaldab peale vigade diagnoosimise kergendamise ka sõnastada paremini arusaadavaid veateateid, sest saame nendes teadetes nüüd viidata õpilase poolt valitud operatsioonile ja õpilase poolt märgitud liikmetele avaldises.

Märgime, et parema vigade diagnoosi saamiseks on T-algebras rakendatud paberil töötamisega võrreldes kahte kitsendust. Kõigepealt ei võimalda ühe konkreetse reegli valimine teha pikki lahendussamme, kus rakendatakse mitut erinevat operatsiooni. Teise kitsendusena lubab T-algebra lahendussamm valitud operatsiooni rakendada reeglina ainult ühele argumentide komplektile: koondada ainult ühe rühma sarnaseid liikmeid, arvutada ainult ühe korrutise, taandada ainult ühes murrus.

Niisugused kitsendused teisendustel võivad küll tunduda liigsetena tugevamate õpilaste jaoks, aga võimaldavad nõrgemate õpilaste korral vältida mõttetuid samme, mis on tingitud puudulikust arusaamisest (õpilane ei tea üldse, mida saab ja mida ei saa taandada, millised liikmed on sarnased ja millised mitte jne). Ja vähemasti teine nendest kitsendustest ei suurenda õpilase poolt tehtava sisestuse mahtu, sest erinevalt tööst paberil kopeerib T-algebra teisendusest kõrvale jäetud avaldise osad automaatselt järgmisele reale. Esimest kitsendust oleme aga püüdnud rakendada mõistlikult. Mõnesugused lihtsad korrastavad teisendused enne ja pärast valitud operatsiooni pole siiski keelatud. Näiteks koondamiseks lubab T-algebra valida ka sarnaseid üksliikmeid, mille muutujate osad pole päris identsel kujul (muutujad võivad olla erinevas järjekorras ja muutuja võib esineda ka mitu korda). Samuti pole nõutud tulemuseks oleva üksliikme kirjutamist normaalkujul (või samal kujul, millel olid koondatavad liikmed).

Õpilase töö sisestamisel on kõige mahukam struktuurse sisestusmoodi korral, kus lisaks otsesele sümbolite sisestamisele on vaja veel navigeerida erinevate sisestuskastide vahel. Vaba sisestusmoodi kasutades on navigeerimist vähem, osalise sisestuse korral on sammu tulemuse mõned elemendid juba programmi poolt ekraanile paigutatud.

Kirjeldame nüüd programmi täpsemalt.

2.2 T-algebra õpilase programmi ekraan T-algebra õpilase programmi ekraani (Joonis 2.1) põhiosadeks on ülesannete kogu

paneel ja lahenduse paneel. Piiri nende vahel saab nihutada ja kummagi paneeli võib ka laiendada tervele programmi aknale, kui avaldised on pikad ja vajavad maksimaalselt ruumi.

Peamenüüs on muud valikud traditsioonilised, antud programmile spetsiifiline on ainult alammenüü Vaated. Sealt saab valida erinevaid vaateid õpilase lahenduste kohta salvestatud infole: vigade loendajad ülesannete kaupa, veasituatsioonid ajalises järjekorras, abi kasutamise loendajad, abi kasutamise situatsioonid ajalises järjekorras ja üldine lahendamise statistika.

7

Joonis 2.1. T-algebra õpilase programmi akna üldvaade

Ülesannete kogu paneel näitab ülesannete kogus olevaid ülesandeid, esitades ülesande numbri, teksti ja ülesande esialgse avaldise. Lõpuni lahendatud ülesannete tekst on märgitud rohelise fooniga, parajasti lahendamisel olev ülesanne on punases raamis (joonisel vastavalt ülesanded 1 ja 2). Ülesandele klõpsates saab valida lahendamisele tuleva ülesande. Kui õpilane on seda ülesannet on juba lahendanud, siis ilmub lahenduse paneelile olemasolev (poolik või lõpetatud) lahendus. Lõpetatud lahendust enam muuta ei saa, lõpetamata lahendusele saab samme lisada ja neid ka tagantpoolt alates tagasi võtta. Kui ülesannete kogus klõpsamise momendil on lahenduse paneelil mingi ülesande lahendus pooleli, siis see pooleliolev lahendus salvestatakse ja seda saab hiljem jätkata.

Lahenduse paneelist on räägitud juhendi järgmises jaotises 2.3. T-algebra akna alumisel raamil on õpilasfaili nimi, sellele aluseks oleva ülesannete

kogu faili nimi ja vigade ning abi küsimiste loendajad. Antud juhul on õpilasfail rprank.lah, ülesannete kogu fail on olnud opetajajuhend.yls.

8

2.3 Õpilase töö lahendussammul. Sisestusmoodid

T-algebraga töötades koostab õpilane lahenduse sammukaupa. Kui kõik vajalikud teisendused on tehtud, tuleb menüüst valida „Annan vastuse“.

Joonis 2.2 kujutab T-algebra ekraani lahendamispaneeli, kui õpilane lahendab avaldise lihtsustamise ülesannet. Paneeli ülemisel raamil on lahendatava ülesande tekst, põhiosas on senini valminud osa lahendusest, paremal operatsioonide menüü ja all juhis jooksvaks tegutsemiseks. Igale sammule eelnevas avaldises on rohelise taustaga märgitud sellel sammul teisendamiseks valitud alamavaldis(ed), järgmisel real on pruuni kirjaga eristatud see osa avaldisest, mis tekkis valitud osa teisendamise tulemusena.

Joonis 2.2. Lahenduse paneel operatsiooni ja operandide valiku ajal

Lahendamissamm koosneb enamuse operatsioonide korral kahest osast.

9

Sammu esimeses osas peab õpilane valima operatsiooni ja märkima avaldises (võrrandis, võrratuses, võrrandisüsteemis) need avaldise osad, millele ta operatsiooni rakendab.

Operatsiooni valimiseks tuleb klõpsata paremal asuva operatsioonide menüü vastaval real, mille tulemusena rea foon muutub siniseks. Menüüs olev operatsioonide hulk sõltub lahendatava ülesande tüübist. Menüü ülemises rühmas asuvad peamised lahendatava ülesandetüübi jaoks vajalikud operatsioonid, teises rühmas operatsioonid võimalikuks tööks murdudega, kolmandas rühmas rida suhteliselt triviaalseid lihtsustamisoperatsioone (peamiselt ühe ja nulliga opereerimiseks).

Kui lahendus on juba jõudnud lõpetamiseks sobiva avaldiseni, tuleb valida Annan vastuse. Enamuse ülesandetüüpide korral lahendamine sellega lõpeb, aga võrrandi korral järgneb veel dialoog, kus tuleb valida, kas viimane avaldis ongi vastus, lahendiks sobivad kõik arvud või lahend puudub. Menüüs on ka rida abi küsimiseks reegli valikul ja automaatlahenduse saamiseks. Ülesannete koostamisel saab õpetaja need valikud (või vähemalt automaatse lahendamise) passiivseks muuta.

Et avaldise mingi osa teisenduse operandiks valida, tuleb see hiirega märkida (tekib tavaline sinine taust) ja vajutada kinnituseks sinise ristküliku ja väikese rohelise linnukesega nupule (taust värvub roheliseks). Paljud operatsioonid vajavad rakendamiseks mitut operandi ja vastavalt sellele võimaldab T-algebra redaktor märkida avaldises vajaduse korral rohelisega ka mitu eraldi paiknevat osa. Joonisel 2.2 on kahte üksliiget sisaldav avaldise osa juba sinisega märgitud, aga kinnitavale nupule pole veel vajutatud. On oluline ka teada, et T-algebra lubab osaavaldise märkida nii koos tema ees oleva märgiga kui ilma. Programm arvestab operatsiooni argumendi sisse tegelikult ka märgi ja nõuab operatsiooni tulemuse sisestamise ajal õpilaselt sedasama (vt. joonis 2.4). Operatsiooni valimist ja operandide märkimist võib teha suvalises järjekorras ja õpilane saab ka tehtud valikut ning märkimisi muuta.

Seni, kuni operatsioon pole veel valitud, on ekraanil juhis „Vali tegevus või teata vastus“. Kui operatsioon on valitud, ilmub juhis sellele operatsioonile vastavate operandide valimise kohta. Näiteks joonisel 2.2 on näha juhis koondatavate üksliikmete valimiseks. Virtuaalsel klaviatuuril olev monitori pildiga nupp võimaldab õpilasel nõu küsida - lasta programmil valitud reegli jaoks sobivad operandid märkida (kui ülesannete kogu koostaja pole nuppu passiivseks määranud).

Programm hakkab valitud operatsiooni ja operande kontrollima siis, kui õpilane vajutab nende kinnitamiseks rohelise linnukesega nupule (või teeb teise klõpsu juba valitud operatsioonil menüüs või kahekordse klõpsu mingil operatsioonil). Mida T-algebra operatsiooni valiku ja operandide märkimise juures kontrollib, on pisut põhjalikumalt kirjeldatud jaotistes 3.1 ja 3.2. Igasuguse leitud vea korral annab programm veateate ja nõuab vea parandamist. Joonisel 2.3 on kujutatud veateatega ekraan juhul, kui õpilane on valinud koondamiseks liikmeid, mis pole omavahel sarnased. Tavaliselt märgib programm avaldises punasega ka esimese leitud vigase koha.

Juhul, kui valitud avaldise osa pole üldse korrektne alamavaldis (tehete järjekorra mõttes), annab programm veateate juba enne märkimiste kinnitamist. Selline teade tuleb näiteks siis, kui valida joonisel 2.1 operandiks 7s, jättes astmenäitaja 2 märgitud osast välja.

Märgime veel, et T-algebra tegelikult ei kontrolli valitud operatsiooni sobivust, vaid seda, kas valitud operatsiooni on võimalik rakendada valitud argumentidele. Veateated juhivad siin tavaliselt tähelepanu valitud operatsiooni rakendamiseks tarvilikele tingimustele, mis pole märgitud osaavaldiste korral täidetud. Järeldusele, et sobimatu on tegelikult hoopis operatsioon, peaks õpilane jõudma ise. Kui aga õpilane valib võimatu operatsiooni ja küsib programmilt nõu operandide märkimiseks, siis programm teatab, et seda operatsiooni rakendada ei saa.

10

Joonis 2.3. Veateade operandide valiku kohta.

Kui programm tunnistab operatsiooni ja operandide valiku korrektseks, järgneb sammu teine osa - teisenduse tulemuse sisestamine. Selleks kopeerib programm õpilase poolt märkimata jäänud avaldise osad muutmatuna järgmisele reale ja märgitud osade teisendamise tulemus sisestatakse ühte või mitmesse sisestuskasti avaldise sees. Enamuse operatsioonide korral paigutub uus osa esimese märgitud osa kohale, aga on olemas ka mõned loomulikud erandid (näiteks liikmete viimine võrrandi teisele poolele). Joonisel 2.4 on kujutatud olukord, kus õpilane on eelmisel joonisel toodud lahendust jätkates valinud koondamiseks kaks liiget ja ekraanil on avaldises sisestuskast koondamise tulemuse jaoks.

11

Joonis 2.4. Teisenduse tulemuse sisestamine.

Sisestamise lihtsustamiseks on avaldise all virtuaalne klaviatuur, kus lisaks numbritele, muutujatele ja tehtemärkidele on olemas ka nupud avaldistes vajalike struktuuride (murrud, astmed) moodustamiseks. Virtuaalsel klaviatuuril on mõned nupud passiivsed (joonisel näiteks võrrandisüsteemi moodustamine, sulud, võrdusmärk, võrratusmärgid jm), kuna antud teisendusreegli korral ei ole neid kunagi vaja sisestada. Virtuaalsel klaviatuuril on ka monitori kujutisega nupp, millele vajutamisel programm kirjutab kastidesse automaatlahendaja poolt leitud tulemuse (kui Abi tulemuse sisestamisel on lubatud).

Sisestamise etapi jaoks on T-algebras realiseeritud kolm erinevat sisestusmoodi: vaba, struktuurne ja osaline. Joonisel 2.4 kujutatud vaba moodi korral tuleb teisenduse tulemus sisestada ühte sisestuskasti (murdude või võrranditega seotud mõnede operatsioonide korral kahte). Struktuurse sisestuse korral antakse sisestatava osaavaldise erinevate komponentide (märk, kordaja, muutujad, astmed jne) jaoks eraldi sisestuskastid. Igasse kasti saab sisestada ainult kasti otstarbele vastavaid sümboleid (märki, numbreid, tähti jne) ja vastavalt sellele on ka virtuaalsel klaviatuuril ülejäänud sümbolid passiivsed. Õpilane võib jätta mõne kasti ka tühjaks, kui kordaja või astmenäitaja on 1, astmenäitaja 0 või koguni kordaja 0 ja seetõttu terve üksliige mittevajalik. Osalise sisestuse puhul on osa teisenduse tulemusest juba programmi poolt ekraanile kirjutatud ja sisestuskastid tuleb täita ainult antud teisenduse jaoks „kriitiliste“ avaldise komponentide jaoks. Näiteks koondamisreegli korral küsitakse õpilaselt osalises sisestusmoodis ainult liikme märki ja kordajat, muutujad ja nende astmed on juba ekraanile kirjutatud.

Joonis 2.5 kujutab avaldist koos sisestuskastidega vaba, struktuurse ja osalise sisestuse jaoks. Kollastes kastides olevad sümbolid juba õpilase poolt sisestatud, väljaspool kaste olevad avaldise osad kirjutas programm.

12

Joonis 2.5. Koondamise (vt joonis 2.4) tulemuse sisestamine vabas, struktuurses ja osalises sisestusmoodis

Mõnede operatsioonide korral (näiteks taandamine või võrrandi liikmete viimine teisele poole võrdusmärki) võib sisestamine toimuda mitmele kohale avaldises. On ka mõned operatsioonid, kus sammu dialoog sisaldab lisaks ülaltoodud etappidele veel täiendavaid valikuid või sisestusi. Olulisemad sellised näited on reeglid hulkliikme korrutamiseks üksliikme või hulkliikmega struktuurses moodis ja operatsioonid, mis sisaldavad murdude ühise nimetaja ja laiendajate leidmist (ühisele nimetajale viimine, murdude liitmine/lahutamine, võrrandi poolte korrutamine murdudest vabanemiseks).

Hulkliikme korrutamisel vabas sisestusmoodis sisestab õpilane tulemuse ühte kasti. Kui disainida struktuurne mood samuti kui näiteks üksliikmete korrutamisel, tähendaks see tulemuse kogu struktuuri etteandmist kastidena märkide, muutujate ja astmete jaoks või siis üldisemal kujul üksliikmete jaoks. Programmi autorid pidasid aga vajalikuks, et struktuurses moodis otsustab tulemuses olevate liikmete arvu õpilane ise. Programm paigutab ekraanile esialgu ainult kastid ühe märgi ja üksliikme jaoks, millele järgnevad kolm punkti. Virtuaalsel klaviatuuril on selliste reeglite puhul lisandunud veerg, kus on nupud järgmise kastide grupi lisamiseks ja eemaldamiseks ning Abi nupp õige kastide hulga tekitamiseks. Kuigi kursori viimisel neile nuppudele ilmub selgitav tekst, tuleks nende nuppude kasutamist õpilastele vastavate ülesandetüüpide juurde asumisel õpetada.

Joonis 2.6. Üksliikme ja hulkliikme korrutise sisestamine

Murdude viimisel ühisele nimetajale, liitmisel-lahutamisel ja samuti võrrandi/võrratuse poolte korrutamisel kõigi liikmete ühise nimetajaga tuleb õpilasel teha rida arvutusi: leida ühine nimetaja, arvutada igale liikmele laiendaja ja alles pärast seda leida korrutamise teel uued liikmed (ja murdude liitmise või lahutamise korral veel leida tehte tulemus). On selge, et nõrgemate õpilaste korral võib raskusi tekkida juba nende tegevuste järjestus ise, vead on õpilastel võimalikud igal etapil ja nõrgemate õpilaste korral oleks hea nad kohe kätte näidata. Struktuurses moodis nõutaksegi vastavalt sellele kõigi otsuste sisestamist: ühine nimetaja, laiendajad ja läbikorrutamise (või sellel järgneva liitmise) tulemus Joonisel 2.7 on kujutatud dialoog erinimeliste murdude liitmisel. Viimasel sisestusel loeb T-algebra õigeks nii läbikorrutamise tulemuse 5+6 (siis tuleb õpilasel teha veel eraldi samm nende arvude liitmiseks) kui ka 11.

13

Joonis 2.7. Ühise nimetaja, laiendajate ja operatsiooni tulemuse järjestikune sisestamine erinimeliste murdude liitmisel struktuurses moodis.

14

Peale operatsiooni tulemuse sisestamist kontrollib programm sisestatud avaldist. Kui see pole õige (pole süntaktiliselt korrektne avaldis, pole võrdne märgitud osaga, avaldise kuju või mingid konkreetsed osad ei sobi valitud operatsiooni rakendamise tulemuseks antud operandidele vms), siis annab programm veateate ja nõuab vigade parandamist. Mida T-algebra operatsiooni tulemuse juures tegelikult kontrollib, on pisut täpsemalt kirjeldatud jaotises 3.3

Joonis 2.8. Veateade märgivea kohta

2.4 Vastuse andmine Kui õpilane arvab, et avaldis on teisendatud ülesandes nõutud kujule või võrrandi

(võrratuse, võrrandisüsteemi) lahendamisega on jõutud vastuse andmiseni, siis tuleb menüüst valida Annan vastuse.

Kui avaldis/… pole veel vajalikul kujul, siis annab programm selle kohta veateate ja teisendamist tuleb jätkata. Kui vajalik kuju on olemas, siis enamuse ülesandetüüpide korral selle vajutusega lahendamine lõpeb. Lineaarvõrrandi või võrratuse lahendamise lõpetamiseks tuleb aga vastata, millise juhuga kolmest võimalikust on tegemist (vt Joonis 2.9):

1) teisendamisel saadud viimane võrrand/võrratus on vastus, 2) lahendiks sobib iga arv, 3) lahend puudub. Märgime, et võrrandisüsteemide korral saab T-algebraga lahendada ainult ülesandeid,

millel on parajasti üks lahend (õpetaja programm ei luba teistsuguseid sisestada).

15

Joonis 2.9. Vastuse andmine võrratuse lahendamise ülesandes.

2.5 Sammude ja sammu osade tagasivõtmine

Eelmise sammu tagasivõtmiseks tuleb operatsioonide menüüs valida Samm tagasi. See valik on passiivne, kui õpilane on käimasoleval sammul juba valinud menüüst operatsiooni või on esimene osa juba lõppenud ja ekraanil on kastid sisestamiseks.

Kui õpilane on sammu esimeses osas juba valinud operatsiooni või on käsil teine osa, kus ekraanil on sisestuskastid, siis saab käimasolevat tegevust (sammu algust või sisestamist) katkestada virtuaalsel klaviatuuril olevale punase X-kujulise ikooniga nupule vajutades. Kui õpilane katkestab sisestuse, siis ta saab jätkata/muuta operatsiooni ja osaavaldiste valikut (või mitme sisestusega operatsioonide korral eelmist sisestust). Sammu esimese osa katkestamisel tekib olukord, kus sammu pole veel alustatud (operatsiooni valik ja märgistused kaovad).

Sammude tagasivõtmisel jäävad andmed ja pildid nendel sammudel tehtud vigade ja abi küsimiste kohta alles, aga vastavate situatsioonide koht lahenduskäigus ei tarvitse enam arusaadav olla.

16

3. Mida T-algebra kontrollib? Sammu kolme komponendi sisestamine õpilase poolt (operatsiooni valik, operandide

märkimine, tulemuse sisestamine) võimaldab ka eri komponentides tehtud vigu eraldi diagnoosida. Vaatame nüüd, mida T-algebra kontrollib (ja mida mitte).

3.1 Operatsiooni valik Kui teisendusreegel on valitud, oleks T-algebras programmeeritud vahendeid kasutades

küllalt kerge kontrollida: 1) Kas seda reeglit saab mõnele avaldise osale rakendada? 2) Kas selle reegli valimine vastab antud ülesandetüübi jaoks õpetatavale

algoritmile (kui selline on olemas) või T-algebra automaatlahendajas realiseeritud algoritmile?

Tegelikult T-algebra ei kontrolli operatsiooni valikut eraldi, vaid alles koos operandide märkimisega. Kui õpilane on näiteks õpikust algoritmi pähe õppinud ja valib eriti järele mõtlemata järgmise operatsiooni, siis on tal operande valides võimalik ise aru saada, et seda operatsiooni ei saagi antud avaldise puhul rakendada. Aga kui õpilane on valinud võimatu operatsiooni ja küsib T-algebralt nõu operandide valikuks, siis saab ta teate, et seda reeglit ei saagi rakendada.

Joonis 3.1. T-algebra teade vastuseks märkimise kohta nõu küsimisele, kui valitud reeglit pole võimalik rakendada

Mis puutub aga algoritmile vastavuse kontrolli, siis paljude ülesannete korral on võimalik lahenduse olemust muutmata teha operatsioone teises järjekorras ja autoritel ei ole head lahendust, kuidas selliseid juhte eristada.

3.2 Operandide märkimine

Erinevalt näiteks mitmetest arvutialgebra programmidest nõuab T-algebra õpilaselt täpset operandide märkimist. Näiteks sarnaste liikmete koondamiseks tuleb märkida mitte kogu avaldis või mingi sulgudes paiknev summa, vaid täpselt need liikmed, mida koondatakse üheks üksliikmeks. Vastavalt sellele võimaldab T-algebra editor märkida mitu eraldiseisvat osa avaldises. Kui operandid paiknevad järjestikku, võib neid märkida ühe tükina. Avaldise ees seisva tehtemärgi võib märkida või jätta märkimata.

17

Et diagnoosida paremini juhte, kus õpilane ei saa aru, millised peavad olema reegli operandid, ei luba T-algebra rakendada reeglit ühel sammul „paralleelselt“ mitmele argumentide rühmale. Näiteks ei lubata ühe sammuga koondada kahte rühma sarnaseid liikmeid (vt joonis 3.2)

3). See teeb sammude arvu lahenduses suuremaks, aga ei nõua õpilaselt lisatööd sisestamisel, sest samaks jäävad avaldise osad kopeeritakse järgmisele reale automaatselt.

T-algebra diagnoosib reegli ja operandide märkimise kohta järgmisi vigu: 1) Märgitud osa ei ole süntaktiliselt korrektne avaldis – näiteks kui ühte paari kuuluvatest sulgudest üks on valitud ja teine mitte või märgitud osa on x+, 2) Märgitud osa pole avaldises (tehete järjekorra mõttes) osaavaldis – näiteks kui avaldises 5x-y on teisendamiseks valitud x-y, 3) Operandide arv ei vasta valitud reeglile – näiteks kui koondamiseks on märgitud ainult üks liige või arvu astendamiseks mitu, 4) Operandi(de) kuju ei vasta valitud reeglile – näiteks kui üksliikmetele või hulkliikmetele püütakse rakendada arvude liitmise reeglit, 5) Operandid ei sobi omavahel antud reegli jaoks – näiteks kui asutakse koondama liikmeid, mis pole sarnased või taandama lugejat ja nimetajat, millel pole ühist tegurit, 6) Operandide asukohad ei vasta reegli nõuetele – näiteks kui asutakse koondama mitte summa, vaid korrutise liikmeid või murru lugejat ja nimetajat, või leidma pöördarvu segaarvu murdosale.

T-algebra poolt antavad veateated juhtudel 3-6 pole alati ühesugused, vaid sisaldavad enamasti viidet valitud reeglile ja/või mingile tingimusele, mis peab selle reegli rakendamiseks olema täidetud. Näiteks alljärgnev annab ka pisut konkreetset informatsiooni:

Joonis 3.2. Veateade juhul, kui reeglile Liidan/lahutan arve on märgitud ebasobivalt paiknevad operandid.

Kui õpilased on T-algebrat alles vähe kasutanud, tekib mingi osa vigadest 3, 5 ja 6 (harvem 4) selle tõttu, et pole veel aru saadud täpse märkimise nõudest või sellest, et T-algebra ei luba sama operatsiooni „paralleelselt“ mitmetele argumentidele rakendada. Aga pärast kohanemist on vigade peamisteks allikateks operatsiooni olemuse vale mõistmine, operatsiooni segiajamine mõne enam-vähem sarnasega, aga ka ekslikud arusaamad avaldistes esinevatest konstruktsioonidest (murrud, astmed). Sellistel juhtudel võimaldab õpilase kavatsuste kontrollimine vältida asjatut tööd mõttetu avaldise sisestamiseks.

3.3 Teisendussammu tulemus Avaldiste või võrrandite, võrratuste ja võrrandisüsteemide teisendamise kontrolli juures

tuleb üldiselt silmas pidada, et me püüame algebras kogu teisendussammu korrektsust (järgmisel real oleva avaldise võrdumist või võrrandi/võrratuse/süsteemi samaväärsust

18

eelmisega) saavutada peamiselt lokaalse korrektsuse abil, asendades võrdset võrdsega. T-algebra dialoogi puhul tähendab see enamuse reeglite korral, et sammu lõpus kasti(desse) sisestatud avaldis peab olema võrdne sammu esimeses pooles märgitud osaga esialgsest avaldisest.

Tegelikult on asi kahtepidi keerulisem. Lokaalse teisenduse korrektsus pole piisav globaalseks, vaid mõnikord on vaja lokaalne tulemus panna sulgudesse. Kui näiteks märkida avaldises 3(x+y)(x-y) sulgavaldised ja sisestada nende asemel „naiivselt“ nende korrutis, siis saame 3x²-y², mis pole sugugi võrdne esialgse avaldisega. Järelikult peab õpiprogramm peale lokaalse võrduse kontrolli tegema veel midagi, et teisenduste jadas võrdusmärkidega tähistatud võrdused (võrrandite, võrratuste ja süsteemide korral samaväärsused) ka tegelikult kehtiks. Teiselt poolt on võimalik, et üldine võrdus kehtib lokaalse teisenduse vigasusest hoolimata. Näiteks võime esimestes sulgudes vigaselt koondades ikka saada kehtiva võrduse, kui mängus on korrutamine nulliga: (7x-x)(x+x-2x)=8x(x+x-2x). Aga vaevalt et ükski õpetaja tahaks avaldise 7x-x asendamist avaldisega 8x korrektseks lugeda ja vähemalt õppimise eesmärkidel peab programm ikka ka lokaalset võrdust kontrollima. Mõnede operatsioonide korral tuleb võrduse asemel kontrollida ligikaudset võrdust (murru kümnendlähendi leidmine), võrdumist märgitud osa pöördarvuga (pöördarvu leidmine), vastandväärtusega (liikme viimine teisele poole võrdusmärki) või mingi arvuga korrutatud väärtusega (võrrandi poolte korrutamine). T-algebra kontrollibki tegelikult 1) õpilase poolt sisestatud lokaalse tulemuse võrdumist automaatlahendaja poolt arvutatud avaldisega, 2) seda, et tulemus oleks avaldisse paigutatud koos vajalike ümbritsevate märkidega.

Kui võrdus ei kehti, püüab T-algebra kindlaks teha, millises avaldise osas on viga.

Joonis 3.3. Veateade valesti määratud märgi kohta.

Peale võrduse/samaväärsuse püüab T-algebra veel kontrollida, et sisestatud tulemus oleks valitud operatsioonile vastava kujuga (oleks koondamise korral üksliige või sisaldaks hulkliikmete korrutamise korral õige arvu õige kujuga üksliikmeid jne).

Kokkuvõttes võidakse diagnoosida üks järgmistest vigadest: 1) Sisestatud avaldis ei ole süntaktiliselt korrektne,

19

2) Sisestatud avaldise ees peab olema tehtemärk, 3) Sisestatud avaldis tuleb panna sulgudesse, 4) Sisestatud avaldisel ei ole kuju, mis tekib valitud operatsiooni rakendamisel märgitud operandidele (pole üksliige, vale arv liikmeid, …) 5) Sisestatud avaldise mingi konkreetse osa (märk, kordaja, muutujad, astmenäitajad, lugeja, nimetaja, …) väärtus pole õige, 6) Sisestatud osa pole samaväärne märgitud osaga, 7) Valitud operatsiooni pole tehtud (taandamisel pole arvud vähenenud, üleviimiseks märgitud liikmed pole viidud teisele poole, …)

Vead 2 ja 3 tekivad siis, kui õpilane tegeleb ainult märgitud osa teisendamisega, aga ei vaata tekkivat avaldist tervikuna (või ei saa aru tehete järjekorra muutusest). T-algebra autorid pidasid õigeks tulemuse juurde vajalikke märke ja sulge automaatselt mitte panna, vaid jätta see õpilase ülesandeks, sest selliseid vigu tehakse ka paberil teisendades. Veateade avaldise kuju kohta võib ilmuda ka siis, kui võrdus kehtib. Vähem informatiivne veateade 6 kuvatakse sellisel juhul, kui programm pole konkreetset vea asukohta suutnud tuvastada.

Märgime siin, et reegli ja tema jaoks sobivate operandide kontroll on T-algebras alati ühesugune, aga sammu tulemuse esitamisel lubatud kujudel on olemas erinevused kolme sisestusmoodi vahel. Kõigepealt kirjutavad struktuurne ja osaline sisestus märksa täpsemalt ette tekkiva avaldise kuju, kui vaba sisestus. Sisestuskastid määravad avaldise üldise kuju ja igasse kasti omakorda saab sisestada ainult teatud sümboleid. Näiteks hulkliikmete korrutamisel saab struktuurses ja osalises sisestusmoodis tulemus olla ainult üksliikmete summa, vabas moodis saab sisestada suvalise avaldise. Aga lisaks sellele nõutakse struktuursel sisestamisel (osalisest rääkimata) ka täpsemalt, et oleks tehtud (ainult) see operatsioon, mida valiti. Näiteks hulkliikmete korrutamise reegli rakendamisel avaldisele (2a+2)(5a+3) saab struktuurses moodis küll sisestada vastuse 10a²+16a+6, aga programm ei loe sellist avaldist korrutamise tulemuseks ja nõuab, et tulemus koosneks täpselt neljast liidetavast 10a², 10a, 6a ja 6. Vaba moodi korral loetakse koondatud tulemus õigeks.

Õpetajal on võimalik valida, millist sisestust ja sellele vastavat kontrolli taset ta konkreetsel õpetuse etapil või konkreetsete õpilaste puhul paremaks peab. Konkreetseid soovitusi aga autorid praegu anda ei oska. T-algebra lahendussammu disain on ka maailma mastaabis uus asi ja selliste programmide abil õppimise/õpetamise meetodid alles peavad välja kujunema.

3.4. Vea asukoha märkimine T-algebra märgib operandide märkimise ja sammu tulemuse sisestamise juures

punasega esimesena leitud vea asukoha. Teade ja märgistus tekivad ainult ühe vea kohta, kuigi tegelikult võib vigu olla tehtud rohkem. Õpilastel tuleks soovitada veateate korral kogu sisestus üle vaadata, et vähemalt samatüübilised vead korraga ära parandada. On ju üsna tavaline, et ühte ja sama viga on tehtud korraga mitmes kohas.

Enamasti on märgistatud koht osaavaldiste märkimisel/sisestatud avaldises esimene vigane koht, aga päris alati see nii ei ole. Neid tingimusi, mida valitud osaavaldised või sisestatud tulemus rahuldama peavad, kontrollitakse kindlas järjekorras. Kui mingit tingimust kontrollides leitakse viga, siis kõik kontrollid katkestatakse ja antakse veateade leitud vea kohta (tavaliselt koos punase märgistusega avaldises). Aga on võimalik, et mingi teise (kontrollimise järjekorras hilisema) tingimuse vastu on avaldises eksitud eespool.

Märgime veel, et kui viga on osaavaldiste omavahelises sobimatuses, siis avaldise algusest lugedes esimese „konflikti“ koht ei tarvitse alati osutada tegelikule veale. Kui näiteks avaldises 4s³+7s²-2s²-2+3 (joonis 2.2) märkida koondamiseks kolm esimest liiget, pandaks

20

punane foon teisele liikmele (sest ta pole esimesega sarnane), kuigi ekslikult märgitud on hoopis esimene.

Mõnede vigade korral ei ole vea asukoht üheselt tuvastatav ja märgistust ei teki. Kui näiteks õpilane on taandamisel murru 6/12 lugejat jaganud 2-ga ja nimetajat 3-ga, siis ei märgita kumbagi sisestatud arvudest.

3.5 Avaldise lõppkuju (mida kontrollitakse ja mida mitte) Ülesande lahenduse lõpetamiseks peab õpilane vajutama nupule Anna vastus. Selleks

momendiks peab avaldis (võrrand, võrratus, võrrandisüsteem) olema teisendatud ülesande tüübile vastavale lõppkujule. Kui avaldis ei ole veel vajalikul kujul, annab T-algebra suunava veateate ja õpilane peab teisendamist jätkama. Võimalik on ka vastupidine situatsioon. Kui avaldis on juba lõppkujul ja õpilane püüab teha veel ühte sammu, siis T-algebra teatab, et ülesanne on juba lahendatud, ja ei lase enam samme teha.

Nõutav lõppkuju ise on määratud ülesande tüübiga. Taandamise tulemuseks peab olema taandumatu murd ja laiendamise tulemuseks kas antud nimetajaga murd või võrdsete nimetajatega murrud. On olemas ka tüübid, kus tulemus peab olema kindlasti harilik või kindlasti kümnendmurd, liigmurd või jälle segaarv. Võrrandisüsteemi lahendamisel tuleb jõuda sellise süsteemini, kus on leitud mõlema tundmatu väärtused. Seda, et tüübi poolt määratud töö oleks tehtud, kontrollib T-algebra iga tüübi korral.

Peale selle on matemaatikas veel kombeks, et vastus tuleb anda lihtsustatud ja korrastatud kujul. T-algebra nõuab üldiselt järgmiste lihtsustamisoperatsioonide tegemist:

1) arvuliste tehete sooritamine, 2) liigsete plusside-miinuste kaotamine ja miinuse viimine murru ette, 3) murdude taandamine, 4) liigmurdude teisendamine segaarvuks, 5) sarnaste liikmete koondamine, 6) võrrandi/võrratuse/võrrandisüsteemi lahendite viimine kujule, kus tundmatu on

vasakul ja tema väärtus paremal. Erandi moodustavad siin need ülesannete tüübid, mis on mõeldud mingi konkreetse

teisendamis- või lahendamisvõtte esialgseks harjutamiseks. Näiteks tüübi Vaheta võrrandi pooled korral tuleb tõepoolest ainult võrrandi pooled vahetada ja arvuliste tehete või koondamise jaoks pole isegi menüüs vastavaid operatsioone. Tihti on ka nii, et sellisele tüübile vastava operatsiooni õppimise ajal on mitmed teised vastavat sorti avaldiste või võrrandite teisendamise operatsioonid alles tundmata. Neid ei saagi nõuda ja nende menüüsse paigutamine tekitaks ainult segadust.

Enamust ühele operatsioonile pühendatud ülesannete tüüpe kasutataksegi ainult operatsiooni esialgsel õppimisel. Probleemid võivad tekkida siis, kui samale operatsioonile pühendatud harjutusi antakse ka hiljem, kui on loomulik nõuda ka järgnevate operatsioonide tegemist. Mõned sellised näited on olemas. Näiteks ülesandetüübi Taanda korral ei ole menüüs liigmurru segaarvuks teisendamise operatsiooni. Tõepoolest, esimeste taandamisharjutuste tegemisel õpilased veel segaarve ei tunnegi ja eeldatakse, et murru 49/42 taandamisel tuleb vastuseks anda 7/6. Vastavalt sellele loeb T-algebra sellise vastuse ka õigeks. Kui soovitakse, et T-algebra nõuaks ka vastuse segaarvuks teisendamist, võib sama ülesande anda tüübis Liigmurru täis- ja murdosa eraldamine või murde sisaldava avaldise väärtuse arvutamise tüübis. Sealjuures võib ülesande tekst olla ikkagi „Taanda“. Ootamatuste vältimiseks tüüpide kasutamisel soovitame ülesande koostamisel vaadata T-algebra automaatlahendaja poolt leitud vastust ja mõnikord ka lahendust.

Matemaatikas on kasutusel ka mitmeid reegleid selle kohta, et hulkliime liikmed, muutujad võrrandisüsteemi lahendis vms tuleb mingil kindlal viisil järjestada. Milline see

21

kuju aga olema peab, ei ole mõnelgi puhul päris üheselt selge. Näiteks tähe z kohta pole selge, kas tema asukoht tuleks määrata eesti või ladina tähestiku järgi. Erinevaid kokkuleppeid on käibel üksliikmete järjestamiseks mitme muutuja hulkliikmetes (summaarse astme järgi või mingis muutujate järjestuses). T-algebra lubab vastuse andmisel üksliikmete muutujaid, hulkliikmete liikmeid ja võrrandisüsteemi lahendeid järjestada suvalisel viisil.

T-algebra ei kirjuta ka ette, kas murrud tuleb vastuses kirjutada hariliku või kümnendmurruna.

22

4. Lahendamise tulemuste vaatamine

4.1 Lahenduste vaatamine ja jätkamine Kui õpilase programmiga on avatud mingi lahenduste fail, siis vasakul (ülesannete)

paneelil on fooniga märgitud nende ülesannete tekstid, mis on lõpuni lahendatud. Kui teha mingil ülesandel topeltklõps, siis seni lahendamata ülesande korral tekib lahenduse algseis, kus esimesele reale on paigutatud ülesande esialgne avaldis. Kui faili salvestamisel oli ülesannet juba lahendatud või on seda tehtud käimasoleval seansil, avaneb olemasolev lahendus (lõpetatud või poolik). Lahenduse aknas olev ülesanne märgitakse ülesannete paneelil punase raamiga.

Kui lahendus on lõpetatud, siis lahendust enam muuta ei saa. Kui lahendus on lõpetamata, siis saab õpilase programmiga seda jätkata ja soovi korral muuta, tehes uusi samme või ka kustutades olemasolevaid. Järgmisel salvestusel salvestatakse lahendus juba muudetud kujul.

Õpetaja peab siinjuures arvesse võtma, et kui ta õpilase tööd kontrollides teeb õpilase poolikus lahenduses mingeid samme (näiteks proovib, kuidas programm reageeriks ühele või teisele sisestusele), siis faili salvestades salvestatakse need sammud samaväärsetena õpilase omadega ja hiljem (näiteks kui me tahame koos õpilasega tema lahendusi analüüsida) pole nad enam eristatavad. Muidugi on olemas võimalus, et jätame muutunud faili töö lõpus salvestamata, aga harjumuse tõttu võime me sellisest kavatsusest hoolimata töö lõppedes ikkagi salvestamise nupule vajutada.

4.2 Vigade ja abikasutamiste loendid ajalises järjekorras Kui valida menüüst Vaated rida Vigade nimekiri, avaneb samanimeline aken, mille

vasakus servas on tehtud vigade järjekorranumbrid. Kui selles nimekirjas valida mingi number (akna avanedes on vaikimisi valitud number 1), siis näidatakse aknas selle vea kohta salvestatud informatsiooni:

- ülesande number, - vea tegemise aeg, - vea tüüp, - valitud reegel (kui oli olemas), - sisestusmood, - ülesande tekst ja algne avaldis, - õpilasele näidatud veateade, - vea momendil ekraanil olnud avaldis koos valitud osaga ja (tulemuses tehtud

vea korral) ka sammul tekkinud avaldis koos sisestatud sümbolitega. Samal viisil töötab valik Abi kasutamise situatsioonide nimekiri. Joonisel 4.1 on

kujutatud olukorda, kus näidatakse tulemuse leidmisel tehtud viga. Õpetajale annab vea- ja abisituatsioonide uurimine informatsiooni selle kohta, millised

matemaatilised ja programmi kasutamisega seotud raskused on õpilastel tekkinud. Vajadusel saab siis õpilasi täiendavalt juhendada, aga ka teavitada programmi autoreid programmis esinevatest vigadest või raskesti arusaadavatest teadetest.

23

Joonis 4.1. Vigade nimekirja aken, kus parajasti näidatakse tulemuse sisestamise järel leitud viga.

4.3 Vigade ja abikasutamiste loendajad ülesannete kaupa T-algebra klassifitseerib diagnoositud vead 20-sse kategooriasse, jagades nad veel ka

matemaatilisteks ja mittematemaatilisteks. Viimased on peamiselt eksimused sammu dialoogis, näiteks kui sammu esimeses osas on jäetud avaldises operandid üldse märkimata või sisestamisel vajutatakse reavahetust ilma, et midagi oleks sisestatud. Mittematemaatiliseks klassifitseeritakse ka süntaktiliselt vigase osa valimine või sisestamine, kuigi sellised vead võivad tekkida ka asjatundmatusest.

Kui valida menüüst Vaated rida Vigade loendajad, siis avaneb eraldi aknas tabel, mille ridadeks on vigade kategooriad, veergudeks ülesanded jooksvast ülesannete kogust ja tabeli lahtrites on veerule vastavas ülesandes tehtud reale vastavasse kategooriasse kuuluvate vigade arv.

Kui nüüd edasi valida tabelis mingi lahter ja vajutada tabeli all nuppu Näita vead, siis avaneb eelmises punktis kirjeldatuga sarnane vigade nimekiri, kus aga akna vasakus servas on näidatud ainult valitud lahtrile vastavad vigade numbrid.

Analoogiliselt töötab abi kasutamise loendajate tabel, kus abi küsimised on klassifitseeritud sammu faaside järgi (reegli valik, operandide märkimine, lisainformatsiooni sisestamised mõnede reglite puhul, sammu tulemuse sisestamine, kogu lahenduse lõpetamine).

Joonisel 4.2 on kujutatud tüüpiline vigade loendajate tabeli seis.

24

Joonis 4.2. Vigade loendajate tabel

4.4 Lahenduste statistika Menüüst Vaated saab avada veel ka lahenduste üldise statistika tabeli. Iga ülesande

jaoks kulutatud ajaks loetakse aeg, millal see ülesanne oli ekraanil.

Joonis 4.3. Lahenduste statistika tabel

25

5. T-algebra ülesannete tüübid

5.1 Tüüpide nimekiri T-algebra on loodud lahendamiskeskkonnana avaldiste teisendamise teel lahendatavate

ülesannete jaoks. Allpool toodud ülesannete tüübid valiti T-algebra jaoks, analüüsides õpikutes olevaid avaldiste teisendamise ülesandeid ja ühendades sama tüübi alla sellised ülesanded, kus esialgne avaldis (võrrand, võrratus, võrrandisüsteem) ja muud ülesannet määravad andmed, lahendamise vahendid ja lahendamise tulemus peavad rahuldama ühesuguseid tingimusi. Esitame siin kõik T-algebra ülesannete tüübid teemade kaupa. Täisarve ja kümnendmurde sisaldavad avaldised 1) Tehete järjekorra määramine 2) Täisarvulise avaldise väärtuse arvutamine 3) Kümnendmurde sisaldava avaldise väärtuse arvutamine 4) Muutujaid sisaldava avaldise väärtuse arvutamine, kui on antud kõigi muutujate väärtused

Harilikud murrud

1. Laiendamine etteantud nimetajani 2. Taandamine 3. Ühenimeliste murdude liitmine ja lahutamine 4. Segaarvu teisendamine liigmurruks 5. Liigmurru täis- ja murdosa eraldamine 6. Murdude teisendamine ühenimelisteks 7. Murdude võrdlemine 8. Samanimelise murdosaga segaarvude liitmine ja lahutamine 9. Erinimeliste murdude ja segaarvude liitmine ja lahutamine 10. Kümnendmurru teisendamine harilikuks murruks 11. Hariliku murru teisendamine kümnendmurruks 12. Hariliku murru või segaarvu kümnendlähendi leidmine 13. Harilike murdude korrutamine 14. Harilike murdude jagamine 15. Pöördarvu leidmine 16. Kümnend- ja harilikke murde sisaldava avaldise väärtuse arvutamine

Ühe tundmatuga lineaarvõrrand 1. Sarnaste liikmete koondamine 2. Ava sulud ja koonda 3. Võrrandi lahendi kontrollimine 4. Vaheta võrrandi pooled 5. Vii liikmed õigele poolele 6. Vii liikmed õigele poolele ja koonda 7. Korruta võrrandi pooled 8. Jaga võrrandi pooled 9. Lahenda lineaarvõrrand 10. Lahenda parameetriga lineaarvõrrand

Ühe tundmatuga lineaarvõrratus

1. Arvvõrratuse kehtimise kontrollimine 2. Võrratuse lahendi kontrollimine

26

3. Vaheta võrratuse pooled 4. Arvu liitmine võrratuse pooltele 5. Arvu lahutamine võrratuse pooltest 6. Võrratuse poolte korrutamine antud arvuga 7. Võrratuse poolte korrutamine murdude ühise nimetajaga 8. Võrratuse poolte jagamine antud arvuga 9. Lineaarvõrratuse lahendamine

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem

1. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi teisendamine normaalkujule 2. Tundmatu avaldamine võrrandist 3. Võrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega 4. Võrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega

Astmed ja üksliikmed

1) Astmete korrutamine 2) Astmete jagamine 3) Korrutise astendamine 4) Jagatise astendamine 5) Astme astendamine 6) Üksliikmete korrutamine 7) Üksliikmete jagamine 8) Üksliikmete astendamine 9) Täisarvuliste astmenäitajatega avaldise väärtuse arvutamine muutujate antud väärtustel

Hulkliikmed

1. Sarnaste liikmete koondamine 2. Ava sulud ja koonda 3. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 4. Hulkliikme korrutamine üksliikmega 5. Hulkliikme jagamine üksliikmega 6. Hulkliikmete korrutamine 7. Hulkliikmete korrutamine abivalemite abil 8. Hulkliikme väärtuse arvutamine muutujate antud väärtustel 9. Ühise teguri toomine sulgude ette

Töö mahu ja vajalike oskuste ulatuse poolest on tüübid üsna erinevad. Mõned nendest

on pühendatud mingile üksikule teisendamise või lahendamise etapile (Taanda, Koonda sarnased liikmed, Jaga võrrandi pooled tundmatu kordajaga), teised ühendavad endas terve peatüki materjali ja vastavalt tuleb tüüpilises ülesandes teha hulk erineva iseloomuga samme (Kümnend- ja harilikke murde sisaldava avaldise väärtuse arvutamine, Lahenda lineaarvõrrand). Mitmete peatükkide jaoks on olemas enam-vähem kõiki oskusi kokkuvõttev ülesandetüüp. Aga ka muudes tüüpides oleme õpikutest eeskuju võtnud ja paljudel juhtudel võivad hilisemate tüüpide ülesanded sisaldada varasemate tüüpide elemente, kuigi see tüübi nimetuses ei tarvitse kajastuda. Näiteks murdude liitmisel või korrutamisel nõutakse õpilaselt ka tulemuse taandamist, hulkliikmete korrutamise ülesandes võib avaldis sisaldada mitme korrutise summat, võrrandisüsteemi lahendamisel liitmisvõttega võib teise tundmatu leidmiseks kasutada asendamist.

27

5.2 Mida määrab ülesande tüüp? Ülesande tüüp määrab T-algebra jaoks

- algse avaldise (võrrandi, võrratuse, võrrandisüsteemi jne) lubatud kuju, - vajalikud lisaparameetrid ja algandmete erikujud mõnede tüüpide korral, - ülesande vaikimisi tekkiva teksti (seda saab muuta), - lahendamisel õpilase käsutuses olevad teisendusreeglid, - teisendamise lõpptulemuse nõutava kuju.

Lisaparameetrite ja erikujude all mõeldakse siin seda, et mõnede ülesandetüüpide korral võib algandmeid olla rohkem kui mingi avaldis, võrrand vms.

Lisaparameetreid nõuavad näiteks järgmised ülesandetüübid: - murru laiendamise ülesande korral peab olema ka näidatud, millise nimetajani tuleb

laiendada, - võrrandi või võrratuse lahendi kontrollimiseks peab olema antud ka kontrollimisele kuuluv lahend,

- avaldise väärtuse arvutamiseks muutujate antud väärtustel tuleb avaldisele lisada nende muutujate väärtused,

- parameetriga võrrandi lahendamiseks on vaja määrata avaldamisele kuuluv tundmatu jne On ülesandetüüpe, kus ette antakse rohkem kui üks avaldis:

- murdude laiendamisel ühise nimetajani on algandmeteks kaks või enam murdu, - murdude võrdlemisel - täpselt kaks murdu jne.

Iga ülesandetüübi jaoks on T-algebras realiseeritud ka automaatse lahendamise algoritm, mis lahendab ülesande, kasutades antud ülesandetüübis lahendamiseks lubatud samme. Iga samm tehakse samal kujul, nagu õpilase lahenduses: valitakse teisendusreegel, märgitakse operandid ja leitakse uus avaldis. Automaatlahendaja lahendust on võimalik vaadata nii õpetaja kui õpilase programmist (viimasest juhul, kui ülesande koostaja pole lahenduse väljastamist ära keelanud). Automaatlahendaja kutsutakse välja ka õpilase lahenduse keskel, kui õpilane küsib nõu reegli valikuks, operandide märkimiseks või reegli rakendamise tulemuse leidmiseks.

Algse avaldise kuju kontrollib ja vajalike lisaparameetrite sisestamist juhib õpetaja programm, lubades ülesannete kogusse salvestada ainult tüübile sobiliku avaldisega ja kõiki vajalikke lisaandmeid sisaldavaid ülesandeid. Tegelikult proovib õpetaja programm enne iga ülesande salvestamist (automaatlahendaja poole pöördudes) ka seda, et ülesannet oleks võimalik antud tüübi jaoks lubatud reeglitega lahendada.

Lubatud algkuju kohta märgime, et tüüpide nimekirjas toodud teemad ise on pärit mingitest konkreetsetest klassidest. Sealjuures võivad mõne teema ülesannete tüübid olla nende esialgsel sissetoomisel kasutusel arvuvallaga seotud kitsendustega. Näiteks avaldiste väärtuste arvutamisel ja tehetel murdudega peavad ülesanded kuni negatiivsete arvude sissetoomiseni kuuenda klassi lõpus olema sellised, et vahe- ja lõpptulemustena ei teki negatiivseid arve. Enne harilike murdude sissetoomist ei tohi jagamisel tekkida tulemusi, mis ei kujutu lõpliku kümnendmurruna. Hiljem aga on vastavat tüüpi ülesandeid kindlasti vaja lahendada ka negatiivsete ja/või hariliku murruna esitatavate arvudega. Ülesande sisestamisel ei kontrolli T-algebra vahe- ja lõpptulemuste mittenegatiivsust. Küll aga kontrollitakse tüübi Täisarvulise avaldise väärtuse arvutamine korral, et lõpp- ja vahetulemused oleksid täisarvud. Tüübi Kümnendmurde sisaldava avaldise väärtuse arvutamine korral kontrollitakse, et tulemused ei oleks lõpmatud kümnendmurrud. Täpsemalt on kitsendusi kirjeldatud järgmises jaotises 5.3.

28

5.3 T-algebra tüüpide poolt ülesande algsetele avaldistele ja parameetritele esitatavad nõuded

Kõigepealt kirjeldame üldiselt T-algebras lubatavaid avaldisi. Avaldisi moodustatakse täisarvudest, lihtmurdudest, segaarvudest, (koma abil

kirjutatud) kümnendmurdudest ja muutujatest, kasutades 1) unaarseid tehtemärke + ja -, 2) binaarseid tehtemärke +, -, ⋅ ja :, 3) astendamist, 4) murrujoont, 5) sulge.

Tehete järjekorra suhtes avastasime, et mõnedes õpikutes kirjutatakse üksliikmega jagamisel jagaja ilma sulgudeta (näiteks 4a³b : 2ab = 2a²), mis on vastuolus kokkuleppega, et korrutamine ja jagamine on võrdse prioriteediga tehted ja neid tuleb sooritada vasakult paremale. Matemaatika ainenõukogu soovis ülaltoodud kirjaviisi siiski lubada. Seetõttu mõistab T-algebra tehete järjekorda nii, et jagamine ja punktiga kirjutatud korrutamine on võrdse prioriteediga, aga ilma punktita korrutamine on neist kõrgema prioriteediga, näiteks 4a³b : 2a⋅b = 2a2b2.

Astmenäitajasse lubatakse kirjutada ainult täisarve. Vahetulemustes lubatakse ka segaarve, mille lugejas on tehtemärke. Ülesande koostamisel kontrollib T-algebra õpetaja programm, et algne avaldis ja

lisaparameetrid sobiksid ülesande tüübiga, mis tähendab teatud lisanõudeid. T-algebra üldiselt ei luba selliste konstruktsioonide esinemist avaldises, mida õpilased antud ülesandetüübi õppimisel veel ei tunne. Ühele konkreetsele operatsioonile pühendatud tüüpides nõuab T-algebra õpetaja programm tavaliselt, et seda operatsiooni oleks vaja ka vähemalt üks kord kasutada. Peale algse avaldise läbivaatuse lastakse ka T-algebra automaatlahendajal ülesanne läbi lahendada ning uuritakse sammudel tekkivaid olukordi (näiteks võib nulliga jagamine tulla ilmsiks alles peale tehete sooritamist nimetajas). Esitame nüüd nõuded teemade ja tüüpide kaupa.

Täisarve ja kümnendmurde sisaldavad avaldised

1) Tehete järjekorra määramine Täisarvudest, kümnendmurdudest, harilikest murdudest ja segaarvudest nelja tehte ning

sulgude abil moodustatud avaldis, milles on vähemalt 2 binaarset tehet 2) Täisarvulise avaldise väärtuse arvutamine

Täisarvudest nelja tehte ning sulgude abil moodustatud avaldis. Ka tehete tulemused peavad olema täisarvud.

3) Kümnendmurde sisaldava avaldise väärtuse arvutamine Täisarvudest ja kümnendmurdudest nelja tehte ning sulgude abil moodustatud avaldis. Tehete tulemused peavad esituma lõplike kümnendmurdudena

4) Muutujaid sisaldava avaldise väärtuse arvutamine, kui on antud kõigi muutujate väärtused Avaldis, mis sisaldab vähemalt ühe muutuja. Parameetritena on antud avaldises esinevate muutujate väärtused.

29

Harilikud murrud Murdude peatükki kuuluvate tüüpide juures on arvestatud sellega, et murde õpitakse

meil enne negatiivseid arve. Negatiivsed arvud võivad esineda ainult viimase tüübi algses avaldises, ülejäänud tüüpides tohib miinus esineda ainult lahutamise märgina kahe murru vahel. Aga negatiivse arvu tekkimist lahutamise tulemusena ei keelata. 1. Laiendamine etteantud nimetajani

Harilik murd. Nimetaja >0, lugeja ≥0. Nõutav nimetaja peab olema algse kordne.

2. Taandamine Murd, mille lugejas ja nimetajas on naturaalarv või naturaalarvude korrutis. Nimetaja ja lugeja ühistegur peab olema suurem kui 1.

3. Ühenimeliste murdude liitmine ja lahutamine Kaks või rohkem ühenimelist murdu, nende vahel plussid ja miinused.

4. Segaarvu teisendamine liigmurruks Märgita segaarv

5. Liigmurru täis- ja murdosa eraldamine Märgita harilik murd

6. Murdude teisendamine ühenimelisteks Kaks või enam tühikutega eraldatud harilikku murdu

7. Murdude võrdlemine Kaks tühikuga eraldatud märgita harilikku murdu või segaarvu

8. Samanimelise murdosaga segaarvude liitmine ja lahutamine Kaks või enam täisarvu, samanimelist murdu või segaarvui, nende vahel plussid ja miinused

9. Erinimeliste murdude ja segaarvude liitmine ja lahutamine Kaks või enam naturaalarvu, harilikku murdu ja segaarvu, nende vahel plussid ja miinused. Ka sulud lubatud.

10. Kümnendmurru teisendamine harilikuks murruks Positiivne kümnendmurd

11. Hariliku murru teisendamine kümnendmurruks Märgita harilik murd või segaarv, mille murdosa teiseneb lõplikuks kümnendmurruks (st taandatud murru nimetaja algarvulised tegurid on ainult 2 ja 5)

12. Hariliku murru või segaarvu kümnendlähendi leidmine Märgita harilik murd või segaarv.

13. Harilike murdude korrutamine Kaks või enam naturaalarvu, harilikku murdu ja segaarvu, nende vahel korrutamise märgid. Sulge ei lubata.

14. Harilike murdude jagamine Kaks või enam naturaalarvu, harilikku murdu ja segaarvu, nende vahel jagamise märgid. Sulud lubatud.

15. Pöördarvu leidmine Positiivne täisarv, kümnendmurd, harilik murd või segaarv

16. Kümnend- ja harilikke murde sisaldava avaldise väärtuse arvutamine Täisarvudest, kümnendmurdudest, harilikest murdudest ja segaarvudest nelja tehte ning sulgude abil moodustatud avaldis

30

Ühe tundmatuga lineaarvõrrand

1. Sarnaste liikmete koondamine Üksliikmete summa. Üksik üksliige võib olla ka sulgudes. Peab leiduma sarnaseid üksliikmeid.

2. Ava sulud ja koonda Avaldis, võrrand, võrratus või võrrandisüsteem, mis sisaldab sulge, mida saab kaotada või arvuga/üksliikmega korrutades avada

3. Võrrandi lahendi kontrollimine Ühe muutujaga võrrand (ei pea olema lineaarne). Tundmatu ei esine astmenäitajas.

4. Vaheta võrrandi pooled Võrrand

5. Vii liikmed õigele poolele

Võrrand, kus mõlemal poolel on üksliikmed ja arvud, nende vahel plussid ja miinused Võrrand sisaldab vähemalt ühe muutuja paremal või arvu vasakul

6. Vii liikmed õigele poolele ja koonda Võrrand, kus mõlemal poolel on üksliikmed ja arvud, nende vahel plussid ja miinused Võrrand sisaldab vähemalt ühe muutuja paremal või arvu vasakul

7. Korruta võrrandi pooled liikmete ühise nimetajaga Võrrand, kus mõlemad pooled on summad arvudest (sealhulgas harilikest murdudest ja segaarvudest), üksliikmetest ja sellistest murdudest, mille lugeja on summa arvudest ja üksliikmetest. Võrrandis peab olema vähemalt üks murd või segaarv. Murdude nimetajad peavad olema positiivsed täisarvud.

8. Jaga võrrandi pooled tundmatu kordaja või liikmete ühise teguriga Võrrand peab olema kas kujul ax=b või mõlemad pooled on summad arvudest ja üksliikmetest, millel on ühest erinev täisarvuline ühistegur.

9. Lahenda lineaarvõrrand Lineaarvõrrand või lineaarseks lihtsustuv võrrand.

10. Lahenda parameetriga lineaarvõrrand Vähemalt kahte tundmatut sisaldav võrrand, ilma astendamiseta.

Ühe tundmatuga lineaarvõrratus

1. Arvvõrratuse kehtimise kontrollimine Arvvõrratus

2. Võrratuse lahendi kontrollimine Ühe muutujaga võrratus (ei pea olema lineaarne). Tundmatu ei esine astmenäitajas.

31

3. Vaheta võrratuse pooled Võrratus

4. Arvu liitmine võrratuse pooltele Võrratus, parameetriks arv (mitte 0)

5. Arvu lahutamine võrratuse pooltest Võrratus, parameetriks arv (mitte 0)

6. Võrratuse poolte korrutamine antud arvuga Võrrand, kus mõlemad pooled on summad arvudest (sealhulgas harilikest murdudest ja segaarvudest), üksliikmetest ja sellistest murdudest, mille lugeja on summa arvudest ja üksliikmetest. Arv, millega tuleb korrutada, peab erinema nullist ja ühest. Murdude nimetajad peavad olema positiivsed täisarvud. Kui võrratuses on murde, siis parameeter peab olema ühine nimetaja.

7. Võrratuse poolte korrutamine murdude ühise nimetajaga Võrratus, kus mõlemad pooled on summad arvudest (sealhulgas harilikest murdudest ja segaarvudest), üksliikmetest ja sellistest murdudest, mille lugeja on summa arvudest ja üksliikmetest. Võrratuses peab olema vähemalt üks murd või segaarv. Murdude nimetajad peavad olema positiivsed täisarvud.

8. Võrratuse poolte jagamine antud arvuga Võrratus, mille pooled on üksliikmete summad Võrratus ei tohi sisaldada harilikke ega kümnendmurde. Jagaja ei tohi olla 0 ega 1

9. Lineaarvõrratuse lahendamine Lineaarvõrratus või lineaarseks lihtsustuv võrratus.

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem

1. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi teisendamine normaalkujule Vähemalt kahe tundmatuga võrrand, kus võivad esineda ka sulgavaldised, murdavaldised. Töötab ka mittelineaarsete võrranditega, nõudes teisendamist üksliikmete summaks.

2. Tundmatu avaldamine võrrandist Võrrand, mis on või lihtsustub otsitava muutuja suhtes lineaarseks

3. Võrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega Kahe võrrandi ja kahe tundmatuga lineaarne võrrandisüsteem Süsteemil peab olema täpselt üks lahend

4. Võrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega Kahe võrrandi ja kahe tundmatuga lineaarne võrrandisüsteem Süsteemil peab olema täpselt üks lahend

32

Astmed ja üksliikmed

1. Astmete korrutamine 2. Astmete jagamine 3. Korrutise astendamine 4. Jagatise astendamine 5. Astme astendamine 6. Üksliikmete korrutamine 7. Üksliikmete jagamine 8. Üksliikmete astendamine 9. Täisarvuliste astmenäitajatega avaldise väärtuse arvutamine muutujate antud

väärtustel

Hulkliikmed 1. Sarnaste liikmete koondamine 2. Ava sulud ja koonda 3. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 4. Hulkliikme korrutamine üksliikmega 5. Hulkliikme jagamine üksliikmega 6. Hulkliikmete korrutamine 7. Hulkliikmete korrutamine abivalemite abil 8. Hulkliikme väärtuse arvutamine muutujate antud väärtustel 9. Ühise teguri toomine sulgude ette

33

5.4 Milliseid tüüpe T-algebras pole? Väliste lisatingimuste kasutamisest

Selles jaotises on juttu küsimustest, mis võivad õpetajal tekkida kohe T-algebra kasutamise alguses. Aga nendele probleemidele siin pakutavate lahenduste rakendamine nõuab ilmselt sellist T-algebra vahendite tundmist, mis tekib alles ülesannete kogude koostamise ja praktilise kasutamise kestel.

T-algebraga on püütud katta võimalikult lai spekter avaldiste teisendamise teel lahendatavaid ülesandeid, milleks vaatasime läbi õpikute vastavad peatükid viiendast kaheksanda klassini. Nendes peatükkides leitud ülesandetüüp võis T-algebrast välja jääda eelkõige kahel sisust tuleneval põhjusel:

1) Ei ole teada viisi, kuidas programmeerida sellise ülesandetüübi lahendussammude ja vastuse kontrolli, kuna T-algebras on eesmärgiks seatud õpilase iga lahendussammu kontrollimine eelnevalt programmeeritud algoritmide abil.

2) Lahendustes kasutatakse muid (teisel kujul) andmeid peale avaldiste – näiteks jooniseid ja graafikuid.

Milliseid õpikutes esinevad tüübid nendel põhjustel puuduvad? Kõigepealt – ei ole tüüpe tekstülesannete jaoks. Tekstülesannete puhul tähendaks kõigi

sammude kontroll ka seda, et tuleks kontrollida koostatud avaldise või võrrandi vastavust ülesande tekstile. Selline kontrolliprogramm peaks mõistma tekstülesannete sõnastusi.

Analoogiliselt ei saa T-algebraga lahendada ülesandeid, milles vastuseks on tekst (Põhjenda …., Kuidas saab …, Kirjelda, kuidas arvutada …).

Teisel põhjusel pole T-algebras näiteks ülesannete tüüpe murdude graafilise kujutamise (arvkiirel või tasandilise kujundi osadena), võrrandite graafilise lahendamise jms kohta, kuigi need endast mingit põhimõttelist raskust ei kujuta. Soovist mitte kasutada uusi vahendeid on välja jäänud ka ülesandeid, milles seotakse algebra temaatikat mingite teiste matemaatika valdkondadega. Näiteks on VIII klassi õpikus ülesanne „Leia hulga A={-5x³; 4x³; -x³; 6x³} elementide summa ja arvuta selle väärtus, kui x=-2“.

Mõned ülesandetüübid on realiseerimata jäetud lihtsalt harva esinemise tõttu, kuigi neid saaks T-algebras olemasolevate vahenditega ja T-algebra sammukontrolli vaimus komputeriseerida. Näiteks võib A.Telgmaa ja E.Nurga VI klassi õpikust leida ülesande 227 murdude esitamise kohta nn. tüvimurdude summana. Õppetöös kasutataksegi ju päris tihti ka ülesandeid, mis nõuavad lahendamiseks küll matemaatika põhioskusi (näiteks avaldiste teisendamist), aga ülesande algsituatsioon, lõpptulemus ja/või piirangud lahendamisvahenditele on valitud mingil originaalsel viisil. Iga sellise originaalsuste komplekti jaoks T-algebras muidugi vastavat tüüpi pole.

Mõnesid ülesandeid saab T-algebras lahendada mõnevõrra tinglikult. Näiteks paljudes õppetükkides on esimestes ülesannetes algandmed lihtsad ja nõutakse arvutuste sooritamist peast: „Arvuta peast: 3+4½“, „Arvuta peast, kasutades liitmise seadusi: 1/5+5/6+4/5+1/6“, „Kasuta peast kaksliikme ruudu valemit: (2a+5)²“. Kui tulemuse saamiseks on vajalik ainult üks operatsioon, siis peab õpilane enamasti ka T-algebraga selle ülesande lahendama ühe sammuga ja sisestama kohe vastuse (vähemalt vaba sisestusmoodi korral). Seetõttu tuleb õpilasel ka T-algebraga töötades siintoodud esimeses ja kolmandas näites ülesanne sisuliselt peast lahendada, kuigi see osa tulemusest, mis on juba sisestatud, on mälule mõningaseks toeks.

Teise näite puhul on aga olukord keerulisem. Õpilasel on võimalik märkida liitmiseks korraga kõik murrud või mingi osa nendest. Kui ta märgib kõik ja ülesanne on vabas sisestusmoodis, siis antakse sisestamiseks üks kast, kuhu tuleb kohe sisestada lõppvastus. Ilmselt peab õpilane siis vastuse ka peast leidma. Teiste sisestusmoodide korral küsitakse õpilaselt vahepealseid tulemusi ja töö erineb peastarvutamisest oluliselt. Aga õpilane saab ka

34

T-algebra vabas moodis tehteid ühekaupa teha ja siis ta sisestab juba ka mitu vahetulemust. Peastarvutamine pole see siis enam kindlasti. Küll aga võimaldab T-algebra siin liitmise omadusi kasutada ja liita viiendikud eraldi ning kuuendikud eraldi.

Kui soovitud ülesanne ei kuulu otseselt mõnda T-algebra ülesandetüüpi, peab õpetaja ise otsustama, kas seda ülesannet saab mõistlikult T-algebra all lahendamiseks anda või mitte. Mõnel juhul võib õpetaja anda ülesande tekstis lahendamiseks lisatingimusi. Näiteks võib ülalpool vaadeldud nelja murru liitmise ülesande anda vabas sisestusmoodis ja tekstiga „Liida murrud ühe sammuga, valides liitmiseks kogu avaldise“. T-algebra jätab muidugi sellise sõnaliselt esitatud tingimuse kontrolli õpetaja teha, kuid annab kontrollimiseks küllalt mugava vahendi. Lahenduste statistika tabelis on olemas rida Sammude arv, kus peaks tingimuse täitmise korral olema 1. Eriti lihtne on seda kontrolli teha juhul, kui niisuguseid peastlahendamise ülesandeid on terve rida.

Kirjeldame pisut üldisemalt, mida, millistel tingimustel ja kuidas saab teha „suvalise“ ülesande esitamiseks mingi T-algebra ülesandetüübi all, kui me tahame kasutada T-algebra poolt pakutavat teisenduste korrektsuse kontrolli.

- Ilmselt on möödapääsmatu, et algne avaldis peab rahuldama selles tüübis esitatavaid tingimusi, muidu ei nõustu õpetaja programm sellist ülesannet faili kirjutama ega õpilase programm failist lugema.

- Kindlasti on vajalik tüübi vaiketekstist erinev konkreetset ülesannet kajastav ülesande tekst. - Lahendamisvahenditeks annab T-algebra valitud tüübile vastava reeglite komplekti. Midagi

sinna juurde lisada ei saa, st tüüp peab olema valitud selline, et tema reeglitega saab ülesande ära lahendada. Kui mingite tüübis kättesaadavate reeglite kasutamist, mingil viisil operandide valimist vms soovitakse keelata, siis lahendamise ajal toimivateks piiranguteks T-algebra vahendeid ei anna. Aga sedalaadi kitsendused ka ei välista T-algebra kasutamist, ainult osa kontrollist tuleb teha õpetaja silmaga tagantjärele.

- Reegli valimise nõuannete kasutamine on tõenäoliselt mõistlik ära keelata, sest T-algebra annab nõu mitte antud ülesandele, vaid valitud ülesandetüübile vastavat eesmärki silmas pidades. Operandide valiku ja sammu tulemuse leidmise nõuanded tuleks keelata juhul, kui nad võivad minna vastuollu ülesande piirangutega.

- Et lahendus loetaks lõpetatuks, nõuab T-algebra avaldise viimist kasutatava tüübi poolt nõutavale kujule. Kui tegelik ülesanne esitab lisaks sellele veel mingeid lisatingimusi, peab neid kontrollima õpetaja. Kui aga ülesandes nõutav lõppavaldise kuju ei vasta tüübis nõutavatele tingimustele, ei loe T-algebra sellise kuju korral lahendust lõpetatuks ja nõuab mingite edasiste teisenduste tegemist. Et antud ülesande lõpetamisel võib selline eriolukord tekkida, peaks olema öeldud ülesande tekstis. Ülesandes nõutud tulemuseni jõudes on õpilasel võimalik katkestada selle ülesande lahendamine ja jätta avaldis seniste teisendustega saadud kujule, hoolimata T-algebra hinnangutest.

35

6. T-algebra teisendusreeglid Igaks lahendussammuks peab õpilane valima menüüst ühe teisendusoperatsiooni

(-reegli). Menüüs oleva reeglite hulga määrab ülesande tüüp. Reeglite menüü on tühjade ridade abil jagatud kolmeks. Ülemises kolmandikus on parajasti lahendatava ülesandetüübi lahendusalgoritmis esinevad operatsioonid ja üldtarvilikud lihtsustamise ning arvutamise operatsioonid arvude ja sulgude jaoks. Keskmises kolmandikus on kõikvõimalikud operatsioonid murdude teisendamiseks. Menüü alumises kolmandikus on nulli ja ühega seotud lihtsustamisreeglid.

Õpetaja programmiga ülesande koostamisel lahendab T-algebra automaatlahendaja enne salvestamist (aga samuti ka vastuse või lahenduse vaatamiseks) ülesande nende reeglite abil läbi ja kontrollib sellega, et õpilastele ei esitataks mittelahenduvaid ülesandeid.

Sammu tegemise ajal toimib reegel järgmiselt: 1. Kui õpilane valib menüüst reegli, siis kuvatakse lahenduspaneeli alumisele servale juhis,

mida peab õpilane selle reegli rakendamiseks operandideks valima. 2. Kui reegel on valitud ja õpilane küsib abi operandide valikuks, siis programm valib reegli

rakendamiseks sobiva(d) operandi(d) või teatab, et selle reegli rakendamine pole võimalik.

3. Kui õpilane kinnitab oma teisendusreegli ja operandide valiku, siis programm kontrollib, kas valitud reegli rakendamine märgitud operandi(de)le on võimalik. Kui reeglit ei saa märgitud operandidele rakendada, siis antakse veateade ja õpilane peab operandide ja/või reegli valikut muutma. Kui vastus on positiivne, siis kuvab programm sammu tulemuse sisestamiseks vajaliku(d) sisestamiskasti(d). Kastide konfiguratsioon sõltub reeglist, operandidest ja sisestusmoodist. Reeglist sõltub ka see, milliseid sümboleid on võimalik virtuaalselt ja tavaklaviatuurilt kastidesse sisestada.

4. Kui õpilane küsib sammu tulemuse sisestamiseks abi, siis automaatlahendaja rakendab reeglit märgitud operandidele ning tulemus kuvatakse sisestuskastidesse.

5. Kui õpilane kinnitab teisenduse tulemuse, siis kontrollib programm peale võrduse/samaväärsuse kehtimise ka seda, kas selline tulemus saab tekkida valitud reegli rakendamisel märgitud operandidele. Näiteks koondamise tulemus peab peale koondatavate summaga võrdumise olema üksliige, taandamisel peavad lugeja ja nimetaja olema vähenenud mingi täisarv korda, kahe võrrandi liitmisel peab nii vasakul kui paremal pool tekkima liidetud võrrandite vastavate poolte summa. Tulemus ei pea täht-tähelt ühtima selle avaldisega, mille saab T-algebra automaatlahendaja. T-algebra ei nõua hulkliikme liikmete ja üksliikmes esinevate muutjate järjestamist mingis kindlas järjekorras; kordaja ja astmenäitaja 1 võib kirjutada või kirjutamata jätta; vaba sisestuse korral võib tehetel murdudega nimetajasse või lugejasse kirjutada nii arvu kui ka arve ja tehtemärke sisaldava avaldise jne.

Automaatlahendaja poolt tehtavad valikud ja arvutused on tõenäoliselt enam-vähem aktsepteeritavad, kuigi standardmeetodiga „toodetav“ lahendus võib mõnede ülesannete puhul olla ebaratsionaalne. Probleeme võivad reegli funktsioonidest tekitada kolmas ja viies, mis kontrollivad õpilase tööd sammul. Reeglid on omavahel erinevad ja see, kuidas üks või teine nendest peaks täpselt töötama, ei ole sugugi üheselt määratud. Erinevaid arusaamu tekitavad siin nn eel- ja järelteisendused, mida oleme harjunud teisendusoperatsioonide juures mingil määral lubama. Näiteks me tavaliselt ei nõua, et õpilane teeks enne 2xyx +3yx²- x²y koondamist kõigepealt esimeses üksliikmes korrutamise sammu, siis muutujate järjekorra vahetamise sammu ning alles kolmandal sammul saaks koondada. Analoogiliselt me lubame, et kui koondamise tulemusel saadi kordaja null, siis korrutatakse muutujad nulliga ja tekkiv null-üksliige jäetakse summasse üldse kirjutamata (kui on veel teisi liikmeid). Mingit üldist reeglit, milliseid eel- ja järelteisendusi ja kui palju on õige lubada, aga kusagilt ei leia.

36

Tõenäoliselt tahavad erinevad õpetajad, aga ka üks ja seesama õpetaja erinevate õpilaste puhul neid erineval hulgal võimaldada ja õpilasi erineva pikkusega sammudega tööle panna. T-algebra programmeerijad on realiseerinud mingid meie poolt tehtud valikud kolme sisestusmoodina, mille vahel õpetajal on võimalik valida. Aga on paratamatu, et on olemas ka sellised juhud, kus veateate põhjuseks pole õpilase sisuline eksimine matemaatika vastu, vaid soov teha matemaatiliselt korrektset sammu viisil, mida T-algebra ei võimalda.

37

7. Ülesannete sisestamine ja toimetamine õpetaja programmiga

T-algebra õpetaja programm (fail T_algebra_opetaja.exe) on ette nähtud ülesannete kogude failide koostamiseks ja toimetamiseks. Tavakasutuse korral ei ole õpetaja programmi vaja õpilastele anda, sest see programm võimaldab ülesannete kogude muutmist (näiteks ülesannete eemaldamist, esialgselt koostaja poolt keelatud abi kättesaadavaks tegemist vms). Kui me aga soovime, et õpilased ise sisestaks ülesandeid (näiteks mingi kirjaliku allika põhjal) ja lahendaks neid, siis tuleb kasutada õpetaja programmi, sest õpilase programmis ülesande sisestamise võimalust ei ole. Ülesannete sisestamisel tuleb teha ka mõnede selliste atribuutide valikuid, mis eeldavad õpetaja kompetentsi.

7.1 T-algebra õpetaja programmi ekraan

Joonis 7.1. T-algebra õpetaja programm ülesannete kogu ja juhistega.

38

T-algebra õpetaja programmi ekraani vasakul poolel asub ülesannete kogu paneel, kus on nähtaval ülesanded, mis on juba faili sisestatud. Näiteks joonisel 7.1 on failis 5 ülesannet. Vajadusel saab ülesandeid üles ja alla kerida.

Paneelil näidatakse ülesannete atribuutidest ülesande numbrit, teksti ja ülesande algset avaldist. Ülesande muud atribuudid on nähtavad ainult siis, kui see ülesanne on akna paremas osas ülesande toimetamise paneelil. Kui ülesande koostaja on valinud mingis ülesandes konkreetse avaldise asemel juhusliku avaldise genereerimise (vt viimane ülesanne kogus), siis asub avaldise kohal paragrahvi märk, mille järel on avaldise keerukuse taseme number (antud juhul 2).

Peamenüü alammenüüd sisaldavad traditsioonilisi valikuid. Pisut spetsiifilisem on alammenüü Ülesanded, kust saab valida uue ülesande lisamise, ülesannete kogus märgitud ülesande kustutamise või parandamise, samuti märgistuse nihutamise üles või alla ja märgitud ülesande nihutamist kogus üles- või allapoole. Need valikud on ka dubleeritud nuppudega ülesannetest kogu paneeli paremal serval.

Paremal poolel on aktiivsete tegevuste eel ja vaheaegadel lehekülg juhistega (joonis 7.1). Kui kasutaja vajutab hammasrattaga nuppu, siis avaneb paremal poolel faili üldiste parameetrite seadistamise paneel (vt joonis 7.2 ja jaotis 7.2). Kui vajutatakse ülesande lisamise nuppu (või valitakse peamenüü alammenüüs Lisa), siis avaneb ülesande koostamise/toimetamise paneel tühjana. Kui valitakse ülesande parandamise nuppu, valitakse Ülesanded>Paranda või tehakse topeltklõps mingil ülesandel vasakus pooles, siis avaneb sama paneel märgitud/klõpsatud ülesandega (vt joonis 7.3 ja jaotis 7.3). Kui paremal paneelil on aga mingi tegevus (faili parameetrite või mingi ülesande toimetamine) pooleli, siis on need valikud tegevuse lõpetamiseni passiivsed.

Piiri akna kahe poole vahel saab nihutada ja kummagi paneeli võib ka laiendada tervele programmi aknale, kui avaldised on pikad ja vajavad maksimaalselt ruumi.

Kui õpetaja programmiga on avatud mingi varem eksisteerinud ülesannete fail või on küll alustatud uue faili loomist, aga selle mingi seis on juba kettale salvestatud, siis programmi akna alumisel raamil on ülesannete faili nimi.

7.2 Ülesannete faili üldised parameetrid Ülesannete kogu koostaja saab määrata ülesannete kogu järgmised atribuudid.

1) Sissejuhatav tekst õpilasele. Seda teksti näidatakse õpilase programmis ülesannete kogu avamisel ja siis, kui vajutatakse raamatu kujutisega nupule.. Sinna on võimalik kontrolltöö, kodutöö jne korral kirjutada terve töö kohta käivaid juhiseid õpilastele. Atribuut pole kohustuslik, st teksti võib jätta tühjaks.

2) Andmed õpetajale. Andmed on mõeldud nii koostajale endale faili hilisemal kasutamisel lugemiseks (näiteks võib õpetaja ühel aastal koostada mitu erineva raskusega kontrolltöö varianti ja järgmisel aastal lugeda kommentaaridest, milline variant antud failis on) , kui ka juhuks, kui ülesannete kogu antakse teiste õpetajate käsutusse. Vaikimisi kirjutab programm sellele kohale soovitavate andmete nimekirja: „Teema: Alamteema: Autor: Kuupäev: Muutjad: Kuupäevad: Kommentaarid:“ Selle atribuudi sisu õpilase programm ei näita. Atribuut pole kohustuslik.

3) Kas kasutada faili üldisi parameetreid kõikide ülesannete jaoks. Positiivse vastuse korral kehtivad paneelil allpool terve faili jaoks tehtavad valikud (erinevat sorti abi küsimise võimalikkus ja sisestamismood) kõigi ülesannete kohta ja konkreetsete ülesannete sisestamisel on nende valikute tegemise nupud passiivsed. Aga vajadusel saab üldise määrangu kasutamise ka hiljem tühistada ja ülesannetele individuaalseid määranguid kehtestada.

39

4) Abi küsimise võimalus. Saab määrata, kas abi küsimine reegli valimisel, avaldise osade märkimisel, sammu tulemuse sisestamisel ja kogu lahenduse vaatamine on lubatud (iga abi liigi jaoks on eraldi valik).

5) Sisestamise režiim. Saab määrata, kas sammu tulemuse sisestamine toimub vabas, struktuurses või osalises režiimis (moodis).

6) Kas panna fail parooli alla. Mõnedel juhtudel on õpetajal vaja juba enne töö algust lasta administraatoril panna ülesannete kogu fail serveril õpilastele kättesaadavasse kausta või paigutada ta klassis kõigi arvutite ketastele, aga sealjuures takistada lahendamise alustamist enne vajalikku momenti (näiteks kontrolltöö korral). Kui panna fail parooli alla, siis küsib õpilase programm faili avamiseks seda parooli. Loomulikult ka parooli õpilase programm ekraanil ei näita.

Joonis 7.2. Faili üldiste parameetrite sisestamise paneel.

40

7.3 Ülesannete sisestamine ja toimetamine

Joonis 7.3. Ülesannete sisestamise ja toimetamise paneel

Ülesannete sisestamise ja toimetamise paneelilt saab sisestada uue ülesande või muuta olemasoleva ülesande atribuute. 1. Ülesande tüübi fikseerimine toimub kahe sammuga. Kõigepealt tuleb valida teema. Kui

teema on valitud, saab antud teema piirides valida ülesande tüübi. T-algebras realiseeritud tüüpide nimekiri teemade kaupa on toodud jaotises 5.1.

2. Ülesande tekst. Kui tüüp on valitud, ilmub ülesande teksti kasti selle tüübi vaiketekst. Aga teksti on võimalik muuta.

3. Ülesande esialgne avaldis (võrrand, võrratus, võrrandisüsteem, …). Selle atribuudi sisestamiseks on paneelil ka virtuaalne klaviatuur, millel on nupud sümbolite sisestamiseks, tavalisteks toimetamisoperatsioonideks (kursori liigutamine, sümboli kustutamine kursori ees ja taga, kopeerimine jne) ning avaldistes vajalike struktuuride (murrud, astmenäitajad, võrrandisüsteemid) loomiseks. Kopeerida on võimalik ka välistest allikatest. Aga seejuures peavad kopeeritavas avaldises esinevad struktuurid olema

41

kujutatud T-algebras kasutatavas koodis. Avaldise ja parameetrite juhuslikku genereerimist on kirjeldatud jaotises 7.4.

4. Parameetrid. Mõnede ülesandetüüpide ülesanded sisaldavad lisaks algsele avaldisele veel lisaparameetreid (vt jaotis 5.2). Sellise tüübi korral on nupp Parameetrid aktiivne. Temale vajutades avaneb paneel Parameetrid, millel saab sisestada antud tüübile ja ülesande avaldisele vastavaid parameetreid. Näiteks kui tüübiks on avaldise väärtuse arvutamine muutujate antud väärtuste korral, siis küsib programm nende muutujate väärtusi, mis avaldises esinevad.

5. Abi küsimise võimalikkus reegli valimisel, avaldise osade märkimisel, sammu tulemuse sisestamisel ja kogu lahenduskäigu vaatamiseks – kui pole valitud säte, et faili üldisi parameetreid rakendatakse kõigile üleannetele.

6. Sisestamise režiim (mood): vaba, struktuurne või osaline - kui pole valitud säte, et faili üldisi parameetreid rakendatakse kõigile üleannetele.

Kirjeldame nüüd paneelil Ülesanne olevate nuppude toimet.

- Kui vajutatakse nuppu Nõus, siis see tähendab korraldust kirjutada koostatud/muudetud ülesanne faili. Enne salvestamist kontrollitakse, et tüübi valikud paneelil oleks tehtud ja avaldis ning nõutavad parameetrid sisestatud, et avaldis oleks süntaktiliselt korrektne ja vastaks ülesandetüübi nõuetele ning ülesanne oleks automaatlahendaja poolt antud ülesandetüübi lahendusalgoritmi kasutades lahenduv. Vigast ülesannet kogusse ei kirjutata ja antakse vea iseloomu kohta teade. Kui ülesande koostamise paneel oli avatud valikuga Lisa, siis lisatakse ülesanne ülesannete kogu lõppu uuena. Kui paneel avati valitud ülesande parandamiseks, siis asendatakse ülesande eelmine versioon uuega.

- Kui vajutatakse nuppu Tühista, siis paneel sulgub ja uut ülesannet ei lisata (parandamiseks avatud ülesanne jäetakse muutmata).

- Kui paneel oli avatud olemasoleva ülesande parandamiseks, on seal veel ka nupp Lisa uuena. Sellele nupule vajutamine tähendab korraldust jätta ülesande eelmine versioon alles ja lisada kogu lõppu paneelil olev ülesanne.

- Kui vajutatakse nuppu Näita vastust, siis teeb programm nupu Nõus juures kirjeldatud kontrollid ja positiivse tulemuse korral kuvab programm automaatlahendaja poolt leitud vastuse paneeli all paremal nurgas olevasse kasti. Joonisel 7.1 on kasutaja sellele nupule juba vajutanud ja kastis on võrratuse lahend. Vigase ülesande korral annab programm veateate.

- Kui vajutatakse nuppu Näita lahenduskäiku, siis tehakse samuti kontrollid. Positiivse tulemuse korral avaneb paneel Lahenduskäik ja näidatakse automaatlahendaja poolt leitud lahendust. Lahendus esitatakse samal kujul, nagu ta tekib õpilase programmis. Joonisel 7.4 on kujutatud lahenduskäigu paneel joonisel 7.3 oleva ülesande lahendusega. Kui kontrolli tulemus on negatiivne, antakse veateade. NB! Uue avaldise, parameetrite väärtuste või ülesande tüübi sisestamine ei too kohe kaasa ekraanil oleva vastuse ümberarvutamist. See toimub alles nupule Näita vastust vajutamisel.

42

Joonis 7.4. Automaatlahendaja poolt leitud lahenduskäik lineaarvõrratuse lahendamise ülesandele

7.4. Avaldiste ja parameetrite juhuslik genereerimine

T-algebra võimaldab konkreetse esialgse avaldise ja parameetrite fikseerimise asemel määrata, et avaldis ja parameetrid genereeritakse juhuslikult, teatud kuju ja keerukuse tasemega. Kui ülesande koostamisel valitakse genereeritakse juhuslikult, siis avaneb paneel Juhuslik avaldis.

43

Joonis 7.5. Juhusliku avaldise paneel ülesandetüübi Lahenda lineaarvõrratus korral.

Kastis Avaldise liik on loetelu õpetaja poolt valitud ülesandetüübi jaoks võimalike avaldise keerukuse tasemetega. Kui on valitud (märgitakse sinise fooniga) mingi konkreetne tase, siis ilmub kasti alla selle taseme kirjeldus ja on võimalikud järgmised tegevused:

- Kui vajutada nuppu Genereeri näited, siis genereeritakse parempoolsesse kasti kümme näidet ülesande jaoks valitud taseme kohta. Kui ülesande tüüp eeldab ka parameetreid, siis genereeritakse ka need ja paigutatakse semikoolonitega eraldatult avaldise taha.

- Kui vajutada nuppu Nõus, siis see tähendab märgitud taseme valimist genereerimise jaoks. Juhusliku avaldise paneel sulgub ja aktiivne on taas ülesande paneel, kus nüüd avaldise kohale on kirjutatud paragrahvi märk ja avaldise genereerimiseks valitud taseme number.

- Kui vajutada nuppu Tühista, siis see tähendab genereerimisest loobumist. Juhusliku avaldise paneel sulgub ja aktiivne on taas ülesande paneel, kus avaldise saamise viisiks on „sisestatakse“.

- Kui märkida üks genereeritud näidetest ja vajutada nuppu Vali konkreetne ülesanne, siis juhusliku avaldise paneel sulgub, avaldise saamise viisiks võetakse „sisestatakse“, märgitud näites olnud avaldis tõstetakse sisestatava avaldise kasti ja parameetrid (kui neid on) parameetrite väärtusteks. Soovi korral võib muidugi generaatorilt saadud avaldist ja parameetreid muuta.

Viimasena kirjeldatu annab võimaluse kasutada T-algebra juhuslike avaldiste generaatorit õpetaja abivahendina soovitud kujuga avaldiste ja soovitud omadustega ülesannete või nende algmaterjali saamiseks.

NB! Teise taseme märkimine ei too kohe kaasa vastavate näidete genereerimist. See

toimub alles nupule Genereeri näited vajutamisel.

44