Si2pmt Vezbe2 Harmonijska Analiza 2012 13

Elektrotehniki fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beograd

PRINCIPI MODERNIH TELEKOMUNIKACIJA

(SI2PMT)

Elektrotehniki fakultetKatedra za telekomunikacije

Beograd, 2012/2013.


Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (1)

Odrediti amplitudski i fazni spektar periodinog signala f(t) periode T, amplitude E i trajanja impulsa , koji je na intervalu jedne periode definisan sledeim izrazom

0, / 2 / 2( ) , / 2 / 2

0, / 2 / 2

T tf t E t

t T

< = < <

f(t)E

Periodina povorka pravougaonih impulsa

/2/2 /2/2 t +/2/2/2/2



f(t) je periodina funkcija, jer vai f(t)=f(t+T) Perioda funkcije je T [s] Osnovna uestanost je 0=2/T [rad/s] Osnovna frekvencija je f0=1/T [Hz]

Funkcija f(t) se moe predstaviti Fourierovim redomako zadovoljava Dirichlet-ov uslov

( ) +



( ) 0 0/ 2 / 2

/ 2 / 2

1 1n

Tj jn t jn t

n nT

F F e f t e dt Ee dtT T

= = =

( )0 0

0

2 22

20 0

1 1 12 2

jn jnjn t

nE e eF e

T jn T n j

+

= =

Za sluaj kada je signal f(t) periodina povorka pravougaonih impulsa, kompleksni koeficijent Fourier-ovog reda dalje se moe predstaviti sa

njn nF F e

=Fn - kompleksni spektar funkcije f(t)|Fn| - amplitudski spektarn - fazni spektar

0

0

sin( 2)2n

nEFT n

=0 02 2

0sin( 2) 2

jn jne enj

=


0

0

sin( 2)2n

nEFT n

=Amplitudski spektar

Fazni spektar 00

0,sin( 2) 0arg( )

,sin( 2) 0n nn

Fn

= =


Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (5) nule anvelope

( ) sin( 2)2

ET

=Anvelopa amplitudskog spektra - pomona

kontinualna funkcija za spektralnu analizu signala

Nule anvelope amplitudskog spektra javljaju se na uestanostima gde vai

sin( 2) 0, 0k =

2 , 1, 2,...k k k = =

2 , 1, 2,...k k k = =

Za vrednost faktora reima (odnos trajanja impulsa i periode)nule anvelope e se nalaziti na sledeim uestanostima

1T p

=

02 2 2 , 1, 2,...k

Tk k p k p k kT T

= = = = =


Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (6) komponente u spektru koje su jednake nuli

sin( )n

E n pFp n p

=Vrednost svakog p-tog harmonika jednaka je 0Fp= Fp =F2 p = F2 p = ...=0

Primer 1:Odnos trajanja impulsa i periode jeNule anvelope se nalaze na uestanostima

12T

=

02 2 2 2 2 , 1, 2,...k

Tk k k k kT T

= = = = =

Svaka druga komponenta u spektru jednaka je nuli !!!Primer 2:

Odnos trajanja impulsa i periode jeNule anvelope se nalaze na uestanostima

15T

=

02 2 2 5 5 , 1, 2,...k

Tk k k k kT T

= = = = =

Svaka peta komponenta u spektru jednaka je nuli !!!


Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (7) primer amplitudskog i faznog spektra

Perioda signala T=1msOsnovna frekvencija f0=1/T=1kHz rastojanje izmeu spektralnih komponenataOdnos trajanja impulsa i periode (faktor reima) jednak 1/5, pa je svaka peta komponenta u spektru jednaka je nuli (komponente na 5kHz, 10kHz, 15kHz, )


Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (8) spektar snage

PRINCIPI MODERNIH TELEKOMUNIKACIJA (SI2PMT)

( )2 222

2 011 0

0

sin( 2) sin( )2n

nE E n pS n FT n p n p

= = =

Spektar snage

Srednja snaga signala f(t)

( )/ 2 / 2 2

2 2 2

/ 2 / 2

1 1TS

T

EP f t dt E dt ET T T p

= = = =

( )/ 2

2 2 220

1/ 2

1 2T

S n nn nT

P f t dt F F FT

= =

= = = +

Parsevalova teorema:Srednja snaga sloenog periodinog signala jednaka je zbiru srednjih snaga svih njegovih harmonika


Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (9) spektar snage

Snaga signala f(t) koja se nalazi u prvih N harmonika22 2

2 2 20

1 1

sin( )2 2N

N N N

h n nn N n n

E E n pP F F Fp p n p

= = =

= = + = +

Odnos snage signala f(t) koja se nalazi u prvih N harmonika i ukupne snage signala

22 2

21

21

sin( )21 sin( )1 2N

N

Nh n

nS

E E n pP p p n p n p

EP p n pp

=

=

+ = = +


Primer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/2

sin( 2)2 2nE nF

n

=

0 2EF = 1 1

sin( 2)2 2E EF F

= = =

2 2 0F F= = 3 3sin(3 2)

2 3 2 3E EF F

= = =

4 4 0F F= = 5 5sin(5 2)

2 5 2 5E EF F

= = =

( )/ 2 2

2 2

/ 2

12

T

ST

EP f t dt ET T

= = =

222 2 2

01 1

sin( 2)2 1 22 2N

N N N

h n nn N n n

E nP F F Fn

= = =

= = + = +


Snaga signala f(t) koja se nalazi u prvih N harmonika



1

22 2 22 2 2 2 2

1 0 1sin( 2) 1 11 2 2 0.4526

2 2 2hEP F F F E E

= + + = + = + =

Snaga signala f(t) koja se nalazi u nultom (jednosmerna komponenta) i prvom harmoniku

Odnos snage signala u nultom i prvom harmoniku i srednje snage signala (Ps =E2/2) iznosi

1

2

2

0.4526 0.9053 90.53%0.5

h

S

P EP E

= = =

2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 0 1 2 1 0 1 0.4526hP F F F F F F F F E = + + + + = + + =

Kada je faktor reima jednak , drugi harmonik je jednak nuli, pa je snaga signala f(t) koja se nalazi u nultom i prva dva harmonika takoe

Odnos snage signala u nultom i prvom harmoniku i srednje snage signala (Ps =E2/2) iznosi

2

2

2

0.4526 0.9053 90.53%0.5

h

S

P EP E

= = =

0 0



3 4

2 2 2 22

2 2 22 2

sin( 2) sin(2 2) sin(3 2) sin(4 2)1 2 2 2 22 2 2 2 3 2 4 2

1 1 12 2 0.47522 3

h hEP P

E E

= = + + + + =

= + + =

Snaga signala f(t) koja se nalazi u prva tri harmonika jednaka je snazi koja se nalazi u prva etiri harmonika (svi parni harmonici jednaki su nuli, pa je i etvrti harmonik jednak nuli!)

Odnos snage signala u prva tri (odnosno prva etiri harmonika) i srednje snage signala iznosi

3 4

2

2

0.4752 0.9503 95.3%0.5

h h

S S

P P EP P E

= = = =

Snaga signala f(t) koja se nalazi u prvih pet (est) harmonika jednaka je

5 6

5 6

2 2 22

2 2 2 22 2

2

sin( 2) sin(3 2) sin(5 2)1 2 2 22 2 3 2 5 2

1 1 1 0.48332 2 833 0.9665 96.65%0.42 5 0.5

h h

h h

S S

EP P

P P EE EP P E

= = + + + =

= + + = = = = =



sin( 4)4 4nE nF

n

=

0 4EF = 1 1

sin( 4) 24 4 2E EF F

= = =

3 3sin(3 4) 2

4 3 4 3 2E EF F

= = =

4 4sin(4 4) 0

4 4 4EF F

= = = 5 5

sin(5 4) 24 5 4 5 2E EF F

= = =

( )/ 2 2

2 2

/ 2

14

T

ST

EP f t dt ET T

= = =

222 2 2

01 1

sin( 4)2 1 24 4N

N N N

h n nn N n n

E nP F F Fn

= = =

= = + = +


Snaga signala f(t) koja se nalazi u prvih N harmonika

2 2sin(2 4)

4 2 4 2E EF F

= = =



250 12 8

sT ms

= =

01 1 0.5

2f kHz

T ms= = =

sin( 8)8 8nE nF

n

= ( )

222

11 0 2

sin( 8)8 8nE nS n F

n

= =

Dat je periodian signal ija je perioda T=2ms a trajanje impulsa =250s.a) Odrediti faktor reimab) Odrediti osnovnu frekvenciju signalac) Amplitudski spektar i spektar snage signalad) Koliki procenat srednje snage signala se nalazi na uestanostima niim od 1.8kHze) U koliko prvih N harmonika je sadrano vie od 50% snage signala f(t)

a) Faktor reima

b) Osnovna frekvencija signalaRastojanje izmeu spektralnih komponenti jednako je osnovnoj uestanosti signala,

odnosno jednako je 0.5kHz=500Hzc) Amplitudski spektar signala Spektar snage



d) Na uestanostima niim od 1.8kHz nalaze se jednosmerna komponenta i prva tri harmonika u spektru signala (na f0=0.5kHz, 2f0=1kHz, 3f0=1.5kHz)

2 2 222

3

23

2

sin( 8) sin(2 8) sin(3 8)1 2 2 2 08990.8 8 2 8 3 8

08990. 71.92%1250.

h

h

S

EP E

P EP E

= + + + =

= =

( )/ 2 2

2 2

/ 2

18

T

ST

EP f t dt ET T

= = =Srednja snaga signala f(t)

e)

22 22 1

1 2

sin( 8) 04530.1 2 0453 36.24%0.8 8 1250.

hh

S

PE EP EP E

= + = = =

2 22 22 1

2 2

sin( 8) sin(2 8) 07060.1 2 2 0706 56.5%0.8 8 2 8 1250.

hh

S

PE EP EP E

= + + = = =

U jednosmernoj komponenti i u prva dva harmonika (na f0=0.5kHz, 2f0=1kHz) sadrano je vie od 50% srednje snage signala f(t)

U jednosmernoj komponenti i u prvom harmoniku (f0=0.5kHz) sadrano je 36.24%srednje snage signala f(t)


Zadatak: Spektralna analiza usamljenog pravougaonog impulsa (1)

Odrediti spektralnu gustinu amplituda i faza signala f(t) datog sa

0, - / 2( ) , - / 2 / 2

0, + / 2

tf t E t

t

< = < + < +

f(t)E

/2/2 t

Fourier-ova transformacija usamljenog pravougaonog impulsa f(t)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

cos sin2

2 2 2

cos sin2 2 2

2 2

2 0

cos sin

sin 2 sin 2cos 2 cos 2

2

j j t j t

t j t

j t

t j t

F j F j e f t e dt E e dt

E e dt E t dt jE t dt

E t dt E t dt E E

+++

+ + +

+ +

= = = =

= = =

= = = =

( ) ( )sin 2

2F j E

=

0


Zadatak: Spektralna analiza usamljenog pravougaonog impulsa (2)

( ) ( )sin 2

2F j E

=

Spektralna gustina amplituda

Spektralna gustina faza

0,sin( 2) 0arg( )

,sin( 2) 0n nF

= =


Zadatak: Spektralna analiza usamljenog pravougaonog impulsa (3) razne vrednosti trajanja impulsa


Zadatak: Spektralna analiza usamljenog pravougaonog impulsa (4) granini sluajevi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

00, 1, lim

1

1 1 1 1 11 cos sin cos2 2 2 2 2

j t

j t j t

E t f t

j t e dt

t j e d e d t d j t d t d

+

+ + + + ++ +

= =

= =

= = = + =

Dirakov impuls

Funkcija konstante

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

cos sin cos

2

j t

f t E

F j E t d j E t d E t dEe dt

F j E

+ + ++

=

= = =

=

t

( )t

1( )j

t

( )f tE

( )F j

2 E povrsina impulsa


Literatura

[1] Duki M., Principi telekomunikacija, Akademska misao, 2008, Beograd.[2] Haykin S., Communication Systems, John Wiley&Sons, Inc.,1998, New York.[3] Duki M., Markovi G., Vuji D., Principi telekomunikacija Zbornik reenih zadataka, Akademska misao, 2009, Beograd.[4] Praktikum za laboratorijske vebe.

*Zadaci uraeni po uzoru na zadatke 1.1-1.4, 1.8 iz [3].

PRINCIPI MODERNIH TELEKOMUNIKACIJA (SI2PMT)Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (1)Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (2)Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (3)Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (4)Zadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (5) nule anvelopeZadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (6) komponente u spektru koje su jednake nuliZadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (7) primer amplitudskog i faznog spektraZadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (8) spektar snageZadatak: Spektralna analiza periodine povorke pravougaonih impulsa (9) spektar snagePrimer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/2Primer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/2Primer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/2Primer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/2Primer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/4Primer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/4Primer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/8Primer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/8Primer: periodina povorka pravougaonih impulsa, faktor reima 1/8Zadatak: Spektralna analiza usamljenog pravougaonog impulsa (1) Zadatak: Spektralna analiza usamljenog pravougaonog impulsa (2) Zadatak: Spektralna analiza usamljenog pravougaonog impulsa (3) razne vrednosti trajanja impulsa t Zadatak: Spektralna analiza usamljenog pravougaonog impulsa (4) granini sluajeviLiteratura

Documents

Si2pmt Vezbe2 Harmonijska Analiza 2012 13