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5/24/2018 IntrdoducaoTeoriaDosNumeros.pdf

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INTRODUCAO ATEORIA DOS NUMEROS

Vtor Neves

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Departamento de Matematica

Universidade de Aveiro

2001


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IntroducaoO presente texto resulta da evolucao de um conjunto de notas de apoio a disci-

plina Introducao a Teoria dos Numeros do segundo semestre do terceiro ano dalicenciatura emEnsino de Matematicada Universidade de Aveiro.

Parafraseando um mestre, nao pretendemos escrever para autodidatas, mas simpara alunos com professor, pelo que deixamos para o leitor demonstrar por vezesexplicitamente como exerccio o que e manifestamente rotineiro (nao necessariamentetrivial...) ou nos parece estar fora do ambito de um primeiro curso sobre Teoria dosNumeros.

Nao sendo especialistas, limitamo-nos a aspectos classicos e elementares da Teoria,

de caracter mais formativo e menos tecnico: a orientacao foi de facto muito forte nosentido de preparar docentes para o ensino secundario.O captulo sobre extensoes do corpo dos numeros reais (Cap. 8) pretende recuperar o

estudo das construcoes do corpo real e suas extensoes mais importantes, que deixou de sefazer sistematicamente nas licenciaturas, mas continua a ser importante se se pretendeaprofundar o conceito de Numero. As extensoes nao arquimedianas sao afloradas demodo a alertar para a sua existencia e onde podem ser estudadas.

A finalidade principal do texto apoiar uma disciplina semestral obrigou a es-colhas nao muito agradaveis: por questoes de tempo nao se tem mostrado razoaveltratar cuidadosamente a equacao de Pell, aspectos de Teoria Analtica, aproximacaopor fraccoes contnuas, razes primitivas, criterios de primalidade ou Teoria Combi-natoria. Tais assuntos poderiam ser abordados se a filosofia subjacente a este textose modificasse; mesmo assim, nem toda a materia aqui descrita tem sido trabalhadadurante o semestre nas aulas teoricas ou teorico-praticas.

Utilizamos um mnimo de Algebra, de modo a construir um texto tao independentequanto possvel.

Os saltos na numeracao das paginas sao um expediente de organizacao tipograficaincompleta: podem incluir-se sempre mais paginas alterando muito pouco as referenciasde edicao para edicao.

Agradecemos aos Mestres Paulo Almeida e Rui Duarte e a Doutora Ana Foulquiea leitura cuidada das varias versoes preliminares destas notas bem como as sugestoesque apresentaram.


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NOTACAO

Salvo referencia em contrario, vari aveis representadas por letrasminusculas designam numeros inteiros.

Aveiro

Maio de 2001

Vtor Neves


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Indice

I Introducao a Teoria dos Numeros 1

1 Teorema Fundamental da Aritmetica 3

1.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Axiomatica de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Soma, ordem e produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 O maximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Teorema Fundamental da Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Congruencias 2012.1 Propriedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

2.2 Inversao I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2.3 Congruencias lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2.3.1 Inversao II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052.4 A funcao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

2.4.1 Sistemas reduzidos de resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

2.4.2 Teoremas de Euler, de Fermat e de Wilson . . . . . . . . . . . . 207

2.5 Congruencias polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102.5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2.5.2 Modulo primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2.5.3 Modulo potencia de base prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2132.5.4 Teorema Chines do Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3 Resduos quadraticos 3013.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

3.3 Lei de Reciprocidade Quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

3.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

4 Equacoes Diofantinas 401

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Indice ITN (2001)

4.1 Ternos Pitagoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

4.2 Somas de duas quartas potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

4.3 Somas de dois quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

4.4 Somas de quatro quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

4.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

5 Funcoes aritmeticas 501

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

5.2 Produto de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

5.3 Funcoes multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5045.4 Formula de Inversao de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

5.5 A funcao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

5.6 Numeros perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

5.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

II Numeros reais 601

6 Fundamentacao 603

6.1 Corpos ordenados e numeros racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

6.2 Uma visao construtiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6086.3 Extensoes proprias do corpo dos numeros racionais . . . . . . . . . . . . 610

6.4 Corpos ordenados completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

6.5 Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

6.6 Numeros transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

6.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

7 Dzimas e Fraccoes contnuas 701

7.1 Dzimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

7.2 Fraccoes contnuas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

7.3 Fraccoes periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7137.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

8 Extensoes 801

8.1 Os numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

8.2 Quaternioes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803

8.3 Extensoes ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

8.3.1 (In)Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

8.3.2 Parte standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

8.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

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Int. a Teoria dos Numeros Indce

III Aplicacoes 901

9 Criptografia 9039.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9039.2 Sistemas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9039.3 Codificacao Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9049.4 Criptografia de chave publica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9059.5 Assinaturas; ISBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9079.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908

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Indice ITN (2001)

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Parte I

Introducao a Teoria dos Numeros

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Captulo 1

Teorema Fundamental daAritmetica

1.1 Numeros Naturais

Se bem que se suponham conhecidas as propriedades algebricas elementares dos con-juntos de numeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, vamos enunciar pro-priedades basicas dos numeros naturais que serao demonstradas e utilizadas mais tardenuma construcao de outros conjuntos de numeros.

1.1.1 Axiomatica de Peano

Uma estrutura de numeros naturais e um ternoN = N, S, 1 satisfazendo asseguintes condicoes:

N1) N e um conjunto nao vazio

N2) S e uma funcao injectiva de N em N.

N3) Existe um elemento de N, designado por 1, que nao e imagem por S, isto e,S: N N\{1}.

N4) Princpio de Inducao.

Se 1 A N e S(n) Asempre que n A,entao A = N.

Um elemento S(n) designa-se por sucessor de n, a condicao N3 estabelece que 1nao e sucessore, de acordo com a condicao N2,dois elementos deN sao iguais sse temo mesmo sucessor.

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Teorema Fundamental ITN (2001)

Explorando as propriedades das estruturas de numeros naturais:

Teorema 1.1.1 Qualquer elemento deN\{1} e sucessor.

Por outras palavras: 1 e o unico elemento deN que nao e sucessor.

Dem. Defina-se A ={1} S(N) ={1} {S(n) : n N}. Por definicao de A, naoso 1 A mas tambem S(n) A seja qual for n N, em particular o mesmo acontecese n A. Pelo Princpio de Inducao, A = N, ou seja, o contradomnio S(N) de S eN\{1},em virtude de N3.

Pode tambem demonstrar-se que

Teorema 1.1.2 Todas as estruturas de numeros naturais sao isomorfas

Dem. As condicoes

I(11) =12

I(S1(x)) =S2(I(x)) se x N1definem uma funcao1 I : N1

N2. O Princpio de Inducao, o teorema 1.1.1 e o

facto de as funcoes sucessor serem injectivas garantem que I e um isomorfismo entre asestruturas.

Em face deste teorema, passaremos a designar os elementos de N por numerosnaturais. No entanto, ainda antes de nos fixarmos nos numeros naturais intuitivos,verificaremos que a axiomatica N1, N2, N3 e suficiente para definir a Aritmetica eordenar adequadamente a estrutura.

1.1.2 Soma, ordem e produto

Seja

N =

N, S, 1

uma estrutura de numeros naturais.

Definicao 1.1.1 A soma de dois numeros naturais m e n designa-se por m+ n edefine-se recursivamente do seguinte modo2:

m + 1= S(m) (m N)m + S(n) =S(m + n) (m, n N) (1.1)

1Veja-se o Teorema de Recursaoem [8, pp 39 e seg.]2Idem nota 1

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Int. a Teoria dos Numeros (2001) Teorema Fundamental

Tem-se entao

Teorema 1.1.3 Para quaisquer m, n N a soma m + n esta definida e N, + e um semigrupo comutativo que verifica a Lei do Corte, isto e, a con-dicao seguinte

m,n,p N m +p= n +p m= n. (1.2)

Dem. Esquematizamos apenas uma demonstracao da Lei do Corte. Defina-se paracadam, n N

Amn = {p N: m +p= n +p m= n}Tem-se1 Amn pela definicao de soma e pelo axioma N2. Sep Amn tem-sem + S(p) =n + S(p) sse S (m +p) =S(n +p) sse m +p= n +p sse m= n

respectivamente por (1.1), por Sser injectiva (N2) e porque p Amn. Mas entao1 Amn & p Amn S(p) Amn (p N)

Pelo Princpio de Inducao Amn = N.

Ha uma forma frequentemente mais conveniente de enunciar oPrincpio de Inducao, a saber:

Teorema 1.1.4 SeA N, 1 A en + 1 A sempre quen A, entao A= N.

A ordenacao de N pode fazer-se a custa da soma.O numero naturalmdiz-semenor queo numero naturaln escrevendo-sem < n

se existir p N tal que n= m +p.

Teorema 1.1.5 1. 1< n, seja qual forn N\{1}.2. N nao tem maximo.

3. A relacao < e de ordem total estrita emN, ou seja, e transitiva e para quaisquer

m, n N, da-se uma e so uma das seguintes condicoesm= n ou m < n ou n < m.

4. Todo o subconjunto nao vazio deN tem mnimo para


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Este enunciado e de facto equivalente ao axioma N4 e ao teorema 1.1.4 em estru-turas de numeros naturais, mas nao em conjuntos bem ordenados quaisquer.

E passamos a definicao do produto.

Definicao 1.1.2 Oproduto dos numeros naturaism e n, nota-sem n e define-serecursivamente3 por

m 1= m (m N)m (n + 1) =m n + m (m, n N) (1.3)

Como habitualmente, a notacao simplifica-se pondo

m n= mn (m, n N).Nestes termos vem

Teorema 1.1.7 Para quaisquer m, n N o produto mn esta bem definido e N, e um semigrupo comutativo com elemento neutro 1 que verifica a Lei doCorte, isto e, a condicao seguinte

m,n,p N mp= np m= n. (1.4)Retomando o teorema 1.1.2, pode acrescentar-se que

Teorema 1.1.8 A aplicacaoI do teorema 1.1.2 respeita a soma, o produto e a ordem,isto e, se+i,

i,


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Teorema 1.1.9 Propriedade ArquimedianaPara quaisquera, b N, existex Ntal quea < xb.

Dem. Tome-se a N. SejaA= {b N| a b ou [b < a &x N a < xb]}.

Em primeiro lugar 1A pois, ou a=1 ou 1< a, mas pelo teorema 1.1.5, existex N tal que a < x= x1.

Suponha-se agora que b A: se a b tambem a b+1 e b+1 A. Se b < a,ou b + 1= a e, de novo b + 1

A, ou b + 1< a; em qualquer caso, por hipotese, para

certox N tem-se a < xb < xb + x= x(b + 1) e consequentemente,b + 1 A.Pelo Princpio de Inducao A= N.

1.2 Aritmetica

1.2.1 O maximo divisor comum

Teorema 1.2.1 (Algoritmo de Euclides) Para quaisquer a e b, sea > 0 existemnumeros inteiros unicosd er tais que

b = da + r & 0 r < a (1.5)Dem.

UnicidadeFixe-sea >0. Suponha-se que da + r= da + r & 0 r, r < a. Tem-se

(d d)a = r r & |r r| < aSe d =d entao 1 |d d| e vem

a |d d|a = |r r| < ao que e impossvel. Portanto d= d e tambem r = r.

ExistenciaSe 0 b < a tem-se b = 0a+ b e pode fazer-se d = 0 & r = b. Se a < b, pelo

teorema 1.1.9, existe x N tal que b < xa. Tome-sed = min{x N|b < xa} 1 & r = b da

Se b < 0, pelo que acabamos de ver, existem d1 N e r1 N, sendo 0 r1 < a,tais queb= d1a + r1; tome-se d = d1 1 e r = a r1.

Um corolario de facil demonstracao:

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Corolario 1.2.1 Para quaisquer numeros inteirosa, b, sea = 0existemd, r Z unicostais que

b = da + r & 0 r < |a|

Dem. Aplique-se o teorema anterior 1.2.1 a|b| e|a| e ajuste-se adequadamente.

Os numeros d e r das proposicoes anteriores designam-se respectivamente por co-cientee resto da divisao de b por a.

Definicao 1.2.1 Dado a

= 0, b edivisvel por a (oua divideb oua edivisordeb

oub emultiplodea) se o resto da divisao deb pora e zero. Nota-sea | b sea divideb.

Repare-se que zero e divisvel por qualquer numero inteiro, no sentido em queparaqualquer a Z, existe d Z tal que 0 = da, nomeadamente d = 0; nao se define ocociente de zero por zero

Proposicao 1.2.1 A relacao | emZ e reflexiva e transitiva, mas nao e anti-simetricapois

a | b & b | a |a| = |b| (1.6)

Dem. Demonstramos apenas a equivalencia 1.6, no caso em quea = 0 =b.Suponha-se que b = ad & a= bd. Tem-sea = add donde dd = 1. Segue-se que

d= d = 1, caso em que a = b, ou d = d = 1, caso em que a= b.

Mais algumas propriedades importantes, cuja demonstracao fica ao cuidado doleitor.

Teorema 1.2.2 Para quaisquera,b, c Z,1. [a | b & a | c] x, y a | (bx + cy);2. em particulara

|b

x a

|bx.

3. [0< a & 0< b & a | b] a b.

A alnea 1. do teorema anterior e de facto equivalente a qualquer das alneas docorolario seguinte.

Corolario 1.2.2 Para quaisquera,b, c, x, y Z1. [a | b & a |(bx + cy)] a |c.2. [a | b & a | (bx + c)] a | c.

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Definicao 1.2.2 O numero inteirod emaximo divisor comumde a e b e designa-sepor mdc(a, b), se satisfaz simultaneamente as seguintes condicoes:

1. d >0

2. d | a & d | b3.c [[c | a & c | b] c | d]

Se mdc(a, b) = 1 diz-se que a eb sao primos entre si.

Teorema 1.2.3 Sea = 0 oub = 0, entaomdc(a, b) = min{z= ax + by| x, y Z & z >0}, (1.7)

pelo que o maximo divisor comum de dois numeros inteiros nao simultaneamente nulosexiste e e unico.

O que, em particular, tem como consequencia

Corolario 1.2.3 Sed= mdc(a, b), entao existemx, y Z tais qued= ax + by.

Dem. (Teorema 1.2.3) Seja

S = {z= ax + by| x, y Z & z >0}

Comoa = 0 ou b = 0,S= pois 0< a2 + b2 =aa + bb; assimStem mnimo (teorema1.1.5), digamos d = min S = ax0 +by0 > 0, para certos x0, y0; d verifica entao acondicao 1 da definicao.

Vamos ver que d| a. Ponha-sea = qd+r, de acordo com o teorema 1.2.1, sendo0 r < d; repare-se que,

r = a qd = a(1 qx0) + b(qy0) S,

portanto, ser >0, r teria de ser maior ou igual ao mnimo deS, o que nao e o caso. A

troca dea porb neste racicnio, permitiria concluir que d | be a condicao 2 da definicaotambem esta verificada.

Por outro lado, se c| a & c| b, como d = ax0+ by0, pelo teorema 1.2.2, c| d,verificando-se a condicao 3.

Quanto a unicidade: utilize-se o que acabamos de ver e a condicao 1.6 para concluirque se d verifica as mesmas condicoes que d, entao d = d.

Algumas propriedades do maximo divisor comum.

Teorema 1.2.4 Para quaisquera, b Z

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1. mdc(a, b) = 1 x,y ax + by= 12. mdc( amdc(a,b) ,

bmdc(a,b)) = 1

3. [a | bc & mdc(a, b) = 1] a | c4. a | bc amdc(a,b)| c5. mdc(na,nb) = n mdc(a, b) se n >0.

Dem. Alnea 1.

() e um caso particular do corolario 1.2.3.() Como 1 e o menor inteiro positivo, se 1 = ax+ by , necessariamente 1 =min{z = ax + by| x, y Z & z >0} e consequentemente, 1 =mdc(a, b), pelo teorema1.2.3.

Alnea 2. Observe-se qued = ax + by, para certosx, ye divida-se pord em, ambosos membros.

Alnea 3. Comomdc(a, b) = 1, para certos x,y, 1 =ax + by de onde se segue quec= acx + bcy. Comoa | bc, para certo qvemc= acx + aqy = a(cx + qy) e a | c.

Alnea 4. Esquematicamente:

a | bc bc= qa cd= cax + cby= cax + qay = a(cx + qy);

ou ainda c = ad (cx + qy) e ad| c.Alnea 5. Observe-se que se n > 0 entao min{nz|z A} =n minA.

1.2.2 Teorema Fundamental da Aritmetica

Definicao 1.2.3 Um numero inteiro p diz-seprimo se verificar simultaneamente asduas condicoes

1. p > 1

2.

aZ [a

|p

[|a|

=p ou|

a|

= 1]] .

Um numero que nao seja primo nem1 diz-se composto.

A propriedade mais importante dos numeros primos e talvez a seguinte:

Lema 1.2.1 (de Euclides)Sep e n umero primo ep | ab, entao p | a oup | b.

Dem. Se p| ab, entao, pelo teorema 1.2.4, pmdc(p,a)| b; ora se p|a, como p e primomdc(p, a) = 1, consequentemente p | b.

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Lema 1.2.2 Se n > 1 e p = min{x > 1| x| n}, entao p e primo. Em particular,qualquer numero natural maior que1 tem divisores primos.

Dem. Ou bem que n e primo e, nesse caso p= n, ou bem que nao; neste caso n temdivisores maiores que 1 e distintos de si proprio, o mnimo dos quais e p; ora p naopode ter divisores distintos de si proprio e de 1, pois qualquer deles seria um divisor den, maior que 1 e menor que p, que nao existe por definicao de p; logop e primo.

E passamos a demonstrar o

Teorema 1.2.5 (Fundamental da Aritmetica)Sen >1, existem numeros primos distintos dois a doisp1, , pk e numeros nat-urais1, , k de modo que

n =k

i=1

pii . (1.8)

Esta representacao den e unica a menos de uma permutacao dos factores.

Dem. Tome-se um numero natural n.I. Existem numeros primosp1, , pm tais quen=

mi=1pi.

Dem. Seja n >1. Do lema anterior concluimos que n tem divisores primos.Defina-se uma sequencia de numeros primos da seguinte forma

p1 = min{x >1|x | n} (1.9)

pi+1 = min{x >1|x ni

j=1pj} se existir (1.10)

Repare-se que pi+1 so nao existe se nij=1pj

= 1, isto e, se n =i

j=1pj , como se

pretende verificar que acontece.Por outro lado,

mj=1pj| n desde que existam ospjdefinidos como acima (proposicao

1.2.1) e, de facto,m

j=1pj n.Observe-se ainda que, sendo os numeros primos maiores ou iguais a 2, vem

2m m

j=1pj n.

Como 2m > n, para m suficientemente grande, concluimos que os numeros primospi sao em numero finito, em particular, para certo i, pi existe, mas pi+1 nao. Comoobservamos acima,n=

ij=1pj.

Nao e difcil mostrar que pj pj+1 (1 j < i), pelo que associando da esquerdapara a direita primos iguais, se obtem

n =k

i=1

pii

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com bases pi em ordem crescente.Resta ver que todos os divisores primos de n foram encontrados. Suponha-se que p

e primo e p | n. Pelo lema 1.2.1, p tera de dividir um dos pi, sendo portanto um deles.

Ha muitos numeros primos.

Corolario 1.2.4 (de Euclides) O conjunto dos numeros primos e infinito.

Dem. Vamos ver que, seja qual for o conjunto de numeros primos{

p1

,

, pk}

existeum numero primo que lhe nao pertence.

Dados primos p1, , pk, seja n= p1 pk+ 1. De acordo com o Teorema Funda-mental,n tera pelo menos um divisor primo. Ora como nenhum dos pi divide n, poispi|p1 pk mas pi|1, esse primo nao pode ser um deles.

Os numeros primos estao esparsamente distribuidos

Corolario 1.2.5 Os intervalos entre numeros primos consecutivos sao arbitrariamentegrandes.

Dem. Para qualquer n N, a sequencia(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, , (n + 1)! + (n + 1)

nao contem numeros primos, pois k | (n + 1)! + k se 2 k n + 1.

Onde parar na deteccao dos divisores primos de um dado inteiro?

Teorema 1.2.6 Todo o numero composton >0 tem um divisor primo menor ou iguala

n.

Dem. Se n e composto tem pelo menos dois divisores primos, possivelmente iguais,caso contrario seria primo pelo Teorema Fundamental; se p1, p2sao primos que dividemn, algum nao e maior que

n, pois p1, p2 >

n n p1p2 > (n)2 = n, o que e

impossvel.

Um resultado semelhante e o corolario seguinte do lema de Euclides (1.2.1) e doteorema 1.2.2

Teorema 1.2.7 (de Gauss) O produto de dois numeros naturais menores que umnumero primo nao e divisvel por este ultimo.

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Quanto a distribuicao dos numeros primos, o seguinte teorema e um dos mais im-portantes de Dirichlet; a sua demonstracao e muito difcil e esta fora do ambito dopresente texto; o leitor interessado pode encontrar uma demonstracao por exemplo em[3], onde todo o captulo 7 lhe e dedicado.

Teorema 1.2.8 (de Dirichlet) Se a e b sao numeros naturais primos entre si, aprogressao aritmetica(na + b)nN tem uma infinidade de termos que sao numeros pri-mos.

Tendo-se observado que um numero primo mpar e de uma das formas 4k+ 1 ou4k

1 (k

Z), uma ligeira adaptacao da demonstracao do corolario 1.2.4 permite no

entanto demonstrar facilmente o seguinte:

Teorema 1.2.9 Existe uma infinidade de numeros primos da forma 4k 1(k Z).Dem. Consideremos um conjunto finito de numeros primos distintos da forma 4k 1,digamos C := {p1, , pn} e defina-se

N = 22p1 pn 1.Em primeiro lugar observe-se que N e da forma 4k 1 e maior que qualquer doselementos de C, portanto se for primo nao esta em C, i.e., C nao contem todos os

numeros primos da forma em estudo; se Nfor composto e p for um seu divisor primo,entao p tambem nao pode ser qualquer dos elementos de C; deixa-se como exercciomostrar quealgumdivisor primo de N e da forma 4k 1 e, como acabamos de ver, naoesta emC.

Em suma: Cnao contem todos os numeros primos da forma 4k 1.

Nao e tao simples demonstrar que o teorema anterior vale com 4k+ 1 em vez de4k 1; fa-lo-emos mais tarde (vide corolario 2.4.3).

1.3 Exerccios

1. Demonstre que a adicao e a multiplicacao em N sao associativas, sao comutativase verificam a Lei do Corte.

2. Mostre que se f : N N e estritamente crescente, entao para qualquer n N,n f(n).

3. Demonstre o seguinte teorema.

Princpio de Inducao Completa: SeA e um subconjunto deN talque, seja qual for o n N, n A sempre que{k N : k < n} A,entao A= N.

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4. Suponha dadas duas funcoes g : N N e h : N3 N. Admita que existe umafuncAo fque verifica as formulas de recorrencia presentes nas alneas seguintese prove a sua unicidade.

(a) (Recorrencia) Defina f : N2 N tal que f(1, n) =g(n) (n N)f(m + 1, n) =h(m,n,f(m, n)) (m, n N)

(b) (Recorrencia elementar)Suponha dados a N e h: N2 N defina umafuncao f : N N por

f(1) =af(n + 1) =h(n, f(n)) (n N)

5. Mostre que, para qualquern N,

(a)n

i=1

i=n(n + 1)

2 ;

(b)n

i=1i2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6 ;

(c)n

i=1

i3 =

ni=1

i

2.

6. Encontre uma formula de recorrencia paran

i=1 ip (n, p N).

7. Mostre que, para quaisquera, b Z e n N,

(a) an bn = (a b)n1i=0

aibn1i;

(b) an + bn = (a + b)

n

1

i=0

(1)ian1ibi, se n e mpar;

(c) (a + b)n =n

i=0

n

i

aibni;

sendo o coeficiente binomialn

i

definido por

n

i

=

n!

i!(n i)! (n N e 0 i n).

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8. O coeficiente multinomial e o numero n

i1i2ik

definido por

n

i1i2 ik

=

n!

i1!i2! ik! ,

comi1+ i2+ + ik =n (k, n N, i1, . . . , ik Z+0).

(a) Mostre que os coeficientes multinomiais sao numeros inteiros.

(b) Mostre que, para quaisquern, k N e a1, . . . , ak Z,

ki=1

ain

=

i1+i2++ik=n

n

i1i2 ik

ai11ai22 aikk.

9. Mostre qued | a se e so se d | |a|.10. Mostre que se a | c, b | c e a e bsao primos entre si, entao ab | c.

11. Sejama,b,c e d inteiros tais que b = 0,d = 0,mdc(a, b) = 1 =mdc(c, d) e ab

+c

dtambem e inteiro. Mostre que|b| = |d|.

12. Ummnimo m ultiplo comumde dois numeros inteiros positivosaeb e um numerointeirommc(a, b) que verifique as seguintes condicoes:

mmc(a, b)> 0; a | mmc(a, b) e b | mmc(a, b); para todok Z, se a | k e b | k, entaommc(a, b) | k.

(a) Mostre quemmc(a, b) existe e e unico. De facto

ab= mdc(a, b)mmc(a, b)

(b) Mostre que | e uma relacao de ordem parcial em N para a qual

mdc(a, b) =inf{a, b} & mmc(a, b) =sup{a, b}13. (a) Mostre que os factores de base prima da representacao demdc(a, b) (Teorema

Fundamental) sao os factores de base prima comum a a e a b tomados como menor expoente.

(b) Mostre que os factores de base prima da representacao de mmc(a, b) (Teo-rema Fundamental) sao todos os factores de base prima de a ou de b, sendoos factores de base comum tomados com o maior expoente.

14. Algoritmo de Euclides. Dadosa, b Z comb a >0, mostre que o algoritmodefinido pelas relacoes de recorrencia seguintes termina com r= mdc(a, b).

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a= r0; b= q1r0+ r1, 0 r1< a; se ri> 0 (i 1), entao ri1 = qi+1ri+ ri+1, 0 ri+1< ri; se ri= 0, entao r = ri1 e o algoritmo termina.

15. Comprimento do algoritmo de Euclides.Considere o algoritmo descrito noexerccio anterior e seja rn = mdc(a, b). Mostre que:

(a) b 2r1 e a 2r2;

(b) ri 2ri+2 (i 1);(c) b 2n/2.

Qual e o numero maximo de passos se b 10p?16. Determinemdc(a, b) e escreva-o como combinacao linear deaebpara os seguintes

pares:

(a) (21, 77), (12, 128), (54, 640), (28, 640); nesta alnea verifique a sua respostautilizando a definicao de maximo divisor comum.

(b) (22587, 534), (9800, 180), (1587645, 6755).

17. Determine o mnimo multiplo comum de cada um dos pares de numeros consid-erados no exerccio anterior.

18. Sejama, b e c numeros inteiros nao simultaneamente nulos.

(a) Mostre que equacao diofantina em x e y , ax + by= c tem solucao se e so semdc(a, b) | c.

(b) Mostre que se (x0, y0) e uma solucao da equacao da alnea anterior e d =mdc(a, b), entao todas as solucoes sao da forma

x= x0+b

dk & y= y0 a

dk (k Z).

19. Determine as solucoes inteiras das equacoes Diofantinas seguintes:

(a) 5x + 7y= 14;

(b) 4x + 6y= 24;

(c) 17x + 34y= 25;

(d) 56x + 634y= 168;

(e) 1521x + 1955y+ 455z = 221;

(f) 2x + 3y+ 5z= 7.

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20. Determine duas fraccoes cujos denominadores sejam 12 e 16 e cuja soma seja10

48.

21. Numa papelaria vendem-se dois tipos de canetas por 110 e 70 escudos respectiva-mente. Ao fim de um dia a importancia total recebida pela venda dessas canetasfoi 6570 escudos. Qual e o menor numero possvel de canetas vendidas? E qual omaior?

22. Determine todas as solucoes inteiras dos sistemas de equacoes seguintes.

(a) 2x + 3y 4z = 96x + 9y+ 3z = 12

(b)

3x 2y+ 6z = 314x + 28y 21z = 35

(c)

4x + 5y+ 6z = 117x + 14y+ 21z = 35

(d)

9x + 3y+ 15z = 3

5x 6y+ z = 2(e)

3x + 2y 5z = 106x + 12y+ 4z = 14

23. Numeros de Fermat. Um numero da forma Fk = 22k + 1 para algum k N0

diz-se um numero de Fermat. F0, F1, F2, F3, F4 sao primos. Euler mostrou em1732 que F5 nao e primo. (F5= 4294967297 = 641 6700417.)(a) Mostre que se 2n + 1 e primo, entao n e potencia de 2.

(Sugestao: comece por estudar o caso em que n e mpar).

(b) Mostre que numeros de Fermat distintos sao primos entre si.

(c) Deduza da alnea anterior que ha uma infinidade de primos.

24. Numeros de Mersenne. Um numero da forma Mp = 2p 1, com p primo,

diz-se um numero de Mersenne.

Mostre que se n > 1, a >1 e an 1 e primo, entaoa= 2 e n e primo.

25. Suponha que p e um numero primo.

(a) Mostre quep e o maximo divisor comum dos coeficientes binomiais

pi

, onde

1 i p 1.(b) Mostre que para quaisquer a, b Z, ap bp e p sao primos entre si ou

p2 | (ap bp).26. Mostre todos os numeros inteiros exceptuando as potencias de 2 sao somas de

inteiros consecutivos.

27. Mostre que so a primeira soma parcial da serie harmonica e inteira.

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Captulo 2

Congruencias

2.1 Propriedades basicas

Definicao 2.1.1 Sejan um numero natural maior que1. Dois numeros inteirosx, ey dizem-secongruentes modulo n sen|(x y). Sex e congruente comy modulon, nota-se

x y (mod n)

Repare-se que a definicao tambem tem sentido com n = 1, neste caso todos osnumeros inteiros sao congruentes entre si e por isso eliminamo-lo de incio.

Outra formulacao

Teorema 2.1.1 Dois numeros inteirosx, y sao congruentes (mod n) se e apenas sea divisao de cada um deles porn tem o mesmo resto.

Dem. Pondox = dn + rey = qn + scom 0 r, s < n, sen | (x y) entaon | (r s);como

|r

s|

< n tera de ser r

s= 0. A recproca verifica-se imediatamente.

Demonstra-se sem dificuldade que

Corolario 2.1.1 A relacao de congruencia e de equivalencia emZ e compatvelcom a soma e o produto, ou seja se a b (mod n) e c d (mod n), entao a+ cb + d (mod n)eac bd (mod n).

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Congruencias ITN(2001)

E daqui se deduz que, mais geralmente,

Corolario 2.1.2 Seai bi (mod n) (1 i k), entao1.k

i=1 ai k

i=1 bi (mod n)

2.k

i=1 ai k

i=1 bi (mod n)

3. Se f e um polin omio de coeficientes em Z (f Z[x]) e a b (mod n), entaof(a) f(b) (mod n)

Note-se que,n|

m se e apenas se m

0 (mod n).

Exemplo 2.1.1 Dados dgitos a0, , ap {0, 1, , 9}, sejaap a0= ap10p + + a110 + a0;

entao

ap a0p

i=0

ai (mod3).

pois, por um lado 10 1 (mod3), por outro, se f(x) =apxp + + a1x + a0 entao

ap a0= f(10) f(1) =p

i=0

ai (mod 3).

Por outras palavras: um numero inteiro representado na base 10 e divisvel por 3 se eapenas se a soma dos seus algarismos o for.

Por exemplo 3 |7523426, pois 7+5+2+3+4+2+6 = 29 2+ 9 = 11 2 (mod3)e 2 0 (mod3).

Observando um pouco melhor7 + 5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 6 = (7 + 5) + 2 + (4 + 2) + 6 2 (mod3)

Teorema 2.1.2 Qualquer numero inteiro e congruente (mod n) com um e so um doselementos de{0, 1, , n 1}.

Dem. Dados n N & x Z, pelo teorema 1.2.1, existem qe r unicos tais quex = qn + r 0 r < n;

portanto x r (mod n) & 0 r n 1. A unicidade resulta doteorema 2.1.1.

Um conjunto{r1, , rn} diz-se um sistema completo de resduos modulo n,se para cada numero inteiroxexiste um e um sori tal que x ri (mod n)

Exemplo 2.1.2{3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} e{7, 8, 5, 10, 3, 19, 13} sao sistemas com-pletos de resduos modulo 7.

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Int. a Teoria dos Numeros (2001) Congruencias

Teorema 2.1.3 Todos os sistemas completos de resduos para um mesmo modulo temo mesmo numero de elementos.

Dem.Consideremos um sistema completo de resduos, digamosR = {r1, r2, , rk}, para

um modulo fixo n >1; seja ainda R0= {1, 2, , n1}. Como vimos acima, no teorema2.1.2, para cada j = 1, , k, existe um e so um i(j)R0 tal que rj i(j) (mod n),portanto R0 tem pelo menos o mesmo numero de elementos que R; por outro lado, Re tambem um sistema completo de resduos e, por definicao, para cada elemento de R0existe um e so um elemento de R com o qual aquele e congruente (mod n), donde R

tem pelo menos tantos elementos como R0. Em suma: R e R0 tem de facto o mesmonumeron de elementos.

2.2 Inversao I

A congruencia em x 2x 1 (mod 4) nao tem solucao, porque os multiplos de 4 saopares e 2x 1 e sempre mpar; mas 2x 1 (mod 5) tem solucao 3.

Definicao 2.2.1 Um inverso aritmetico dea (mod n) e um n umero inteiro a tal

queaa aa 1 (mod n).

Teorema 2.2.1 O numero a Z \ {0} tem inverso aritmetico (mod n) se e apenassemdc(a, n) = 1.

Dem. O teorema 1.2.4 diz, em particular, que mdc(a, n) = 1 se e apenas se existemx, y Z tais que ax+ ny = 1. Por um lado esta ultima equacao indica que ax1 (mod n) e consequentemente x e um inverso aritmetico de a (mod n), que existe semdc(a, n) = 1;por outro lado, de aa 1 (mod n), deduz-se aa= dn + 1, para algumd Z, pelo que aa+ (d)n= 1 e a e n sao primos entre si.

Veremos adiante que dois inversos aritmeticos de um mesmo numero para o mesmomodulo sao congruentes entre si para esse modulo.

Teorema 2.2.2 Semdc(a, n) =d & a = 0, entao

ax ay (mod n) x y mod( nd

)

Dem. () Sex y mod( nd ), entao, para certo q Z,x y= qnd , pelo que ax ay=qand =q

ad n, ou seja ax ay (mod n).

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() Se ax ay (mod n), entao a(x y) = qn para algum q Z; segue-se quead (x y) = nd q; ora ad e nd sao primos entre si (teorema 1.2.4), pelo que ad| q, vindox y= qa/d n, isto e x y (mod n).

Observando que, de acordo com o teorema 2.2.1, a (mod n) existe se e apenas semdc(a, n) = 1, deduz-se que

Corolario 2.2.1 Sea tem inverso aritmetico (mod n), entao

ax

ay (mod n)

x

y (mod n).

E ainda

Corolario 2.2.2 Sep e primo ea 0 (mod p), entao a tem inverso (mod p).Dem. Note-se que a 0 (mod n) mdc(a, p) = 1.

2.3 Congruencias lineares

Uma congruencia diz-se linearse for da forma

ax b (mod n) (2.1)Se a = 0, esta congruencia tem solucao x se e apenas se n | b e neste caso qualquer

x Z e solucao. Assim consideraremos apenas congruenciasax b com a = 0. (2.2)

Teorema 2.3.1 Sea tem inverso a (mod n), entao

ax b (mod n) x ab (mod n).Dem. Suponha-se que aa 1 (mod n).

() Se ax b (mod n), entao aax ab (mod n). Ora aax x (mod n),portantox ab (mod n).

() Se x ab (mod n), analogamente se obtemax aab b (mod n)

e daax b (mod n).

Teorema 2.3.2 Suponha-se quea0 (mod n). A congruencia (2.1) tem solucao see apenas semdc(a, n) | b.Sed = mdc(a, n) | b,ead e um inverso de ad (mod n), entaoas seguintes condicoes sao equivalentes

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1. A congruencia (2.1)

2. x ad

bd

(mod nd )

3. x = ad

bd

+ k

nd

0 k d 1 (mod n)

Dem. Seja d = mdc(a, n).

I) Existencia de solucao

() Se ax b (mod n) entao n | (ax b). Como d | n & d | a, tem-se d | (ax b)e d | a, portantod | b(corolario 1.2.2).

() Existem x0, y0 tais que x0a+y0n = d. Por outro lado, por hipotese existe ktal que b = kd, assima(x0k) + n(y0k) = kd = b

isto e a(x0k) b (mod n). Faca-sex = x0k.II) Determinacao da solucao.

HIPOTESE:ad

ad

1 (mod nd ) & d | b.Considere-se a seguinte sequencia de congruencias equivalentes, observando que2e

3o sao obviamente:

ax b(mod n)d

a

d

x

d

b

d

(mod n)

a

dx b

d (mod

n

d) (teorema 2.2.2).

2.3.1 Inversao II

Dados a = 0 e n >0 tais que mdc(a, n) = 1, vimos na demonstracao do teorema 2.2.1que a (mod n) e coordenada x da solucao (x, y) da equacao diofantina ax+ny = 1,pelo que, determinado um a, todos os outros sao da forma a+ kn (k Z), ou seja

Teorema 2.3.3 Todos os inversos (mod n) de um mesmo numero inteiro nao nulosao congruentes (mod n) entre si.

E ainda

Teorema 2.3.4 Sea = 0 & mdc(a, n) = 1 entao a a (mod n).

Dem. A equacao aa+ ny= 1 diz-nos que a e inverso (mod n) de a, isto e, a e uma.

O teorema anterior diz-nos que todos os inversos (mod n) de a sao congruentes(mod n). Consequentemente a a (mod n).

Uma outra forma de enunciar o teorema 2.2.1 e a seguinte:

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Teorema 2.3.5 O numeroa Z\{0} tem inverso (mod n)se e apenas se e congruentecom algum dos resduos (mod n) que sao primos comn.

Este resultado obtem-se muito facilmente do seguinte

Lema 2.3.1 Sea = 0 & a a (mod n) & mdc(a, n) = 1, entao mdc(a, n) = 1.Dem. Tem-se a a = kn & ax+ ny = 1 para alguns k ,x, y Z. Assim ax =ax + kxn & ax + ny= ax + (kx + y)n ou seja 1 =ax + ny & mdc(a, n) = 1.

2.4 A funcao de Euler

Definicao 2.4.1 A funcao de Euler: N N e dada por(n) = numero de numeros naturais de1 an que sao primos comn.

Exemplo 2.4.1 SejaPn ={x 0| x < n & mdc(x, n) = 1}. Designando o numerode elementos de um conjunto C por#C, tem-se entao (n) = #Pn

1. (1) = #{1} = 12. (n) =n 1 se e apenas sen e primo.3. (2725) = 2724 (Porque?)

2.4.1 Sistemas reduzidos de resduos

Definicao 2.4.2 Um sistema reduzido de resduos (mod n) e um conjunto denumeros inteirosa1, , ak primos comn, tais que para qualquerx Z, semdc(x, n) =1 entao existe um e um so i tal quex ai (mod n).

Teorema 2.4.1{1, 2, , n 1} e um sistema reduzido de resduos (mod n) se eapenas sen e primo.

Dem. (se) resulta da definicao de numero primo.

(apenas se) Se n e composto tem pelo menos um divisor proprio, digamos d1, talque 1 < d1 < n; mas entao 1 d1 n 1 & mdc(d1, n) = d1= 1, portanto{1, 2, , n1} tem elementos que nao sao primos comn, consequentemente nao e umsistema reduzido.

Teorema 2.4.2 Para cada n, todos os sistemas reduzidos de resduos (mod n) tem(n) elementos.

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Dem. Seja Pn definido como no exemplo 2.4.1.

1. Pn e um sistema reduzido (mod n) porque

(a) Qualquer inteiro e congruente (mod n) com algum elemento de Sn ={0, 1, , n 1}, em particular um inteiro primo com n, cujo congruenteemSn e primo comn(teorema 2.3.5), logo esta emPn.

(b) Dois elementos distintos de Pn nao sao congruentes entre si. Assim

I. cadax primo comn e congruente com um e um so elemento dePn.

2. Dado um sistema reduzido de resduos (mod n), digamos Pn, a proposicao Iacima afirmaa funcao que associa a cada resduo emPn o seu unico congruenteemPn e bijectiva.

2.4.2 Teoremas de Euler, de Fermat e de Wilson

Teorema 2.4.3 (de Euler)Para qualquera Z \ {0} e qualquern N \ {1}

mdc(a, n) = 1

a(n)

1 (mod n).

O corolario seguinte e imediato:

Corolario 2.4.1 Para qualquera Z \ {0} e qualquern N \ {1}

mdc(a, n) = 1 a a(n)1 (mod n).

Dem. (do teorema 2.4.3) Suponha-se a = 0 & mdc(a, n) = 1.I) Se 0 =r & mdc(r, n) = 1, entaomdc(ar,n) = 1.

Dem. Seja d = mdc(ar,n) nas condicoes da hipotese. Se d > 1, entao existe umnumero primo p tal que p

| d. Segue-se que p

| ar & p

| n, logo p

| a & p

| n ou

p | r &p | n; no primeiro casomdc(a, n) p >1, no segundo mdc(r, n) p > 1, o quecontradiz as hipoteses.

II) Seja{r1, , r(n)} um sistema reduzido de resduos (mod n), e defina-seP = {ar1, , ar(n)}.

Todos os elementos de P sao primos com n, pelo que vimos em I. Por outro lado,como os ri nunca sao congruentes entre si, o mesmo acontece com os ari (teorema2.2.2). Segue-se que

cadaari e congruente com um e so um dosrj, digamosrj ar(j), em que e uma permutacao de{1, , (n)}.

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III) Tem-se entao(n)i=1

(ar(i)) (n)i=1

ri (mod n)

ou seja

a(n)(n)i=1

r(i)(n)i=1

ri (mod n)

ou

a(n)(n)

i=1

ri

(n)

i=1

ri (mod n)

Pelo teorema 2.2.2, ja que mdc((n)

i=1 ri, n) = 1, conclui-se a(n) 1 (mod n).

Teorema 2.4.4 (Pequeno Teorema de Fermat) Se p e primo e p|a, entaoap1 1 (mod p).

Dem. Basta observar que (p) =p 1.

Teorema 2.4.5 (de Wilson)Sep e primo, entao (p 1)! 1 (mod p)Dem. Se p = 2, tem-se (p 1)! = 1 1 (mod 2). Se p = 3, tem-se (p 1)! =2 1 (mod 3). Suponha-se quep > 3. Sabemos que Pp ={1, 2, , p 1} e umsistema reduzido de resduos (mod p). Observando que qualquer numero e o seu inverso(mod n) sao primos com n e finalmente considerando o teorema 2.3.4:

Cada r Pp tem um inverso (mod p) rp Pp e (rp)p = r. Por outro lado, ser= rp, tem-se r2 =rrp 1 (mod p) e p | (r2 1) = (r+ 1)(r 1); logo p | (r+ 1) oup| (r 1), isto e, r 1 (mod p) ou r 1 (mod p) ou ainda r p 1 (mod p) our 1 (mod p).

Concluimos quer= rp

(r= 1 ou r= p

1) (1

r

p

1);

donde os pares {r, r} sao conjuntos nao singulares e definem uma particao de {2, , p2}, tendo-se

p2i=2

i =

p32

i=1

riri 1 (mod p)

Segue-se que

(p 1)! = 1 p2i=2

i (p 1) p 1 (mod p)

isto e (p 1)! 1 (mod p).

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O lema seguinte e extremamente simples, mas tem uma consequencia nao trivial.

Lema 2.4.1 Se p e um n umero primo mpar e (1) p12 1 (mod p), entao p1 (mod 4).

Dem. Suponha-se entao que p e um numero primo mpar e que (1) p12 1 (mod p);queremos mostrar que p12 e par. Se

p12 fosse mpar, viria11 (mod p), pelo que

p dividiria 2, o que nao e o caso; portanto p12 e par.

A consequencia:

Teorema 2.4.6 Sejap um primo mpar. A congruenciax2 1 (mod p)tem solucaose e apenas sep 1 (mod 4); neste caso

p12

! e uma solucao.

Dem. (apenas se) De x2 1 (mod p) deduz-se

xp1 = (x2)p12 (1) p12 (mod p)

e conclui-se 1 (1) p12 (mod p); pelo lema 2.4.1, p 1 (mod 4).(se) Se p 1 (mod4), entao p12 e par. Por outro lado

(p 1)! =

p 12

!

p p 12

(p 2)(p 1).

Pelo Teorema de Wilson,

1 (1) p12

p 12

!

2(mod p)

Como p12 e par,

1

p 12

!

2(mod p)

como pretendamos verificar.

E consequentemente

Corolario 2.4.2 Sep e primo mpar e para algum n umero inteirox p | (x2 + 1), entaop 1 (mod 4).

E mais um corolario (compare-se com o teorema 1.2.9).

Corolario 2.4.3 Ha uma infinidade de numeros primos da forma 4k + 1(k Z), i.e., congruentes com1 para o modulo 4.

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Dem. Vamos mostrar que seja qual for o numero natural n, existe um numero primomaior quen da forma pretendida. Seja entaon um numero natural maior ou igual a4 para evitar trivialidades e defina-se

N = (n!)2 + 1.

Seja p o menor divisor primo de N. Se N e primo, N=p, e ja da forma pretendidae maior que n. Se N nao e primo, p > n pois N nao e divisvel por qualquer numeromenor quen;p >2 porque N e mpar e p | (n!)2 + 1; pelo corolario anterior (2.4.2)p 1 (mod 4).

2.5 Congruencias polinomiais

2.5.1 Introducao

Nesta seccao estudamos a resolucao de congruencias da forma

f(x) 0 (mod n) (2.3)em que f e um polinomio de coeficientes inteiros e graum maior que 1 (mod n):

f(x) =a0+ a1x

1

+ + amxm

& m >1 & am 0 (mod n). (2.4)O graude um polinomio f (mod n) designa-se por degn(f). Se f(x) =Z, o graudef (mod n) e zero.

O Teorema 2.4.6 e obviamente um caso particular deste estudo.Comecemos por observar que, para qualquer n > 1 existem congruencias (2.3) &

(2.4) sem solucao; mais precisamente:

Exemplo 2.5.1 Sepe primo ep|n,entao a congruenciaxpx+1 0 (mod n)nao temsolucoes. Tal pode verificar-se do seguinte modo: quando p|n,sexpx+1 0 (mod n) tambemxpx+1 0 (mod p); masxpx+1 1 0 (mod p),quandop e primo, em virtude doPequeno Teorema de Fermat; portanto a congruencia

inicial nao tem de facto solucao.

Exemplo 2.5.2 Dois polinomiosf(x) eg(x) congruentes (mod n) para todo o x Znao tem necessariamente o mesmo grau (mod n): sep e primo,xp

2 xe xp xsao ambos identicamente nulos (mod p).

A situacao e assim algo complicada mas, tal como a proposito do problema daresolubilidade algebrica, ha resultados parciais importantes e relativamente simples1.

Repare-se que1De facto, nem mesmo no caso em que n e primo, se conhecem formulas resolventes gerais para a

congruencia (2.3) & (2.4)

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Teorema 2.5.1 Se dois polinomiosf eg tem coeficientes do mesmo grau congruentes(mod n), as congruencias f(x) 0 (mod n) e g(x) 0 (mod n) sao equivalentes.Assim basta considerar polinomios cujos coeficientes estejam entre0 en 1.

Dem. Suponha-se que f(x) =m

i=0 aixi e g(x) =

mi=0 bix

i, sendo ai bi (mod n)para 0 i n.Tomando ci= aibin vem

f(x) g(x) =nmi=0 cixiou seja,f(x) g(x) (mod n) para qualquer x Z, em particular f(x) 0 (mod n) sse g(x) 0 (mod n).

De facto, uma aplicacao da regra de Ruffini mostra que

Teorema 2.5.2 Para qualquer polinomiof(x)como em (2.3) e (2.4) e qualquera Z,existe um polinomio q(x), de coeficientes inteiros e graum 1, tal que

f(x) = (x a)q(x) + f(a) (x Z).

Daqui decorre

Corolario 2.5.1 Sef(x)e um polin omio como em (2.3) & (2.4) ea Z,entaof(a) 0 (mod n) sse existe um polinomio q(x) de coeficientes inteiros, graum 1 (mod n) ecoeficiente de maior ordem igual ao def(x) tal que

f(x) (x a)q(x) (mod n) (x Z). (2.5)Dem. Se f(a) 0 (mod n), entao n|f(a) e (2.5) resulta imediatamente do teoremaanterior, por definicao de congruencia. Reciprocamente, se vale (2.5),entao como a econcerteza solucao de (x a)q(x)0 (mod n) para qualquer xZ, necessariamentef(a) 0 (mod n).

2.5.2 Modulo primo

Convencionemos que p designa um numero primo. O primeiro facto a registar e que

basta considerar polinomios de grau menor ou igual a p (mod p) :

Teorema 2.5.3 Qualquer congruencia polinomial f(x) 0 (mod p) e equivalente aoutrag(x) 0 (mod p) em queg(x) e um polin omio nulo ou de grau menor ou igual ap 1 (mod p).

Dem. A ideia e baixar tanto quanto possvel o grau dos monomios envolvidos, uti-lizando o Pequeno Teorema de Fermat:

Repare-se que, se n = pq+ r com 0 r < p, entaoxn = (xp)qxr xqxr =xq+r (mod p)

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Aplicando sucessivamente esta sequencia de congruencias a cada monomio def, reduz-se o expoente de cada um deles a um numero inferior a p.

Tal como para equacoes, o teorema 2.5.2 tem a seguinte consequencia.

Teorema 2.5.4 Se b1, b2,...,bk sao solucoes da congruencia polinomialf(x) 0 (mod p) nao congruentes duas a duas, existe um polinomio q(x), cujo coefi-ciente de maior ordem e o mesmo que o defe tal que

degp(q) degp(f) k & f(x) (x b1)(x b2) (x bk)q(x) (mod p)Dem. A demonstracao e muito semelhante a correspondente para equacoes, por uti-lizacao recursiva da regra de Ruffini:

Primeiro obtem-sef(x) (x b1)q1(x) (mod p)

pelo corolario 2.5.1. Em seguida ha que verificar se

q1(b2) 0 (mod p) (2.6)e reaplicar o mesmo corolario, tantas vezes quanto necessario. Repare-se entao que,por hipotese

0 f(b2) (b2 b1)q1(b2) (mod p),isto e,

p|(b2 b1)q1(b2)e como, tambem por hipotese, p e primo e p|(b1 b2), necessariamente p|q1(b2), ouseja vale a equacao (2.6).

Uma conclusao a retirar e

Corolario 2.5.2 Quando p e primo ef(x) e um polin omio cujos coeficientes nao saotodos nulos (mod p), o numero de solucoes distintas (mod p) de uma congruenciapolinomialf(x) 0 (mod p) e quando muito degp(f).

Antes de apresentarmos uma demonstracao atentemos no seguinte exemplo.

Exemplo 2.5.3 Sen nao e primo, o numero de solucoes nao mutuamente congruentes(mod n) de uma equacao como em (2.3) e (2.4) pode ser superior ao grau def (mod n):x2 1 0 (mod 8) tem solucoes 1, 3, 5, 7.Dem. (Do corolario 2.5.2) Tomem-se f, q e os bi, com 1ik, como no teorema.Como q(x) tem o mesmo coeficiente de maior ordem que f(x), necessariamente o seugrau e maior ou igual a zero, portanto

0 degp(q) degpf(x) k i.e. k degp(f).

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2.5.3 Modulo potencia de base prima

Veremos como se podem obter as solucoes de uma congruencia

f(x) 0 (mod p+1) (2.7)a partir das da congruencia f(x) 0 (mod p). De facto vamos provar o seguinte:

Teorema 2.5.5 As solucoes da congruencia

f(x) 0 (mod p+1)sao da forma

x= b + kp com k Z, (2.8)sendo

f(b) 0 (mod p) & f(b)k f(b)p

(mod p) (2.9)

Comecemos com uma Formula de Taylor. Designando por f a derivada dopolinomio f, definimos tambem

f(0) =f

f(i+1) =

f(i)

i Z+0Nestes termos tem-se

Lema 2.5.1 Sejaf(x)um polinomio de graum(mod n) de coeficientes inteiros comoem (2.3) & (2.4). Entao

f(x + y) =f(x) +m

k=1

f(k)(x)

k! yk (x, y Z) (2.10)

e os coeficientes f(k)(x)

k! (1 k m) sao numeros inteiros.

Dem. Como, para quaisquer polinomios f e g e qualquer Z se tem(f+ g) = f+ g & (f) = f,

basta demonstrar o teorema quando f(x) = xm e neste caso (2.10) e nada mais nadamenos que uma outra forma de apresentar o desenvolvimento de Newton para (x+y)m,pois

f(k)(x) =m(m 1) (m k+ 1)xmk = m!(m k)! x

mk.

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Dem. (Do teorema 2.5.5)Observe-se que, quando f(x) 0 (mod p+1) tambemf(x) 0 (mod p), pelo que

as solucoes da primeira congruencia se encontram entre as da segunda; resumindo

f(x) 0 (mod p+1) f(x) 0 (mod p) x= b + kp

para algum k Z e algum b Z tal que f(b) 0 (mod p).Ora, pelo lema 2.5.1, vem

f(b + kp) =f(x) +

m

i=1f(i)(b)

i! (kp)i;

como 1, os termos do segundo membro em que i >1 sao divisveis por p+1, poisi > 2= + + 1. Assim

f(b + kp) f(b) + f(b)1

kp (mod p+1);

mas f(b) 0 (mod p), pelo que f(b) =tp, para algum t Z. A situacao a analisare entao a seguinte

p

t + f(b)k 0 (mod p+1)

ou sejaf(b)

p

+ f(b)k

0 (mod p)

como se pretendia verificar.

Segue-se uma verificacao mais detalhada da validade da formula (2.9).

Caso f(b) 0 (mod p). Neste caso a congruencia (2.9) e equivalente af(b)

p 0 (mod p)

por sua vez equivalente af(b) 0 (mod p+1); (2.11)

se esta se nao verifica, pura e simplesmente nao ha solucoes; se (2.11) se da, entao,pelo lema 2.5.1, a equacao (2.8) da-nos solucoes para a congruencia (2.7) seja qual fork Z.Caso f(b) 0 (mod p). Neste caso a solucao emk de (2.9) e dada por

k f(b)f(b)p

(mod p)

A solucao da congruencia (2.7) e mesmo unica e dada por

x b f(b)f(b)p

p (mod p+1) com f(b)f(b) 1 (mod p)

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ou ainda

x b f(b)f(b) (mod p+1) & f(b)f(b) 1 (mod p) (2.12)

2.5.4 Teorema Chines do Resto

A resolucao de congruencias polinomiais (2.3) & (2.4) pode reduzir-se aos casos quetemos vindo a estudar, como vamos ver. Note-se que para a discussao que segue nao

importa se f(x) e ou nao um polinomio.Suponhamos entao que n e um numero natural composto, digamos

n= p11 p22 pkk

para certos numeros primos pi.Generalizando o argumento apresentado no exemplo 2.5.1, observe-se que

f(x) 0 (mod n) f(x) 0 (mod pii ) (1 i k),

pelo que as solucoes da congruencia

f(x) 0 (mod n) (2.13)se encontram entre as do sistema de congruencias

f(x) 0 (mod pii )1 i k

Acontece que este sistema e mesmo equivalente a congruencia (2.13), pois potencias deprimos distintos sao primas entre si e o seu produto divide qualquer numero divididosimultaneamente por todas elas (se a|c, b|c e a e b sao primos entre si, entao ab|c.)Provamos entao o seguinte

Teorema 2.5.6 Sen e um n umero composto de factores de base primapii

n= p11 pkk ,

a congruencia

f(x) 0 (mod n)e equivalente ao sistema de congruencias

f(x) 0 (mod pii )1 i k (2.14)

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Vimos ja que algumas congruencias polinomiais f(x) 0 (mod n) nao tem solucao,mas se todas as do sistema (2.14) tiverem, entao ha de facto solucao e devera ser possveldetermina-la. Utilizaremos o seguinte lema

Lema 2.5.2 (Teorema Chines do Resto)Sem1,...,mk sao numeros naturais pri-mos entre si dois a dois eb1,...,bk sao numeros inteiros quaisquer, o sistema de con-gruencias

x bi (mod mi)1 i k (2.15)

tem solucao e quaisquer duas solucoes sao congruentes(mod m1 mk).Dem. Comecemos pela afirmacao final.

Se x e y sao solucoes do sistema (2.15), entao x y 0 (mod mi) para qualquerdosmi,ou seja, x y e divisvel por qualquer dosmi.Como os mi sao primos entre si,o seu produto divide x y, como se pretendia concluir.

Quanto a existencia de solucao para o sistema: vamos procura-la na forma

x= x1b1+ + xkbk (2.16)

de modo que, para cada i,

1. todas as parcelas com possvel excepcao dai-esima sejam divisveis por mi,

2. ai-esima parcela seja congruente combi (mod mi).

Para verificar a primeira condicao basta que

mi=k

j=1j=i

mj|xi;

para verificar a segunda basta que

xi 1 (mod mi)

As duas condicoes sao verificadas simultaneamente se

(mi)mi 1 (mod mi) & xi= (mi)mi (2.17)

Ora cada mi e primo com mi, portanto os inversos aritmeticos (mi) existem e as

condicoes (2.16) e (2.17) definem uma solucao para o sistema (2.15).

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Exemplo 2.5.4 Considere-se a congruencia

x2 1 0 (mod108). (2.18)

Como 108 = 22 33, pelo teorema 2.5.6, (2.18) e equivalente ao sistema x2 1 0 (mod 22) (i)x2 1 0 (mod 33) (ii) (2.19)

Por simples inspeccao conclui-se que as solucoes da congruencia (i) sao dadas por

x 1, 1 (mod 22).Quanto a (ii), vamos utilizar o teorema 2.5.5. O modulo 32 e ainda razoavelmentebaixo e, tambem por inspeccao, se podem obter as solucoes

x 1, 1 (mod 32).

Oraf(x) = 2x donde

f(1) = 2 1 0 (mod3) & f(1) = 2 1 0 (mod 3).

Ambas as derivadas sao invertveis (mod 3) e nas congruencias em (2.9)

k 0(mod 3), portantox2 1 0 (mod 33) se e so se x 1 (mod 33).

O sistema (2.19) da entao lugar aos sistemas seguintes, que podem ser resolvidos uti-lizando, por exemplo, o Teorema Chines do Resto 2.5.2, como vimos atras.

(S1)

x 1 (mod 22)x 1 (mod 33) (S2)

x 1 (mod 22)x 1 (mod 33)

(S3) x 1 (mod22)x

1 (mod33)

(S4) x 1 (mod22)x

1 (mod33)

De um modo geral, as solucoes da congruencia (2.18) sao dadas pela formula

x 3 33 (1) + 7 22 (1) 81 28 (mod 108)

onde as combinacoes de sinal sao todas as possveis.Resolvendo detalhadamente (S1): de acordo com a demonstracao de 2.5.2, com

(2.16) e (2.17) tem-se m1 = 22, m1 = 3

3 e (m1) 1 (mod 22) e tambem m2 =

33, m2= 22 e (m2)

7 (mod 33). Segue-se que as solucoes de (S1) sao dadas por

x 3 33 1 + 7 22 1 109 1 (mod 22 33).

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2.6 Exerccios

1. Mostre que a congruencia y2 x2 2 0 (mod 4) nao tem solucoes e concluaque a equacao Diofantina y2 x2 2 = 0 tambem as nao tem.

2. Utilize congruencias modulo 4 para mostrar que se y2 =x3 + 2, entao x e y saoambos mpares.

3. Seja f(x) = 11x3 + 15x2 + 9x 2. Determine o resto da divisao de f(a) por bpara os pares (a, b) seguintes: (2,7), (6,7), (97,11).

4. Mostre que sep e primo, qualquer sequencia dep1 numeros inteiros consecutivosque nao inclui multiplos de p e um sistema reduzido de resduos (mod p).

5. Calcule (n) para n 28.6. Mostre que se p e primo e n N, entao (pn) =pn pn1.7. Resolva as congruencias:

(a) 3x 1 (mod 5);(b) 3x 9 (mod 5);(c) 3x

9 (mod 24);

(d) 5x 15 (mod 12);(e) x2 + 1 0 (mod 4);(f) x3 + 2x + 1 0 (mod7);(g) x5 + x4 + x3 + x2 + x 1 (mod5).

8. Determine os inversos (mod 18) de todos os inteiros que os tem.

9. Qual o inverso de 1975 (mod 2001)?

10. Mostre que uma quarta potencia e congruente com 0 ou 1 (mod5).

11. Resolva as congruencias

(a) 2x + 3y 5 (mod7);(b) x2 + y2 5y 2 (mod 9).

12. Sejaak10k + ak110k1 + + a110 + a0 a expressao decimal do numero natural

n= akak1 a1a0 (0 ai 9, 0 i k,a0= 0).

(a) Mostre que 11 | n se e so se 11 | ki=0(1)iai;(b) Verifique se 1234567890987654321 e divisvel por 11.

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13. Mostre que se k for mpar, 112k + 192k e divisvel por 241.

14. Resolva os sistemas de congruencias

(a)

2x + 7y 2 (mod 5)3x + 6y 2 (mod 7) ;

(b)

9x + 3y 3 (mod10)15x + 2y 4 (mod15) ;

(c)

2x + 7y 2 (mod5)

3x y 11 (mod5) .

15. Verifique se as seguintes congruencias tem ou nao solucao e, no caso afirmativo,resolva-as.

(a) x2 1 (mod17);(b) x2 1 (mod43);(c) x2 1 (mod65).

16. Mostre o recproco do Teorema de Wilson:

Se m N \ {1}e (m 1)! 1 (mod m), entaom e primo.

(Sugestao: Observe que sem >4 em nao e primo entao (m1)! 0 (mod m).)17. Mostre que a equacao Diofantinax2 + 1 = 23y nao tem solucoes inteiras.

18. Sejap um numero primo. Mostre que (a + b)p ap + bp (mod p).19. Suponha que p e um primo mpar. Mostre que

(a)

(p1)/2i=1

(2i)2 (1)(p+1)/2 (mod p),

(b)

(p1)/2

i=1

(2i

1)2

(p1)/2

i=1

(2i)2 (mod p).

20. Reduza o mais possvel o grau dos polinomios nas seguintes congruencias e resolva-as.

(a) 2x17 + 3x2 + 1 0 (mod 5);(b) x10 + 2x5 + 1 0 (mod 5);(c) 3x23 + 2x20 + 4x17 x6 + x5 3x3 + 2x + 1 0 (mod5).

21. Factorize (mod 11) de duas maneiras distintas os polinomios f(x) seguintes, ob-servando que em cada caso f(a) 0 (mod 11).

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(a) f(x) =x2 + 10x + 3, a = 6;

(b) f(x) =x3 x2 + x + 10, a = 1;(c) f(x) =x3 6x2 2x + 20, a = 3.

22. Factorize (mod 13) o polinomio f(x) =x4 6x3 3x2 7x + 2 com pelo menosdois factores de primeiro grau.

23. Mostre que o polinomio x3 + 3x2 + 2x + 2 nao pode ser factorizado (mod 5).

24. Resolva a congruencia xp b (mod p) sabendo que p e primo e 1.

25. Resolva os seguintes sistemas de congruencias

(a)

x 3 (mod7)x 2 (mod6)x 1 (mod5)

(b)

x 5 (mod2)x 1 (mod3)x 2 (mod5)

(c)

3x 1 (mod10)4x 2 (mod7)

(d)

3x 2 (mod 4)2x 7 (mod 15)

4x 1 (mod 7)26. (a) Suponha que m, n N e que d = mdc(m, n). Mostre que o sistema de

congruencias x a (mod m)x b (mod n)

tem solucao se e so se a b (mod d) e que, nesse caso, a solucao e unica(mod mmc(m, n)).

(b) Determine se cada um dos seguintes sistemas de congruencias tem solucao

e, em caso afirmativo, resolva-o.

i.

x 5 (mod6)x 7 (mod10)

ii.

x 1 (mod6)x 8 (mod15)

27. Resolva as congruencias:

(a) x13 x(mod1365);(b) x17 x(mod4080).

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28. Resolva as seguintes congruencias

(a) x2 + x + 1 0 (mod8);(b) x3 + x2 + 1 0 (mod24);(c) x4 + x2 + 1 0 (mod250).

29. Resolva a congruencia

4x4 + 9x3 5x2 21x + 61 0 (mod 1125).

Nota: Pretende-se que este seja um exerccio de revisao dos varios temas tratadossobre congruencias polinomiais.

30. Resolva a congruencia x50 + x12 2 (mod 75).31. Mostre que 5n3 + 7n5 0 (mod 12), para qualquer inteiro n.32. Determine todos os numeros inteiros cuja divisao inteira por 8 e por 7 da respec-

tiva e simultaneamente resto 6 e resto 5.

33. Um Coronel apos ter sido destacado para comandar um regimento do Exercitoquis saber por quantos efectivos esse regimento era formado, com esse objectivomandou-os dispor sucessivamente em colunas de:

37 indivduos, tendo sobrado um indivduo;

32 indivduos, tendo sobrado 4 indivduos;

27 indivduos, tendo sobrado um indivduo.

Sabendo que um regimento tem menos de 10 000 efectivos, determine quantaspessoas constituam esse regimento.

34. Um casal resolveu ir fazer uma viagem a volta do mundo. Sabendo que partiramno dia 1 de Marco de um ano bissexto num domingo, que chegaram no dia 6 de

Marco, segunda-feira e que demoraram menos de 4 anos, determine quantos diasdemorou a viagem usando o teorema chines do resto.

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Captulo 3

Resduos quadraticos

3.1 Introducao

Neste captulo, vamos estudar a resolubilidade de congruencias polinomiais de segundograu

uy2 + vy + w 0 (mod m) (2< m |u)Repare-se que a condicao 2< m |uevita que o grau do polinomio no primeiro membrodesca. Vamos ver como se pode reduzir este estudo a congruencias da forma

x2 a (mod p) (p primo maior que 2 & p |a) (3.1)Comecemos por observar que, fazendo a= v2 4uw, x= 2uy+v, as solucoes da

congruencia inicial se encontram entre as da congruencia

x2 a (mod 4um), (3.2)as quais sao solucoes do sistema

x2 a (mod pii )1 i k

se 4um = p11

pkk em representacao canonica, resolvendo-se cada uma das con-

gruencias a partir da inicial x2 a (mod p). Na verdade, se m|4u2, as solucoespretendidas podem encontrar-se entre as da congruencia

x2 a (mod m), (3.3)potencialmente com menos solucoes.

Uma outra forma de considerar o problema consiste em observar que, sem e primo,o inverso (2u) existe (mod m), :=u2 vw e z2 (mod m), entao

uy2 + vy + w 0 (mod m) u (v z)(2u) (mod m).Organizemos o estudo.

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Resduos quadraticos ITN(2001)

3.2 Preliminares

O numero inteiro a diz-se resduo quadratico (mod n) se mdc(a, n) = 1 e a con-gruencia x2 a (mod n) tem solucao; caso contrario diz-se resduo nao quadratico.

Em primeiro lugar: se a Z e resduo quadratico (mod m), entao e resduoquadratico (mod p), para qualquer numero primo que divida m. Pelo que as solucoesdex2 a (mod m) se encontram entre as do sistema

x2 a (mod p)p|m p primo

Alem disso qualquer numero inteiro mpar e resduo quadr atico (mod 2); assim bastaconsiderar primos mpares. Mas podemos ser mais precisos.

Lema 3.2.1 Sep e n umero primo mpar ep |a, a congruencia

x2 a (mod p) (3.4)

tem solucao sse o mesmo acontece com

x2 a (mod p+1). (3.5)

De facto, ambas as congruencias tem o mesmo numero de solucoes.

Dem. (se) Qualquer solucao da congruencia (3.5)e solucao de (3.4).(so se) Se x2 a(mod p) e (2x) designa um inverso de 2x (mod p), entao

(x + kp)2 a(mod p+1) se k k(x) = (2x)x2 ap

(mod p), (3.6)

pois a ultima expressao implica

2xkp x2 a (mod p+1).

Finalmente observe-se que duas solucoes da forma (3.6) da congruencia (3.5) que

sejam congruentes (mod p+1) provem de solucoes congruentes (mod p) da primeira.Resumindo: ha uma injeccao do conjunto das solucoes de (3.4) no das solucoes de (3.5)que, por sua vez esta contido naquele, i.e., sao equipotentes.

Segue-se

Corolario 3.2.1 Se p e um n umero primo mpar ep|a, o numero de solucoes dascongruenciasx2 a (mod p) & x2 a (mod p+1) e o mesmo.

E podemos concluir

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Int. a Teoria dos Numeros (2001) Resduos quadraticos

Teorema 3.2.1 Sem e mpar e maior que2, a e resduo quadr atico (mod m) sse eresduo quadr atico (mod p), para todos os numeros primosp que dividemm.

Um outro resultado que interessa ter em conta e:

Teorema 3.2.2 Se p e n umero primo mpar, ha p12 resduos quadr aticos (mod p)que sao os elementos de{i2| 1 i p12 }.

Dem. verifiquemos que os resduos descritos nao sao congruentes (mod p). Orai2

j 2 (mod p) sse p

|i

j ou p

|i+j, isto e, sse i

j ou i

j (mod p); mas, para

valores deie j entre 1 e p12 , estas condicoes sao equivalentes ai = j . Como os resduosentre p+12 e p sao simetricos (mod p) dos ja considerados, tem os mesmos quadrados(mod p) e descrevemos de facto todos os resduos quadraticos (mod p).

E claro que 1 e sempre resduo quadratico. Mais precisamente

Lema 3.2.2 Sep e n umero primo,

x2 1 (mod p) [x 1 (mod p) ou x 1 (mod p)]

3.3 Lei de Reciprocidade QuadraticaO smbolo de Legendre

ap

e um instrumento de determinacao do caracter quadratico

do numero inteiro ou resduo a (mod p) e define-se do seguinte modo

a

p

=

0 p | a1 a e quadratico(mod p)

1 caso contrario(p e primo) (3.7)

E bastante simples verificar que

Teorema 3.3.1 Se p |a & p |b & a b (mod p), entao ap = bpDesenvolvamos algumas tecnicas de calculo

Teorema 3.3.2 (Criterio de Euler) Sep e primo mpar ep |a, entaoa

p

ap12 (mod p) (3.8)

Dem.I) a e resduo quadratico.

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Neste caso temos, por um ladox2 a (mod p), para algum x, pelo que p |x, e daa

p

= 1 xp1 (x2) p12 a p12 (mod p).

II) a nao e resduo quadraticoRepare-se que, pelo Pequeno Teorema de Fermat,

(ap12 )2 1 (mod p);

pelo que (lema 3.2.2)

a p

12 1 (mod p).Defina-se

Qp:= {i2| 1 i p 12

};

Como xp12 1 (mod p) para qualquer x Qp e Qp tem precisamente p12 elementos,

pelo Teorema de Lagrange (2.5.2), a Qp; consequentementea

p

= 1 ap12 (mod p).

Obtem-se entao

Corolario 3.3.1 Sep e um n umero primo mpar , entao

1.

abp

=

a

p

b

p

(p |a & p |b)

2.1p

= (1) p12

3.1 e resduo quadr atico (mod p), ssep= 2 oup 1 (mod 4)A terceira assercao e ja conhecida (teorema 2.4.6); a segunda e a primeira resultam

de o smbolo de Legendre so tomar os valores 0, 1 ou1 e por aplicacao do criterio deEuler.

Dadon N\{1, 2}, seja

Ln =

{i Z| |i| n2} se n e impar

{i Z| |i| < n2} {n2} se n e par.

Ln e o sistema completo de resduos (mod n), de menor valor absoluto. Para cadax Z e cada n N, designe-se por x o resduo em Ln congruente comx(mod n).

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Teorema 3.3.3 (Lema de Gauss)Sep e um n umero primo mpar que nao divideae l= #{j| 1 j p12 & ja


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e o segundo membro tem a mesma paridade que p218 , como se pode ver observando

quep 1 (mod4), portanto para certos k Z, vem

p 12

p 14

= k &

p2 18

= 2k2 + k

oup 1

2

p 1

4

= 2k 1 [k 1

2] = k &

p2 18

= 2k2 k

Teorema 3.3.4 (Lei de Reciprocidade Quadratica)Sep eqsao numeros primosmpares ent ao

p

q

q

p

= (1) (p1)(q1)4

Por outras palavras: se dois numeros primos mpares sao congruentes com3 (mod4),entao um e um so deles e resduo quadr aticomod o outro; caso contrario, qualquer delese ou nenhum e resduo quadr aticomod o outro.

Dem. Considere-se a figura 3.3.

Lei de Reciprocidade Quadratica.

y

x

p2

q2

12

12

[12 q < px qy


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Sejam

Cpq = {x Z|1 x q 12

& q 12

px


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3.4 Exerccios

1. Determine todos os numeros primos mparesp para os quais 3 e resduo quadratico(mod p).

2. Determine todos os numeros primos mpares ppara os quais 7 e resduo quadratico(mod p).

3. Seja p um primo mpar. Prove que 5 e um resduo quadratico (mod p) se p1(mod10) e nao e resduo quadratico (mod p) sep 3(mod 10).

4. Encontre todos os resduos quadraticos (mod29).

5. Calcule os seguintes smbolos de Legendre:

(a)

2

29

,

129

,

5

29

,

11

29

;

(b)

2

127

,

1127

,

5

127

,

11

127

.

6. Determine, caso existam, as solucoes das seguintes congruencias quadraticas.

(a) 5x2 + 4x + 7 0 (mod19).

(b) 7x2

+ x + 11 0 (mod17).(c) 2x2 + 7x 13 0 (mod 61).

7. Prove que 19 nao divide 4n2 + 4 para qualquer numero inteiron.

8. Encontre os numeros primos p < 100 tais que a congruencia quadratica

x2 + x 3 0 (mod p)

tem solucao.

9. Resolva a congruencia quadratica x2 + x 10 0 (mod 24)10. Determine os valores de n para os quais1 e resduo quadratico (mod n).11. Procure as solucoes da congruencia quadratica x2 7 (mod513)12. Verifique se 43 e um resduo quadratico (mod 923).

13. Geradores de numeros primos.

(a) Mostre que n2 n + 41 e primo quando 1 n 40, mas nao paran= 41.(b) Mostre que n2 79n+ 1061 e primo quando 1 n 79, mas nao para

n= 80.

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(c) Mostre que n2 81n+ 1681 e primo quando 1 n 80, mas nao paran= 81.

Sugestao: Utilize o smbolo de Legendre para resduos quadraticos.

14. (a) Mostre que para todos Ne n Z,mdc(n, 2) = 1 se e so semdc(n, 2) =1.

(b) Mostre que para todos N e n Z, (2 n)2 n2 (mod2).(c) Mostre que para todos N, 2 e n Z, (21 n)2 n2 (mod2).(d) Calcule todos os resduos quadraticos modulo 2, 4 e 8.

(e) Mostre que para todos N, 3 e n Z, se n 1 (mod 8), entao[n]2 Q2 .

(f) Mostre que para todos N, 3 e n Z, s e [n]2 Q2, entaon 1 (mod8).

15. Sejaf(x) um polinomio de coeficientes inteiros. Prove que

x(mod p)

f(ax + b)

p

=

x(mod p)

f(x)

p

, se mdc(a, p) = 1

x(mod p)

af(x)

p

=

ap

x(mod p)

f(x)

p

, para todoa.

16. Prove que se mdc(a, p) = 1 entao

p1x=0

ax + b

p

= 0.

17. Sejaf(x) =x(ax + b), onde mdc(a, p) =mdc(b, p) = 1. Prove que:

p1x=1

f(x)

p

=

p1x=1

a + bx

p

=

a

p

.

18. Sejam, numeros inteiros de valores possveis1. SejaN(, ) o numero deinteirosx no conjunto{1, 2, . . . , p 2} tais que

x

p

=,

x + 1

p

=,

onde p e um primo mpar. Prove que

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4N(, ) =

p2x=1

{1 +

x

p

}{1 +

x + 1

p

}

e deduza

4N(, ) =p 2 1

p

.

19. Use o exerccio anterior para provar que para cada primo p existem inteiros x, y

tais que x2

+ y2

+ 1 0 (mod p).

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Captulo 4

Equacoes Diofantinas

Neste captulo vamos estudar a resolucao em Z de algumas equacoes Diofantinasdaforma

axm + bym =czk m,n,k ZDe um modo geral designaremos por solucoes triviais as que tem pelo menos uma

das coordenadas zero.

4.1 Ternos Pitagoricos

Umterno pitagorico e um terno ordenado (x,y ,z) de numeros inteiros tal que

x2 + y2 = z2. (4.1)

E bastante simples verificar que os ternos pitagoricos triviais sao os que tem pelomenos uma das primeiras coordenadas zero e as outras duas iguais ou simetricas. Assolucoes nao triviais de (4.1) sao caracterizadas pelo seguinte teorema.

Teorema 4.1.1 O terno ordenado de numeros inteiros(x,y ,z)e pitag orico sse e trivialou existema, b, d N verificando simultaneamente as seguintes condicoes.

1. b < a

2. mdc(a, b) = 1

3.|z| = (a2 + b2)d4.

|x| = 2abd & |y| = (a2 b2)d ou |x| = (a2 b2)d & |y| = 2abdEsta parte do texto e essencialmente dedicada a demonstracao deste teorema.

Comecemos por notar que se tem o seguinte

Lema 4.1.1 O terno (x,y ,z) e pitagorico sse o mesmo acontece com(|x|, |y|, |z|).

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Equacoes Diofantinas ITN(2001)

Assim vamos limitar-nos a caracterizar as solucoes nao triviais da equacao (4.1) emque todas as coordenadas sejam positivas, ou seja, vamos de facto passar a demonstrar

Teorema 4.1.2 O terno ordenado de numeros naturais(x,y ,z) e pitag orico sse exis-tema, b, d N verificando simultaneamente as seguintes condicoes.

1. b < a

2. mdc(a, b) = 1

3. z= (a2 + b2)d

4.

x= 2abd & y= (a2

b2

)d

ou

x= (a2

b2

)d & y= 2abd

Calculos muito simples mostram que as quatro condicoes enunciadas no teoremasao suficientes para que (x,y ,z) seja um terno pitagorico nao trivial. Veremos que saotambem necessarias.

Considere-se o seguinte lema.

Lema 4.1.2 Para quaisquer numeros naturaism en, m2|n2 ssem|n.Dem. E imediato quem|n m2|n2, para quaisquerm, n Z.A implicacao recproca,baseia-se em que um numero primo divide um quadrado se e so se divide a base e nofacto de todos os factores de base prima na decomposi cao canonica (Teorema Funda-mental) de um quadrado perfeito terem expoente par.

Como consequencia tem-se

Lema 4.1.3 Se(x,y,z) e um terno pitagorico de numeros naturais, entao

mdc(x,y ,z) =mdc(x, y) =mdc(x, z) =mdc(y, z).

Dem. Sejam (x,y ,z) um terno pitagorico de numeros naturais,d = mdc(x,y ,z) e, porexemplod1= mdc(x, z). Queremos mostrar que

d= d1.

Comecemos por observar que

mdc(x,y ,z) :=mdc(mdc(x, y), z) =mdc(x, mdc(y, z)) =mdc(y,mdc(x, z)),

de onde se obtem, em particular, d = mdc(y, d1). Comoy2 =z2 x2,tambemd21|y2 e,

pelo lema 4.1.2,d1|y; mas entao d1= d.

Digamos que um terno pitagorico (x,y ,z) e primitivo se

x,y ,z N & mdc(x,y,z) = 1.Do lema anterior (lema 4.1.3), resulta imediatamente o seguinte teorema.

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Int. a Teoria dos Numeros (2001) Equacoes Diofantinas

Teorema 4.1.3 As condicoes seguintes sao equivalentes para um ternopitagorico (x,y ,z)

1. (x,y ,z) e primitivo.

2. Duas das coordenadas do terno sao primas entre si.

3. As coordenadas do terno sao primas entre si duas a duas.

E deste pode obter-se ainda:

Teorema 4.1.4 Dado o terno pitagorico (x,y ,z)

N3, se

d N & x= du & y= dv & z= dw (4.2)entao d= mdc(x,y ,z) sse(u,v,w) e terno pitagorico primitivo.

Dem. Suponha-se que (x,y ,z), (u,v,w) e d sao dados como em (4.2).

(se) Por hipotese (u,v,w) e terno pitagorico primitivo e d|x,y,z.Vamos ver que d =mdc(x, y), o que, pelo lema 4.1.3, arrasta d = mdc(x,y ,z). Ora, por hipotese e pelolema 4.1.3, mdc(u, v) = mdc( xd ,

yd ) = 1, pelo que d = mdc(x, y), como se pretendia

mostrar.

(so se) Tem-se(du)2 + (dv)2 = (dw)2;

dividindo por d2 conclui-se que (u,v,w) e terno pitagorico; mais uma vez utilizando olema 4.1.3, tambem se conclui que (u,v,w) e primitivo.

Resumindo:

Teorema 4.1.5 E condicao necessaria e suficiente para que o terno de numeros naturais (x,y ,z) seja pitagorico que exista um terno pitagorico primitivo(u,v,w) e um numero naturald tais que

x= du & y= dv & z= dw (4.3)

e neste caso d= mdc(x,y ,z).

Passamos entao a caracterizacao dos ternos pitagoricos primitivos.

Teorema 4.1.6 Para que o terno ordenado de numeros naturais (x,y ,z) seja pita-gorico primitivo e condicao necessaria e suficiente que existam a, b N verificandosimultaneamente as seguintes condicoes.

1. a eb tem paridades distintas

2. b < a

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3. mdc(a, b) = 1

4. z= a2 + b2

5. [x= 2ab & y= a2 b2] ou [x= a2 b2 & y= 2ab]

Dem. Comecamos com duas observacoes importantes. Uma cuja demonstracao sedeixa ao cuidado do leitor

Lema 4.1.4 A soma de dois quadrados de numeros mpares nao e divisvel por4.

e outra que demonstramos

Lema 4.1.5 Se(x,y ,z) e terno pitagorico primitivo, entao xey tem paridades difer-entes.

Dem. (do lema 4.1.5) Pelo lema 4.1.3, x e y nao podem ser ambos pares e, pelolema anterior (4.1.4), nao podem ser ambos mpares pois nesses casosz2 seria par econsequentemente divisvel por 4 e soma de dois quadrados de numeros mpares.

Lema 4.1.6 Para quaisquer numeros naturais a e b primos entre si, tais que b < a.

Tem-se uma das situacoes seguintes1. a e b tem paridades distintas e nesse caso (2ab,a2 b2, a2 + b2) e

(a2 b2, 2ab,a2 + b2) sao ternos pitagoricos primitivos.

2. a e b sao ambos mpares e nesse caso (ab, a2b22 ,

a2+b2

2 ) e (a2b2

2 ,ab,a2+b2

2 ) saoternos pitagoricos primitivos.

Dem. Comoae b sao primos entre si, nao podem ser ambos pares, da que as hipotesesapresentadas esgotam as possibilidades. Alguns calculos simples mostram que os ternosem estudo sao pitagoricos. Observe-se que no caso 2, como a e b sao ambos mpares, adiferenca e a soma de quadrados sao ambas pares.

Suponha-se entao que

mdc(a, b) = 1 & b < a & d= mdc(2ab,a2 b2, a2 + b2).

Vamos ver que no primeiro casod = 1 e no segundod = 2,o que, em vista do teorema4.1.4, permite retirar as conclusoes descritas.

1. Comoa e b tem paridades diferentes, um e par e outro e mpar de modo que a2 + b2

e mpar, ou seja 2|(a2 +b2) e consequentemente 2|d. Assim, se p for um numeroprimo que divide d,ter-se-a

p = 2 & p|ab & p|(a + b)(a b) & p|a2 + b2.

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Int. a Teoria dos Numeros (2001) Equacoes Diofantinas

Sep|ae p|a+b, entaop|b. Ora nao ha divisores primos comuns aa e b, donded nao temdivisores primos, isto e,d = 1.Analogamente se estudam os casos em que p|a & p|abou p|b & p|a + b ou p|b & p|a b.2. Vejamos que d1 = mdc(

a2b22 ,

a2+b2

2 ) = 1. Como d1 N, d1|a2b22 e d1|a

2+b2

2 ,somando ou subtraindo adequadamente, conclui-se que

d1|a2 & d1|b2

pelo que se p fosse divisor primo de d1, p seria divisor comum de a e de b, o que eimpossvel por estes serem numeros primos entre si; mas entao d1 = 1, por ser um

numero natural sem divisores primos; segue-se mdc(a2 b2, a2 + b2) = 2 e, como2|2ab, d= 2.

Continuando a demonstracao do teorema 4.1.6:Provamos no lema 4.1.6.1 que as condicoes do enunciado produzem ternos pitago-

ricos primitivos, ou seja formam uma condicao suficiente como se pretende. Vejamosque formam tambem uma condicao necessaria.

Seja (x,y,z) um terno pitagorico primitivo. Pelo lema 4.1.5, x e y tem paridadesdiferentes. Digamos que x e par(e y e mpar), por exemplo

x= 2k. (4.4)

Tem-se

2|(2k)2 =x2 =z2 y2 = (z y)(z+ y) (4.5)Pelo que 2|z y ou 2|z+ y; em qualquer caso,

2|z y & 2|z+ y

pois ambos os factores tem a mesma paridade. Segue-se que, para certos numerosnaturais u e v se tem

z

y= 2u & z+ y= 2v & u < v. (4.6)

Resulta daqui, pela equacao (4.5), que

k2 =uv (4.7)

Vejamos que

u e v sao primos entre si: (4.8)

Sep fosse um numero primo divisor simultaneo de u e v ,entao ter-se-ia, pela condicao(4.6)

p|u + v= z & p|v u= y;

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mas entao (x,y ,z) nao seria primitivo pelo lema 4.1.3, pois p|mdc(y, z); assim neces-sariamente se da (4.8). Mas entao resulta da equacao (4.7) que u, e v sao por sua vezquadrados perfeitos e, para certos a, b N tem-se, ainda por (4.6),

u= b2 & v= a2 & b < a & mdc(a, b) = 1

E concluimos com a equacao (4.4)

x= 2ab & y= a2 b2 & z= a2 + b2.

tendo-se ainda que a e b tem paridades distintaspois, caso contrario, x e y seriamambos pares.O caso emx e mpar

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