INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICACUÁNTICA

Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica Parte 2: Mecánica Cuántica.

11

Parte 1: FUNDAMENTOS Parte 1: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSMATEMÁTICOS

Espacios vectoriales complejos de dimensión finita.Espacios vectoriales complejos de dimensión finita. Operadores lineales. Representación matricial. Operadores lineales. Representación matricial. Proyectores.Proyectores. Autovalores y autovectores.Autovalores y autovectores. Operador adjunto o hermítico conjugado.Operador adjunto o hermítico conjugado. Operador autoadjunto. Propiedades. Operador autoadjunto. Propiedades. Operador inverso.Operador inverso. Operador unitario. Operador unitario. Espacio producto tensorial.Espacio producto tensorial.p pp p

22

Repaso: Espacio euclídeo tridimensional E3.

OPERACIONES BÁSICAS vOPERACIONES BÁSICAS

1) SUMA DE VECTORESEED d

v

321

3231

EvvSUMAla

EvyEvDados

3, EvyRrDado 2) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

3

3,Evr

y

32211 Evrvr

• COMBINACIONES LINEALES

33

32211 Evrvr

3) PRODUCTO ESCALAR1v1v

2v

| || | cosv v v v 1 2 1 2

1 2 2 1

| || | cos( )

v v v vv v v v conmutativo

1 2 3 1 2 1 3( ) ( )v rv sv r v v s v v linealidad

2| | 0

| |

v v v

1 2 1 1 2 2| |

( )v v v v v vdesig Cauchy Schwarz

44

( . )desig Cauchy Schwarz

BASE ORTONORMALijji ee

3e vijji

erererv 332211

2e ii evrsiendo

1e 332211 eaeaeaa

3

332211 ebebebb

31

332211 ii

ibababababa

55

3

1

2

iiaaa

ESPACIOS DE HILBERTESPACIOS DE HILBERT Estudiaremos espacios vectoriales Estudiaremos espacios vectoriales

lineales complejos de dimensión finita lineales complejos de dimensión finita (para el desarrollo de la información (para el desarrollo de la información (p(pcuántica).cuántica). Los escalares son números complejosLos escalares son números complejos Los escalares son números complejos.Los escalares son números complejos. Usaremos la notación “braUsaremos la notación “bra--ket” de Dirac.ket” de Dirac. Cada vector estará representado por un Cada vector estará representado por un

“ket”:“ket”:ket :ket :

66

SUMA DE VECTORES

V

V

spropiedade

V )()(

V

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

complejonúmeroCcV

( )propiedadesc c c

Vc ( )

( )

( ) ( )

c d c d

cd c d

( ) ( )

77

PRODUCTO ESCALAR (producto interno)

yDados (producto interno) C

Propiedades

linealidaddcdc

symmetryskew

)(

dpositivida0

)(

Norma de un vector

Vector normalizado (norma unidad)=vector unitario

" "vector dual o bra

88

A cada V C

A partir de las propiedades del producto escalar, se puede demostrar que:

cc

Demostración:

ccccc ][

DESIGUALDAD DE CAUCHY SCHWARZDESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ

2||

Ejercicio 1: demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Ayuda: Úsese que el producto escalar de un vector por sí mismo es definido positivo, y defínase el vector

99

;c siendo c defínase el vector

INDEPENDENCIA LINEAL

V

0...0.....

,.......,

2111

1

mmm

m

ccccc

V

DIMENSIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL = número máximo (n) de vectores linealmente independientes BASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientesBASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientes (conjunto completo de vectores). Cualquier vector puede expresarse como combinación lineal de los vectores de la base.

BASE ORTONORMAL

n,.......,, 21

njiijji

n

,....2,1,;

, ,, 21

;n

i i i ia a

1010 1

1 2, , ..........,i

na a a

Expresión del producto escalar y la norma a partir de las componentes.

i

n

iii

n

ii bya

11

n

iii

n

ii aba

1

2

1||;

Demostración:

iiijjijijijjii babababa

Demostración:

ijijiji

,,

iii aaa 2||

ii

iii ||

1111

OPERADORES LINEALESAOperador ˆ linealidad

A

AOperadorˆ AbAabaA ˆˆ)(ˆ

0

operador identidad I

operador nulo N

0 , 0

p

vector nulo

ˆˆˆ

BABAC

BACoperadoresdesumaˆˆ)ˆˆ(ˆ

ˆˆˆ

BABAC )(

operadoresdeproducto

)ˆ(ˆˆˆ;ˆˆˆ BABABAC

ope ado esdep oducto

1212!ˆˆˆˆ¡ ABBAOJO

REPRESENTACIÓN MATRICIAL

Un operador está representado en cierta base a partir de una matriz cuadrada

A

AOperadorˆ

ˆnBase ,.......,, 21

j

n

jja

1

n

nnn

AAbAA ˆˆˆ

?¿;1

ii

n

ii bb

jj

ijjij

jiijj

j aAAabAaA

111

AA ˆ jiij AA

b1

a1

nAAA .. 11211

b.2

a.2

nAAA.....

.. 22221

1313

nb.

na.

nnnn AAA .......

21

P

Vunitariovectorˆ

PROYECTORES

P

Pˆ

P)1 Propiedades

PP

PSiˆˆ)3

0ˆ0)22

l

k

lP ˆ

)PROYECTORES SOBRE ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES

PP ˆˆ 2 ll

lP 1

PP RELACIÓN DE CIERRELa suma de los proyectores asociados a los vectores de una base ortonormal es igual a la

n

i i I

p y gidentidad:

nBase ,.......,, 21

1i

1414

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

A

C

Vector propio o autovector

Valor propio o autovalor

• La ecuación de autovalores siempre tiene solución.

p p

Ecuación característica11 12 1. . nA A AA A A

21 22 2. .

det det . . . . . 0. . . . .

nA A Ap A I

1 2 . .n n nnA A A

es una función polinomial de grado n. Tiene n raíces complejas (autovalores). p

• La ecuación característica depende sólo del operador, no de su representación matricial en una base dada. Por tanto, los autovalores de un operador no dependen de su representación matricial.

1 2, , ..........., n

1515

• Los autovectores de un operador lineal, correspondientes a autovalores distintos, son linealmente independientes.

dada. Por tanto, los autovalores de un operador no dependen de su representación matricial.

OPERADOR ADJUNTO O HERMÍTICO CONJUGADO

A ˆˆAA AA ˆˆA

ˆ ˆˆ ˆ( )A B A B Representación matricial: traspuesta conjugadaPROPIEDADES(Ejercicio 2: demostrar estas propiedades de los operadores adjuntos)

( )ˆ ˆˆ ˆ( )ˆ ˆ( )

AB B A

A A

Representación matricial: traspuesta conjugada

(Ejercicio 3: demostrar la propiedad siguiente:)

Tij jiA A A A

ˆ ˆA A OPERADOR AUTOADJUNTO (O HERMÍTICO)

operadores adjuntos) ( )A A ij ji

Tij ji iiA A A A A A R

PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS1ª. Sus autovalores son números reales

PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS:

Demostración:Demostración:

A ˆ ;A R

R1616

AAAA ˆˆˆˆ R

2ª. Los vectores propios correspondientes a autovalores distintos son ortogonales entre síson ortogonales entre sí.

Demostración: ˆi i iA ˆ

j i i j iA

ˆj i i j iA • Los auotovectores de un operador hermítico en j i i j i

ˆ

Los auotovectores de un operador hermítico, en el caso no degenerado, forman un conjunto ortonormal de vectores.

E l d d t bié ibli j i j iA • En el caso degenerado, también es posible

construir un conjunto ortonormal de autovectores del operador.

j i j i j i • Por tanto, siempre es posible encontrar, a partir

de los vectores propios de un operador hermítico, una base ortonormal del espacio de Hilbert.

( ) 0 0j i j i j i

1717

OPERADOR INVERSO A 1ˆB A operador inversoˆ ˆˆ ˆ ˆ.Def BA AB I 1ˆ ˆA A

El i d d i t í ól í l d t i t d l

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

El inverso de un operador existe sí y sólo sí el determinante de la matriz que lo representa es no nulo.

OPERADOR UNITARIO U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.Def UU U U I

1ˆ ˆUn operador es unitario cuando su 1ˆ ˆU U Un operador es unitario cuando su adjunto es igual a su inverso:

Propiedades: p

A) El producto de dos operadores unitarios es unitario.

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆU V U V U V V U I

B) El producto escalar es invariante bajo transformaciones unitarias. En consecuencia, un

operador unitario no modifica la norma de un vector (ejercicio 4: demostración de esta propiedad).

1818

De este modo, los operadores unitarios actúan en el espacio de Hilbert de una manera análoga a las rotaciones en el espacio euclideo, las cuales mantienen el módulo de un vector, y el ángulo entre dos vectores.

Descomposición espectral de un operador hermítico

ˆ nˆi i iA ˆ ˆA A

1i i

iI

n

1

ˆi i i

iA

Demostración:

1 1 1 1

ˆ ˆ ˆn n n n

i i j j i i j ji j i j

A A A

1 1 1 1i j i j

n n n

i j ij j i i i

1 1 1

i j ij j i i ii j i

1919

Espacio H1 Dimensión m Ket PRODUCTO TENSORIAL

p 1

Espacio H2 Dimensión n Ket

ESPACIO PRODUCTO TENSORIAL DE H1 Y H2 HHH ESPACIO PRODUCTO TENSORIAL DE H1 Y H2 21 HHH Dimensión mn Ket

Si a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puede asociar unSi a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puede asociar un vector (producto tensorial de ambos vectores) perteneciente a H, entonces H es el

producto tensorial de H1 y H2.

P d fi i ió l t d H i i li l d t lt dPor definición, los vectores de H son superposiciones lineales de vectores resultados de multiplicar tensorialmente vectores de H1 y vectores de H2.

Propiedades:

21 ,,

)(

HHCc

ccci

21

2121

,

)(

HH

ii

i

21 , HHi

2121)( iii

Notación ,

c11

BASES ORTONORMALES

11Hi

2Hj

21 HHji

cc

.

.13

12

22Hj

jlikklij nccccnccccijc

m n

ij 22322211131211 22322211131211

KET EN H

n

cccc

23

22

21

1

mncmcmcmc

nccccnccccijc

mnmmm

nni j

ij

..........321.....................................................

2..........2322211..........131211

321

223222111312111 1

mn

K jniK )1(

n

cc..

2

23

K

K Kc1

jniK )1(

cc

.

.32

31

OPERADORES A 1HBA ˆˆ HH

nc

.

.

.3

OPERADORES LINEALES B 2H

BA 21 HH

ˆˆˆˆ

D fi i ió

m

m

cc

.

.

2

1

jBiAcjicBAij

ijij

ijˆˆˆˆ

Definición:

mnc.

1 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ; ;ij i j i j

ijDado O H O A B A H B H

jBiAcjicBA ijijˆˆˆˆ

ij ijdrs jjij

ijij

ij

ij

ij j

jBsiArcijˆˆ ij ijrsd sjriijd rsdj

ijij

ijij j

ijsjriij rs

ij

ijsjrirs cBAd

BABABA

A es una matriz

B t i

mm

ij

Representación matricial

BABABABABABA

BAm

m

............

ˆˆ22221

11211 B es una matriz

AijB es una matriz

nnnn

ˆˆ

BABABA mmmm ...

......

21BA es una matriz mnmn