IR3OT Cas03 Harmonijska Analiza 2013

OOSNOVISNOVIOOSNOVI SNOVI TELEKOMUNIKACIJATELEKOMUNIKACIJATELEKOMUNIKACIJATELEKOMUNIKACIJA

((IR3OTIR3OT))(( ))

Elektrotehniki fakultetElektrotehniki fakultetK t d t l k ik ijK t d t l k ik ijKatedra za telekomunikacijeKatedra za telekomunikacije

BeBeogradograd, 20, 20113/20143/2014..

Elektrotehniki fakultet, Katedra za Elektrotehniki fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beogradtelekomunikacije, Beograd

-- III III --

HARMONIJSKA ANALIZA HARMONIJSKA ANALIZA DETERMINISTIKIH DETERMINISTIKIH

SIGNALASIGNALA

Elektrotehniki fakultet, Katedra za Elektrotehniki fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beogradtelekomunikacije, Beograd IR3OT IR3OT 22

Klasifikacija signalaKlasifikacija signala Izvor u optem sluaju ne generie niz bita ve od signala

(govor, slika, video) treba tek dobiti binarni niz.(g , , ) Proces diskretizacije zavisi od osobina signala, pre svega

njegovog spektra. Signali mogu biti

Deterministiki Periodini (npr. sinusoida) Aperiodini (npr. usamljeni impuls). Sluajni

Ne mogu se opisati vremenskom funkcijom. Takva je veina telekomunikacionih signala Takva je veina telekomunikacionih signala.


Periodini deterministiki signal N k t i lj f k ij (t) k j i Neka se posmatra proizvoljna funkcija x(t), za koju vai

x(t)=x(t+T) S k f k ij k j d lj j l i Svaka funkcija koja zadovoljava ovaj uslov naziva se

periodinom funkcijom sa periodom T.(t) A*sin(2*ft A*cos(2*ft /2x(t)=A*sin(2*ftA*cos(2*ft-/2

pri emu je f dato u hercima a vreme se meri u sekundama.1.5

Sinusoida sa: amplitudom A 1 0.5

1

1.5

t

)

T=1ms

amplitudom A=1, nultom poetnom fazom periodom T=1ms=10-3s

0

0.5

V

r

a

d

n

o

s

t

f

u

n

k

c

i

j

e

f

(

t

)

p uestanosti f=1/T=1000Hz=1kHz

1

0.5Vr

a

T=1ms


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x 103

1.5

Vreme t[ms]

IR3OT IR3OT 44

Signali se mogu sabirati po amplitudiSignali se mogu sabirati po amplitudi U nekom vremenskom trenutku odrediti amplitude sabiraka i njihovim zbirom se

dobija amplituda rezultujueg signala.x(t)=sin(2*tcos(2*tx(t)=sin(2 tcos(2 t

pa je za t=1ms : sin(2*tcos(2*tx(t)=1.3968.2

2

0

2

x

1

(

t

)

Sabiranjem dva prostoperiodina signala iste uestanosti dobija se signal

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-2

0

2

2

(

t

)

koji je prostoperiodian! Ovo vai bez obzira kolike

su amplitude i poetne faze

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-2

x

2

2

t

)

p psignala koji se sabiraju!

Ako signali imaju razliite uestanosti, rezultantni

0 0 001 0 002 0 003 0 00 0 00 0 006 0 00 0 008 0 009 0 01-2

0

x

(

t

)

=

x

1

(

t

)

+

x

2

(

t

,signal je periodian ali ne i prostoperiodian!


0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01vreme [s]

IR3OT IR3OT 55

Periodini deterministiki signal primer 1

Signal koji se dobija zbirom tri sinusoidex(t)=0.2*sin(2*tsin(2*t)+0.7*sin(2*t) ( ) ( ( ) ( )

Svakoj sinusoidi odgovara jedna komponenta u amplitudskom spektru (pokazuje koliko je koja sinusoida snana)!

11

1.5

X

1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-1

0

x

1

1

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

X

1.5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-1

0

x

2

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

X

2

-1

0

1

x

3

0

0.5

1

1.5X

3


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05vreme[s]

0 50 100 150 200 250 3000

f[Hz]

IR3OT IR3OT 66


Spektar sloenog signala x(t) ima tri komponente, a irina spektra posmatranog signala iznosi 150Hz.

Si l k ji d bij bi k b j i id k j i di Signal koji se dobija zbirom konanog broja sinusoida uvek je periodian sa periodom koja je odreena najveim zajednikim deliocem uestanosti svih komponenata u spektru. Ona se naziva osnovnom uestanou periodinog signala i obeleava se sa f0 (f0=50Hz, Tslo=1/(50Hz)=20ms).

1 5

2 1.5

B 200 0 1 0H

0.5

1

1.5

3

1

X

3

Bs=200-50=150Hz

-0.5

0

x

=

x

1

+

x

2

+

x

3

0.5X

=

X

1

+

X

2

+

X

3

2

-1.5

-1

0


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-2

vreme[s]0 50 100 150 200 250 300

0

f[Hz]

IR3OT IR3OT 77


Ako se zadri isti broj komponenti u spektru signala a promeni samo njihova snaga, moe se znatno promeniti vremenski oblik signala.

I j i l j d i i iki ( i i ik I ovaj signal je deterministiki (moe se opisati matematikom funkcijom) i periodian. Pritom perioda signala (T=20ms) i irina spektra signala (150Hz) ostaju nepromenjeni.

0 8

11.5

0 2

0.4

0.6

0.8

1

X

3

Bs=200-50=150Hz

-0.4

-0.2

0

0.2

x

=

x

1

+

x

2

+

x

3

0.5X

=

X

1

+

X

2

+

X

3

-1

-0.8

-0.6

0.4

0


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05vreme[s]

0 50 100 150 200 250 3000

f[Hz]

IR3OT IR3OT 88


Signal se moe dobiti i zbirom kosinusoida. Neka su komponentne kosinusoide fazno pomerene:

x(t)=0.2*cos(2*100tcos(2*200t+/2)+0.7*cos(2*75t+5/4)1

-1

0

x

1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0

1

x

2

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-1

x

1

-1

0

x

3


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05vreme[s]

IR3OT IR3OT 99


Tada se menja i vremenski oblik signala na njega ne utiu samo uestanosti i amplitude komponenti ve i njihovi fazni pomeraji!

Zapaziti da je ovde NZD(100,200,75)=25Hz i da ona ne odgovara najnioj uestanosti u spektru! Perioda signala iznosi 40ms.

1.5

2

0

0.5

1

x

2

+

x

3

1

-0.5

0

x

=

x

1

+

x

-2

-1.5

-1


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.052

vreme[s]

IR3OT IR3OT 1010


Periodian signal je kompletno opisan samo ako je poznat njegov amplitudski i fazni spektar!

Vrednosti u faznom spektru se nalaze u opsegu (0,2) ili (-,). Fazni spektar odreuje poetne faze pojedinih komponentnih

k i idkosinusoida. 1.5

6

1

k

t

a

r

4

5

0.5Am

p

l

i

t

u

d

s

k

i

s

p

e

2

3

f

a

z

n

i

s

p

e

k

t

a

r

1

2


0 50 100 150 200 250 3000

f[Hz]0 50 100 150 200 250 300

0

f[Hz]

IR3OT IR3OT 1111

Obrnut problem!Obrnut problem! Poznajemo vremenski oblik periodinog signala. Da li je taj signal mogue

rastaviti na zbir sinusoida? Kako to uraditi u optem sluaju? Periodu moemo relativno lako da oitamo ako uoimo koji deo signala se Periodu moemo relativno lako da oitamo ako uoimo koji deo signala se

periodino ponavlja za primer dat na slici jasno je da je T=40ms pa je osnovna uestanost u spektru f0=25Hz. Spektar ima komponente koje mogu da postoje samo na umnocima osnovne uestanosti f0!samo na umnocima osnovne uestanosti f0!

1.5

2

0.5

1

x

3

-0.5

0

x

=

x

1

+

x

2

+

x

-2

-1.5

-1


0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-2

vreme[s]

IR3OT IR3OT 1212

Harmonijska analiza periodinih signalaHarmonijska analiza periodinih signala Ako periodian signal x(t) zadovoljava Dirichlet-ov uslov:

2/ )(T dttx 2/

)(T

dttx

tada se on moe predstaviti u obliku Fourier-ovog reda, u obliku:tada se on moe predstaviti u obliku Fourier ovog reda, u obliku:

0 0 0 0 02cos sin , 22 n nax t a n t b n t f

T

1 12 n n T

pri emu T predstavlja periodu, f0=1/T osnovnu uestanost a 0=2f0 osnovnu krunu uestanost periodinog signala.

Teinski koeficijenti (Fourier-ovi koeficijenti) odreeni su izrazima / 2 / 20 0

/ 2 / 2

2 2cos , sin T T

n nT T

a x t n t dt b x t n t dtT T


/ /

IR3OT IR3OT 1313

Harmonijska analiza periodinih signalaHarmonijska analiza periodinih signala Alternativni zapis razvoja periodine funkcije u Fourier-ov red -

funkcija x(t) predstavlja se u obliku sume prostoperiodinih i ij j i j i i f ij ( )oscilacija koje se nazivaju harmonici funkcije x(t).

n-ti harmonik pritom ima uestanost nf0, amplitudu Cn i fazni stav n 0 0 0 0

1

2cos , 2n nn

x t C C n t fT

2 20 0 / 2, , nn n n n

n

bC a C a b arctga

Koeficijenti Cn odreuju amplitude kosinusoida koje treba sabrati da bi se dobio signal koji elimo da rastavimo na harmonikebi se dobio signal koji elimo da rastavimo na harmonike.

Koeficijenti n odreuju poetne faze kosinusoida koje treba sabrati da bi se dobio signal koji elimo da rastavimo na harmonike.


Koeficijenti C0 odreuje nivo prisustva jednosmerne komponente.IR3OT IR3OT 1414

Harmonijska analiza periodinih signalaHarmonijska analiza periodinih signala Korienjem jednakosti:

)(1sini)(1cos 0000 tjntjntjntjn eetneetn Signal x(t) se moe predstaviti u obliku

),(2

sin i )(2

cos 0000 00 eejtneetn

0jn tnn

x t X e

Pri emu su sa Xn oznaeni kompleksni Furijeovi koeficijenti

(ovi koeficijenti predstavljaju spektar signala!)( j p j j p g )

0/ 20/ 2

1( )T

jn tn

T

X X jn x t e dtT

Dve prethodno napisane jednaine predstavljaju Furijeov

transformacioni par definiu prelaz iz vremenskog u spektralni

/ 2T


p p g p(frekvencijski) domen i obrnuto.

IR3OT IR3OT 1515

Spektar periodinog signala

Spektar se deli na amplitudski i fazni spektar:

Spektar je diskretan (nije kontinualan tj definisan za svako f !)

njn nX X e

Spektar je diskretan (nije kontinualan, tj. definisan za svako f !),

kompleksna je funkcija uestanosti i obuhvata amplitudski i fazni spektar.

Amplitudski spektar realne funkcije x(t) je parna funkcija uestanosti. Amplitudski spektar je realna funkcija!

i k j l f k ij i Fazni spektar je neparna realna funkcija uestanosti. To znai da vae izrazi:

ili )()( ili )()(

00

00

nn

nn

jnjnXXjnXjnX


)()( 00 jj

IR3OT IR3OT 1616

Harmonijska analiza periodinih signalaHarmonijska analiza periodinih signala

Kompleksni red Dvostrani spektar koji je zgodan za matematiki opis ali negativne Dvostrani spektar koji je zgodan za matematiki opis ali negativne

uestanosti u prirodi ne postoje!

Trigonometrijski red Jednostrani spektar kod koga su komponente spektra dvostruko vee p g p p

nego u sluaju dvostrane predstave

2| | 2| |, 0n n nC X X n Jedini izuzetak od ovog pravila

0 0| |C X

| | | |n n n

0 0| |C X


Sinusoida Sinusoida odreivanje spektraodreivanje spektra Signal K fi ij ti i

0 0( ) sin(2 ), 1/x t A f t f T Koeficijenti iznose

/ 2 0 02 sin cos 0, T

nAa t n t dt n

T

/ 2/ 2

0 0/

, 12 sin sin = 0, 1

TT

n

T

A nAb t n t dtnT

Pa je zato / 20, 1T nT

0 1 2 30, , ... 0C C A C C

emu odgovara sasvim logian rezultat

0 1 2 3

0 1 2 3

, ,0, / 2, ... 0

emu odgovara sasvim logian rezultat

0 0 01

cos cos 2 .2 2n nax t C n t A f t


12 2n

IR3OT IR3OT 1818

Sinusoida - spektar

Dvostrani spektar Jednostrani spektar0 0

| | / 2, 0| |

n nX C nX C

2 2n n nC a b

0.4

0.6

0.8

X

n

1

C

n

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

X

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

( )

C

Redni broj komponente, n

1

2

Redni broj komponente (harmonika), n

1

2

2

-1

0

n

-2

-1

0

n


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

Redni broj komponente, n

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Redni broj komponente (harmonika), n

IR3OT IR3OT 1919

Osobine spektra periodinih signala

Osnovna osobina spektra peridinih realnih funkcija (signala) je da se njihov razvoj u Fourier-ov red sastoji od prostoperiodinih j j j p pkomponenti (harmonika) ije su uestanosti umnoci osnovne uestanosti signala.

Odnosno, imamo sluaj da su spektralne komponente definisane na diskretnom skupu uestanosti f=nf0, gde n pripada skupuna diskretnom skupu uestanosti f nf0, gde n pripada skupu celih brojeva. Iz navedenog razloga, spektre periodinih realnih funkcija (signala) nazivamo diskretnim ili linijskim spektrima.

Kvadrat dvostranog amplitudskog spektra predstavlja spektar snage posmatranog signala (on je takoe diskretan i relan):snage posmatranog signala (on je takoe diskretan i relan):

2| |n nS XElektrotehniki fakultet, Katedra za Elektrotehniki fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beogradtelekomunikacije, Beograd IR3OT IR3OT 2020

Osobine spektra periodinih signala

Dva bitna parametra realne funkcije (signala) x(t) su njena srednja vrednost i njena efektivna (srednja kvadratna) vrednost, definisane i iizrazima:

,dt)(12/

2 Teff txTx,dt)(12/ Tsr txTx

pri emu se usrednjavanje vri na intervalu (0,T) ili (-T/2,T/2). Kvadrat efektivne vrednosti jednak je snazi signala!

2/

Tff T2/

TT

Kvadrat efektivne vrednosti jednak je snazi signala! Parsevalova teorema: srednja snaga signala moe se dobiti iz

dvostranog amplitudskog spektra tog signala, sabiranjem kvadrata g p g p g g , jsvake od njegovih komponenti.

2)(222

02222 nn baaXXXxPsr .242)( 110 nn nn neff XXXxPsr.)(

220

2 neff CCxPsrElektrotehniki fakultet, Katedra za Elektrotehniki fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beogradtelekomunikacije, Beograd

.2

)(1

0 n

eff Cxs

IR3OT IR3OT 2121

Parsevalova teorema - dokaz

Na osnovu definicije srednje kvadratne vrednosti i Furijeovog reda signala x(t):

dt)(1dt)(12/2/

22 0

T

tjnn

T

eff eXtxTtx

Tx

Furijeovog reda signala x(t):

.dt)(12/

2/

2

2/2/

0

nnn

n

T

T

tjnneff

T nT

XXetxT

Xx

TT

.2dt)(11

220

22/

2/

22

2/

n

nn

n

T

Teff

nn T

XXXtxT

x2/T

Fiziki smisao ove teoreme moe se shvatiti kada se kao signal x(t) posmatra napon ili struju sloenog signala na g ( ) p p j g gjedininoj otpornosti, tada kvadrat efektivne vrednosti signala predstavlja srednju snagu signala i moe se i i i


raunati u vremenskom ili spektralnom domenu.

IR3OT IR3OT 2222

Povorka periodinih impulsa odreivanje spektra

Povorka periodinih impulsai d T lit d E i t j j periode T, amplitude E i trajanja ;

matematiki zapis (za svaki ceo broj k):

, / 2 / 2( )

0 inaePU kT t kT

u t 0, inae )(tUP

U

2

t

2

2T

2T


Periodina povorka pravougaonih impulsa spektar

Anvelopa amplitudskog spektra je oblika sin(x)/x anvelopa je kontinualna funkcija a spektar diskretna!

Matematiki zapis spektra (amplitudski i fazni): Matematiki zapis spektra (amplitudski i fazni):

00 0

sin( / 2) , 2njnnUU e f 0 0

0

,/ 2n

U e fT n

0.8

1

0.15

0.2

0.4

0.6

A

m

p

l

i

t

u

d

a

s

i

g

n

a

l

a

0.05

0.1

D

v

o

s

t

r

a

n

i

s

p

e

k

t

a

r

0

0.20


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10-3Vreme, t[sec]-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 104Ucestanost, f[Hz]

IR3OT IR3OT 2424

Osobine spektra periodine povorke pravoug. impulsa Osobine:

Spektar je beskonano irok! Spektar je diskretan sa komponentama koje se mogu nalaziti (ne Spektar je diskretan, sa komponentama koje se mogu nalaziti (ne

moraju tj. mogu da imaju i vrednost nula!) na umnocima f0. Nule anvelope spektra javljaju se kada je ispunjeno

i ( / 2) 0 / 2 / ( 0)k f k k k

Nula anvelope moe se/ne mora poklopiti sa uestanou harmonika! Slika sa desne strane prethodnog slajda predstavlja deo koji mnoi ejn

, sin( / 2) 0 / 2 / ( , 0)k f k k Z k

p g j p j jdok amplitudski spektar strogo predstavlja apsolutnu vrednost prikazanih vrednosti (amplitude su uvek pozitivne!).

Granini sluajevi Kada perioda raste, spektar se zgunjava, za T-> spektar postaje

kontinualan (a signal aperiodian).kontinualan (a signal aperiodian). Kada se trajanje impulsa skrauje nule anvelope se pomeraju ka viim

vrednostima, za ->0 anvelopa spektra postaje ravna. Kada istovremeno vai >0 U > a Upovorka impulsa se


Kada istovremeno vai ->0, U-> a Upovorka impulsa se pretvara u periodinu povorku Delta impulsa [anvelopa=1/T].

IR3OT IR3OT 2525

Uticaj periode signala na oblik amplitudskog spektra

Maksimum anvelope na U/T, nule anvelope na k/1 01.0


Znaaj komponenti spektra

S(t) =1*sin(2t/T) S(t) =1*sin(2t/T)+(1/3)*sin(6t/T)

S(t)=1*sin(2t/T)+(1/3)*sin(6t/T) +(1/5)*sin(10t/T)

Zbir prvih 79 spektralnih komponenti


Pregled osobina periodinih signala

Najvanije osobine: Spektar je diskretanp j

Spektar pokazuje amplitude i faze kosinusoida ijim se zbirom moe odrediti polazni periodini signal;R j j k i k i i f 1/T i i k l j Rastojanje komponenti u spektru iznosi f0=1/T i ni u kom sluaju ne moe biti manje od toga;

Broj komponenti u spektru moe biti beskonaan (ali ne mora!).j p p ( ) Deo snage koji nosi odgovarajua spektralna komponenta

srazmeran je kvadratu njene amplitude;D t i lit d ki kt j i t i ( f k ij d ) Dvostrani amplitudski spektar je simetrian (parna funkcija od n);

Dvostrani fazni spektar je neparna funkcija od n; Neke komponente u spektru su manje bitne ako ne uu u zbir, Neke komponente u spektru su manje bitne ako ne uu u zbir,

signal rezultat nee mnogo odstupati od originalnog periodinog signala.


Korelacija periodinih signala

Korelacija pokazuje slinost (stepen poklapanja) dva signala x1(t) i x2(t), koji imaju istu periodu T, i to kada je jedan od njih zakanjen za proizvoljni pomeraj .

Definicija korelacije / 212 1 2

/ 2

1 T

T

R x t x t dtT

Furijeov transformacioni par:

/ 2T

0*12 1 2 jnn nn

R X X e

0/ 2* 121 2

/ 2

1n

Tjn

n nT

X X R e dT


/ 2TT

IR3OT IR3OT 2929

Korelacija periodinih signala

Dokaz polazi se od definicije spektra periodinih signala:11 2/2/ TT

i definicije korelacione funkcije

.)(1)( i )(1)(2/

2022/

10100

T

tjn

T

tjn dtetxT

jnXdtetxT

jnX de c je o e ac o e u c je

.)()(1)(2/

2/2112

T

T

dttxtxT

R

)()(1)( 02/

2/

)(02112

T

T n

tjn dtejnXtxT

R

)(1)()( 002/

2/10212

n

T

T

tjnjn dtetxT

ejnXR

)()()(

)()()(

0

0010212

jn

n

jn

ejnXjnXR

jnXejnXR


.)()()( 0020112

n

jejnXjnXR

IR3OT IR3OT 3030

Autokorelacija periodinih signala

Autokorelacija pokazuje slinost (stepen poklapanja) signala x1(t), koji ima periodu T, sa njegovom kopijom zakanjenom u vremenu za proizvoljni pomeraj .

Definicija autokorelacije / 211 1 11

T

R x t x t dtT

Furijeov transformacioni par ine autokorelacija i spektar

/ 2TT

snage signala x(t)!

02 jnR X e 0

11

/ 22

11 11

1( )

nn

Tjn

n

R X e

S f X R e dT


/ 2TT

IR3OT IR3OT 3131

Konvolucija periodinih signala

Konvolucija pokazuje stepen poklapanja signala x1(t) i signala x2(t), kada je umesto jednog od njih uzet njegov odraz u ogledalu

j i j i jzakanjen za proizvoljni pomeraj . Definicija konvolucije

/ 21 T

/ 212 1 2

/ 2

1 T

T

x t x t dtT

Furijeov transformacioni par konvolucija i proizvod: konvolucija

dva signala u vremenskom domenu ima spektar koji je jednak proizvodu spektara pojedinanih signala (i obrnuto!).proizvodu spektara pojedinanih signala (i obrnuto!).

012 1 2 jnn nn

X X e

02 121 2 1

T

jnn nX X e dT


2TT

IR3OT IR3OT 3232

Osobine korelacije i konvolucije

Autokorelacija periodinog signala je kontinualna, periodina i funkcija koja ne zavisi od faznog spektra signala (potpuno je

j i i ) O j f ij jodreuje amplitudski spektar). Ona je parna funkcija tj. 11 11R R

Korelacija dva periodina signala je kontinualna periodina funkcija

V i bi Vai osobina

Furijeova transformacija korelacije dva signala x1(t) i x2(t) naziva

12 21R R Furijeova transformacija korelacije dva signala x1(t) i x2(t) naziva

se spektrom unakrsne snage i obeleava sa

)()()( 0201012 jnXjnXjnS Konvolucija je kontinualna periodina funkcija za koju vai

).()( 2112 Elektrotehniki fakultet, Katedra za Elektrotehniki fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beogradtelekomunikacije, Beograd

)()( 2112 IR3OT IR3OT 3333

ta ako signal nije periodian?ta ako signal nije periodian? Ako signal nije periodian, da li je mogue takav signal predstaviti

zbirom odreenog broja kosinusoida? Za sada emo se ograniiti samo na signale koji nisu periodini ali jesu

deterministiki mogu se predstaviti nekakvom matematikom funkcijomfunkcijom.

Primer:1

1.5

sin(2 ), 0,1/(2 )( )

0 0 1/(2 )

ft t fx t

t f

0.5

d

a

[

V

]

0, 0,1/(2 ) t f-0.5

0

A

m

p

l

i

t

u

d

0 0 001 0 002 0 003 0 004 0 005 0 006 0 007 0 008 0 009 0 01-1.5

-1


0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01vreme [s]

IR3OT IR3OT 3434

Harmonijska analiza aperiodinih signalaHarmonijska analiza aperiodinih signala Ovi signali nisu periodini - ne postoji T tako da je x(t)=x(t+T).

Moe se smatrati da im je perioda beskonana. Zato f0=1/T0, spektralne komponente se pribliavaju a spektar postaje

kontinualan! Signal x(t) se ipak moe predstaviti kao (integral umesto sume):g ( ) p p ( g ) 1 ( ) ( )

2j t jftx t X j e d X jf e df

Pri emu je sa X(j) oznaen spektar signala2

( ) j tX j x t e dt

Prethodna dva izraza se redom nazivaju inverzna Furijeova

transformacija i Furijeova transformacija. Oni ine Furijeov transformacioni par za aperiodine signale


transformacioni par za aperiodine signale.

IR3OT IR3OT 3535

Harmonijska analiza aperiodinih signalaHarmonijska analiza aperiodinih signala

Spektar se moe matematiki odrediti pod uslovom da je f t dt

Spektar se opet moe napisati u kompleksnom obliku ( )

f t dt

i rastaviti na

( )( ) ( ) jX j X j e spektar amplituda (realan i kontinualan), oznaen sa spektar faza (realan i kontinualan), oznaen sa .

( )X j( )

pri emu vai: X j X j ( )

arg X j


arg X j IR3OT IR3OT 3636

Spektralna gustina energije

Spektralna gustina energije (realna parna funkcija uestanosti) jednaka je kvadratu amplitudskog spektra aperiodinog signala

R jlij t iji (P l2( ) ( )S j X j

Rejlijeva teorema o energiji (Parsevalova teorema za aperiodine signale) - energija signala moe se odrediti kao integral spektralne gustine energije po svim uestanostima:g p g g j p

.)(21)(

21)()0( 11

2211 djSdjXdttxR 22

.)()()()0( 1122

11 dfjfSdfjfXdttxR Za aperiodine signale esto je lake odrediti energiju nego

( k i t l iti d j j ?)


snagu (na kom intervalu vriti usrednjavanje?).

IR3OT IR3OT 3737

Usamljeni pravougaoni impuls

Signal dobijen od periodine povorke pravougaonih impulsa kada T->.

, / 2 / 2( )

0 i PU t

u t 0, inae P

)(tUP

U

)(tUP

t

2

2


Usamljeni pravougaoni impulsS k Spektar pravougaonog unipolarnog impulsa

S kt l ti ij( )sin( / 2)( ) jj U e Spektralna gustina energije

dobija se kvadriranjem amplitudskog spektra!

( )/ 2

j U e x 10-4

Energija signala dobija se integraljenjem spektralne gustine energije po svim 15

20

uestanostima.

Primer za impuls:10

n

i

s

p

e

k

t

a

r

p amplitude U=10V trajanja =0.2ms prva nula u spektru na

5

D

v

o

s

t

r

a

prva nula u spektru na 1/=50kHz

spektar u nuli ima vrednost U=0 002[Vs] -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0


U=0.002[Vs] energije U2=0.02[Ws=J]. x 104Ucestanost, f[Hz]

IR3OT IR3OT 3939

Osobine spektra usamljenog pravougaonog impulsa

Osobine: Spektar je beskonano irok! Amplitudski spektar je kontinualan, sadri komponente na svim

uestanostima. Nule spektra javljaju se kada je ispunjeno Nule spektra javljaju se kada je ispunjeno

Sin(/2)=0 -> /2=k Nule spektra se nalaze na uestanostima k/!p

Granini sluajevi Kada se trajanje impulsa poveava nule spektra se pomeraju ka j j p p p p j

niim vrednostima, za -> spektar se svodi na Dirakov impuls. Kada se trajanje impulsa skrauje nule spektra se pomeraju ka viim

vrednostima za >0 spektar postaje ravanvrednostima, za ->0 spektar postaje ravan. Kada istovremeno vai ->0, U-> a Uimpuls se pretvara u

Delta impuls a spektar ima konstantnu jedininu vrednost.


Osobine spektra aperiodinih signala

Najvanije osobine: Spektar je kontinualan (ne postoje samo neke ve sve Spektar je kontinualan (ne postoje samo neke ve sve

komponente u spektru); Ovo praktino pokazuje da se aperiodini signal moe odrediti

zbirom beskonanog broja sinusoida ije se uestanosti razlikuju za beskonano malu vrednost.

D t i lit d ki kt j i t i ( f k ij d ) Dvostrani amplitudski spektar je simetrian (parna funkcija od n); Dvostrani fazni spektar je neparna funkcija od n; Spektralna gustina energije jednaka je kvadratu amplitudskog Spektralna gustina energije jednaka je kvadratu amplitudskog

spektra; Neke od komponenti su vie a neke manje istaknute;p j ; Ako se odsee deo komponenti koje nose manji deo snage, signal e biti dosta verno rekonstruisan.


Korelacija aperiodinih signala

Korelacija pokazuje slinost (stepen poklapanja) dva aperiodina signala x1(t) i x2(t), i to kada je jedan od njih zakanjen za proizvoljni pomeraj .

Definicija korelacije 12 1 2

R x t x t dt

Furijeov transformacioni par

*12 1 21 ( ) ( )2 jR X j X j e d

*1 2 12 ( ) ( ) jX j X j R e d


IR3OT IR3OT 4242

Korelacija aperiodinih signala

Dokaz na osnovu definicije korelacije i inverzne Furijeove transformacije:

dttxtxR .)()()( 2112

dtdejXtxR tj)(21)()( )(2112

ddtetxejXR tjj )()(21)( 1212

djXejXR j )()(21)( 1212

dejXjXR j)()(

21)(

1212


Autokorelacija aperiodinih signala

Autokorelacija pokazuje slinost (stepen poklapanja) aperiodinog signala x1(t) sa njegovom kopijom zakanjenom u vremenu za proizvoljni pomeraj .

Definicija autokorelacije 11 1 1R x t x t dt

Furijeov transformacioni par

211 1 ( )2 jR X j e d

2 11

2

( ) jX j R e d


IR3OT IR3OT 4444

Konvolucija aperiodinih signala

Konvolucija pokazuje stepen poklapanja dva aperiodina signala x1(t) i x2(t), kada je umesto jednog od njih uzet njegov odraz u ogledalu zakanjen za pomeraj .

Definicija konvolucije 12 1 2x t x t dt

Furijeov transformacioni par1 12 1 21 ( ) ( )2 jX j X j e d

1 2 12 ( ) ( ) jX j X j e d


Jo neke osobine deterministikih signala

Bez obzira da li je signal periodian ili aperiodian: Furijeova transformacija korelacije dva signala jednaka je proizvodu

amplitudskog spektra jednog i konjugovanog amplitudskog spektra drugog signala;

Furijeova transformacija autokorelacije signala jednaka je kvadratu Furijeova transformacija autokorelacije signala jednaka je kvadratu amplitudskog spektra (spektru snage/spektralnoj gustini energije) signala;F ij f ij k l ij d i l j d k j i d Furijeova transformacija konvolucije dva signala jednaka je proizvodu amplitudskih spektara dva signala.

Poto pomeraj moe biti proizvoljan, korelacija, autokorelacija i p j p j , j , jkonvolucija su uvek kontinualne funkcije

Za periodine signale one se dobijaju sabiranjem diskretnih komponenti (u optem sluaju beskonane sume);komponenti (u optem sluaju beskonane sume);

Za aperiodine signale navedene veliine se dobijaju integraljenjem kontinualnih funkcija.


Delta impuls

* Impuls izuzetno kratkog trajanja i teorijski beskonano velike amplitude, ali tako da njegova povrina ima jedininu vrednost.

1 dtt 1

dtt

* Furijeova transformacija funkcije (t) jednaka je konstanti, koja pritom ima jedininu vrednost.

* Zato je spektar Delta impulsa (aperiodian signal) kontinualan i definisanZato je spektar Delta impulsa (aperiodian signal) kontinualan i definisan na svim uestanostima.

* Pritom je amplitudski spektar jednak jedinici a na svakoj uestanosti je poetni fazni stav jednak nulistav jednak nuli.

* Spektar Delta impulsa je kontinualan, ravan i beskonano irok!

1 dtetj tjElektrotehniki fakultet, Katedra za Elektrotehniki fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beogradtelekomunikacije, Beograd

1

dtetj IR3OT IR3OT 4747

Spektar Delta impulsaSpektar Delta impulsa Osobine spektra

Signal aperiodian spektar definisan na svim uestanostima (beskonano irok). Spektar je ravan svuda konstantna jedinina vrednost (U=1) Spektar je ravan svuda konstantna jedinina vrednost (U=1). Spektralna gustina energije je ista kao spektar aplitude - beskonana povrina.

Energija ovog signala je beskonana, to je logino jer je E= U2=U*U*1= .R l i i li k i j k ij li ( lj i i l i Realni signali uvek imaju konanu energiju, ali za (usamljeni impulsi veoma kratkog trajanja) spektar ima slian oblik!

0.8

1

s

p

e

k

t

a

r

s

p

e

k

t

a

r

0.4

0.6

o

s

t

r

a

n

i

a

m

p

l

i

t

u

d

s

k

i

s

n

i

a

m

p

l

i

t

u

d

s

k

i

s

0

0.2

J

e

d

n

o

D

v

o

s

t

r

a

n


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 104

0

Ucestanost, f[Hz]

IR3OT IR3OT 4848

Neke osobine Delta funkcije Furijeova transformacija usamljenog Delta impulsa

pomnoenog konstantom A i zakanjenog za t0 je:

0 0( )0 0( ( )) ( ) ( ) j u t j tj tF A t t A t t e dt A u e du Ae

0 0 0( )1 01 1( ) ( )

2 2j t j t j t tj tF Ae Ae e d A e d A t t

Amplitudski spektar delta funkcije je ravan! Kanjenje ne utie na amplitudski ve samo na fazni spektar!

U i t blj j bi d k l ij U prvom izrazu upotrebljena je osobina da konvolucija proizvoljne aperiodine funkcije i delta funkcije ne menja vrednost aperiodine funkcije (oitava se x(t) za ono t za kojevrednost aperiodine funkcije (oitava se x(t) za ono t za koje je argument Delta funkcije jednak nuli!):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t dt x t dt x


( ) ( ) ( ) ( ) ( ).x t t dt x t dt x

IR3OT IR3OT 4949

Spektar periodine povorke Delta impulsa

Vremenski oblik za periodinu povorku Delta impulsa:( ) ( )p t t nT

Furijeovi koeficijenti za periodinu povorku unutar prve periode samo jedan Delta impuls pa je:

( ) ( )pn

periode samo jedan Delta impuls pa je:

0 0

/ 2 / 20

0/ 2 / 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) , T T

jn t jn tp p

T T

jn t e dt t e dt e nT T T T

Svi Furijeovi koeficijenti imaju vrednost 1/T, nezavisno od

parametra n! Zato se spektar periodine povorke Delta impulsa u

/ 2 / 2T T

p p p p pvremenu sastoji od periodinog niza identinih diskretnih vrednosti u domenu uestanosti (razmaknutih za po f0, tj. 0). Furijeov red periodine povorke Delta impulsa je:

tjnet 01)( Elektrotehniki fakultet, Katedra za Elektrotehniki fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beogradtelekomunikacije, Beograd

n

p eTt)(

IR3OT IR3OT 5050

Spektar periodine povorke Delta impulsaSpektar periodine povorke Delta impulsa Za sluaj kada je perioda T=1ms komponente su razmaknute za po

f0=1kHz a tolika im je i visina (1/T=1000). Ovaj spektar se dobija iz periodine povorke pravougaonih impulsa kada je Ovaj spektar se dobija iz periodine povorke pravougaonih impulsa kada je

njihovo trajanje jako malo (->0 pa i /T->0), a njihova povrina U=1.1100

800

900

1000

k

t

a

r

600

700

800

m

p

l

i

t

u

d

s

k

i

s

p

e

k

300

400

500

J

e

d

n

o

s

t

r

a

n

i

a

m

0

100

200

J


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 104

0

Ucestanost, f[Hz]

IR3OT IR3OT 5151

Dodatne osobine Dodatne osobine FourierFourier--ove transformacijeove transformacije Ako posmatramo dva aperiodina realna signala x(t) i y(t), za koje

je mogue definisati spektre X(j) i Y(j), respektivno, kao i b i i i ( i )kompleksne konstante a,b tada vae sledei izrazi (osobine):

Linearnost )()()()()()( jbYjaXtybtxatbytax FFF ).()()()()()( jbYjaXtybtxatbytax FFF

pomeranje (translacija) u vremenskom domenu

000 )()()()()( )(00 tjyjtjtyjtj ejXdyeyxedyeyxdtettxttx F 0)()( 0 tjejXttx F

)()()()()( 00 ejXdyeyxedyeyxdtettxttx F pomeranje (translacija) u domenu uestanosti

))(()( 00 jXetx tjF ))(()()()( 0)( 000 jXdtetxdteetxetx tjtjtjtjF


))(()()()( 0 jXdtetxdteetxetxFIR3OT IR3OT 5252

Dodatne osobine Dodatne osobine FourierFourier--ove transformacijeove transformacije irenje (ekspanzija) u domenu uestanosti.2

)(1)( jXt F )()(a

jXa

atx F

)(1/)()()( / jXadyeyxdteatxatx ayjtj F )(/)()()( ajXaadyeyxdteatxatx F Fourier-ova transformacija izvoda.

)()( jXjdt

tdx

F

Fourier-ova transformacija integrala.

jX )(

jjXdttx )()( F


Documents

IR3OT Cas03 Harmonijska Analiza 2013