INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

HUGO CORNEJO VILLENA

HUGO CORNEJO ROSELL

CÁLCULO DE

INTRODUCCIÓN AL

PROBABILIDADES


HUGO CORNEJO ROSELL

CÁLCULO DE

INTRODUCCIÓN AL

PROBABILIDADES

σ

Hugo Cornejo Villena - Hugo Cornejo Rosell

Introducción al cálculo de probabilidades

Lima: 2021; 348 p.

© Hugo Cornejo Villena

© Hugo Cornejo Rosell

© Universidad Nacional Agraria La MolinaAv. La Molina s/n La Molina

Derechos reservadosISBN: 978-612-4387-83-8

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2021-10310

Primera edición digital: septiembre de 2021

Queda terminantemente prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, químico, óptico, incluyendo sistema de fotocopiado,

sin autorización escrita del autor.Todos los conceptos expresados en la presente obra son

responsabilidad de los autores.

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA

DR. AMéRICO GUEVARA PéREz

Rector

DR. HéCtOR GONzALES MORA

Vicerrector Académico

DRA. PAtRICIA GIL KODAKA

Vicerrectora de Investigación

JOSé CARLOS VILCAPOMA

Jefe del Fondo Editorial

TABLA DE CONTENIDO

Prólogo .................................................................................................... 3

Capítulo 1: Espacio de probabilidad ................................................................. 5

1.1 Introducción ............................................................................................... 5

1.2 Experimento aleatorio ............................................................................... 6

1.3 Espacio muestral ........................................................................................ 7

1.4 -algebra de eventos ............................................................................. 10

1.5 Espacio de probabilidad........................................................................... 14

Capítulo 2: Analisis combinatorio .................................................................. 30

2.1 Principio de enumeración ........................................................................ 30

2.1.1 Principio de multiplicación. .................................................................... 30

2.1.2 Principio de adición ................................................................................ 32

2.2. Tipos de análisis combinatorio. ............................................................... 33

2.2.1 Permutaciones ......................................................................................... 34

2.2.2 Combinaciones ....................................................................................... 43

Capítulo 3: Probabilidad condicional e independencia ................................... 52

3.1 Probabilidad condicional ......................................................................... 52

3.2 Eventos independientes ........................................................................... 69

Capítulo 4: Variables aleatorias y distribuciones discretas ............................. 78

4. 1. Variables aleatorias ................................................................................. 78

4. 2. Distribuciones discretas de una variable .................................................. 84

4. 3. Funcion de probabiliad de una variable aleatoria discreta ................. 85

4. 4. Funcion de distribucion de una variable aleatoria discreta ................. 89

4. 5. Funcion de distribucion de varias variables aleatorias discretas .............. 99

4. 6. Distribucion de probabilidad condicional .............................................. 117

Capítulo 5: Tipos especiales de distribuciones discretas ............................... 129

5. 1. Distribucion discreta uniforme .............................................................. 129

5. 2. Distribucion binomial y distribucion de pascal ..................................... 130

σ

2 Hugo Cornejo Villena & Hugo Cornejo Rosell.

5. 3. Distribucion hipergeometrica.................................................................136

5. 4. Distribucion de poisson .........................................................................138

5. 5. Distribucion polinomial .........................................................................144

Capítulo 6: Distribuciones continuas.............................................................153

6. 1. Distribuciones continuas de una variable aleatoria ................................153

6. 2. Distribuciones continuas de varias variables aleatorias .........................165

6. 3. Densidad de las funciones de variables aleatorias .................................182

Capítulo 7: Tipos especiales de distribuciones continuas..............................196

7. 1. Distribuciones Gamma y Beta ...............................................................196

7. 2. Distribucion normal ...............................................................................203

7. 3. Distribucion Exponencial ......................................................................220

7. 4. Distribucion ji - cuadrada ......................................................................224

7. 5. Distribucion Weibull..............................................................................230

7. 6. Distribucion F ........................................................................................232

7. 7. Distribucion T de Student ......................................................................236

Capítulo 8: Esperanza matematica y limites..................................................250

8. 1. Esperanza de una variable aleatoria .......................................................250

8. 2. Esperanza de combinacion lineal de variables aleatorias.......................265

8. 3. Momentos y funcion generadora de momentos de variables aleatorias .269

8. 4. Esperanza condicional ...........................................................................286

8. 5. Convergencia en probabilidades ............................................................292

8. 6. Teoremas sobre limites ..........................................................................297

Tablas ........................................................................................319

Respuestas a los ejercicios......................................................................................334

Bibliografía ................................................................................................344

PRÓLOGO

En las últimas décadas, la importancia del conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico y radica en que, mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la manera más exacta los posibles imponderables debidos al azar en los más variados campos, tanto de la ciencia como de la vida cotidiana. La probabilidad es una estrategia mediante la cual se intenta estimar la frecuencia con la que se obtiene un cierto resultado en el marco de una experiencia en la que se conocen todos los resultados posibles. Se aplica en áreas variadas del conocimiento, como las ciencias exactas (estadística, matemática pura y aplicada, física, química, astronomía), las ciencias sociales (sociología, psicología social, economía), la astronomía, la meteorología y, en especial en forma más reciente, la biomedicina.

La importancia esencial de la aplicación de los métodos de cálculo de la probabilidad reside en su capacidad para estimar o predecir eventos. Cuanto mayor sea la cantidad de datos disponibles para calcular la probabilidad de un acontecimiento, más preciso será el resultado calculado.

El libro está divido en ocho capítulos; en el primer capítulo se aborda el concepto de espacio de probabilidades; en el segundo capítulo se presentan los principios de enumeración y los tipos de análisis combinatorio; en el tercer capítulo se presentan los conceptos probabilidad condicional y eventos independientes; en el cuarto capítulo se informa sobre variables aleatorias, distribuciones discretas, funciones de probabilidad, distribuciones de variables discretas; en el quinto capítulo se informa sobre tipos especiales de distribuciones discretas; en el sexto capítulo se abordan sobre distribuciones continuas de una y varias variables; en el séptimo capítulo se estudian los principales tipos de distribuciones continuas y en el último capítulo se muestran conceptos de esperanza matemática y límites, así mismo se presentan las diferentes tablas estadísticas y las respuestas a los ejercicios propuestos.

En cada capítulo se presentan definiciones, conceptos y resultados claros, ejemplos aplicativos y al final de éstos se han seleccionado ejercicios adecuados para consolidar los conceptos aprendidos

Estamos agradecidos con muchas personas que nos brindaron su apoyo cuando escribíamos este libro, gratitud a los amigos y colegas de las Universidad Nacional Agraria La Molina y Universidad Nacional San Antonio Abad del Cusco por el aliento y sugerencias recibidas para que se haga realidad este propósito de publicar. Asimismo, gratitud a nuestros

familiares y alumnos de ambas universidades que nos incentivaron para llevar adelante esta tarea de escribir.

Especial agradecimiento a las Autoridades de la Universidad Nacional Agraria La Molina: Al Rector Dr. Américo Guevara Pérez, al Vicerrector Académico Dr. Héctor Gonzales Mora, a la Vicerrectora de Investigación Dra. Patricia Gil Kodaka, al Jefe del Fondo Editorial Dr. José Carlos Vilcapoma y al personal administrativo del Fondo Editorial, por hacer realidad la publicación de este libro.

LOS AUTORES

CAPÍTULO 1: ESPACIO DE PROBABILIDAD1.1 INTRODUCCIÓN

La teoría de la probabilidad tuvo su origen en el siglo XVI, en el estudio de problemas relacionados con los juegos de azar que por entonces se jugaban en Monte Carlo; un noble francés intentó sin mucha suerte describir en forma matemática la proporción relativa de tiempo en que se podrían ganar ciertas apuestas, y como conocía a dos connotados matemáticos de la época: Blas Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1610 - 1665), les transmitió sus dificultades. Esto originó el fructuoso intercambio de comunicación entre los dos matemáticos referente a la aplicación correcta de la matemática para poder calcular la frecuencia relativa de ocurrencias en juegos sencillos de apuestas. Los historiadores coinciden en que este intercambio de correspondencias marcó el inicio de la teoría de las probabilidades, tal como es conocido hoy en día.

El matemático Pedro Simón Marqués de la Place (1749 - 1827) establece explícitamente en su obra clásica “Theoric Analytique des Probabilites” (1812), como principio fundamental de toda teoría la definición de frecuencia relativa que es más o menos la siguiente: si va a realizarse un experimento de azar (alguna operación cuyo resultado no puede ser predicho), entonces son varios los resultados posibles que pueden ocurrir cuando se realiza el experimento. Si ocurre un evento (acontecimiento o suceso inseguro de realización incierta), entonces la probabilidad de un evento es la razón del número de casos favorables al evento y el número total de casos favorables.

Existen muchos problemas para los cuales esta definición no es apropiada, la debilidad surge debido a que nada dice en cuanto a la forma de decidir si dos cosas deben o no considerarse como igualmente posibles y la idea de formarse de cómo puede hacerse la división en casos igualmente posibles cuando se trata de observaciones de los experimentos al azar.

Los avances matemáticos en la teoría de la probabilidad estaban relativamente limitados y no pudieron establecerse con firmeza, hasta que el matemático Andrey Nokolaevic Kolmogorov (1903 - 1987) en su obra “Grundbegriffe der Wahrscheinlich Keitsrechnvng” (1933) enunció matemáticamente un conjunto sencillo de tres axiomas o reglas a las que se supone que las posibilidades se ajustan. Establecido esta base axiomática, se han logrado avances muy significativos en la teoría de las probabilidades y en el número de problemas prácticos a los cuales puede aplicarse.

En el presente capítulo estudiaremos estos tres axiomas y las razones por las que podrían adoptarse razonablemente estos axiomas a las que obedecen las probabilidades; la definición de la frecuencia relativa de la probabilidad, antes indicada, sólo es una manera de calcular las probabilidades, como mostraremos, éstas cumplen los tres axiomas.


Centremos nuestra atención en la construcción de un modelo de probabilidad para un experimento que es el espacio de probabilidad especificado por (1) el conjunto de resultados posibles, (2) una familia de eventos del conjunto de resultados y, (3) la frecuencia relativa en que ocurren estos, calculada a partir de un análisis del experimento y para su consistencia se usan los axiomas.1.2 EXPERIMENTO ALEATORIO

Para la comprensión posterior, presentamos las siguientes definiciones:DEFINICIÓN 1.2.1

Un experimento u operación es una acción y efecto mediante el cual se obtiene un resultado de una observación.

Un experimento puede ser determinístico y no determinístico.DEFINICIÓN 1.2.2.

Un experimento es determinístico, cuando el resultado de la observación se predice con exactitud antes de realizar el experimento.DEFINICIÓN 1.2.3.

Un experimento es no determinístico, aleatorio o estadístico, cuando el resultado de la observación no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento.EJEMPLO 1.2.1 Son ejemplos de experimento determinístico, las siguientes operaciones:

1. Lanzar un objeto al aire.2. Tirar una piedra a un vidrio.3. Observar el color de una bola extraída de una urna que contiene sólo

bolas azules.4. Quemar un objeto fungible.5. El fin de la vida de un ser viviente.

1.2.2 Son ejemplos de experimento aleatorios, las siguientes operaciones:: Lanzar una moneda y observar la cara superior.

: Lanzar una moneda 3 veces y observar el número de caras obtenidas.

: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos y

no defectuosos.: Observar el color de una bola extraída de una urna que contiene bolas negras y blancas.

: Observar el tiempo de duración de una bombilla eléctrica.

: Observar la mortalidad infantil de una población en un determinado

mes.Al observar experimentos aleatorios, encontramos las siguientes

características comunes:

1E

2E

3E

4E

5E

6E

•

••

=

Ω

ωω=Ω

=Ω

====Ω

=Ω=Ω

∈=Ω ≥=Ω

Introducción al Cálculo de Probabilidades 7

• Cada experimento puede repetirse indefinidamente sin variar esencialmente sus condiciones.

• No se conoce “a priori” un resultado particular del experimento.• Cuando el experimento se repite en un número suficientemente grande de

veces, su resultado tiende a un modelo de regularidad; es decir, llega a

estabilizarse la función (frecuencia relativa), donde n es el número

de repeticiones, m el número de éxitos de un resultado particular establecido antes de realizar el experimento.

1.3 ESPACIO MUESTRALManifestamos como un aspecto común de que cada experimento

aleatorio tiene varios resultados posibles y que podemos describir con precisión el conjunto de estos resultados posibles; ello nos induce a dar la siguiente definición:DEFINICIÓN 1.3.1Dado un experimento aleatorio E, un espacio muestral, denotado por , es el conjunto formado por todos los resultados posibles de E, esto es:

es el resultado posible de EA cada resultado de un espacio muestral se le llama elemento o miembro del espacio muestral, o simplemente un punto muestral. El espacio muestral puede tener un número finito o infinito de elementos y ello depende del experimento aleatorio.EJEMPLOS:1.3.1 Son ejemplos de espacio muestral asociados a los experimentos del

ejemplo 1.2.2, los siguientes espacios, que se describa mediante una enumeración de los elementos o el método de la regla, que dependen de cada problema específico:

Experimento Aleatorio

Espacio Muestral

; C = Cara, S = Sello

; D = Defectuoso, N = No defectuoso

es una bola negra o blanca

número de niños que mueren en un mes

nm

h =

Ω

ωω=Ω

1E

2E

3E

4E

5E

6E

S,C1 =Ω

selloscarac);c,c,c(),s,c,c(),c,c,s(

),c,s,c(),c,s,s(),s,c,s(),s,s,c(),s,s,s(3,2,1,02

====Ω

N,D3 =Ωxx4 =Ω∈=Ω t5 0/ ≥t

xx6 =Ω


Es deseable, en general, utilizar un espacio muestral que proporcione la mayor información concerniente a los resultados del experimento.En algunos experimentos es útil anotar sistemáticamente los elementos del espacio muestral por medio de un diagrama de árbol, diagrama llamado así por su apariencia y que se emplea para conexión con el principio anterior.1.3.2 Consideremos el experimento de lanzar una moneda al aire una vez

y dos en caso de que ocurra cara (C). Si en la primera ocasión se obtiene sello (S), entonces se arroja un dado una vez. Para representar los elementos del espacio muestral tal que registre la mayor información construiremos el siguiente diagrama de árbol:

Las diversas trayectorias, a lo largo de sus ramas, proporcionan los distintos puntos muestrales. Al dar inicio por la rama superior izquierda y avanzar hacia la derecha a lo largo de la primera rama (trayectoria), obtenemos el punto muestral CC, el cual indica la posibilidad de que se presenten dos caras en dos lanzamientos sucesivos de la moneda. De manera similar, el punto muestral S2 señala la posibilidad de que se presenta un sello, a la que seguirá un 2 en el lanzamiento del dado. Si se procede a lo largo de todas las ramas, el espacio muestral será:

DEFINICIÓN 1.3.2Todo subconjunto de un espacio muestral , se denomina evento o

suceso.Es de esperar que es un evento llamado evento universal o suceso

seguro y también lo es el conjunto vacío que indica el evento imposible.Los siguientes son ejemplos de eventos. Otra vez nos referiremos a los

experimentos anotados anteriormente. se referirá a un evento asociado con el experimento .

6S,5S,4S,3S,2S,1S,CS,CC=Ω

Ω

Ωφ

iE

Ω

Ω

∪

∩

=

=

∞

=

∞

=

Ω Ω( ) Ω×Ω∈ωω

ω

=Ω

Ω

Ωφ


= C; es decir, ocurre una cara.

= 3; es decir, ocurren tres caras.

= N; es decir, el artículo tomado no fue defectuoso.

=x/x es blanco; es decir, la esfera extraída es blanca.

=t/t<5; es decir, l bombilla se quema en menos de cinco horas

=5; es decir, 5 niños mueren en un mes.Dado que los eventos son subconjuntos de un espacio muestral ,

introducimos algunas operaciones algebraicas entre eventos:a) Si A es un evento: ó ó es el evento que ocurre si y sólo si A

no ocurre. (Complemento de un evento, obviamente respecto de ,también conocido como evento contrario de A).

b) Si A y B son eventos: es el evento que ocurre si y sólo si A ó B ó ambos ocurren (unión o reunión de dos eventos)

c) Si A y B son eventos, ó AB, es el evento que ocurre si y sólo si A y B ocurren (intersección de dos eventos)

d) Si es una sucesión finita de eventos, entonces:

1) es el evento que ocurre si y sólo si, al menos uno de los eventos

ocurre (unión o reunión finita de eventos)

2) es el evento que ocurre si y sólo si todos los eventos ocurren

(intersección finita de eventos)e) Si ,... es una sucesión infinita o numerable de eventos,

entonces

1) es el evento que ocurre si y sólo si, al menos uno de los eventos

ocurre (unión, reunión infinita o numerable de eventos)

2) es el evento que ocurre si y sólo si todos los eventos ocurren

(intersección infinita o numerable de eventos)f) Si representa un espacio muestral asociado con el experimento E y se

realiza E dos veces. Entonces, x se utiliza para representar todos los resultados de esas dos repeticiones. Es decir ,

significa que resultó cuando se realiza E la primera vez y cuando E se realiza la segunda vez.

1A

2A

3A

4A

5A

6A

Ω

cA 'A AΩ

BA∪

BA∩

n321 A,...,A,A,A

n

1iiA

=

iA

n

1iiA

=iA

n321 A,...,A,A,A

∞

=1iiA

iA

∞

=1iiA iA

Ω Ω( ) Ω×Ω∈ωω 21,

2ω


g) Generalizando f). consideremos n repeticiones de un experimento E cuyo espacio muestral es , entonces

representa el conjunto de todos los resultados posibles, cuando E se realiza n veces. En cierto sentido, es un espacio muestral asociado con n repeticiones de E.

h) Si A y B son eventos, se dice que son mutuamente excluyentes sí y sólo si

i) La familia de todos los subconjuntos de, se llama conjunto potencia y es frecuentemente denotado por; es decir = A/ A .

Si es finito con n elementos, entonces tiene elementos.NOTACION: Siguiendo la tradición en el estudio de las Probabilidades y Estadística, el producto de eventos denota intersección de eventos, por lo que

adoptamos: ; esperando no confundir con el verdadero

significado.

1.4 -ALGEBRA DE EVENTOS

DEFINICIÓN 1.4.1Si es una familia de eventos del espacio muestral . Entonces es un -álgebra de eventos, si y es cerrado bajo la complementación y unión numerable de eventos; es decir:1.

2. Si A

3. Si .

EJEMPLO 1.4.1 Consideremos el experimento aleatorio E que consiste en lanzar una

moneda. El espacio muestral asociado a este experimento es:donde C = cara y S = sello

Son - álgebra de eventos de , las familias:

1 = , y 2 = , , C, S = ; ya que satisfacen las tres condiciones de la definición anterior y mientras que la familia:

3 = , , C no es un - álgebra de eventos de ; puesto que

C 3 y 3, luego no cumple una condición de la definición.Pasaremos ahora a establecer y demostrar consecuencias importantes de

las tres condiciones de un - álgebra de eventos:

Ω( ) n,...,2,1i,/...,,... in21n21 =Ω∈ωωωω=Ω××Ω×Ω

n21 ... Ω××Ω×Ω

φ=∩BA

Ω2 Ω⊆

Ω Ω2 n2

n21

n

1ii A...AAA =

=

σ

A Ω σ∈Ω A

∈Ω A∈ ∈⇒ cA A

∈,...A,...,A,A,A n321 A ∈⇒∞

=

1iiA A

;S,C=Ωσ Ω

A Ω φ A Ω φ 2Ω

A Ω φ σ Ω

∈ A ∉= SC c A

σ

φ A ∈φ A

∈Ω A ∈Ω AΩ=φ ∈φ A

A σ ΩΩ φ A

ΩΩ φ σ

Ω ∈ AΩ ∈ A ∈φ=Ω⇒ A

∈ A ∈=⇒ A ⇒ ∈ AA A

∈Ω=∪Ω A ∈Ω=∪ A

A ∈

A ∈= A

∈φ A ===φ ++

∈∞

= A

=

∞

== ∈

= A

A∈ A ∈

∞

= A

∈ A ∈ A

∈∞

= A ∈

∞

= A

Ω( ) =Ω∈ωωωω=Ω××Ω×Ω

Ω××Ω×Ω

φ=∩

Ω Ω⊆

Ω Ω

==

σ

A Ω σ∈Ω A

∈Ω A∈ ∈⇒ A

∈ A ∈⇒∞

= A

;=Ωσ Ω

A Ω φ A Ω φ Ω

A Ω φ σ Ω

∈ A ∉= A

σ


TEOREMA 1.4.1El evento imposible , siempre pertenece a , es decir .DEMOSTRACION:Por (1) de la definición y por (2) de la definición y dado que , entonces .

NOTA: Si es un - álgebra de eventos de , de la definición y el teorema anterior, observamos que siempre y pertenecen a .EJEMPLO 1.4.2 Tomemos el experimento aleatorio E, que consiste en esperar el

resultado de un partido de fútbol entre dos equipos. El espacio muestral asociado a este experimento es:

= G, E, P; donde G = gana, E = empata y P = pierdeLa familia = , ,G, E, P es un - álgebra, puesto que:

1.2.

G E, Pc

3. La unión de elementos de están en ; por ejemplo:, , etc.

TEOREMA 1.4.2es cerrado bajo la unión finita de eventos; es decir si:

, entonces .

DEMOSTRACION:Como , por el teorema 1.4.1, definimos ,

entonces por (3) . Pero como , entonces

TEOREMA 1.4.3es cerrado bajo la intersección numerable de eventos; es decir si:

, entonces .

DEMOSTRACION:Como para i=1,2,3, ...., también para i=1,2,3, ....

Entonces por (3) . Por (2) se tiene que . Por una

φ A ∈φ A

∈Ω A ∈Ωc AcΩ=φ ∈φ A

A σ ΩΩ φ A

ΩΩ φ σ

Ω ∈ AΩ ∈ A ∈φ=Ω⇒ c A

∈ A ∈=⇒ P,EG c A ⇒ ∈ AA A

∈Ω=∪Ω G A ∈Ω=∪ P,EG A

A ∈n321 A,...,A,A,A

A ∈=n

1iiA A

∈φ A ...AA 2n1nA ===φ ++

∈∞

=

1iiA A

n

1ii

1ii AA

=

∞

== ∈

=n

1iiA A

A∈,...A,...,A,A,A n321 A ∈

∞

=

1iiA A

∈iA A ∈ciA A

∈∞

=

1i

ciA A ∈

∞

=

c

1i

ciA A


de las leyes de De Morgan generalizada, se tiene:

luego .

COROLARIO 1.4.1es cerrado bajo la intersección finita de eventos, es decir; si

, entonces .

DEMOSTRACION:Sea , entonces aplicando el teorema 1.4.3 se tiene que:

.

Como veremos más adelante, un - álgebra será una familia particular de eventos que representará el dominio de la función real valorada que induce la ordenación probabilística, o mejor dicho, los elementos del -álgebra y sólo ellos, tendrán asociado a un número real como “medida” de probabilidad por lo que sólo los elementos de dicho - álgebra serán comparables bajo la indicada ordenación probabilística.

Consecuentemente, decir que un evento pertenece a un - álgebra puede interpretarse intuitivamente como afirmar que interesa “medir” su probabilidad, o bien interesa compararlo probabilísticamente con los demás eventos del - álgebra. De acuerdo con esta interpretación y tomando en cuenta la definición de - álgebra, así como los teoremas puede afirmarse:a) Siempre interesará “medir” la probabilidad de .

b) Si interesa “medir” la probabilidad de A, interesará “medir” la de A .c) Si interesa “medir” la probabilidad de cada término de la sucesión

, entonces interesa “medir” la probabilidad de:

DEFINICIÓN 1.4.2Sea un espacio muestral y sea un - álgebra de eventos de donde

( . Se llama espacio medible al par ( , ). Si A se dice que A es medible.

Consideremos como G = donde, A∈ , G , deseamos encontrar un - álgebra de eventos de el "más pequeño" que contiene a G, en el sentido de que todos los elementos de G están en dicho - álgebra de eventos de y de los restantes eventos, solo están en ese - álgebra.

( ) ∞

=

∞

=

∞

===

1ii

1i

cci

c

1i

ci AAA

∈∞

=

1iiA A

A∈n321 A,...,A,A,A A ∈

=n

1iiA A

....AA 2n1n ===Ω ++

∈==

∞

=n

1ii

1ii AA A

σ

σ

σ

σ

σσ

φc

Ν∈iA i

.AA,A,An

1ii

n

1ii

1ii

1ii

==

∞

=

∞

=

Ω A σ ΩA 2 )Ω⊆ Ω A ∈ A

cA,A A Ω⊆ 2σ Ω

σΩ σ

] ] ∈

∈ ∈

A σ Ω∈ A ∈ A ∈φ A ∈Ω A

φ Ω σ Ω

⊆Ωφ A Ωφ σ Ω

A Ωφσ

Ω⊆

Ω⊆ A σ⊆ A⊆ A A σ Ω

A ⊆ A A σ Ωσ Ω

A σ

σ

σσ

A

⊆ A ⊆ AA ⊆ A

≤ ∈∈∈

∈

( ) ∞

=

∞

=

∞

===

∈∞

= A

A∈ A ∈

= A

....===Ω ++

∈==

∞

= A

σ

σ

σ

σ

σσ

φ

Ν∈

==

∞

=

∞

=

Ω A σ ΩA Ω⊆ Ω A ∈ A

A Ω⊆σ Ω

σΩ σ


Aquellos cuya inclusión resulta imprescindible para caracterizarla como tal. Si, llamamos (G) a dicho - álgebra de eventos de , encontraremos

que A (G) y A (G) y además, (G) y (G) puesto

que y pertenecen a cualquier - álgebra de eventos de . Por lo tanto, se tiene que

(G)

Como es un - álgebra de eventos de y por lo tanto cualquier otro suceso no resulta necesario para caracterizarla, por lo que:

(G) =Daremos ahora una definición matemática del - álgebra "más pequeño"

que contiene a G .DEFINICIÓN 1.4.3

Sean G y (G) un - álgebra tal que:1) G (G)2) G y es un - álgebra de eventos de , entonces

(G) , luego (G) se llama - álgebra de eventos de generado por G o es el - álgebra mínimo de eventos de que contiene a G.Deseamos que todo intervalo del sistema de los números reales tenga

asignada una probabilidad y, por lo tanto, si I es un subconjunto del sistema de los números reales, consideremos (I) como un - álgebra suficientemente detallada, la que según se establece en la siguiente definición, se llama - álgebra de Borel en el sistema de los números reales.DEFINICIÓN 1.4.4Sea I un conjunto de intervalos en el sistema de los números reales( ), el -álgebra de Borel en R, denotado por B, es el - álgebra generado por I. Los elementos de B se llaman borelianos.TEOREMA 1.4.4Sea J = ]a, b]/ a, b ∈ , entonces (J) = B.DEMOSTRACION:Como J I, entonces (J) (I)= B. Falta demostrar que:

(I) (J).Sean x∈ , y∈ , tal que , , definamos:

de manera que:

A σ Ω∈ A ∈c A ∈φ A ∈Ω A

φ Ω σ Ω

⊆Ωφ ,A,A, c A ,,A,A, c Ωφ σ Ω

A ,,A,A, c Ωφσ

Ω⊆ 2

Ω⊆ 2 A σ⊆ A⊆ A A σ Ω

A ⊆ A A σ Ωσ Ω

A σ

σ

σσ

A

⊆ A ⊆ AA ⊆ A

x y≤ NnC,NnB,NnA nnn ∈∈∈


;

entonces

y además

por tantoA (J) A (J) A (J).

En consecuencia, todo intervalo acotado pertenece a (J).Ahora consideremos el intervalo no acotado , sea

tal que . Entonces y

(J)

En forma similar se prueba que (J). Por tanto, I (J); de donde

(I) ( (J)) = (J ).1.5 ESPACIO DE PROBABILIDAD

Dado el evento A, debemos asignarle un número, denotado por P(A), que se lee como “probabilidad de la ocurrencia del evento A”, o simplemente como “la probabilidad del evento A”, tal que P(A) refleja el comportamiento experimental de las frecuencias de la ocurrencia del evento A, cuando repetimos el experimento aleatorio: "Lanzar al aire un dado dos veces", un gran número de veces bajo condiciones uniformes. En general, deseamos definir una función real sobre tal que a cada evento de le asigne un número "su probabilidad de ocurrencia", y, las reglas que damos para manipular esta función deberán reflejar el comportamiento experimental de las frecuencias.Sean A = (x, y) un evento, que significa “la puntuación total lograda en dos lanzamientos de un dado no exceda de 4”, y el evento: B = (x, y) que significa “la puntuación total lograda en los dos lanzamientos de un dado es mayor que 5”. Supongamos que se han efectuado 4 veces el experimento de lanzar un dado al aire dos veces y se han obtenido los siguientes resultados:

=

n1

-yx,C,n1

-y,n1

-x=B,y,n1

-x=A nnn

NnJ,CJBJA nnn ∈∀∈∧∈∧∈

[ ] ] [ ] [y,xClim,y,xBlim,y,xAlim nn

nn

nn

===∞→∞→∞→

∈∞→ n

nAlim ∧ ∈

∞→ nn

Blim ∧ ∈∞→ n

nClim

A] ]x,n−

N/nDn ∈ ] ]x,n=Dn − NnJ,Dn ∈∀∈] ]∈∞−=

∞→x,Dlim n

nA

[ [∈∞,x A ⊆ A

A ⊆ A A A

A A

4yx/ ≤+Ω×Ω∈

5yx/ >+Ω×Ω∈

Ω=∪

Ω A ΩA σ

≥ ∈∀ AΩ

A

( )∑=

∞

=

∞

=

A →

∈ A

=

N∈∀∈∧∈∧∈

[ ] ] [ ] [y===∞→∞→∞→

∈∞→

∧ ∈∞→

∧ ∈∞→

A] ]−

∈ ] ]− N∈∀∈] ]∈∞−=

∞→A

[ [∈∞ A ⊆ A

A ⊆ A A A

A A

≤+Ω×Ω∈

>+Ω×Ω∈


primera vez sale 6

segunda vez sale 4

tercera vez sale 9

cuarta vez sale 9

EVENTO A No ocurre ocurre no ocurre no ocurreEVENTO B ocurre no ocurre ocurre ocurreEVENTO AUB ocurre ocurre ocurre ocurreFrecuencia de la ocurrencia de A

0/1 1/2 1/3 1/4

Frecuencia de la ocurrencia de B

1/1 1/2 2/3 3/4

Frecuencia de la ocurrencia de AUB

1/1 2/2 3/3 4/4

Donde la frecuencia de la ocurrencia de un evento, como ya sabemos, es la división entre el número de veces que se haya realizado el evento y el número de veces que se hizo el experimento.

Observamos que en ningún caso las frecuencias son menores que 0 ni mayores que 1. Si tomamos es fácil ver que sus frecuencias serán siempre iguales a 1 (suponiendo que siempre cae en as o en uno).DEFINICIÓN 1.5.1Un espacio de probabilidad es una terna de objetos ( , , P), donde esun espacio muestral finito no vacío, es un - álgebra de eventos, y P es una función real definida sobre A con las siguientes propiedades:1.- P(A) 0,2.- P ( ) = 13.- Si: es una sucesión numerable de eventos disjuntos

de , entonces:

.

NOTA: La función P: , definida con las propiedades mencionadas se llama función de probabilidad o medida de probabilidad o simplemente “probabilidad P”.

Si , se dice que P(A) es la probabilidad de A (probabilidad de ocurrencia de A). Como indicamos anteriormente, las únicas ordenaciones probabilísticas que estudiaremos serán definidas a través de funciones de probabilidad; por lo que, en adelante, no se hará distinción entre la probabilidad (ordenación en los eventos) y la función de probabilidad.

Ω=∪ cAA

Ω A ΩA σ

≥ ∈∀A AΩ

,...A,...,A,A,A n321

A

( )∑=

∞

=

∞

= 1ii

1ii APAP

A →

∈A A


Debemos señalar que este sistema de axiomas de la probabilidad se supone válido para cualquier experimento. Apoyándonos en los axiomas anteriores deduciremos los siguientes resultados:TEOREMA 1.5.1 P ( ) = 0DEMOSTRACION:Sean: , , ..... Evidentemente, la sucesión numerable de

eventos es disjunta. En consecuencia, por el axioma (3) de la definición

anterior, se tiene:

Para que esta igualdad sea válida, el único valor posible de P ( ) es cero.TEOREMA 1.5.2Si: es una sucesión finita de eventos disjuntos cualesquiera, entonces:

.

DEMOSTRACION:

Hagamos que entonces:

.

TEOREMA 1.5.3Si A y B son eventos cualesquiera de , entonces:

.DEMOSTRACION:Como , entonces por el teorema 1.5.2, se tiene que

y como , entonces , de aquí que:

de donde .COROLARIO 1.5.1Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

El corolario 1.5.1 es resultado inmediato del teorema 1.5.3 ya que, si A y B son mutuamente excluyentes, y entonces,

φ

φ=1A φ=2A

An

( ) ∑ φ=∑=

=φ

∞

=

∞

=

∞

= 1i1ii

1ii )(PAPAP)(P

φ

n21 A,...,A,A

( )∑=

==

n

1ii

n

1ii APAP

n,...,3,2,1i..si,..Ani....si,....i

iB =>φ=

( ) ( ) ( )∑=∑=∑=

=

==

∞

=

∞

==

n

1ii

n

1ii

1ii

1ii

n

1ii APBPBPBPAP

Ω

)AB(P)B(P)A(P)BA(P −+=∪

BAABA c∪=∪)BAA(P)BA(P c∪=∪ )BA(P)A(P c+=

BAABB c∪= )BA(P)AB(P)B(P c+=

)AB(P)B(P)BA(P c −=)AB(P)B(P)A(P)BA(P −+=∪

)B(P)A(P)BA(P +=∪

φ=∩BA

( )=φ==∩

+−−−++=∪∪

+≤∪

≥∪ ≤

++≤∪∪

∪+≤∪∪ ++≤

Ω ⊂≤

−∪=−+=

≥ ≥

( ) −= ( ) −=

∪=Ω ( )∪=Ω=

( ) −= ( ) −=

( ) ( )

Ω

=

φ

φ= φ=

( ) ∑ φ=∑=

=φ

∞

=

∞

=

∞

=

φ

( )∑=

==

=>φ=

( ) ( ) ( )∑=∑=∑=

=

==

∞

=

∞

==

Ω

)−+=∪

∪=∪∪=∪ +=

∪= +=

−=)−+=∪

)+=∪

φ=∩


COROLARIO 1.5.2Para tres eventos A, B y C, se tiene:

DEMOSTRACIONAplicando el Teorema 1.5.3 en dos oportunidadesCOROLARIO 1.5.3 (Desigualdad de Boole)Si A y B son eventos, entonces:

DEMOSTRACION:Si en el teorema 1.5.3 se supone que P(AB) 0, entonces

P(A B) P(A) + P (B)COROLARIO 1.5.4Si A, B y C son tres eventos cualesquiera, entonces:

DEMOSTRACION: Aplicando 2 veces el teorema 1.5.3 y el corolario 1.5.3, tenemos:

.TEOREMA 1.5.4Si A y B son eventos cualesquiera de , si , entonces:

y P(B-A) = P(B) - P(A).DEMOSTRACION: Como: , donde A y A-B son mutuamente excluyentes, entonces, , de donde P(B-A) = P(B) - P(A).Puesto que P(B-A) 0, también resulta que .TEOREMA 1.5.5Para cualquier evento A: y .DEMOSTRACION:Como: . Entonces de donde se tiene:

y .

Es frecuente llamar tanto a y como probabilidades complementarias. TEOREMA 1.5.6Si contiene n eventos elementales equiprobables y m de estos pertenecen al

evento A, entonces .

DEMOSTRACION:

( ) 0P)AB(P)BA(P =φ==∩

)ABC(P)BC(P)AC(P)AB(P)C(P)B(P)A(P)CBA(P +−−−++=∪∪

)B(P)A(P)BA(P +≤∪

≥∪ ≤

)C(P)B(P)A(P)CBA(P ++≤∪∪

)CB(P)A(P)CBA(P ∪+≤∪∪ )C(P)B(P)A(P ++≤

Ω A B⊂)B(P)A(P ≤

)AB(AB −∪=)AB(P)A(P)B(P −+=

≥ P(B) P(A)≥

( ) )A(P1AP c −= ( ) )A(P1AP c−=

cAA∪=Ω ( )cAP)A(P)(P1 ∪=Ω=

( ) )A(P1AP c −= ( ) )A(P1AP c−=

( )AP ( )cAP

Ω

nm

)A(P =


Sea ,entonces . Por ser los eventos

mutuamente excluyentes y eventos elementales (conjunto que tiene un punto muestral como único elemento; conjunto unitario) equiprobables (igual probabilidad).

, entonces:

que es la probabilidad de un evento elemental equiprobable.

Por otro lado, sea , entonces:

Por tanto, .

Como consecuencia del teorema podemos afirmar que, la probabilidad de un evento, cuando los eventos elementales son equiprobables, es igual al número de casos favorables (número de elementos de A o cardinalidad de A) sobre el número de casos posibles (número de elementos de o cardinalidad de ).

Esta es la definición clásica de Probabilidad que dice: “La probabilidad de un evento A es la oportunidad relativa que tiene el evento de ocurrir y es igual al número de casos favorables sobre el número de casos posibles”. Así mismo, es la interpretación de la frecuencia de ocurrencia de un evento, obviamente bajo las condiciones del teorema 1.5.6.

DEFINICIÓN 1.5.2Se conoce como espacio de probabilidad equiprobable a aquel espacio donde la probabilidad P asigna igual probabilidad a cada uno de sus eventos elementales (condición del teorema 1.5.6).EJEMPLOS1.5.1 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado aparezca en la cara

superior un valor par y cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que dos?SOLUCIÓN:El espacio muestral es = 1,2,3,4,5,6

n

1iiW

==Ω )W(PWP)(P

n

1ii

n

1ii ∑=

=Ω

== iW

( ) ( ) ( ) ( ) )W(PWP...WPWPWP n321 =====

( ) )W(nP)W(PWP)(Pn

1i

n

1ii =∑=∑=Ω

==⇒

n1

)W(P)W(nP1 =⇒=

m

1iiWA

==

( ) )W(mP)W(PWPWP)A(Pm

1i

m

1ii

m

1ii =∑=∑=

=

===

nm

n1

m)A(P =

=

ΩΩ

)(#

)A(#

deelementosdenúmero

Adeelementosdenúmero

posiblescasos

favorablescasos)A(P

Ω=

Ω==

Ω

Podemos representar a Ω por medio de:

===Ω

=

===Ω

=

Ω

===

=

===

=Ω

Ω =

=

Ω

=

=Ω ∑=

=Ω

==

( ) ( ) ( ) ( ) )=====

( ) =∑=∑=Ω==

⇒1

=⇒=

=

=

( ) =∑=∑=

=

===

=

=

ΩΩ

)

Ω=

Ω==

Ω


a) Los pares son A = 2,4,6, entonces

b) Mayor que 2: = 3,4,5,6, entonces

1.5.2 Una carta se extrae aleatoriamente de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una jota y cuál la probabilidad de que sea un cinco de corazones?SOLUCIÓN:Previamente, recordemos que en una baraja de 52 cartas hay 13 cartas de cuatro palos: espadas, corazones, tréboles y oros; consecuentemente es importante tener presente que el espacio muestral , tiene 52 cartas y los eventos, tienen elementos, de acuerdo con los casos favorables:

a)

b) , (en las 52 cartas hay un sólo cinco de

corazones).1.5.3 Dos personas A y B juegan de la siguiente manera: cada una lanza una

moneda dos veces. Un posible resultado, representado en notación matricial es, por ejemplo:

Primer Lanzamiento Segundo lanzamiento

Si suponemos que cada uno de estos elementos (es decir matrices), tienen la misma probabilidad ¿Cuál es la probabilidad de que el evento elemental anterior ocurra?SOLUCIÓN:Podemos representar a Ω por medio de:

En total el número de elementos de es , por lo que

para cualquier elemento de

1.5.4 En el ejemplo anterior ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos?

5,021

63

#A#

)A(P ===Ω

=

B 666,032

64

#B#

)B(P ===Ω

=

Ω

131

524

)11(P)jota(P ===

521

)corazonesdecinco(P =

A C (Cara) C

B S (Sello) C

===

=Ω 2,1jy2,1i;Cbieno,SX

XX

XXij

2221

1211

Ω 1624 =

161

XX

XXP

2221

1211 =

2221

1211

XX

XXΩ


a) = A obtiene dos caras.

b) = Cada persona obtiene por lo menos una cara.SOLUCIÓN:

OBSERVACIÓN: Cuando digamos “un elemento de una población finitaes seleccionado al azar” asignaremos la misma probabilidad a cada elemento de . Es decir, estaremos trabajando en un espacio equiprobable.1.5.5 Una bola es seleccionada al azar, de una caja que contiene 4 bolas

blancas, 6 bolas rojas y 5 bolas verdes. Determinar la probabilidad de que sea:a) verdeb) no blancac) roja o verdeSOLUCIÓN:El espacio muestral tiene: 4 + 6 + 5 = 15 bolas

a)

b) P (no blanca) = 1 - P(blanca) =

c) P (roja o verde) = = P(R) + P(V) - P(RV)

= , P(RV) = 0, por ser mutuamente

excluyentes, P (roja o verde) =

1.5.6 Después de un extenso estudio, los archivos de una compañía de segurosrevelan que la población de una región cualquiera puede clasificarse, según sus edades, como sigue: Un 35 % menores de 20 años, un 25% entre 21 y 35 años, un 20% entre 36 y 50 años, un 15% entre 51 y 65 años y un 5% mayores de 66 años. Supongamos que se puede elegir una persona, de manera que cualquier habitante de la región supuesta tiene la

1E

2E

=

CC

CC

SC

CC

CS

CC

SS

CCE1 ( )

41

164

EP 1 ==∴

=

SC

CS

CS

SC

CS

CC

CC

CS

CS

CS

SC

SC

CC

SC

SC

CC

CC

CCE2

( )169

EP 2 =∴

Ω

Ω

31

155

bolasdetotalnúmeroverdesbolasdenúmero

)verde(P ===

1511

154

1 =−

)VR(P ∪

031

156

−+

1511

1556=

+

Ω

==+=

Ω AΩ

( )==

=

==

( ) ( ) =+=+=

( ) ( ) ( ) =++=++=

= ( ) 1

==∴

=

( ) =∴

Ω

Ω

1===

11=−

)∪

−+

11=

+


misma probabilidad de ser elegido. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea mayor de 50 años?SOLUCIÓN:El espacio muestral: = menos de 20, 21 a 35, 36 a 50, 51 a 65, mayores de 66Valor asignado a los puntos muestrales:

Por lo tanto, la probabilidad buscada es:

1.5.7 Una palabra de la frase: “el que estudia triunfa”, será seleccionada al azar. En este caso = el, que, estudia, triunfa, y es la familia de todos los subconjuntos (eventos) de y nuestra función de probabilidad

asigna probabilidad a cada palabra.

Las probabilidades de los eventos:a) El número de vocales de la palabra seleccionada es 2.b) El número de consonantes de la palabra seleccionada es 1.c) Hay más vocales que consonantes. d) Hay por lo menos dos vocales.

son respectivamente . El evento “el número de vocales de la

palabra seleccionada es 2”, es representada por A = que y tiene

probabilidad ; el evento "El número de consonantes

de la palabra seleccionada es 1", está dada por y tiene una

probabilidad de ; el evento “hay más vocales que

consonantes” es representado por C=que, estudia y su probabilidad es

; y finalmente el evento “hay

por lo menos dos vocales”, es representado por D = que, estudia, triunfa y tiene probabilidad:

Ω

1005

,10015

,10020

,10025

,10035

51

10020

1005

10015

P ==+=

Ω AΩ

41

43

,21

,21

,41

( )41

queP)A(P ==

que,elB =

21

42

)B(P ==

( ) ( )21

41

41

estudiaPqueP)C(P =+=+=

( ) ( ) ( )43

41

41

41

triunfaPestudiaPqueP)D(P =++=++=


1.5.8 Si , calcular:

a)

b)

c)SOLUCIÓN:

a)

b)Como

Entonces

c)

1.5.9 Si se carga un dado, de manera que un número par tiene el doble de posibilidades de presentarse que un número impar. Sea A el evento de que el dado caiga en un número par y B el evento de que resulte uno divisible entre 4. Hallar y .SOLUCIÓN:El espacio muestral es: = 1,2,3,4,5,6, y si m es la probabilidad de presentación de un número impar, entonces 2m es la probabilidad de presentación de un número par. Dado que la suma de las probabilidades

debe ser 1, se tiene 3(m) + 3(2m) = 1, entonces 9m = 1, o . De

aquí que, las probabilidades de se le asigna a cada número impar

y par, respectivamente.Por otro lado: A= 2,4,6 y B = 4, entonces A U B = 2,4,6 ,

= 4

Al asignarle una probabilidad de a cada impar y de a cada par,

entonces:

32

)BA(Py,21

)B(P,21

)A(P =∪==

)A(P

)BA(P ∩)BA(P ∩

21

21

1)A(P1)A(P =−=−=

[ ] )BA(P)B(P)BA(BP)BA(P ∩−=∩−=∩

31

32

132

21

21

)BA(P)B(P)A(P)AB(P)BA(P

=−=−+=

∪−+==∩

61

31

21

)BA(P =−=∩

32

=31

-1=P(AB)-1=)BAP(=)BAP( ∩∪

P(A B)∪ c cP(A B )∪

Ω

91

m =

92

y91

BA∩

91

92

==++=∪

∩∩∪

Ω

( )∪ ∪

( )∪ ∪ = + + −

[ ]+ + +

2=∪==

)

)∩)∩

1=−=−=

[ ] )∩−=∩−=∩

)

=−=−+=

∪−+==∩

1=−=∩

2∩∪

B)∪ ∪

Ω

1=

2

B∩1 2


a)

b)

NOTA: Debe observar el lector, que contiene eventos no equiprobables y por lo que no se utiliza el teorema 1.5.6 en el cálculo de las probabilidades.1.5.10 En cierta ciudad, el porcentaje de personas que leen los diarios A, B y

C están dados en el siguiente diagrama:

a) ¿Qué porcentaje de la población lee al menos uno de los periódicos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada

aleatoriamente de esta población sea lectora del periódico B y no lo sea de los periódicos A y C?

SOLUCIÓN:a) Deseamos hallar , entonces:

= 0.5 + 0.4 + 0.4 - (0.1 + 0.2 + 0.15) + 0.04 = 1.3 - (0.45) + 0.04 = 0.89Leen al menos uno de los periódicos el 89% de la población.

b) Deseamos Hallar Tenemos el siguiente diagrama de Veen (ampliado):

32

96

92

92

92

)BA(P ==++=∪

97

=92

-1=B)P(A-1=)BAP(=)BP(A cc ∩∩∪

Ω

( )P A B C∪ ∪

( )P A B C P(A) P(B) P(C)∪ ∪ = + + −

[ ]P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)+ + +

)BCA(P cc


Luego comparando o por observación directa con el diagrama de la

hipótesis:

1.5.11 Si = y P una probabilidad, definida por:

Calcular:

a) , b) y c)

SOLUCIÓN:

a) ,b)

c) Como en : ,

Entonces

19.010019

)BCA(P cc ==

Ω

] ]( )

>

≤<+

≤<

≤

=∞−

1xsi,1

1x21

si),1x(31

21

x0si,x21

0xsi,0

x,P

2

∞−

31

,P ] ]( )5,P ∞−

32

,31

P

181

91

21

31

21

31

,P2

=

=

=

∞− ] ]( ) 15,P =∞−

+∞

∞−=

,

31

32

,32

,31

)(P,31

P132

,P

)(P,31

P32

,P

,31

32

,P,31

P32

,P

,31

32

,P32

,31

P

c

Ω−

+∞−+

∞−=

Ω−

+∞+

∞−=

+∞∪

∞−−

+∞+

∞−=

+∞

∞−=

21

189

18110

181

35

31

1181

1132

31

)(P31

,P132

,P

==−

=−

=

−−+

+=

Ω−

∞−−+

∞−=

≤∧≤= ≤∧≤= ≤∧≤= ≤∧≤= ≤<∧≤<=

( ) = ( ) = ( ) = ( ) =( )

( )∪−=[ ][ ]∩−+−=

∪−=∪−=

[ ]+−−=−+−=

==−

=+−−=

<∧≥−=Ω

Ω

==

Ω

] ]( )

>

≤<+

≤<

≤

=∞−

∞− ] ]( )∞−

=

=

=

∞− ] ]( ) 1=∞−

+∞

∞−=

Ω−

+∞−+

∞−=

Ω−

+∞+

∞−=

+∞∪

∞−−

+∞+

∞−=

+∞

∞−=

==−

=−

=

−−+

+=

Ω−

∞−−+

∞−=


1.5.12 Si = y si:,

,

Si se tiene que:

, , , ,

Hallar SOLUCIÓNGraficando adecuadamente, los diferentes eventos, obtenemos:

y aplicando el teorema 1.5.4, tenemos:

EJERCICIOS1.- Escriba los elementos de cada uno de los siguientes espacios muestrales:

a) El conjunto de los enteros de 1 y 30 divisibles por 6. b) El conjunto de resultados, cuando una moneda se lanza al aire hasta que resulten una cara o tres caras.

c) El conjunto2.- Especificar un espacio muestral en un experimento en el que se deje sacar

dos bolas con reemplazo, de una urna que contiene 10 bolas (esto es, la primera se devuelve a la urna, antes de sacar la segunda). Suponer que las bolas están numeradas

3.- Supongamos que los residentes de Cotabambas son calvos, o de cabellos cortos(recortado) o ya sea que son pelucones; además, que tienen ojos negros o bien ojos pardos. Se selecciona al azar un residente y se pide dar un espacio muestral para este experimento y defina los siguientes eventos:A: El residente seleccionado es pelucón.B: El residente seleccionado tiene ojos pardosC: El residente seleccionado tiene cabello corto(recortado) y ojos

negros.

4y2x)y,x(A1 ≤∧≤= 1y2x)y,x(A 2 ≤∧≤= 4y0x)y,x(A3 ≤∧≤= 1y0x)y,x(A 4 ≤∧≤= 4y12x0)y,x(A5 ≤<∧≤<=

( )87

AP 1 = ( )21

AP 2 = ( )83

AP 3 = ( )82

AP 4 =

( )5AP

( )3215 AAAA ∪−=[ ][ ])AA(P)A(P)A(P)A(P

)AA(P)A(P)AA(AP)A(P

32321

3213215

∩−+−=∪−=∪−=

[ ])A(P)A(P)A(P)A(P

)A(P)A(P)A(P)A(P

4321

4321

+−−=−+−=

41

82

846

82

83

21

87

==−

=+−−=

1x04x2x <∧≥−=Ω

Ω


4.- En una carrera participan 7 caballos (numerados del 1 al 7), se otorgan premios de llegada al primero, segundo y tercer lugar. Dar un espacio muestral adecuado para este experimento y defina los siguientes eventos:A: El caballo 4 gana el primer premio.B: El caballo 4 llega en el tercer lugar.C: El caballo 4 no termina en los tres primeros lugares.

5.- Un “canillita” vende periódicos todos los días en la misma esquina, y cuenta con una dotación de 50 periódicos, sin saber por anticipado, cuantos venderá un determinado día. Definir un espacio muestral adecuado para el experimento que consiste en el número de ventas que hará cualquier día, definiendo los eventos:A: Vende al menos 9 periódicos.B: Vende cuando mucho 9 periódicos.C: Vende exactamente 9 periódicos.

6.- Considerar el experimento que consiste en el número de ventas que puede efectuar el “canillita” del ejercicio anterior, en dos días consecutivos. Dar un espacio muestral adecuado para el experimento definiendo los eventos:A: Vende cuando menos 9 periódicos el primer día.B: Vende cuando menos 9 periódicos el segundo día.C: Vende al menos 9 periódicos en ambos días.

7.- Un experimento consiste en lanzar en primer lugar un dado y después lanzar una moneda, siempre y cuando el número en el dado sea par. Si al resultado del dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Al utilizar la notación 2C, por ejemplo, se indica el evento donde el número resultante en el dado es un dos y la moneda cae en cara; y 5CS para señalar el evento de que el dado muestra un 5 y en la moneda se dan una cara y un sello. Dibuje un diagrama de árbol para mostrar los elementos del espacio muestral .

8.- Para el espacio muestral del ejercicio anterior, enumere los elementos del evento:a) A: El dado cae en un número menor a 3.b) B: Se obtiene dos sellos.c)

9.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados comunes se presenten dos valores tales que la suma sea:a) 4b) 9

10.- ¿Cuál es la probabilidad de que sean mujeres los tres hijos de una familia?11.- Si se extrae una carta de un paquete, bien barajado de 52 naipes ¿Cuál es

la probabilidad de obtener:

Ω

B'A∩

Ω⊂⊂

∩=∩∪=∪∪∪=∪∪∩∩=∩∩

∪φφ∩φ Ω∪Ω∩Ω

( ) ∪∪ ∪

Ω

∪=

=−

=

====

=

=

Ω

B∩


a) Un rey trébol?b) Un 2,5,7 o 9?c) Un as rojo y una jota negra?

12.- Ciertos billetes de lotería están numerados del 00001 al 50000. ¿Cuál es la probabilidad de comprar un billete al azar y que el número resulte divisible entre 200?

13.- Si A, B y C son eventos del espacio muestral . Demostrar que:a) Si , entoncesb)c)d) , e)

f) , g) y h)

14.- Si A es una sucesión de eventos del espacio muestral . Probar

que:

a)

b) (Leyes de De Morgan)

15.- Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican en defectuosos (D) y no defectuosos (N). Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos, cualesquiera que ocurran primero. Describir un espacio muestral para este experimento.

16.- Se hizo un lanzamiento de tres monedas no sesgadas.a) Escriba el espacio muestral para este experimento.

¿Cuál es la probabilidad de que:b) Aparezcan exactamente dos caras?c) Por lo menos aparezca dos caras?d) Por lo menos los resultados de dos de las monedas sean iguales?

17.- Dos objetos A y B se distribuyen al azar en tres celdas numeradas. Defina un espacio muestral adecuado para este experimento. Use subíndices para indicar el número de las celdas; por ejemplo, significa que A esta en la celda 1 y B en la celda 3. Cuál es la probabilidad de que:a) La celda dos quede vacías?b) Dos celdas queden vacías?

18.- En el ejemplo 1.5.3 ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos?:

ΩCByBA ⊂⊂

ABBAyABBA ∩=∩∪=∪)CB(AC)BA(yC)BA()CB(A ∪∪=∪∪∩∩=∩∩

A=A y=A ∪φφ∩φ Ω∪Ω∩Ω =A yA =A

( ) A=Ac cBAA=BA c∪∪ BAAB=B c∪

n Ω

∪=

=−

=n

1ii

c1i

c11

n

1ii AA...AAA

n

1i

ci

cn

1ii

n

1i

ci

cn

1ii AAyAA

=====

=


a) A obtiene por lo menos una cara y B obtiene exactamente una cara.b) El resultado del primer lanzamiento de A coincida con el primero de

B.19.- Un punto del diagrama (adjunto) será seleccionada al azar. Calcular las

probabilidades de los eventos:a) La abscisa del punto es 1. b La abscisa del punto es -2.c) La abscisa y la ordenada del punto coincidan.d) La ordenada es mayor que la abscisa.e) La ordenada es al menos tan grande como la abscisa.f) La abscisa y la ordenada del punto no son iguales.g) La suma de las coordenadas del punto no excede a 4.

20.- ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar tres monedas, se obtenga tres "caras" o tres "sellos?".

21.- Si se lanza un par de dados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 5 ó 6?

22.- Se lanza un par de dados ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un número par de puntos en los dos dados?

23.- Cierto tipo de motor eléctrico falla por obstrucción de los cojinetes, por combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas. Supongamos que la probabilidad de que la obstrucción es el doblete de la combustión, la cual es cuatro veces más probable que la inutilización de las escobillas. ¿Cuál es la probabilidad de que el fallo sea por cada uno de esos tres mecanismos?

24.- Supongamos que A, B y C son eventos tales que:

P(A) = P(B) = P(C) =, y .

Calcular la probabilidad de que al menos uno de los eventos A, B ó C ocurra.

25.- Si A, B y C son eventos mutuamente excluyentes y P(A) = 0.2, P(B) = 0.3 y P(C) = 0.2, encuentre a) y b)

12345

1 2 3 4 5

-1-2-3-4-5

X

Y

-1-2-3-4-5

0)BC(P)BA(P =∩=∩81

)CA(P =∩

)CBA(P ∪∪ [ ])CB(AP ∪∩

=∩∪ ∩ ∪

A Ω A∈Ω A A

∈Ω A ∈ A ∈⇒ A

∈ A ∈⇒= A

σ

] ]( )

−

0=∩=∩1

=∩

)∪∪ [ ])∪∩


26.- Si P(A) = 0.35, P(B) = 0.73,

Calcular: a) , b) y c)

27.- Si es una familia de eventos del espacio muestral . Entonces es un álgebra, sí y sólo si y es cerrado bajo la complementación y unión finita, es decir:

a) , b) Si .

c) Si .

Probar: Que toda álgebra es un -álgebra.

28.- En una Universidad, el 40% de los estudiantes son de la misma ciudad donde funciona dicho Centro Superior de Estudios, el 10% estudian Educación y el 2% son de la misma ciudad y estudian Educación. si se selecciona al azar un estudiante:¿Cuál es la probabilidad de que:a) No sea de la misma ciudad?b) Sea de la misma ciudad o estudie Educación?c) No sea de la ciudad ni estudie Educación?d) Sea de la misma ciudad y no estudie Educación?

29.- En el ejemplo 1.5.11. Calcular:

a) , b) y c)

30.- Si la probabilidad de un evento A es p, entonces las posibilidades de que ocurran están dadas por la razón de p, a 1 - p. Comúnmente las posibilidades se dan como cocientes de dos enteros positivos que no tienen un factor común y, si es más probable la no ocurrencia de un evento, se acostumbra a dar las probabilidades de que no ocurrirá en lugar de las que si ocurra. ¿Cuáles son las posibilidades a favor o en contra de la ocurrencia de un evento si su probabilidad es:

a) , b) 0.05 y c) 0.8

14.0)BA(P =∩)BA(P ∪ )BA(P ∩ )BA(P ∪

A Ω A∈Ω A A

∈Ω A ∈A A ∈⇒ cA A

∈n21 A,...,A,A A ∈⇒=n

1iiA A

σ

8,

21

P ] ]( )1010,5P

−

21

,3P

74

CAPÍTULO 2: ANALISIS COMBINATORIO

En muchas ocasiones es dificultoso determinar el número de elementos de un espacio muestral, por medio de observación directa y esta evaluación lleva consigo a tener dificultad de encontrar el elemento de aleatoriedad que se asocia con la ocurrencia de ciertos eventos. Muchos problemas de probabilidad pueden solucionarse contando los elementos que pertenecen a los diferentes conjuntos; para ello, es importante tener a la mano varias técnicas, desafortunadamente, no existe una técnica general que pueda aplicarse en forma universal a todos los problemas de conteo y la mayoría de estos problemas se pueden resolver mediante un análisis razonado y cuidadoso.

En este capítulo desarrollaremos las ideas básicas de las diferentes técnicas de conteo o enumeración, conocido como Análisis Combinatorio.2.1 PRINCIPIO DE ENUMERACIÓN

En esta sección aprenderemos como enumerar. Consideremos el espacio

de probabilidad equiparable P(A) = , donde r es el número de elementos de

y k es el número de elementos de . En los ejemplos y ejercicios propuestos se encuentra poca dificultad de calcular r y k. Pero es necesario considerar situaciones un poco más complicadas, para apreciar la necesidad de contar sistemáticamente o de procedimientos de enumeración.2.1.1 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.

Si un evento puede realizarse de maneras diferentes; y si, continuando

el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de maneras diferentes, y si, después de efectuadas, un tercer evento puede realizarse de

maneras diferentes, y así sucesivamente, el último k evento puede

realizarse de maneras, entonces el número de maneras en que los k eventos

pueden realizarse en el orden indicado es el productoPara interpretar este principio con 2 eventos (1 y 2) consideremos un

enfoque esquemático: Sea M y dos rectas: 1 2L y L . El primer evento consiste

en ir de M a 1L mientras que el segundo consiste en ir de . El esquema siguiente, indica cómo se obtiene el resultado.

kr

∈AA A Ω

1n

2n

3n

kn

k21 n...nn

21 LaL

r

∈ A Ω


EJEMPLOS2.1.1 ¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse usando 2 letras y un

número de 4 cifras, en el que la primera cifra debe ser diferente de uno?SOLUCIÓN:Se trata de llenar seis espacios, dos con letras y cuatro con números. El primer y segundo espacio pueden llenarse en 26 formas cada uno (no se consideran letras compuestas: CH, LL, RR y Ñ); el tercer espacio en nueve formas, el cuarto, quinto y sexto, en 10 formas diferentes cada uno. Por el principio de multiplicación se tiene:

(26)(26)(9)(10)(10)(10) = 6 084 000Si suponemos que los seis espacios es una caja de seis compartimentos, entonces se tiene:

Como un caso particular se tiene:

2.1.2 ¿En cuántas formas puede, una asociación de choferes de microbuses, elegir entre sus 30 miembros a un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero?SOLUCIÓNDado que el presidente puede ser elegido de 30 maneras distintas, luego un vicepresidente de 29 maneras diferentes, un secretario de 28 y un tesorero de 27; consiguientemente utilizando el principio de la multiplicación hay un total de (30)(29)(28)(27) = 657 720 formas en las cuales puede realizarse la elección completa de directivos de la asociación.

2.1.3 ¿De cuántas maneras diferentes puede ser contestado un formulario de 15 preguntas, si cada una se contesta con un verdadero o un falso?


SOLUCIÓN:La primera pregunta puede ser contestada de dos maneras distintas, la segunda de dos maneras distintas, la tercera de dos maneras distintas, y así sucesivamente, la última pregunta también de dos maneras distintas. Por consiguiente, aplicando el principio de la multiplicación:

formas diferentes.

NOTA: El principio de la Multiplicación tiene su analogía matemática: Si A tiene m elementos y un conjunto B tienen n elementos, entonces el conjuntoA B× (producto cartesiano) tendrá mxn elementos.

2.1.4 Si un experimento consiste en lanzar un dado dos veces y sean los eventos:A = en el primer lanzamiento salga parB = en el segundo lanzamiento salga impar, menor que 5C = primer lanzamiento salga par y segundo lanzamiento salga impar,

menor que 5¿De cuantas maneras ocurrirá el evento C?SOLUCIÓN:A = 2,4,6, B = 1,3, entonces C ocurrirá de = 6 maneras, Por analogía matemática:

que son las seis maneras de ocurrencia del evento C.

2.1.2 PRINCIPIO DE ADICIÓNSi un evento puede realizarse de maneras diferentes; y si, continuando

el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de maneras diferentes, y si, después de efectuadas, un tercer evento puede realizarse de

maneras diferentes, y así sucesivamente, el último k evento puede

realizarse de maneras diferentes, y tal que los k eventos son mutuamente excluyentes. Entonces el número de maneras en que los k eventos pueden realizarse es la suma .

3276822...22 15

veces15

==×××

23×

)3,6)(1,6)(3,4)(1,4)(3,2)(1,2(BAC =×=

1n

2n

3n

kn

k21 n...nn +++

∪ φ=∩

= =

∪

A B×

==×××

2×

)=×=

+++


Para interpretar este principio con 2 eventos, otra vez usamos el enfoque esquemático, como se indica:

EJEMPLOS2.1.5 Supongamos que proyectamos un viaje Cusco - Arequipa y debemos

decidir el transporte por carretera o ferrocarril. Existen tres tipos de vehículos por carretera (automóvil, camión y ómnibus) y dos por ferrocarril (simplemente tren y auto vagón).SOLUCIÓNPor el principio de la adición se tiene 3+2 = 5 tipos de transporte para viajar de Cusco a Arequipa por carretera o ferrocarril.

NOTA: El principio de la adición, así como el caso anterior, tiene su analogía matemática: Si un conjunto A tiene m elementos y un conjunto B tienen n elementos, entonces tendrá m + n elementos, si (A y B mutuamente excluyentes).2.1.6 Si un experimento consiste en lanzar un dado sobre una mesa y sean los

eventos y . El evento A ocurre de dos maneras (cuando sale 2 o 4), y el evento B ocurre de tres maneras (cuando sale 1,3 o 5); entonces, como los eventos son mutuamente excluyentes, el evento A o B ocurrirá de 2 + 3 = 5 maneras; es decir si sale 1,2,3,4 o 5.

= 1,2,3,4,52.2. TIPOS DE ANÁLISIS COMBINATORIO.

Como dejamos entender, en la sección anterior, el Análisis Combinatorio es un sistema que permite agrupar y ordenar, en diversas formas, los elementos de un conjunto, obviamente basado en los dos principios de la multiplicación y adición.

Si tenemos un conjunto de “n” elementos y tomamos “k” de ellos para formar agrupaciones, estos se distinguen entre sí por el orden en que están colocados los elementos o por uno o más de ellos.

Así, por ejemplo, con los elementos p, q, r, s y t formamos agrupaciones de 3 en 3:

pqr y prq se diferencian sólo por el orden.pqr y pqs se diferencian por un elemento.

BA∪ φ=∩BA

4,2A = 5,3,1B =

BA∪


Si de los elementos que se disponen para formar las agrupaciones todas diferentes; resultan agrupaciones sin repetición, si algunas son iguales resultan agrupaciones con repetición.

Los principales tipos de análisis combinatorio o agrupaciones son: Permutaciones y Combinaciones.2.2.1 PERMUTACIONESA) PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

I) Supongamos que se tienen n objetos diferentes. ¿De cuántas maneras se puede agrupar (permutar) estos objetos?

Para contestar esta pregunta, induciremos mediante un ejemplo.EJEMPLO2.1.1 Supongamos que se tiene tres bolas, una roja (R), una blanca (B) y una

azul (A), las cuales deben colocarse en fila ¿De cuántas formas podemos agrupar?SOLUCIÓN:El problema consiste en hacer una lista de todas las agrupaciones posibles y luego enumerarlas. Una forma de efectuar el listado es por medio del siguiente enfoque esquemático:

El diagrama indica que existen 6 agrupaciones posibles y que se toma en cuenta el orden en que los objetos se colocan. Así BRA y BAR se cuentan como dos agrupaciones diferentes. En este tipo de agrupaciones el orden es fundamental.

Otra forma de efectuar el listado es colocar en una caja rectangular de tres compartimentos las tres bolas, en algún orden específico. El primer compartimento puede ser ocupado por cualquiera de las tres bolas; es decir:

+Ζ∈

−π≈

=π≈ −


El segundo compartimento puede ser ocupado por cualquiera de las otras dos restantes, es decir:

Finalmente, el tercer compartimento será ocupado por la bola restante, es decir:

Aplicando el principio de la multiplicación, se tiene: 3 x 2 x 1 = 6 agrupaciones posibles, con las cuales se puede llenar la caja.

En general, agrupar los n objetos diferentes es equivalente a ponerlos en una caja con n compartimentos, en algún orden específico.

La primera casilla se puede llenar en una de las n maneras, la segunda de las (n-1) maneras restantes, ..., y la última casilla sólo de una manera. Por lo tanto, aplicando el principio de la multiplicación, vemos que la caja se puede llenar de (n)(n-1), ... , (3)(2)(1) maneras.

DEFINICIÓN 2.2.1.1Sí , el número n(n-1)...3.2.1, es denominado factorial de n, denotado por n!; es decir:

n! = n(n-1)...3x2x1Es de notar que 0! = 1 (por convención).

Como ejemplos citemos:1! = 13! = 3x2x1 = 66! = 6x5x4x3x2x1 = 120

Cuando n es grande, el cálculo de n! es poco práctico. En tal caso, el valor de n! se obtiene utilizando máquinas calculadoras o a partir de una fórmula aproximada de Stirling que es:

donde e = 2.71828182......., es la base de los logaritmos naturalesAsí, por ejemplo:

+Ζ∈ 0n

nnenn2!n −π≈

Xe)50()50(2!50 5050 =π≈ −


de donde , por tanto:Las propiedades más importantes de factoriales son:1.2.

3. n!= m! n = m⇔DEFINICIÓN 2.2.1.2Una permutación de n objetos diferentes, es cualquier agrupación que se puede formar con todos los elementos de un conjunto de n objetos diferentes en un orden dado; el número de permutaciones que se puede formar con “n” elementos se representa por nPn; y está dada por.

nPn = n!Las permutaciones se diferencian entre sí sólo por el orden de sus

elementos.Aplicando esta definición, las permutaciones de las tres bolas del ejemplo

2.2.1, es:3! = 3x2x1 = 6

EJEMPLOS2.2.2 De cuántas maneras pueden formarse una fila de 7 soldados.

SOLUCIÓN:En este caso, todos los 7 soldados entran en la fila y como el orden en que están colocados interesa; se trata de una permutación.Luego = 5,040 son las maneras de formarse

2.2.3 Un examen consta de cinco preguntas y se deja libertad para contestarlas de la pregunta que se desee. ¿De cuántas maneras se puede contestar?SOLUCIÓN:Las cinco preguntas serán contestadas en un determinado orden, luego se trata de una permutación, entonces se contestará de:

( )

4836.64Xlog

)4343.0(50)6990.1(50)4972.0(21

)2(21

)71828.2log(5050log50)142.3log(21

221

elog5050log50log21

100log21

e)50()50(2logXlog 5050

=

−++=

−++=

−+π+=

π= −

641004.3X ×= 641004.3!50 ×≈

1n0n1!n =∨=⇔=)!1n(n!n −=

)!2n)(1n(n!n −−=

1234567!7P77 ××××××==

××××==

×××××××==

×××==

×==

×==

=××=××

−=

⇔

( )

=

−++=

−++=

−+π+=

π= −

×= ×≈

1=∨=⇔=)!−=

)!−−=

1××××××==


= 120 maneras.2.2.4. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse las letras de la palabra

ESTUDIAR?SOLUCIÓN:Las 8 letras de la palabra ESTUDIAR determinan filas y el orden en que aparecen interesa, luego se trata de una permutación.Entonces:

= 40320 son las maneras de ordenar las letras de la palabra ESTUDIAR.

2.2.5. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse un estante de cinco libros de matemática y tres libros de física, a condición de que dos libros de matemática estén siempre juntos y del mismo modo dos libros de física?SOLUCIÓN:Analizando detenidamente, observamos que interesa el orden, luego es un caso especial de permutaciones:Permutaciones para los libros de matemáticas:

= 24Permutaciones para los libros de física:

= 2Permutaciones con los dos grupos

= 2Luego el número total de permutaciones, por el principio de la multiplicación es:

.

DEFINICIÓN 2.2. 1.3Se llaman permutaciones circulares a aquellas permutaciones que pueden formarse con “n” objetos dados, de manera que no hay un primer ni último objeto; es decir se hallan en forma cerrada. El número de permutaciones circulares distinto que pueden formarse con “n” objetos está dado por:

EJEMPLO2.2.6 De cuantas maneras pueden sentarse 10 personas alrededor de una mesa

circular, si:a) Pueden sentarse indistintamenteb) Hay dos pares de enamorados y cada par distinto de enamorados

deben estar uno al lado del otro.SOLUCIÓN:

12345!5P55 ××××==

12345678!8P88 ×××××××==

1234!4P44 ×××==

12!2P22 ×==

12!2P22 ×==

962224PPP 222244 =××=××

)!1n(Pcnn −=


Puesto que el orden es importante, se trata de permutaciones y distribuciones en una mesa circular.

a) El número total de maneras distintas que pueden sentarse los 10 miembros alrededor de la mesa es:

b) Considerando las dos personas que han de ir juntas como una sola, para cada par de enamorados; tenemos como 8 personas para sentarse alrededor de la mesa, lo que puede hacer de 7! = 5040 maneras. Cada par de enamorados, considerados como una sola persona, pueden a su vez ordenarse entre sí de 2! = 2x1 = 2 maneras. Por lo tanto, el número de maneras a sentarse alrededor de la mesa circular, para este caso es:

.II) Supongamos que tenemos n objetos diferentes y que deseamos

escoger r de estos objetos, y permutemos los r elegidos.Nuevamente, recurrimos al esquema de la parte I) de llenar una caja que

tiene n compartimentos, ahora nos detenemos después que se ha llenado el compartimento r-ésimo. Así, el primer compartimento puede llenarse de n maneras, el segundo de (n-1) maneras, ... , y el r-ésimo compartimento de

maneras, esquemáticamente:

Así, se puede realizar el procedimiento completo, de nuevo usando, el principio de la multiplicación, de: n(n-1) (n-2)...(n-r+1) maneras.DEFINICIÓN 2.2.1.4Una permutación de n objetos diferentes tomados r a la vez o de r en r, r n,es cualquier agrupación de r objetos escogidos de un conjunto de n objetos diferentes, en un orden dado. El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r, se denota por ; y está dado por:

En una permutación de n objetos diferentes tomados r a la vez, se deben tener en cuenta que:1) En cada grupo entra “r” elementos de los “n”.2) Dos grupos se consideran distintos cuando difieren o bien en algunos de

los elementos o bien en el orden en que van colocados.Muchos autores denominan a las permutaciones de n objetos diferentes;

tomados de r a la vez como permutación parcial o variaciones

362880!9)!110(Pc1010 ==−=

20160225040!2!2!7PPP 2222c88 =××=××=××

nr0 ≤≤

( )[ ]1rn −−

≤

rn P

)!rn(!n

)1rn)...(1n(nPrn −=+−−=

=×

×××=

−=

=××××=−

=

==−

=

==−=

=××=××=××

n≤≤

( )[ ]−−

≤

P

−=+−−=


(permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad) de orden o clase “r”EJEMPLOS2.2.7. Hallar el número de permutaciones de 4 objetos, tales como A, B, C y

D tomados dos a la vez. En otras palabras, hallar el número de “palabras de dos letras diferentes” que pueden formarse con las cuatro letras numeradas.Representemos las palabras de dos letras por los dos compartimentos de una caja. Ahora la primera letra puede escogerse de cuatro formas diferentes y enseguida, la segunda letra puede escogerse de tres formas diferentes; es decir.

Así por el principio de la multiplicación se tiene 4x3 =12 posibles palabras de dos letras sin repetición. Aplicando factoriales se tiene:

Estas palabras son:AB, BA, BC, CBAC, CA, BD, DBAD, DA, CD, DC

2.2.8. Un club tiene 25 miembros y se desea elegir un presidente, un vicepresidente, un secretario, un tesorero y un fiscal ¿Cuántos candidatos pueden formarse si:a) Cualquier miembro del club es elegible para cualquier cargo?b) Tres miembros determinados son elegibles para presidente y para los demás cargos?SOLUCIÓN:Notemos que el orden es importante, luego se trata de permutaciones:a) Observemos que de 25 hay que seleccionar 5 y a su vez éstas tendrán

que distribuirse en uno de los cargos, luego el número de permutaciones o grupos de candidatos que se puede formar son:

b) Sacamos a 1 de las tres personas que pueden ocupar el cargo de presidente, luego de los 24 restantes formamos, los candidatos para los 4 cargos restantes que son:

1212

1234)!24(

!4P24 =

××××

=−

=

60037562122232425)!525(

!25P525 =××××=

−=

25502421x22x23x24)!424(

!24P424 ==

−=


Como son tres los que pueden ocupar la presidencia, se tiene para este caso que el número de candidatos es:

3 x 255024 = 7650722.2.9. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos del 0

al 9; usándolos una vez?SOLUCIÓN:Se trata de permutaciones, ya que el orden importa. Luego el número buscado es:

Es de notar que este caso es diferente a la lotería (que admite repetición), que teniendo los dígitos del 0 al 9 y cada billete tiene cifras de tres dígitos, el total de billetes es:

= 10 x 10 x 10 = 1000.2.2.10. Cada país de los cuatro que forman un mapa es pintado de diferente

color. ¿De cuántas maneras puede ser pintado el mapa si se dispone de siete colores?SOLUCIÓN:Pintar el mapa con siete colores agrupados de cuatro en cuatro merece un orden, luego se trata de una permutación.Entonces las maneras como puede ser pintados el mapa son:

2.2.11. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 10 banderas distintas, levantando 3 y no más de 5 banderas en una driza de un mástil?SOLUCIÓN:El orden es importante, luego se trata de permutaciones:Se presentan los siguientes casos:

Levantando sólo 3, tenemos:

Levantando sólo 4, tenemos

Levantando sólo 5, tenemos

7208910)!310(

!10P310 =××=

−=

310

8404567)!47(

!7P47 =×××=

−=

7208910)!310(

!10P310 =××=

−=

504078910)!410(

!10P410 =×××=

−=

30204678910)!510(

!10P510 =××××=

−=

=++=++

====−

=

=

=

=

=

≤≤

==

=××=−

=

=×××=−

=

=××=−

=

=×××=−

=

=××××=−

=


Por lo tanto, aplicando el principio de la adición, se forman las siguientes señales diferentes:

OBSERVACIÓN: Las permutaciones desarrolladas en la parte I) es un caso particular de las de II). Si r = n, entonces:

B) PERMUTACIONES CON REPETICIÓNSupongamos que tenemos n objeto de los cuales hay iguales entre sí,

y designemos por x al número de permutaciones posibles. Si los elementos fuesen diferentes unos de otros, el número de permutaciones distintas que se podrían derivar de cada una de las x sería ! y en total x !. Pero el número

de permutaciones es, por otro lado, n! de donde x ! = n! . Entonces,

Si además de aquellos elementos iguales entre sí, hay todavía otros

iguales y designemos con z el número de permutaciones posibles,

obtendríamos de cada una de estas z, si los elementos n2 fuesen distintos,

! y en total z. !. Pero, por otra parte, el número de permutaciones,

cuando solamente había n1 elementos iguales, es , por tanto

luego . Generalizando encontraremos la siguiente definición:

DEFINICIÓN 2.2.1.5El número de permutaciones de n tal que dichos n elementos, son divididos en m partes ordenadas (particionado en m subconjuntos) de los cuales, el primero contiene elementos, el segundo , etc., es:

Donde , , ... , son números enteros positivos, tal que

+ + ... + = n

En la práctica los diferentes que toman valor de 1, ya no

se consideran en el cálculo, porque , pero sí aquellos que son

mayores o iguales a 2 ; como veremos en los siguientes ejemplos:

00036240305040720PPP 510410310 =++=++

nnrn P!n1!n

!0!n

)!rn(!n

P ====−

=

1n

1n

1n 1n

1n!n!n

x1

=

1n

2n

2n 2n

!n!n

1 !n!n

!n.z1

2 =

!n!n!n

z21

=

1n 2n

!n!...n!n!n

Pm21

n,...,n,nn m21=

1n 2n mn

1n 2n mn

mjn j ≤≤1;

1!1!n j ==


EJEMPLOS2.2.12 Hallar el número de permutaciones de los números: 1,2,3,2.

SOLUCIÓN:Aplicando la definición tenemos: n = 4, = 1, = 2, = 1 (número de veces que aparecen los números 1,2 y 3 respectivamente)entonces:

y estos son:

2213 2321 1223 32122231 2132 3221 13222123 2312 1232 3122

2.2.13 ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra: ¿TRIUNFARAS?SOLUCIÓN:Como en el caso anterior, se trata de permutaciones con repetición, n = 10 (número de letras de la palabra TRIUNFARAS), = 1 (número de

veces que aparece la letra T), = 2 (número de veces que aparece la

letra R), = 1 (número de veces que aparece la letra I), = 1

(número de veces que aparece la letra U), = 1 (número de veces que

aparece la letra N), = 1 (número de veces que aparece la letra F),

= 2 (número de veces que aparece la letra A) y = 1 (número de veces que aparece la letra S). Tomando en cuenta la observación última, el número de permutaciones distintas que se pueden formar con las dos letras de la palabra TRIUNFARAS son:

2.2.14 ¿De cuántas formas diferentes pueden ocho personas acomodarse en dos habitaciones triples y una habitación doble de un hotel??SOLUCIÓN:Como quiera que sea importante el orden, se trata de una permutación con repetición, entonces, las formas posibles de acomodo serán:

DEFINICIÓN 2.2.1.6El número de permutaciones de n elementos de un conjunto, todos distintos, tomados de r en r, con repetición es igual a:

1n 2n 3n

12!2!4

!1!2!1!4

P 1,2,14 ===

1n

2n

3n 4n

5n

6n 7n

8n

200907228006283

!2!2!10

PP 2,2101,2,1,1,1,1,2,110 =×

===

560266

4320!2!3!3

!8P 2,3,38 =

××==

rrn nPR =

==××=

==

===

=×

===

=××

==

=


EJEMPLOS2.2.15 ¿De cuántas maneras se pueden escoger tres cartas sucesivas de una

baraja de 52 cartas con sustitución?SOLUCIÓN:Como el orden importa, se trata de una permutación con repetición y como cada carta se regresa a la baraja antes de escoger la siguiente, luego cada carta puede escogerse de 52 maneras diferentes. Entonces el número de maneras que se puede escoger es de:

pruebas ordenadas diferentes de tamaño 3 con sustitución.

2.2.16¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1,2 y 3, con repetición?

SOLUCIÓN:El orden es importante, consecuentemente se trata de una permutación de 3 elementos tomados de 2 en 2, con repetición. Entonces los números que se forman son:

Estos números son:11 12 1321 22 2331 32 33

2.2.2 COMBINACIONESA) COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

El siguiente ejemplo servirá para expresar la idea de combinación de n objetos tomados de r en r sin repetición.EJEMPLO2.2.17 Supongamos que un estudiante tiene posibilidad de llevar 3 de los 5

cursos programados es una especialidad. Determine de cuantas formas puede hacer su elección.SOLUCIÓN:En este caso, el orden no cuenta y solo interesa hacer los arreglos o “selecciones” de 3 cursos diferentes.Si los 5 cursos se designan con A, B, C, D y E, las posibles selecciones, serán las siguientes:

ABC. ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE y CDEEs decir, que en total se tiene 10 selecciones, y cada una recibe el nombre de combinación de los cinco cursos, tomadas de tres en tres o simplemente se dice que en total son 10 combinaciones.

60814052525252PR 3352 ==××=

93PR 223 ==


Este ejemplo sirve de base para marcar la diferencia entre permutación y combinación. En permutación el orden se toma en cuenta, mientras que en combinación no se toma en cuenta el orden.

DEFINICIÓN 2.2.2.1Una combinación de n objetos, sin repetición, tomados de r en r (r < n), es un subconjunto de r objetos obtenidos de un conjunto de n objetos sin repetición y sin considerar su orden, y se denota por .

El número de estas combinaciones, todos distintos, es:

De aquí que:

Es preciso aclarar que, dado un conjunto de n elementos, combinaciones significa formar grupos de r elementos, donde un grupo difiere de otro en un elemento o más y el orden de ellos no interesa.

El número , aparece en muchos contextos en matemáticas, y

por lo tanto se emplea un símbolo especial para designarle. Escribiremos:

Estos números son los llamados “coeficientes binomiales”. Para nuestro fin son definidos sólo si n y r son tal que, .

La denominación de coeficientes binomiales es en atención al Teorema del Binomio en el que aparecen como coeficientes. El Teorema del Binomio, como es ampliamente conocido, está dado por:

Los coeficientes binomiales tienen muchas propiedades interesantes de las cuales tenemos:

a) , b) , c) d) ,

e) , f) y g)

rn C

)!rn(!r!n

r...321)1rn)...(2n)(1n(n

C rn −=

××××+−−−

=

!rP

C rnrn =

)!rn(!r!n−

=

− r

n

)!rn(!r!n

+Ζ0 nr0 ≤≤

n22n1nn

rnrn

0r

n

b...ba21

)1n(nbnaa

bar

n)ba(

++×−

++=

∑

=+

−−

−

=

−

=

rn

n

r

n

−+

−−

=

r

1n

1r

1n

r

n1

0

n=

1

0

0=

1n

n=

n

1

n=

+

−

=

+r

n

1r

n

r

1n

=×

==−

=

==

=×

==−

=

=×

==

=

−=

××××+−−−

=

=

−

=

−

+Ζ n≤≤

++×−

++=

∑

=+

−−

−

=

−

=

−+

−−

=

=

=

=

=

+

−

=

+


EJEMPLOS2.2.18 Sea el conjunto de elementos: A, M, O, R.

¿Cuántas combinaciones podemos obtener tomándolos de 2 en 2?SOLUCIÓN:El número de combinaciones es:

que son AM, AO, AR, MO, MR y ORObservemos que MA no está considerado, ya que de acuerdo con la definición AM es lo mismo que MA; es decir el orden no interesa y los diferentes grupos se diferencian, mutuamente, por lo menos en un elemento.

2.2.19 ¿Cuántas combinaciones de 5 cartas pueden formarse de un mazo ordinario de 52 cartas?SOLUCIÓN:El número de combinaciones es:

2.2.20 El entrenador de fulbito del Centro Social “KUTAQ”, ha seleccionado a 8 jugadores, que se desempeñan con la misma eficiencia en cualquier puesto en la cancha, a excepción del arquero que es inamovible. ¿De cuántas maneras distintas puede formar al equipo titular?SOLUCIÓN:Como el arquero es inamovible, el entrenador tiene 7 jugadores de los cuales debe escoger solamente 5 y no importa el orden, luego hallaremos el número de combinaciones que será las maneras distintas de formar el equipo titular:

2.2.21 Un examen consta de 6 preguntas, si se debe dar respuesta sólo a 4 de las 6 preguntas. ¿Cuántos exámenes de diferente contenido habrá que corregir como máximo?SOLUCIÓN:Como los exámenes de diferentes contenidos no necesitan orden, se trata de un problema de combinaciones. Por tanto, el número de exámenes que se debe corregir como máximo es:

y estos son:

622

24!2!2

!4)!24(!2

!4C24 =

×==

−=

9605982!47!5

!52C552 ==

212

67!2!5

!7)!57(!5

!7C57 =

×==

−=

152

56!2!4

!64

6C46 =

×==

=


1234 1235 1236 1245 12461256 1345 1346 1356 14562345 2346 2356 2456 3456

2.2.22 ¿Cuántas comisiones compuestas de 3 estudiantes y 6 profesores pueden formarse a base de 6 estudiantes y 12 profesores como máximo?SOLUCIÓN:No siendo necesario el orden, hallaremos el número de combinaciones:

y y para determinar las comisiones compuestas apliquemos el principio de multiplicación. Por lo tanto, el número de comisiones que se puede formar como máximo es:

2.2.23 Una caja contiene 5 bolas rojas, 4 bolas verdes y 3 bolas amarillas. ¿Cuántas selecciones de 3 bolas se pueden formar, si:a) Las tres bolas deben ser rojas.b) Ninguna puede ser roja.SOLUCIÓN:Se trata de problemas de combinaciones, ya que el orden no importa.

a)

b) Las condiciones del problema se cumplen si tenemos:

Como cada una son mutuamente excluyentes, entonces aplicando el principio de la adición, el número total de selecciones que se forman es:

.2.2.24 La diferencia entre el número de permutaciones de n objetos, tomados

de 2 en 2 y el de combinaciones de estos objetos tomados de 2 en 2 es 105. Calcular el valor de n.SOLUCIÓN:Por condición del problema:

36 C 612 C

!6!6!12

!3!3!6

6

12

3

6CC 61236 ×=

×

=×

4801866

789101112=

××××××

=

102

45!2!3

!53

5C35 =

×==

=

3304231413240334 CCyCC,CC,CC ××××

+

+

+

=×+×+×+×

3

3

0

4

2

3

1

4

1

3

2

4

0

3

3

4CCCCCCCC 3304231413240334

11!1!2

!3!3!1!4

!2!1!3

!2!2!4

1!1!3!4

×+×+×+×=

35112184 =+++=

⇒

=− =−

−−

=−

−− ×==−

≤

××××−+−+

=

−+=

−−+

=

−+××××

=×

==

=

−+=

×=

×

=×

=×

×××××=

=×

==

=

××××

+

+

+

=×+×+×+×

×+×+×+×=

35=+++=


,

utilizando las propiedades se tiene:

⇒ .

Por tanto, n = 15B) COMBINACIONES CON REPETICIÓNDEFINICIÓN 2.2.2.2El número de combinaciones con repetición de n elementos, tomados de r en r, , denotado por , está dado por:

EJEMPLOS2.2.25 Determinar el número de combinaciones, con repetición, de los

números: 1,2,3 y 4 de 3 en 3.SOLUCIÓN:El número de combinaciones con repeticiones es:

= = = 20 y son: (leer verticalmente)

111 122 133 144 222 233 244 333 344 444112 123 134 223 234 334113 124 224114

2.2.26 ¿Cuántos y que productos diferentes, cada uno de dos factores primos, se obtienen con los tres factores primos 2,3 y 5?SOLUCIÓN:Del enunciado, nada se opone a que en los factores primos de cada producto haya dos factores iguales. Dos productos sólo podrán ser diferentes cuando tengan factores distintos, luego los diferentes productos serán combinaciones con repetición de 3 elementos tomados de 2 en 2 y su número será:

Estos productos son:2x2 = 4 3x3 = 92x3 = 6 3x5 = 152x5 = 10 5x5 = 25

=− 2n2n CP 105!2)!2n(

!n)!2n(

!n=

−−

−

1052

)1n(n)1n(n =

−−− 1514210)1n(n ×==−

)nr( ≤ rn CR

r...321n)...2rn)(1rn(

r

1rn

1n

1rnCR rn ××××

−+−+=

−+=

−−+

=

34 CR

−+3

134

321456

××××

62

34!3!2

!42

4

2

123CR 23 =

×==

=

−+=


EJERCICIOS1.- ¿Cuántas placas de motocicletas se pueden fabricar si cada uno debe

llevar una letra de un alfabeto de 27 letras seguidos de 3 dígitos, no aceptándose el cero como primer dígito?

2.- ¿Cuántos números de 3 dígitos, si no se admiten repeticiones de algún dígito en el número, pueden formarse a partir de los dígitos: 2, 3, 5, 6, 7 y 9?

3.- a) ¿Cuántos números, del ejercicio anterior, son menores de 400?b) ¿Cuántos números, del ejercicio anterior, son múltiplos de 5?c) ¿Cuántos números, del ejercicio anterior, son pares?

4.- En un Restaurante hay tres tipos de sopas, cuatro segundos y tres postres ¿de cuantas maneras se puede escoger un menú?

5.- Existen 3 autopistas que unen las ciudades A y B y dos carreteras que unen las ciudades B y C ¿Cuantos caminos se pueden escoger para transportarse de la ciudad A a la ciudad C pasando por la ciudad B?

6.- Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay cinco líneasde armado, en la segunda etapa hay 4 líneas de armado y en la tercera etapa hay 6 líneas de armado. ¿De cuantas maneras pueden moverse el producto en el proceso de armado?

7.- ¿Cuántos números de 4 cifras menores de 2 341 se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3 y 4, si cada dígito se usa una sola vez?

8.- Se tienen cinco libros. ¿De cuántas formas pueden ser dispuestos en un estante?

9.- Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir a los operadores que sepan cuando inspeccionará, varía el orden de las visitas. ¿De cuántas formas pueden hacerlo?

10.- ¿Cuántas cifras de 9 dígitos se puede formar con los dígitos de 1 a 9?11.- Se tiene 7 cajas de colores diferentes. ¿De cuántas maneras se puede

poner en forma vertical?12.- Un estudiante tiene un libro Estadística y Probabilidades, uno de Cálculo

Diferencial, uno de Administración de Personal, uno de Contabilidad General y uno de Literatura Peruana. ¿De cuántos modos pueden disponerse es un estante si el de Cálculo Diferencial siempre está al medio?

13.- ¿De cuántas maneras se puede ordenar un estante con 4 litros de agua mineral y 3 botellas de gaseosa, de las mismas marcas, a condición de que los dos litros estén siempre juntos y dos botellas siempre juntas?

14.- ¿De cuántos modos pueden sentarse un padre, su esposa y sus tres hijos en un banco y alrededor de una mesa, contando siempre a partir del padre?


15.- ¿De cuántas maneras 2 cusqueños, 4 apurimeños y 3 puneños pueden sentarse en fila, de modo que los del mismo departamento se sienten juntos?

16.- Cinco personas en una reunión se dan la mano ¿De cuántas formas pueden hacerlo si cada persona saluda a una y sólo a una?

17.- Seis personas intervienen en un campeonato de “ping pong” ¿Cuántospartidos pueden programarse?

18.- Cuatro personas entran a un restaurante y en la mesa que elige hay cinco asientos. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse?

19.- Una persona posee 3 anillos distintos. ¿De cuántas maneras puede colocárselos en sus dedos, colocando sólo un anillo por dedo, sin contar los pulgares?

20.- Cierta sustancia química se forma mezclando 5 líquidos distintos. Se propone verter un líquido en un estanque y agregar sucesivamente los otros líquidos. Todas las mezclas posibles se deben probar para establecer cuál es el mejor resultado ¿Cuántas pruebas deben hacerse?

21.- a) Hallar el número de maneras en que 5 personas pueden sentarse en una fila.

b) ¿Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de la otra?

22.- ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con ocho banderas colocadas en línea vertical, si cuatro son rojas, dos azules y dos verdes?

23.- a) Hallar el número de maneras en que cuatro niños y cuatro niñas se pueden sentar en una fila, si los niños y las niñas deben quedar alternados.

b) Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente y uno de los niños se sienta siempre junto a una determinada niña.

c) Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente, pero dos niños no queden en sillas adjuntas.

24.- Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con todas las letras de cada una de las palabras:a) ESTUDIO,b) TRABAJOc) PROGRESO

25.- a) Hallar el número de permutaciones diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabra CAMARA.

b) ¿Cuántas de ellas principian y terminan en A?c) ¿Cuántas tienen 3A juntas?d) ¿Cuántos empiezan en A y terminan en M?


26.- a) Si . Expresar en función de a y b.

(Sugerencia: No calcule las expresiones anteriores para resolver el problema).

b) Si .

Calcular:

i)

ii)

27.- Comprobar que:

28.- Hallar n sí:a) n 4 n 2P 42 P=b) n 2 2n 22 P 50 P+ =

29.- ¿Cuántos números diferentes de cuatro cifras podrán formarse con las nueve cifras significativas, tal que sí puede figurar una misma cifra, las veces que se quiera?

30.- ¿Cuántos números de cinco cifras simétricas (los que se pueden leer de derecha a izquierda o viceversa), pueden formarse con el cero y con loscinco primeros números primos?

31.- Veinte corredores compiten en una carrera para la cual hay un primero, segundo y tercer premio ¿De cuántas maneras pueden concederse estos premios?

32.- Un mecanismo complejo puede fallar en 15 partes diferentes. Si falla en tres partes ¿De cuántas maneras puede suceder?

33.- ¿De cuántas maneras se puede escoger un comité, compuesto de 5 hombres, 3 mujeres, de un grupo de 10 hombres y 7 mujeres?

34.- En un club hay 10 jugadores de “fulbito”. ¿De cuántas maneras puede formarse un equipo compuesto de 6 jugadores?

35.- ¿Cuántos cables de conexión se conectan para que dos oficinas cualesquiera, de 12 oficinas existentes en un edificio, se comuniquen directamente?

36.- Hay 10 puntos: A, B, C,......, en un plano; en una misma línea no hay 3 puntos:

=

=

4

99by

5

99a

5

100

=

n21n21 n,...,n,n

n

!n!...n!n!n

1,5,3

9

0,1,1,2,2

6

n2n

n...

2

n

1

n

0

n=

++

+

+

P=P+ =

=

=

=

=

++

+

+


a) ¿Cuántas líneas forman los puntos?b) ¿Cuantas líneas no pasan por A o B?c) ¿Cuantos triángulos forman los puntos?d) ¿Cuantos triángulos de estos se forman con el punto A?e) ¿Cuantos triángulos contienen al lado AB?

37.- Diez personas deben dormir en 2 dormitorios, acomodando por lo menos cuatro en cada dormitorio. ¿De cuántas formas pueden acomodarse?

38.- Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen:a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene?b) ¿Cuántas, si las dos primeras son obligatorias?c) ¿Cuántas si una de las dos primeras es obligatoria?d) ¿Cuántas, si tiene que contestar exactamente tres de las 5 primeras?e) ¿Cuántas, si tiene que contestar por lo menos tres de las cinco

primeras?

CAPÍTULO 3: PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

3.1 PROBABILIDAD CONDICIONALAntes de dar la definición de lo que es una probabilidad condicional

(llamada también probabilidad ligada o relativa) motivaremos mediante un ejemplo el concepto de ella.EJEMPLO3.1.1 En un salón de clases de 18 alumnos, hay 10 hombres de los cuales 6

hablan quechua y 8 mujeres de las cuales únicamente 4 hablan quechua. Usted llama a una persona al azar y anota el sexo. Enseguida la hace pasar a otro salón para que un profesor le haga un examen de quechua.a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona llamada apruebe el

examen, es decir sepa quechua?b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona apruebe el examen dado

que usted vio que era mujer?SOLUCIÓN:Intuitivamente responderíamos que:

a) P (de saber quechua, apruebe el examen) = y

b) Si usted vio que la persona era mujer y dado que se llama a cada una de ellas con la misma probabilidad, entonces

P (aprobar el examen dado que es mujer) = .

DEFINICIÓN 3.1.1Dados los eventos A, B ∈ A . Sí P(A)>0, la probabilidad condicional de que el evento B ocurra dado que el evento A ha ocurrido, está dado por el cociente de P(AB) con P(A).NOTACIÓN: La probabilidad condicional de que el evento B ocurra dado que el evento A ha ocurrido se denota por P(B/A), de aquí que la definición anterior se exprese como:

La probabilidad condicional de que el evento A ocurra dado que el evento B ha ocurrido está dada por:

Si en el ejemplo anterior representamos por A al evento “la persona llamada es mujer” y B es el evento “aprobar el examen”, entonces:

95

1810

=

21

84=

0)A(Psi,)A(P)AB(P

)AB(P >=

0)B(Psi,)B(P)AB(P

)BA(P >=

====

====

Ω

Ω

=== ( ) ===

===

( )

Ω=Ω( )( ) ( ) =

( ) =+= ( ) >= = =

∈ A

5=

1=

>=

>=


a) La probabilidad de aprobar el examen dado que la persona llamada es mujer, es:

b) La probabilidad de que la persona llamada sea una mujer, dado que aprobó el examen es:

EJEMPLOS3.1.2 Supongamos que dos monedas se lanzan al aire una por una, y definimos

A como el evento “dos caras” y B como el evento “la primera moneda arrojada es cara”. El espacio muestral y los eventos A y B, son respectivamente:

= CC, CS, SC, SSA = CCB = CC, CSde dondeAB = CCPor tanto:

y .

que es la probabilidad condicional de que el evento A ocurra dado que el evento B ha ocurrido, y la probabilidad condicional de que el evento B ocurra dado que el evento A ha ocurrido es:

3.1.3 Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados en

donde es el resultado del i-ésimo dado i= 1,2. Por tanto, el espacio muestral se puede representar por 36 resultados igualmente posibles:

es resultado del i-ésimo dado, i= 1,2

Consideremos los dos sucesos siguientes:,

Así: ,

21

84

18818

4

)A(P)AB(P

)AB(P ====

52

104

1810

184

)B(P)AB(P

)B/A(P ====

Ω

Ω

41

)AB(P,21

)B(P,41

)A(P === ( )21

21

41

)B(P)AB(P

BAP ===

1

41

41

)A(P)AB(P

)AB(P ===

( )ii x,x

ix

Ωiii x/)x,x(=Ω

( )( ) ( ) 6,6,...,2,11,1=

( ) 10xxx,xA 2121 =+= ( ) 2121 xxx,xB >= )4,6(),6,4(),5,5(A = )5,6(),...,1,3(),1,2(B =


Por tanto y . Las probabilidades condicionales

son:

y

De la definición precedente podemos deducir algunas consecuencias que serán de suma importancia para el desarrollo de la presente obra.TEOREMA 3.1.1Si P(A)>0, entonces, P(B/A) es una probabilidad, es decir:i) B

ii) y

iii) , donde y son disjuntos o

mutuamente excluyentes 2 a 2.DEMOSTRACION:i) Como BA ∈ A , tenemos que P(BA) 0. Si se divide los dos miembros

de la desigualdad por P(A)>0, se tiene:

y por definición se tiene que .

ii)

iii) Como:

Entonces;

( ) ( ).ABP)A(P

ABP

)A(P

)AB(PABP

1ii

1i

i1ii

1ii ∑=∑=

∑=

∞

=

∞

=

∞

=∞

=

El teorema establece que una probabilidad condicional es una probabilidad. Por lo tanto, todos los teoremas demostrados para la probabilidad son válidos para probabilidades condicionales; así tenemos:a) = 0

b)

c)

d) Sí son eventos cualesquiera, entonces:

363

)A(P =3615

)B(P =

( )151

BAP = ( )31

ABP =

( ) ∀≥ ,0ABP ∈ A( ) 1AP =Ω

( )∑=

∞

=

∞

= 1ii

1ii ABPABP ∈...,,B,B 21 A

≥

0)A(P)BA(P≥

0)A/B(P ≥

( ) 1)A(P)A(P

)A(P)A(P

AP ==Ω

=Ω

)A(PABPABP1i

i1i

i

=

∞

=

∞

=

( )AP φ

( ) ( )ABP1ABP c −=( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]ABBPABPABPABBP 212121 −+=∪

∈,..B,...,B,B n21 A

( ) ∪

=−+=

−+=

( )[ ]−

∪−===

( )∑≤

∞

=

∞

=

===

∪( )[ ]∪

( )

∪ =−+

( ) ( ) ( )−+

( )

==−−

=

∈ A

( ) ( )∑=∑=∑

=

∞

=

∞

=

∞

=∞

=

3=

15=

( ) 1= ( ) 1

=

( ) ∀≥ ∈ A( ) 1=Ω

( )∑=

∞

=

∞

= ∈ A

≥

≥

0≥

( ) ==Ω

=Ω

=

∞

=

∞

=

( )φ

( ) ( )−=( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]−+=∪

∈ A


EJEMPLOS3.1.4 Si A y B son dos eventos tales que:

Calcular:

a) P(A B)b)

c) SOLUCIÓN:

a) P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB) =

b) ( )P A B B ∪ =

11

)B(P)ABB(P

)B(P)BB(P

)B(P)AB(P

3141

3141

=−+=

−+=

c)( )[ ]

)A(P1)BA(P1

)A(P

BAP

)A(P

)AB(Pc

cc

c

cc

−∪−

===

3.1.5 El Programa de Profesionalización Docente de la Universidad Tecnológica de los Andes, en la ciudad del Cusco, tiene distribuidos sus alumnos, por sexo y especialidades, conforme la siguiente tabla:

SEXO

ESPECIALIDADTotalHistoria

Geografía.Lengua

LiteraturaMatemática

FísicaPrimaria

Varones 48 34 28 98 208Mujeres 30 68 12 182 292Total 78 102 40 280 500

Se selecciona un estudiante aleatoriamente del grupo:a) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado estudie

Matemática - Física si se sabe que es mujer?

( )∑≤

∞

=

∞

= 1ii

1ii A/BPABP

.41

)AB(Py31

)B(P,21

)A(P ===

∪( )[ ]BBAP ∪

( )cc ABP

∪127

41

31

21

=−+

( ) ( ) ( )BABPBBPBAP −+

( )cc ABP

65

1

1

21

125

21

127

==−−

=


b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado estudie Primaria si se sabe que es varón?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea un varón dado que no estudia Historia - Geografía?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de Lengua Literatura dado que no sea mujer?

SOLUCIÓN:Sean los eventos:

: El alumno seleccionado es varón.

: El alumno seleccionado es mujer.

: El alumno seleccionado estudia Historia - Geografía.

: El alumno seleccionado estudia Lengua - Literatura.

: El alumno seleccionado estudia Matemática - Física.

: El alumno seleccionado estudia Primaria.Consiguientemente:

y las probabilidades: están dadas en la siguiente

tabla:

Total0.096 0.068 0.056 0.196 0.416

0.060 0.136 0.024 0.364 0.584

Total 0.156 0.204 0.080 0.560 1.000

Donde, por ejemplo: .

Por tanto:

a)

1A

2A

1B

2B

3B

4B

( ) ( ) 584.0500292

AP,416.0500208

AP 21 ====

( ) ( ) 204.0500102

BP,156.050078

BP 21 ====

( ) ( ) 56.0500280

BP,08.050040

BP 43 ====

( ) ( ) 3,2,1j,2,1i;BAPBAP jiji ===∩

1B 2B 3B 4B

1A

2A

( ) 024.050012

BAP 32 ==

( ) ( )041.0

584.0024.0

)A(P

ABPABP

2

2323 ===

( ) ( )===

( ) ( )

==−−

=

−−

==

( ) ( )−=

−==

=−=−=

== ==

( ) ( ) ====

( ) ( ) ====

( ) ( ) ====

( ) ( ) 3,===∩

( ) ==

( ) ( )===


b)

c)

d)

3.1.6 Un restaurante popular, únicamente presenta dos tipos de comida: sopa y arroz con pollo. El 20% de los clientes del sexo masculino prefiere sopa, el 30% de las mujeres escogen arroz con pollo, el 75% de los clientes son del sexo masculino.Determinar:a) La probabilidad de que el cliente prefiere sopa, sabiendo que es de

sexo masculino.b) La probabilidad de que el cliente prefiere sopa y que el cliente es

varón.c) La probabilidad de que el cliente es mujer, sabiendo que prefiere

sopa.d) La probabilidad de que el cliente es mujer o el cliente prefiere arroz

con pollo.SOLUCIÓN:Consideremos los siguientes eventos:V : Cliente es varón.M : Cliente es mujer.S : Cliente prefiere sopa.A : Cliente prefiere arroz con pollo.Como el 75% de los clientes son varones, entonces el 25% de los clientes son mujeres, de aquí que:

y

Por otro lado, como el 20% de los clientes varones prefiere sopa entonces: P(VS) es el 20% de 75%, es decir es el 15%, luego

( ) ( )471.0

416.0196.0

)A(P

ABPABP

1

1414 ===

( ) ( )

379.0844.0320.0

156.01096.0416.0

)B(P1

)BA(P)A(P

)B(P

BAPBAP

1

111c1

c11c

11

==−−

=

−−

==

( ) ( ))B(P

)BA(P1

)B(P

)BA(P)B(P

)B(P

BAPBAP

2

22

2

222

2

2c2

2c2 −=

−==

333.0667.01204.0136.0

1 =−=−=

75.010075

)V(P == 25.010025

)M(P ==


y como el 30% de las mujeres escogen arroz con

pollo entonces: P(MA) es el 30% de 25%, es decir es el 7.5%, consecuentemente. En forma completa, tenemos la probabilidad de las intersecciones de los eventos, en la siguiente tabla:

S A TotalV 0.150 0.600 0.750M 0.175 0.075 0.250

Total 0.325 0.675 1.000

Por tanto:

a)

b) P(SV) =0.15

c)

d) P(MUA) = P(M)+P(A)–P(MA)= 0.25 + 0.675 – 0.075 = 0.85

3.1.7 Una urna contiene 6 bolas azules y 5 verdes. Se extraen dos bolas sucesivamente sin reemplazoa) Calcular la probabilidad de que ambas sean azulesb) Calcular la probabilidad de que la segunda sea azul.SOLUCIÓN:Definamos los eventos:A : La primera bola es azul.B : La segunda bola es azul.C : Las dos bolas son azules.Entonces

a) AB = C y P(C) = P(AB) = P(A) P(B/A) =

b) Como

Entonces

15.010015

)VS(P ==

( ) 2.0750.0150.0

)V(P)SV(P

VSP ===

( )137

325.0175.0

)S(P)MS(P

SMP ===

113

105

116

=×

φ=∩∪= )BA()AB(y)BA()AB(B cc

)AB(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)AB(P)B(P ccc +=+=

116

113

113

106

115

113

106

.116

1105

116

=+=×+=

−+×=

−=

∏

=

= =−

+

=−

⊂⊂⊂⊂ −−

( ) ( ) ( )≤≤≤≤⟨ −−

∈ =∈

( ) ++ =∈

−=( ) ++ =

∈

=

=

==

( ) ===

( ) 7===

3=×

φ=∩∪=

+=+=

=+=×+=

−+×=


TEOREMA 3.1.2 (Regla del Producto)Dados n+1 eventos cualesquiera: , para los que, se tiene:

o bien:

DEMOSTRACION:Como

, resulta

y, por consiguiente, todas las probabilidades condicionales implicadas en el enunciado del teorema están bien definidas.

La demostración del teorema se realiza utilizando el axioma de inducción. Sea S el conjunto de valores de n para los cuales el teorema se cumple. Evidentemente 1 S, puesto que: , por la misma definición de probabilidad condicional. Sea n S, entonces por la definición de probabilidad condicional, se tiene:

Como n S el valor: , entonces

de donde n+1 S, y con esto, por el axioma de inducción S, contiene a todos los enteros positivos, lo que demuestra el teorema. EJEMPLOS3.1.8 A un jugador le reparten cuatro cartas una tras otra de una baraja

corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean espadas?SOLUCIÓN:Sean las cartas “espadas” extraídas en forma sucesiva,

en el orden que se indica. Entonces: , puesto que hay 13

espadas entre las 52 cartas. La probabilidad de que la segunda carta sea

espada dado que ya salió una espada es, , puesto que

únicamente hay 12 cartas espadas entre las 51 cartas restantes, siguiendo el mismo razonamiento se encuentran:

n10 A,...,A,A

)A...AA(P)...AA(P)A(P)A...AAA(P 1n0n010n210 −=

∏

=

= =−

+

=−

n

1i

i

1j1ji0

1n

1i1i AAP)A(PAP

0102n101n10 AAA..A...AAA...AA ⊂⊂⊂⊂ −−

( ) ( ) ( ) )A(PAAP..A...AAPA...AAP0 0102n101n10 ≤≤≤≤⟨ −−

∈ )A/A(P)A(P)AA(P 01010 =∈

( ) )A...AA(P)A.....AA(PAA...AAP n01nn101nn10 ++ =∈

)A....AA/A(P)....A/A(P)A(P)A....AA(P 1n10n010n10 −=( ) )A...AA(P)......A/A(P)A(PAA...AAP n01n0101nn10 ++ =

∈

3210 AyA,A,A

5213

)A(P 0 =

5112

)A/A(P 01 =


y Por lo tanto aplicando la

regla del producto se tiene:

3.1.9 Una urna contiene 15 bolas, de las cuales 4 son verdes, 5 amarillas y 6 rojas. Se extrae 4 bolas de la urna sin reemplazo. Encontrar la probabilidad de que la primera bola sea amarilla, la segunda sea roja, eltercero verde y la cuarta roja.SOLUCIÓN:Consideremos los siguientes eventos:

: Obtención de una bola amarilla en la i-ésima extracción.

: Obtención de una bola roja en la i-ésima extracción.

: Obtención de una bola verde en la i-ésima extracción.

Donde y se entiende, por ejemplo, : roja en la segunda

extracción, : verde en la cuarta extracción, etc.De acuerdo a los datos del problema la probabilidad pedida es:

y como:

, ,

.

Entonces:

3.1.10 En el ejemplo anterior, si el experimento consiste en extraer 3 bolas sin reposición. Encontrar la probabilidad de que la primera bola sea amarilla y las siguientes verdes o rojas.SOLUCIÓN:Consideremos los mismos eventos del ejemplo anterior, donde La probabilidad a calcular es:

Dado que los eventos son mutuamente excluyentes

y como

5011

)AAA(P 102 =4910

)AAAA(P 2103 =

495,1233

4910

5011

5112

5213

)AAAA(P 3210 =×××=

iA

iR

iV

4i1 ≤≤ 2R

4V

( ) )VRA/R(P)RA/V(P)A/R(P)A(PRVRAP 32142131214321 =

31

155

)A(P 1 ==73

146

)A/R(P 12 ==134

)RA/V(P 213 =

125

)VRA/R(P 3214 =

( )2735

125

134

73

31

RVRAP 4321 =×××=

31 ≤≤ i

[ ])RRA()VRA()RVA()VVA(P)E(P 321321321321 ∪∪∪=

)RRA(P)VRA(P)RVA(P)VVA(P)E(P 321321321321 +++=

=××==

=××==

=××==

=××==

=+++=

+

+

××+×+×

=

+

+

=

=×

×=

×++

=

11=

10=

=×××=

4≤≤

( ) )=

1==

3==

4=

5=

( ) =×××=

3≤≤

[ ])∪∪∪=

)+++=


Entonces:

Otra forma de calcular, directamente, es utilizando la definición clásica de la probabilidad de un evento; como:Casos favorables: Fijando la primera bola amarilla, luego consiste en sacar 2 bolas verdes y/o rojas y es equivalente a sacar 2 bolas verdes o 2 bolas rojas o una bola verde y una roja (el orden no interesa porque en el denominador hay combinaciones); es decir: los casos favorables

son: .

Casos posibles son:

Por tanto:

También se puede resolver el problema, utilizando el diagrama de árbol. Cada rama representa una probabilidad condicional y el producto de estas probabilidades es la probabilidad de las intersecciones de los eventos; debemos observar que las probabilidades asociadas a cada 3 ramas adyacentes del árbol suman 1 y también la suma de todas las probabilidades de las intersecciones es 1; así tenemos:

912

133

144

155

)VA/V(P)A/V(P)A(P)VVA(P 213121321 =××==

914

136

144

155

)VA/R(P)A/V(P)A(P)RVA(P 213121321 =××==

914

134

146

155

)RA/V(P)A/R(P)A(P)VRA(P 213121321 =××==

915

135

146

155

)RA/R(P)A/R(P)A(P)RRA(P 213121321 =××==

9115

915

914

914

912

)E(P =+++=

+

+

1

6

1

4

1

5

2

6

1

5

2

4

1

5

1

3

3

15

345524515565

1

3

3

15

1

6

1

4

1

5

2

6

1

5

2

4

1

5

)E(P×

×+×+×=

+

+

=

9115

3455455

3455)24156(5

=×

×=

×++

=


De donde:

TEOREMA 3.1.3 (Teorema de la probabilidad total)

Si , donde N es un entero positivo o ∞, y si para

todo n, entonces para cualquier evento A, se tiene:

DEMOSTRACION:

)RRA(P)VRA(P)RVA(P)VVA(P)E(P 321321321321 +++=

××+

××+

××+

××=

135

146

155

134

146

155

136

144

155

133

144

155

9115

915

914

914

912

)E(P =+++=

1BPN

1nn =

= 0)B(P n >

( ) )B(PBAP)A(P n

N

1nn∑=

=

Ω

=

=

+

=

== ( )∑=

=

==

( )∑==

+++=

Ω( )=Ω

Ω=∪∪∪==

=∀φ=∩

∞

)+++=

××+

××+

××+

××=

15=+++=

=

= 0>

( )∑==


Puesto que , entonces:

En forma desarrollada, el teorema de la probabilidad total está dado por:

OBSERVACIÓN: Muchos autores enuncian el teorema de la probabilidad total mediante la hipótesis de que la familia de eventos determina una partición del espacio muestral, . Y esto debido a la siguiente definición y propiedad de probabilidad: .DEFINICIÓN 3.1.2Se dice que la familia o colección de eventos 1 2 NB , B ,...B es una partición

del espacio muestral Ω, si satisface las siguientes condiciones:

(Colectivamente exhaustivos).

(Eventos disjuntos 2 a 2).

Gráficamente:

0BPcN

1nn =

=

+

=

==

cN

1nn

N

1nn BAPBAP)A(P ( )∑=

=

==

N

1nn

N

1nn ABPABP

( )∑==

N

1nnn )B(PB/AP

)B(P)B/A(P...)B(P)B/A(P)B(P)B/A(P)A(P NN2211 +++=

N21 B,...,B,B

Ω( )1)(P =Ω

Ω=∪∪∪==

n21

N

1nn B...BBB

N,...,2,1j,i,BB ji =∀φ=∩


El resultado del teorema de la probabilidad total representa una relación muy útil, ya que frecuentemente cuando se busca P(A) puede ser difícil calcularlo directamente. Sin embargo, con la información adicional de que ha ocurrido, para todo n, podemos calcular y luego P(A), usando el teorema de la probabilidad total.EJEMPLOS3.1.11 Consideremos el lote de 20 artículos defectuosos y 80 sin defectos, delos cuales escogemos 2 artículos sin sustitución. Definimos los eventos A y B así:

A: el primer artículo elegido es defectuoso.B: el segundo artículo elegido es defectuoso.Luego podemos calcular P(B) como sigue:

donde:

, , y

Entonces:

3.1.12 Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas: I, II y III. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen el mismo número de artículos (durante un período de producción específico). Se sabe también que el 2% de los artículos producidos por las dos primeras son defectuosas, mientras que el 4% de los manufacturados por la tercera es defectuosa. Se colocan juntos todos los artículos producidos en una fila y se escoge al azar uno. ¿Cuál es laprobabilidad de que este artículo sea defectuoso?SOLUCIÓN:Sean los siguientes eventos:A : el artículo es defectuoso. : el artículo proviene de I.

: el artículo proviene de II. : el artículo proviene de III.Necesitamos calcular P(A) y para tal fin, aplicamos el teorema de la probabilidad total:

Como

nB )B/A(P n

( ) ( ) )A(PA/BP)A(PA/BP)B(P cc+=

9919

)A/B(P =51

10020

)A(P ==9920

)A/B(P c =

54

)A(P1)A(P c =−=

51

54

9920

51

9919

)B(P =×+×=

1B

2B 3B

)B(P)B/A(P)B(P)B/A(P)B(P)B/A(P)A(P 332211 ++=

== ===

=== ==

=++=

+=

=×+×=

+=+=

)

( ) ( )+=

19=

1==

20=

4=−=

1=×+×=

)++=


, mientras que: (I produce

el doble que II, por hipótesis II y III producen el mismo número),

y .

Entonces se tiene:

3.1.13 En una urna se han colocado 5 bolas blancas y 4 rojas y en una segunda urna 4 bolas blancas y 6 rojas. Se saca una bola de la primera urna y, sin verla se introduce en la segunda urna. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola que se extrae de la segunda urna sea roja?Sean los eventos:

: retiro de una bola roja de la primera urna

: retiro de una bola roja de la segunda urna

: retiro de una bola blanca de la primera urna.

Calculemos y para ello aplicaremos el teorema de la

probabilidad total dado que y son mutuamente excluyentes.Entonces

La solución por medio del diagrama de árbol es el siguiente:

21

10050

)B(P 1 ==41

10025

)B(P)B(P 32 ===

02.0100

2)B/A(P)B/A(P 21 === 04.0

1004

)B/A(P 3 ==

025.0)41

)(04.0()41

)(02.0()21

)(02.0()A(P =++=

1R

2R

1B

)R(P 2

iR iB

)R/R(P)R(P)B/R(P)B(P)R(P 1211212 +=

9958

117

94

116

95

)R(P 2 =×+×=

)RR(P)RB(P)R/R(P)R(P)R/R(P)B(P)R(P 21211211212 +=+=


TEOREMA 3.1.4 (Regla de Bayes)

Si , donde N o , y si P(B )>0 para todo n, entonces

para cualquier evento A, tal que P(A) > 0, se tiene:

DEMOSTRACION:Para cualquier j=1,2,...,N; por definición de probabilidad condicional se tiene:

Por la misma definición se tiene que: y por el

teorema de las probabilidades totales:

De donde,

que demuestra el teorema.La regla de Bayes nos da la probabilidad de un particular, dado

que el evento A ha ocurrido. Para su aplicabilidad, debemos conocer los valores de las P ( ); muy a menudo esos valores no son conocidos, y esto

limita el uso del resultado; de aquí la importancia de la Regla de Bayes, debido a que relaciona las probabilidades “a priori” con las

probabilidades “a posteriori” (Probabilidad de después que ha ocurrido A). Ha existido considerable controversia acerca de la Regla de Bayes. Matemáticamente, como se vio, es perfectamente correcto; solo la elección impropia para P ( ) hace el resultado objetable.

EJEMPLOSEn el ejemplo 3.1.12. ¿Cuál es la probabilidad de que este artículo

provenga de I, dado que es defectuoso?

9958

9928

9930

=+=

1BPN

1nn =

= ∈ +

0 ∞ n

( ) N,...,2,1jdonde;)B(P)B/A(P

)B(P)B/A(PA/BP

N

1nnn

jjj =

∑=

=

)A(P

)AB(P)A/B(P j

j =

)()/()( jjj BPBAPABP =

∑==

N

1nnn )B(P)B/A(P)A(P

∑=

=

N

1nnn

jjj

)B(P)B/A(P

)B(P)B/A(P)A/B(P

jB

jB

)B(P n

)A/B(P n nB

jB

=++

=

++=

== == ==

== == ==

( ) ( ) ( )( )

( )( )

>

58=+=

=

= ∈ + ∞

( ) =∑

=

=

)=

)=

∑==

∑=

=

)

)


SOLUCIÓN:

En el siguiente ejemplo ilustramos la regla de Bayes haciendo uso del "diagrama del árbol".3.1.15 Supongamos que muchas cajas están llenas de caramelos de dos

tipos: A y B. El tipo A contiene 70% dulce y 30% ácido, mientras que en B los porcentajes son contrarios. Aún más, supongamos que el 60% de todas las cajas de caramelos son del Tipo A y el resto son del Tipo B.Si recibimos una caja de dulces de tipo desconocido. Se permite sacar una muestra de caramelo (una situación no real, pero que nos permite presentar las ideas importantes sin mucha complicación) y con esta información debemos decir que si el tipo A o el tipo B nos fue ofrecido.SOLUCIÓNPresentemos el siguiente diagrama de árbol que nos ayudará a analizar el problema ( y indican la elección de un caramelo dulce o ácido, respectivamente)

Se obtiene:

; ; ;

; ;

Lo que realmente debemos calcular es , , y

. Suponiendo que escogimos un caramelo dulce. ¿Qué

decisión estaría más indicado a hacer? Comparamos y

. Aplicando la regla de Bayes tenemos:

40.0)4/1)(04.0()4/1)(02.0()2/1)(02.0(

)2/1)(02.0(

)B(P)B/A(P...)B(P)B/A(P

)B(P)B/A(P)A/B(P

3311

111

=++

=

++=

DC AC

6.010060

)A(P == 4.010040

)B(P == 7.010070

)A/C(P D ==

3.010030

)A/C(P A == 3.010030

)B/C(P D == 7.010070

)B/C(P A ==

( )DCAP ( )ACAP ( )DCBP

( )ACBP

( )DCAP

( )DCBP


Así, con base en la evidencia que tenemos (es decir, la obtención de

) es veces más probable que estemos considerando un depósito del

tipo A que del tipo B. Por lo tanto, decidiríamos, probablemente, que el caramelo se obtuvo de una caja del tipo A.

3.1.16 Existen tres candidatos para ocupar la presidencia del Club Cusco, después de una encuesta se ha llegado a encontrar que la probabilidad de que salga el señor Acuña es de 0.25, la de que salga el señor Palomino es de 0.4 y la de que salga el señor Salazar es de 0.35. En caso de que se elija al señor Acuña, la probabilidad de que la cuota de ingreso de nuevos socios al club se incremente es de 0.8; si se elige al señor Palomino o al señor Salazar, las probabilidades de incremento de cuotas de ingreso son de 0.1 y 0.4, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que sea elegido el señor Salazar como presidente del club si se ha efectuado un incremento en la cuota de ingreso antes de las elecciones?SOLUCIÓN:Consideremos los siguientes eventos:A: Se incrementa las cuotas de ingreso.

: Se elija al señor Acuña.

: Se elija al señor Palomino.

: Se elija al señor Salazar.

Debemos hallar y para ello apliquemos, como en los casos anteriores, la regla de Bayes:

Del diagrama del árbol:

( )9

7

)4.0)(3.0()6.0)(7.0(

)6.0)(7.0(

)B(P)B/C(P)A(P)A/C(P

)A(P)A/C(PCAP

DD

DD =

+=

+=

( )9

2

)6.0)(7.0()4.0)(3.0(

)4.0)(3.0(

)A(P)A/C(P)B(P)B/C(P

)B(P)B/C(PCBP

DD

DD =

+=

+=

DC

213

1B

2B

3B

)A/B(P 3

)B/A(P)B(P)B/A(P)B(P)B/A(P)B(P

)B/A(P)B(P)A/B(P

332211

333 ++

=

======

==++

=

( ) 7=

+=

+=

( ) 2=

+=

+=

)

++=


Entonces:

Como se incrementó las cuotas de ingreso al club antes de las elecciones, el resultado sugiere que posiblemente el señor Salazar no sea el próximo presidente.

3.2 EVENTOS INDEPENDIENTESLa noción de independencia se desprende de la consideración de aquellos

casos en que los resultados son igualmente probables. Por tanto, antes de dar la definición formal de independencia, comenzaremos considerando un caso de lo afirmado.

Sea un juego en el que hay resultados posibles e igualmente probables. Sea A, el evento de ocurrencia o no-ocurrencia cuando se realiza el juego: . Si A puede ocurrir de maneras igualmente probables, el

cociente da la probabilidad de que ocurra A. Ahora sean y otros

dos juegos en los que hay y , respectivamente, resultados posibles e igualmente probables. Se supone que cada juego puede desarrollarse de manera tal, que su marcha no dependa en absoluto del resultado de los otros juegos. En tal situación, que ocurra o no el evento A en el juego , ni

depende ni tiene influencia en que un evento B ocurra o no en el juego . Y

el que ocurra o no uno de los eventos A y B, o ambos, en los juegos y

, no tiene influencia en que un cierto evento C ocurra o no en el juego , ni depende de ello. En otras palabras, se puede decir entonces que los eventos

20.0)8.0)(25.0()/()( 11 ==BAPBP

04.0)1.0)(40.0()/()( 22 ==BAPBP

14.0)4.0)(35.0()/()( 33 ==BAPBP

197

38.014.0

14.004.020.014.0

)A/B(P 3 ==++

=

1E 1n

1E An

1

A

n

n2E 3E

2n 3n

1E

2E

1E 2E

3E


A, B y C son mutuamente independientes. En estas condiciones, deseamos calcular la probabilidad de que se realicen los eventos A, B y C cuando los juegos: , y se realicen sucesivamente. Si y designan el número de maneras igualmente probables con que los eventos B y C pueden producirse en los juegos y , respectivamente, resulta fácilmente.

, ,

Ahora bien, como

nos resulta P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

En otras palabras, si tres eventos se realizan con mutua independencia (por pares) en situaciones “igualmente probables”, debemos formular que la probabilidad de que se realicen simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades individuales.DEFINICIÓN 3.2.1Los eventos de A se llaman mutuamente independientes si la probabilidad de que se realicen simultáneamente varios de ellos son igual al producto de sus probabilidades individuales.

Así, si A consiste en sólo un par de eventos, A y B, estos son independientes sí P(AB)=P(A)P(B). Si en hay tres eventos A, B y C, las condiciones para que estos sean conjuntamente independientes son las siguientes:1) P(AB) = P(A)P(B)2) P(AC) = P(A)P(C)3) P(BC) = P(B)P(C) y4) P(ABC) = P(A)P(B)P(C) Si cumplen las tres primeras condiciones anteriores, se dice que los eventos A, B y C son independientes por parejas o mutuamente independientes y si cumple sólo la ecuación 4) se dice que los eventos A, B y C son independientes (a secas)OBSERVACIÓN: Utilizando la definición de probabilidad condicional tenemos que, si A y B son eventos independientes entonces:

a) , si P(B)>0

Esto significa que, la ocurrencia del evento B no afecta la probabilidad de la ocurrencia del evento A.

1E 2E 3E 2n 3n

2E 3E

1

A

321

32A

n

n

nnn

nnn)A(P ==

2

B

321

3B1

n

n

nnn

nnn)B(P ==

3

C

321

C21

n

n

nnn

nnn)C(P ==

321

CBA

nnn

nnn)ABC(P =

A

)A(P)B(P

)B(P)A(P)B(P)AB(P

)B/A(P ===

Ω

∩

===

= =

=×==

== == ==

=×==

A

A

== == ==

=

A

===


b) , si P(A)>0

Este significa que, la ocurrencia del evento A no afecta la probabilidad de la ocurrencia del evento B.Por consiguiente, concluimos, que dos eventos son independientes, si la

ocurrencia de uno de los eventos no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro evento.EJEMPLOS3.2.1 La probabilidad de que un hombre viva 15 años más es , y la

probabilidad de que su hermano viva 15 años más es . Hallar la

probabilidad de que ambos vivan 15 años más.SOLUCIÓN:Sean los eventos:A: el hombre vive 15 años más.B: su hermano vive 15 años más.Entonces y

Buscamos P(AB). Puesto que A y B son independientes, ya que los años que vive el hombre no depende de lo que vive su hermano, entonces

.

3.2.2 Supongamos que se lanza un dado normal dos veces y dado los eventos:A: primer dado muestra un número par.B: segundo dado muestra un 5 o un 6.Entonces:Ω = (1,1), (1,2), (1,3),..................,(6,5), (6,6)A = (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4),

(4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)B= (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5),

(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6). (6,6)A∩B= AB = (2,5), (2,6), (4,5), (4,6), (6,5), (6,6)De donde, obtenemos:

, y

y observamos que .

Luego deducimos que los eventos A y B son independientes.

3.2.3 En el ejemplo anterior, consideremos los eventos:

)B(P)A(P

)A(P)B(P)A(P)BA(P

)A/B(P ===

51

41

51)A(P = 4

1)B(P =

201

41

51

)B(P)A(P)AB(P =×==

21

3618

)A(P ==31

3612

)B(P ==61

366

)AB(P ==

)B(P)A(P31

21

61

)AB(P =×==


C: la suma de los dados es 7D: los dos dados tienen el mismo númeroEntonces:C = (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)D = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)De donde

, y

como .

Luego, los eventos C y D no son independientes.De este ejemplo, deducimos que si dos eventos son mutuamente

excluyentes (CD = ), entonces no son independientes, con lo que se aclara el hecho de confundir con mucha frecuencia la equivalencia de las definiciones de independencia y mutuamente excluyentes.3.2.4 Si se tira dos veces al aire una moneda y dados los eventos:

A: Aparece un sello en la primera tirada.B: Aparece un sello en la segunda tirada.C: Aparece la misma figura en ambas tiradas.Encontramos que:

, ,

, , y

Entonces los eventos A, B y C no son independientes, a pesar de ser mutuamente independientes; luego no son conjuntamente independientes

TEOREMA 3.2.1Si A y B son eventos independientes, también son independientes los eventos A y DEMOSTRACION;Como A = AB ∪ AB .Entonces P(A) = P(AB ∪ AB ) = P(AB)+P(AB )y como A y B son independientes por hipótesis, entonces: P(AB ) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)[1-P(B)] =P(A)P(B ).TEOREMA 3.2.2Si A y B son eventos independientes, también son independientes los eventos A y B.

61

366

)C(P ==61

366

)D(P == 0)(P)CD(P =φ=

)D(P)C(P61

61

0)(P)CD(P =×≠=φ=

φ

21

)C(P)B(P)A(P ===41

)BC(P)AC(P)AB(P ===

)B(P)A(P)AB(P = )C(P)A(P)AC(P = )C(P)B(P)BC(P =

)C(P)B(P)A(P21

21

21

41

)ABC(P =××≠=

cB

c

c c

c c

c

∈ A

Ω

[ ]∪= ∪−=

+−−=

−=−=

= =−=−=

= =×=

∈ ∈∀∈

Ωφ= Ωφ=φ

( )φ=φ( )Ω=Ω

∪∪

[ ]

1==

1== 0=φ=

=×≠=φ=

φ

1===

1===

)= )= )=

=××≠=


DEMOSRACION:Muy similar a la demostración del teorema anterior.TEOREMA 3.2.3Si A y B son eventos independientes, también son independientes los eventos

yDEMOSTRACION:Por la ley de De Morgan:

= 1-P(A)-P(B)+P(AB)como A y B son independientes por hipótesis, tenemos

= 1- P (A) – P (B) (1 – P (A)= (1-P (A)) ((1-P( B )) = P( Ac )P( Bc )

EJEMPLO3.2.5 En el ejemplo 3.2.1. Hallar la probabilidad de que ninguno estará vivo a

los 15 años SOLUCIÓN:

Deseamos calcular: . Ahora de

donde y

Como y son independientes, ya que A y B son independientes, se tiene:

Para finalizar, presentamos la definición de clases independientes de eventos, que tienen mucha aplicabilidad en los espacios medibles.DEFINICIÓN 3.2.2Si Ci / i I es una familia de eventos, Ci ∈ A , . Se dice que los términos o elementos de la familia Ci / i I son clases independientes, si toda colección finita de elementos de las clases son un conjunto de sucesos mutuamente independientes.EJEMPLO3.2.6 Si A y B son eventos independientes, entonces:

y son clases

independientes, ya que: es independiente de cualquier evento

, Ω es independiente de cualquier evento

, A y B son independientes por hipótesis, A y

cA cB

[ ]ccc )BA(P)BA(P ∪= )BA(P1 ∪−=

)B(P)A(P)B(P)A(P1)BA(P cc +−−=

)BA(P cc

51

1)A(P1)A(P c −=−=

54

)A(P c =43

41

1)B(P1)B(P c =−=−=

cA cB

)B(P)A(P)BA(P cccc =53

43

54

=×=

∈ Ii∈∀∈

Ωφ= ,A,A,H c1 Ωφ= ,B,B,H c

2

φ( ))A(P)(P)A(P φ=φ( ))A(P)(P)A(P Ω=Ω


CB son independientes por el teorema 3.2.1, B y son independientes por el teorema 3.2.2 y y son independientes por el teorema 3.2.3.

EJERCICIOS

1.- Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad P de que la suma de sus números sean 10 o mayor, sí:a) Aparece un 5 en un primer dado.b) Aparece un 5 en uno de los dados por lo menos.

2.- A una persona se le reparten 5 cartas rojas de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean de la misma pinta, esto es corazones o diamantes?

3.- A una persona se le reparten 3 cartas, espadas, de una baraja corriente de 52 cartas. Si se le da cuatro cartas más, determinar la probabilidad de que por lo menos dos de las cartas adicionales sean también espadas.

4.- Se escogen al azar dos dígitos diferentes, entre los dígitos 1 a 9.a) Si la suma es impar. ¿Cuál es la probabilidad de que dos sea uno de

los números escogidos?b) Si 2 es uno de los dígitos seleccionados. ¿Cuál es la probabilidad de

que la suma sea impar?5.- Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se saca 2 a la vez. Se prueba

uno de ellos y se encuentra que es bueno. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro también sea bueno?

6.- En el problema anterior los tubos se verifican sacando uno al azar, se prueba y se repite el proceso hasta que se encuentren los cuatro tubos malos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el cuarto tubo malo,a) ¿en la quinta prueba? y b) ¿en la décima prueba?

7.- De un saco que contiene 5 canicas negras y tres blancas, se extraen 3 de ellas en sucesión y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean negras?

8.- Un comité de 50 comunidades campesinas (cada una de 2 delegados), 50 delegados se eligen al azar. Hallar la probabilidad de que los dos delegados por la comunidad campesina de Huarcoy, queden incluidos dado que, por lo menos uno ya lo está.

9.- Una urna contiene 5 bolas doradas y 7 azules. Se extraen al azar dos bolas (sin devolverlas a la urna). Si la primera bola es dorada, calcular la probabilidad de que la segunda sea también dorada.

10.- Una baraja es repartida en 4 manos de 13 naipes cada una. Si una mano tiene exactamente siete espadas. ¿Cuál es la probabilidad de que una determinada de las otras manos contenga:

cAcA cB

?

? ?

( ) −+=∪


a) Por lo menos una espada.b) Por lo menos dos espadas.c) Un palo completo.

11.- Demostrar que: 12.- Una moneda “correcta” es lanzada repetidamente. Sale cara en los 6

primeros lanzamientos. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara en el séptimo lanzamiento?

13.- En cierta ciudad, 40% de la población tiene cabellos negros, 25% tiene ojos negros y 15% tiene cabellos y ojos negros. Se escoge una persona al azar.a) Si tiene cabellos negros. ¿Cuál es la probabilidad de que también

tenga ojos negros?.b) Si tiene ojos negros. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga

cabellos negros?c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos negros?

14.- En cierta Universidad, 25% de los jóvenes y 10% de las jóvenes son estudiantes de matemáticas. Las mujeres constituyen el 60% de los hombres. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta ser de matemáticas, determinar la probabilidad de que el estudiante sea una joven.

15.- En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y C fabrican 25%, 35% y 40% de la producción total, respectivamente. En esta producción, el 5%, 4% y 2% son pernos defectuosos. Se toma un perno al azar de la producción y se encuentra que es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que el perno provenga de la máquina A?, provenga de la máquina B? yprovenga de la máquina C?

16.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una bola al azar, se descarta y se colocan dos bolas del otro color en la urna. Luego se saca de la urna una segunda bola. Hallar la probabilidad de que:a) La segunda bola sea roja.b) Ambas bolas sean del mismo color.

17.- Una caja contiene tres monedas, dos de ellas normales, y una de dos “caras”. Se selecciona al azar una moneda y se lanza dos veces. Si aparece ambas veces caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda lanzada sea la de dos “caras”?

18.- Una caja A contiene nueve cartas numeradas de 1 a 9, y otra caja B contiene 5 cartas numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta; si la carta indica un número par, se saca otra carta de la misma caja, si la carta es impar, se saca una carta de la otra caja.

( ) )C/AB(P)C/B(P)C/A(PCBAP −+=∪


a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas muestren números pares?,

b) Si ambas cartas muestran números pares ¿Cuál es la probabilidad de que procedan de A? y c) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas tengan números impares? Ci ∈ A ,.

19.- Una caja contiene 5 tubos de radio de los cuales 2 son defectuosos. Se prueban los tubos uno tras otro hasta que se descubran dos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que se suspenda el proceso en: a) la segunda prueba y b) la tercera prueba.

20.- Sean los eventos A y B con , y .

a) Hallar p, si A y B son mutuamente excluyentes.b) Hallar p, si A y B son independientes.c) Hallar p, si A es subconjunto de B.

21.- Una caja contiene 5 canicas blancas y 2 canicas negras. Una segunda caja idéntica a la primera contiene 3 canicas blancas y 5 negras. Si se seleccionan al azar una de estas cajas y se extrae una canica. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca?

22.- Si tres eventos A, B y C son independientes, demostrar que A B∪ y C son independientes.

23.- Se lanza un dado dos veces. Sean A, B y C los siguientes eventos:A = (a,b)/ a es imparB = (a,b)/ b es imparC = (a,b)/ a+b es impara) ¿Calcular: P(A), P(B), P(C), P(AB), P(AC), ¿P(BC) y P(ABC)?b) Demostrar que: A, B y C son independientes a pares.c) Demostrar que: A, B y C son conjuntamente independientes.

24.- La probabilidad de que A dé en el blanco, en una competencia de tiro, es y la probabilidad de que B dé es .

a) Si cada uno dispara dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado una vez por lo menos?

b) Si cada uno dispara una vez y el blanco es alcanzado solamente una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que A dé en el blanco?

c) Si A puede disparar solamente dos veces. ¿Cuántas veces debe disparar B para que haya por lo menos 90% de probabilidad de que el blanco sea alcanzado?

25.- Sean los eventos A y B con , y .

Hallar: a) P(B), b) P(A/B) y c) .26.- Dos personas lanzan tres monedas regulares cada una. ¿Cuál es la

probabilidad de que contengan el mismo número de caras?

41)A(P = 3

1)BA(P =∪ p)B(P =

41

31

21)A(P = 6

1)( =ABP 32)BA(P =∪

)A/B(P c

?

∈ A

A B∪

= =∪ p=

= = =∪


27.- En la fabricación de cierto artículo se encuentra que se presenta un tipo de defectos con una probabilidad de 0.1 y defectos de un segundo tipo con probabilidad de 0.05 (Se supone la independencia entre los tipos de defectos). ¿Cuál es la probabilidad de que:a) Un artículo no tenga ambas clases de defectos?b) Un artículo sea defectuoso?.c) Suponiendo que un artículo sea defectuoso, ¿tenga sólo un tipo

de defecto?

CAPÍTULO 4: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DISCRETAS

4. 1. VARIABLES ALEATORIASEl objetivo de esta sección es “cuantificar” los eventos; es decir, para

cada suceso ω∈Ω se le debe asignar un valor numérico x∈ y demostrar algunos teoremas que, en el fondo, son definiciones equivalentes a la definición de una variable aleatoria o variable estocástica. El nombre de “variable aleatoria” es algo engañoso, ya que no se trata de una “variable” ni tampoco es algo “aleatorio”; como se verá, una variable es una función medible de valor real definida en Ω , con una propiedad restrictiva.DEFINICION 4.1.1Dada los espacios medibles ( )11 A,Ω y ( )22 A,Ω . se dice que la función

21:X Ω→Ω es una función medible si )A(X 1− ∈ 1A ; para todo A∈ 2A .DEFINICION 4.1.2Dado los espacios medibles ( )A,Ω y ( ,B), toda función medible →Ω:X

se llama variable aleatoria.De acuerdo al teorema 1.4.4, si J = ] ] Rx/x, ∈∞− , entonces

( )JA =B Por tanto: X: →Ω es una variable aleatoria ⇔

] ]( )x,X -1 ∞− ∈A , ∀x∈ ; resultado que será de uso frecuente en este libro.

NOTACION: Como ] ]( )x,X -1 ∞− = x)(X/ ≤ωΩ∈ω , utilizaremos la

expresión [ ]X ≤ x ∈ A para decir que X es una variable aleatoria. Por similitud, utilizaremos la notación [ ]X < x en lugar de x)(X/ <ωΩ∈ω ,

[ ]X ≥ x en vez de x)(X/ ≥ωΩ∈ω .De un modo más general, si S es un conjunto de números reales,

escribiremos [ ]SX∈ para indicar S)(X/ ∈ωΩ∈ω .EJEMPLOS4.1.1 Dado el espacio muestral Ω = a, b, c, d, e y el ∂ - álgebra

A = e,d,c,b,a,,Ωφa) Si X está definida por: X(a) = X(b) = X(c) = 2 y X(d) = X(e) = 3

gráficamente tenemos:

] ]( )∞− [ ]≤

≥Ω<≤

<φ

] ]( )∞− ∈ φ Ω

] ]( )∞− [ ]≤

≥Ω≤

<≤<φ

] ]( )− ∞ ∉ ∉ ∉

ω∈Ω ∈

Ω

( )Ω ( )Ω

Ω→Ω − ∈ ∈

( )Ω →Ω

] ] ∈∞−( )J →Ω ⇔

] ]( )∞− ∈A ∀ ∈

] ]( )∞− ≤ωΩ∈ω[ ]≤ ∈ A

[ ]< <ωΩ∈ω[ ]≥ ≥ωΩ∈ω

[ ]S∈ S∈ωΩ∈ω

Ω ∂A Ωφ


Entonces:

] ]( )x,X -1 ∞− = [ ]xX ≤ =

≥Ω<≤

<φ

3xsi;

3x2si;cb,a,

2xsi;

De donde, deducimos que X es una variable aleatoria, ya que

] ]( )x,X -1 ∞− ∈A (cada uno de sus componentes, es decir: φ, a b c, , yΩ pertenecen a A ).

b) Si Y está definida por Y(a) = 1, Y(b) = 2 y Y(c) = Y(d) = Y(e) = 3 , gráficamente tenemos:

Entonces:

] ]( )x,Y -1 ∞− = [ ]xY ≤ =

≥Ω≤

<≤<φ

3si;

3<2si;b,a

2x1si;a

1xsi;

x

x

De donde, deducimos que Y no es una variable aleatoria, ya que

] ]( )Y-1 − ∞, x ∉A y esto debido a que a ∉A (es suficiente encontrar

uno para la negación; para este caso también tenemos que a b, ∉A ).


4.1.2 Supongamos que lanzamos una moneda, entonces Ω= SC, y si A =

S,C,,Ωφ . Si definimos la función X como “números de veces que sale cara”, entonces X(C) = 1 y X(S) = 0, de donde:

] ]( )x,X -1 ∞− = [ ]xX ≤ =

≥Ω<≤

<φ

1xsi;

1x0si;S

0xsi;

Luego X es una variable aleatoria, ya que [ ]xX ≤ ∈A .4.1.3 Consideremos el juego de lanzar un par de dados. Aquí Ω=

( ) ( ) ( ) 11 1 2 6 6, , , ,..., , , que consta de 36 parejas ordenadas de números

entre 1 y 6. Sea X la función dada por: “la suma de los puntos que muestran ambos dados”; entonces, para cada evento elemental (i , j) se tiene : X(i , j) = i + j , donde 1 ≤ i, j ≤ 6 . Si:a) 1A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....,4,2,2,2,1,2,6,1,......,3,1,2,1,3,2,1,1,,Ωφ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )..., , , , , , , , ,..., ,2 6 3 1 3 2 3 3 6 6Entonces:

[ ]xX ≤ =

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

≥Ω<≤

<≤<≤

<φ

12xsi;

6x5si;1,4,...,2,11,1

....

4x3si;1,2,2,1,1,1

3x2si;1,1

2xsi;

Luego X no es una variable aleatoria, puesto que ( ) 1,1 ∉ 1A .

b) 2A = Ω2 , deducimos que X es una variable aleatoria, ya que

[ ]X ≤ x = ] ]( )X -1 − ∞, x siempre pertenece a 2A , dado que 2A es

el ∂- álgebra de todos los subconjuntos de Ω ; es decir no hay uno que no deje de pertenecer a 2A .

OBSERVACION: Si Ω es cualquier espacio muestral y A = 2Ω , entonces toda función X: Ω→ es necesariamente una variable aleatoria, ya que

] ]( )x,X -1 ∞− ∈A , ∀x∈ .Este resultado es la que se adopta como definición de una variable

aleatoria, en la mayoría de textos de Probabilidades y Estadística (una variable aleatoria es toda función real definida sobre Ω ) sin considerar ningunapropiedad restrictiva y sin indicar, por lo menos, que el ∂- álgebra A es

Ω

∂

Ω

[ ]∞

=≤ [ ]<

ω∈ [ ]∞

=≤ ω∈ [ ]≤

ω ≤ ωω∈[ ]<ω∈ [ ]< ω

ω−≤− ω∈ [ ]≤

[ ]∞

=≤ ω∈ [ ]

∞

=≤

Ω

[ ]∞ [ ]≤

ω∈ [ ]≤ ω ≤ ∈ +

ω∈ [ ]∞

ω∈ [ ]∞

ω

ω∈ − ω

ω ≤ ω∈[ ]≤

Ω A

Ωφ

] ]( )∞− [ ]x≤

≥Ω<≤

<φ

[ ]x≤ ∈AΩ

( ) ( ) ( )

≤ ≤( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....Ωφ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]x≤

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

≥Ω<≤

<≤<≤

<φ

( ) ∉Ω

[ ]≤ ] ]( )− ∞∂ Ω

Ω A Ω

Ω→] ]( )∞− ∈A ∀ ∈

Ω∂ A


2Ω ; consideraremos esta definición en nuestros ejemplos y ejercicios, cuando no se aclare sobre el ∂- álgebra adoptado.

Deduciremos, a continuación, algunas condiciones equivalentes a las de la definición de variable aleatoria, y para ello es necesario establecer los siguientes lemas:LEMA 4.1.1Si X es una función de valor real definida en Ω , entonces:

[ ]∞

=≤

1n

n-2X -x = [ ]x<X ,

para cualquier número real x.DEMOSTRACION:Probaremos el Lema por doble inclusión:

a) Si ω∈ [ ]∞

=≤

1n

n-2X -x , entonces existe algún n tal que ω∈ [ ]-n2X -x≤

de aquí que X(ω ) ≤ -n2-x , lo cual implica que X(ω ) < x , o ω∈[ ]X < x .

b) Si ω∈ [ ]x<X , entonces X (ω ) < x. Tomando m suficientemente grande

para que )(X2 m ω−≤−x , resultará que ω∈ [ ]-m2X -x≤ está incluida en

[ ]∞

=≤

1n

n-2X -x , entonces ω∈ [ ]∞

=≤

1n

n-2X -x .

De a) y b) se tiene demostrado el Lema.LEMA 4.1.2Si X es una función de valor real definida en Ω , entonces:

[ ]∞

1=n

n-2+<X x = [ ]xX ≤ ,

para cualquier número real x.DEMOSTRACION:Como en el caso anterior, demostraremos por doble inclusión:a) Sea ω∈ [ ]X ≤ x , entonces X (ω ) ≤ x < -n2+x para todo n∈ +

0Z . Así

ω∈ [ ]∞

1=n

n-2+<X x .

b) Si ω∈ [ ]∞

1=n

n-2+<X x , entonces X (ω ) < -n2+x para n = 1, 2, 3, ….

Esto hace imposible que X (ω ) > x sea cierta, pues si lo fuese podríamos

encontrar que existe un n∈Z , tal que n2− < X (ω ) - x , que contradice a la desigualdad anterior. Por lo tanto, X (ω ) ≤ x, lo que implica que ω∈[ ]X ≤ x .


De a) y b) queda demostrado el Lema.TEOREMA 4.1.1Sea X una función de valor real definida en Ω ; X es una variable aleatoria si y sólo sí para cualquier x∈ , [ ]x<X ∈A .DEMOSTRACIONa) Condición Necesaria

Si X es una variable aleatoria, entonces [ ]-n2X -x≤ ∈A para n = 1, 2,…Como toda unión numerable de eventos es un evento, entonces

[ ]∞

=≤

1n

n-2X -x ∈A y por el lema 4.1.1 [ ]x<X ∈A .

b) Condición SuficienteSi [ ]tX < ∈A para cualquier t real, entonces [ ]-n2+<X x ∈ A para n

= 1, 2, …y esto implica que [ ]∞

1=n

n-2+<X x ∈ A lo que a su vez, por el

lema 4.1.2, implica que [ ]xX ≤ ∈A .De a) y b) queda demostrado el teorema.

Las demostraciones de los siguientes teoremas se dejan al lector; es necesario aclarar, que deben utilizar la definición de variable aleatoria, el

teorema 4.1.1 y si A∈ A entonces A c∈ A .TEOREMA 4.1.2Si X es una función de valor real definida en Ω ; X es una variable aleatoria sí y sólo sí [ ]x≥X ∈A , para todo x∈ .TEOREMA 4.1.3Si X es una función de valor real definida en Ω ; X es una variable aleatoria sí y sólo sí [ ]x>X ∈A , para todo x∈ .PROPIEDADES DE VARIABLES ALEATORIASSi X, Y son variables aleatorias y k∈ , entonces:4.1.1 X + Y es una variable aleatoria.4.1.2 k X es una variable aleatoria.4.1.3 2X es una variable aleatoria.4.1.4 X Y es una variable aleatoria.

4.1.5 YX

es una variable aleatoria, sí [ ] φ=0=Y .

4.1.6 YX,max es una variable aleatoria.DEMOSTRACION:4.1.1.- Consideremos el conjunto:

A = [ ][ ]r

rzYrX −<≤ ; donde r∈Q .

∈ A

[ ]<+[ ]<+⊂

[ ]<+⊃[ ]<+∈ω ( ) <+=+

∈ ω−<<ω<ω −<ω [ ][ ]−<<∈ω ω

∈

[ ]≤

≥∈Ω<∈φ

∈ [ ]≤ ∈

≤

∈ [ ]≤ ∈

≥

[ ]≤ ∈φ ≥

[ ]≤ [ ]≤≤− [ ]≤ [ ]∈−≥

( )+ ( )−

( ) ( ) −−+

( ) ( ) −−+=

−+−++

≤

≤ [ ]< ∪

≤ [ ]>

Ω∈ [ ]< ∈A

[ ]≤ ∈A

[ ]∞

=≤ ∈A [ ]< ∈A

[ ]t< ∈A [ ]∈ A

[ ]∞

∈ A

[ ]≤ ∈A

∈ A ∈ A

Ω[ ]≥ ∈A ∈

Ω[ ]> ∈A ∈

∈

[ ] φ=

[ ][ ] r−<≤ ∈Q


Como el conjunto de todos los números racionales es numerable, A∈ APor esto y por el teorema 4.1.1, sólo es necesario probar que A = [ ]zYX <+ .

Es claro que [ ]zYXA <+⊂ , así que sólo debemos probar que

[ ]zYXA <+⊃ .Sea [ ]zYX <+∈ω , entonces ( ) z)z(Y)z(X)z(YX <+=+ .

Sea Q0r ∈ que satisfaga la condición: )(Yzr)(X 0 ω−<<ω . Entonces

or)(X <ω e orz)(Y −<ω y así [ ][ ]oo rzYrX −<<∈ω y por tanto ω∈A.Con lo que queda demostrado la propiedad.

4.1.2.- Consideremos tres casos:

a) k = 0, en este caso [ ]xXk ≤ =

≥∈Ω<∈φ

0xsi,A

0xsi,A

b) k > 0, en este caso, para todo x∈ [ ]xXk ≤ = Akx

X ∈

≤

c) k < 0, en este caso, para todo x∈ [ ]xXk ≤ = Akx

X ∈

≥

De a), b) y c) tenemos demostrado la propiedad.4.1.3.-Es consecuencia inmediata de que para todo x < 0 se tiene

[ ]xX2 ≤ = A∈φ y que para todo x ≥ 0 se tiene

[ ]xX2 ≤ = [ ]xXx ≤≤− = [ ]xX ≤ [ ] AxX ∈−≥ .4.1.4.-La aplicación de las tres propiedades anteriores permiten escribir la

siguiente sucesión de propiedades:a) X + Y y X - Y son variables aleatorias.b) ( )2YX + y ( )2YX − son variables aleatorias.

c) ( ) ( )

4YXYX 22 −−+

es una variable aleatoria.

Pero ( ) ( )

4YXYX 22 −−+

= XY4

YXY2XYXY2X 2222

=−+−++

,

es decir XY es una variable aleatoria.4.1.5.- Podemos escribir

≤ xYX

=

≤ xYX [ ]Y < 0 ∪

≤ xYX [ ]Y > 0


= [ ]YX x≥ [ ]0Y < ∪ [ ]YX x≤ [ ]0Y >= [ ]0YX ≥− x [ ]0Y < ∪ [ ]0YX ≤− x [ ]0Y >

Cada una de estas cuatro últimas colecciones de eventos, son eventos de acuerdo con los teoremas de esta sección y las propiedades anteriores,

por tanto

≤ xYX

∈ A .

4.1.6.- Como: [ ]x≤Y,Xmax = [ ]xX ≤ [ ]xY ≤ , entonces [ ]x≤Y,Xmax ∈ A .

Consideremos una variable aleatoria X: Ω → , de manera que el ∂-álgebra A = Ω2 , entonces se observa que el dominio de la variable aleatoria X es todo Ω y el rango es un subconjunto de , denotado por

XR .Si el rango de la variable aleatoria X es finito o infinito numerable, se dice que la variable aleatoria X es discreta y se dice que la variable aleatoria X es continua cuando el rango es un intervalo o unión de intervalos de la recta real o un conjunto infinito no numerable de valores. Veremos con mucha más precisión, estos conceptos, en las siguientes secciones y los capítulos siguientes.

4. 2. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE UNA VARIABLEDEFINICION 4.2.1Una variable aleatoria X se llama discreta si el rango de X es finito o infinito numerable. En este caso XR = ,...x,...,x,x n21 ⊂ , tal que X(ω )∈RX , ∀ω∈Ω .EJEMPLOSea X la variable aleatoria que denota el número de veces que se lanza al aire una moneda correcta hasta que aparezca el primer sello. El espacio muestral asociado a este experimento es:Ω = ...cccs,ccs,cs,s, y consiguientemente X(s) =1, X(cs)=2 , X(ccs) = 3 , X(cccs) = 4 , …. De donde RX = ,...4,3,2,1 es un conjunto infinito numerable. Por tanto, X es una variable aleatoria discreta.En las siguientes secciones se tendrán más ejemplos de variables aleatorias discretas.La definición significa que hay un conjunto finito o infinito numerable de

números reales: 1x , 2x ,…, nx ,… tal que [ ]n

nxX = = Ω , donde la unión n

=[ ] =ωΩ∈ω

[ ] ∀ =

[ ]

( )= [ ]

≥ ∉

∑ =

∀ ∈

=Ω

=

[ ]= [ ] ==

[ ]=

[ ]≥ [ ]0< ∪ [ ]≤ [ ]0>[ ]0≥− [ ]0< ∪ [ ]0≤− [ ]0>

≤ ∈ A

[ ]≤ [ ]x≤ [ ]x≤ [ ]≤ ∈ AΩ → ∂

A Ω

Ω

,... ⊂ ω ∈ ∀ω∈Ω

Ω ...

,...

[ ] = Ω


se realiza sobre un conjunto finito de enteros, en caso de que XR sea finito, o

sobre todo los enteros positivos, en caso de que RX sea infinito numerable.4. 3. FUNCION DE PROBABILIAD DE UNA VARIABLE

ALEATORIA DISCRETASi ,.......x,xR 21X = conjunto finito o infinito numerable, para cada

i = 1, 2, …Denotamos por [ ]i=X x al evento i)(X/ x=ωΩ∈ω y

consiguientemente su probabilidad estará dada por [ ]P X = ix , ∀ = i 1 2, ,....DEFINICION 4.3.1Se dice que )( iXp x es una función de probabilidad, función de masa o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X, si a cada valor de xi se le asocia su probabilidad de ocurrencia; esto es

)( iXp x = [ ]i=XP x .Como es de amplio dominio, en sí, el conjunto de pares ordenados

( ))(,x iXi p x es la función de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

Para ixx = se tiene )x(Xp = [ ]x=XP y para otros valores de x, X (x)p =0.

Obviamente )x(Xp es una función de probabilidad y satisface las siguientes

condiciones:a) )x(Xp ≥ 0; X (x)p = 0, sí XRx∉ .

b) ∑ =x

X 1)x(p (la suma se efectúa sobre los valores posibles de x),

∀ ∈x R X .

La gráfica de )x(Xp se llama gráfica de probabilidad y se representa

por espectros o diagramas de barras (lo más usual) o mediante un histograma.ELEMPLOS4.3.1.-Si lanzamos una moneda dos veces, encontramos que ss,sc,cs,cc=Ω

y si consideramos la variable aleatoria X al “número de caras que pueden resultar”, obtenemos que: X(cc) = 2, X(cs) = X(sc) = 1 y X(ss) = 0, de donde 2,1,0R X = . De aquí que:

)0(Xp = [ ]41

ssP = , )1(Xp = [ ]21

42

sc,csP == y

)2(Xp = [ ]41

ccP = . Entonces, la función de probabilidad de la variable

aleatoria X está dada por la siguiente tabla:


X 0 1 2

X (x)p 14

12

14

Gráficamente:

x

(x)pX

0 1 2

1

1/2

1/4

(a) Espectro o diagrama de barras

x

(x)pX

0 1 2

1

1/2

1/4

(b) Histograma

4.3.2.-Si se seleccionan en forma aleatoria tres artículos de un centro manufacturero. Se examina cada uno de ellos y se les clasifica como defectuosos (D) o no defectuosos (N). Entonces:

NNN,NND,NDN,DNN,NDD,DND,DDN,DDD=Ω y si ND nnX −= ,donde nD representa el número de artículos defectuosos y nN al número de no defectuosos que se obtengan en el experimento; así definida X es una variable aleatoria y sus valores son:X(DDD) = 3 - 0 = 3X(DDN) = X(DND) = X(NDD) = 2 - 1 = 1X(DNN) = X(NDN) = X(NND) = 1 - 2 = -1X(NNN) = 0 - 3 = -3De donde, 3,1,1,3R X −−= .Luego:

X ( 3)p − = [ ]3=XP - = [ ]81

P NNN =

X ( 1)p − = [ ]-1=XP = [ ]83

P NND,NDN,DNN =

X (1)p = [ ]1=XP = [ ]83

P NDD,DND,DDN =

X (3)p = [ ]3=XP = [ ]81

P DDD =

Por tanto, la función de probabilidad de la variable aleatoria X, está dada por la siguiente tabla:

=

[ ]

=

[ ]

=

[ ]

=

)1 1 1

=Ω −=

3−−=

3)− [ ]3 [ ] 1=

1)− [ ]-1 [ ] 3=

(1) [ ]1 [ ] 3=

3) [ ]3 [ ] 1=


x -3 -1 1 3

X (x)p81

83

83

81

Gráficamente:

x

(x)pX

0 1 2

(a) Espectro o diagrama de barras (b) Histograma

-1-2-3 3

4/8

2/8

1/8

3/8

1

x

(x)pX

0 1 2-1-2-3 3

4/8

2/8

1/8

3/8

1

4.3.3.-Un embarque de 10 microcomputadoras similares que se envía a un distribuidor contiene tres aparatos defectuosos. Si un comprador efectúa aleatoriamente la adquisición de dos computadoras. Hallar la distribución de probabilidad para el número de microcomputadoras defectuosas.SOLUCION:Sea X “el número de microcomputadoras defectuosas en la adquisición de dos microcomputadoras”. Entonces 2,1,0R X = y el número de

elementos del espacio muestral es

2

10, de donde:

X (0)p = [ ]0=XP =

2

10

2

7

0

3

=157

4521

=

X (1)p = [ ]1=XP =

2

10

1

7

1

3

=157

4521

=

X (2)p = [ ]2=XP =

2

10

0

7

2

3

=151

453=


Por tanto, la función de probabilidad de X es:

X 0 1 2

X (x)p15

7

15

7

15

1

4.3.4.-De una caja que contiene cuatro bolas negras y dos verdes, se seleccionan tres de ellas en sucesión con reemplazo. Encontrar la distribución de probabilidad para el número de bolas verdes.SOLUCION:En este experimento, la variable aleatoria X es “el número de bolas verdes”, entonces 3,2,1,0R X = y el número de elementos del espacio

muestral es 21636 = , de donde:

X (0)p = [ ]0=XP =

3

04320

63

=8

27,

X (1)p = [ ]1=XP =36

12241

3

=94

X (2)p = [ ]2=XP =36

22142

3

=92

X (3)p = [ ]3=XP =36

32043

3

=271

por tanto, la distribución de probabilidad de X es:x 0 1 2 3

X (x)p278

94

92

271

4.3.5.-Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos de vals, cuando cuatro discos se seleccionan al azar, de una colección consistente de cinco discos de vals, dos de bolero y tres de huayno. Expresar el resultado por medio de una fórmula.SOLUCION:

=

−

−

−

−

[ ]≠

=∑=

==

)

3=

=

0) [ ]0

(1) [ ]1

4

2) [ ]2

2

3) [ ]3

) 4 2


La variable aleatoria X es “el número de discos de vals”, entonces

4,3,2,1,0R X = y el número de elementos del espacio muestral es 10

4

de donde:

X (0)p =

4

10

4

5

0

5

=

−

4

10

04

5

0

5

, X (1)p =

4

10

3

5

1

5

=

−

4

10

14

5

1

5

X (2)p =

5

2

5

2

10

4

=

5

2

5

4 2

10

4

−, etc. De estos tres casos inducimos

que: X (x)p =

−

4

10

x4

5

x

5

, para x = 0, 1, 2, 3, 4.

es la distribución de probabilidad de X, expresada mediante fórmula.4.3.6.-La variable aleatoria X toma los valores: 1, 2, …, 11, 12 con función de

probabilidad para X, dada por: X (x)p = [ ]x=XP = k x

Calcular el valor de la constante k ≠ 0.SOLUCION:Para que X (x)p sea una función de probabilidad debe satisfacer las

condiciones de una probabilidad, entonces:a) X (x)p = k x > 0 , para todo x = 1, 2, …, 11, 12, luego k > 0.

b) 1=12)+11+...+2+k(1xk12

1x=∑

=, de donde

781

)13(61

212(13)

1=k == .

4. 4. FUNCION DE DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Con toda variable aleatoria discreta está asociada otra función real; que se llama función de distribución acumulada o simplemente función de distribución de la variable aleatoria discreta dada, que tiene por objeto resolver problemas en los cuales se desea calcular la probabilidad de un valor


observado de la variable aleatoria discreta que sea “menor que” o “igual” a algún número real x.DEFINICION 4.4.1Si X es una variable aleatoria discreta, se llama función de distribución acumulada o simplemente función de distribución de X, a la función XF ,dada por:

[ ]xXP)x(FX ≤=para todo número real x.EJEMPLOSEn todos los casos consideraremos el ∂-álgebra Ω= 2A .4.4.1.-Sea el experimento de lanzar una moneda tres veces, entonces

SSS,SSC,SCS,CSS,SCC,CSC,CCS,CCC=ΩAsumamos que la variable aleatoria X es “el número de caras que hayan aparecido en las tres tiradas de la moneda”, luegoX(CCC) = 3 , X(CCS) = X(CSC) = X(SCC) = 2 , X(CSS) = X(SCS) = X(SSC) = 1 y X(SSS) = 0, de donde 3,2,1,0R X = .Por tanto:

[ ]xX ≤ =

≥Ω<≤

≤<≤

<φ

3xsi;

3x2si;SSSSSC,SCS,CSS,SCC,CSC,CCS,

2<x1si;SSSSSC,SCS,CSS,

1x0si;SSS

0xsi;

y como P (φ) = 0 , ( )81

sssP = , ( )P css,scs,ssc,sss =12

,

( )87

SSSSSC,SCS,CSS,SCC,CSC,CCS,P = y ( )P Ω = 1.

Entonces, la función de distribución de X es:

[ ]F P XX ( )x x= ≤ =

≥

<≤

≤

<≤

<

3xsi;1

3x2si;87

2<x1si;21

1x0si;81

0xsi;0

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

0 1 2 3

1

7/8

1/2

1/8

ω[ ]

[ ]≤ [ ]≤≥ [ ]≤

[ ]≤

[ ] == ≤

=

=Ω

[ ]x≤=

∂ Ω=

=Ω

3=

[ ]x≤

≥Ω<≤

≤<≤

<φ

φ ( ) 1= ( ) = 1

( ) 7= ( )Ω = 1

[ ]= ≤

≥

<≤

≤

<≤

<


0 1 2 3

1

7/8

1/2

1/8

x

FX

(x)

Es importante darnos cuenta de que, la función de distribución FX está definida sobre el eje real completo, aun cuando el recorrido de x puede ser una porción acotada del eje real. En efecto, si todo los números X(ω)están en un cierto intervalo finito [ ]a b, , entonces para x < a la

probabilidad [ ]P X ≤ x es cero ( ya que para x < a el conjunto [ ]X ≤ x

es vacío ) y para x ≥ b la probabilidad [ ]x≤XP es uno ( debido a que en

este caso el conjunto [ ]X ≤ x es el espacio muestral completo ). Esto significa que para la variable aleatoria discreta X acotada, cuyo recorrido está dentro de un intervalo [ ]a b, tenemos FX ( )x = 0 para todo x < a y

FX ( )x = 1 para todo x ≤ b4.4.2.-De una caja que contiene dos bolas blancas, dos bolas azules y tres bolas

verdes. Se extrae sucesivamente una bola sin reposición hasta que salga una verde. Hallar la distribución de probabilidad y la función de distribución correspondiente y graficar.SOLUCION:

La variable aleatoria X es “el número de extracciones sucesivas de bolas sin reposición hasta obtener una verde”, luego

5,4,3,2,1R X = y el espacio muestral asociado al experimento es:

VVVVV,VVVV,VVV,VV,V ''''''''''=Ω

donde V significa extracción de una bola verde y V’ significa su complemento (la no extracción de una bola verde) o la extracción de bola blanca o azul. Entonces:


a) Cálculo de la distribución de probabilidad de X.Como:

X (1)p = P(V) =37

X (2)p = V)P(V ' = )P(V ' P(V) =47

36

=

27

X (3)p = P(V V V)' ' =47

36

35

=

635

X (4)p = P(V V V V)' ' ' =47

36

25

34

=

335

X (5)p = P(V V V V V)' ' ' ' =

33

41

52

63

74

=135

Por tanto, la distribución de probabilidad de X es:

x 1 2 3 4 5

X (x)p 37

27

635

335

135

b) Cálculo de la función de distribución de X.Como:

[ ]X ≤ x =

≥Ω≤≤≤≤

φ

5si;

5<4si;VV,VV,VVV,VVV

4<3si;VV,VV,VV

3<2si;VV,V

2<1si;V

1<si;

''''''

'''

'

x

x

x

x

x

x

Entonces:

P( ) = 0φ , ( )P V =37

,

( ) ( ) ( )P V V, V = P V V + P V =37

' ' + =27

57

( )P V V V, V V, V =635

27

' ' ' + + =37

3135

,

( ) + + + = Ω

[ ]≤=

≥≤≤≤≤

0 1 2 3

1

(1) )

2) )

3)

4)

5)

)

[ ]≤

≥Ω≤≤≤≤

φ

0φ ( )

( ) ( ) ( ) + =

( ) + + =


( )P V V V V, V V V, V V, V =335

635

27

' ' ' ' ' ' + + + =37

3435

, y P( ) = 1Ω

Luego, la función de distribución de X es:

[ ]xXP)x(FX ≤= =

≥≤≤≤≤

5si;1

5<4si;34/35

4<3si;31/35

3<2si;5/7

2<1si;3/7

1<si;0

x

x

x

x

x

x

Tabularmente, representamos la distribución de probabilidad y la función de distribución de X, en forma conjunta, así:

x 1 2 3 4 5

(x)pX73 2

7635

335

135

FX ( )x37

57

3135

3435

1

La representación gráfica de la función de distribución de la variable aleatoria es:

0 1 2 3

1

x

FX

(x)

4 5

5/7 = 25/35

3/7 = 15/35

31/25

34/35


OBSERVACION: En la representación tabular de la distribución de probabilidad y la función de distribución de una variable aleatoria discreta, se nota que los resultados de la función de distribución son acumulaciones de resultados de la distribución de probabilidad, así tenemos en el ejemplo anterior que:

)3(FX = X (1)p + X (2)p + X (3)p =73

+72

+356

=3531

, etc.;

esto justifica su denominación dada en la definición 4.3.1.A continuación, presentamos un cierto número de propiedades comunes

a todas las funciones de distribución.

PROPIEDADES DE FUNCIONES DE DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Si FX ( )x es una función de distribución de una variable aleatoria discreta X, entonces: 4.4.1 0 FX≤ ≤( )x 1 , para todo x

4.4.2 [ ]P < X1x ≤ x2 = )x(F 2X - )x(F 1X , sí x x1 2< .

4.4.3 )x(F 1X ≤ FX ( )x2 , sí x x1 2< .

4.4.4 [ ]21 xXP ≤≤x = )x(F 2X - )x(F 1X + [ ]1xXP = , si x x1 2<4.4.5 [ ]21 xX<P <x = )x(F 2X - )x(F 1X - [ ]2xXP = , si x x1 2<4.4.6 [ ]21 xXP <≤x = )x(F 2X - )x(F 1X + [ ]1xXP = - [ ]2xXP = , si

x x1 2<4.4.7 Xx

lim F (x) 1→+∞

= .

4.4.8 Xx .lim F (x) 0→∞

= .

DEMOSTRACION:4.4.1.-Consecuencia inmediata de la definición de FX ( )x y dado que la

probabilidad está siempre comprendida entre 0 y 1.4.4.2.-Observemos que los eventos [ ]21 xX< ≤x y [ ]1xX ≤ son disjuntos.

Su unión es el evento [ ]2xX ≤ ; gráficamente:

[ ]≤ [ ]≤ [ ]≤[ ]≤ [ ]≤ [ ]≤

[ ]≤

[ ]≤ ≥≤[ ]≤ [ ]

[ ]≤≤

[ ]≤≤ [ ]=

ε >ε<−

εε +<<−

ε >− <ε

ω Ω∈ω

[ ]

≤<−∪≤=

∞

=Ω

[ ]≤ [ ]∑ ≤<−∞

=

ε

ε

[ ]≤ [ ] ε−>∑ ≤<−∞

=[ ] ε−>≤

εε−>

>ε ∃

)3 (1) 2) 3)3 2 6 31

)x

≤ ≤ 1

[ ]≤ ) ) x<) ≤ ) x<

[ ]≤≤ ) ) [ ]= x<[ ]< ) ) [ ]= x<[ ]<≤ ) ) [ ]= [ ]=

x<1

→+∞=

0→∞

=

)x

[ ]≤ [ ]≤[ ]≤


y entonces, tomando probabilidades obtenemos:[ ]2XP x≤ = [ ]1xXP ≤ + [ ]21 xX<P ≤x , de donde

[ ]21 xX<P ≤x =P [ ]2xX ≤ - [ ]1xXP ≤ ,

y utilizando la definición de FX ( )x , se tiene:

[ ]21 xX<P ≤x = )x(F 2X - )x(F 1X

que demuestra la proposición.4.4..3.-Se deduce de la propiedad anterior, que si [ ]21 xX<P ≤x ≥ 0, entonces

)x(F 1X ≤ )x(F 2X .

4.4.4.-Observemos que los eventos [ ]21 xX< ≤x y [ ]1x=X son disjuntos y su unión es [ ]21 xXx ≤≤ , tomando probabilidades y aplicando la propiedad 4.4.2, se obtiene finalmente

[ ]21 xXP ≤≤x = FX ( )x2 - FX ( )x1 + [ ]1xXP = .Las propiedades 4.4.5 y 4.4.6 se demuestran en forma similar y se deja al lector su verificación.

4.4.7.-Debemos demostrar que si dado un ε > 0 , existe N > 0 tal que:ε<−1)(FX x , siempre que x > N,

equivalentemente: ε1)(Fε1 X +<<− x , siempre que x > N.

Como FX ( )x es una probabilidad, sólo será necesario demostrar que si dado un ε > 0 , existe N > 0 tal que:

1− <ε FX ( )x , siempre que x > N.Pero X es una variable aleatoria, X( )ω es finito para cualquier Ω∈ω ,entonces:

[ ]

≤<−∪≤=

∞

=NX1N0XΩ

1N ,

tomando probabilidad, se tiene:

1 = [ ]0XP ≤ + [ ]∑ ≤<−∞

=1NNX1NP

Observemos que la serie es convergente y consiguientemente, existe N ε

tal que para todo N > N ε

[ ]0XP ≤ + [ ] ε1kX1kP1k

−>∑ ≤<−∞

=, o [ ] ε1NXP −>≤ .

Tomando N = εN + 1, aplicando la propiedad 4.4.3, vemos que

ε1)(FX −>x para todo x > N, con lo que concluye la demostración.

4.4.8.-Debemos demostrar que si dado un 0>ε , ∃ N > 0 tal que:


ε0)x(FX <− , siempre que x < N o ε)(FX <x , siempre que x < N

Por el mismo razonamiento, efectuado en la demostración de la propiedad anterior,

[ ] [ ]

−≤<+−∪=

∞

=

okkX)1k(0>XΩ

tomando probabilidad, resulta:

1 = [ ]0>XP + [ ]∑ −≤<+−∞

=0kkX)1k(P

Como la serie es convergente, existe un entero N ε tal que para todo

n > N ε

[ ]0>XP + [ ]∑ −≤<+−∞

=0kkX)1k(P > 1 - ε.

Esto es lo mismo que escribir:[ ] ε)1n(XP <+−≤

para todo n > N ε . Si N = - ( εN + 1), entonces por la propiedad 4.4.3,

FX ( )x < ε , para todo x < N, lo que completa la demostración.Tenemos, además, las siguientes propiedades cuyas demostraciones de deja al lector.

4.4.9 [ ]x>XP = 1 - [ ]x≤XP = 1 - )x(FX , para todo x

4.4.10 [ ]x<XP =n

1P lim X

n→+∞

≤ =

x -n

1lim P X

n→+∞

≤ x -

= Xn

1lim F ( )

n→+∞−x

4.4.11 [ ]xXP = = [ ]x≤XP - [ ]x<XP = FX ( )x - Xn

1lim F ( )

n→+∞−x

EJEMPLOS4.4.3.-Supongamos que la función de probabilidad de la variable aleatoria

discreta X está dada por:x 0 1 2

(x)pX27

47

17

Hallar la distribución acumulada de X y utilizando esta distribución, calcular:a) [ ]1<XP b) [ ]1XP = c) [ ]2X0P ≤< d) [ ]1XP ≥SOLUCION:

=

≥

≤

≤

[ ]→+∞

≤ = →+∞

−

[ ]= [ ]≤ [ ] [ ]

[ ]≤<

[ ]≥ [ ]

≥

≤

≤

[ ]≤ [ ]≥[ ]≤≤

[ ]≤ [ ]≥ [ ]<

→+∞−

ε<− ε<

[ ] [ ]

−≤<+−∪=

∞

=Ω

[ ]0 [ ]∑ −≤<+−∞

=

ε

ε

[ ]0 [ ]∑ −≤<+−∞

=ε

[ ] ε<+−≤

ε ε< ε

[ ]x [ ]≤ )

[ ]x→+∞

≤ = →+∞

≤

→+∞−

[ ]x= [ ]≤ [ ]x )x→+∞

−

)

[ ]1 [ ]1= [ ]2≤< [ ]1≥


De acuerdo con la observación de esta sección, dado que ,2,1,0R X = ,encontramos que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

)x(FX =

≥

≤

≤

2si;1

2<1si;76

1<0si;72

0<si;0

x

x

x

x

Por tanto, utilizando propiedades tenemos:

a) [ ]1<XP =n

1P lim X 1

n→+∞

≤ =

-n

1lim F(1 )

n→+∞− =

27

b) [ ]1XP = = [ ]1XP ≤ - [ ]1<XP = )1(FX - [ ]1<XP

=76

-72

=74

(como se esperaba)

c) [ ]2X0P ≤< = )2(FX - )0(FX = 1 -72

=75

d) [ ]1XP ≥ = 1 - [ ]1<XP = 1 -72

=75

4.4.4.-Si la variable aleatoria discreta X tiene la siguiente función de distribución acumulada:

)x(FX =

≥

≤

≤

20si;1

20<15si;43

15<10si;41

10<si;0

x

x

x

x

Hallar:a) [ ]10.5XP ≤ + [ ]5.15XP ≥ .b) [ ]5.15X2.10P ≤≤ .c) Distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.SOLUCION:

a) Como

[ ]10.5XP ≤ = )5.10(FX =41

y [ ]5.15XP ≥ =1 - [ ]5.15XP <

= 1 -n

1lim F(15.5 )

n→+∞− = 1 -

43

=41

Por tanto:


[ ]10.5XP ≤ + [ ]5.15XP ≥ =41

+41

=21

b) [ ]5.15X2.10P ≤≤ = )5.15(FX - )2.10(FX + [ ]2.10XP =

=34

-41

+ [ ]10.2XP ≤ - [ ]10.2XP <

=42

+ )2.10(FX -n

1lim F(10.2 )

n→+∞−

=42

+41

-41

=42

=21

.

c) Como[ ]10XP = = [ ]10XP ≤ - [ ]10XP <

= )10(FX -n

1lim F(10 )

n→+∞− =

41

- 0 = 41

[ ]15XP = = )15(FX -n

1lim F(15 )

n→+∞− =

43

-41

=21

[ ]20XP = = )20(FX -n

1lim F(20 )

n→+∞− = 1 -

43

=41

Entonces, la distribución de probabilidad de X está dada por:

X 10 15 20(x)pX

41

21

41

Debemos observar que, para calcular directamente la distribución de probabilidad a partir de la distribución acumulada, se diferencia los valores correspondientes a la proximidad del punto de discontinuidad (puntos de XR ); es decir si ,...x,x,...,x,xR 1jj21X += entonces

( ) ( ) ( )jX1jX1jX xFxFxp −= ++ , para todo j=1,2,......

Por ejemplo, en nuestro caso, si =+1jx 15, entonces

( ) ( ) ( )21

41

43

10F15F15p XXX =−=−=

OBSERVACION: Como resumen de lo visto anteriormente tenemos que, si X es una variable aleatoria discreta entonces su función de distribución se dice que es función de distribución discreta y está dada por:

[ ]≤ ∑≤

[ ]∑≤

Ω∂ Ω

Ω( ) ( ) ( )[ ]ωωω = ω ∈Ω

= = = ∀ω ∈ω ω Ω

[ ]10.5≤ [ ]5≥1 1 1

[ ]5≤≤ ) ) [ ]2=

1 [ ]10.2≤ [ ]10.2<

2)

→+∞−

2 1 1 2 1

[ ]10= [ ]10≤ [ ]10<

)10→+∞

−1 1

[ ]15= )15→+∞

−3 1 1

[ ]20= )→+∞

−3 1

) 1 1 1

,...+=

( ) ( ) ( )−= ++

=+

( ) ( ) ( ) 1=−=−=


)x(FX = [ ]x≤XP = ∑≤xx

xpj

)( jX = [ ]∑≤x

jj

x=XPx

4. 5. FUNCION DE DISTRIBUCION DE VARIAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

En nuestro estudio de las variables aleatorias hemos considerado, hasta aquí, sólo el caso unidimensional; es decir, el resultado de un experimento que fue representado por una sola variable, sin embargo, un experimento puede ser representado o inducido por dos o más variables aleatorias. Por ejemplo, si se extrae al azar un ejemplar de un zoológico y se anota su especie por x y su peso por y, se considera el par (x, y) como resultado del experimento y consiguientemente se toma dos variables aleatorias y si a éste se añade anotando su sexo por z, se considera la terna (x, y, z) como resultado del experimento y por tanto se tiene tres variables aleatorias.En esta sección presentaremos o estudiaremos, los conceptos para el caso bidimensional y luego generalizaremos para el caso multidimensional o de varias variables tales como: Función de probabilidad, función de distribución acumulada, etc. DEFINICION 4.5.1.-Si Ω es el espacio muestral asociado a un mismo experimento y a un mismo ∂-álgebra de eventos y si X e Y son dos variables aleatorias definidas en Ω, el par (X, Y) se llama variable aleatoria bidimensional o vector aleatorio bidimensional.

Gráficamente tenemos:

En sí, el par (X, Y) es una aplicación de Ω en 2, dada por ( ) ( ) ( )[ ]ωY,ωX)ω(YX, = , para todo ω ∈Ω .

El rango de la variable aleatoria bidimensional está dado por:

R X YX,Y ( ) / ( ), ( ),= = = ∀ω ∈x, y x yω ω Ωque es el producto cartesiano de los rangos de las variables aleatorias X e Y.


OBSERVACION 4.5.1: Si ...,X...,,X,X n21 , es un conjunto (finito o infinito) de variables aleatorias definidas en Ω , tal que cada una asocia un número real a cada resultado ω ∈Ω ; es decir, 11 =(ωωX x , 22 =(ωωX x ,

33 =(ωωX x , … , nn =(ωωX x , …, entonces el vector ( ...,X...,,X,X n21 ) se denomina variable aleatoria multidimensional o vector aleatorio multidimensional.

Adoptan las denominaciones de discreta o continua, cuando las variables aleatorias ...,X...,,X,X n21 son, respectivamente, discretas o continuas.

Las diferentes notaciones adoptadas para el caso unidimensional se expresan o presentan por extensión natural; así, por ejemplo:• [ ][ ]bYaX =< = [ ]bY,aX =< representa que la variable aleatoria X

toma valores menores que a y que la variable aleatoria Y toma el valor b (intersección de eventos).

• [ ][ ]bYaX >≤ = [ ]bY,aX >≤• [ ][ ]bYaX ≥≥ = [ ]bY,aX ≥≥ , etc.

Sus probabilidades escribiremos por:[ ][ ]( )bYaXP =< = [ ]( )bY,aXP =< , [ ][ ]( )bYaXP >≤ =

[ ]( )bY,aXP >≤ ; [ ][ ]( )bYaXP ≥≥ = [ ]( )bY,aXP ≥≥ , etc.

Como en la sección 4.3, consideraremos Ω2A = , XR y YR como conjuntos finitos o infinitos numerables, para la definición de función de probabilidad conjunta, que damos a continuación:DEFINICION 4.5.2Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con rango Y,XR . La

función que hace corresponder a cada par (x, y) de (X, Y) el número

X,Y (x, y)p = [ ][ ]( )yx == YXP = [ ]( )yx == Y,XP

Se llama distribución de probabilidad o función de probabilidad conjunta o función masa de probabilidad de la variable aleatoria discreta (X, Y), que satisface las siguientes condiciones:1. X,Y (x, y)p ≥ 0 para todo ( x, y)∈ 2.

2. X,Yx y

(x, y) 1p =∑∑ .

Para cualquier región A en el plano X × Y, ( )[ ]A∈Y,XP = X,Y

A

(x, y)p∑ ∑ .

[ ]

...

Ωω ∈Ω ωω ωω

ωω ωω ...

...

• [ ][ ]b=< [ ]b=<

• [ ][ ]b>≤ [ ]b>≤• [ ][ ]b≥≥ [ ]b≥≥

[ ][ ]( )=< [ ]( )=< [ ][ ]( )>≤[ ]( )>≤ [ ][ ]( )≥≥ [ ]( )≥≥

Ω=

y) [ ][ ]( )== [ ]( )==

y) ≥ ∈

=∑∑×

( )[ ]∈ ∑ ∑


Como indicamos en el caso unidimensional, en sí, el conjunto de pares ordenados X,Y(x, y), (x, y)p es la distribución de probabilidad conjunta de

la variable aleatoria discreta (X, Y).Cuando el rango de la variable aleatoria discreta (X , Y) es finito, la

distribución de probabilidad conjunta se representa en una tabla de doble entrada, como se muestra:

REPRESENTACION TABULARLa representación gráfica de la función de probabilidad conjunta de la

variable aleatoria (X, Y) se muestra a continuación:

REPRESENTACION GRÁFICA

DEFINICION 4.5.3La función de distribución acumulada o simplemente función dedistribución bivariable del vector aleatorio (X, Y), denotada por FXY , es

la función de 2 en [ ]0 1, dada por:


)y,x(F YX, = [ ]yx ≤≤ Y,XP , ∀ ∈( , )x y 2

Si el rango de la variable aleatoria (X , Y) es finito o infinito numerable: ,...,R 21X xx= , ,...,R 21Y yy= , o la variable aleatoria (X , Y) es discreta,

entonces, la función de distribución acumulada de (X , Y) está dada por:)y,x(F YX, = [ ]yx ≤≤ Y,XP = ∑ ∑

≤ ≤yy xx

yxpj i

),( jiXY

Gráficamente, )y,x(F YX, es la suma de las probabilidades de todos los

puntos de la región ( ) yy,xx/y,xA jiji ≤≤=

que se muestra:

OBSERVACION 4.5.2: En la práctica )y,x(F YX, es la suma total de los

elementos que forman la matriz:

X,Y 1 1 X,Y 1 2 X,Y 1 j X,Y 1

X,Y 2 1 X,Y 2 2 X,Y 2 j X,Y 2

X,Y i 1 X,Y i 2 X,Y i j X,Y i

X,Y 1 X,Y 2 X,Y j X,Y

(x , y ) (x , y ) ... (x , y ) ... (x , y)

(x , y ) (x , y ) ... (x , y ) ... (x , y)

. . . . . .

(x , y ) (x , y ) ... (x , y ) ... (x , y)

. . . . . .

(x, y ) (x, y ) ... (x, y ) ... (

p p p pp p p p

p p p p

p p p p x, y)

donde xx i ≤ e yy j ≤ .

Por ejemplo, si deseamos calcular )y,x(F 43YX, , sumamos todos los

elementos de la matriz:

X,Y 1 1 X,Y 1 2 X,Y 1 3 X,Y 1 4

X,Y 2 1 X,Y 2 2 X,Y 2 3 X,Y 2 4

X,Y 3 1 X,Y 3 2 X,Y 3 3 X,Y 3 4

(x , y ) (x , y ) (x , y ) (x , y )

(x , y ) (x , y ) (x , y ) (x , y )

(x , y ) (x , y ) (x , y ) (x , y )

p p p pp p p pp p p p

EJEMPLOS

Ω

= = =

0≠

∉

Ω

[ ]==Ω

Ω

Ω

) [ ]≤≤ ∀ ∈

,...= ,...=

) [ ]≤≤ ∑ ∑≤ ≤

)

( ) y≤≤=

)

p

x≤ y≤

)

p


4.5.1.-Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras que resultan al lanzar una moneda cuatro veces y sea Y la variable aleatoria definida como el número de sellos que resulta del mismo experimento; es decir, del lanzamiento de una moneda cuatro veces.a) Determinar la función de probabilidad conjunta de (X, Y) y graficar.b) Hallar la función de distribución acumulada de (X, Y).SOLUCION:a) El espacio muestral Ω y los valores de X e Y en forma tabulada

están dadas por:

Luego 4,3,2,1,0R X = , 4,3,2,1,0R Y = y

)0,4(),1,3(),2,2(),3,1(),4,0(R Y,X =que se muestra en el siguiente gráfico:

0

y

x

R XY1

2

3

4

3 421Observemos que YXY,X RxRR ≠ dado que, por ejemplo, el par

(1, 1) ∉ R XY ya que en la tabulación conjunta no se encuentra este valor, puesto que no se presenta en ningún lanzamiento de 4 monedas que salga sólo una cara y un sello.

Como la selección es al azar, cada evento tiene probabilidad de 1

16dado que el número de elementos de Ω es 16. Entonces:

X,Y (0, 4)p = [ ]4Y,0XP == =Ωelementosde#

(0,4)paresde#=

161

cccc cccs cscc ccsc sccc ccss cscs cssc sccsX 4 3 3 3 3 2 2 2 2Y 0 1 1 1 1 2 2 2 2

scsc sscc csss scss sscs sssc ssssX 2 2 1 1 1 1 0Y 2 2 3 3 3 3 4

Ω

Ω


X,Y (1,3)p = [ ]3Y,1XP == =Ωelementosde#

(1,3)paresde#=

164

=41

X,Y (2, 2)p = [ ]2Y,2XP == =Ωelementosde#

(2,2)paresde#=

166

=83

X,Y (3,1)p = [ ]1Y,3XP == =Ωelementosde#

(3,1)paresde#=

164

=41

X,Y (4, 0)p = [ ]P X Y= =4 0, =#

# de pares (4,0)

de elementos Ω=

116

Como aclaración tengamos, por ejemplo:

[ ]3Y,1XP == = P (CSSS o SCSS o SSCS o SSSC) =164

=41

[ ]0Y,4XP == = P (CCCC) =161

. etc.

Por tanto, la función de probabilidad conjunta de (X, Y) está dada en la siguiente tabla:

Representación gráfica:

3) [ ]3==Ω

1,3) 1

) [ ]2==Ω

2,2) 3

1) [ ]1==Ω

3,1) 1

) [ ]= =4,0)

Ω1

[ ]3==1

[ ]0==


b) De acuerdo a la observación de esta sección, encontramos la función de distribución acumulada de (X, Y) a partir de la tabla que representa la función de probabilidad conjunta de (X , Y), expresada por:

Así tenemos, por ejemplo:)0,0(F YX, = X,Y (0, 0)p = 0

)3,0(F YX, = X,Y (0,1)p + X,Y (0, 2)p + X,Y (0,3)p = 0

)2,2(F YX, = X,Y (0, 0)p + X,Y (0,1)p + X,Y (0, 2)p +

X,Y (1, 0)p + X,Y (1,1)p + X,Y (1, 2)p X,Y (2, 0)p +

X,Y (2,1)p + X,Y (2, 2)p = 3/8

)3,3(F YX, = X,Y (0, 0)p + X,Y (0,1)p + X,Y (0, 2)p + X,Y (0,3)p +

X,Y (1, 0)p + X,Y (1,1)p + X,Y (1, 2)p + X,Y (1,3)p +

X,Y (2, 0)p + X,Y (2,1)p + X,Y (2, 2)p + X,Y (2,3)pX,Y (3,0)p + X,Y (3,1)p + X,Y (3, 2)p + X,Y (3,3)p =

41

+83

+14

=87

; etc.

Los resultados obtenidos, aparentemente son complicados, sin embargo,trazando matrices con líneas imaginarias en la tabla que representa la función de probabilidad conjunta de (X, Y) es fácil su deducción; así por ejemplo para calcular )3,4(F YX, tracemos las líneas verticales en la

columna 3 y horizontal en la fila 4; sin pasar la línea divisoria de las variables.


Encontramos que en la parte superior de la línea horizontal y el lado izquierdo de la línea vertical se forma una región (matriz) de la forma:

000161

0041

0

083

00

41

000

0000

La suma de todos sus elementos es el valor de )3,4(F YX, ; es decir

)3,4(F YX, =41

+83

+41

+161

=1615

.

La tabla que representa los valores de )y,x(F YX, , ∀ x, y ∈ , también

se puede expresar como:

4.5.2.-La función de probabilidad conjunta de (X, Y) está dada por

X,Y (x, y)p = k (x + 2y), donde x e y pueden tomar valores enteros tales

que 2x0 ≤≤ , 3y0 ≤≤ y ),(YX, yxp = 0 en caso contrario:

a) Hallar el valor de la constante k.b) Hallar [ ]2Y,1XP == .c) Hallar [ ]2Y,1XP ≤≥ .SOLUCION:Los puntos muestrales (x, y) para los cuales las probabilidades son diferentes de cero se encuentran en :

( ) 3y0,2x0/y,xR YX, ≤≤≤≤= =

)3,2(),2,2(),1,2(),0,2(),3,1(),2,1(),1,1(),0,1(),3,0(),2,0(),1,0(),0,0(

=

[ ]==

[ ]≤≥ ∑∑≥ ≤

[ ]≤≥ =

≤ ≤ ≤

[ ][ ] [ ][ ]≤≤⊆≤≤−∞

−∞→∀ ∈

−∞−∞→

∀ ∈

+∞→+∞→

+∞+∞

)3

)31 3 1 15

) ∀ ∈

y)

2≤≤ 3≤≤ )

[ ]2==[ ]2≤≥

( ) 3≤≤≤≤=

)


Las probabilidades asociadas con estos puntos, dados por k (x + 2y), están en la siguiente tabla:

a) Como el gran total es 48k, y este debe ser igual a 1, entonces

481

k = .

b) De la tabla se deduce que: [ ]2Y,1XP == = 5k = 5

481

=485

.

c) Como [ ]2Y,1XP ≤≥ = ∑∑

≥ ≤1 2),(YX,

x y

yxp

= X,Y (1, 2)p + X,Y (1,1)p + X,Y (1, 0)p +

X,Y (2, 2)p + X,Y (2,1)p + X,Y (2, 0)pLuego, aplicando los valores de la tabla, tenemos:

[ ]2Y,1XP ≤≥ = 5k + 3k + k + 6k + 4k + 2k = 21k = 167

4821

= .

Las funciones de distribución bivariable tienen muchas propiedades en común que las de una variable. La demostración de las siguientes propiedades es semejante a las vistas anteriormente. Se indican sugerencias y la formalización queda a cargo del lector.PROPIEDADES4.5.1 )y,x(F 11YX, ≤ )y,x(F 22YX, , sí 21 xx ≤ y 21 yy ≤ .

(Sugerencia: Para la demostración utilizar[ ][ ] [ ][ ]2211 YXYX yxyx ≤≤⊆≤≤ )

4.5.2 )y,(F YX, −∞ = )(Flim YX,x

yx,−∞→

= 0, ∀ y∈ .

(Sugerencia: Seguir los pasos de la demostración de la propiedad 4.4.8)4.5.3 ),x(F YX, −∞ = )(Flim YX,

yyx,

−∞→= 0, ∀ x∈ .

(Sugerencia: Seguir los pasos de la demostración de la propiedad 4.4.8)

4.5.4 )(Flim YX,

yx

yx,

+∞→+∞→

= ),(F YX, +∞+∞ = 1


4.5.5 [ ]dYc,bXaP ≤<≤< = )d,b(F YX, - )d,a(F YX, - )c,b(F YX, +

)c,a(F YX, .

4.5.6 [ ]yYP ≤ = )(Flim YX,x

yx,+∞→

= )y,(F YX, +∞ = )y(FY , para todo y.

(Sugerencia: Para la demostración tomar en cuenta:

[ ]y≤Y = [ ][ ]y≤≤ Y0X ∪ [ ][ ]∞

=≤≤<−

1kyYkX1k y seguir los

pasos de la demostración de la propiedad 4.4.7)4.5.7 [ ]x≤XP = )(Flim YX,

yyx,

+∞→= ),x(F YX, +∞ = )x(FX , para todo x.

(Sugerencia: Puede utilizar la propiedad 4.5.6 si se observa que )y,x(F YX, = )x,y(F YX, )

4.5.8 [ ]yx >> Y,XP = 1 - )x(FX - )y(FY + )y,x(F YX, .

Es importante manifestar que se establecen propiedades análogas a las indicadas o precedentes para un conjunto de las variables: 1X , 2X , 3X ; en especial las propiedades: 4.5.1, 4.5.2, 4.5.3, 4.5.6 y 4.5.7.OBSERVACION 4.5.3: Si los posibles valores de la variable aleatoria bidimensional (X, Y) son finitos o infinitos numerables o (X, Y) es una variable aleatoria discreta, entonces la función de probabilidad de X es obtenida de )y,x(YX,p por:

X (x)p = [ ]xXP = = ∑>0)y,x(:

YX, )y,x(pYX,py

similarmente: )y(Yp = [ ]y=YP = ∑>0)y,x(

YX, )y,x(pYX,p:x

Llamadas probabilidades marginales de las variables X e Y, respectivamente.

Se denomina distribución marginal de X a la tabla que contiene los valores de X y sus probabilidades marginales, esto es

X 1x 2x … nx

X j(x )p X 1(x )p X 2(x )p …X n(x )p

Similarmente, se denomina distribución marginal de Y a la tabla que contiene los valores de Y y sus probabilidades marginales, esto es

Y 1y 2y … my

Y j(y )p Y 1(y )p Y 2(y )p …Y m(y )p

[ ]≤ [ ]∞≤≤≤∑

[ ]≤ [ ]≤∞≤≤∑

[ ]=≤ [ ]<> [ ]>

[ ]=+

= = =

Ω

−−

[ ]d≤<≤< ) ) )c

)c

[ ]y≤ )+∞→

)+∞ )

[ ]≤ [ ][ ]≤≤ ∪ [ ][ ]∞

=≤≤<−

[ ]≤ )+∞→

)+∞ )

) )

[ ]>> ) ) )

)

) [ ]x= ∑>

)

) [ ] ∑>

)

) ) ) )

y

) ) ) )


Las distribuciones acumuladas marginales de X e Y están dadas respectivamente por:

FX ( )x = [ ]x≤XP = [ ]∞≤≤ Y,XP x =i

X ix x

(x )p≤∑

)y(FY = [ ]y≤YP = [ ]yY,XP ≤∞≤ =j

Y jy y

(y )p≤∑

EJEMPLOS4.5.3.-De una caja de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 plátanos,

se selecciona una muestra aleatoria de 4 frutas. Si X es el número de naranjas y Y es el número de manzanas en la muestra, hallar:a) La distribución de probabilidad conjunta de (X, Y).b) Las distribuciones de probabilidad p xX ( ) y p yY ( ) .

c) [ ]1Y,2XP =≤ , d) [ ]1Y,2XP <> , e) [ ]YXP > ,

f) [ ]2YXP =+ y g) )2,2(F YX, .

SOLUCIONDe los datos del problema se tiene: 3,2,1,0R X = , 2,1,0R Y = y

)1,3(),0,3(),2,2(),1,2(),0,2(),2,1(),1,1(),0,1(),2,0(),1,0(R Y,X = , los

pares existentes se justifican debido a que la muestra aleatoria es de 4 frutas así, por ejemplo:(0,1) representa 0 naranjas, 1 manzana y 3 plátanos (las tres frutas deben sumar 4 frutas).(1,2) representa 1 naranja, 2 manzanas y 1 plátano, etc.Por otro lado, no es posible la existencia del par (0,0) que representa 0 naranjas, 0 manzanas y 4 plátanos, debido a que sólo hay 3 plátanos; así mismo (3,2) escapa de la muestra de 4 frutas.

a) Para el cálculo de las correspondientes probabilidades, usemos el

análisis combinatorio. El espacio muestral Ω tiene

4

8= 70

elementos; por otro lado

x

3da el número de casos en se obtienen

x naranjas,

y

2representa el número de casos en que se obtienen

“y” manzanas y

−− yx4

3da el número de casos en que se

obtienen plátanos conocido x naranjas e y manzanas. Por tanto:


X,Y (0,1)p = [ ]1Y,0XP == =

4

8

3

3

1

2

0

3

=702

X,Y (0, 2)p = [ ]2Y,0XP == =

4

8

2

4

2

2

0

3

=703

X,Y (1, 0)p = [ ]0Y,1XP == =

4

8

3

3

0

2

1

3

=703

X,Y (1,1)p = [ ]1Y,1XP == =

4

8

2

3

1

2

1

3

=7018

X,Y (1, 2)p = [ ]2Y,1XP == =

4

8

1

3

2

2

1

3

=709

X,Y (2, 0)p = [ ]0Y,2XP == =

4

8

2

3

0

2

2

3

=709

X,Y (2,1)p = [ ]1Y,2XP == =

4

8

1

3

1

2

2

3

=7018

[ ]==

[ ]==

[ ]==

− −

≤ ≤

1) [ ]1==

) [ ]2==

) [ ]0==

1) [ ]1==

18

) [ ]2==

) [ ]0==

1) [ ]1==

18


X,Y (2, 2)p = [ ]2Y,2XP == =

4

8

0

3

2

2

2

3

=703

X,Y (3,0)p = [ ]0Y,3XP == =

4

8

1

3

0

2

3

3

=703

X,Y (3,1)p = [ ]1Y,3XP == =

4

8

0

3

1

2

3

3

=702

Es necesario aclarar que, podemos utilizar la fórmula:

X,Y (x, y)p =

3 2 3

4

8

4

x y x y

− −

;

para x = 0,1,2,3; y = 0,1,2; 0 ≤ x + y ≤ 4.Por tanto, la distribución de probabilidad conjunta (X, Y) está dada en la siguiente tabla:

b) De acuerdo con la última observación 4.5.3, las distribuciones de probabilidad


Xp (x) y Yp (y) se encuentran en las márgenes de la tabla anterior, que se muestra a continuación:

c) [ ]1Y,2XP =≤ = [ ]1Y,0XP == + [ ]1Y,1XP == +

[ ]1Y,2XP ==

=702

+7018

+7018

=3519

d) [ ]1Y,2XP <> = [ ]0Y,3XP == =703

e) [ ]YXP > = [ ]0YXP >− = [ ]0Y,1XP == + [ ]0Y,2XP == + [ ]1Y,2XP == + [ ]0Y,3XP == + [ ]1Y,3XP == +

[ ]2Y,3XP == =703

+709

+7018

+703

+702

+ 0

=21

7035

=

f) [ ]2YXP =+ = [ ]2Y,0XP == + [ ]1Y,1XP == + [ ]0Y,2XP ==

=703

+7018

+709

=7030

=73

g) )2,2(F YX, = [ ]2Y,2XP ≤≤ = ∑∑≤ ≤2

jiYX,

j i 2),(

y x

yxp

=702

+703

+703

+7018

+709

+709

+7018

+703

=7065

=1413

[ ]>>[ ]≤<≤<−

( ) ( )

) y)

[ ]1=≤ [ ]1== [ ]1==[ ]1==

18 18 19

[ ]1<> [ ]0==

[ ]> [ ]0>− [ ]0== [ ]0==[ ]1== [ ]0== [ ]1==

[ ]2==18

1=

[ ]2=+ [ ]2== [ ]1== [ ]0==18 30 3

) [ ]2≤≤ ∑∑≤ ≤

18 18

65 13


4.5.4.-Dada la distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria (X, Y), mediante la tabla:

Calcular:a) [ ]0Y,0XP >>b) [ ]1Y0,1X1P ≤<≤<−SOLUCION:Se puede calcular como en el ejemplo anterior, pero utilizaremos las propiedades expuestas y para ello calcularemos las distribuciones marginales de Y (y)p y X (x)p y las funciones de distribución acumulada

de (X, Y) :Como la tabla da el siguiente resultado de probabilidades marginales

De aquí deducimos los siguientes resultados de distribuciones marginales y funciones de distribución acumulada de X e Y, respectivamente:

X 0 1 Y 0 1 2

Xp (x) 0.6 0.4 Yp (y) 0.15 0.3 0.55

( )xFX 0.6 1 ( )yFY 0.15 0.45 1

Por otro lado, tenemos las funciones de distribución acumulada de(X, Y) en la siguiente tabla:


a) De la propiedad 4.5.8 y de las tablas anteriores se tiene:[ ]0Y,0XP >> = 1 - ( )0FX - ( )0FY + ( )0,0F YX,

= 1 - 0.6 - 0.15 + 0.1 = 0.35b) De la propiedad 4.5.5 y la última tabla tenemos:

[ ]1Y<01,X<1-P ≤≤ = ( )1,1F YX, - ( )1,1F YX, − - ( )0,1F YX, +

( )0,1F YX, − = 0.45 - 0 - 0.15 + 0 = 0.3

Para concluir esta sección dedicada al estudio de las funciones de distribución multivariables, veamos el estudio de variables aleatorias independientes.DEFINICION 4.5.4El conjunto (finito o infinito numerable) de variables aleatorias:

1X , 2X , …, nX ,…; son independientes (o estocásticamente independientes) si para todas las posibles selecciones de pares ordenados de números reales:( )11 b,a , ( )22 b,a , …, ( )nn b,a , ….

con a bi j< para todo i, j = 1,2,…,n,… y donde los valores ± ∞ están

permitidos, los eventos:[ ]111 bXa ≤< , [ ]222 bXa ≤< , … , [ ]nnn bXa ≤< , … son independientes.TEOREMA 4.5.1El conjunto de n variables aleatorias: 1X , 2X , …, nX son independientes sí, y sólo si:

( )n21X,...,X,X x,...,x,xFn21

= ( )∏n

1=jjX xF

j

para cualquier n-upla ( )n21 x,...,x,x de números reales.DEMOSTRACION:Primero demostraremos que la condición es necesaria. Supongamos que las variables aleatorias son independientes y que se cumpla la igualdad anterior. En este caso sean 1 2 na a ... a−∞ = = = = y i ix b= para 1 i n≤ ≤ . Entonces, por la definición de independencia y la distribución multivariable, tendremos:

( )n21X,...,X,X x,...,x,xFn21

= [ ]

≤∞

n

1=jjj xX<-P

= [ ]∏ ≤n

1=jjj xXP = ( )∏

n

1=jjX xF

j

lo que demuestra la condición.

( )

( ) ( )∏

α →∞ α ∉

[ ][ ] [ ]( )≤<≤<≤< [ ]∏ ≤

≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤

[ ][ ]( )≤<≤< [ ]∏ ≤

( ) ( ) ( )

====

[ ][ ] [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

≤≤+≤≤+≤≤

+≤≤≤≤

[ ]≤ [ ]≤ [ ]≤ [ ]≤ [ ]≤ [ ]≤

[ ][ ]( )≤≤< ( ) ( )

[ ][ ]( )≤≤ ( ) ( )

[ ]0>> ( ) ( ) ( )0

[ ]1≤≤ ( )1 ( )1− ( )0

( )0−

( ) ( ) ( )b< ± ∞

[ ]≤< [ ]≤< [ ]≤<

( ) ( )∏

( )

−∞ = = = = b= n≤ ≤

( ) [ ]

≤∞

[ ]∏ ≤ ( )∏


Recíprocamente, consideremos la igualdad y probemos la independencia

de las variables aleatorias. Observaremos primero que si ( )i i i1 2 k, ,..., es un

subconjunto del conjunto de enteros (1, 2, …, n), entonces:

( )k21 iiiX,...X,X x,...,x,xF

ki2i1i= ( )∏

k

1=jiX jji

xF

Esto es consecuencia de la hipótesis (igualdad) tomando límites para αx ,→∞tal que k21 i,...,i,iα ∉ , y utilizando las propiedades 4.5.6 y 4.5.1. Quedará demostrado nuestro objetivo si probamos que:

[ ][ ] [ ]( )bXa...bXabXaP kkk222111 ≤<≤<≤< = [ ]∏ ≤k

1=jjjj bX<P a

para 1 k n≤ ≤ . Demostraremos para 1 k 2≤ ≤ , quedando como ejercicio para el lector el caso 3 k n≤ ≤ que viene a ser similar, pero más complicada por el aspecto de notación; es decir probemos que

[ ][ ]( )bXabXaP 222111 ≤<≤< = [ ]∏ ≤2

1=jjjj bX<P a

De la observación indicada en esta demostración, resulta que para cualquier x1 y x2 será

( )21X,X x,xF21

= ( ) ( )2X1X xFxF21

Por otro lado, se tienen:

====

)a(F)a(F)a,a(F

)b(F)b(F)a,b(F

)b(F)a(F)b,a(F

)b(F)b(F)b,b(F

2X1X21X,X

2X1X21X,X

2X1X21X,X

2X1X21X,X

2121

2121

2121

2121

(a)

Además, es fácil comprobar que:[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ][ ][ ][ ][ ]

≤≤+≤≤+≤≤

+≤≤≤≤

2211

22211

22111

2221112211

aXaX

bX<aX

aXbX<

bX<bX<=bXbX

a

a

aa

(b)

Como: [ ]11 bX ≤ [ ]22 aX ≤ = [ ]11 aX ≤ [ ]22 aX ≤ + [ ]111 bX< ≤a [ ]22 aX ≤tomando probabilidades en los dos miembros, se tiene:

[ ][ ]( )aXbXaP 22111 ≤≤< = ( )21X,X a,bF21

- ( )21X,X a,aF21

(c)

De forma similar tenemos:[ ][ ]( )bX<aaXP 22211 ≤≤ = ( )21X,X b,aF

21- ( )21X,X a,aF

21(d)


Ahora, si tomamos probabilidades en los dos miembros de la igualdad (b) y utilizamos las relaciones (c), (d) y (a), encontramos:

[ ][ ]( )bXabXaP 222111 ≤<≤< = ( ) ( )2X1X bFbF21

- ( ) ( )2X1X bFaF21

-

( ) ( )2X1X aFbF21

+ ( ) ( )2X1X aFaF21

= ( ) ( )( )F - FX 1 X 11 1b a ( ) ( )( )F - FX 2 X 22 2

b a

= [ ]( ) [ ]( )222111 bXaPbXaP ≤<≤<Si sustituimos 1X por

1iX y 2X por

2iX , en esta última relación, resulta

demostrado que:

[ ]bXaP2

1=j jjj iii

≤< = [ ]∏ ≤

2

1=j jjj iii bX<P a

Para el caso en que Ω2A = ,1XR , …,

nXR sean conjuntos finitos o

infinitos numerables, tenemos el siguiente corolario.COROLARIO 4.5.1El conjunto de n variables aleatorias discretas: 1X , 2X , …, nX son

independientes sí y sólo si ( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 np x , x ,..., x = ( )

j

n

X jj =1

p x∏ , para

cualquier n-upla ( )n21 x,...,x,x de números reales.DEMOSTRACION:Aplicación directa del teorema 4.5.1, para el caso en que

1XR , …, nXR son

conjuntos finitos o infinitos numerables en el que se definen función de probabilidad de varias variables.EJEMPLOS4.5.5.-Demostrar que las variables aleatorias del ejemplo 4.5.3 no son

independientes.SOLUCION:Consideremos el punto (1, 1) y la tabla de la solución de la parte b), encontramos que:

( )X,Yp 1,1 =1870

, ( )Xp 1 =3070

y ( )Yp 1 =4070

De donde, ( )X,Yp 1,1 ≠ ( )Xp 1 ( )Yp 1

y por lo tanto X e Y no son variables aleatorias independientes (dependientes).

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

[ ][ ]( )≤<≤< ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]( ) [ ]( )≤<≤<

[ ]

≤< [ ]∏ ≤

Ω=

( ) ( )∏( )

( )18

( )30

( )40

( ) ≠ ( ) ( )


4.5.6.-Determine si las variables aleatorias X e Y que tienen la siguiente distribución de probabilidad conjunta, son dependientes o independientes.

SOLUCIONEn la misma tabla calculando las distribuciones marginales, tenemos:

De la tabla observamos que:

( )X,Yp 2,1 = ( )Xp 2 ( )Yp 1 ya que 0.10 = (0.40) (0.25)

( )X,Yp 2,3 = ( )Xp 2 ( )Yp 3 ya que 0.20 = (0.40) (0.50)

( )X,Yp 2,5 = ( )Xp 2 ( )Yp 5 ya que 0.10 = (0.40) (0.25)

( )X,Yp 4,1 = ( )Xp 4 ( )Yp 1 ya que 0.15 = (0.60) (0.25)

( )X,Yp 4,3 = ( )Xp 4 ( )Yp 3 ya que 0.30 = (0.60) (0.50)

( )X,Yp 4,5 = ( )Xp 4 ( )Yp 5 ya que 0.15 = (0.60) (0.25)

Entonces ( )X,Y i jp x , y = ( )X ip x ( )Y jp y por tanto, X e Y son

independientes.4. 6. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONDICIONAL

Extenderemos el concepto visto en el capítulo I sobre probabilidad condicional de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido el evento B; a la distribución condicional de una variable aleatoria X, dado que la variable aleatoria Y haya tomado un valor determinado.Consideraremos (X, Y) como una variable aleatoria bidimensional discreta

con función de probabilidad ( )X,Y i jx , yp ; i = 1,2,…,n ; j = 1,2,…,m

de rango R X,Y y probabilidades marginales ( )iX xp y ( )jY yp y de rangos

RX y RY , respectivamente, de las variables aleatorias discretas X e Y.Recordemos que, por definición de probabilidad condicional de que ocurra A dado que ha ocurrido B, está dado por:


P(B)B)P(A

)B/A(P

= =P(B)

P(AB); P(B)>0

entonces si: A = [ ]i=X x y B = [ ]j=Y y ;

luego AB = AB = [ ]i=X x [ ]j=Y y = [ ]ji =Y,=X yx .

Por lo tanto,P(AB) = [ ]ji =Y,=XP yx = ( )jiYX, y,xp y P(B) = [ ]j=YP y .

Luego,

[ ] [ ]( )ji =Y=XPP(A/B) yx= = [ ]ji =Y=XP yx =( )( )jY

jiYX,

y

y,x

pp

Formalmente tenemos:DEFINICION 4.6.1Si (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta, la función de probabilidad condicional de X = xi dado Y = jy ; 1 ≤ i ≤ n ; 1 ≤ j ≤ m ,

está dada por :

( )X Y i jx yp =( )( )

X,Y i j

Y j

x , y

y

pp

; ( )Y jyp > 0; j = 1,2,…,m.

Similarmente. La función de probabilidad condicional de Y = y j dado

X = ix , está dada por

( )Y X j iy xp =( )( )

X,Y i j

X i

x , y

x

pp

; ( )X ixp > 0 ; i = 1,2,…,n.

Para el primer caso, observamos que para cada y j fijo, el conjunto de

pares ( )( ) jiY/Xi y/xp,x define la distribución de probabilidad

condicional de X dado Y = y j , pues:

[ ]∑n

1=iji =Y=XP yx = ( )

n

X Y i ji=1

x yp∑ =[ ]

[ ]∑==n

1=i j

ji

=YP

yY,xXP

y =

[ ][ ]j

j

=YP

=YP

y

y= 1

Similarmente, para cada xi fijo, el conjunto de pares ( ) ijY/Xj x/(yp,y

define la distribución de probabilidad condicional de Y dado X = xi ,también

[ ]∑

( ) ( ) ( )( ) ≥ [ ]∑

( ) ( ) ( )

( ) ≥ [ ]∑

[ ][ ][ ]≤[ ]<

B)=

)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ( ) [ ]

[ ] [ ]( )= [ ] ( )( )

x ≤ ≤ ≤ ≤

( ) ( )( ) ( )

y

( ) ( )( ) ( )

y

( )( ) y

[ ]∑ ( )∑[ ]

[ ]∑==

[ ][ ]

x ( ) x


[ ]∑m

1=jij =X=YP xy = 1

A la tabla:

X 1x .... nx

( )jiY/X y/xp ( )j1Y/X y/xp .... ( )jnY/X y/xp

donde ( )X Y i jx yp ≥ 0 y [ ]∑n

1=iji =Y=XP yx = 1 , se llama distribución

de probabilidad condicional de X dado Y = jy .

Similarmente, se llama distribución de probabilidad condicional de Y dado X = ix , a la siguiente tabla:

Y 1y .... my

( )ijX/Y x/yp ( )i1X/Y x/yp .... ( )imX/Y x/yp

donde ( )Y X j iy xp ≥ 0 y [ ]∑m

1=jij =X=YP xy = 1.

EJEMPLOS4.6.1.-Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya

distribución de probabilidad conjunta está dado por la siguiente tabla:

Hallar:a) [ ]2=Y1=XP

b) [ ]0=X2=YP

c) [ ]1=X2<Y0P ≤d) [ ]1=Y2<X0P <SOLUCION:Encontramos las correspondientes funciones de probabilidad marginal (en una sola tabla):


a) En la definición sea xi = 1 y jy = 2 ( fijos), entonces

[ ]2=Y1=XP =[ ]

[ ]2=YP2Y,1XP ==

=( )( )

X,Y

Y

p 1,2

2p=

0 25055..

=5

11= 0.54.

b) En la definición sea y j = 2 y xi = 0 (fijos), entonces

[ ]0=X2=YP =( )( )

X Y

X

0,2

0

pp

=6.03.0

= 0.5.

c) Como:

[ ]ix=Xb<YaP ≤ = ( )j Y j

Y X j iy ÎR a£y <b

y xp∑ , entonces

[ ]1=X2<Y0P ≤ = ( )Y X 0 1p + ( )Y X 1 1p

=( )( )

X,Y

X

0,1

1

pp

+( )( )

X,Y

X

1,1

1

pp

=4.02.0

+4.01.0

=21

+41

=43

= 75.0 .

d) Como:

[ ]jy=Yb<XaP < = ( )i X i

X Y i jx ÎR a<x <b

x yp∑ , entonces

[ ]P X < Y =0 2 1< = ( )X Y 1 1p =( )( )1p

1,1p

Y

Y,X =010 3..

=31

= 3.0 .

4.6.2.- Si la función de probabilidad conjunta de (X, Y) está dada por:

( )y,xp Y,X =x y+30

, para x = 0,1,2,3; y = 0,1,2

Hallar a) La distribución de probabilidad condicional de X dado Y = 1.b) La distribución de probabilidad condicional de Y dado X = 3.SOLUCION:a) Calculemos las correspondientes funciones de probabilidad

marginal (en una sola tabla)

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

x

[ ]2[ ]

[ ]== ( )

( )25 5

y x

[ ]0( )( )

3.

[ ]≤ ( )∑

[ ]1≤ ( ) ( )( )( )

( )( )

2. 1. 1 1 375

[ ]< ( )∑

[ ]< ( )( )( )

1. 1 3.

( )yy+


Como:

i) ( )X Y i jx yp = ( )X Y ix 1p ; entonces

ii) ( )X Y 0 1p =( )( )

X,Y

Y

0,1

1

pp

=

13013

=3

30=

110

( )X Y 1 1p =( )( )

X,Y

Y

1,1

1

pp

=

31

151

=153

=51

( )X Y 2 1p = X,Y

Y

p (2,1)

p (1)=

31

101

=103

( )X Y 3 1p =( )( )

X,Y

Y

3,1

1

pp

=

31

152

=156

=52

Por tanto, la distribución de probabilidad de X dado Y = 1 está dada por la siguiente tabla

Y 0 1 2 3( )1x iYXp 1

10

1

5

3

10

2

5

b) Como:

( )Y X j iy xp = ( )Y X jy 3p =( )( )

X,Y j

X

3, y

3

pp

, entonces


( )Y X 0 3p = X,Y

X

p (3,0)

p (3)=

52

101

=41

,

( )Y X 1 3p =( )( )3

1,3

X

Y,X

pp

=

52

152

=31

( )Y X 2 3p =( )( )

X,Y

X

3,2

3

pp

=

5261

=125

.

Por tanto, la distribución de probabilidad de Y dado X = 3 está dada por la siguiente tabla:

Y 0 1 2

Y/X jp (y / 3) 1/4 1/3 5/12

EJERCICIOS1.- Dado el espacio muestral Ω del ejemplo 4.1.1 y el ∂-álgebra

e,d,c,b,a,Ω,φA = sí:a) X está dada por X(a) = X(b) = 1, X(c) = X(d) = X(e) = 2. ¿X es una

variable aleatoria?b) Y está dada por Y(a) = 1, Y(b) = Y(c) = 2 y Y(d) = Y(e) = 3. ¿Y es

una variable aleatoria?2.- Supongamos que lanzamos tres monedas y sea 2ccc,ccc,Ω,φA =

¿X definida por: “número de veces que sale cara” es una variables aleatoria ?

3.- Un embarque de cinco automóviles importados, incluye dos que tienen unas ligeras manchas de pintura. Si una agencia recibe tres de estos vehículos aleatoriamente, indique los elementos del espacio muestral Ωutilizando las letras M y N para “manchado” y “no manchado”, respectivamente; asigne entonces para cada punto muestral un valor x de la variable aleatoria X que representa el “número de automóviles con manchas de pintura comprados por la agencia”.

4.- Sea X una variable aleatoria que da el número de caras menos el de sellos en tres lanzamientos de una moneda. Indique los elementos del espacio

Ω

( )+

−

[ ]= [ ][ ]

[ ][ ][ ]≥

( )0) 1

( )( )( )

1 1

( ) ( )( )

1

)

Ω ∂ Ωφ=

Ωφ=

Ω


muestral Ω para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor de x de la variable X a cada punto muestral.

5.- Encuentre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X en el ejercicio anterior, suponiendo que la moneda está cargada de tal forma que una cara tiene dos veces más la probabilidad de ocurrir con respecto a un sello.

6.- Una urna contiene cuatro bolas numeradas 1, 2, 3, 4 respectivamente. Sea X la variable aleatoria que da el número que ocurre si se saca al azar una bola de la urna ¿Cuál es la función de probabilidad de X?

7.- Supongamos en el ejercicio anterior. Se saca dos bolas de la urna sin reemplazo, y sea Y la suma de los dos números que ocurren. Hallar la función de probabilidad para Y.

8.- Se sacan de la urna, del ejercicio 6, dos bolas con reemplazo. Sea Z la suma de los cuadrados de los dos números sacados. Encontrar la función de probabilidad para Z.

9.- Hay diez estudiantes inscritos en una clase de Cálculo de Probabilidades, de entre los cuales tres tienen 15 años, cuatro tienen 16, uno tiene 17, uno tiene 20, y uno tiene 22 años. De esta clase se seleccionan dos estudiantes al azar sin reemplazo. Sea X la edad promedio de los dos estudiantes seleccionados. Hallar la función de probabilidad para X.

10.- Determine el valor de k de tal manera que cada una de las siguientes funciones sirva como una distribución de probabilidad de la variable aleatoria X:a) f (x) = k ( )4x 2 + para x = 0, 1, 2, 3.

b) f (x) = k

−

x3

4

x

2para x = 0, 1, 2.

11.- Se tiran dos dados correctos, siendo cada resultado un par ordenado (a, b), donde a y b son enteros de 1 al 6. Sea X la variable aleatoria que asigna el valor (a + b) al resultado (a, b).a) Describir, en lista, los eventos [ ]X = 7 , [ ]X = 11 ,

[ ]11=Xo7=X .b) Calcular las probabilidades de los eventos de la parte a).

12.- Demostrar los teoremas 4.1.2 y 4.1.3.13.- Supongamos que la variable aleatoria X tiene valores posibles 1,2,3,…y

[ ]j=XP =1

2 j ; j = 1, 2, ….

a) Calcular [ ]paresXP .

b) Calcular [ ]5XP ≥ .


c) Calcular [ ]3por divisibleesXP .14.- Encuentra la distribución acumulada de la variable aleatoria X en el

ejercicio 5, utilizando FX ( )x , hallar:

a) [ ]0XP > .

b) [ ]3X1-P <≤ .15.- La siguiente tabla, muestra la función de masa de probabilidad de la

variable aleatoria X “número de personas por día que solicitan un tratamiento en el servicio de urgencia de un pequeño hospital”

X 0 1 2 3 4 5

( )Xp x 0.01 0.1 0.3 0.4 0.1 A

Encontrar la distribución acumulada de X y las siguientes probabilidades:a) [ ]5XP = , b) [ ]2XP ≤ , c) [ ]2XP < y d) [ ]3XP > .

16.- Una compañía de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de diferente número de años. Dada la distribución acumulada de X, el número de años para el vencimiento de un bono seleccionado aleatoriamente es

)x(FX =

≥

≤

≤

≤

7si,1

7<5si,43

5<3si,21

3<1si,41

1<si,0

x

x

x

x

x

Encuentre:a) [ ]5XP = , b) [ ]3XP > y c) [ ]6X1.4P <<

17.- La función de distribución F de una variable aleatoria X viene definida por:

)x(FX =

≥

<≤

≤

−<

2xsi,1

2x0si,43

0<x2-si,21

2xsi,0

a) Graficar F.b) Describir la función de masa de probabilidad Xp y representarlo.

[ ]= [ ]≤[ ]≤ [ ]<[ ]< [ ]≤[ ]= [ ]≤≤

>−

≤<−

−<

−

[ ]−< [ ]<< [ ]> [ ]<[ ]≤<

++

+=

+

=

ε >δ > ε ε

δ

[ ]≤< ∞

=

+≤<

++

∞→

[ ]3

)x

[ ]0>[ ]3<≤

( )

[ ]5= [ ]2≤ [ ]2< [ ]3>

)

≥

≤

≤

≤

[ ]5= [ ]3> [ ]6<<

)

≥

<≤

≤

−<


c) Calcular:c1 ) [ ]1XP = c5 ) [ ]2XP ≤c2 ) [ ]1XP ≤ c6 ) [ ]2X<0P <c3 ) [ ]1XP < c7 ) [ ]2X<0P ≤c4 ) [ ]2XP = c8 ) [ ]2X1P ≤≤

18.- La función de distribución acumulada de la variable aleatoria Y está dada por:

)y(FY =

>−

≤<−

−<

− 0ysi,e21

1

0y2lnsi,21

2lnysi,e

y

y

Hallar las siguientes probabilidadesa) [ ]1YP −< , b) [ ]0Y1-P << , c) [ ]1YP > , d) [ ]3YP < y

e) [ ]4Y4-P ≤<19.- Consideremos una variable aleatoria X, cuyos posibles valores son todos

los números racionales de la forma 1n

n+

yn

1n +, siendo

n = 1, 2, 3, ….

Si

+=

1nn

XP =

+

=n

1nXP =

1+n2

1

Probar que esta asignación de probabilidades es correcta y diseñar la forma de la gráfica de la función de distribución FX .

20.- Demostrar que, si X es una variable aleatoria, su función de distribución FX ( )x es continua a la derecha. Esto significa que para 0ε > existe un

0δ > (que depende de x y de ε ) tal que: F(x + u) - F(x) < ε para todo u entero: 0 < u < δ(Sugerencia: Utilizar la relación,

[ ]1+xXx ≤< = ∞

=

+≤<

++

1n n1

xX1n

1x y la circunstancia de que el

resto de una serie convergente, o sea, la parte posterior a un cierto término de lugar n, tiende a cero cuando ∞→n ).

21.- Si X representa el número de caras e Y el número de caras menos el de sellos, cuando se lanzan tres monedas. Encontrar:a) La distribución de probabilidad conjunta (X, Y)b) La función de distribución acumulada de (X, Y)


22.- Una moneda se lanza dos veces. Sea X el número de caras en el primer lanzamiento e Y el número total de caras en los dos lanzamientos. Si la moneda no está equilibrada y una cara tiene 40% posibilidades de ocurrir. Encuentre:a) La distribución de probabilidad conjunta de X e Y.b) Las distribuciones marginales de X e Yc) La probabilidad de que ocurra al menos una cara.

23.- Se sacan tres cartas sin remplazo de las 12 cartas mayores (sotas, reinas y reyes) de un

paquete común de 52 cartas. Sea X el número de reyes seleccionados e Y el número de reinas. Encuentre:a) La distribución de probabilidad conjunta de X e Yb) La distribución acumulada de (X, Y)c) P [ (X,Y ) ∈ A ], donde A es la región ( x , y ) / x + y ≥ 2

24.- La función de probabilidad conjunta de la variable aleatoria bidimensional (X, Y) está dada por:

)y,x(YX,p = ==

casosotrosen,0

3,2,1y;3,2,1xsi,yxk

Determinar:a) El valor de la constante k, b) P [ X = 1, Y = 3 ], c) )3,2(,YXF

d) P [ 0 < X ≤ 1, -2 < Y ≤ 3 ] y e) P [ X + Y < 4 ].25.- Dada la siguiente distribución de probabilidad conjunta (X, Y)

Hallar:a) Las distribuciones marginales de X e Yb) La función de distribución acumulada de (X, Y)c) P [ X > Y ] , d) P [ X > 1, Y < -1 ] y e) P [ X > 1, Y > -1 ]

26.- Se selecciona al azar dos repuestos para un bolígrafo, de una caja que tiene 3 repuestos azules, 2 rojos y 3 negros. Si X es el número de repuestos azules e Y el de rojos. Encuentre:a) La función de distribución acumulada de (X, Y)b) P [ ( X, Y ) ∈ A ], donde A es la región ( x , y ) / x + y ≤ 1

27.- Supongamos que se extrae aleatoriamente, en un solo acto tres fichas de un depósito que contiene seis fichas numeradas con: 1,2,3,4,5 y 6. Si la

[ ][ ≥ ≤ ]

−=−=

[ ][ ]≤

[ ∈ ] ≥

) ==

[ ] )3

[ ≤ ≤ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ∈ ] ≤


variable aleatoria X es el número de pares y la variable aleatoria Y es el número de impares, entre las tres fichas numeradas.Calcular:a) Las distribuciones marginales de X e Yb) La función de distribución acumulada de X e Y, y graficar.c) P [ X = 1, Y = 2 ]d) P [ X ≥ 1, Y ≤ 2 ]

28.- Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional, con función de masa dada por:

)y,x(YX,p = −=−=

casosotrosen,0

3,2y;2,0,2xsi,y+xk

Determinar:a) El valor de la constante k.b) P [ X = 2 ]c) [ ]2Y-XP ≤

29.- Demostrar formalmente las propiedades 4.5.1, 4.5.2, 4.5.3, 4.5.6 y 4.5.7.30.- Redactar y formular la definición de función de distribución de las

variables aleatorias X, Y, Z.31.- Demostrar que si X, Y, Z, son tres variables aleatorias tales que

FX,Y,Z ( , , )x y z = F x F y F zX Y Z( ) ( ) ( )

para todos los x, y, z reales, entonces X, Y, Z son independientes.32.- Determinar si las dos variables aleatorias del ejercicio 23 son

dependientes o independientes.33.- Si la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias

(X, Y) está dada por la siguiente tabla:

¿Las variables aleatorias X e Y son dependientes o independientes?34.- Determinar si las dos variables aleatorias del ejercicio 25 son

dependientes o independientes.35.- Si la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias

(X, Y ) está dada por:

X,Y (x, y)p =

casootrocualquier en ,0

n1,2,...,=;n1,2,...,=,n

12

yx


Verificar que X e Y son independientes.36.- La distribución de probabilidad conjunta de X e Y está definida por:

( )y,xX.Yp =54

4y2x3 −+; x, y = 1, 2, 3.

a) Calcular ( )p X 1 , ( )p X 2 , ( )p X 3 .

b) Calcular ( )p Y 1 , ( )p Y 2 , ( )p Y 3 .

37.- Se selecciona al azar dos frutas de una caja que contiene 3 mangos, 2 naranjas y 3 limas. Si X es el número de mangos e Y el número de naranjas, determine la distribución condicional de X dado que Y = 1 y hallar [ ]1Y1=XP = .

38.- Supongamos que X e Y tiene la siguiente distribución de probabilidad conjunta:a) Calcular [ ]2X3=YP =b) Calcular [ ]1Y3=XP =

39.- Una moneda se lanza dos veces. Sea Z el número de caras en el primer lanzamiento y W el número total de caras en los dos lanzamientos. Si la moneda no está equilibrada y una cara tiene 40% posibilidades de ocurrir, encuentrea) [ ]2W1=ZP =b) [ ]0Z1=WP =

= ( )

( ) = ( )

Ω

( )

( ) 4−+

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

[ ]1=

[ ]2=[ ]1=

[ ]2=[ ]0=

CAPÍTULO 5: TIPOS ESPECIALES DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS

El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribución de probabilidad, sin importar que ésta se presente gráficamente por un histograma, en forma tabular o por medio de una fórmula. Con frecuencia, las observaciones que se deducen o generan en diferentes experimentos estadísticos tienen el mismo tipo de comportamiento en términos generales. Por tanto, las variables aleatorias discretas que se asocian en estos experimentos pueden describirse, esencialmente, por la misma distribución de probabilidad y por consiguiente se presentan por una sola fórmula. De hecho, se necesita sólo unas cuantas distribuciones de probabilidad importantes para describir muchas de las variables aleatorias discretas que se encuentran en la práctica, que presentaremos en las siguientes secciones.5. 1. DISTRIBUCION DISCRETA UNIFORME

La más simple de todas las distribuciones discretas de probabilidad es aquella en la cual la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con la misma probabilidad, tal distribución de probabilidad recibe la denominación de distribución discreta uniforme.DEFINICION 5.5.1Si la variable aleatoria X asume los valores: 1 2 kx , x ,...., x , con iguales probabilidades, entonces la distribución discreta uniforme es:

= , x = , , …,

Se utiliza la relación en lugar de para indicar que la distribución discreta uniforme depende del parámetro k.EJEMPLOS5.1.1.- Cuando se lanza un dado, cada elemento del espacio muestral

= ocurre con una probabilidad de . Por tanto, se tiene la

siguiente distribución discreta uniforme:

= ; x = 1,2,3,4,5,6

En general, la representación gráfica de la distribución discreta uniforme por medio de un histograma es siempre un conjunto de rectángulos con la misma altura; para nuestro ejemplo, el histograma es el siguiente:

=)x(pX ( )k;xfX k1

1x 2x kx

( )k;xfX =)x(pX ( )xfX

Ω 6,...,3,2,161

( )6;xfX 61


5.1.2.- Una urna contiene tres fichas de color rojo y una de color verde, si extraemos una ficha sin reposición, uno a uno sucesivamente hasta sacar la ficha verde, encontramos que el rango de la variable aleatoria X, que es el número de intentos que se realizan, es el conjunto

= . Entonces

= = , = = x =

= = x x = y

| = = x x x =

por lo tanto, esta distribución de probabilidad es discreta uniforme y está dada por medio de la siguiente fórmula:

= ; x = 1,2,3,4

5. 2. DISTRIBUCION BINOMIAL Y DISTRIBUCION DE PASCAL

Frecuentemente un experimento consiste en ensayos repetidos, cada uno con dos posibles resultados que pueden llamarse éxito (E) y fracaso (F). Así, por ejemplo, el experimento de lanzar una moneda al aire con los resultados de obtener cara y sello que vendría a ser éxito y fracaso, respectivamente; el experimento de retirar cartas en sucesión de un paquete de 52 cartas y a cada intento se le puede asignar éxito o fracaso, si la carta es o no espadas si se reemplaza cada carta y el paquete se baraja antes de sacar una nueva carta. Los dos experimentos señalados tienen propiedades similares en el sentido de que los intentos o ensayos repetidos son independientes y la probabilidad de éxito permanece constante para cada uno de ellos. Este proceso se conoce como proceso, prueba o ensayo de Bernoullí y cada intento se llama experimento de Bernoullí y formalmente tenemos la siguiente definición.DEFINICION 5.2.1Un proceso, prueba o ensayo de Bernoullí es todo experimento aleatorio que satisfaga las siguientes condiciones:1. El experimento consiste en n intentos repetidos.

x

y f x( )x

1/6

1 2 3 4 5 6

XR 4,3,2,1

( )1fX [ ]1=XP41 ( )2fX [ ]2=XP

43

31

41

( )3fX [ ]3=XP43

32

21

41

( )4fX [ ]4=XP43

32

21

11

41

( )4,xfX 41

≤ ≤

Ω

[ ]

Ω

Ω

Ω

( )

4

( )1 [ ]11 ( )2 [ ]2

3 1 1

( )3 [ ]33 2 1 1

( )4 [ ]43 2 1 1 1

( )41


2. Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como un éxito (E) o como un fracaso (F).

3. La probabilidad de éxito, representada por p, permanece constante para todos los intentos.

4. Los n intentos o pruebas repetidas son independientes.El proceso de Bernoullí es también conocido como una sucesión de n

pruebas de Bernoullí.En la definición p representa la probabilidad de éxito y la de fracaso,

naturalmente, es (1 - p) que designaremos por q; es decir q = ( 1 - p ).Cuando se realiza un proceso de Bernoullí, el espacio muestral , puede

considerarse como el conjunto de todas las agrupaciones posibles de n letras formadas únicamente con E y F ( naturalmente repetidas ); de aquí que está constituido por eventos elementales. El suceso expresado por “tener éxito en la k-ésima prueba o prueba de orden k” está constituida por todos aquellos sucesos elementales de (esto es n-úplas de letras E y F) cuya k-ésima letra es una E. Si un suceso elemental está constituido por k letras E y (n - k) letrasF (con 0 ≤ k ≤ n), la probabilidad de este suceso elemental es , o sea

.DEFINICION 5.2.2Se llama variable aleatoria binomial a la variable aleatoria X definida en Ωcomo el número de éxitos que ocurren en las n pruebas de Bernoullí.

Si deseamos determinar el número total de puntos muestrales en el experimento que tiene k éxitos y (n - k) fracasos, encontraremos que es igual al número de particiones de n resultados en dos grupos, con k en un grupo y

(n - k) en el otro y se expresa por ; debido a que estas particiones son

mutuamente excluyentes, se suman las probabilidades de todas las diferentes particiones para obtener la fórmula general, o simplemente multiplicar

por ; k = 0,1,2,…,n. Este número total de pruebas muestrales es la

distribución de probabilidad de obtener k éxitos en n pruebas, llamada distribución binomial; formalmente tenemos la siguiente definición.DEFINICION 5.2.3Se dice que la variable aleatoria binomial X tiene distribución binomial con parámetro n y p, denotado por b (k; n, p) si su función de probabilidad es:

= b (k; n, p) = [ ]k=XP = ; k = 0,1,2,…,n.

Ω

Ωn2

Ω

kp k-nqkp ( ) k-np-1

k

n

kp

k-nq

k

n

)k(Xp

k

n kp k-nq


La suma de estas probabilidades es igual a 1, una condición que debe cumplirse para cualquier distribución de probabilidad; para ello, y para justificar el apelativo de distribución binomial, recordemos que el teorema del binomio establece la fórmula:

= de donde se tiene

= = = 1

Cuando n = 1, a la distribución binomial B(k;1,p) se le conoce como la distribución de Bernoullí de parámetro p.

La función de distribución de la variable aleatoria binomial X es:

= =

En la práctica se presentan problemas donde es necesario encontrar

o y para ello se dispone de las sumas binomiales

B (r; n , p ) = que se dan en la tabla A-1 del apéndice para

n = 1,2,…,20 y valores seleccionados de p de 0.1 a 0.9. En el ejemplo 5.4.2 se ilustra el uso de la tabla A-1.EJEMPLOS

5.2.1.-Un fruticultor del Valle Sagrado de los Incas afirma que, de su

cosecha de duraznos ha sido contaminado por la “arañita roja”. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 duraznos:a) Los 4 estén contaminados por la “arañita roja”.b) Tres estén contaminados.c) Entre 1 y 3 estén contaminados.SOLUCION:

Sea p = , entonces q = 1 - = , n = 4

a) = b (4; 4, ) = = =

( )nb+a ∑

=

n

0k

k-nk bak

n

∑

=

n

0k

k-nkqpk

n∑

=

n

0k

k-nk p)-(1pk

n [ ]np)-(1+p

)x(FX [ ]x≤XP[ ]

≥

∑

nsi,1

1-n0,1,...,si,qpk

n0<si,0

0=k

k-nk

x

=x

xx

[ ]r<XP

[ ]bXaP ≤≤

∑=

r

0xp)n,;b(x

32

32

32

31

[ ]4=XP32

4

4 4

32

0

31

4

32

8116

( )=∑

[ ]

−

[ ]≤≤ ∑

[ ]≥ [ ]< ( )∑

[ ]≤≤ ( )∑

( )∑ ( )∑

[ ] ( )∑ ( )∑

( ) ∑

=

∑

=

∑

=

[ ]

) [ ]≤[ ]

≥

∑

[ ]r[ ]b≤≤

∑=

2

2 2 1

[ ]42

16


b) =b (3; 4, )= =4x x =

c) = = b (1; 4, ) + b (2; 4, ) + b (3; 4, )

= + +

= 4 x x + 6 x x + 4 x x

=818

+8124

+3281

=8164

5.2.2.-La probabilidad de que un paciente sobreviva de una rara enfermedad de sangre es 0.3. Si se sabe que 20 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 8 sobrevivan, b) sobrevivan entre 4 y 10 personas, y c) sobrevivan exactamente 6 personas?SOLUCIONSea X el número de personas que sobreviven, n = 20 y p = 0.3.

a) = 1 - = 1 -

= 1 - ( )7

0

b x,20,0.3k=∑ = 1 - 0.7723 = 0.2277

b) =

= -

= 0.9829 - 0.1071 = 0.8758

c) = b (6; 20, 0.3) = -

= 0.6080 - 0.4164 = 0.1916Consideremos un experimento en el cual las propiedades sean las mismas

que aquellas indicadas para un experimento binomial, con la excepción de que los intento se repetirán hasta que ocurra un número determinado de éxitos. Por lo tanto, en lugar de encontrar la probabilidad de k éxitos en n intentos, donde n es fijo, ahora se está interesado en la probabilidad de que el m-ésimo éxito

[ ]3=XP32

3

4 3

32

34

31

−

3

32

31

8132

[ ]3X1P ≤≤ ∑

3

1= 32

;4,bx

x32

32

32

1

4 1

32

3

31

2

4 2

32

2

31

3

4 3

32

2

31

32

271

94

91

278

31

[ ]8XP ≥ [ ]8XP < ( )∑7

0=kpn,;b x

[ ]10X4P ≤≤ ( )∑10

4=kk;20,0.3b

( )∑10

0=kk;20,0.3b ( )∑

3

0=kk;20,0.3b

[ ]6=XP ( )∑6

0=kk;20,0.3b ( )∑

5

0=kk;20,0.3b


ocurra en el k-ésimo intento. Los experimentos de esta clase se llaman experimentos binomiales negativos o de Pascal.

A la variable aleatoria X que se define como el número de intentos hasta que ocurra el éxito número m se le denomina variable aleatoria binomial negativa o de Pascal; y su rango es = .

Ahora nuestro interés radica en definir la distribución de probabilidad que depende del número de éxitos deseados y esta probabilidad representaremos por la simbología. Para la obtención de una fórmula general para esta distribución de probabilidad, consideremos la probabilidad de éxito en el intento k, precedido por m-1 éxitos y k-m fracasos en algún orden específico; dado que los intentos son independientes, se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a cada resultado deseado. Cada éxito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 - p; por lo tanto, la probabilidad para el orden especificado, que finaliza en su éxito, es p = . El número total de puntos muestrales en el experimento que terminan en un éxito, después de que ocurran m-1 éxitos y k-m fracasos en cualquier orden es igual al número de particiones de k-1intentos en dos grupos con m-1 éxitos correspondientes al grupo 1 y k-m

fracasos correspondientes al otro grupo; este número es , donde cada

uno es mutuamente excluyente y ocurre con igual probabilidad m k-mp q . Se

obtiene la fórmula general multiplicando por

DEFINICION 5.2.4Si se repite en forma independiente un ensayo de Bernoullí, donde cada resultado puede ser un éxito con probabilidad p o un fracaso con probabilidad q = 1 - p, se dice que la variable aleatoria X que se define como el número de intentos hasta que ocurra k éxitos tiene distribución binomial negativa o de Pascal, si su función de probabilidad es:

( )Xp k = = = ; k = m, m+1, m+2,...

La distribución binomial negativa toma su nombre del hecho de que para demostrar que la suma de las probabilidades es igual a uno, se usa la siguiente serie binomial negativa

= =

XR 2,...+m1,+mm,

1-mp m-kq mp m-kq

1-m

1-k

mp m-kq

1-m

1-k

[ ]k=XP ( )pm,k;b∗

1-m

1-k mp m-kq

( ) mq-1 − ( )∑

∞

0=i

iq-i

m- ( )∑

∞

m=k

m-kq1-m

1-k

( )∗

( )∗

( ) ( )

[ ] ( )∗

( ) ( ) −

( )

2,...

[ ]k ( )∗

( )− ( )∑

∞ ( )∑

∞


Si se considera el caso especial de la distribución binomial negativa donde m=1, se tiene una distribución de probabilidad para el número de intentos requeridos para un sólo éxito. Un ejemplo sería el lanzamiento de una moneda hasta que salga una cara y se podría estar interesado en hallar la probabilidad de que la primera cara ocurriera en el tercer lanzamiento. La distribución de Pascal en forma general se reduce a la fórmula:

= p ; k = 1,2,3,… dado que los términos sucesivos constituyen una progresión geométrica se acostumbra a referirse a este caso especial como distribución geométrica.EJEMPLOS5.2.3.-En una población grande se sabe que el 10% padecen de cierta

enfermedad rara. Con la finalidad de hacer un diagnóstico se requiere 10 personas afectadas por dicha enfermedad para el análisis correspondiente. Defina X como el número de personas seleccionadas hasta que se tengan las 10 personas afectadas por la enfermedad.a) Hallar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.b) Calcular la probabilidad de que se necesitan seleccionar

exactamente 15 personas.SOLUCION:Como X es el número de personas seleccionadas hasta que 10 personas tengan la enfermedad rara, entonces

= ; p = = 0.1, q = 0.9 y m = 10 .

X es la variable aleatoria binomial negativa, por lo tanto:a) La distribución de probabilidad de X es:

= ; k = 10,11,12,…

b) = = = 118x

5.2.4.-En un cierto proceso manufacturado se sabe que, en promedio, 2 de cada 100 piezas están defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta pieza inspeccionada sea la primera defectuosa?SOLUCION:Sea X número de inspecciones efectuadas hasta conseguir un artículo defectuoso.

= , p = = 0.02, q = 0.98 . Luego la variable aleatoria

X tiene una distribución geométrica.

( )pk;1,b∗ 1-kq

XR ,...11,1010010

( )k;10,0.1b∗

9

1-k ( )100.1 ( ) 10-k0.9

[ ]15=XP ( )k;10,0.1b∗

9

14 ( )100.1 ( )50.9 910−

XR ,...4,3,2,1100

2


= ; k = 1,2,…Por tanto

= b* = = 0.01885. 3. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Los tipos de aplicaciones de la distribución hipergeométrica son muy similares a aquellos de la binomial sólo que, en este caso de la binomial, se requiere la independencia entre intentos. Si la distribución binomial se aplica al muestreo de un lote de artículos (mazo de cartas, número de artículos de producción de una fábrica, etc.), el muestreo debe realizarse con reemplazo de cada artículo después de observarse. Por otro lado, la distribución hipergeométrica no requiere independencia y se basa en el muestreo llevado a cabo sin reemplazo. Consideremos una urna que contiene r bolas rojas y N-rbolas blancas, idénticas en todo salvo en el color. Se toma al azar n de estas bolas o se toman una a una y sin sustituirlas a la urna hasta tener n bolas ( 0 ≤ n ≤ N ). En este caso el espacio de probabilidades es el conjunto de todas las ordenaciones de n letras construidas con R (bola roja) y B (bola blanca), de manera que R en la ordenación no puede exceder de r, ni el número de letras B puede exceder de N-r. Sea X la variable aleatoria que indica el número de bolas rojas obtenidas en una de estas muestras de extensión n. El primer paso para determinar la distribución de X es determinar los valores que pueden tomar; es decir, el rango de X; observemos que X no puede tomar ningún valor menor que cero. Además, si n > N-r, el mínimo valor que puede tomar X es n - (N - r); es decir, debe haber por lo menos n - (N - r) bolas rojas en la muestra.

En cualquier caso, el mínimo valor de X es max 0,n - (N - r) . El mayor

valor de X no puede ser superior a n, y en el caso de que r < n el máximo valor de X es r. Por tanto, el mayor valor de X es, ( )rn,min . Para calcular [ ]x=XP

tengamos presente que hay

x

rmaneras de elegir x bolas rojas entre las r

disponibles, y para cada una de estas elecciones es posible elegir las n - x bolas

blancas de

− xn

r-Nmaneras. Además, hay

n

Nmaneras de elegir n bolas

entre las N de que se dispone. Formalmente daremos este resultado en la correspondiente definición.

En general, el interés que se tiene es en la probabilidad de seleccionar x éxitos de los r posibles resultados o artículos considerados como éxitos y n -x fracasos de los N-r posibles resultados o artículos también considerados fracasos, cuando una muestra aleatoria de tamaño n es seleccionado de N artículos totales. Esto se conoce como experimento hipergeométrico. Algo

( )k;1,0.02b∗ ( )0.02 ( ) 1-k0.98

[ ]4XP = )02.0,1;4( ( )0.02 ( )30.98

≤

( )

[ ] ( )

−

≤≤

≤ ≤

( )r [ ]

−

( )∗ ( )0.02 ( )

[ ]4= ) ( )0.02 ( )


más, un experimento hipergeométrico es aquel que posee las siguientes propiedades:1. Una muestra aleatoria de tamaño n se selecciona sin reemplazo de un

total de N artículos.2. Resultados o artículos del total N pueden clasificarse como éxitos y N-r

como fracasos.El número de éxitos x en un experimento hipergeométrico se llama

variable aleatoria hipergeométrica. Si n ≤ r, el rango de X es = .

DEFINICION 5.3.1La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X que se define como el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n seleccionada de N resultados posibles, de los cuales r son considerados como éxitos, N-r como fracasos es:

( )Xp x = = h = ; x = 0,1,2,…,n

o donde x puede ser cualquier entero que cumpla la condición

EJEMPLO5.3.1.-Un comerciante recibe para su venta, cierto tipo de mercadería en cajas

que contienen 12 unidades cada una. El control de calidad por caja consiste en extraer una muestra de 4 mercaderías al azar uno por uno sin reposición y aceptar la caja si la muestra contiene a lo más un defectuoso. Si la caja escogida tiene 3 objetos defectuosos:a) Determinar la distribución de probabilidad del número de objetos

defectuosos en la muestra.b) Calcular la probabilidad de rechazar una caja.SOLUCION:Sea X la variable definida como el número de mercaderías defectuosas en la muestra de 4 extraídas uno a uno sin reposición.Si la caja contiene 3 objetos defectuosos, los valores posibles de X son

= .a) La distribución de probabilidad de X es:

XR n,...,2,1,0

[ ]x=XP ( )rn,N,;x

−

n

N

xn

r-N

x

r

rn,minxr)-(N-n0,max ≤≤

XR 3,2,1,0


= h = ; x = 0,1,2,3

b) Se rechaza la caja si contiene por lo menos dos mercaderías defectuosas. Luego, la probabilidad de rechazar la caja es:

= + = + = +

= =

5. 4. DISTRIBUCION DE POISSONLos experimentos que resultan en valores numéricos de una variable

aleatoria X, durante un intervalo de tiempo o en una determinada región, frecuentemente se llama experimento de Poisson. El intervalo de tiempo que se considera puede ser de cualquier duración, por ejemplo, un minuto, un día, una semana, un mes, o un año. De aquí que un experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X que representa el número de pacientes que ingresan en una hora a un hospital, el número de días que se cierra una Universidad por huelga de sus trabajadores, etc. La región señalada podría ser un segmento de recta, un área, un volumen, pedazo de material, etc. En este caso X podrá representar el número de partículas radiactivas que pasan por un contador, número de bacterias que atacan a cultivos de papas en una hectárea, o el número de errores que comete un estudiante al escribir en una página.

Un experimento de Poisson surge del proceso de Poisson y tiene las siguientes propiedades:1. El número de resultados que ocurre en un intervalo de tiempo o región

específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio disjunto.

2. La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurran fuera de este intervalo o región.

3. La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es despreciable.

[ ]x=XP ( )12,4,3;x

−

4

12

x4

9

x

3

[ ]∑3

2=x=XP x

4

12

2

9

2

3

4

12

1

9

3

3

49536 x 3

4959 x 1

495108

4959

495117

236.0

λ = µ

λ >

λ λ

λ

[ ] λ

=− λλ

[ ] ==

[ ] ==

∑∞

=[ ]∑ =

∞

[ ]∑ =∞

∑∞

=

−λλ∑∞

=

−λ λ

λ−

++++++

λλλλ

( )λ ∑=

λ

[ ] ( )12,4,3

−

[ ]∑

36 9 108

117236


El número X de resultados que ocurran en un experimento de Poisson se llama variable aleatoria de Poisson y su distribución de probabilidad se llama distribución de Poisson. El número promedio de resultados se calcula con tλ = µ , donde t es el “tiempo” o “región” específicos de interés.DEFINICION 5.4.1La distribución de probabilidad o distribución de Poisson de parámetro

0λ > de la variable aleatoria de Poisson X es:

X (x)p = = =

donde e = 2.71828…..Debemos notar que esta distribución de Poisson es una función de

densidad discreta, ya que

=

=

Por lo tanto = = 1; en efecto :

= =

=

= - 0e e = e = 1λ λ

En la tabla A.2 se encuentra la suma de las probabilidades de Poisson

= para algunos valores seleccionados de λ en el rango 0.1

a 18. Con los siguientes ejemplos se muestra el uso de esta tabla.EJEMPLOS5.4.1.-Supongamos que llegan en forma aleatoria una serie de llamadas a una

central telefónica con un promedio de 2 llamadas por minuto. a) Calcular la probabilidad de que ocurra 5 o más llamadas en el período de un minuto y b) Calcular la probabilidad de que ocurra 9 o más llamadas, en 4 minutos.SOLUCION

[ ]x=XP )λ;(xp

=−

contrariocasoen ,0

,...2,1,0x,!xλe xλ

)x(fX

[ ] ==

contrariocasoen ,0

,...2,1,0x,xXP

)x(fX

[ ] ==

contrariocasoen ,0

,...2,1,0x,xXP

∑∞

=0xX )x(f [ ]∑ =

∞

0=xxXP

[ ]∑ =∞

0=xXP x ∑

∞

=

−

0x

xλ

!xλe

∑∞

=

−

0x

xλ

!xλ

e

λe−

++++++ ...

!nλ

...!3λ

!2λ

1λ

1n32

( )λr;P ∑=

r

0x)λ;x(p


a) Sea X el número de llamadas que ocurren en el período de un minuto. El promedio de llamadas en el período de un minuto es

2λ = . La probabilidad de que ocurra x llamadas en el período de un minuto es:

= = , x = 0,1,2,…

y la probabilidad de que ocurra 5 o más llamadas en dicho período es:

= 1 - = 1 - = 1 -

de la tabla A.2, para r = 4 y 2λ = , tenemos:

[ ]P X ³ 5 1 0,9473 0,0527= − =b) Para este caso, consideremos X el número de llamadas recibidas en

el período de t minutos. La probabilidad de recibir x llamadas en el período de t es:

= , x = 0,1,2,… ; 0µ >

donde 2µ = es el promedio de llamadas por minuto y el período de

4 minutos ocurre cuando t = 4. Entonces t 2 4 8λ = µ = × = ypor tanto

= 1 - = 1 - = 1 - 0.5925 = 0.4075

5.4.2.-Una secretaria comete en promedio 2 errores por página ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente páginaa) Cometa 4 errores.b) No cometa errores.SOLUCION:Sea X el número de errores que comete la secretaria en una página. Entonces 2λ = y por tanto, utilizando la tabla A.2 tenemos:

a) = = -

= 0.9473 - 0.8571 = 0.0902.

b) = = = = 0.1353

El siguiente teorema establece que la distribución de Poisson se encuentra en forma de límite de la distribución bonomial, si n es grande y p se

[ ]x=XP!xλe xλ−

!x)2(e x2−

[ ]5≥XP [ ]4XP ≤ ∑=

4

0x)2;x(p ∑

=

−4

0x

x2

!x2e

[ ]x=XP!x

)μt(e xtμ−

[ ]9XP ≥ [ ]8XP ≤ ∑=

−8

0x

x8

!x8e

[ ]4=XP!x

)2(e x2−

∑=

4

0x)2;x(p ∑

=

3

0x)2;x(p

[ ]0=XP!0

)2(e 02−

∑=

−0

0x

x2

!x2e

∑=

0

0x)2;x(p

λ

→ ∞ = λ→ ∞ → →λ

[ ]→∞

λ

= λ

−

λ

[ ]

( ) −−

λλ−

[ ]

( ) −−

[ ]

λ

λ −

−

λ λ −

−

[ ] λ λ

−

λ −

−

λ λ

−

λ −

−

λ

λ −

−

λ

−

λ

−

−

−

λ −

−

λ

−

λ

−

−

−

−

−

−−− λλλ

λ

−

λ∏

−

−

−−λ

2λ =

2λ =[ ] = − =

0µ >

2µ =8λ = µ = × =

2λ =

[ ] λλ− −

[ ]≥ [ ]4≤ ∑=

∑=

−

[ ] μtμ−

[ ]9≥ [ ]8≤ ∑=

−

[ ]4−

∑=

∑=

[ ]0−

∑=

−

∑=


aproxima o tiende a 0 y np se aproxima a λ , llamando a este teorema como la aproximación de la distribución binomial a la de Poisson.TEOREMA 5.4.1Sea X una variable aleatoria que tiene una distribución binomial con parámetro p (con base en n repeticiones del experimento). Es decir

=

Supongamos que, cuando n → ∞ , np = λ (constante), o

equivalentemente, cuando n → ∞ , p → 0 tal que np →λ Bajo estas condiciones tenemos

[ ]limP X = xn→∞

= ,

la distribución de Poisson con parámetroλ .DEMOSTRACION:

Como = y np = λ , entonces

= =

=

=

= 1−

λn

n

=

=

=

Entonces aplicando límites se tiene:

[ ]x=XP

x

n xp ( ) xnp1 −−

!xλe xλ−

[ ]x=XP

x

n xp ( ) xnp1 −−

[ ]x=XP

x

n x

nλ

xn

nλ

1−

−

!)!-(nn!

xx x

x

n

λ xn

nλ

1−

−

[ ]!)!-(n

)!-(n1)-(-2)...n-1)(n-n(nxx

xxx

x

n

λ n

nλ

1

−

x

nλ

1−

−

x!1)+-1)...(n-n(n x

x

x

n

λ n

nλ

1

−

x

nλ

1−

−

!xλ x

n1)+-(n

...n

2)-(nn

1)-(nnn x

x

nλ

1−

−

n

nλ

1

−

!xλ x

−

−

−

n1-

1...n2

1n1

11x

x

nλ

1−

−

n

nλ

1

−

!xλ x

−

−

−

−

−

−−− 111

nλ

1n

1-1...

nλ

1n1

1nλ

1x

n

nλ

1

−

!xλ x

∏

−

−

−−

1x

0=j

1

nj

1nλ

1


[ ]nlim P X =→∞

x =

=

=

ya que: = 1, =1 y = e−λ

Este último de la propiedad = e.

Por tanto, [ ]nlim P X =→∞

x = , que completa la demostración.

OBSERVACION: El teorema, esencialmente, dice que podemos aproximar las probabilidades binomiales con las probabilidades de la distribución de Poisson siempre que n sea grande y p pequeño.

Para aclarar de mejor manera, observemos la siguiente tabla; donde n = 100 y p = 0.01, de donde = np = 1λ :

X 0 1 2 3 4 5Binomial 0.366 0.370 0.158 0.0610 0.0149 0.0029Poisson 0.368 0.368 0.184 0.0613 0.0153 .00307

EJEMPLOS5.4.3.-Supongamos que el 2 % de los artículos producidos en una fábrica son

defectuosos. Hallar la probabilidad de que haya 4 artículos defectuosos en una muestra de 100 artículos.SOLUCION:Se aplica la distribución binomial para n = 100 y p = 0.02. Sin embargo, puesto que p es pequeño, usamos la distribución de Poisson con

= np = 2λ . Así

−

∞→

n

n nλ

1lim!x

λ x

∏

−

−

−−

1x

0=j

1

nj

1nλ

1

!xλ x n

n nλ

1lim

−

∞→

11x

0=j n nλ

1lim−

−

∞→

−∏

−

∞→ nj

1limn

!xλ x

λ

λ-n

n n)λ(

1lim

−

∞→

−+ ∏

−

−

−

∞→

−

∞→

1x

0=j n

1

n nj

1limnλ

1lim

1

n nλ

1lim−

∞→

−

−

∞→ nj

1limn

λ

λ-n

n n)λ(

1lim

−

∞→

−+

x

x

11lim

+

∞→ x

!xλ x

λe−

⇒ ⇒

⇒ ≈

λ =

[ ] λλ−

[ ]−

[ ]≥

[ ]≥ [ ] [ ]≥ [ ]

[ ]

( ) −−

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

[ ]≥[ ] [ ]

λλ− [ ] λ−

λ− λ− λ λ

λ

[ ]→∞

−λ

[ ]→∞

1λ

l

= 2λ

−

∞→

λ λ

∏

−

−

−−λ

λ λ

−

∞→

λ −−

∞→

−∏

−

∞→

λλ

λλ−

∞→

−+ ∏

−

−

−

∞→

−

∞→

λ

λ −

∞→

−

−

∞→

λ

λλ−

∞→

−+

+

∞→

λ λ−


= , donde X es el número de artículos defectuosos y

x = 4, entonces = = = 0.0902.

5.4.4.-Un hombre dispara a un blanco y sabe que la probabilidad de anotar es p = 0.01. ¿Cuántos disparos tendrá que hacer para tener una probabilidad mayor que 0,9 de dar en el blanco (acertar) por lo menos una vez?SOLUCION:Si X es el número de aciertos en n disparos, se deduce que

XR = 0,1,2,...., n , de donde X es una variable aleatoria discreta. Por

la naturaleza del problema tenemos dos tipos de solución:i) Aplicando la distribución Binomial.

Se quiere determinar n, tal que > 0.9

Como = ; entonces = 1 - , per

= ; x = 0, 1, . . . , n ; luego

= =

Por consiguiente, hay que encontrar n, tal que1 - > 0.9, o < 0.1,aplicando logaritmos se tiene:n log (0.99) < log (0.1) ⇒ n (1 - 0.99564) > 1 ⇒

n (0.00436) > 1 ⇒ n > = ≈ 231

De donde, por lo menos tiene que hacer 231 disparos.ii) Aplicando la distribución de Poisson

Se quiere determinar n, tal que > 0.9, como en i) se quiere

determinar n tal que 1 - > 0.9, dado que

= ; x = 0, 1, …, n, luego = , donde

(0,01) nλ = .Por consiguiente, hay que encontrar n, tal que

1 - > 0.9; o - 1 > 0.9 , o , ( 1 - 0.9 ) = 1 , o ,

> = 10

Aplicando logaritmos naturales obtenemos:

[ ]x=XP!xλe xλ−

[ ]4=XP!4e2 24 −

24)135.0(x16

[ ]1XP ≥

[ ]1X ≥ [ ]C0=X [ ]1XP ≥ [ ]0=XP

[ ]x=XP

x

n xp ( ) xnp1 −−

[ ]0=XP

0

n 0)01.0( ( )n99.0 ( )n99.0

( )n99.0 ( )n99.0

00436.01

436000,100

[ ]1XP ≥[ ]0=XP [ ]x=XP

!xλe xλ−

[ ]0=XP λe−

λe− λe− λe λe

λe1.0

1


> ln10 = 2.3026 ⇒ ( 0.01 ) n > 2.3026⇒ n > ≈ 230.26

de donde, por lo menos tiene que dispar 231 disparos.5. 5. DISTRIBUCION POLINOMIAL

El experimento binomial se convierte en un experimento polinomial o multinomial si cada intento tiene más de dos resultados posibles. Por ejemplo, son experimentos polinomiales la clasificación de un producto manufacturado en bueno, malo, regular, ligero, pesado; el tirar un par de dados cinco veces y esperar que salga un par igual en dos oportunidades, esperar que salga tres veces “diez” o “cuatros”, etc.

En general, si un intento dado puede resultar en cualquiera de k posibilidades: , ,…, , con probabilidades , . …, ,respectivamente; entonces la distribución polinomial dará la probabilidad de que ocurra veces; ocurra veces, … , y ocurra veces en n intentos independientes, donde:

+ + … + = n y + + … + = 1dado que el resultado de cada intento debe ser uno de los k posibles resultados; esta distribución lo representaremos por la notación m ( , , …, ;

, , .. , , n ).Para encontrar la fórmula general procedemos como en el caso binomial.

Como los n intentos son independientes, cualquier orden en que se presenten o produzcan resultados para, resultados para , … , resultados

para , ocurrirá con una probabilidad … . El número total de órdenes que producen resultados similares para los n intentos independientes es igual al número de particiones de n intentos en k grupos con en el primer

grupo; en el segundo; … ; y en el k-ésimo grupo.Esto puede realizarse en:

=

maneras. Dado que todas las particiones son mutuamente excluyentes y ocurren con igual probabilidad, se obtiene la distribución polinomial o multinomial al multiplicar la probabilidad para un orden específico por el número total de particiones.DEFINICION 5.5.1Si un intento determinado puede resultar en cualquiera de los k resultados:

, , …, con probabilidades: , ,…, , respectivamente; se dice que

λ01.0

3026.2

1E 2E kE 1p 2p kp

1E 1x 2E 2x kE kx

1x 2x kx 1p 2p kp

1x 2x kx

1p 2p kp

1x 2x 2E kx

kE 1x1p 2x

2p kxkp

1x

2x kx

k21 x,...,x,x

n

!x!...x!xn!

k21

1E

2E kE 1p 2p kp

( ) ( )[ ]===

∏

∑ ∑

( )+++

⇒ ⇒ ≈λ 3026

p

p

p

p


las variables aleatorias , , … , , tiene distribución polinomial o

multinomial con parámetros: n , , ,…, , si su función de probabilidad es :

( ) ( )1 2 k 1 2 kX X ...X 1 2 k X X ...X 1 2 kp x , x ,..., x = f X ,X ,...,X

=

= m ( , , … , ; , , … , , n )

= … = n!

con = n y = 1.

Esta distribución se llama polinomial, por su relación evidente con la fórmula que se expresa el desarrollo de la potencia de un polinomio:

.EJEMPLOS5.5.1.-Las probabilidades de que una declaración de impuestos sea llenada

correctamente, que contenga un error que favorezca al declarante, que lleve un error que favorezca al fisco o que contenga ambos tipos de errores son, respectivamente 0.60, 0.20, 0.10 y 0.10. Calcular la probabilidad de que, entre 10 de tales declaraciones de impuestos aleatoriamente escogidos por un auditor, cinco estén correctas, tres contengan un error que favorezca al declarante, una lleva un error que favorezca al fisco y una contenga ambos tipos de errores.SOLUCION:Se tiene los siguientes eventos posibles:E1: ocurre que una declaración de impuestos sea llenada

correctamente.E2 : ocurre que contenga un error que favorezca al declarante.E3 : ocurre que lleve un error que favorezca al fisco.E4 : ocurre que contenga ambos tipos de errores.Las correspondientes probabilidades son:

= 0.60 = , = 0.20 = , =0.10 = y = 0.10 = .

Estos valores se conservan constantes entre 10 declaraciones. Entonces apliquemos la distribución polinomial con = 5, = 3, = 1,

= 1 y n = 10 , para obtener la probabilidad que deseamos y que es:

1X 2X kX

1p 2p kp

[ ]kk2211 xX,...,xX,xXP ===

1x 2x kx 1p 2p kp

!x!...x!xn!

k21

1x1p 2x

2p kxkp ∏

k

1=i i

xi

!p i

x

∑k

1=iix ∑

k

1=iip

( )nk21 p...pp +++

1p106

2p102

3p101

4p101

1x 2x 3x

4x


m (5, 3, 1, 1; , , , ; 10 ) =

= x = = 0.0314.

5.5.2.-De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillos de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encontrar la probabilidad de que de 8 descendientes 5 sean rojas, 2 negras y 1 blanco.SOLUCION:Sean los eventosE1 : descendencia roja.E2 : descendencia negra.E3 : descendencia blanca.

Luego, n = 8, = , = , =

Tenemos = 5, = 2, = 1Por tanto:

= m (5, 2, 1; , , ; 8)

= = x x x

= = 0.0820.

EJERCICIOS1.- Se selecciona a un empleado de un grupo de 8 para supervisar un cierto

proyecto, escogiendo aleatoriamente una placa de una caja que contiene 8 numeradas del 1 al 8. Encuentre la fórmula para la distribución de probabilidad de X que representa el número de la placa que se saca. ¿Cuál es la probabilidad de que el número que se saque sea menor a 5?

2.- La rueda de una ruleta se divide en 25 sectores de igual área y numeradas del 1 al 25. Si X representa el número que ocurre cuando se hace girar la ruleta.a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al hacer girar la ruleta, salga 15?b) ¿Cuál es la probabilidad de que al hacer girar la ruleta salga un

número que sea múltiplo de 5?

106

102

101

101

!1!1!3!5!10 5

106

3

102

1

101

1

101

x2x31x8x7x69x10

10

35

10

2x69

35

01

2xx8x7x69

1p21

2p41

3p41

1x 2x 3x

[ ]1X2,=X5,=XP 321 =21

41

41

!1!2!5!8 5

21

2

41

1

41

28x7x6

321

161

41

25621

x8x7x6

p1 1 1

[ ]1= 1 1 1

8x7x6 1 1

21


3.- En el distrito de Haquira, el 40 % de la población adulta pertenece al partido político “Movimiento Independiente Cotabambino”. Se selecciona una muestra aleatoria de 9 adultos.a) ¿Qué probabilidad hay de que 5 de ellos pertenezca al partido

“Movimiento Independiente Cotabambino”?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno pertenezca al partido

“Movimiento Independiente Cotabambino”?c) ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezcan 2 sabiendo que al menos

uno pertenece al partido “Movimiento Independiente Cotabambino”?

4.- Supongamos que el jugador de fútbol Arce tiene probabilidad de de

meter gol de tiro penal y que sus patadas son independientes. Si Arce consigue patear 4 penales en un juego particular. ¿Cuál es la probabilidad de que él meta 2 o más goles de penal?

5.- Un estudiante contesta al azar 10 preguntas en un examen, siendo cada una de 5 respuestas de las cuales una es correcta.a) Determinar la distribución de probabilidad del número de preguntas

contestadas correctamente.b) Si para aprobar el examen debe contestar correctamente al menos 6

preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?c) Si dicho examen rinde 275 alumnos. ¿Cuántos de ellos aprobarán?

6.- Un fabricante de piezas envía en lotes de 20 a sus clientes. Suponer que cada lote contiene piezas defectuosas y no defectuosas, y que la probabilidad de las defectuosas es 0.10.a) ¿Cuál es la probabilidad de que determinado lote no contenga piezas

defectuosas?b) Si un cliente del proveedor va a recibir 5 lotes ¿Cuál es la

probabilidad de que ninguno de los 5 lotes contenga piezas defectuosas?

7.- Un laberinto para ratones tiene un corredor recto, y al final una bifurcación; en la bifurcación, el ratón debe ir a la derecha o la izquierda. Suponer que se colocan 10 ratones en el laberinto, de uno en uno. Si cada uno de los ratones toma al azar una de las dos alternativas del camino.a) ¿Cuál es la distribución del número de los que van a la derecha?b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos 9 vayan al mismo

lado?8.- Supongamos que la máquina A produce el doble de artículos que la

máquina B. Se sabe que el 6 % de los artículos que produce la máquina A son defectuosas, mientras que el 3 % de los artículos producidos por la máquina B son defectuosos. Si se junta la producción de estas máquinas

107


y se toma una muestra aleatoria de 10 artículos. Calcular la probabilidad de obtener más de tres artículos defectuosos.

9.- El Departamento de Matemáticas y Estadística de la UNSAAC tiene dos trabajadores a tiempo parcial: Esperanza y Ricardo, Esperanza trabaja los martes, jueves y sábado en tanto Ricardo los lunes, miércoles y viernes. Ricardo archiva erróneamente uno de cada cinco documentos, mientras que Esperanza lo hace uno de cada seis. Se elige al azar un día de la semana y en ese día se toma una muestra de seis documentos de entre los documentos archivados ese día.a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente 3

documentos mal archivados?b) Suponiendo que la muestra contenga exactamente 3 documentos mal

archivados, c) ¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido archivados por Ricardo?

10.- Se lanzan 7 dados, si el éxito consiste en sacar un 5 o 6, encontrar la probabilidada) De sacar exactamente 4 éxitos.b) De sacar a lo más 4 éxitos.

11.- Como regla, 25 % de ciertos productos manufacturados por un cierto torno, son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en 20 de estos productos haya:a) Exactamente 15 defectuosos.b) Menos de 5 defectuosos.c) Por lo menos 8 defectuosos.

12.- Cierta dieta con yodo para animales produce un ensanchamiento de la glándula tiroides en un 70 % de animales de una población. Se necesita 5 animales con glándula tiroides ensanchada para un experimento. Defina la variable aleatoria X como el número de animales seleccionados hasta que 5 de ellos sean con glándulas tiroides ensanchada.a) Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X.b) Hallar la función de distribución de X.c) Calcular [ ]P X = 7 y [ ]P X > 5

13.- Se tira una moneda no cargada hasta que aparezca una cara.a) ¿Cuál es la probabilidad de que se necesite menos de 3 intentos?b) ¿Qué se necesiten menos de 4 intentos?

14.- Una ruleta americana, generalmente, tiene 38 lugares, de los cuales 18 son negras, 18 son rojas y 2 son verdes. Sea X el número de juegos necesarios para obtener el primer número rojo. Dar la función de probabilidad.

15.- La probabilidad de que abra un ladrón aficionado, una caja con joyas en un intento es 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que:

[ ]≤≤

[ ]7 [ ]5


a) Necesite exactamente dos intentos para abrir la caja?b) Abra la caja en no menos de tres intentos?

16.- La probabilidad de que un postulante para chofer apruebe el examen escrito para obtener su licencia de chofer particular es 0.7. Encontrar la probabilidad de que una persona apruebe el examena) en el tercer intento.b) antes del cuarto intento.

17.- Un determinado fármaco se envía a las farmacias en cajas de 24 unidades. El farmacéutico sospecha que la cantidad de fármacos en algunas unidades es deficiente y decide analizar 5 unidades, supongamos que 10 de las 24 unidades son deficientes.a) Hallar la probabilidad de que ninguna de las unidades analizadas sea

deficiente.b) Encuentre la probabilidad de que exactamente una unidad analizada

sea deficiente.18.- Se extrae al azar trece cartas sin reemplazo de un mazo de 52. ¿Cuál es

la función de probabilidad para el número de cartas negras en la muestra?19.- Un jurado de 7 miembros va a decidir entre dos finalistas, quien es la

ganadora del reinado del Festival del Carnaval Apurimeño, para lo cual bastará una mayoría simple de los jueces. Supongamos que 4 jueces votan por la finalista A y que los otros 3 votan por la finalista B. Si se seleccionan al azar 3 jueces y se les pregunta por quién van a votar. ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de los jueces de la muestra están a favor de la finalista A.

20.- Una empresa manufacturera recibe un lote que contiene 100 artículos de los cuales 5 son defectuosos. La empresa revisa constantemente los lotes que recibe para establecer la calidad del material. Si la calidad de un lote revisado es baja, devuelve al proveedor el lote completo. Supongamos que la empresa recibe el lote y lo acepta si hay uno o menos piezas defectuosas en una muestra de tamaño 6. ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte un lote que contenga 5 artículos defectuosos?

21.- Un comité de 3 integrantes se forman aleatoriamente seleccionando de entre 4 médicos y 2 enfermeras. Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el número de médicos en el comité. Evalúe .

22.- ¿Cuál es la probabilidad de que un cantinero se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a 2 menores de edad, si verifica aleatoriamente sólo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?

23.- Se estima que 4000 de los 10000 ciudadanos de una determinada población están en contra de un nuevo edicto municipal. Si se seleccionan

[ ]3X2P ≤≤


aleatoriamente 15 ciudadanos y se les pregunta su opinión, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 7 estén a favor del nuevo edicto municipal?

24.- Un comerciante tiene 20 unidades de cierto objeto, de los cuales 30 % no están aptos para su venta y el resto sí. El escoge 5 objetos al azar uno a uno sin reposición.a) Determinar la distribución de probabilidad del número de objetos

escogidos que sean no aptos para su venta.b) Calcular la probabilidad de que al menos uno sea no apto para su

venta.25.- Sea X, Y, Z variables aleatorias independientes con la misma distribución

geométrica. Determinar:a) b) c)

26.- Demostrar que la distribución condicional de X1 dado 1X ≠ 2X , es binomial; es decir que

=

27.- Sean y variables aleatorias independientes y con distribución geométrica común. Demuestre sin hacer cálculos, que la distribución condicional de dado + es uniforme, o sea, que

= ; k = 0, …, n.

28.- Si 6 de 18 nuevos edificios en una ciudad violan la licencia de construcción. ¿Cuál es la probabilidad de que un inspector de obras; quien selecciona aleatoriamente cuatro de ellos para inspección, descubre que:a) Ninguno de los nuevos edificios viola la licencia de construcción.b) Uno viola la licencia de construcción.c) Dos violan la licencia de construcción.d) Al menos tres violan la licencia de construcción.

29.- Si el 3 % de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 bombillas:a) 4 sean defectuosas.b) más de 5 sean defectuosas.c) entre 1 y 3 sean defectuosas.d) 2 bombillas o menos sean defectuosas.

30.- Supongamos que en una empresa aérea se ha enterado el supervisor de vuelos que, en promedio uno de cada 150 vuelos se retrasa más de una hora; si se hacen 1500 vuelos en un mes.

[ ]Y=XP [ ]2YXP ≥ [ ]ZY+XP ≤

[ ]n=X+XkXP 211 =

+ 21

1

λλλ

,n;kb

1X 2X

1X 1X 2X

[ ]n=X+XkXP 211 = 1n1+

λ =

≠[ ] [ ]≥ [ ]≤

[ ]n=

+λλλ

[ ]n=+


a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 vuelos se retardan más de una hora?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 5 vuelos se retrasen más de una hora?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres vuelos se retrasen más de una hora?

31.- Entre las 2 y las 4 de la tarde, el promedio de llamadas telefónicas que recibe un conmutador de una empresa por minuto es 2,5. Hallar la probabilidad de que en un determinado minuto haya:a) Cero llamadas. b) Tres llamadas.

32.- El número de averías semanales de una computadora es una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con λ = 0 3. . ¿Cuál es la probabilidad de que la computadora opere sin averías dos semanas consecutivas?

33.- Un tirador experto da en el blanco el 95 % de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo?

34.- Suponga que a un almacén llegan al azar camiones para ser cargados con ladrillos con un promedio de 8 camiones por día.a) Determinar la distribución de probabilidad del número de camiones

que llegan por día al almacén para ser cargados de ladrillos.b) Si dicho almacén solo puede atender a 10 camiones por día. ¿Cuál

es la probabilidad de que en un día determinado se tengan que regresar los camiones no atendidos?

35.- Cierta panadería dispone de una masa con frutas confitadas para elaborar 200 panetones. Agrega 2,000 pasas de uvas a la masa y la mezcla bien. Cada panetón contiene en promedio 10 pasas

a) Hallar la probabilidad de que un panetón elegido al azar no contenga ninguna pasa.

b) Suponga que en dicha producción hay 15 panetones con a lo más 6 pasas, si un cliente adquiere 5 panetones. ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan más de 6 pasas?

36.- Suponer que la página impresa de un libro contiene 40 líneas, y que cada línea contiene 75 espacios (que pueden estar en blanco u ocupados con algún símbolo). Por tanto, en cada página se deben formar 3000 espacios. Suponer que el linotipista comete un error en cada 6000 espacios que forma como promedio.a) ¿Cuál es la distribución para X, el número de errores por hoja?b) Calcular la probabilidad de que una página no contenga errores.c) ¿Cuál es la probabilidad de que un capítulo de 16 páginas no

contenga errores?


37.- El norte del Perú es afectado en promedio por 6 huaicos al año. Encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta región sea afectada pora) menos de 4 huaicos.b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huaicos.

38.- Suponga que X es una variable aleatoria con distribución de Poisson. Si

[ ]2=XP =23

[ ]1=XP

Calcular: a) y b) 39.- Se estima que una máquina produce 150 piezas defectuosas al mes (mes

de 30 días). Calcular la probabilidad de que en un día determinado produzca 3 piezas defectuosas.

40.- Se lanza un dado 8 veces. Calcular la probabilidad de que aparezcan dos números 2, dos números 5 y los demás números una sola vez.

41.- La sangre humana fue clasificada en 4 tipos: A, O, B y AB. En una cierta población, las probabilidades de estos tipos son respectivamente: 0,40, 0,45, 0,10 y 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de que en 5 pobladores escogidos al azar hayaa) dos del tipo A y uno de cada uno de los otros tipos?b) tres del tipo A y dos del tipo O?

42.- Las probabilidades de que, al conducir en cierta ciudad, de un modelo específico de auto se obtenga en promedio menos de 22 kilómetros por galón, entre 22 y 25 kilómetros por galón o más de 25 kilómetros por galón son, respectivamente: 0,40, 0.40 y 0.20. Calcule la probabilidad de que entre 12 de tales autos probados, cuatro en promedio menos de 22 kilómetros por galón, seis entre 22 y 25 kilómetros por galón y dos más de 25 kilómetros por galón.

43.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras dos veces, una cara y un sello tres veces y dos sellos una vez en seis lanzamientos de un par de monedas legales?

[ ]0=XP [ ]3=XP

Ω ∈ ≤≤

( )ω ω ω ∈Ω

∈ ≤≤

Ω

Ω ∈ ≥

( )ω ω ω ∈Ω

∈ ≥

[ ]22 [ ]1[ ]0 [ ]3

CAPÍTULO 6: DISTRIBUCIONES CONTINUAS

6. 1. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA

DEFINICION 6.1.1Una variable aleatoria X se dice que es continua, si el rango de X ( R X ) es un intervalo o unión de intervalos en la recta real o un conjunto infinito no numerable de valores.

Es preciso aclarar que en general las variables aleatorias discretas representan datos que provienen del conteo del número de elementos, mientras que, las variables aleatorias continuas se obtienen de mediciones, por ejemplo, longitud, peso, tiempo, etc.EJEMPLOS6.1.1.-Supongamos el instante en que salimos de nuestro domicilio para

realizar nuestras actividades diarias, es igualmente factible para ir de cualquier lugar en el intervalo de tiempo de 7:30 a 8 a.m. (inclusive). Sea X un intervalo de tiempo entre el instante que salimos de nuestro domicilio y las 8 a.m. El espacio muestral puede ser definido tomando a las 7:30 a.m. como el cero en la escala de tiempo y usando el minuto como unidad; así tenemos

Ω = x∈ / 30x0 ≤≤La variable aleatoria X puede ser escrito en notación funcional como:

( )ωX = 30 - ω , para ω ∈ΩConsecuentemente el rango de X es:

XR =x∈ / 30x0 ≤≤así X es una variable aleatoria continua.

6.1.2.-Sea Ω el espacio muestral que consiste del tiempo de duración de un artefacto electrodoméstico obtenido al azar de una tienda comercial, entonces Ω = x∈ / 0x ≥ . Si la variable aleatoria X se define también como el tiempo de duración del artefacto, entonces X es una función identidad dada por:

( )ωX = ω , para ω ∈Ωde donde el rango de X es:

XR = x ∈ / 0x ≥Así X es una variable aleatoria continua.


DEFINICION 6.1.2Sea X una variable aleatoria continua con rango XR ⊆ . La función de densidad de probabilidad o simplemente función de densidad de la variable aleatoria X, es una función:

Xf : XR → [ [+∞,0que satisface las siguientes condiciones:i) Xf ( x ) ≥ 0, para todo x ∈ XR ⊂ .

ii) ( )dxxfR

X∫ = 1.

La probabilidad de ocurrencia del evento A = bXa/x ≤≤ está dada por:

P (A) = [ ]bXaP ≤≤ = ( )dxxfb

aX∫

OBSERVACIONES:1. La función de densidad Xf ( x ) no es probabilidad y sólo cuando se

integra a dicha función entre dos límites produce una probabilidad.2. De la condición i) establecemos que la gráfica de Xf está encima del eje

X.3. Si el XR = , entonces la condición ii) se puede escribir como

( )dxxf-

X∫∞

∞= 1. La condición ii) representa que el área de la región

limitada por la curva y = Xf ( x ), el eje X y las rectas verticales que pasan

por los puntos extremos de R X es 1.

4. Si x0 es cualquier valor específico de la variable aleatoria continua X,

entonces [ ]0=XP x = [ ]00 XP xx ≤≤ = ( )dxxf0

X∫0x

x

= 0. De donde se

tiene:a) P(A ) = 0 , no implica que A = φ .

b) [ ]bXaP ≤≤ = [ ]bXaP <≤ = [ ]bXaP ≤<

= [ ]bXaP << = ( )dxxfb

aX∫ .

Como las integrales definidas representan el área entre la función por integrar y el eje horizontal entre los límites finitos, podemos pensar gráficamente que la probabilidad de a < X < b es, el área bajo el gráfico f X

entre a y b, es decir:

[ ]<< ( )∫

( )

≤<−≤<

=

[ ]≤≤

<

[ ]≥( )

( )

( )∫∞

∞∫∞−

∫ ∫ ∫∞

−

[ ]≤≤ ( )∫ ( )∫ ( )∫ ( )∫

⊆

→ [ [+∞

≥ ∈ ⊂( )dx∫

≤≤

[ ]b≤≤ ( )∫

( )∫∞

∞

x

[ ] [ ]≤≤ ( )∫

φ[ ]b≤≤ [ ]b<≤ [ ]b≤<

[ ]b<< ( )∫


[ ]bXaP << = ( )dxxfb

aX∫ = área de la parte sombreada.

EJEMPLOS6.1.3.- Dada la siguiente función

( )

≤<−≤<

=casosotrosen ,0

4x2,)x4(k

2x0,xk

xf

a) Hallar el valor de k para que f sea una función de densidad.b) Hallar [ ]3X1-P ≤≤ .

c) Hallar

<

25

XP .

d) Hallar [ ]3XP ≥e) Graficar ( )xfX .SOLUCION:a) Para que ( )xf sea una función de densidad de una variable aleatoria

continua, debe cumplirse que

1 = ( )dxxf-

X∫∞

∞= ∫

∞−

0

dx0 + ∫2

0xdxk + ∫

4

2dx)x-k(4 + ∫

∞

4dx0

= 0 + 2

0

2

2xk

-

4

2

2

2)x-k(4

+ 0 = 2k - k

−

24

0 = 2k + 2k = 4k

de donde k = 41

.

[ ]3X1-P ≤≤ = ( )dxxf3

1-X∫ = ( )dxxf

0

1-X∫ + ( )dxxf

2

0X∫ + ( )dxxf

3

2X∫


= ∫−

0

1dx0 + ∫

2

0dx

4x

+ ( )dxx4413

2−∫ = 0 +

2

0

2

8x

-

( ) 3

2

2

8x4

−

=

−−

84

81

84

=84

+83

=87

.

b)

<

25

XP = ( )dxxf2/5

-X∫

∞= ( )dxxf

0

-X∫

∞+ ( )dxxf

2

0X∫ + ( )dxxf

2/5

2X∫

= ∫∞−

0

dx0 + ∫2

0dx

4x

+ ( )dxx4412/5

2−∫

= 0 + 2

0

2

8x

-

( ) 2/5

2

2

8x4

−=

48

-

−

84

823

2

=84

-

−

84

329

=88

-329

=32

932 −=

3223

.

c) [ ]3XP ≥ = ( )dxxf3

X∫∞

= ∫−4

3dx

4x4

+ ∫∞

4dx0

= -( ) 4

3

2

8x4

−+ 0 = -

−

81

0 =18

.

e) A continuación presentamos la función de densidad de probabilidad y su correspondiente gráfico:

( )xfX =

≤<−

≤<

casos.otrosen ,0

4x2,4

x4

2x0,4x

( ) <<

[ ]≥ [ ]≤

( )[ ]≤ [ ]≥

[ ]≥

[ ]≥ ( )∫∞

( )∫ ( )∫∞

∫ ∫∞ [ ]

[ ]

( )( ) ≥ ∈ [ ]

[ ]

( )∑ ( )∫

( )∑∈

( )∫⊂

∫−

∫ ( )−∫

( )

−

−−

4 3 7

< ( )∫

∞( )∫

∞( )∫ ( )∫

∫∞−

∫ ( )−∫

( )

− 4

−

4

−

8 9 9− 23

[ ]3≥ ( )∫∞

∫−

∫∞

( )

−

−

1

( )

≤<−

≤<


6.1.4.-Si la función de densidad de una variable aleatoria X está dada por:

( )xfX = <<

casosotrosen ,0

1x0,x2

Determinar n tal que [ ]nXP ≥ = [ ]nXP ≤ .SOLUCION:Como la función ( )xfX es una función de densidad, entonces

[ ]nXP ≤ + [ ]nXP ≥ = 1

y consecuentemente [ ]nXP ≥ =21

, por tanto

[ ]nXP ≥ = ( )dxxfn

X∫∞

= ( )dxxf1

nX∫ + ( )dxxf

1X∫

∞=

21

= dxx21

n∫ + dx0

1∫∞

= [ ]1n2x = 1 - n2 =21

Luego, 2n = 1 -21

=21

, de donde n = 2

1.

Antes de continuar con el desarrollo de esta sección, debemos presentar nuestro interés de mostrarles aplicaciones en las cuales una variable aleatoria X puede tomar valores discretos: 1x , 2x , …, nx , con probabilidades positivas y además puede tomar, también, todos los valores de un cierto intervalo [ ]b,a o familia de intervalos. Es decir, X es una combinación de los dos tipos de variables aleatorias. Las distribuciones de probabilidad de este tipo de variables aleatorias se llaman distribuciones mixtas, que se obtienen combinando las definiciones de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta y la función de densidad de una variable aleatoria continua, en la forma siguiente.a) A cada uno de los valores ix , se le asigna un número ( )iX xp > 0, y se

define una función Xf tal que ( )xfX ≥ 0 para todo x ∈ [ ]b,a ; dado que

XR = [ ]b,ax,...,x n1 .

b) ( )∑n

1=iX xp

x

+ ( )dxxfb

X∫a

= 1.

La probabilidad de un evento cualquiera A se define así:

P (A) = ( )∑∈A

jXj

xpx

+ ( )dxxfAE

X∫⊂


6.1.5.-Dada la función

( )xfX =

( )

( )

<<−<<

=+−

casosotrosen ;0

3x2;x4k

2x1;xk

,...2,1,0x;3 1x

a) Determinar k, de manera que Xf sea una función de probabilidad de una variable aleatoria X.

b) Calcular

≤≤

23

X0P .

SOLUCION:a) Debemos observar que

( )∑∞

=

+−

0x

1x3 + ∫2

1xdxk + ∫

3

2dx)x-k(4 = 1

31

∑∞

=0xx3

1+ k

2

1

2

2x

+ k

3

2

2

2x

x4

− = 1

Como ∑∞

=0xk3

1= 1 +

31

+91

+271

+ … = S

Entonces, 1 + 31[ 1 +

31

+91

+271

+ … ] = S

de donde 1 + 13

S = S, luego S = 32

.

Por tanto: 31

x23

+

2k

-2k +

29k

-6k = 1, luego

21

+ 3 k = 1, de donde k = 16

.

b)

≤≤

23

X0P = ( )∑=

+−1

0x

1x3 + ∫2/3

1dx

6x

=13

+91

+121 3/22

1x

=94

+121

(94

- 1) =94

+485

=14479

DEFINICION 6.1.3La función de distribución acumulada o simplemente función de distribución, XF , de una variable aleatoria continua X, con función de

densidad Xf , está dada por:

( ) [ ]≤ ( )∫∞

∀ ∈

( )

( )( )

= ( )

( )

≤≤

( ) ∫∞

( ) ( ) ∫

−

≤ ≤

( ) ( ) ∫∞

( )

≤ ≤

( )

( )

( )

<<−<<

=+−

≤≤

( )∑∞

=

+− ∫ ∫

1∑∞

=

−

∑∞

=

1 1

1[

1 1]

1 3

1 3

1 1

≤≤ ( )∑

=

+− ∫1 1

4 4 4 79


( )xFX = [ ]x≤XP = ( )dxxfx

X∫∞-

, ∀ x ∈ .

Comparar con la definición 4.4.1.Gráficamente, el área sombreada es la función ( )F xX :

Área sombreada es ( )F xX

6.1.5.-Hallar ( )xFX , si una variable aleatoria continua X que puede asumir

valores entre 2=x y x = 4 tiene una función de densidad ( )xfX =21

.

SOLUCION:La función de densidad está dada por:

( )xfX =

≤≤

casootroen ,0

4x2,21

Determinación de la función de distribución:

( )xFX = dx0x

∫∞-

= 0, para x < 2

( )xFX = ( )2FX +x

2

1 dx

2∫ = 0 +x

2

x21

=

2x

-1=2

2x −, para 2 ≤ x ≤ 4.

( )xFX = ( )4FX + dx04∫∞

= 1 + 0 = 1, si x > 4.

Luego, la función de distribución acumulada y su gráfica, respectivamente, son:

( )X

0 , si x < 2

x- 2F x = , si 2 x 4

21 , si x > 4

≤ ≤


6.1.6.-Para la función de densidad del ejemplo 6.1.3 hallar ( )xFX y expresar gráficamente.

SOLUCIONLa función de densidad está dada por:

( )xfX = ( )

≤<−

≤<

casosotrosen ,0

4x2si,x441

2x0si,4x

Determinación de la función de distribución

( )xFX = dx0x

∫∞-

= 0 , para x ≤ 0

( )xFX = ( )0FX + dx4xx

0∫ = 0 +

x

0

2

8x

=

8x 2

, para 0 < x ≤ 2

( )xFX = ( )2FX + ( )dxx-441x

2∫ =

84

-( ) x

2

2

8x4

−

=84

-( )

8x4 2−

+84

= 1 -( )

8x4 2−

, para 2 < x ≤ 4

( )xFX = ( )4FX + dx04∫∞

= 1 + 0 = 1, para x > 4

Luego, la función de distribución y su gráfica son:

( )

2

X 2

0 , si x 0

x, si 0 < x 2

8F (x) =

4 - x1- , si 2 < x 4

81 , si x > 4

≤ ≤ ≤

Para mayor variedad de ejemplos o solución de ejercicios es importante tener en cuenta las propiedades vistas en la sección 4.4, compatibilizando, con las observaciones de esta sección y además se tiene que:a) La función de distribución es no decreciente; es decir, si a ≤ b, entonces

( )aFX ≤ ( )bFX .

( )

( ) ( )

( ) ≤ ≤

<<<>

=

( )

< <

∫ ]

< <

( )∫ ( )∫ ( )∫

∫ ∫

( ) ≥

( )

( ) ( )

≤<−

≤<

( ) ∫∞

≤

( ) ( ) ∫

≤

( ) ( )2 ( )∫4 ( )

−

4 ( )− 4 ( )− ≤

( ) ( )4 ∫∞

( )

≤ ≤ ≤

≤( ) ≤ ( )b


b) Del segundo teorema fundamental del cálculo se tiene que si ( )xFX esuna función derivable, entonces:

( )xfX =dxd ( )xFX

6.1.7.- Supongamos que la función de distribución está dada por:

( )XF t =

0 , si t < 0

t , si 0 t 1

1 , si t > 1

≤ ≤

La derivada de XF es

<<<>

=1t0para,1

1ty0tpara,0)t(F

dtd

X

La derivada no existe para t = 0 y t = 1; pero podemos definir convenientemente

( )Xf x =1 , si 0 < x < 1

0 , en otro caso

y usando Xf encontramos las siguientes probabilidades:

P14

X< <

34

=3/4

1/4

dx∫ = ]3/4

1/4x =

34

-14

=24

=12

.

P - X112

< <

= ( )1/2

X-1

f x dx∫ = ( )0

X-1

f x dx∫ + ( )1/2

X0

f x dx∫

=0

-1

0 dx∫ +1/2

0

1 dx∫ =12

.

La representación gráfica de las probabilidades anteriores está dada por:

6.1.8.-Supongamos que la función de distribución está dada por:

( )YF t =- t

0 , si t < 0

1- e , si t 0 ≥


La derivada de FY es: d

dt( )YF t =

><

− 0,

0,0

tsie

tsit

Entonces podemos definir

( )yfY =-ye , y > 0

0 , caso contrario

y usando f Y , encontramos

[ ]P 1 Y< < 3 =3

-y

1

e dy∫ =3-y

1-e = e

−1 - e−3 = 0,318

[ ]P Y > 4 =¥

-y

4

e dy∫ = [ ]− − ∞e

y

4= e

−4 = 0,018

[ ]P Y < 2 =2

Y-¥

f dy∫ =2

-y

0

e dy∫ = [ ]− −e

y

0

2= 1 - e

−2 = 0,865.

6.1.9.-Un experimento consiste en seleccionar aleatoriamente un punto en el interior de un triángulo isósceles cuya base mide 8 cm. y cuyos lados iguales miden 5 cm. cada uno. Si X es la variable aleatoria que se define como la distancia del punto de elección a la base, hallar la función de densidad.SOLUCION:Sea el triángulo ABC de la figura adjunta.

La altura del triángulo es: h = 25 16− = 3Como la elección se efectúa en el interior del triángulo, entonces el rango de X es RX = ] [0,3 .

La función de distribución, ( )XF x está dada por:

( )XF x =

≥

<<

≤

3x,si1

3x0si,ABC triángulodelárea

ADEC trapecioárea0xsi,0

Del gráfico resulta:

•+

= ⇒−

⇒−

−

+

+

−

•×

( )

≤ ≥

( )

[ ]≤

[ ]≤

( )

( )

d ( )

><

−

0

( )

f

[ ]< < 3 ∫ − −

[ ]> 4 ∫ [ ]− − ∞ −

[ ]< 2 ∫ ∫ [ ]− − −

−

] [( )

( )

≥

<<

≤


• Área del trapecio ADEC = 8

2+

DEx. Por semejanza de los

triángulos ABF y DBG, se tieneDGAF

BGBF

= ⇒DG4

=3

3− x

⇒ DG = 4 3

3( )− x

y como DE = 2DG = 8 3

3( )− x

, entonces

área del trapecio ADEC

= 42

+

DEx = 4

4 33

+−

( )xx = 8 x -

43

2x .

• Área del triángulo ABC = 8 3

2×

= 12.

Luego, la función de distribución de X es:

( )XF x = 2

0 , si x 0

2 x 1- x , si 0 < x < 3

3 91 , si x 3

≤ ≥

y la función de densidad de probabilidad es:

( )Xf x = X

dF (x)

dx=

2 2- x , si 0 < x < 3

3 90 , en otros casos

Ahora nos interesa hallar la función de densidad (g) de la función Y = H (X); donde X es una variable aleatoria continua con función de densidad f y H es otra función continua.

El procedimiento general será así:

a) Obtener G, la función de distribución de Y, donde GY(y) = [ ]P Y ≤ y , al

encontrar el evento A (en el recorrido de X) que es equivalente al evento

[ ]Y ≤ y .

b) Diferenciar GY(y) con respecto a y para obtener ( )g yY .

c) Determinar estos valores de y en el recorrido de Y para los cuales

( )g yY > 0.


EJEMPLOS6.1.10.- Supongamos que X tiene una función densidad

( )Xf x =2 x , si 0 < x < 1

0 , en caso contrario

Sea H(x) = e x− . Para encontrar la función de distribución de Y = H(X) procedemos como sigue:

GY(y) = [ ]P Y ≤ y = [ ]P -e y

x ≤ = [ ]P X ≥ − ln y

=1

-ln y

2 xdx∫ = ]1yln

2x − = 1 - ( ) yln1yln 22 −=−

Por tanto

( )Yg y = Y

dG (y)

dy= -2

ln y

y. Puesto que ( )Xf x > 0 para 0 < x < 1,

encontramos que ( )Yg y 0> para 1e

< y < 1. (Notamos que el signo

algebraico para ( )Yg y es correcto ya que ln y < 0 para1e

< y < 1).

Existe otro método ligeramente diferente, para obtener el mismo resultado. Sea

GY( y ) = [ ]P Y ≤ y = [ ]P X ≥ − ln y

= 1 - [ ]ylnXP −≤ = 1 - ( )F yX − ln

en donde como ( )XF -lny es la función de distribución de X. A fin de

obtener la derivada de G usamos la regla de la cadena así:

( )Y

d dG duG y =

dy du dy, donde u = - ln y

Por tanto, como FX(x) = x2, para 0 < x < 1

( ) XY

d dF (du) 1G y = -

dy du y

= -2 ln y 1y

= -2

yyln

Los métodos empleados en el ejemplo anterior se pueden generalizar en el siguiente Teorema, cuya demostración se deja al lector.TEOREMA 6.1.1Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f, en donde

( )f xX > 0 para a < x < b. Supongamos que y = H(x) sea una función de x, estrictamente monótona (creciente o decreciente). Además, supongamos que

( ) ( )

( )

( ) ( )

⊂

( )

−

[ ]≤ [ ]≤ [ ]≥ −

∫ ] − ( ) −=−

( )y

( )

( ) >1

( )1

[ ]≤ [ ]≥ −

[ ]−≤ ( )−

( )

( ) du

( )

y

( )


esta función es derivable y continua para todo x. Luego la variable aleatoria Y definida como Y = H(x) tiene una función de densidad dada por:

( )Yg y = ( )Xf xdx

dy;

donde x se expresa en función de y. Si H es creciente, entonces g es distinto de cero para los valores de y que satisfacen H(a) < y < H(b). Si H es decreciente, entonces g es distinto de cero para los valores de y que satisfacen H(b) < y < H(a).EJEMPLO6.1.11.- Dada la variable aleatoria X con función de densidad

( )Xf x =2 x , si 0 < x < 1

0 , en otro caso

Encuentre la distribución de probabilidad de Y, donde Y = 8 X3 .SOLUCION:

La solución inversa de y = 8 3x da x = 3y

8= 3

1y

2, de donde se obtiene:

dx

dy= 1/3-11

y6

= -2/31y

6=

23

1

6 y. Luego, utilizando el teorema anterior,

se encuentra que la función de densidad de Y es:

( )Yg y = ( )3

2 33

1 1 1 12 y = ; si 0 < y < 8

2 6 y6 y

0 ; en otro caso

6. 2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ALEATORIAS

En la sección 4.5 presentamos en forma general las distribuciones de varias variables y los ejemplos aplicativos se presentaron para variables aleatorias discretas, nuestro objetivo ahora es presentar un resumen de la parte teórica y ejemplos para variables aleatorias continuas. Podemos afirmar que, en esta sección las diferentes definiciones serán las mismas sustituyendo integrales por sumatorias.

Siguiendo el mismo procedimiento, visto en la sección 4.4 y se presentarán para el caso bidimensional y luego se generalizará para el caso de varias variables.DEFINICIÓN 6.2.1Se dice que una variable aleatoria bidimensional (X, Y) es continua si ambas variables aleatorias son continuas y su rango ⊂Y,XR 2.


DEFINICIÓN 6.2.2Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua. La función de densidad de probabilidad conjunta asociada a la variable aleatoria (X, Y), es la función integrable f: Y,XR → + que satisfacen las siguientes

propiedades:(a)

YXf , ( x,y ) ≥ 0, ∀ ( x,y ) ∈ Y,XR

(b) ∫ ∫∞

∞−

∞

∞− YXf , ( x,y ) dx dy =1 ( o ∫ ∫∞

∞−

∞

∞− YXf , ( x,y ) dy dx =1 )

La probabilidad de un evento A definido en el plano XY, está dado por:

P [(X, Y) ∈ A ] = ∫∫A

YXf , (x.y) dx dy

Si 1 y 2 son conjuntos de números reales, entonces tomando como

A = 1 x 2 = (x, y) / x ∈ 1 ∧ y ∈ x 2 ,tenemos

P [ X ∈ 1 , Y ∈ x 2 ] = ∫ ∫2 1

,

R R

YXf (x,y) dx dy

En particular, si RX, Y = (x,y) / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , tenemos

P [ a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤d] = f X Ya

b

c

d

,∫∫ dx dy.

DEFINICIÓN 6.2.3Si (X, Y) es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad conjunta YXf , (x, y). La función de distribución acumulada de

(X, Y) es:

FX Y, (x, y) = P [ X ≤ x, Y ≤ y ] = f X Y

yx

,−∞−∞ ∫∫ (x, y) dy dx.

Se cumple que YXf , ( x, y) =

( )∂

∂ ∂

2F x y

x y

X Y, ,; siempre que FX Y, sea una

función absolutamente continua.DEFINICION 6.2.4

Si ( )X Y, es una variable aleatoria continua con función de densidad de

probabilidad conjunta f X Y. (x, y), entonces:a) La función de densidad marginal para X es:

( )Xf x = ( )¥

X,Y-¥

f x, y dy∫ ; − ∞ < < ∞x .

b) La función de densidad marginal para Y es:

( ) ( )∫ − ∞ < < ∞

( ) [ ]≤ [ ]≤ ≤ ∞ ( )∫

( ) [ ]≤ [ ]≤ ∞ ≤ ( )∫

( ) ( ) ≤ ≤ ≤ ≤

[ ]≤

[ ]≤ ≤

[ ]

( )∫ ∫

( )∫ ∫ ( )∫ ∫

∫

∫

+

− +

−

[ ]≤ ( )∫ ∫ ∫

∫

→

≥ ∀ ∈

∫ ∫∞

∞−

∞

∞− ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

[ ∈ ] ∫∫

∈ ∧ ∈

[ ∈ ∈ ] ∫ ∫≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ∫∫

≤ ≤−∞−∞ ∫∫

( )∂

∂ ∂

( )

( ) ( )∫ − ∞ < < ∞


( )Yf y = ( )¥

X,Y-¥

f x, y dx∫ ; − ∞ < < ∞y .

c) Las distribuciones acumuladas marginales de X e Y están dadas por:

( )XF x = [ ]P X x≤ = [ ]P X x,Y≤ ≤ ∞ = ( )x

X-¥

f x dx∫

( )YF y = [ ]P Y y≤ = [ ]P X ,Y y≤ ∞ ≤ = ( )y

Y-¥

f y dy∫EJEMPLOS 6.2.1.-Si dos variables aleatorias tienen la siguiente densidad conjunta:

( )X,Yf x, y =( )2 2k x + y , 0 x 2 , 1 y 4

o , en otros casos

≤ ≤ ≤ ≤

Determinar:a) kb) P [ ]1 < X < 2, 2 < Y 3≤

c) [ ]P 1 X 2≤ ≤

d) [ ]P X+ Y > 4

SOLUCION:

a) Como ( )¥ ¥

X,Y-¥ -¥

f x, y dxdy∫ ∫ = 1, entonces

( )¥ ¥

X,Y-¥ -¥

f x, y dxdy∫ ∫ = ( )4 2

2 2

1 0

k x + y dxdy∫ ∫ =24 3

2

1 0

xk + xy dy

3

∫

= k 4

2

1

8+ 2 y dy

3 ∫ = k

43

1

8 2y+ y

3 3

= k 323

1283

83

23

+

− +

= k

1603

103

−

= 50 k = 1, de

donde k = 1

50.

b) P [ ]1 < X < 2, 2 < Y 3≤ = ( )3 2

2 2

2 1

1x + y dxdy

50∫ ∫

=23 3

2

2 1

1 x+ xy dy

50 3

∫ =

32 2

2

1 8 1+ 2 y - + y dy

50 3 3

∫


=3 3

2

2

1 7 1 7 y+ y dy = y+

50 3 50 3 3

∫ =

32

2

1 7+ y dy

50 3 ∫

=33

2

1 7 y+

50 3 3

=1

50( )7 9

143

83

+ − +

=1

5016

223

−

=

2650 3

1375×

= .

c) [ ]P 1 X 2≤ ≤ = P [ ]1 X 2, - < Y <≤ ≤ ∞ ∞

= ( )2 ¥

X,Y1 -¥

f x, y dydx∫ ∫ = ( )2 4

2 2

1 1

1x + y dydx

50∫ ∫

=1

50

42 32

1 1

yx y+ dx

3

∫ =

150

22

1

633x + dx

3 ∫

=1

50

23

1

63x + x

3

=1

508

1263

1633

+

− +

=1

507

633

+

=

84150

=1425

.

d) El conjunto de puntos R = (x, y) / (x,y)∈ Y,XR , para los

cuales ( )X,Yf x, y 0≥ se muestra en el gráfico 1.

El subconjunto S de R, donde x + y > 4, se muestra en el siguiente gráfico 2.

Luego

[ ]P X+ Y > 4 = ( )X,YS

f x, y dxdy∫∫

( )∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ==+−

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

∈

≥

∫

∫

1 ( )+ − +

1−

13×

=

[ ]≤ ≤ [ ]≤ ≤ ∞ ∞

( )∫ ∫ ( )∫ ∫1

∫

1 ∫

1

1+

− +

1+

14

∈

( ) ≥

[ ] ( )∫∫


= ( )2 4

2 2

0 4-x

1x + y dydx

50∫ ∫ =1

50

42 32

0 4-x

yx y+ dx

3

∫

=1

50

2 32 2 3

0

64 (4 - x)4 x + - 4 x + x - dx

3 3

∫

=1

50

2 3 2

0

4 x -12 x + 48xdx

3

∫

24 3 2

0

1= x - 4 x + 24 x

150

= ( )15

8

150

80963216

150

1==+−

6.2.2.-Una compañía dulcera distribuye cajas de chocolates con una mezcla de tres tipos de chocolate: cremas, de chiclosas y envinados. Supongamos que el peso de cada caja es de un kilogramo, pero los pesos individuales de las cremas, de las chiclosas y de las envinadas varían de una caja a otra. Para una caja elegida al azar, X e Y representan los pesos de las cremas y de las chiclosas, respectivamente y supongamos que la función de densidad conjunta de estas variables está dada por:

X,Y

24 xy, 0 x y 0 y 1, x+ y 1f (x, y) =

0, en otro caso

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

a) Hallar la probabilidad de que en una caja determinada el peso de los chocolates envinados es más de ½ del peso total.

b) Encuentre la densidad marginal para el peso de las cremas.c) Determinar la densidad marginal para el peso de las chiclosas.d) Hallar FX Y, (½, ½)

e) Hallar la probabilidad de que en una caja determinada el peso de los chocolates chiclosas sea menor o igual ¾ del peso total.

SOLUCION:a) Si representamos por Z el peso de los chocolates envinados y como

en una caja de chocolates hay los tres tipos de chocolates; entonces se tiene que: X +Y + Z = 1 y de donde Z = 1-(X+Y) y como queremos hallar P [ Z > ½], es equivalente hallar P [ 1 - (X + Y) > ½ ] = P [ X + Y < ½ ]. Como el conjunto de puntos R= ( x, y) / (x, y)∈ Y,XR , para las cuales

X,YF (x, y) ≥ 0, se muestra en el siguiente gráfico. También el

subconjunto S de R, donde X + Y < ½, se muestra en el siguiente gráfico:


Luego:

P X Y+ <

12

= ( )f x y dydxX YS

, ,∫∫ = 2400

12

12

xydydx

x−

∫∫

= 24 xy

dx

2

0

1 2

0 2

12

∫

/

=12 x xx

dx3 2

0 4

12

− +

∫

=12x x x

4 3 2

0

1 2

4 3 8− +

/

= 12 1

641

241

32− +

=12192

=1

16.

b) Xf (x) =¥

X,Y-¥

f (x, y)dy∫ ; − ∞ < < ∞x

=1-x

0

24 xydy∫ =1-x2

0

y24 x

2

= 12 x ( )21- x ; 0 x 1≤ ≤

Luego:

Xf (x) = ( )212 x 1- x ; 0 x 1

0 ; en otro caso

≤ ≤

c) Yf (y) =¥

X,Y-¥

f (x, y)dx∫ ; y−∞ < < ∞

=1

0

24 xydxy−

∫ =12

0

x24 y

2

y−

=12 y ( )21 y− ; 0 y 1≤ ≤

Luego:

( ) ≤ ≤

≤ ≤ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

≤ ∫

≤ ∫ ∫

− +

( )( )

( ) ( )∫ ∫ ∫( )

+ <

( )∫∫−

∫∫

∫ − +

∫

− +

− +

1

) ∫ − ∞ < < ∞

∫

( ) x 1≤ ≤

) ( ) ≤ ≤

y) ∫ −∞ < < ∞

−

∫−

( )− y 1≤ ≤


Yf (y) = ( )212 y 1- y ; 0 y 1

0 ; en otro caso

≤ ≤

d) X,Y

1 1F ,

2 2

=1 1

P X ,Y2 2

≤ ≤ =

1 12 2

X,Y-¥ -¥

f (x, y)dxdy∫ ∫

=

1 12 2

0 0

24 xydxdy∫ ∫ = 24

12

1/22

0 0

xy dy

2

∫ = 3

12

0

ydy∫

= 31/22

0

y

2

=38

.

e) Deseamos calcular:

3P Y

4 ≤

= Y

3F

4

=

34

Y-¥

f (y)dy∫y como por c) tenemos calculado f yY ( ) . Entonces

3P Y

4 ≤

=

34

2

0

12 y(1- y) dy∫ = 12

34

2 3

0

(y- 2 y + y )dy∫

= 12 3/42 3 4

0

y 2 y y- +

2 3 4

=12 932

932

811024

− +

=

243256

.

Ahora presentamos la generalización de distribuciones acumuladas para varias variables continuas, tal como indicamos anteriormente, también presentaremos conceptos de función de distribución condicionada y densidad de las funciones de varias variables.DEFINICION 6.2.5Se dice que las variables aleatorias continuas: 1 2 nX ,X ,...,X , tienen

distribución acumulada, cuando existe una función ( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nf x , x ,..., x

tal que, cualquiera que sea la n-upla de número reales ( )1 2 nx , x ,..., x se

verifica la igualdad:

( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nF x , x ,..., x = ( )

1 2 n

1 2 N

x x x

X ,X ,...,X 1 2 n 1 2 n-¥ -¥ -¥

... f t , t ,..., t dt dt ...dt∫ ∫ ∫La función ( )

1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nf x , x ,..., x de la definición es la función de

densidad de probabilidad conjunta o simplemente función de densidad conjunta de las n variables aleatorias continuas: 1 2 nX ,X ,...,X .


Por el teorema fundamental del cálculo integral, para el caso de varias variables, en todo punto ( )1 2 nx , x ,..., x del espacio euclidiano n-

dimensional, donde ( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nf x , x ,..., x sea continua, se cumple que:

n

1 2 nx x ... x

∂∂ ∂ ∂

( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nF x , x ,..., x = ( )

1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nf x , x ,..., x

Es de observar que la función de densidad conjunta de las variables aleatorias: 1 2 nX ,X ,...,X satisfacen las siguientes condiciones:

a) ( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nf x , x ,..., x ≥ 0, para todo ( )1 2 nx , x ,..., x .

b) ( ) n21n21X,...,X,X dt...dtdtt,...,t,tf...n21∫ ∫ ∫

∞

∞− ∞−

∞

∞−

∞

= 1.

Presentaremos a continuación un teorema que no será generalizado por escapar del contenido del curso.TEOREMA 6.2.1Si 1 2 3X ,X ,X son variables aleatorias continuas que tiene una distribución

acumulada, entonces las variables aleatorias continuas X1 y X 3 también tienen una distribución acumulada; donde la función de densidad conjunta está dada por:

( )1 3X ,X 1 3f x , x = ( )

1 2 3

¥

X ,X ,X 1 2 3 2-¥

f x , x , x dx∫DEMOSTRACION:Por la propiedad 4.5.7, la definición de densidad, y las propiedades usuales de la integral, tenemos:

( )1 3X ,X 1 3F x , x = ( )

1 2 32

X ,X ,X 1 2 3xlim F x , x , x→∞

= ( )3 2 1

1 2 32

x x x

X ,X ,X 1 2 3 1 2 3x- - -

lim f t , t , t dt dt dt→∞

∞ ∞ ∞∫ ∫ ∫

= ( )3 1 2

1 2 32

x x x

X ,X ,X 1 2 3 2 1 3x- - -

lim f t , t , t dt dt dt→∞

∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫

= ( )3 1

1 2 3X ,X ,X 1 2 3 2 1 3-

f t , t , t dt dt dtx x ∞

−∞ −∞ ∞

∫ ∫ ∫Por otro lado, se tiene:

1 3X X 1 3F , (x , x ) =3 1

1 3X ,X 1 3 1 3f (t , t )dt dtx x

−∞ −∞∫ ∫

( ) ( )∞

−∞∫

( ) ( )∞

−∞∫

( )

( )

( )∞

−∞∫

( )∫

( )∫

( )( )

∂∂ ∂ ∂

( ) ( )

( ) ≥ ( )

( )∫ ∫ ∫∞

∞− ∞−

∞

∞−

∞

( ) ( )∫

( ) ( )→∞

( )→∞

∞ ∞ ∞∫ ∫ ∫

( )→∞

∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫

( )∞

−∞ −∞ ∞

∫ ∫ ∫

)−∞ −∞∫ ∫


Por lo tanto: ( )1 3X ,X 1 3f x , x = ( )

1 2 3X ,X ,X 1 2 3 2f x , x , x dx∞

−∞∫ ,

que demuestra el teorema.DEFINICION 6.2.6

La función de densidad conjunta ( )1 3X ,X 1 3f x , x = ( )

1 2 3X ,X ,X 1 2 3 2f x , x , x dx∞

−∞∫ , se

llama “marginal” o “densidad marginal” de la función de densidad conjunta ( )

1 2 3X ,X ,X 1 2 3f x , x , x .

En general, cuando se pretende encontrar una función de densidad marginal de un cierto número (finito) de varias variables aleatorias y sea conocida una función de densidad para un conjunto (finito) de variables aleatorias que incluye aquel; debe integrarse respecto a las variables extrañas; la definición 6.2.4 a) y b) son casos particulares de lo que afirmamos, como se ve en el siguiente ejemplo.EJEMPLO6.2.3.-Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias con una función de

densidad conjunta definida por:

X,Yf (x, y) =( )22 x+ y- 3xy , 0 < x < 1, 0 < y < 1


Deseamos hallar las funciones de densidad marginal para X e Y. Por el teorema que acabamos de demostrar se obtiene:a) La marginal para X es

Xf (x) = ( )22 x+ y- 3xy dy∞

−∞∫ ; de donde

Xf (x) = ( )1

2

0

2 x+ y- 3xy dy∫ =1 , 0 < x < 1


.

b) La marginal para Y, análogamente que a) se tiene:

Yf (y) = ( )1

2

0

2 x+ y- 3xy dx∫ =21+ 2 y- 3y , 0 < x < 1


Cuando las variables aleatorias continuas tienen una distribución conjunta, es fácil establecer si son independientes. Esto es lo que destacaremos en el siguiente teorema.


TEOREMA 6.2.2Si 1 2 nX ,X ,...,X son variables aleatorias continuas que tienen una distribución conjunta, la condición necesaria y suficiente para que sean independientes es que la función de densidad conjunta de 1 2 nX ,X ,...,X sea

( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nf x , x ,..., x =

j

n

X jj 1

f (x )=∏

DEMOSTRACION:Probaremos la condición suficiente, para esto supongamos que

( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nf x , x ,..., x =

j

n

X jj 1

f (x )=∏ , pero

( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nF x , x ,..., x = ( )

1 2 n

1 2 N

x x x

X ,X ,...,X 1 2 n 1 2 n- - -

... f t , t ,..., t dt dt ...dt∞ ∞ ∞∫ ∫ ∫

entonces

( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nF x , x ,..., x = ( )

1 n

j

x x n

X j jj=1- -

... f t dt∞ ∞

∏∫ ∫ =

j

j

xn

X j jj=1 -

f (t )dt∞

∏∫

=j

n

X jj=1

F (x )∏ .

La independencia de 1 2 nX ,X ,...,X se deduce de aquí, según el teorema 4.5.1.

Probaremos la condición necesaria, suponiendo que las variables aleatorias son independientes, encontramos que para todo ( )1 2 nx , x ,..., x se

tiene:

( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nF x , x ,..., x =

j

n

X jj=1

F (x )∏ =j

j

xn

X j jj=1 -

f (t )dt∞

∏∫

= ( )1 n

j

x x n

X j 1 nj=1- -

... f t dt ,...dt∞ ∞

∏∫ ∫

Por la propia definición de función de densidad conjunta el integrando de la última integral múltiple, es una función de densidad conjunta; con lo que queda demostrado el teorema.

El resto de esta sección se dedicará al estudio de las distribuciones condicionadas de variables aleatorias continuas que son de mucha valía para estudios de probabilidades y estadística; para el caso de variables aleatorias discretas vimos en la sección 5.2.

( ) [ ] [ ] ε→

≤ ε ≤ ε

( )( )

( ) ( )∞∫

>

( )

( ) [ ] [ ] ε→

≤ ε ≤ ε

[ ][ ] [ ]ε→

≤ ε ≤ ε

ε ≤ ε

( )ε→

∈ ∞ ∈ ε ε

( )

ε

∞ εεε→

ε

∫ ∫

∫

( )=∏

( )=∏

( ) ( )∞ ∞ ∞∫ ∫ ∫

( ) ( )∞ ∞

∏∫ ∫

∞∏∫

∏

( )

( ) ∏∞

∏∫

( )∞ ∞

∏∫ ∫


DEFINICION 6.2.7La función de distribución condicionada de una variable aleatoria X, con la condición de que otra variable aleatoria Y tome el valor y, Y = y, está dada por

( )X YF x y = [ ] [ ] +0

limP X x y- < Y y+ε→

≤ ε ≤ ε

suponiendo que ese límite exista.Si ( )X YF x y existe, diremos que una función de densidad condicionada

de X para Y dada, es una función ( )X Yf x y ; tal que, para todo número real x

se tiene la igualdad

( )X YF x y = ( )x

X Y-

f t y dt∞∫

TEOREMA 6.2.3Si X, Y son dos variables aleatorias continuas, que tienen una distribución conjunta, entonces, en todo punto (x , y) en el que X,Yf (x, y) sea continua y,

además, sea Yf (y) 0> y continua, existe una función de densidad condicionada de X, dada Y, que puede escribirse como sigue :

( )X Yf x y = X,Y

Y

f (x, y)

f (y)DEMOSTRACION:Por la definición de función de distribución condicionada de probabilidad condicionada se tiene:

( )X YF x y = [ ] [ ] +0

limP X x y- < Y y+ε→

≤ ε ≤ ε

=[ ][ ]

[ ]+0

P X x y- < Y y+lim

P y- < Y y+ε→

≤ ε ≤ ε

ε ≤ ε; pero

( )X YF x y =+

X,Y

0Y

F (u, v)lim

F (v)ε→; donde u ∈ (- ∞ , x) y v ∈ ( y - ε , y + ε)

luego por definición de funciones de distribución se obtiene:

( )X YF x y =+

y+x

X,Yu=- v=y-

y+0

Yv=y-

f (u, v)dudv

lim

f (v)dv

ε

∞ εεε→

ε

∫ ∫

∫similarmente


( )X YF x y =

y

X,Y0

u v=y

Y0

v=y

1lim f (u, v)dv du

2

1lim f (v)dv

2

x

y

+

+

+ε

ε→=−∞ −ε

+ε

ε→−ε

ε

ε

∫ ∫

∫Pero

Y0

1lim f (v)dv

2

y

y+

+ε

ε→−εε ∫ = Yf (y) ; dado que Y

0

1lim f (v)dv

2

y

y+

+ε

ε→−εε ∫ - Yf (y) =0 o

Y0

1lim f (v)dv

2

y

y+

+ε

ε→−εε ∫ - Y

0lim f (y)

+ε→= 0, Y Y

0

1lim f (v)dv- f (y)

2

y

y+

+ε

ε→−ε

ε ∫ =0 o

( )Y Y0

1lim f (v) - f (y) dv

2

y

y+

+ε

ε→−εε ∫ = 0,

cuya prueba se encuentra en [ ]1 tomo I, página 249 y 250.En forma similar y generalizada se obtiene que:

X,Y0

1lim f (u, v)dv

2

y

y+

+ε

ε→−εε ∫ = X,Yf (u, v)

Por tanto:

( )X YF x y =X,Y

Y

f (u, y)du

f (y)

x

u=−∞∫

= ( )X,Y Yf (u, y) f (y) dux

−∞∫

y como ( )X YF x y = X Yf (u y)dux

−∞∫ ⇒ ( )X Yf x y = X,Y

Y

f (x, y)

f (y),

que completa la demostración.En forma similar se demuestra que:

( )Y Xf y x = X,Y

X

f (x, y)

f (x)Así mismo, para varias variables se sigue, por generalización del teorema

6.2.3 como, por ejemplo:

( )X,Y Zf x, y z = X,Y,Z

Z

f (x, y, z)

f (z), etc.

EJEMPLOS6.2.4.- Supongamos que U y V son dos variables aleatorias continuas que

tienen una distribución conjunta con densidad

≤

≤ π

( )

− −

( )+ < < < <

∞

−∞∫ ∫

( )

( )

( )+

+

+ε

ε→=−∞ −ε

+ε

ε→−ε

ε

ε

∫ ∫

∫

+

+ε

ε→−εε ∫ y)

+

+ε

ε→−εε ∫ y)

+

+ε

ε→−εε ∫ y)

+ε→ +

+ε

ε→−ε

ε ∫

( )+

+ε

ε→−εε ∫

[ ]1

+

+ε

ε→−εε ∫ v)

( ) =−∞∫

( )−∞∫

( )−∞∫ ⇒ ( )

y)

( )y)

( ))


U,Vf (u, v) =2 21

, u + v 1p


≤

Entonces la densidad marginal para U es

Uf (u) =

22 1- u, -1 < u 1


≤ π

Así, la densidad condicional de V, dado U = u, es:

( )V Uf v u = U,V

U

f (u, v)

f (u)=

2

1

2 1- u, donde

- 21 u− < v < 21 u− , -1 < u < 1.6.2.5.-Si la función de densidad conjunta de las variables aleatorias X e Y está

dada por:

X,Yf (x, y) = ( )37

2 0 1 0 2

0

2x xy x y+ < < < <

, ,

, en otro casoa) Hallar la densidad marginal de X.

b) Calcular 1 1

P Y > X <2 2

.

c) Hallar la distribución acumulada de X e Y.SOLUCION:a) Por definición,

Xf (x) = X,Yf (x, y)dy∞

−∞∫ =

22

0

3(2x + xy)dy

7∫

=37

222

0

xy2x y+

2

=67 ( )22x + x

Entonces: Xf (x) =( )262x + x , 0 < x < 1

70 , en otro caso


b) 1 1

P Y > X <2 2

=

1 1P X < ,Y >

2 21

P X <2

=

12

12

12

2

X,Y0

X0

f (x, y)dydx

f (x)dx

∫ ∫

∫=

12

12

12

22

0

2

0

3(2x + xy)dydx

7

6(2x + x)dx

7

∫ ∫

∫

=

12

222

0 1/ 21/ 23 2

0

3 xy2x y+ dx

7 2

6 2x x+

7 3 2

∫=

12

12

2

0

15x3x + dx

8524

∫

=125

x x3 2

0

1 21516

+

/

=125

18

1564

+

=

6980

.

c) La distribución acumulada de X e Y es:

X,YF (x, y) =yx

X,Y- -

f (x, y)dydx∞ ∞∫ ∫ =

yx2

0 0

3(2x + xy)dydx

7∫ ∫

=37

yx 22

0 0

xy2x y+ dx

2

∫ =

37

x 22

0

xy2x y+ dx

2

∫

=37

2 232 x y

x y+3 4

= 23x y(8x+ 3y)

84; 0<x<1, 0<y<2

Es decir

X,YF (x, y) = ( )2

0 , x 0, y 0

3x y 8x+ 3y , 0 < x < 1, 0 < y < 2

841 , x 1, y 2

≤ ≤

≥ ≥

[ ][ ]

∞

−∞∫

∞

∫∞

∞

−∞∫

∞

∫∞

∀

( )( )

[ ] ( )∫ ∫

1 1

1 1

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫ 1 ∫

12 2

+

12+

69

y)∞ ∞∫ ∫ ∫ ∫

3 ∫

3 ∫

3

y) ( )

≤ ≤

≥ ≥


6.2.6.-Si X e Y representan las duraciones, en años, de dos componentes en un sistema electrónico. Si la función de densidad conjunta de estas variables es:

X,Yf (x, y) =- (x+y)e , x > 0, y > 0

0 , en cualquier otro caso

a) Determinar las funciones de densidad marginal para ambas variables aleatorias.

b) Determinar si X e Y son independientes.

c) Calcular [ ]P 1 < Y < 3 X = 2 .

d) Calcular [ ]P 0 < X < 1 Y = 2 .

SOLUCION:a) Por definición:

i) Xf (x) = X,Yf (x, y)dy∞

−∞∫ = -(x+y)

0

e dy∞

∫= -(x+y)

0-e

∞ = - xe

Luego, la función de densidad marginal para X es:

Xf (x) =- xe , x > 0

0 , en otro caso

ii) Yf (y) = X,Yf (x, y)dx∞

−∞∫ = -(x+y)

0

e dx∞

∫ = -(x+y)

0-e

∞ = - ye

Luego la función de densidad marginal para Y es:

Yf (y) =- ye , y > 0

0 , en otro caso

b) Como

X,Yf (x, y) = -(x+y)e = - xe - ye = Xf (x) Yf (y) , ∀ (x , y).

Entonces, afirmamos que X e Y son independientes.c) Para x > 0, y > 0, tenemos:

( )Y Xf y x = X,Y

X

f (x, y)

f (x)=

( )- x+y

- x

e

e= - ye

Luego:

[ ]P 1 < Y < 3 X = 2 = ( )3

Y X1

f y x dy∫ =3

- y

1

e dy∫ =3- y

1-e


= - e−3 + e

−1 =3

1 1-

e e≅ − − ≅0 3680 0 0498 0 3182( . ) . .

d) Para x > 0, y > 0, tenemos

( )X/ Yf x/ y = X,Y

Y

f (x, y)

f (y)=

( )- x+y

- y

e

e= - xe

luego,

[ ]P 0 < X < 1 Y = 2 = ( )1

X Y0

f x y dx∫ =1

- x

0

e dx∫ =1- x

0-e

= - e−1 + e

0 = 1 - e−1 = 1 -

1e

≅ − ≅1 0 3680 0 632. . .

6.2.7.-La función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X, Y, Z es

( )f x, y,z =

24xyz, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 3


Hallar:a) La función de densidad marginal conjunta de Y y Z.b) La densidad marginal de Y.

c) 1 1 1

P < X < , Y > , 1 < Z < 24 2 3

d) 1 1

P 0 < X < Y = , Z = 22 4

e) [ ]P X > 0, Z < 2 Y = 1SOLUCION:a) Por definición,

Y,Zf (y,z) = X,Y,Zf (x, y,z)dx∞

−∞∫ =

1 2

0

4xyzdx

9∫

=

122

0

4 xyz

9 2

= 22yz

9;

Luego, la función de densidad marginal conjunta de Y y Z es:

∞

−∞∫ ∫

( )∞

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

××

( )

( )∫

∫

− − 1 1≅ − − ≅ 3182

( ) y) ( )

[ ] ( )∫ ∫

− − 1≅ − ≅ 632

( )

[ ]

z)∞

−∞∫ ∫


Y,Zf (y,z) =

22 yz, 0 < y < 1, 0 < z < 3


b) De a) y aplicando la definición tenemos:

Yf (y) = Y,Zf (y,z)dz∞

−∞∫ =

32

0

2yz dz

9∫ =33

0

2yz = 2 y

27

Luego, la función de densidad marginal de Y es:

Yf (y) =2 y , 0 < y < 1


c) 1 1 1

P < X < , Y > , 1 < Z < 24 2 3

= ( )12

1 14 3

2

X,Y,Z1

f x, y,z dzdydx∞

∫ ∫ ∫

=

12

1 14 3

1 2 2

1

4xyzdzdydx

9∫ ∫ ∫ =

12

1 14 3

213

1

4xyz dydx

27 ∫ ∫ =

12

1 14 3

1 28xydydx

27∫ ∫

=

12

1134

1214

xy dx27 ∫ =

12

14

112x dx

243∫ =1/ 2

2

1/ 4

56x

243

=56 3

243 16××

=7

162.

d) Para 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 3, tenemos

( )X/ Y,Zf x/ y,z = X,Y,Z

Y,Z

f (x, y,z)

f (y,z)=

2

2

4xyz

92

yz9

= 2 x

Luego,

1 1P 0 < X < Y = , Z = 2

2 4

= ( )12

X Y,Z0

f x y,z dx∫

=

12

0

2xdx∫ =1/ 22

0x =

14

.

e) Para 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 3, tenemos:


( )X,Z Yf x,z y = X,Y,Z

Y

f (x, y,z)

f (y)=

24xyz

92 y

= 22xz

9Luego,

[ ]P X > 0, Z < 2 Y = 1 = ∫ ∫1

0

2

0

2dzdxxz92

= ∫

1

0

2

0

3 dxxz272

= ∫1

0xdx

2716

=1

0

2x278

=278

6. 3. DENSIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS

Consideremos n variables aleatorias continuas: 1X , 2X , …, nX que

tienen una distribución conjunta. Muchas veces se presenta la necesidad de calcular una función de densidad para una variable aleatoria Y que está en función de: 1X , 2X , …, nX ; tales como, Y puede ser la suma de esas n

variables aleatorias, o la suma de sus cuadrados, o la razón entre 1X y 2X .

En esta sección se explica la técnica adecuada para obtener una densidad de las variables Y de este tipo. Para tal fin estableceremos dos teoremas cuyas demostraciones omitimos:TEOREMA 6.3.1Sean 1X , 2X , …, nX , n variables aleatorias continuas que tienen

distribución conjunta. Sea 1u = 1u ( )1 nx ,..., x , … , nu = nu ( )1 nx ,..., x una

función continua del espacio euclidiano n-dimensional, ( )E

n , en sí mismo.

Sea T ⊂ ( )E

n definido por:T = ( ) ( ) ( ) 1 n 1 1 n 1 n 1 n nx ,..., x / u x ,..., x a ,...,u x ,..., x a≤ ≤

en donde 1 na ,...,a son constantes, entonces

( )1 nP X ,...,X T∈ = ( )1 nX ,...,X 1 n 1 n

T

.. ... f x ,..., x dx ...dx∫ ∫ ∫El caso más general de este teorema, que será utilizado en lo que sigue,

se enuncia así:

Si T es un subconjunto del espacio ( )E

n , con la condición de que

( ) 1 nw/ X (w),...,X (w) T∈ = ( )1 nX ,...,X T∈ ∈ A(es decir, es un evento), se tiene

( )∈ ( )∫ ∫ ∫

( ) ≤ ≤

≤ ≤ ( )( ) ( )

( ) ( )

∂∂

≤ ≤ ≤ ≤

( )( )

∂∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

( )∈( ) ( ) ≤ ≤ ≤ ≤

( )∫ ∫ ( ) ( )( )∫ ∫

= θ

( ))

[ ] ∫ ∫ ∫

∫

( ) ( )( )

⊂ ( )

( ) ( ) ( ) ≤ ≤

( )∈ ( )∫ ∫ ∫

( )

( ) ∈ ( )∈ ∈ A


( )1 nP X ,...,X T∈ = ( )1 nX ,...,X 1 n 1 n

T

.. ... f x ,..., x dx ...dx∫ ∫ ∫siempre que exista la integral de la derecha.TEOREMA 6.3.2

Sea H ( )1 nx ,..., x una función multivariable real con 1 1 1a x b≤ ≤ , …,

n n na x b≤ ≤ , supongamos que: ( )1 1 1 nu = u x ,..., x , … ,

( )n n 1 nu = u x ,..., x sea una aplicación uno a uno de ( )E

n sobre sí mismo, es

decir, que sobre el rango de esta transformación está definida la

transformación inversa: ( )1 1 1 nx = x u ,...,u , …, ( )n n 1 nx = x u ,...,u .

Supongamos que ambas transformaciones son continuas; en tercer lugar,

supongamos que existen y son continuas las 2n derivadas parciales i

j

x

u

∂∂

con

1 i n, 1 j n≤ ≤ ≤ ≤ . Finalmente, supongamos que el determinante Jacobiano:

J = ( )( )

1 n

1 n

x ,..., x

u ,...,u

∂∂

=

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

x x x...

u u u

x x x...

u u u

. . .

. . .

. . .

x x x...

u u u

n

n

n n n

n

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

no se anule para ningún ( )1 nu ,...,u ∈ R, donde

R = ( ) ( ) 1 n i i 1 n iu ,...,u / a x u ,...,u b ;1 i n≤ ≤ ≤ ≤Con estas hipótesis es válido la fórmula:

( )1 n

1 n

b b

1 n 1 na a

... H x ,..., x dx ...dx∫ ∫ = ( ) ( )( )1 1 n n 1 n 1 nR

.. . H x u ,...,u ,..., x u ,...,u J du ...du∫ ∫Esta fórmula, es la llamada fórmula para el cambio de variable en las

integrales múltiples. Resulta familiar esta fórmula aplicada al caso particular de las coordenadas polares, donde n = 2, 1u = r , 2u = θ , 1x = x , 2x = y ;


x = r cosθ , y = rsenθ ; por consiguiente: x

r

∂∂

= cosθ ,x

rsen∂

= − θ∂θ

,

ysen

r

∂= θ

∂,

yr cos

∂= θ

∂θ. El Jacobiano es

J = ( )( )x, y

r,

∂∂ θ

=cos rsen

sen r cos

θ − θθ θ

= r

de donde

( )1 2

1 2

b b

a a

H x, y dxdy∫ ∫ = ( )∫ θθθ∫ rdrdsenr,cosrHR

en donde R = ( ) 1 1 2 2r, / a rcos b ,a rsen bθ ≤ θ ≤ ≤ θ ≤ . Que es la fórmula

conocida para el paso de las integrales dobles a coordenadas polares.Pasamos ahora a establecer el teorema básico de esta sección.

TEOREMA 6.3.3Sean 1X , 2X , …, nX , n variables aleatorias continuas con una distribución

conjunta. Sea ( )1 1 1 nu = u x ,..., x , … , ( )n n 1 nu = u x ,..., x una aplicación

del espacio euclidiano ( )E

n en sí mismo, que satisface a las condiciones exigidas en el teorema del cambio de variables en las integrales múltiples. Sea

i i 1 nU = u (X ,...,X ) , 1 i n≤ ≤ . Entonces 1 nU ,...,U tienen una distribución

conjunta continua y

( )1 nU ,...,U 1 nf u ,...,u = ( ) ( )( )

1 nX ,...,X 1 1 n n 1 nf x u ,...,u ,..., x u ,...,u J ; donde:

J = ( )( )

1 n

1 n

x ,...x

u ,...,u

∂∂

DEMOSTRACION:

Para ( )1 nv ,..., v ∈ ( )E

n sea R = ( ) ( ) 1 n i 1 n ix ,..., x / u x ,..., x v ,1 i n≤ ≤ ≤Por los dos teoremas formulados anteriormente, se tiene

( )1 nU ,..,U 1 nF v ,.., v = ( )1 nP X ,..,X R∈ = ( )

1 nX ,..,X 1 n 1 nR

. .. f x ,.., x dx ..dx.∫ ∫

= ( ) ( )( )1

1 nX ,...,X 1 1 n n 1 n 1 n... f x u ,...,u ,..., x u ,...,u J du ...dunv v

−∞ −∞∫ ∫

Por otro lado

( ) ( )−∞ −∞∫ ∫

( ) ( ) ( )( )

( )( )

∂∂

( )( )∂∂

θ θx∂

∂θ ∂

= − θ∂θ

∂= θ

∂∂

= θ∂θ

( )( )

∂∂ θ

θ − θθ θ

( )∫ ∫ ( )∫ θθθ∫

( ) θ ≤ θ ≤ ≤ θ ≤

( ) ( )( )

) n≤ ≤

( ) ( ) ( )( )( )( )∂∂

( ) ∈ ( ) ( ) ( ) ≤ ≤ ≤

( ) ( )∈ ( )∫ ∫

( ) ( )( )−∞ −∞∫ ∫


( )1 nU ,...,U 1 nF v ,..., v = ( )

1

1 nX ,...,X 1 n 1 n... f u ,...,u du ...dunv v

−∞ −∞∫ ∫

Por consiguiente

( )1 nU ,...,U 1 nf u ,...,u = ( ) ( )( )

1 nX ,...,X 1 1 n n 1 nf x u ,...,u ,..., x u ,...,u J , que

completa la demostración.EJEMPLOS6.3.1.-Supongamos

X,Yf (x, y) =4xy , 0 < x < 1, 0 < y < 1


El problema consiste en hallar una densidad de un conjunto para 2X , 2YConsideremos la transformación u = 2x , v = 2y ; o sea x = u ,

y = v ; el Jacobiano de la transformación es:

( )( )x, y

u,v

∂∂

=

10

2 u1

02 v

=1

4 uv

Por el teorema 6.3.3 se obtiene:

U,Vf (u,v) =1 , 0 < u < 1, 0 < v < 1


6.3.2.-Sea

X,Yf (x, y) =3x , 0 < y < x, 0 < x < 1


El problema consiste en hallar la densidad de Z = X - Y, para este caso consideremos la transformación z = x - y, w = y de la que se obtiene x = z + w, y = w. El Jacobiano de la transformación es:

( )( )

x, y

z,w

∂∂

=1 1

0 1= 1

Las desigualdades 0 < y < x, 0 < x < 1, son equivalentes a 0 < w < w + z, 0 < z + w <1. Estas dos implican que 0 < w < 1 - z. Por el teorema 6.2.1 se obtiene:


Zf (z) =1-z

Z,W0

f (z,w)dw∫

=1-z

0

3(z+ w)dw∫ =

2(1- z )3 , 0 < z < 1


6.3.3.-Supongamos

X,Y,Zf (x, y,z) =( )- x+y+ze , x > 0, y > 0, z > 0


,

El problema consiste en calcular una densidad de U = (X+Y+Z) / 5. Consideremos la transformación u = (x+ y+ z) / 5, v = y , w = z, de la que se obtienen, como transformaciones inversas: x = 5 u - v - w , y = v , z = w. El Jacobiano de transformación está dado por:

J = ( )( )

x, y,z

u,v,w

∂∂

=

5 1 1

0 1 0

0 0 1

−= 5

y por el teorema 6.3.3, una función de densidad conjunta de U, V, W viene dada por

U,V,Wf (u,v,w) = X,Y,Zf (x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w)) J

=-5 u5e , 5u- v- w > 0, v > 0, w > 0


Las dos desigualdades w > 0, 5u - v - w > 0, implican que0 < w < 5u - v. Así

U,Vf (u,v) =

5 u-v-5 u

0

5e dw , 5u- v > 0, v > 0


∫

Finalmente:

Uf (u) =

5 u 5 u-v-5 u 2 -5 u

0 0

125dv 5e dw = u e , u > 0

2


∫ ∫

( ) ∀ ∈

( )+ ] [∀ ∈ −

∀ ∈

≤ ≤= ≤ ≤

≤α + < ≤=

< ≤

>α

[ ]≤

[ ]≤ [ ]≤ ≤

≤

[ ]

z) ∫

∫

z)( )

( )( )∂∂

−

)

v)

∫

)

∫ ∫


EJERCICIOS1.- Determinar el valor de k, para que cada una de las siguientes funciones

de densidad:

a) f(x) = k ( )-1/ 221- x ,2

x 0,2

∀ ∈

b) f(x) = k ( )1 x+ , ] [x 1,1∀ ∈ −

c) f(x) =2

2k

1+ x, x∀ ∈

d) 4kx , si 0 x 1

f(x)k(5 - x) , si 1 x 5

≤ ≤= ≤ ≤

2.- Sea una variable aleatoria cuya función de densidad es:0 , x 0

(1 x) , 0 x 1f (x) 2

, 1 x 230 , x 2

X

≤α + < ≤=

< ≤

>a) Obtener el valor de α.b) [ ]P 0.5 < x 1.5≤

3.- Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad es:x5

-

X

ke , x > 0f (x) =


a) Determinar el valor de k.b) Calcular [ ]P X 5≤ y [ ]P 0 X 8≤ ≤ .

c) Graficar f xX ( ) .

d) Determinar F xX ( ) y graficar.4.- Si la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria está

dada por:

X

x , 0 < x < 1

f (x) = 2 - x , 1 x < 2


≤

a) Hallar [ ]P X > 1.8 .


b) Hallar [ ]P 0.4 < X < 1.6 .

c) Determinar XF (x) y graficar.

5.- Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad:

f xX ( ) = X

0 , x < 0

kx , 0 x < 500f (x) =

k(1000 - x) , 500 x < 1000

0 , x 1000

≤ ≤ ≥

a) Hallar la constante k.b) Calcular [ ]P 250 X 750≤ ≤

c) Determinar la función de distribución acumulada XF (x) y graficar.

6.- Si la función de densidad de una variable aleatoria X está dada por:

Xf (x) =

1x , si 0 x 4

80 , en otros casos

≤ ≤

a) Determinar el valor de t, tal que [ ]P X t≤ =14

b) Determinar el valor de t, tal que [ ]P X > t =12

c) Determine la función de distribución acumulada XF (x) .

7.- El tiempo en horas, que una familia ve televisión durante el día es una variable aleatoria X, con función de densidad:

Xf (x) =

kx , 0 x < 2

2k , 2 x < 6

-k(x- 8) , 6 x < 8

0 , en otros casos

≤ ≤ ≤

a) Hallar k y calcular la probabilidad de que la familia mire televisión entre 1 y 7 horas.

b) Determinar la función de distribución acumulada XF (x) .

8.- El tiempo de vida en meses de un producto perecible es una variable aleatoria continua X, con función de densidad:

Xf (x) =- mxke , x 0, m > 0

0 , x < 0

≥

=

[ ][ ]

≤

≤

[ ][ ][ ]

−−

[ ])

x)

≤ ≤ ≥

[ ]≤ ≤

)

) ≤ ≤

[ ]≤1

[ ] 1

)

)

≤ ≤ ≤

)

) ≥


a) Hallar el valor de la constante k.b) Calcular la función de distribución acumulada XF (x) .

c) Si m =14

. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto dure al

menos 4 meses?9.- Una variable aleatoria continua X, que puede tomar valores entre x = 2 y

x = 5 tiene una función de densidad: Xf (x) =2(1+ x)

27. Hallar:

a) [ ]P X < 4

b) [ ]P 3 < X < 4

c) XF (x)10.- Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos de reconstrucción

nacional que vencen después de diferentes números de años. Si la distribución acumulada de T, del número de años para el vencimiento de un bono seleccionada aleatoriamente, es:

TF (t) =

0 , t < 1

1, 1 t < 3

41

, 3 t < 523

, 5 £ t < 741 , t ³ 7

≤

≤

Hallar:a) [ ]P T = 5

b) [ ]P T > 3

c) [ ]P 1.4 < T < 6

11.- La duración en horas de un componente electrónico, es una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada es

XF (x) = 1001 ex−− , x > 0

a) Determinar la función de probabilidad de X.b) Determinar la probabilidad de que el componente trabaje más de 200

horas.


12.- La función de distribución acumulada de una variable aleatoria X está dada por:

XF (x) = 2

0 , x < 0

2x- x , 0 x < 1

1 , x 1

≤ ≥

a) Graficar XF (x) .

b) Hallar [ ]P X < 1 / 2 y [ ]P X > 3 / 4

c) Determinar Xf (x) .

13.- Si la función de distribución de una variable aleatoria X está dada por:

XF (x) = 2

41- , para x > 2

x0 , para x 2

≤

Hallar la probabilidad de que esta variable aleatoria asuma un valora) menor que 3.b) entre 4 y 5.

14.- Si la función de distribución de una variable aleatoria X está dada por:

XF (x) =2

2

0 , x < 0

x , 0 x < 1 / 2

1- 3(1- x) , 1 / 2 x < 1

1 , x 1

≤ ≤ ≥

Hallar:a) Xf (x) .

b) [ ]P 0 < X < 3 .

15.- Verifique que

XF (x) =

0 , x < -1

x+1, -1 x < 1

21 , x > 1

≤

es una función de distribución.a) Hallar la función de densidad de X.

b) Calcular 1 1

P - X2 2

≤ ≤

∀

∀ ≥

)

≤ ≥

)

[ ] [ ])

) ≤

)

≤ ≤ ≥

)

[ ]

)

≤

1 1 ≤ ≤


16.- Dada una variable aleatoria no negativa X, con función de densidad Xf ,

se define su riesgo como la función:

X (t)r = X

X

f (t)

1- F (t), t > 0∀

siendo XF la función de distribución de X.

a) Determinar la función de distribución a partir de la función de riesgo.

b) Calcular el riesgo de una variable con distribución

XF (t) = at1- e , t 0∀ ≥ , a > 0 .

17.- Si la utilidad de un distribuidor, en unidades de $1,000; en la venta de un nuevo automóvil es 2X = Y , donde X es una variable aleatoria con una función de densidad:

Xf (x) =2(1- x) , 0 < x < 1


a) Encuentre la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y.

b) Utilizando la función de densidad de Y, encuentre la probabilidad de que la utilidad sea menor a $250 en el siguiente automóvil que venda este distribuidor.

18.- El período de hospitalización en días, para pacientes que siguen un tratamiento para un cierto tipo de desorden renal, es una variable aleatoria Y = X + 4, donde X tiene la función de densidad:

Xf (x) = 3

32, x > 0

(x+ 4)

0 , en otro caso

a) Encuentre la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria Y.

b) Utilizando la función de densidad de Y, hallar la probabilidad de que el período de hospitalización para un paciente que sigue este tratamiento exceda los 8 días.

19.- Si la función de densidad conjunta de las variables aleatorias X e Y está dada por:

X,Yf (x, y) =

1, si 0 < y < x ,0 < x < 1

x0 , en caso contrario

Encontrar las densidades marginales para X e Y.


20.- Si la función de densidad conjunta de las variables aleatorias X e Y, está

dado por: X,Yf (x, y) =12

, para (x, y ) en el interior del cuadrado de

vértices ( a , a ), ( a , -a ) , ( -a , a ), ( -a , -a ) y que X,Yf (x, y) = 0, en

caso contrario.a) Hallar a.b) Encontrar la densidad marginal para X e Y.

21.- Si la función de densidad conjunta de las variables aleatorias X e Y, está dada por:

X,Yf (x, y) =

3x- y, si 1 < x < 2, 1 < y < 3

50 , en otro caso

a) Hallar la función de distribución conjunta acumulativa.b) ¿Cuál es la probabilidad conjunta de X < 3/2 y Y < 2?c) Mediante el empleo de su respuesta de a), obtener las distribuciones

acumulativas marginales de X e Y.d) Encontrar las funciones de densidad marginal de X y de Y.

22.- En función de su prioridad, un programa para computadora espera en la fila de entrada cierto tiempo, después del cual lo ejecuta el procesador central en un lapso dado. La función de densidad conjunta para los tiempos de espera y ejecución se determina por:

( )1 2f t , t =( )t1

25- +10 t

1 22e , t , t > 0

0 , en otro caso

a) Hallar la distribución conjunta acumulativa.b) Encontrar la probabilidad conjunta, de que el tiempo de espera no

sea mayor de 8 minutos y el de ejecución no sea mayor de 12 segundos.

c) Obtener las funciones de densidad marginal y deducir que estos lapsos son variables aleatorias independientes.

23.- Si la función de distribución conjunta de (X, Y) está dada por:

( )1 2 1 2

1 2X,Y 1 2 - lt - lt - l(t + t )

1 2

0 , si t < 0 o t < 0F t , t

1- e - e + e , si t 0 , t 0

= ≥ ≥

Hallar ( )X,Y 1 2f t , t .

24.- Hallar el valor de k tal que la función:

( )=

[ ] ( ) ( )≤ ≤ = −

[ ]≤≤< ( ) ( )( ) ( )

( )

[ ]≤≤≤≤

[ ]

( )

[ ]

≤

( )

[ ]

y)1

y)

y)

( )( )

( ) = ≥ ≥

( )


( )X,Y

xk , 0 < x < 1 , 1 < y < 2

yf x, y

0 , en otros casos

=

Sea una función de densidad de (X, Y).25.- Demostrar que:

[ ] ( ) ( )X,Y X,YP a < X b , Y d F b,a F a,d≤ ≤ = −(Sugerencia: Haga un dibujo)

26.- Demostrar que:[ ]dY<c,bXaP ≤≤< = ( )d,bF Y,X - ( )a,aF Y,X -

( )c,bF Y,X - ( )c,aF Y,X .

(Sugerencia: Use el problema anterior y un nuevo dibujo)27.- La función de densidad conjunta de las variables aleatorias X e Y está

dada por:

( )X,Y

4xy , 0 < x < 1 , 0 < y < 1f x, y =


Encuentrea) [ ]2/1Y1/8,4/3X0P ≤≤≤≤ ,

b) [ ]P Y > X .

28.- Dada la función de densidad conjunta

( )X,Y

6 - x- y, 0 < x < 2 , 0 < y < 4

f x, y = 80 , en otros casos

Hallar: [ ]P 1 < Y < 3 X = 2 .

29.- La cantidad de gasolina, en miles de litros, en un tanque al principio del día es una cantidad aleatoria Y, de la cual una cantidad aleatoria X se vende durante el día. Supongamos que el tanque no se rellena durante el día, de manera que x y≤ , y supongamos que la función de densidad conjunta de estas variables es:

( )X,Y

2 , 0 < x < y , 0 < y < 1f x, y =

0 , en otro caso

a) Determinar si X e Y son independientes.

b) Encuentre [ ]P 1 / 2 < X < 1 / 2 Y = 3 / 4


30.- La función de densidad conjunta de las variables aleatorias X e Y está dada por:

( )2 2

X,Y

k(x + y) , 0 y 1- xf x, y =

0 , en otro caso

≤ ≤

Determinar:a) El valor de la constante k.b) [ ]P 0 £ X £ 1 / 2

c) [ ]P Y X+1≤

d) [ ]P 0 X 1 / 2 Y = 1 / 2≤ ≤

e) [ ]P 0 Y < 1 / X = 1 / 4≤31.- Si las dos variables aleatorias tienen la densidad conjunta:

( )2

X,Y

6(x+ y ) , si 0 < x < 1, 0 < y < 1

f x, y = 50 , en caso contrario

Hallar:a) Una expresión para X Yf (X Y) , cuando 0 < y < 1.

b) Una expresión para 1X Y 2f (X ) .

c) X/ Y

1 1f ( / )

24 2.

32.- Si tres variables aleatorias tienen la densidad conjunta

( )- z

X,Y,Z

si 0 < x < 1,k(x+ y)e ,

f x, y,z = 0 < y < 2, z > 0

0 , en otros casos

a) Hallar el valor de k.b) Encontrar la probabilidad de que x < y y z > 1.c) Verifique si las tres variables son independientes.d) Verifique si dos cualesquiera de las tres variables son

independientes por partes.33.- Se ensayan dos tubos de vacío hasta que fallan. Sea X el tiempo de falla

menor y sea Y el tiempo de falla mayor. La función de densidad conjunta está dada por:

( )( )

( ) ≤

( ) ( )

( )

( ) =( )

( ) = ∑

( ) ≤ ≤

[ ][ ]≤

[ ]≤ ≤

[ ]≤

( )

)

)

1 1

( )


( )( )2 m

100 100- +

2X,Y

2e , 0 < x < y

(100)f x, y =

0 , en otros casos

a) Hallar las densidades marginales de X e Y.b) ¿Son X e Y independientes?c) Hallar la densidad condicional de Y dado X = 60.

34.- Sea

( )2 2

X,Y

9x y , 0 < x < 1 , 0 < y 1f x, y =

0 , en otros casos

≤

Con 3U = X y 3V = Y , calcular ( )U,Vf u,v y ( )Uf u .

35.- Sea

( )X,Y

3x, 0 < x < 1 , - x < y < x

f x, y = 20 , en caso cantrario

Calcular la densidad de X - Y.36.- Sea

( )1 2 3 4X ,X ,X ,X 1 2 3 4f x ,x ,x ,x =( )1 2 3 4- x +x +x +x

1 2 3 4e , si x > 0,x > 0,x > 0,x > 0

0 , en caso cantrario

Hallar la densidad de: 1 2 3 4X + X + X + X .

37.- Sea

( )1 2 3 4 5X ,X ,X ,X ,X 1 2 3 4 5f x ,x ,x ,x ,x =

5

ii=1

- x

ie , si x > 0, i = 1,2,3,4,5

0 , en caso cantrario

∑

Calcular la densidad de: 1 2 3 4 5X + X + X + X + X

5.

CAPÍTULO 7: TIPOS ESPECIALES DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS

7. 1. DISTRIBUCIONES GAMMA Y BETADEFINICION 7.1.1

La función gamma, es aquella definida por la integral: , donde

p > 0 y denotada por: ; es decir:

= , ∀ p>0.

TEOREMA 7.1.1Si p>0, entonces = p DEMOSTRACION:

Por definición: = , luego integrando por partes:

Sean: pu = x yEntonces

= =

= +

Es fácil ver que:

0 ≤ ≤

Calculando este último límite, por aplicación de la regla de L’ Hospital

veces, se obtiene:

0 ≤ ≤ 0 , o = 0

De aquí que,

= = p , ∀ p>0.

COROLARIO 7.1.1Si p ∈ , entonces =DEMOSTRACION:Demostraremos utilizando el axioma de inducción:i) Sea p = 1 por el teorema 7.1.1 se tiene

∫∞

−−

0

x1p dxex

( )pΓ

( )pΓ ∫∞

−−

0

x1p dxex

( )1p +Γ ( )pΓ

( )1p +Γ ∫∞

−

0

xp dxex

dxpxdu 1p−= dxedv x−= xev −−=

( )1p +Γ ∫ −

∞→

b

0

xp

bdxexlim

∫+− −−−

∞→

b

0

1pxxp

bdxxepexlim

( ) ]b0

xp

bexlim −

∞→− ∫

∞−−

0

x1p dxexp

bp

beblim −

∞→

[ ]

x

1p

b e

blim

+

∞→

1p +

bp

beblim −

∞→

bp

beblim −

∞→

( )1p +Γ ∫∞

−−

0

x1p dxexp ( )pΓ

( )1p +Γ !pα β

( )+Γ ( )Γ

( )Γ ∫∞

− ∫ −

∞→( )−

∞→− ( )−

∞→−

( )Γ( )+Γ ( )+Γ

( )+Γ ( )++Γ ( )+Γ

( )++Γ ( ) ( )Γ+ ( )+ ( )+( )+Γ

π=

Γ

Γ ∫

∞−−

= ( )>

Γ ∫

∞−

Γ

Γ

Γ

Γ ∫ ∫

∞ ∞−− ( )∫ ∫

∞∞+−

θ= θ=

( ) ∞<<∞<< ( )

π

<θ<∞<<θ

Γ π=∫∫ θ

∞−

π

π=

Γ

> 0

∀

≤ ≤

≤ ≤

∀

∈

∫∞

−−

( )Γ

( )Γ ∫∞

−−

( )1+Γ ( )Γ

( )1+Γ ∫∞

−

−= −= −−=

( )1+Γ ∫ −

∞→

∫+− −−−

∞→

( ) ]−

∞→− ∫

∞−−

−

∞→

[ ]+

∞→

+

−

∞→

−

∞→

( )1+Γ ∫∞

−− ( )Γ

( )1+Γ !p


= 1 Pero

= = = = = 1

Por consiguiente: = 1.

ii) Supongamos que para p = n, se cumple: = =

iii) Sea p = n +1 , entonces = =Por el teorema 7.1.1 y i) obtenemos:

= = =

Por lo tanto: = .COROLARIO 7.1.2

DEMOSTRACION:

=

Sea = , luego = 2

Como > 0, por lo que es la raíz cuadrada positiva de .

Pero = 4 = 4

Aplicando la transformación: ,El Jacobiano de esta transformación es r, y se tiene

=

Por consiguiente:

= 4 y .

DEFINICION 7.1.2Sea X una variable aleatoria continua que toma valores positivos. Decimos que X tiene una distribución gamma con parámetros α y β, si su función densidad está dada por:

( )11+Γ ( )1Γ

( )1Γ ∫∞

−

0

x0 dxex ∫ −

∞→

b

0

x

bdxelim ( )b0x

belim −

∞→− ( )b

be1lim −

∞→−

( )2Γ( )1p +Γ ( )1n +Γ !n

( )1p +Γ ( )11n ++Γ ( )2n +Γ

( )11n ++Γ ( ) ( )n1n Γ+ ( ) !n1n + ( )!1n +( )1p +Γ !p

π=

Γ

21

Γ

21

∫∞

−−

0

xdxex 21

2zx = ( )0z > dx zdz2

Γ

21

∫∞

−

0

z dze2

Γ

21

Γ

21

Γ

212

Γ

212

∫ ∫∞ ∞

−−

0 0

yx dyedxe22 ( )∫ ∫

∞∞+−

0 0

yx dxdye22

θ= cosrx θ= senry

( ) ∞<<∞<< y0,x0/y,x ( )

π

<θ<∞<<θ2

0,r0/,r

Γ

212 π=∫∫ θ

∞−

π

0

r

0rdred

22

π=

Γ

21


=

Esta distribución depende de los dos parámetros:α y β, que son números reales positivos y obviamente es la función gamma.

Mediante la función gamma; demostraremos que, en efecto dada en la definición 7.1.2, es una función de densidad de probabilidad. Para tal efecto, consideremos un cambio de variable de integración, tal que: y

, entonces:

= = =

= = 1.

La función de distribución acumulada está dada por:

= =

La distribución gamma es muy variante o versátil ya que presenta varios perfiles que dependen del valor del parámetro α. En el siguiente gráfico se presenta distintos perfiles de la función de densidad gamma para distintos valores de α y β.

Gráfica de la función gamma para distintos valores de α y β

( )xfX ( ) ( )

β

αΓβ β−−α

contrariocasoen ,0

0>xsi,ex x1

( )αΓ( )xfX

xu β=dxdu β=

( )∫∞

∞−dxxfX ( )∫

∞

0X dxxf ( ) ( )∫ β

αΓβ ∞

β−−α

0

x1 dxex ( ) ∫αΓ

∞−−α

0

u1 dueu1

( ) ( )αΓαΓ1

[ ]xXP ≤ ( )βα,;xFX ( )

∫αΓ

β β−−αα

casootroen ,0

0>xsi,dxexx

0

x1

α ≤α β α

α β

αβ

α

λβ

λβ

λλ

[ ]≤( )Γ

∫ −− ∫ − ( ) =Γ

[ ]≤ ∫ − ( )[ ]+− −

α β

α

α β

α β

( )x ( ) ( )

β

αΓβ β−−α

( )αΓ( )x

xβ=dxβ=

( )∫∞

∞−( )∫

∞

( ) ( )∫ βαΓβ ∞

β−−α

( ) ∫αΓ

∞−−α

( ) ( )αΓαΓ

[ ]x≤ ( )βα ( )

∫αΓ

β β−−αα


Podemos observar que, para α ≤ 1, la distribución gamma tiene una forma de J transpuesta y para α > 1, presenta una cúspide que ocurre en x = β (α- 1 ).

Esta distribución se emplea para representar problemas donde el tiempo aleatorio de falla de un sistema ocurre, siempre que los componentes fallan y

la falla de cada componente ocurre a una frecuencia constante = por

unidad de tiempo; también se aplica en problemas de líneas de espera, para representar el intervalo total para completar una reparación, si ésta se lleva a cabo en subestaciones; completar la reparación en cada subestación es un

evento independiente que ocurre a una frecuencia constante igual a =

Existen algunos ejemplos que no siguen el patrón anterior, pero que se aproximan de manera adecuada mediante el ejemplo de la distribución gamma, como los ingresos familiares, la edad de la mujer al contraer matrimonio por primera vez, etc. También es preciso indicar que la distribución gamma describe la función de densidad de la variable aleatoria, que representa el tiempo que transcurre hasta que ocurre un número específico de eventos de Poisson con parámetro ; este número específico es el parámetro α y β = , en la función de densidad gamma.EJEMPLO7.1.1.-Supongamos que llegan llamadas telefónicas en un conmutador en

particular y que siguen el proceso de Poisson con un promedio de 5 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que pase hasta 1 minuto, antes de que lleguen 2 llamadas?SOLUCION:Sea la variable aleatoria X el tiempo que transcurre antes de que lleguen 2 llamadas, entonces X tiene distribución gamma con parámetros α = 2 y β = 5. La probabilidad de que transcurra hasta x minutos antes de que lleguen 2 llamadas es:

= = 25 , donde .

Luego = 25 = = 0.96.

Es destacable manifestar la importancia de la distribución gamma que radica en el hecho de que define una familia de la cual otras distribuciones son casos especiales; así tenemos que cuando α es un entero positivo n, la distribución gamma se conoce como distribución Erlanh, en honor del

λβ1

λβ1

λλ

[ ]xXP ≤( )2

52

Γ∫ −−x

0

x512 dxex ∫ −x

0

x5 dxxe ( ) 12 =Γ

[ ]1XP ≤ ∫ −1

0

x5 dxxe ( )[ ]51e1 5 +− −


científico danés A. K. Erlang (1878 - 1929) que la usó por primera vez a principios del año 1900 a fin de establecer resultados útiles para problemas de tráfico en líneas telefónicas y que su función de densidad está dada por:

=

También son casos especiales de la función gamma las distribuciones: Exponencial, Ji-cuadrada y Weibull y están íntimamente relacionadas con la distribución beta; definiciones que veremos en las secciones posteriores.DEFINICION 7.1.3

La función beta, es aquella definida por la integral ,

denotada por , donde p y q son positivos. Es decir:

= ; ∀ p>0 y q>0

La función beta tiene una íntima conexión con la función gamma, según el siguiente teorema.TEOREMA 7.1.3

Si p>0 y q>0, entonces = =

DEMOSTRACION:Por definición tenemos:

= y = ,

Haciendo los cambios de variables: y , obtenemos

= 2 y = 2

Entonces:

=4

=4

Consideremos la transformación: , ; entonces:

= 4

( )xfX ( )

−β β−−

casootroen ,0

0>xsi,ex!1n

x1nn

( )∫ − −−1

0

1q1p dxx1x

( )q,pβ

( )q,pβ ( )∫ − −−1

0

1q1p dxx1x

( )q,pβ( ) ( )( )qp

qp+ΓΓΓ ( )p,qβ

( )pΓ ∫∞

−−

0

z1p dzez ( )qΓ ∫∞

−−

0

w1q dwew

2xz = 2yw =

( )pΓ ∫∞

−−

0

x1p2 dxex2 ( )qΓ ∫

∞−−

0

y1q2 dyey2

( )pΓ ( )qΓ ∫∞

−−

0

x1p2 dxex2

∫∞

−−

0

y1q2 dyey2

( )∫ ∫∞

+−−∞

−

0

yx1q2

0

1p2 dxdyeyx22

θ= cosrx θ= senry

( )pΓ ( )qΓ ( ) ( )∫ θθ∫ θ∞

−−−π

0

r1q2

0

1p2 rdesenrcosrdr22

≥≥

( ) ( )∫ θθ∫ θ∞

−−−−+π

==θ

( )Γ ( )Γ ( )∫ −∫∞

−−−−+

( )+Γ ( )β

( )( )( )

<<β

− −−

( )∫∞

∞−( )∫

( )( )∫β

− −−

( ) ( )∫ −β

−− ( )( )ββ

[ ]≤( ) ( )

≥

<<∫ −β

≤−−

−+−

=

∀

( )x ( )

−β β−−

( )∫ − −−

( )qβ

( )qβ ( )∫ − −−

( )qβ( ) ( )( )+ΓΓΓ ( )pβ

( )Γ ∫∞

−− ( )Γ ∫∞

−−

= =

( )Γ ∫∞

−− ( )Γ ∫∞

−−

( )Γ ( )Γ ∫∞

−− ∫∞

−−

( )∫ ∫∞

+−−∞

−

θ= θ=

( )Γ ( )Γ ( ) ( )∫ θθ∫ θ∞

−−−π


= 4

En la primera integral realicemos el cambio de variables: , y en la

segunda: , con lo que resulta:

=

= , que demuestra el teorema.DEFINICION 7.1.4Sea X una variable aleatoria continua que toma valores positivos. Decimos que X tiene una distribución beta con parámetros p y q, si su función densidad está dada por:

=

Esta distribución depende de los dos parámetros p y q, que son números reales positivos.

La distribución beta es una función de densidad de probabilidad, ya que:

= =

= = = 1

La función de distribución acumulada está dada por:

= =

Las variables: p y q de la distribución beta son, ambas, parámetros de perfil. Valores distintos de p y q dan como resultado distintos perfiles para la función de densidad beta. Si p y q son menores que uno, la distribución beta tiene un perfil en forma de U. Si p<1 y q≥1, la distribución tiene un perfil de J transpuesta y si p≥1 y q<1, el perfil es una J. Cuando p y q son mayores que

uno, la distribución presenta un pico en . Finalmente, la

distribución beta es simétrica cuando p = q. En el siguiente gráfico se encuentran ilustrados estos perfiles.

( ) ( )∫ θθ∫ θ∞

−−−−+π

0

1q2

0

1p2r1q2p2 rdsencosdrer22

ur 2 =vsen 2 =θ

( )pΓ ( )qΓ ( )∫ −∫∞

−−−−+

0

1p1

0

1qu1qp dvv1vdueu

( )qp +Γ ( )p,qβ

( )xfX

( )( )

<<β

− −−

casosotrosen,0

1x0si,q,px1x 1q1p

( )dxxfX∫∞

∞−( )∫

1

0X dxxf

( )( ) dx

q,px1x1

0

1q1p

∫β

− −−

( ) ( ) dxx1xq,p

1 1

0

1q1p∫ −β

−− ( )( )q,p

q,pββ

[ ]xXP ≤ )q,p;x(FX ( ) ( )

≥

<<∫ −β

≤−−

1x;1

1x0;dxx1xq,p

10x;0

x

0

1q1p

2qp1p

x−+

−=


Gráficos de la función de densidad beta, para distintos valores de p y qEsta distribución beta es utilizada para problemas con variables físicas

cuyos valores se encuentran restringidos en un intervalo de longitud finita y es preciso manifestar que, esta distribución juega un gran papel en la estadística Bayesiana.EJEMPLO7.2.1.-Si la proporción de televisores de una marca que requieren servicio

durante el primer año de operación es una variable aleatoria que tiene una distribución beta con p = 3 y q = 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos el 80% de los nuevos modelos que se vendan este año requieran servicio durante su primer año de operación?SOLUCION:

Como el 80% = , p = 3 y q = 2; entonces debemos calcular

=1- =1- =1

= 1 - = 1 -

= 1 - 12 = 1 -

= 1 - = 1 - 0.8192 = 0.1808.

54

≥

54

XP

<

54

XP ∫54

0X dx)x(f

( )( ) ( )2

2

ΓβΓ+βΓ

∫ −54

0

2 dx)x1(x

( )( ) ( )23

5ΓΓ

Γ ( )∫ −5

4

0

32 dxxx54

0

43

4x

3x

1224

−

×

−

51

31

54

3

152

125768

18751536

µ σ

−∞ < µ < ∞

µ

σ( )

σ

−−

σπ∞ ∞ σ

( )σµ

σ

4

≥

< ∫

( )( ) ( )ΓβΓ

+βΓ∫ −

( )( ) ( )ΓΓΓ ( )∫ −

−

×

−

1536


7. 2. DISTRIBUCION NORMALLa distribución normal o Gaussiana es la más importante y la de mayor

uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad, debido a que en el análisis de datos de muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación tienden hacia la distribución normal conforme crece el tamaño de la muestra. La gráfica de la distribución normal, que recibe el nombre de curva normal, es una curva simétrica en forma de campana, que se extiende sin límite tanto en la dirección positiva como en la negativa. Algunos ejemplos específicos incluyen datos meteorológicos tales como la temperatura y la precipitación fluvial, mediciones efectuadas en organismos vivos, clasificaciones en pruebas de actitud, mediciones físicas de partes manufacturadas, errores de instrumentación y otras desviaciones de las normas establecidas, etc. Sin embargo, se debe tener cuidado al suponer para una situación dada, un modelo de probabilidad normal sin previa comprobación. Si bien es cierto que la distribución normal es la que tiene un mayor uso, es también de la que más se abusa; quizá esto se deba a la mala interpretación de la palabra “normal”, especialmente si se aplica su significado literal de “patrón o estándar aceptado”.

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal fue descubierta por Abraham De Moivre en 1733 como una forma de límite de la función de probabilidad binomial, después la estudió Laplace; también se conoce como distribución Gaussiana, porque Karl Friedrich Gauss (1777-1855) la citó en un artículo que publicó en 1809.

Una variable aleatoria continua X que tiene la distribución en forma de campana, se llama variable aleatoria normal. La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de dos parámetros µ y σ, llamadas media y desviación estándar, respectivamente (como veremos en el capítulo siguiente).DEFINICIÓN 7.2.1Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución normal,

con media y varianza , si su función de densidad está dada por:

= , si - < x < , −∞ < µ < ∞ , >0

Suele expresarse a una distribución normal por: con media µ

y varianza .

2σ

)x(fX

( )2

2

2

ux

e2

1 σ

−−

σπ∞ ∞ σ

( )2,N σµ2σ


En el siguiente gráfico, de la función de densidad para diferentes valores de µ y σ; se observan que, para cualquier par de valores de µ y σ , la curva es simétrica y tiene forma de campana y están centradas en diferentes posiciones sobre el eje horizontal y sus formas reflejan los dos diferentes valores de σ(mayor detalle daremos en las propiedades, que veremos posteriormente).

Gráficas de la función de densidad normal para diferentes valores de µ y σLa función de densidad de probabilidad cumple con la condición

(necesaria) para poder ser, en efecto, función de probabilidad; es decir

= 1

Para tal fin, efectuamos el cambio de variable , entonces

= = =

= = = 1

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION NORMALA partir de un análisis del gráfico y del examen de la primera y la segunda

derivada de la función de densidad, se encuentra las siguientes propiedades de la curva normal:

∫∞

∞−dx)x(fX

σµ−

=2

xt

dx)x(fX∫∞

∞− π1

∫∞

∞−

− dte2t

π2

∫∞

−

0

t dte2

π1

∫∞

−

0

t dte22

π1

Γ

21

ππ

µ

µ σ

µ

µ σ

µ σ

µ = σ =

µ

( )µ− +µ−µ

σ+µ<<σ−µ

πσ=µ

=−∞→

=∞→

[ ]≤( )

∫σπ ∞−

−σ

µ−

Φ

∫π

=Φ∞−

−

( )σµ

σ

µ σ µ σ

σ

µ σ

∫∞

∞−

σµ−

=

∫∞

∞− π∫∞

∞−

−

π∫∞

−

π

∫∞

−

π

Γ

ππ


7.2.1.- Es simétrica con respecto al eje vertical x = µ , debido a que

sólo depende de x mediante la expresión: , luego =

.7.2.2.- La curva tiene sus puntos de inflexión en: x = ±µ σ , es cóncava hacia

abajo sí , y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto.

7.2.3.- Tiene valor máximo en x = µ . Este valor máximo es:

7.2.4.- La curva normal se aproxima al eje horizontal en forma asintótica, ya que y .

7.2.5.- El área total bajo la curva y encima del eje horizontal es igual a 1.La probabilidad de que una variable aleatoria normalmente distribuida X,

sea menor o igual a un valor específico x, está dada por la función de distribución acumulada:

= =

La integral, en la relación anterior, no puede evaluarse en forma cerrada; sin embargo, se puede tabular como una función de µ y σ, lo que necesitaría una tabla para cada par de valores. Como existe un número infinito de valores µ y σ, esta tarea es virtualmente imposible. Afortunadamente, lo anterior se simplificará mediante el empleo de una transformación que veremos en los teoremas 7.2.1 y 7.2.2 y para ello se necesita el concepto de distribución normal estándar.DEFINICION 7.2.2La distribución de una variable aleatoria normal con los parámetros

0 y 1µ = σ = se llama distribución normal estándar; denotada por yestá dada por:

Los valores de la distribución normal estándar se encuentran tabuladas en la tabla A-3, que se encuentra en el apéndice y su aplicación veremos en los ejemplos que presentamos después; como insinuamos anteriormente. Los valores de una función de distribución del tipo con media µ y

varianza , se calcularán mediante el uso de la tabla A-3, gracias a la aplicación de los siguientes teoremas:TEOREMA 7.2.1

)x(fX

( )2x µ− )x(fX +µ)x(fX −µ

σ+µ<<σ−µ X

πσ=µ

2

1)(fX

0)x(flim Xx

=−∞→

0)x(flim Xx

=∞→

[ ]xXP ≤ )x(FX

( )

∫σπ ∞−

−σ

µ−x

dte2

1 22

2t

)x(FX

Φ

∫π

=Φ∞−

−x

dte2

1)x( 2

2t

( )2,N σµ2σ


Si la distribución de una variable aleatoria X es con media µ y

varianza , entonces:

=

DEMOSTRACION:

Como = , por cambio de variable: , o

y , se tiene:

= =

TEOREMA 7.2.2

Si la distribución de la variable aleatoria X es ( )2N ,µ σ con media µ y

varianza , entonces la distribución de la variable

aleatoria X − µσ

es ( )N 0 1, aleatoria X − µσ

es ( )N 0 1, .

DEMOSTRACION:

Sea Z = o , entonces aplicando el teorema 6.3.3, se tiene:

= = ,

que demuestra el teorema.Los teoremas anteriores, como se puede observar, son equivalentes.Antes de presentar ejemplos, tenemos las siguientes observaciones:

1.- La probabilidad

=

no se puede calcular directamente, ya que no es factible encontrar una

función cuya derivada sea igual a ; pero usando métodos de integración numérica se han tabulado los valores de la función de distribución normal estándar (A-3).

2.- Como = =

( )2,N σµ2σ

)x(FX

σµ−

Φx

)x(FX ∫σπ ∞−

σµ−

−xt

dte2

12

21

σµ−

=t

z

µ+σ= zt dzdt σ=

)x(FX dze2

1x

2

z2

∫π

σµ−

∞−

−

σµ−

Φx

2σ

σµ−X

µ+σ= ZX

)z(fZ σµ+σ )z(fX2

2z

e2

1 −

π

[ ]bZaP ≤≤ ∫π

−b

adxe

2

12

2z

2

2z

e−

[ ]bXaP << ∫σπ

σµ−

−b

a

x

dxe2

12

21

∫π

−2

1

z

z

2z

dze2

1

∫ ( )<<

Φ

[ ]≤≤ Φ Φ−Φ Φ

[ ]≤≤− Φ −ΦΦ

[ ]≤≤

σµ−

≤≤σµ−

σµ−

Φ

σµ−

Φ

µ

( )µ σ µ

− µσ

( ) − µσ

( )

( )σµ

σ

)

σµ−

Φ

) ∫σπ ∞−

σµ−

−

σµ−

=

µ+σ= dzσ=

) ∫π

σµ−

∞−

−

σµ−

Φ

σ

σµ−

µ+σ=

)z σµ+σ−

π

[ ]b≤≤ ∫π

−

−

[ ]b<< ∫σπ

σµ−

−

∫π

−


= =

Las distribuciones original y transformada se muestran en el siguiente

gráfico:

Dado que todos los valores de X entre a y b tienen valores correspondientes Z entre y, el área bajo la curva X entre los puntos: x = a y x = b, en el gráfico, es igual al área bajo la curva Z entre los puntos transformados: z = y z = .

3.- El área, , es representado por la parte sombreada del siguiente gráfico:Tienen las siguientes propiedades:a) = - .b) = 1 - , esto se debe a

que la curva es simétrica respecto a la vertical z = 0.

c) = - =2 - 1.

4.- = = - . En

el siguiente gráfico, se ve la correspondencia entre las probabilidades de X y de Z.

∫2

1

z

zdz)1,0;z(N ( )11 zZzP <<

1z

1z 2z

)z(Φ

[ ]bZaP ≤≤ )b(Φ )a(Φ)z(−Φ )z(Φ

[ ]aZaP ≤≤− )a(Φ )a(−Φ)a(Φ

[ ]bXaP ≤≤

σµ−

≤≤σµ− b

Za

P

σµ−

Φb

σµ−

Φa


5.- La tabla A-3 proporciona el área bajo la curva normal estándar, correspondiente a . Por ejemplo, obtengamos ,usando la tabla. Primero se localiza el valor de z igual a 2.5 en la columna de la izquierda y desplazándonos por el reglón hasta la columna correspondiente a 0.07 se lee 0.9949. Por tanto = 0.9949. Para encontrar un valor z correspondiente a una probabilidad determinada, el proceso es a la inversa. Por ejemplo, el valor de z que proporciona un área de 0.4801 bajo la curva normal a la izquierda de z es - 0.05.

EJEMPLOS7.2.1.-Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva

que está:a) a la izquierda de z = 1.43.b) a la derecha de z = -0.89.c) entre z = -2.16 y z = -0.65.d) entre z = -0.48 y z = 1.74.SOLUCION:a) El área en el gráfico adjunto, a la

izquierda de z = 1.43, se encuentra en la tabla A- 3 y es 0.9236.

b) El área en el gráfico adjunto, a la derecha de z = -0.89 es igual a 1 menos el área que la tabla A-3 da a la izquierda de z = -0.89; es decir: 1 - 0.1867 = 0.8133.

c) El área en el gráfico adjunto, entre z = -2.16 y z = -0.65 es igual al área a la izquierda de z = -0.65 menos el área a la izquierda de z = -2.16. De tabla A-3 se encuentra el área pedida, que es:

0.2578-0.0154=0.2424.d) El área en el gráfico adjunto, entre

z = -0.48 y z = 1.74 es igual al área a la izquierda de z = 1.74 menos el área a la izquierda de z = -0.48. De la tabla A-3se encuentra el área pedida, que es: 0.9591 - 0.3156 = 0.6435.

[ ]zZP < [ ]57.2ZP <

[ ]57.2ZP <

[ ]>

[ ]<<−

[ ]z< [ ]57<

[ ]57<


7.2.2.-Encuentre el valor de z, si el área bajo una curva normal estándar:a) a la derecha de z es 0.3632.b) a la izquierda de z es 0.1131.c) entre 0 y z, con z>0 ; es 0.4838.d) entre -z y z, con z>0; es 0.9500.SOLUCION:

a) En el gráfico adjunto, puede apreciarse que el valor de z que da un área de 0.3632 a la derecha debe, entonces dar un área de 1 - 0.3632 = 0.6368 a la izquierda. De la tabla A-3, se tiene que z = 0.35.

b) A partir de la tabla A-3, se tiene que el área de 0.1131 corresponde a z = -1.21.

c) Del gráfico adjunto, se tiene que el área a la izquierda de z corresponde al área 0.4838 más el área de la izquierda de 0, que obviamente es 0.500; es decir 0.4838+0.5000 = 0.9838. De la tabla A-3, se obtiene que z = 2.14.

d) Del gráfico adjunto se observa que, el área de la parte no sombreada es 1 - 0.9500 = 0.05 que corresponde a la región que está a la derecha de z y a la izquierda de -z que son simétricas, de

área = 0.025. Luego el área a la

izquierda de z es 0.9500 + 0.0250 = 0.975. De la tabla A-3, se obtiene que z= 1.96.

7.2.3.-Dada una distribución normal estándar, encuentre el valor de k tal que

= 0.2946.

= 0.7235.

205.0

[ ]kZP >

[ ]kZ93.0P <<−


SOLUCION:

a) En el gráfico adjunto, se puede apreciar que el valor de k que da un área 0.2946 a la derecha debe, entonces dar un área de 1 - 0.2946 = 0.7054 a la izquierda. De la tabla A-3 se tiene que k = 0.54.

b) De la tabla A-3 se deduce que el área de la izquierda de z = -0.93 es 0.1762. En el gráfico adjunto, se observa que el área de la izquierda de k es 0.1762 + 0.7235 = 0.8997. Por lo tanto, de la tabla A-3, se tiene que k = 1.28.

7.2.4.-Dada la distribución normal con y, encuentre:El área de la curva normal a la derecha de x = 13.El área de la curva normal entre x = -5 y x = 18.El valor de x que corresponde a = 0.025.

.Encuentre el valor de x que tiene el 40 % del área a la derecha.Los valores de x que contienen un intervalo central del 70 % de la mitaddel área de la curva normal.SOLUCION:a) La distribución de probabilidad normal

que muestra el área deseada, es la que aparece en el gráfico adjunto. Transformemos x = 13 al correspondiente valor de z, obteniendo el área a la izquierda de z aplicando la tabla A-3 y luego restando a 1 esta

área. Encontramos que z = = = 0.6. Por lo tanto, el

área de la curva normal a la derecha de x = 13 es:= = 1 - = 1 - ( )Φ 0 6.

= 1 - 0.7257 = 0.2743.b) Los valores de z correspondientes a = -5 y b = 18 son:

= -3 y = 1.6

Por lo tanto, el área de la curva normal entre x = -5 y x = 18, corresponde al área de la curva normal estándar de z = -3 a

[ ]xXP <[ ]23X16P <<

σµ−x

51013−

[ ]13XP > [ ]6.0ZP > [ ]6.0ZP <

5105

z1−−

=5

1018z 2

−=

[ ]<

( )Φ

≤ ≤( )Φ ≤ ≤

( )Φ

[ ]<<−[ ]< [ ]−<[ ]<<− [ ]<<− ( )Φ ( )−Φ

µ+σ

−=

−=

[ ]< < [ ]<< [ ]< [ ]<( )Φ ( )Φ

−−

( )Φ

[ ]x<[ ]23<<

σµ− 10−

[ ]13> [ ]6> [ ]6<

10−−=

10−=


z = 1.6 y que es equivalente a calcular =

- . De la tabla A-3, se tiene:

= = -= 0.9452 - 0.0013 = 0.9439.

c) El problema es equivalente a calcular el área a la izquierda del valor deseado x, que es la parte sombreada del gráfico adjunto. Se requiere un valor z que tenga un área de 0.025 a la izquierda. De la tabla A-3 se encuentra que [ ]P Z z< = 0.025. se cumple para z = -1.96.Por lo tanto,x = = 5 (-1.96) + 10 = 0.2.

d) Los valores correspondientes para a = 16 y b = 23 son:

= 1.2 y = 2.6

Luego de la tabla A-3, se tiene:= = -

= - = 0.9953 - 0.8849 = 0.1104.e) En el gráfico adjunto, se muestra el

área igual al 40 % = 0.40 a la derecha del valor x deseado. Ahora se requiere un valor z que tenga 0.40 del área a la derecha y, por lo tanto, un área de 1 - 0.40 = 0.60 a la izquierda; es decir: ( )Φ z = 0.6000.

Como en la tabla A-3, no se tiene un z que satisfaga este valor, encontremos por interpolación:

Valores de z: 0.25 ≤ z ≤ 0.26Valor de ( )Φ z : 0.5987 ≤ 0.6000 ≤ 0.6026

Entonces

( )Φ z =

de donde z = 0.25 + = 0.25 +

= 0.25 + 0.0033 = 0.2533.

[ ]6.1Z3P <<−[ ]6.1ZP < [ ]3ZP −<[ ]18X5P <<− [ ]6.1Z3P <<− ( )6.1Φ ( )3−Φ

µ+σz

51016

z1−

=5

1023z 2

−=

[ ]P X16 23< < [ ]6.2Z2.1P << [ ]6.2ZP < [ ]2.1<zP

( )6.2Φ ( )2.1Φ

5987.06026.05987.06000.0

−−

0039.0)0013.0)(01.0(

0039.0000013.0


Por tanto, el valor deseado es:x = 5 (0.2533) + 10 = 1.2665.

En el gráfico adjunto, se muestra elárea de valor 70 % = 0.70 entre y

o = 0.70. A la izquierda de tenemos el área de valor: + 0.70 = 0.15 + 0.70 = 0.85; es decir

= 0.85 y se requiere un

valor de z que tenga un área de 0.85 o = = 0.85. Como en la tabla A-3 no se tiene este valor, como en el caso anterior, hallemos z por interpolación: Valor de z: 1.03 ≤ z ≤ 1.04.Valor de ( )Φ z : 0.8485 ≤ 0.8500 ≤ 0.8508.Entonces

=

de donde z = 1.03 + = 1.03 + 0.006 = 1.036.

En la curva normal estándar, por datos del problema= y se tiene que y

; consecuentemente los valores de x son:= 5 (1.036) + 10 = 15.18 y = 5 ( -1.036 ) + 10 = 4.82

7.2.5.- Si X tiene distribución . Calcular el valor de k tal que

= 0.4318.SOLUCION:Como

=

= = 2 - 1 = 0.4318entonces = 0.7159 y como en la tabla A-3 no existe un k que satisfaga este valor, hallemos por interpolación:Valor de z: 0.57 ≤ k ≤ 0.58.Valor de : 0.7157 ≤ 0.7159 ≤ 0.7190

Entonces =

1x

2x [ ]21 xXxP <<

[ ]2xXP <( )zΦ [ ]zZP <

03.104.103.1z

−−

8485.08508.08485.08500.0

−−

0025.0)0015.0)(01.0(

[ ]21 xXxP << [ ]21 zZzP << zz =2 zz1 −=

2x 1x

( )2,N σµ[ ]σ+µ≤≤σ−µ kXkP

[ ]σ+µ≤≤σ−µ kXkP

≤

σµ−

≤− kX

kP

[ ]kZkP ≤≤− )k(Φ)k(Φ

( )kΦ

57.058.057.0k

−−

7157.07190.07157.07159.0

−−

µ σ

µ σ[ ]

[ ]

µ

µ σ

−=−

= =−

=

[ ]<< [ ]<<−Φ −Φ

−

<<−

[ ]<< Φ Φ

≤ ≤( )Φ ≤ ≤

≤ ≤≤ ≤

[ ]<<

[ ]<( )zΦ [ ]z<

−− 8485

−−

)

[ ]<< [ ]<< = z−=

( )σµ[ ]σ+µ≤≤σ−µ

[ ]σ+µ≤≤σ−µ

≤

σµ−

≤−

[ ]k≤≤− )Φ)Φ

( )Φ

−− 7157

−−


de donde k = 0.57 + = 0.57 + 0.0006 = 0.5706.

7.2.6.- Una compañía fabrica focos cuya duración son normalmente distribuidas con µ = 800 horas (media) y σ = 40 horas (desviación estándar). Hallar la probabilidad de que un foco se “queme” entre 750 y 846 horas de uso.SOLUCION:La distribución de vida de los focos se muestra en el gráfico adjunto. Los valores de z correspondientes a = 750 y = 846 son:

y

De aquí que:=

= - = 0.8749 - 0.1056 = 0.7693.7.2.7.- El peso medio de las frutas de un cargamento es de 15 onzas,

con una desviación estándar de 1.62 onzas; si sus pesos están distribuidos normalmente. ¿Qué porcentaje de frutas tendrá un peso entre 15 y 18 onzas?

SOLUCION:De los datos del problema, tenemos que µ = 15 y σ = 1.62, deseamos calcular [ ]P 15 < X < 18 expresado en porcentaje.

Entonces

[ ]P 15 < X < 18 =

= = -= 0.9678 - 0.5000 = 0.4678

o equivalentemente 46.78 %.7.2.8.- Los pesos de 500 estudiantes de una cierta universidad dan µ =

62.5 Kg. y la desviación típica de 5 Kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:a) entre 50 y 67 Kg.b) más de 73.5 Kg.SOLUCION:De los datos del problema tenemos µ = 62.5 y σ = 5 y N = 500.

a) Como

0033.0)0002.0)(01.0(

1x 2x

25.140

800750z1 −=

−= 15.1

40800846

z2 =−

=

[ ]846X750P << [ ]15.1Z25.1P <<−)15.1(Φ )25.1(−Φ

−

<<−

62.11518

Z62.1

1515P

[ ]85.1Z0P << )85.1(Φ )0(Φ


=

== - = 0.8159 - 0.0062 = 0.8097.

Entonces, los estudiantes que pesan entre 50 y 67 Kg. son 500 (0.8097) = 405.

b) Como

= 1 - = 1 -

= 1 - = 1 - 0.9861 = 0.0139.Entonces los estudiantes que pesan más de 73.5 Kg. Son 500 (0.0139) = 7.

7.2.9.- En una distribución normal que tiene una desviación estándar de 2, la probabilidad de que el valor de una variable elegida al azar sea mayor de 25, es 0.063.a) Calcular la media de la distribución.b) Obtenga el valor de la variable que supera el 92 % de los valores.SOLUCION:a) De los datos del problema, sabemos que:

σ = 2 y = 0.063, entonces

= 1 - = 1 – 0.063 = 0.937 y consecuentemente

= 0.937 se cumple para z = 1.53.

Como , entonces , luego

µ = 25 – (1.53) (2) = 21.94.b) 92 % = 0.92 = , se cumple para z = 1.41 y como

, entonces x = 21.94 + (1.41) 2 = 24.76.7.2.10.- En cierta ciudad, el número de interrupciones en el suministro

eléctrico al mes es una variable aleatoria que tiene una distribución con µ = 12.5 y σ = 3.7. Si esta distribución puede aproximarse con una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos siete interrupciones en cualquier mes?SOLUCION:

[ ]67X50P <<

−

<<−

55.6267

Z5

5.6250P

[ ]9.0Z5.2P <<−)9.0(Φ )5.2(−Φ

[ ]5.73XP > [ ]5.73XP <

−

<5

5.625.73ZP

[ ]2.2ZP <

[ ]25XP >[ ]25XP < [ ]25XP >

[ ]zZP2

25ZP <=

µ−

<

σµ−

=x

z σµ zx −=

[ ]zZP <σµ zx +=

±

σ

[ ]> [ ]≥

− +

[ ]> [ ]<

−

<

[ ]−<

= =

[ ]<<

−

<<−

[ ]<<− −Φ+Φ

σ

µ

µ σ

[ ]67<<

−

<<−

[ ]9<<−)Φ )−Φ

[ ]5> [ ]5<

−

<

[ ]2<

[ ]25>[ ]25< [ ]25>

[ ]<=

µ−

<

σµ−

= σµ −=

[ ]z<σµ +=


Debemos calcular y no , ello se debe a que el número de interrupciones es una variable aleatoria discreta, y si queremos aproximar mediante la distribución normal, debemos “distribuir” sus valores una escala continua. Hacemos esto

representando cada entero n por el intervalo entre y ; de

manera que 7 está representado por el intervalo entre 6.5 y 7.5. Por lo tanto, la probabilidad que buscamos es aproximada por:

= 1 - = 1 -

= 1 - = 1 - 0.052 6= 0.9474.7.2.11.-En un proceso industrial, el diámetro de un balero (molde para

fundir balas) es una importante parte componente. El comprador establece en sus especificaciones que el diámetro debe ser 2.0 ± 0.01cm. La implicación es que no se acepte ningún balero que se salga de esta especificación. Se sabe que, en el proceso, el diámetro de un balero tiene una distribución normal con una media de 2.0 y una desviación estándar σ = 0.005. En promedio, ¿cuántos valeros fabricados se descartarán?SOLUCION:La distribución de diámetros se muestra en el gráfico adjunto. Los valores que corresponden a los límites de la especificación son:

y .Por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

1 - = 1 -

= 1 - = 1 - = 1 - 0.9772 + 0.0228 = 0.0456.

De aquí que, en promedio, el 4.56 % de los valeros manufacturados se descarten.

7.2.12.- En un examen, la calificación promedio fue 14.5 y la desviación estándar fue 1.5. Si el 12 % de la clase recibió una nota A (excelente), y si las calificaciones siguen una curva de distribución normal. ¿Cuál es la posible A más baja y la posible B (buena) más alta que se obtengan?SOLUCION:

[ ]5.6XP > [ ]7XP ≥

21

n −21

n +

[ ]5.6XP > [ ]5.6XP <

−

<7.3

5.125.6ZP

[ ]62.1ZP −<

99.1x1 = 01.2x 2 =

[ ]01.2X99.1P <<

−

<<−

005.00.201.2

Z005.0

0.299.1P

[ ]2Z2P <<− )2()2( −Φ+Φ


De los datos del problema tenemos: µ = 14.5, σ = 1.5 y = 12 % = 0.1200, que es el área correspondiente a la fracción de estudiantes que reciben una nota A, está sombreada en el gráfico adjunto. Debemos determinar x, de la relación .

Como = 1 - = 1 - 0.1200 = 0.8800. Deseamos

calcular z tal que = 0.8800 y como no se encuentra en la tabla A-3, hallamos por interpolación:Valor de z: 1.17 ≤ z ≤ 1.18.Valor de : 0.8790 ≤ 0.8800 ≤ 0.8810.

Entonces, = =

de donde z = 1.17 + (0.01) = 1.17 + 0.005 = 1.175

Por tanto, x = 1.5 (1.175) + 14.5 = 16.2625Consecuentemente, la nota A más baja es 16.5 y la nota B más alta es 16.

7.2.13.- Si una variable aleatoria X tiene una distribución N (1,4), hallar k tal que = 2 SOLUCION:

Como = 1 - = 1 - = 1 -

y = = , entonces

1 - = 2 , de donde = 0.3333.

Como no se encuentra aplicando la tabla A-3, hallamos por interpolación:

Sea , luego para valor de z : -0.44 ≤ z ≤ -0.43 y como

0.3300 ≤ 0.3333 ≤ 0.3336, tenemos:

= =

[ ]xXP >

µ+σ= zx

[ ]xXP < [ ]xXP >[ ]zZP <

)z(Φ

17.118.117.1z

−−

8790.08810.08790.08800.0

−−

002.0001.0

002.0001.0

[ ]kXP > [ ]kXP ≤

[ ]kXP > [ ]kXP <

−

<2

1kZP

−

Φ2

1k

[ ]kXP ≤

−

≤2

1kZP

−

Φ2

1k

−

Φ2

1k

−

Φ2

1k

−

Φ2

1k

21k

z−

=

43.044.043.0z−−

+3336.03300.03336.03333.0

−−

0336.00003.0

−−

≅

µ µσ σ

[ ]<

−

< [ ]<

Φ

[ ]<

−

< [ ]<

Φ

[ ]<

−

< [ ]<

Φ

[ ]<

−

< [ ]<

Φ

µ σ

≤ ≤≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

[ ]x>

µ+σ=[ ]x< [ ]x>

[ ]z<

)zΦ

−− 8790

−− 001

[ ]k> [ ]k≤

[ ]k> [ ]k<

−

<

−

Φ

[ ]k≤

−

≤

−

Φ

−

Φ

−

Φ

−

Φ

1−=

−−+ 3336

−− 0003

−−


de donde:

z = -0.43 - (0.01) = -0.43 - 0.0000892 = -0.4300892

Por tanto, k = 1 + 2 ( -0.4300892) = 0.1398216 ≅ 0.14.7.2.14.- El tiempo empleado para ir de un hotel a un aeropuerto, de una

ciudad, por la ruta A es una distribución normal con media igual a 27 minutos y desviación estándar igual a 5 minutos; mientras que por la ruta B, también es una distribución normal con media igual a 30 minutos y desviación estándar igual a 2 minutos. ¿Qué ruta conviene utilizar si se dispone de:a) 30 minutos.b) 34 minutos.SOLUCION:De los datos del problema tenemos:RUTA A RUTA Bµ = 27 µ = 30σ = 5 σ = 2a) Si se dispone de 30 minutos, entonces tenemos las siguientes

probabilidades (para la ruta A y B, respectivamente):

= =

= = 0.7257 = 72.57 %.

= =

= = 0.5000 = 50 %.De donde, conviene elegir la ruta A que da una probabilidad de 72.57 %, mayor que elegir la ruta B que da una probabilidad de 50 %; que significa llegar temprano.

b) Se dispone de 34 minutos, entonces tenemos las siguientes probabilidades (para la ruta A y B, respectivamente).

= =

= = 0.9192 = 91.92 %.

= =

= = 0.9772 = 97.72 %.En este caso conviene elegir la ruta B.

0336.00003.0

[ ]30XPA <

−

<5

2730ZPA [ ]6.0ZPA <

)6.0(AΦ

[ ]30XPB <

−

<2

3030ZPB [ ]0ZPB <

)0(BΦ

[ ]34XPA <

−

<5

2734ZPA [ ]4.1ZPA <

)4.1(Φ

[ ]34XPB <

−

<2

3034ZPB [ ]2ZPB <

)2(Φ


Para finalizar esta sección presentaremos una aproximación de la distribución normal a la binomial; aunque se trate de aproximar una distribución continua con una distribución discreta; como vimos en el ejemplo 7.2.10 y en último ejemplo, mostraremos un enlace entre la distribución normal y la distribución gamma.

Recordemos que la distribución binomial es una forma límite de la distribución de Poisson cuando n es grande y p pequeño. Ahora presentaremos un teorema (sin demostración, ya que para ello se necesita conceptos del siguiente capítulo), que afirma que la distribución normal es una forma límite de la binomial, cuando n es grande y p no tiene un valor próximo a cero o a uno y también cuando n es pequeño y p es razonablemente próximo a ½; este teorema se conoce como teorema del límite de De Moivre - Laplace.TEOREMA 7.2.2Si X es una variable aleatoria binomial con media = n pµ y desviación

estándar σ = , entonces la forma de límite de la distribución de:

cuando , es la distribución normal estándar N (0,1).Una sugerencia que posibilite determinar, cuándo puede utilizarse la

aproximación normal, es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Si ambos: np y nq, son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.EJEMPLOS7.2.15.- Una moneda se lanza 400 veces. Utilizando la aproximación de la

curva normal, encontrar la probabilidad de obtener:a) entre 185 y 210 caras inclusive.b) exactamente 205 caras.c) menos de 176 o más de 227 caras.SOLUCION:Tenemos: n = 400, p = ½ y q = ½, luego

µ = 400 = 200 y σ = = 10

Como el lanzamiento de una moneda es una variable aleatoria discreta y queremos aproximar con la distribución normal, como en el ejemplo 7.2.10, debemos distribuir en una escala continua; por tanto:a) Debemos calcular: ; en efecto:

=

npq

npq

npXZ

−=

∞→n

21

21

21

400

[ ]5.210X5.184P <<

[ ]5.210X5.184P <<

−

<<−

102005.210

Z10

2005.184P

µσ

[ ]<<− −Φ−Φ

[ ]<<

[ ]<<

−

<<−

[ ]<< Φ−Φ

[ ]<<

−

<<−

[ ]<<−( ) ( )[ ]−φ−φ

=σ⇒

[ ]<<

−

<<−

[ ]<<[ ]<< Φ−Φ

[ ]<

−

< [ ]−<

−Φ

n pµ

σ

µ σ

np−=

∞→

[ ]5<<

[ ]5<<

−

<<−


= == 0.8531 - 0.0606 = 0.7925.

b) Debemos calcular: ; en efecto:

=

= == 0.7088 - 0.6736 = 0.0352.

c) De acuerdo con el gráfico adjunto:Calculamos:1 - =

1 -

= 1 -

= 1 -= 1 - (0.9970 - 0.0071 ) = 1 - 0.9899 = 0.0101.

7.2.16.-Como regla, 25 % de ciertos productos manufacturados por un cierto torno, son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en 48 de estos productos haya:a) exactamente 14 defectuosos.b) menos de 8 defectuosos.c) por lo menos 10 defectuosos.SOLUCION:Para la solución de este problema, aplicaremos la aproximación de la curva normal, entonces: p = 25 % = 0.25, q = 0.75, n = 48, µ = 48 (0.25) = 12,

σ = = = = 3

a) =

=

== 0.7967 - 0.6915 = 0.1052.

b) = =

= = 0.0668.

[ ]05.1Z55.1P <<− )55.1()05.1( −Φ−Φ

[ ]5.205X5.204P <<

[ ]5.205X5.204P <<

−

<<−

102005.205

Z10

2005.204P

[ ]55.0Z45.0P << )45.0()55.0( Φ−Φ

[ ]5.227X6.175P <<

−

<<−

102005.227

Z10

2006.175P

[ ]75.2Z45.2P <<−( ) ( )[ ]45.275.2 −φ−φ

npq )75.0)(25.0(48 00.9 3=σ⇒

[ ]5.14X5.13P <<

−

<<−

3125.14

Z3

125.13P

[ ]83.0Z5.0P <<[ ]83.0Z5.0P << )5.0()83.0( Φ−Φ

[ ]5.7XP <

−

<3

125.7ZP [ ]5.1ZP −<

)5.1(−Φ


c) = 1 - = 1 -

= 1 - = 1 - = 1 - 0.2033 = 0.7967.

7.2.17.-Calcular la densidad de , cuando X es una variable aleatoria de distribución N (0,1).SOLUCION:La función de distribución de es:

= = =

Utilizando el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena, obtenemos

=

Que es la densidad de la distribución Gamma, con y . Que

viene a ser, como manifestamos anteriormente, un enlace entre la distribución Normal y Gamma.

7. 3. DISTRIBUCION EXPONENCIALManifestamos en la Sección 7.1 que la distribución exponencial

(conocida también como exponencial negativa) es un caso especial de la distribución gamma y esta distribución juega un papel importante tanto en la teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente corresponden a distribuciones exponenciales. La distribución exponencial no tiene “memoria”; es decir, la probabilidad de ocurrencia de eventos presentes y futuros no dependen de los que hayan ocurrido en el pasado; de esta forma, la probabilidad de que una unidad falle en un lapso específico depende únicamente de la duración de éste y no del tiempo en que la unidad ha estado operativa.

La distribución gamma especial, para la cual α = 1 se llama distribución exponencial.DEFINICION 7.3.1La variable aleatoria continua X, tiene una distribución exponencial, con parámetro β, si su función de densidad es:

[ ]5.9XP > [ ]5.9XP <

−

<3

125.9ZP

[ ]83.0ZP −< )83.0(−Φ

2X

2X

[ ]xXP 2 ≤ [ ]xXxP ≤≤− ∫π−

−x

x

dte2

12

2t

∫π

−x

0dte

2

22

2t

)x(f 2X

>π

−−

contrariocasoen ,0

0xsi,2

ex 2/x2/1

21

=α21

=β

β

≥ β >

− +

−

β

β−β

β

≥β β−

∫∞

∞−

∫∞

∞−∫∞−

∫∞

∫∞→

( )β−

∞→−

[ ]≤

≥∫ −=β β−β−

[ ]> [ ]≤ β−

[ ][ ]>

+> [ ]>

α

β

[ ]5> [ ]5<

−

<

[ ]83−< )83−Φ

[ ]≤ [ ]≤≤− ∫π−

−∫

π−

)

>π

−−

1=α

1=β


= , donde β > 0.

Esta función de densidad cumple la condición necesaria para ser función

de probabilidad; es decir = 1.

En efecto:

= + = = = 1.

El siguiente gráfico, representa a la distribución exponencial:

Por otra parte, su función de distribución exponencial está dada por:

= =

De aquí tenemos las siguientes condiciones, útiles para solución de problema:

a) = 1 - = ; si x 0≥ y β > 0 .

b) P X > s+ t X > s/ = =e

e

s t

s

− +

−

β

β

( )

= et−β = ,

si s y t son números reales positivos.EJEMPLO7.3.1.- Supongamos que la vida útil de cierto tipo de tubos electrónicos tiene

una distribución exponencial con parámetro β = horas

a) Hallar la probabilidad de que se queme antes de las 200 horas.b) ¿Cuál es la probabilidad de que dure por lo menos 200 horas?c) Si un tubo particular ha durado 200 horas ¿Cuál es la probabilidad

de que dure otras 500 horas?

)x(fX

≥β β−

contrariocasoen ,0

0xsi,e x

∫∞

∞−dx)x(fX

∫∞

∞−dx)x(fX ∫

∞−

0

X dx)x(f ∫∞

0X dx)x(f ∫

∞→

b

0X

bdx)x(flim ( )b

be1lim β−

∞→−

)x(FX [ ]xXP ≤

≥∫ −=β β−β−

contrariocasoen ,0

0xsi,e1dtex

0

xt

[ ]xXP > [ ]xXP ≤ xe β−

[ ][ ]sXP

tsXP>+> [ ]tXP >

6001


SOLUCION:

a) = = 1 - = 1 - = 1-0.7165 =0.2835

b) = 1 - = 1 - 1 + = = 0.7165

c) =

= = 1 - = 1 - = = 0.6065.

Es importante manifestar que la relación entre la distribución exponencial y el proceso de Poisson es simple. Como vimos, la distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un sólo parámetro λ, donde λ puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de tiempo. Consideremos ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran eventos en el espacio hasta el tiempo t está dada por:

=

Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson (o el tiempo entre eventos de Poisson). La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x. Esto

está dado por ; es decir

=Consecuentemente, la función de distribución acumulada para X es:

= 1 -Con la finalidad de que se reconozca la presencia de la distribución

exponencial, derivemos la distribución acumulada, para obtener la función de densidad

=

la cual es la función de densidad de la distribución exponencial con λ = β.EJEMPLO7.3.2.- Supongamos que llegan llamadas telefónicas a una central telefónica

y que siguen el proceso de Poisson con un promedio de 4 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que pase hasta un minuto antes de que llegue la siguiente llamada?

[ ]200XP < )200(FX)200(

6001

e−

31

e−

[ ]200XP > [ ]200XP < 31

e−

31

e−

[ ]200X500XP / >> [ ]200X200300XP / >+>

[ ]300XP > [ ]300XP <

− −

600300

e1 21

e−

!0)t(e 0t λλ−

te λ−

xe λ−

[ ]xXP ≥ xe λ−

[ ]xXP ≤ xe λ−

=)x(f X

≥λ λ−

contrariocasoen ,0

0xsi,e x

λ β

λ

λ

β

[ ]≤ − −

[ ]≤ [ ]>

[ ]>[ [

[ ]≤ [ ]> λ− ≥

λ−

[ ]>

] [+

λ λ

λ β

[ ]200< )− −

[ ]200> [ ]200< − −

[ ]>> [ ]>+>

[ ]300> [ ]300<

− − −

λλ−λ−

λ−

[ ]x≥ λ−

[ ]≤ λ−

= ≥λ λ−


SOLUCION:El proceso de Poisson corresponde al tiempo entre eventos de Poisson que siguen una distribución exponencial con λ = β = 4. Sea la variable aleatoria X el tiempo que transcurre entre dos llamadas consecutivas. La probabilidad pedida es

= 1 - = 1 - = 1 - 0.0183 = 0.9817.7.3.3.- El número de clientes que llegan a un banco sigue la ley de Poisson

con parámetro λ. Si con X denotamos el tiempo que transcurre desde el momento en que se abre el banco y el momento en que llega el primer cliente, hallar la función de densidad de X.SOLUCION:Puesto que la función de acumulación de X es:

= = 1 - ,entonces derivemos y encontraremos la función de densidad.El evento indica que la primera llegada ha ocurrido después del

tiempo x; es decir que en el intervalo no ha ocurrido ninguna llegada.

Por tanto: = = 1 - = 1 - ,De donde:

= = λ

que es la distribución exponencial de parámetro β.OBSERVACION: Debemos destacar que el ejemplo 7.3.1, es del tipo conocido como problema de confiabilidad que consiste en determinar el tiempo de vida promedio de un componente o de un sistema de éstos. La función de confiabilidad del sistema tiempo t, R(t), es la probabilidad de que el lapso de duración del sistema sea mayor que con tiempos t dado; es decir

= = 1 - , t > 0Si y son funciones de densidad de probabilidad y de

confiabilidad, respectivamente, de una unidad en un tiempo dado t. La frecuencia de falla (o función de riesgo) es la proporción de unidades

que fallan en el intervalo con respecto a las que siguen funcionando a tiempo t; y está dada por:

=

[ ]1XP ≤ )1(4e− 4e−

)x(FX [ ]xXP ≤ [ ]xXP >

[ ]xX >[ [x,0

)x(FX [ ]xXP ≤ [ ]xXP > xe λ− 0x ≥

)x(fX dx

)x(dFX xe λ−

)t(R [ ]tP T > )t(F)t(f )t(R

)t(h

] [dtt,t +

)t(h)t(R)t(f


7. 4. DISTRIBUCION JI - CUADRADALa distribución Ji - cuadrada (o Chi - cuadrada, , derivada de la letra

griega mayúscula Ji), fue dada a conocer aparentemente por primera vez, por Helmert en 1875 y redescubierta por Karl Pearson en 1900; se aplica para las mismas condiciones de una distribución normal, pero para muestras pequeñas, se aconseja para n < 30; así mismo se utiliza la distribución Ji - cuadrada en todas aquellas cosas que se ofrecen o presentan más de dos resultados posibles y mientras que la distribución normal se utiliza para los casos que ofrecen dos resultados posibles. Un ejemplo típico de distribución normal lo constituye el lanzamiento de una moneda con las probabilidades de obtener cara o sello, y de Ji - cuadrada consiste en el lanzamiento de un dado numerado de 1 a 6 con seis posibilidades de obtener un resultado.DEFINICION 7.4.1Sean: , , …, , variables aleatorias independientes todas ellas con la distribución normal estándar, la distribución de:

se llama distribución Ji - cuadrada con r grados de libertad (o que tiene una distribución Ji - cuadrada con r grados de libertad).

Observemos que el grado de libertad r, es el número de variables aleatorias independientes que se suman, también se interpreta como el número de variables que pueden variar libremente o como el parámetro asociado con la distribución de probabilidad, que veremos en el siguiente teorema.TEOREMA 7.4.1La distribución de Ji-cuadrada con r grados de libertad tiene por función de densidad:

=

DEMOSTRACION:La función de densidad conjunta de , , …, está dada por:

=

donde , para i = 1,2,…,r.Sea la transformación:

1x =

2χ

1X 2X rX

2r

22

21

2 X...XX +++=χ

)x(f 2χ

>

Γ

−−

contrariocasoen ;0

0xsi;2x

2r

2

e 22r

2x

1X 2X rX

)x,...,x,x(f r21X,...,X,X r21 ( )2r

2

1

π

∑=

−n

1i

2i

2

x

e

∞<<∞− ix

1r2r3r21 coscoscos...coscos −−− θθθθθρ

ρ >

ρ

−−− θθθθθρ

−− θθθθρ

θρ

π≤θ≤ − π≤θ≤ ++=ρ( )

( )−θθ∂∂ ( )−

− θθ

( )−θθ −θθχ −ΘΘ

χ θ Θχ −ΘΘ

−ΘΘχ ( )

π≤θ≤θ≤π<θ≤>ρ

θθρπ −π≤

−−

ρ−

−

χ

ρχ ( )∫ θθθρ∫ θ∫ θπ

−−ΘΘ

ππ

−

( )

≤ρ

>ρρπ

−ρ

−

−

( )∫ θθθ∫ θ∫ θπ

−−

ππ

ρχ

∫ ρρ∞

∞−χ ( )

∫ ρρπ

∞−−

∫ ρρ

π∞ ρ

−−

ρ= =ρ

ρ=ρ

x

χ

+++=χ

)χ

>

Γ

−−

)( )π

∑=

−

∞<<∞−

−−− θθθθθρ


2x =

3x =

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -=

donde 0ρ > , , … , ; de donde: ,

y = (Jacobiano de la transformación),

donde es una cierta función que depende de: .

Sean las variables aleatorias: , , que se definen remplazando

ρ por , por y por en la transformación anterior. Por el teorema

6.3.3 obtenemos la densidad de conjunto de , , dado por:

=

De aquí, obtenemos la densidad marginal para :

=

=

en donde k =

Para hallar k apliquemos la condición necesaria de ser probabilidad y

no calcular el jacobiano, es decir:

= = 1, de donde: k =

Si suponemos que , entonces y ; por tanto:

1r2r3r21 sencoscos...coscos −−− θθθθθρ

2r3r21 sencos...coscos −− θθθθρ

rx 1senθρ

π≤θ≤ −1r0 π≤θ≤ 20 12r

21

2 x...x ++=ρ( )

( )1r1

r1

,...,,p

x,...,x

−θθ∂∂ ( )1r1

1n ,...,Dp −− θθ

( )1r1,...,D −θθ 1r1,..., −θθχ 1r1 ,..., −ΘΘ

χ 1θ 1Θ iX

χ 1r1,..., −ΘΘ

1r1 ,...,,f−ΘΘχ ( )

π≤θ≤θ≤π<θ≤>ρ

θθρπ −π≤

−−

ρ−

−

casootroen;0

0,...,0

,20,0para;),...,(De

2

1

1r2

11r1

1r2

s

2

2r

χ

)(f ρχ ( )∫ θθθρ∫ θ∫ θπ

−−ΘΘ

ππ

−0

1r1r1,...,,0

2

2

01 d,...,,f...dd

1r1x

( )

≤ρ

>ρρπ

−ρ

−

−

0si;0

0si;e2

1k 1r2

2

2r

( )∫ θθθ∫ θ∫ θπ

−−

ππ

01r1r1

02

2

01 d,...,D...dd

)(f ρχ

∫ ρρ∞

∞−χ d)(f

( )∫ ρρ

π

∞−−

0

1r2

p

de2

1k

2

2r

∫ ρρ

π∞ ρ

−−

0

21r de

)2(2

2r

2z

2ρ= z2=ρ dz

1d

ρ=ρ


k = =

Luego:

=

Por otro lado, calculemos la densidad de que es nuestro objetivo y

observemos que = 0 si y para se tiene:

= =

= = = =

es decir

=

con lo que se prueba el teorema.OBSERVACION: Comparando el resultado del teorema anterior con la definición 7.1.2, vemos que la distribución Ji-cuadrada es la distribución

gamma para el caso particular y ; resultado que se considera

como definición por muchos autores.Una propiedad muy importante de la distribución Ji-cuadrada es la

permanencia aditiva, como muestra el siguiente teorema.TEOREMA 7.4.2Sí , , …, son m variables aleatorias independientes, tal que

sigue la distribución Ji-cuadrada con grados de libertad, para ,

entonces la variable + + … + tiene la distribución Ji-cuadrada;

con: + + … + grados de libertad.DEMOSTRACION:

∫

π∞ −−−−−

0

z dzz2ez2

)2(

21

21

21r

21r

2r

Γ

π−

2r

2

)2(

22r

2r

)(f ρχ ( )

≤ρ

>ρΓ

ρ−

ρ−−

0si;0

0si;2

e

2r

21r

22r

2

2χ)x(f

2χ0x ≤ 0x >

)x(f2χ

[ ]xPdxd 2 ≤χ [ ]xP

dxd

≤χ

∫ ρρχx

0d)(f

dxd

( )ρ∫

Γ

ρ−

ρ−−

d2

edxd x

02r

1r

22r

2

2

( )2r

1

22r

21

2x

21r

2

x2ex

Γ−

− −−− ( )( )2

r2x

2

e 22r

2x

Γ

−−

)x(f2χ

( )( )

≤

>Γ

−−

0xsi;0

0xsi;2

e

2r

2x2

x

22r

22r −

=α 2=β

1X 2X mX iX

ir mi1 ≤≤

1X 2X mX

1r 2r mr

( ) ( )

≤

>>

ΓΓ

−−+−

+= =−= =

+= =

( ) ( )

∞<<<

−

ΓΓ

−−−

>

∫∞

∞− ( ) ( )−−−

∫

−

ΓΓ

= >

( ) ( )−+−

ΓΓ

β

β ( )

−−

−∫

( )

≤

>Γ

+

−+−

+

∫

π∞ −−−−−

Γ

π−

)ρχ ( )

≤ρ

>ρΓ

ρ−

ρ−−

χ)

χ0≤ 0>

)χ

[ ]≤χ [ ]≤χ

∫ ρρχ ( )ρ∫

Γ

ρ−

ρ−−

( )Γ−

− −−− ( )( )Γ

−−

)χ

( )( )

≤

>Γ

−−

2−=α 2=β

r m≤≤

r r


Es suficiente demostrar para m = 2. (por ser infinito las variables aleatorias).Para este caso se tiene:

=

Considerando la transformación: , y de donde

, y el Jacobiano vale 1.

Según el teorema 6.3.3, al suponer: , , se obtiene:

=

Ahora para

= =

y si sustituimos , resultará para

=

donde

=

Luego, utilizando el teorema 7.1.3, tenemos:

=

que es la densidad de la distribución Ji-cuadrada con grados de libertad.El siguiente gráfico, ilustra la función de densidad de la variable aleatoria

Ji-cuadrada, para distintos grados de libertad.

)x,x(f 21X,X 21 ( ) ( )

≤

>>

ΓΓ

−−+−

0x,xminsi;0

0x,0 xsi;2

x

2

x

4

e

21

21

2

2r

22

2r

1

2r

2r

2

)xx(21

21

21

211 xxu += 22 xu =

211 uux −= 22 ux =

211 XXU += 22 XU =

)u,u(f 21U,U 21 ( ) ( )

∞<<<

−

ΓΓ

−−−

contrariocasoen ;0

u0

uu<0si;

2

u

2

uu

4

e

1

122

2r

22

2r

21

2r

2r

2

u21

21

1

0u1 >

)u(f 1U1 ∫∞

∞−221U,U du)u,u(f

21 ( ) ( ) 2

2

2r

2u

0

2

2r

21

2r

2r

2

u

du2

u

2

uu

4

e2

1

1

21

1 −−−

∫

−

ΓΓ

1

2

u

ux = 0u1 >

)u(f 1U1 ( ) ( )2

2rr

1

2r

2r

2

u21

21

1

2

u

2

e−+−

ΓΓ

β

2

r,

2

r 21

β

2

r,

2

r 21 ( ) dxx1x 2

2r1

0

2

2r2

1 −−

−∫

)u(f 1U1 ( )

≤

>Γ

+

−+−

0usi;0

0usi;2

2

ue

1

1

2rr

2

2rr

12

u

21

211

21 rr +


Debemos observar que la distribución Ji-cuadrada son una familia de distribuciones continuas positivamente asimétrico; si r aumenta se aproxima a una distribución normal; de aquí que si r es grande ( r > 30 ), la probabilidad de la Ji-cuadrada pueda calcularse empleando la aproximación normal.

En mérito a que la distribución Ji-cuadrada es importante, como aplicación, en inferencia estadística, la función de distribución están

preparadas en tablas (A-4) para valores seleccionadas de r y ; .

Por lo tanto, en la tabla se encuentra, la probabilidad de que la variable aleatoria X tiene una distribución Ji-cuadrada sea mayor a un valor constante, representado por:

= α;0 < α < 1y consecuentemente,

=

ver el siguiente gráfico:

Dado que existe una distribución Ji-cuadrada diferente para cada valor de r, resulta impráctico proporcionar tablas de áreas completas. La tabla A-4, sólo presenta un resumen de la información más esencial respecto de la distribución.

2x

)x(F 2χ2χ 30r0 ≤≤

[ ]2XP αχ≤

[ ]2XP αχ≤ dx)x(f2

2

0∫αχχ

α

α

χ[ ]χ≤ [ ]≤

χ[ ]>[ ]<[ ]≤<

[ ]<< [ ]>

αχ

[ ]> [ ]≤ [ ]χ≤

αχ

[ ]< [ ]χ<

[ ]≤< [ ]≤ [ ]<

[ ]≤ [ ]χ<

[ ]> [ ]<

[ ]<

[ ]<< [ ]< [ ]<[ ]<

[ ]<

χ

<∑<

=

α α

x

)χ

χ 30≤≤

[ ]αχ≤

[ ]αχ≤ ∫αχχ


EJEMPLOS7.4.1.- Si r = 18 y = 28.87; entonces

= = 0.95.

7.4.2.- Si X es una variable aleatoria con una distribución (21). Hallar

a)

b)

c)

d) a y b tal que = 0.875 y = 0.100SOLUCION:a) A partir de la tabla A-4, se tiene que para r = 21 y

(21) = 35.48; corresponde para α = 0.975

Por tanto:= 1 - = 1 -

= 1 - 0.975 = 0.025.b) A partir de la tabla A-4, se tiene que para r = 21 y

(21) = 11.59; corresponde α = 0.050

Por tanto= = 0.050.

c) Similarmente a los casos anteriores, de la tabla A-4 se tiene= -

= - = 0.950 - 0.010 = 0.94.d) Usando la tabla A-4 y propiedades, tenemos:

= 1 - = 0.100; luego

= 0.900, de donde b = = 29.62.Por otro lado

= - = 0.875

= 0.900 - = 0.875,

Luego = 0.900 - 0.875 = 0.025, de donde

a = = 10.28.

7.4.3.- Supongamos que , , … , es una muestra aleatoria de una variable aleatoria normal estándar. Calcular

.

295.0χ[ ]2

95.0XP χ≤ [ ]87.28XP ≤2χ

[ ]48.35XP >[ ]59.11XP <[ ]67.32X897.8P ≤<

[ ]bXaP << [ ]bXP >

2αχ

[ ]48.35XP > [ ]48.35XP ≤ [ ]2975.0XP χ≤

2αχ

[ ]59.11XP < [ ]2050.0XP χ<

[ ]67.32X897.8P ≤< [ ]67.32XP ≤ [ ]897.8XP <

[ ]2950.0xXP ≤ [ ]2

010.0XP χ<

[ ]bXP > [ ]bXP <

[ ]bXP < 2900.0x

[ ]bXaP << [ ]bXP < [ ]aXP <[ ]aXP <

[ ]aXP <2

025.0χ1X 2X 10X

<∑<

=31.18558.2P

10

1i

2ix


SOLUCION:

De acuerdo con el teorema 7.4.1, = , r = 10, luego:

, , … , son muestras aleatorias de tamaño 10 de una variable

aleatoria con distribución (10).

Por tanto= -

= -

= 0.950 - 0.010 = 0.9400.NOTA: Si la variable aleatoria X tiene distribución Ji-cuadrada con r grados de libertad y si r es suficientemente grande (r ≥ 30), entonces la variable

aleatoria tiene distribución aproximadamente normal .

Luego la variable aleatoria , tiene distribución aproximadamente normal N (0, 1).EJEMPLO7.4.4.- Si la variable aleatoria tiene distribución Ji-cuadrada con 100 grados

de libertad. Calcular .SOLUCION:Aplicando la nota anterior:

=

=

= =

= - = 0.9993 - 0.1788 = 0.8142.7. 5. DISTRIBUCION WEIBULL

La distribución de Weibull fue establecida por el físico sueco Waloddi Weibull en 1939, quien demostró, con base en una evidencia empírica, que el esfuerzo al que se someten los materiales puede modularse de manera adecuada mediante el empleo de esta distribución. En los últimos años, esta distribución se emplea como modelo para situaciones de tipo tiempo-falla y con el objeto de lograr una amplia variedad de componentes mecánicos y eléctricos; con sustitución del papel que juegan las distribuciones gamma y exponencial en estos tipos de problemas.DEFINICION 7.5.1Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución de Weibull , con parámetro α y β si su función de densidad está dada por :

∑=

10

1i

2ix 2χ

1X 2X 10X2χ

[ ]31.18X558.2P << [ ]31.18XP < [ ]558.2XP <

[ ]2950.0XP χ< [ ]2

010.0χ<XP

X2 ( )1,1r2N −

1r2X2Z −−=

[ ]150X87P ≤≤

[ ]150X87P ≤≤

[ ]1)100(2)150(21r2X21)100(2)87(2P −−≤−−≤−−

[ ]1993001r2X2199174P −≤−−≤−[ ]11.1432.17Z11.1419.13P −≤≤− [ ]21.3Z92.0P ≤≤−[ ]21.3ZP ≤ [ ]92.0ZP −≤

α β

αβ

β ββ β ≠

>αβ

βα−−β

=∫∞

∞−

∫∞

∞−∫ αβ∞

α−−β β

∫ αββα−−β

∞→

[ ]βα−

∞→

βα−

∞→

≥− − βα

≥

α β

∑=

χ

χ

[ ]31<< [ ]31< [ ]558<

[ ]χ< [ ]χ<

( )−

−−=

[ ]150≤≤

[ ]150≤≤

[ ]−−≤−−≤−−

[ ]−≤−−≤−[ ]11−≤≤− [ ]21≤≤−[ ]21≤ [ ]92−≤


=

donde α >0 y β > 0.La función de densidad de probabilidad cumple con la condición

(necesaria) para poder ser, en efecto, función de probabilidad; es decir

Efectivamente:

= =

= = 1 - = 1 - 0 = 1.

Las gráficas de la distribución Weibull para α = 1 y distintos valores de β se muestran en el gráfico adjunto.

En el gráfico, se observa que las curvas cambian de forma para diferentes valores de los parámetros, en particular para β. Para el caso β = 1, la distribución se reduce a la distribución exponencial. Para valores β >0, β ≠ 1las curvas adquieren una forma acampanada y tienen un parecido con las curvas normales, pero muestran cierta asimetría.

La función de distribución acumulada de Weibull, por evaluación directa de la integral, está dada por:

XF (x) =

Tal como ocurre con las distribuciones gamma y exponencial, la distribución Weibull también se aplica a problemas de confiabilidad y de prueba de duración o vida, tales como tiempo de falla o período de vida de un componente, medido a partir de un tiempo determinada hasta que se presente

)x(fX

>αβ

βα−−β

casootroen;0

0xsi;xx x1

1dx)x(fX =∫∞

∞−

∫∞

∞−dx)x(fX ∫ αβ

∞α−−β β

0

x1 dxex ∫ αββα−−β

∞→

b

0

x1

bdxexlim

[ ]10x

belim

βα−

∞→

βα−

∞→

b

belim

≥− −

casootroen;0

0si;1 xexβα


una falla. Este tiempo de falla se representa por la variable aleatoria continuaT con función de densidad de probabilidad , donde es la distribución Weibull.

Como definimos, en la observación de la sección 7.3, la función de confiabilidad del componente dado en el tiempo t, es: = 1 - ,

donde es la distribución acumulada de T.Para nuestro caso:

= , t >0.

También la función de riesgo o frecuencia de falla es: =

para nuestro caso: = , t > 0.EJEMPLO7.5.1.- La duración de un cierto sello para automóvil tiene la distribución

Weibull con una tasa o frecuencia de falla = . Encontrar la

probabilidad de que tal sello siga en uso después de 4 años.SOLUCION:

Como = = , entonces integrando obtenemos que,

= 2 , luego = =Por tanto

= 1 - = 1 - = 1 -

= = = = 0.0183.7. 6. DISTRIBUCION F

Una de las distribuciones más importantes en estadística aplicada es la distribución F o la distribución de Snedecor, relacionada íntimamente con la distribución gamma y Ji-cuadrada como veremos enseguida.DEFINICION 7.6.1Sean X e Y dos variables aleatorias independientes que tienen distribuciones Ji-cuadradas con y grados de libertad, respectivamente, la distribución de la variable aleatoria:

se llama distribución F con ( )1 2r , r grados de libertad.

)t(fT )t(fT

)t(R T )t(FT

)t(FT

)t(R T

βα− te

)t(h T )t(R

)t(f

T

T

)t(h T1t −βαβ

)t(h Tt

1

)t(h Tt

1 1t −βαβ

βαt t )t(R T

βα− te t2e−

[ ]4TP > [ ]4TP ≤ )4(FT [ ])4(R1 T−

)4(R T42e− 4e−

1r 2r

2

1

r/Yr/X

U =

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

>+ΓΓ

+

Γ

+

−

( ) ( )

≤

ΓΓ

−−+

−

= = = =

∂∂

( ) ( )( )

≤

ΓΓ

−−

+

+−

>

∫∞

∞− ( ) ( )ΓΓ

+

−

∫∞ −

+

+−

( )+=+

=

( )

)t )t

)t )t

)t

)tβα−

)t)

)t −βαβ

)t

)t −βαβ

βα )tβα− −

[ ]4> [ ]4≤ ) [ ])−

) − −

r r

r=


TEOREMA 7.6.1

La distribución F con ( )1 2r , r grados de libertad tiene por función de densidad:

=

DEMOSTRACION:La densidad conjunta de X , Y es:

=

Considerando la transformación: , , o , , de

Jacobiano = =

Por el teorema 6.3.3 obtenemos:

=

Ahora, si ,

= =

En esta última integral, hagamos la siguiente sustitución:

y , y se obtiene:

)u(fU

( ) ( )

( ) ( )( )

>+ΓΓ

+

Γ

+

−

contrariocasoen ;0

0usi;rur

u2

rrrr

2

rr

212r

2r

12

r21

2

r

22

r

1

2121

121

)y,x(f Y,X ( ) ( )

≤

ΓΓ

−−+

−

0y,xminsi;0

0>y0,>xsi;2y

2x

4

e1

2

r1

2

r

2r

2r

2

yx21

21

yr

xru

1

2= yv =2

1

r

uvrx = vy =

)v,u()y,x(

∂∂

10r

ur

r

vr

2

1

2

1

vr

r

2

1

)v,u(f V,U ( ) ( )( )

≤

ΓΓ

−−

+

+−

0v,uminsi;0

0>v0,>usi;vr

rv

r

uvr

2

e

2

112

r1

2

r

2

1

2r

2r2

rr

1r

ur

2

v

2

1

21

21

2

1

0u >

)u(fU ∫∞

∞−dv)v,u(f V,U

( ) ( )2r

2r2

rr

12

r2

r

2

1

21

21

11

2

ur

r

ΓΓ

+

−

∫∞ −

+

+−

0

12

rr1r

ur

2

v

dvve21

2

1

( )212

rurr2v

y += dy1

r

ur2

dv

1

1 +=


=

=

En el siguiente gráfico, se da un bosquejo de la función de densidad de la variable aleatoria F, para tres pares diferentes de grados de libertad.

Como la distribución F depende de los parámetros y , se necesita una tabla con tres entradas para tabular el valor de F que corresponde a diferentes probabilidades y valores de y . Una tabla de este tipo se da en

la tabla A-5 al final de este libro. Dados el par de números enteros ( , ) y la probabilidad p, la tabla presenta el valor de x para el que es,

= p

cuando X tiene una distribución F con ( , ) grados de libertad. Por ejemplo,

si ( , ) = (7, 12) y p = 0.99; se lee x = 4.64; por otro lado, si ( , ) = (3, 5) y p = 0.975, obtenemos x = 7.76. Podemos observar que la tabla está diseñada para valores grandes de la probabilidad p. Sin embargo, es muy fácil utilizar

)u(fU

( ) ( )2r

2r2

rr

12

r2

r

2

1

21

21

11

2

ur

r

ΓΓ

+

−

∫

+

+

∞

−+

−

0

2

1

12

rr

2

1

y dy

1ur

r

2

1ur

ry2

e

21

( )

≤

>

+Γ+

Γ

Γ+

−

0usi;0

0usi;2

r

2

r

rur2

r

2

r

urr 21

2

rr

2121

12

r

2

r

22

r

1

21

121

1r 2r

1r 2r

1r 2r

[ ]xXP ≤

1r 2r

1r 2r 1r 2r

[ ]≤

≤

[ ]≤

≤

[ ]≤[ ]>[ ]≤[ ]≤

[ ]≤[ ]> [ ]

−−

=−−

[ ]≤

< [ ]<

[ ]≤≤ [ ]>

)

( ) ( )ΓΓ

+

−

∫

+

+

∞

−+

−

( )

≤

>

+Γ+

Γ

Γ+

−

r r

r r

r r

[ ]x≤r r

r r r r


las tablas para valores pequeños de p, observando que si X tiene una distribución F en ( , ) grados de libertad, es

= 1 -

siendo Y una variable aleatoria con distribución F con ( , ) grados de

libertad. Por ejemplo, debemos hallar x tal que = 0.05, siendo X una variable aleatoria con distribución F con (8, 4) grados de libertad. En este caso,

se consultará en las tablas el valor de para el que sea = 0.95,

donde Y sigue la distribución F con (4, 8) grados de libertad, se halla

= 3.84 y luego x = 0.2604

EJEMPLOS7.6.1.- Si X tiene una distribución F con (5,6) grados de libertad buscar:

a)

b)

c)

d) SOLUCION:a) De la tabla

= 0.99

b) = 1 - = 1 - 0.995 = 0.005c) Por interpretación:

valor de F: 5.99 < 7 < 8.75área correspondiente: 0.975 < < 0.99

Luego , de donde = 0.9805

d) Como en la tabla no existe esta probabilidad, sea

= 1 - = 1 -

= 1 - 0.975 = 0.0257.6.2.- Si X tiene una distribución F con (120, 5) grados de libertad, hallar el

valor de a y b tal que = 0.95, sabiendo que = 0.025

SOLUCIÓN:

1r 2r

[ ]xXP ≤

≤

x1

YP

2r 1r

[ ]xXP ≤

x1

≤

x1

YP

x1

[ ]75.8XP ≤[ ]1.11XP >[ ]7XP ≤[ ]1398.0XP ≤

[ ]75.8XP ≤[ ]5.11XP > [ ]5.11P

99.575.899.57

975.099.0

975.0p0

−−

=−−

[ ]1433.0XP ≤

<

1433.01

YP [ ]98.6YP <

[ ]bXaP ≤≤ [ ]bXP >


Como = 0.025, entonces

= 1 - = 0.975; luego b = 6.33

Por otro lado 0.95 = = -

0.95 = 0.975 - , de donde = 0.025

Pero 0.025= = 1 - , entonces

= 1 - 0.025 = 0.975

luego = 2.67 por tanto, a = 0.375

7. 7. DISTRIBUCION t de STUDENTLa distribución t de student fue establecida por el estadístico irlandés

W.S. G; en esa época Gosset era empleado de una compañía cervecera que desaprobaba la publicación de trabajos de investigación de sus trabajadores, para evitar esta restricción Gosset público su trabajo en secreto con el seudónimo de “Student”, por lo que se conoce por este nombre. Como la distribución F y esta distribución de Student son las que más se utilizan en la estadística aplicada; tiene una relación próxima a la distribución Ji-cuadrada y a la normal estándar (para valores grandes).DEFINICION 7.7.1Sean X e Y dos variables aleatorias independientes, donde X sigue una distribución normal estándar e Y una distribución Ji-cuadrada con r grados de libertad, la distribución de la variable aleatoria:

se llama distribución t de Student con r grados de libertad.TEOREMA 7.7.1La distribución t de Student con r grados de libertad tiene por función de densidad:

, cuando - ∞ < t < ∞

DEMOSTRACIÓN:

[ ]bXP >[ ]bXP ≤ [ ]bXP >

[ ]bXaP ≤≤ [ ]bXP ≤ [ ]aXP ≤[ ]aXP ≤ [ ]aXP ≤

[ ]aXP ≤

<

a1

YP

<

a1

YP

a1

rY

XT =

2

1r2

T rt

1r

2r

21r

)t(f

+−

+

π

Γ

+

Γ=

∞

χ

>

Γ

−−

= χ= =

( )χ

=

≤

>

Γ

−−

( ) =

>∞<<∞

Γπ

−− +

= = = =

∂∂

( ) ( ) ==( )

∞<<∞<<∞

Γπ

+−

∞ ∞

[ ]b>[ ]b≤ [ ]b>

[ ]b≤≤ [ ]b≤ [ ]a≤[ ]a≤ [ ]a≤

[ ]a≤

<

<

1

=

+−

+

π

Γ

+

Γ=


Como X e Y son variables aleatorias independientes, su distribución de probabilidad conjunta está dada por el producto de las distribuciones de X e Y. Como:

=

Si , donde , entonces . Por tanto:

(2rz) =

Consiguientemente la densidad conjunta de X y Z será:

=

Efectuando la transformación , ; de donde , y el

Jacobiano es: = = s

Luego

Integrando los dos miembros de esta igualdad respecto a s, entre 0 e ∞,tenemos:

)(2 xfχ

>

Γ

−−

contrariocasoen ;0

0xsi;2x

2r

2

e 22r

2x

rY

Z = 2Y χ= 2rzx =

( ) )x(fzfr/Z 2χ

=

≤

>

Γ

−−

0zsi;0

0zsi;

2r

ze2r

2 1r2

r

2

2rz

( ) )z(f)x(fz,xf ZXZ,Z =

>∞<<∞

Γπ

−− +

casootroen;0

0zyx-si;

2r

2

ze2r

2 1r)(2

r

2

2rz2x

zx

t = zs = tsx = sz =

)s,t()z,x(

∂∂

1t

0s

( ) ( ) == sstsfstf ZZST ,, ,,

( )

∞<<∞<<∞

Γπ

+−

casootroen;0

s0

t-si;es

2r

2

2r

22

rtsr

2

r

22


= =

Si , entonces y

Luego,

Como

Entonces,

( ) ( ) dses

2r

2

2r

2dss,tftf 0

)2

rt(sr

2

r

0 S,TT

22

∫

Γπ

=∫= ∞+

−∞

dses

2r

2

2r

2

0

)2

rt(sr

2

r

22

∫

Γπ

∞+

−

( )( ) dssrtes

rt2

r2

2

r2

02

)2

rt(s

1r

2

2

r

22

∫ ++

Γπ

∞+

−−

+=

2

22 rt

su ( )dsrtsdu += 2

2

12

2

1

2

22

+=

+=

rt

u

rt

uu

( ) =tfT

( )dueu

rtrt

r

r

u

r

r

r

∫∞ −

−

−

++

Γ

0

2

1

2

12

2

2

222

22

π

+

Γ=∫∞ −

−

2

10

2

1r

dueuu

r

( ) =tfT

+

Γ

+

Γ

+ 2

1

22

22

22

2

12

2

r

rtr

r

r

r

π

∞ ∞

→ ∞

( ) =+

−

+

+

Γ

Γ

π

+−

+−

+−

+−

+=

+=

+

++

−

+−

+

π

Γ

+

Γ=

( ) ( ) ∫

Γπ

=∫= ∞+

−∞

∫

Γπ

∞+

−

( )( )∫ +

+

Γπ

∞+

−−

+= ( )+=

+=

+=

( ) =

( )∫∞ −

−

−

++

Γ

π

+

Γ=∫∞ −

−

( ) =

+

Γ

+

Γ

+

π


=

Pero

=

Por tanto:

, cuando: - ∞ < t < ∞

Puesto que, la distribución de la variable aleatoria T (de Student ), está completamente determinado sólo por el parámetro r, luego hay una distribución T correspondiente a cada grado de libertad.

En el siguiente gráfico, se presenta una interpretación de la función de densidad de la variable aleatoria T, para diferentes grados de libertad y en el mismo gráfico se presenta la gráfica de la curva normal estándar.

Debemos notar que, la simetría de la distribución t de Student, alrededor de t = 0 , varía de menos infinito a más infinito; se asemeja a la distribución normal estándar y cuando r →∞ las dos distribuciones son iguales.

( ) =tfT

2

12

2

22

1

22

2+

−

+

+

Γ

Γ

r

r

rtr

r

r

π

22

122

122

12 2

21

lrrrr

r

tr

r

tr

r

t+

−+

−+

−+

−

+=

+=

+

222

22

12

rrtrrr

++

−

2

1r2

T rt

1r

2r

21r

)t(f

+−

+

π

Γ

+

Γ=


Debido a la importancia de la distribución t de Student, en inferencia estadística y la dificultad para evaluar la función de distribución de la variable aleatoria T, estas se dan en una tabla, tabla A-6, al final del libro. Si una variable aleatoria X sigue la distribución t de Student con r grados de libertad, la tabla dice para qué valor de x se cumple:

= p, donde p es la probabilidad que se conoce.Por ejemplo, si r = 8 y p = 0.75, se lee x = 0.706 y esto quiere decir que

= 0.75.Para valores pequeños de p, se utiliza esta tabla, teniendo en cuenta que para la distribución t de Student se cumple: = 1 -

Por ejemplo, si r = 24 y p = 0.0005, como = 0.9995, resulta x

= -3.745; es decir, = 0.0005Para valores grandes de r () la distribución t de Student con r grados de

libertad es próxima a la distribución normal, como manifestamos anteriormente; por tanto, si r es grande, puede utilizarse la tabla A-1 para aproximar la distribución t de Student en aquellos valores de r que no figuran en l atabla A-6.EJEMPLOS7.7.1.- Si X tiene distribución t de Student con 17 grados de libertad hallar:

a)

b)

c) SOLUCION:a) = 0.995.

b) = 1 - = 1 - 0.95 = 0.05.

c) = 1 - , entonces

= 1 - = 1 - 0.9995 = 0.0005.7.7.2.- Si X tiene distribución t de Student con 12 grados de libertad, hallar

el valor de k tal que:a) = 0.90.

b) = 0.05.

SOLUCION:a) = = -

= = 2 - 1 = 0.90.

De donde = 0.95, luego k = 1.782.

[ ]xXP ≤

[ ]706.0XP ≤

[ ]xXP ≤ [ ]xXP −≤[ ]745.3XP ≤

[ ]745.3XP −≤

[ ]898.2XP ≤[ ]740.1XP >[ ]965.3XP −≤

[ ]898.2XP ≤[ ]740.1XP > [ ]740.1XP ≤[ ]965.3XP ≤ [ ]965.3XP −≤[ ]965.3XP −≤ [ ]965.3XP ≤

[ ]kXP ≤

[ ]kXP ≥

[ ]kXP ≤ [ ]kXkP ≤≤− [ ]kXP ≤ [ ]kXP −≤

[ ]kXP ≤ [ ][ ]kXP1 ≤− [ ]kXP ≤[ ]kXP ≤

α β

α β

αβ α α

αα

β

α β

α β

[ ]≥ [ ]<

[ ]< [ ]<

[ ]<

[ ]<<

[ ]x≤

[ ]706≤

[ ]x≤ [ ]x−≤[ ]745≤

[ ]745−≤

[ ]898≤[ ]740>[ ]965−≤

[ ]898≤[ ]740> [ ]740≤[ ]965≤ [ ]965−≤[ ]965−≤ [ ]965≤

[ ]≤

[ ]≥

[ ]≤ [ ]k≤≤− [ ]k≤ [ ]k−≤

[ ]k≤ [ ][ ]≤− [ ]k≤[ ]k≤


b) Como= 1 - = 0.05, entonces

= 2 - 1 = 0.95, de donde

= 0.975, luego k = 2.179.

EJERCICIOS1.- El número de automóviles que llegan a un surtidor de gasolina se

distribuye según el modelo de Poisson con un promedio de 2 autos por minuto. Hallar la probabilidad de que pase hasta un minuto hasta que lleguen 2 autos.

2.- Si una variable aleatoria tiene distribución gamma con α = 2 y β = 2, calcular la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que 4.

3.- Si n vendedores son utilizados en una compañía de ventas de casa, el volumen de ventas total en millones de soles puede considerarse como una variable aleatoria que tiene una distribución gamma con

α = 100 y β = . Si los gastos ascienden a s/5,000 por vendedor.

¿Cuántos vendedores deberán ser contratados a fin de maximizar la utilidad?

4.- Demostrar que, cuando α > 1, la gráfica de la función de densidad gamma tiene un máximo relativo en x = β (α - 1) ¿Qué sucede cuando 0 < α < 1 y cuando α = 1?

5.- Si una variable aleatoria X tiene una distribución gamma con α = 2 yβ = 1, hallar .

6.- En una ciudad cualquiera el consumo diario de agua (en millones de litro) sigue aproximadamente una distribución gamma con α = 2 y β = 3. Si la capacidad diaria para esta ciudad es de 9 millones de litros de agua. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el suministro de agua sea inadecuado?

7.- Supongamos que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con parámetro

α = 2 y β = . ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente servicio

a) ¿Tome cuando mucho 1 hora para reparar la bomba?b) ¿Al menos se requiera 2 horas para reparar la bomba?

8.- Una variable aleatoria X tiene la distribución uniformemente continua si su función de densidad es:

[ ]kXP ≥ [ ]kXP <

[ ]kXP < [ ]kXP <

[ ]kXP <

n21

[ ]4.2X8.1P <<

21


=

para una distribución uniformemente continua con α = 2 y β = 7, encuentrea)

b) 9.- La cantidad diaria en litros de café despachado por una máquina ubicada

en la sala de espera de un aeropuerto, es una variable aleatoria X que tiene una distribución uniformemente continua con α = 7 y β = 10. Determinar la probabilidad de que en un determinado día la cantidad de café despachado por esta máquina sea:a) cuando mucho 8.8. litros.b) más de 7.4 pero menos de 9.5 litros.c) de menos 8.5 litros.

10.- En una determinada provincia, la proporción de tramos de autopista que requieren reparación de un año determinado es una variable aleatoria con distribución beta, p = 3, q = 2. ¿Calcular la probabilidad de que a lo sumo la mitad de los tramos de autopista requieran reparación en un año cualquiera?

11.- Si la proporción anual de declaraciones de impuestos erróneas en la SUNAT puede considerarse como una variable aleatoria que tiene una distribución beta con p = 2, q = 9. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un año determinado, menos del 10% de las declaraciones sean erróneas?

12.- Supongamos que la proporción de unidades defectuosas embarcadas por un vendedor, las cuales varían de cargamento a cargamento, puede considerarse como una variable aleatoria que tiene la distribución beta con p = 1, q = k. Hallar la probabilidad de que un embarque de este vendedor contenga el 25% o más de unidades defectuosas.

13.- La variable aleatoria X tiene la distribución uniforme de parámetros p y q y su función de densidad es:

=

donde p y q son números reales.a) Encontrar la distribución acumulativa.b) En ciertos experimentos, el error cometido al determinar la densidad

de una sustancia es una variable aleatoria cuya distribución es

)x(fX

β<<α

α−βcasootrocualquieren;0

xsi;1

[ ]4XP ≥[ ]5.5X3P <<

)x(fX

<<

−casootrocualquieren;0

qxpsi;pq

1

𝑝𝑝𝑝𝑝 12

µ = σ =

µ = σ =

[ ]< ( )∑ −−=

−

[ ]<

[ ]<[ ]<<[ ]>[ ]<

[ ]<<[ ]<<[ ]>[ ]>

α β

α β

)

β<<α

α−β

[ ]4≥[ ]5<<

)

<<

−


uniforme con p = -0.025 y q = 0.025. ¿Cuáles son las probabilidades de que tal error esté entre 0.01 y 0.015 y entre -0.012 y 0.012?

14.- Sea X una variable aleatoria con distribución beta y parámetros 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 12 y

q = .

a) Graficar la función de densidad de probabilidad.b) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre

entre -6 y 2?15.- Si los parámetros de la distribución beta son enteros, demostrar que la

función de distribución acumulativa beta se encuentra relacionada con la distribución binomial por:

= =

en donde n = p + q - 1 y 0 < t <1. Si X es una variable aleatoria con una distribución beta con parámetros p = 2 y q = 3, emplear la relación anterior para obtener .

16.- Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que caea) a la izquierda de x = 2.27.b) a la derecha de x = -0.34.c) entre x = -2.05 y x = 1.68.d) entre x = 1.03 y x = 3.42.e) entre x = -3.00 y x = -1.73.

17.- Dada una distribución normal estándar, hallar el valor de k, tal que:a) = 0.0427.

b) = 0.7235.

c) = 0.2776.

d) = 0.9903.18.- Dada la distribución normal con µ = 200 y σ = 20 . Determinar las

siguientes probabilidades:a)

b)

c)

d) 19.- Dada la distribución normal con µ = 10 y σ = 5 . Encontrar los valores

de x que corresponden a las siguientes probabilidades.

23

[ ]tXP < )q,p(I t ( )∑ −−=

−n

py

yny t1t!y)!yn(

!n

[ ]1.0XP <

[ ]kXP <[ ]54.0ZkP <<[ ]kZP >[ ]kZP <

[ ]210X185P <<[ ]250X215P <<[ ]240XP >[ ]178XP >


a) = 0.05.

b) = 0.975.

c) = 0.95.

d) = 0.01.20.- Dada una distribución normal con µ = 3 y σ = 6 , Hallar:

a) El área de la curva a la derecha de x = 17.b) El área de la curva normal a la izquierda de x = 22.c) El área de la curva normal entre x = 32 y x = 41.d) El valor de x que tiene el 80% del área de la curva normal a la

izquierda.e) Los dos valores de x que contienen un intervalo central de 75% de

la mitad del área de la curva normal.21.- Si una variable aleatoria X, tiene una distribución N (3,4), hallar k tal que

= 2 .22.- Si una variable aleatoria X, tiene una distribución N (650,625). Hallar la

constante k > 0, tal que [ ]P X k− ≤650 = 0.9544.23.- En una distribución normal se tiene los siguientes datos:

[ ]P X < 45 = 0.31 y [ ]P X > 64 = 0.08Hallar la media y la desviación estándar de la distribución.

24.- Un fabricante de bombillas eléctricas ha encontrado que, en promedio un 2% son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en 1,000 bombillas seleccionadas al azar se encuentren 15 o más defectuosas?

25.- Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir en promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 222 mililitros?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209

mililitros?c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de

230 mililitros en los siguientes 1,000 refrescos?d) ¿Abajo de qué valor se obtiene el 25% más pequeño de los

refrescos?26.- El Gerente de Créditos de un Almacén de artículos electrodomésticos,

estima las pérdidas por malos clientes durante un año, en la siguiente forma: La pérdida tiene distribución normal de $50,000; además, la probabilidad de que sea mayor de $60,000 y menor de $40,000 es de 0.40. ¿Cuál es la desviación estándar?

[ ]xXP <[ ]xXP <[ ]xXP <[ ]xXP <

[ ]kXP ≥ [ ]kXP <

±

µ = 3 σ = 6

[ ]− ≤

[ ]< 45 [ ]> 64

[ ]x<[ ]x<[ ]x<[ ]x<

[ ]k≥ [ ]k<


27.- La vida útil de las pilas de cierta marca está distribuida normalmente. Si el 7.68% de las pilas duran más de 54 horas y 39.80% duran menos de 50 horas. ¿Cuál es la media y la desviación estándar?

28.- La demanda mensual de cierto producto A, tiene una distribución normal con una media de 200 unidades y desviación estándar igual a 40 unidades. La demanda de otro producto B, también tiene una distribución con media de 500 unidades y desviación estándar igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos productos tiene en su almacén 280 unidades de A y 650 de B al inicio de un mes. ¿Cuál es la probabilidad de que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos?

29.- Las especificaciones de cierta tarea recomiendan lavadoras con u diámetro interno de 0.300 ± 0.005 pulgadas. Si los diámetros internos de las lavadoras proporcionadas por un fabricante determinado pueden considerarse como una variable aleatoria, cuya distribución es normal con pulgadas y pulgadas. ¿Qué porcentaje de las lavadoras cumplen las especificaciones?

30.- Si una variable aleatoria tiene una distribución binomial con n = 29 y p = 0.60, con la aproximación normal determinar las probabilidades de que asuma:a) El valor 14.b) Un valor menor que 12.

31.- La probabilidad de un componente electrónico falle en menos de 1,000 horas de uso continuo es 0.25. Utilizando la aproximación normal para encontrar la probabilidad de que entre 200 de tales componentes menos de 45 fallen en menos de 1,000 de uso continuo.

32.- El propietario de una carnicería ha determinado que la demanda diaria de carne molida tiene una distribución normal con una media de 240 Kg. y una desviación estándar de 23 Kg. ¿Qué cantidad de carne molida debe estar disponible diariamente para que la probabilidad de que se agote la dotación no sea mayor del 2%?

33.- La tasa de mortalidad para cierta enfermedad es de 18 por 1,000 ¿Cuál es la probabilidad de que 5 mueran de esta enfermedad de un grupo de 500?

34.- Un par de dados perfectos se lanzan 50 veces ¿Cuál es la probabilidad de que un 6, un 7 o un 8 aparezcan 25 veces o más utilizando la aproximación normal?

35.- Los ingresos de un grupo económico se distribuyen normalmente. La clasificación de los grupos económicos de mayor o menor ingreso es el siguiente:


Grupo Porcentaje de personas en el grupoA 8B 16C 42D 20E 14

Si el grupo C está comprendido entre $36,500 y $39,500 quincenales. Calcular la media y desviación estándar.

36.- El 20% de los residentes de una ciudad prefieren un teléfono blanco que cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1,000 teléfonos que se instalen en dicha ciudad:a) Entre 170 y 185 inclusive sean blancosb) De menos 210 pero no más de 225 sean blancos

37.- Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras para el control de natalidad tiene un ingrediente que está por debajo de la dosis, mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10, en una muestra de 200 sea ineficaz?

38.- Sean , , …, , n variables aleatorias independientes, todas con

la misma distribución . Demostrar que + + … +

tiene la distribución . (Sugerencia: realizar la

transformación: , )

39.- Demostrar: Si X es una variable aleatoria, con distribución y kes una constante, entonces:a) La distribución de k X es

b) La distribución de X + k es 40.- Sean X e Y dos variables aleatorias, ambas con distribución N (0,1).

Hallar , con (La distribución de Z se llama distribución de

Cauchy).41.- La distribución de la duración, en meses, de cierto tipo de objeto es

exponencial, con parámetro β. ¿Cuál es el valor de β si se sabe que hay una probabilidad de 0.7 de que uno de estos objetos tenga una duración a lo más de 6 meses?

1X 2X nX

),(N 2σµ 1X 2X nX

)n,n(N 2σµ

n211 x...xx +++=µ nnn322 x,...,x...xx =µ+++=µ

),(N 2σµ

)k,k(N 22σµ

),k(N 2σ+µ

)z(fZ YX

Z =

β

α

β−=

χ χ

αχ [ ]αχ<χ

[ ]<< [ ]=<

[ ]≤ [ ]≥ [ ]≤≤

[ ]≤≤

[ ]≥

β β

σµ

σµ+++=µ =µ+++=µ

σµ

σµ

σ+µ

)X

=


42.- Supongamos que el tiempo que necesita un obrero para ensamblar un

objeto tiene una distribución exponencial con parámetro β =

minutos.a) Calcular la probabilidad de que un objeto sea ensamblado en menos

de media hora.b) Si no ensambló un objeto en media hora, ¿Cuál es la probabilidad de

que no lo ensamble en el transcurso de 20 minutos más?43.- Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial ¿Cuál es la

probabilidad de que X tome un valor mayor que ?.

44.- Un dispositivo tiene una frecuencia de falla constante por hora. ¿Cuál es la confiabilidad del dispositivo para t = 200 horas?

45.- La tasa de llegada de los camiones que abastecen un almacén es 2 cada hora. Si el número de camiones que llegan tiene ley de Poisson y el tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas se denota con Ta) Hallar la función de densidad de T.b) Hallar la probabilidad de que el tiempo que transcurre entre dos

llegadas consecutivas sea menor que 10 minutos.c) Si desde la llegada de un camión ha transcurrido 30 minutos. ¿Cuál

es la probabilidad de que no llegue ningún camión en los 15 minutos siguientes?

46.- a) Hallar , si r = 28. b) Hallar , si r = 7.

Hallar tal que = 0.99 con r = 4.

47.- Si X es , hallar las constantes a y b tales que:

= 0.90 y .48.- Si X es una variable aleatoria que tiene distribución Ji-cuadrada con 19

grados de libertad, calculara) , b) , c) .

49.- Si la variable aleatoria X, tiene distribución Ji-cuadrada con 200 grados de libertad. Calcular

50.- Si la variable aleatoria X, tiene distribución Ji-cuadrada con 50 grados de libertad. Hallar a tal que: = 0.05.

51.- Supongamos que la vida útil en años, de una batería para audífonos es

una variable aleatoria que tiene una distribución Weibull con α = y

401

β1

210)t(h −=

201.0χ

2975.0χ

2αχ [ ]2XP αχ<

)12(2χ[ ]bXaP << [ ] 05.0aXP =<

[ ]20XP ≤ [ ]15XP ≥ [ ]21X16P ≤≤

[ ]240X160P ≤≤

[ ]aXP ≥

21


β = 2. ¿Cuál es la probabilidad de que dicha batería siga funcionando después de 2 años?

52.- En el ejemplo 7.5.1, Hallar la probabilidad de que tal sello ya no funciona antes de los 4 años.

53.- Si es la distribución Weibull con parámetros α y β entonces demostrar que:a) La función de confiabilidad del componente dado en el tiempo t, es:

, t > 0.

b) La función de riesgo o frecuencia de falla: , t > 0.

54.- Demostrar que la función de densidad, de la distribución con grados de libertad, en efecto es una probabilidad.

55.- Si X tiene distribución F con (4, 5) grados de libertad, encontrar:a) , b) , c) , d)

56.- Si X tiene una distribución F con (3, 7) grados de libertad, hallar k si:a) = 0.99

b) = 0.05, c) = 0.02557.- Si X tiene distribución F con (15, 2) grados de libertad, hallar a y b tales

que = 0.90, sabiendo que = 0.05.

58.- Demostrar que si X sigue la distribución F con grados de libertad,

e Y sigue la distribución con grados de libertad, para todo x positivo se tiene

59.- Probar que la función de densidad de la distribución t de Student es en efecto, una probabilidad.

60.- Demostrar que la distribución t de Student con r grados de libertad, es simétrica; es decir, que, si la variable X tiene la distribución t de Student con r grados de libertad, entonces:

61.- Si X tiene distribución t de Student con 18 grados de libertad, hallar:a)

b)

c)

d)

e)

)t(fT

βα−= tT e)t(R

1T t)t(h −βαβ=

Γ ( )21 r,r

[ ]39.7XP ≤ [ ]4.11XP > [ ]8XP ≤ [ ]0645.0XP ≤

[ ]kXP ≤[ ]kXP ≥ [ ]kXP ≤

[ ]bXaP ≤≤ [ ]bXP >( )21 r,r

( )12 r,r

[ ]

≤−=≤

x1

YP1xXP

[ ] [ ]xXP1xXP −≤−=≤

[ ]552.2XP ≤[ ]101.2XP >[ ]878.2XP −≤[ ]552.2X330.1P ≤≤−[ ]2XP ≤

[ ]≤[ ]≤

[ ]≤[ ]≤

β

α β)t

βα−=−βαβ=Γ ( )

[ ]39≤ [ ]4> [ ]8≤ [ ]0645≤

[ ]k≤[ ]k≥ [ ]k≤

[ ]b≤≤ [ ]b>( )

( )

[ ]

≤−=≤

[ ] [ ]x−≤−=≤

[ ]552≤[ ]101>[ ]878−≤[ ]552≤≤−[ ]2≤


62.- Si X tiene una distribución t de Student con r grados de libertad, hallar el valor de k que satisfacen, respectivamente, a las condiciones:a) = 0.99 con r = 17.

b) = 0.05 con r = 6.

c) = 0.95 con r = 10.

d) = 0.92 con r = 10.63.- Sea T una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student con r

grados de libertad. Demostrar que sigue una distribución F con (1, r) grados de libertad.

[ ]kXP ≤[ ]kXP ≤

[ ]kXP ≤[ ]kXP ≤

2T

CAPÍTULO 8: ESPERANZA MATEMATICA Y LIMITES

8. 1. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

En esta sección estudiaremos el valor esperado o la media o esperanza de una variable aleatoria que tiene importancia dentro de las distribuciones de probabilidad. La esperanza de una variable aleatoria tiene sus orígenes en los juegos de azar, debido a que los apostaderos deseaban saber cuál era su valor esperado de ganar repetidamente un juego. En este sentido, la esperanza representa la cantidad de dinero promedio que el apostador está dispuesto a ganar o perder, después de un número muy grande de apuestas. Este significado también es válido para una variable aleatoria; es decir, el valor promedio de una variable aleatoria después de un número grande de experimentos es su valor esperado.

Luego de presentar la definición y el teorema 8.1.1, ilustraremos la esencia de la esperanza; mediante ejemplos.DEFINICION 8.1.1Sea X una variable aleatoria con función de distribución XF (x) , la esperanza,

la media o valor esperado de X es:)X(E=µ = [ ] ∫−∫ − ∞−

∞ 0X0 X dx)x(Fdx)x(F1 ,

supuesto que ambas integrales sean finitas. Si una de estas integrales es infinita, se dice que la esperanza de X no existe.

En forma gráfica, la esperanza de X se interpreta como la diferencia de dos áreas: el área situada encima de y = F xX ( ) , a la derecha del eje Y y bajo la recta y = 1, menos el área de la izquierda del eje Y, bajo Xy F (x)= y

encima de la recta y = 0; es decir:E(X) = área I - área II

Para la demostración de los teoremas que veremos posteriormente, es importante establecer el siguiente lema.LEMA 8.1.1.-

Si na es una sucesión de números no negativos y sí ∑=∞

=njjn aS , entones

∑=∑∞

=

∞

= 1nn

1nn naS .

DEMOSTRACION:Sumando por filas y columnas la serie doble:

∑ +++=∑∑=∑∞

=++

∞

=

∞

=

∞

=

+++++++

++

+++

∑∞

=

[ ]== =∑

∞

=

µ ∑∞

=

∑ ∞<∞

=

[ ] ∫−∫ − ∞−∞ [ ]∫ >∞ [ ]∫ ≤∞−

[ ]∫ >∞ [ ]∫ ≤∞−

[ ]∫ > [ ]∫ > [ ]∫ > [ ]∑ ∫ >∞

= −

[ ] <

[ ] ≥ [ ]

≤ [ ]∫ ≤

∞

=

∑∞

=

∑

)

)=µ [ ] ∫−∫ − ∞−∞

x)

(x)=

)

∑=∞

=

∑=∑∞

=

∞

=


∑ +++=∑∑=∑∞

=++

∞

=

∞

=

∞

= 1n2n1nn

njj

1n1nn ...)aaa(aS

= ...aaaa 4321 +++++ ...aaa 432 ++++ ...aa 43 ++

……= ...a3a2a 321 +++

= ∑∞

=1nnna

TEOREMA 8.1.1.-Sea X una variable aleatoria con distribución discreta, lo cual significa que existen un conjunto numerable de números nx y de probabilidades np

tales que, [ ] nn pxXP == y 1p1n

n =∑∞

=. La esperanza de X existe y está dada

por: = E(X)µ = ∑∞

=1nnn px , siempre y cuando la serie sea absolutamente

convergente (esto es, ∑ ∞<∞

=1nnn px )

DEMOSTRACION:Como:

)X(E = [ ] ∫−∫ − ∞−∞ 0

X0 X dx)x(Fdx)x(F1 = [ ]∫ >∞0 dxxXP - [ ]∫ ≤∞−

0 dxxXP

SeanI1 = [ ]∫ >∞

0 dxxXP y I2 = [ ]∫ ≤∞−0 dxxXP

Por la definición de integral impropia (o de Cauchy)

I1 = [ ]∫ >n1

0 dxxXP + [ ]∫ >n2

n1

dxxXP + [ ]∫ >n3

n2

dxxXP + … = [ ]∑ ∫ >∞

= −1k

nk

n1k

dxxXP

Como [ ]P X > x es no creciente con x; es decir, si x x1 2< , entonces

[ ]1P X > x ≥ [ ]2P X > x , se cumple la siguiente condición:

1 kP X >

n n

≤ [ ]kn

k-1n

P X > x dx∫ ≤1 k-1

P X >n n

Si, tenemos las siguientes consideraciones:

nL =1

1 kP X >

n nk

∞

=

∑ y nU =1

1 k-1P X >

n nk

∞

=

∑


Entonces se cumple: nL ≤ 1I ≤ nUpara cualquier entero positivo n. Por otro lado, aplicando propiedades de probabilidades:

nL =1

1 j j+1P < X

n n nk j k

∞ ∞

= =

≤ ∑ ∑

Si suponemos que ja =

+

≤<n

1jX

nj

P , entonces aplicando el lema

8.1.1, obtenemos:

nL = ∑

+

≤<∞

=1k n1k

Xnk

kPn1

+ 0 = ∑

≤<

−−∞

=1k nk

Xn

1kP

n1k

= ∑

≤<

−∞

=1k nk

Xn

1kP

nk

- ∑

≤<

−∞

=1k nk

Xn

1kP

n1

Por otro lado

≤<

−nk

Xn

1kP

nk

=

j

jk-1 k

j/ < x <n n

kp(x )

n

∑ =

j

jk-1 k

j/ < x £n n

kp

n

∑

≥j

j jk-1 k

j/ < x £n n

x p

∑

∑

≤<

−∞

=1k nk

Xn

1kP

n1

= [ ]0XPn1

>

Luego

[ ]∑

>−∑≥

∞

=

≤<

−1kjj

n

kxj

n

1k/j

n 0XPn1

pxL n

1px mm

0x/m m

−∑≥>

De manera equivalente, se demuestra que

n1

pxU mm0x/m

nm

+∑≤>

Por consiguiente, para todo entero positivo n, se cumple:

n1

pxIn1

px mm0x/m

1mm0x/m mm

+∑≤≤−∑>>

de donde, tomando limites cuando n →∞, se tiene:

mm0x/m

1 pxIm

∑=>

De manera análoga, se demuestra que:

mm0x/m

2 pxIm

∑=≤

∑

∑=−==µ ∑==µ

[ ]

=++

( ) ( ) ( ) =

+

+

=

≤ I ≤

∞ ∞

= =

≤ ∑ ∑

a

+

≤<

∑

+

≤<∞

=∑

≤<

−−∞

=

∑

≤<

−∞

=∑

≤<

−∞

=

≤<

−

∑

∑

≥

∑

∑

≤<

−∞

=[ ]>

[ ]∑

>−∑≥

∞

=

≤<

−

1−∑≥

>

1+∑≤

>

1+∑≤≤−∑

>>

→∞

∑=>

∑=

≤


Puesto que, la serie ∑m

mmpx es absolutamente convergente, luego las

integrales 1I y 2I existen; por consiguiente:

∑=−==µm

mm21 pxII)X(E , si n = m, tenemos ∑==µn

nn px)x(E

Debemos observar que np , es la función de probabilidad de X;

[ ]x n np (x ) = P X = xEJEMPLOS8.1.1.- Si dos monedas se lanzan 20 veces, sea X el número de caras que

ocurren en cada lanzamiento, entonces los valores de X pueden ser 0, 1 y 2. Supongamos que en el experimento resultan: En 8 lanzamientos cero caras y en 7 lanzamientos salió una cara y en 5 lanzamientos salieron dos caras. El número promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es, entonces

85.020

)5(2)7(1)8(0=

++

Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible.La solución anterior podemos expresar en forma equivalente como:

( ) ( ) ( ) 85.0205

2207

1208

0 =

+

+

que en sí, es la esperanza de obtener un número de caras por lanzamiento;

Los números 820

720

520

, y son las fracciones del total de lanzamiento

que resultan en 0, 1 y 2 caras, respectivamente; estas fracciones son las frecuencias relativas para los diferentes valores de X en el experimento. De esta manera, interpretamos el verdadero significado de la esperanza, que es la media o promedio de un conjunto de datos, conociendo los distintos valores de que ocurren y sus frecuencias relativas.

8.1.2.- Hallar el número esperado de mujeres que forman parte de una representación laboral de 4 miembros que se seleccionan al azar o por sorteo de un grupo de 8 varones y 6 mujeres.SOLUCIÓN:Sea X la variable aleatoria que representa el número de mujeres en la representación laboral; 4,3,2,1,0R X = . La función de probabilidad de X es:


( )

−

=

4

14

x4

8

x

6

xpX ; x = 0,1,2,3,4

De donde:

( ) ( ) ( ) ,14360

2p,14348

1p,14310

0p XXX ===

100115

)4(p,1001160

)3(p XX == , luego

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+

+

+

=

100115

41001160

314360

214348

114310

0)X(E

99.110011996

100160

1001480

143160

14348

==+++=

De aquí que, si la representación laboral de 4 miembros se selecciona aleatoriamente, una y otra vez, de un grupo de 8 varones y 6 mujeres, se tendrían, en promedio 1.99 ≈ 2 mujeres.

8.1.3.- Supongamos que se tiene una moneda normal y el jugador tiene sus oportunidades para que al lanzarla aparezca una cara; el juego termina en el momento en el que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe S/.2, S/.5 y S/.10, respectivamente. Si no cae cara en ninguno de los tres lanzamientos, pierde S/.30. Determinar la ganancia o pérdida promedio después de un número muy grande de juegos.SOLUCION:Sea X la variable aleatoria que representa la cantidad que se gana o pierde cada vez que se juega; XR = 2, 5, 10, -30 y

( ) [ ] ( )21

CP2XP2pX ==== , ( ) [ ] ( )41

CSP5XP5pX ====

( ) [ ] ( )81

CSSP10XP10pX ==== ,

( ) [ ] ( )81

SSSP30XP30pX ==−==−

Por lo tanto, el promedio o la esperanza es:

−

+

+

==µ

81

30./S81

10./S41

5./S21

2./S)X(E

25.0./S75.3./S25.1./S25.1./S1./S −=−++=

[ ] ( )

=−

==

−

[ ] ( ) −

= =−∑

∑====µ

( )∑ −

−−

==

−− ( ) =

∑

( )

[ ] =λ

==λ−

( ) λ=λ=∑−

λ∑ λ=

λ==µ λλ−∞

=

−∞

=

λ−λ−

( )

−

=

( ) ( ) ( ) ===

==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+

+

+

=

==+++=

≈

( ) [ ] ( ) 1==== ( ) [ ] ( ) 1

====

( ) [ ] ( ) 1====

( ) [ ] ( ) 1==−==−

−

+

+

==µ

25−=−++=


De donde podemos inferir que, participando en el juego una sola vez, se puede ganar o perder, pero si se repite el juego muchas veces, en promedio, se perderá S/.0.25; es decir, “a la larga” se pierde S/.0.25 por juego.

8.1.4.- La distribución de probabilidad X, de número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme, es:

x 0 1 2 3 4

Xp (x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

Hallar el número promedio de fallas por cada 10 metros de esta tela.SOLUCION:E(X) = 0(0.41) + 1(0.37) + 2(0.16) + 3(0.05) + 4(0.01)

= 0.37 + 0.32 + 0.15 + 0.04 = 0.888.1.5.- Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros

p y n, hallar la esperanza de dicha variable aleatoria.SOLUCION:

Como [ ] ( )

=−

==

−

contrariocasoen ,0

n,0,1,2,....ksi,p1pk

nkXP

knk

Entonces

[ ] ( ) knkn

0k

n

0kp1p

k

nkkXkP)X(E −

= =−∑

∑====µ

( )∑ −

−−

==

−−n

1k

kn1k p1p1k

1nnp ( )

n-1n-1- jj

j=0

n-1np p 1- p

j

=

∑

= ( ) n-1np p+ 1- p = np

8.1.6.- Sea X una variable aleatoria con distribución de Poísson, hallar la esperanza de dicha variable aleatoria.SOLUCION:

Como [ ] ,.....2,1,0n;!n

enXP

n

=λ

==λ−

; entonces

( ) λ=λ=∑−

λ∑ λ=

λ==µ λλ−∞

=

−∞

=

λ−λ−

ee!1n

e!n

en)X(E

1n

1n

0n

n

8.1.7.- Sea X una variable aleatoria con distribución de Pascal, hallar la esperanza de X.SOLUCION:


Como [ ] 1q1p0,.....;1,0n;pqnXP n <−=<===Entonces, aplicando la definición, el lema 8.1.1 y la fórmula:

∑−

=∞

=0n

n

x11

x , si |x| > 1; obtenemos

∑ ∑

∑===µ

∞

=

∞

=

∞

=0n 1n nj

jn qppnq)X(E ( ) ( )∑ =−

=−

=∞

=1n

n

pq

q1q

q11

qp

OBSERVACION: Mayor cantidad de ejemplos se puede hallar calculando la esperanza de los ejemplos de las distribuciones discretas de probabilidad vistas en el capítulo V.TEOREMA 8.1.2.-Sea X una variable aleatoria con una distribución continua. La esperanza de Xexiste y tiene el valor de:

dx)x(xf)X(E X∫=∞

∞−

siempre y cuando la integral impropia tenga sentido.DEMOSTRACION:La demostración de este teorema es análoga a la demostración del teorema anterior, excepto que:

j

n

kx

n

1k/j

pj

∑

≤<

−, debe ser reemplazado por ∫

−

n

k

n

1kX dx)x(f , jj

n

kx

n

1kj

pxj

∑

≤<

−se

reemplaza por ( )∫−

n

k

n

1kX dxxxf y, así mismo

m

0xmm px

m

∑>

es reemplazado por

( )∫∞

0X dxxxf .

EJEMPLOS8.1.8.- La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X está

dada por:

( ) ( ) <<−

=contrariocasoen ,0

1x0si,x12xfX

Determinar la esperanza de X.SOLUCION:

( ) ( ) ( )1 1

2X

0 0

E(X) xf x dx = x 2 1- x dx = 2x- 2x dx∞

−∞

= ∫ ∫ ∫

=

( )

>=

( )∫ ∫ ∫===∞

∞−

∞ ∞−

=

−=

∞

α β

[ ] ( ) ( )

>β

αΓβ

==β−−α

( ) ( ) ( ) ( ) β−∝∞∞

β−−∝∫ β

∝Γ=∫ β

∝Γβ

==µ

( ) ( ) β∫ β∝Γβ

= β−−+∝∞ ( )

( )( )( ) β

∝=

∝Γβ∝Γ∝

=∝Γβ+∝Γ

=

µσ

[ ]( )

∞<<−∞σπ

== σ

µ−−

∞ µ ∞ σ

[ ] <−=<===

∑−

=∞

=| |

∑ ∑

∑===µ

∞

=

∞

=

∞

= ( ) ( )∑ =−

=−

=∞

=

q

∫=∞

∞−

∑

≤<

−∫−

∑

≤<

−

( )∫−

∑>

( )∫∞

( ) ( ) <<−

=

( ) ( ) ( )∞

−∞

= ∫ ∫ ∫


12 3

0

2 1x - x =

3 3 =

8.1.9.- Sea X la variable aleatoria que representa la vida en horas de un cierto dispositivo electrónico. La función de densidad de probabilidad es:

( )

>=

contrariocasoen ,0

100 xsi,x

20000xf 3

X

Hallar la esperanza de este dispositivo.SOLUCION:

( )∫ ∫ ∫===∞

∞−

∞ ∞−

100 100

22X dxx20000dx

x

20000dxxxf)X(E

200x

20000

100

=

−=

∞

Es decir; se debe esperar que este tipo de dispositivo durará, en promedio 200 horas.

8.1.10.-Sea X una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros α y β, hallar la esperanza de dicha variable aleatoria.

SOLUCION:

Como

[ ] ( ) ( )

>β

αΓβ

==β−−α

contrariocasoen ,0

0xsi,exkXP

x1

Entonces

( ) ( ) ( ) ( ) dxex1

dxexx)X(E x

00

x1 β−∝∞∞

β−−∝∫ β

∝Γ=∫ β

∝Γβ

==µ

( ) ( ) dxex1 x

11

0β∫ β

∝Γβ= β−

−+∝∞ ( )( )

( )( ) β

∝=

∝Γβ∝Γ∝

=∝Γβ+∝Γ

=1

8.1.11.- Sea X una variable aleatoria con distribución normal con media µ yvarianza 2σ , hallar la esperanza de X.

SOLUCION:

Como [ ]( )

∞<<−∞σπ

== σ

µ−−

x,e2

1xXP

2

2

2

x

, -∞ < µ < ∞, σ > 0


Luego: ( )

dxxe2

1)X(E

2

2

2

x

∫σπ

==µ∞

∞−

σµ−

−.Si

σµ−

=x

y , entonces

dx1

dyσ

= ; consecuentemente: ( ) dyey2

1)X(E 2

y2

σ∫ µ+σσπ

=−∞

∞−

Como

[ ]∫ =π

σ−=∫

πσ

−=π

σ=σ∫ σ

σπ

∞

∞−

∞∞−

∞

∞−

−−∞

∞−0e

2due

2ydye

2dyey

2

1 uu2

y

2

y 22

donde 2

yu

2

−= ,

∫ =π

∞ −

0

2

y

dye22

u2

∫π

∞−

0

z ,dze222

u 2

donde 2

yz = ; y como

,21

dze20

z2

π=

Γ=∫

∞− por corolario 7.1.2.

Entonces: E(X) = 0 + u22

udze22

2

u

0

z2

=ππ

=∫π

∞−

8.1.12.- Sea X una variable aleatoria con distribución Ji-cuadrada con r grados de libertad, hallar la esperanza de X.

SOLUCION:

Como

[ ]

>

Γ==

−−

contrariocasoen ,0

0xsi,2x

2r

2

e

kXP

2

2r2

x

Entonces

∫

Γ

=

∫

Γ

==µ∞ −

−∞ −

0

2

x2

r

2

2r

0

2

x

dxe2x

2r

1dx

2x

xe

2r

2

1)X(E

Si 2x

y = , luego dy2dx = , entonces:

Γ

+Γ

=∫

Γ

= −∞ −+

=

Γ

Γ

=

α β

[ ]

>αβ==

βα−−β

β∝−∞

−β∫β=∝=µ

β=∝ −βββ=∝

∝

=

( )−

∞ −+β

∞

β

−β∫∫

∝=

∝

=( )

+

βΓ

∝=

β

α β

( )

+Γ=

+Γ=

==π

=

Γ=

∞ ∞

[ ] ≤Ω∈=≤A

( )[ ]

( )

∫σπ

==µ∞

∞−

σµ−

−

σµ−

=

σ= ( ) σ∫ µ+σ

σπ=

−∞

∞−

[ ]∫ =π

σ−=∫

πσ

−=π

σ=σ∫ σ

σπ

∞

∞−

∞∞−

∞

∞−

−−∞

∞−

−=

∫ =π

∞ −

∫π

∞− =

π=

Γ=∫

∞−

=ππ

=∫π

∞−

[ ]

>

Γ==

−−

∫

Γ

=

∫

Γ

==µ∞ −

−∞ −

x= dy=


Γ

+Γ

=∫

Γ

= −∞ −+

2r

12r

2dyey

2r

2)X(E y

0

112

r

r

2r2r

2r2

=

Γ

Γ

=

8.1.13.- Sea X una variable aleatoria con distribución de Weibull con parámetros α y β, hallar la esperanza de X.

SOLUCION:

Como

[ ]

>αβ==

βα−−β

contrariocasoen ,0

0xsi,exkXP

x1

Entonces, dxexx)X(E x

0

1 β∝−∞

−β∫β=∝=µ

Si ,y xβ=∝ entonces ,dxxdy,y

x 1

1

−βββ=∝

∝

= luego

( )dyey

1dye

y)X(E y

0

111

01

y

1

−∞ −+

β∞

β

−β∫∫

∝=

∝

=( )

+

βΓ

∝=

β1

11/1

8.1.14.- El tiempo de duración de un sistema, se encuentra aproximadamente por una distribución de Weibull con α = 50 y β = 2. Hallar el valor esperado del tiempo de duración del sistema.SOLUCION:Para esta distribución, por el ejemplo anterior

( )

+Γ=

+Γ= 1

21

07.71

121

50

1)X(E

2/1

125.014.14

77.114.142

121

.07.71

==π

=

Γ=

Sea g una función real definida sobre (-∞ , ∞) y sea X una variable aleatoria, consideremos que g(X) sea, a su vez, una variable aleatoria y esto significa que para todo número real t, la familia de sucesos elementales

[ ] t)w(X/wt)X(g ≤Ω∈=≤es un evento; es decir, es un elemento de A .

El objetivo es calcular ( )[ ]XgE en el caso en que X tiene una distribución discreta o una distribución continua.


TEOREMA 8.1.3.-Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad

( )xf)x(p XX = y el rango de X es una sucesión nx de números reales. La

media, valor esperado o esperanza matemática de ( )Xg está dado por:

( ) ( )[ ] ( ) ( )nX1n

nXg xfxgXgE ∑==µ∞

=

siempre y cuando la serie converja absolutamente (esto es,

( ) ( ) ∞<∑∞

=nX

1nn xfxg )

DEMOSTRACION:Como X es discreta, entonces ( )Xg es también discreta. Sea T el conjunto de

todos los números reales de la forma ( )nxg , luego T es un conjunto finito o infinito numerable y, por el teorema 8.1.1, tenemos:[ ]

)x(ft)X(gE nX

t)X(g/XTt nn

∑∑==∈

( )nXt)x(g/xTt

xtfnn

∑∑==∈

( ) ( )nXn

n xfxg∑=

EJEMPLO8.1.15.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de

probabilidad:

X -3 6 9

=)y,x(pX ( )xfX1

6

1

2

1

3

Hallar [ ])X(gE , donde )X(g = ( )21X2 + .SOLUCION:

[ ])X(gE = ( )[ ]21X2E + = ( )1X4X4E 2 ++ = ( ) ( )xf1x4x4 X2∑ ++

=

+

+

31

36121

16961

25 = 209

Presentamos el siguiente teorema, sin demostración, que en sí es un caso particular de la generalización del teorema 6.2.1.TEOREMA 8.1.4.-

Sean: ,X,...,X,X n21 n variables aleatorias con una distribución conjunta

continua. Sean: ,,...,, 21 mggg m funciones reales de n variables, tales que

( )∞≤<≤∞−

( ) ( ) ≤≤≤<

( )[ ] ∫∫=

≤<

=

( )

( ) ( )[ ]=µ ( ) ( )∫∞∞−

( ) ( ) ∞<∫∞∞−

( )[ ]∫ >= ∞ ( )[ ]∫ ≤= ∞−

( )[ ] ( ) ( ) >∈=Π< ( ) ( )Π⊂Π [ ]>=

∫=Π

<≤

∑ ∫=∞

=

Π

∑ ∫=∞

=

−

Π

≤≤

∑ ∫−

=∞

=

≤<

−∑ ∫∞

=

≤<

−∑ ∫∞

=

≤<

−

∑ ∫≥∞

=

≤<

− ∫

>≥

∫

>

≤

∫>

( )x= ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )∑==µ∞

=

( ) ( ) ∞<∑∞

=

( )( )

[ ]

)∑∑==∈

( )∑∑==∈

( ) ( )∑=

= ( )x1 1 1

[ ]) ) ( )+

[ ]) ( )[ ]+ ( )++ ( ) ( )∑ ++

+

+

,

,


( )n21i X,...,X,Xg sea una variable aleatoria para i = 1,2,…,m. Si

∞≤<≤∞− ii ba para i = 1,2,…,m, y si

B = ( )n21 x,...,x,x / ( ) mi1,bx,...,x,xga in21ii ≤≤≤< entonces será:

( )[ ] n1n1X,..XB

m

1iin1ii dx,..,dx)x,..x(p..bX,...,XgaP

N1∫∫=

≤<

=

TEOREMA 8.1.5.-

Sea X una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad ( )XfX

. La media o valor esperado de la variable aleatoria g(X) está dado por:

( ) ( )[ ]XgEXg =µ = ( ) ( )∫∞∞− dxxfxg X

siempre y cuando ( ) ( ) ∞<∫∞∞− dxxfxg X .

DEMOSTRACION:La demostración de este teorema es muy similar a la del teorema 8.1.2, considerando ( )[ ]dxxxgPI 01 ∫ >= ∞ y ( )[ ]dxxxgPI 0

2 ∫ ≤= ∞− , la esperanza de

g(X) existirá siempre y cuando 1I e 2I sean finitos, en cuyo caso

( )[ ]XgE = 1I - 2I . Sea ahora: ( ) ( ) xtg/IRtx >∈=Π y se tiene que, si

21 xx < , entonces ( ) ( )12 xx Π⊂Π . Si definimos [ ]x)X(gP)x(h >= ,entonces por el teorema 8.1.4

∫=Π )x(

X dt)t(f)x(h ,

será una función no creciente de x; es decir, si 21 xx < entonces

)x(h)x(h 12 ≤ . Si ahora llamamos:

∑ ∫=∞

=

Π

1k

n

kXn dt)t(f

n1

L , ∑ ∫=∞

=

−

Π1k

n

1kXn dt)t(f

n1

U resulta que: n1n UIL ≤≤ ,

para todo entero positivo n.Pero;

∑ ∫−

=∞

=

≤<

−1k

n

k)x(g

n

1k/x

Xn dx)x(fn

1kL = ∑ ∫

∞

=

≤<

−1k

n

k)x(g

n

1k/x

X dx)x(fnk

- ∑ ∫∞

=

≤<

−1k

n

k)x(g

n

1k/x

X dx)x(fn1

∑ ∫≥∞

=

≤<

−1k

n

k)x(g

n

1k/x

X dx)x(f)x(g -

∫>0)x(g/xX dx)x(f

n1 ≥

∫

>0)x(g/xX dx)x(f)x(g -

n1

De modo similar, tenemos nU ≤

∫>0)x(g/x

X dx)x(f)x(g +n1


Consecuentemente,

∫

>0)x(g/xX dx)x(f)x(g -

n1 ≤ 1I ≤

∫

>0)x(g/xX dx)x(f)x(g +

n1

o, en la forma

∫−

>0)x(g/xX1 dx)x(f)x(gI ≤

n1

para todo entero positivo n. Como el primer miembro de esta desigualdad no depende de n, entonces

1I =

∫>0)x(g/x

X dx)x(f)x(g

En forma similar, se demuestra que

2I =

∫−≤0)x(g/x

X dx)x(f)x(g

Luego

[ ])X(gE = 1I - 2I = ∫∞

∞−dx)x(f)x(g X

EJEMPLO8.1.16.-Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad.

)x(fX = >−

contrariocasoen ,0

0xsi,e x

Hallar el valor esperado de )X(g = 3

2 X

e

SOLUCION:Por el teorema 8.1.5, se tiene

3

X2

eE = ∫∞

∞−

− dxee x3

x2

= ∫∞ −

0

3

x

dxe =

∞−

−

0

3

x

e3 = 3

El siguiente propósito, es presentar el concepto de esperanza matemática para el caso de dos variables aleatorias X e Y, con distribuciones de probabilidad conjunta =)y,x(p Y,X ( )y,xf Y.X y considerando g(X, Y) una

variable aleatoria; es decir,( )[ ]xY,Xg ≤ = ( ) ∈≤ωωΩ∈ω x)(Y),(Xg A

para todo número real x.

= ( )( )

( )[ ]=µ ( )∑∑∞

=

∞

=( )

∞≤≤= ∞≤≤=

( )( )

( )[ ]=µ ∫ ∫∞∞−

∞∞−

∞<∫ ∫∞∞−

∞∞−

( ) =

∫

>dx

1 ≤ I ≤

∫>

dx1

∫−

>≤ 1

I

∫>

dx

I

∫−≤

dx

[ ]) I I ∫∞

∞−

) >−

)

∫∞

∞−

− ∫∞ −

∞−

−

= ( )y

( )[ ]x≤ ( ) ∈≤ωωΩ∈ω A


TEOREMA 8.1.6.-Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad conjunta =)y,x(p Y,X ( )y,xf Y.X . La media o real esperado de la variable

aleatoria ( )Y,Xg es:

( )[ ]Y,XgE)Y,X(g =µ = ( )∑∑∞

=

∞

=1i 1jji y,xg ( )jiY,X y,xf

(donde ∞≤≤= i1xR iX y ∞≤≤= j1yR jY ) siempre y cuando la

serie doble sea absolutamente convergente.DEMOSTRACION:La demostración de este teorema es muy análoga que a la del teorema 8.1.1 y dejamos como ejercicio al lector su formalización.TEOREMA 8.1.7.-Sean X e Y variables aleatorias continuas con distribución de probabilidad conjunta ( )y,xf Y.X . La media o valor esperado de la variable aleatoria

( )Y,Xg es:

( )[ ]Y,XgE)y,x(g =µ = ∫ ∫∞∞−

∞∞− dxdy)y,x(f)y,x(g Y,X

siempre y cuando sea∞<∫ ∫

∞∞−

∞∞− dxdy)y,x(f)y,x(g Y,X

DEMOSTRACION:La demostración de este teorema es análoga que a la del teorema 8.1.2 y dejamos al lector su comprobación.

Dejamos constancia que el teorema anterior se cumple para una función g de cualquier número (finito) de variables aleatorias.EJEMPLOS8.1.17.- Si X e Y tienen la siguiente función de probabilidad conjunta.

fXY

x

y

2 4

1

3

5

0.10 0.15

0.20 0.30

0.10 0.15

Hallar el valor esperado de ( ) 2XYY,Xg = .SOLUCION:Por el teorema 8.1.6, tenemos:


( )2XYE = ∑∑x y

Y,X2 )y,x(fxy

= [ ]∑ ++x

Y,X2

Y,X2

Y,X2 )5,x(f)5(x)3,x(f)3(x)1,x(f)1(x

= )5,2(f50)3,2(f18)1,2(f2 Y,XY,XY,X ++ +

)5,4(f100)3,4(f36)1,4(f4 Y,XY,XY,X ++= 2(0.10) + 18(0.20) + 50(0.10) + 4(0.15) + 36(0.30) + 100(0.15)= 0.20 + 3.6 + 5 + 0.6 + 10.8 + 15 = 35.2

8.1.18.- Si X e Y son variables aleatorias con función de densidad conjunta:

f x yX Y, ( , ) = <<<<

contrariocasoen ,0

1y01,x0si,xy4

Hallar el valor esperado de 22 YXZ +=SOLUCION:Por el teorema 8.1.7, tenemos:

)Z(E = ∫ ∫ +10

10

22 xydydxyx4 = 40

1x∫ dxydyyx1

022∫ +

= ( )∫

+1

0

1

0

23

22 dxyx32

x2 = ( )∫

−+1

032

32 dxx1xx

34

=32

( )∫ +10

23

2 xdx21x - ∫10

4dxx34

= ( )15

2 2

0

2 2x 1

3 5 × +

-1

0

5

5x

34

= ( )

154

124154

−−

=158

21516

− = 1.508 - 0.533 = 0.975

NOTA: Si g (X, Y) = X en los teoremas 8.1.6 y 8.1.7, encontramos:

E(X) =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∫=∫ ∫

∑=∑∑∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−continuocasodxxxgdydxy,xxf

discretocasoxxgy,xxf

XY,X

Xx y

Y,X

donde )x(gX es la distribución marginal de X. Por lo tanto, al calcular E(X)

en un espacio de dos dimensiones, puede utilizarse, ya sea la distribución de probabilidad conjunta de X e Y o la distribución marginal de X.De manera análoga, se tiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∫=∫ ∫

∑=∑∑∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

( )+ ( )∫ +∞∞−

∫∞∞− ∫

∞∞−

[ ]± [ ] [ ]±

( ) ∑∑

[ ]∑ ++

)++

)++

y) <<<<

+=

) ∫ ∫ + ∫ ∫ +

( )∫

+ ( )∫

−+

3 ( )∫ + ∫

( ) × +

( ) 4−−

8−

)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∫=∫ ∫

∑=∑∑∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

)


E(Y) =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∫=∫ ∫

∑=∑∑∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−continuocasodyyyhdydxy,xyf

discretocasoyyhy,xyf

YY,X

Yx y

Y,X

donde Yh (y) es la distribución marginal de la variable aleatoria Y.

8. 2. ESPERANZA DE COMBINACION LINEAL DE VARIABLES ALEATORIASEn esta sección desarrollaremos algunas propiedades importantes de

esperanza de variables aleatorias y las que permitirán calcular valores esperados en términos de otros parámetros que sean conocidos o fácilmente calculables. Los resultados de los teoremas que se presentan pueden generalizarse y que escapa a las necesidades de esta obra.

Todos los resultados que se presentan aquí son válidos para ambas variables aleatorias, discretas y continuas. Las demostraciones sólo se dan para el caso continuo.TEOREMA 8.2.1.-Para toda variable aleatoria X, cuya esperanza exista y si a y b son constantes, entonces E (a X + b) = a E(X) + b.DEMOSTRACION:Por el teorema 8.1.5.( )baXE + = ( ) dx)x(fbax x∫ +∞

∞−

= ∫∞∞− dx)x(xfa X + ∫

∞∞− dx)x(fb X = a E(x) + b(1) = a E(X) + b.

COROLARIO 8.2.1. Si b es una constante, entonces E(b) = bDEMOSTRACION:En el teorema 8.2.1, sea a = 0, entonces E (a X + b) = E(b) = (0) E(X) + b = b.

COROLARIO 8.2.2.Para toda variable X y a constante, se tiene: E (a X) = a E(X).DEMOSTRACION:En el teorema 8.2.1, sea b = 0, entonces

E (a X) = E (a X + 0) = a E (X) + 0 = a E (X)TEOREMA 8.2.2.-El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una variable aleatoria X, es la suma o diferencia de los valores esperados de dichasfunciones. Esto es, para dos funciones:

[ ])X(h)X(gE ± = [ ] [ ])X(hE)X(gE ±


DEMOSTRACION:Por el teorema 8.1.5.[ ] [ ])X(hE)X(gE ± = [ ]∫ ±∞

∞− dx)x(f)x(h)x(g X

= ∫∫ ± ∞∞−

∞∞− dx)x(f)x(hdx)x(f)x(g XX = [ ])X(gE ± [ ])X(hE

Presentamos el siguiente teorema de mucha importancia, que es una ampliación del teorema 8.2.2, para el caso de dos variables aleatorias X e Y

con distribución de probabilidad conjunta )y,x(f Y,X .

TEOREMA 8.2.3.-El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de las variables aleatorias X e Y es la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones. Esto es, para dos funciones:

[ ])Y,X(h)Y,X(gE ± = [ ] [ ])Y,X(hE)Y,X(gE ±DEMOSTRACION:Por el teorema 8.1.7,[ ])Y,X(h)Y,X(gE ± = [ ]∫ ∫ ±∞

∞−∞∞− )y,x(h)y,x(g dxdy)y,x(f Y,X

= ∫ ∫∞∞−

∞∞− dxdy)y,x(f)y,x(g Y,X ± ∫ ∫

∞∞−

∞∞− dxdy)y,x(f)y,x(h Y,X

= [ ] [ ])Y,X(hE)Y,X(gE ±COROLARIO 8.2.3.[ ])X(h)X(gE ± = [ ] [ ])X(hE)X(gE ±

DEMOSTRACION:En el teorema 8.2.3, consideremos g(X, Y) = g(X) y h(X,Y) = h(Y)de donde se deduce la prueba de este corolario, que viene a ser el teorema 8.2.2.COROLARIO 8.2.4.Si X e Y son variables aleatorias y si a y b son constantes, entonces( )bYaXE ± = )Y(bE)X(aE ±

DEMOSTRACION:En el teorema 8.2.3, consideremos g(X, Y) = aX y h(X,Y) = bYde donde ( )bYaXE ± = )bY(E)aX(E ± y por el corolario 8.2.2

( )bYaXE ± = )Y(bE)X(aE ±TEOREMA 8.2.4.-Sean X e Y variables aleatorias independientes, cuya esperanza existe, entonces:

E(XY) = E(X) E(Y).DEMOSTRACION:Por el teorema 8.1.7, )XY(E = ∫ ∫

∞∞−

∞∞− xy dxdy)y,x(f Y,X

∫∞∞− ∫

∞∞−

∏=

∏

=∏=

∏=

∏

=∫ ∫∞∞−

∞∞− ( )

∫ ∫∞∞−

∞∞−

∏=

∫∞∞− ∏

=

( )( )[ ]+

( )+=

( )[ ]+ ( )++ ++

[ ] [ ])± [ ]∫ ±∞∞−

∫∫ ± ∞∞−

∞∞− [ ]) ± [ ])

)

[ ])± [ ] [ ])±

[ ])± [ ]∫ ∫ ±∞∞−

∞∞− dxdy

∫ ∫∞∞−

∞∞− ± ∫ ∫

∞∞−

∞∞−

[ ] [ ])±

[ ])± [ ] [ ])±

( )± )±

( )± )±( )± )±

) ∫ ∫∞∞−

∞∞− dxdy


Como X e Y son independientes, entonces )y,x(f Y,X = )y(h)x(g YX

donde )x(gX y )y(h Y son las distribuciones marginales de X e Y,respectivamente. Por tanto:

)XY(E = ∫∞∞− dx)x(xgX ∫

∞∞− dy)y(yhY = )Y(E)X(E

Generalizando este teorema tenemos el siguiente teorema.TEOREMA 8.2.5.-

Sean: n21 X,...,X,X , n variables aleatorias independientes cuyas esperanzas existan y si sus distribuciones conjuntas son discretas o continuas, entonces

existe la esperanza del producto ∏=

n

1iiX , y se tiene

∏

=

n

1iiXE = )X(E

n

1ii∏

=

DEMOSTRACION:Por el teorema 8.1.7, en el caso en que g sea una función de n argumentos y

n21 x,...,x,x(g = ∏=

n

1iiX , tenemos

∏

=

n

1iiXE = ∫ ∫

∞∞−

∞∞− n21 x,...,x,x..... ( ) n1n1X,...,X dx,...dxx,...,xf

n1

= ∫ ∫∞∞−

∞∞− n21 x,...,x,x..... n1nX2X1X dx,...dx)x(f)...x(f)x(f

n21

= ∏=

n

1iiX ∫

∞∞− iiXi dx)x(fx

i= )X(E

n

1ii∏

=

EJEMPLOS8.2.1.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de

probabilidad:X -3 6 9( )xfX 1 6 1 2 1 3

Hallar ( )[ ]21X2E +SOLUCION:Aplicando el teorema 8.2.2 a la variable aleatoria ( )21X2Z += ,

tenemos ( )[ ]21X2E + = ( )1X4X4E 2 ++ = )1(E)X(E4)X(E4 2 ++Del corolario 8.2.1, E( )1 = 1, y por cálculo directo:

)X(E 2 =

61

9 + 36

21

+ 81

31

= 1.5+18+27 = 46.5


)X(E =

−

61

3 +6

21

+ 9

31

= -0.5 + 3 + 3 = 5.5

Por lo tanto:( )[ ]21X2E + = 4(46.5) + 4(5.5) + 1 = 186 + 22 + 1= 209

Este resultado comprueba lo encontrado en el ejemplo 8.1.15.8.2.2.- Si una variable aleatoria X se define de manera que:

( )[ ]21XE − = 10, ( )[ ]22XE − = 6. Hallar ( )xE .SOLUCION:Aplicando las propiedades vistas en los teoremas anteriores, tenemos:( )[ ]21XE − = ( )1X2XE 2 +− = )X(E 2 - 1)X(E2 + = 10

( )[ ]22XE − = ( )4X4XE 2 +− = )X(E 2 - 4)X(E4 + = 6De donde:

)X(E 2 = 9 + 2E(X) y )X(E 2 = 2 + 4E(X)

Entonces, 2E(X) + 9 = 4E(X) + 2. Por tanto )X(E =27

= 3.5

8.2.3.-En el ejemplo 8.1.18, si X e Y son variables aleatorias independientes. Hallar: a) ( )Y3X2E − y

b) ( )XYESOLUCION:Por aplicación de los teoremas anteriores:a) ( )Y3X2E − = )Y(E3)X(E2 − y por cálculo directo

)X(E = ∫ ∫∞∞−

∞∞− dxdy)xy4(x = ∫ ∫

10

10

2 yx4 dy dx

= [ ] dxyx21

010

22∫ = dxx2 10

2∫ =32

)Y(E = ∫ ∫∞∞−

∞∞− dxdy)xy4(y = ∫ ∫

10

10

2xy4 dx dy

= [ ] dyyx21

010

22∫ = dyy2 10

2∫ =32

Luego, ( )Y3X2E − = 232

- 323

=34

- 2 = -0.67

b) Como X e Y son independientes, por el teorema 8.2.4 y la parte a)

)Y(E)X(E)XY(E = = 44.094

32

.32

==

A modo de comprobación, calculemos directamente.

∫ ∫ ∫

∫

( )µ

( ) ( )==µ µ=µ

∫

∑ ∑=∞

∞−

µ==

)

−

( )[ ]+

( )[ ]− ( )[ ]− ( )

( )[ ]− ( )+− 1+

( )[ ]− ( )+− 4+

)7

( )−( )

( )− )−

) ∫ ∫∞∞−

∞∞− ∫ ∫ dy dx

[ ]∫ ∫2

) ∫ ∫∞∞−

∞∞− ∫ ∫ dx dy

[ ]∫ ∫2

( )−2 2 4

)= ==


)XY(E = ∫ ∫10

10

22 dxdyyx4 = ∫

10

1

0

23

dy3yx

4

= ∫10

2dyy34

=1

0

3

3y

34

=

94

= 0.44

8. 3. MOMENTOS Y FUNCION GENERADORA DE MOMENTOS DE VARIABLES ALEATORIASEl objeto de esta sección es definir los momentos, función generadora

de momentos, momentos centrales y los momentos mixtos de las variables aleatorias y deducir sus propiedades más importantes.DEFINICION 8.3.1Si r es un entero positivo, se llama momento de orden r de una variable aleatoria X, al valor:

( ), rr = E Xµ

siempre que exista tal esperanza.Dado que el momento de primer orden, de la variable aleatoria X es ( ) ( )XEXE 1,

1 ==µ , suele escribirse como: ,rµ=µ

No obstante que los momentos de una variable aleatoria pueden determinarse a partir de la definición 8.3.1, existe un procedimiento alterno y que requiere la utilización de una función generadora de momentos, que definiremos a continuación, antes de ver los casos particulares de los momentos de orden r de una variable aleatoria.DEFINICION 8.3.2La función generadora de momento de la variable aleatoria X, denotado por

)t(mX , es:

)t(mX = )e(E tX

De la definición de esperanza tenemos:

)t(mX = )e(E tX =

∫

∑ ∑=∞

∞−continuaesXsi)x(fe

discretaesXsi)x(fe)x(pe

Xtx

x xX

txX

tx

TEOREMA 8.3.1.-Sea X una variable aleatoria con función generadora de momento )t(mX .Entonces:

,r

0tr

Xr

dt

)t(mdµ=

=

DEMOSTRACION:


Probaremos para cuando X es una variable aleatoria continua, entonces)t(mX = dx)x(fe X

tx∫∞∞−

y si suponemos que puede diferenciarse dentro del signo integral, se obtiene

rX

r

dt

)t(md= dx)x(fex X

txr∫∞∞−

Si t = 0, entonces:

0trX

r

dt

)t(md= = dx)x(fx X

r∫∞∞− = ,

rr )x(E µ=

El teorema 8.3.1, nos induce a manifestar que las derivadas sucesivas de )t(mX calculadas en el origen generan los momentos de X, razón por la cual se llama función generadora o generatriz de momento de X.EJEMPLOS8.3.1.- Demostrar que la función generadora de momento de la variable

aleatoria X que tiene una distribución de probabilidad normal, está dado por:

2

tt

22

eσ

+µ

SOLUCION:Puesto que la función de densidad, de la variable aleatoria normal X, por la definición 7.2.1, es:

2x

2

1

X e2

1)x(f

σµ−

−

σπ= , si -∞ < x < ∞, -∞ < µ < ∞, σ >0

Entonces, por el ejemplo 8.1.11 E(X) = µque es la distribución normal estándar y consiguientemente Por otro lado,

( )[ ] ( )E X x e dx

x

− = −−∞

∞ −−

∫µ

πσµ

µσ2 2

1

2

21

2

Si σµ−

=x

z y dzdx σ= , tenemos:

( )[ ] dzez2

XE 2

z2

22

2

−∞∞−∫π

σ=µ− ,

integrando por partes, se obtiene:

( )[ ] dzeze2

XE 2

z

2

z22

22

∫+

−

πσ

=µ− ∞∞−

−∞

∞−

−= ( ) 22 10 σ=+σ

( )

σµ−

−∞∞−∫σπ

=

( )[ ]∫

σπ∞∞−

µ+σ+µ−σ

−

( ) µ+σ+µ− ( )[ ] σ−σµ−σ+µ−

σ+µ

σπ∫∞∞−

σσ+µ−

−

( )σ

σ+µ−= σ=

∫π

∞∞−

−σ

+µσ

+µ

−−

α β

( )−−

∞

∫Γ

( )−−−

∞

∫Γ

[ ]−

( ) −

−Γ

−∞ −

∫

)t ∫∞∞−

∫∞∞−

= ∫∞∞− µ=

)t

σ+µ

σµ−

−

σπ= ∞ ∞ ∞ µ ∞ σ

µ

( )[ ] ( )− = −−∞

∞ −−

∫µ

πσµ

µσ

σµ−

= dzσ=

( )[ ] −∞∞−∫π

σ=µ−

( )[ ] ∫+

−

πσ

=µ− ∞∞−

−∞

∞−

− ( ) σ=+σ


Por tanto, de la definición 8.3.2

)t(mX = ( ) dxee2

1eE

2x

2

1txtX

σµ−

−∞∞−∫σπ

=

=( )[ ]

dxe2

1 2222

xt2x2

1

∫σπ

∞∞−

µ+σ+µ−σ

−

Si se completa el cuadrado en el exponente, tenemos

( ) 222 xt2x µ+σ+µ− = ( )[ ] 42222 tt2tx σ−σµ−σ+µ−y entonces,

)t(mX = 2

tt

22

e2

1σ

+µ

σπdxe

22 )t(x

2

1

∫∞∞−

σσ+µ−

−

Si ( )σ

σ+µ−=

2txw y dwdx σ= , se tiene:

)t(mX = dze2

1e 2

w

2

tt

222

∫π

∞∞−

−σ

+µ= 2

tt

22

eσ

+µ

8.3.2.- Demuestre que la función generadora de momentos de la variable aleatoria X que tiene una distribución Ji-cuadrada con r grados delibertadad es )t(mX = .)t21( 2/r−−SOLUCION:Sabemos que la distribución Ji-cuadrada es un caso especial de la distribución gamma al sustituir α = r/2 y β = 2. Cuando se sustituye por fX(x) en la definición 8.3.2, se obtiene:

)t(mX =( )

dxex2/r2

1e 2/x12/r

02/r

tx −−∞

∫Γ

=( )

dxex2/r2

1 2/)t21(x12/r

02/r

−−−∞

∫Γ

Si y = x(1-2t) /2 y dx = [ ]dy)t21/(2 − , se obtiene:

)t(mX = ( ) dyt

et

y

r

y

r

r 212

212

2/2

1

0

12/

2/ −

−Γ

−∞ −

∫


=( )( )

( ) 2/ry

0

12/r2/r

t21dyeyt212/r

1 −−∞

− −=∫−Γ

ya que la última integral es igual a ( )2/rΓ8.3.3.- Supongamos que el tiempo que trabaja un transistor (en un circuito

dado) es una variable aleatoria X, con función de densidad:

( ) >

=−

contrariocasoen ,0

0xsi,e1000xf

x1000

X

Hallar la función generatriz de momento de X.SOLUCION:

( ) ∫== ∞0

tXX 1000eE)t(m dxee x1000tx −

= ∫∞0 1000 ( ) [ ]∞−−

−= 0

x)1000t(x1000t e1000t

1000dxe =

10001000 − t

y esto se cumple para 1000t <TEOREMA 8.3.2.-Sea X una variable aleatoria con función generadora de momento )t(mX y si a y b son constantes, entonces:

)t(m baX+ = )at(me Xbt

DEMOSTRACION:Por definición 8.3.2,

)t(m baX+ = ( ) ( )bt)aX(t)baX(t eeEeE =+ = ( )( )Xatbt eEe = ( )atme Xbt

TEOREMA 8.3.3.-Si n21 X,...,X,X ; son n variables aleatorias independientes con funciones

generadoras de momentos )t(m),...,t(m),t(mn21 XXX , respectivamente. Si

nn2211 Xa...XaXaY +++= , donde n21 a,...,a,a son constantes, entonces:

)t(mY = ∏==

n

1iiXnX2X1X )ta(m)ta(m)...ta(m)ta(m

in21.

DEMOSTRACION:De la definición 8.3.2 y la hipótesis de independencia, tenemos:

)t(mY = ( )tYeE = ( )( )nn11 Xa...XateE ++ = ( ) ( ) ( )( )nn2211 XtaXtaXta eeeE

= ( )( ) ( )( ) ( )( )1nn2211 XtaXtaXta eE.....eEeE = )ta(m)....ta(m)ta(m nX2X1X n21

DEFINICION 8.3.3.-Si r es un entero positivo, se llama momento central de orden r de una variable aleatoria X, al valor

( )[ ] rr XEXE −=µ

siempre que las esperanzas implicadas en la definición existan.

σ µσ µ ( )[ ]µ−

σ

σσ

σ

σ

µ

( )( ) ( )[ ] ( ) µ−=−==σ=µ

( )[ ]µ− [ ]µ+µ− [ ]µ+µ−

( ) ( ) µ+µ− ( ) ( ) µ−=µ+µ−

( ) µ= ( )µ−µ=µ−µ=σ

( ) ( )[ ] σ

( )( )

( ) σ ( ) ( )

( )( )( )−−

∞− −=∫

−Γ( )Γ

( ) >

=−

( ) ∫== ∞ −

∫∞ ( ) [ ]∞−−

−=

−1000<

)t

)t+

)t+ ( ) ( )=+ ( )( ) ( )

)t

+++=

)t ∏==

)t ( ) ( )( )++ ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) )t

( )[ ] −=µ


Al momento central de orden 2 de X, se le llama varianza o variancia de X, y se denota por: Var(X), 2σ o 2µ : es decir,

2σ = 2µ = Var(X) = ( )[ ]2XE µ−Con la finalidad de aclarar la presencia de la variable aleatoria X, se denota por 2

Xσ .

La raíz cuadrada positiva de la varianza, σ , se llama desviación

estándar o típica de X, denotado por σ = d.t(X); es decir,

σ = d.t(X)= )X(Var

En forma similar, a lo indicado anteriormente, denotaremos por Xσ , a la desviación estándar de la variable aleatoria X.

La cantidad (X-µ ) en la varianza de X, se llama desviación de una

observación con respecto a su media.TEOREMA 8.3.4.-

Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución discreta o continua, y si existe ( )2XE , entonces

( ) ( )[ ] ( ) 222222 XEXEXE)X(Var µ−=−==σ=µ

DEMOSTRACION:Aplicando la definición y propiedades:

)X(Var = ( )[ ]2XE µ− = [ ]22 X2XE µ+µ− = [ ]22 X2XE µ+µ−

= ( ) ( ) 22 XE2XE µ+µ− = ( ) ( ) 22222 XE2XE µ−=µ+µ−

Como ( ) '2

2XE µ= , entonces ( )2'1

'2

21

'2

2 µ−µ=µ−µ=σ , resultado que muestra, que la varianza de una variable aleatoria X, está expresado en términos de momentos de orden 1 y 2.

Ahora, generalicemos el concepto de varianza de una variable aleatoria X, para incluir también variables aleatorias relacionadas con X. Para la

variable aleatoria ( )Xg , la varianza se denota por ( )[ ]XgVar o 2)X(gσ y se

calcula mediante el siguiente teorema de demostración obvia.TEOREMA 8.3.5.-Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad ( )xfX . La

varianza de la variable aleatoria ( )Xg está dada por:

( )Var g X = 2g(X)σ = ( ) ( ) 2

g XE g X - m


EJEMPLOS8.3.4.- Dada la distribución de probabilidad X, del ejemplo 8.1.4. Hallar la

variancia y la desviación típica de fallas por cada 10 metros de tela.SOLUCION:Aplicando el resultado del ejemplo 8.1.4, tenemos ( ) 88.0XE =µ= y del

teorema 8.3.4, ( ) ( ) 222 XEXVar µ−=σ=Pero( ) )01.0(16)05.0(9)16.0(4)37.0(1)41.0(0XE 2 ++++=

= 0.37 + 0.64 + 0.45 + 0.16 = 1.62 y 2µ = 0.7744Luego:

( )XVar = 1.62 - 0.7744 = 0.8456 y σ = ( ) 9196.08456.0Xt.d ==8.3.5.- Sea X una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad está

dada por:

x 0 1 2 3 4p(x) 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8

Calcular:a) ( )XVar y Xσb) ( )1X2Var +SOLUCION:Apliquemos los teoremas 8.3.4 y 8.3.5a) ( ) ( ) 22XEXVar µ−= . Como

+

+

+

+

=µ

81

441

341

241

181

0 = 221

43

21

41

=+++

( )

+

+

+

+

=

81

1641

941

441

181

0XE 2 =2

112

49

141

=+++

Entonces

( ) 5.123

42

11XVar ==−= y consecuentemente 225.1X =σ

b) Primero calculemos la media de la variable aleatoria 1X2 + . De acuerdo con el teorema 8.1.3

( ) ( ) ( )∑ +=+=µ=

+

u

0x1X2 xp1x21X2E

=

+

+

+

+

81

941

741

541

381

= 589

47

45

43

81

=++++

Ahora, utilizando el teorema 8.3.5, tenemos

+σ ( )[ ] +µ−+ [ ] −+

( )[ ]− ( )+−

( ) ( )+−

( )= ( ) =

( ) =+−

=σ +

( )

<<

=

+

+

( ) ( )∫

+=+=µ −+ ( )∫ +−

−

+ =

−−

+

( )+ ( )

−+

−

∫

−

−( )∫ +−

−

−

+−

( ) ( ) σ==σ=± ±

( ) ( )[ ] ±µ−±=±

( ) 88=µ=

( ) ( ) µ−=σ=

( ) ++++=

µ

( ) σ ( ) ==

1 8 4 4 4 1 8

( ) σ( )1+

( ) ( ) µ−=

+

+

+

+

=µ =+++

( )

+

+

+

+

=

11=+++

( ) ==−= 225=σ

1+

( ) ( ) ( )∑ +=+=µ=

+

+

+

+

+ =++++


21X2 +σ = ( )[ ] 2

1X21X2E +µ−+ = [ ] 251X2E −+

= ( )[ ]24X2E − = ( )16X16X4E 2 +−

= ( ) ( ) 16164 2 +− XEXE

Pero, ( )2

11XE 2 = y ( ) 2XE =

Entonces: ( ) 6162162

1142

1X2 =+−

=σ +

8.3.6.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad

( )

<<

=contrariocasoen ,

0

2x1-si,3

x

xf

2

X

Hallar la variancia de 3X2 + .SOLUCION:Calculemos primero la media de 3X2 + , de acuerdo con el teorema 8.1.5

( ) ( )∫

+=+=µ −+

21

2

3X2 dx3

x3x23X2E = ( )∫ +−

21

23 dxx3x231

=2

1

34 x31

x61

−

+ =

211

31

61

38

616

=

−−

+

Ahora, utilizando el teorema 8.3.5.

( )3X2Var + = ( )

−+

2

211

3X2E =

−

2

25

X2E

= ∫

−

−

2

1

22

dx3

x2

5x4= ( )∫ +−

−

2

1

234 dxx25x40x16121

=2

1

345 x3625

x65

x154

−

+− = 2.56

Para el cálculo de las variaciones o desviaciones estándar, presentamos los siguientes teoremas de mucha importancia.TEOREMA 8.3.6.-Si X es una variable aleatoria y si a y b son constantes, entonces

( ) ( ) 2222baX aXVarabaXVar σ==σ=± ±

DEMOSTRACION:Por teorema 8.3.5, ( ) ( )[ ] 2

baXbaXEbaXVar ±µ−±=±


De acuerdo con el teorema 8.2.1 ( ) ( ) babXaEbaXEbaX ±µ=±=±=µ ±

Por tanto:( ) ( )[ ]2babaXEbaXVar µ−±=± = ( )[ ]22 XEa µ− = ( ) 222 aXVara σ=

COROLARIO 8.3.1.Si X es una variable aleatoria y b una constante, entonces

( ) ( ) 22bX XVarbXVar σ==σ=+ +

DEMOSTRACION:Considerando 1a = , en el teorema 8.3.6 se tiene el resultado de manera obvia.COROLARIO 8.3.2.Si X es una variable aleatoria y a una contante, entonces

( ) ( ) 2222aX aXVaraaXVar σ==σ=

DEMOSTRACION:Considerando 0b = , en el teorema 8.3.6 se obtiene el resultado de manera obvia.Si ( ) ( )( )YX YXY,Xg µ−µ−= ,donde ( )XEX =µ y ( )YEY =µ , los teoremas 8.1.6 y 8.1.7. dan el valor esperado que recibe el nombre de covariancia ocovarianza de X e Y, denotado por ( )Y,XCov o XYσDEFINICION 8.3.4.-

Sean X e Y variables aleatorias, la covariancia de X e Y es:( ) ( )[ ] ( )[ ] YEYXEXEY,XCovXY −−==σ = ( )( )[ ]YX YXE µ−µ−

siempre que las esperanzas existan.TEOREMA 8.3.7.-La covariancia de las variables aleatorias X e Y, con esperanzas µ X y µY ,respectivamente, es:

( ) ( ) ( ) ( )YEXEXYEY,XCovXY −==σ = ( ) YXXYE µµ−DEMOSTRACION:

( ) ( )( )[ ]YX YXEY,XCov µ−µ−= = [ ]YXXY YXXYE µµ+µ−µ−= ( ) ( ) ( ) YXXY YEXEXYE µµ+µ−µ−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YEXEYEXEYEXEXYE +−−= ( ) ( ) ( )YEXEXYE − = ( ) YXXYE µµ−

Es preciso manifestar que la covariancia entre dos variables aleatorias esuna medida de asociación natural entre dichas variables. Para valores grandes de X resultan valores grandes de Y, o para valores pequeños de X resultan valores pequeños de Y; si XX µ− es positivo, frecuentemente resultará

YY µ− positivo y si XX µ− es negativo, frecuentemente resultará YY µ−negativo, entonces el producto ( )( )YX YX µ−µ− tenderá a ser positivo. Por

( )( ) ( ) ( ) ( )++=+

+σ σ+σ+σ

( ) ( )[ ] +µ−+=+

( ) ( ) ( )+=+=µ + µ+µ

( ) ( ) ( )[ ] µ+µ−+=+

( ) ( )[ ] µ−+µ−

( ) ( ) ( )( ) µ−µ−+µ−+µ−

( )[ ] ( )[ ]µ−+µ− ( )( )[ ]µ−µ−

( ) ( ) ( )++

σ+σ+σ=σ +

( ) ( ) ( )+=+

( ) ( ) ( ) ( )−==σ ( ) ( ) =−

( ) ( ) ( ) +−+=+ ( ) ( )+=

( ) ( ) b±µ=±=±=µ ±

( ) ( )[ ]µ−±=± ( )[ ]µ− ( ) σ=

( ) ( ) σ==σ=+ +

1=

( ) ( ) σ==σ=

0=

( ) ( )( )µ−µ−= ( )=µ ( )=µ

( ) σ

( ) ( )[ ] ( )[ ] −−==σ ( )( )[ ]µ−µ−

µ µ

( ) ( ) ( ) ( )−==σ ( ) µµ−

( ) ( )( )[ ]µ−µ−= [ ]µµ+µ−µ−( ) ( ) ( ) µµ+µ−µ−( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−−( ) ( ) ( )− ( ) µµ−

µ−µ− µ− µ−

( )( )µ−µ−


otro lado, para valores grandes de X, frecuentemente, resultan valores pequeños de Y, entonces el producto tenderá a ser negativo. Consecuentemente el signo de la covarianza indica si las relaciones entre dos variables aleatorias dependientes son positiva o negativa.TEOREMA 8.3.8.-Si X e Y son variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta

( )y.xf Y.X y si a y b son constantes, entonces

( ) ( ) ( ) ( )Y,XabCov2YVarbXVarabYaXVar 22 ++=+ , o2

bYaX+σ = XY2Y

22X

2 ab2ba σ+σ+σDEMOSTRACION:Por el teorema 8.3.5. ( ) ( )[ ] 2

bYaXbYaXEbYaXVar +µ−+=+ .Pero, aplicando el corolario 8.2.4 y el corolario 8.2.2 tenemos:

( ) ( ) ( )YbEXaEbYaXEbYaX +=+=µ + = YX ba µ+µPor tanto:

( ) ( ) ( )[ ] 2YX babYaXEbYaXVar µ+µ−+=+

= ( ) ( )[ ] 2YX YbXaE µ−+µ−

= ( ) ( ) ( )( ) YX2

Y22

X2 YXab2YbXaE µ−µ−+µ−+µ−

= ( )[ ] ( )[ ]2Y

22X

2 YbXEa µ−+µ− + ( )( )[ ]YX YXabE2 µ−µ−

= ( ) ( ) ( )Y,XabCov2YVarbXVara 22 ++ o

XY2Y

22X

22bYaX ab2ba σ+σ+σ=σ +

COROLARIO 8.3.3.Si X e Y son variables aleatorias independientes y si a y b son constantes, entonces: ( ) ( ) ( )YVarbXVarabYaXVar 22 +=+DEMOSTRACION:La covariancia de dos variables aleatorias independientes es cero; en efecto, del teorema 8.3.7 y teorema 8.2.4,

( ) ( ) ( ) ( )YEXEXYEY.XCovXY −==σ = ( ) ( ) 0XYEXYE =−Por tanto, del teorema 8.3.8, tenemos

( ) ( ) ( ) bYaXEbYaXEbYaXVar +−+=+ ( ) ( )YVarbXVara 22 +=La generalización de este corolario se da en el siguiente teorema.

TEOREMA 8.3.9.-Si n21 X,...,X,X , son n variables aleatorias independientes, todas ellas con

distribución discreta o continua y momento de segundo orden y n21 a,...,a,aconstantes, entonces:


( )∑=

∑

==

n

1ii

2i

n

1iii XVaraXaVar

DEMOSTRACION:En primer lugar, observamos que

( ) ( ) ( )nn11nn2211 XEa.....XEaXa.....XaXaE ++=+++Entonces:

∑

=

n

1iiiXaVar =

∑

∑−

= =

2n

1i

n

1iiiii XaEXaE

= ( )[ ]

∑ −

=

n

1i

2ii

2i XEXaE = ( )[ ]

∑ −

=

n

1i

2ii

2i XEXEa

= ( )[ ]

∑ −

=

n

1i

2ii

2i XEXEa + ( ) ( )( )[ ]∑ −−

≠kjkkjj XEXXEX

= ( ) ( )

∑+∑≠= kj

kj

n

1ii

2i X,XCovXVara

Para kj ≠ , jX y kX son independientes, y por el resultado en la

demostración del corolario 8.3.3 ( ) 0X,XCov kj = , entonces

( )∑=

∑

==

n

1ii

2i

n

1iii XVaraXaVar

lo que demuestra el teorema.EJEMPLOS8.3.7.- Sean X e Y dos variables aleatorias, que representan el número de

bicicletas producidas al día por las líneas ensambladores A y B,respectivamente. La distribución de probabilidad conjunta ( )y,xp Y,X de

las variables aleatorias X e Y, está dada en la siguiente tabla:

YX 0 1 2 3 4 50 0.00 0.01 0.03 0.06 0.07 0.081 0.01 0.02 0.04 0.07 0.07 0.092 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.063 0.00 0.01 0.05 0.05 0.05 0.04

Hallar:a) ( )5X3Var − , b) ( )Y6Var , c) ( )Y,XCov y d) ( )Y3X2Var +SOLUCION:

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )[ ]µ−==−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+++=

( )=µ ( ) ( ) ( ) ( )+++

µ( ) ( )=−=−

( ) ( ) ( )[ ]µ−==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )µ

=µ

( ) ( ) =−=

( ) ( ) ( ) ( )−=

( ) ( )∑ ∑== =

( )∑=

∑

==

( ) ( ) ( )++=+++

∑

=

∑

∑−

= =

( )[ ]

∑ −

=( )[ ]

∑ −

=

( )[ ]

∑ −

=( ) ( )( )[ ]∑ −−

≠

( ) ( )

∑+∑≠=

k≠

( ) 0=

( )∑=

∑

==

( )y

( )5− ( ) ( ) ( )+


Para la solución de los problemas, es importante calcular las distribuciones de probabilidades marginales, que se dan en la siguiente tabla (remitirse al capítulo IV):

XY

P[X=x]0 1 2 3 4 5

0 0.00 0.01 0.03 0.06 0.07 0.08 0.251 0.01 0.02 0.04 0.07 0.07 0.09 0.302 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.06 0.253 0.00 0.01 0.05 0.05 0.05 0.04 0.20

P[Y=y] 0.02 0.06 0.16 0.24 0.25 0.27 1Hallar: a) Por el teorema 8.3.6 y 8.3.4,

( ) ( ) ( )[ ]2x

2XE9XVar95X3Var µ−==−Pero:( ) ( ) ( ) ( ) ( )20.0925.0430.0125.00XE 2 +++=

= 0.30 + 1 + 1.8 = 3.10( )XEX =µ = ( ) ( ) ( ) ( )20.0325.0230.0125.00 +++

= 0.30 + 0.50 + 0.60 = 1.4 y µ X2 = 1.96

Entonces: ( ) ( ) 26.1096.110.395X3Var =−=−b) Por corolario 8.3.2 y teorema 8.3.4,

( ) ( ) ( )[ ]2Y

2YE36YVar36Y6Var µ−==Pero:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )27.02525.01624.0916.0406.0102.00YE 2 +++++=

= 0.06 + 0.64 + 2.16 + 4 + 6.75 =13.61( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y = E Y = 0 0.02 +1 0.06 + 2 0.16 + 3 0.24 + 4 0.25 + 5 0.27µ

= 0.06 + 0.32 + 0.72 + 1 +1.35 = 3.459025.112

y =µ

Entonces: ( ) ( ) 47.619025.1161.1336Y6Var =−=c) Por el teorema 8.3.7,

( ) ( ) ( ) ( )YEXEXYEY,XCov −=Como, aplicando el teorema 8.1.6,

( ) ( )∑ ∑== =

3

0X

5

0YY,X y,xxypXYE


= ∑=

3

0X[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,xp2x1,xp1x0,xp0x Y,XY,XY,X ++

+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,xp5x4,xp4x3,xp3x Y,XY,XY,X ++ ]

= ( ) ( ) ( )3,1p32,1p21,1p10 Y,XY,XY,X +++ + +)4,1(p4 Y,X

+)5,1(p5 Y,X ( ) ( ) ( )+++ 3,2p62,2p41,2p2 Y,XY,XY,X

)5,2(p10)4,2(p8 Y,XY,X + + ( ) ( ) ( )3,3p92,3p61,3p3 Y,XY,XY,X ++

+ )4,3(p12 Y,X + )5,3(p15 Y,X

= (0.02) + 2(0.04) + 3(0.07) + 4(0.07) + 5(0.09) + 2(0.02) + 4(0.04) + 6(0.06) + 8(0.06) + 10(0.06) + 3(0.01) + 6(0.05) + 9(0.05) + 12(0.05) + 15(0.04)

= 0.02 + 0.08 + 0.21 + 0.28 + 0.45 + 0.04 +0.16+ 0.36 + 0.48 + 0.60 + 0.03 + 0.30 +0.45+ 0.60 + 0.60 = 4.66

y de a) y b); ( ) 4.1XE = y ( ) 45.3YE =Por tanto, ( ) ( )( )45.34.166.4Y,XCov −= = 4.66 - 4.83 = -0.17

d) Por el teorema 8.3.8 y los resultados de a), b) y c),( ) ( ) ( ) ( )Y,XCov12YVar9XVar4Y3X2Var ++=+

= ( )[ ] ( )[ ] ( )17.012YE9XE4 2Y

22X

2 −+µ−+µ− = 4(3.10 - 1.96) + 9(13.61 - 11.9025) - 2.04 = 4.56 + 15.3675 - 2.04 = 17.8875

8.3.8.-Con las variables aleatorias cuya función de densidad conjunta se da en el ejercicio 21 del capítulo VI, hallar:

a) ( )Y,XCov b)

+

2Y3X

Var

SOLUCION:La función de densidad conjunta de X e Y, está dada por:

( )

<<<<−

=contrariocasoen ,

0

3y12,x1si,5

yx3

y,xf Y,X

y las densidades marginales de X e Y, respectivamente, son:

( )

<<−

=contrariocasoen ,

0

2x1si,5

4x6

xfX

( )

<<−

=

( ) ( ) ( ) ( )−=

( ) ∫ ∫

−

=∞

∞−

∞

∞−( )∫ ∫ −

∫

− ( )∫ −

[ ] ( )=−=−

( ) ( ) ( )∫ ∫ −==∞

∞−[ ]− ( ) =

( ) ( ) ( )∫ ∫ −==∞

∞−=

−

( ) −=

−= ==

−

+=

+ ( ) ( ) ( )++

( ) ( ) µ−= ( ) ( ) µ−=

( ) ( )( ) ( )

−∞

∞

∫ ( )∫ − =

−

( ) ( )∫∞

∞−( )∫ −

=

−

∑=

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2++

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5++ ]

( ) ( ) ( )3+++ +

+ ( ) ( ) ( )+++

)5+ ( ) ( ) ( )3++

) )

( ) 4.= ( ) 45=( ) ( )( )45−=

( ) ( ) ( ) ( )++=+

( )[ ] ( )[ ] ( )−+µ−+µ−

( )

+

( )

<<<<−

=

( )

<<−

=


( )

<<−

=contrariocasoen ,

0

3y1si,10

y29

yfY

a) Por el teorema 8.3.7,( ) ( ) ( ) ( )YEXEXYEY,XCov −=

Como, aplicando el teorema 8.1.7,

( ) ∫ ∫

−

=∞

∞−

∞

∞−dxdy

5yx3

xyXYE = ( )∫ ∫ −3

1

2

1

22 dxdyxyyx351

= ∫

−

3

1

2

1

223 dy

2yx

yx51

= ( )∫ −3

1

2 dyy3y14101

= [ ] ( ) 3636101

yy7101 3

132 =−=−

y aplicando el teorema 8.1.2,

( ) ( ) ( )∫ ∫ −==∞

∞−

2

1

2X dxx4x6

51

dxxxfXE = [ ]2123 x2x25

1− = ( )1

58

85

= , y

( ) ( ) ( )∫ ∫ −==∞

∞−

3

1

2Y dyy2y9

101

dyyyfYE =1528

y32

y29

101

3

1

32 =

−

Entonces,

( )75

2243

1528

58

3Y,XCov −=

−= = 013.0

751

75224225

==−

b) Por el teorema 8.3.8,

+=

+

Y23

2X

Var2

Y3XVar = ( ) ( ) ( )Y,XCov

23

YVar49

XVar41

++

Como, por teorema 8.3.4,( ) ( ) 2

X2XEXVar µ−= y ( ) ( ) 2

Y2YEYVar µ−=

calculemos ( )2XE y ( )2YE , aplicando el teorema 8.1.5, tenemos:

( )2XE = ( )x f x dxX2

−∞

∞

∫ = ( )∫ −2

1

23 dxx2x352

=30

79x

3

2x

4

3

5

22

1

34 =

−

( )2YE = ( )∫∞

∞−dyyfy Y

2 = ( )∫ −3

1

32 dyy2y9101

=5

19y

21

y3101

3

1

43 =

−


y como, por a), 25642

X =µ y2257842

Y =µ

Entonces ( )15011

2564

3079

XVar =−= , ( )22571

225784

519

YVar =−=

Por tanto,

751

23

22571

49

15011

41

2Y3X

Var ++=

+

= 748.0600449

501

10071

60011

==++

En estadística aplicada con frecuencia se necesita conocer la distribución de probabilidad de una combinación lineal de variables aleatorias normales independientes.TEOREMA 8.3.10.-Si X1, X2 , ….., Xn son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones normales con medias µ1, µ2,……, µn y varianzas

2n

22

21 ,.....,, σσσ , respectivamente, entonces la variable aleatoria

nn2211 Xa........XaXaY +++=donde 1 2 na , a ,.....a son constantes, tiene una distribución normal con

media nn2211Y a.......aa µ++µ+µ=µ

y varianza 2n

22

22

22

21

21

2Y a......aa σ++σ+σ=σ

DEMOSTRACION:Por el teorema 8.3.3, se encuentra

)t(mY = ∏==

n


in21.

Sustituyendo a1t por t en la función generadora de momentos de la distribución normal obtenida en el ejemplo 8.3.1, luego a2t por t y así sucesivamente antpor t, se tiene:

)t(mY = 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 n n n nexp(a m t+ a s t / 2 + a m t+ a s t / 2 + .. + a m t+ a s t / 2 .

= [ ]2/t)a....aa(t)a..aa(exp 22n

2n

22

22

21

21n2211 σ++σ+σ+++µ+µ

que se reconoce como la función generadora de momentos de una distribución que es normal con media nn2211Y a.......aa µ++µ+µ=µ y varianza

2n

22

22

22

21

21

2Y a......aa σ++σ+σ=σ .

Ahora resulta evidente que la distribución de Poisson y la distribución normal tienen una propiedad reproductiva, en el sentido d que las sumas de variables aleatorias independientes que tienen el mismo tipo de distribuciones. Esta propiedad reproductiva también la tiene la distribución Ji-cuadrada, de

+++=

∏==

−−

−− −− −−++−−

µ σ

σµ−

∑==

[ ]σµ−

∑=

64=µ

784=µ

( ) 11=−= ( ) 71

=−=

++=

+

==++

µ µ µσσσ

+++=

µ++µ+µ=µ

σ++σ+σ=σ

)t ∏==

)t

[ ]σ++σ+σ+++µ+µ

µ++µ+µ=µ

σ++σ+σ=σ


acuerdo con el teorema 7.4.2 y de acuerdo al siguiente teorema, que la volvemos a enunciar y demostrar (utilizando momentos y función generadora de momentos).TEOREMA 8.3.11.-Si X1 , X2 , ….., Xn son variables aleatorias mutuamente independientes que tienen, respectivamente, distribuciones Ji-cuadradas con r1, r2,……, rn grados de libertad, entonces la variable aleatoria

n21 X........XXY +++=tiene una distribución Ji-cuadrada con r = r1 + r2 + …. + rn grados de libertad.DEMOSTRACION:Por el teorema 8.3.3, se encuentra

)t(mY = ∏==

n


in21.

Del ejemplo 8.3.2)t(m

iX = .)t21( 2/ri−− donde i = 1, 2, …., n

Por tanto,)t(mY = 2/r1)t21( −− 2/r2)t21( −− ….. .)t21( 2/rn−−

= 2/)r.....rr( n21)t21( ++−−la cual se reconoce como la función generadora de momento de una distribución Ji-cuadrada con r = r1 + r2 + …. + rn grados de libertad.COROLARIO 8.3.4.-Si X1 , X2 , ….., Xn son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones normales idénticas con media µ y varianza σ2, entonces la variable aleatoria

2in

1i)

X(Y

σµ−

∑==

tiene una distribución Ji-cuadrada con r = n grados de libertad.El corolario es una consecuencia inmediata del ejemplo 7.4.5, el cual

establece que cada una de las n variables aleatorias independientes [ ]2i /)X( σµ− , donde i = 1,2,….,n, tiene una distribución Ji-cuadrada con 1 grado de libertad. Este corolario es sumamente importante, establece una relación entre la muy importante distribución Ji-cuadrada y la distribución normal, en el corolario debemos observar que si Z1, Z2,….., Zn son variables

aleatorias normales estándar independientes, entonces ∑=

n

1i

2iZ tiene una

distribución Ji-cuadrada y el parámetro único, r, los grados de libertad, es n, el número de variables normales estándar.


Ahora veremos, en lo que sigue, la desigualdad de Schwarz, pero previamente tenemos el siguiente teorema.TEOREMA 8.3.12.-Si X es una variable aleatoria tal que: [ ] 10XP =≥ , [ ] 00XP >> y que exista

( )XE , entonces ( ) 0XE > .DEMOSTRACION:Observemos que para cualquier sucesión de números positivos nE en la que

0E n → para ∞→n , se cumple que:

[ ] [ ]∞

=>=>

1nnEX0X

Por el corolario 1.5.2 (desigualdad de Boole),

[ ] [ ]∑ >≤>∞

=1nnEXP0XP

Como [ ] 00XP >> , entonces, para algún valor de n, [ ] 0EXP n >> . Por lo

tanto, existen algún 0>ε y algún 0>δ tales que [ ] δ=ε>XP o )x(FX ≤)(FX ε = 1 - δ , para todo [ ]ε∈ ,0x . Por otro lado, como [ ]0XP ≥ = 1, implica

que )x(FX = 0, para todo x < 0. Ahora, supongamos que g es una función definida por:

g (x) = [ ][ ]

ε∉ε∈δ

,0xsi,0

,0xsi,

entonces, 1 - )x(FX ≥ g (x), para todo x > 0.Luego

)X(E = ( )∫ −∞

0X dx)x(F1 ≥ ∫

∞

0dx)x(g = δε > 0

TEOREMA 8.3.13 (Desigualdad de Schwarz)Si X e Y son variables aleatorias, tal que existan )X(E y )Y(E , entonces

)XY(E 2 ≤ )X(E 2 )Y(E 2 .La igualdad se cumple siempre y cuando exista un número real t, tal que: [ ]0YtXP =+ = 1 o [ ]0tYXP =+ = 1.

DEMOSTRACIONRecordemos que la ecuación de segundo grado de la forma: cbx2ax 2 ++ =

0, donde a, b y c son números reales, tiene dos raíces reales si 0ac4b 2 >− ,

una sola raíz real si 0ac4b 2 =− y ninguna raíz real si 0ac4b 2 <− ; el signo

de cbx2ax 2 ++ = 0 es contrario al de a para los valores de x comprendidos entre las eventuales raíces, y sólo para ellos.

( )[ ]≥+

( )[ ]+ ≥

≤≤

( )[ ]+ [ ]=+[ ]=+

( )[ ]+

ρ

ρσσ

σ σρ

[ ]−≤ ρ ≤

ρ[ ]−

ρ[ ]−

[ ][ ][ ]−− ≤ [ ] − [ ] −

ρ[ ][ ]

[ ] [ ] −−−−

[ ] 1=≥ [ ] 0>>( ) ( ) 0>

0→ ∞→

[ ] [ ]∞

=>=>

[ ] [ ]∑ >≤>∞

=

[ ] 0>> [ ] 0>>0>ε 0>δ [ ] δ=ε> ) ≤

)ε δ [ ]ε∈ [ ]0≥)

[ ][ ]

ε∉ε∈δ

) ≥

) ( )∫ −∞

≥ ∫∞

δε

) )

≤

[ ]0=+ [ ]0=+

++>−

=− <−++


Ahora bien, para todo número real t, tenemos que ( )[ ]0YtXP 2 ≥+ = 1, luego

( )[ ]2YtXE + = 2t )X(E 2 + 2 t )XY(E + )Y(E 2 ≥ 0Esta expresión cuadrática en t no tiene, pues, ninguna raíz real o tiene a lo sumo una sola, y por lo tanto )XY(E 2 - )X(E 2 )Y(E 2 ≤ 0, de donde,

)XY(E 2 ≤ )X(E 2 )Y(E 2 .La igualdad, vale sólo cuando exista un número real t tal que

( )[ ]2YtXE + = 0. Aplicando el teorema 8.3.6, [ ]0YtXP =+ = 1.

Recíprocamente, si [ ]0YtXP =+ = 1, para algún t, por el teorema 8.3.6

( )[ ]2YtXE + = 0, de donde

)XY(E 2 = )X(E 2 )Y(E 2

Para concluir esta sección, presentaremos la noción de coeficiente de correlación, que es un número que relaciona dos variables aleatorias y cuya aplicabilidad se ve dentro del análisis de correlación en estadística aplicada.

DEFINICION 8.3.5Sean X e Y dos variables aleatorias, con momentos de segundo orden. El coeficiente de correlación de X e Y, denotado por )Y,X(ρ , es:

)Y,X(ρ =YX

)Y,X(Covσσ

siempre que σ X > 0 y σY > 0. Si alguna de estas desviaciones típicas es nula, )Y,X(ρ no existe.

TEOREMA 8.3.14El coeficiente de correlación entre las variables aleatorias X e Y, está dentro del intervalo [ ]1,1− ; es decir,

-1 ≤ )Y,X(ρ ≤ 1Se cumple )Y,X(ρ = 1 siempre y cuando exista un número positivo a tal

que: Y - )Y(E = a [ ])X(EX − .Se cumple )Y,X(ρ = - 1 siempre y cuando exista un número negativo b

tal que: Y - )Y(E = b [ ])X(EX − .DEMOSTRACION:Por el teorema 8.3.11, desigualdad de Schwarz,

[ ][ ][ ])Y(EY)X(EXE 2 −− ≤ [ ] 2)X(EXE − [ ] 2)Y(EYE −y como

)Y,X(2ρ =[ ][ ]

[ ] [ ] 22

2

)Y(EYE)X(EXE

)Y(EY)X(EXE

−−−−


entonces )Y,X(2ρ ≤ 1 o )Y,X(ρ ≤ 1, de donde

-1 ≤ )Y,X(ρ ≤ 1.Por la desigualdad Schwarz, aplicando para el caso del signo igual ( = ); es decir

[ ][ ][ ])Y(EY)X(EXE2 −− = [ ] 2)X(EXE − [ ] 2)Y(EYE −siempre y cuando exista algún número real t, tal que

[ ] [ ] 0)Y(EY)X(EXtP =−+− = 1.

o simplemente Y - )Y(E = k [ ])X(EX − ; donde k = - t , es un número real. Entonces multiplicando a ambos miembros, por )X(EX − , obtenemos

[ ][ ])X(EX)Y(EY −− = k [ ])X(EX − [ ])X(EX − )Y,X(Cov = k )Y,X(Var

Si k > 0 (k = a), del último resultado se tiene )Y,X(Cov > 0, entonces )Y,X(ρ > 0 y consecuentemente )Y,X(ρ = 1.

Si k < 0 (k = b), en forma similar a la anterior, )Y,X(Cov < 0, entonces )Y,X(ρ < 0 y consecuentemente )Y,X(ρ = - 1, con lo que concluye la demostración.8. 4. ESPERANZA CONDICIONAL

La esperanza condicional, se infiere de modo similar que a la de una esperanza ordinaria, excepto en la utilización de la probabilidad condicional en lugar de la probabilidad ordinaria y esto debido a que la probabilidad condicional satisface las condiciones de ser una función de probabilidad, así tenemos la siguiente definición, en virtud de los teoremas 8.1.1. y 8.1.2.DEFINICION 8.4.1Sean X e Y variables aleatorias, con función de probabilidad condicional de Y dado X = x, )x/y(f X/Y . La esperanza o valor medio de Y dado X = x,

denotado por X/Yµ o ( )xX/YE = , está dado por:

a) ( )xX/YE = = ∑y

X/Y )x/y(yf ; para el caso discreto.

b) ( )xX/YE = = ∫∞

∞−dy)x/y(yf X/Y , para el caso continuo.

De modo similar, tendremos:c) ( )yY/XE = = ∑

xY/X )y/x(xf ; para el caso discreto.

d) ( )yY/XE = = ∫∞

∞−dx)y/x(xf Y/X ; para el caso continuo.

[ ]=

[ ] ∫∞

∞−∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

[ ] ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∫∞

∞−

( )= =σ

= ( )[ ]=

= =σ

=

=

( )[ ] [ ]=+==

( )[ ] ( )[ ]

=−

===

( )[ ]=−

==

ρ ≤ ρ ≤≤ )ρ ≤

[ ][ ][ ]−− [ ] − [ ] −

[ ] [ ] =−+−) [ ])−

)−[ ][ ])−− [ ])− [ ])−

) ))

)ρ )ρ)

)ρ )ρ

)

µ ( )=( )= ∑ )

( )= ∫∞

∞−

( )= ∑ )

( )= ∫∞

∞−


TEOREMA 8.4.1Si X e Y son variables aleatorias con función de probabilidad condicional

)x/y(f X/Y y tal que existe E(Y), entonces:

[ ] )Y(E)X/Y(EE = .DEMOSTRACION:Como en la sección anterior, probaremos para el caso continuo.

[ ])X/Y(EE = ∫∞

∞−dx)x(f)X/Y(E X = ∫

∫

∞

∞−

∞

∞−dx)x(fdy)x/y(fy XX/Y

= ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−dydx)x(f)x/y(fy XX/Y

Como )x/y(f X/Y =)x(f

)y,x(f

X

Y,X , entonces

[ ])X/Y(EE = ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−dydx)y,x(fy Y,X = ∫

∫

∞

∞−

∞

∞−dydx)y,x(fy Y,X

= ∫∞

∞−dy)y(yfY = )Y(E

DEFINICION 8.4.2Si X e Y son variables aleatorias, con función de probabilidad condicional

)x/y(f X/Y , la varianza condicional de Y dado X = x, está dado por:

( )xXYVar = = 2

xX/Y =σ =

= xXYE

2- ( )[ ]2xX

YE =Similarmente, tendremos

= yYXVar = 2

yY/X =σ =

= yYXE

2-

2

yYXE

=

TEOREMA 8.4.2.Si X e Y son variables aleatorias, con función de probabilidad )x/y(f X/Y ,entonces

( )[ ] [ ])xXY(EVarxX

YVarE)Y(Var =+==

DEMOSTRACION:Como

( )[ ] ( )[ ]

=−

===22

xXYExX

YEExXYVarE (definición 8.4.2)

( )[ ]22

xXYEExX

YEE =−

== (teorema 8.2.3)


( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2222 YExXYEEYEYE +=−−=

( ) ( )[ ] ( )[ ]22

xXYEExX

YEEYVar =+=−=

( ) ( )[ ]xXYEVarYVar =−= (teorema 8.4.1)

Entonces

( )[ ] [ ])xXY(EVarxX

YVarE)Y(Var =+==

Para el caso de que X e Y sean variables aleatorias, con función de probabilidad condicional )y/x(f Y/X , se tiene

=+

== )yYX(EVaryY

XVarE)X(Var

OBSERVACIONES:8.4.1. De modo análogo a la definición 8.4.1, se tiene establecido que si (X,Y)

es una variable aleatoria condicional y g(X,Y) es una función de dos variables, entonces( )yY/)Y,X(gE = = [ ]∑ ==

xyY/xXP)y,x(g

= [ ]yY/)y,x(gE = ; para el caso discreto.

( )yY/)Y,X(gE = = ∫∞

∞−dy)y/x(f)y,x(g Y/X

= [ ]yY/)y,X(gE = ; para el caso continuo.

8.4.2. [ ]yY/)baXE =+ =a [ ]yY/XE = +b; donde a y b son números reales y

[ ] 0yYP >= , la justificación de esta última se deja al lector.EJEMPLOS8.4.1. Si la distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria (X,Y)

está dada por la siguiente tabla.

YX

0 1

0 0.10 0.05

1 0.20 0.10

2 0.30 0.25

Calcular:

( )=( )=

+

( )=ρ

( )= [ ]∑ ==

[ ]== [ ]==

[ ]==[ ]

[ ] ===

==

( )= =

( )=+ ( )=+ ( )=

( )= [ ]∑ ==

[ ]== [ ]==[ ]

[ ] ===

==

( )=+ ==+

( )= ( )= ( )= [ ]∑ ==

[ ]== [ ]== [ ]==[ ]== [ ]==[ ]

[ ][ ]

[ ]===

+=

== =+=+

( )=

= ( )[ ]=

= [ ]∑ ==

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]+=−−=

( ) ( )[ ] ( )[ ]=+=−=

( ) ( )[ ]=−=

( )[ ] [ ]=+==

)

=+

==

( )= [ ]∑ == y

[ ]y=

( )= ∫∞

∞−

[ ]y=[ ]y=+ [ ]y=

[ ] 0>=


a) ( )1YXE = ,

b) ( )2YYX2E =

+ ,

c) ( )1XXYE = ,

d) Var(Y/X=1), y e) )Y,X(ρSOLUCION:a) Por definición 8.4.1

( )1Y/XE = = [ ]∑ ==x

1Y/xXxP

= (0) [ ]1Y/0XP == +(1) [ ]1Y/1XP ==

Como, [ ]1Y/1XP == =[ ]

[ ] 31

30.010.0

1YP1Y,1XP

===

==

Entonces, ( )1Y/XE = =31

)31

(1 =

b) De las observaciones 8.4.1 y 8.4.2, tenemos ( )2Y/YX2E =+ = ( )2Y/2X2E =+ =2 ( )2Y/XE = +2

Como:( )2Y/XE = = [ ]∑ ==

x2Y/xXxP

= (0) [ ]2Y/0XP == +(1) [ ]2Y/1XP ==

= (1) [ ]

[ ] 115

55.025.0

2YP2Y,1XP

===

==

Entonces, ( )2Y/YX2E =+ = 91.21132

2)115

(2 ==+

c) De la observación 8.4.1, tenemos( )1X/XYE = = ( )1X/Y1E = = ( )1X/YE = = [ ]∑ ==

y1X/yYyP

= 0) [ ]1X/0YP == +(1) [ ]1X/1YP == +2 [ ]1X/2YP === [ ]1X/1YP == + 2 [ ]1X/2YP ==

=[ ]

[ ][ ]

[ ]1XP1X,2YP

21XP

1X,1YP=

==+

===

=23

45

41

)40.025.0

(240.010.0

=+=+

d) Por definición 8.4.2

( )1XYVar = =

=1XYE

2- ( )[ ]21X

YE =Como, por observación 8.4.1 y definición 8.4.1

=1XYE

2= [ ]∑ ==

y

2 1X/yYPy


= 0 +(1) [ ]1X/1YP == +(4) [ ]1/2 == XYP

=[ ]

[ ][ ]

[ ]1XP1X,2YP

41XP

1X,1YP=

==+

===

=4

114

1041

)40.025.0

(440.010.0

=+=+

( )1XYE = = [ ]∑ ==

y1X/yYyP =

23

Entonces, ( )1XYVar = =

21

42

49

411

23

411

2

==−=

−

e) Por definición 8.3.5 )Y,X(ρ =YX

)Y,X(Covσσ

Como, por teorema 8.3.7 ( ) ( ) ( ) ( )YEXEXYEY,XCov −=pero:( ) [ ]1Y,1XPXYE === +(2) [ ]2Y,1XP ==

= 0.10 + 2(0.25) = 0.60( )XE = [ ]∑ =

xxXxP = (1) [ ] 4.01XP ==

( )YE = [ ]∑ =y

yYyP = (1) [ ] [ ]2)2(1 =+= YPYP

= 0.30 + 2(0.55) = 1.4Entonces, ( ) =Y,XCov (0.60) – (0.4) (1.4) = 0.04Por otro lado, por teorema 8.3.4

( ) ( )[ ]22X XEXE −=σ = [ ] [ ]∑

=∑−=

x

2

x

2 xXPxxXPx

= ( ) 49.024.016.04.04.04.0 2 ==−=−

( ) ( )[ ]22Y YEYE −=σ = [ ] [ ]∑

=∑−=

y

2

x

2 yYPyyYPy

= [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )22YP21YP2YP41YP =+=−=+=

= ( ) ( ) 96.15.21.130.02.230.0 2 −=+−+ = 73.054.0 =

Por lo tanto, ( ) ( )( ) 11.03577.0

04.073.049.0

04.0Y,X ===ρ

8.4.2 Sea (X, Y) una variable aleatoria continua bidimensional, con densidad

( )

<<<<=

( )= ( ) ( ) ( )ρ

( ) ( ) ] =∫ ==∫= ∞∞−

( ) ( ) ( ) ] ( )−=∫ ==∫= ∞∞−

( )= ∫∞

∞−

( ) ( )( ) ( ) ( )−=

−==

( )= ( ) ( ) ] ( )∫ −=−=−

( ) ( )∫ ∫ ∫=∫=∞

∞−

∞

∞−

[ ]∫ ==∫=

=

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]−=−=

( ) ( )∫ ∫ ∫=∫=∞

∞−

∞

∞−

[ ] [ ]∫ ∫ ====

( ) =

[ ]1== [ ]1==[ ]

[ ][ ]

[ ]1

===

+=

==

11=+=+

( )= [ ]∑ == 13

( )= ==−=

−

)ρ)

σσ( ) ( ) ( ) ( )−=

( ) [ ]1=== [ ]2==

( ) [ ]∑ = x [ ] 4.==

( ) [ ]∑ = y [ ] [ ]2=+=

( ) =

( ) ( )[ ]−=σ [ ] [ ]∑

=∑−=

( ) ==−=−

( ) ( )[ ]−=σ [ ] [ ]∑

=∑−=

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )=+=−=+=

( ) ( ) −=+−+ =

( ) ( )( ) ===ρ


( )

<<<<=

contrariocasoen ,0

1x0x,y0si,x1

y,xf Y,X

Hallar: a) ( )5.0Y/XE = , b) ( )XYE , c) ( )XYVar y d) ( )Y,XρSOLUCION:Previo a las soluciones particulares, hallaremos las densidades marginales para X e Y, que serán de utilidad:

( ) ( ) ] 1yx1

dydyy,xfxfx

0

x0 x

1Y,XX =∫ ==∫= ∞

∞− ; 0<x<1

( ) ( ) ( ) ] ( )ylnxlndxdxy,xfyf1

y

1y x

1Y,XY −=∫ ==∫= ∞

∞− ; 0<y<1

a) Por definición 8.4.1

( )5.0Y/XE = = ∫∞

∞−dx)y/x(xf Y/X

Como ( ) ( )( ) ( ) ( )ylnx

1ylnyf

y,xfy/xf x

1

Y

Y,XY/X −=

−== ,

Entonces

( )5.0Y/XE = = ( ) ( ) ] ( )∫ −=−=−1

0 21

10

21 ln

1x

ln1

dx5.0ln

1

b) Por teorema 8.1.7

( ) ( )∫ ∫ ∫=∫=∞

∞−

∞

∞−

1

0

x

0x1 ydydxdxdyxyXYE

[ ]∫ ==∫=

=

1

0

1

03

61

1

0

221

x

0

2

61

xdxxdx2

y

c) Por el teorema 8.3.4( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]22222 XYEYXEXYEXYE)XY(Var −=−=

Como

( ) ( )∫ ∫ ∫=∫=∞

∞−

∞

∞−

1

0

x

0

2x12222 dydxxydxdyyxYXE

[ ] [ ]∫ ∫ ====1

0

1

01511

05

51

314

31x

03

31 xdxxdxxy

y por b), ( )61

XYE = .


Entonces, 180

7361

151

61

151

)XY(Var2

=−=

−= =0.038

d) Por definición 8.3.5 )Y,X(ρ =YX

)Y,X(Covσσ

Como, por teorema 8.3.7 ( ) ( ) ( ) ( )YEXEXYEY,XCov −=

pero: ( )61

XYE = , ( )XE = ( ) 21

1

0

210X 2

xxdxdxxxf =

=∫=∫

∞∞− ,

( )YE = ( ) ( ) ( )1

0

102

12

10Y ydyyln

2y

dyylnydyyyf

∫−−=∫−=∫

∞∞−

E(Y) = - ( ) ( )41

1lnyyln2

y41

21

1

0

241

2

=−=

−

Entonces, ( ) =Y,XCov241

81

61

)41

)(21

(41

=−=− = 0.042

Por otro lado, por teorema 8.3.4

[ ] ( )[ ] ( )41

XEXEXE 222X

2 −=−=σ

=121

41

31

41

3x

41

dxx1

0

310

2 =−=−

=−∫ = 0.082

[ ] ( )[ ] ( )161

YEYEYE 222Y

2 −=−=σ

= ( ) ( )161

y61

yln3y

161

dyylny1

0

23

10

2 −

−−=−∫−

=485

161

61

=− = 0.104

Por lo tanto, ( ) 447.05

1,

245

241

485

121

241

====YXρ

8. 5. CONVERGENCIA EN PROBABILIDADESEn esta sección presentaremos la definición y las propiedades

fundamentales de la convergencia en probabilidad; llegando a establecer que las sumas, productos y cocientes de sucesiones de variables aleatorias convergen en probabilidad hacia las correspondientes sumas, productos y

→ >ε[ ] →ε≥−

∞→ [ ]=ε≥−∞→

→

→−

→

→ +→+

>ε

→ →

ε

≥−

→ →

ε

≥−

∞→

εε

( )+≤+

( ) ( )[ ]ε≥+−+ ( ) ( )[ ]ε≥−+−

[ ] ε≥−+−⊆

ε

≥−∪ε

≥−⊂

( ) ( )[ ]ε≥+−+≤

ε

≥−+

ε

≥−≤

=−=

−=

)ρ)

σσ( ) ( ) ( ) ( )−=

( ) 1= ( ) ( ) =

=∫=∫

∞∞−

( ) ( ) ( ) ( )

∫−−=∫−=∫

∞∞−

( ) ( ) =−=

−

( ) = =−=−

[ ] ( )[ ] ( ) 1−=−=σ

=−=−

=−∫

[ ] ( )[ ] ( )−=−=σ

( ) ( ) −

−−=−∫−

5=−

( ) ====ρ


cocientes de los límites en probabilidad (si existen) de dichas variables aleatorias.DEFINICION 8.5.1Sea nX una sucesión de variables aleatorias. Se dice que esta sucesiónconverge en probabilidades hacia la variable aleatoria X, denotado por

XX Pn → , si para cada 0>ε ,

[ ] 0XXP n →ε≥−

cuando ∞→n .Equivalentemente [ ] 0XXPlim nn

=ε≥−∞→

Como consecuencia de la definición, se tiene que si XX Pn → , también

0XX Pn →−

TEOREMA 8.5.1

Si nX y nY son sucesiones de variables aleatorias tal que XX Pn → y

YY Pn → , entonces YXYX P

nn +→+DEMOSTRACION:Sea 0>ε (arbitrario), entonces por definición 8.5.1

XX Pn → 0

2XXP n →

ε

≥−

YYP

n → 02

YYP n →

ε

≥−

cuando ∞→n .Por otro lado, tomando en cuenta que si la suma de dos números no es

menor que ε , uno por lo menos de los sumandos no será menor que 2ε

.

Utilizando la desigualdad triangular para números reales ( )baba +≤+ ,

se tiene:( ) ( )[ ]ε≥+−+ YXYX nn = ( ) ( )[ ]ε≥−+− YYXX nn

[ ] ε≥−+−⊆ YYXX nn

ε

≥−∪ε

≥−⊂2

YY2

XX nn

Tomando probabilidades y utilizando el corolario 1.5.2(desigualdad de Boole), se tiene:

0 ( ) ( )[ ]ε≥+−+≤ YXYXP nn

ε

≥−+

ε

≥−≤2

YYP2

XXP nn


Como cada uno de los sumandos del segundo miembro tiende a cero, cuando ∞→n ,

P ( ) ( )[ ] 0YXYX nn →ε≥+−+

Por lo tanto YXYX Pnn +→+ .

En el siguiente teorema tendremos en cuenta que, una constante es una variable aleatoria que toma un sólo valor con probabilidad uno.TEOREMA 8.5.2Si nX es una sucesión de variables aleatorias, k una constante y

XX Pn → , entonces kXkX P

n → .DEMOSTRACION:

Si k=0, el teorema es obvio. Si k≠0 y sea ε >0(arbitrario), luego 0k>

εy

como XX Pn → , entonces

0k

XXP n →

ε

≥− , cuando ∞→n

Por tanto

[ ] 0kXkXPk

XXP nn →ε≥−=

ε

≥− , de donde kXkX Pn →

TEOREMA 8.5.3Si nX es una sucesión de variables aleatorias y 0→P

nX , entonces

02 →P

nX .

DEMOSTRACION:

Sea 0>ε (arbitrario), luego 0≥ε y como 0X Pn → , entonces

[ ] 0→≥ εnXP , para ∞→n .

Pero, [ ] [ ] 0XPXP 2nn →ε≥=ε≥ , luego 0X P2

n →

TEOREMA 8.5.4Si nX es una sucesión de variables aleatorias, k una constante y

kX Pn → , entonces 2P2

n kX → .DEMOSTRACION:

Por la definición 8.5.1, 0kX Pn →− , para ∞→n . Por el teorema 8.5.3,

0)kX( P2n →− , o 0)kkX2X( P2

n2

n →+−Como, por hipótesis y el teorema 8.5.2,

→ →−

=+→−++−

→

→ → →

+→+ −→−

[ ] ( ) ( )[ ]=−−+→−−+=

ε

→

[ ] →ε−≤ [ ] →ε+≥

∞→

[ ] [ ] [ ]ε≥−=ε+≥∪ε−≤

[ ] [ ] [ ]ε≥−=ε+≥+ε−≤

[ ] →≥− ε

[ ] →ε−≤ [ ] →ε+≥

→

→

∞→( ) ( )[ ] →ε≥+−+

+→+

→ →

≠ ε >ε

→

→

ε

≥− ∞→

[ ] →ε≥−=

ε

≥− →

→

→

0>ε ≥ε →

[ ] →≥ ε ∞→

[ ] [ ] →ε≥=ε≥ →

→ →

→− ∞→

→− →+−


2n k2kX2 → o 22

n kkkX2 →−Luego, por el teorema 8.5.1

22P2n

2n

2n kk0)kkX2()kkX2X( =+→−++−

y por tanto 2P2n kX → .

TEOREMA 8.5.5Si nX y nY son sucesiones de variables aleatorias, 21 kyk constantes,

tales que 1P

n kX → y 2P

n kY → , entonces 21P

nn kkYX → .DEMOSTRACION:Por los teoremas 8.5.1 y 8.5.2

21P

nn kkYX +→+ y 21P

nn kkYX −→−Por otro lado, aplicando los teoremas 8.5.1, 8.5.2 y 8.5.4

[ ] ( ) ( )[ ] 212

212

2141P2

nn2

nn41

nn kkkkkk)YX()YX(YX =−−+→−−+=TEOREMA 8.5.6Si nX es una sucesión de variables aleatorias, k una constante, ε>0 y

kXP

n → , entonces

[ ] 0kXP n →ε−≤ y [ ] 0kXP n →ε+≥

para ∞→n .DEMOSTRACION:Como

[ ] [ ] [ ]ε≥−=ε+≥∪ε−≤ kXkXkX nnn

entonces,[ ] [ ] [ ]ε≥−=ε+≥+ε−≤ kXPkXPkXP nnn ,

Como las probabilidades, siempre, son positivas y [ ] 0→≥− εkXP n ,

se tiene que[ ] 0kXP n →ε−≤ y [ ] 0kXP n →ε+≥ .

TEOREMA 8.5.7Si nX es una sucesión de variables aleatorias no nulas y 1X P

n → ,

entonces 1X1 P

n

→ .


DEMOSTRACION:

Se sabe que [ ] 00X1

P0XPn

n →

≤=≥ , cuando ∞→n . Sea ε > 0

(arbitrario), tal que 0<ε<1, por hipótesis 1X Pn → y por el teorema 8.5.6,

tenemos:

a) Para ε>0 y 01>

+εε

tenemos:

01X1

P1

1X0Pn

n →

+ε≥=

+εε

−≤< ,

cuando ∞→n .

b) Para ε>0 y 01

>− εε

tenemos:

01X1

0P1

1XPn

n →

ε−≤<=

ε−ε

+≥ ,

cuando ∞→n .Por lo tanto,

011

11

001

11

→

+≥+

−≤<+

≤=

≥− εεε

nnnn XP

XP

XP

XP ,

cuando ∞→n .

De aquí que, 1X1 P

n

→

TEOREMA 8.5.8Si nX y nY son sucesiones de variables aleatorias, donde nY sea no

nula, 21 kyk constantes(tales que 0k 2 ≠ ) y tal que 1P

n kX → y

2P

n kY → , entonces 2

1P

n

n

k

k

Y

X→ .

DEMOSTRACION:

Por el teorema 8.5.7, de 2P

n kY → , resulta que

1k

Y P

2

n → y también 1Y

k P

n

2 → . De aquí que, por el teorema 8.5.5

1P

n

2n kY

kX→ , luego

2

1P

n

n

k

k

Y

X→ .

≥

[ ] [ ]≤≥

≥

[ ] ∫ ∫ ∫+==∞

∞− ≥ <≥

∫ ∫ ∫[ ]∫ ≥==

≥

≥

[ ] [ ]≥≤ [ ] [ ]≤≥

( )[ ] ( )ε

≤ε≥−

µ− [ ] [ ] =σ=µ−=

[ ] →

≤=≥ ∞→ ε

ε →

ε >+εε

→

+ε≥=

+εε

−≤<

∞→

ε >− εε

→

ε−≤<=

ε−ε

+≥

∞→

→

+≥+

−≤<+

≤=

≥− εεε

∞→

→

0≠ →

→ →

→

→ →

→ →


8. 6. TEOREMAS SOBRE LIMITESEsta sección está diseñada a establecer dos resultados de suma

importancia en el estudio de probabilidades y estadística que son: La ley de los grandes números y el teorema central del límite; obviamente considerando teoremas que serán de utilidad para nuestro propósito y también presentaremos algunas aplicaciones de dichos resultados.

En primer lugar, estudiaremos el teorema de Markov y la desigualdad de Tchebysheff, en honor al matemático ruso P.L. Tchebysheff (1821-1894), que presenta una idea del hecho de que la desviación estándar de una variable aleatoria es una unidad, bastante natural, para la ley de probabilidades de una variable aleatoria.TEOREMA 8.6.1 (Teorema de Markov)Sea X una variable aleatoria y g(X) una función de dicha variable, tal que g(X)

0≥ , si r es una constante positiva cualquiera, entonces:

[ ] [ ]r

)X(gEr)X(gP ≤≥

DEMOSTRACION:Dividamos el campo de variación de X en dos subconjuntos complementarios, uno de ellos formado por los valores de X donde g(X) r≥ y el otro por el resto de los valores de X donde g(X) < r. Entonces, siendo )x(f X la función de densidad de X:

[ ] ∫ ∫ ∫+==∞

∞− ≥ <r)X(g r)X(gXXX dx)x(f)x(gdx)x(f)x(gdx)x(f)x(g)X(gE ≥

X X Xg(X)³r g(X)³r g(X)³r

g(x) f (x)dx ³ rf (x)dx = r f (x)dx∫ ∫ ∫ [ ]∫ ≥==

≥r)X(gX r)X(grPdx)x(fr

La desigualdad se cumple ya que fX(x) > 0 y g(X)≥ 0, por hipótesis; por tanto

[ ] [ ]r)X(grP)X(gE ≥≤ , de donde [ ] [ ]r

)X(gEr)X(gP ≤≥

TEOREMA 8.6.1 (Desigualdad de Tchebysheff)Si X es una variable aleatoria con esperanza E(X) y varianza Var(X), entonces

( )[ ] ( )2

XVarXEXP

ε≤ε≥−

DEMOSTRACION:En el teorema anterior, consideremos la función no negativa g(X) = 2)X( µ− , luego [ ] [ ] )X(Var)X(E)X(gE 22 =σ=µ−=Por tanto,


[ ] [ ]rr

)X(gEr)X(P

22 σ

=≤≥µ− o bien [ ]r

rXP2σ

≤≥µ− .

Si ε=r que también es positivo, entonces

( )[ ] ( )22

2 XVarXEXP

ε=

εσ

≤ε≥−

Otra forma de demostración, sin utilizar el teorema de Markov, es la siguiente:Supongamos que δ es un número arbitrario, tal que 0<δ<ε, entonces

( ) [ ] [ ]( )∫ >≥∫ >= δ−ε∞ 2

02

022 dxxXPdxxXPXE ≥

( ) ( ) ( )2 2 22P X P X ε − δ > ε − δ ≥ ε − δ ≥ ε

Como δ>0 es arbitrario, tenemos ( ) ( )[ ]ε≥−ε≥ XEXPXE 22 .

Ahora, si sustituimos X por X-E(X), tenemos( )[ ] ( )[ ]ε≥−ε≥− XEXPXEXE 22

y utilizando, la definición 8.3.2, obtenemos( ) ( )[ ]ε≥−ε≥ XEXPXVar 2 ,

de donde:

( )[ ] ( )2

XVarXEXP

ε≤ε≥−

Es importante tener las siguientes observaciones:• La desigualdad de Tchebysheff es equivalente a la expresión:

[ ]εσ

≤ε≥−2

)X(EXP

• Puesto que r)X(EX ≥− , entonces rX ≥µ− o rX −≤µ− , es

decir, cuando rXorX −µ≤+µ≥ , por tanto [ ]ε≥− )X(EXP

representa la probabilidad que la variable aleatoria X no pertenezca al intervalo ( )r±µ , probabilidad que está acotada superiormente,

dependiendo la cota del valor de la constante r y de la varianza 2σ de X.• Si σ=ε= kr , se logra otra versión equivalente de la desigualdad de

Tchebysheff:

[ ]22

2

k

1k)X(EXP =

εσ

≤σ≥−

en este caso σ≥µ− kX es el suceso que la variable aleatoria X está

fuera del intervalo ( )σ±µ k dependiendo la cota superior de probabilidad

[ ] −≥<− σµ

•

[ ] =≤σ≥µ−

[ ] =≥σ<µ−

[ ] =≤σ≥µ−

[ ] =≤σ<µ−

=σ

( )σ±µ

( )σ±µ

σ σ

σ

σ

( )σ±µµ σ

[ ] [ ] σ=≤≥µ− [ ] σ

≤≥µ−

ε=

( )[ ] ( )ε

=εσ

≤ε≥−

δ δ ε

( ) [ ] [ ]( )∫ >≥∫ >= δ−ε∞ ≥

( ) ( ) ( ) ε − δ > ε − δ ≥ ε − δ ≥ ε

δ ( ) ( )[ ]ε≥−ε≥

( )[ ] ( )[ ]ε≥−ε≥−

( ) ( )[ ]ε≥−ε≥

( )[ ] ( )ε

≤ε≥−

•

[ ]εσ

≤ε≥−

• ≥− ≥µ− −≤µ−

−µ≤+µ≥ [ ]ε≥−

( )±µ

σ• σ=ε=

[ ] =εσ

≤σ≥−

σ≥µ−( )σ±µ


sólo de la constante k. La cota correspondiente a la probabilidad del suceso complementario será:

[ ]2

11

kkXP −≥<− σµ

• Consideremos los siguientes casos particulares:

Para k = 2 [ ] 25.041

2XP =≤σ≥µ−

[ ] 75.043

2XP =≥σ<µ−

Para k = 3 [ ] 11.091

3XP =≤σ≥µ−

[ ] 89.098

3XP =≤σ<µ−

Ahora tengamos las siguientes consecuencias de la desigualdad de Tchebysheff:1. Esta desigualdad permite confirmar que )X(Var2 =σ es una buena

medida de dispersión ya que, a medida que k crece, la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores fuera del intervalo ( )σ±µ k escada vez más pequeña, es decir, resulta poco probable encontrar valores de X fuera del intervalo ( )σ±µ k cuando k se va haciendo mayor.Por otra parte, la cota de probabilidad es la misma para cualquier variable aleatoria ya que sólo depende de la constante k, mientras que la amplitud del intervalo depende de σ para cada k dado. Cuanto menor sea σ,tendremos la misma cota de probabilidad para un intervalo de menor amplitud; por el contrario, si σ se hace mayor, la amplitud del intervalo aumentará manteniéndose la probabilidad; es decir, la amplitud del intervalo depende del valor que tome σ, es decir, de la mayor o menor dispersión de la variable aleatoria.

2. La utilidad práctica de la desigualdad de Tchebysheff se centra en aquellos casos en que no conozcamos la distribución de probabilidad de la variable aleatoria, lo que no permite calcular ninguna probabilidad. De acuerdo con esta desigualdad, aunque se desconozca la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X, puede determinarse cotas de probabilidad para intervalos del tipo ( )σ±µ k o de sus complementarios,

siempre y cuando podamos asignar algún valor a µ y σ


EJEMPLOS8.6.1 Si E(X) = 4 y Var(X) = 9, determinar los intervalos alrededor de la

media de esta variable aleatoria que contenga al menos el 75% y el 80% de la probabilidad.SOLUCION:Por la desigualdad de Tchebysheff

[ ]2k

11kXP −≥σ<µ−

Como para k = 2, 75.0k

11

2=− , luego el intervalo de al menos el 75%

de probabilidad será: ( )σ±µ k = (4-2x3, 4+2x3) = (-2,10).

Por otro lado, si hacemos: 80.0k

11

2=− , entonces k = 2.24,

obteniéndose el intervalo de 80% el siguiente: ( )σ±µ k = ( )σ±µ 24.2 =(4-(2.24)3, 4+(2.24)3) = (-2.72, 10.72).

8.6.2 En una determinada empresa, el sueldo promedio de los trabajadores es de $ 400, con una desviación estándar de $50.a) Indicar la probabilidad de que el sueldo de un trabajador esté entre

$300 y $500.b) Calcular el intervalo más corto que contenga, por lo menos al 85%

de los sueldos de los trabajadores.c) ¿Con qué frecuencia, se puede decir que, los sueldos de los

trabajadores de dicha empresa son mayores que $500, si se sabe que los sueldos son mayores que $400?

SOLUCION:Usaremos la desigualdad de Tchebysheff y por datos del problema tenemos: E(X)=µ=$400 y σ =$50.a) El intervalo

[ ] [ ]=+−= 100400,100400500,300 [ ]σ+µσ−µ 2,2

y como [ ]( )

75.043

2

112,2P

2==−≥σ+µσ−µ .

Entonces [ ] 75.0500,300P ≥ ; es decir se “espera” que el 75% de los trabajadores tienen sueldo entre $300 y $500.

b) El intervalo que se pide es de la forma:[ ] [ ]k50400,k50400k,k +−=σ+µσ−µ .

=− ==

[ ] [ ]=σ+µσ−µ

==−

( ) ( )[ ] [ ]=+−

=−=−

≥

<≤

<

=

[ ]σ+µσ−µ

≥

<≤

<

=

<≤

=

∫ =∫

===µ=

∞

∞−

∫ =∫

===

∞

∞−

[ ] −≥σ<µ−

=−

( )σ±µ

=−

( )σ±µ ( )σ±µ

µ σ

[ ] [ ]=+−= [ ]σ+µσ−µ

[ ]( )

==−≥σ+µσ−µ

[ ] 75≥

[ ] [ ]k+−=σ+µσ−µ


Pero 85.0k

11

2=− , de donde 58.266.6k == .

Luego, [ ] [ ]529,27158.2,58.2 =σ+µσ−µc) La distancia entre 500 y la media 400, expresada en término de la

desviación estándar es: 250

10050

400500==

−.

Por la desigualdad de Tchebysheff se tiene que, un dato esté en el intervalo ( ) ( )[ ] [ ]600,400502500,502500 =+− , es por lo menos

75.041

1k

11

2=−=− .

Como los sueldos son mayores que $400, podemos inferir que los sueldos son mayores que $500 en más de del 25%(1-0.75=0.25).

8.6.3 Sea X una variable aleatoria con función de distribución de probabilidad:

≥

<≤

<

=

2xsi,1

2x0si,4

x

0xsi,0

)x(F2

X

a) Hallar [ ]σ+µσ−µ 2,2Pb) Acotar la probabilidad anterior utilizando la desigualdad de

Tchebysheff.c) Comentar sobre los resultados anteriores.SOLUCION:a) La función de densidad X es:

≥

<≤

<

=

2xsi,0

2x0si,2x

0xsi,0

)x(f X

<≤

=casosotrosen,0

2x0si,2x

Luego

∫ =∫

===µ=

∞

∞− 34

6x

dx)2x

(xdx)x(xf)X(E2

0

2

0

3

X

∫ =∫

===

∞

∞−2

8x

dx)2x

(xdx)x(fx)X(E2

0

2

0

42

X22


[ ]92

916

2)34

(2)X(E)X(E)X(Var 2222 =−=−=−==σ

Por tanto:

[ ]σ+µ≤≤σ−µ 2X2P =

+≤≤−

32

234

X32

234

P =

+≤≤−

32

34

X32

34

P =

≤≤ 2X32

P

= ∫ ∫ ==

==

2

3

2

2

3

2

2

32

2

X 8.098

4x

dx2x

dx)x(f

b) Por la desigualdad de Tchebysheff [ ]2k

11kXP −≥σ<µ−

Como k = 2 , tenemos:

[ ]=σ<µ− 2XP [ ]σ+µ≤≤σ−µ 2X2P

que es la cota o intervalo de probabilidad, en este caso será:

50.021

)2(

11

k

11

22==−=− .

c) En el caso (a) calculamos la probabilidad exacta de un intervalo, que es 8.0 , superior a la cota inferior obtenida, que es 0.50. Es necesario incidir que, si se conoce la distribución de probabilidad de la variable aleatoria, no tiene mucho sentido el trabajar con cotas de probabilidad ya que, en muchas ocasiones, la cota (en nuestro caso de 0.50) deja un margen muy grande a la verdadera probabilidad (en nuestro caso 8.0 ).

DEFINICION 8.6.1Una sucesión nX de variables aleatorias, se dice que es sucesión independiente e idénticamente distribuida, si todas las variables aleatorias

nX son independientes y tienen la misma función de distribución.TEOREMA 8.6.2 (Ley de los Grandes Números de Kolmogorov).Si nX es una sucesión de variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas, todas tienen una esperanza finita común µ y una varianza finita común 2σ . Entonces la sucesión de medias aritméticasconverge en probabilidad hacia µ; es decir,

nP X - 0 µ ≥ ε →

∞→ >ε

∑=

=+++

=

( ) ( )∑ ∑= =

==== µµ

( ) ( ) σσ∑ ∑

[ ]εσεµ ≤≥−

→εσ

∞→

[ ] →ε≥µ− ∞→ >ε

[ ] →ε≥µ−

[ ]=ε≥µ−∞→

→

[ ]==[ ] =−==

[ ] 2=−=−=−==σ

[ ]σ+µ≤≤σ−µ

+≤≤−

+≤≤−

≤≤

∫ ∫ ==

==

[ ] −≥σ<µ−

[ ]=σ<µ− [ ]σ+µ≤≤σ−µ

==−=−

µ

σµ

µ ≥ ε →


sí ∞→n , para cualquier 0>ε y donde

∑=

=+++

=n

i

in

nn

X

n

XXXX

1

21 ......,

es la sucesión de medias aritméticas.DEMOSTRACION:Puesto que:

( ) ( )∑ ∑= =

====n

i

n

i

i

i

n nn

XEnn

XEXE

1 1

11)( µµ , debido a la generalización

del corolario 8.2.4.

( ) ( )2n n

2in i2 2

i=1 i=1

X 1 1Var X = Var( ) = Var X = n =

n n n nσ

σ∑ ∑ , debido al teorema

8.3.9.Entonces, aplicando la desigualdad de Tchebysheff:

[ ]2

2

εσεµn

XP n ≤≥− .

Como 0n 2

2

→εσ

si ∞→n , entonces:

[ ] 0XP n →ε≥µ− , sí ∞→n y para cualquier 0>ε .

NOTA: [ ] 0XP n →ε≥µ− es equivalente a decir

[ ] 0XPlim nn

=ε≥µ−∞→

, resultado que aparece en muchos tratados de

Estadística y Probabilidades.Un caso particular de la ley de los grandes números es un resultado

famoso, llamado el teorema de Bernouilli, establecido por J. Bernouilli y publicado póstumamente en 1713.TEOREMA 8.6.3 (Teorema de Bernoulli)Si nS representa el número de éxitos en una sucesión de Bernouilli y p es la probabilidad de éxito en una prueba, entonces

pn

S Pn →

DEMOSTRACION:Sea kX una variable aleatoria que indica el número de éxitos en la prueba de orden k de la sucesión de Bernouilli, tal que [ ] p1XP k == y

[ ] qp10XP k =−== . Tenemos:


( ) [ ] ( ) ( )k kx

m = E X = xP X = x = 0 q +1 p = p∑ , para todo k y

( ) ( ) ( ) ( )( ) pqpp1q0XEXVar 22222k

2 =−+=µ−==σ , para todo k.

De aquí que, las variables aleatorias de la sucesión nX son independientes e

idénticamente distribuidas y n21n X....XXS +++= . Por tanto, aplicando la ley de los grandes números, se tiene que

0pn

SP n →

ε≥− , sí ∞→n , para cualquier 0>ε .Aplicando la

definición 8.5.1, tenemos: pn

S Pn → .

A continuación, presentaremos uno de los resultados más importantes en estadística y que justifica la importancia de la distribución normal, llamado teorema central del límite, que en líneas generales establece: Cualesquieraque sean las distribuciones de las variables aleatorias independientes

n,....,2,1i;X i = , sujetas a ciertas condiciones muy generales, la distribución

nX se encontrará aproximada por

σµ

n,N

2

para valores grandes de n. Este

teorema fue enunciado por primera vez, por Laplace en 1812. Liaponnoff dio en 1901 una demostración rigurosa en condiciones bastante generales. Feller, Khintchine y Lévy, en 1935, han encontrado las condiciones más generales de validez.TEOREMA 8.6.4 (Teorema Central del Límite)Sea nX es una sucesión de variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas, con una distribución de probabilidad no especificada y que tiene media µ y una varianza 2σ . El promedio

n1 2 n i

ni=1

X + X + ...... + X XX = =

n n∑ tiene una distribución con media µ=µX y

una varianza n

X

22 σσ = , que tiende hacia una distribución normal conforme

n tiende a ∞ . En otras palabras, la variable aleatoria nX -

n

µσ

tiene como límite

una distribución normal estándar, equivalentemente sí nn

X -Z

n

µ=

σ, para

n = 1,2,3,….; entonces:

( ) ( ) ( )=Φ→

( )Φ

( )

( ) =∞→

( ) ( ) =

( ) ( )[ ] σµµ =−=

( ) [ ]==

( ) ( )

==

σµ−

∏

σµ−

=

∏

σµ−

=

σµ−

σµ−

σµ−

σµ−

++++=

( ) [ ] ===

+++= +++

( ) [ ] ( ) ( )∑( ) ( ) ( ) ( )( ) =−+=µ−==σ

+++=

→

ε≥− ∞→ 0>ε

→

n=

σµ

µ σ

∑ µ=µ

σσ =

∞µ

σ

µ=

σ


( ) ( ) ( )1,0NxxFnZ =Φ→ ,

donde ( )xΦ es la distribución normal estándar (definición 7.2.2).DEMOSTRACION:Para la demostración, utilizaremos la función generatriz de momento de

( )tm;ZnZn y la función generatriz de momento de la variable aleatoria

normal estándar.

Si demostramos que ( ) 2

t

Zn

2

netmlim =

∞→concluiría nuestro objetivo, ya que

( ) ( ) 2

t

1,0N

2

etm = , debido al ejemplo 8.3.1, para nuestro caso.

En efecto: Para todo n, ( ) ( )[ ]n

XEyXE nn

22 σµµ =−= , por lo visto en

la demostración del teorema 8.6.2. Luego ( ) [ ] 1ZEy0ZE 2

nn == , para todo n. Por tanto,

( ) ( )

==

σµ−

n

Xt

tZZ

n

n

neEeEtm =

∏

σµ−

=

n

Xt

n

1i

i

eE =

∏

σµ−

=

n

Xt

n

1i

i

eE

=

n

Xn

tm

σµ− , donde

σµ−Xm es la función generatriz de

momento de la forma estándar para X.

Como

σµ−

n

tm X =

σµ−X

n

t

eE =

iZn

t

eE .

Pero, aplicando la serie de Taylor:

......Zn!3

tZ

n2t

Zn

t1e 3

i

32

i

2

in

tZ

23

i

++++=

Encontramos, considerando que ( ) [ ] n,.......3,2,1i;1ZEy0ZE 2ii === ,

......)Z(En!3

tn2

t1)e(E 3

i

32n

tZ

23

i

+++= = ......))Z(En!3

t2t

(n1

1 3i

32

+++


=n

)t(a1+ , donde ( )ta = ......)Z(E

n!3

t2t 3

i

32

++ .

Por tanto, ( ) ( ) n

Z nta

1tmn

+=

Ahora, ( ) ( ) ( )tan

nZ

ne

nta

1limtmlimn

=

+=

∞→∞→

Conforme ∞→n , todos los términos en a(t), excepto el primero, tienden hacia cero, debido a que todos tienen potencias positivas de n en sus denominadores. Por tanto:

( ) 2

t

Zn

2

netmlim =

∞→

que es lo que queríamos probar.Ahora establezcamos una consecuencia del teorema central del límite,

que es una aproximación de la distribución binomial a una distribución normal.TEOREMA 8.6.5 (Teorema de Laplace-De Moivre)Si nS representa el número de éxitos en una serie de n pruebas de una sucesión de Bernouilli, en los que p es la probabilidad de éxito en una prueba y si

( )p1np

npSZ n

n −−

=

Entonces, ( ) ( ) ( )1,0NxxFnZ =Φ→ , para ∞→n .

DEMOSTRACION:Sea nX el número de éxitos en la prueba de orden n; tal que

[ ] [ ] p10XP,p1XP nn −==== . Por cálculo directo ( ) pXE n =( ) ( )p1pXVar n −= . Por tanto, aplicando el teorema central del límite, se tiene

que:

n

XZ n

n σµ−

= =( )

n

pp

pX n

−−

1=

( ) npp

pX n

/1−−

=( )pnp

npXn n

−−

1

=( )p1np

npX n

−

−∑=

( )p1np

npSn

−−

y consecuentemente

( ) ( ) ( )=Φ→ ∞→

=

== =

=

∑==

==µ( )

=−

=σ

=

ε>−

∞→

ε

∞

[ ]≤−

( )∫−−

=

−

=−

==µ =+

=+

=

( ) ( ) µ−==σ

( ) ( ) =++

=−−

=∫−

=

)t+ ( )t ++

( ) ( )

+=

( ) ( ) ( )=

+=

∞→∞→

∞→

( )=∞→

( )−−

=

( ) ( ) ( )=Φ→ ∞→

[ ] [ ] p−==== ( ) p=( ) ( )p−=

σµ−

=( )−−

( )−−

( )−−

( )np

−

−∑( )−−


( ) ( ) ( )1,0NxxFnZ =Φ→ , para ∞→n .

OBSERVACIÓN: Con mucha frecuencia se considera que: nXX =EJEMPLOS8.6.4 Supongamos que se lanza una moneda el número de veces que se quiera.

En especial, definamos 1X i = si aparece una cara en la i-ésima tirada y

0X i = si aparece sello en la i-ésima tirada, para ,...3,2,1i = . Entonces se define una sucesión de variables aleatorias independientes de Bernouilli

,.....X,X 21 , cada uno con parámetro 21

p = . Luego, se define la

secuencia de proporciones de caras que aparecen:

∑==

n

1iiX

n1

X , para i = 1,2,3,……

En este caso 21

pnX ==µ y

( )n4

1n

p1pnX

2 =−

=σ . Consiguientemente,

de acuerdo con la ley de los grandes números, 021

XPlim nn

=

ε>−

∞→

; esto quiere decir que, la probabilidad de que la cantidad de tiradas en la que aparezca una cara difiera de 1/2, es una cantidad mayor que ε, tienda a 0 conforme el número de tiradas crece indefinidamente. No se pretende, que la proporción misma se aproxime cada vez más a 1/2, ya que en este caso se puede lograr una cara en cada tirada. Sin embargo, la probabilidad de que suceda este último evento se aproxima a cero conforme n tiende a ∞ .

8.6.5 Supongamos que extraemos una muestra aleatoria de tamaño 10 de una población con distribución uniforme (ejercicio 13 del capítulo VII) en el intervalo ]0,1[. Calcular [ ]1.0XP 2

1 ≤−

SOLUCION:Sea X la variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo ]0,1[, entonces:

( )∫−−

=

−

=−

==µ qp

22q

p

2

pq2pq

2x

pq1

dxpq

x)X(E

21

210

2pq

=+

=+

= y

( ) ( ) 222 XEXVar µ−==σ ; pero

( ) ( ) 31

3pqpq

pq3pq

dxxpq

1XE

2233qp

22 =++

=−−

=∫−

= ,


luego 121

41

312 =−=σ . Por lo tanto, por el teorema central del límite

=

σµ→

1201

,21

Nn

,NX2

,

Pero,[ ]1.0XP 2

1 ≤− = [ ]1.0X1.0P 21 ≤−≤−

=

≤

−≤−

120/1

1.0

120/1

X

120/1

1.0P 2

1

≅ [ ]nP -1.1 £ Z £ 1.1

= [ ] [ ]1.1ZP1.1ZP nn −≤−≤ = 0.8643-0.1357 = 0.7286.8.6.6 Supongamos que el número de barriles de petróleo crudo, que produce

un pozo diariamente, es una variable aleatoria con una distribución no especificada. Si se observa la producción en 81 días, seleccionados en forma aleatoria y si se sabe que la desviación estándar del número de barriles por día es σ = 18, determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de 6 barriles del verdadero valor de la producción por día.SOLUCION:

Como n es suficientemente grande, la distribución de 2

X N , ,n

σ→ µ

equivalentemente ( )1,0Nn/

XZn →

σµ−

= , ello por el teorema central

del límite. Por lo tanto:

[ ] [ ]

<

µ−<−=<µ−<−=<µ−

26

2X

26

P6X6P6XP

≅ [ ] [ ] [ ]3ZP3ZP3Z3P nnn −<−<=<<−= 0.9987 – 0.0013 = 0.9974

8.6.7 Un dado perfecto es lanzado independientemente 1,200 veces. Encontrar, aproximadamente, la probabilidad de que salgan ases entre 180 y 220 veces.SOLUCION:Se trata de una sucesión de Bernouilli de n pruebas, donde n = 1,200,

p=61

y q =65

. Por tanto, para la variable aleatoria X, donde

220X180 ≤≤ ;tenemos:

( ) ( ) ≅====

[ ]≤≤

−≤

−≤

−

[ ]≅ ≤ ≤ ≅

( )

==

=

+

+

+

=µ

( ) ( ) ( ) ( )=

−+−+=+−=σ

=µ

=σ

[ ]

−<

−<

−=<<

[ ] [ ] [ ]<−<=<<≅≅

µµ σσ

µµ σσ

1=−=σ

=

σµ→

[ ]≤− [ ]≤−≤−

≤

−≤− ≅ [ ]1.1

[ ] [ ]1−≤−≤

σ

σ→ µ

( )→σ

µ−=

[ ] [ ]

<

µ−<−=<µ−<−=<µ−

≅ [ ] [ ] [ ]3−<−<=<<−

1 5

220≤≤


( ) ( ) 16766.166npqXVary200npXE ≅==== (ver la demostración del teorema 8.6.3). Luego, por el teorema 8.6.5,

[ ]220X180P ≤≤ =

−≤

−≤

−167

200220

167

200X

167

200180P

[ ]nP -1.55 Z 1.55≅ ≤ ≤ = 0.9394-0.0606 = 0.8788 ≅ 0.88.

8.6.6 Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad

( )

==

contrariocasoen ,0

0,1,2,3 xsi,41

xpX

Hallar la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 49, seleccionada con remplazo, dé una media muestral mayor que 1.6, pero menor que 1.9.SOLUCION:Previamente, tenemos aplicando el ejercicio 27 (a):

23

41

341

241

141

0 =

+

+

+

=µ ,

( ) ( ) ( ) ( )45

4

32102

232

232

232

23

2 =−+−+=+−

=σ .

Ahora, por el teorema central del límite, la distribución muestral de Xpuede aproximarse por la distribución normal con media 2

3=µ y

varianza 1965

2

n=

σ.

Luego:

[ ]

−<

−<

−=<<

1597.05.19.1

1597.05.1X

1597.05.16.1

P9.1X6.1P

[ ] [ ] [ ]63.0ZP50.2ZP50.2Z63.0P nnn <−<=<<≅≅ 0.9938-0.7357 = 0.2581.

OBSERVACION: Si nX y mY son sucesiones de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con esperanzas finitas comunes

YX y µµ , respectivamente y varianzas finitas comunes Y2

X2 y σσ ,

respectivamente, entonces de acuerdo al teorema 8.6.4, las variables aleatorias YeX son aproximadamente distribuidas en forma normal con medias

YX y µµ y varianzas m/yn/ Y2

X2 σσ , respectivamente. Esta aproximación

mejora conforme n y m crecen. Utilizando el teorema 8.6.4, corolario 8.2.4 y el teorema 8.3.9 se concluye que la variable aleatoria independiente e


idénticamente distribuida YX − está aproximadamente distribuida en forma normal con media: YXYXYX µ−µ=µ−µ=µ − y varianza

mn

2Y

2X2

Y2X

2YX

σ+

σ=σ+σ=σ − .De aquí que, lo manifestado es equivalente a

decir que ( ) ( )

mn

YXZ

2Y

2X

YXn

σ+

σ

µ−µ−−= tiene como límite una distribución

normal estándar.Si tanto n como m son mayores que o iguales a 30, la aproximación

normal para la distribución YX − es muy buena, sin importar las formas de las variables aleatorias de las dos sucesiones. Sin embargo, aun cuando n y m sean menores que 30, la aproximación normal es razonablemente buena exceptocuando las sucesiones de variables aleatorias no sean definitivamente normales. Por supuesto, si ambas sucesiones sean normales, entonces YX −tiene una distribución normal sin importar que valores asuman n y m.EJEMPLOS8.6.9 Una muestra aleatoria de tamaño 25 se toma de una población que está

normalmente distribuida (población normal), que tiene una media de 80 y una desviación estándar de 5. Se toma una segunda muestra aleatoria de tamaño 36, de una población diferente que también está normalmente distribuida, que tiene una media de 75 y una desviación estándar de 3. Encontrar la probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda la media muestral calculada de las 36 mediciones, al menos por 3.4, pero menos de 5.9; asumir que las medias se redondean a décimas.SOLUCION:De los datos del problema, tenemos:

POBLACIÓN 1 POBLACION 2

Xµ = 80 Yµ = 75

Xσ = 5 Yσ = 3n = 25 m = 36

Debemos calcular: ]9.5YX4.3[P <−< .

De la última observación, la distribución muestral YX − será normal y tendrá una media y una desviación estándar, tales como:

57580YX =−=µ − y 1.1369

2525

YX =+=σ −

[ ] ( )

−<

−−<

−=<−<

[ ] [ ] [ ]−<−<=<<−=

µ µσ σ

−− =−=µ −

=+=+=σ −

[ ] [ ] [ ]<−<−−=<−−=>−

<

−<−−= [ ]<<−−=

[ ] [ ] ( )−−=−<−<−=

[ ]<−<

[ ]<<=[ ] [ ] −=<−<=

−µ−µ=µ−µ=µ −

σ+

σ=σ+σ=σ −

( ) ( )σ

+σ

µ−µ−−=

−

−

µ µσ σ

]<−<

−

5=−=µ − =+=σ −


Por tanto:

[ ] ( )

−<

−−<

−=<−<

1.159.5

1.15YX

1.154.3

P9.5YX4.3P

[ ] [ ] [ ]4.1ZP8.0ZP8.0Z4.1P nnn −<−<=<<−== 0.7881-0.0808 = 0.7073.

8.6.10 El calificativo promedio, para estudiantes que postulan a una Universidad, en una prueba de aptitudes es 540, con una desviación estándar de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes seleccionados aleatoriamente, consistentes en 32 y 50 estudiantes, respectivamente, difiera en sus calificaciones promedio por:a) más de 20 puntos?b) una cantidad entre 5 y 10 puntos?SOLUCION:De los datos del problema, tenemos la siguiente tabla, para los dos grupos:

GRUPO 1 GRUPO 2

Xµ = 540 Yµ = 540

Xσ = 50 Yσ = 50n = 32 m = 50

Consideremos como YX − a la diferencia de sus calificaciones promedio, luego YX − será normal, con media 0540540YX =−=µ −

y 32.1150125.78502500

322500

YX =+=+=σ − .

Luego,

a) [ ] [ ] [ ]20YX20P120YXP120YXP <−<−−=<−−=>−

<

−<−−=

32.1120

32.1132.1120

1YX

P [ ]77.177.11 <<−−= nZP

[ ] [ ] ( )0384.09616.0177.1ZP77.1ZP1 nn −−=−<−<−== 1 – 0.9232 = 0.0768.

b) [ ]10YX5P <−<5 X - Y 10

= P < <11.32 11.32 11.32

[ ]88.0Z44.0P n <<=[ ] [ ] 6700.08106.044.0ZP88.0ZP nn −=<−<= = 0.1406


EJERCICIOS 1.- Un embarque de 7 televisores incluye dos defectuosos. Un centro

educativo realiza una compra de manera aleatoria tres de estos aparatos. Si X es el número de televisores defectuosos adquiridos por el centro educativo, hallar la media de X.

2.- Por invertir en unas acciones en particular, Artemio puede obtener ganancias de S/.4000 con una probabilidad de 0.3, o una pérdida de S/.1000 con una probabilidad de 0.7. ¿Cuál es la ganancia que espera Artemio?

3.- Una moneda se “carga” de manera que una cara es tres veces más probable de ocurrir que un sello. Encuentre el número esperado de sellos cuando se lanza dos veces dicha moneda.

4.- Se lanza una moneda normal hasta que salga cara. Hallar el número esperado de tiradas.

5.- Un juego consiste en extraer al azar tres fichas a la vez, de una urna que contiene 4 fichas rojas y 6 azules. a) Si juega muchas veces, ¿Cuántas fichas rojas extraerá en promedio? b) Se gana S/.1.00 por cada ficha roja extraída, en caso contrario se

pierde S/.0.50, si se juega muchas veces ¿Cuánto debería ser el promedio de la ganancia?

6.- Una compañía vendedora de televisores considera que estos tienen algún defecto con probabilidad 0.1. La compañía asegura que cada aparato vendido con algún defecto será reparado sin costo para el cliente. Si se han vendido tres televisores. ¿Cuánto espera gastar la compañía en reparaciones si el costo por reparación es 2C = Y + Y+ 5 , donde Y es el número de televisores, con algún defecto?

7.- Un fabricante está planeando la producción de una novedad de temporada. El fabricante estima que la demanda de este artículo está dada en la siguiente tabla:

NUMERO UNIDADES (x) PROBABILIDADES

1,000 41

2,000 21

3,000 41

El costo de producción y comercialización del artículo consiste en un costo base fija de S/. 5,000 un costo variable de S/.1 por unidad. Si el precio de venta es de S/.5 por unidad. ¿Cuál es la ganancia esperada para el fabricante?

( )

( ) ( )= −µ

[ ]σ+µ<<σ−µ

( )

( )

>=−


8.- Los jugadores A, B y C cortan un mazo de naipes, sucesivamente en ese orden. El primero que saque corazón gana S/.74.00. Las extracciones se hacen con reposición. Determine la esperanza de cada jugador.

9.- Un experimento consiste en lanzar 2 bolas en 4 cajas, de tal manera que cada bola tiene igual probabilidad de caer en cualquier caja. Si X denota el número de bolas en la primera caja. Hallar la media y la varianza de X.

10.- Una empresa industrial compra varias computadoras nuevas cada año, cuya cantidad depende de la frecuencia de reparaciones en el año anterior. Supongamos que el número de computadoras, X, que se compra cada año tiene la siguiente distribución de probabilidad:

x 0 1 2 3( )xfX 1 10 3 10 2 5 1 5

Si el costo del modelo que se desea adquirir permanece sin cambio en

S/.1,200 durante un año y se ofrece un descuento de 50 X2 en cualquier

compra. ¿Cuánto dinero espera esta firma invertir en computadoras para fin de año?

11.- Demuestre que la función generadora de momentos de la variable

aleatoria X, que tiene distribución de Poisson, es: ( ) ( )M t eX

et

= −µ 1 .a) Utilizando esta función hallar la media y varianza de la distribución

de Poisson,b) Hallar [ ]σ+µ<<σ−µ 2X2P

12.- Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información:

x0 1 2 3 4 5 6 7 8

( )xfX0.05

0.10

0.10

0.10

0.20

0.25

0.10

0.05

0.05

Hallar E(X) y Var(X).13.- La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X está

dada por.

( )

>=−

contrariocasoen ,0

0 xsi,xexf 4

x

161

X

a) Determinar la función generadora de momentos de X.b) Utilizar la función generadora de momento para encontrar la media

y la varianza de X.


14.- La función generatriz cumulativa o cumulante, de la variable aleatoria X, es:

( ) ( )( )tmlntC XX = .

a) Probar que ( )( ) X1X 0C µ= , ( )( ) x0C 22

X σ=b) Hallar la función generatriz cumulativa de una variable aleatoria

binomial.15.- Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad, dada en el

ejemplo 8.2.1.Encuentre la desviación estándar de ( ) ( )21X2Xg += .

16.- Una función de densidad de la variable aleatoria X, el número total de horas, en unidades de 100 horas, de que una familia utilice una aspiradora durante un año, se dio en el ejercicio 4 del capítulo VI. Encuentre el número promedio de horas por año que la familia utiliza la aspiradora.

17.- Si

( ) ( ) <<−

=contrariocasoen ,0

1x0si,x12xfX

Hallar:a) ( )XE , b) ( )2XE , c) ( )210XE + , d) ( )[ ]X11E − , e) 2

Xσ , f) Xσ18.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad.

( )

≤≤=

contrariocasoen ,0

3x0si,9x2

xfX

Calcular la media y la varianza de la variable aleatoria 3X2Y −= .19.- El periodo de tiempo, en minutos, que un aeroplano espera vía libre para

aterrizar en un cierto aeropuerto es una variable aleatoria 2X3Y −= ,donde X tiene función de densidad

( )

>=−

contrariocasoen ,0

0 xsi,xexf 4

x

41

X

Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria Y.20.- Una tienda comercial cuenta con instalaciones para atender a clientes que

llegan en automóvil y a quienes llegan caminando. En un día seleccionado aleatoriamente, se consideran las variables X e Y que representan los periodos de tiempo que utilizan para cada caso y si suponemos que la función de densidad conjunta para estas dos variables está dada por:

( ) ( ) ≤≤≤≤+

=

( )

( ) <<<<

=

( )

( ) ( )

<<−<<=

( )µµ

σ σ σ

=σ =σ −+−=

=σ

=σ =σ −+−=

( )

( )+ ( ) ( )=+ ( )=

( )=+ σ σ ( ) ( )ρ

( ) ( )( )=( )( ) µ= ( )( ) σ=

( ) ( )+=

( ) ( ) <<−

=

( ) ( ) ( )+ ( )[ ]− σ σ

( )

≤≤=

3−=

2−=

( )

>=−


( ) ( ) ≤≤≤≤+

=contrariocasoen ,0

1y0,1x0si,y2xy,xf 3

2

Y,X

Hallar la covarianza de X e Y.21.- Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional continua, con función de

densidad conjunta dada por:

( ) <<<<

=contrariocasoen ,0

1y0,yx0si,2y,xf Y,X

Hallar:a) ( )Y,XCovb) La densidad condicional de Y dado X = x.

22.- En un examen de admisión a cierta Universidad se califica en base a 100 puntos. Sea X la calificación que obtiene uno de los estudiantes (que continúa sus estudios hasta graduarse) y sea Y su razón del punto de calidad al graduarse (4 puntos = A). La función de densidad conjunta de X e Y es:

( ) ( )

<<−<<=

contrariocasoen ,0

y25x1y25,4y2si,501

y,xf Y,X

a) Hallar ( )XYE,, YX µµ

b) 2Xσ , 2

Yσ , XYσ y XYP23.- a) Si X e Y son variables aleatorias independientes, con varianzas

52X =σ y 32

Y =σ , encuentre la varianza de 3Y4X2Z −+−= .

b) Si X e Y son variables aleatorias no independientes, con 52X =σ ,

32Y =σ y 1XY =σ , hallar la varianza de 3Y4X2Z −+−= .

24.- La distribución de probabilidad conjunta de ( )Y,X está dada por:

yx

0 11 0.1 0.44 0.2 0.3

Hallar:a) ( )YXE + , b) ( )XYE , c) ( )4Y/3X2E =+ , d) ( )1YXYE = ,

e) ( )2YYXE =+ , f) 2Xσ y 2

Yσ , g) ( )Y,XCov y h) ( )Y,Xρ


25.- Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional, con función de densidad conjunta dada por:

( )

<<

+=

contrariocasoen ,0

20y,x0si,800

yxy,xf Y,X

Hallar la media y la varianza condicional de X para Y = 1026.- La función de densidad conjunta de probabilidad para la demanda

mensual de dos productos en una distribución normal bivariada dada por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) expy,xf 1025y

1025y

1050x2

1050x

32

31001

Y,X

+−−= −−−−

π

a) ¿Cuál es la covarianza entre X e Y?b) Obtener la función de densidad de probabilidad condicional

yxf

YX

c) Supongamos que la demanda de Y es 30 ¿Cuál es la probabilidad condicional de que X sea menor que 65?

d) ¿Cuál es el coeficiente de correlación entre X e Y?27.- Demostrar que si X es una variable aleatoria con distribución:

a) Uniforme: ( )k1

k;xf = ; k21 x,...,x,xx = , donde k es con

parámetro, entonces k

xk

1ii∑

=µ = y ( )∑ µ−=σ=

k

1i

2i

2 k/x

b) Geométrica, entonces p1

=µ y2

2

p

p1−=σ

c) De Poisson, entonces λ=σ2

d) Normal, entonces ( ) 2xVar σ=

e) Gamma, entonces αβ=µ y 22 αβ=σ

f) Beta, entonces β+α

α=µ y

( ) ( )122

+β+αβ+ααβ

=σ

g) Ji-Cuadrada, entonces r22 =σ

h) Weibull, entonces

β

+Γ−

β

+Γα=σ β−2

22 1

12

1

28.- Demostrar que si X e Y son dos variables aleatorias cuyas esperanzas existan y si [ ] 1YXP =≤ , entonces ( ) ( )YEXE ≤ .

< [ ]=≤≤( )≤≤

σµ

µ >σ

µ→

→µ−

=µ =σ

[ ]<<[ ]<<

=σ[ ]≥−

[ ]<−

[ ]<<

[ ]≤≥−

( ) ( ) <<−

=

[ ]σ+µ<<σ−µ

=µ =σ

[ ]<− [ ]<<−

( )

( )

<<

+=

( ) ( ) ( )( ) ( ) +−−= −−−−

π

( ) 1= =

∑=µ = ( )∑ µ−=σ

=

1=µ

p−=σ

λ=σ( ) σ=

αβ=µ αβ=σ

β+αα

=µ( ) ( )+β+αβ+α

αβ=σ

=σ

β

+Γ−

β

+Γα=σ β−

[ ] 1=≤ ( ) ( )≤


29.- Si ba < , donde a y b son números reales y [ ] 1bXaP =≤≤ . Demostrar

que la esperanza de X existe y ( ) bXEa ≤≤ .

30.- Sea nX una sucesión de variables aleatorias, siendo

σµ

n,N

2

la

distribución de nX , con µ y 02 >σ constantes dadas,

independientemente de n. Demostrar que µ→PnX (Sugerencia:

probar que 0X Pn →µ− ).

31.- Una variable aleatoria X, tiene una media 10=µ , una varianza 92 =σ yuna distribución desconocida. Utilizando la desigualdad de Tchebysheff. Hallar:a) [ ]18X6P <<b) [ ]21X3P <<

32.- Si, en el ejercicio anterior 42 =σ . Hallar:a) [ ]310XP ≥−

b) [ ]310XP <−c) [ ]15X5P <<

d) el valor de la constante k, tal que [ ] 04.0k10XP ≤≥− .

33.- Si la variable aleatoria X tiene la función de probabilidad:

( ) ( ) <<−

=contrariocasoen ,0

1x0si,x1x6xfX

Hallar [ ]σ+µ<<σ−µ 2X2P y comparar con el resultado dado en el teorema 8.6.1.

34.- En una refinería, la producción media diaria de gasolina es de 150,000 galones con una desviación estándar de 1,000 galones. Se sabe con certeza que la mínima producción de gasolina es 147,000 galones diarios.a) Hallar la probabilidad de que la producción diaria de gasolina esté

entre 148,000 y 152,000.b) Calcular el intervalo más corto que contenga por lo menos 90% de

los niveles de producción diaria.c) ¿Con qué frecuencia se puede decir, que la producción será mayor

que 157,000 galones diarios?35.- Si 17=µ y 2982 =σ , use la desigualdad de Tchebysheff para hallar una

cota inferior para:a) [ ]42XP <− , b) [ ]7X3P <<−


36.- Cincuenta dados normales son lanzados en una sola vez y sea X la variable que denota la suma de los puntos que aparecen hacia arriba. Encontrar aproximadamente la probabilidad de que 200X150 ≤≤ .

37.- Un antropólogo estima la altura promedio de hombres de cierta raza, encontrando que la desviación estándar es de 2.5 cm y si él selecciona una muestra aleatoria de 100 hombres, hallar la probabilidad de que la diferencia entre la media muestral y media poblacional verdadera no exceda 0.5 cm.

38.- Si una muestra de tamaño 5, se saca aleatoriamente de una población que está distribuida normalmente con esperanza 60X =µ y varianza

162X =σ y registrando su media muestral X , por otro lado una segunda

muestra de tamaño 4 se selecciona, independiente de la primera muestra, con esperanza 50Y =µ y varianza 92

Y =σ y también registrando su

media muestral Y . Hallar [ ]76.7YXP <− .39.- Los cinescopios de televisión del fabricante A tienen una duración

promedio de 6.5 años y una desviación estándar de 0.9 años, mientras que los del fabricante B tienen una vida promedio de 6 años con una desviación estándar de 0.8 años. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 cinescopios del fabricante A, tenga una duración promedio que sea al menos un año más que la duración promedio de una muestra de 49 cinescopios del fabricante B?

40.- Si X representa la media de una muestra aleatoria de tamaño n,seleccionada con reemplazo, de la población discreta

x 2 3 7( )xpX 1 3 1 3 1 3

y si Y representa la media de una muestra aleatoria de tamaño m, seleccionada con reemplazo, de la población discreta

x 1 3( )xpY 2 3 1 3

Si se sacan con reemplazo muestras independientes de tamaño 125n =y 100m = . ¿Cuál es la probabilidad de que YX − sea mayor que 1.84, pero menor que 2.63? Asumir que las medias muestrales pueden medirse con cualquier grado de precisión.

∑=

200≤≤

60=µ

=σ

50=µ =σ

[ ]<−

( ) 1 3 1 3 1 3

( ) 2 3 1 3

125=100= −


TABLAS

Tabla A-1 Sumas de probabilidades binomiales.B(r; n, p) =∑=

r

x

b0

(x; n, p)

n r

P

.10 .20 .25 .30 .40 .50 .60 .70 .80 .90

1

2

3

4

5

6

7

01

012

0123

01234

012345

0123456

01234567

.90001.0000

.8100

.99001.0000

.7290

.9720

.99901.0000

.6561

.9477

.9963

.99991.0000

.5905

.9185

.9914

.99951.0000

.5314

.8857

.9841

.9987

.99991.0000

.4783

.8503

.9743

.9973

.99981.000

.80001.0000

.6400

.96001.0000

.5120

.8960

.99201.0000

.4096

.8192

.9728

.99841.0000

.3277

.7373

.9421

.9933

.99971.0000

.2621

.6554

.9011

.9830

.9984

.99991.0000

.2097

.5767

.8520

.9667

.9953

.99961.0000

.75001.0000

.5625

.93751.0000

.4219

.8438

.98441.0000

.3164

.7383

.9492

.99611.0000

.2373

.6328

.8965

.9844

.99901.0000

.1780

.5339

.8306

.9624

.9954

.99981.0000

.1335

.4449

.7564

.9294

.9871

.9987

.99991.0000

.70001.0000

.4900

.91001.0000

.3430

.7840

.97301.0000

.2401

.6517

.9163

.99191.0000

.1681

.5282

.8369

.9692

.99761.0000

.1176

.4202

.7443

.9295

.9891

.99931.0000

.0824

.3294

.6471

.8740

.9712

.9962

.99981.0000

.60001.0000

.3600

.84001.0000

.2160

.6480

.93601.0000

.1296

.4752

.8208

.97441.0000

.0778

.3370

.6826

.9130

.98981.0000

.0467

.2333

.5443

.8208

.9590

.99591.0000

.0280

.1586

.4199

.7102

.9037

.9812

.99841.0000

.50001.0000

.2500

.75001.0000

.1250

.5000

.87501.0000

.0625

.3125

.6875

.93751.0000

.0312

.1875

.5000

.8125

.96881.0000

.0156

.1094

.3438

.6563

.8906

.98441.0000

.0078

.0625

.2266

.5000

.7734

.9375

.99221.0000

.40001.0000

.1600

.64001.0000

.0640

.3520

.78401.0000

.0256

.1792

.5248

.87041.0000

.0102

.0870

.3174

.6630

.92221.0000

.0041

.0410

.1792

.4557

.7667

.95331.0000

.0016

.0188

.0963

.2898

.5801

.8414

.97201.0000

.30001.0000

.0900

.51001.0000

.0270

.2160

.65701.0000

.0081

.0837

.3483

.75991.0000

.0024

.0308

.1631

.4718

.83191.0000

.0007

.0109

.0705

.2557

.5798

.88241.0000

.0002

.0038

.0288

.1260

.3529

.6706

.91761.0000

.20001.0000

.0400

.36001.0000

.0080

.1040

.48801.0000

.0016

.0272

.1808

.59041.0000

.0003

.0067

.0579

.2627

.67231.0000

.0001

.0016

.0170

.0989

.3447

.73791.0000

.0000

.0004

.0047

.0333

.1480

.4233

.79031.0000

.10001.0000

.0100

.19001.0000

.0010

.0280

.27101.0000

.0001

.0037

.0523

.34391.0000

.0000

.0005

.0086

.0815

.40951.0000

.0000

.0001

.0013

.0158

.1143

.46861.0000

.0000

.0002

.0027

.0257

.1497

.52171.000


Tabla A-1(Continuación) Sumas de probabilidades binomiales.B(r;n,p)=∑=

r

x

b0

(x;n,p)

n r

P

.10 .20 .25 .30 .40 .50 .60 .70 .80 .90

8

9

10

11

012345678

0123456789

012345678910

01234567891011

.4305

.8131

.9619

.9950

.99961.0000

.3874

.7748

.9470

.9917

.9991

.99991.0000

.3487

.7361

.9298

.9872

.9984

.99991.0000

.3138

.6974

.9104

.9815

.9972

.99971.0000

.1678

.5033

.7969

.943739896.9988.9991

1.0000

.1342

.4362

.7382

.9144

.9804

.9969

.99971.0000

.1074

.3758

.6778

.8791

.9672

.9936

.9991

.99991.0000

.0859

.3221

.6174

.8369

.9496

.9883

.9980

.99981.0000

.1001

.3671

.6785

.8862

.9727

.9958

.99961.0000

.0751

.3003

.6007

.8343

.9511

.9900

.9987

.99991.0000

.0563

.2440

.5256

.7759

.9219

.9803

.9965

.99961.0000

.0422

.1971

.4552

.7133

.8854

.9657

.9924

.9988

.99991.0000

.0576

.2553

.5518

.8059

.9420

.9887

.9987

.99991.0000

.0404

.1960

.4628

.7297

.9012

.9747

.9957

.99961.0000

.0282

.1493

.3828

.6496

.8497

.9527

.9894

.9984

.99991.0000

.0198

.1130

.3127

.5696

.7897

.9218

.9784

.9957

.99941.0000

.0168

.1064

.3154

.5941

.8263

.9502

.9915

.99931.0000

.0101

.0705

.2318

.4826

.7334

.9006

.9750

.9962

.99971.0000

.0060

.0464

.1673

.3823

.6331

.8338

.9452

.9877

.9983

.99991.0000

.0036

.0302

.1189

.2963

.5328

.7535

.9006

.9707

.9941

.99931.0000

.0039

.0352

.1445

.3633

.6367

.8555

.9648

.99611.0000

.0020

.0195

.0898

.2539

.5000

.7461

.9102

.9805

.99801.0000

.0010

.0107

.0547

.1719

.3770

.6230

.8281

.9453

.9893

.99901.0000

.0005

.0059

.0327

.1133

.2744

.5000

.7256

.8867

.9673

.9941

.99951.0000

.0007

.0085

.0498

.1737

.4059

.6846

.8936

.98321.0000

.0003

.0038

.0250

.0994

.2666

.5174

.7682

.9295

.98991.0000

.0001

.0017

.0123

.0548

.1662

.3669

.6177

.8327

.9536

.99401.0000

.0000

.0007

.0059

.0293

.0994

.2465

.4672

.7037

.8811

.9698

.99641.0000

.0001

.0013

.0113

.0580

.1941

.4482

.7447

.94241.0000

.0000

.0004

.0043

.0253

.0988

.2703

.5372

.8040

.95961.0000

.0000

.0001

.0016

.0106

.0474

.1503

.3504

.6172

.8507

.97181.0000

.0000

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∑=

∑=

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Tabla A-1(Continuación) Sumas de probabilidades binomiales. B(r; n,p)=∑=

r

x

b0

(x;n,p)

n r

P

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.77121.0000


Tabla A-1(Continuación) Sumas de probabilidades binomiales.B(r; n,p)=∑=

r

x

b0

(x;n,p)

n r

P

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012345678910111213141516

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.0000

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∑=

∑=

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r

x

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0123456789101112131415161718

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.1796

.3238

.5000

.6762

.8204

.9165

.9682

.9904

.9978

.99961.0000

.0000

.0002

.0013

.0059

.0207

.0577

.1316

.2517

.4119

.5881

.7483

.8684

.9423

.9793

.9941

.9987

.99981.0000

.0000

.0001

.0006

.0031

.0116

.0352

.0885

.1861

.3325

.5122

.6919

.8371

.9304

.9770

.9945

.9992

.99991.0000

.0000

.0001

.0003

.0016

.0065

.0210

.0565

.1275

.2447

.4044

.5841

.7500

.8744

.9490

.9840

.9964

.99951.0000

.0000

.0001

.0006

.0028

.0105

.0326

.0839

.1820

.3345

.5261

.7178

.8668

.9538

.9896

.99891.0000

.0000

.0003

.0013

.0051

.0171

.0480

.1133

.2277

.3920

.5836

.7627

.8929

.9645

.9924

.99921.0000

.0000

.0003

.0016

.0067

.0233

.0676

.1631

.3267

.5449

.7631

.9171

.98561.0000

.0000

.0001

.0006

.0026

.0100

.0321

.0867

.1958

.3704

.5886

.7939

.9308

.98851.0000

.0000

.0003

.0017

.0086

.0352

.1150

.2946

.5797

.86491.0000

.0000

.0001

.0004

.0024

.0113

.0432

.1330

.3231

.6083

.87841.0000

λ ∑=

λ

λ

λ

∑=

9 51 44 42 11 01


Tabla A-2 Sumas de probabilidades de Poisson. P(r ; λ) =∑=

r

x

p0

(x ; λ )

r

λ

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0123456

0.90480.99530.99981.0000

0.81870.98250.99890.99991.0000

0.74080.96310.99640.99971.0000

0.67300.93840.99210.99920.99991.0000

0.60650.90980.98560.99820.99981.0000

0.54880.87810.97390.99660.99961.0000

0.49660.84420.96590.99420.99920.99991.0000

0.44930.80880.95260.99090.99860.99981.0000

0.40660.77250.93710.98650.99770.99971.0000

r

λ

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0123456789

10111213141516

0.36790.73580.91970.98100.99630.99940.99991.0000

0.22310.55780.80880.93440.98140.99550.99910.99981.0000

0.13530.40600.67670.85710.94730.98340.99550.99890.99981.0000

0.08210.28730.54380.75760.89120.95800.98580.99580.99890.99970.99991.0000

0.04980.19910.42320.64720.18530.91610.96650.98810.99620.99890.99970.99991.0000

0.03020.13590.32080.53660.72540.85760.93470.97330.99010.99670.99900.99970.99991.0000

0.01830.09160.23810.43350.62880.78510.88930.94890.97860.99190.99720.99910.99970.99991.0000

0.01110.06110.17360.34230.53210.70290.83110.91340.95970.98290.99330.99760.99920.99970.99991.0000

0.00670.04040.12470.26500.44050.61600.76220.86660.93190.96820.98630.99450.99800.99930.99980.99991.0000


Tabla A-2 (Continuación)Sumas de probabilidades de Poisson. P(r ; λ) =∑=

r

x

p0

(x ; λ )

r

λ

5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5

0123456789

101112131415161718192021222324

0.00410.02660.08840.20170.35750.52890.68600.80950.89440.94620.97470.98900.99550.99830.99940.99980.99991.0000

0.00250.01740.06200.15120.28510.44570.60630.74400.84720.91610.95740.97990.99120.99640.99860.99950.99980.99991.0000

0.00150.01130.04300.11180.22370.36900.52650.67280.79160.87740.93320.96610.98400.99290.99700.99880.99960.99980.99991.0000

0.00090.00730.02960.08180.17300.30070.44970.59870.72910.83050.90150.94660.97300.98720.99430.99760.99900.99960.99991.0000

0.00060.00470.02030.05910.13210.24140.37820.5246066200.77640.86220.92080.95730.97840.98970.99540.99800.99920.99970.99991.0000

0.00030.00300.01380.04240.09960.19120.31340.45300.59250.71660.81590.88810.93620.96580.98270.99180.99630.99840.99940.99970.99991.0000

0.00020.00190.00930.03010.07440.14960.25620.38560.52310.65300.76340.84870.90910.94860.97260.98620.99340.99700.99870.99950.99980.99991.0000

0.00010.00120.00620.02120.05500.11570.20680.32390.45570.58740.70600.80300.87580.92610.95850.97800.98890.99470.99760.99890.99960.99980.99991.0000

0.00010.00080.00420.01490.04030.08850.16490.26870.39180.52180.64530.75200.83640.89810.94000.96650.98230.99110.99570.99800.99910.99960.99990.99991.0000

λ ∑=

λ

λ

λ ∑=

λ

λ

1 5 5 9 6 3 2 1 1


Tabla A-2 (Continuación)Sumas de probabilidades de Poisson. P(r ; λ) =∑=

r

x

p0

(x ; λ )

r

λ

10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0

0123456789

10111213141516171819202122232425262728293031323334353637

0.00000.00050.00280.01030.02930.06710.13010.22020.33280.45790.58300.69680.79160.86450.91650.95130.97300.98570.99280.99650.99840.99930.99970.99991.0000

0.00000.00020.00120.00490.01510.03750.07860.14320.23200.34050.45990.57930.68870.78130.85400.90740.94410.96780.98230.99070.99530.99770.99900.99950.99980.99991.0000

0.00000.00010.00050.00230.00760.02030.04580.08950.15500.24240.34720.46160.57600.68150.77200.84440.89870.93700.96260.97870.98840.99390.99700.99850.99930.99970.99990.99991.0000

0.00000.00020.00100.00370.01070.02590.05400.09980.16580.25170.35320.46310.57300.67510.76360.83550.89050.93020.95730.97500.98590.99240.99600.99800.99900.99950.99980.99991.0000

0.00000.00010.00050.00180.00550.01420.03160.06210.10940.17570.26000.35850.46440.57040.66940.75590.82720.88260.92350.95210.97120.98330.99070.99500.99740.99870.99940.99970.99990.99991.0000

0.00000.00020.00090.00280.00760.01800.03740.06990.11850.18480.26760.36320.46570.56810.66410.74890.81950.87520.91700.94690.96730.98050.98880.99380.99670.99830.99910.99960.99980.99991.0000

0.00000.00010.00040.00140.00400.01000.02200.04330.07740.12700.19310.27450.36750.46670.56600.65930.74230.81220.86820.91080.94180.96330.97770.98690.99250.99590.99780.99890.99940.99970.99990.99991.0000

0.00000.00020.00070.00210.00540.01260.02610.04910.08470.13500.20090.28080.37150.46770.56400.65500.73630.80550.86150.90470.93670.95940.97480.98480.99120.99500.99730.99860.99930.99960.99980.99991.0000

0.00000.00010.00030.00100.00290.00710.01540.03040.05490.09170.14260.20810.28670.37500.46860.56220.65090.73070.79910.85510.89890.93170.95540.97180.98270.98970.99410.99670.99820.99900.99950.99980.99990.99991.0000


Tabla A-3 Áreas bajo la curva normal

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

-3.4-3.3-3.2-3.1-3.0

-2.9-2.8-2.7-2.6-2.5

-2.4-2.3-2.2-2.1-2.0

-1.9-1.8-1.7-1.6-1.5

-1.4-1.3-1.2-1.1-1.0

-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5

-0.4-0.3-0.2-0.1-0.0

.0003

.0005

.0007

.0010

.0013

.0019

.0026

.0035

.0047

.0062

.0082

.0107

.0139

.0179

.0228

.0287

.0359

.0446

.0548

.0668

.0808

.0968

.1151

.1357

.1587

.1841

.2119

.2420

.2743

.3085

.3446

.3821

.4207

.4602

.5000

.0003

.0005

.0007

.0009

.0013

.0018

.0025

.0034

.0045

.0060

.0080

.0104

.0136

.0174

.0222

.0281

.0352

.0436

.0537

.0655

.0793

.0951

.1131

.1335

.1562

.1814

.2092

.2389

.2709

.3050

.3409

.3783

.4168

.4562

.4960

.0003

.0005

.0006

.0009

.0013

.0017

.0024

.0033

.0044

.0059

.0078

.0102

.0132

.0170

.0217

.0274

.0344

.0427

.0526

.0643

.0778

.0934

.1112

.1314

.1539

.1788

.2061

.2358

.2676

.3015

.3372

.3745

.4129

.4522

.4920

.0003

.0004

.0006

.0009

.0012

.0017

.0023

.0032

.0043

.0057

.0075

.0099

.0129

.0166

.0212

.0268

.0336

.0418

.0516

.0630

.0764

.0918

.1093

.1292

.1515

.1762

.2033

.2327

.2643

.2981

.3336

.3707

.4090

.4483

.4880

.0003

.0004

.0006

.0008

.0012

.0016

.0023

.0031

.0041

.0055

.0073

.0096

.0125

.0162

.0207

.0262

.0329

.0409

.0505

.0618

.0749

.0901

.1075

.1271

.1492

.1736

.2005

.2296

.2611

.2946

.3300

.3669

.4052

.4443

.4840

.0003

.0004

.0006

.0008

.0011

.0016

.0022

.0030

.0040

.0054

.0071

.0094

.0122

.0158

.0202

.0256

.0322

.0401

.0495

.0606

.0735

.0885

.1056

.1251

.1469

.1711

.1977

.2266

.2578

.2912

.3264

.3632

.4013

.4404

.4801

.0003

.0004

.0006

.0008

.0011

.0015

.0021

.0029

.0039

.0052

.0069

.0091

.0119

.0154

.0197

.0250

.0314

.0392

.0485

.0594

.0722

.0869

.1038

.1230

.1446

.1685

.1949

.2236

.2546

.2877

.3228

.3594

.3974

.4364

.4761

.0003

.0004

.0005

.0008

.0011

.0015

.0021

.0028

.0038

.0051

.0068

.0089

.0116

.0150

.0192

.0244

.0307

.0384

.0475

.0582

.0708

.0853

.1020

.1210

.1423

.1660

.1922

.2206

.2514

.2843

.3192

.3557

.3936

.4325

.4721

.0003

.0004

.0005

.0007

.0010

.0014

.0020

.0027

.0037

.0049

.0066

.0087

.0113

.0146

.0188

.0239

.0301

.0375

.0465

.0571

.0694

.0838

.1003

.1190

.1401

.1635

.1894

.2177

.24832810

.3156

.3520

.3897

.4286

.4681

.0002

.0003

.0005

.0007

.0010

.0014

.0019

.0026

.0036

.0048

.0064

.0084

.0110

.0143

.0183

.0233

.0294

.0367

.0455

.0559

.0681

.0823

.0985

.1170

.1379

.1611

.1867

.2148

.2451

.2776

.3121

.3483

.3859

.4247

.4641

03 03 03 03 03 03 03 03 03 02


Tabla A-3 (Continuación) Áreas bajo la curva normal

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.00.10.20.30.4

0.50.60.70.80.9

1.01.11.21.31.4

1.51.61.71.81.9

2.02.12.22.32.4

2.52.62.72.82.9

3.03.13.23.33.4

.5000

.5398

.5793

.6179

.6554

.6915

.7257

.7580

.7881

.8159

.8413

.8643

.8849

.9032

.9192

.9332

.9452

.9554

.9641

.9713

.9772

.9821

.9861

.9893

.9918

.9938

.9953

.9965

.9974

.9981

.9987

.9990

.9993

.9995

.9997

.5040

.5438

.5832

.6217

.6591

.6950

.7291

.7611

.7910

.8186

.8438

.8665

.8869

.9049

.9207

.9345

.9463

.9564

.9649

.9719

.9778

.9826

.9864

.9896

.9920

.9940

.9955

.9966

.9975

.9982

.9987

.9991

.9993

.9995

.9997

.5080

.5478

.5871

.6255

.6628

.6985

.7324

.7642

.7939

.8212

.8461

.8686

.8888

.9066

.9222

.9357

.9474

.9573

.9656

.9726

.9783

.9830

.9868

.9898

.9922

.9941

.9956

.9967

.9976

.9982

.9987

.9991

.9994

.9995

.9997

.5120

.5517

.5910

.6293

.6664

.7019

.7357

.7673

.7967

.8238

.8485

.8708

.8907

.9082

.9236

.9370

.9484

.9582

.9664

.9732

.9788

.9834

.9871

.9901

.9925

.9943

.9957

.9968

.9977

.9983

.9988

.9991

.9994

.9996

.9997

.5160

.5557

.5948

.6331

.6700

.7054

.7389

.7704

.7995

.8264

.8508

.8729

.8925

.9099

.9251

.9382

.9495

.9591

.9671

.9738

.9793

.9838

.9875

.9904

.9927

.9945

.9959

.9969

.9977

.9984

.9988

.9992

.9994

.9996

.9997

.5199

.5596

.5987

.6368

.6736

.7088

.7422

.7734

.8023

.8289

.8531

.8749

.9844

.9115

.9265

.9394

.9505

.9599

.9678

.9744

.9798

.9842

.9878

.9906

.9929

.9946

.9960

.9970

.9978

.9984

.9989

.9992

.9994

.9996

.9997

.5239

.5636

.6026

.6406

.6772

.7123

.7454

.7764

.8051

.8315

.8554

.8770

.8962

.9131

.9278

.9406

.9515

.9608

.9686

.9750

.9803

.9846

.9881

.9909

.9931

.9948

.9961

.9971

.9979

.9985

.9989

.9992

.9994

.9996

.9997

.5279

.5675

.6064

.6443

.6808

.7157

.7486

.7794

.8078

.8340

.8577

.8790

.8980

.9147

.9292

.9418

.9525

.9616

.9693

.9756

.9808

.9850

.9884

.9911

.9932

.9949

.9962

.9972

.9979

.9985

.9989

.9992

.9995

.9996

.9997

.5319

.5714

.6103

.6480

.6844

.7190

.7517

.7823

.8106

.8365

.8599

.8810

.8997

.9162

.9306

.9429

.9535

.9625

.9699

.9761

.9812

.9854

.9887

.9913

.9934

.9951

.9963

.9973

.9980

.9986

.9990

.9993

.9995

.9996

.9997

.5359

.5753

.6141

.6517

.6879

.7224

.7549

.7852

.8133

.8389

.8621

.8830

.9015

.9177

.9319

.9441

.9545

.9633

.9706

.9767

.9817

.9857

.9890

.9916

.9936

.9952

.9964

.9974

.9981

.9986

.9990

.9993

.9995

.9997

.9998


Tabla A-4 Distribución Ji - Cuadrado

RP[X ≤ X

2α ] = P[ X ≤ x] = α

0.010 0.025 0.050 0.100 0.900 0.950 0.975 0.990

123456789

1011121314151617181920212223242526272829304050607080

0.0000.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8126.4087.0157.6338.2608.8979.54210.2010.8611.5212.2012.8813.5614.2614.9522.1629.7137.4845.4453.34

0.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9087.5648.2318.9079.59110.2810.9811.6912.4013.1213.8414.5715.3116.0516.7924.4332.3640.4848.7657.15

0.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9628.6729.39010.1210.8511.5912.3413.0913.8514.6115.3816.1516.9317.7118.4926.5134.7643.1951.7460.39

0.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.31210.0810.8611.6512.4413.2414.0414.8515.6616.4717.2918.1118.9419.7720.6029.0537.6946.4655.3364.28

2.7064.6056.2517.7799.23610.6412.0213.3614.6815.9917.2818.5519.8121.0622.3123.5424.7725.9927.2028.4129.6230.8132.0133.2034.3835.5636.7437.9239.0940.2651.8063.1774.4085.5396.58

3.8415.9917.8159.48811.0712.5914.0715.5116.9218.3119.6821.0322.3623.6825.0026.3027.5928.8730.1430.4132.6733.9235.1736.4237.6538.8840.1141.3442.5643.7755.7667.5079.0890.53101.9

5.0247.3789.34811.1412.8314.4516.0117.5419.0220.4821.9223.3424.7426.1227.4928.8430.1931.5332.8534.1735.4836.7838.0839.3640.6541.9243.1944.4645.7246.9859.3471.4283.3095.02106.6

6.6359.21011.3413.2815.0916.8118.4820.0921.6723.2124.7226.2227.6929.1430.5832.0033.4134.8036.1937.5738.9340.2941.6442.9844.3145.6446.9648.2849.5950.8963.6976.1588.38100.4112.3

≤

≤ α ≤ α


Tabla A–5 Distribución F P[ X ≤ x ] = p

r2r1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 30 60 120

0,900 1 39,9 49,5 53,6 55,8 57,2 58,2 58,9 59,4 59,9 60,2 60,7 61,2 61,7 62,3 62,8 63,1 63,3

0,950 1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 244 246 248 250 252 253 254

0,975 1 648 799 864 900 922 937 948 957 963 969 977 985 993 1001 1010 1014 1018

0,990 1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6106 6157 6209 6261 6313 6339 6366

0,995 1 16211 20000 21615 22500 23056 23437 23715 23925 24091 24224 24426 24630 24836 25044 25253 25359 25463

0,900 2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 9,42 9,44 9,46 9,47 9,48 9,49

0,950 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,43 19,45 19,46 19,48 19,49 19,50

0,975 2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41 39,43 39,45 39,46 39,48 39,49 39,50

0,990 2 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,42 99,43 99,45 99,47 99,48 99,49 99,50

0,995 2 198,5 199,0 199,2 199,2 199,3 199,3 199,4 199,4 199,4 199,4 199,4 199,4 199,4 199,5 199,5 199,5 199,5

0,900 3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,20 5,18 5,17 5,15 5,14 5,13

0,950 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,66 8,62 8,57 8,55 8,53

0,975 3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,34 14,25 14,17 14,08 13,99 13,95 13,90

0,990 3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 27,05 26,87 26,69 26,50 26,32 26,22 26,13

0,995 3 55,55 49,80 47,47 46,19 45,39 44,84 44,43 44,13 43,88 43,69 43,39 43,08 42,78 42,47 42,15 41,99 41,83

0,900 4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 3,87 3,84 3,82 3,79 3,78 3,76

0,950 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,80 5,75 5,69 5,66 5,63

0,975 4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,75 8,66 8,56 8,46 8,36 8,31 8,26

0,990 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,37 14,20 14,02 13,84 13,65 13,56 13,46

0,995 4 31,33 26,28 24,26 23,15 22,46 21,97 21,62 21,35 21,14 20,97 20,70 20,44 20,17 19,89 19,61 19,47 19,33

0,900 5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27 3,24 3,21 3,17 3,14 3,12 3,11

0,950 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,56 4,50 4,43 4,40 4,37

0,975 5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,52 6,43 6,33 6,23 6,12 6,07 6,02

0,990 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,89 9,72 9,55 9,38 9,20 9,11 9,02

0,995 5 22,78 18,31 16,53 15,56 14,94 14,51 14,20 13,96 13,77 13,62 13,38 13,15 12,90 12,66 12,40 12,27 12,15

0,900 6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 2,87 2,84 2,80 2,76 2,74 2,72

0,950 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,81 3,74 3,70 3,67

0,975 6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,37 5,27 5,17 5,07 4,96 4,90 4,85

0,990 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7,56 7,40 7,23 7,06 6,97 6,88

0,995 6 18,6 14,5 12,9 12,0 11,5 11,1 10,8 10,6 10,4 10,3 10,0 9,8 9,6 9,4 9,1 9,0 8,9

0,900 7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 2,63 2,59 2,56 2,51 2,49 2,47

0,950 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,44 3,38 3,30 3,27 3,23

0,975 7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,67 4,57 4,47 4,36 4,25 4,20 4,14

0,990 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,47 6,31 6,16 5,99 5,82 5,74 5,65

0,995 7 16,24 12,40 10,88 10,05 9,52 9,16 8,89 8,68 8,51 8,38 8,18 7,97 7,75 7,53 7,31 7,19 7,08

0,900 8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 2,46 2,42 2,38 2,34 2,32 2,29

0,950 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,15 3,08 3,01 2,97 2,93

0,975 8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,20 4,10 4,00 3,89 3,78 3,73 3,67

0,990 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,67 5,52 5,36 5,20 5,03 4,95 4,86

0,995 8 14,69 11,04 9,60 8,81 8,30 7,95 7,69 7,50 7,34 7,21 7,01 6,81 6,61 6,40 6,18 6,06 5,95

0,900 9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21 2,18 2,16

0,950 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,94 2,86 2,79 2,75 2,71

0,975 9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,87 3,77 3,67 3,56 3,45 3,39 3,33


r2r1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 30 60 120

0,900 10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28 2,24 2,20 2,16 2,11 2,08 2,06

0,950 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85 2,77 2,70 2,62 2,58 2,54

0,975 10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,62 3,52 3,42 3,31 3,20 3,14 3,08

0,990 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,71 4,56 4,41 4,25 4,08 4,00 3,91

0,995 10 12,83 9,43 8,08 7,34 6,87 6,54 6,30 6,12 5,97 5,85 5,66 5,47 5,27 5,07 4,86 4,75 4,64

0,900 12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,96 1,93 1,90

0,950 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,47 2,38 2,34 2,30

0,975 12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,28 3,18 3,07 2,96 2,85 2,79 2,73

0,990 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,16 4,01 3,86 3,70 3,54 3,45 3,36

0,995 12 11,75 8,51 7,23 6,52 6,07 5,76 5,52 5,35 5,20 5,09 4,91 4,72 4,53 4,33 4,12 4,01 3,91

0,900 15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 1,97 1,92 1,87 1,82 1,79 1,76

0,950 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,25 2,16 2,11 2,07

0,975 15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 2,96 2,86 2,76 2,64 2,52 2,46 2,40

0,990 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,67 3,52 3,37 3,21 3,05 2,96 2,87

0,995 15 10,80 7,70 6,48 5,80 5,37 5,07 4,85 4,67 4,54 4,42 4,25 4,07 3,88 3,69 3,48 3,37 3,26

0,900 20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 1,64 1,61

0,950 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20 2,12 2,04 1,95 1,90 1,84

0,975 20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,68 2,57 2,46 2,35 2,22 2,16 2,09

0,990 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,23 3,09 2,94 2,78 2,61 2,52 2,42

0,995 20 9,94 6,99 5,82 5,17 4,76 4,47 4,26 4,09 3,96 3,85 3,68 3,50 3,32 3,12 2,92 2,81 2,69

0,900 30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77 1,72 1,67 1,61 1,54 1,50 1,46

0,950 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01 1,93 1,84 1,74 1,68 1,62

0,975 30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,41 2,31 2,20 2,07 1,94 1,87 1,79

0,990 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,84 2,70 2,55 2,39 2,21 2,11 2,01

0,995 30 9,18 6,35 5,24 4,62 4,23 3,95 3,74 3,58 3,45 3,34 3,18 3,01 2,82 2,63 2,42 2,30 2,18

0,900 60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 1,60 1,54 1,48 1,40 1,35 1,29

0,950 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84 1,75 1,65 1,53 1,47 1,39

0,975 60 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 2,27 2,17 2,06 1,94 1,82 1,67 1,58 1,48

0,990 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,50 2,35 2,20 2,03 1,84 1,73 1,60

0,995 60 8,49 5,79 4,73 4,14 3,76 3,49 3,29 3,13 3,01 2,90 2,74 2,57 2,39 2,19 1,96 1,83 1,69

0,900 120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,60 1,55 1,48 1,41 1,32 1,26 1,19

0,950 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,66 1,55 1,43 1,35 1,26

0,975 120 5,15 3,80 3,23 2,89 2,67 2,52 2,39 2,30 2,22 2,16 2,05 1,94 1,82 1,69 1,53 1,43 1,31

0,990 120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,34 2,19 2,03 1,86 1,66 1,53 1,38

0,995 120 8,18 5,54 4,50 3,92 3,55 3,28 3,09 2,93 2,81 2,71 2,54 2,37 2,19 1,98 1,75 1,61 1,43

0,900 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63 1,60 1,55 1,49 1,42 1,34 1,24 1,17 1,02

0,950 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,75 1,67 1,57 1,46 1,32 1,22 1,02

0,975 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,29 2,19 2,11 2,05 1,94 1,83 1,71 1,57 1,39 1,27 1,03

0,990 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,18 2,04 1,88 1,70 1,47 1,32 1,03

0,995 7,88 5,30 4,28 3,72 3,35 3,09 2,90 2,74 2,62 2,52 2,36 2,19 2,00 1,79 1,53 1,36 1,04

≤

∞

10 29 92 73 61 52 46 41 38 35 32 28 24 20 16 11 08 06

10 96 10 71 48 33 22 14 07 02 98 91 85 77 70 62 58 54

10 94 46 83 47 24 07 95 85 78 72 62 52 42 31 20 14 08

10 04 56 55 99 64 39 20 06 94 85 71 56 41 25 08 00 91

10 83 43 08 34 87 54 30 12 97 85 66 47 27 07 86 75 64

12 18 81 61 48 39 33 28 24 21 19 15 10 06 01 96 93 90

12 75 89 49 26 11 00 91 85 80 75 69 62 54 47 38 34 30

12 55 10 47 12 89 73 61 51 44 37 28 18 07 96 85 79 73

12 33 93 95 41 06 82 64 50 39 30 16 01 86 70 54 45 36

12 75 51 23 52 07 76 52 35 20 09 91 53 33 12 01 91

15 07 70 49 36 27 21 16 12 09 06 02 97 92 87 82 79 76

15 54 68 29 06 90 79 71 64 59 54 48 40 33 25 16 11 07

15 20 77 15 80 58 41 29 20 12 06 96 86 76 64 52 46 40

15 68 36 42 89 56 32 14 00 89 80 67 52 37 21 05 96 87

15 80 70 48 80 37 07 85 67 54 42 25 07 88 69 48 37 26

20 97 59 38 25 16 09 04 00 96 94 89 84 79 74 68 64 61

20 35 49 10 87 71 60 51 45 39 35 28 20 12 04 95 90 84

20 87 46 86 51 29 13 01 91 84 77 68 57 46 35 22 16 09

20 10 85 94 43 10 87 70 56 46 37 23 09 94 78 61 52 42

20 94 99 82 17 76 47 26 09 96 85 68 50 32 12 92 81 69

30 88 49 28 14 05 98 93 88 85 82 77 72 67 61 54 50 46

30 17 32 92 69 53 42 33 27 21 16 09 01 93 84 74 68 62

30 57 18 59 25 03 87 75 65 57 51 41 31 20 07 94 87 79

30 56 39 51 02 70 47 30 17 07 98 84 70 55 39 21 11 01

30 18 35 24 62 23 95 74 58 45 34 18 01 82 63 42 30 18

60 79 39 18 04 95 87 82 77 74 71 66 60 54 48 40 35 29

60 00 15 76 53 37 25 17 10 04 99 92 84 75 65 53 47 39

60 29 93 34 01 79 63 51 41 33 27 17 06 94 82 67 58 48

60 08 98 13 65 34 12 95 82 72 63 50 35 20 03 84 73 60

60 49 79 73 14 76 49 29 13 01 90 74 57 39 19 96 83 69

120 75 35 13 99 90 82 77 72 68 65 60 55 48 41 32 26 19

120 92 07 68 45 29 18 09 02 96 91 83 75 66 55 43 35 26

120 15 80 23 89 67 52 39 30 22 16 05 94 82 69 53 43 31

120 85 79 95 48 17 96 79 66 56 47 34 19 03 86 66 53 38

120 18 54 50 92 55 28 09 93 81 71 54 37 19 98 75 61 43

71 30 08 94 85 77 72 67 63 60 55 49 42 34 24 17 02

84 00 60 37 21 10 01 94 88 83 75 67 57 46 32 22 02

02 69 12 79 57 41 29 19 11 05 94 83 71 57 39 27 03

63 61 78 32 02 80 64 51 41 32 18 04 88 70 47 32 03

88 30 28 72 35 09 90 74 62 52 36 19 00 79 53 36 04


Tabla A-6 Distribución t de Student P[ X≤ x ] = p

p r

0.75 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9995

12345

6789

10

1112131415

1617181920

2122232425

2627282930

4060

120∞

1.0000.8160.7650.7410.727

0.7180.7110.7060.7030.700

0.6970.6950.6940.6920.691

0.6900.6890.6880.6880.687

0.6860.6860.6850.6850.684

0.6840.6840.6830.6830.683

0.6810.6790.6770.674

3.0781.8861.6381.5331.476

1.4401.4151.3971.3831.372

1.3631.3561.3501.3451.341

1.3371.3331.3301.3281.325

1.3231.3211.3191.3181.316

1.3151.3141.3131.3111.310

1.3031.2961.2891.282

6.3142.9202.3532.1322.015

1.9431.8951.8601.8331.812

1.7961.7821.7711.7611.753

1.7461.7401.7341.7291.725

1.7211.7171.7141.7111.708

1.7061.7031.7011.6991.697

1.6841.6711.6581.645

12.7064.3033.1822.7762.571

2.4472.3652.3062.2622.228

2.2012.1792.1602.1452.131

2.1202.1102.1012.0932.086

2.0802.0742.0692.0642.060

2.0562.0522.0482.0452.042

2.0212.0001.9801.960

31.8216.9654.5413.7473.365

3.1432.9982.8962.8212.764

2.7182.6812.6502.6242.602

2.5832.5672.5522.5392.528

2.5182.5082.5002.4922.485

2.4792.4732.4672.4622.457

2.4232.3902.3582.326

63.6579.9255.8414.6044.032

3.7073.4993.3553.2503.169

3.1063.0553.0122.9772.947

2.9212.8982.8782.8612.845

2.8312.8192.8072.7972.787

2.7792.7712.7632.7562.750

2.7042.6602.6172.576

636.61931.59812.9418.6106.859

5.9595.4055.0414.7814.587

4.4374.3184.2214.1404.073

4.0153.9653.9223.8833.850

3.8193.7923.7673.7453.725

3.7073.6903.6743.6593.646

3.5513.4603.3733.291

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

CAPITULO I1. a) Ω = 6, 12, 18, 24, 30, b) Ω =C, CS, CCS, CCC, c) Ω =φ .

2. Ω = ( ) 10,....,2,1y;10,....,2,1x/y,x == .

3. Ω =(x,y)/x= calvo, recortado, pelucón; y = ojos negros, ojos pardos.A= (pelucón, ojos negros), (pelucón, ojos pardos).B = (calvo, ojos pardos),(recortado, ojos pardos),(pelucón ,ojos pardos).C = (recortado, ojos negros).

4. Ω = ( ;3,2,1;7,....,,2,1/),, == ixxxx iiii no hay dos ix iguales.

A = ( ) 4x,4x,xx;3,2i;7,....,2,1x/x,x,4 3232iii ≠≠≠== .

B = ( ) 2121iii xx,4x,4x;2,1i;7,....,2,1x/4,x,x ≠≠≠== .

C = ( ) 3,2,1;4;7,......,2,1/,, =≠= ixxxxx iiiii .

5. Ω = 50,....,2,1,0/ =xx , A = 50,....,10,9/ =xx .

B = 9,......,1,0/ =xx , C = .9/ BAxx ∩==6. Ω = ( 2,1;50,....,1,0/), 21 == ixxx i

A = ( ) 50,....1,0;50,....,10,9/, 2121 == xxxx ,

B = ( ) 50,....10,9;50,....,1,0/, 2121 == xxxx ,

C =. ( ) 50,....10,9;50,....,10,9/, 2121 == xxxx .

7. Ω = 1CC,1CS,1SC,1SS,2C,2S,3CC,3CS,3SC,3SS,4C,4S,5CC,5CS,5SC,5SS,6C,6S.

8. A = 1CC,1CS,1SC,1SS,2C,2S, B = 1SS,3SS,5SS,A’= 3CC,3CS,3SC,3SS,4C,4S,5CC,5CS,5SC,5SS,6C,6S,A’∩ B=3SS,5SS

9. a) 121 , b) 9

1 ; 10. 81 ; 11. a) 52

1 , b) 134 , c) 13

1 ; 12. 2001 ;

15. Ω =DD,NDD,DNDD,DNDN,DNND,NDND,NDNN,NNDD,NNDN,DNNN,NNND,NNNN

16. a) Ω = CCC,CCS,CSC,CSS,SCC,SCS,SSC, SSS, b) 83 , c) 2

1 , d) 1;

17. a) Ω = 3,2,1/ =iBA ii , b) 94 , c) 3

1 ; 18. a) 169 , b) 2

1 ; 19. a) 41 ,

b) 61 , c) 4

1 , d) 21 , e) 4

3 , f) 43 , g) 4

3 ; 20. 41 ; 21. 4

1 ; 22. 41

23. 138 por obstrucción, 13

4 por combustión, 131 por desgaste; 24. 8

5 ; 25. a) 0.7, b)

0.5; 26. a) 0.94 , b) 0.59, c) 0.86; 28. a) 0.6, b) 0.48, c) 0.52, d) 0.38;

29. a) 81 , b) 0, c) 8

1 ; 30. a) 34 a favor, b) 19

1 en contra, c) 4 a favor.

CAPITULO II1. 24,300; 2. 120; 3. a) 40, b) 20, c) 40; 4. 36; 5. 6, 6. 120; 7. 9; 8. 120; 9. 720; 10. 362,880; 11. 5,040; 12. 24; 13. 288; 14. 120 y 24;15. 1,728; 16. 10; 17. 15; 18. 5; 19. 336; 20. 120; 21. a) 24, b) 6;22. 420; 23. a) 1,152, b) 504, c) 648; 24. a) 5,040, b) 2,520, c) 10,080;

−−

−

−

+

−

Ω

Ω

Ω Ω Ω φΩ ( ) 10==Ω

Ω ;3==( ) ≠≠≠==( ) ≠≠≠==( ) 3=≠=

Ω 50= 50= 9= .∩==

Ω ==( ) 50==( ) 50==( ) 50==

Ω

∩

Ω

Ω

Ω 3=


25. a) 120, b) 24, c) 24, d) 12; 26. a) a+b, b) i) 504, ii) 180; 28. a) n=9, b) n=5; 29. 6561; 30. 216; 31. 6840; 32. 455; 33. 8,820;

34. 210; 35. 66; 36. a) 45, b) 28, c) 120, d) 36, e) 8; 37. 672; 38. a) 286, b) 165, c) 110, d) 80, e) 276.

CAPITULO III

1. a) 31 , b) 11

3 ; 2. 2309 ; 3.

−−4

49

339

449

439

101 ; 4. a) 41 , b) 8

5 ; 5. 95 ; 6.

a) 1052 , b) 5

2 ; 7. 285 ; 8.

−

5098

50100

4898

; 9. 114 ; 10. a)

−5

39

562

1 , b)

+

−1339

1234514

34

1 , c)

1339

539

5363

; 12. 21 ; 13. a) 8

3 , b) 52 , c) 2

1 ; 14. 83 ;

15. a) 0.362, b) 0.406, c) 0.382; 16. a) 7241 , b) 36

13 ; 17. 32 ; 18. a) 15

2 , b)

85 , c) 3

1 ; 19. a) 101 , b) 10

3 ; 20. a) 121 , b) 9

1 , c) 31 ; 21. 0.545;

23. a) P(A)=P(B)=P(C) = 21 , P(AB)=P(AC)=P(BC)= 4

1 , P(ABC)=0; 24. a) 43 ,

b) 52 , c) 5; 25. a) 3

1 , b) 21 , c) 3

2 ; 26. 165 ; 27. a) 0.995, b) 0.145.

CAPITULO IV1. a) si, b) no; 2. si; 3.

Ω NNN NNM NMN MNN NMM MNM MMN MMMx 0 1 1 1 2 2 2 3

4. Ω CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSSx 3 1 1 1 -1 -1 -1 -3

5. 6.

7.y 3 4 5 6 7

)(ypY 61 6

162

61

61

8.z 2 5 8 10 13 17 18 20 25 32

)(zpZ 161

162

161

162

162

162

161

162

162

161


9.x 15 15.5 16 16.5 17.5 18 18.5 19 19.5 21

)(xpX 453

4512

459

454

453

454

454

454

451

451

10. a) 301 , b) 20

1 ; 11. a) [ ] )1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1(7 ==X ,

[ ] )4,3(),5,6(),6,5(11 ==X ,[ ] ( ) )5,6(),6,5(),1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(,6,1117 === XóX

,b) [ ] 6

17 ==XP , [ ]18111 ==XP , [ ] 4

1117 === XóXP ;

12. a) 31 , b) 16

1 , c) 71 ; 13. a) 3

1 , b) 161 , c) 7

1 .

14.

a) 2720 , b) 3

2 .

15.

a) 0.09, b) 0.41, c) 0.11, d) 0.19;

16. a) 41 , b) 2

1 , c) 21 ;

17. b)

,),),),0) 41

443

343

21 cccc

41

841

765 ),),0),1) cccc

18. a) 1−e , b) 0.13212, c) 3

21 e− , d) 1

211 −− e , e) 0.972527;

)

[ ] )==

[ ] )==[ ] ( ) )===

[ ]== [ ]== [ ]===

,

− − −−


21. a) b)

22. a) b) c) 0.64

23.a) b) c) 42/45

24. a) k = 1/36, b) 1/12, c) 1/2 , d) 1/6, e) 5/36;

25. a)


b) c) 0.6 , d) 0.2, e) 0.1

26. a) b) 9/14; 27. a)

b) c) 9/20, d) 19/20;

28. a) k = 151 , b) 3

1 , c) 1511 ; 32. Dependientes; 33. Independientes

34. Dependientes;

36. a) 3,2,1;)1/(12

23 == − xXp x ; 3,2,1,)2/( 183 == XXp X ;

3,2,1,)3/( 2423 == + XXp X ;

b) 3,2,1,)1/( 912 == − YYp Y ; 3,2,1,)2/( 9

1 == + YYp Y ;

3,2,1,)3/( 2752 == + YYp Y ;

37. 2,1,0;1

33)1/( 3

14 =

−

= X

xxXp ; ;)1/1( 2

1=== YXp

38. a) 199 b) 3

1 ; 39. a) 1, b) 0.4.

[ ] ( ) ( ) =

== − ≅

− [ ] ( ) ( ) =

== −

[ ] ( ) ( ) =

−== −

( ) ( ) −

=∑

−=

[ ] ( ) ( )

== [ ] ( ) ( ) −

=∑

−−=>

( ) ( )−

[ ] ===

−

==

−

[ ]=≤≤

[ ] ===

−

− +

++ +

=λ==

π= = π= =α

== − 3,==

3,== +

3,== − 3,== +

3,== +

=

−

= ;===


CAPITULO V

1. 21 ; 2. a) 25

1 , b) 51 ; 3. a) 0.1672, b) 0.0101, c) 0.1629; 4. 0.9163;

5. a) [ ] ( ) ( ) 10,....3,2,1;8.020.010 10 =

== −

xx

xXPxx ; b) 0.0328; c) 9.02 ≅9

6. a) 0.1216, b) 2.65 )10( 5− ; 7. a) [ ] ( ) ( ) 10,....3,2,1;10

21

21 =

== −

xx

xXPxnx

; b)

0.9893; 8. 37 )05.0()95.0(3

10

; 9. a) 0.068, b) 0.605; 10. a) 0.1280, b)

0.9547; 11. a) 0, b) 0.4148, c) 0.1019; 12.a)

[ ] ( ) ( ) ,....7,6,5;3.07.04

1 55 =

−== −

xx

xXPx

;b) ( ) ( ) 55

5

3.07.04

1)( −

=∑

−= r

x

r

X

rxF , c)

[ ] ( ) ( ) ;3.07.04

67XP 25

== [ ] ( ) ( ) 55

5

0

3.07.04

115 −

=∑

−−=> r

r

rXP ;

13. a) 43 , b) 8

7 ; 14. ( ) ( )38181

3820 −k

; 15. a) 0.16, b) 0.488; 16. a) 0.0630, b)

0.9730; 17. a) 0.047, b) 0.2355;

18. [ ] 13,.....,2,1;1352

132626

===

−

xxXPxx

19. 3522 ; 20. 0.9593;

21. 3,2,1;)4,3,6;(36

224

==

−

xxhxx

; [ ] 5432 =≤≤ XP ; 22. 21

10 , 23. 0.2131;

24. a) [ ] 5,4,3,2,1,0;5

20

5146

===

−

kkXPkk

; b)

−5

20

514

1 ; 25. a) q

p

+1 ,

b) 211

qq++, c)

q+11 ; 28. a) 81

16 , b) 8132 , c) 27

8 , d) 91 ;

29. a) 0.16804, b) 0.08388, c) 0.59747, d) 0.42321; 30. a) 0.008025, b) 0.03108, c) 0.98893; 31. a) 0.08208, b) 0.2137; 32. 0.549; 33. 0.024; 34. a) Poisson con 8=λ , b) 0.1841;

35. a) e-10 , b) 2005

1852

153

C

CC; 36. a) Binomial, n = 300, 6000

121 ==n

p , b) 0.607,

c) 0.0003; 37. a) 0.1512, b) 0.4015; 38. a) 0.264477, b) 0.1044847; 39. 0.14039; 40. 0.006; 41. a) 0.0216, b) 0.1298; 42. 0.058; 43. 0.0146484.CAPITULO VI

1. a) π4=k , b) 3

1=k , c) π21=k , d) k = 0,1; 2. a) 9

2=α , b) 3619 ;


3. a) k = 5, b) e

e 2525 − , d)

<≥−=

−

0;0

0;2525)(5

x

xexF

x

X;

4. a) 0.02, b) 0.84, d) =)(xFX

≥<≤−−<≤

<

2,0

21,2

10,

0,0

23

2

22

2

x

xx

x

x

x

x;

5. a) 2500001 , b) 4

3 ; c) =)(xFX

≥<≤−−

<≤<

1000,0

1000500,

5000,

0,0

23

50000250

5000002

2

x

x

x

x

xx

x

;

6. a) 2, b) 8 , c) =)(xFX

>≤≤

<

4x,1

40,

0,0

16

2

x

x

x ;

7. a) 211

121 ,=k , b) =)(xFX

≥<≤<≤<≤

<

−+−

−

8,1

86,

62,

20,

0,0

244016

61

4

2

2

x

x

x

x

x

xx

x

x

;

8. a) k = m, b) =)(xFX

≥−<

− 0,1

0,0

xe

xmx

; c) 0.3679;

9. a) 2716 , b) 3

1 , c) =)(xFX

( )( )27

24 −+ xx ; 10. a) 41 , b) 2

1 , c) 21 ;

11. a) ( ) =xf X100

1001

x

e−

, b) 0.8187; 12. b) 161

43 y ,

c) ( ) =xf X

<<−

casootroen,0

1x0,x22; 13. a) 9

5 , b) 1009 ;

14. a) ( ) =xf X ( )

<<−<<

contrariocasoen ,0

1,16

0,2

21

21

xx

xx

, b) 21 ;

15. a) ( ) =xf X

<<−

casootroen,0

1x1,21

; 16. a) ( ) =xf X

( ) ( )( )tr

tftr

X

XX −, b) -a;

( ) <<−= − ( ) >=

( ) = ( ) == ( ) = ( ) = <<−<<−

= ++−+−− = ( )( )−−

= ( )−− ( ) = − ( ) = −

( )

>

−

−

−−

( ) −= ( )

−

= ( ) >>+−λλ

( )=

=

( ) =

<<

+

+

( )= ( ) <<+

− ( ) = − ( ) = ( )−−

( ) ==

>−

( ) = <<<< ( ) =

<<

( ) = ( ) =− >++

( ) =++++++ ( ) = >−

( ) =++++ ( ) = >−

=α α

−

<≥−=

−

=

≥<≤−−<≤

<

=

≥<≤−−

<≤<

=

>≤≤

<

= =

≥<≤<≤<≤

<

−+−

−

=

≥−<

−

0

= ( )( )−+

( ) = −

( ) = <<−

( ) = ( )

<<−<<

( ) = <<− ( ) = ( ) ( )

( )−


17. a) ( ) 10,121

<<−= −yyygY , b) 4

3 ; 18. a) ( ) 4,332 >= yygyY ,

b) 41 ; 19. a) ( ) =xf X 1, 0<x<1; ( ) =yfY -ln(y), 0<y<1;

20. a) 2=a , b) ( ) =xf X ( ) =yfY 22,22,22

1 <<−<<− yx

21. =),(, yxF YX 102333 2222 ++−+−− yyxxxyyx

, b) 0.225, c) =)(xFX

( )( )5

113 −− xx ,

=)(yFY

( )10

89 2 −− yy, d) ( ) =xf X 5

46 −x , ( ) =yfY 1029 y− ;

22. a) ( )21 , ttF =

>

−

−

−−

casosotrosen ,0

0,,11 21

10

5 2

1

tteet

t

; b) 0.69,

c) ( ) 551

1

1

1

t

T etf−

= , ( ) 2

2

10

2 10 t

T etf−

= ; 23. ( ) 0,0, 212 21 >>+−

ttettλλ ;

24. ( )2ln2=k ; 27. a) 1024

135 , b) 21 ; 28. 4

3 ; 29. a) dependientes, b) 31 ;

30. a) 45=k , b) 256

79 , c) 1613 , d) 40

7 , e) 5116 ;

31. a) ( ) =yxf YX //

<<

+

+

casootroen,0

1x0,y

yx2

21

2

;

b) ( )=21

/ /xf YX( )

<<+

casootroen,0

1x0,1x431

; c) 187 ;

32. a) 31 , b) 1

65 −

e ; 33. a) ( ) =xf X50

501

x

e−

, ( ) =yfY ( )201

201

1501 ee −−

,

b) no, c) ( ) == xyf XY /60/

>−

casootroen,0

60y,ee 100

y

53

1001

;

34. a) ( ) =vuf VU ,, <<<<

casootroen,0

1v0,1u0,1 , b) ( ) =ufU

<<

casootroen,0

1u0,1 ;

35. ( ) =zf Z ( ) =− zf YX

>++

casootroen,0

0z,4/3z3z3 2 ;

36. ( ) =++++++ 43214321xxxxf XXXX ( ) =ufU

>−

casootroen,0

0u,eu u361

37. ( ) =++++ 543215/)( ,,,,54321

xxxxxf XXXXX ( ) =ufU

>−

casootroen,0

0u,eu u5424

3125

CAPITULO VII1. 0.594; 2. 0.594; 3. =n 25, máxima ganancia es S/. 125; 4. Ningún máximo

relativo cuando 0<α <1; máximo relativo en x = 0, cuando α = 1;


5. =− −− 4.28.1 4.38.2 ee 0.1594; 6. 4 3−e = 0.1992; 7. a) 1-3 2−

e = 0.5940,

b) 5 4−e =0.0916; 8. a) 5

3 , b) 21 ; 9. a) 0.6, b) 0.7, c) 0.5;

10. 0.3125; 11. 0.00016; 12. 25681 ; 13. a)

<<

≤=

−− qxppara;

pxpara;0)x(F

pqpxX

;

b) 0.001725, 0.01369; 14. b) 1- π2 ; 15. 0.0703; 16. a) 0.9850,

b) 0.6331, c) 0.9333, d) 0.1512, e) 0.0405; 17. a) k = -1.72, b) k = -0.93, c) k = 0.59, d) k = 0.3366; 18. a) 0.4649, b) 0.2204, c) 0.0228, d) 0.8643; 19. a) 1.775, b) 19.8, c) 18.225, d) -1.65;

20. a) 0.9850, b) 0.0918, c) 0.3371, d) 35.04, e) 23.1 y 36.9; 21. K = 2.1398216; 22. K = 50; 23. µ = 50, σ = 10; 24. 0.8925;

25. a) 0.0548, b) 0.4514, c) 23, d) 189.95 mililitros; 26. σ = 19,230.77;27. σ = 2.37 y µ = 50.61; 28. 0.00069; 29. 83.14%; 30. a) 0.1212,

b) 0.4090; 31. 0.1841; 32. x = 287.15; 33. 5.35%; 34. 0.2578; 35. µ = 37598.21, σ = 2678.57; 36. a) 0.1171, b) 0.2049; 37. 0.4364;

41. β = 0.2; 42. a) 1- 43−

e , b) 5.0−e ; 43. 0.3679; 44. 0.1353;

45. a) ( ) =xf X2 x

e2− , x≥ 0; b) 1- 3

1−e , c) 30−

e ; 46. a) 13.56, b) 14.45,

c) 13.28; 47. a = 5.226, b = 21.03; 48. a) 0.5296, b) 0.7276, c) 0.3572;

49. 0.9549; 50. a = 67.1625; 51. 2−e = 0.1353; 52. 0.9817; 55. a) 0.975,

b) 0.01, c) 0.977, d) 0.01; 56. a) 8.45, b) 4.35, c) 0.069; 57. a = 0.403, b = 2.62; 61. a) 0.99, b) 0.025, c) 0.005, d) 0.89, e) 0.968;

62. a) 2.567, b) -1.943, c) 2.228, d) 1.548 CAPITULO VIII

1. 76 ; 2. S/.500; 3. 2

1 ; 4. 2 lanzamientos; 5. a) 1.2, b) S/. 0.30; 6. 5.60;

7. S/. 3,000; 8. ( )E X A = 32 , ( )E X B = 24 , ( )E X C = 18 ; 9. µ = 1 2/ , σ2 38= ,

x 0 1 2( )p xx 0.5625 0.375 0.0625

10. S/.1,855; 11. a) ambos iguales a µ , b) 0.9306; 12. E(X)=4, Var(X)=4.1;

13. a) ( )1 4 2− −t , b) µ = 8 , σ2 32= ; 14. ( ) ( )[ ]C t n p eX

t= − −ln 1 1 ;

15. 118.9; 16. 100 horas; 17. a) 13

, b) 16

, c) 6416

, d) 2, e) 118

, f) 26

18. ( )E Y = 1; 19. µY = 10 , σY2 144= ; 20. 162

1− ; 21. a) 61 ,

b) fxY

X

=−1

1, si x<y<1, 0 ≤ x ≤ 1; 22. a) 62.5; 3; 195 5

6;

b) 260.42; 13

; 813

; 0.894; 23. a) 68, b) 52; 24. a) 3.2, b) 1.6,

c) 4.2, d) 0.8, e) 3.2857, f) -0.49, 2.25, g) 0.15, h) no existe;

( ) ( ) ( )[ ] π−−−−=

( ) ( )( )[ ] π−−==

[ ]

=− −− − −

−

<<

≤=

−−

π

µ σσ

σ µ

µ σ

β − −

( ) = − ≥ − −

−

( ) = ( ) = ( ) = µ = 2 σ =

( )µ

( )− − µ = 8 σ = ( ) ( )[ ]= − −

1 1 641 1

( ) = 1 µ = 10 σ = −

=−

≤ ≤ 5

1 1


25. 11.67; 30.56; 26. a) 50, b) ( ) ( ) ( )[ ] π150/2/25y50x50

1expy,xf 2

YX −−−−= ,

c) ( ) ( )( )[ ] π150/5.52x1501exp30Y/Xf 2−−== = 0.9251, d) 21 ;

31. a) cuando menos 43 , b) cuando menos 9

8 ; 32. a) cuanto mucho 94 , b) cuanto

menos 95 , c) cuando menos 25

21 , d) 10; 33. 0.9839; 34. a) 75%,

b) [ ]20.153162;000,147 , c) 2.04%; 35. a) 0.174, b) 0.257; 36. 0.96155;

37. 0.9545; 38. 0.1587; 39. 0.0040; 40. 0.9052.

BIBLIOGRAFÍA

1. Ash, Robert. Real Analysis and Probability, 1972, Academic Press,

Inc. United States Of América.

2. Baquero, Godofredo. Métodos de Pesquisa Pedagógica. 1978

Ediçóes Loyola. Brasil

3. Córdova, Manuel. Estadística Inferencial. 1999, Moshera S.R.L.

Perú.

4. Ferris J. Ritchey. Estadística para las Ciencias Sociales. 2002

McGraw-Hill / Interamericana Editores, S.A de C.V. Colombia

5. Kenneth / Hopkins / Glass. Estadística Básica para las ciencias

sociales y del Comportamiento. 1997 Prentice – Hall

Hispanoamericano, S.A. México

6. Leonard J. Kazmier. Estadística Aplicada a la Administración y a la

Economía. 1998, McGraw-Hill / Interamericana Editores, S.A de

C.V. Colombia

7. Llopis, J La estadística: una orquesta hecha instrumento., 1996, Arie,

S.A. España

8. Martínez, Ciro. Estadística, 1992, ECOE Ediciones. Colombia

9. Mason / Lind / Marchal: Estadística para Administración y

Economía. 2003 Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V Colombia

10. Mitacc, Máximo. Tópicos de Inferencia Estadística. Editorial San

Marcos. Lima

11. Montiel / Rius / Barón) Elementos Básicos de estadística Económica

y Empresaria., 1997, Prentice Hall. España.

12. Morettín, P.A, Bussab, W.O Estadística Básica. 2000, Fundación

Getúlio Vargas, Sao Paulo. Brasil

13. Perez, Luis. Estadística Básica. Editorial San Marcos. Perú


14. Ruiz, Alberto. Introducción y métodos de probabilidad, 1973,

Editorial Trillas S. A. México.

15. Tucker, Howard. Introducción a la teoría matemática de las

probabilidades y a la estadística, 1966, Editorial Vicenns-Vives.

España.


Licenciado en Matemática con mención en

Estadística de la Universidad Nacional de

San Antonio Abad del Cusco, Magister en

Marketing de la Universidad ESAN, Master

en Marketing Science en ESIC (España),

candidato a Doctor en Psicología en la

Universidad Peruana Cayetano Heredia.

Ha sido profesor de Estadística en la

Universidad Agraria La Molina, Universidad

ESAN, Universidad de Piura, Universidad

Peruana Unión, Universidad San Ignacio de

Loyola, entre otras. Ponente en diferentes

eventos de Estadística a nivel nacional e

internacional. Ocupó cargos ejecutivos en

diferentes empresas de investigación de

mercados en Perú y el extranjero.

HUGO CORNEJO ROSELL

Licenciado en Ciencias Físico Matemáticas

de la Universidad Nacional de San Antonio

Abad del Cusco, con estudios de postgrado

en Matemática en la Universidad de Sao

Paulo (Brasil), Magister en Matemática

de la Pontificia Universidad Católica del Perú, Doctor en Gestión y Ciencias de la

Educación de la Universidad San Pedro de

Chimbote. Ha sido profesor de Matemática

y Estadística en la Universidad Nacional

de San Antonio Abad del Cusco y la

Pontificia Universidad Católica del Perú. Ponente en diversos eventos académicos

de Matemática y Estadística. Es autor de

diversos libros en su especialidad.

La importancia esencial de la aplicación de los métodos

de cálculo de la probabilidad reside en su capacidad para

estimar o predecir eventos. Cuanto mayor sea la cantidad

de datos disponibles para calcular la probabilidad de un

acontecimiento, más preciso será el resultado calculado.

El libro está divido en ocho capítulos; en el primer capítulo

se aborda el concepto de espacio de probabilidades; en

el segundo, se presentan los principios de enumeración

y los tipos de análisis combinatorio; en el tercero, se

presentan los conceptos probabilidad condicional y

eventos independientes; en el cuarto, se informa sobre

variables aleatorias, distribuciones discretas, funciones

de probabilidad, distribuciones de variables discretas;

en el quinto, se informa sobre tipos especiales de

distribuciones discretas; en el sexto, se abordan sobre

distribuciones continuas de una y varias variables; en el

séptimo, se estudian los principales tipos de distribuciones

continuas y en el último capítulo se muestran conceptos de

esperanza matemática y límites, así mismo se presentan

las diferentes tablas estadísticas y las respuestas a los

ejercicios propuestos.

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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES