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Introdução aos números inteiros
Laura Goulart
UESB
19 de Dezembro de 2017
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 1 / 18
Propriedades dos números inteiros
Adição
1 a+ b = b + a (comutativa)2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 2 / 18
Propriedades dos números inteiros
Adição1 a+ b = b + a (comutativa)
2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)
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Propriedades dos números inteiros
Adição1 a+ b = b + a (comutativa)2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)
3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 2 / 18
Propriedades dos números inteiros
Adição1 a+ b = b + a (comutativa)2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)
4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 2 / 18
Propriedades dos números inteiros
Adição1 a+ b = b + a (comutativa)2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)
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Propriedades dos números inteiros
Multiplicação
1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)
i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc
OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.
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Propriedades dos números inteiros
Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)
2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)
i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc
OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.
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Propriedades dos números inteiros
Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)
3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)
i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc
OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.
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Propriedades dos números inteiros
Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)
4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)
i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc
OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.
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Propriedades dos números inteiros
Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)
5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)
i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc
OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.
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Propriedades dos números inteiros
Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)
6 (Distributiva)
i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc
OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.
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Propriedades dos números inteiros
Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)
i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc
OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.
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Propriedades dos números inteiros
Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)
i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc
OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 3 / 18
Propriedades dos números inteiros
1 a ≤ a (re�exiva)
2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)
3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)
4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)
5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)
6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)
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Propriedades dos números inteiros
1 a ≤ a (re�exiva)
2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)
3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)
4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)
5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)
6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)
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Propriedades dos números inteiros
1 a ≤ a (re�exiva)
2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)
3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)
4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)
5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)
6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)
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Propriedades dos números inteiros
1 a ≤ a (re�exiva)
2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)
3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)
4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)
5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)
6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 4 / 18
Propriedades dos números inteiros
1 a ≤ a (re�exiva)
2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)
3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)
4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)
5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)
6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 4 / 18
Propriedades dos números inteiros
1 a ≤ a (re�exiva)
2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)
3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)
4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)
5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)
6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 4 / 18
Propriedades dos números inteiros
1 a ≤ a (re�exiva)
2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)
3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)
4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)
5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)
6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 4 / 18
Propriedades dos números inteiros
Regras de sinais
1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 02 a > 0 e b < 0⇒ ab < 03 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 5 / 18
Propriedades dos números inteiros
Regras de sinais1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 0
2 a > 0 e b < 0⇒ ab < 03 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 5 / 18
Propriedades dos números inteiros
Regras de sinais1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 02 a > 0 e b < 0⇒ ab < 0
3 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 5 / 18
Propriedades dos números inteiros
Regras de sinais1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 02 a > 0 e b < 0⇒ ab < 03 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 5 / 18
Princípio do menor inteiro
Todo conjunto não vazio de números inteiros limitado inferiormente admite
um mínimo.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 6 / 18
1o. Princípio de Indução Finita
Seja P(n) uma propriedade relativa a um número inteiro n ≥ a. Então,
P(n) será verdadeira para todo inteiro n ≥ a desde que seja possível
provar as seguintes a�rmações:
i) P(a) é verdadeira.
ii) P(k) é verdadeira para algum k ≥ a (Hipótese deIndução) ⇒ P(k + 1) também é verdadeira.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 7 / 18
2o. Princípio de Indução Finita
Seja P(n) uma propriedade relativa a um número inteiro n ≥ a. Então,
P(n) será verdadeira para todo inteiro n ≥ a desde que seja possível
provar as seguintes a�rmações:
i) P(a) é verdadeira.
ii) Dado r > a,P(k) é verdadeira para todo a ≤ k < r(Hipótese de Indução) ⇒ P(r) também é verdadeira.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 8 / 18
Exercícios
Prove por indução, as seguintes propriedades pra os números inteiros:
1 1+ 2+ 3+ . . .+ n =n(n + 1)
2,∀n ≥ 1.
2 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)
6,∀n ≥ 1.
3 a > 0,⇒ an > 0,∀n ≥ 0.
4 am · an = am+n;∀n,m ≥ 0.
5 (am)n = am·n; ∀n,m ≥ 0.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 9 / 18
Divisibilidade dos números inteiros
Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único
c ∈ Z tal que b = ac .
Propriedades:
1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk,∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18
Divisibilidade dos números inteiros
Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único
c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:
1 a|a
2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk,∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18
Divisibilidade dos números inteiros
Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único
c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:
1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.
3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk,∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18
Divisibilidade dos números inteiros
Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único
c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:
1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c
4 a|b ⇒ a|bk,∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18
Divisibilidade dos números inteiros
Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único
c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:
1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk, ∀k ∈ Z.
5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18
Divisibilidade dos números inteiros
Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único
c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:
1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk, ∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18
Exercícios
1 Prove que a|b e a|c ⇒ a|(bx + cy);∀x , y ∈ Z.2 Por indução, prove que 7|(23n − 1), ∀n ≥ 1
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 11 / 18
Algoritmo da Divisão
Sejam a, b ∈ Z com a 6= 0. Então, existem q, r ∈ Z únicos tais que
b = aq + r com 0 ≤ r < |a|.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 12 / 18
Máximo divisor comum
Dado d ≥ 0, dizemos que d é o máximo divisor comum de a e bquando as seguintes condições são satisfeitas:
i) d |a e d |bii) c |a e c |b ⇒ c|d .
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 13 / 18
Teorema 1.4.1 - Identidade de Belzout
Sejam a, b ∈ Z não nulos. Então, existe d ∈ Z tal que d = mdc(a, b).Além disso, existem s, t ∈ Z tais que d = sa+ tb.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 14 / 18
Exercícios
1 Se b = aq + r , mostre que mdc(a, b) = mdc(a, r).
2 Se a|bc e mdc(a, b) = d , mostre que a|cd .3 Se a|bc e mdc(a, b) = 1, mostre que a|c .
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 15 / 18
Números Primos
Dizemos que p 6= 1 é um número primo quando
q|p ⇒ q = ±p ou q = ±1.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 16 / 18
Teorema 1.5.1
Se p é primo e p|ab então p|a ou p|b.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 17 / 18
Teorema Fundamental da Aritémica
Todo numéro inteiro n > 1 é um produto de fatores primos estritamente
positivos de maneira única.
Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 18 / 18