INTRODUCCION KRIGING

CONTENIDO :

• Autocorrelación • Variables regionalizadas • Introducción al análisis variográfico geoestadístico • La varianza de estimación o extensión • El concepto de Anisotropía • El krigeage

COMPARACION ENTRE UNA DATA ESTRUCTURADA (TRAMO A) Y OTRA AL AZAR (TRAMO B)

)(hγf(x)

x h

HISTOGRAMA VARIOGRAMA 1 2 3 4

6 5

5 4 3

1

2 1

3.08 2.75

2 4 6

1

1

1 2

2 4

5

3 6

3

4 5

TRAMO A

TRAMO B 3.08 2.75

2 4 6 x h

f(x)

2

)(hγ

x

Moderador

Notas de la presentación

En la naturaleza nada es al azar, por lo tanto, todas las variables tiene un patrón de distribución. La estadística clásica no puede reconocer dichas estructuras ya que sus parámetros y funciones no toman en cuenta la ubicación de los datos. Por ejemplo, la altura media de los alumnos de un salón no se modificará así éstos se cambien de asiento una y otra. Pero en la geología es importante conocer donde se ubican los valores altos y donde los más bajos. Las variables que manejamos en este caso son las llamadas VARIABLES REGIONALIZADAS. En la fig. 1, hacia el borde izquierdo se está representando dos tramos (puede ser de galería, taladros, etc.) con sus respectivas leyes que se han analizado cada cierta distancia. Salta a la vista que los valores del tramo A tienen un patrón de distribución o estructura (los valores aumentan hacia el centro y disminuyen a los flancos); mientras que en el tramo B tenemos una distribución al azar. Nótese que en ambos casos estamos usando los mismos dígitos, por lo que no sorprende que la media “m” la varianza “s2” y el histograma en los dos tramos sean los mismos; mas no así la función variograma “(h)” que en el tramo A muestra una clara dependencia con respecto a “h”, que es la separación entre las muestras; mientras que en el tramo B dicha función es independiente de h, lo cual es típico de distribuciones al azar, prácticamente inexistentes en la naturaleza.

FUNCION VARIOGRAMA: Forma de cálculo

Es la función probabilística que representa el patrón de distribución de una variable regionalizada

OMNIDIRECCIONAL

x + h

x

h

2

2

1 γ ( ) h Xi + h

i

n h

n h

Z Z = −

−

−

− ∑ Xi

VARIABLE REGIONALIZADA:

• V.R. es cualquier variable que fluctúa en el espacio (geo-referenciada) o en el tiempo.

• Tiene dos características fundamentales: • Gran variabilidad local.- Dientes de sierra • Presenta una “estructura” y tendencia a mayor escala

• Ejemplos típicos: • Leyes de Au, Ag, Cu, Fe, As, etc. • Potencia de una veta o manto • La variación del precio de Au en el tiempo • Humedad • Porosidad y permeabilidad • Toneladas procesadas en Molinos • Contenido mineralógico (% de qz, ser, ARCs, cac, bt, etc.) • % de elementos u óxidos (Si, Ti, K, CaO, MgO, Fe2O3, etc.) • Recuperación de Au • Densidad de fracturamiento • BWI • Consumo de ácido (Kg/TM) • etc.

FUNCION VARIOGRAMA: Graficación

h : paso entre las muestras C0 : efecto de pepita a : alcance C : sill C + C0 : meseta s2 : varianza estadística

DEPENDENCIA ESTRUCTURA

INDEPENDENCIA ALEATORIEDAD

C0

a

C

h

γ ( )h

meseta s2

GEO ESTADISTICA

Moderador


Todos los paquetes de software aplicados a la minería tienen módulos de geoestadística que permiten calcular y plotear variogramas a partir de los datos de campo, llámese leyes, peso específico, densidad de fracturamiento, etc. Estos mismos módulos de geoestadística tienen facilidades para representar gráficamente los respectivos variogramas. Cuando se hace esto, tales gráficos generalmente tienen la apariencia que se observa en la figura 2. La curva en azul representa a la función variograma, la cual se calcula ploteando en la ordenada los respectivos gamma de h para cada distancia h entre los pares de valores que se ha reconocido en el campo a través del muestreo, la cual se hace variar iterativamente. Vamos a usar este gráfico para explicar los principales parámetros de la función variograma. Para valores de “h” menores que el alcance “a” se observa que la función variograma es totalmente dependiente de “h”; mientras que para valores de “h” mayores que “a”, la variable es aleatoria o independiente, por este motivo la curva se transforma en una meseta (C+C0), cuyo valor teóricamente debe coincidir con la varianza estadística del total de datos que estamos utilizando para calcular el variograma. Para h=0 teóricamente la función variograma debería dar cero y por lo tanto la curva azul debería pasar por el origen; sin embargo a veces el gráfico pasa a una cierta distancia llamada “efecto pepita” (C0), que se origina por cambios bruscos de la variable o se debe a errores sistemáticos en el muestreo o análisis químico.

EJEMPLO DE CALCULO Y TRAZADO MANUAL DE UN VARIOGRAMA

[d1]2 [d2]2 [d3]2 [d4]2 [d5]2 [d6]2 [d7]2 [d8]2

0.641.44 0.160.16 0.64 1.00 0.040.04 0.04 0.64 0.16 0.160.36 0.16 1.44 0.64 4.002.56 1.00 2.25 1.69 2.89 1.446.25 0.81 2.25 0.00 0.00 0.254.00 0.25 1.21 0.25 0.49 0.09 1.69 0.497.29 0.49 10.24 2.56 4.84 4.00 5.76 1.448.41 0.04 4.84 0.09 1.69 0.49 0.16 0.250.25 5.76 0.09 2.89 0.64 0.64 0.81 0.160.36 0.01 9.00 0.09 5.29 0.04 0.04 0.643.61 1.69 3.24 1.21 2.56 0.16 1.96 0.251.21 9.00 5.76 8.41 0.00 7.29 4.41 10.249.61 17.64 37.21 30.25 36.00 9.61 33.64 14.444.84 0.81 4.00 15.21 10.9 14.4 0.81 12.964.41 18.49 1.44 0.01 3.24 1.44 2.89 1.441.96 12.25 32.49 6.76 2.25 0.16 0.04 0.090.81 0.25 6.76 23.04 2.89 0.36 1.69 0.49

S[dh] 2 57.57 69.49 123.9 93.30 77.83 40.41 53.90 42.892(n-h) 36 32 28 26 22 16 10 8(h) 1.60 2.17 4.42 3.59 3.54 2.53 5.39 5.36

γ ( )( )

h x hZ xZn h

= + −∑−

2

2

dh = Zx+h - Zx

n = 19

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 3.2

4.0

2.8

3.2

3.0

3.6

2.0

4.5

2.5

5.2

2.3

2.8

2.2

4.1

5.2

8.3

6.1

4.0

2.6

3.5

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

experimental

ajuste

g(h)

a = 12 mC0=0.25

AJUSTE DEL VARIOGRAMA A FUNCIONES TEORICAS

h

γ α α( ) ;h ph= > 1

γ α α( ) ;h ph= <1

0exp1)( CahCh +−−=

γ

(h) = C

(h) = C + Co h > a

h a + Co 3h h3

2a 2a3

)(hγ

EJEMPLO DE VARIOGRAMAS

)(hγ

)(hγ

h 25 75 50

15

0

30

Au (gr/TM)2

h

Cu (%) 2

10

20

160 80

0.4

0.8

1.2

1.6

100 200 0

Potencia (m)2

PORFIDO Cu-Au El Galeno

)(hγ

Au DISEMINADO EN VULCANITAS Andacollo IV Región - Chile

VETA PATRICK W Huarón

h Variograma experimental

Ajuste teórico

VARIANZA DE EXTENSION O ESTIMACION

σ γ γ γE V v v V2 2 2 2= − −( , ) ( ) ( )

Toda estimación de reservas implica una EXTENSION;que no es otra cosa que asignar a un volumen V el valor conocido de uno o mas volúmenes v (muestras o compósitos).

Esta operación siempre involucra una error:

Valor real - Valor estimado.

La geoestadística tiene una herramienta para estimar a priori este error

VARIANZA DE EXTENSION O ESTIMACION:

No depende de los valores reales, sólo depende de la configuración geométrica y del Variograma experimental, debidamente ajustado a modelos teóricos.

CONFIGURACION DE DIFERENTES BLOQUES PARA UNA MISMA MALLA REGULAR

100

m

100 m

Moderador


Vamos a suponer que tenemos una malla regular de perforación de 100 X 100 metros (fig. 7). Se trata de diseñar o configurar paneles o bloques. La mayoría diseña el panel con el taladro al centro; sin embargo hay alternativas mejores sin tener que modificar la malla de perforación, algunas de las cuales se muestran en la figura. Vamos a comparar el panel de taladro centrado con el panel con taladros en sus cuatro vértices. El sentido común ya nos indica que la última es mejor configuración. Pero usemos el concepto de VARIANZA DE EXTENSION geoestadística para demostrar esto. En nuestro caso dicha varianza es la medida del error que se comete asignar a un bloque o panel, los valores de muestras puntuales. Hay fórmulas y algoritmos en los software mineros que permiten calcular esta varianza fácilmente; sin embargo, como se trata de configuraciones comunes, generalmente existen ábacos para estimar esta varianza (fig. 8).

a l

l

1 0.3 3 0.2 0.1 0.01

0.5 0.6 2 5 6 10

0.06

0. 1

0.02

0.03

0. 2

0. 3

0. 5

1.0

0.04

C σ

02

para a =170 para a = 50

l

l

l

MODELOS ESFERICOS PARA LA ESTIMACION DE VARIANZAS DE EXTENSIONES ELEMENTALES Modificado a partir de JOURNEL & HUIJBREGTS (1978)

Moderador


Como se puede ver, en todos los casos la configuración del taladro centrado arroja el mayor error; pero para paneles mayores que el alcance, la diferencia es mayor aún. Veamos un par de ejemplos usando la malla de la figura 7. Supongamos que nuestro variograma tiene: C=1 y a=170; como l=100, la estimación de reservas con el panel centrado nos da un error de 0.27; mientras que la estimación con el panel de cuatro taladros en los vértices da un error de 0.14, es decir: prácticamente la mitad!! Para paneles donde l>a, la diferencia es aún mayor: supongamos a=50, entonces tendremos errores de 0.80 para el panel centrado y 0.28 para el panel con cuatro taladros en los vértices; lo cual es una gran diferencia. Después de esto no creo que haya nadie que vuelva a usar la configuración del panel centrado.

RELACION ENTRE LA PRECISION Y EL COSTO ASOCIADO A DIFERENTES MALLAS DE PERFORACION

E V v V V v v2 2σ γ γ γ= − −( , ) ( , ) ( , )

10

200

50

30

100 70.5 50 141 METROS

COSTOS RELATIVOS 8 4 16 2 1

200

50

100

ERROR

VARIANZA DE ESTIMACION

Moderador


RELACION COSTO BENEFICIO: ¿Cuánto cuesta una campaña de “infilling”? ¿Vale la pena realizarla? Y ¿con que densidad? La fig. 11 relaciona diferentes mallas alternativas con sus costos y errores correspondientes. Para construir la curva se plotea los errores calculados con la fórmula que está en la parte inferior, para las diferentes mallas. Esta fórmula calcula la varianza de estimación, la cual se basa únicamente en la geometría de los paneles y en el variograma; para configuraciones simples, esta varianza se obtiene fácilmente a partir de ábacos (tal como vimos en el caso anterior). Es fácil ver que si hubiéramos realizado una campaña de 70.5 X 70.5, cuyo error es alrededor de 5, sería innecesario realizar una campaña de 50X50, ya que sólo disminuiríamos el error (riesgo) a alrededor de 4, a pesar que nos gastaríamos una cantidad similar a la campaña anterior. En otras palabras gastaríamos el doble por un beneficio ínfimo. Por otro lado, si contáramos con un presupuesto de 2 y nuestra meta es alcanzar un máximo error de 30, pensaríamos en realizar dos campañas sucesivas; la primera de 200X200 y a continuación una sobrepuesta de 141X141; de esta manera estaríamos optimizando la gestión de nuestro presupuesto.

• Una peligrosa simplificación o idealización es suponer que una distribución de valores es ISOTROPA.

• Prácticamente todos los fenómenos geológicos son DIRECCIONALES

• El análisis variográfico en varias direcciones nos confirma que casi todos los yacimientos son ANISOTROPOS, es decir que tienen patrones de distribución diferentes en cada dirección

• Esto tiene relación directa con: • Los “flujos de mineralización” • Los procesos geológicos o naturales de concentración o

enriquecimiento de minerales son “direccionados” • La forma como se apila un Pad

EL CONCEPTO DE ANISOTROPIA

EJEMPLO DE REGIONALIZACION ISOTROPA

γ ( )h

h 0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

NE-SW

NW-SE

ajuste

C 0 = 0.5

a=420 m

Moderador


La figura muestra un raro caso de regionalización isótropa, donde tanto el variograma en la dirección NE-SW (rojo) como el de la dirección ortogonal: NW-SE (verde) presentan gráficos y parámetros similares. Por lo tanto ambos podemos ajustarlos a una sola función intrínseca esférica (color violeta).

VARIOGRAMAS EN VARIAS DIRECCIONES

TUFO SUPERIOR

TUFO MINERALIZADO

TUFO INFERIOR

ARENISCA, CONGLOM.

W E

)(hγ

h

E - W N - S VERTICAL

DISTRIBUCION ANISOTROPA

CUBICACION DE CUERPOS TABULARES O VETAS

• Bloques o paneles irregulares

Chimenea

Elipse de influencia:

20

10

Tramo muestreado

Galería

20

10

20

10

EJEMPLO COMPARATIVO DE ESTIMACION DE VALORES:

•En base a valores (realizaciones) conocidos…estimar valores en otros puntos o lugares o posiciones (en el tiempo y espacio)

•En base a información de muestras de volumen v (muestras) asignar o estimar valores de volúmenes mayores V (paneles, bloques, etc.)

ESTIMACION POR PROMEDIO ARITMETICO SIMPLE

6

1 5

P 4

P* = 4.0 P* =

A

B

D C

4 6+5+4+1

ESTIMACION POR EL METODO DEL INVERSO DEL CUADRADO DE LA DISTANCIA:

R

P*ICD = 3.67

6

4 P

5 1

A

B

D

C

R = 70 RADIO DE INFLUENCIA

d (1/d) (1/d)2 Ley PA 90 6

PB 20 0.050 0.0025 0.81 4

PC 50 0.020 0.0004 0.13 1

PD 65 0.015 0.0002 0.06 5

0.095 0.0031 1.00

P*ICD = 0.81x4 + 0.13x1 +0.06x5 = 3.67

λifuera de R

ESTIMADOR LINEAL:

SISTEMA DE MATHERON:

Z : Variable en estudio Z* : Valor estimado de Z : Ponderadores

: Variograma promedio cuando M recorre la muestra i

y N la muestra j

: Variograma promedio cuando M recorre el panel P y

N recorre independientemente la muestra i

µ : Parámetro de Lagrange

∗=∑Ζ Ζi iλ

j

j ij ij

j

j

n

n=

= −

=

=

∑

∑

1

1

1

λ µ

λ

γ γ

γ pi

λ λ( ) ( )h MN=

γ ij

λ λ( ) ( )h MN=

λi

ESTIMACION POR KRIGEAGE:

6

4

5

1

ANISOTROPIA

P

A

B

D

C

R = 80 r = 40

γAAλA + γABλB +γACλC + γADλD + µ = γAP

γBAλA + γBBλB +γBCλC + γBDλD + µ = γBP

γCAλA + γCBλB +γCCλC + γCDλD + µ = γCP

γDAλA + γDBλB +γDCλC + γDDλD + µ = γDP

λA + λB + λC + λD = 1λA = 0.20

λB = 0.10 P*K = AλA + BλB + CλC + DλD

λC = 0.15 P*K = 3.10λD = 0.55

ERROR DE ESTIMACION = 2

K = ∑ γiP λi + γPP - µ

h

γ ( )h

VARIOGRAMA:

EFECTO DE

PEPITA PURO

γ ω( )h h= 1λ 2λ 3λ 4λZ1 Z2 Z4

S1 S2 S3 S4

ω COMENTARIOS:

0.25 0.25 0.25 0.25

0 0.50 0.50 0

0.07 0.43 0.43 0.07

MEJOR ESTIMADOR:

LEY MEDIA

UNICO CASO DE VALIDEZ DE LOS METODOS CLASICOS

REGULARIDAD

MEDIA

VARIOGRAMA

LINEAL

GRAN

REGULARIDAD - 0.03 0.53 0.53 - 0.03

LOS DOS PUNTOS MAS CERCANOS AL

SEGMENTO ESTIMADO TIENEN MAS PESO

NO INTERVIENEN LOS PUNTOS LEJANOS

PROPIEDAD CARACTERÍSTICA DEL VARIOGRAMA LINEAL

LOS PONDERADORES DE Z1 Y Z4 SON NEGATIVOS

DEBIDO A LA EXTREMA CONTINUIDAD DE LA

MINERALIZACION

3/2

1/2

1

0

ESTIMACION DE LA LEY MEDIA EN EL TRAMO S2 A S3

γ ( )h

γ ( )h

γ ( )hh

h

h

Z3

VALORES DEL VARIOGRAMA EXPERIMENTAL CALCULADO A TRES DISTANCIAS DIFERENTES A LO LARGO DE UN TALADRO

( 1.50, 3.00 y 4.50 metros )

γ ( )h

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0 17.0

1.5

4.6

7.6

10.6

13.7

16.7

19.8

22.8

25.8

28.9

31.9

35.0

38.0

41.0

44.1

47.1

DISTANCIA ENTRE MUESTRAS ( m )

SEM

I - V

ARIO

GR

AM

A E

XPER

IMEN

TAL

1.50 m 3.00 m 4.50 m

3.0

6.0

15.2

12.2

9.1

30.4

27.4

24.3

21.3

36.5

45.6

42.6

39.5

33.4

18.2

48.6

1.0

5.0

9.0

7.0

3.0

11.0

13.0

15.0

Moderador


La selección de la distancia de muestreo más apropiada, en el caso de galerías, chimeneas o taladros, se puede hacer verificando la “robustez” de los parámetros estadísticos (con pruebas para la media, varianza e histograma: t de student, F y Chi-cuadrado, respectivamente) para diferentes distancias de muestreo a alternativas. Cuando se puede realizar un muestreo a distancias menores, como por ejemplo 0.50 1.0 metros, entonces se puede simular distancias de muestreo mayores, considerando muestras para cada múltiplo de la distancia de muestreo original; así podemos calcular los respectivos variogramas para cada distancia simulada, para luego compararlos y evaluar cual es la distancia de muestreo más adecuada. En la fig. 6 se ha ploteado los variogramas para cada una de las tres distancias de muestreo; como se puede ver, los variogramas para h=1.5 y h=3.0 son prácticamente idénticos, no así el de 4.5 metros. Lo cual significa que tranquilamente podemos muestrear cada tres metros, ya que a esta distancia se recoge la misma información que a 1.5 metros, con la diferencia que nos ahorramos el 50% de nuestro presupuesto de muestreo!!

CALCULO DE UN VARIOGRAMA 2D

DIRECCION E-W : (2-2)2 + (2-4)2 + (4-5)2

(1-4)2 + (4-1)2 + (1-6)2 + (6-5)2

(2-2)2 + (2-1)2 + (1-3)2 + (3-6)2

(3-1)2 + (1-2)2 + (2-3)2 + (3-4)2

(4-7)2 + (7-3)2 + (3-2)2 + (2-5)2

(5-2)2 + (2-3)2 + (3-4)2

(2-4)2 + (2-5)2

(1-1)2 + (4-6)2 + (1-5)2

(2-1)2 + (2-3)2 + (1-6)2

(3-2)2 + (1-3)2 + (2-4)2

(4-3)2 + (7-2)2 + (3-5)2

(5-3)2 + (2-4)2

γ ( ) .200112

2 163 73=

×=

( )xZ x hZ− +∑ =

= =

2 97

100 9744

2 20γ ( ) .(2-5)2

(1-6)2 + (4-5)2

(2-3)2 + (2-6)2

(3-3)2 + (1-4)2

(4-2)2 + (7-5)2

(5-4)2

83.3102

69)300( =×

=γγ ( ) .400

2 44 25

34=

×=

(1-5)2

(2-6)2

(3-4)2

(4-5)2

DIRECCION N - S :

2 2 4 5

1 4 1 6 5

2 2 1 3 6

3 1 2 3 4

4 7 3 2 5

5 2 3 4

γ γ

γ γ

γ

( ) . ( ) .

( ) . ( ) .

( ) .

100 822 22 186 400 49

2 7 3 50

200 782 17 2 29 500 17

2 3 2 83

300 712 12 2 29

= × = = × =

= × = = × =

= × =

0.3 0.3

0.3 0.3

0.3

0.4

0.5 3.0 0.6

0.2

0.4

0.1

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.5 1.5

0.2

2.2

0.2

0.5 2.1 1.1

0.8 1.1

3.0 2.2 0.1

0.2 2.1 2.8 4.5 3.1

3.0 0.8 5.5

5.0 3.1 1.9 1.8

2.1 4.1 1.1

(0.4-0.1)2+(0.3-0.6)2 +(0.6-0.5)2 +….+ (0.4-0.2)2 = 55.17

(0.3-0.3)2+(0.6-0.2)2 +(2.2-0.2)2 +….+ (0.1-0.4)2 = 83.86 (0.3-0.5)2+(0.6-0.3)2 +(0.6-1.5)2 +….+ (0.1-0.3)2 = 86.36

3.1 + 4.5 + 5.5 + 5.0 + 1.8 = 3.98

Media aritmética simple

Inverso del cuadrado

de la distancia

a=100 4.3

a=150 4.7

0.3 0.3

0.3 0.3

0.3

0.4

0.5 3.0 0.6

0.2

0.4

0.1

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.5 1.5

0.2

2.2

0.2

0.5 2.1 1.1

0.8 1.1

3.0 2.2 0.1

0.2 2.1 2.8 4.5 3.1

3.0 0.8 5.5

5.0 3.1 1.9 1.8

2.1 4.1 1.1

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