INTERPOLASIINTERPOLASI   LINIER

INTERPOLASI

INTERPOLASI  KUADRATIK

1

INTERPOLASI POLINOMIAL

Dua titik data : Garis

Tiga titik data : Kuadratikg

Empat titik data :Polinomial tingkat-3…

Diketahui:n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)

Di hi

n titik data :Polinomial tingkat-n

2

01122111 ... ayaxaxax n

n −=+++

Ditanya :a0, a1, …, an sehingga

2

02222212 ... ayaxaxax

n

nn

+++

−=+++L

( ) nnxaxaxaaxf ++++= L2

210

022

1 ... ayaxaxax nnnnnn −=+++

2Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?

INTERPOLASI LINEAR

Diketahui : Dua titik(x1, y1), (x2, y2)

Ditanya : Garis yang melewati 2 titik tersebutDitanya : Garis yang melewati 2 titik tersebut

( ) ( ) ( ) ( ) ( )001

0101 xx

xxxfxfxfxf −

−−

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn xxxfxfxfxf −−

+= +1( ) ( ) ( )npnn

nn xxxx

xfxf −−

+=+

+1

1

3Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

Contoh: Diket

f(x) = ln x, dengan

x1 = 1 dan x2 = 6 dan

x1 = 1 dan x2 = 4.

Tentukan nilai y untuk ln 2 = 0.6931472Tentukan nilai y untuk

x = 2 !!!

ln 2 0.6931472

Jawab :

f1(2) = 0.3583519

f1(2) = 0.4620981

5

INTERPOLASI KUADRATIS

Diketahui : Tiga titik (x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)

Ditanya : Kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas

( ) ( ) ( )( )1020102 xxxxbxxbbxf −−+−+=

( ) ( ) ( ) ( )0112 xfxfxfxf −−

( ) ( ) ( )( )1020102f

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

02

01

01

12

12

201

01100 xx

xxxxbxx

xfxfbxfb−

−−

−=

−−

==

6

Contoh: Diketahui f(x) = ln x

Titik d t ln 2 = 0.6931472 Titik data :

(1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)

Tentukan nilai untuk x = 2 !!! Tentukan nilai untuk x = 2 !!!

b0 = 0 0

b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981

b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)

= -0.0518731

Jawab :

7

f2(2) = 0.5658444

AlgoritmaAlgoritma InterpolasiInterpolasi KuadratikKuadratik::

1. Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3)2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari3 Hit il i d i titik di i k d i3. Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari

interpolasi kuadratik:

4. Tampilkan nilai x dan y

8

INTERPOLASI POLYNOMIAL NEWTON Diketahui: n titik (x y ) (x y ) (x y ) (y = f(x ) i=1 2 n)Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)

Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut.

( )[ ]

00 xfb =

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )110102010 ... −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf L

[ ]

[ ]011

011

,,,

,

xxxxfb

xxfb

nnn L

M

−=

=

[ ]011 ,,,f nnn

[ ] ( ) ( )ji

jiji xx

xfxfxxf

−−

=,dengan

[ ] [ ] [ ]ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

−−

=,,

,,

[ ] [ ]

9

[ ] [ ] [ ]0

02111011

,...,,,...,,,,...,,xx

xxxfxxxfxxxxfn

nnnnnn −

−= −−−

−

Contoh Interpolasi Polynomial Newtonk h ( 0) ( 38629 ) (6 9 9) ( 609 38)Diketahui : (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438)

(dari fungsi ln x)

Ditanya : Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke 3

( ) ( ) ( )( ) ( )( )102102010 xxxxbxxxxbxxbbxfn −−+−−+−+=

Ditanya : Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )2103

102102010

xxxxxxbfn

−−−+

10

[ ] [ ] 203.046

386294.1791759.1,462.014

0386294.1, 1201 =−

==−

= xxfxxf [ ] [ ]4614 1201 −−

ff

[ ] 182.065

791759.1609438.1, 23 =−

=xxf

[ ] [ ] 0200203.0182.00520462.0203.0−=

−=−=

−= xxxfxxxf

65 −

[ ] [ ] 020.045

,,052.016

,, 123012 =−

==−

= xxxfxxxf

[ ] 0080)052.0(020.0 −−−f [ ] 008.015

)(,,, 0123 =−

=xxxxf

f3(2) = 0.629

11

Contoh Interpolasi Polynomial NewtonContoh Interpolasi Polynomial Newton

x0x1

x3

x2

12

Perkiraan Error  Polynomial Newton 

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf L...

( ) ( )1+nf ξ

Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah: ( ) ( )( ) ( ) 1

1

1

1+

+

+−

+= n

ii

n

n xxn

fR!ξ

Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n Hubungan untuk error scr analogi:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )n

n

n xxxxxxxxn

fR −−−−+

=+

L210

1

1 !ξ

Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:

[ ]( )( )( ) ( )fR

Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan

[ ]( )( )( ) ( )nnnnn xxxxxxxxxxxxfR −−−−≅ −+ LL 210011 ,,,,

13(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)

Perkiraan Error, Orde, dan Titik data 

x f(x) = ln x1 04 1.3866 1 7926 1.7925 1.6093 1.0991.5 0.4052.5 0.9163.5 1.253

x f(x) = ln x3 5 1 2533.5 1.2532.5 0.9161.5 0.4053 1.0995 1.6096 1.7924 1.3861 0

14Perkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,…,7

POLINOMIAL INTERPOLASI LAGRANGE

( ) ( ) ( )i

n

iin xfxLxP ∑

=

=0

( ) ∏ −=

ni

i

xxxL

dengani=0

( ) ∏≠= −

ijj ji

i xxxL

0

Contoh:

( ) ( ) ( )101

00

10

11:linear xf

xxxxxf

xxxxxP

−−

+−−

=

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2021dd xxxxxxxx −−−−( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )10

12101

200

010

212 2

:order-2nd

xfxxxx

xfxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxP

−−+

−−+

−−=

( )( ) ( )21202

xfxxxx −−

+

15

( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ):order-3rd 0

3212 xfxxxxxxxP −−−

=( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) ( )1

320

032010

2

xfxxxxxx

fxxxxxx

−−−+

−−−

( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) ( )2

310

132101

xfxxxxxx

fxxxxxx

−−−+

−−−

( )( )( ) ( )

( ) )()()(

31202

fLfLfLP

xxxxxx

++

−−−

( ) )()()( 2211002 xfLxfLxfLxP ++=

16

Interpretasi Grafis  Polynomials Lagrange 

( ) ( ) ( ) ( )2211002 xfLxfLxfLxf ++=

L2f(x2)

L0f(x0)

L1f(x1)

17

Interpolasi Inversep

xy

Interpolated curve

Interpolated point of (xc, f(xc))true curve

x

fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn interpolasi yc = fn(xc)fn(x) a0 a1x a2x … anx p yc fn( c)

Bagimana inverse-nya:

fn(y) = a0 + a1y + a2y2 + … + anyn interpolasi xc = fn(yc)

18

Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!

Extrapolasip

Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis!

19

Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis; jadi perlu perhatian lebih!

Masalah‐2 dalam Interpolasi Polinomialp• Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jikan=1000

titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000

• Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangatrentan dengan instabilitas numerik.

• Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan titik data yang tepat karena adanya overshoottitik data yang tepat karena adanya overshoot.

20

Interpolasi Spline

Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k ≤ 3) untuk menginterpolasi sekumpulan data titik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halus

Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang

21

interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3 Contoh

Interpolasi Spline KuadratisDiketahui: n+1 Titik data (xi, yi) untuk i=0,1,…,n

Ditanya: polynomials derajat-2 n fi(x) = aix2 + bix + ci sedemikian sehingga

1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan

2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.

22

Turunan Quadratic Spline 

1. fi-1(xi-1) = ai-1xi-12 + bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1

fi(xi-1) = aixi-12 + bixi-1 + ci = yi-1

2n – 2 persamaan

2. f1(x0) = a1x02 + b1x0 + c1 = y0

fn(xn) = anxn2 + bnxn + cn = yn

2 persamaan

3. (the 1st derivative at the interior knots must be equal)n 1 persamaanfi-1’(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi = fi’(xi-1)n– 1 persamaan

23

Contoh of Quadratic Spline 

24