Introdução à Teoria da Prova para Métodos Formaishermann/Proof-Theory-FM.pdfNão existe prova de 0=1 -Em uma prova simples todas as fórmulas são sub-fórmulas ou da conclusão

Edward Hermann Haeusler

Prof. do Departamento de Informática

PUC/RJ

Introdução à Teoria da Prova para Métodos Formais

Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio

Introdução a Teoria da Prova para M.F.

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Panorama da Matemática no Século XIX

- Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX): - Equação da Onda

- Equação do Calor - Equação de Poisson - Técnicas de Fourier

- Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. Parciais - Problemas de Fundamentação:

- Séries divergentes x Séries Convergentes

- Conceito de infinito não era preciso

- O próprio conceito de número real não era preciso. - Definição de convergência não existia

- Conceito de função não era preciso

Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata



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Panorama da Matemática no Século XIX (cont.)

Dedekind (1831-1916) Definição de número real. Princípio de definição de funções por indução (recursão primitiva) 1888 Cauchy (1789-1857) Bolzano(1781-1848)

Weierstrass (1815-1897)

Riemman(1826-1866)

Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas

Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas

Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas

Hilbert (em 1898-1899) Estabelece a fundamentação da geometria

Peano (em 1889) Define os axiomas da aritmética



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Teoria Ingênua dos Conjuntos

Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos de números cardinais e ordinais transfinitos.

Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos)

Resistência aos principais resultados. Existência Atual posta em cheque.

Os paradoxos:

- Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais”

- Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos”

R = { x / x ∉ x} ==> R ∉ R se e somente se R ∈ R



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Evolução da Lógica como assunto matemático

Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal.

Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas , com a adição do conceito de pertinência (∈) como primitivo.

===> paradoxos aparecem novamente !!

DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos.

Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan.

===> Paradoxos associados ao axioma da escolha



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As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática

Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos.

Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência

Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana fundamentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção.



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O Programa de Hilbert

=> Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que:

- As teorias mais complexas são extensões das mais simples.

- Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, por compactação, completamento algébrico, etc)

Th(N) ⊆ Th(Z) ⊆ Th(Q) ⊆ Th(R) ⊆ Th(C)

=> Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso de técnicas finitárias.

=> Provar que não existe prova de 0 = 1 usando ............



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Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX - Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell

- Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível.

- Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica.

- Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível

- Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética (só o sucessor). -Tarski (1930) Prova que a aritmética com adição (+) e menor (<) é decidível. (1936) Formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem (1949) Prova da decidibilidade da Teoria dos Reais - Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem

- Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: #α é o código de α. - Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência.



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Os Teoremas de Gödel

Paradoxo do mentiroso: “Eu estou mentindo”

Paradoxo do mentiroso: “Eu não sou demonstrável”

Primeiro Teorema de Gödel: Qualquer axiomatização de Th(N) onde seja possível aritmetizar o conceito de prova é incompleta.

σ ≡ “Eu não sou demonstrável”

Se σ é demonstrável então 0=1 é demonstrável Se 0=1 é demonstrável então σ é demonstrável

Aritmética é consistente se e somente se σ não é demonstrável

0=1 é demonstrável se e somente se σ é demonstrável

Segundo Teorema de Gödel: Seja Γ uma axiomatização como acima, então a consistência de Th(N) é demonstrável a partir de Γ se e somente se Th(N) é inconsistente



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Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes.

Fazendo :

Homens Programas A Faz a Barba de B A Pára quando lê o código de B como entrada

Paradoxo Aplicado: Em um mundo existe um programa que pára sempre que lê o código de programas que não páram quando lêem o próprio código e somente estes.



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Gentzen Prova a Consistência da Aritmética (1936)

- Criação de um sistema dedutivo “natural” (com estrutura) com o qual pode-se analisar o papel das constantes lógicas na construção de provas. Comparação entre provas ( Π1 ≤ Π2 ).

-Definição de um processo efetivo de simplificação de provas (normalização) => Para toda prova Π de α a partir de Γ , obtem-se efetivamente Π’ que é (uma) prova mais simples de α a partir de Γ’⊆ Γ.

-Mostra-se que não existe prova mais simples de 0=1

Não existe prova de 0=1

-Em uma prova simples todas as fórmulas são sub-fórmulas ou da conclusão da prova α ou de alguma das hipóteses (premissas, Γ’) da prova .



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Lembretes:

- A prova original de Gentzen usa Cálculo de Sequentes e prova que a regra do corte é desnecessária na construção de provas em aritmética. Usa indução até ε0 para provar terminação do processo de construção da prova quando este for o caso. (Folclore do Haupsatz ou eliminação do corte)

-  Dedução Natural é apresentada por Gentzen mas, somente após Prawitz (1965) os principais problemas com as regras de absurdo (clássico) são resolvidos e a relação entre Normalização e Eliminação do corte é bem estabelecida.

-  Curry já havia relacionado combinadores (S, K e I) com sistema axiomático de Heyting (lógica intuicionista), originando o termo Lógica Combinatória.



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Evolução da Teoria da Prova

- Análise Ordinal (Schütte - Girard) - Provas como Computações (Curry-Howard)

- Teoria de Tipos e Modelos Categóricos para Linguagens

-  Novas lógicas com semânticas operacionais.

- Compactação de Provas

- Lógica e Complexidade Computacional .

- Geração Automática de Algoritmos, Geração de Planos, Geração de Explicações.

- Prova Automática de Teoremas (ATP)



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Os sistemas a la Frege/Hilbert

Esquemas de Axiomas:

(K) A→(B →A)

(S) A →(B →C) → (A →B) →(A →C)

(Cla) ¬ ¬A →A

Regra:

(Modus Ponens) A A→B

B



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Exemplos de Deduções

A → ((A → A) → A) A → ((A → A) → A) →( (A→(A→A)) → (A→A))

(A→(A→A)) → (A→A) A→(A→A)

A→A

(K) X→(Y →X)

(K) X→(Y →X)

(S) X →(Y →Z) → (X →Y) →(X →Z)



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Como automatizar o processo de prova ??

A → ((A → A) → A) A → ((A → A) → A) →( (A→(A→A)) → (A→A))

(A→(A→A)) → (A→A) A→(A→A)

A→A

α α →(A → B) →(¬B → ¬A)

(A → B) →(¬B → ¬A)

Teorema da Dedução ---> Melhoria no método de prova

Axioma para negação: A→(¬A→B)

Teorema: |- α→β, se e somente se α |- β



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Prova Automática de Teoremas

- Análise da complexidade dos sub-objetivos em função do objetivo principal

“Prove α∧β from Γ” ===> “Prove α from Γ” “Prove β from Γ” α∧β

“Prove α from {... α ...}” ====> α



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Regras para Tableaux Proposicional Clássico

V (A → B)

F A V B

V (A ∨ B)

V A V B

F (A ∧ B)

F A F B

V ¬A

F A

F (A → B)

V A

F B

F (A ∨ B)

F A

F B

V (A ∧ B)

V A

V B

F ¬A

V A



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Cálculo de Sequentes Proposicional



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Tableaux versus Cálculo de Sequentes

A → B, B → C => A → C

F (A → B ∧ B → C) → (A → C)

T A → B

T B → C

F A → C

A → B, B → C,A => C T A

F C

B → C,A => C, A B, B → C,A => C

T B F A

B, A => C,B B,C,A => C

F B T C

A → B, B → C => A → C

=> T(A → B),T(B → C) ,F(A → C)



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Tableaux como “One-Sided Sequent Calculus”

=> Δ, TA, TB => Δ, T(A ∧ B)

=> Δ, FA => Δ, F(A ∧ B)

=> Δ, FB

=> Δ, FA, FB => Δ, F(A ∨ B)

=> Δ, TA => Δ, T(A ∨ B)

=> Δ, TB

=> Δ, TA, FB => Δ, F(A → B)

=> Δ, FA => Δ, T(A → B)

=> Δ, TB

=> Δ, TA, => Δ, F¬A

=> Δ, FA, => Δ, T¬A

=> Δ, TA, FA



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Regras para Tableaux Primeira Ordem Clássica

V ∀xA(x)

V A(t)

F ∀xA(x)

F A(c)

c um símbolo novo

F ∃xA(x)

F A(t)

V ∃xA(x)

V A(c)

c um símbolo novo

F ∃xA(x)

V ∀xA(x)



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Cálculo de Sequentes para LPO

Δ1 => Δ2, A(c) => Δ, FA(c) => Δ, F∀xA(x) Δ1 => Δ2, ∀xA(x)

c não ocorre em Δ1∪ Δ2

Δ1 , A(c) => Δ2 => Δ, TA(c) => Δ, T∃xA(x) Δ1 , ∃xA(x) => Δ2

c não ocorre em Δ1∪ Δ2

c não ocorre em Δ

c não ocorre em Δ

Δ1 => Δ2 , A(t), ∃xA(x) => Δ, FA(t), F∃xA(x) => Δ, F∃xA(x) Δ1 => Δ2 , ∃xA(x)

=> Δ, TA(t), T∀xA(x) => Δ, T∀xA(x)

Δ1, A(t), ∀xA(x) => Δ2

Δ1, ∀xA(x) => Δ2



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O Cálculo de Sequentes original de Gentzen



25




26




27

- Usando Δ => Γ , com Δ∩Γ≠∅, elimina-se a necessidade das regras de atenuação (Weakning)

-Usando-se Bags, em vez de listas, elimina-se a necessidade das regras de permutação.

- A prova de completude mostra que o corte (cut) e a contração, são redundantes.

==> A Eliminação do corte, pode ser mostrada sem apelar-se para a semântica da lógica.



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Dedução Natural

(A ∨ (B ∧ C)) → (A ∨ C)

(A ∨ C)

(A ∨ C) (A ∨ C) (A ∨ (B ∧ C)) [A]

[B ∧ C]

C

[ ]

(A ∨ (B ∧ C)) → (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (A ∨ (B ∧ C))

(A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (A ∨ C)

(A ∨ (B ∧ C)) → (A ∨ C)

[ ]



29

(A ∨ (B ∧ C)) → (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (A ∨ (B ∧ C))

(A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (A ∨ C)

(A ∨ (B ∧ C)) → (A ∨ C)

[ ]

Dedução Natural - Simplificando Provas

(A ∨ (B ∧ C)) → (A ∨ C)

(A ∨ C)

(A ∨ C) (A ∨ C) (A ∨ (B ∧ C)) [A]

[B ∧ C]

C

[ ]

(A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

(A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) [(A ∨ (B ∧ C))]

(A ∨ B) (A ∨ C) [A] [A]

(A ∨ B) (A ∨ C) B C

[(B ∧ C)] [(B ∧ C)]



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Algumas Reduções

(B ∧ C)

Π1 B

Π2 C

C

Π2 C

[A]Π2 B

A → B Π1 A

B

[A]Π2 B

Π1 A

[A]Π2 B

Π1

Π1 A(a) ∀xAx

A(t)

Π1(a/t) A(t)



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Princípio da Subfórmula para Provas Normais

Eliminações

Fórmula mínima

introduções

α

Γ

Toda fórmula na prova ou é subfórmula de α ou é subfórmula de Alguma fórmula de Γ



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⊥

Consistência da lógica de primeira ordem

Não existe prova de ⊥ , pois

Suponha Π ⊥

Então existe normal Π’ ⊥



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Terminologia e Comentários

- Ao processo de “siimplificação” de uma prova dá-se o nome de NORMALIZAÇÃO

- NORMALIZAÇÃO = (Estratégia de Apl. de Reduções) + Terminação

- Para a lógica de primeira ordem a prova de terminação é feita com indução finita.

Normalizando Provas na Aritmética



34

A Regra de Indução Finita

Π0 α(0)

[α(a)] Πs α(suc(a))

∀x α(x)

Pode haver normalização para a Aritmética ????



35

O Sistema infinitário PAω

Π0 α(0)

Πsuc(0) α(suc(0)) ……….

Πsucn

(0) α(sucn(0)) ……….

∀x α(x)

Regra ω



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Imergindo provas de PA em PAω

Π0 α(0)

[α(a)] Πs α(suc(a))

∀x α(x) Π β

Π0 α(0)

Πs α(suc(0)) …….

Πs α(sucn(0)) ….

∀x α(x)

Π0 [α(0)]

Πs [α(sucn-1(0))]

.

.

.

Π0 α(0)

Π β

Pode-se estimar o tamanho das provas de PAω ???

Reduzindo provas em PAω



37

Medindo o tamanho das provas em PAω que são imagens de provas em PA

sem IND finita

k IND não aninhadas ≤ k.ω < ω2

uma IND aninhada < ω2

IND aninhadas em quantidade arbitrária

< ω ω



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Medindo o tamanho das provas em PAω em função da regra ω

Π0 α(0)

Πsuc(0) α(suc(0)) ……….

Πsucn

(0) α(sucn(0)) ……….

∀x α(x)

- Se Πk finitos então Π ≤ ω

= Π

- Se Πk = k.ω então Π = ω2

- Se Πk = ωk então Π ≤ ωω

- Se Πk = ωω então Π ≤ ωω k ω

A cota superior é então : ω ω

ω ω - vezes ε0 =



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Π0 α(0)

Πsuc(0) α(suc(0)) ….

Πsucn

(0) α(sucn(0)) ….

∀x α(x)

α(t)

Π β

Πt α(t)

• Tamanho da prova reduzida não é maior e pode-se considerar uma medida no processo de normalização onde a redução tem complexidade menor

Π β



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- Prova-se por indução transfinita até ε0 que todas as provas em PAω que tem um número finito de fórmulas máximas, são normalizáveis

- Não existe prova de 0=1 em PA.

- PA é consistente



41

Estimando o tamanho de provas Normais

Em Dedução Natural Proposicional :

- Cota-Superior para provas normais : 2

2tam(Π)

2 . . . F-Max(Π)

-  Exemplos de teoremas que tem cota-inferior hiperexponencial em provas normais e tem tamanho linear em provas não-normais

Em Cálculo de Sequentes Proposicional :

- Cota-Superior para provas sem corte : 2F-max(Π).tam(Π)

-  Exemplos de teoremas que tem cota-inferior super-polinomial em provas sem corte e tem tamanho linear em provas com corte

Ex: Princípio da Casa do Pombo (Haken 1984)

Ex: Fórmulas de Orekov



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Sistemas de Frege e Simulação polinomial

- Um sistema de Frege é defiinido por conjunto finito de regras e axiomas e é completo e correto (com respeito a LK).

Teorema: Dados F1 e F2, sistemas de Frege, toda prova Π em F1 tem uma prova Π’ da mesma fórmula e tam( Π2) ≤ Poli(tam(Π1))

- Um sistema de Frege com extensão permite o uso da regra de extensão : E ↔α

Fato : O princípio da casa do Pombo (PHP) possui provas de tamanho polinomial em sistemas de Frege com extensão (Reckow 1987)

Fato: PHP possui provas de tamanho polinomial em sistemas de Frege (Buss & Reckow 1988)



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Compactando Provas - Ignorar a estrutura da prova e compactar como um string.

- Usar a estrutura da prova e introduzir fórmulas máximas (cortes)

=> Obtem-se redução do gap exponencial para alguns exemplos

-  Provas como termos de primeira ordem e compactação via algoritmo de unificação

⇒  PHP polinomial equivalente ao obtido por Buss. Prova obtida a partir de uma prova normal com introdução de fórmulas máximas e axiomas de extensão gerados pela unificação de fórmulas na prova normal (Gonçalves & Haeusler 2005, Gonçalves, Gordeev & Haeusler 2007)

=> Processo já utilizado por Revezs em 1986 no contexto de L.F.

⇒ PHP polinomial de mesmo grau obtido por Buss. Prova obtida por unificação de subtermos (subprovas)

♦ Dificuldade inerente na compactação de provas !!!!!



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Consistência

Def. Uma Teoria é consistente se não sustenta fatos falsos.

Def. Uma Teoria é consistente se não prova fatos falsos.

Def. Uma Teoria é consistente se não prova todos os fatos.

Def. Uma Teoria é consistente se não prova algum absurdo.



45

O que são técnicas finitárias ???

- Operações efetivas sobre objetos concretos

Objetos concretos: |, ||, |||, ||||, ||||||, .... �, � �, � � �, � � � �, ........

Operações efetivas: ????????

juntar símbolos apagar símbolos escrever símbolos reconhecer um símbolo

(visão a posteriori)



46

Daniel Bernouli 1753

u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct) D’Alembert 1747 + Euler 1748

u

x t

ut(x,0) = g(x) e u(x,0) = f(x)

u(x,t) = 2 ∫0 Σ (sinnπysinnπxcosnπct)f(y)dy + 2 ∫0 (1/n) Σ (sinnπysinnπxsinnπct)g(y)dy

Lagrange 1759

Equação da onda



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Equação do calor

u(0,t) = u(L,t) = 0

u(x,0) = f(x)

u(x,t) = Σ cne-n π Kt/L sin(nπx/L) n=1

∞ 2 2 2

f(x) = Σ cnsin(nπx/L) n=1

∞

cn= (2/L) ∫ f(x) sin(nπx/L)dx 0

L

Fourier 1811

==> Toda “função” tem expansão em série de senos ?????

L

Dirichlet (1829,1837) + Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral, 1900’s)



48

3 x + = 9

x = 6

Manipulação com séries infinitas (I) : Resolvendo equações

C

1 + aC = C

C(1-a) = 1

C = 1/(1-a)



49

Diferenciação de uma série (termo a termo)

dx

Integração de uma série (termo a termo)

∫∑∞

=0 k

kdx x ∑∞

=1k kxk



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Geometrias Não-Euclidianas

Hiperbólica Bolyai-Lobachevsky

1820

Elíptica Riemman

1800’s

Plana Euclides

400’s

Axiomas de Euclides 1. Para cada par de pontos P1 e P2 com P1 ≠ P2 existe uma única reta que incide em ambos. 2. Para todos segmentos AB e CD existe um ponto E t.q. E está entre A e B e CD≈BE 3. Para todo par de pontos O e A com O ≠ A existe um única circ. com centro O e raio OA 4. Todos os ângulos retos são congruentes 5. Dados uma reta R e um ponto A fora desta, existe uma única R’ paralela e R e incidente em A.



51

T |- σ↔ ϕ(#σ)

Seja t = #(∀x2(diagx1(x1,x2) → ϕ(x2)))

então σ será ∀x2(diagx1(t,x2) → ϕ(x2)))

∀x2(substx1(t,x2) → ϕ(x2))) → (diagx1(t, #σ) → ϕ(#σ))

σ T |- diagx1(t, #σ) T |- σ → ϕ(#σ)

ϕ(#σ)

diagx1(t,x2)

T |- diagx1(t, #σ) T |- x2= #σ

T |- ϕ(x2)

T |- diagx1(t,x2) → ϕ(x2)

T |- ∀x2 (diagx1(t,x2) → ϕ(x2))



52

Não provabilidade da consistência em Cn(Γ)

• α ↔ ~Pr(#α) ∈ Cn(Γ) • se α ∈ Cn(Γ) então Pr (#α) ∈ Cn(Γ) ⇒ Cn(Γ) é inconsistente.

⇒ se Cn(Γ) é consistente então α ∉ Cn(Γ).

~Pr (#(0=1)) ∈ Cn(Γ) ~Pr (#α) ∈ Cn(Γ)

α ∈ Cn(Γ)

[Diag]

⇒ Portanto se ~Provavel(#(0=1)) ∈ Cn(Γ) então Cn(Γ) é inconsistente



53

S

v

S ⊕ C

ρ-1(S ⊕ C)

ρ-1

ρ = Rotação de 1/10 de radiano

C = ⊕ ρn(v) n ∈N

S ⊕ C ⊕ ρ-1(v) =

Intuição do “Mundo Físico” não concorda com o “Mundo Matemático



54

Paradoxo de Banach-Tarski (1924) e Paradoxo de Hausdorf (1914)

Rotações e Translações

Divisão da esfera em 5 partes

(uso do axioma da escolha)



55

Existência de um conjunto sem medida em Rn

- Medida como Comprimento, Área ou Volume (desde a Grécia antiga)

- Medida associada a integral de Riemman

- Medida de Jordan (contempla somente conjuntos limitados) - 1890

- Medida de Lebesque generaliza a de Jordan e contempla conjuntos ilimitados incluindo os Riemman integráveis - 1902

- Vitali usa o axioma da escolha para mostrar a existência de um conjunto sem medida (1905)

- Solovay (1960’s) prova que substituindo-se o axioma da escolha pelo axioma da determinância (“Todo jogo infinito tem estratégia vencedora”) tem-se que todo subconjunto do Rn é mensurável.



56

N = < N, 0, <, suc, ×, +, exp >

suc(0) + suc(0) = suc(suc(0)) ∈ Th(N)

∀x∀y(suc(x) + y = suc(x + y)) ∈ Th(N)

∀x∀y∀z∀n ((n > suc(suc(0))) → (exp(x,n)+exp(y,n))≠exp(z,n)) ∈ Th(N)



57

Leitura computacional do teorema de Gödel • Todas as funções computáveis são representáveis em [N, <, 0, suc, +, *].

• Toda computação pode ser expressa em forma de Dedução a partir de um conjunto de axiomas (ΓA) que defina as operações aritméticas básicas.

⇒ Gödel define o conceito de função primitivamente recursiva e relaciona com aquelas que são representáveis em aritmética.



58

• Γ ⊆ Τh( [N, <, 0, suc, +, *]) • diag é computável.

• Como ΓΑ é r.c. então Ded é computável ⇒ Ded é representável em Cn(ΓΑ).

Qualquer axiomatização r.c. ΓΑ para [N, <, 0, suc, +, * ] é incompleta, i.e, Cn(Γ) é incompleta.

⇓

Existem funções não computáveis

⇒



59

Seja T = fórmulas válidas

T ser r.c

fórmula β repr. f em Cn(T∪ ΓΑ)

Cn(T ∪ Γ) é r.c.

função f computável que reconhece Cn(T∪ Γ)

Diag. sobre ~β

α ↔ ~β(#α) ∈ Cn(T∪ ΓΑ)

Contradição



60

Satisfação na Lógica Proposicional

“Dada uma fórmula da lógica proposicional, isto é, formada com os conectivos ∧, ∨, ¬ e →, deseja-se saber se existe uma valoração que a satisfaça”

Problema SAT

Solução: Gerar todas as valorações e testar uma a uma até encontrar. Se não encontrar ao final do teste de todas as valorações informar que a fórmula não é satisfatível.



61

k 2k Cálculo total

5 32 insignificante

10 1024 0.001 seg

16 65536 0.06 seg

20 1048 x 103 1 seg

32 4.29 x 109 1 hora 12 min

Supondo que o computador calcule 1 milhão de valorações por segundo.

Dada uma fórmula com k variáveis existem 2k valorações



62

Por outro lado ………

- Verificar se uma valoração satisfaz uma fórmula é muito rápido (muito menos que 1x10-7 seg) para fórmulas com até 100 variáveis em um pentium IV 1 GHz.

- Dada uma valoração, avaliar o valor da fórmula leva no máximo k operações, onde k é o tamanho da fórmula.



63

“Suponha que um caixeiro viajante tenha que visitar k cidades diferentes, iniciando e encerrando esta viagem na primeira cidade. Não importa a ordem com que as cidades são visitadas. Sabe-se que de cada cidade pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total (em kms)”.

O problema do Caixeiro Viajante

Obs: Tal rota é dita ser um ciclo hamiltoniano no grafo.



64

Bsb

967

1060

458 BH

789

400 Rio S.P.

1070



65

O problema do caixeiro viajante é um problema de otimização combinatória.

(a)  Podemos transforma-lo num problema de enumeração ? (b)  Podemos determinar todas as rotas do caixeiro ? (c)  Podemos saber qual delas é a menor ?

SOLUÇÃO: São (k-1)! Rotas É um trabalho fácil para a máquina ?



66

( k - 1 )! cresce muito rápido

k (k - 1)! Cálculo total

5 24 insignificante

10 362 880 0.3 seg

15 87 bilhões 24 hs e 6 min

20 1.2 x 1017 3 milhões de anos

25 6.2 x 1023 0.19 x 1017 anos

Supondo que o computador calcule 1 milhão de rotas por segundo.



67

Por outro lado .....................

- Saber se em existe um ciclo hamiltoniano é mais fácil que encontrar o ciclo mínimo ???

- Para qualquer fórmula proposicional α existe um grafo G que possui caminho hamiltoniano, se e somente se, α é SAT. o tamanho de G é polinomial no tamanho de α.

1 1 1

1

1

1 1

Ciclo min = vert – 1 ???



68

Tese de Cook-Karp

Tempo-Polinomial = Tratável



69

SAT e as Máquinas de Turing não-determinísticas

w

P(|w|)

Si,j t

= Símbolo j na posição i no tempo t

Ee t

= Máquina está no Estado e no tempo t

Ci t

= Cabeça está no na posição i no tempo t

Fórmulas para descrever: -A cabeça em qualquer tempo t está em uma e somente uma posição - Cada pósição da fita tem, em qualquer t, um e somente Um símbolo escrito. -  A máquina, em qualquer tempo t, está em um e somente um estado

Se SAT puder ser resolvido em tempo polinomial por uma M.T. deter então qualquer problema em NP também

pode ser resolvido em tempo polinomial

Ee ∧ Ci ∧ Si,j → (Eg ∧ Ci+1 ∧ Si,k) ∨ (Eh ∧ Ci-1 ∧ Si,n ) Fórmulas para descrever o a conf. Inicial da fita:

Fórmulas para descrever o comportamento da máquina:

t t t t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 t+1

S0,3 ∧ S1,7 ∧ S2,1 ∧ ...... ∧ S|w|,8 0 0 0 0



70

(1) Descobrindo como resolver o problema do caixeiro viajante em tempo polinomial, seremos capazes de resolver, também em tempo polinomial, outros problemas importantes (úteis).

(2)  Se alguém provar que é impossível resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial no número de cidades, também se terá que outros de problemas importantes não tem solução prática.

(3)  Costuma-se resumir essas propriedades do problema do caixeiro dizendo que ele pertence à categoria dos problemas NP - completos.



71

Def. Seja C uma classe de problemas (linguagens). Diz-se que um problema (ling.) P é C-completo (a) se e somente se todo problema (ling) de C é redutível a P. Isto é resolver P é tão difícil quanto resolver qualquer outro problema em C.

- Saber se um programa pára (usando outro programa) é Rec-Completo, onde Rec é o conjunto dos problemas (ling) recursivos.

Exemplos:

- Saber se dado uma solução para um problema esta é verificável em tempo polinomial é tão difícil quanto decidir se uma sentença da lógica proposicional é “verdadeira”. Sat é NP-completa.



72

QSAT é PSPACE-completo

¬p ∨ p pode ser expresso como ∃x(x) ∀x( q → x) expressa ¬q

- Codifica-se os estados globais de M em strings de p(w) bits EGM(x1,x2,...,xP(n)) descreve um estado global

  QSAT está em PSPACE

 Codifica-se a execução de um passo da computação de M como PassoM(x,y) , onde EGM(x) e EGM(y)

Para qualquer MTD M que decide um problema usando espaço p(|w|)

Codifica-se estado global final (aceitação) FinalM(x)

Predicado para computação global.

EvoluiM(x,y) = PassoM(x,y) ∨ ∃z(EvoluiM(x,z) ∧ EvoluiM(z,y))  Fórmula associada a aceitação de w por M AceitaM(w) = EGM(w) ∧ ∃z(EvoluiM(w,z) ∧ FinalM(z))

Descubra como diminiur o tamanho de para não ser Exponencial

O(n2)

O(n3)

O(n)

P

O(2n)

decidir se uma fórmula da lógica de predicados é Sat

decidir se uma fórmula da lógica prop é Sat

NP

decidir primalidade

decidir se uma 3CNF fórmula é Sat

decidir se uma 2CNF é Sat

decidir se uma cláusula de Horn prop é Sat

decidir se 2 cláusulas de Horn prop são equiv.

NPC ?

Obs: Supondo P ≠ NP



74

Classes de Complexidade e algumas relações

Def. PSpace = DSpace(ni) i∈N

Def. NP = NTime(ni ) i∈N

Def. NPSpace = NSpace(ni) i∈N

Def. Log = Space(log) e NLog = NSpace(log)

Log ⊆ NLog ⊆ P ⊆ NP ⊆ NSpace



75

- DSpace(f(n)) ⊆ NSpace(f(n)) e DTime(f(n)) ⊆ NTime(f(n))

- NTime(f(n)) ⊆ DSpace(f(n))

- NSpace(f(n)) ⊆ DTime(klog n + f(n))

- Alcançabilidade ∈ Space(log2) NSpace(f) ⊆ Space(f2)

(obs; Número de conf. + alcançabilidade)

- número de nós alcançavel ∈ Space(log) => NSpace(f) = coNSpace(f)



76

Alguns Fatos Importantes :

Fato 1: Existe um oráculo B tal que PB = NPB

Fato 2: Existe um oráculo C tal que PC ≠ NPC

Prova: NPSPACE=PSPACE e B um problema NPSPACE completo

Prova: Diagonalização

Discussão : Simulação e Diagonalização para provar P = NP ??



77

P : Encontra solução em tempo polinomial

NP : Verifica solução em tempo polinomial

CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomial

Sat ∈ NP Taut ∈ CoNP

Obs: Se CoNP ≠ NP então NP ≠ P

Verificação de Modelos Prova de Teoremas

A Ciência da Computação Hoje : NP = P ? (Cook 1971)



78

Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo

===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP ≠ NP e portanto NP ≠ P.

=> Taut Intuicionista é PSPACE-completo (CoNP ⊂ PSPACE) =?

=> A lógica intuicionista só com a implicação é PSPACE-completa

⇒  Razborov 1984 e 1989 indica que o uso de negação é essencial na obtenção do Gap exponencial em circuitos booleanos.

Uso de desnormalização como mais uma “heurística” de compactação de provas.



79

Teorema do Razborov (1985)

Indício de que NP ≠ P ??

Obs: A prova do teorema de Razborov usa a técnica de ultraprodutos introduzida em 1938 por Lós para provar a compacidade da lógica de primeira ordem

Fato: Se L ∈ P então existe uma família de circuitos booleanos (Cn)n∈N e um polinômio p(x) tal que Ln é aceita por Cn e | Cn | ≤ p(n).

Corolário: Se existe L tal que toda família de circuitos para Ln não é limitada por polinômio então NP ≠ P.

Teorema (Razborov): Circuitos monotônicos para CLIQUEn,k quando k = 4√n tem cota inferior :

82 ncO



80

Prova Automática de Teoremas não é viável a menos que CoNP = NP

Sendo mais modesto:

S é automatizável , se e somente se, existe M (MTD) , tal que:para toda α ∈ Taut M produz uma prova de α em tempo Poli(s)onde s é o tamanho da menor prova de α em S

Viabilidade de ATP



81

Existe C(x) tal que C(p) = 0 então A(q,p) é insat

1 então B(p,r) é insat.

Interpolação e Automatizabilidade

A(q,p) ∧ B(p,r) é insatisfatível

sss

- Eliminação do Corte ou Normalização ==> Interpolação

|- A(q,p) → B(p,r) se e somente se

Existe C(p) tal que |- A(q,p) → C(p) e |- C(p) → B(p,r)

Lema (Craig):

C(p) é a fórmula interpolante

Alternativamente:



82

Interpolante de Tamanho Polinomial ==> NP ∩ CoNP ⊆ P/Poly

Interpolante de tamanho polinomialmente proporcional ao tamanho da menor refutação

[Mundici86]

<==>

S não é automatizável [Bonet, Raz & Pitass2001]



83

Princípio das Casas dos Pombos PHP(n,m)

Fato (Haken 1984): Qualquer refutação de ¬PHP(n,m) em resolução tem pelo menos

2 Ω(n2/m)

cláusulas distintas

Cut-free Proofs = Resolution Proofs



84

Circuitos Booleanos => Dígrafos acíclicos com nós AND, OR, NOT, nós iniciais (sem arco entrante) e um e somente um nó terminal (sem saída).

Exemplo: Circuito para computar alcançabilidade em grafos. Entrada = <Grafo, <1,n>>

Gij = matriz de adjacências de um dígrafo

1

2

3

4

5 12345 101001 200010 310000 400000 510000

01001 00010 10000 00000 10000 direto

pass. por 1.

pass. por 1 ou direto.

∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧

∨∨∨∨∨ ∨∨∨∨∨

pass. por 2 (poss. por 1 tb) ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧

∨∨∨∨∨ ∨∨∨∨∨ pass. por 2,1 ou direto.

∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧ ∨∨∨∨∨ ∨∨∨∨∨

pass. por 5,4,3, 2,1 ou direto.



85

Obs: => Alcançabilidade tem circuitos de tamanho O(n3) e profundidade O(n)

Famílias de Circuitos Booleanos

Def. L é decidida por uma família (Ci)i∈N, sss, para todo string s, com |s| = n, Cn aceita s se e somente se s ∈ L.

Questão : O tamanho de um circuito tem a ver com a complexidade (em MT) do problema de decisão associado ???

Resp. : Prox. Slides

Conjectura: Todo problema de decisão com famílias de circuitos de tamanho polinomial é um problema que está em P ??



86

Resp: NÃO

=> Problemas indecidíveis tem famílias polinomiais de circuitos booleanos

Exemplo: Seja D ⊂ {1}* uma linguagem indecidível. e seja (Ai)i∈N a família de circuitos tal que

- se 1k∈ D então Ak é o circuito só com portas AND e k fontes - se 1k∉ D então Ak é o circuito com só portas AND e uma NOT ao final.



87

Famílias Uniformes de Circuitos Booleanos

Fato: NLSpace ⊆ P

Def. Uma família (Ci)i∈N de circuitos booleanos é uniforme, sss, existe uma MT (não determinística) que para entrada 1n gera o circuito Cn usando log(n) células da fita.

==> Alcançabilidade possui família uniforme de circuitos booleanos

(klog(n) = n)

- Dado n, existe uma MT para gerar Cn usando somente log(n) de espaço na fita de trabalho.

==> Gerar todos os circuitos de profundidade n com n2 nós fontes e verificar se a forma é a requerida.



88

Nova Conjectura: P = Linguagens aceitas por famílias uniformes de Circuitos booleanos de tamanho polinomial ??

Desta vez SIM.

Prova: Construção usada na prova que SAT é NP-completo e definição de família uniforme de Circuitos de tamanho polinomial.

(⊆) Trivial

(⊆) Seja L∈ P, então existe uma MT det. M que decide L em tempo nk. Seja w ∈ L, tal que |w|=n. Da tabela de computação de M constrói-se um circuito Cn.



89

Tabela de computação de M para a entrada w |w|=n

nk

s11 s12...... s1m s21 s22...... s2m s(n-1)1 s(n-1)2...... s(n-1)m sn1 s12...... snm

σ’1 σ’2 σ’p-1 σ’p ♦ ♦ ♦....

a11 a12...... a1m a21 a22...... a2m a(p-1)1 a(p-1)2...... a(p-1)m at1 a12...... apm ad1 ad2...... adm

qjσ’2

νx-1 νx νx νx+1

νx

tempo t tempo t+1

A C ♦ ♦ ♦....

b11 b12...... b1m b21 b22...... b2m

E I T A

q0σ1 σ2 σn-1 σn ♦ ♦ ♦....



90

Observações:

1- O tamanho do circuito Pad só depende de M. Se Γ = Est(M) ∪ Alfa(M) ∪ {♦,⇒} e c = |Γ| então |Pad| = 3.c

2- w ∈ L, se e somente se, o circuito tem valor “true” quando “alimentado” com cod(w).

3- O construção de um circuito C|w| é feita a partir de M e |w| usando espaço de ordem log(|w|) na fita. Algoritmo imprime na fita de saída as diversas cópias de Pad (tamanho independente da entrada), com as respectivas junções de e/s que usam espaço de ordem log(|w|) .



91

Proposição: Toda linguagem em P possui família uniforme de circuitos booleanos de tamanho polinomial.

Corolário: SE existe L∈ NP é tal que toda família uniforme de circuitos que decide L não tem tamanho limitada por nenhum polinômio ENTÃO P≠NP

Um caminho para provar P≠NP :

==> Provar que algum problema NP-completo possui cota inferior superpolinomial



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Circuitos x Circuitos monotônicos

Def. Uma função booleana f é monotônica, se e somente se, se a≤ b então f(x1,...,a,...,xn) ≤ f(x1,...,b,...,xn).

Obs I: Todo circuito monotônico computa uma função monotônica

Exemplos:

- Circuitos monotônicos são aqueles construídos sem o uso da porta NOT.

Obs II: O circuito utilizado na demonstração da conjectura é monotônico, ou seja, o problema (P-completo) de avaliar um circuito é redutível via circuitos monotônicos. (Expressividade !!!!!)

- Alcançabilidade, circuito hamiltoniano e clique são monotônicos,

- Mochila e cobertura euleriana não são monotônicos



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Circuitos ingênuos monotônicos para computar CLIQUEn,k

100101010 1 n 1 n 100101010 100101010 100101010

1 n 1 n 1 2 n-1 n

100101010 1 n 1 n 100101010 100101010

1 n vi vi 1 j vi k

i1 ik i1 ik i1 ik

∧ ∧ ...∧ ∧ ∧ ∧ ...∧ ∧ ∧ ∧ ...∧ ∧

∧ ∧ ...∧ ∧ ∧ ∧ ...∧ ∧

∧

S = { ,....., } vi 1 vi k



94

Circuitos “ingênuos” monotônicos para computar CLIQUEn,k

100101010 1 n 1 n 100101010 100101010 100101010

1 n 1 n 1 2 n-1 n

S1 Sj S ( ) n

k

OR Tamanho = k2 ( ) n

k

Obs: 2n < ( ) 2n n

Def. CC(S1, ..., Sm) é o circuito ingênuo construído a partir dos conjuntos S1, ..., Sm de vértices

Documents

Introdução à Teoria da Prova para Métodos Formaishermann/Proof-Theory-FM.pdfNão existe prova de 0=1 -Em uma prova simples todas as fórmulas são sub-fórmulas ou da conclusão