:2פרק פונקצית הביקוש

שבמחירים שונים , העקומה מראה, וטענו שבאופן כללי, ראינו את צורת עקומת הביקוש 1בפרק

כ ככל שהמחיר נמוך יותר נרצה לרכוש "הטענה הייתה שבד. הצרכן מעוניין לרכוש כמויות שונות

, של צרכנים ניתן לראות יחסים אלה אם נבדוק את הרכישות. כמות גדולה יותר מהמוצר

הם רוצים גם להבין . כלכלנים אינם מסתפקים בתיאור התופעה במציאות. במחקרים אמפיריים

, את עקומת הביקוש" ניגזור"שבעזרתה , כלכלנים פיתחו תאוריה, לפיכך. אותה ולהסביר אותה

שהן מאפשרות לבצע תחזיות לגבי , היתרון בפיתוח תיאוריות הוא בכך. כפי שנראה בפרק זה

נוכל , אם התחזיות אמנם תתממשנה. או לחילופין לנתח מצבים היפותטיים, צבים עתידייםמ

.נציע תאורייה אחרת, אם התחזיות תהיינה שגויות. לטעון שהתיאוריה משביעת רצון

ומספקת , לגזור את עקומת הביקוש, בעזרת הנחות פשוטות, המאפשרת, בפרק זה נציג תיאוריה

.תחזיות טובות

אולם הוא מוגבל , וניין לצרוך יותר מכל אחד מהמוצרים בשל חוסר הרוויה הקיימתהצרכן מע

.ובאילו כמויות, השאלה היא מהם המוצרים שייצרוך. באמצעים העומדים לרשותו

הוא צריך להקצות את הכנסתו בין שני . X, Y –שהצרכן חי בעולם בו שני מוצרים בלבד , נניח

.Iוהכנסתו Px, Pyכאשר נתונים לו מחירי המוצרים qx, qyולקנות כמויות , המוצרים

מגבלת התקציב 2.1

.זהו סך התקציב העומד לרשותו. ההכנסה של הצרכן מהווה מגבלה מבחינתו

, על שני המוצרים -ובהנחות שלנו , שההוצאה על כלל המוצרים, מגבלת התקציב של הצרכן היא

היא המכפלה של מחיר המוצר , מוצר בודד כאשר ההוצאה על. תהיה קטנה או שווה להכנסתו

סך , ח ונרכשות חמש יחידות"אם מחיר ליחידה הוא חמישה ש, למשל. במספר היחידות הנרכשות

.י המכפלה "ההוצאה תסומן ע. ח"ש 25ההוצאה היא xxqP מגבלת התקציב היא:

IqPqP yyxx

וניתן לצרוך גם כמויות לא שלמות הרי אין משמעות (divisible)בהנחה שהמוצרים מתחלקים

ולא ייתכן שלא ישתמש בכל , כי בהנחת המחסור הצרכן תמיד יעדיף יותר על פחות, לאי השוויון

בעולם זה של שני . סך ההוצאה על שני המוצרים יהיה שווה בדיוק לסך ההכנסה, לפיכך. הכנסתו

.יד ולכן אין חסכוןאין חושבים על העת, מוצרים בלבד

כאשר הצרכן מוציא את כל ; מימדי-ניתן לתאר את מגבלת התקציב באופן גרפי במישור דו

:משואת הקו היא. 'קו התקציב', נכנה קו זה. הכנסתו על שני המוצרים בלבד

IqPqP yyxx

27 פונקצית הביקוש: 2פרק

היא Y , כאשר רוכשים אפס יחידות X, הכמות המכסימלית ממוצר x

x PIq max

היא X,כאשר רוכשים אפס יחידות , Yהכמות המכסימלית ממוצר y

y PIq max

קו התקציב הוא קו לינארי

yxxyy PqPPIq //

yx -ו, הוא החותך yPIבו PP שפוע הקו .

כלפי , נראה תזוזות מקבילות בקו התקציב. קו התקציב משתנה, כאשר הכנסתו של הצרכן משתנה

כאשר . משתנה yPI -משום ש, כאשר ההכנסה פוחתת, וכלפי מטה, מעלה כאשר ההכנסה עולה

yxקו התקציב משנה את שיפועו , מחיר אחד המוצרים משתנה PP , פוחת Yאם מחיר ). משתנה (

.נותרת ללא שינוי Xתגדל בעוד הכמות המירבית של Yהכמות המירבית של

מגבלת , ח ליחידה"ש 10ושני המוצרים מחיריהם , I=100נניח שהכנסתו של הצרכן היא , דוגמא

:התקציב היא

1001010 yx qq

:נוכל לכתוב את קו התקציב באופן הבא

10 yx qq

רק אם אינו צורך כלל , הכמות המירבית שהצרכן יכול לרכוש מאחד המוצרים היא עשר יחידות

, למשל ,כאשר הכנסתו של הפרט עולה. 10סכום הכמויות משני המוצרים , אחרת. מהמוצר האחר

12קו התקציב ישתנה ונמצא , והמחירים נותרים ללא שינוי, 120 -ל yx qq .אם , אלטרנטיבית

202קו התקציב יהיה , 5 - יורד ל Xמחיר yx qq.

qy

I/Py

qx

I/Px

קו תקציב המתאר את מגבלת ההכנסה של הצרכן: 2.1 תרשים

מיקרו-מבוא לכלכלה 28

פונקצית התועלת ומפת האדישות –טעם הצרכן 2.2

) הטובין(המוצרים . סיפוק, תועלת, הנאההכלכלנים מדברים על , כדי לתאר את טעמו של הצרכן

קוו הכלכלנים שהצרכן יכול לתרגם את 19 -בעוד במאה ה. בהם הצרכן בוחר מוסיפים לו תועלת

ולהעריך כמה יחידות תועלת נוספות עם שינוי סל המוצרים והוספת , הנאתו לערכים מספריים

.יודע לדרג סלי מוצרים היום ברור שדי לנו אם הצרכן. חולצה אחת או טיול אחד לפארק

אם נתייחס . נעמיד בפני הצרכן סלים עם כמויות שונות של מוצרים, בעולם בו שני מוצרים בלבד

.A,Bלשני סלים בלבד

: יתכנו שלושה מצבים

;Bעדיף על סל Aסל

;Aעדיף על סל Bסל

.A, Bהצרכן אדיש בין סלים

)(completeשפונקצית העדפה היא שלמה תכונה זו של העדפות הצרכנים עקבית עם ההנחה

אין במושג . פירושו ששני הסלים נותנים לצרכן הנאה שווה, "אדיש בין הסלים"המושג הצרכן

- משום שגם אם נעדיף מכונית רולס; התועלת התייחסות האם הצרכן קונה בפועל את הסלים

.רויס-לא נרכוש רולס, כל עוד אין לנו תקציב מספיק, רויס

, Bעדיף על סל Aאם סל . היא שהתועלת היא טרנזיטיבית, הנחה שנייה לגבי פונקצית התועלת

ואם , אם אני מעדיף תפוח על תפוז, לדוגמא. Cעדיף על סל A הרי סל , Cעדיף על סל Bואם סל

פונקצית . לפי הנחת הטרנזיטיביות לא יתכן שהצרכן מעדיף בננה על תפוח, תפוז עדיף על בננה

. אחרת אינו עיקבי בהעדפותיו, ת של הצרכן צריכה להראות שתפוח עדיף על בננההתועל .המוסיפים לתועלתו של הפרט, הנחה שלישית היא שהדיון מתייחס רק לטובין

בננות

B D

A

E C

חולצות

השוואה בין סלי מוצרים: 2.2תרשים

29 פונקצית הביקוש: 2פרק

. בעזרת שלש ההנחות נוכל לתאר את העדפותיו של הפרט על ידי מפה של עקומות אדישות

ברור שסל ' לאור הנחה ג. A, B, C, D, E –בתרשים מסומנות חמש נקודות . 2.2נתבונן בתרשים

B עדיף על סלA , משום שבסלB טובין המוסיפים לתועלתו של , יותר חולצות ויותר בננות

? D, Eלסלים Aאולם איך מתייחס סל . Cעדיף על סל Aסל , בהתאם לאותה הנחה. הפרט

נחות , Aעדיף על סל Dהאם ברור אם סל . אך פחות חולצות, Aיותר בננות מאשר בסל Dבסל

.או שהצרכן אדיש בין הסלים, לו

היא עקומה המחברת סלים עקומת אדישות . Aות העוברת דרך נקודה נצייר עקומת אדיש

נוכל באופן דומה לבחור כל סל . וכולם נותנים לצרכן אותה רמת תועלת, שהצרכן אדיש ביניהם

מפת עקומות האדישות השונות מרכיבות את . ולהעביר דרכו עקומת אדישות, אחר במישור

אך אינן אומרות בכמה סל , אות את סדר העדפהרמות התועלת מר .2.3ראה תרשים , האדישות

A עדיף על סלC או על כל סל אחר.

נוכיח שהעקומות אינן חותכות בדרך ? האם העקומות השונות במפת האדישות חותכות זו את זו

עדיף על Cברור שסל , לפי בנייה. שתי עקומות אדישות החותכות זו את זו 2.4בתרשים . השלילה

ש נסיק שהצרכן אדי, נמצאים על פני אותה עקומת אדישות B,A היות שסלים , אך. Aסל

. הנמצאים אף הם על פני אותה עקומת אדישות C, Bהצרכן גם אדיש בין סלים , בדומה. ביניהם

אך מסקנה זו סותרת , C ,B ,Aשהצרכן אדיש בין הסלים , מתוך הנחת הטרנזיטיביות נסיק

.נסיק שעקומות אדישות אינן חותכות זו את זו, לפיכך. Aעדיף על סל Cלממצא הראשון שסל

בננות

B. A. C.

U4

U3

U2

U1

חולצות

מפת אדישות המתארת העדפותיו של צרכן מסויים: 2.3תרשים

מיקרו-מבוא לכלכלה 30

Xחישוב הכמות האופטימלית ממוצר 2.3

נוכל לכתוב. כאשר מגבלת התקציב נתונה, שייתן לו מכסימום תועלת, הצרכן מחפש סל מוצרים

:את בעייתו של הצרכן באופן מתמטי

Max U (X,Y) IqPqPts yyxx .

; X, Yם פונקצית התועלת משני המוצרי - U (X,Y)כאשר

- Max U (X,Y) מציין שהצרכן מחפש ערך מכסימלי לפונקצית התועלת;

- IqPqPts yyxx . ;מגבלת התקציב

s.t (subject to) – בכפוף ל-;

בננות

C B A

חולצות

עקומות אדישות החותכות זו את זו: 2.4תרשים

qy

A B

C U4

U3

U2 D

U1 E qx

בחירת סל אופטימלי על פני קו תקציב: 2.5תרשים

31 פונקצית הביקוש: 2פרק

וכמו כן מוצגת מפת עקומות , תקציב המתאר את מגבלת ההכנסה מוצג קו 2.5בתרשים

שנקודות שונות על פני קו התקציב , נוכל לראות. המתארת את טעמו של הצרכן, האדישות

לפיכך , הצרכן מעונין בתועלת מירבית. תועלת שונות נמצאות על פני עקומות אדישות עם רמות

נמצא על פני עקומת אדישות Aסל . כי התועלת עולה, הוא רצוי Bלסל Aמבחינתו מעבר מסל

,שרמת התועלת בה 1U ואילו סלB 2נמצא על פני עקומת אדישות עם תועלתU כאשר

12. UU

Dלסל Cאם יעבור מסל אך . הוא שוב יגדיל את התועלת שלו, Cלסל Bאם הצרכן יעבור מסל

נותן לצרכן C הסל A, B, C, D, E, נסיק שמבין הסלים האפשריים. התועלת תפחת Eאו לסל

הוא נמצא בנקודה בה קיימת השקה בין עקומת ? מה מאפיין סל זה. את התועלת המירבית

.הצרכן נמצא על עקומת האדישות C בסל . האדישות לבין קו התקציב 3U הוא היה רוצה

כלומר הצרכן בשל , אך לעקומה זו אין נקודה משותפת עם קו התקציב, 4Uלהגיע לרמת תועלת

.מגבלת התקציב לא יוכל להגיע לרמת תועלת זו

2.1דוגמא

yxqqYXU: י הפונקצייה"נניח שניתן לתאר את פונקצית התועלת ע ),(

10,10,10, כמו כן נניח IPP yx 10: כפי שראינו קו התקציב במקרה זה הוא0 yx qq

ונראה , )בדוגמא נתייחס לערכים בדידים בלבד(נבחן סלים שונים המקיימים את מגבלת התקציב

.מה רמת התועלת המתאימה לכל סל

תסלים ורמות תועל: 2.1טבלה

רמת תועלת Yכמות Xכמות סל

A 10 0 0

B 9 1 9

C 8 2 16

D 7 3 21

E 6 4 24

F 5 5 25

G 4 6 24

ובשל הסימטריה קל , שבעה הסלים בטבלה מיצגים סלים בדידים אפשריים במגבלת התקציב

Xהצרכן מעביר בתקציבו כסף מרכישת ' וכו B -ל A -נראה שבמעבר מ .להשלים את הטבלה

מיקרו-מבוא לכלכלה 32

. 25 –בו רמת התועלת מירבית , Fנראה שהתועלת הולכת ועולה עד שנגיע לסל . Yלרכישת

הוא הסל Fלפיכך נסיק שסל . תגרום להפחתת התועלת Xהמשך הפניית התקציב למוצר

. האופטימלי

.בעזרת שיטת ההצבה, נפתור את בעיית הצרכן באופן מתמטי

בעייתו של הצרכן היא

Max U (X,Y)

10. yx qqts

qy ,מתוך מגבלת התקציב נחשב את

xy qq 10

כמות –ועל ידי כך נקבל את התועלת כתלויה במשתנה אחד , בפונקצית התועלת yqנציב את

xq.

U (X,Y)= xxxyx qqqqq 10)10( 2xq

נגזור את פונקצית התועלת ונשווה את הנגזרת , הנותנת תועלת מירבית xqכדי לחשב את כמות

. הראשונה לאפס

50210 xxx

qqdqdU

.נחשב נגזרת שנייה ונבדוק אם היא שלילית, כדי לוודא שהכמות שחישבנו נותנת תועלת מירבית

022

2

xdqud

:הסל הנותן תועלת מירבית הוא

: והתועלת של הצרכן

25U

תועלת , 100והחישוב המתמטי הראה שבמגבלת תקציב של , מתוך הטבלה" ניחשנו"את סל זה

.היא התועלת המירבית אותה נקבל 25שגובהה

Xירת עקומת הביקוש למוצר גז 2.4

מפת (והטעם (I)את ההכנסה , Y (Py)ונשמור את מחיר מוצר , Xאם נשנה את מחיר מוצר

X (qx)נוכל למצוא את התלות בין הכמויות המבוקשות ממוצר , ללא שינוי) עקומות האדישות

.X (Px)לבין מחיר מוצר

5,5 yx qq

33 פונקצית הביקוש: 2פרק

נקודות . פירושו שינוי בקו התקציב המתאר את אילוץ ההכנסה של הפרט Xשינוי מחיר המוצר

ומראות , מתארות את הסלים הנותנים תועלת מכסימלית לצרכן, 2.6המוצגות בתרשים , ההשקה

. Xהצרכן מגדיל את התצרוכת ממוצר , שעם ירידת המחיר

nxxx :מתקיים לגבי המחירים 2.6נשים לב שבתרשים PPP ....21

וחיבור , (Px, qx)האינפורמציה המתקבלת מסלי המוצרים הנבחרים תועבר למישור בו הצירים הם

העקומה נבנתה כאשר הפרמטרים שלה הם מחיר מוצרים . Dהנקודות יתווה עקומת ביקוש

וכפי שהדגשנו בגזירת העקומה מתוך , 1כפי שדנו בפרק , ההכנסה ופונקצית הטעם, אחרים

.פונקצית התועלת ומגבלת התקציב בפרק זה

Douglas-Cobbחישוב עקומת הביקוש בפונקצית : דוגמא 2.4.1

, :נניח שפונקצית התועלת היא yx qqYXU ),( פונקצית תועלת זו מכונה פונקצית

Cobb-Douglas וכלכלנים מרבים להדגים בעזרתה.

Px

TIPD y ,, 0

qx Xעקומת הביקוש למוצר : 2.7תרשים

qy

I/Py

C B A

qx I/PX2 I/PX1

בחירת סלים אופטמליים עם שינוי המחיר :2.6תרשים

מיקרו-מבוא לכלכלה 34

IqPqP :מגבלת התקציב yyxx

?אך מהו הסל האופטימלי, המקיימים את מגבלת התקציב, שקיימים הרבה סלים, מובן

. המספק לצרכן תועלת מירבית תוך התחשבות במגבלת התקציב qx, qyנחשב את סל המוצרים

. ית התועלתבפונקצ qyמתוך מגבלת התקציב נציב את

x

y

x

yx q

PP

PIqYXU ),(

י גזירת פונקצית התועלת והשוואתה של הנגזרת "שתתן תועלת מכסימלית תמצא ע qxכמות

. לאפס

נסמן

x

Y

X

Y

qPP

PI

0)(),( 11 xy

xx

x

qPPq

dqYXdU

. נחשב את הנגזרת ונשווה אותה לאפס

: מתןך הגזירה קבלנו )(11

y

xxx p

pqq

xxx : וסידור האברים נקבל, עם פתיחת הסוגריים המרובעיםy

x

yy Pqq

Pp

PIp

נציב במגבלת התקציב ונקבל

IqP xx

1

:היא Xפונקצית הביקוש למוצר

xx P

Iq

Yפונקצית הביקוש למוצר , ובהתאמה

yy P

Iq

אך , הביקוש למוצר תלוי במחיר המוצר עצמו וברמת ההכנסה, ניתן לראות שבפונקצית תועלת זו

שר כא qx, qyאם נצייר את נקודות ההשקה במישור , כלומר. בלתי תלוי במחיר מוצרים אחרים

אם נעביר את . נותרת ללא שינוי Yאך כמות , )תגדל(תשתנה Xכמות Xאת מחיר ) נפחית(נשנה

כפי שצפינו יורדת משמאל , X-ניווכח שעקומת הביקוש ל, כמות-האינפורמציה למישור מחיר

הצרכן מוציא אחוז , הם קבועים I,,-היות ש. ומתאימה לתצפיות על התנהגות צרכנים, לימין

בדיון בעקומת ביקוש עם גמישות 2.6.5במקרה זה נדון בסעיף (קבוע מהכנסתו על כל מוצר

ונסיק שהמוצרים הם בלתי X,לא תשתנה עם שינוי מחיר Y-עקומת הביקוש ל). יחידתית

אשר המחירים כ, עם עליית ההכנסה: כמו כן נסיק ששני המוצרים הם מוצרים נורמליים. תלויים

35 פונקצית הביקוש: 2פרק

0. התצרוכת עולה, נתוניםdI

dq y ,0

dIdqx

י הצבה "נוכל לחשב את הכמות המבוקשת ע, שאם רמת ההכנסה ומחיר המוצרים נתונים, מובן

. בפונקציה שנתקבלה

,I=100התקיים 2.1בדוגמא 1 .הבקוש ל פונקציתX- היאx

x Pq 2100

וכאשר

10Px ,5מתקבל שהכמות המבוקשת היא qx . כפי שקבלנו בדוגמא

גמישות הביקוש 2.5

. כדי לאפיין עקומות ביקוש ניתן לבחון את שיפוע העקומה בנקודות שונות לאורך העקומה

.הוא הרגישות שלו ליחידות המדידה –השיפוע –החסרון העיקרי של מאפיין זה

נקבל ערכים , ח"באגורות או באלפי ש, ח"והמחיר בש, ג או טון"ק, אם הכמות נמדדת בגרמים

כדי להתגבר על חסרון זה נגדיר את גמישות . ע נותר ללא שינוילמרות שהשיפו, שונים לשיפוע

.על הפדיון, כפי שנראה בהמשך, ויתרונו שהוא מלמד אותנו, זהו מספר טהור. הביקוש למחיר

גמישות הביקוש לפי מחיר : הגדרה

E=xx

x

PdPqdq

במחירהשינויבכמותהשינוי x

//

%%

. מוגדרת כערך המוחלט של היחס בין אחוזי השינוי בכמות לאחוזי השינוי במחיר הגמישות

, הכמות עולה, כאשר המחיר פוחת(נזכור שהיחס בין שינוי במחיר לשינוי בכמות הוא תמיד שלילי ׁ

. והערך המוחלט הופך יחס זה לחיובי, )ולהיפך

נבחן השפעת שינוי כאשר, הגמישות מוגדרת בנקודה נתונה על פני עקומת הביקוש

לעיתים מזומנות השינוי במחיר אינו זניח ונעדיף , בפועל. אינפיניטיסימלי במחיר המוצר

.2.5.4ראה סעיף . להשתמש בנוסחת הגמישות הקשתית

מראה שהפחתה של אחוז אחד במחיר יכולה להביא , התבוננות בתגובה של הצרכן לשינויי מחיר

השינוי בכמות כתוצאה משינוי במחיר אינו . בכמות, ות מאחוזיותר מאחוז או פח, לעלייה באחוז

אנו . בתגובה למחירים שונים, וכפי שנראה גם אינו קבוע באותו מוצר, קבוע במוצרים שונים

.בהתאם לערכו המספרי, מאפיינים את היחס בין השינוי בכמות לשינוי במחיר

ערכה , 20% -חל גידול בכמות בוכתוצאה מכך 10% -כאשר חברת תעופה מפחיתה את המחיר ב

0.5ערכה של הגמישות , 5% -אולם אם הגידול בכמות הוא ב, )בערך מוחלט( 2של הגמישות הוא

נוכל לאפיין את ערך הגמישות בתחומים . נמצא גם ערכים אחרים לגמישות). שוב בערך מוחלט(

:הבאים

E=0 התחום קשיח לחלוטין בעקומת הביקוש.

0<E<1 בעקומת הביקוש התחום קשיח.

E=1 תחום גמישות יחידתית.

E1 התחום הגמיש בעקומת הביקוש.

E התחום הגמיש לחלוטין בעקומת הביקוש.

מיקרו-מבוא לכלכלה 36

במה תלויה גמישות הביקוש 2.5.1

,נראה. ובהוצאה עליו מכלל ההכנסה, גמישות הביקוש תלויה במידת הנחיצות של המוצר

דוגמא למקרה . עקומת ביקוש קשיחה יותר, שלמוצרים שהם נחוצים לנו ואין להם תחליפים

.קיצוני הוא אינסולין או תרופות אחרות ללא תחליף

אם נסתכל על הביקוש לסבון . עקומת הביקוש גמישה יותר, ככל שלמוצר תחליפים קרובים יותר

.יקוש למותג ספציפי הוא גמיש יחסיתהרי קיומם של תחליפים רבים גורם לכך שהב, או לשמפו

, הצרכן רגיש פחות לשינויים במחיר המוצר, ככל שההוצאה על מוצר קטנה יותר מכלל ההכנסה

ל גמישה פחות מעקומת הביקוש לטיולים "עקומת הביקוש לטיולים לחו. והעקומה קשיחה יותר

.למרות ששניהם עונים לצורך בטיול בטבע, בפרק הכרמל

הקשר בין גמישות הביקוש והפדיון השולי 2.5.2

אינה , שהיא הפדיון של היצרן, ההוצאה של הצרכן על המוצר, שלאורך עקומת הביקוש, נראה

או נותר ללא , קטן, הפדיון גדל, שעם הירידה במחיר ועליית הכמות, יתכן. אלא משתנה, קבועה

. שינוי

י מלבן שגובהו "ונמדוד אותו ע, כמכפלת המחיר בכמות, TRיסומן , Total Revenueנגדיר פדיון

.המחיר ורוחבו הכמות

המלבנים השוואתי "ן את השינוי בפדיון עויש לבחו הכמות הנרכשת עולה, הירידה במחירעם

.2.9כ הפדיון בתרשים "המודדים את סה

TR0=P0Q0=I+II הפדיון הוא, במצב ההתחלתי

=II+III TR1=P1Q1 הפדיון הוא, לאחר ירידת המחיר

הפדיון גדל במחיר היחידה , אם מכרנו יחידה נוספת: ההבדל בין המצבים מבחינת היצרנים

אולם כדי למכור יחידה נוספת נאלצנו להפחית את המחיר ולמכור את כל . IIIשטח , הנמכרת

. Iבשל ירידת המחיר הוא השטח " ההפסד. "במחיר נמוך יותר (Q0)היחידות שמכרנו עד עתה

P

P0

D

Q Q0

מדידת הפדיון בעזרת עקומת ביקוש: 2.8תרשים

37 פונקצית הביקוש: 2פרק

.ע לפי הפרש השטחיםהשינוי בפדיון יקב

ΔTR=TR1-TR0=(II+III)-(I+II)= II-I

.השינוי בפדיון עם שינוי הכמות המבוקשת, MRיסומן , Marginal Revenue,פדיון שולי: הגדרה

dQdTRMR

.פיתוח מתמטי: הקשר בין הפדיון השולי והגמישות 2.5.3

.שהוא תלוי בגמישות הביקוש, ונראה בסעיף זה, נבחן את השינוי בפדיון באופן מתמטי

:נוכל לכתוב 2.9 אם נסתכל בתרשים

PPP 01

QQQ 01

: הפדיון הראשוני הוא

000 QPTR

:ואילו הפדיון עם שינוי המחיר

))(( 001 QQPPTR

:השינוי בפדיון הוא

0000000000 )())(( QPQPPQQPQPQPQQPPTR

נניח שהמכפלה של השינויים שואפת לאפס

0 QP

ולכן נקבל

QPPQ

QPPQQPTR0

0000 1

P

P0

I

P1

III II

Q Q1 Q0

י שטחים בעקומת הביקוש"ע, השוואת הפדיון עם שינוי המחיר: 2.9תרשים

מיקרו-מבוא לכלכלה 38

נוכל לכתוב את השבר גם באופן הבא

EQ

QP

P

QPPQ 1

0

0

0

0

:נסיק מכך שניתן לכתוב את השינוי בפדיון באופן הבא

EP

QTR 110

תלוי במחיר ) למשל ביחידה אחת, השינוי בפדיון כתוצאה משינוי בכמות(הפדיון השולי , כלומר

.ר ובגמישות הביקושהמוצ

.בעזרת נגזרות 5.7הפדיון השולי יחושב בסעיף

גמישות קשתית 2.5.4

:דוגמא. ערך הגמישות תלוי בנקודת ההתחלה, כאשר השינוי במחיר אינו זניח :הנח שקומבינציית המחיר והכמות במצב הראשוני הינה

Q0=20 P0=20 :וקומבינציית המחיר והכמות במצב הסופי הינה

Q1=15 P1=25

1: הרי הגמישות היא (P0,Q0)אם נקודת המוצא היא המצב הראשוני 205

205

6.1: הרי הגמישות היא (P1, Q1)אולם אם נקודת המוצא היא המצב הסופי 255

155

:Arc Elasticity ,גמישות קשתיתכדי להימנע מערכי הגמישות השונים נגדיר

כאשר חישוב השינוי גם לכמות וגם למחיר , אחוז השינוי בכמות מחולק באחוז השינוי במחיר

. החישוב נעשה כאשר השינוי במחיר ובכמות הם גדולים יחסית. נעשה עבור נקודת אמצע הקשת

:י"תחושב הגמישות הקשתית ע, גבולות הקשת-הן נקודות על עקומת הביקוש ,B Aכאשר

22

,BA

BA

BA

BAPX PP

PPQQQQE

X

נחזור לדוגמא המספרית ונראה שאמנם הגדרת הגמישות הקשתית תיתן תוצאה לערך הגמישות

.שהיא בלתי תלויה בנקודת ההתחלה

721

5.175.22

5.225

5.175

39 פונקצית הביקוש: 2פרק

ובפדיון שולי בגמישויות, דיון בסוגים שונים של עקומות ביקוש 2.6

נבחן השפעת שינוי בהיצע . נראה שערכים של גמישות משמעם ערכים שונים של הפדיון השולי

. כ הפדיון בתחומים השונים של עקומת הביקוש"על סה

עקומת הביקוש בתחום הגמיש 2.6.1 E1

B-ל A-נקודת שווי המשקל עוברת מ, נראה שעם העלייה בהיצע 2.10אם נסתכל בתרשים

.E>1ולכן , בהשוואת הנקודות נראה שאחוז השינוי בכמות גדול בהרבה מאחוז השינוי במחיר

ולכן נראה שהפדיון השולי , Iגדול בהרבה משטח IIIאם נבחן את השינוי בפדיון נראה ששטח

.חיובי

למשל (גמישות המתאימה לתחום הגמיש בעקומת הביקוש , אם נציב בנוסחת הפדיון השולי

נקבל ) ווה לארבעגמישות הש

075.0411 PPMR

E<0>1 עקומת הביקוש בתחום הקשיח 2.6.2

P S1

A S2 I B

III II

D

Q השינוי בפדיון בעקומת ביקוש גמישה: 2.10תרשים

P

S1 A S2 I B D III II Q

קשיחה השינוי בפדיון בעקומת ביקוש: 2.11תרשים

מיקרו-מבוא לכלכלה 40

בהשוואת הנקודות נראה . מורה שהעלייה בהיצע גורמת לשינוי בנקודת שווי המשקל 2.11תרשים

.=0.75E, למשל, E<1ומתקיים ש , שאחוז השינוי בכמות קטן בהרבה מאחוז השינוי במחיר

.והפדיון השולי הוא שלילי, Iקטן משטח IIIהשוואת השטחים מראה ששטח

, נציב בנוסחת הפדיון השולי גמישות המתאימה לתחום הקשיח בעקומת הביקוש41

E . נקבל

: שאמנם הפדיון השולי שלילי

PPMR 34

111

E עקומת ביקוש גמישה לחלוטין 2.6.3

ל "יצרן המיצא תפוזים או פרחים לחו. הצרכן מוכן לקנות כל כמות במחיר נתון, בעקומת ביקוש זו

.במחיר נתון' כמותכל 'הצרכנים מוכנים לקנות ממנו . רואה עקומת ביקוש מסוג זה

.נראה שכמות שיוויי משקל גדלה מבלי שמתלווה אליה ירידה במחיר המוצר, אם ההיצע גדל

Eולכן, קיים שינוי בכמות למרות שאין שינוי במחיר .

ועם מכירת יחידה נוספת הפדיון הוא TR0=P0Q0במצב הראשוני סך הפדיון היה

TR1=P0(Q0+1)

.MR=P0הנובע ממכירת יחידה נוספת הוא , הפדיון השולי

.נקבל Eאם נציב בנוסחת הפדיון השולי את הגמישות המתאימה PPMR

11

מקרה . עם מכירת יחידה נוספת הפדיון גדל במחיר המוצר; הפדיון השולי במקרה זה הוא המירבי

–מחייבת הפחתה במחיר ) אם תתקיים(זה שונה מהמקרים האחרים בהם מכירת יחידה נוספת

S1 P S2

D

III II Q Q1 Q0

השיוני בפדיון בעקומת ביקוש גמישה לחלוטין: 2.12 תרשים

41 פונקצית הביקוש: 2פרק

.Iוכתוצאה מכך הפחתה בפדיון בשטח שסומן

E=0, עקומת ביקוש קשיחה לחלוטין 2.6.4

משווק אינסולין . אך אינו מוכן לקנות יותר, בעקומת ביקוש זו הצרכן מוכן לקנות כמות נתונה

הצרכנים מוכנים לשלם ממחיר אפסי עד מחיר גבוה מאד . רואה בפניו עקומת ביקוש מסוג זה

גם שינוי . 0E, גמישות הביקוש במקרה זה. ולא ישנו את הכמות המבוקשת, עבור אינסולין

למרות שההיצע גדל 2.13למשל בתרשים . בעשרות אחוזים במחיר לא יגרום לשינוי בכמות

.אין שינוי בכמות המבוקשת, והמחיר יורד

הרי גם אם נפסיד את כל , היות שהפדיון השולי מתייחס לשינוי בפדיון עם מכירת יחידה נוספת

. הפדיון לא נצליח למכור יחידה נוספת

נקבל E=0חת הפדיון השולי את הגמישות המתאימה אם נציב בנוס

011PMR

E=1עקומת ביקוש עם גמישות יחידתית 2.6.5

0נתחיל במקרה זה בהצבה בנוסחת הפדיון השולי 111

PMR

כ הפדיון "סה, שעם השינוי בהיצע ובנקודת שיווי משקל, שפירושו, הפדיון השולי שווה לאפס

.תר ללא שינוינו

.אחוז השינוי בכמות שווה לאחוז השינוי במחיר, שבמקרה זה, מהגדרת הגמישות נובע

כלומר נוסחת עקומת הביקוש P0Q0=P1Q1=Aובמקרה זה מתקיים . A-כ הפדיון כ"נסמן את סה

היא QAP ) נוסחה המזכירה לנו את נוסחת ההפרבולה

XAY , ואמנם זו צורת עקומת

).הביקוש

P D S1

S2

Q Q0

השינוי בפדיון בעקומת ביקוש קשיחה לחלוטין: 2.13 תרשים

מיקרו-מבוא לכלכלה 42

נסיק שכאשר נוסחת העקומה היא QAP הפונקציה והצבה י גזירת"ע, 1 -הגמישות שווה ל

.בנוסחת הגמישות נווכח שאמנם זהו ערך הגמישות

12

QAQ

QA

dQdP

QP

PdP

QdQ

E

הוא למשל מוצר עליו הצרכן מוציא , שעקומת הביקוש שלו היא בעלת גמישות יחידתית, מוצר

ומספר , מדי חודש נקציב להליכה לקולנוע סכום נתון, למשל. סכום קבוע או אחוז קבוע מהכנסתו

שהוא , מכלל ההכנסה 20%או נוציא על ביגוד ; הביקורים בקולנוע ישתנה עם שינוי מחיר הכרטיס

.תוןסכום נ

הלינארי מקרה הביקוש –השינויים בגמישות לאורך עקומת הביקוש 2.7

ולכן מוטעה לומר , ולא גמישות לאורך העקומה, הגמישות לפי הגדרתה היא תמיד נקודתית

הדגשה ". הקשיח/עקומת ביקוש בתחום הגמיש"אלא יש לומר , "קשיחה/עקומת ביקוש גמישה"

ונראה בה , לינארית בה גמישות הביקוש משתנה לאורך העקומהלכך נוכל לחוות בעקומת ביקוש

. 1 - וכמות בה הגמישות שווה ל) E<0>1(תחום קשיח , )E<1(תחום גמיש

שאמנם לאורך עקומה לינארית הפדיון השולי בתחילה , 2.15נראה בתחילה באופן גרפי בתרשים

תחום בו ערכי הפדיון השולי ב(כ שלילי "אח) בתחום בו ערכי הפדיון השולי חיוביים(חיובי

מכירת , במחירים הגבוהים, בחלק השמאלי 2.15אם נתבונן בתרשים . וביניהם אפס, )שליליים

במחירים , בחלק הימני, לעומת זה. הוא חיובי I-IIIכי ההפרש , יחידה נוספת מגדילה את הפדיון

.הנמוכים הפרש השטחים הוא שלילי

P

S1 S2

D

Q

השינוי בפדיון בעקומת ביקוש עם גמישות יחידתית: 2.14 תרשים

43 פונקצית הביקוש: 2פרק

.נראה מתמטית שאמנם הפדיון השולי הופך מחיובי לשלילי לאורך עקומה לינארית

Xxנוסחת עקומת ביקוש לינארית היא bQaP

XXXXכ הפדיון בכל נקודה ונקודה הוא "סה bQaQQPTR 2

XbQa: כ הפדיון"י גזירת סה"את הפדיון השולי נחשב עdQdTRMR 2

נראה שהפדיון , אותה מערכת ציריםאם נצייר את עקומת הביקוש ועקומת הפדיון השולי על פני

ואילו , ) a(החיתוך עם הציר האנכי זהה בשתי העקומות ; השולי הוא התיכון לעקומת הביקוש

בעקומת הביקוש P=0כאשר (החיתוך עם הציר האופקי הוא חצי בעקומת הפדיון השולי baQ ,

בעקומת הפדיון השולי MR=0ואילו כאשר baQ2

.(

P

a

D MR

Q ba

b

a2

עקומת ביקוש לינארית והפדיון השולי המתאים לה :2.16 תרשים

P P

I

D D III II

I II III

Q תחום קשיח Q תחום גמיש

עקומת ביקוש לינארית עם תחום גמיש ותחום קשיח :2.15תרשים

מיקרו-מבוא לכלכלה 44

מסקנות .החציון –הפדיון השולי הוא קו ישר , בפונקצית ביקוש לינארית

0 < Q < a/2b ופונקצית הביקוש בתחום הגמיש, הפדיון השולי חיובי;

Q = a/2b והביקוש בכמות בה קיימת גמישות יחידתית, הפדיון השולי אפס;

a/2b < Q < a/b ופונקצית הביקוש בתחום הקשיח, הפדיון השולי שלילי.

משתנה גם , ובהתאם, הגמישות משתנה מנקודה לנקודהעקומה לינארית מדגישה שאמנם , מרכלו

.למרות השיפוע הקבוע לעקומה, הפדיון השולי

?איך נוכל להסביר את השינויים בגמישות הביקוש

.נסתכל על נוסחת הגמישות הנקודתית

dQdPQP

PdPQdQ

E

, שיפוע העקומה הוא קבועdQdP

אולם היחס , QP

.משתנה מנקודה לנקודה

נוכל למדוד גרפית את dQdP

. -י סימון הזווית המתאימה ב"ע, י שיפוע עקומת הביקוש"ע

tgbdQ: במקרה זה מתקייםdP .

Qאת היחס P בנקודה , למשל, י חיבור קרן אל הראשית"נוכל למדוד עA י חיבור הקרן נקבל "ע

והמרחק האופקי מודד את הכמות , P0 ,Aהאנך מודד את המחיר בנקודה . משולש ישר זווית

היחס . Q0 ,Aבנקודה 0

0Q

P .tgי "יכול להימדד ע

P

A P0

D

Q Q0

מדידת גמישות בעקומת ביקוש לינארית בעזרת זוויות :2.17 תרשים

45 פונקצית הביקוש: 2פרק

: י היחס בין הטנגנסים"גמישות הביקוש תמדד ע

tgtgE

, ככל שהזווית גדולה יותר ערך הטנגנס גדול יותר, וכידוע, היות שפונקצית טנגנס היא מונוטונית

: לפיכך

1 Etgtg

1 Etgtg

1 Etgtg

מתי מתקיים ? כאשר חיבור הנקודה על עקומת הביקוש אל הראשית נותן משולש שווה

, שוקיים בו זוויות הבסיס שוות .

, כל עוד הפדיון השולי חיובי. מה נוכל להסיק לגבי השתנות הפדיון לאורך עקומת ביקוש לינארית

.המצב הפוך, אולם כאשר הפדיון השולי שלילי. כ הפדיון"מכירת יחידה נוספת מעלה את סה

: נוכל לראות זאת גרפית תוך התייחסות לנוסחה MRdQTR.

P

D MR

Q Q0

TR

Q

כ הפדיון בעזרת הפדיון השולי"חישוב סה :2.18תרשים

מיקרו-מבוא לכלכלה 46

.כ הפדיון הוא אפס"במכירת אפס יחידות סה

הפדיון הולך . הפדיון שלנו גדל בשטח מתחת לעקומת הפדיון השולי, עם מכירת היחידה הראשונה

לפיכך , מובילה לפדיון שולי שלילי X+1נוכל לראות שהיחידה ה . יחידות Xוגדל עד שנמכור

.כ הפדיון הולך ופוחת"מנקודה זו ואילך סה

.כשהמחיר ליחידה הוא אפס, הפדיון חוזר להיות אפס

מקרה כללי – לאורך עקומת הביקוש בגמישות הביקוששינויים 2.8

לחשב את גמישות הביקוש כדי שנוכל להסיק בכל נקודה ונקודה על פני עקומת הביקוש עלינו

לחישוב גמישות הביקוש נשתמש בנוסחת הגמישות . האם הפדיון השולי הוא חיובי או שלילי

:המורה

dQdP

QP

E

י "המכנה יכול להמדד ע. י חיבור קרן אל הראשית וחישוב טנגנס הזווית "המונה יכול להמדד ע

היחס בין הטנגנסים ובין הזוויות הוא שיורה לנו האם . זווית , חישוב קרן המשיק בנקודה

והפדיון השולי ) אך חיובית( 1 - או שהגמישות קטנה מ, והפדיון השולי חיובי 1 -הגמישות גדולה מ

.שלילי

פדיון שולייישום לידע על 2.9

בעל ). 7, 5הסבר להתייחסות זו תובהר בפרקים (נחשוב על עיירה קטנה ובה חנות אחת בלבד

אתמול רכש . מכיר את תושבי העיירה ויודע מה עקומת הביקוש שלהם לכל מוצר, משה, החנות

היות . והוא מעוניין למכור את התות ברווח מכסימלי, משה מלאי גדול של תות שדה בסכום נתון

משה יודע שעליו למכור . מכסימום רווח יושג אם הפדיון יהיה מכסימלי, שהרכישה נעשתה כבר

נניח שעקומת הביקוש היא ידועה . את כל התותים היום כי אין לו אמצעי אחסון מתאימים

. ולינארית

P

D

Q

גמישות הביקוש בעקומת ביקוש כללית בעזרת זויות הצגת: 2.19תרשים

47 פונקצית הביקוש: 2פרק

, Q0העקומה תתלכד עם הציר האופקי עד לכמות ; עקומת ההיצע צריכה לתאר את מלאי התות

, עקומת היצע קשיחה לחלוטיןעקומה זו מכונה . Q0וממנו ואילך תהיה קשיחה לחלוטין ברמת

בה היצרן , מעקומת היצע גמישה לחלוטיןעקומה זו שונה . Q0ובה מוצעת כמות קבועה מהמוצר

.P0מציע כל כמות במחיר

אם נשווה את עקומת הביקוש לעקומת ההיצע נווכח שמשה צריך למכור את מלאי התות במחיר

P0 . האם הפדיוןP0Q0 ונתווה את עקומת , כדי להשיב נעזר בידע על פדיון שולי. הוא פדיון מירבי

. הפדיון השולי

bנווכח שהיות שמתקייםaQ 20 ;ולכן , משה מוכר את התות בתחום הפדיון השולי השלילי

.אם יקטין את הכמות הנמכרת סך הפדיון ילך ויעלה

.מהדיון הקודם שלנו זו הכמות בה הפדיון השולי שווה לאפס? הכמות בה הפדיון מכסימלימה

?מה ההשלכות של הפתרון

bהוא יצטרך להשמיד ; יצטרך להשמיד חלק ממלאי התות, בעל החנות, משהaQ 20 . אם

b-יתמלא ברגשי אשם וינסה למכור יותר מa

כור יחידות נוספות רק תוך הפחתת יוכל למ, 2

.ואז יווכח שסך הפדיון פוחת, המחיר

b-אם המלאי שרכש משה קטן מa

.ולא יצטרך להשמיד תות, מובן שימכור את המלאי כולו, 2

b- למה רכש יותר מ, אם משה הכיר מראש את פונקצית הביקוש: נוכל לשאולa

זו גם כמות? 2

והוא צריך לחשב מה הכמות האופטימלית , 7כפי שנראה בפרק , בתנאים מסוימים היא גדולה מדי

.י השוואת עלויות הרכישה והפדיון מהמכירה"למכירה ע

P

S MR

P1

P0

D

Q Q0

ba2

MR

מקסום פדיון כאשר קיים מלאי נתון: 2.20תרשים