Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi Luca DAcci

Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Luca D’Acci


Equazioni ricorsive

1 ( )t tx f x 100 )( xxfx

211 )( xxfx

322 )( xxfx

nnn xxfx )( 11

.

.

.


Rappresentazione grafica

x

y

)(xfy 0x

0x

)( 0xf 1x

)( 0xf

1x)( 0xf

1x1 ( )t tx f x

Se è un’equazione ricorsiva:

)( 1xf

)( 1xf 2x

1x

2x


x

y

0x

)( 0xf

x

y x=y

0x

)( 0xf

1x

Generica funzione

Retta bistettrice x=y

Parto da un valore iniziale 0x

Calcolo la )( 0xfReitero la nuova 1x


x

y

0x

)( 0xf

x

y x=y

0x

)( 0xf

1x

Che graficamente equivale a

1x


x

y

0x

0( )f x1x

1( )f x2x

)( 2xf

3x

Percorso curva–bisettrice

curva f(x)bisettrice


y = rx(1-x)


la scriviamo come

y = rx-rx2y = rx(1-x)


y = rx-rx2y = rx-rx2parabola…

y = rx-rx2… verso il basso

che graficamente è una:

y = rx-rx2di h r

x

y


y = rx (1-x)

tasso di crescitaxt+1

x = popolazione al tempo t

termine correttivoxt+1=rxt(1-xt)


La popolazione non può essere negativa

xt+1=rxt (1-xt)

0 ≤ x ≤ 1

xt+1=rxt (1-xt)

0 ≤ x0 ≤ r ≤ 4

xt+1=rxt (1-xt)xt+1=rxt (1-xt)

se r=4 quando xt=0.5

si avrebbe: xt+1= 4 ∙ 0.5 (1-0.5) = 1

quando r > 4 → xt+1 >1

xt+1=rxt(1-xt)


xt

xt+1

10

1

r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7

xt+1=rxt(1-xt)

r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7

r7=4


0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ x ≤ 1

I valori ammessi sono quindi:


per xt=0 → xt+1=0

Indipendentemente dal valore di r si ha :

xt+1=rxt(1-xt)=r0(1-0)=0

per xt=1 → xt+1=0xt+1=rxt(1-xt)=r1(1-1)=0


Come si comporta la funzione al variare di r


Proviamo con…

r=2


F(x)=rx (1-x)

r=2 ; partiamo ad esempio da x0=1/3

x1= F(x0)=2∙1/3(1-1/3)=4/9

x2= F(x1)=2∙4/9(1-4/9)=40/81

x3= F(x2)=2∙40/81(1-40/81)=3280/6561.

.

.

xn= F(xn-1)=1/2

.

.

.

0,4444….

0,5

0,5

Punto fisso

xn+1= F(xn)= 2∙1/2(1-1/2)= 1/2

0,4938….

0,4999….

0,5


Se r=2

2/10 nxx

partendo da qualunque valore iniziale si ha lo stesso risultato


x

F(x)

x0

x0

)( 0xFx1

x1

)( 1xFx2

x2

x1

…

x2

r = 2

x = y

xn=1/2


x

F(x)

x0

r = 2

x = y

xn=1/2



Quindi per r=2

½ è un punto fisso

attraente2/10 nxx

Tranne, come detto, per x0=0 e per x0=1


10 rPer

00 nxx

Quindi per 10 r

0 è un punto fisso attraente


x

F(x)

x0

x = y

10 r

xn=0

x0

xn=0


r

xn

1 20 40

1

1/2

31

dominio di xdominio di r

→ xn = 010 r

31 r → xn =r

r 1


0 e ½ sono attrattori di

Periodo 1Perché se parto da x0 dopo

una iterazione torno ad x0

x0 x0F(x0)


0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

a=0.1

a=0.5

a=0.9

a=1

r

xn

0 1

0 < r < 1

x

iterazione

r=0.1

0

r=0.5

r=0.1r=0.5r=0.9r=1

Un attrattore di periodo 1 stabilizza (dopo n

iterazioni) il valore di x su un solo valore

(il punto fisso xn)


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

a=1.5

a=2

a=2.5

a=2.9

a=3

r=1,5r=2 r=2,5r=2,9r=3

r

xn

0 1 2 3

0,5

r

rxr n

131

iterazione

x


r

xn

1 20 40

1

1/2

31

xn = 0

10 r 31 r

r

rxn

1

3r 3 4


In r=3 nasce un nuovo attrattore di

Periodo 2

x0 x1F(x0) F(x1) x0


si ottengono i due valori che si alternano infinitamente ad ogni iterazione quando si raggiunge il nuovo attrattore di periodo 2

r

rrrx

2

321 2

2,1


r

xn

1

0

1

3 4

0.5

2

r

rrrx

2

321 2

1

+

r

rrrx

2

321 2

2

_

x1 x2F(x1) F(x2) x1


Un attrattore di periodo 2 stabilizza

(dopo n iterazioni) il valore di x su due valori

(due punti periodici xn)


1.3r

r

xn

0 1 3

x1

x2

x1

)( 1xFx2

)( 2xFx1

)( 1xFx2

)( 2xFx1

)( 1xFx2 …∞

x

F(x)

2 valori di xn

x1

x2


r

xn

0 1 3 4

1

1/2

0

2

3

133

1nn xr

r

rx

6

369133

2

321 2

nn xrr

rrrx

3

2

3

2r

rrrxn 2

321 2

0

2 soluzioni: 2 punti periodici

xn,1

xn,2


r

xn

0 1 3 4

1

1/2

02


r

xn

0 1 3 4

1

1/2

02

DA PUNTO FISSO ATTRAENTE

DIVENTA

PUNTO FISSO REPELLENTE


Quando r raggiunge il valore

44949.361 si ha un nuovo sdoppiamento

dell’attrattore

r

xn

0 1 3 4

1

1/2

02

61


r

xn

0 1 3 4

1

1/2

02

61

Abbiamo ora 4 valori che si alternano infinitamente su cui la x

si stabilizza dopo n iterazioni

Xn,1

Xn,2

Xn,3

Xn,4

Attrattore di periodo 4

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F(x)

x1

x2

x3

x4

5.3r r

xnx1x3

4 valori di xnx4x2

x1)( 1xF x2

)( 2xF x3)( 3xF x4

)( 4xF x1)( 1xF x2…


Successive biforcazioni insorgono secondo lo stesso meccanismo per valori di r via via

crescenti ma sempre più vicini tra loro

r

r1 r2 r3 r4 …

La successione delle rn ha come limite un

n.irrazionale r∞≈3.569934

r∞

rr


rrQualunque valore iniziale dà luogo a

traiettorie aperiodiche

nessun punto fisso

“attrattore” con periodo infinito


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

a=3

a=3.25

a=3.5

a=3.75

a=4

iterazione

x

r=3 r=3.25 r=3.5 r=3.75r=4


r

xn

r∞

un unico stato finalepiù stati

finali∞ stati finali

Per r>r∞ non si hanno più attrattori, un punto dovrebbe attendere un tempo infinito prima di tornare su se stesso


128 iterazioni

256 iterazioni

8192 iterazioni

1024 iterazioni



Il futuro del sistema è noto a priori indipendentemente dalle

condizioni iniziali: EQUILIBRIO STABILE

L’evoluzione del sistema è caoticamente imprevedibile: CAOS DETERMINISTICO

Il futuro del sistema dipende dal valore del parametro; piccole variazioni di r determinano notevoli riassestamenti

della configurazione finale: COMPLESSITA’

Variazioni del parametro non mutano la soluzione di equilibrio

asintotico data dalla: (r-1)/r


La dinamica esposta non è peculiare della sola mappa logistica, ma è generale per

un’ampia classe di mappe unidimensionali:

tutte le funzioni continue e derivabili nell’intervallo considerato, unimodali, con un massimo di tipo quadratico.

Dinamiche simili possono sussistere in modelli differenti

in apparenza ma non nella sostanza matematica.


L’ EVOLUZIONE DI UN SISTEMA DINAMICO

dipende da un insieme di parametri di controllo

Parametri di controllo

stabilità complessità caos

La dinamica di un comportamento complesso è caratterizzata da traiettorie sensibili alle

perturbazioni (variazioni del parametro di controllo)


Esempi di applicazione della mappa logistica


k

ck

cJ

ij ik

ij

eW

eWP

Modelli di interazione spaziale

Zona i

Zona j

ijc = costi di trasferimento

JW = attrattività della zona j

iW = attrattività della zona i

= sensibilità dell’utente a ijc

= probabilità di trasferimento dalla zona i alla zona j


k

ck

cJ

ij ik

ij

eW

eWP

Assumendo per semplicità che: 1kW

Indicando con uj l’utilità della zona j

La si può trasformare nella probabilità che j riceva popolazione indipendentemente

dalla zona i di origine

k

u

u

j k

j

e

eP

Chiamando αj la duj /dt e assumendola costante (assumiamo

cioè che la uj cresca linearmente con il tempo)

jk

kkjjjjj PPPPP )1( discretizzando

tjtjj uu ,1,

jk

tkktjtjtjjtjtj PPPPPP .,,,,1, )1(

jk

tkktjtjjtjjtj PPPPP ,,2,,1, )1(


Attrattore di Lorenz (1963)

bzxydt

dz

yxzrxdt

dy

x)σ(ydt

dxx)σ(y

dt

dx

yxzrxdt

dy

bzxydt

dz

Rimescolamento fluido

dT orrizzontale

dT verticale

Parametri relativi alla dinamica

atmosferica


dtbzyxzz

dtyzxrxyy

)dtxσ(yxx

nnnnn

nnnnnn

nnnn

)(

)(

1

1

1

bzxydt

dz

yxzrxdt

dy

x)σ(ydt

dx


Iterazione 500


Iterazione 5.000


Iterazione 50.000

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