1. INTRODUCERE ÎN STUDIUL SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATE

1.1. SISTEME AUTOMATE

Sistemele de conducere automată capată o importanţă mereu crescândă în diferitele laturi ale modului nostru modern de viaţă. Sistemele automate pot fi clasificate astfel:

• sisteme cu "circuit deschis" sau "de comandă", şi

• sisteme cu "circuit închis" sau "de reglare". În figura 1.1, este reprezentat un sistem tipic de comandă. O mărime de intrare de mică valoare este amplificată pe cale electrică, pneumatică sau mecanică. Ea impune mărimea puterii

preluate de la o sursă printr-un element de execuţie de către sarcină. În general, tipul de sistem automat reprezentat în figura 1.1, este denumit cu circuit deschis sau fara reacţie. Mărimea de intrare acţionează asupra mărimii de ieşire prin intermediul câtorva elemente,specifice fiecărui tip de sistem în parte. Una din consecinţele funcţionale ale sistemelor cu circuit deschis, este dependenţa mărimii de ieşire de acordarea elementelor componente. În multe aplicaţii (de exemplu maşina de spălat, motorul de automobil) menţinerea unei curbe precise de acordare este lipsită de importanţă. În alte aplicaţii este suficientă racordarea curbei la anumite intervale de timp. A "racorda" sistemul înseamnă a restabili relaţia mărime de ieşire - mărime de intrare suficient de des pentru a asigura precizia dorită. De exemplu un galvanometru este întotdeauna adus la "zero" înainte de a fi utilizat. Multe tipuri de instrumente, de laborator sunt etalonate sau echilibrate, puse la punct înainte de utilizare.

Precizia măsurării depinde de menţinerea pe durata măsurării a acestei etalonări sau echilibrări. În unele sisteme (de exemplu conducerea unui automobil) un operator uman este în stare să aducă corecţiile necesare, acest operator realizează de fapt un sistem cu circuit închis. Când o persoană conduce pentru prima dată automobilul altcuiva, ea trebuie să-şi "formeze din nou simţurile", deoarece, de exemplu, aceeaşi apăsare a acceleratorului nu poate produce aceleaşi rezultate la două automobile. O altă consecinţă a sistemelor în circuit deschis constă în faptul că mărimea la ieşire este funcţie de variaţiile sarcinii. Ca un exemplu, să presupunem că pompa acţionată de un motor începe să tragă noroi. Dacă nu se opreşte intrarea noroiului sau dacă poziţia ventilului de admisie al motorului nu este modificată, viteza arborelui de ieşire al motorului va scădea şi se poate chiar ca motorul să se oprească. Aşadar două din dezavantajele sistemelor cu circuit deschis sunt: � mărimea de ieşire este influenţată de

funcţionarea elementelor componente ale sistemului;

� mărimea de ieşire este funcţie de variaţiile sarcinii.

Sistemele cu circuit deschis prezintă mai multe avantaje care trebuie luate în consideraţie în etapa preliminară a sintezei (proiectării) unui sistem de reglare. Unele din aceste avantaje sunt: ☺ simplitatea funcţionării; ☺ număr mai mic de elemente componente; ☺ funcţionare stabilă.

Dacă cerinţele nu pot fi satisfăcute de un sistem automat în circuit deschis, aşa cum se întâmplă deseori cu dispozitivele de precizie, atunci trebuie luat în consideraţie un sistem cu circuit închis. Pentru a se obţine precizia dorită a reglării, mărimea de ieşire a sistemului este masurată, dirijată înapoi spre intrare şi

SURSĂ EXTERNĂ DE PUTERE

xI xe

PUTERE PUTERE MICĂ MARE

Fig. 1.1

AMPLIFI CATOR

ELEMENT DE EXECUŢIE

SARCINA

comparată cu mărimea de intrare. Diferenţa între mărimea de ieşire "prescrisă", reprezentată prin mărimea de intrare şi mărimea reală de ieşire este denumită "abatere" (eroare). Un sistem cu circuit închis este acţionat de mărimea abatere: Abatere = mărimea de ieşire prescrisă - mărimea de ieşire reală . Un sistem cu circuit închis care poate fi realizat pentru reglarea turaţiei unui motor cu ardere internă este reprezentat în figura 1.2.

Un tahogenerator care produce o tensiune proporţională cu turaţia arborelui, este utilizat pentru a măsura această turaţie. Tensiunea de intrare care reprezintă turaţia prescrisă este variată cu ajutorul unui potenţiometru. Cele două tensiuni sunt scăzute pe cale electrică. Diferenţa, sau tensiunea abatere, este amplificată şi utilizată pentru a fixa poziţia ventilului de admisie prin intermediul unui amplificator corespunzător. Dacă aceeaşi problemă, a reglării turaţiei unui motor cu ardere internă, care antrenează o sarcină (respectiv o pompă), s-ar gândi ca un sistem cu circuit deschis, şi dacă presupunem că motorul dezvoltă o putere de câteva sute de cai putere , ar fi suficientă o mică schimbare a poziţiei ventilului de admisie pentru a provoca o variaţie importantă a puterii de ieşire. Viteza arborelui motorului la sarcină constantă este funcţie de poziţia ventilului de admisie. Ventilul, carburatorul, motorul reprezintă un sistem de reglare în care o putere mare de ieşire este controlată de o putere mică de intrare (fig.1.1). Poziţia ventilului de admisie a sistemului motor - pompă reprezintă mărimea de intrare, această mărime este stabilită pe cale directă (stabilind poziţia ventilului), putem avea turaţia dorită a arborelui motorului, cu ajutorul "curbei de acordare" ; caracteristica - turaţia motorului (n) - poziţia ventilului (ϕ) - figura 1.3. În figura 1.2, turaţia prescrisă, adică mărimea de intrare, este comparată cu turaţia

reală, care reprezintă, mărimea de ieşire, iar diferenţa, adică abaterea, este folosită pentru a acţiona asupra poziţiei ventilului. Deosebirea importantă între sistemul închis (fig. 1.2) şi cel deschis (fig.1.1) constă în legătura de reacţie şi efectele acesteia. Semnalul care modifică poziţia ventilului reprezintă diferenţa dintre turaţia prescrisă şi cea reală. Atunci când turaţia arborelui de ieşire este egală cu cea prescrisă, adică abaterea este nulă, servomotorul ventilului

(care poate fi un motor electric reversibil al

cărui arbore acţionează printr-un reductor pârghia ventilului) se află în repaus. Dacă are loc vreo schimbare oarecare, ca de pildă a sarcinii sau a caracteristicii funcţionale a vreunui element al sistemului, în aşa fel încât turaţia reală nu mai este egală cu cea prescrisă, apare o abatere, care va produce la rândul ei modificarea poziţiei ventilului până când turaţia reală va corespunde din nou celei prescrise. Noţiunea de "reactie" este esenţială în studiul sistemelor automate. Reacţia este asociată cu comparaţia dintre valoarea reală a variabilei reglate (mărimea de ieşire) şi valoarea prescrisă a acesteia (mărimea de intrare). Mai general se spune ca există reacţie atunci când există între variabilele sistemului o succesiune închisă de relaţii cauză-efect. Când reacţia este introdusă în mod intenţionat, ca în cazul marei majorităţi a sistemelor de reglare, existenţa şi scopul ei sunt imediat evidente. Efectele reacţiei, care pot fi

Turaţie E Turaţie Prescriă Reală Uin Ue Abatere POTENŢIOMETRU

Fig. 1.2 TAHOGENERATOR

SUMATOR SERVOMOTOR VENTIL

VENTIL MOTOR POMPĂ

n [rot/min] 5000 4000 3000 2000 1000 0

30 60 90 120 150 ϕ [grade] Fig. 1.3

considerate şi ca avantajele sistemelor închise, sunt: ☺ mărirea preciziei - introducerea reacţiei

poate reduce sau elimina eroarea sistemului în interiorul căii directe intrare-ieşire. Deşi variaţiile elementelor directe modifică timpul de răspuns al sistemului, reacţia reduce erorile cauzate de această variaţie;

☺ reducerea efectelor distorsiunii şi neliniarităţilor - care au loc în interiorul căii directe;

☺ mărirea benzii de trecere - reacţia amplifică banda de frecvenţe pentru care sistemul răspunde - în acelaşi timp, amplificarea corespunzătoare acestei benzi este redusă;

☺ mărirea sau micşorarea impedanţei - funcţie de caracteristicile dorite, şi de tipul de reacţie utilizată.

Un sistem tipic "de reglare automată" este reprezentat figura 1.4 şi prezintă una sau mai multe bucle de reacţie care realizează combinaţii funcţionale între semnalul prescris de ieşire şi cel de comandă, cu tendinţa de a menţine o dependenţă dată între mărimea reală de ieşire şi cea prescrisă.

Avantajele unui asemenea sistem închis pot fi rezumate astfel :

☺ variaţiile sarcinii sau caracteristicile funcţionale ale principalelor elemente componente nu influenţează decât în mică masură precizia sistemului;

☺ nu este necesară acordarea periodică a sistemului, cu excepţia tahogeneratorului.

Dezavantajul frecvent care apare la aceste sisteme închise îl reprezintă instabilitatea (sistem oscilant). Datorită mai multor cauze, care vor fi studiate pe parcursul lucrării de faţă, un sistem automat poate deveni inutilizabil datorita instabilităţii. Putem defini în acest context stabilitatea unui sistem de reglare automată:" un sistem este absolut stabil, dacă în decursul regimului tranzitoriu care are loc atunci când sistemul în stare de repaus este perturbat, mărimea de ieşire tinde către zero, pe măsură ce timpul creşte nedefinit şi este limitat stabil dacă mărimea de ieşire, deşi diferită de zero ramâne mărginită". Metoda de bază în calculul sistemelor de reglare este analiza efectuată cu ajutorul sistemelor de ecuaţii diferenţiale. Comportarea sistemelor fizice este determinată de soluţiile ecuaţiilor.

1.1.1. ECUAŢIILE DIFEREN ŢIALE ALE UNUI SERVOSISTEM

Ca un prim exemplu de stabilire a ecuaţiei diferenţiale, considerăm un sistem mecanic, format dintr-un corp de masă M, forţat să se deplaseze pe roţi (fară frecări în lagăre) pe nişte şine orizontale, având montat un resort

mecanic în stânga (care se opune mişcării), iar în dreapta este plasat un amortizor - figura 1.5. Din figura 1.5 rezultă următoarea ecuaţie:

Kxdt

dxBf(t)FFf(t)

dt

xdM KB2

2

−−=++= ( 1.1)

K - constanta elastică a resortului; B - constanta amortizorului. După aranjarea termenilor în relaţia (1.1), obţinem:

mărime de sursă externă de putere mărime reală ieşire de ieşire prescrisă abatere mărime de abatere=diferenţa dintre mărimea de ieşire intrare prescrisă şi cea reală

Fig. 1.4

ELEMENT DE COMPARAŢIE

AMPLIFICATOR SERVOMOTOR SARCINA

ELEMENT DE MĂSURARE A MĂRIMII DE IEŞIRE

f(t) K B x

Fig. 1.5

M

M

f(t)x

M

K

dt

dx

M

B

dt

xd2

2

=++ ( 1.2)

care reprezintă ecuaţia diferenţială care descrie funcţionarea sistemului mecanic considerat. Ecuaţia (1.2) este tipică pentru sistemele

POTENTIOMETRU POTENTIOMETRU DE INTRARE DE IESIRE AMPLIFICATOR I AMPLIFICATOR II MOTOR ei e1 e2 ee P Fig. 1.6 automate liniare, ea este o"ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi". Înainte de a rezolva ecuaţia (1.2) , vom studia un servosistem cu o ecuaţie diferenţială analoagă. Sistemul închis din figura 1.6 este utilizat pentru a acţiona o antenă mare, adică în general pentru acţionarea unui corp având moment mare de inerţie. Un potenţiometru măsoară poziţia arborelui de ieşire şi o transformă în tensiune conform relaţiei:

ePe xKe = (1.3)

în care, xe - unghiul de poziţie al arborelui de ieşire, ee - tensiunea de ieşire, KP - factorul de transfer al potenţiometrului, care poate fi determinat cu ajutorul relaţiei (1.4):

emaxP x

EK =

(1.4)

unde, E - tensiunea totală, xemax - unghiul maxim de rotaţie al potenţiometrului.

Poziţia xi a cursorului potenţiometrului de la intrare este convertită în tensiunea ei. Potenţiometrele de la intrare, respectiv ieşire sunt identice. Un dispozitiv de amplificare a diferenţei a două semnale, amplifică tensiunea diferenţă (ei - ee) :

( ) ( )eiP1ei11 xxKAeeAe −=−= (1.5)

în care, e1 - tensiunea abatere de la ieşirea amplificatorului, A1 - factorul de amplificare al amplificatorului, iPi xKe = - tensiunea de

intrare. Această tensiune, e1, este amplificată încă odată şi aplicată la bornele motorului :

( )eiP21122 xxKAAeAe −== (1.6)

unde, e2 - tensiunea abatere amplificată, A2 - factorul de amplificare al celui de-al doilea amplificator. Ecuaţiile funcţionale ale motorului pot fi determinate din caracteristicile sale mecanice liniarizate, ca în figura 1.7.

Ecuaţia generală a oricăreia din aceste caracteristici liniarizate este:

M=aω+b (1.7) în care, M - cuplul dezvoltat de motor, ω=dxe/dt viteza unghiulară a arborelui motorului, a, b - constante care depind de tipul servomotorului

(c.c sau c.a). Panta acestor caracteristici liniarizate este negativă şi constantă:

a= - m; m>0 (1.8) Constanta b din ecuaţia (1.7) depinde de tensiunea de comandă. Pentru ω=0, intersecţiile caracteristicilor liniarizate cu axa absciselor, (fig.1.7), dau posibilitatea trasării caracteristicii

ω ei – tensiunea aplicată motorului e3 e2 e1 M

Fig. 1.7

Cuplul cu rotorul blocat ω=0 e tensiunea aplicată

Fig. 1.8

cuplu de pornire - tensiune de comandă reprezentate în figura 1.8. Panta porţiunii liniare a acestei caracteristici este K, iar ecuaţia ei:

M0=Ke2 (1.9) în care, e2 - tensiunea de comandă aplicată la bornele motorului, M0 - cuplul corespunzător de pornire (ω=0). Ţinând cont de ecuaţia (1.7), rezultă:

b=M0=Ke2 (1.10) pentru ω=0. Deci ecuaţia (1.7) va fi:

M+mω=Ke2 (1.11) În exemplul de servosistem ales spre discutie, motorul actioneaza o sarcina având doar

moment de inertie J si deci: 2

e2

dt

xdJM = , asa

încât ecuatia diferentiala a servosistemului va fi:

2e

2e

2

Kedt

dxm

dt

xdJ =+

(1.12)

Daca eliminam tensiunea e2 între relatiile (1.6) si (1.12), se obtine ecuatia diferentiala completa a sistemului:

( )[ ]eiP21e

2e

2

xxKAAJ

K

dt

dx

J

m

dt

xd−=+

(1.13)

care poate fi simplificata:

iee

2e

2

xxdt

dx

J

m

dt

xd⋅=⋅++ χχ

(1.14)

χ=KA1A2KP/J (1.15) Ecuatia (1.14) prezinta aceeasi forma ca ecuatia (1.2) : o ecuatie diferentiala cu coeficienti constanti. Ordinul ecuatiei, dat de derivata de ordinul cel mai înalt, este evident doi.

1.1.2. FACTORUL DE AMORTIZARE ŞI PULSAŢIA

PROPRIE NEAMORTIZAT Ă

Înainte de a rezolva ecuaţiile diferenţiale (1.2) şi respectiv (1.14), să considerăm două mărimi importante: ξ - factorul de amortizare; ωn - pulsaţia proprie neamortizată, care intervin în orice ecuaţie diferentială liniară de ordinul doi cu coeficienţi constanţi, scrisă sub forma:

d2xe/dt2 + 2ξωndxe/dt +ω2nxe=ω2

nxi (1.16) Comparând ecuaţiile (1.14) şi (1.16), rezultă următoarele relaţii:

2ξωn=m/J si ωn2=χ (1.17)

Rezolvând aceste relaţii în raport cu ξ şi ωn , se obţine:

ωn=J

KAKA P21=χ

(1.18)

şi

ξ=JKAKA

1

2

m

2J

m

P21

=χ

(1.19)

Comparând ecuaţiile (1.2) şi (1.16), rezultă următoarele relaţii:

2ξωn=B/M si ωn2=K/M (1.20)

şi respectiv:

MK=ω şi KMB 2=ξ (1.21)

Chiar şi la sistemele de ordin superior, când ecuaţia caracteristică are mai mult de două rădăcini, se poate întâmpla ca natura răspunsului sistemului să depindă în mod esenţial de două din "rădăcinile cele mai amortizate", ceea ce înseamnă că pentru aproximarea răspunsului sistemului de ordin superior se foloseşte răspunsul unui sistem "echivalent" de ordinul doi. Ecuaţia (1.14) reprezintă ecuaţia dinamică a servosistemului din figura 1.6. Ea se poate exprima sub forma:

d2xe/dt2+2ξωndxe/dt+ωn2xe=ωn

2xi (1.23) unde, xe(t) - variabila dependentă sau răspunsul sistemului, xi(t) - funcţia externă de comandă.

1.1.3 REZOLVAREA UNEI ECUATII DIFERENTIALE CU AJUT ORUL

TRANSFORMARII LAPLACE

Soluţia ecuaţiei (1.23), xe(t), poate fi determinată cu ajutorul transformării Laplace.

Funcţia de intrare, o funcţie treaptă u(t), se obţine din funcţia reprezentată în figura 1.9, pentru t1=0. Se consideră că sistemul descris de ecuaţia (1.23) este în repaus în momentul iniţial, adică xe(0

+)=0=dxe/dt pentru t=0+, înainte de momentul aplicării funcţiei

xi(t) xi(t)=u(t-t1) xi(t)=0 pt. t<t1 xi(t)=1 pt. t>t1

1 t=t1 timp

Fig. 1.9

treaptă. Aplicând transformata Laplace ambilor membri ai ecuaţiei (1.23) se obţine:

s2Xe+2ξωnXe+ωn2Xe=ωn

2/s (1.24) în care: s - operatorul Laplace, iar 1/s - transformata Laplace a funcţiei treaptă unitară. Transformata Laplace a variabilei xe(t) de ieşire a fost notată cu Xe care este o funcţie de s. Rezolvând ecuaţia algebrică (1.24) în raport cu Xe, se obţine:

Xe=ωn2/s(s2+2ξωns+ωn

2) (1.25) iar, după dezvoltarea în fracţii parţiale, Xe=1/s -(s+2ξωn) / (s+2ξωn)

2+ωn2(1-ξ2)

(1.26) Utilizând tabelul din ANEXA 1, pentru transformata Laplace inversă, se găseşte pentru t>0, xe(t)=1 - e- tξωn sin(ωn(1-ξ2)1/2 t + Φ) /

/(1-ξ2)1/2

(1.27) în care, Φ=arccos ξ. Aşa cum este de aşteptat, cu cât factorul de amortizare ξ este mai mare, cu atât răspunsul are un caracter mai puţin oscilator. Din relaţia

(1.19) , ξ JKAKA

m

P212= , rezultă că factorul

de amortizare este o funcţie de mai mulţi parametri ai sistemului şi el poate fi variat prin modificarea oricăreia din mărimile relaţiei (1.19). De exemplu, factorul de amplificare poate fi micşorat în scopul măririi factorului de amortizare. Dacă sistemul devine mai oscilator (ξ mai mic), răspunsul xe(t) depăşeşte sensibil valoarea regimului staţionar (în acest caz unitatea) la fiecare perioadă. Suprareglarea maximă procentuală - o mărime care evidenţiază depăşirea în prima oscilaţie a valorii regimului staţionar - este definită astfel:

σ=100(valoarea maximă în prima oscilaţie – valoarea staţionară) /

/valoarea staţionară

(1.28)

Viteza de răspuns a sistemului de ordinul doi este dependentă de ωn şi ξ. Pentru acelaşi sistem de ordinul doi, reprezentat prin ecuaţia (1.14), pulsaţia proprie neamortizată este dată de

relaţia ωn=J

KAKA P21 (1.18) , este aşadar,

posibilă variaţia lui ωn prin schimbarea elementelor servosistemului. Trebuie însă remarcat faptul că o creştere a factorului total de

amplificare A1A2 produce creşterea lui ωn şi descreşterea lui ξ. Din cauza acestei relaţii între ξ şi ωn, trebuie luate în consideraţie alte metode de calcul pentru obţinerea unor valori favorabile pentru ξ şi ωn. În acest context pot fi date şi alte definiţii pentru ξ şi ωn, prin care să fie mai clare denumirile date acestor parametri. Mărimea ξ reprezintă raportul dintre constanta de amortizare (ξωn) care caracterizează un sistem de ordinul doi şi constanta de amortizare critică (ωn). Amortizarea critică se întânleşte la un sistem de ordinul doi, atunci când ecuaţia caracteristică (1.23) are două rădăcini reale egale. Această situaţie echivalează cu ξ=1, deoarece, în ecuaţia (1.26) prin substituirea ξ=1 rezultă două rădăcini identice:

si= - ξωn= - ωn (1.29) Pentru sistemul mecanic din figura 1.5, ecuaţia caracteristică este:

02 =++M

Ks

M

Bs

(1.30)

iar rădăcinile acesteia sunt,

M

K

M

B

M

Bsi −±−=

2

2

42, i=1,2

(1.31)

Valoarea de amortizare critică Bc, corespunde acelei constante de amortizare pentru care discriminantul ecuaţiei (1.30) este nul. Aşadar, Bc se determină din expresia: Bc

2/4M2 - K/M=0, adică:

KMBc 2= (1.32)

Pentru această valoare a lui B există o rădăcină reală dublă - Bc/2M. Factorul de amortizare va fi:

KM

B

MB

MB

c 2==ξ

(1.33)

Pulsaţia proprie neamortizată reprezintă pulsaţia de oscilaţie a sistemului atunci când amortizarea este nulă. Pentru B=0, rădăcinile ecuaţiei (1.30) sunt:

M

Kj

M

Ksi ±=±= , i=1,2

(1.34)

Rădăcinile imaginare conduc la un răspuns de forma:

tMKsinctMKcoscx 21e ⋅+⋅= (1.35)

Pulsaţia proprie neamortizată este:

MK=ω (1.36)

Ţinând seama de relaţiile (1.33) şi (1.36), ecuaţia (1.30) ia următoarele forme,

02

122 =+

+

M

Ks

M

K

K

M

M

Bs

şi respectiv s2+2ξωns+ωn

2=0

(1.37)

În general, factorul de amortizare ξ este mai mic decât unitatea şi, în acest caz, rădăcinile ecuaţiei (1.37) pot fi scrise sub forma:

si= - ξωn ± jωn(1-ξ2)1/2 , i=1,2 (1.38)

Aşadar pentru 0<ξ<1 rădăcinile sunt complex conjugate. Rădăcinile date prin relaţiile (1.38) pot fi localizate într-o diagramă ca cea din figura 1.10.

Rădăcinile complexe apar totdeauna ca perechi conjugate, iar numărul rădăcinii coincide cu ordinul ecuaţiei.

Deoarece în ecuaţia (1.27) componenta tranzitorie conţine termenul nte ξω− , ea tinde să dispară în timp. Daca t creşte, nte ξω− descreşte, pentru ξωn>0.

1.1.4. FUNCŢIILE DE TRANSFER ŞI SCHEMELE BLOC

Simplificarea rezultată prin utilizarea transformării Laplace este şi mai pregnantă dacă se introduc noţiunile de funcţie de transfer şi schemă bloc. Să considerăm o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi care redă variaţia mărimii de ieşire a unui sistem în funcţie de mărimea de intrare:

i0i

1mi

m

m

e0e

11ne

1n

1nne

n

n

xbdt

dxb...

dt

xdb

xadt

dxa...

dt

xda

dt

xda

+++=

=++++ −

−

−

(1.39) în care ai, bi sunt constante, xe(t) - reprezintă mărimea de ieşire(răspunsul), xi(t) - reprezintă mărimea de intrare (de comandă). Oricare element ale cărui performanţe sunt descrise printr-o astfel de ecuaţie, este denumit liniar. O proprietate importantă a unui sistem liniar este următoarea: dacă xi1 produce un răspuns xe1 şi xi2 un răspuns xe2 , atunci o mărime de intrare,

(α1xi1+α2xi2) (1.40) conduce la un răspuns,

(α1xe1+α2xe2) (1.41)

Presupunând condiţii ini ţiale nule şi aplicând transformarea Laplace, ecuaţia (1.39) devine:

(ansn+an-1s

n-1+...+a1s+a0)Xe = =(bmsm+...+b1s+b0)Xi

(1.42)

Raportul dintre transformata Laplace a mărimii de ieşire Xe şi cea a mărimii de intrare Xi este denumit "funcţia de transfer" a elementului:

( )01

1n1n

nn

011m

1mm

m

i

e

asa...sasa

bsb...sbsb

X

XsG

++++++++

== −−

−−

(1.43) Funcţia de transfer G(s) reprezintă o proprietate a elementului dat. Pentru sisteme liniare cu coeficienţi constanţi ea este idependentă de funcţia de comandă şi de condiţiile iniţiale. G(s) este o funcţie algebrică raţională de "s" şi pentru sisteme cu parametri

xi G(s) xe

Fig. 1.11

Im ξωn ξ=0 -ξωn+jωn(1-ξ2)1/2 ωn(1-ξ2)1/2 cos θ ξ=1 Re -ξωn - jωn(1-ξ2)1/2

Scara: 1/s Fig. 1.10

concentraţi constantele ai şi bi depind numai de elementele sistemului. Atunci când funcţia de transfer a unui element sau sistem este cunoscută, transformata Laplace a răspunsului poate fi determinată cu ajutorul relaţiei :

Xe(s) = G(s) Xi(s) (1.44) Această relaţie poate fi reprezentată printr-o schemă bloc ca în figura 1.11. Schema simbolizează faptul că "mărimea de ieşire" este egală cu produsul "mărimii de intrare" cu "funcţia dreptunghi". Ca un exemplu de funcţie de transfer şi schemă bloc, să considerăm funcţia de transfer a sistemului mecanic din figura 1.5. Transformarea Laplace aplicată în condiţii ini ţiale nule ecuaţiei (1.2) conduce la următoarele rezultate:

M

FX

M

Ks

M

Bs2 =

++

(1.45)

iar funcţia de transfer va fi:

( ) ( ) ( )MKsMBs

M1

F

XsG

21 ++==

(1.46)

Schema bloc corespunzătoare este reprezentată în figura 1.12. În mod similar, rezultă ecuaţia transformată pentru servosistemul din figura 1.6:

(s2+2ξωns+ωn2)Xe=ωn

2Xi (1.47) şi funcţia de transfer totală:

( ) ==i

e2 X

XsG ωn

2/(s2+2ξωns+ωn2)=

( ) χχ

++=

sJms2

(1.48)

Schema bloc este reprezentată în figura 1.13.

1.1.5. FUNCŢIILE DE TRANSFER ŞI INTEGRALA DE CONVOLU ŢIE

Să presupunem ca în ecuaţia (1.39)

funcţia de intrare este un impuls unitar r(t). Prin urmare:

xi(t) = r(t) (1.49) Prin definiţie această funcţie este nulă cu excepţia momentului t=0, când valoarea sa este "infinit ă", dar:

∫+

−=

e

e1r(t)dt

(1.50)

în care e≡ ε , este o mărime foarte mică. În plus, funcţia impuls selectează valoarea în origine a unei funcţii, conform relaţiei:

( ) ( ) ( ) ( )∫+

− ===

e

e ot0ftfdttrtf

(1.51) Funcţia r(t) poate fi construită dintr-un puls dreptunghiular, ca în figura 1.14, de înalţime 1/a şi lăţime a, prin variaţia mărimii a în aşa fel

încât să tindă către zero, aria pulsului ramânând constantă şi egală cu unitatea, (1/a)(a) = 1.

Transformata Laplace a unui impuls unitar este:

( )[ ] ( )∫∞

=

−− ===0 ot

stst 1edttretrL

(1.52) în acest caz integrala include impulsul localizat în origine. Transformata Laplace a răspunsului Xe(s) al sistemului descris de ecuaţia (1.39) la o mărime de intrare impuls unitar, este totuna cu funcţia de transfer a sistemului, deoarece Xi(s) = 1. Aşadar:

==1

(s)XG(s) e

011n

1nn

n

011m

1mm

m

asa...sasa

bsb...sbsb

++++++++

= −−

−−

(1.53)

este o funcţie care coincide cu transformata Laplace a răspunsului sistemului la un impuls unitar. Transformata inversă a funcţiei de transfer este cunoscută sub denumirea de

r(t) 1/a 0 a t

Fig. 1.14

r(t) SISTEM w(t) xi(t) SISTEM xe(t)

Fig. 1.15

F X

Fig. 1.12

( ) ( )MKsMBs

M12 ++

Xi Xe

Fig. 1.13

22

2

2 nn

n

ss ωξωω

++

"funcţia pondere". Dacă un impuls unitar este aplicat unui sistem, aşa cum se arată în figura 1.15, mărimea de ieşire va fi chiar funcţia pondere w(t). Ecuaţia (1.53) arată, că funcţia

pondere poate fi determinată calculând transformata Laplace inversă a funcţiei de transfer:

L-1[G(s)] = w(t) (1.54)

1.1.6. SIMBOLURILE SISTEMELOR DE REGLARE AUTOM ATE Simbolurile utilizate în domeniul sistemelor automate au fost standardizate. În figura 1.16 este reprezentată o schemă bloc, cu terminologia utilizată în lucrarea de faţă. Simbolurile şi termenii pe care îi reprezintă sunt:

• mărimea de intrare = xi(t) sau Xi(s) mărimea prescrisă;

• mărimea de ieşire = xe(t) ≡ y(t) sau Xe(s)≡ ≡ Y(s) - mărimea răspuns;

• mărimea de acţionare = ε(t) sau E(s)

abatere (daca H1,H2,... =1); abaterea = ε(t) sau E(s), ε = xi - xr;

• mărimea de reacţie = xr(t) sau Xr(s),dacă este diferită de xc ;

• funcţiile de transfer ale căii directe = G1(s),G2(s),...

• funcţiile de transfer ale căii de reacţie = H1(s),H2(s),... .

1.1.7. STABILITATEA ŞI LOCALIZAREA R ĂDĂCINILOR

ECUAŢIEI CARACTERISTICE

Stabilitatea unui sistem liniar de reglare automată este definită în paragraful 1.1. Această definiţie poate fi asociată cu un criteriu matematic pentru a determina dacă acesta este sau nu satisfăcut în studiul unui sistem automat. Stabilitatea unui sistem depinde numai de sistem şi de mărimea de intrare. Aşadar, dacă un sistem este instabil, oricare excitare a acestuia forţează sistemul să răspundă cu o mărime de ieşire nemărginită. Dar dacă sistemul este stabil, orice excitare mărginită ca valoare va conduce la un răspuns de asemenea mărginit ca valoare. Funcţia pondere obţinută prin transformarea Laplace inversă a funcţiei de transfer, depinde de asemenea numai de sistem. Dacă funcţia pondere corespunde unui sistem stabil, adică dacă ea tinde către zero, atunci când timpul tinde către infinit, toate puterile exponenţialelor din expresia funcţiei vor fi negative:

xe(t) = Ae- α 1t +

+e- α 2 t (Bcosωrt+Csinωrt) +De- α 3t

(1.55)

Prin urmare, atunci când t→ ∞ , xe(t)→ 0. Transformata Laplace a ecuaţiei (1.55) determină aceleaşi consideraţii relative la localizarea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice.

Astfel, dacă se consideră un caz simplu, xe(s) = E1/(s+a) (1.56)

atunci, xe(t) = E1e

- at (1.57)

şi dacă, Xe(s) = E2/(s - b) (1.58)

răspunsul în timp va fi:

Im m4 m5 m1 m2 m3 A0 Re m4 m5 stabil instabil

stabil marginal Fig. 1.17

Mărimea de Mărimea de Mărimea intrare acţionare Funcţia de transfer de ieşire

a căii directe Mărimea Calea de reacţie de reacţie Funcţia de transfer a căii de reacţie

Fig. 1.16

xe(t) = E2ebt (1.59)

Atunci când o rădăcină a ecuaţiei caracteristice se află în semiplanul stâng, exponentul este negativ. În ecuaţia (1.56), rădăcina se află la si= -a, şi dacă a>0, funcţia pondere corespunde unui sistem stabil. În ecuaţia (1.58), rădăcina se află la si=b, şi dacă b>0, funcţia pondere corespunde unui sistem instabil, adică membrul drept al ecuaţiei (1.59) creşte când timpul creşte.

Localizarea rădăcinilor tipice în planul s şi funcţiile pondere, corespunzatoare sunt prezentate în figura 1.17. Rădăcinile simple -α1, -α2, cu α1,α2>0, de pe axa reală negativă dau o soluţie de forma:

m1=A3e- α 1t +B3e

- α 2 t (1.60)

O pereche simplă de rădăcini complex conjugate ± jω pe axa imaginară, dă un termen tranzitoriu:

m2=A2cosωt+B2sinωt (1.61) O rădăcină simplă pe axa reală pozitivă, α1, α2 cu α1, α2>0, dă un termen de forma:

m3=A4eα 1t +B4e

α 2 t (1.63)

O pereche simplă de rădăcini complex conjugate, -α ± jω (α>0) în semiplanul stâng dă naştere unui termen tranzitoriu a cărui expresie este:

m4=e- α t (A1cosωrt+B1sinωrt) (1.63) O pereche simplă de rădăcini complex conjugate α ± jω (α>0), în semiplanul drept dă un termen de forma:

m5=e α t (A5cosωrt+B5sinωrt) (1.64) O rădăcină dublă, α (α>0), a ecuaţiei caracteristice care apare într-un punct al axei reale din semiplanul stâng al planului s va produce un termen:

m6=(A6+B6t)e- α t (1.65)

O rădăcină simplă în origine dă naştere unui termen de forma:

y t1=const.=A0 (1.66)

O rădăcină dublă în origine produce un termen tranzitoriu a cărui expresie generală este:

y t2=A7+B7t (1.67)

Rădăcinile duble imaginare, ± jω, care se află pe axa imaginară, produc termeni de forma: y t3

=(A8+B8t)cosωt + (C8+D8t)sinωt (1.68)

Constantele Ai, Bi, Ci sau Di care intervin în expresiile de mai sus sunt arbitrare. Natura stabilităţii unui sistem poate fi acum formulată în corelaţie cu localizarea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, adică a numitorului (1+GH=0) a

funcţiei totale de transfer: GH1

G

X

X

i

e

+= .

1) Un sistem este stabil, dacă toate rădăcinile se află în semiplanul stâng.

2) Un sistem este instabil, dacă o rădăcină oarecare se află în semiplanul drept, dacă o pereche multiplă (dublă,triplă) de rădăcini complexe se află pe axa imaginară sau dacă o rădăcină multiplă reală este localizată în origine.

3) Un sistem este stabil marginal, dacă o pereche de rădăcini complexe se află pe axa imaginară sau dacă o rădăcină simplă se află în origine, iar celelalte rădăcini se află în semiplanul stâng.

4) Un sistem este stabil condiţionat, dacă toate rădăcinile sunt localizate în semiplanul stâng pentru anumite valori particulare ale parametrilor sistemului. Adesea sistemul este stabil numai pentru valori într-un anumit interval ale unui parametru, de exemplu factorul de amplificare.

Rădăcinile care se află în semiplanul drept produc un răspuns oscilatoriu care creşte în timp şi fac ca sistemul să nu fie utilizabil în practică. O pereche simplă de rădăcini complexe pe axa imaginară (în afară de origine), dă naştere unui termen sinusoidal neamortizat (oscilatoriu). Dacă toate celelalte rădăcini se află în semiplanul stâng cu excepţia posibilă a unei rădăcini simple în origine, atunci sistemul poate fi considerat oscilatoriu, cazul limită dintre stabilitate şi instabilitate.

1.1.8 CONCLUZII

În proiectarea unui sistem automat, nu se

poate da o metodă de sinteză directă. Proiectantul sistemului de reglare automată va trebui să folosească o combinaţie între sinteză şi

analiză. În general, acesta este în situaţia de a alege o serie de elemente componente (amplificator, motor etc.) cunoscând ecuaţiile lor diferenţiale, se pot determina funcţiile de

transfer cu ajutorul cărora sistemul este construit. Atunci când circuitul sistemului este închis prin intermediul unei reacţii, sistemul poate deveni instabil, poate avea o abatere staţionară prea mare, un factor de amortizare prea mic, sau o pulsaţie proprie neamortizată prea mică. În aceasta situaţie, proiectantul este forţat să aducă modificări sistemului, pentru a conforma performanţele lui cu cerinţele de calitate impuse iniţial. În funcţie de experienţa proiectantului, modificările iniţiale vor fi mai mult sau mai puţin optimale. În orice caz, este absolut necesară analiza sistemului modificat pentru a determina orice îmbunătăţire a performanţelor sale. După ce a analizat prima variantă, proiectantul aduce alte modificări sistemului, dacă acestea apar necesare şi din nou analizează situaţia. Acest proces continuă până se

realizează cerinţele de calitate impuse iniţial. S-a pus la punct, însă, şi o metodă pentru analiza sistemelor automate liniare, care constă din următoarele etape: 1) obţinerea ecuaţiilor diferenţiale ale

sistemului şi deci a funcţiilor de transfer ale elementelor componente;

2) determinarea soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale corespunzătoare regimului staţionar pentru anumite tipuri de mărimi de intrare (din regimurile staţionare se pot determina abaterile);

3) determinarea naturii stabilităţii sistemului din funcţia de transfer sau ecuaţia caracteristică.

Fiecare din aceste etape trebuie prinsă în reguli care să dea posibilitatea proiectantului să analizeze repede şi precis sistemul studiat.

1.2. CLASIFICAREA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMA TE

1.2.1. ABATERILE STAŢIONARE DATORIT Ă PERTURBAŢIILOR DE LA INTRARE

Pentru a determina natura stabilitaţii unui sistem, este suficientă ecuaţia caracteristică. Atunci când se studiază abaterile staţionare (componentele staţionare ale soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale), este însă necesară cunoaşterea funcţiei de intrare aplicată sistemului. Voi lua în consideraţie trei tipuri de funcţii de intrare, adecvate penru proiectarea curentă a sistemelor automate. Aceste funcţii tipice de intrare sunt: � funcţia treaptă de poziţie

xi = A (1.69) � funcţia treaptă de viteză

xi = vt (1.70) � funcţia treaptă de acceleraţie

xi = at2/2 (1.71) în care A, v şi a sunt constante. Funcţiile se aplică la momentul t = 0, şi sunt valabile numai pentru t > 0. Voi presupune că sistemul este stabil. Să considerăm abaterea staţionară care rezultă atunci când o funcţie treaptă de poziţie este aplicată la intrare. Sistemul studiat este reprezentat prin schema sa bloc în figura 1.18

(funcţia de transfer a căii de reacţie H = 1), funcţia de transfer a căii directe, poate fi scrisă sub următoarea "formă standard":

G(s)=K[(1+τ1s)(1+τ3s)...] / /[sn(1+τ2s)(1+τ4s)...]

(1.72)

în care, K este o constantă independentă de s. Într-o primă situaţie, să presupunem funcţia de transfer a căii de reacţie H(s) egală cu unitatea. În acest caz transformata Laplace a abaterii este diferenţa între mărimea de ieşire prescrisă Xi şi cea reală Xe,

E=Xi - Xe (1.73) şi reprezintă mărimea de acţionare. Deci, din relaţia:

G(s)H(s)1

1

X

E

i += → iX

G(s)1

1E

+=

(1.74)

Ecuaţia (1.74) mai poate fi scrisă şi sub forma: [1+G(s)]E = Xi (1.75)

Dacă xi = A, componenta staţionară a soluţiei ecuaţiei diferenţiale este de asemenea o constantă, dacă sistemul este stabil. Din punct de vedere fizic, dacă marimea de intrare a servosistemului din figura 1.6, este o constantă, atunci toţi termenii tranzitorii dispar în timp şi mărimea de ieşire xe este tot o constantă în cele

xi G(s) xe

Fig. 1.18

din urmă. Toate derivatele mărimii de ieşire, viteza, acceleraţia, sunt nule. În regim staţionar abaterea va fi tot o constantă (această constantă poate fi zero). Teorema valorii finale, stă la baza unei metode simple, de determinare a abaterii staţionare. Această teoremă stabileşte că:

s)sY(limy(t)lim0st →∞→

= (1.76)

în care Y(s)=Ly(t), (L - laplacean), iar y(t) reprezintă răspunsul unui sistem stabil (adică toţi polii lui Y(s) se află în semiplanul stîng). Este de reţinut următorul fapt: valoarea funcţiei de timp la infinit se determină direct din funcţia transformată pentru s = 0. EXEMPLU: vom calcula valoarea stationară ( t→ ∞ ) pentru funcţia ε(t), dacă funcţia transformată are forma:

(s)XG(s)1

1E(s) i+

=

(1.77)

în care funcţia de transfer G(s) are următoarea expresie:

( )( )( )( )1ss10s

2s3sK

3

5G(s)

2 +++++=

(1.78)

în acest caz, limita lui G când s tinde către zero este egală cu constanta K, sau:

Klim0s

=→

(1.79)

Deoarece transformata Laplace a unei funcţii treaptă de amplitudine A este Xi = A/s, abaterea staţionară pentru o funcţie treaptă aplicată unui sistem închis este:

Glim1

A

G1

sAslimε(t)lim

0s0st

→→∞→ +

=+

=

(1.80)

Dacă ţinem seama şi de relaţia (1.79), atunci rezultă:

∞→tlim ε(t)= K)(1A + (1.81)

În figura 1.19 s-a reprezentat variaţia în timp a mărimilor de intrare şi de ieşire pentru exemplul studiat. Atunci când la intrare se aplică o treaptă, mărimea de ieşire tinde să urmărească acea treaptă; totuşi, o abatere staţionară rămâne între xi şi xe. Deşi abaterea poate fi redusă la valori mici, ea este totuşi prezentă totdeauna, deoarece un factor de amplificare K, infinit nu este realizabil. Exemplul de mai sus arată cum se poate determina în principiu abaterea staţionară a unui sistem de reglare automată. Abaterile staţionare pentru trepte de intrare, de poziţie, viteză şi acceleraţie se determină apoi pe cale simplă pentru fiecare tip de sistem. Pe această bază se calculează coeficienţii abaterii staţionare, după care abaterile propriu-zise se stabilesc uşor.(paragraful 1.2.3)

1.2.2. CLASIFICAREA SISTEMELOR AUTOMATE

Sistemele automate se pot clasifica: în funcţie de principiul de funcţionare, în funcţie de aspectul variaţiei în timp a mărimii de la intrare, în funcţie de viteza de variaţie a mărimii de la ieşire (xe), în funcţie de numărul de intrări şi ieşiri, în funcţie de natura comenzii, în funcţie de gradul de complexitate al schemei

funcţionale şi în funcţie de exponentul n al

termenului în s de la numitorul lui G (relaţia 1.72). a) În funcţie de principiul de funcţionare se

deosebesc: � S.A convenţionale de bază - supuse aceleiaşi

convenţii xe = xi. La rândul lor, acestea pot fi: • sisteme de urmărire, la care xe urmăreşte

variaţia de la intrare xi, oricare ar fi aceasta şi

• sisteme de reglare automată, la care xi are o variaţie predeterminată (fie constantă, fie variabilă după o lege prestabilită).

� S.A specializate: adaptive, optimale sau extremale.

b) În funcţie de aspectul variaţiei în timp a mărimii de la intrare xi (deci după variaţia în timp impusă mărimii de ieşire xe) se deosebesc:

xe(t) mărimea de ieşire (răspuns) ε0 = A/(1+K) xi(t) funcţie de intrare treaptă

0 t Fig. 1.19

� sisteme de stabilizare automată - (când xi = ct.- de exemplu menţinerea constantă a unui parametru) - se mai numesc S.R.A cu consemn fix sau program fix;

� sisteme de reglare automată cu program variabil (când xi, variază în timp după o lege prestabilită, de exemplu la cuptoarele industriale pentru tratamente termice) -se mai numesc S.R.A cu consemn programat;

� sisteme de reglare automată de urmărire -(când xi variază în funcţie de un parametru din afara S.R.A, legea de variaţie în timp a acestui parametru nefiind cunoscută dinainte).

c) În funcţie de viteza de variaţie a mărimii de la ieşire (sau de viteza de răspuns a obiectului automatizării) se deosebesc:

� S.A (respectiv S.R.A) pentru procese lente (cele mai raspândite, instalaţiile tehnologice industriale caracterizându-se printr-o anumită inerţie);

� S.A (respectiv S.R.A) pentru procese rapide (cum sunt cele aplicate maşinilor şi acţionărilor electrice - de exemplu: reglarea turaţiei motoarelor, reglarea tensiunii generatoarelor etc.).

d) În funcţie de numărul de intrări şi de ieşiri se deosebesc:

� S.A (respectiv S.R.A) cu o singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire (mărimea comandată sau mărimea reglată);

� S.A (respectiv S.R.A) cu mai multe intrări şi ieşiri (cazul S.A de comandă sau de reglare automată multivariabile).

e) În funcţie de natura comenzii se deosebesc: � S.A (respectiv S.R.A) cu comandă continuă,

la care mărimea de ieşire a fiecărui element component este o funcţie continuă de mărimea sa de intrare. Ele conţin dispozitive de automatizare, (DA) în cazul S.A, sau regulatoare (RA) în cazul S.R.A - care sunt

fie liniare, fie neliniare, în raport cu modul de dependenţă al mărimii de comandă, de mărimea de la intrare;

� S.A (respectiv S.R.A) cu comandă discontinuă (discretă) la care, mărimea de la ieşirea DA (sau RA) este reprezentată de o succesiune de impulsuri de comandă (sau reglare), fie modulate în amplitudine sau durată (sistemele cu impulsuri), fie codificate (sisteme numerice).

f) În funcţie de gradul de complexitate al schemei funcţionale:

� S.A (respectiv S.R.A) cu un singur circuit închis (sau o buclă de reglare);

� S.A (respectiv S.R.A) cu mai multe circuite închise (respectiv, cu mai multe bucle de

reglare). S.R.A cu mai multe bucle de reglare pot fi:

• sisteme de reglare în cascadă, care cuprind mai multe regulatoare automate, cu ajutorul cărora, pe lângă mărimea de ieşire xe sunt reglate şi alte mărimi intermediare din cuprinsul instalaţiei sau procesului reglat, şi

• sisteme de reglare combinată, în care, pe lângă regulatorul automat principal se prevede unul sau mai multe regulatoare suplimentare, care intră în funcţiune numai la apariţia anumitor acţiuni perturbatoare, în diferite puncte ale instalaţiei de reglare.

g) În funcţie de exponentul n a termenului în s de la numitorul lui G (relaţia 1.72)

� sistem tip 0, pentru care n=0; � sistem tip 1, pentru care n=1; � sistem tip 2, pentru care n=2; � sistem tip 3, pentru care n=3.

1.2.3. COEFICIENŢII ABATERILOR STA ŢIONARE

1) Coeficientul abaterii de poziţie - K0 Aplic la intrarea sistemului a cărui funcţie

de transfer este dată de relaţia (1.72), o funcţie treaptă de poziţie, relaţia (1.69). Transformata Laplace a abaterii este: E(s)= [ ]G(s)1(s)X i +

(1.73), (pentru cazul când H(s)=1).

Pentru a găsi valoarea de regim staţionar sau valoarea finală a lui ε(t), atunci când xi(t) este funcţia treaptă de poziţie, trebuie să se calculeze limita când t→ ∞ .

Pe baza teoremei valorii finale, se deduce:

ε0 = ∞→t

lim ε(t) = sG(s)1

(s)Xlim i

0s +→

(1.74)

Dar Xi(s) = A/s şi , în consecinţă:

ε0 = ∞→t

lim ε(t) =0

0s

K1

A

limG(s)1

A

+=

+→

(1.75) în care: K0 - coeficientul abaterii de poziţie

G(s)limK0s

0 →= (1.76)

Pentru un sistem tip 0 (n=0), K0=K (1.77)

Pentru un sistem tip 1(sau mai mare , n≥ 1)

0s

0 limA

ε→

= 1/{1+[K( τ1s+1)(τ3s+1)... ] /

/[sn(τ2s+1)(τ4s+1)]} = 0

(1.78)

iar K0= ∞ , pentru n≥ 1. 2) Coeficientul abaterii de viteză - Kv

Să considerăm acum răspunsul sistemelor cu mărime de intrare rampă (funcţia treaptă de viteză, relaţia (1.70)). Se utilizează şi în acest caz funcţia de transfer şi teorema valorii finale

∞→tlim ε(t) = s

G(s)1

svlim

2

0s +→

(1.79)

în care Xi(s) = v/s2 este transformata Laplace a lui xi(t) = vt. Simplificând relaţia (1.79), se obţine:

∞→tlim ε(t) / v =

v0s

0s K

1

sG(s)lim

1

sG(s)s

1lim ==

+=

→→

(1.80)

Această limită nu există pentru n=0; adică un sistem tip 0 are mărime de ieşire infinită, în regim staţionar, deoarece pentru n=0, rezultă:

εv / v → ∞ (1.81) Pentru un sistem tip 1, n=1, expresia (1.80) are o valoare finită, constantă dată de:

εv / v = 1 / K (1.82) Deci εv / v = 1 / Kv , de unde rezultă:

Kv = v / εv (1.83)

Din relaţiile (1.80) şi (1.83) rezultă coeficientul abaterii de viteză,

Kv = G(s)slim0s→

(1.84)

iar Kv=0 pentru n=0; Kv=K pentru n=1; Kv= ∞ pentru n≥ 2.

3) Coeficientul abaterii de acceleraţie - Ka Pentru a determina coeficientul abaterii de acceleraţie Ka , să considerăm că mărimea de intrare este o funcţie treaptă de acceleraţie (relaţia (1.71) xi=at2/2). Transformata Laplace a acestei funcţii este dată în ANEXA 1:

Xi(s)=a / s3 (1.85) Abaterea staţionară de poziţie va fi:

εa = ∞→t

lim ε(t) =

G(s)slim

as

G(s)1

salim

2

0s

3

0s→

→=

+=

(1.86)

Ţinând seama de expresia lui G(s) (relaţia (1.72)), se obţine:

εa / a = ∞→→0s

2G(s)lims

1

(1.87) deoarece 0G(s)slim 2

0s=

→. Abaterea staţionară de

poziţie datorită unei trepte de intrare de acceleraţie, εa , este infinită atât pentru sisteme tip 0 cât şi pentru cele tip1. Pentru sisteme tip 2, abaterea staţionară este finită, constantă, dată de:

εa / a = 1 / K=1 / Ka (1.88) Prin urmare, coeficientul abaterii de acceleraţie, va fi:

G(s)slimK 2

0sa →

= (1.89)

iar Ka=0 pentru n=0; Ka=0 pentru n=1; Ka=K pentru n≥ 2. Concluziile privitoare le abaterile staţionare sunt rezumate în tabelul următor:

Abaterile staţionare n K0 e0 Kv ev Ka ea 0 constantă

finită A/(1+K0) 0 ∞ 0 ∞

1 ∞ 0 constantă finită

v/Kv 0 ∞

2 ∞ 0 ∞ 0 constantă a/K

finită a

1.2.4. ABATERILE STAŢIONARE GENERALIZATE

Dacă schema bloc prezintă o formă mai generală, ca în figura 1.20, adică dacă H ≠ 1, şi

un bloc cu funcţia de transfer G2 este adăugat la intrare, abaterile staţionare au altă semnificaţie. Mărimea de intrare în punctul de însumare este G2Xi , iar mărimea de reacţie în acelaşi punct este XeH. Mărimea de acţionare:

E '= G2Xi - XeH (1.90) Funcţia de transfer a lui E ' în raport cu Xi este:

HG1

G

X

E'

1

2

i +=

(1.91)

Pentru o funcţie treaptă de poziţie de intrare (xi=A), mărimea de acţionare staţionară va fi:

ε0' = G1

AGlim

HG1

)sA(Glim 2

0s1

2

0s +=

+ →→

(1.92)

Pentru funcţii treaptă de viteză (xi=vt), mărimea de acţionare staţionară se determină din funcţia de transfer precum urmează:

ε'v / v = 2

10s s

1

HG1

Gslim

+→ HsG

Glim

1

2

0s→=

(1.93)

În mod similar, pentru funcţii treaptă de acceleraţie (xi=at2/2) , mărimea staţionară de acţionare va fi dată de:

ε'a / a = HGs

Glim

12

2

0s→

(1.94)

Deşi mărimea staţionară de acţionare nu corespunde abaterii staţionare, mărimea sa va fi un criteriu de apreciere a performanţelor sistemului.

1.2.5. ABATERILE STAŢIONARE DATORIT Ă PERTURBAŢIILOR

SARCINII DE IE ŞIRE Perturbaţiile care apar în sarcina sistemului produc de asemenea abateri staţionare. Să considerăm, servosistemul din figura 1.6 (paragraful 1.1.1). Mărimea de intrare este o poziţie xi(t), iar mărimea de ieşire xe(t) este o poziţie determinată de un servomotor alimentat de un amplificator, a cărui mărime de intrare este chiar semnalul de acţionare (egal cu abaterea ε=xi - xe). Acest sistem, cu H=1, este reprezentat prin schema bloc în figura 1.21, în

care Ks reprezintă factorul de transfer al potenţiometrelor de intrare şi de ieşire, iar A este factorul de amplificare al amplificatorului. Din punct de vedere fizic, un servosistem poate fi considerat similar unui resort de torsiune. Dacă există o abatere, motorul va dezvolta un cuplu pentru a anula abaterea. În particular, dacă un

cuplu este aplicat la arborele de ieşire, va rezulta o abatere (ε= -xe , deoarece sistemul a fost în repaus înainte de aplicarea cuplului , este corect a se considera xi=0). Această abatere va produce o tensiune la bornele motorului care va dezvolta un cuplu pentru a echilibra cuplul aplicat. În mod similar, dacă un resort de torsiune este solicitat printr-un cuplu, resortul se va roti cu un unghi xe , până când cuplul elastic Kxe dezvoltat de resort va egala cuplul aplicat. Constanta de elasticitate a resortului K este egală cu cuplul raportat la unitatea de unghi. Pentru servosistem, cuplul raportat la unitatea de unghi este M0 / ε0 = K1KsA, unde ε0 -abaterea staţionară, ε0 =

∞→tlim ε(t)

=AKK

MsE(s)lim

s1

0

0s

−=

→, unde ,

AKKsKJs

sME(s)

s122

0

++−

= , determinată cu

ajutorul funcţiei de transfer pentru un sistem liniar a cărui funcţie de intrare este un cuplu,

M Xi Ks A Motor Xe

Fig. 1.21

G2Xi ε'= G2Xi - XeH Xi G2 G1 Xe XeH H

Fig. 1.20

respectiv: =M

Xe

AKKsKJs

1

s122 ++

, K1,K2 -

constante care se pot determina din caracteristicile mecanice liniarizate, J - cuplul de inerţie, iar M - transformata Laplace a

cuplului perturbator. Dacă cuplul este o funcţie diferită de o constantă, abaterea rezultată prin aplicarea acestui cuplu la arborele de ieşire se poate calcula prin metode obişnuite.

1.2.6. CERINŢELE DE CALITATE ALE SISTEMELOR DE

REGLARE AUTOMATE

Aceste cerinţe se împart în general după natura mărimilor la care se referă: mărimi în domeniul frecvenţei (adică formulate în funcţie de frecvenţă), mărimi în domeniul timp (adică formulate în funcţie de răspunsul în timp).

� Cerinţele de calitate în domeniul frecvenţei. Cerinţele sistemelor de reglare automate, sunt similare cu performanţele amplificatoarelor electronice realizate pe baza lăţimii benzii de trecere (de exemplu de la 20÷ 20000 Hz) sau a filtrelor. Cele mai multe filtre (trece-bandă, trece-jos, etc.) sunt przentate în funcţie de caracteristica amplitudine-frecvenţă. Laţimea benzii (figura 1.22) reprezintă domeniul de frecvenţă în care răspunsul în amplitudine nu scade sub 3 dB (0.707 din amplitudine) în raport cu cea corespunzătoare frecvenţei centrale a benzii de trecere. Ea indică în anumite limite, viteza de răspuns a sistemului. În teoria filtrelor, laţimea benzii evidenţiază capacitatea sistemului de a reproduce forma semnalului de intrare. În unele cazuri se indică nu numai laţimea benzii de trecere, dar şi alte date suplimentare legate de tăierea frecvenţelor. De exemplu, se indică uneori panta caracteristicii atenuare-frecvenţă de 12dB /octavă, (octava se defineşte ca intervalul în care frecvenţa devine dublă).

� Cerinţe de calitate în domeniul timp. Adesea performanţele unui sistem sunt exprimate în funcţie de mărimile specifice domeniului timp, adică a răspunsului în timp la o funcţie treaptă sau rampă. În general se impune ca regimul tranzitoriu să satisfacă exact anumite cerinţe. Este, totuşi, imposibil să se determine regimul tranzitoriu înainte de a se realiza cea mai mare parte a proiectării. Sistemele de ordinul doi, reprezintă totuşi punctul de plecare în proiectarea practică. Un răspuns tipic la o funcţie treaptă unitară de

intrare pentru un anumit factor de amortizare

este reprezentat în figura 1.23. � Suprareglarea maxima σ , în procente din

valoarea finală, măsoară depăşirea maximă realizată la ieşire în raport cu valoarea regimului staţionar la o treaptă unitară de intrare.

� Timpul de crestere tc , definit ca timpul necesar răspunsului la o treaptă unitară să crească de la 10 la 90 procente din valoarea finală.

� Timpul de liniştire tl , definit ca timpul necesar ca răspunsul să atingă iar valoarea finală după parcurgerea suprareglării maxime.

� Factorul de amortizare ξ, este definit prin relaţia (1.19), poate fi calculat din răspunsul în timp, atunci când se cunoaşte raportul a două maxime succesive A1 şi

A2 (figura 1.23).

σ A1 A2 1.00 0.90 tl 0.10 tc

Fig. 1.23

amplificarea dB ωc - pulsaţie de tăiere ωc

ω 3 dB Lăţimea benzii de trecere

Fig. 1.22

ξ = ( )

( )

+ 21

21

AAπln2

11

AAπln2

1

(1.95)

1.3. METODA LOCULUI R ĂDĂCINILOR

Aşa cum s-a arătat şi în paragraful 1.1.8,

proiectarea unui sistem închis necesită încercări repetate. Trebuie determinat răspunsul sistemului la diferite mărimi de intrare, iar după câteva încercări şi ajustări, poate să rezulte un sistem acceptabil. Importante, însă, sunt mijloacele rapide de analiză a rezultatelor diferitelor variante încercate.

Unul dintre aceste mijloace rapide de analiză îl reprezintă chiar metoda locului rădăcinilor. Această metodă evidenţiază comportarea tranzitorie a întregului sistem, efectele modificării factorului de amplificare sau a constantelor de timp ale elementelor componente, iar configuraţia reţelelor de corecţie poate fi rapid analizată.

1.3.1. LOCUL RĂDĂCINILOR

Sistemul de ordinul doi (figura 1.24), a

fost studiat şi i s-a determinat răspunsul în timp

(paragrafele 1.1.2 şi 1.1.3). Valoarea factorului de amplificare A, necesar pentru a asigura stabilitatea sistemului este o mărime importantă care trebuie determinată în cazul analizei şi sintezei sistemului. Funcţia de transfer a ansamblului motor-sarcină Km / s(sτ +1), τ - constanta de timp şi Km factorul de transfer al motorului sunt date, odată ce motorul a fost ales pe baza unor consideraţii legate de cerinţele de putere ale sarcinii. Cum se schimbă răspunsul tranzitoriu, care depinde direct de localizarea rădăcinilor ecuaţiei caracteristice, atunci când mărimile A şi Ks variază ? Pentru sistemul din figura 1.24 răspunsul poate fi obţinut pe cale analitică fără dificultăţi. Funcţia de transfer care leagă mărimea de ieşire de cea de intrare este simplu de stabilit:

sm2

sm

i

e

KAKsτs

KAK

G1

G

X

X

++=

+=

(1.96)

Răspunsul la un impuls unitar se determină din relaţia (1.96), luând Xi(s)=1, şi calculând transformata Laplace inversă:

xe(t) = L-1

sm2

sm

KAKsτs

KAK

++

(1.97)

Mai întâi trebuie găsite rădăcinile numitorului

expresiei (1.97), s2+s/τ+τ

smKAK = 0 , ecuaţie

care are următoarele rădăcini:

τττsm

2i

KAK

4

1

2

1s −±−= , i = 1, 2

(1.98)

Localizarea celor două rădăcini ale ecuaţiei determină comportarea în regim tranzitoriu; prin urmare, această localizare dă informaţii asupra gradului de stabilitate a sistemului. Dacă rădăcinile se află în semiplanul drept s, răspunsul este de forma:

xe(t)= e+α t (Asinωt + Bcosωt) (1.99) Dacă rădăcinile s-ar afla pe axa imaginară, răspunsul are forma:

xe(t)= Asinωt + Bcosωt (1.100) În ambele cazuri, sistemul este nesatisfăcător, deoarece ecuaţia (1.99) caracterizează un răspuns tranzitoriu oscilatoriu cu amplitudini crescătoare, iar ecuaţia (1.100) evidenţiază un răspuns sinusoidal neamortizat. Localizarea rădăcinilor (figura 1.17, m5, m2, paragraful 1.1.7) determină natura stabilităţii sistemului. Factorul de amortizare, pulsaţia proprie neamortizată şi pulsaţia de oscilaţie pot fi stabilite din cunoaşterea acestei localizări a

Xi G(s) Xe H(s)

Fig. 1.25

ε AKmKs G Xi s(τs + 1) Xe

Fig. 1.24

rădăcinilor. Locul rădăcinilor în funcţie de variaţia mărimii (AKs) permite a se trage concluzii pe cale analitică, asupra comportării tranzitorii a sistemului pentru toate valorile parametrului (AKs). În practică, locul rădăcinilor poate fi dedus pe cale grafică, ceea ce ne dă posibilitatea determinării poziţiei rădăcinilor pentru diferite valori particulare ale amplificării. Deci, metoda locului rădăcinilor se bazează pe cunoaşterea localizării r ădăcinilor sistemului, cu calea de reacţie deschisă. În cele mai multe cazuri, localizarea se determină uşor din funcţia de transfer a sistemului deschis, GH. Funcţia G(s) reprezintă funcţia de transfer a căii directe; iar H(s) este funcţia de transfer a căii de reacţie. Aceste funcţii, incluse în schema bloc din figura 1.25, au următoarele expresii pentru exemplul din figura 1.24:

τ)1s(s

KG(s)

+= ;H(s)=1;K =

τsmKAK

(1.101)

În expresiile următoare, faptul că G(s) şi H(s) sunt funcţii de s, va fi subînţeles, adică, în loc de G(s) se va scrie simplu G, şi în loc de H(s) se va scrie H. Să considerăm expresia care leagă mărimea de ieşire de cea de intrare şi care se deduce din schema bloc din figura 1.25:

GH1

G

X

X

i

e

+=

(1.102)

în care 1+GH=0 reprezintă ecuaţia caracteristică. Natura stabilităţii sistemului depinde de răspunsul lui la un impuls (componenta tranzitorie). Localizarea rădăcinilor ecuaţiei 1+GH=0 determină gradul de stabilitate. Un număr complex de forma (a+jb) poate fi exprimat în forma polară precum urmează:

ΦbaΦeba 22j22 +=+ , în care )abarctg(Φ =

(1.103)

În general, rădăcinile ecuaţiei caracteristice , sunt numere complexe (numerele reale sunt cazuri particulare ale numerelor complexe) şi pot fi scrise în forma polară:

si=Aiej iΦ ; i=1, 2 (1.104)

în care Ai - este modulul, iar Φi - unghiul rădăcinii. În mod similar, fiecare termen de forma (s+a) poate fi scris în forma polară dacă sunt cunoscute modulul şi unghiul de fază

corespunzătoare, adică AejΦ. Funcţia de transfer a sistemului deschis GH poate fi exprimată ca un cât de polinoame dezvoltate în factori, de exemplu:

1)...1)(s(ss

1)...1)(s(sKGH

42n

311

++++

=ττττ

(1.105)

Relaţia (1.105) poate să fie scrisă din nou în următoarea formă, care va fi totdeauna utilizată în analiza efectuată având la bază metoda locului rădăcinilor:

)...τ1)(sτ1(s

)...τ1)(sτ1(s

...ττ

...ττKGH

42

41

42

311

++++

⋅=

(1.106)

Fiecare factor al funcţiei GH este considerat ca un număr complex şi scris în forma polară tipică:

s+1/τ1= A1ej 1Φ (1.107)

Aşadar, întreaga funcţie GH este o mărime complexă şi poate fi adusă la forma polară,

)...jΦ

e)(AjΦ

e(AjnΦ

eA

)...jΦ

e)(AjΦ

eK(AGH

44

22

0n0

33

11=

(1.108)

( ) ( )[ ]

ΦAe

...ΦΦΦ...ΦΦe

...AAA

...AKA

GH

j

420n31j

42n0

31

=

+++++=

=−

(1.109)

Ecuaţia algebrică din care se determină rădăcinile, 1+GH≡ 1+ AejΦ= 0, deci

GH=o1)180j(2K1e1 +≡− (1.110)

permite scrierea următoarelor două relaţii importante: � Unghiul lui GH, (notat cu θ) în care:

o1)180(2KΦargGH +=≡≡θ̂ K=0, ..3,.2,1, ±±±

(1.111)

� modulul lui GH, (notat cu α) 1AGHα =≡≡ (1.112)

adică argumentul lui GH este un multiplu impar de 180o, iar modulul lui GH este egal cu unitatea. Aceste două relaţii stau la baza metodei locului rădăcinilor. Din comparaţia relaţiei (1.109) cu relaţiile (1.111) şi (1.112) rezultă o ecuaţie de unghiuri:

o

42031

1)180(2K

...)ΦΦ(nΦ...)Φ(Φ

+=

=+++−++

în care K=0, 3,...2,1, ±±±

(1.113)

şi o ecuaţie de module:

1...AAA

...AKA

42n0

31 =

(1.114)

Locul rădăcinilor se trasează prin determinarea locului tuturor punctelor si din planul s care satisfac relaţia (1.113). După ce locul a fost complet trasat, relaţia (1.114) este folosită pentru a grada locul în valori ale factorului de amplificare K care corespund - valorilor particulare ale rădăcinilor pe locul construit. Pentru a se evita confuziile, vom defini diferitele singularităţi (puncte singulare) după cum urmează:

• un zero este valoarea lui s pentru care numarătorul lui GH se anulează;

• un pol este valoarea lui s pentru care numitorul lui GH se anulează;

• o rădăcină este valoarea lui s care anulează expresia (1+GH). Trebuie reţinut faptul că, dacă si , reprezintă un pol al lui GH, atunci si este şi un pol al expresiei (1+GH), deoarece adăugarea unei cantităţi la infinit dă tot infinit.

Locul de transfer al tuturor punctelor pentru care suma algebrică a unghiurilor segmentelor determinate de zerouri şi poluri, şi respectiv punctele locului, este egală cu un multiplu impar de 180o, reprezintă locul rădăcinilor. În cele de mai sus s-au prezentat aspectele esenţiale ale construcţiei locului rădăcinilor; totuşi, o serie de reguli care reduc timpul de construcţie prin încercări succesive, sunt importante şi vor fi prezentate în paragraful următor.

1.3.2. REGULI PENTRU CONSTRUCŢIA RAPIDĂ A LOCULUI RĂDĂCINILOR

În cele ce urmează vor fi prezentate

regulile, care ne dau posibilitatea să trasăm rapid un loc al rădăcinilor.

� Regula 1 - Curbele continue, care reprezintă ramurile locului pleacă din fiecare pol al funcţiei GH, pentru care K=0. Ramurile locului, care sunt funcţii univoce de factorul de amplificare, se termină în zerourile lui GH, pentru care K= ∞ .

� Regula 2 - Locul rădăcinilor include toate punctele axei reale care se află la stânga unui număr impar de poli şi zerouri.

� Regula 3 - Atunci când K tinde către infinit, ramurile locului tind asimptotic către linii drepte cu unghiurile:

zp

o

nn

1)180(2K

−+

, cu K=0, .,..2,1,±± , până

se obţin toate unghiurile din intervalul 0÷ 2π, în care np reprezintă numărul de poli şi nz numărul de zerouri.

� Regula 4 - Abscisa punctului de pe axa reală din care diverg liniile asimptotice este dată de:

CG=zp nn

zerouriabscisepoliabscise

−⋅−⋅

Acest punct este denumit centrul de

greutate al configuraţiei zerourilor şi polilor.

� Regula 5 - punctul de ramificare sb se determină din ecuaţia:

8b

6b

1b

4b

2b

1s

1

1s

1

1s

1

1s

1

1s

1

ττ

τττ

+

+++

−=

=+

+++

−++

−

(1.115)

în care i

b τ1s + reprezintă modulul

vectorului determinat de punctul sb de ramificare şi zeroul sau polul de pe axa reală s= i1 τ− .

♦ Când zerourile şi polii complexşi sunt plasaţi relativ departe de axa reală, aceşti poli şi zerouri pot fi neglijaţi în calculul punctului de ramificare. ♦ Atunci când zerourile şi polii complexşi sunt apropiaţi de axa reală ei trebuie să fie luaţi în consideraţie. ♦ De asemenea, dacă există numai un singur pol sau zero pe axa reală, trebuie să se includă în calcul şi zerourile şi polii complexşi.

� Regula 6 - Două rădăcini părăsesc sau ating normal (sub unghiuri de +90o) axa în punctul de amplificare.

� Regula 7 - Unghiurile de plecare ale ramurilor din polii complexşi şi unghiurile de sosire ale acestora în zerourile complexe pot fi determinate

scăzând 180o din suma unghiurilor vectorilor construiţi între polul (zeroul) considerat şi respectiv toţi ceilalţi poli sau zerouri.

În ANEXA 2, vor fi prezentate locurile rădăcinilor pentru câteva sisteme simple.

1.4. STABILITATEA ; METODA ANALIZEI ÎN

DOMENIUL FRECVEN ŢEI

1.4.1. APROXIMAREA ASIMPTOTIC Ă

Funcţiile cele mai des întânlite în studiul sistemelor de reglare sunt prezentate mai jos:

• factori independenţi de frecvenţă – K; • factori corespunzând unor zerouri şi poli

simpli în origine - jω sau 1/(- jω); • factori liniari corespunzând unor zerouri

simple (jωτ1+1); • factori liniari corespunzând unor poli

simpli (jωτ2+1)-1; • factori cuadratici [(jω/ωn)

2+2ξ(ω/ωn)+1]± 1 . Caracteristicile răspunsului la frecvenţă pentru fiecare din aceşti factori vor fi trasate punct cu punct. Din însăşi aliura acestor curbe caracteristice ale modulului exprimat în dB (dB=log10A2/A1), în funcţie de logaritmul frecvenţei rezultă o aproximare asimptotică liniară care permite o trasare rapidă. În toate aceste cazuri este necesar să utilizăm hârtie cu scară logaritmică în lungul unei axe (pentru frecvenţă) şi cu scară liniară în lungul celeilalte axe (modulul în dB sau unghiul de fază în grade).

� Factori independenţi de frecvenţă Constanta K poate fi reprezentată grafic pe baza relaţiei:

KdB=20log10K (1.116) în care, K reprezintă produsul tuturor factorilor independenţi de frecvenţă ai funcţiei GH(jω), scrisă în forma următoare:

1)1)(j(j)(j

1)1)(jK(j)GH(j

42n

31

++++

=ωτωτω

ωτωτω

(1.117)

� Zerouri şi poli în origine . • Pentru zerouri şi poli în origine, (jω)n

sau 1/(jω)n; caracteristicile modulului şi fazei se determină calculând logaritmul acestor funcţii:

ln(jω)± n = ±n lnω ± jn90o (1.118) • Pentru zerouri şi poli simpli, n=1.

Modulul în decibeli este ±n20log10ω , iar unghiul de fază ±n90o; semnul + se ia pentru zerouri, iar semnul - pentru poli.

� Zerouri simple • Pentru factori corespunzători unor

zerouri simple de forma (jωτ1+1) se utilizează o aproximare asimptotică liniară.

• Pentru ωτ1<<1, 20log10 ≈+ 1j 1ωτ 20log101=0 dB (1.119)

Aşadar pentru valori reduse ale lui ω, modulul ramâne practic de 0 dB.

• Atunci când ωτ1>>1 , 20log10 ≈+ 1j 1ωτ 20log10ωτ1 (1.120)

� Procedura ce trebuie urmată pentru trasarea caracteristicii amplitudine-frecvenţă pentru factorul (jωτ1+1) este următoarea:

a) se determină pulsaţia de frângere, ω=1/τ1; b) se trasează o pantă de 6 dB/octavă care trece

prin punctul de frângere spre domeniul pulsaţiilor înalte, şi o dreaptă în lungul axei de 0 dB în domeniul pulsaţiilor joase.

� Procedura ce trebuie urmată pentru trasarea caracteristicii fază-frecvenţă este următoarea:

a) se fixează pe diagramă punctul care corespunde pulsaţiei de frângere şi un al doilea punct cu o pulsaţie mai mică cu o decadă;

b) se trasează un segment de dreaptă cu panta de +45o/decadă (+13,2o/octavă) care începe în punctul cu o pulsaţie mai mică cu o decadă decât pulsaţia de frângere şi care se

continuă până se atinge +90o. După aceea, caracteristica prezintă un palier. Poli simpli . Factorii corespunzători unor

poli simpli, care au forma 1/(jωτ2+1), pot fi trasaţi într-un mod similar cu factorii referitori la zerouri simple. Deoarece logaritmul inversului unei mărimi este egal şi de semn contrar cu logaritmul mărimii: 20log[1/(jωτ2+1)] = - 20log(jωτ2+1) (1.121)

caracteristicile de frecvenţă pentru factorul corespunzător unui pol simplu sunt similare cu cele pentru un factor referitor la un zero simplu cu singura deosebire că primele sunt simetricele ultimelor în raport cu axa absciselor.

• Pentru frecvenţe mai joase, ω<<1/τ2 , amplitudinea este practic 0 dB.

• Pentru frecvenţe înalte, ω>>1/τ2 , asimptota este o dreaptă de panta -6 dB/octavă.

În ceea ce priveşte caracteristica fază-frecvenţă, ea e simetrică de asemenea caracteristicii corespunzătoare zeroului simplu în raport cu axa absciselor. Deoarece factorul referitor la polul simplu se află la numitorul lui GH, semnul unghiului de fază este schimbat:

Φ = -arctgωτ2 (1.122) Ecuaţia (1.122) corespunde unei curbe arctangentă care pleacă de la un unghi de fază şi se apropie de -90o pentru frecvenţe foarte înalte.

Unghiul de -45o este atins la o pulsaţie egală cu cea de frângere. Aproximarea prin segmente de dreaptă care a fost utilizată pentru zeroul simplu este valabilă şi în acest caz. Dacă funcţia de transfer are zerouri şi poli de ordin superior, caracteristica amplitudine-frecvenţă, şi repectiv fază-frecvenţă sunt similare cu cea pentru zero sau pol simplu.

Zerouri şi poli cuadratici . Uneori, în funcţia de transfer GH(jω), apar factori referitori la polii cuadratici care au forma:

ωn2 / (-ω2+2jξωnω+ωn

2) = 1 / /[-(ω/ωn)

2+2jξω/ωn+1]

(1.123) Caracteristicile de frecvenţă se trasează după ce se precizează pulsaţia de frângere şi factorul de amortizare pentru factorul cuadratic dat, pe baza comporarării expresiei sale, cu expresia (1.123). Deoarece cele mai multe funcţii de transfer GH(jω), determinate în studiul sistemelor de reglare, sunt compuse din factori cuprinzând zerouri şi poli, pentru determinarea modulului în dB şi a fazei ca funcţii de logaritmul frecvenţei, trebuie luaţi în consideraţie numai factorii enumeraţi mai sus. Pe baza cunoaşterii caracteristicilor de frecvenţă a acestor factori, se pot determina caracteristicile funcţiei GH(jω) prin adunarea convenabilă a curbelor reprezentând modulele şi fazele factorilor componenţi.

1.4.2. CARACTERISTICILE POLARE ŞI CARACTERISTICILE

AMPLITUDINE - FAZ Ă

Deoarece informaţii utile în legatură cu stabilitatea pot fi obţinute direct din caracteristicile de frecvenţă, în mod frecvent nu se mai face apel la caracteristicile polare. Cu toate acestea, în unele situaţii, aceste ultime caracteristici sunt necesare. Ele se trasează punct cu punct, adică introducând în GH(jω) diferite valori pentru ω, calculând apoi GH şi argGH(jω) şi reprezentând pe diagramă punctul corespunzător, aşa cum se vede în figura 1.26.

Această procedură este destul de laborioasă şi trebuie evitată. Caracteristica polară se poate trasa mai simplu din caracteristicile de frecvenţă care permit citirea directă a amplitudinii (după convertirea decibelilor în unitaţi obişnuite) şi a fazei corespunzătoare diferitelor valori ale pulsaţiei ω. O altă metodă de a studia răspunsul la frecvenţă a unui sistem se bazează pe caracteristica amplitudine (în dB) - fază. În această caracteristică, axa ordonatelor este rezervată amplitudinilor, iar axa absciselor este gradată în unghiuri de fază. Pulsaţia ω reprezintă parametrul caracteristicii. Avantajul acestei caracteristici constă în faptul că, atunci când factorul de amplificare K variază, caracteristica

Planul s Planul GH ω1 GH(jω) ε Unghiul GH(jω) R a) Fig. 1.26 b)

suferă doar o translaţie paralelă cu axa ordonatelor (în sus pentru K crescător).

1.4.3. PLANUL "s" ŞI PLANUL GH(s)

Planul "s" este utilizat atunci când se studiază stabilitatea din punctul de vedere al metodei locului rădăcinilor. Rădăcinile ecuaţiei 1+GH(s)=0 sunt localizate în acest plan "s". Dacă toate rădăcinile se află în semiplanul stâng, regimul tranzitoriu datorat unui impuls la intrarea sistemului dispare în timp şi sistemul este deci stabil. Dacă vreo rădăcină se află în semiplanul drept, termenul exponenţial respectiv are o valoare care creşte odată cu timpul. Perechile de rădăcini complexe de ordinul mm pe axa imaginară, dar nu în origine, au drept corespondenţe oscilaţii sinusoidale a căror amplitudine nici nu creşte, nici nu se micşorează în timp. Perechile de rădăcini complex conjugate pe axa imaginară sau rădăcini în origine, de ordinul doi, şi mai mare, corespund unui răspuns a cărui mărime creşte în timp, oscilatoriu sau monoton; în consecinţă sistemul este instabil. Dacă rădăcinile de pe axa imaginară sunt de ordinul mm, şi toate celelalte rădăcini se află în semiplanul stâng, răspunsul sistemului este marginit şi sistemul este stabil la limită, adică o situaţie la limită dintre stabilitate şi instabilitate. Suntem interesaţi în a şti dacă vreo rădăcină se află în semiplanul drept, deoarece, în acest caz, sistemul este instabil. Pentru a stabili dacă vreo rădăcină a ecuaţiei 1+GH=0 se află în semiplanul drept, considerăm conturul din figura 1.27, care include toate rădăcinile posibile din semiplanul drept. (raza porţiunii circulare a conturului R→ ∞ ). Acestui contur din planul "s" îi corespunde un contur în planul GH. O curbă închisă C1 din planul "s" (figura 1.28 a) se transformă într-o curbă închisă C2 în planul GH (figura 1.28 b). Dacă un punct se deplasează în lungul curbei C1, în direcţia săgeţii, punctul corespunzător din planul GH se deplasează în lungul curbei C2 într-o direcţie

care depinde de funcţia GH(s). Notând cu sj o rădăcină a ecuaţiei 1+GH=0, şi presupunând că prin punctul sj din planul "s" trece chiar conturul C1, atunci vom avea: 1+GH(sj)=0, pentru s=sj , de unde GH(sj)= -1, şi conturul C2 din planul GH trece prin punctul GH= -1. Ecuaţia caracteristică tipică pentru un sistem închis este:

1+GH =

= 0)s)(ss)(ss(s

)s)(ss)(ss(sK

cba

3211 =

++++++

(1.124)

în care -s1, -s2,... reprezintă rădăcinile, iar -sa, -sb,... sunt polii funcţiei (1+GH). Polii funcţiei GH sunt identici cu ai funcţiei (1+GH), deoarece, luând s=si în ambele funcţii, se obţine un modul infinit. Fiecare factor din expresia (1+GH) este o mărime complexă şi poate fi reprezentată printr-un vector. Aceşti vectori au originea în punctele fixe -s1, -s2,... sau în polii -sa, -sb,... şi vârful în punctul variabil s. Presupunem că punctul variabil s se deplasează, în sensul rotirii acelor ceasornicului, pe un contur închis în jurul lui s2. Vectorul s+s2 realizează o rotaţie completă în sensul rotirii acelor ceasornicului, deoarece conturul ales înconjoară rădăcina -s2. Cum toate celelalte rădăcini şi toţi ceilalţi poli sunt în afara conturului, ceilalţi vectori nu înregistrează nici o rotaţie. Deoarece termenul s+s2 din relaţia (1.124) îşi schimbă faza cu 360o (corespunzător unei rotaţii complete în jurul lui -s2), funcţia (1+GH) înregistrează şi ea o variaţie a fazei cu 360o. Cum rădăcinile sunt date de numărătorul expresiei (1.124), o rotaţie completă în sensul acelor ceasornicului în jurul lui -s2 corespunde unei înconjurări în acelaşi sens a originii în planul (1+GH), care este legat de planul GH (figura 1.29 a,b).

Planul s Planul s Planul GH Im R → ∞ sj • C1 -1 •GH(si) Re • si GH(sj) C2 Fig. 1.27 a) Fig. 1.28 b)

Planul 1+GH Planul GH 1+GH vector -1 • • -1 GH vector a) Fig. 1.29 b)

În această figură o înconjurare a originii planului (1+GH) în sensul acelor ceasornicului corespunde unui înconjur în acelaşi sens a punctului -1+j0 din planul GH. Un înconjur în sensul acelor ceasornicului a unei rădăcini în planul s provoacă un înconjur în acelaşi sens a punctului -1 în planul GH. Un înconjur în sensul acelor ceasornicului al unui pol în planul s, conduce la un înconjur în sens invers acelor ceasornicului a punctului -1 din planul GH. În sens general, putem afirma că: un înconjur în sensul acelor ceasornicului a unui domeniu din

planul s corespunde cu nN=nR - nP înconjururi în acelaşi sens a punctului -1 din planul GH, în care nR - este numărul de rădăcini aflate în domeniul considerat din planul s, iar nP numărul de poli din acelaşi domeniu. În general nN este pozitiv, dacă nR > nP în semiplanul drept. În acest caz punctul -1 este înconjurat în acelaşi sens ca şi domeniul din planul s. Dacă nN=0, punctul -1 nu este înconjurat. Atunci când nN este negativ, nR < nP, punctul -1 este înconjurat în sensul opus în raport cu domeniul din planul s.

1.4.4. CRITERIUL DE STABILITATE NYQUIST

Metoda analizei în domeniul frecvenţei a

stabilităţii unui sistem de reglare automată se bazează pe criteriul Nyquist. Utilizarea acestui criteriu ne permite să determinăm pe o cale simplă, grafică, stabilitatea unui sistem liniar (pentru că aceste sisteme sunt studiate în lucrarea de faţă). Criteriul Nyquist de stabilitate, poate fi formulat astfel: dacă funcţia de transfer a sistemului deschis GH(s) este exprimată ca un cât de două polinoame dezvoltate în factori simpli, în funcţie de variaţia lui s,

( ) ( )( )( )( )11

11

42

311

++++

=ττττ

sss

ssKsGH

n

(1.125)

şi variabila s parcurge un contur format din axa imaginară de la -j∞ la +j ∞ şi din partea dreaptă a unui cerc cu conturul în origine de la s=Rejπ/2 la s=Re-jπ/2 (cu R=∞ ), atunci transformarea conformă a acestui contur în planul GH(s) înconjoară punctul -1+j0 în sensul acelor ceasornicului de

nN=nR - nP (1.126) ori, în care nR - reprezintă numărul de rădăcini ale ecuaţiei 1+GH=0 care se află în semiplanul drept al planului s, iar nP - numărul de poli ai lui GH din acelaşi semiplan. Dacă nN este negativ atunci în planul GH înconjururile au loc în sens invers acelor ceasornicului.

Deoarece am luat în considerare, numai sisteme având ecuaţii caracteristice cu coeficienţi reali constanţi, rădăcinile ecuaţiei caracteristice trebiue să fie sau reale sau complex conjugate. Localizarea rădăcinilor, prezintă în acest caz, o perfectă simetrie în raport cu axa reală şi este suficientă utilizarea unui contur mai simplu, limitat de axa imaginară

pozitivă şi porţiunea superioară a semicercului de rază infinită (figura 1.27) pentru a determina dacă în semiplanul drept se află vreo rădăcină a ecuaţiei 1+GH(s)=0.

Criteriul Nyquist dă informaţii referitoare la diferenţa numărului de rădăcini şi de poli ai expresiei 1+GH. Dacă însă GH poate fi exprimat ca un cât de polinoame dezvoltate în factori (aşa cum se întâmplă deseori) şi cum polii lui 1+GH sunt identici cu polii lui GH, numărul de poli din semiplanul drept ai lui GH poate fi determinat prin analiza expresiei (1.125). În aceste condiţii, numărul de poli nN cu partea reală pozitivă poate fi uşor găsit. Numărul de înconjururi nN în raport cu punctul -1+j0 în planul GH(s) se poate determina din transformata conformă în planul GH. Prin urmare doi din termenii relaţiei (1.126) sunt cunoscuţi, astfel că numărul de rădăcini ale ecuaţiei 1+GH=0 în semiplanul drept al planului s rezultă imediat: nR=nN+nP (1.127). Ca o concluzie, utilizând caracteristicile de frecvenţă (diagramele Bode) corelate cu criteriul Nyquist de stabilitate, putem observa dacă vreo rădăcină a ecuaţiei caracteristice se află în semiplanul drept al planului s, şi deci dacă sistemul este sau nu stabil. Locul rădăcinilor şi caracteristicile de frecvenţă asociate cu criteriul Nyquist pentru determinarea stabilităţii sunt perfect complementare.

� Metoda locului rădăcinilor poate fi utilizată atunci când sistemul de reglare automată este proiectat pe baza funcţiilor de transfer determinate analitic.

� Metoda analizei în domeniul frecvenţei poate fi utilizată atunci când sistemul este studiat pe cale experimentală sau când se determină experimental anumite funcţii de transfer la frecvenţa care nu pot fi deduse analitic. Numărul de înconjururi nN, în raport cu

punctul -1 se determină trasând o dreaptă din acest punct cu o direcţie oarecare; nN este egal cu diferenţa dintre numărul de intersecţii într-un sens dintre caracteristica polară şi dreapta considerată, şi numărul de intersecţii de sens contrar.

1.4.5. CRITERIUL DE STABILITATE BAZAT PE CARA CTERISTICILE

AMPLITUDINE – FRECVENŢĂ ŞI FAZĂ – FRECVENŢĂ

Caracteristicile amplitudine-frecvenţă şi fază-frecvenţă pentru funcţii de transfer la frecvenţă pot fi utilizate în analiza stabilităţii unui sistem în două moduri. În primul rând, după cum am mai afirmat, aceste caracteristici pot fi folosite pentru trasarea caracteristicii polare şi apoi pentru a aplica criteriul Nyquist. Se poate însă formula şi un criteriu de stabilitate "echivalent", aplicabil direct la caracteristicile amplitudine-frecvenţă şi fază-frecvenţă. În anumite cazuri, ar putea fi necesară trasarea caracteristicii polare în scopul verificării utilizării caracteristicilor de frecvenţă. Acest test este cerut în mod frecvent pentru sistemele stabile condiţionat. Criteriul de stabilitate Nyquist se bazează pe numărul de înconjururi în sensul acelor ceasornicului a punctului -1+j0 din planul GH de către caracteristica polară. Dacă nP=0, aşa cum se întâmplă deseori, şi dacă curba caracteristicii polare înconjoară sau trece prin acest punct, sistemul are în mod sigur cel puţin o rădăcină în semiplanul drept sau pe axa imaginară şi deci este instabil sau stabil la limită. Punctul din diagramele Bode

(reprezentând caracteristicile de frecvenţă) care corespunde punctului critic -1+j0 din planul GH se poate determina calculând logaritmul lui -1, adică:

log10(-1)=log1e-j180o

=0(-j)180o (1.128) Punctul critic în diagrama Bode are o amplitudine de 0 dB şi o fază de K180o, în care K este un număr impar, ambele de aceeaşi frecvenţă. Dacă caracteristica polară a lui GH(jω) înconjoară punctul -1+j0, atunci modulul lui GH(jω) va fi mai mare decât unitatea atunci când unghiul de fază este de 180o. Prin urmare, înconjurarea punctului -1 în planul GH este echivalentă cu o amplitudine mai mare de 0 dB, atunci când unghiul de fază este de 180o în diagrama Bode. În aceste condiţii, ecuaţia caracteristică a sistemului are o rădăcină în jumatatea din dreapta a planului s şi sistemul este instabil, dacă nu există nici un pol în acelaşi domeniu. Dacă amplitudinea este de exact 0 dB, atunci când faza este de 180o, caracteristica polară din planul GH trece exact prin punctul critic -1+j0 şi rădăcinile se află pe axa imaginară.

1.5. SINTEZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATE

1.5.1. PROBLEMATICA SINTEZEI SISTEMELOR DE REG LARE AUTOMATE

Problematica majoră a sistemelor de reglare automate (SRA) o constituie, chiar proiectarea acestora, având ca punct de plecare specificaţiile privind procesul tehnologic în care urmează a fi folosit SRA, cât şi o serie de

condiţii tehnico-economice care se impun în respectiva aplicaţie. Condiţiile amintite se referă la indicii de calitate (performanţă) şi restricţiile în care sistemul proiectat va trebui să se încadreze.

O primă clasificare a metodelor de proiectare a SRA, face distincţia între:

� metode de proiectare directă (numite şi de sinteză), înţelegându-se prin acest termen elaborarea în mod deductiv, riguros a modelului matematic al dispozitivului de automatizare, pe baza performanţelor specificate; � metode de proiectare indirectă care aleg - pe baza consideraţiilor tehnice - elementele obligate a face parte din structura sistemului, după care se încearcă completarea structurii cu elemente care să asigure satisfacerea performanţelor cerute (încercări care se execută în cadrul unei proceduri iterative).

Cercetările în domeniul proiectării sistemelor s-au axat pe două direcţii: � stabilirea unor criterii de performanţă care

să caracterizeze cât mai edificator funcţionarea sistemului şi să permită totodată evidenţierea unei legături directe între valorile respectivilor indici de performanţă şi poziţia punctelor singulare (poli şi zerouri) ale sistemului în planul complex s.

� elaborarea unor metode eficiente de sinteză care să conducă la stabilirea structurii şi valorilor parametrilor unui dispozitiv de automatizare capabil să asigure configuraţia dorită a punctelor singulare ale sistemului.

1.5.2. METODA DE SINTEZĂ A SISTEMELOR DE REGLERE

AUTOMATE PRIN ÎNCERC ĂRI

Date fiind diversitatea şi complexitatea sistemelor automate, o metoda unică - general aplicabilă - de proiectare (constituind o adevarată procedură de sinteză) este greu de furnizat. În mod curent, se pot da numai nişte indicaţii generale de proiectare, ceea ce conduce la aşa-numita "metodă de sinteză a sistemelor de reglare automate prin încercări", al cărei algoritm de bază este redat în ANEXA 3. � Punctul de plecare în orice activitate de

proiectare a unui sistem automat îl constituie stabilirea indicilor de performanţă. Pe baza informaţiilor furnizate de către beneficiarul instalaţiei automate - funcţia de bază a sistemului (reglare sau urmărire), modelul procesului de automatizat, natura şi modul de variaţie al mărimilor perturbatoare, precizia cerută, viteza minimă şi maximă admise la variaţia ieşirii sistemului, ş.a. , proiectantul îşi propune valorile adecvate ale indicilor de performanţă. Pentru metoda de proiectare menţionată, se face apel la indici de performanţă locali (abaterea staţionară ε0, suprareglarea maximă σ, timpul de întârziere ti, timpul de creştere tc, timpul de liniştire tl). Întrucât "sinteza prin încercări" se face în domeniul frecvenţelor, va trebui ca, în funcţie de aceste date să se stabilească şi caracteristicile de frecvenţă.

� Cea dea doua etapă, constă în alegerea unei configuraţii - respectiv a schemei

structurale - a sistemului ce trebuie proiectat. Proiectantul alege elementele componente obligatorii pentru dispozitivul de automatizare, ţinând cont de o serie de factori tehnici şi economici (felul instalaţiei de automatizat, natura mărimilor de execuţie şi de ieşire a sistemului, condiţiile impuse asupra volumului şi greutăţii dispozitivului de automatizare, sursa de energie disponibilă pentru alimentarea instalaţiei automate, costul prevăzut pentru automatizare etc.), precum şi de performanţele stabilite. De menţionat, în acest context, este importanţa deosebită a traductorului de pe legătura de reacţie principală. În cadrul acestei etape, după alegerea configuraţiei sistemului, se procedează la stabilirea modelului matematic ce descrie funcţionarea sistemului, pe baza datelor furnizate de constructori privitor la elementele componente. Forma finală a modelului matematic este de obicei funcţia de transfer a sistemului în stare deschisă.

� A treia etapă în procesul de proiectare o constituie stabilirea valorilor coeficienţilor din modelul matematic. În cadrul acestei etape distingem următoarele situaţii:

� Unii coeficienţi reprezintă parametri obligaţi şi valorile lor sunt furnizate de către constructorul elementelor respective.

� Pentru unele elemente, constructorul oferă o gamă de valori constructive, proiectantul având de ales varianta care satisface cel mai bine performanţele stabilite în prima etapă de proiectare. � Unele elemente (de obicei regulatorul) sunt prevăzute cu posibilitatea reglării unor parametri; proiectantul va stabili deci valorile optime care satisfac performanţele impuse sistemului. � Pentru unele procese tehnologice, nici utilizatorul, şi nici constructorul nu cunosc valorile tuturor parametrilor instalaţiei de automatizat şi, în acest caz, este necesară o investigare pe bază de experimente a valorilor acestor parametri.

� Cea de a patra etapă este o etapă de analiză, prin care se verifică dacă, modelul stabilit (cu valorile alese pentru parametri ce pot fi fixaţi după dorinţă) satisface performanţele impuse în cazul semnalelor de intrare şi al perturbaţiilor considerate. Dacă aceste performanţe sunt satisfacute, procesul de

proiectare se consideră încheiat. Dar realizarea de prima dată a acestui caz este rară. În situaţia când performanţele specificate nu sunt satisfăcute, se fixează noi valori pentru parametrii reglabili (operaţie numită acordarea parametrilor) şi eventual se aleg şi alte valori pentru parametrii elementelor cu mai multe valori constructive opţionale - adică se reia etapa a treia, după care, în mod firesc, se face analiza de la etapa a patra. În caz că performanţele nu pot fi satisfacute prin ajustarea parametrilor reglabili sau prin alegerea unor elemente cu alte valori (fixe) ale parametrilor, se încearcă modificarea structurii sistemului prin introducerea unor elemente suplimentare (elemente de corecţie) - realizând iaraşi etapa a doua de proiectare. Fireşte, urmează etapa a treia şi o analiză a satisfacerii performanţelor cerute - etapa a patra, cu o eventuală revenire la etapa a treia, pentru reajustarea parametrilor reglabili.

1.5.3. AMPLASAREA ELEMENTELOR DE CORECŢIE CORECŢIA SERIE . CORECŢIA PRIN REAC ŢIE

Elementele de corecţie pot fi amplasate

în serie pe legătura directă (figura 1.30) sau pe o

legatură de reacţie secundară (figura 1.31).

Nu se poate da o regulă pentru alegerea uneia dintre aceste posibilităţi, această alegere

depinzând de condiţiile tehnico-economice

TRADUCTOR ELEMENT REGULATOR ELEMENT INSTALAŢIE DE INTRARE + DE CORECŢIE DE EXECUŢIE TEHNICĂ

TRADUCTOR DE REACŢIE

Fig. 1.30 - Corecţia serie

TRADUCTOR REGULATOR ELEMENT INSTALAŢIE DE INTRARE + + DE CORECŢIE TEHNICĂ ELEMENT ELEMENT DE CORECŢIE DE CORECŢIE ELEMENT TRADUCTOR DE CORECŢIE DE REACŢIE

Fig. 1.31 - Corecţii pe reacţii

particulare fiecărei aplicaţii. Unii din factorii ce trebuie luaţi în considerare pentru alegerea amplasării elementelor de corecţie sunt:

Procedurile de proiectare pentru un compensator serie sunt mai directe decât pentru un compensator pe reacţie - adică caracteristicile lui se calculează mai uşor în primul caz.

� Adesea, se obţine o durată mai mică a regimului tranzitoriu al sistemului corectat prin compensarea pe reacţie.

� Amplificarea elementelor de corecţie pe legătura directă, impune adesea, introducerea unui amplificator pentru adaptare sau pentru mărirea amplificării; astfel de amplificatoare nu sunt necesare în caz că elementul de corecţie se instalează pe o legătură de reacţie.

� În cele mai multe cazuri, elementele de compensare serie sunt reţele electrice simple (pasive) R, L, C - ieftine, uşor de introdus în sisteme şi simplu de modificat.

� Gradul de stabilitate şi de percizie a funcţionării sistemului, în condiţiile unor perturbaţii şi neliniarităţi pronunţate, se

pot îmbunătăţi prin compensare pe reacţie.

� În cazurile când utilizarea unui compensator serie impune în sistem un factor de amplificare mai mare decât la utilizarea unui compensator pe reacţie, se va ţine cont că, în prima variantă, zgomotele din sistem pot deveni deosebit de mari. De asemenea, se va ţine cont că se pot instala, pe reacţii, compensatoare cu caracteristica de frecvenţă care să atenueze zgomotele la frecvenţe mari.

� La aplicarea compensării pe reacţie este adesea necesar să se menţină tipul (egal numărul de poli în origine ai funcţiei de transfer în circuit deschis) sistemului, de bază, fapt ce implică existenţa în funcţia de transfer a compensatorului, a unui factor derivativ de ordin cel puţin egal cu tipul sistemului de bază.

� Elementul de corecţie serie sau cel de pe reacţie, rezultat în urma proiectării, poate să nu aibă o implementare comodă din punct de vedere tehnic, sau să fie chiar nerealizabil.