Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Legea normală

Daniel N.Pop

ULBS

Ianuarie 2016

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Conţinut

1 Definiţii de bazăIntroducereParametrii statistici

2 Legea normală

3 Aplicaţii

4 Bibliografie

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Introducere I

A. N. Kolmogorov a pus ı̂n 1931 bazele axiomatice ale Teorieiprobabilităţilor.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Introducere II

A definii o probabilitate ı̂n raport cu o experienţă având unnumăr finit de cazuri posibile ı̂nseamnă a asocia fiecăruieveniment A, legat de respectiva experienţă, un număr P(A),numit probabilitatea evenimentului A.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Parametrii statistici care măsoară tendinţa I

Se consideră datele statistice primare x′k k = 1,N ,relative la

carcteristica X din care se obţine distribuţia statistică:

X

(

xifi

)

, i = 1, n

Definition 1

Media aritmetică a distribuţiei statistice a caracteristiciiX este dată prin

xa =1

N

n

∑k=1

fkxk

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Parametrii statistici care măsoară tendinţa II

Definition 2

Media geometrică a distribuţiei statistice a caracteristiciiX este dată prin

xg =N

√

√

√

√

N

∏k=1

x fkk

Definition 3

Media armonică a distribuţiei statistice a caracteristicii X estedată prin

xh =N

N

∑k=1

fk1xk

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Parametrii statistici care măsoară tendinţa III

Sistemul de bază MATLAB conţine funcţia mean,iarSTATISTICS TOOLBOX dispune de celelate două funcţiigeomean şi harmean.Menţionăm că ı̂n STATISTICSTOOLBOX se află şi funcţia trimmean având ca efect calcululmediei aritmetice a vectorului x după ce au fost eliminate celemai mici p

2% componente şi cele mai mari p

2% componente, iar

dacă x este o matrice, această operaţie se face pentru fiecarecoloană.̂ın parte.

Definition 4

Numim mediana distribuţiei statistice a caracteristiciiX valoarea numerică m care ı̂mparte datele statististice,ordonate crescător ı̂n două părţi egale.

Sistemul de bază MATLAB dispune de de funcţia median.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Parametrii statistici ce măsoară dispersia I

Definition 5

Numim cuartile ale distribuţiei stattistice a caracteristiciiX valorile Q1 (cuartila inferioară), Q2 = m,Q3(cuartilăsuperioară), care ı̂mpart datele statistice ordonate crescător ı̂npatru părţi egale.

Definition 6

Numim mod al distribuţiei statistice a carcteristicii X oricepunct mo de maxim local al distribuţiei statistice.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Parametrii statistici ce măsoară dispersia II

Definition 7

Numim moment centrat de ordin k al distribuţiei statistice Xvaloarea numerică

µk =N

∑k=1

fi |xi − xa|k

Definition 8

Momentul centrat de ordin doi al distribuţiei statistice X senumeşte dispersie şi se notează σ2 = µ2, iar σ =

√

µ2 senumeşte abaterea medie pătratică sau abaterea standard.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Legea normală (Gauss-Laplace) I

Variabila aleatoare X urmează legea normală (Gauss-Laplace) (X are repartiţie normală) cu parametrii m şi σ (m ∈ R , σ > 0)dacă densitatea sa de probabilitate (repartiţie) este funcţia :

f (x ,m, σ) =1

σ√2π

e−(x−m)22σ2 , ∀x ∈ R (1)

O variabilă aleatoare cu repartiţie normală cu parametrii m şi σse notează cu N (m, σ 2 ) .Funcţia f definită 1 se numeştedensitatea de repartiţie normală sau gaussiană.Observăm că f este o densitate de probabilitate, deoarece

f (x) > 0,

∞∫

−∞f (x)dx = 1

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Legea normală (Gauss-Laplace) II

deoarece dacă facem schimbarea de variabilă

x −mσ√2

= y , x → −∞, y → −∞, x → ∞, y → ∞

obţinem∞∫

−∞f (x)dx =

2√π

∞∫

0

e−y2

dy = 1

Am folosit integrala lui Euler-Poisson

∞∫

0

e−y2

dy =

√π

2

Matlab-ul dispune de două macroinstrucţiuni pdf şi cdfreprezentarea grafică a legilor normale. Folosind scriptulnormcont.m [3]:

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Legea normală (Gauss-Laplace) III

m=input(’mu=’); s=input(’sigma=’); x=m-3*s:0.01:m+3*s;f=pdf(’norm’,x,m,s); F=cdf(’norm’,x,m,s); subplot(1,2,1),plot(x,f,’k-’) title(’Densitatea de probabilitate’)subplot(1,2,2),plot(x,F,’k-’) title(’Functia de repartitie’) Dacăin linia de comanda tastam m=2,sigma=3 obţinem figuraurmătoare:

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Reprezentarea grafică

Figure: Reprezentarea grafica PDF+CDF

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Legea normală (Gauss-Laplace) I

Observăm că graficul este sub formă de clopot, iar dreapta deecuaţie x = m, este axă de simetrie, iar pentru x = m, seobţine valoarea maximă a funcţiei f

max f =1

σ√2π

Punctele x = m− σ, x = m+ σ sunt puncte de inflexiune.Pentru m = 0 şi σ=1, relaţia (1) devine:

f (x , 0, 1) =1√2π

e−x2

2 , x ∈ R (2)

Vom spune despre o variabilă aleatoare X care are ca densitatede probabilitate (2) că urmează legea normală standardsau legea normală centrată redusă.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Legea normală (Gauss-Laplace) II

Pentru a determina funcţia de repartiţie F (x ,m, σ) a uneivariabile aleatoare X cu repartiţie normală cu parametriim, σ vom determina mai ı̂ntâi funcţia de repartiţie pentru ovariabilă aleatoare cu repartiţie pentru o variabilă aleatoare curepartiţie normală standard F (x , 0, 1).

F (x , 0, 1) =

∞∫

−∞f (t, 0, 1)dt =

0∫

−∞f (t, 0, 1)dt +

t∫

0

f (t, 0, 1)dt =

=1

2+ Φ(x)

unde

Φ(x) =1√2π

x∫

0

e−t2

2 dt, t ∈ R

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Legea normală (Gauss-Laplace) III

se numeşte funcţia integrală a lui Laplace.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Funcţia Eroare I

În Matlab există o funcţie erf(funcţia eroare)[1]

erf(x) =2√π

x∫

0

e−t2

dt

care verifică relaţia

erf(x) = 2Φ(x√2)− 1

Au loc relaţiile:

Theorem 9

[2] Dacă variabila aleatoare X are repartiţia normală cuparametrii m şi σ, atunci valoarea medie şi dispersia sa sunt:

E (x) = m,Var(x) = σ2 (3)

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Funcţia Eroare II

Proof.

Valoarea medie a variabilei aleatoare X este

E (x) =

∞∫

−∞xf (x ,m, σ)dx =

1

σ√2π

∞∫

−∞xe−

(x−m)22σ2 dx (4)

Dacă ı̂n (4) facem schimbarea de variabilă

x −mσ

= y (5)

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Funcţia Eroare III

obţinem:

E (x) =1√2π

∞∫

−∞(m+ σy )e−

y2

2 dy =σ√2π

∞∫

−∞ye−y

2/2dy +m√2π

∞∫

−∞

= m

∞∫

−∞f (y , 0, 1)dy = m

Dispersia variabilei X este:

Var(X ) =

∞∫

−∞(x −m)2f (x ,m.σ)dx = 1

σ√2π

∞∫

−∞(x −m)2e−

(x−m)22σ2 dx

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Funcţia Eroare IV

Folosind schimbarea de variabila ( 5), obţinem:

Var(X ) =σ2√2π

∞∫

−∞y2e−y

2/2dy =σ2√2π

∞∫

−∞y (ye−y

2/2)dy =

= − σ2

√2π

ye−y2/2|∞−∞ +

σ2√2π

∞∫

−∞e−y

2/2dy = σ2

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Teoreme fundamentale I

Theorem 10

[2] Dacă variabila aleatoare X are repartiţia normală deparametrii m şi σ,iar a,b,k ∈ R , k > 0 atunci

a) P(a < X < b) = Φ(b −m

σ)− Φ(a−m

σ) (6)

b)P(|X −m|) < kσ = 2Φ(k) (7)

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Teoreme fundamentale II

Proof.

a) Folosind continuitatea funcţiei F deducem:

P(a < X < b) = F (b,m, σ)− F (a,m, σ) =

=

[

1

2+ Φ(

b −mσ

)

]

−[

1

2+ Φ(

b −mσ

)

]

=

= Φ(b −m

σ)− Φ(a−m

σ)

b) Conform relaţiei (6) obţinem:

P(|X −m|) < kσ) = P(m− kσ < X < m+ kσ) == Φ(k)− Φ(−k) = 2Φ(k)

deoarece funcţia Φ este impară.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Teoreme fundamentale I

Theorem 11

[2] Dacă variabila aleatoare X are parametrii m şi σ, atuncimomentele sale centrate sunt

µ2p−1(X ) = 0,µ2p = (2p − 1)!!σ2p , (8)

unde (2p − 1)!! = 1 · 3 · 5...(2p − 1).

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Teoreme fundamentale II

Proof.

Momentul centrat de ordin k este

µk (X ) =

∞∫

−∞(x −m)k f (x)dx = 1

σ√2π

∞∫

−∞(x −m)ke−

(x−m)22σ2 dx

(9)Obţinem astfel

µ0 (X ) =

∞∫

−∞f (x)dx = 1,µ1(X ) =

∞∫

−∞(x −m)f (x)dx = 0,

µ2(X ) = Var (X ) = σ2

pentru k ≥ 2 ı̂n integrala (9) facem schimbarea de variabilăx −mσ√2

= y ,

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Problema I

O maşină produce o piesă circulară. Piesa este bună dacădiametrul său d este cuprins ı̂ntre 3.99cm şi 4, 01cm. Careeste probabilitatea producerii unei piese defecte de cătremaşina respectivă, ştiind că d are repartiţie normală cu media4, 002cm şi abaterea medie pătratică 0, 005cm?Conform formulei (6), probabilitatea ca o piesă să fie bună este:

P(3, 99 < d < 4, 01) = Φ(b −m

σ)− Φ(a−m

σ) =

= Φ(4, 01− 4, 002

0, 005)− Φ(3, 99− 4, 002

0, 005) =

= Φ(1, 6) − Φ(−2, 4) = Φ(1, 6) + Φ(2, 4) ≈ 0, 937

Deci probabilitatea ca piesa să fie defectă este1− 0, 937 = 0, 063.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Problema I

O maşină produce o piesă circulară. Când maşina este binereglată, diametrul d al pieselor are repartiţia normală cu media10cm şi abaterea medie pătratică 0, 08cm. Se iau 4 piese laı̂ntâmplare fabricate de maşină şi se constată că mediaaritmetică a diametrelor acestor piese este de 10, 14cm. Sepoate afirma că maşina s-a dereglat?

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Problema II

Solution 12

Fie d1, d2, d3, d4 diametrele celor 4 piese alese la ı̂ntâmplare.Aceste sunt 4 variabile aleatoare independente cu repartiţiinormale cu media 10cm şi abaterea medie pătratică 0, 08.Atunci variabila

d =(d1 + d2 + d3 + d4)

4

are de asemenea repartiţie normală cu media 10cm şi abatereamedie pătratică 0, 04cm.Într-adevăr avem

m = E (d) = E ((d1 + d2 + d3 + d4)

4) =

=1

4

4

∑i=1

E (di ) = 10

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Teoreme fundamentale I

Solution 13

Conform regulei celor şase σ avem

P(|d −m| < 3σ) = 2Φ(3) ≈ 0, 997 ⇔P(m− 3σ < d < m+ 3σ) ≈ 0, 997,

de unde rezultă

P(9, 88 < d < 10, 12) ≈ 0, 997,

Din această relaţie deducem că d ia valori ı̂n afara intervalului(9, 88; 10, 12) cu o probabilitate mai mica de 0, 003. Deci esteaproape sigur că maşina s-a defectat.

Legea normală

Daniel N.Pop

Definiţii de

bază

Introducere

Parametriistatistici

Legea normală

Aplicaţii

Bibliografie

Bibliografie I

Blaga P.-Statistică prin Matlab- Editura Presa UniversitarăClujeană,2002.

Ciucu G.,Craiu V.-Introducere ı̂n teoria probabilităţilor şistatistică matematică-Editura Didactică şi Pedagogică,Bucureşti, 1971.

Pop N.Daniel-Iniţiere ı̂n Matlab, câteva aplicaţii practice ı̂ndiferite domenii de activitate, Editura Presa UniversitarăClujeană, 2014.

Trâmbiţaş R.T-Pachete statistice- Editura PresaUniversitară Clujeană,2000.

Definitii de bazaIntroducereParametrii statistici

Legea normalaAplicatiiBibliografie