Introduzione alla notazione vettoriale in fisica

Salvatore Raucci

14 maggio 2016

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Indice

1 Prima di tutto 31.1 Destinazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Prerequisiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Ringraziamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Introduzione 42.1 Trasformare come qualcosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Trasformare come uno scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Trasformare come un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Commenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Notazione degli indici 63.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 δ e ϵ 94.1 δ di Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.5 Trasformare come una δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.6 Il simbolo di permutazione: ϵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.7 Trasformare come un ϵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.8 Determinante di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.9 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.10 Rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.11 Derivate 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.12 Relazioni ϵ-δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.13 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.14 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Vettori 175.1 Cambio di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Covarianza e controvarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Pseudovettori e pseudoscalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Complementi 226.1 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Contrazione degli indici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4 Delta generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.5 Problemi del calcolo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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1 Prima di tutto

1.1 Destinazione

Queste dispense sono pensate per aiutare i normalisti (in particolare matematici e chimici) delprimo anno ad affrontare il corso di fisica in Normale; non contengono nulla di fisica, ma solonotazioni, esempi ed esercizi sulle notazioni.Ovviamente, anche a un non-normalista (soprattutto se e un fisico) puo essere utile imparare adusare la notazione degli indici.

1.2 Prerequisiti

Si da per scontato che chi legge sappia qualcosa di algebra lineare del primo anno in universita, adesempio la nozione di spazio vettoriale, di trasformazione lineare, di matrice, di cambiamento dibase, ecc.

1.3 Formalismo

Il linguaggio usato e il piu informale possibile, in quanto il fine di queste pagine e solo dare un’ideadi perche si usano i vettori: se si cerca formalismo o definizioni precise, chiedere a qualcuno unbuon libro di analisi vettoriale.

1.4 Errori

E chiaro che e impossibile scrivere qualcosa senza typo o errori; sta al lettore capire se e dove cisono errori (e magari in tal caso potete scrivermi cosı li correggo).

1.5 Ringraziamenti

Se ho scritto queste dispense e perche al corso interno di fisica SNS e stata usata la notazione degliindici, quindi non posso non ringraziare i professori del primo anno, M. Morello, G. Rolandi e E.Trincherini. Inoltre non posso non citare F. Zoratti che mi ha segnalato vari typo (ma anche tuttigli altri che mi hanno segnalato (e.g. G. Micossi) e che mi segnaleranno altri errori).

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2 Introduzione

Il primo argomento che si affronta in un corso di fisica e definire un modo per rappresentare leleggi che regolano il modello che si usa; al primo anno, in particolare, userete l’algebra lineareper descrivere le leggi della meccanica classica. Per essere precisi, le leggi della meccanica sonorappresentate mediante oggetti chiamati vettori, che ogni buon fisico dovrebbe conoscere.Quindi, la prima domanda che uno dovrebbe porsi e cos’e un vettore...

Definizione 2.1. Un vettore e un elemento di uno spazio vettoriale.

E va beh, non ho detto nulla; chi ha studiato un po’ di algebra lineare capisce che qualsiasi cosa,se ben definita, potrebbe essere un vettore.A noi interessano pero non oggetti qualsiasi, ma solo alcuni che possono aiutarci..., e questo cambialeggermente come possiamo definire un vettore. Infatti, tutti gli oggetti che ci servono nei corsiiniziali di fisica sono elementi di un R-spazio euclideo: quindi, d’ora in poi, quando scrivo vettoreintendo sempre un elemento di un R-spazio euclideo, e questo ci permette di scegliere un’altradefinizione:

Definizione 2.2. Un vettore e un oggetto che si trasforma come un vettore.

Vedremo qui brevemente questo cosa significa, e in Vettori ci saranno motivazioni (leggermente)piu approfondite.

2.1 Trasformare come qualcosa

E di fondamentale importanza capire cosa significa la definizione 2.2: in fisica cerchiamo teorie conleggi che siano valide abbastanza spesso.

Per fare cio abbiamo bisogno di un modo per rappresentarle (e per usarle), e in particolare questomodo deve essere indipendente da chi le scrive, da dove vengono scritte o da quando vengono scritte.In particolare, quando vogliamo che degli oggetti siano indipendenti dalla scelta del sistema diriferimento in cui le rappresento, allora dovranno cambiare in un certo modo da un sistema diriferimento a un altro.

Per capire meglio, consideriamo un numero finito di oggetti (possono essere qualsiasi cosa)α1, ..., αn ognuno appartenente agli insiemi A1, ..., An e prendiamo una mappa R : Ai → Ai taleche αi → R(αi).

Exa 2.1. Se gli αi sono le componenti di un vettore r in R3, e R e una rotazione che mandar → R(r).

2.2 Trasformare come uno scalare

Sia s : A1 × ...×An → R e sia R una trasformazione degli αi. s si trasforma come uno scalare perR se

s(R(α1), ..., R(αn)) = s(α1, ..., αn)

In pratica, sto dicendo che se applico R alle variabili di s non cambia nulla.

Exa 2.2. Prodotto scalare canonico e rotazione R in R3:

s(r1, r2) = ⟨r1, r2⟩ ⇒ s(R(r1, r2)) =tr1

tRRr2 =tr1r2 = s(r1, r2)

Perche R e una matrice di rotazione e appartiene a SO(3), e quindi la trasposta e la sua inversa.

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Fermiamoci un attimo a capire in pratica cosa significa essere uno scalare: uno scalare e unoggetto che, se ruoto o traslo il sistema di riferimento, resta uguale.Da notare poi che uno scalare e un elemento del campo in cui mi metto (ad esempio R), e quindiha un solo ”grado di liberta”, dove con gradi di liberta intendo gli elementi del campo che devofissare per definire il mio oggetto.

2.3 Trasformare come un vettore

Sia sempre f : A1 × ... × An → Rn e sia R una trasformazione degli αi. f si trasforma come unvettore per R se

f (R(α1), ..., R(αn)) = R (f(α1, ..., αn))

La differenza e evidente: quello che mi dice matematicamente e che R commuta con f , e fisicamenteche non importa in quale ”sistema” (sarebbero gli α) faccio la trasformazione, il risultato sarasempre lo stesso.

Exa 2.3. Cambio di sistema di riferimento (lo indico con s, che si puo rappresentare con la matriceS) e rotazione R di un vettore in R3:

s(r1) = Sr1 ⇒ s(R(r1)) = S(S−1RS)r1 = RSr1

2.4 Commenti

Abbiamo visto come classificare il comportamento di un oggetto in funzione della trasformazioneche facciamo...ma non sappiamo ancora bene quali sono in effetti trasformazioni ci permettono distabilire se un oggetto e uno scalare, un vettore o qualcos’altro.La vera risposta e: dipende...per quello che ci interessa (lo ricordo: elementi di uno spazio euclideo),le trasformazioni da considerare sono gli endomorfismi del nostro spazio di partenza, e in particolarei cambi di base (come vedremo, le trasformazioni piu interessanti sono rotazioni e simmetrie).

Qualche considerazione prima di passare all’argomento principale di queste dispense (scusatese lo ripeto tante volte, ma e bene tenerlo a mente): non dimenticate mai che stiamo considerandoun tipo particolare di vettore, ovvero un vettore di un R-spazio euclideo. Con altri elementi di altrispazi euclidei, la notazione pou essere riciclata in parte, ma non le definizioni.

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3 Notazione degli indici

Abbiamo detto che i vettori sono utili perche ci consentono di formulare relazioni vere indipenden-temente dal sistema di riferimento in cui le scrivo, ma in realta non abbiamo ancora visto comerappresentare un vettore. Dall’algebra lineare sappiamo (se non lo sapete, lo saprete in futuro)che, dato un R-spazio vettoriale con un prodotto scalare definito positivo [e il prodotto scalareche consideriamo lo e] (aka spazio euclideo, ovvero il luogo dove abbiamo definito i nostri vettori)esiste sempre una base ortonormale dello spazio. In altre parole, esistono sempre dei ”vettori base”e1, e2, ..., en tali che ogni elemento di Rn si scrive come combinazione lineare di quei vettori base, iquali sono anche ortogonali tra di loro.

Quindi, fissata una base dello spazio, posso rappresentare un vettore con una n-pla di numerireali, che sono le loro coordinate (i coefficienti della combinazione lineare) nella base scelta. Questospiega il perche della notazione con gli αi nell’Introduzione.

Consideriamo ora un vettore A in R3: posso scriverlo come

A = A1e1 +A2e2 +A3e3 =(A1 A2 A3

)e1e2e3

Sono tre componenti e tre vettori base, non sono ancora tanti e l’equazione e molto facile da leggere;ma quando ci sono tante componenti, oppure ci sono operazioni tra vettori, non risulta per nullaveloce scrivere tutte le componenti dei vettori.Per questo si usa la notazione degli indici, che permette di scrivere in un modo compatto ed eleganteespressioni che altrimenti sarebbero molto lunghe.

Vediamo ora cos’e questa notazione: Si nota che il vettore A che abbiamo scritto prima puo

essere scritto anche come A =

3∑i=0

Aiei, ma il simbolo di somma e ancora un problema, perche in

una legge fisica solitamente ci sono tanti vettori, e ogni vettore avrebbe il suo simbolo di somma;per questo si e deciso di adottare una notazione (notazione di Einstein) basata su semplici regole:

• Ogni indice non compare quasi mai piu di due volte in un prodotto, in casi in cui questo nonsia possibile, si usano notazioni che vedremo in seguito.

• Se un indice compare due volte in un prodotto si chiama indice muto, e si intende sommatosu tutti i valori che puo assumere.

• Se un indice compare una volta in un prodotto si chiama indice libero, e non si intendesommato.

Per esempio, il vettore A si scriveA = Aiei

E evidente che questa scrittura e di grande aiuto per le lunghe relazioni vettoriali (e non) che sipossono incontrare in fisica.Vediamo qualche esempio per capire come si usa:

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3.1 Esempi

Exa 3.1. Cambio di baseConsideriamo un vettore v = viei espresso nella base degli B degli ei; se cambiamo la base in B′,formata dai vettori e′i, e vogliamo esprimere v in quest’altra base, sappiamo che, detta M la matriceche ha come colonne i vettori base ei espressi nella base B′, si ha:

[v]B′ = M [v]B ⇔

v′1...v′n

=

M11 · · · M1n...

. . ....

Mn1 · · · Mnn

v1

...vn

Se riscrivo il cambio di base nella notazione appena introdotta, trovo invece

v′i = Mijvj

molto piu facile da scrivere, ma soprattutto molto piu intuitiva (se non siete d’accordo sull’essereintuitiva, allora probabilmente non vi e chiaro cos’e una matrice di cambio di base...ma non vipreoccupate perche ne riparleremo).

Qualche osservazione: nell’equazione precedente, al RHS l’indice j compare due volte, quindi siintende sommato sui possibili valori che puo assumere, ovvero 1, · · · , n, mentre l’indice i e presenteuna volta, quindi e libero; e infatti, al LHS c’e solo l’indice i. Bisogna capire bene che l’equazioneprecedente, infatti, e una relazione che lega ogni v′i a tutti i vj (e un cambio di base).

Altra osservazione: la notazione di Einstein, come abbiamo visto, non e solo utile per scriverevettori, ma anche per scrivere operazioni con matrici.

Exa 3.2. UguaglianzeDue vettori sono uguali se, fissata una base, hanno le stesse componenti. In formule

A = B ⇔ Ai = Bi

dove la scrittura con gli indici significa che per ogni i la componente i-esima di A e la componentei-esima di B sono uguali.

E bene capire la differenza tra indici muti e indici liberi nelle uguaglianze: consideriamo adesempio la scrittura

Aab = BabcCcdDd

ha senso perche gli indici liberi a destra sono gli stessi indici liberi a sinistra (ricordo che l’ugua-glianza nella relazione sopra e da intendersi come uguaglianza per ogni a, b).Invece, Aabc = BabcCbcdeDdf non ha senso perche ci sono diversi indici liberi nei due termini.

Osservazione 3.1. Se si vuole sommare un indice che e presente piu di due volte in un prodotto, siscrive esplicitamente il simbolo di somma, ma a volte, quando e chiaro che si sta sommando anchesu quell’indice, si possono trovare espressioni in cui non c’e il simbolo di somma (ma a mio avviso,quando si scrive per far capire ad altri bisognerebbe sempre scrivere la somma, mentre quando siscrive per se stessi si puo anche omettere[ad esempio io di solito non la scrivo, ma in queste dispensemi impegno a farlo]).

Ad esempio, Aab = BabcdCcdDd e formalmente scorretto perche bisognerebbe scrivere

Aab =∑d

BabcdCcdDd

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Osservazione 3.2. A volte capita di avere piu indici che si ripetono in un prodotto, ma che non siintendono sommati (ad esempio se sto scrivendo le posizioni di tante masse e ho una relazione chenon fa la somma sulle masse, ma le tiene separate): in tal caso, dipende molto dall’autore di cioche state leggendo, in quanto esistono varie convenzioni (ma ogni autore di solito la specifica, e senon lo fa la capite subito perche vedrete qualche simbolo strano): una notazione frequente consistenell’usare parentesi intorno agli indici non sommati: ad esempio

Aabc = BabdCde(c)Def(c)Ef(c)

indica che al RHS non sto sommando su c, che diventa quindi un indice libero (un’altra notazionefrequente consiste nello scrivere in maiuscolo gli indici non sommati).

Exa 3.3. Somme e differenzeChiaramente, se sommo oggetti con indici (come accade con le matrici), l’operazione ha senso solose gli oggetti hanno gli stessi indici liberi: la scrittura Aab +Bac +Ca non ha senso, mentre invece

Aab +BabcdCcdeDe + Eac(b)Fcde(b)Gde(b)

e sensata.

Exa 3.4. Prodotto scalare standard tra vettoriDati due vettori v, w il loro prodotto scalare standard (ovvero la somma dei prodotti delle compo-nenti corrispondenti) e:

v · w = viwi

Exa 3.5. Prodotto tra matriciQuesto dovrebbe essere ovvio per quanto detto fino ad ora: se ho A e B due matrici, il loro prodottoe

Cac = AabBbc

da notare che il prodotto si puo fare solo se il numero di colonne di A e il numero di righe di Bsono uguali, il che e ovvio se si scrive il prodotto con la notazione degli indici.

3.2 Esercizi

1. Siano A,B,C,D matrici; scrivere la relazione A = BCD con la notazione degli indici.

2. Siano A,B matrici e v vettore; dimostrare che

∑b

Aab

(∑c

Bbcvc

)=∑b

∑c

AabBbcvc =∑c

∑b

AabBbcvc

e che quindi ha senso scrivere (ABv)a = AabBbcvc

3. Data una matrice A, osservare che (tA)ab = Aba e scrivere la relazione Aab = BacCcdDbd nellaforma di prodotti tra matrici.

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4 δ e ϵ

Ora che la notazione dovrebbe essere chiara, possiamo vedere due operatori che risulteranno moltoutili, sia per far rientrare nella notazione con indici oggetti che altrimenti non sapremmo cometrattare, sia perche sono di grande utilita nella risoluzione di problemi (ma soprattutto perche seimparate ad usarli non dovrete piu ricordare nulla sui vettori: potrete ricavare tutto in qualsiasimomento molto rapidamente).

4.1 δ di Kronecker

δij =

1 se i = j

0 se i = j

Quindi, semplicemente, la δij e un oggetto che assume il valore 1 se i due indici sono uguali, e ilvalore 0 se sono diversi.

Ad esempio, in algebra lineare, la matrice identita ha gli elementi che rispettano la definizionedella δ, e allora si puo scrivere la matrice identita n× n: Iij = δij (spesso, δ sara in effetti propriola matrice identita).

Osserviamo per prima cosa l’effetto della δab su un oggetto x con un indice b:

δabxb = xa

Questa relazione (che segue banalmente da come e stata definita δ) ci dice varie cose:

• essendo la δ l’identita, in un’espressione che contiene indici si possono sostituire tutti gli indiciuguali con un altro indice (senza ovviamente usare lettere gia presenti): ad esempio

Aac = BabCbc ⇔ Aaf = BavCvf

• in una relazione in cui c’e una δab, posso sostituire a tutti gli indici b l’indice a (o anche ilcontrario): ad esempio

Aa(b) = δacδegδfgBcd(b)Cde(b)Df(b) ⇔ Aa(b) = Bad(b)Cde(b)De(b)

• abbiamo appena guadagnato un modo alternativo, che in alcuni casi e utile, per indicare ilprodotto scalare standard su Rn:

v · w = viwi = δijviwj

Anche se puo sembrare inutile (e spesso lo e), questo modo di scrivere un prodotto scalarediventa importante quando si hanno molti indici, e si vogliono evidenziare i vettori tra i qualisi sta effettuando il prodotto scalare.

Un altro uso fondamentale della δ riguarda l’operazione di derivazione.

4.2 Derivate

Vediamo la notazione per le derivate nella notazione degli indici:Sia f(x1, · · · , xn) una funzione scalare; la derivata di f rispetto a xi si scrive in almeno tre modidiversi:

∂f

∂xi= ∂if = f,i

L’ultima notazione e particolarmente interessante, in quanto con una virgola prima di un indice,indica che si sta derivando rispetto a quell’indice.Questa notazione si estende (modulo ovvie modifiche) anche ad oggetti con piu indici.

Vediamo ora come la δ ci puo essere utile.

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4.3 Gradiente

Sia f(x1, · · · , xn) una funzione scalare; il gradiente di f si indica con ∇f e si puo definire (sottoalcune ipotesi) come l’unico campo vettoriale il cui prodotto scalare con un vettore x e la derivatadi f lungo la direzione di x:

∇f · x =∂f

∂x

Nella nostra notazione, in un sistema di coordinate con base ortonormale ei, il gradiente di f siindica con (

∇f)i=

∂f

∂ei= f,i

Osservazione 4.1. Si puo anche definire il gradiente di un vettore (i.e. in oggetto con un indice),che pero non resta un vettore, ma diventa un oggetto a due indici (diventa una quantita tensoriale),e in questo caso la notazione e leggermente diversa, ma non e rilevante ai fini di queste dispense.

4.4 Divergenza

Sia A un campo vettoriale (i.e. funzione che associa un vettore ad ogni punto dello spazio); ladivergenza di A e uno scalare definito da:

∇ · A = limV→0

1

V

∮∂V

A · n da

dove n e il versore normale alla superficie daScrivendolo con gli indici (non e banale vedere che questo e esattamente la divergenza definitasopra, ma non e interessante per ora), finalmente usiamo la δ:

∇ · A =∂Ai

∂ejδij =

∂Ai

∂ei= ∂iAi = Ai,jδij = Ai,i

Un altro utile operatore e il laplaciano, che per una funzione scalare f e definito da

∇2f = ∇ · ∇f

Come esercizio, scrivere il laplaciano nella notazione con gli indici.

4.5 Trasformare come una δ

Nell’Introduzione abbiamo visto come alcuni oggetti si trasformano quando eseguo delle opera-zioni, in particolare per il cambio di sistema di base.La δ ha un comportamento un po’ particolare: le sue componenti sono uguali in tutti i sistemi dicoordinate.In altre parole, quello che sto dicendo non e altro che, se cambio la base di uno spazio vettoriale,allora il cambio di base manda l’identita nell’identita.

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4.6 Il simbolo di permutazione: ϵ

Passiamo ora ad un simbolo estremamente utile: ϵ, il simbolo di permutazione. La definizione esemplice, ma per capirla meglio vediamo esplicitamente cosa succede prendendo pochi indici:

ϵij =

+1 se (i, j) = (1, 2)

−1 se (i, j) = (2, 1)

0 se i = j

Avendo due indici, ϵij puo essere rappresentato con matrice 2× 2:

ϵij =

(0 1−1 0

)Prendiamo ora tre indici; ϵijk si definisce come:

ϵijk =

+1 se (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1) o (3, 1, 2)

−1 se (i, j, k) = (1, 3, 2), (2, 1, 3) o (3, 2, 1)

0 se i = j o i = k o j = k

E chiaro che i valori di ϵ possono essere inseriti in una matrice 3× 3× 3.Dovrebbe essere ora chiara la forma generale di questo oggetto; prendendo in generale un certonumero 1 di indici, ϵabcd··· si scrive:

ϵabcd··· =

+1 se (a, b, c, d, · · · ) e una permutazione pari di (1, 2, 3, 4, · · · )−1 se (a, b, c, d, · · · ) e una permutazione dispari di(1, 2, 3, 4, · · · )0 negli altri casi

Da notare che i casi in cui e 0 sono quelli in cui ci sono due indici che assumono lo stesso valore.Dalla definizione, e chiaro che ϵabcd··· e il segno della permutazione (sempre nel caso in cui non sia0: quel caso non e una permutazione) degli indici, e questo ci permette di applicarlo a tutto cioche riguarda le permutazioni.Qualche considerazione: ϵ e chiamato anche ”tensore (vedremo perche) totalmente antisimme-trico”, oppure ”simbolo antisimmetrico” in quanto e antisimmetrico per scambio di due indici(trasposizione): una trasposizione, infatti, cambia il segno della permutazione.

Osservazione 4.2. Dato che sia δ sia ϵ possono essere rappresentati con matrici, si potrebbe pensareche sono matrici...il che e falso! Le matrici sono, molto informalmente, tanti numeri messi in unatabella; i nostri due oggetti invece sono ogni volta un singolo valore numerico determinato da chevalore assumono gli indici: possono essere rappresentati con una matrice, in quanto possono esserevisti come elementi di una matrice.

Piu in generale, e bene che sia chiaro che la forza della notazione degli indici e proprio quelladi lavorare solo con le componenti di qualsiasi cosa, ovvero con numeri: per questo posso (coneccezioni ovvie che vedremo) scambiare l’ordine dei fattori in una somma con gli indici.

4.7 Trasformare come un ϵ

Una delle prime cose che uno si dovrebbe chiedere ora e come si trasforma questo nuovo oggettoper cambio di coordinate: non e molto semplice da dire ora...sara un po’ piu chiaro in seguito.

1Anche se non lo specifico mai, considero sempre un numero finito di indici

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In ogni caso, lo scrivo qui per completezza: ϵ si trasforma come uno pseudo-tensore, ovvero tra-sforma come un tensore ma in piu, data una trasformazione, viene moltiplicato per qualcos’altro(una certa potenza del determinante della matrice Jacobiana della trasformazione); in ogni caso,per una rotazione in R3 che e quello che ci interessa, ϵ si trasforma come un tensore, il che saraspiegato piu avanti.

Vediamo ora degli esempi su come usare il simbolo di permutazione:

4.8 Determinante di una matrice

Il determinante di una matrice A e definito come l’unica applicazione multilineare alternante dallospazio delle colonne al campo da cui sono presi gli elementi della matrice che faccia 1 sull’identita.Siano aij gli elementi di una matrice n × n: allora non e difficile (in realta e difficile se non siscrive la definizione di determinante come somma sulle permutazioni degli indici) mostrare cheϵi(1)···i(n)

ϵj(1)···j(n)ai(1)j(1) · · · ai(n)j(n)

e multilineare e alternante, ma se applicata all’identita, ricor-dando che devo contare tutte le permutazioni, trovo n! (si puo dimostrare per induzione), quindiper l’unicita del determinante ho che

det(A) =1

n!ϵi(1)···i(n)

ϵj(1)···j(n)ai(1)j(1) · · · ai(n)j(n)

Se la matrice e abbastanza piccola, si puo scrivere anche in modo pulito con una sola ϵ (non avendol’altra che permuta i secondi indici devo scriverli esplicitamente), ad esempio per una matrice B3× 3:

det(B) = ϵijkai1aj2ak3

4.9 Prodotto vettoriale

Ora, andiamo in R3 2 e consideriamo il prodotto vettoriale 3 ×.Ricordando ancora che siamo in uno spazio vettoriale con base ortonormale, e ricordando la regoladella mano destra, e facile verificare che ei × ej = ϵijkek e quindi, il prodotto a = b × c si puoscrivere in componenti

ai = ϵijkbjck

Questa relazione e fondamentale per ricavare tutto quello che faremo fino alla fine del capitolo.Vediamo ora un altro operatore vettoriale:

4.10 Rotore

Sia B un campo vettoriale (serve che sia di classe C1), il rotore di B e un altro campo vettoriale(e qui e fondamentale che siamo in R3) che in ogni punto ha la proiezione sul versore e(

∇ × B)· e = lim

S→0

(1

S

∮∂S

B · dl)

2Ci si potrebbe chiedere perche proprio in R3: il punto e che il prodotto vettoriale non e un’operazione moltobuona, perche richiede che il risultato sia un vettore dello stesso spazio dei vettori di partenza, e questo non e semprepossibile: gia in R3 ci sono problemi perche bisogna scegliere un’orientazione degli assi (i.e. regola della mano destrao sinistra) che porta poi agli pseudovettori, e questo problema e causato proprio dal fatto che stiamo obbligando ilrisultato del prodotto vettoriale ad essere un vettore.E a mio avviso molto interessante sapere (almeno come risultato, perche il motivo richiede conoscenze di algebra)che le uniche dimensioni su cui funziona un prodotto vettoriale (su cui le proprieta che lo definiscono non portano aun risultato identicamente nullo) sono 3 e 7, e in R7 accadono cose molto buffe, ma anche molto interessanti.

3io lo indico con ×, e consiglio anche a voi di farlo, perche magari in futuro vorrete conservare il simbolo ∧ perindicare una cosa simile, ma comunque diversa.

12

dove S e una superficie ortogonale a e, e l’integrazione e fatta nel verso coerente con il versore e.Il rotore in un certo senso misura la componente di rotazione di un campo vettoriale.Nella notazione che abbiamo appena imparato, si scrive:(

∇ × v)i= ϵijk∂jvk = ϵijkvk,j

4.11 Derivate 2

Ora che abbiamo piu strumenti, dobbiamo anche essere molto piu attenti: un esempio sono lederivate. Per derivare, ricordiamo che stiamo derivando le componenti, e quindi valgono le soliteregole di derivazione.Calcoliamo per prima cosa il gradiente di un prodotto scalare

(aibi),j = ∂j (aibi) = (∂jai)bi + ai(∂jbi) = ai,jbi + aibi,j

Deriviamo ora un prodotto vettoriale:

(ϵijkajbk),m = ϵijk∂m (ajbk) = ϵijk(∂maj)bk + ϵijkaj(∂mbk) = ϵijkaj,mbk + ϵijkajbk,m

In tutto cio, notare che ϵ passa fuori dalla derivata perche ogni volta rappresenta un numero, e nonuna funzione.La prossima domanda e come scrivere formule piene di δ e ϵ, per esempio i doppi prodotti vettoriali,o il rotore del rotore di un campo vettoriale.Ma prima osserviamo che, per come e definito ϵ, si possono ciclare tutti i suoi indici senza cambiarneil valore, ovvero ϵabcd = ϵbcda = ϵcdab = ϵdabc perche sono tutte trasposizioni pari.

4.12 Relazioni ϵ-δ

Questo e uno degli argomenti fondamentali da capire: stiamo cercando una relazione tra δ e ϵ, ede sensato sperare che esista, visto che sappiamo che il prodotto di due ϵ uguali da come risultaton!, indipendentemente dal sistema di riferimento.La relazione attesa riguarda in particolare il prodotto tra due ϵ, ed ha una forma molto facile daimparare (oltre che molto elegante):[indico con || il determinante della matrice]

ϵi1···inϵj1···jn =

∣∣∣∣∣∣∣δi1j1 · · · δi1jn...

. . ....

δinj1 · · · δinjn

∣∣∣∣∣∣∣ (1)

Dimostrazione. La dimostro per induzione su n.Se n = 2, devo dimostrare che ϵijϵkl = δikδjl− δilδjk, e lo faccio analizzando tutti i possibili casi

che ci possono essere.Per la definizione di ϵ, se i = j oppure k = l, il LHS e nullo, ma se WLOG i = j, ho che il RHSe δikδil − δilδik = 0 e quindi coincide. Quindi ho i = j e k = l; ma gli indici possono variare solotra 1 e 2, quindi: se i = k ho che necessariamente j = l (altrimenti tornerei al caso di prima dovesi annulla tutto), e quindi la relazione diventa 1 = ϵ12ϵ12 = δ11δ22 − δ12δ21 = 1 e quindi coincideanche in questo caso; resta solo il caso in cui i = l e k = j, in cui risulta che entrambi i membrisono uguali a −1, il che prova l’uguaglianza per n = 2.

Supponiamo ora vera la relazione per n − 1. Consideriamo due ϵ con n indici, e prendiamol’indice i1: ricordando la definizione di ϵ, per non avere un risultato nullo in deve essere uguale auno e un solo valore degli j. Sia jk l’indice a cui e uguale in (jk ∈ j1, · · · jn), allora con k − 1

13

trasposizioni, porto il jk all’inizio del suo ϵ e traslo di una posizione a destra tutti gli indici cheprima erano alla sua sinistra: avro quindi ϵi1···in(−1)k−1ϵjk···.A questo punto ho due ϵ con i primi elementi uguali, quindi, ignorando il primo elemento di ogni ϵ,e come se avessi due ϵ con n− 1 indici, per i quali la formula e vera per ipotesi induttiva. Quindi,sto dicendo che il LHS della relazione che voglio dimostrare e (chiamando ϵ′k l’epsilon privato di jk)

n∑k=1

(−1)k+1δi1jkϵi2i3···inϵ′k

Ma questa e esattamente lo sviluppo per la prima riga del determinante al RHS della relazione chevoglio mostrare, e quindi la relazione che voglio mostrare e vera per induzione.

Secondo me e istruttivo vederla anche in un altro modo, ma per farlo consideriamo il caso conn = 3, altrimenti le matrici diventano un po’ fastidiose da scrivere e da visualizzare.Consideriamo il determinante:

1 =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

∣∣∣∣∣∣Permutiamo la righe della matrice

ϵijk =

∣∣∣∣∣∣δi1 δi2 δi3δj1 δj2 δj3δk1 δk2 δk3

∣∣∣∣∣∣Ora permutiamo le colonne

ϵijkϵlmn =

∣∣∣∣∣∣δil δim δinδjl δjm δjnδkl δkm δkn

∣∣∣∣∣∣ (2)

Abbiamo ritrovato la nostra identita!

4.13 Esempi

Exa 4.1. Proviamo ora alcune identita che seguono dalla relazione appena trovata. Vogliamotrovare ϵijkϵilm; certamente possiamo sviluppare il determinante della matrice 3× 3 (e almeno unavolta nella vita bisogna farlo), ma possiamo anche provare a sviluppare di meno e a pensare di piu:se i due ϵ hanno il primo termine i uguale, allora i deve essere diverso da tutti gli altri indici pernon avere 0 come risultato; quindi il determinante diventa:∣∣∣∣∣∣

1 0 00 δjl δjm0 δkl δkm

∣∣∣∣∣∣ = δjlδkm − δjmδkl (3)

Exa 4.2. Troviamo ora ϵijkϵijl. Anche qui, una volta nella vita bisogna sviluppare il determinante3× 3 e fare i conti, ma se lo avete gia sviluppato nell’esempio 6 potete moltiplicare la (3) per δjm(cosı verificate se avete capito davvero la notazione di somma su indici ripetuti).Possiamo ragionare come nell’esempio precedente, e dovremo sviluppare ancora meno il determi-nante, ma come prezzo dovremo pensare ancora di piu: nell’esempio 6 avevamo un solo indice che siripeteva, mentre ora ce ne sono 2, quindi se scrivessimo semplicemente il determinante, perderemmol’informazione che ci sono due indici che si ripetono, e che la somma deve esser fatta su entrambi;

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per rimediare, bisogna aggiungere tutte le permutazioni possibili degli indici che si ripetono (primaera solo 1 quindi 1! = 1), ovvero un 2! = 2:

ϵijkϵijl = 2!

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 δkl

∣∣∣∣∣∣ = 2δkl (4)

Exa 4.3. Troviamo ora ϵijkϵijk. Come sempre, se avete fatto i conti prima, provate a sviluppare ildeterminante nella (4) moltiplicando per δkl.In realta sappiamo gia il risultato, ma vediamo se tutto e coerente: ora gli indici che si ripetonosono 3, quindi va moltiplicato il tutto per 3!:

ϵijkϵijk = 3!

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 6 (5)

Exa 4.4. Dimostriamo che A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A× B)

A · (B × C) = AiϵijkBjCk = ϵijkAiBjCk = BjϵjkiCkAi = B · (C × A)

Da cui segue banalmente anche l’altra uguaglianza. Notare che abbiamo potuto invertire Ai e ϵijkperche sono numeri.

Exa 4.5. Dimostriamo che A×(B × C

)= B(A · C)− C(A · B)

(A× (B × C)

)i=ϵijkAjϵklmBlCm

(3)︷︸︸︷= (δilδjm − δimδjl)AjBlCm = AjCjBi −AjBjCi =

B(A · C)− C(A · B

Exa 4.6. Dimostriamo che(A× B

)×(C × D

)= B

(A · (C × D)

)− A

(B · (C × D)

)((A× B)× (C × D)

)a=ϵabcϵbdeAdBeϵcfgCfDg = (δaeδcd − δadδce)ϵcgfAdBeCfDg =

BaϵcfgAcCfDg −AaϵcfgBcCfDg = B(A · (C × D)

)− A

(B · (C × D)

)Exa 4.7. Dimostriamo ∇ × (∇ × A) = ∇

(∇ · A

)−∇2A(

∇ × (∇ × A))i=ϵijk∂jϵklm∂lAm = ϵijkϵklm∂j∂lAm = (δilδjm − δimδjl)∂j∂lAm =

∂i∂jAj − ∂j∂jAi = ∇(∇ · A

)−∇2A

Osserviamo che abbiamo potuto portare ϵklm fuori dalla derivata, perche e un numero costante(che dipende da che valore hanno gli indici, ma e comunque una costante ogni volta che si derivaper una singola combinazione degli indici).

Exa 4.8. Dimostriamo che ∇ ×(A× B

)= A(∇ · B)− B(∇ · A) + (B · ∇)A− (A · ∇)B(

∇ ×(A× B

))i=ϵijk∂jϵklmAlBm = ϵijkϵklm∂j(AlBm) = (δilδjm − δimδjl)[(∂jAl)Bm +Al(∂jBm)] =

(∂jAi)Bj −Bi(djAj) +Ai(∂jBj)−Aj(∂jBi) =

Ai(∂jBj)−Bi(djAj) + (∂jAi)Bj −Aj(∂jBi) =

A(∇ · B)− B(∇ · A) + (B · ∇)A− (A · ∇)B

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Ora c’e qualcosa di diverso: ϵ continua a commutare con la derivata, ma non le componenti deivettori, che sono proprio cio che cambia. Per questo, per le componenti valgono le solite regole diderivazione.

Exa 4.9. Verifichiamo una relazione molto interessante che ricorderete per sempre:

A× (B × C) + B × (C × A) + C × (A× B) = 0

Usiamo l’esempio 10 per ricavare:(A× (B × C) + B × (C × A) + C × (A× B)

)i=

(δ(i)lδjm − δ(i)mδjl)AjBlCm + (δ(i)lδjm − δ(i)mδjl)BjClAm + (δ(i)lδjm − δ(i)mδjl)CjAlBm =

(δ(i)lδjm − δ(i)mδjl)AjBlCm + (δ(i)mδlj − δ(i)jδlm)BlCmAj + (δ(i)jδml − δ(i)lδmj)CmAjBl =

(δ(i)lδjm − δ(i)mδjl + δ(i)mδlj − δ(i)jδlm + δ(i)jδml − δ(i)lδmj)AjBlCm = 0

I prossimi esercizi sono essenzialmente delle identita simili agli esempi da provare con la notazionidegli indici.

4.14 Esercizi

Verificare le seguenti identita vettoriali:

1. A× B = −B × A

2. Dato A vettore e f funzione scalare, ∇ × (fA) = ∇f × A+ f(∇ × A)

3. ∇ · (A+ B) = ∇ · A+ ∇ · B

4. (A · ∇)f = A · ∇f

5. (A× B)× C = B(A · C)− A(B · C)

6. (A× B) · (C × D) = (A · C)(B · D)− (A · D)(B · C)

7. A× (∇ × A) = 12∇A2 − (A · ∇)A

8. ∇(A · B) = A× (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A

9. ∇ × (A× B) = A(∇ · B)− (A · ∇)B + (B · ∇)A− B(∇ · A)

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5 Vettori

Cerchiamo ora di capire un po’ meglio gli argomenti accennati nell’introduzione, visto che abbiamodei nuovi strumenti per affrontare le difficolta che ne risultano.Abbiamo detto che siamo in uno spazio vettoriale, in cui possiamo definire una base che generatutto lo spazio per combinazioni lineari. Si possono quindi rappresentare gli ”oggetti fisici” chevogliamo descrivere definendo le loro coordinate rispetto alla base scelta. Ma la base puo esserescelta in modo arbitrario, quindi per poter davvero utilizzare questo linguaggio matematico in fisica,dobbiamo capire cosa cambia se si fa variare la base.Vediamo prima un esempio: nel piano prendo un sistema di coordinate cartesiano, e un vettorerappresentato in quella base. Ruotare la base in senso orario modifica le componenti del vettore,ma non le modifica in un modo casuale: le componenti del vettore cambiano come se il vettoreavesse ruotato in senso antiorario. Se inoltre moltiplico i vettori base per uno scalare, allora nelnuovo sistema di riferimento il vettore avra le coordinate divise per quello stesso scalare. Ci sonovari indizi per ipotizzare che, data una trasformazione, un vettore cambia nel modo inverso di comecambia la base4.Cerchiamo allora di ricavare come cambiano le componenti per un cambio di base, il che ci porteraa dei risultati ovvi ma importanti.

5.1 Cambio di base

Data una base ei, d’ora in poi non necessariamente ortonormale, se voglio la trasformazione dellabase in una nuova base ei′ , da semplici osservazioni ottengo (sto semplicemente scrivendo gli e′ infunzione degli e)e′1

e′2...

=

proiezione di e′1 su e1 proiezione di e′1 su e2 · · ·proiezione di e′2 su e1 proiezione di e′2 su e2 · · ·

......

...

e1e2...

Notare che questo e solo un modo compatto di scrivere la relazione tra le basi, e che le due matricidi versori non sono vettori (anzi, sono matrici di vettori).

Vediamo ora cosa succede alle componenti: da risultati di algebra lineare sappiamo che lamatrice di trasformazione, in questo caso, e formata da colonne che sono i vettori della base eespressi nella base e′, ovvero, preso un vettore v, con ovvio significato degli indici ad indicare lecomponenti: v′1

v′2...

=

proiezione di e1 su e′1 proiezione di e2 su e′1 · · ·proiezione di e1 su e′2 proiezione di e2 su e′2 · · ·

......

...

v1v2...

Le due matrici di trasformazione sono in genere diverse: se considero un’omotetia con centrol’origine e fattore α, ad esempio, la proiezione di e′1 su e1 (espressa nel sistema degli e) e α, mentrela proiezione di e1 su e′1 (espressa nel sistema dei e′) e 1

α (osservare che per ”proiezione di a su b”intendo ”esprimere a in funzione di b”).Vogliamo confrontare le due matrici trovate: Sia A quella della trasformazione dei vettori base; seinvertiamo la relazione dei v′ in funzione dei v, e quindi troviamo i v in funzione dei v′, e prendiamo

4Come detto nell’Introduzione, questo deve essere vero per rendere il vettore indipendente dal sistema di riferimentoscelto per rappresentarlo

17

la matrice trasposta, della nuova matrice di trasformazione, troviamo A (e una semplice verifica, siscambiano i ’ e si traspone la matrice), quindi ricaviamo la relazione fondamentale

v′i =(t(A−1)

)ijvj

che ci conferma che il vettore v varia con la matrice inversa del cambio di base.Tuttavia, consideriamo un campo scalare, e prendiamone il gradiente; il gradiente dice in che

direzione sta aumentando il campo e con quale modulo, ma se moltiplico la base per un fattore α,come prima, allora tutto lo spazio sara visto dilatato da un fattore 1

α , come detto prima; ma quindiil gradiente della funzione, che dipende in modo inverso dalla quantita rispetto a cui sto derivando,sara moltiplicato per α, ovvero varia allo stesso modo della base.Questo fatto indica che c’e qualcosa che non abbiamo considerato in tutto il resto delle dispense:infatti il gradiente non e un oggetto che sta nel nostro spazio duale, ma appartiene invece al dualedel nostro spazio.

Da notare poi che, lavorando in uno spazio euclideo con una base ortonormale, la base delduale coincide con quella dello spazio (infatti, indicando con ei la base del duale e ei quella dellospazio, si ha dall’algebra lineare ei = δij ej), e questo ci permetteva di trattare il gradiente comeun vettore nei nostri calcoli con gli indici. Ma ora abbiamo un nuovo problema: come sistemarequesta differenza.Dato che per ora (e anche in tutte queste dispense) in fisica stiamo lavorando sempre in uno spazioeuclideo, non ci saranno differenze nel trattare oggetti del duale o oggetti dello spazio se prendiamouna base ortonormale, ma se la nostra base non e ortonormale (e in alcuni casi ci si ritrova adusarle) dobbiamo capire cosa cambiare nelle nostre definizioni; in particolare e chiaro che ci sonoproblemi nell’affermare che un vettore e un oggetto che si trasforma in un certo modo.

5.2 Covarianza e controvarianza

Il problema e, come accennato, che elementi dello spazio vettoriale e elementi dello spazio dualevariano in modo diverso per cambio di base; elementi dello spazio che variano in modo inversoa come varia la base sono chiamati vettori controvarianti, mentre elementi del duale che varianoallo stesso modo della base (o in modo inverso a come varia la base duale) sono chiamati vettoricovarianti (o covettori).

Come gia detto, dato che restiamo sempre in spazi euclidei, l’unico cambiamento che possiamofare e usare un sistema non ortogonale, quindi, per comodita nei disegni, mettiamoci in un piano conbase e1 e e2 non ortogonale. Il problema non e molto difficile da capire: se in un sistema ortogonaleavevamo una sola scelta per trovare le coordinate di un vettore, qui ne ho due: consideriamo ilvettore A; come coordinata 1, ad esempio, posso proiettare il vettore sulla direzione della base e1considerando o la parallela alla direzione di e2, oppure la perpendicolare a e1 (osservare che in unsistema ortogonale queste coincidono). Chiamiamo A1 la prima componente, e A1 la seconda.

Tuttavia, se si prova a sommare vettorialmente le componenti del vettore nei due casi (intesecome le componenti moltiplicate per i vettori base), si trova (fate un disegno) che solo nel primo casoil risultato e effettivamente il vettore di partenza, ovvero che A = A1e1+A2e2, ma A = A1e1+A2e2.Chiamiamo allora controvarianti le componenti Ai e covarianti le componenti Ai, e vediamo orache il vettore Aiei e controvariante, mentre Aie

i e covariante e entrambi sono uguali a A.Che il vettore Aiei sia controvariante e ovvio per come e stata costruita Ai (vedere Figura 1),mentre che Aie

i e covariante e meno ovvio. Per capire come ricavarlo, bisogna prima di tuttoscrivere la base del duale in funzione della base dello spazio. Scriviamola sempre in due dimensioni(in tal modo e piu chiaro e si riesce a capire dal disegno). Detto θ l’angolo tra gli assi, si ricava

facilmente che e1 =e1 − cos θe21− (cos θ)2

e e2 =e2 − cos θe11− (cos θ)2

(notare che con una base ortonormale si ha

che ei = ei come era da aspettarsi).

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A1e1

A2e2 A

e1

e2x

y

B

x’

y’

e1e2

B1e1

B2e2

Figura 1: componenti controvarianti e covarianti

In 3 dimensioni, si puo trovare che e1 =e2 × e3

e1 · (e2 × e3)e ciclici, o equivalentemente

ei =ϵijkejek

el(ϵlmnemen)5

Torniamo alle 2 dimensioni: scriviamo Aiei con le relazioni che abbiamo ricavato

A1e1 +A2e

2 = e1A1 −A2 cos θ

1− (cos θ)2+ e2

A2 −A1 cos θ

1− (cos θ)2= A1e1 +A2e2

dove l’ultima uguaglianza deriva da semplici osservazioni geometriche (ad esempio si puo tracciare laperpendicolare a y per la punta di A1e1 e, detta C l’intersezione con y, considerare la perpendicolarea x per C, e poi fare la stessa costruzione con l’altra componente). Abbiamo quindi visto cheAiei = Aie

i, quindi, dato che gli Ai variano in modo inverso rispetto alla base (per quanto vistoprima, ovvero per l’invarianza del vettore in un qualsiasi sistema di riferimento), e la base dualevaria in modo inverso (con la matrice inversa) rispetto alla base dello spazio vettoriale, si ricava chegli Ai variano in modo opposto rispetto alla base duale, ovvero allo stesso modo della base dellospazio.

Ovviamente, tutto quello che e stato fatto ora in due dimensioni puo essere esteso in qualunquedimensione, solo che bisogna trovare un modo piu compatto (con gli indici) di scrivere le relazionitra le componenti covarianti e controvarianti, e inoltre bisogna essere attenti a definire bene leproiezioni parallele e perpendicolari. Ma dato che queste dispense vogliono solo dare un’idea dicovarianza e controvarianza, non tratteremo questi aspetti.

Osservazione 5.1. Generalmente, nella notazione degli indici, le componenti controvarianti vengonoindicate con l’indice in alto, mentre quelle covarianti con l’indice in basso. Tuttavia, se si lavorain una base ortonormale, dato che base e base duale coincidono, solitamente si indicano entrambecon gli indici in basso. La distinzione diventa ancora piu fondamentale quando si trattano derivatee tensori, che pero qui non saranno analizzati a fondo.

5la posizione degli indici sara chiara tra poco, l’unica cosa da sapere ora e che indipendentemente da dove mettogli indici in ϵ la definizione e sempre la stessa

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5.3 Pseudovettori e pseudoscalari

Abbiamo visto molto approssimativamente cos’e un vettore e come trasforma (e che queste due cosesono legate tra loro in un R-spazio euclideo); ora vediamo alcuni problemi relativi ai vettori cheprima non abbiamo considerato, ma che sono fondamentali nel capire che dietro tutta la costruzionefatta c’e qualcosa di piu profondo ancora nascosto.

Vediamo un esempio classico: consideriamo una particella che si muove nel piano xy di motocircolare uniforme con velocita diretta verso z. Invertiamo tutti gli assi (ovvero mandiamo x in−x e ciclici), e notiamo che la particella gira allo stesso modo di prima, ma che poiche abbiamoinvertito gli assi, ora il vettore velocita angolare e diretto verso −z. Oppure, consideriamo duevettori a e b, e c = a× b; invertiamo di nuovo gli assi, e troviamo che (c′)i = (a′× b′)i = ϵijka

′jb′k =ϵijk(−aj)(−bk) = ϵijka

jbk = c. Anche qui il vettore c non e cambiato, al contrario degli altri due...Abbiamo ora due strade: abbandonare i vettori e trovare un altro modo di rappresentare la fisica,oppure provare a sistemare le definizioni in modo tale che funzioni ancora tutto: scegliamo laseconda, rimandando ai paragrafi finali un breve commento del perche stiamo incontrando questiproblemi.

Mettiamoci in Rn e consideriamo un endomorfismo che manda la base B1 in B2; sia M latrasformazione lineare che manda le basi B1 in B2. Se det(M) > 0 diciamo che B1 e B2 hannola stessa orientazione, mentre se detM < 0 diciamo che le due basi hanno orientazione diversa.Notare che in tal modo abbiamo diviso in sole due classi l’insieme delle basi di Rn.Definiamo allora uno pseudovettore (o vettore assiale) come un oggetto (elemento di Rn blah blah)che trasforma come un vettore se la trasformazione e tra due basi della stessa orientazione, mentretrasforma come l’opposto di se stesso quando la trasformazione e tra basi delle due classi diverse6

(i.e. compare un segno meno nella trasformazione).Torniamo in R3, e osserviamo (o meglio, osservate) che la velocita angolare e uno pseudovettore,

cosı come ad esempio il momento angolare.In R3 poi la distinzione delle classi delle basi e piu ovvia, in quanto le basi si distinguono in quelleche vengono definite ”destrorse” (z = x× y) e ”sinistrorse” (z = y × x).

Come esercizio, verificate con la notazione degli indici che:

1. vettore × vettore = pseudovettore

2. vettore × pseudovettore = vettore

3. pseudovettore × vettore = vettore

4. pseudovettore × pseudovettore = pseudovettore

e che quindi tutti gli oggetti fisici prodotto di due vettori sono pseudovettori. Notare poi che peruna rotazione, la scrittura v = ω × r e sensata, in quanto ω e uno pseudovettore mentre gli altridue sono vettori.

Seguendo lo stesso spirito di ”sistemare” le definizioni, troviamo che ci sono problemi anche pergli scalari: con un po’ di lavoro dovreste riuscire a vedere che il flusso magnetico cambia segno perinversione degli assi. Quindi ritroviamo lo stesso problema di prima, e definiamo pseudoscalare unoggetto che trasforma come uno scalare se la trasformazione e tra due basi della stessa orientazione,mentre trasforma come l’opposto di se stesso quando la trasformazione e tra basi delle due classidiverse7.

6in realta, come uno potrebbe intuire, gli pseudovettori sono elementi di un altro spazio vettoriale, che ha sempren dimensioni, e per questo possono essere rappresentati come vettori: servono lo stesso numero di componenti perdeterminarli perche

(31

)=

(32

); tuttavia non trasformano davvero come vettori.

7anche questo il realta sarebbe un altro oggetto, ma poiche(30

)=

(33

), e rappresentato da una sola componente, e

quindi e ”quasi uno scalare” e modificando un po’ le definizioni si riesce a rendere tutto coerente.

20

Come esercizio verificare che uno pseudoscalare moltiplicato per un vettore da come risultato unopseudovettore, e tutte le altre relazioni simmetriche, e inoltre che il prodotto triplo di tre vettorie uno pseudoscalare. Osservare in particolare che il prodotto scalare tra un vettore e uno pseu-dovettore e uno pseudoscalare (e legare questo fatto all’osservazione che il flusso magnetico e unopseudoscalare :) ).

21

6 Complementi

Approfondiamo qui alcuni aspetti del calcolo vettoriale per nulla banali: vedremo cos’e un tensoreseguendo il nostro ragionamento a meta tra fisica e matematica, vedremo un altro oggetto moltobello, e faremo qualche considerazione su cosa non va nel lavorare con vettori, e se ci sono stradealternative non meno utili. Prima di introdurre i tensori, e bene parlare di un argomento che, datele nostre nuove conoscenze su vettori e covettori, ha bisogno di una modifica.

6.1 Prodotto scalare

Potrete pensare: il prodotto scalare e stato largamente usato fino ad ora, cosa non va?La risposta e sempre la stessa: in un R-spazio euclideo con base ortonormale non ci sono problemi,ma se la base non e ortonormale c’e qualcosa da sistemare (lo ripeto ancora: in queste dispensesiamo sempre in un R-spazio euclideo).

Consideriamo due vettori, a, b; se definiamo il loro prodotto scalare come p = aibi e cambiamobase con un’applicazione rappresentata dalla matrice A (notare che per come la usero, A e lamatrice inversa di quella che trasforma la base), otteniamo che il nuovo prodotto scalare e:

p′ = a′ib′i = t(Aijaj)Aikb

k = ajbkAjiAik

Il RHS e p = aibi solo se AjiAik = δjk, ovvero se tA = A−1, i.e. A e una trasformazione ortogonale.Abbiamo appena visto qualcosa di fondamentale: la nostra definizione era sbagliata! Funzionavasolo perche lavoravamo con basi ortonormali!

Prima di arrenderci e lasciare i vettori, proviamo pero a fare il prodotto scalare come lo inten-devamo noi tra un vettore e un covettore: p = aibi, e quindi, cambiando base allo stesso modootteniamo

p′ = a′ib′i =t(Aija

i)A−1ik bk = aibkAijA

−1ik = δji a

ibk = p

Questo invece funziona! Motivati dal risultato ottenuto, potremmo quindi sperare di poter definireil prodotto scalare tra due vettori come a · b = xixja

ibj con x qualcosa che si trasforma in modocovariante, in modo tale che nel nostro prodotto scalare si possano raggruppare ogni componentecontrovariante con una covariante e, facendo i conti come prima, far funzionare l’operazione.Tuttavia, questo crea qualche problema quando ritorniamo in un sistema ortonormale, in quantonon si riesce a sistemare in modo pulito il covettore x in modo tale da avere in questo caso xixj = δij(provare a farlo), ovvero tornare al classico prodotto scalare in base ortonormale.Ma questa difficolta e facile da superare, perche invece di definire un oggetto a un indice possiamodefinire un oggetto a due indici, e lo chiamiamo gij , che si trasforma come un covettore su ogniindice, e definire il prodotto scalare tra due vettori come

a · b = gijaibj (6)

Il nostro oggetto misterioso gij , in una base ortonormale (con il prodotto scalare standard) dovraessere rappresentato dalla matrice identita. gij viene chiamato metrica, ed e un esempio di tensore.

6.2 Tensori

Seguendo lo stile delle definizioni di un vettore, vediamo due definizioni di tensore: una generale emolto elegante, l’altra e quella che ci interessa

Definizione 6.1. Dato un K-spazio vettoriale V e il suo duale V ∗, un tensore T e un’applicazionemultilineare T : V × . . .× V × V ∗ × . . .× V ∗ → K

22

ovvero un tensore e un’applicazione che prende m vettori e n covettori e restituisce uno scalare.

Definizione 6.2. Un tensore e un oggetto che trasforma come un tensore

Come sempre, e ovvio chiedersi come si trasforma un tensore: data una matrice A di trasfor-mazione

T ′α1...αmβ1...βn

= Aα1γ1 . . . Aαmγm(A−1)λ1β1 . . . (A

−1)λnβnTγ1...γmλ1...λn

ovvero e un oggetto che ha alcuni indici che trasformano in modo controvariante e altri in modocovariante.

Nota. Notare che passare ai tensori e una generalizzazione naturale se si usa la notazione degliindici, e che un vettore e un tensore con un solo indice, e uno scalare un tensore con 0 indici.

Prima di vedere un’operazione con i tensori, osserviamo che sia i tensori sia le matrici sonooggetti a piu indici, e quindi si potrebbe pensare che esiste una qualche relazione tra i due oggetti.La risposta e che una qualche relazione c’e, ma i due oggetti restano due oggetti distinti: la matricee una tabella di numeri, mentre un tensore e un oggetto che trasforma in un certo modo. E ovvioche le matrici non trasformano sempre come i tensori 8, ma quando cio avviene, e lecito chiedersi see sensato usare la stessa notazione degli indici (indici su e giu) con le matrici. La risposta e positiva,in quanto, se consideriamo una matrice A, possiamo vedere ogni riga di A come un operatore cheagisce su un vettore (i.e. riga∈ V ∗) e ogni colonna come un vettore.

Vediamo esplicitamente un esempio:

Exa 6.1. Sia A un’applicazione lineare, e v un vettore. Sia w = Av, e vediamo che e sensatoscrivere wi = Ai

jvj . Se cambio base, avro w′ = A′v′ e la matrice A cambia come A′ = MAM−1;

in componenti sappiamo gia scriverlo come A′il = MijAjkM

−1kl , e questo ci dice che A ha le righe

che ”trasformano” in modo covariante e le colonne in modo controvariante, quindi e lecito scrivereA′i

l = M ijA

jk(M

−1)kl , e inoltre e anche molto piu facile da scrivere perche gli indici che si sommanosono sempre uno in alto e uno in basso.

Da questo punto in poi scrivero in tal modo le matrici quando possibile; come esercizio (so giache non lo farete [non lo farei neanche io], ma lo scrivo comunque) provare a riscrivere tutte questedispense usando questa notazione per le matrici.

Osservazione 6.1. Il motivo profondo per cui posso davvero fare questo ”abuso di notazione degliindici” e che un tensore e un’applicazione lineare che prende elementi anche dal duale, quindi inalcuni casi posso vedere un tensore come un operatore che prende un vettore (o un altro opera-tore, o un tensore,. . .) e mi restituisce qualcos’altro (un altro tensore, un vettore, uno scalare, unoperatore,. . .).

Vediamo due esempi per chiarire questa osservazione

Exa 6.2. Data la definizione di tensore, e chiaro che ϵ e un tensore. Infatti, ϵ e un operatore cheprende gli indici delle n componenti su cui lavora e restituisce 1 se sono una permutazione pari di(1, . . . , n), −1 se dispari e 0 se ce ne sono due uguali. Vedendolo esplicitamente, il prodotto vettorialetra due vettori si puo quindi scrivere ci = ϵijka

jbk in quanto ϵ agisce come un operatore su j e k,mentre costruisce un vettore con l’indice i. Modificando la posizione degli indici e possibile operareanche su oggetti diversi, sapendo che la definizione di ϵ e sempre la stessa indipendentemente dadove sono posizionati gli indici. Verificare per esercizio che ϵ e uno pseudotensore (stessa definizionedegli pseudovettori).

8e.g. il prodotto scalare standard per cambio di base, le cui matrici associate in due basi distinte sono congruentima non simili; notare che e essenzialmente il problema che abbiamo affrontato prima, a cui abbiamo trovato una”soluzione” modificando la definizione di prodotto scalare

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Exa 6.3. Dovrebbe essere quindi ovvio che anche δ e un tensore che prende due indici e restituisce1 se sono uguali e 0 se sono diversi. Anche la δ puo avere indifferentemente indici su o giu (dipendeda dov’e l’altro indice corrispondente nella somma o nel risultato) e la definizione resta la stessa.Notare pero che δ, a differenza di ϵ, ha sempre solo due indici.

6.3 Contrazione degli indici

Ci sono varie operazioni che si possono effettuare con i tensori, sia semplici come i prodotti, siamolto piu complesse, come la derivazione. Qui vedremo solo un tipo di operazione che si lega alprodotto scalare analizzato prima: la contrazione degli indici.Consideriamo un tensore T i

j , quindi con una componente covariante e una controvariante. L’ope-

razione piu intuitiva che si puo pensare e uguagliare gli indici, ovvero scrivere T ii . Il risultato e uno

scalare; verifichiamo che effettivamente e un’operazione sensata, ovvero e invariante per cambio dibase A: T ′i

i = Aij(A

−1)ki Tjk = T i

i in quanto una componente e covariante e una controvariante.

Osservazione 6.2. Si nota subito che invece la contrazione di due indici dello stesso tipo non einvariante, che e esattamente quello che avevamo visto nel considerare il prodotto scalare, ed eil motivo per cui il nostro nuovo prodotto scalare per due vettori dello stesso tipo usa il tensoremetrica.

Exa 6.4. Data una matrice Aij , la contrazione degli indici restituisce uno scalare Ai

i che e la tracciadella matrice.

Exa 6.5. Data una matrice A e un vettore v, la contrazione degli indici in questo caso equivaleesattamente ad applicare la matrice al vettore: Ai

jvj e quindi genera un altro vettore.

Osservazione 6.3. La contrazione degli indici ogni volta diminuisce di 2 il numero di indici liberipresenti.

6.4 Delta generalizzata

In questo paragrafo consideriamo uno spazio vettoriale di dimensione n.Conosciamo gia δ, che sappiamo essere un oggetto a due indici; introduciamo ora un altro oggettocon 2n indici, chiamato delta generalizzata, che somiglia molto ad ϵ, ma e piu generale. Vediamola definizione:

Definizione 6.3.

δi1...inj1...jn=

+1 se (i1, . . . , in) e una permutazione pari di (j1, . . . , jn)

−1 se (i1, . . . , in) e una permutazione dispari di (j1, . . . , jn)

0 altrimenti

Osserviamo che anche la delta generalizzata e completamente antisimmetrica per scambio didue indici.Si puo dimostrare allo stesso modo in cui abbiamo dimostrato le relazioni ϵ − δ (provate a dimo-strarlo) che questa definizione e equivalente a

δi1...inj1...jn=

∣∣∣∣∣∣∣δi1j1 · · · δi1jn...

. . ....

δinj1 · · · δinjn

∣∣∣∣∣∣∣ (7)

Osservazione 6.4. Notare che δi1...inj1...jn= δi1j1 · . . . · δ

injn

ma che δi1...inj1...jne un oggetto invece molto simile

ad ϵ.

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La (7) ci da una relazione tra δi1...inj1...jne δij ; ora vediamo la relazione tra δi1...inj1...jn

e ϵ che e moltopiu ovvia.Osserviamo banalmente che ϵi1...in = ϵi1...in = δi1...in1...n (dovrebbe essere ovvio, e la definizione di ϵ).Ora proviamo a moltiplicare due ϵ: ϵj1...jnϵ

i1...in = δ1...nj1...jnδi1...in1...n , ma in questi ultimi due termini

sto confrontando entrambe le due n-ple con (1, . . . , n), il che equivale a confrontarle tra di loro. Inaltri termini:

δi1...inj1...jn= ϵi1...inϵj1...jn (8)

Dalla (7) o dalla (8) e ovvio che se alcuni degli indici i di δi1...inj1...jnsono uguali ad alcuni indici j, devo

considerare solo gli indici che restano, ricordando pero di sommare su tutte le permutazioni degliindici uguali (si vede bene dalla (8)). Scrivendolo esplicitamente:

δi1...ipkp+1...knj1...jpkp+1...kn

= (n− p)! δi1...ipj1...jp

da cui si ricava banalmente cheδi1...ini1...in

= n!

Per concludere, vediamo l’effetto di applicare δi1...inj1...jnsu un tensore:

Ai1...ipkp+1...kn = δi1...ipj1...jp

Bj1...jpkp+1...kn =∑

σ∈S(p)

sgn(σ)Bσ(i1)...σ(ip)kp+1...kn

dove la δi1...ipj1...jp

indica che gli n− p indici corrispondenti successivi i e j sono uguali.

Abbiamo visto che quindi la δi1...inj1...jne una generalizzazione dei due operatori δ e ϵ visti in

precedenza, ed e un modo molto compatto ed elegante di indicare molte somme e permutazioni.

6.5 Problemi del calcolo vettoriale

9 Considerando gli ultimi argomenti che abbiamo esaminato, e evidente che stiamo cercando disistemare le definizioni inizialmente scelte perche non sono adatte a rappresentare cio che vogliamorappresentare. E lecito chiedersi se esista un modo migliore per scrivere le leggi fisiche che preservitutti i risultati del calcolo vettorialeAd esempio, abbiamo introdotto pseudovettori, pseudotensori e pseudoscalari perche alcuni oggettiche vorremmo definire come vettori, tensori e scalari non si comportano davvero cosı. Ovviamente,e sempre possibile lasciare tutto com’e ora e sistemare i problemi che ne derivano aggiungendo ec-cezioni alle definizioni...ma sia la fisica sia la matematica mirano ad avere il minor numero possibiledi ”eccezioni” e ad avere teorie che funzionano in tutti i casi.

Una possibile soluzione, che io ritengo essere la piu naturale e intuitiva, consiste nell’esten-dere semplicemente il concetto di vettore (ricordate: in uno spazio euclideo) come una ”freccia”(qualunque cosa questo voglia dire). Cerchiamo di pensare allora in questo modo: uno scalare, o0−vettore, e un numero a cui non sono associate direzioni, un vettore, o 1−vettore, e un segmentoorientato (la freccia). E lecito chiedersi: e se si continua cosi? Bene, proviamo ad andare avanti:definiamo 2−vettore un’area orientata, nel senso che scelgo un verso in cui percorrerla 10, 3−vettoreun volume orientato, e cosı fino alla dimensione dello spazio in cui ci troviamo.Uno 0−vettore in uno spazio a n dimensioni ha bisogno di

(n0

)= 1 solo numero per essere definito;

un vettore ha bisogno di(n1

)= n numeri, uno per ogni dimensione dello spazio; un 2−vettore ha

bisogno di(n2

)numeri...

9questo paragrafo non vi serve davvero, ma e il mio modo di vedere i vettori e magari puo essere utile a qualcuno.10e esattamente lo stesso che facciamo con la freccia-vettore.

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Notiamo che per n = 3 accadono cose interessanti:(30

)=(33

)= 1 e

(31

)=(32

)= 3, quindi sia uno

scalare sia un volume orientato si indicano con un solo numero, e sia un vettore che un’area orientatasi indicano con due numeri. E quindi immediata la domanda: come facciamo a distinguere tra idiversi oggetti a livello puramente rappresentativo? In effetti, e questa una possibile interpretazionedell’esistenza di pseudo-oggetti: si puo vedere un pseudovettore non come un vettore che trasformain modo strano, ma come un’area orientata (che per inversione degli assi, infatti, cambia verso),e allo stesso modo possiamo vedere uno pseudoscalare come un volume orientato. In pratica,vediamo che sotto questo nuovo punto di vista stavamo confondendo oggetti diversi che pero sirappresentavano con lo stesso numero di parametri.Nasce quindi un’altra domanda: come e possibile che stavamo confondendo oggetti di dimensionediversa? Cosa fa cambiare la dimensione degli oggetti?Beh, sono solo due le operazioni che abbiamo considerato: il prodotto vettoriale e la contrazione;della contrazione non c’e molto da dire, quindi consideriamo il prodotto vettoriale.

Il prodotto vettoriale e un’operazione che prende due vettori e restituisce un vettore. In 3dimensioni e facile da visualizzare e da comprendere; ma avete mai provato a costruire un prodottovettoriale in 2 dimensioni (cioe che prende due vettori in due dimensioni e come risultato da unvettore in due dimensioni)? Oppure in 4?Non ci vuole molto per convincersi che in questi casi e impossibile da farsi, soprattutto perchel’ ”informazione” di due vettori dovrebbe essere in parte persa per avere un solo vettore comerisultato11. Risulta quindi irragionevole che un’operazione tra due oggetti dello stesso tipo debbadare come risultato un oggetto ancora dello stesso tipo. Sarebbe piu naturale che un’operazionetra due oggetti di h e k dimensioni dia come risultato un oggetto di h+k dimensioni. Quindi siamocostretti ad abbandonare il prodotto vettoriale ×, e a definire una nuova operazione ∧ che aumentala dimensione degli oggetti su cui opera e che somiglia ad un prodotto vettoriale quando si lavorain 3 dimensioni.

Vediamola solo a livello geometrico (attenzione alla nuova notazione per gli 1−/2−/3−vettori):dati due vettori a e b, prendiamo V = a ∧ b come un oggetto bidimensionale che rappresen-ta l’area orientata del parallelogramma formato dai due vettori, e indichiamo con |V| l’area delparallelogramma con cui e rappresentato.

a

ba ∧ b

Figura 2: 2-vettore

Notiamo che questo si adatta perfettamente al prodotto vettoriale solito: il modulo di V e l’areadel parallelogramma, come |a × b|; mentre il prodotto vettoriale dava come risultato un vettoreperpendicolare al piano dei due vettori di partenza, ora ∧ ci da proprio una parte di quel piano,ed e ovvio che determinare il piano in cui si trova V equivale ad avere la direzione perpendicolareal piano12. Osserviamo che si conservano i casi in cui il risultato del prodotto vettoriale e nullo,

11il motivo vero e molto profondo e non semplice, ma questo modo di vederlo dovrebbe essere convincente.12per questo in 3 dimensioni il prodotto vettoriale funziona (quasi) bene

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ovvero quando uno dei due vettori e nullo, o quando sono paralleli (in tal caso non formano nessunparallelogramma).

Osservazione 6.5. a∧b = −b∧a in quanto le aree sono orientate, allo stesso modo in cui il prodottovettoriale era anticommutativo

In maniera simile, dati a, b e c, definiamo W = (a ∧ b) ∧ c = V ∧ c 13 il volume orientato delparallelepipedo definito dai tre vettori, e indichiamo con |W| il volume del parallelepipedo.

Osservazione 6.6. Per determinare un volume in 3 dimensioni abbiamo bisogno di un solo parame-tro, che pero cambia segno per inversione degli assi perche il volume e orientato, il che significa cheabbiamo trovato il motivo dell’esistenza degli pseudoscalari

Nota. Essendo in 3 dimensioni (ma vale genericamente anche per n dimensioni) il prodotto ∧ diquattro (n+ 1) vettori (o di due bivettori,...) dovra essere nullo:

a ∧ b ∧ c ∧ d = 0 ∀a,b, c,d

Ritorniamo ai 2−vettori. Come per i vettori, data una base ei dello spazio, possiamo definireanche una base per i bivettori, definita dai 2−vettori base eij = ei∧ej. E chiaro che ogni 2−vettoresi potra scrivere come combinazione di questa nuova base e12, e23, e31.

Osservazione 6.7. Ad ogni bivettore e possibile associare una matrice antisimmetrica. Dato ilbivettore B = B12e12 +B23e23 +B31e31 gli associamo la matrice 0 B12 −B31

−B12 0 B23

B31 −B23 0

Allo stesso modo, ad ogni matrice antisimmetrica e possibile associare un bivettore.

Facciamo ora un’operazione interessante: associamo ad ogni bivettore un vettore (il che e ineffetti il motivo per cui abbiamo deciso di usare oggetti a piu dimensioni).Dato un 2−vettore Ajk associamogli il vettore con componenti ai =

12ϵijkAjk.

Puo sembrare strano, ma vedremo ora che risolve definitivamente i nostri problemi di definizioni.

Exa 6.6. In fisica e spesso usato lo pseudovettore velocita angolare.Sia Ωij la velocita angolare nel piano ij (la derivata temporale dell’angolo che forma il nostrooggetto nel piano ij)14. L’oggetto Ω che ha come componenti Ωij e un bivettore. Sia ora ω ilvettore definito da ωi =

12ϵijkΩjk.

ω × r =1

2ϵijkϵjlmΩlmrk =

1

2Ωlmrk(δklδim − δkmδli) =

1

2Ωkirk −

1

2Ωikrk = Ωjirj = −Ωijrj

Vediamo quindi che la relazione v = ω × r e nel nostro nuovo punto di vista il prodotto (concontrazione di un indice) di r con il bivettore Ω.

Osservazione 6.8. Se troviamo i vettori associati alla base dei bivettori, troviamo 12ϵijkejk, ovvero

un vettore perpendicolare a ej e a ek; in altre parole sto dicendo che e questo il motivo per cui infisica si considera sempre l’area come un vettore perpendicolare alla superficie.

Per concludere, vediamo come e possibile definire un prodotto ∧.13in realta le parentesi non servono, ma le metto per maggior chiarezza.14avrete notato che la velocita angolare spesso si rappresenta con una matrice...

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Proviamo prima in 3 dimensioni: dati a = aiei, b = biei e c = ciei, scriviamo esplicitamente a∧ be sviluppiamo i prodotti15

a∧b = (a1e1+a2e2+a3e3)∧ (b1e1+ b2e2+ b3e3) =∑cyc

(a1b2−a2b1)(e1∧e2) =∑cyc

(a1b2−a2b1)e12

Sapendo che a e12 corrisponde e3 e ciclici (secondo la nostra definizione di vettore associato a unbivettore), al bivettore a ∧ b corrisponde il vettore

v =∑cyc

(a1b2 − a2b1)e3 = ϵijkajbkei = a× b

Quindi in un certo senso, l’operazione × e cio che vediamo quando facciamo un prodotto ∧ forzandoil risultato ad essere ancora un vettore.

Nota. provate, magari usando la formula che sto per scrivere, a dimostrare che al prodotto a∧b∧ccorrisponde il prodotto triplo (e ripensate alla definizione di pseudoscalare).

In generale, ci si potrebbe chiedere come esprimere in modo formale (non l’abbiamo ancora fatto)il prodotto ∧ tra due elementi a p e k dimensioni (con p+k < n dimensioni dello spazio vettoriale).Ci sono vari modi per vederlo (potete trovarli su internet), ne scrivo uno con la notazione degliindici di cui non sono sicuro, ma forse potrebbe funzionare.Dati un p−vettore a e un k−vettore b, il loro prodotto e 16

(a ∧ b)i1...ipip+1...ip+k=

1

k!p!δj1...jpjp+1...jp+k

i1...ipip+1...ip+kaj1...jpbjp+1...jp+k

(9)

15qui in realta sto supponendo che l’operazione soddisfi alcune proprieta, ad esempio la proprieta distributiva...16forse

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