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ISUP Institut de Statistique de l’Université de Paris Septembre 2008
Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 1/115
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RESUME
Mots-clés : Assurance vie, Traitement de données, Loi de comportement,
Méthode de Lee-Carter, Rachats dynamiques, Modèles SARIMA, Garantie
plancher.
L’objet de ce mémoire est de modéliser le comportement des assurés d’un
portefeuille de contrats d’épargne plus particulièrement les décès, les rachats et les
versements et de quantifier l’impact de ces lois au travers d’un calcul du coût d’une
garantie plancher.
Après une brève introduction sur le marché de l’assurance vie, cette étude présente les
trois risques étudiés ainsi que les enjeux qui y sont liés. Les nouvelles normes
(Solvabilité II, MCEV) et les nouveaux produits de type variable annuities obligent les
assureurs commercialisant des produits d’épargne, à prévoir au mieux les sinistres, les
versements et les rachats et connaître ainsi l’évolution de l’encours global et leur capital
de solvabilité. Cette première partie pose de plus les bases théoriques de la modélisation
du comportement des assurés qui sera utilisé dans cette étude.
La seconde partie est consacrée à la présentation des données : reconstitution de
l’épargne et statistiques descriptives nécessaires pour l’étude du comportement d’une
population. Ce chapitre présente le traitement réalisé sur les données afin de les
formaliser pour cette étude sur les comportements.
La troisième partie présente les résultats du calibrage des modèles retenus. Pour les
décès, cette étude décrit la construction d’une table d’expérience et d’une table de
mortalité prospective puis présente une loi dynamique de rachat fonction de l’ancienneté
et du temps pour finir par la modélisation des versements.
Enfin la dernière partie présente l’une des nombreuses applications découlant de l’étude
des comportements des assurés : l’impact sur le coût d’une garantie plancher. Cette
partie a pour but de montrer les limites de la tarification en prime sur encours retenue
pour ce portefeuille et les différences de résultats selon les lois de comportement
utilisées. Enfin cette étude se termine par des suggestions de stratégies de tarification
permettant un provisionnement plus juste.
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ABSTRACT
Keywords : Life insurance, data processing, behaviour law, Lee-carter method,
dynamic lapses, sarima model, floor guarantee
The aim of this study is to model the life insured's behaviour of a saving contract,
more specifically death, lapses and payments and to quantify the impact of these
behaviour through cost calculation of the floor guarantee covered by the insurer.
After a brief presentation of life insurance's world, this study describes the three risks
mentionned before and their issues. Indeed given the current context, the main concerns
of life insurers is to better know the evolution of the global provision of their portfolio in
order to calculate the solvency capital requirement, to ensure a asset liability
management allowing the control of liquid risks and other constraints closely dependant
on insurers behaviour. This first part describes the theoretical basis for modeling the
life insured's behaviour.
The second part is devoted to the presentation of data, starting from the reconstitution of
savings account from closing accounts to descriptive statistics necessary to study the
behaviour of a population. We describe also the data extracting process.
In the third part we describe the calibration of models used. For deaths, the study
describes the construction of an experience table and a prospective mortality table, for
withdrawal we will present a dynamic lapses law based on seniority and computing time
and finally we wil present the modeling of new business.
The last part presents one of many applications related to life insured's behaviour ie the
impact on the cost of a floor guarantee. This section is intended to show the limits of
pricing using the premium on provision chosen for this portfolio and the differences in
results using different behavior laws. Finally, since this type of pricing does not correlate
premium to financial risk we will complete this study by suggesting best suited pricing
strategies for a more accurate provisioning.
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REMERCIEMENTS
Je remercie Emmanuel Geli, partner du pôle assurance, pour m’avoir accueilli
dans son service où j’ai pu collaborer avec des personnes dotées d’un grand
professionnalisme. Je le remercie pour les missions qu’il m’a confiées, me permettant
ainsi de découvrir le monde du conseil.
Je remercie, en particulier, Abdallah El Malaki, mon maître de stage, pour ses conseils,
pour ses remarques pertinentes et pour m’avoir enseigné une méthode de travail
rigoureuse.
Un grand merci à Thomas Bourdoiseau et à Nada El Chidiac, pour leurs précieuses
aides, pour leurs conseils et de leurs explications pragmatiques, en toute circonstance et
à toute heure du jour comme de la nuit.
Je remercie également l’ensemble du pôle assurance pour leur accueil chaleureux et leur
soutien.
Mes remerciements s’adressent aussi aux différentes personnes de Rivage avec qui j’ai
pu partager une expérience enrichissante, Audrey, Matthieu, Romain, Mohamed,
Baudouin, Vincent, Gustave, Khaoula, Ghada, Marie, Céline, …
Je souhaite témoigner ma reconnaissance à toutes les personnes qui m’ont aidé, de près
ou de loin, à réaliser ce mémoire dans les meilleures conditions.
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SOMMAIRE
RESUME ............................................................................................................................................... 3 ABSTRACT ........................................................................................................................................... 5 REMERCIEMENTS ............................................................................................................................ 7 SOMMAIRE .......................................................................................................................................... 9
INTRODUCTION .............................................................................................................................. 12
PARTIE I : Principes theoriques du comportement ................................................................ 14
Chapitre 1 : Le monde de l’épargne en France .................................................................................14 Section 1.1 : Le monde de l’assurance ..................................................................................................... 14 Section 1.2 : Le marché Français de l’épargne ........................................................................................ 15
1.2.1 : Définitions de l’assurance-vie ........................................................................................... 15 1.2.2 : Les avantages de ce produit ............................................................................................... 15 1.2.3 : Les organismes assureurs .................................................................................................. 16 1.2.4 : Quelques chiffres ............................................................................................................... 17
Chapitre 2 : Les enjeux liés au comportement .................................................................................19 Section 2.1 : Description du produit étudié .............................................................................................. 19 Section 2.2 : Le risque décès .................................................................................................................... 20 Section 2.3 : Le risque de rachat .............................................................................................................. 21 Section 2.4 : Le risque de versement ....................................................................................................... 23
Chapitre 3 : Rappels théoriques ........................................................................................................24 Section 3.1 : Construction de table de mortalité ...................................................................................... 24
3.1.1 : Modèle paramétrique : La loi de Makeham ....................................................................... 24 3.1.2 : Modèle non-paramétrique : Kaplan Meier ......................................................................... 27 3.1.3 : Table prospective : Méthode de Lee & Carter ................................................................... 28
Section 3.2 : Loi de Rachat ...................................................................................................................... 29 3.2.1 : Loi de rachat en fonction de l’ancienneté .......................................................................... 30 3.2.2 : Loi de rachat en fonction du temps .................................................................................... 30
Section 3.3 : Modélisation des séries temporelles .................................................................................... 30 3.3.1 : Quelques définitions : ........................................................................................................ 30 3.3.2 : Les modèles ARMA : ........................................................................................................ 31 3.3.3 : Les modèles SARIMA : ..................................................................................................... 31
PARTIE II : Les données ................................................................................................................. 34
Chapitre 1 : Présentation des données ..............................................................................................34 Section 1.1 : Description des fichiers issus du système d’information .................................................... 34 Section 1.2 : Reconstitution de l’épargne ................................................................................................. 35 Section 1.3 : Description des variables .................................................................................................... 36
Chapitre 2 : Traitement des données ................................................................................................36 Section 2.1 : La censure et la troncature .................................................................................................. 36 Section 2.2 : Détection et traitement des valeurs aberrantes .................................................................... 37 Section 2.3 : Adapter les données aux différents risques étudiés ............................................................. 38 Section 2.4 : Volume après traitement ..................................................................................................... 40
Chapitre 3 : Les différents choix réalisés ..........................................................................................41 Section 3.1 : Choix du périmètre de l’étude ............................................................................................. 41 Section 3.2 : Choix concernant les tables de mortalités ........................................................................... 41
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Chapitre 4 : Statistiques descriptives ...............................................................................................42 Section 4.1 : Le portefeuille ..................................................................................................................... 42 Section 4.2 : Les décès ............................................................................................................................. 44 Section 4.3 : Les rachats .......................................................................................................................... 45 Section 4.4 : Les versements .................................................................................................................... 47 Section 4.5 : Définition des périodes de crises ......................................................................................... 49
PARTIE III : Calibration des modèles sur le portefeuille epargne ...................................... 52
Chapitre 1 : Construction des tables de mortalité ...........................................................................52 Section 1.1 : Calcul des taux de mortalité ................................................................................................ 52 Section 1.2 : La méthode de Makeham .................................................................................................... 54 Section 1.3 : Comparaison des deux méthodes ........................................................................................ 57 Section 1.4 : Par la méthode de Lee & Carter .......................................................................................... 59
Chapitre 2 : Construction d’une loi de rachat dynamique ...............................................................64 Section 2.1 : En fonction de l’ancienneté du contrat ................................................................................ 64 Section 2.2 : En fonction du temps .......................................................................................................... 69
Chapitre 3 : Détermination des versements .....................................................................................76 Section 3.1 : Résultats concernant les VLP .............................................................................................. 76 Section 3.2 : Résultats concernant les VI ................................................................................................. 77 Section 3.3 : Résultats concernant les VL ................................................................................................ 81
PARTIE IV : Application au travers du calcul du coût de la garantie plancher .............. 85
Chapitre 1 : La garantie plancher .....................................................................................................85 Section 1.1 : Définition et présentation du type de tarification ................................................................ 85 Section 1.2 : Evaluation des engagements par la méthode des puts ......................................................... 86 Section 1.3 : Evaluation des engagements intégrant les lois de comportement ....................................... 87
Chapitre 2 : Présentation générale de la méthodologie retenue .....................................................90 Section 2.1 : Description des éléments retenus et des hypothèses simplificatrices .................................. 90 Section 2.2 : Modélisation des actifs ........................................................................................................ 91 Section 2.3 : Présentation du moteur de calcul stochastique .................................................................... 94
Chapitre 3 : Présentation des résultats ............................................................................................96 Section 3.1 : Calcul de référence.............................................................................................................. 96 Section 3.2 : Intégration des rachats ...................................................................................................... 100 Section 3.3 : Intégration des décès ......................................................................................................... 101 Section 3.4 : Intégration des décès et des rachats................................................................................... 102
Chapitre 4 : Synthèse et réflexions .................................................................................................105 Section 4.1 : Les méthodes de tarification possibles pour une garantie plancher .................................. 105 Section 4.2 : Les différentes applications possibles pour les lois de comportements ............................ 105
CONCLUSION ................................................................................................................................. 107
ANNEXE I : Présentation de CSC ............................................................................................... 109 ANNEXE II : Algorithme de De Moro ......................................................................................... 111 ANNEXE III : Moteur de calcul du cout de la garantie plancher ....................................... 112 BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................................... 115
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INTRODUCTION
Les sociétés d’assurances doivent se conformer à une législation française et
européenne très abondante, que ce soit dans leurs relations avec les assurés, en matière
de placements ou dans leur gestion. La solidité financière des entreprises d’assurances
est en effet la garantie qu’elles pourront tenir leurs engagements envers les assurés.
Ce contrôle est d’autant plus important que l’assurance est le seul secteur économique
dans lequel il y a une inversion du cycle de production : l’assureur fixe en effet le prix de
vente de sa prestation alors que le prix de revient de cette dernière lui est encore
inconnu.
Pour garantir à tout moment le règlement de leurs engagements, les sociétés
d’assurances doivent ainsi constituer des réserves appelées « provisions techniques » qui
leur permettront de régler les sinistres dus en cas de survenance du risque ou de verser
un capital (en assurance vie). De plus, le monde de l’assurance et sa réglementation
vivent actuellement des évolutions considérables, où la préoccupation du risque tient une
place primordiale. Ces changements ont pour but de mieux tenir compte des différents
risques inhérents à l’activité d’assurance, tout en améliorant la transparence des
informations fournies par les compagnies au sujet de leur situation d’assurance.
En effet, l’incertitude des marchés financiers et des risques supportés par les assureurs
nécessite la diffusion d’informations rigoureuses et c’est pourquoi toute compagnie doit
pouvoir disposer d’indicateurs susceptibles d’évaluer au plus juste sa richesse et la
hauteur de ses engagements. Ces transformations constituent un point important dans
le pilotage de la gestion et permettront une meilleure compétitivité et une meilleure
solvabilité.
Enfin, l’affaiblissement des grands régimes sociaux et la nécessité croissante de
protection favorise le marché de l’assurance vie. Cette évolution de besoin grandissant
pousse les assureurs à faire évoluer leurs produits soit par l’ajout de garanties
supplémentaires, soit par un cadre contractuel répondant plus précisément aux besoins
de l’assuré et nécessitant de la part de l’assureur toujours plus de rigueur et de clarté
dans l’évaluation de ses risques.
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PARTIE I : PRINCIPES THEORIQUES DU
COMPORTEMENT
Cette partie décrit le monde de l’épargne en France et permet de comprendre les enjeux
liés au comportement des assurés. Elle présente aussi les différents risques étudiés : le
risque de décès, de taux et de liquidité à travers les rachats et les versements puis rappel
les différentes approches de modélisation possible que nous utiliserons par la suite.
Chapitre 1 : Le monde de l’épargne en France
Après avoir replacé cette étude dans son contexte, ce chapitre présente le marché
Français de l’assurance-vie avec ses avantages, illustré de quelques chiffres.
Section 1.1 : Le monde de l’assurance
Dans ce climat de réforme le secteur de l’assurance s’est mobilisé, comme l’a été le
secteur bancaire, afin de mettre en place une modification profonde des exigences
prudentielles et notamment pour améliorer l’allocation des fonds propres en fonction des
risques auxquels les entreprises sont confrontées.
Effectivement un organisme d’assurance se doit de pouvoir respecter les engagements
qu’il a envers ses assurés au travers de sa marge de solvabilité. Cependant le monde de
l’assurance est en train d’élargir cette définition afin de mieux répondre aux attentes des
actionnaires tout en améliorant la protection des assurés. C’est pourquoi la solvabilité
comprend désormais le devoir pour ces organismes de survivre à des chocs.
Ces chocs peuvent prendre des formes diverses et variées puisqu’un assureur est impacté
aussi bien par une hausse des taux qui donnera une opportunité de meilleurs
rendements sur d’autres produits aux assurés et qui pourrait entrainer une vague de
rachat massive, qu’une sinistralité exceptionnelle se rapprochant des pires scénarios
envisageables par le back office.
L’approche retenue actuellement par les autorités du monde de l’assurance pour le calcul
de solvabilité se dirige vers une projection des flux futurs. Ce calcul et les stress tests qui
en découlent nécessitent la modélisation et la prévision scénario par scénario de
nombreuses hypothèses :
Les variables macroéconomiques comme le taux d’inflation, la courbe des taux, la
projection d’indices tels que le CAC 40
La valorisation des fonds, de rendement, le choix discrétionnaires tels que la
distribution de PB.
La prévision des actes de gestion liés au comportement des assurés :
o Rachat
o Versement
o Décès
o Arbitrage
o Exécution d’option
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Cette évolution conduit à étudier le comportement des assurés afin de pouvoir anticiper
au plus juste les différents mouvements financiers qui en découlent.
Section 1.2 : Le marché Français de l’épargne
1.2.1 : Définitions de l’assurance-vie
Au travers de versements les assurés constituent un capital, qui bénéficie de
revalorisation (participation aux bénéfices) pour les fonds en euros ou des hausses
boursières pour les fonds en unités de compte.
Ce socle de base constitué par l’épargne est souvent complété par des garanties :
la garantie plancher, assurant une valeur plancher de l’épargne en cas de décès
la garantie exonération qui permet à l’assuré de continuer de verser en cas
d’incapacité ou d’invalidité
des options d’arbitrage (sécurisation, dynamisation, stop-loss)
La vocation première de l’assurance vie est la transmission de patrimoine en cas de
décès.
Le marché des produits d’épargne s’est développé grâce à un cadre fiscal favorable, qui
évolue constamment. Il continue aujourd’hui de croître du fait du besoin des assurés de
compléter leur retraite d’état par une retraite par capitalisation.
Il existe différents type de contrat d’épargne en France présentant des caractéristiques
différentes et pouvant s’adapter aux différents besoins de chacun :
Les contrats en euros
Les contrats en UC
Les contrats de capitalisation
Les produits retraites article 83, article 82…
Différents cadres fiscaux : Madelin, PERP, PERE, PEA…
Les contrats collectifs PEE
L’arrivée des variables annuities ouvre aussi de nouvelles perspectives
Enfin un rappel sur la différence entre la notion de versement (décidé par l’assuré) et
celle de prime (imposé par l’assureur) est important puisqu’il conditionne la projection ou
non des versements dans Solvabilité II. Les ONC (Orientations Nationales
Complémentaires de l’ACAM) considèrent qu’une prime nécessaire à l’équilibre financier
de la société (dans ce cas la prime vient financer un capital garanti) doit être projetée
contrairement à un versement qui ajoute un nouveau risque.
1.2.2 : Les avantages de ce produit
En France, le régime fiscal de l'assurance-vie fut particulièrement avantageux mais a
cependant connu au fil des dernières années des restrictions importantes. Les gains tirés
d'un contrat d'assurance-vie sont imposés uniquement en cas de rachat total ou partiel.
Ils sont calculés au prorata des sommes retirées : par exemple en rachetant 10% du total
du contrat, l'imposition ne se fera que sur 10 % des intérêts générés depuis son
ouverture.
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Pour les contrats ouverts ou pour les versements effectués depuis 1998, le contribuable
peut opter soit pour l'intégration à l'impôt sur le revenu de ses gains, soit pour un
prélèvement libératoire selon le barème suivant :
L'abattement de 4600 € (sur la fraction du retrait correspondant aux gains, la fraction
correspondant aux versements n'est pas taxée) est acquis quel que soit le choix
d'imposition (IR ou prélèvement libératoire) pour l'ensemble des contrats du
contribuable. Pour éviter l'impôt, il est judicieux de faire un retrait annuel dont les
intérêts ne dépassent pas le montant de l'abattement. S'ajoute à cette imposition des
prélèvements sociaux (de 11% en 2008) prélevés soit annuellement sur un contrat en
euros, soit au moment d'un rachat sur les contrats multisupports. Ce dernier point est le
plus avantageux puisqu’il permet un investissement avec intérêt composé jusqu’au
dernier euro.
On notera qu’il existe des circonstances de rachat qui exonèrent de la taxation :
licenciement, mise à la retraite anticipée, invalidité de 2e ou 3e catégorie. L'événement
exonérateur doit avoir lieu dans l'année fiscale du rachat.
Enfin, un contrat d'assurance-vie entre dans l'assiette de l'impôt de solidarité sur la
fortune. À noter que contrairement à une enveloppe fiscale comme par exemple le PEA,
il n'existe pas de plafond de versement ni de restriction sur les retraits ou versements.
Cela fait donc de ce produit un excellent investissement pour toutes les classes de la
population.
1.2.3 : Les organismes assureurs
Les premiers groupes d'assurance-vie en France sont (par montant de cotisation en 2006
et en % du marché français, source FFSA) :
CNP (dont Ecureuil Vie) : 26 milliards d'euros de cotisations (16,8 % du marché
français)
Crédit agricole : 22,3 milliards (14,4 %)
Axa France : 14,8 milliards (9,5 %)
BNP Paribas Assurance : 10,9 milliards (7 %)
Générali France : 10,4 milliards (6,7 %)
Société Générale (Sogecap) : 9,3 milliards (6 %)
Autres : 39,6 % du marché
Age du contrat Taux Abattement
Moins de 4 ans 35 % (aucun)
Entre 4 à 8 ans 15 % (aucun)
Plus de 8 ans 7,5 % 4600 € par an (9200 € pour un couple marié)
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1.2.4 : Quelques chiffres
La France figure au 2ème rang pour l'assurance vie sur le marché européen de
l'assurance. L’assurance vie est le placement préféré des Français et les chiffres le
prouvent. La collecte nette en affaires directes vie et capitalisation en 2007 est de 53,7
Mds€ pour un encours total de 1146 Mds€ qui subit une croissance continue depuis 10
ans.
Progression de l’encours du marché de l’assurance- vie en France pour l’année 2007
Les raisons sont multiples mais la principale reste le rendement élevé que propose ce
type de contrat. En 2007, la moyenne des rendements des fonds euros valait 4,30%, un
rendement plus élevé que pour 2006 qui se situait vers les 4%.
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PRINGAULT Manuel 18/115
Cependant nous vivons un retournement de situation puisque depuis le début de l’année
2008 la collecte de l’assurance vie recule fortement. La baisse des versements
d'assurance-vie sur les supports en unités de comptes, le plus souvent des fonds en
actions, atteint même 44% depuis le début de l'année. Les cotisations sur les fonds euros,
avec garantie du capital progressent de 2%, atteignant près de 80 milliards d'euros. Au
cours du mois d'août, les versements sur les contrats d'assurance-vie ont touché un plus
bas depuis plus de 6 ans à 1 milliard d'euros tous supports confondus.
Il existe plusieurs raisons à ce retournement de tendance :
- Cette mauvaise passe s’explique d’abord par un effet de base défavorable. Au
cours des dernières années, les compagnies ont bénéficié à plein de transferts
massifs dits « Fourgous » et d’anciens plans d’épargne logement (PEL),
devenus fiscalement moins avantageux. Or, aujourd’hui, cette manne
financière n’existe quasiment plus.
- L’assurance vie est surtout victime d’une conjonction d’événements
défavorable directement liés à la crise financière que nous traversons. Les
soubresauts qui ont agité les marchés boursiers ces derniers mois ont incité
les épargnants à la prudence, privilégiant des produits sécurisés au détriment
de contrats en unités de compte. Nous sommes confrontés à une baisse de
l’encours des produits en unité de compte et à un regain d’intérêt pour les
fonds en euros plus consommateurs de fonds propres pour les compagnies et
offrant des marges moindres.
- A cela s’ajoute une concurrence exacerbée des produits d’épargne. Les banques
ont davantage stimulé la collecte sur des produits bilanciels (dépôts à terme,
livrets), au détriment de l’assurance vie dans le but de consolider leur bilan.
Les réseaux collectent activement sur des produits liquides pour avoir
rapidement de l’argent disponible. La progression des versements sur le livret
A rémunéré jusqu’à 4% le prouve.
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Chapitre 2 : Les enjeux liés au comportement
Ce chapitre présente les enjeux liés au comportement des assurés concernant le décès,
les rachats et les versements pour un assureur.
Section 2.1 : Description du produit étudié
Le portefeuille étudié est constitué d’un produit d’épargne multisupport c'est-à-dire
composé à la fois d’un fonds en euros (principalement des obligations d’Etat) et de fonds
en unité de compte (valeurs mobilières ou immobilières).
Ce produit comporte une garantie décès, permettant de verser au(x) bénéficiaire(s)
l’épargne constituée, ainsi qu’une garantie décès plancher. Cette garantie assure
l’application d’un montant plancher sur l’épargne, un capital décès minimum garanti
égal à la somme des versements effectués, nets de frais, diminuée de la somme des
rachats partiels et des avances consenties sur le contrat.
Le souscripteur du produit d’assurance vie étudié peut demander différents types de
rachats :
- Un rachat partiel
- Un rachat partiel programmé
- Un rachat total
Ces rachats peuvent lui être versés dès lors que le contrat possède une valeur de rachat.
En général les rachats peuvent faire l’objet de pénalités (exprimées en pourcentage des
provisions mathématiques) plus ou moins lourdes en fonction de la durée de vie
résiduelle du contrat. Ces pénalités ont pour but de dissuader les assurés de racheter
leurs contrats dans les premières années car les contrats d’assurance vie ne sont pas
rentables immédiatement pour les assureurs du fait des commissions versées aux
intermédiaires.
Cependant dans notre cas quelque soit le type de rachat il n’y a aucun frais associé.
Il est possible de réaliser différents types de versements pour l’assuré :
- Les versements initiaux : C’est l’épargne que l’assuré alloue initialement à son
contrat d’assurance vie.
- Les versements libres : Ce sont des versements que l’assuré peut effectuer à
tout moment.
- Les versements libres programmés : Ces versements sont définis
contractuellement.
Ce produit n’a pas de TMG (taux minimum garanti) pour le fonds Euro.
Enfin le produit possède des options permettant de réaliser des arbitrages automatiques
comme une sécurisation des plus values, une limitation des moins values qui permettent
aux assurés une gestion automatique personnalisée sur les supports en UC. Cependant
nous ne détaillerons pas ces options qui ne font pas partie de notre étude.
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d’une garantie plancher.
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Section 2.2 : Le risque décès
2.2.1 : Description du risque
Le risque décès est un risque connu et maîtrisé par les assureurs, car il s’agit d’une des
premières garanties historiques de l’assurance, qu’il est étudié de manière approfondie
par les états (INSEE) et que ce risque est très stable.
L’épargne acquise est versée en cas de vie (rachat total) ou en cas de décès. La
complémentarité de ces deux évènements induit que le versement de l’épargne en cas de
décès n’est pas un risque assurantiel. Dans le cadre de Solvabilité II il n’entraîne pas
l’apparition d’un capital de solvabilité dans le module Vie/Décès.
En revanche la garantie plancher porte un risque inhérent au décès dont le capital sous
risque est le maximum entre 0 et le montant de l’épargne moins le montant plancher.
Pour la partie épargne la projection des décès peut donc s’apparenter à celle des rachats
(à quelques différences près comme la fiscalité). La modélisation des décès pour l’épargne
(hors plancher) a donc pour objet de calculer un capital de solvabilité pour les risques de
liquidité ou de taux.
2.2.2 : Les enjeux liés à ce risque
Il apparaît différents enjeux liés au risque de décès :
1. Un enjeu réglementaire : la philosophie de Solvabilité II est de coller au plus près
du risque réel, les tables de mortalité ont donc tout leur sens. On peut imaginer
que l’ACAM demande moins de capital de solvabilité à un assureur qui a
provisionné au plus près de son risque. Un assureur qui ne connait pas la
mortalité de son portefeuille pourra être « sanctionné » par une marge de
solvabilité plus importante.
2. Un enjeu économique : Mieux maîtriser la gestion de ces risques et leurs
mutualisations. Avoir des risques décès et longévité avec des populations
similaires présentant les mêmes tables d’expérience permet une annulation des
risques.
3. Un enjeu financier : avoir une gestion actif-passif la meilleure possible avec une
estimation au plus près des sorties futures.
Les tables industrielles restent cependant des gardes fous et permettent de répondre à
un manque de données en particulier sur les tables générationnelles. Ces tables de
mortalités sont créées par des démographes et facilitent grandement le travail des
actuaires. La construction de ses dernières, réalisée sur l’ensemble de la population
Française, est un atout qu’il ne faut pas négliger mais qui ne peut refléter au plus juste
chaque portefeuille épargne.
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
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Section 2.3 : Le risque de rachat
2.3.1 : Description du risque
Comme nous l’avons vu précédemment le produit d’assurance-vie étudié offre la
possibilité à l’assuré de racheter une partie ou l’intégralité de son contrat. Mais cela n’est
pas sans conséquence pour l’assureur. En effet ce dernier, pour faire face à ses
engagements, investi l’épargne de ses clients dans différents actifs, qui seront impactés
par les marchés financiers au fur et à mesure du temps. Ces investissements sont
réalisés pour garantir un rendement prédéfini par l’assureur à un instant t et déterminé
selon les caractéristiques du marché et/ou de la conjoncture actuel. Mais nous savons que
ces données peuvent varier énormément.
La possibilité de rachat, laissée à la guise de l’assuré, devient donc rapidement un risque
pour l’assureur puisque ces rachats interfèrent dans la gestion des placements et dans la
rentabilité associée. En effet, en cas de baisse des taux, le rendement des actifs, qui est
souvent majoritairement des obligations, est plus faible. Pourtant l’assureur doit verser
des taux garantis minimaux qui peuvent être élevés, provenant de contrats anciens
signés en période de taux élevés. Les frais de gestion, qui sont essentiellement des frais
fixes, deviennent alors relativement lourds à porter, dans la mesure où ils sont en partie
couverts par les rendements des actifs. Dans ce cas la marge de l’assureur tend à se
réduire. En cas de hausse des taux, l’assureur pourra honorer aisément les taux garantis
dans les contrats en cours mais l’assuré peut-être tenté de racheter son contrat pour
investir dans un produit plus rémunérateur son apport initial augmenté des intérêts
déjà perçus. Le risque de rachat supporte donc le risque de taux.
Ce phénomène de rachat peut être accéléré d’une part par l’intérêt des agents à faire
signer de nouveaux contrats, et d’autre part par l’intensification de la concurrence dans
le secteur de l’assurance. Une vague de rachat massive peut rapidement intervenir et
créer un manque de liquidité conséquent pour l’assureur. Dans tous les cas ces rachats
doivent être provisionnés par l’assureur qui doit revendre des actifs pour pouvoir
honorer ses obligations envers ses assurés. C’est pourquoi le risque de rachat supporte
aussi le risque de liquidité.
En général, les rachats peuvent avoir différentes causes, qui vont être plus ou moins
faciles à anticiper par les assureurs et que l’on peut regrouper en deux grands types :
- Les rachats dit « conjoncturels » qui regroupent l’ensemble des rachats
provoqués par une opportunité d’arbitrage logique offrant un meilleur rendement à
l’assuré sur un autre produit.
- Les rachats dit « structurels » qui regroupent l’ensemble des causes non
rationnelles poussant l’assuré à racheter son contrat (par exemple un déménagement,
l’achat d’une voiture ou tout autre besoin de fonds).
Il n’est malheureusement pas possible pour l’assureur de différencier ces types de
rachats dans son historique de données et c’est pourquoi l’étude des rachats est souvent
approximé par un taux fixe global.
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2.3.2 : Les enjeux liés à ce risque
Cet acte de gestion dont le volume est bien plus important que le décès va fortement
impacter la durée de disparition du portefeuille dans une projection en run off. Maîtriser
ces sorties permettront :
1. D’assurer une gestion actif-passif au plus près permettant de maîtriser le risque
de liquidité.
2. Une stratégie de hedging efficace, puisqu’elle colle au sorties réelles du
portefeuille.
3. De connaître au mieux l’évolution de l’encours global du portefeuille et ainsi de
connaître les futurs capitaux de solvabilité nécessaires, les frais futurs générés et
donc le rendement financier du portefeuille pour l’assureur et ainsi donner une
valeur du portefeuille (MCEV).
Le rachat anticipé des contrats d’épargne est donc un risque important pour l’assureur.
La difficulté d’évaluation de ce risque, comme nous venons de le voir, est que l’assuré ne
l’exerce pas rationnellement par rapport aux conditions de marché. C’est pourquoi ces
sorties anticipées peuvent amener l’assureur à devoir vendre des actifs pour rembourser
le capital et verser les intérêts à un moment inopportun sur le marché financier, par
exemple lorsque les plus-values potentielles sont faibles. En cas de sorties favorables
pour l’assuré, la société d’assurance se fragilisera si elle n’a pas incorporé ce risque dans
ces coûts en puisant dans ses réserves et en s’empêchant d’en constituer pour des
périodes moins rentables. Compte tenu de la situation presque à maturité du secteur de
l’assurance-vie, il devient difficile pour les compagnies d’assurance de rembourser les
sorties de contrats par la simple rentrée d’argent que constituent les nouveaux entrants.
Le risque pour l’assureur s’explique par l’écart entre le tableau de flux initialement
prévu lors de la souscription du contrat et l’échéancier affecté par les sorties anticipées
effectivement constatées.
L’argent dû aux assurés est provisionné chaque année. Le portefeuille correspondant,
sur lequel est adossé le contrat, n’est pas gelé. L’actif correspondant aux sommes
provisionnées est toujours investi par l’assureur pour son propre compte.
Un risque est donc l’écart entre la somme versée à l’assuré et l’argent gagné sur les
marchés financiers. En effet, en cas de vente après une hausse des taux, l’actif
d’adossement, composé d’obligations achetées avec l’argent déposé par l’assuré, ne suffit
pas à rembourser le montant dû.
L’assureur peut donc soit vendre plus d’obligations, au risque de désadosser les contrats
restants, soit emprunter de l’argent sur le marché.
Les enjeux liés au risque de rachat sont importants et peuvent être lourd de
conséquences mais ils ont été limités grâce à une fiscalité désavantageuse sur les
première années de vie du contrat et une fiscalité avantageuse au-delà de 8 ans. C’est
pourquoi l’ancienneté de chaque contrat peut être un bon point de départ pour étudier
les rachats dans notre étude.
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Section 2.4 : Le risque de versement
2.4.1 : Description du risque
Les versements se décomposent en trois types : Les versements initiaux, les versements
libres et les versements libres programmés. L’ensemble des versements représente
l’apport en affaires nouvelles du portefeuille. Cependant selon le type de versement, cet
apport sera plus ou moins facilement prévisible.
Les versements libres programmés sont les plus faciles puisque l’assuré défini
contractuellement son plan de versement. Ce plan peut être mensuel, trimestriel,
semestriel ou annuel. Dans tous les cas la mise en place, par un assuré, de ce type de
versement montre une volonté d’investir à intervalle régulier dans ce produit et pour une
période assez longue. C’est pourquoi il existe une assez grande stabilité dans l’encours de
ces versements qui peuvent être approchés soit par une fonction en escalier, soit par
régression linéaire sur l’ensemble du périmètre.
Pour les versements initiaux et les versements libres la modélisation est plus difficile
puisqu’elle dépend essentiellement du libre arbitre des assurés. Ces versements peuvent
avoir différentes causes :
- Une campagne commerciale intense relançant les versements initiaux.
- Un attrait nouveau concernant un fonds prometteur qui permettra une
meilleur rentabilité pour l’assuré.
- Une volonté d’investir dans un produit sans risque (c'est-à-dire sur un fonds
en euros) durant une période de crise.
- Et les nombreux avantages que procure l’assurance-vie.
Il existe un grand nombre de variables exogènes pouvant expliquer ces versements c’est
pourquoi il nous semble difficile d’isoler ces variables et d’avoir une approche contrat par
contrat. Par contre nous possédons un portefeuille ayant un nombre de contrat
conséquent il nous est donc possible de déterminer une tendance générale des
versements et c’est pourquoi nous avons décidé de considérer les versements comme une
série temporelle dans notre étude.
2.4.2 : Les enjeux liés à ce risque
L’apport en affaire nouvelle conditionne les résultats d’un portefeuille. Effectivement un
déclin de l’encours global qui s’explique par un plus grand nombre de sorties que
d’entrées serait le signe d’un manque de dynamisme du produit. La modélisation des
versements participe au fait de pouvoir anticiper ce problème et d’y remédier par une
campagne commerciale ou par le lancement de nouveau fonds. C’est pourquoi avoir une
bonne prévision de cet apport est un atout pour l’assureur qui pourra ainsi anticiper et
mieux gérer son portefeuille.
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Chapitre 3 : Rappels théoriques
Ce chapitre présente les rappels théoriques nécessaires à la quantification des différents
risques étudiés. Nous commencerons par voir différentes façons de construire une table
de mortalité périodique puis prospective, nous parlerons de l’approche retenue pour la
modélisation des rachats et nous finirons par des rappels sur les séries temporelles que
nous appliquerons par la suite.
Section 3.1 : Construction de table de mortalité
3.1.1 : Modèle paramétrique : La loi de Makeham
Dans cette section, nous allons rappeler un modèle paramétrique simple et bien connu de
la littérature, le modèle de Makeham, nous permettant de déterminer les taux de
mortalité et ainsi construire une table de mortalité adapté à notre portefeuille. Nous
décrirons aussi ses avantages et ses inconvénients ainsi que la validité de ce modèle.
L’approche paramétrique consiste à résumer l’information disponible dans un nombre
restreint de paramètres. Ces paramètres seront estimés à l’aide de nos données dans la
troisième partie.
3.1.1.1 : Le modèle de Makeham
L’un des premiers à modéliser le taux de mortalité est Gompertz (1825) et il considère
que ces taux adoptent une allure exponentielle en fonction de l’âge. Ce choix de modèle
avait pour but de décrire les deux phénomènes suivants :
- L’irrémédiable détérioration de la santé.
- Le hasard.
Son modèle est le suivant: x
x cb
Avec : 0b et 1c
Cette approche ne prend pas en compte les accidents ou bien les maladies survenant à
tout âge. C’est pourquoi Makeham quelques années plus tard va proposer de compléter
la formule de Gompertz par un terme indépendant de l’âge.
Ainsi le modèle devient : x
x cba
Avec : 0a , 0b et 1c
Le modèle de Makeham revient donc à considérer que le taux instantané de mortalité à
l’âge x se décompose de la manière suivante :
- Un premier terme constant a , qui est indépendant de l’âge et qui représente la
mortalité accidentelle ainsi que celle due aux maladies pouvant survenir quelque soit
l’âge.
- Un second terme croissant en x , xcb qui représente la mortalité due au
vieillissement pour laquelle on postule un comportement exponentiel.
On remarque que pour ce choix de modèle nous avons :
ccbdx
d xx ln
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Ainsi il apparait que ce modèle ne permet pas de prendre en considération des
décroissances des taux instantanés de mortalité avec l’âge. Nous ne pourrons donc pas
ajuster ce modèle dans les zones sensibles connues que sont les très jeunes âges (où la
mortalité infantile augmente le taux de mortalité) et la bosse des accidents des jeunes
(accidents de la route et suicides des jeunes). Cependant notre étude se concentre sur un
portefeuille d’assurance-vie dont la population est constituée de personnes actives ayant
entre 25 et 90 ans environ. C’est pourquoi nous n’allons pas construire des tables de
mortalité sur l’ensemble des âges mais seulement sur un intervalle utile à notre
portefeuille. Nous ne serons donc pas gêner par ce problème.
Pour ce modèle nous obtenons des formules assez simples pour la probabilité de survie
xt p et pour la loi de survie :
xctc
tx
xt gscc
bctap
11
lnexp
xcxxx gshc
c
bxa
1
lnexp0
Avec : 0ln
exp0
c
bh ; 1)exp( as ; 1
lnexp
c
bg
Puisque, dans la pratique, la valeur de 01c , nous pouvons réaliser un développement
de Taylor du second ordre de la fonction exponentielle, ainsi les probabilités annuelles de
décès peuvent être approchées par :
1ln
exp
cc
cbap
x
x et xx pq 1
3.1.1.2 : Adéquation de la courbe au modèle
Avant de s’intéresser à l’estimation des paramètres nous devons nous intéresser à la
validité de notre modèle. Pour cela nous pouvons remarquer que :
gccspq xxx ln1lnln1ln
Or lorsque les xq sont proches de 0 nous pouvons faire un développement de Taylor à
l’ordre 1 de notre équation ce qui nous donne :
gccsqq xxx ln1ln1ln
Il en résulte : 0ln12
1 gccqq xxx
On obtient donc : gccxqq xx ln1lnlnln2
1
Sous l’hypothèse que les taux de mortalité suivent une loi de Makeham, les points
xx qqba 1ln, sont alignés sur une droite de pente cln . On peut donc déterminer
si notre choix de modèle est judicieux en effectuant une régression linéaire et en
déterminant le 2R associé.
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3.1.1.3 : Estimation des paramètres par la méthode de frère
Après avoir validé le choix de notre modèle nous pouvons nous intéresser à l’estimation
des paramètres.
On note xp̂ une estimation de la probabilité de survie basée sur un échantillon et
maxmin, xx l’intervalle sur lequel nous allons travailler.
La méthode de frère consiste à décomposer la fourchette d’âges maxmin, xx
en deux 38,minx et max,39 x , pour négliger a dans la deuxième région.
Nous utiliserons une nouvelle paramétrisation du modèle de Makeham :
xx clap ln
Avec : gcl ln)1(
Ainsi, dans la deuxième région, nous pouvons négliger a qui représente le risque de
décéder par un accident par rapport au deuxième terme représentant le risque de
décéder à cause du vieillissement naturel.
Nous obtenons donc :
)ln()ln()ln(ln cxlpx
Nous pouvons alors appliquer la méthode des moindres carrés dans la région 2 pour
déterminer les paramètres l et c , c'est-à-dire que ces paramètres minimisent la formule
suivante :
max
39
2lnlnˆlnln
x
xx cxlp
Par la suite, il suffit d’appliquer la même méthode dans la première région pour
déterminer a c'est-à-dire que ce paramètre minimise :
38
min
ˆlnxx
xx clap
Cette méthode a un avantage évident c’est qu’elle propose des solutions explicites pour
les solutions retenues. Nous obtenons donc :
max
39
2max
2max
39
max
39
max
39
max
39max
38
ˆlnln38ˆlnln
ˆlnx
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
pxxpx
c
max
39
max
39max
ˆlnˆlnln38
1ˆlnx
x
x
xx xcp
xl
38
minmin
ˆˆˆln39
1ˆ
xx
xx clp
xa
Il existe quelques inconvénients concernant cette méthode qui fait intervenir un choix
arbitraire celui du pivot séparant la fourchette d’âge en deux. De plus l’approximation
qui consiste à négliger a pour des âges dépassant notre pivot, peut sembler peu
rigoureuse. Cependant le modèle de Makeham donne en général de bons résultats et à
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l’avantage d’avoir des solutions explicites simples. C’est pourquoi nous avons décidé de
conserver ce modèle comme première approche mais de compléter la construction des
tables de mortalités périodiques par une approche non-paramétrique, la méthode de
Kaplan Meier.
3.1.2 : Modèle non-paramétrique : Kaplan Meier
Nous poursuivrons les rappels sur la construction des tables périodiques de notre
portefeuille par la méthode de Kaplan Meier qui est une approche non paramétrique
ayant pour principal avantage de ne pas faire d’hypothèse a priori sur la forme de la loi
de survie, ce qui revient à estimer directement cette fonction dans un espace de
dimension infinie.
3.1.2.1 : L’estimateur de Kaplan Meier
L’estimateur de Kaplan Meier s’appuie sur le fait que la probabilité de survivre au-delà
de st peut s’écrire :
sSsTtTsTsTtTtS
On peut renouveler l’opération, ce qui fait apparaître des produits de termes en
sTtT ainsi en choisissant comme instant de conditionnement les instants où se
produit un évènement (par exemple une sortie) nous nous ramenons à estimer des
probabilités de la forme :
1 iii TTTTp
Ce qui représente la probabilité de survivre sur l’intervalle ii TT ,1 sachant que nous
étions vivants à l’instant 1iT .
Un estimateur naturel de ii pq 1 est : 1
ˆ
in
d
r
dq i
i
ii
Où id est une variable d’état qui vaut 0 ou 1 selon si la personne est décédée ou vivante
et ir le nombre de personnes.
On observe alors qu’à l’instant iT , et en l’absence d’ex aequo, s’il y a sortie par décès
alors 1id , et dans le cas contraire l’observation est censurée et 0id .
L’estimateur de Kaplan Meier s’écrit donc finalement :
tiT
iD
intS
1
11ˆ
En pratique nous aurons obligatoirement des ex aequo c’est pourquoi nous supposerons
par convention que les observations non censurées précèdent toujours les observations
censurées. L’estimateur de Kaplan Meier s’écrit :
tiT i
i
r
dtS 1ˆ
On utilisera la version continue à droite de la fonction de survie. Dans le cas où il y a des
arrivées en cours de période, l’expression reste valable en tenant compte de celles-ci dans
le calcul de ir .
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3.1.2.2 : Les principales propriétés
L’estimateur de Kaplan Meier possède un grand nombre de propriétés très intéressantes
pour un statisticien, cet estimateur est considéré comme la généralisation naturelle de
l’estimateur empirique de la fonction de répartition en présence de censure :
- Il est convergent dès que la fonction de survie et la distribution des censures
n’ont pas de discontinuité commune.
- Il est cohérent c'est-à-dire que la propriété suivante est vérifiée :
n
i iiDtiT
n
itiT
TS
tS
ntS
10,
1ˆ
ˆ11
1ˆ
Cette formule signifie que les survivants au-delà de t sont la somme des individus ni
morts, ni censurés avant t et des individus qui, censurés en iT avant t , survivent après
t avec la probabilité conditionnelle
iTS
tS
ˆ
ˆ.
- Il est asymptotiquement gaussien si les fonctions de répartition de la survie et
de la censure n’ont aucune discontinuité commune :
),0(ˆ d
SSn
Avec comme covariance :
ts
uGuF
udFtSsSts
02
11,
3.1.3 : Table prospective : Méthode de Lee & Carter
L’objectif des tables prospectives est de tenir compte des évolutions à venir de la table de
mortalité. Les méthodes usuelles cherchent tout d’abord à ajuster les tendances passées,
puis à les extrapoler à l’avenir. La méthode de Lee & Carter possède les avantages et les
inconvénients de l’objectivité puisqu’elle n’incorpore pas d’avis d’expert sur l’évolution
présumée de la mortalité, sur les progrès de la médecine, l’apparition de nouvelles
maladies ou encore l’évolution du style de vie. Cette méthode se borne à extrapoler dans
le futur les tendances constatées dans le passé.
3.1.3.1 : Présentation de Lee & Carter
Historiquement cette méthode d’extrapolation des tendances passées était utilisée par
les américains mais elle est vite devenue un standard.
La modélisation retenue est la suivante :
txtxxtx k ln
Avec : - tx qui est le taux instantané de mortalité à la date t pour l’âge x.
- tx iid et qui suit une loi 2,0 N .
- x s’identifie à la valeur moyenne des txln au cours du temps.
- x traduit la sensibilité de la mortalité instantanée à l’âge x par rapport à
l’évolution générale tk .
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L’idée de ce modèle est d’ajuster à la série des logarithmes des taux instantanés de décès
une structure déterministe à laquelle on rajoute un phénomène aléatoire. Le critère
d’optimisation retenu va consister à maximiser la variance expliquée par le modèle c'est-
à-dire à minimiser la variance des erreurs.
Des contraintes sur les paramètres viennent compléter le modèle pour le rendre
identifiable. Lee & Carter proposent de fixer la valeur des sommes des x et des tk de la
manière suivante :
1max
min
x
xxx et 0
max
min
t
tttk
D’après le modèle, la conclusion est que le taux de mortalité à l’âge x pour l’année t est
donc décomposé sur l’échelle logarithmique, à un terme d’erreur près, en la somme d’une
composante spécifique à l’âge x et d’un produit entre un paramètre temporel décrivant
l’évolution générale de la mortalité et un paramètre propre à l’âge décrivant l’évolution
du taux à l’âge a par rapport à ceux relatifs aux autres âges. On espère bien entendu que
la variance des erreurs tx sera aussi petite que possible. Ainsi, la majeure partie de la
variance des tx à chaque âge x sera expliquée par le paramètre tk , les tx n’étant plus
qu’un bruit blanc.
3.1.3.2 : Estimation des paramètres
Il est clair que le modèle présenté ne peut pas être ajusté par une simple régression
linéaire. Les paramètres s’obtiennent par un critère de moindres carrés (non linéaire). Il
faut donc résoudre le système suivant :
tx
txxtxtxx kk,
2ˆlnminargˆ,ˆ,ˆ
La résolution de ce système demande une assistance informatique et nous avons choisi
d’utiliser le logiciel « LifeMetrics » pour nous aider à calibrer, à prédire et à simuler
l’ensemble de tout ce que nous avions besoin pour l’application de ce modèle.
Section 3.2 : Loi de Rachat
L’approche retenue pour l’étude des rachats est de type : fréquence de racheter fois coût
moyen du rachat.
Pour cela nous avons défini un taux de rachat à la date t comme le rapport entre le
nombre de contrats sortis à cette date et le nombre de contrats non encore rachetés juste
avant cette date.
Ainsi chaque contrat de notre portefeuille a une probabilité d’être racheté que nous
appellerons p et qui correspond au taux de rachat défini. Puis dans le cas du rachat
nous devons déterminer le pourcentage de l’épargne racheté ce qui nous permet de
déterminer le montant de ce dernier.
Cependant pour tenir compte des facteurs externes qui poussent les assurés à racheter il
convient de déterminer la loi de rachat en fonction de variables explicatives qui sont
l’ancienneté des contrats et le temps.
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3.2.1 : Loi de rachat en fonction de l’ancienneté
Le premier cas étudié considère que la loi de rachat dépend de l’ancienneté du contrat.
Nous allons donc construire une probabilité de racheter un contrat en fonction de son
ancienneté. Ce cas prend en compte l’importance évidente de la fiscalité dans les rachats.
Il existe deux états : L’état de racheter son contrat et l’état de ne pas racheter. A chaque
état nous associons une probabilité xp dépendant de l’âge du contrat et calculé sur les
données historiques de notre portefeuille. De même pour le pourcentage de l’épargne
racheté que nous déterminons aussi en fonction de l’ancienneté. Ce pourcentage est
déterminé par 20 fourchettes de 5% allant donc de 0% à 100% d’épargne racheté (100%
étant un rachat total).
3.2.2 : Loi de rachat en fonction du temps
Une deuxième approche pour déterminer le taux de rachat est de considérer que les
rachats dépendent du temps et donc de considérer la probabilité de racheter comme une
série temporelle. Nous allons donc déterminer une probabilité tp dépendant du temps
cette fois par un modèle ARMA. Le pourcentage de l’épargne racheté est déterminé sur
l’ensemble de notre période.
Section 3.3 : Modélisation des séries temporelles
Différentes séries peuvent être considérées comme des série temporelle que nous
chercherons à modéliser comme des SARIMA. Cette méthode de modélisation cherche
d’abord à isoler des tendances générales puis se concentre sur ce qu’il reste c'est-à-dire le
résidu pour estimer la série en exploitant les propriétés statistiques de cette dernière.
3.3.1 : Quelques définitions :
Pour étudier une série temporelle il faut d’abord identifier si cette série à une tendance,
une saisonnalité et surtout si cette série est stationnaire. Nous allons rappeler la
définition de ces termes.
Soit tX une série temporelle.
Définition 1 : On parle de tendance linéaire lorsque la série peut se décomposer en
tt btaX où t est une série stationnaire.
Plus généralement, on parle de tendance polynômiale lorsque la série peut se décomposer
en : tpp
t ataX 11 où t est stationnaire.
Définition 2 : On parle de saisonnalité, ou de périodicité, lorsque la série se décompose en
ttt sX où ts est périodique et où t est un résidu non-périodique et sans tendance.
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Définition 3 : Un processus Ztxt , est dit stationnaire, au sens faible, si :
- 2, txEZt
- mxEZt t ,
- hxxZht htt ,cov,, 2, indépendant de t .
3.3.2 : Les modèles ARMA :
Le modèle ARMA(p,q) est composé de deux parties : une part autorégressive (AR) et une
part moyenne mobile (MA) où p est l’ordre de la part AR et q est l’ordre de la partie MA.
Les processus AR (p) :
Le processus stationnaire ZtXt , satisfait une représentation AR d’ordre p, notée
AR(p), si et seulement si :
t
p
iitit XcX
1
Avec : c , i , 1i , 0p , t est un bruit blanc
On parle ici de représentation autorégressive, dans le sens où la variable tX est
déterminée par les valeurs passées ptt XX ,,1 . Les différentes conditions sur les
paramètres signifient que tous les paramètres du polynôme peuvent être nuls à
l’exception du paramètre correspondant au p-ième retard.
Les processus MA (q) :
Le processus ZtXt , satisfait une représentation MA d’ordre q, notée MA(q), si et
seulement si :
t
p
iitit cX
1
Avec : c , i , 1i , 0p , t est un bruit blanc
Les processus ARMA(p,q) :
Le processus ZtXt , satisfait une représentation ARMA d’ordre p et q, notée
ARMA(p,q), si et seulement si :
t
p
iiti
p
iitit XcX
11
Avec : c , i , 1i , 0p , i , 1i , 0p , t est un bruit blanc
3.3.3 : Les modèles SARIMA :
En règle général, l’hypothèse de stationnarité demandée dans les modèles ARMA n’est
pas vérifiée. Dans ce cas les modèles ARIMA prennent tout leur sens. Effectivement on
peut étudier la série des différences premières ou les différences à des ordres plus élevés
qui seront stationnaires et se ramener ainsi à un processus ARMA.
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d’une garantie plancher.
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Les processus ARIMA(p,d,q) :
Le processus ZtXt , satisfait une représentation ARIMA si et seulement si :
td
t YLX 1
Avec : tY : un processus ARMA(p,q)
Pour passer d’une série à l’autre il suffit d’appliquer un filtre dL1 , où L est
l’opérateur de retard et d l’ordre de différentiation du processus.
Enfin les modèles SARIMA peuvent être vus comme une généralisation des modèles
ARIMA, contenant une partie saisonnière.
Les processus SARIMA(p,d,s,D,q) :
Le processus ZtXt , satisfait une représentation SARIMA si et seulement si :
t
Dst YLX 1
Avec : tY : un processus ARIMA(p,d,q), s la saison et D la différence saisonnière.
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PPAARRTTIIEE IIII
LLeess ddoonnnnééeess
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PARTIE II : LES DONNEES
Cette partie présente les données à partir desquelles les travaux ont été réalisés. Elle
décrit les fichiers bruts utilisés, puis les différents traitements réalisés permettant
d’obtenir des informations exploitables et enfin énumère les choix faits et les raisons qui
y ont conduit.
Chapitre 1 : Présentation des données
Ce chapitre décrit :
les données brutes issues du système d’information et les informations
disponibles,
les traitements réalisés,
les données retraitées.
Section 1.1 : Description des fichiers issus du système d’information
La profondeur de l’historique doit être assez grande pour permettre de réaliser une étude
complète et significative sur le comportement des assurés. Pour modéliser correctement
les rachats, une profondeur minimum de 8 ans est nécessaire du fait de la fiscalité.
Les fichiers peuvent être classés en trois catégories :
les arrêtés de compte contenant le nombre d’unités de compte (UC) par contrat et
par fonds, au 31/12, après versement de la participation aux bénéfices (fonds
euro), prélèvement des frais de gestion sur encours et des prélèvements sociaux.
L’arrêté de compte principal sur lequel s’appuie l’étude est celui du 31/12/2007.
les mouvements financiers (dates d’effet, montant brut de frais…) avec leur
décomposition d’investissement ou de désinvestissement par fonds.
les informations concernant les assurés (sexe, date de naissance, date de décès…)
et le contrat (date de souscription, état du contrat…)
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Section 1.2 : Reconstitution de l’épargne
Une grande partie du travail réalisé sur les données a été de reconstituer l’épargne des
contrats à la date de chaque mouvement. Ce calcul a été réalisé en partant de l’arrêté de
compte et en retirant chaque mouvement rencontré.
Un exemple très simple permet de comprendre rapidement la démarche. Soit un contrat
comportant un versement initial (au 12/05/07) et un rachat partiel (au 17/06/07).
Opérations VI FG Rachat FG FG FG FG FG FG FG PB AC
Dates 12/05/07 31/05/07 17/06/07 30/06/07 31/07/07 31/08/07 30/09/07 31/10/07 31/11/07 31/12/07 31/12/07 31/12/07
UC 1 40,23 - 0,02 - 40,21 - - - - - - - - -
UC 2 22,63 - 0,01 - - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 22,54
UC 3* 2 567,89 - - - - - - - - - 81,24 2 649,13
* Fonds euros
Opérations VI FG Rachat FG FG FG FG FG FG FG PB
Dates 12/05/07 31/05/07 17/06/07 30/06/07 31/07/07 31/08/07 30/09/07 31/10/07 31/11/07 31/12/07 31/12/07
UC 1 - 40,23 40,21 - - - - - - - -
UC 2 - 22,63 22,62 22,62 22,61 22,60 22,58 22,57 22,56 22,55 22,54
UC 3 - 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89
Les épargnes sont obtenues de proche en proche jusqu’au premier mouvement amenant
à une épargne initiale nulle.
Date d’effet
Etat
Date de fin
Souscriptions
Sexe
CSP
Date de naissance
Date de décès
Assurés 1 n
Date d’effet
Etat
Mouvements
Code UC
Variation d’UC
Mouvements UC
1
n 1 n
Date d’effet
Etat
Arrêté de compte
Code UC
Nombre d’UC
AC par UC
n 1 n
1
1
n
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Remarque : la capitalisation du fonds euro n’est prise en compte qu’une fois par an au
travers de la PB. Cette approximation n’a que très peu d’effet sur les résultats car la PB
anticipée est assez faible par rapport au montant de l’épargne.
Des retraitements manuels ont dû être réalisés. En effet certains mouvements
n’apparaissaient pas en base ou alors avec des montants erronés. Ces écarts sont faciles
à identifier car une épargne non nulle est alors obtenue sur le versement initial. Un
fichier recensant les corrections manuelles par les gestionnaires (système de cales) a
permis de corriger ces écarts.
Section 1.3 : Description des variables
Voici une description des différentes variables présentes dans les fichiers :
le numéro client de l’assuré (permettant de faire le lien si celui-ci possède
plusieurs contrats),
le sexe de l’assuré,
la date de naissance de l’assuré,
la date de décès de l’assuré,
la CSP de l’assuré,
la date d’effet du contrat,
l’identifiant de chaque mouvement,
le type de mouvement (frais, rachat partiel, arbitrage…),
la date d’effet de chaque mouvement
le montant d’investissement ou désinvestissement par mouvement et par
fonds,
l’état du mouvement (les mouvements annulés ont été supprimés de l’étude),
l’état du contrat (encours, annulé, racheté…),
la date de cet état,
le nombre d’UC par fonds et par contrat au 31/12/07,
les valeurs liquidatives hebdomadaires de chaque fonds.
Chapitre 2 : Traitement des données
Ce chapitre décrit :
les notions de censure et troncature,
la fiabilisation des données,
les traitements réalisés sur celles-ci.
Section 2.1 : La censure et la troncature
Les individus du portefeuille ne sont pas observés de leur naissance à leur décès. Il est
important de correctement géré ce manque d’information au risque de biaiser les
résultats. Les notions de « censure » et « troncature », complétées par la méthode de
Kaplan-Meyer, permettent de tenir compte de l’incomplétude de ces informations.
Lorsqu’un assuré souscrit un contrat d’épargne, il est alors entre deux anniversaires x et
x+1. L’observation de l’âge x de l’assuré est alors incomplète.
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De même lorsqu’un assuré sort du portefeuille (rachat, décès) l’âge de la dernière année
d’observation est censuré. Pour la méthode actuarielle les données censurées et
tronquées ont un poids d’un demi.
Section 2.2 : Détection et traitement des valeurs aberrantes
Il existe dans tout système de gestion de nombreuses valeurs erronées (montants, dates,
doublons…). Les inventaires permettent d’en détecter et corriger une grande partie.
Le premier lot d’erreurs est découvert suite à l’arrêt des macros : âge négatifs,
dépassement de capacité.
La deuxième méthode est visuelle. L’étude des différents graphes révèlent des pics
« étranges » ou des résultats contre intuitifs. Cela a permis d’identifier des biais, en effet
il existait des arbitrages automatiques suite à la fermeture de fonds.
Exemple du graphique des variations par UC pour deux fonds de même nature dont la
cotation de l’un s’arrête pendant la période d’observation :
Le nombre d’arbitrages explose à une date donnée. Ce graphique est l’illustration d’un
cas concret d’arbitrage automatique suite à la fermeture d’un fond que nous n’avons pas
pris en compte.
Ces deux premières approches sont empiriques, elles permettent d’identifier une grande
partie des données erronées mais ne garantissent pas une correction complète. Certaines
données sont présentes plusieurs fois en base (date de naissance, sexe et qualité…), en
les recoupant il est donc possible de relever des contradictions qui peuvent ensuite être
corrigées par déduction.
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Pour les mouvements une recette a été effectuée pour s’assurer que la somme des
variations permettait de reconstituer les anciens arrêtés de compte. Concernant les
arbitrages, les contrôles vérifiaient que la somme des désinvestissements correspondait à
la somme des investissements.
Section 2.3 : Adapter les données aux différents risques étudiés
Après avoir fiabiliser les données, différents traitements sont réalisés pour permettre la
création d’une table d’expérience sur la mortalité du portefeuille.
1. Les dates de début et fin d’observation sont déterminées, en sachant qu’un assuré
peut avoir plusieurs contrats :
La date de début d’observation est égale au minimum des dates d’effet des
contrats de l’assuré.
La date de fin d’observation est égale à :
la date de décès si l’assuré est décédé,
au 31/12/2007 si l’assuré a un contrat en vigueur à cette date,
sinon au maximum des dates de fin d’effet des contrats de l’assuré,
2. Une fois ces deux dates obtenues, il est facile, en utilisant sa date de naissance, de
connaître les âges auxquels l’assuré a été observé. Pour chaque assuré et pour
chaque âge de 0 à 107 ans, la macro VBA détermine s’il s’agit de l’âge d’entrée en
portefeuille (« T » pour tronqué), d’un âge observé entièrement (c'est-à-dire
compris strictement entre l’âge d’entrée et l’âge de sortie : « X ») ou de l’âge de
sortie du portefeuille (« C »).
Cette méthode permet de discrétiser l’évaluation par Kaplan-Meyer. Le pas utilisé est
annuel pour des raisons de places de stockage et de temps de traitement.
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Le tableau et le schéma ci-dessous illustrent le traitement réalisé :
Il est facile ensuite d’en déduire la mortalité, par exemple à 62 ans ont été observés, 3 assurés sur la totalité de l’année et un décès.
Id assuré
Date de naissance
Date de décès
Date de début d'obs.
Date de fin d'obs.
Âge en début d'obs.
Âge en fin d'obs.
0 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 107
6876987 02/12/ 60 30/12/97 31/12/07 37 47 T X X X X X X X X X C
46587 10/08/39 07/01/98 31/12/07 68 78 T X X X X X X X X X C
4653 19/01/51 31/12/97 31/12/07 46 56 T X X X X X X X X X C
145629 16/11/38 31/12/97 31/12/07 59 69 T X X X X X X X X X C
43729 26/03/ 37 07/07/99 31/12/97 07/07/99 60 62 T X D
325476 03/06/42 03/12/97 15/12/06 55 64 T X X X X X X X X C
Assuré 6876987
Assuré 46587
Assuré 4653
Assuré 145629
Assuré 43729
Assuré 325476
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Pour les rachats il a fallu créer un fichier répertoriant l’ensemble des mouvements
correspondant en incluant les variables suivantes :
Le numéro du contrat,
La date d’effet du contrat,
La date d’effet du rachat,
L’épargne avant le rachat,
L’épargne après le rachat.
Ce fichier, qui a été épuré des rachats annulés ou des montants aberrants, a permis de
construire différentes variables utiles à notre étude :
L’ancienneté des contrats lors de son rachat,
Le pourcentage d’épargne racheté.
Puis à partir de cette table nous avons pu extraire, par macro, les informations utiles à
notre étude en sélectionnant les critères dont nous avions besoin (par exemple le nombre
de contrat ayant réalisé un rachat durant sa première année de vie avec le cumul des
montants associés). Nous disposions alors de l’ensemble des statistiques nécessaire à la
construction de notre loi de rachat.
Concernant les versements, la méthode de reconstitution de l’épargne a permis de créer
des tables regroupant l’ensemble des versements avec leurs dates d’effets associées. Il
aura juste fallu agréger les résultats par mois pour obtenir nos séries temporelles.
Section 2.4 : Volume après traitement
Voici un tableau récapitulant le volume de données supprimées pour l’exercice 2007 :
Année 2007 Nombre de
contrats Nombre de
mouvements
Volumes initiaux 213 329 1 532 844
Volume après traitement
en absolu 202 227 1 453 136
par rapport au volume initial
94,80% 94,80%
Le pourcentage de contrats supprimés est le même que le pourcentage de mouvements
supprimés puisque dès qu’une information obligeait la suppression d’un mouvement
alors le contrat au complet était supprimé, et vice et versa.
Enfin il faut préciser que 9,67% des données erronées ont pu être reconstituées passant
ainsi le pourcentage de volume de données supprimées de 14,87% au 5,20% du tableau.
La reconstruction a été possible par les nombreux doublons disponibles.
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Chapitre 3 : Les différents choix réalisés
Section 3.1 : Choix du périmètre de l’étude
Le périmètre de l’étude est un choix très important puisqu’il va conditionner l’ensemble
des résultats. Différentes contraintes antagonistes existent : le nombre d’années
d’observation doit être suffisant pour obtenir des volumes d’étude suffisants, des années
trop anciennes peuvent intégrer des informations caduques (du fait de la fiscalité, la
réglementation, …).
Le portefeuille contient des mouvements financiers entre le 1er janvier 1997 et le 31
décembre 2007 ce qui permet d’observer une période de neuf années complètes et
d’étudier un cycle de vie d’un contrat d’épargne.
Les deux premières années ne contiennent pas assez de données pour être exploitables
puisque moins de 10 000 contrats sont présents. L’étude porte donc sur une période de 9
années du 1er janvier 1999 au 31 décembre 2007. La dernière année est complète c'est-à-
dire que l’ensemble des sinistres ont été enregistrés.
Cette période contient la crise de la bulle internet de 2001 permettant d’observer la
réaction des assurés en temps de crise, ainsi que les jours suivant le 11 septembre
associés à une sécurisation de l’épargne.
Section 3.2 : Choix concernant les tables de mortalités
Pour la construction des tables de mortalité, les informations disponibles ne permettent
pas de réaliser des tables sur l’ensemble des âges. Les âges faibles (inférieurs à 21 ans)
et élevés (supérieurs à 88 ans) ne sont donc pas étudiés. Le fait que la table d’expérience
n’intègre pas les âges extrêmes n’a aucune incidence car ces âges ne sont pas (ou peu)
présents en portefeuille et qu’ils n’ont pas besoin d’être modélisés.
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Chapitre 4 : Statistiques descriptives
Une fois l’ensemble des données traitées, il est possible de s’intéresser aux statistiques
descriptives du portefeuille. Ce chapitre présente les principales statistiques en
commençant par un aperçu général des données, puis en présentant plus
particulièrement les données liées aux différents risques étudiés.
Section 4.1 : Le portefeuille
Le premier tableau présente l’évolution du nombre de contrat moyen, l’encours associé et
l’épargne moyen d’un contrat le long du périmètre retenu.
Années Nbre de
contrats
Encours
moyen
Epargne moyen
d'un contrat
1999 29 429 244 798 103 € 8 318 €
2000 72 146 685 127 701 € 9 496 €
2001 103 548 875 837 358 € 8 458 €
2002 121 805 948 424 099 € 7 786 €
2003 125 205 971 131 691 € 7 756 €
2004 125 487 1 098 939 404 € 8 757 €
2005 128 162 1 284 152 408 € 10 020 €
2006 161 666 1 716 618 760 € 10 618 €
2007 202 227 2 422 203 302 € 11 978 €
Ce portefeuille est donc assez jeune, puisqu’en 1999 le nombre de contrat ne dépasse pas
les 30 000 alors que nous avons plus de 200 000 contrats en 2007, c'est-à-dire presque
sept fois plus. Ce portefeuille n’est pas encore arrivé à maturité puisque même si entre
2002 et 2005 le nombre de contrat est assez stable (autour de 125 000) nous pouvons voir
une très nette progression durant les deux dernières années de 26% en 2006 et de 25%
en 2007.
L’épargne moyenne d’un contrat calculée comme le rapport de l’encours moyen sur le
nombre de contrat moyen suit une évolution assimilable à celle des marchés financiers.
Effectivement la période boursière 2000-2003 conserve une tendance générale baissière
et coïncide avec la baisse de l’épargne des contrats. Puis la période 2004-2007, où la
santé financière des marchés était repartie à la hausse, l’épargne connaît une forte
hausse d’environ 50% en 4 ans. Les contrats étudiés étant des contrats multisupport
investis sur des fonds en unité de compte il est assez logique de retrouver ce résultat qui
concorde aussi avec l’évolution des fonds disponibles pour ce produit.
De plus la nette augmentation du nombre de contrat sur la période 2006-2007 coïncide
avec une période de forte rentabilité et donc avec un réel attrait de ce produit pour les
nouveaux assurés. Nous pouvons noter que la confiance des assurés en la solidité des
marchés est assez longue à revenir puisque même si dès 2004 la rentabilité des fonds
proposés dépassait, en général, les 10%, il faudra attendre 2006 pour que la croissance
du portefeuille reprenne.
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PRINGAULT Manuel 43/115
La répartition homme / femme du portefeuille est plutôt bien respectée puisque pour
prendre l’exemple de la dernière année (2007) nous avons :
Pourcentage
d'homme
Pourcentage
de femme
55,34% 44,66%
Il est aussi intéressant de regarder la répartition des assurés en fonction de leurs âges
sur l’ensemble du périmètre d’étude.
Et voici quelques statistiques associées :
Moyenne du nombre
d’assurés par âge 20 938
Max 37 144
Min 1 310
Variance 130 057 510
Ecart type 11 404
Kurtosis -1. 39196
L’augmentation du nombre de personne par classe d’âge est quasi linéaire pour atteindre
son maximum à 57 ans, puis nous observons un deuxième pic autour de 66 ans suivi
d’une décroissance rapide du nombre d’assuré pour des âges plus élevés. La moyenne est
aux alentours de 21 000 personnes et les âges les plus représentés se situent entre 42 et
74 ans.
Nous pouvons aussi déterminer l’âge moyen des assurés du portefeuille pour la période
des 9 années étudiées qui est de 55 ans.
Le portefeuille est donc constitué en majeur partie de personnes en fin de vie active et de
jeunes retraités qui profitent des avantages de l’assurance vie pour constituer un capital
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PRINGAULT Manuel 44/115
pouvant servir en complément d’une retraite, à une transmission de patrimoine ou à
d’autres besoins pécuniaires.
Section 4.2 : Les décès
Le nombre de décès par année dépend du nombre de contrats actifs dans le portefeuille,
il faut donc s’intéresser à un nombre moyen de décès par contrat. Effectivement, il y a eu
116 décès en 1999, contre 1306 en 2007, mais ces données sont complètement biaisées
par l’augmentation massive du nombre d’assurés que nous avons pu voir précédemment.
C’est pourquoi le graphique suivant montre l’évolution du nombre de décès moyen par
contrat au cours du temps.
Le taux de décès des hommes est plus élevé que celui des femmes pour chaque année
d’observation cela correspond à une tendance générale souvent vérifiée. Il apparaît que
pour l’année 1999 il y avait en moyenne 4 décès pour 1000 personnes et ce taux
augmente en 2007 à 6,4 décès pour 1000 personnes. Nous observons donc une
augmentation du nombre moyen de décès. Il existe plusieurs explications à ce
phénomène :
- L’âge moyen du portefeuille qui augmente en fonction du temps puisque les
contrats d’assurance vie sont des contrats conservés plusieurs années par les
assurés
- L’effet « fourgous » qui permet aux assurés de transférer leurs anciens
contrats en euros en des contrats multisupport tout en gardant leurs
anciennetés peut entraîner une augmentation de l’âge moyen du portefeuille.
Effectivement une ancienneté élevée est souvent synonyme d’âge plus
important pour les assurés.
Cette liste n’est pas exhaustive. Il est très difficile d’isoler une unique raison à ce
phénomène mais cette étude se concentrera sur la création de table de mortalité
permettant au mieux de maitriser le risque décès quelles qu’en soit les conséquences.
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Section 4.3 : Les rachats
Les différents traitements réalisés sur les mouvements associés aux rachats ont permis
d’isoler les rachats totaux ou partiels annulés. L’ensemble des rachats annulés
représente moins d’un pourcent des rachats valides c’est pourquoi nous les indiquons à
titre indicatif mais nous ne les étudierons pas dans la suite de l’étude.
Voici un tableau récapitulatif des différents rachats par année :
Nombre de rachats
Années Nombre de
contrats Rachat total
Rachat total
annulé Rachat partiel
Rachat
partiel
annulé
1999 29 429 298 (1,01%) 4 415 (1,41%) 14
2000 72 146 660 (0,91%) 15 1 444 (2,00%) 24
2001 103 548 2 342 (2,26%) 16 1 884 (1,82%) 18
2002 121 805 2 508 (2,06%) 15 1 754 (1,44%) 20
2003 125 205 2 633 (2,10%) 7 1 768 (1,41%) 5
2004 125 487 2 545 (2,03%) 9 2 153 (1,72%) 17
2005 128 162 2 367 (1,85%) 7 2 552 (1,99%) 11
2006 161 666 3 049 (1,89%) 42 5 117 (3,17%) 62
2007 202 227 4 973 (2,46%) 26 10 537 (5,21%) 45
Le nombre de rachats augmente parallèlement à la croissance du portefeuille. Nous
pouvons cependant voir que le nombre de rachats totaux et de rachats partiels n’est pas
particulièrement lié. En 1999-2000, les rachats partiels sont majoritaires alors que sur la
période 2001-2004 nous observons l’inverse. Au global nous observons plus de rachats
partiels que de rachats totaux ce qui est assez intuitif puisqu’un assuré pourra réaliser
plusieurs rachats partiels sur le même contrat alors qu’il ne pourra racheter totalement
son épargne qu’une fois.
Le graphique suivant montre l’évolution du nombre de rachats (totaux ou partiels) divisé
par le nombre de contrat au global par mois :
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Ce graphique est assez stable puisqu’il oscille entre 0,2% et 0,4% sur la période 1999-
2006. Enfin nous observons une augmentation du pourcentage de rachats à partir de mi
2006.
La période d’observation inclus une crise financière (l’explosion de la bulle internet de
2000) et il est assez étonnant de ne pas voir un changement significatif du pourcentage
de rachat et donc du comportement des assurés en temps de crise. Il faut regarder plus
précisément chaque mouvement pour voir une augmentation très ponctuelle du nombre
de rachats et surtout du nombre d’arbitrages vers le fonds euros le lendemain du 11
septembre 2001. A titre indicatif les rachats doublent le lendemain de cette date et les
arbitrages vers le fonds euros triplent par rapport à la moyenne des 30 derniers jours.
Cependant ce pic ponctuel est lissé par les données mensuelles et n’apparaît quasiment
pas sur ce graphique.
L’augmentation du pourcentage du nombre de rachats à partir de mi 2006 est par contre
assez significative et peut s’expliquer par l’arrivée à maturité des contrats les plus
anciens. Les avantages fiscaux des contrats d’assurance vie sont optimums dès que les
contrats dépassent les 8 années d’ancienneté. Notre portefeuille étant jeune, nous avions
peu de chance de pouvoir observer durant les premières années le comportement des
assurés ayant un contrat d’au moins 8 ans d’ancienneté ce que nous pouvons faire à
partir de 2005-2006. Effectivement nous observions en 2000 moins de 100 contrats
d’ancienneté supérieure à 8 ans alors qu’à partir de 2005 ce nombre augmente
énormément pour atteindre 3 429 en fin d’année et 14 862 en fin d’année 2006.
Le graphique suivant montre le montant mensuel moyen des rachats :
Ce graphique est lui aussi assez stable avec pour moyenne un montant de 6 175 euros. Il
n’est pas possible de distinguer de tendance particulière mais ce montant concorde avec
l’épargne moyenne disponible qui est légèrement plus élevé. Ce graphique regroupe les
rachats totaux et les rachats partiels qui sont d’un montant naturellement plus faible.
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Section 4.4 : Les versements
Voici un tableau récapitulatif du nombre des différents versements par année :
Nombre de versements
Années VLP Impayés VI Annulation
30 jours VL VL annulés
1999 40 543 287 37 488 262 5 344 94
2000 105 350 621 58 144 306 15 728 299
2001 141 645 1 031 37 527 232 12 231 146
2002 140 617 823 17 979 150 8 742 79
2003 144 452 838 4 072 49 4 496 33
2004 150 966 668 4 959 52 5 235 65
2005 169 349 664 19 374 101 10 948 160
2006 291 142 2 486 58 393 457 22 204 505
2007 468 559 4 284 57 461 376 31 618 437
Pour chaque type de versements, les annulations ou les impayés représentent :
- 0,76% pour les versements libres programmés
- 0,67% pour les versements initiaux
- 1,5% pour les versements libres
Le nombre de versements initiaux et de versements libres est fortement corrélé aux
périodes de crise des marchés. Effectivement la période 2001-2004 est une période de
crise alors que les périodes 1999-2001 et 2004-2007 sont des périodes fastes. Durant la
période de crise nous pouvons constater une très nette baisse du nombre de versements
lié au manque de confiance des assurés. Les versements libres baissent de 73% entre
2000 et 2003, sur la même période les versements initiaux baissent de 93%.
Le nombre de versement libre programmé va par définition être plus régulier que les
autres versements puisque la mise en place de ce type de versements est définie
contractuellement et montre une volonté d’investissement régulier de la part de l’assuré.
Ce nombre reste quasi constant contrairement aux autres types de versements qui sur la
même période auront tendance à baisser.
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Voici les graphiques des montants moyens des différents types de versements :
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Contrairement au nombre de versement, les montants moyens des versements sont assez
uniformes. Cela signifie qu’il existe des périodes fastes aux versements et des périodes de
crises, mais dans le cas où l’assuré choisi de verser de l’argent, le montant moyen reste
quasiment le même.
Le montant des VLP est le plus stable par définition et peut s’approcher par régression
linéaire. Nous observons une légère cassure du montant moyen à partir de janvier 2006
qui fait passer la moyenne des versements de 112 euros sur la période précédent cette
date à 85 sur la période suivant cette date.
Le montant des versements libres et des versements initiaux peuvent s’identifier à des
séries temporelles. Effectivement le montant des versements initiaux est quasiment
stationnaire avec quelques chocs en particulier pendant le mois de juin 2004 ou nous
pouvons voir un montant moyen 5 fois plus important qu’en temps normal et provoqué
par l’arrivée de clients plus fortunés. Cependant sur les 9 années d’observation ce
montant est quasi stationnaire, sans période apparente mais avec un bruit plus ou moins
important.
Le montant des versements libres semble lui aussi correspondre à une série temporelle
ayant un trend légèrement croissant et peut être même une périodicité annuelle puisque
nous pouvons voir des pics plus ou moins régulier en juillet. Ces premières observations
seront vérifiées par des tests adéquats en temps voulu.
Section 4.5 : Définition des périodes de crises
Entre 1999 et 2007 les marchés ont connu différentes périodes fastes ou non et un crack
communément appelée « bulle internet ». Lorsque nous nous intéressons aux différentes
valeurs mobilières constituant le marché français il est assez simple de décrire avec le
recul que nous avons aujourd’hui, les différentes périodes de hausses et de baisses des
marchés grâce aux historiques disponibles. En prenant comme référence l’indice phare
des cotations de paris, le CAC 40, nous pouvons déterminer des périodes très précises de
hausses et de baisses :
Entre le 1er janvier 1999 et le 4 septembre 2000 ainsi qu’entre le 12 mars 2003 et le 13
juillet 2007, le CAC 40 est dans une tendance haussière. Entre le 4 septembre 2000 et le
12 mars 2003, le CAC 40 est dans une tendance baissière.
Cependant il n’est pas aussi facile pour les assurés, de déterminer ces tendances avec
une si grande précision d’une part et de réagir assez vite en fonction d’autre part.
Effectivement les marchés réagissent très vite aux annonces et il est quasi impossible
pour un particulier de prendre conscience de ces inversions de tendances dans les
premiers temps. De plus lorsque ces derniers se rendent compte de cette inversion de
tendance, il est souvent trop tard pour réagir : prendre la décision de racheter son
contrat après 6 mois de crise se révèle très difficile puisque l’assuré doit déjà faire face à
une perte conséquente. A l’inverse investir dans un fonds ayant déjà eu une hausse
importante est aussi difficile puisque l’assuré se demande s’il n’est pas déjà trop tard.
C’est pourquoi les périodes définies par les données historiques des marchés ne
correspondent pas précisément aux périodes fastes et de crises que nous pouvons
réellement identifier grâce aux données de notre portefeuille.
Nous avons réalisé un tableau récapitulant l’ensemble des rendements mensuels,
trimestriels, et annuels des différents fonds proposés aux assurés et nous avons mis ces
données en relation avec le nombre de versements et de rachats effectués par les assurés
afin de déterminer un décalage qui s’identifie au temps de réaction des assurés.
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Nous allons illustrer ce décalage par le graphique semestriel du nombre de versements
libres et initiaux :
Ce décalage est assez net puisque nous pouvons voir le nombre de versements initiaux
fondre littéralement à partir de juillet 2002 jusqu’à juillet 2005. C’est d’ailleurs la
période de crise retenue pour notre portefeuille. Le décalage pour ce portefeuille est donc
d’un an et demi pour le début de la crise et pour la fin de la crise. La période de crise de 3
ans est respectée à travers le comportement des assurés mais avec un décalage temporel
assez long qui laisse le temps de réaliser ce changement de tendance.
Nous pouvons faire plusieurs remarques sur ce décalage :
- Pour les versements, le montant est quasi constant c’est pourquoi nous ne
pouvons visualiser ce temps de réaction que sur le nombre d’actes de gestion
qui diminue fortement en temps de crise passant d’une moyenne de 20590
versements initiaux avant la crise à une moyenne de 3576 versements initiaux
pendant la crise, pour revenir à une moyenne de 25961 versements initiaux
après la crise.
- Pour les rachats il n’est pas possible d’identifier sur ce portefeuille une
différence de comportement des assurés liée à l’explosion de la bulle internet.
Le nombre de rachats n’augmente pas assez significativement pour nous
permettre de corroborer les résultats trouvés sur les versements ni pour
déterminer une autre période de crise. A titre informatif, sur les périodes
définis grâce aux versements, la moyenne du nombre de rachats avant crise
est de 1578 par mois, de 2173 pendant la crise et de 6291 après la crise
(données semestrielles). Il faut rappeler que ce portefeuille n’est pas encore
arrivé à maturité c’est probablement une raison pour laquelle nous ne
pouvons pas voir d’impact de la crise sur les rachats. Effectivement
l’assurance vie est un produit long terme et les assurés vont probablement
privilégier l’importance d’arriver à 8 années d’ancienneté sur leurs contrats
tout en gardant à l’esprit que les cycles boursiers font parti des aléas à
traverser sur ce genre de produit. L’étude dynamique des rachats en temps de
crise est évidemment intéressante pour l’assureur puisqu’il devra faire face à
un réel problème de liquidité mais les données de notre portefeuille ne nous
permettent pas d’identifier ce comportement.
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PPAARRTTIIEE IIIIII
CCaalliibbrraattiioonn ddeess mmooddèèlleess ssuurr llee
ppoorrtteeffeeuuiillllee ééppaarrggnnee
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PARTIE III : CALIBRATION DES MODELES
SUR LE PORTEFEUILLE EPARGNE
Ce chapitre présente les résultats du calibrage des modèles évoqués dans la partie 1 en
commençant par les tables de mortalité, suivie par la loi de rachat et en terminant par
une présentation des résultats liés aux versements.
Chapitre 1 : Construction des tables de mortalité
Après avoir présenté les deux méthodes de calcul du taux de mortalité, les résultats
obtenus pour la construction des tables de mortalités selon les différentes méthodes
retenues sont détaillés.
Remarque : La table de mortalité réalisée n’est pas complète, elle n’est par exemple pas
définie aux âges extrêmes, mais pour la modélisation du portefeuille étudié ces
approximations n’ont aucune importance (il n’y quasiment aucun assuré ayant moins de
10 ans ou plus de 80 ans).
Section 1.1 : Calcul des taux de mortalité
Pour construire une table de mortalité, les taux de mortalité bruts du portefeuille
associés à chaque âge doivent être définis. Pour cela deux méthodes sont utilisées, la
méthode actuarielle et la méthode de Kaplan Meier.
Le traitement des données a permis de connaître le nombre d’observations complètes (X),
le nombre d’observations censurées (C), le nombre d’observations tronquées (T) et le
nombre de décès (D) observés sur 9 années et cela pour chaque âge donné. N représente
le nombre total d’observations. Le taux de mortalité de l’âge « x » est défini par :
x
xx
N
Dq
Les différentes méthodes de calcul du taux de mortalité dépendront de la manière dont
les données censurées et tronquées seront comptabilisées.
La méthode actuarielle :
Cette méthode considère que toute personne censurée ou tronquée, pendant une période,
est exposée au risque en moyenne sur une demi-période, ce qui implique l’hypothèse
suivante : les censures et les troncatures sont uniformes et indépendantes sur une
période.
De ce fait, le taux de mortalité à l’âge « x » devient :
22
xxx
xx CT
X
Dq
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La méthode de Kaplan Meier :
Cette méthode consiste à estimer la probabilité de survie à l’instant t comme étant la
probabilité de survivre à la période tt ;1 sachant que l’individu est en vie à la date
1t . Un produit de probabilité de survie est ainsi obtenu :
tx ppptp 21)( avec jj qp 1
L’estimateur s’écrit :
j j
jx
n
dtS 1)(ˆ et )(ˆ1)(ˆ tStQ xx
Lorsque les censures et les troncatures sont prises en compte alors jn devient :
12111 jijj dddndnn
Lorsque les censures et les troncatures sont prises en compte, le nombre d’assurés
observable est différent et nous avons choisi comme convention de considérer qu’une
entrée en portefeuille (une troncature) précède une censure qui précède elle-même un
décès. C’est pourquoi le nombre de têtes restant présentes face au risque de décès est
donné par :
1111 jjjjj tcdnn
L’estimateur de Kaplan Meier )(ˆ tQx conserve la même définition.
Le graphique des résultats comparant la TH/TF avec les taux de mortalité du
portefeuille étudié calculés à l’aide des deux méthodes décrites :
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La première remarque sur le taux de mortalité actuariel est qu’il est en dessous des
tables TH0002/TF0002 (tables utilisées dans les conditions générales du produit) malgré
une population mixte. Cette constatation semble montrer que la méthode actuariel sous
estime les taux de mortalité, ou tout du moins, est moins fine que la méthode de Kaplan
Meier. Un pic à l’âge de 87 ans est observé.
Le taux de Kaplan Meier est lui entre la courbe de la TH0002 et celle de la TF0002
respectant ainsi la mixité de la population du portefeuille. Ce résultat est plus rassurant
puisque la courbe des taux de mortalité est cohérente avec les tables de mortalité de la
population Française. Le même pic est observé à l’âge de 87 ans qui est encore plus
accentué par cette méthode de calcul. Il faut aussi remarquer que pour l’âge de 88 ans la
courbe des taux de mortalité de Kaplan Meier est en dessous de la TF0002 et seulement
pour cette année. Il existe une plus grande volatilité des taux de mortalité pour les
grands âges car le nombre de personnes observé est bien moindre.
Section 1.2 : La méthode de Makeham
Il faut tout d’abord déterminer si la méthode de Makeham est acceptable pour les
données déterminées par la méthode actuarielle. Pour cela la variable 1ln xx qq est
calculée pour l’intervalle d’âge ansans 88;21 puis, grâce à Excel, une courbe de
tendance linéaire est calculée. Sont ainsi obtenus, une équation ainsi que le 2R associé à
la courbe de tendance permettant ainsi de juger de la qualité de la régression.
Pour la méthode actuarielle les résultats obtenus sont satisfaisants car le 2R obtenu est
de 0,64. La courbe a une tendance haussière (pente de 0,06) avec un trou entre 54 ans et
56 ans affectant légèrement la qualité de la régression.
Il est donc possible d’appliquer le modèle de Makeham pour construire une table de
mortalité lissée de type exponentielle permettant d’estimer des taux de mortalité sur le
portefeuille. La table de mortalité construite n’est pas complète du fait de la faible
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quantité de données disponibles en particulier pour les grands âges. Cependant en se
concentrant sur un intervalle compris entre 21 ans et 88 ans, un lissage satisfaisant est
obtenu.
Voici le graphique représentant les taux donnés par la formule de Makeham et comparé
aux tables TH/TF0002 :
Les paramètres calculés grâce à la méthode de Frère sont les suivants :
Malgré les différents choix arbitraires imposés par cette méthode (le choix du pivot en
particulier), les résultats se rapprochent de la courbe réelle. L’écart le plus important
entre la courbe lissée et la courbe des taux de mortalité actuariel se situe au niveau de
l’intervalle 69 – 80 ans, où la courbe lissée est légèrement au dessus de la courbe des
taux réels.
La même procédure est réalisée pour les taux calculés par la méthode de Kaplan Meier.
Paramètres
ln( ) 0.10475591 0.0002853234
ln( ) -11.7021052 0.0000078504
0.00028532 1.1104395310
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La même étude sur la faisabilité de la méthode de Frère est réalisée : grâce à une
régression linéaire sur la courbe de 1ln xx qq pour l’intervalle d’âge ansans 88;21 .
Le 2R est un moins satisfaisant que précédemment mais reste acceptable puisqu’il vaut
0,56. Il apparait par contre un pic très important entre 54 et 56 ans. Ce pic a une plus
grande amplitude comparé à celui observé sur le graphique lié aux taux actuariels et
cette différence s’explique par la méthode de calcul utilisée :
Le nombre de décès constaté à l’âge de 55 ans est plus faible que pour les autres années
voisines, le terme multiplicatif venant s’ajouter au calcul de taux de mortalité est donc :
1155
55 n
d
Ce qui entraîne que 5655ˆˆ QQ et ainsi le logarithme de la différence est fortement
négatif. Ce point particulier affecte fortement la qualité de la régression : une valeur est
fixée arbitrairement pour l’âge 55 ans, égale à la moyenne des valeurs des âges 54 et 56
ans, le 2R obtenu est alors égale à 0,72. Cette remarque renforce l’idée de départ
concernant la validité du modèle de Makeham pour ces données.
Voici les paramètres et le graphique des taux donnés par la formule de Kaplan Meier et
comparé aux tables TH/TF0002 :
Paramètres
ln( ) 0.105167 0.000495
ln( ) -11.486840 0.000010
0.000495 1.110896
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La qualité du lissage est légèrement moins bonne que la précédente mais l’avantage de
cette méthode est que la courbe reste quasiment entre la TH/TF0002, tout au long de
l’intervalle (excepté pour les âges les plus grands).
Section 1.3 : Comparaison des deux méthodes
Ces deux méthodes de calculs ont chacune leurs avantages et leurs inconvénients :
- La méthode actuarielle est plus simple à mettre en place mais suppose que
chaque personne censurée ou tronquée est exposée au risque en moyenne sur
une demi-période. Cette contrainte est assez forte lorsque la période est
grande. Dans l’exemple étudié le pas est annuel et c’est pourquoi cette
méthode de calcul est moins robuste que la suivante. L’utilisation d’un pas
mensuel aurait pu être plus appropriée, mais dans ce cas un autre problème
survient qui est le nombre trop faible de décès par mois.
- L’application pratique de l’estimateur de Kaplan Meier suppose l’utilisation de
la chronologie exacte des sorties du portefeuille ainsi que le nombre de
censures et de troncatures entre deux mouvements. Cette exigence est forte et
nécessite un traitement important, la disponibilité d’informations
quotidiennes et individuelles a permis d’appliquer cette méthode et voir que
les résultats obtenus concordent avec les tables d’expériences de l’INSEE.
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Le graphe ci-dessous présente la comparaison des résultats entre la méthode actuarielle
et la méthode de Kaplan Meier :
La mesure de la distance entre les données expérimentales et le modèle théorique (la
méthode des moindres carrés) donne une valeur de 0,0013 pour le lissage de la méthode
de Kaplan Meier et de 0,0004 pour le lissage de la méthode actuarielle. La méthode de
Frère s’applique donc mieux, ici, aux données déterminées grâce à la méthode actuarielle
et cette conclusion est renforcée par le fait que le 2R de validation du modèle des
données actuarielles était déjà meilleur que celui associé aux données de Kaplan Meier.
Conclusion :
L’estimateur de Kaplan Meier est maximum de vraisemblance et donne de meilleurs
résultats que la méthode actuarielle. Même si sa mise en œuvre semble a priori un peu
plus complexe lorsque le volume de données est important, cette méthode permet
d’obtenir des résultats entre la TH0002 et la TF0002 donc en concordance avec la mixité
de la population étudiée. Cette méthode est la meilleure et c’est celle que nous
retiendrons pour notre portefeuille.
Enfin le lissage par la méthode de Frère est meilleur pour la méthode actuarielle mais
reste largement acceptable pour la méthode de Kaplan Meier. Le choix arbitraire du
pivot à 39 ans qui provient de la littérature et qui peut sembler peut évident a été testé
sur une période de 10 ans. Un calibrage du modèle a été réalisé avec un pivot variant de
37 ans à 46 ans et les résultats obtenus par la méthode du maximum de vraisemblance
nous a montrer que le choix de 39 ans est celui qui lisse le mieux la courbe des taux de
mortalité.
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Section 1.4 : Par la méthode de Lee & Carter
Le but de cette méthode est de construire des tables prospectives. Ces tables sont plus
fines lorsque l’assureur s’intéresse à la mortalité d’une population dans plusieurs
années. Effectivement, il existe une tendance baissière des taux de mortalité. Il peut
donc être intéressant d’isoler ces tendances passées pour les extrapoler dans le futur et
les appliquer à la table d’expérience retenue de notre portefeuille.
Le modèle de Lee & Carter est pour rappel le suivant :
txtxxtx k ln
Avec : - tx qui est le taux instantané de mortalité à la date t pour l’âge x.
- tx iid et qui suit une loi 2,0 N .
- x s’identifie à la valeur moyenne des txln au cours du temps.
- x traduit la sensibilité de la mortalité instantanée à l’âge x par rapport à
l’évolution générale tk .
Dans un souci de temps, le logiciel « LifeMetrics » a été utilisé pour calibrer la prédiction
et la simulation des taux de mortalité. Ce logiciel permet d’aider les utilisateurs dans
leur compréhension de la mortalité historique et dans la prédiction de la mortalité
future. Les données du portefeuille n’étant pas suffisantes pour déterminer ces
tendances et donc d’obtenir une table générationnelle, le programme a été utilisé avec la
table TGF 00-05. Pour des raisons de mémoire, il a été nécessaire de faire débuter la
table à la génération 1984. Cela permet de voir un historique de la tendance à la baisse
des taux de mortalité sur les 22 dernières années. De plus, le programme n’accepte pas
les âges supérieurs à 89 ans (Néanmoins ce point n’est pas gênant puisque notre fenêtre
d’étude s’arrête à 88 ans). L’implémentation du logiciel a été réalisée sous R.
Le logiciel « LifeMetrics » estime les paramètres du modèle de Lee & Carter par la
méthode suivante :
Pour les x :
En notant 1minmax ttt le nombre d’année d’observation, nous avons )exp( x qui
est la moyenne géométrique des tx :
tx
t
tttxtx
t
ttx kt
expexp)(max
min
max
min
Puisque 1max
min
x
xxx et 0
max
min
t
tttk
D’où :
max
min
))(ˆln(1
ˆt
ttx
tx t
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Pour les x et des tk :
x le nombre d’âge observé et la matrice de dimensions tx dont les éléments
sont donnés par :
xxttxx tz ˆ))(ˆln(1min,1min
C'est-à-dire le centrage des ))(ˆln( tx par rapport à leur moyenne temporelle.
L’idée est donc d’approximer par le produit d’une matrice colonne et d’une matrice
ligne :
'ˆˆ
Avec 'ˆ,,ˆˆmaxmin xx et 'ˆ,,ˆˆ
maxmin tt de manière optimale au sens des
moindres carrés ordinaires, c'est-à-dire en minimisant :
2
max
min
max
min
1min,1min
x
xx
t
tttxttxx kz
A ce niveau et grâce aux caractéristiques du modèle, l’ensemble de l’information relative
à l’évolution de la mortalité dans le temps est contenu dans la série des tk .
Le second objectif du logiciel est d’extrapoler cette série. Il existe deux méthodes
standard retenues dans la littérature :
- La série des tk peut être considérée comme une série temporelle et retenir le
modèle ARIMA (0,1,0), ce qui donne :
ttt kck 1 avec c une constante et t un bruit blanc
Les prédictions seraient linéaires et les seuls paramètres à estimer seraient c
et 2 .
- Ou alors le modèle de Lee & Carter peut être modifié pour qu’il tienne compte
explicitement d’une tendance temporelle linéaire, ce qui donne :
txxxx tbat )(ˆln
Les différentes études réalisées autour de ce modèle montrent que dans les pays
industrialisés, l’application du modèle de Lee & Carter fournit une courbe des tk
fortement linéaire et spécialement à partir des années 1970. Etant donné que le
périmètre de l’étude s’arrête en 1984, la méthode d’extrapolation utilisée par le logiciel
« LifeMetrics » qui tient compte d’une tendance linéaire s’adapte a priori assez bien à
l’étude.
Dans la suite de cette partie les résultats fournis par le logiciel pour une simulation sont
présentés.
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Voici les résultats de la calibration des x et des x pour une simulation :
Voici la calibration et l’extrapolation des tk :
Comme dit précédemment les tk sont extrêmement bien approchés par une régression
linéaire : le 2R obtenu est très proche de 1.
Enfin, comme le montre la courbe des x̂ , le déclin de la mortalité n’est pas identique
pour tous les âges et est moins important pour les grands âges.
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L’ensemble des éléments nécessaires pour simuler une table de mortalité prospective sur
20 ans sont donc disponibles. Le graphique ci-dessous illustre cette projection :
Le choix du nombre d’années de projection est paramétrable, ici 20 ans mais ce nombre
n’est pas limité.
Enfin puisque cette approche est stochastique 1000 tables ont été simulées afin d’obtenir
des moyennes de tendance d’évolution pour chaque xQ correspondant à l’exponentiel des
tk .
Le graphe suivant montre cette moyenne de tendance pour les âges 44 et 70.
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Une hypothèse forte appliquée ensuite est que ces tendances peuvent être appliquées à
la table d’expérience du portefeuille. Elles permettront ainsi de prendre en compte
l’évolution de la mortalité dans le futur grâce aux données de l’évolution des tendances
passées de l’ensemble de la population Française.
La rigueur nous imposerait une calibration avec une table prospective directement
calculée à partir du portefeuille ce qui est impossible étant donné le nombre trop faible
de données. Cette approximation n’est pas abusive car très peu d’assureurs peuvent
construire une table générationnelle d’expérience.
De plus les mortalités observées précédemment montrent que la population étudiée suit
une loi de décès assez proche de la TF0002.
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Chapitre 2 : Construction d’une loi de rachat dynamique
Ce chapitre présente les résultats liés aux rachats. Une première approche dynamique
selon l’ancienneté est présenté, où un taux de rachat et un pourcentage d’épargne
racheté sont déterminés, tous les deux en fonction de l’ancienneté. Enfin une
modélisation dynamique est définie en fonction du temps utilisant les séries temporelles
pour modéliser le nombre de rachat.
Section 2.1 : En fonction de l’ancienneté du contrat
Des univers i sont définis avec 8;0i représentant les contrats d’ancienneté
8;0i formé de deux éventualités 1,i et 2,i correspondant respectivement à
l’évènement de racheter et de ne pas racheter pour une ancienneté fixée.
Les probabilités de réalisation associées à chaque évènement sont notées 1,ip et 2,i
p .
Deux variables aléatoires sont définies iiXX ~ 1,0U et
iiYY ~ 1,0U et
la répartition cumulée des rachats selon le pourcentage racheté : piF ,
où p représente les fourchettes de rachats %100%;95;%;5%;0 .
Cette approche consiste à déterminer pour chaque contrat, dans un premier temps si un
rachat a lieu puis dans le cas où le rachat survient, de déterminer le pourcentage
racheté. Ainsi pour chaque ancienneté doivent être déterminés, grâce aux données
historiques, une probabilité de racheter et un montant de rachat exprimé en pourcentage
de l’épargne disponible.
Cette méthode est directement inspirée de l’IARD : nombre moyen fois coût moyen.
Voici une illustration de cette méthode :
Contrat Ancienneté Tirage
d’une v.a. Test Evènement
Tirage
d’une
v.a.
Test Evènement
1Contrat 1Ancienneté 1,01X Si
1,11 ApX
2
1
Soit
Soit
1,01Y
____ pApA FYF ,111,1
_______
Rachat de p%
Pas de rachat
iContrat iAncienneté 1,0iX 1,iAi pX 1 1,0iY 45,40, iAiiA FYF Rachat de
45%
nContrat nAncienneté 1,0nX 1,nAn pX 2 ____ _______ Pas de rachat
Pour le contrat n° i avec une ancienneté iA , le nombre aléatoire est tiré suivant une loi
uniforme entre 0 et 1, si ce nombre est plus petit que la probabilité de racheter pour cette
ancienneté, un rachat est créé. Un nouveau nombre aléatoire est tiré suivant une loi
uniforme entre 0 et 1 que l’on compare à la répartition cumulée des rachats selon le
pourcentage racheté. Dans cet exemple iY est dans la fourchette 40 - 45%. Nous avons
donc un rachat dont le montant vaut 45% de l’épargne du contrat.
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Pour le contrat n° n : Ce contrat à une ancienneté nA , on tire un nombre aléatoire de la
même façon, on test si ce nombre est plus petit que la probabilité de racheter associée à
cette ancienneté. Dans l’exemple la probabilité étant plus grande, il n’y a pas de rachat.
Cette méthode dynamique doit être appliquée un certain nombre de fois (fixé à 1000) et
permet ainsi d’avoir une distribution de rachats pour l’ensemble du portefeuille suite à
1000 simulations.
Pour appliquer cette méthode il a fallut déterminer les probabilités de rachats et la
répartition de ces derniers en fonction de l’ancienneté.
La probabilité de rachat a été déterminée par la méthode actuarielle, exactement comme
pour les décès.
Ci dessous le graphique du pourcentage de rachat en fonction de l’ancienneté et où sont
distingués les rachats partiels des rachats totaux :
L’effet fiscal apparait ici clairement puisque pour les 7 premières années le pourcentage
de rachat varie entre 3,70% et 5%, plutôt stable, alors que pour la 8 ème année il atteint
un pic à 9,20%. Dès la première année (ancienneté 0) 4,31% des contrats effectuent des
rachats dont 1,32% de rachats totaux. Ce taux augmente légèrement la deuxième année
pour ensuite atteindre un plus bas pour une ancienneté de 4 ans.
Le rapport entre les rachats partiels et les rachats totaux est aussi intéressant : la
proportion de rachats totaux d’ancienneté 0 est assez faible (autour de 30% des rachats)
et augmente pour dépasser les 50% au niveau des anciennetés 2, 3, 4 et 5.
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A titre informatif, voici les graphiques du montant moyen des rachats en fonction de
l’ancienneté avec la même distinction entre les rachats partiels et les rachats totaux :
Ces graphes montrent une certaine stabilité du montant des rachats partiels et au
contraire une forte croissance du montant des rachats totaux en fonction de leur
ancienneté. Ainsi, les contrats ayant une épargne plus élevée, auront tendance à
respecter plus régulièrement l’objectif des 8 années d’ancienneté. A contrario les rachats
totaux dès les premiers mois sont en moyenne réalisés par des plus petits contrats. Ceci
peut s’expliquer par une plus grande réflexion de la part des assurés pour un placement
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important alors que ces derniers vont moins hésiter à racheter dès la première année si
le montant de l’épargne est plus petit.
Il ne reste plus qu’à déterminer la répartition des rachats en fonction de leur
ancienneté c'est-à-dire les piF , . A titre d’exemple nous allons présenter la répartition
cumulée des rachats pour l’ancienneté 0 :
Répartition du pourcentage d’épargne rachetée pour une ancienneté de 0
Fourchettes Nbre de rachats Répartition Cumulé
5% 4 088 32.73% 32.73%
10% 578 4.63% 37.36%
15% 476 3.81% 41.17%
20% 446 3.57% 44.74%
25% 400 3.20% 47.95%
30% 300 2.40% 50.35%
35% 330 2.64% 52.99%
40% 243 1.95% 54.94%
45% 251 2.01% 56.95%
50% 250 2.00% 58.95%
55% 264 2.11% 61.06%
60% 187 1.50% 62.56%
65% 203 1.63% 64.18%
70% 182 1.46% 65.64%
75% 162 1.30% 66.94%
80% 154 1.23% 68.17%
85% 179 1.43% 69.61%
90% 158 1.27% 70.87%
95% 149 1.19% 72.06%
100% 3 489 27.94% 100.00%
Remarque : en reprenant l’ exemple du contrat n° i où l’on avait un rachat de 45% et en
supposant que l’ancienneté de ce contrat était bien 0 alors on peut dire que la variable
aléatoire iY valait entre 0,5495 et 0,5695.
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Voici le graphique des 9 répartitions cumulées avec les fourchettes en abscisses et la
répartion en ordonné :
La majeur partie des rachats est concentré dans la fourchette de 5% et de 100%.
L’assuré va donc principalement soit racheter complètement son contrat (rachat total à
100%) soit racheter une partie minime comprise entre 0 et 5% de son épargne.
La forme générale de chaque courbe est assez similaire avec deux pics aux extrêmités et
une tendance quasi linéaire entre.
Les anciennetés dont la proportion de rachat appartenant à la fourchette 0-5% sont les
plus importants sont dans l’ordre : L’ancienneté 0, 1 et 8.
Les anciennetés dont la proportion de rachat appartenant à la fourchette 95-100% sont
les plus importants sont dans l’ordre : L’ancienneté 4, 3 et 5 c'est-à-dire les années
proches de la première réduction fiscale.
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Section 2.2 : En fonction du temps
Le principe de cette approche est le suivant et peut être comparé à la précédente :
- Le nombre de rachat est cette fois ci modéliser comme une série temporelle
grâce aux modèles SARIMA par la méthode de Box et Jenkins. Le pas choisi
est mensuel, ce qui nous permets de disposer de 108 observations.
- Le montant des rachats toujours exprimé en pourcentage de l’épargne racheté
est déterminé sur l’ensemble de la période de la même façon que pour la
première méthode mais sans prendre en compte la notion d’ancienneté. La
distribution unique ainsi trouvée sera déterminée sur l’ensemble du périmètre
et sur l’ensemble des contrats sans distinction.
Cette approche permet de synthétiser dans la série du pourcentage de rachats toute
l’information relative à l’évolution des rachats dans le temps. Cette manière de procéder
possède les avantages et les inconvénients de l’objectivité : aucune attention n’est
accordée aux différents facteurs externes pouvant influencer les rachats (hausse des
taux, marchés en baisse, ancienneté du contrat …) mais nous nous bornons à extrapoler
dans le futur les tendances observées dans le passé. Cette démarche peut être critiquée
puisqu’elle est incapable de prévoir des variations subites de rachats mais l’interaction
complexe de facteurs sociaux ou économiques difficiles à modéliser peut rendre cette
technique intéressante.
Voici la série du pourcentage du nombre de rachats que l’on notera tR suivie de son
histogramme et de quelques statistiques descriptives réalisés sous Eviews :
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Stationnarisation de la série :
Cette série est clairement non stationnaire. La modélisation SARIMA suppose que la
série des TtRt 1, le soit. Il faut donc déterminer un filtre F permettant de
transformer TtRt 1, en une série TtRFDR tt 1),( stationnaire. Nous
cherchons donc dans un premier temps à déterminer le filtre F .
Pour cela nous allons nous intéresser à l’autocorrélogramme de notre série. Ce dernier
nous montre une décroissance constante typique des séries avec trend. Nous allons donc
différencier notre série et regarder à nouveau l’autocorrélogramme de celle-ci
différenciée à l’ordre 1.
Si l’on note B la fonction de retard ( 1 tt RBR ) alors le filtre appliqué est BF 1 .
Voici les autocorrélogrammes des séries tR et )( tRF respectivement :
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Un test de Dickey-Fuller Augmenté (DFA) est réalisé sur la série résultante
TtRF t 1),( afin de déterminer si la série obtenue est bien stationnaire.
Le test de Dickey-Fuller Augmenté repose sur trois tests de racine unité. Ces trois tests
diffèrent par les hypothèses que l’on émet sur le modèle :
- Le premier test porte sur la stationnarité d’un modèle avec constante et trend
- Le second porte sur la stationnarité d’un modèle avec constante sans trend
- Le troisième porte sur la stationnarité d’un modèle sans constante ni trend
Il faut et il suffit qu’un de ces trois tests accepte l’hypothèse nulle qui stipule la présence
d’une racine unité pour conclure que notre série est non stationnaire.
Voici l’illustration d’un des trois tests réalisés (avec constante et trend) :
Nous pouvons bien vérifier que l’hypothèse nulle est rejetée dans ce cas ainsi que dans
les autres cas :
- pour le test avec constante et trend, la p-value vaut 0,0000 (<0,05)
- pour le test avec constante et sans trend, la p-value vaut 0,0001
- pour le test sans constante ni trend, la p-value vaut 0,0000
La série résultante est donc bien stationnaire. Nous retiendrons le filtre BF 1 que
l’on appliquera à la série de base TtRt 1, pour obtenir la série filtrée
TtRF t 1),( stationnaire, àpartir de laquelle nous déterminerons un modèle ARMA.
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Casting des modèles envisageables :
La sélection des modèles se fait en deux étapes. La première étape consiste à déterminer
l’ordre des MA et AR qui composeront le modèle. La deuxième étape valide les différents
modèles obtenus en ne gardant que ceux qui ont des coefficients significatifs et des
résidus correspondant à des bruits blancs.
Les critères de sélection et de validation sont les suivants :
- Pour la sélection : nous déterminerons les ordres des MA et des AR grâce aux
autocorrélations et aux autocorrélations partielles respectivement.
- Pour la validation : le modèle doit vérifier deux critères pour être validé. Nous
effectuerons un test de Student sur les coefficients et nous ne garderons que
les modèles pour lesquels les coefficients sont significativement non nuls. Puis
nous vérifierons la blancheur des résidus en testant leur indépendance et leur
stationnarité.
On rappelle que les valeurs de p et de q dans le choix des AR et des MA ne peuvent
dépasser la valeur de : 23.12100
10812
4
1
.
A partir du corrélogramme obtenu précédemment sur la série filtrée nous retenons :
- Les MA d’ordre : 1, 3, 6, 7, 9, 10. Les ordres correspondent aux lags des pics
observés sur l’autocorrélogramme.
- Les AR d’ordre : 1, 2, 6. Les ordres correspondent aux lags des pics observés sur
le diagramme d’autocorrélation partielle.
Nous testerons donc toutes les combinaisons de MA et AR possibles. Pour chacun des
modèles résultant de ces combinaisons, nous appliquerons les critères de validation cités
plus haut.
Exemple du modèle )3,1()2,1( MAAR retenu :
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Ce modèle est bien valide puisque les p-values correspondant chacune à des t-stats sont
inférieur à 0,05. On rejette donc l’hypothèse nulle de nullité des coefficients.
Nous nous tournons vers les autocorrélogrammes associés pour vérifier la blancheur des
résidus :
Les autocorrélogrammes permettent de déterminer les corrélations entre les résidus.
Pour que les résidus soient des bruits blancs il est nécessaire qu’ils soient non corrélés.
La Q-stat est la statistique correspondant au test de Ljung-Box pour l’hypothèse nulle de
non-autocorrélation des perturbations (ce qui équivaut à tester la blancheur des résidus).
Pour l’exemple précédent nous voyons que les p-values correspondant à chacune des Q-
stats sont bien supérieures à 0,05. Nous acceptons alors l’hypothèse nulle : les résidus
sont la réalisation d’un bruit blanc.
Pour étudier un peu plus en profondeur la qualité des modèles nous effectuons un test de
normalité des résidus :
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Le test de Jarque-Berra permet de tester l’hypothèse nulle selon laquelle les résidus sont
normaux. Ici, la p-value est de 0,004 ce qui est inférieur à 0,05, on rejète donc
l’hypothèse de normalité des résidus pour le modèle )3,1()2,1( MAAR .
Voici un tableau récapitulatif des modèles retenus avec les critères AIC (Akaike
Information Criterion) et SBC (Schwarz’s Bayesian Criterion) correspondants :
AR MA Présence de
racine unité
Normalité
des résidus AIC SBC
1 Non Oui -11,9319 -11,8540
1, 2 Non Oui -11,8745 -11,7839
1 Non Oui -11,8996 -11,7757
1, 3 Non Oui -11,8846 -11,8069
1, 2 1, 3 Non Non -11,8542 -11,7530
Forecast :
Il est possible à l’aide des critères AIC et SBC d’exhiber un ordre de préférence pour
l’étude de nos différents modèles. En effet, plus la valeur absolue du AIC (ou du SBC) est
petite, plus le modèle est bon.
Le meilleur modèle suivant les deux critères AIC et SBC est le modèle )3,1()2,1( MAAR
dont un graphique est donné ci-dessous sur la période de calibration. La courbe rouge
représente la série des rachats initiaux et la courbe bleue notre modèle :
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Une fois le pourcentage de rachat modélisé nous pouvons nous intéresser aux montants
de ces rachats. Comme nous l’avions dis précédemment nous appliquons la même
méthode qu’à la section précédente mais nous ne déterminons cette fois qu’une unique
répartition globale calculée sur l’ensemble de notre périmètre d’étude.
Voici le graphique du résultat :
Nous avons dans ce cas 46,59% des rachats qui sont des rachats totaux et 13,86% des
rachats qui appartiennent à la fourchette 0-5%. La forme générale de la courbe reste la
même que pour les graphes précédents du même type.
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Chapitre 3 : Détermination des versements
Ce chapitre présente les résultats obtenus concernant les versements. Sont d’abord
décrits les versements libres programmés puis les versements initiaux et enfin les
versements libres. Pour les versements libres et initiaux, deux types de périodes sont
définies dans la partie II les périodes dites de crise et les périodes fastes afin d’intégrer
la dynamique de marché vues au travers des statistiques descriptives de la partie II.
Section 3.1 : Résultats concernant les VLP
Comme dit précédemment les versements libres programmés sont mis en place par
l’assuré pour une période plutôt longue voire sur une grande partie de la vie de son
contrat. Cette acte de gestion permet un investissement régulier de la part de l’assuré
qu’il défini contractuellement.
L’approche retenue pour modéliser ces versements est assez simple étant donnée leur
forte stabilité aussi bien sur le taux de versement des VLP que sur leurs montants.
Le taux de versement des VLP est défini ainsi :
ContratdeNbre
VLPdeNbretxVLP
Ce taux est calculé chaque mois car le nombre de VLP mensuels est assez important
(voir le graphique suivant où le taux devient très stable dès 2001). Entre 1999 et 2001
une plus grande irrégularité dans la courbe est constatée ce qui peut être s’expliquer par
le nombre de contrats plus faible. Cependant dès que le nombre d’assurés est assez
grand le taux de versement moyen est de l’ordre de 9,61% avec un écart-type de 0,0076.
Ce graphique a été approché par une régression linéaire.
Le 2R vaut 0,462 sur l’ensemble du périmètre étudié mais sur la période restreinte
2001-2007 le 2R s’améliore nettement et vaut alors 0,691.
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Le montant moyen des versements libres programmés est lui aussi très stable :
Ce graphique est dentelé et cela peut s’expliquer par les différents types de VLP.
Effectivement l’assuré a le choix entre 4 fréquences de versements (mensuelle,
trimestrielle, semestrielle, annuelle), les pics trimestriels apparaissent assez clairement.
La périodicité annuelle est, elle aussi, assez nette. Les personnes réalisant un versement
annuel ont tendance à verser une somme plus importante que les personnes réalisant
des versements mensuels ce qui explique ces pics réguliers à chaque échéance de
paiement.
Une discontinuité dans cette courbe apparait à partir de janvier 2006 qui fait passer la
moyenne des montants de versements mensuels de 112 à 85 euros.
En conclusion le taux de versement est de l’ordre de 9,61% (un contrat sur 10 a mis en
place des VLP) avec un montant mensuel moyen de 85 euros en se basant sur les deux
dernières années d’observation.
Section 3.2 : Résultats concernant les VI
Les versements initiaux ne sont pas pris en compte lors d’un calcul en run-off. Il est par
contre intéressant de connaître et de maitriser cet apport en affaires nouvelles lors de
l’évaluation d’un portefeuille pour le vendre par exemple. Ces versements sont étudiés en
prenant en compte les périodes de crise et les périodes fastes définies dans la partie II
qui conditionnent fortement le comportement des assurés envers ce type de versement.
Effectivement le nombre de versements est fortement corrélé à ces périodes alors que les
montants moyens restent stables. C’est pourquoi le nombre de versements est approché
par deux valeurs moyennes déterminées sur les données historiques.
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Ci-dessous le graphique du nombre des versements initiaux semestriels au cours du
temps :
Le pas semestriel a été choisi pour lisser la courbe et permettre une meilleure vision des
deux périodes. La courbe rouge représente la moyenne du nombre des versements selon
les deux types de périodes et montre que la moyenne est un bon estimateur. Encore une
fois ce nombre est légèrement moins stable les premières années puisque le portefeuille
est en forte croissance. Cependant la période de crise est très nettement délimitée et
l’approximation de la courbe bleue par la courbe rouge est acceptable.
La moyenne des montants des versements initiaux est estimée par une modélisation
SARIMA selon un pas mensuel pour bénéficier de 108 données. Ci-dessous la série
associée :
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La même méthode (Box et Jenkins) est appliquée que pour la série du nombre de
rachats.
Ci-dessous quelques statistiques descriptives associées à la série des VI :
Stationnarisation de la série :
Les trois tests de DFA sont réalisés sur la série sans filtre au vu de l’autocorrélogramme
et voici les résultats trouvés :
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L’hypothèse nulle est rejetée dans ce cas ainsi que dans les autres cas :
- pour le test avec constante et trend, la p-value vaut 0,0000 (<0,05)
- pour le test avec constante et sans trend, la p-value vaut 0,0000
- pour le test sans constante ni trend, la p-value vaut 0,0417
La série est donc stationnaire. Nous n’appliquerons pas de filtre particulier pour cette
série.
Casting des modèles envisageables et forecast :
A partir du corrélogramme obtenu précédemment sur la série filtrée nous retenons :
- Les MA d’ordre : 1, 2, 5, 9. Les ordres correspondent aux lags des pics observés
sur l’autocorrélogramme.
- Les AR d’ordre : 1, 2, 5, 9. Les ordres correspondent aux lags des pics observés
sur le diagramme d’autocorrélation partielle.
Dans un souci de clarté nous ne présenterons ici que le tableau récapitulatif des modèles
retenus avec les critères AIC (Akaike Information Criterion) et SBC (Schwarz’s Bayesian
Criterion) correspondants :
AR MA Présence de
racine unité
Normalité
des résidus AIC SBC
1 1 Non Non 19,8091 19,9234
1, 9 1, 9 Non Oui 19,7989 19,9300
1, 5, 9 1, 5, 9 Non Non 19,8125 19,9160
1, 5 1, 5 Non Oui 19,8146 19,9387
Pour cette série les critères AIC et SBC ne donnent pas le même meilleur modèle.
Cependant il nous est possible de regarder le forecast de chacun des deux modèles
retenus et de conserver seulement celui qui nous parait le meilleur. Notre choix s’est
porté sur le modèle )9,1()9,1( MAAR dont voici le graphique :
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Le modèle retenu pour modéliser le montant des versements initiaux est donc le modèle
)9,1()9,1( MAAR ayant pour coefficients :
Paramètres Coefficient
C 10542,29
AR(1) 0,4945
AR(9) -0,2700
MA(1) -0,3203
MA(9) 0,6518
Section 3.3 : Résultats concernant les VL
Sur l’ensemble du périmètre d’étude 116 546 versements libres ont été observés répartis
de la manière suivante :
- 74,98% de ces versements ne sont réalisés qu’une fois par an.
- 17,99% de ces versements sont réalisés deux fois par an.
- 5,63% de ces versements sont réalisés trois fois par an.
Les versements restant allant de 4 à 16 par an et par contrat représentent seulement
1,40% de l’ensemble des versements soit 1631 versements. C’est pourquoi ils ont été
regroupés en seulement trois catégories où sont négligés l’ensemble des versements de
plus de 3 versements par an, soit 1,4% des versements.
De plus nous allons différencier les périodes fastes et de crises qui représentent
respectivement 66% et 33% du temps selon notre périmètre d’étude. Pour cela nous
définissons trois taux de versement par année d’observation et selon les deux types de
périodes retenues. Nous avons donc compté par année et par période le nombre de
contrats réalisant aucun, un, deux ou trois versements et nous avons pu alors définir les
trois taux de versements que nous retiendrons pour la suite de notre étude :
VL
Période de
crise Période faste
Tx pour 1 versement 2.29% 9.76%
Tx pour 2 versements 0.23% 1.22%
Tx pour 3 versements 0.05% 0.43%
Maintenant que nous savons combien de contrat vont effectuer des versements libres
nous pouvons déterminer les deux densités du montant des versements en fonction du
type de période retenu.
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 82/115
Voici le graphique de la densité du montant des versements libres en temps de crise et sa
fonction de répartition associée :
En temps de crise les versements varient entre 498 euros à 23 281 euros et sont
concentrés dans une fourchette allant de 5 500 euros à 11 000 euros avec un très net pic
autour de 7 300 euros. La moyenne de ces montants vaut 7 921 euros. La fonction de
répartition associée nous permet de rester dans une approche dynamique pour l’étude
des versements. Effectivement une fois les contrats procédant à un (ou plusieurs)
versement(s) déterminés nous pouvons en tirant un nombre aléatoire suivant une loi
uniforme 1,0U déterminer un montant respectant la répartition historique du montant
des versements. Le pas retenu est de l’ordre de 500 euros permettant ainsi de lisser la
densité des montants tout en gardant une bonne précision.
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 83/115
L’opération est réalisée une nouvelle fois pour les versements libres en période faste :
En période faste les versements vont de 117 euros à 28 167 euros et sont concentrés dans
une fourchette allant de 5 000 euros à 18 000 euros avec deux pics autour de 7 600 euros
et de 10 500 euros. La moyenne de ces montants vaut 10 007 euros. Les montants sont
bien plus étendus et la moyenne est plus grande que pour la période de crise ce qui est
cohérent avec le type de période. La fonction de répartition est donc plus étendue.
Conclusion : Nous possédons l’ensemble des paramètres nécessaires pour modéliser les
versements libres selon le type de période retenu. Selon les données de notre portefeuille
nous avons à disposition la probabilité d’être en période de crise ou non, puis un taux de
versement que nous pouvons appliquer de manière dynamique aux contrats et enfin la
répartition des montants de ces versements.
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
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PRINGAULT Manuel 84/115
PPAARRTTIIEE IIVV
AApppplliiccaattiioonn aauu ttrraavveerrss dduu ccaallccuull dduu
ccooûûtt ddee llaa ggaarraannttiiee ppllaanncchheerr
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 85/115
PARTIE IV : APPLICATION AU TRAVERS DU
CALCUL DU COUT DE LA GARANTIE
PLANCHER
Cette partie est consacrée à une application possible de l’étude du comportement des
assurés au travers du calcul du coût d’une garantie plancher. L’option est expliquée, puis
l’évaluation de l’engagement liée à cette option est présentée. La méthode des puts étant
difficilement applicable pour un portefeuille constitué d’une trentaine de fonds la
garantie est modélisée par une projection des flux futurs. Cette méthode est décrite ainsi
que l’outil créé pour ce calcul et termine par la présentation des résultats.
Chapitre 1 : La garantie plancher
Ce chapitre présente l’option garantie plancher et sa tarification actuelle, puis explique
pourquoi l’évaluation de l’engagement par la méthode des puts n’a pas été retenue et
pourquoi une projection des flux futurs est préférable.
Section 1.1 : Définition et présentation du type de tarification
Le produit étudié contient une option obligatoire à la souscription dès lors que l’assuré
investi sur des fonds en unité de compte appelée garantie plancher.
Lorsque le client choisit d’investir dans un produit d’épargne en UC, la somme versée
correspond à l’achat d’un certain nombre de parts d’un ou de plusieurs supports. Ces
supports sont en général des fonds profilés. L’engagement de l’assureur porte alors sur le
nombre de parts que l’assuré possède et non sur leur valorisation qui dépend de la valeur
liquidative du fonds et donc des marchés financiers. Malgré l’avantage considérable que
représente ce produit de placement qui bénéficie d’une fiscalité avantageuse et qui
présente des perspectives de rendements bien supérieures à un fonds euro, il ne contient
aucune garantie de performance pour l’assuré. Effectivement, l’assuré n’est pas sûr de
pouvoir récupérer sa mise initiale au terme du contrat.
Du point de vue de l’assureur les avantages sont évidents puisque ce dernier transfert
une partie très importante du risque. Le code des assurances prend en compte cette
diminution du risque puisque la marge de solvabilité réglementaire sur ce type de
produit est de 1% des provisions mathématiques contrairement au 4% des produits
adossés à un fonds en Euro.
Ceci explique pourquoi les assurés ont pu voir la création d’options qui sont des
garanties complémentaires apportant une plus grande sécurité aux contrats. Dans notre
cas la garantie plancher se définie de la manière suivante :
La souscription de cette option est obligatoire et garantie l’ensemble des versements de
l’assuré moins ses rachats. Cette valeur (strike) vaut donc :
AvancesRachatsVersementsS
L’organisme assureur prélève actuellement une prime fixe sur encours inclue dans ses
frais de gestion et permettant de financer le coût de la garantie plancher. Les frais sur
encours sont de 1% et la part attribuée à cette option est de 0,4%. La fréquence de
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d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 86/115
prélèvement de cette prime coïncide avec la fréquence de prélèvement des frais sur
encours.
Section 1.2 : Evaluation des engagements par la méthode des puts
L’évaluation des engagements liés au coût de la garantie plancher est assez libre. La
méthode des puts (répandue) consiste à répliquer la garantie plancher par un put, dont
le strike correspond au capital garanti par l’assureur. L’option est pondérée par les
probabilités de décés et de rachat.
Si l’on note S le capital garanti par l’assureur et défini précédemment alors l’assuré se
voit garantir, en cas de décès à la date t le versement de :
SSMax t ,
Ce flux financier en cas de décès peut s’écrire :
ttt SKSKSMax ,
Où : SK et tS est le montant de l’épargne de l’assuré.
En supposant les décès parfaitement mutualisés, le flux associé à la garantie pour un
assuré d’âge x vaut :
ttxxt SKqp 11
De manière plus formelle et sous les hypothèses fondamentales des mathématiques
financières (Complétude des marchés et absence d’opportunité d’arbitrage), pour le taux
sans risque r , ce flux vaut :
T
nn
rnQnxxnTxTxT
xrTQp SKeEqpSKeE1
111 [1]
On reconnait le prix d’une option de vente de prix d’exercice K et de maturité n (le
problème revient à calculer le prix de cette option nrnQ SKeE ).
Pour cela il faut définir un modèle pour le sous-jacent qui souvent est le modèle de Black
& Scholes.
Ce modèle est rapidement rappelé ci-dessous :
Il se base sur les hypothèses suivantes :
- Absence d’opportunité d’arbitrage
- Pas de dividende pour le sous-jacent
- L’action suit un processus lognormal : SdWSdtdS où W est un
mouvement brownien standard
- Le taux sans risque et la volatilité sont constant au cours du temps
- Pas de frais de transaction
Ce processus s’interprète de façon concrète puisque le premier terme dépendant
uniquement du temps est la tendance globale de l’évolution du cours tandis que le second
terme introduit des mouvements aléatoires ainsi que l’amplitude de ces mouvements (la
volatilité).
Sous ces hypothèses le prix d’un call s’écrit :
)()( 210 dNKedNSC rT
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Le prix d’un put s’écrit :
)()( 102 dNSdNKeP rT
Avec : T
TrK
S
d
2
ln2
0
1 et T
TrK
S
d
2
ln2
0
2 et N : la fonction de
répartition de la loi normale.
On obtient donc :
[1] =
T
n
rnnxxn dNSdNKeqp
110211 )()(
La théorie de cette méthode reste assez simple mais son application devient rapidement
compliquée dès lors que les contrats sont adossés à un grand nombre de fonds.
Effectivement le portefeuille étudié comprend une trentaine de fonds, il est alors difficile
sans outil spécifique de réaliser une matrice de corrélation, nécessaire au calcul, d’autant
de fonds. C’est pourquoi l’utilisation d’une méthode de calcul à la juste valeur s’inspirant
du calcul d’un best estimate contrat par contrat selon la réglementation de solvabilité II
est une approche intéressante pour notre étude.
De plus l’utilisation d’une formule fermée rend complexe (au niveau théorique mais
surtout dans la mise en œuvre) l’intégration des flux financiers intermédiaires (rachats,
décès, frais, arbitrages).
Enfin, la formule étant fermée, les résultats par la méthode des puts sont donc beaucoup
plus compliqués à auditer et à valider.
Section 1.3 : Evaluation des engagements intégrant les lois de comportement
La méthode retenue consiste à simuler la vie du portefeuille en run-off pendant 50
années. Chaque contrat ayant une garantie plancher, nous observons l’épargne du
contrat pour chaque année de projection que l’on compare au capital garanti par
l’assureur. Le capital garanti évolue au cours du temps avec les rachats. Cette méthode a
donc l’avantage de pouvoir prendre en compte les lois de comportement construites dans
la partie III. De plus la mise en place de ce moteur de calcul permet de stocker de
nombreuses informations comme le nombre et la répartition des décès, l’évolution par
contrat de l’encours, et cela en rajoutant un temps de calcul très faible comparé au temps
de calcul global.
L’objectif de cette application est d’étudier l’équilibre financier entre les frais et les
prestations (principe de tarification). Mais la garantie plancher possède plusieurs
particularités :
- un caractère procyclique (la mutualisation porte uniquement sur le risque
décès, mais le risque financier – chute des fonds – est identique pour tous les
assurés).
- Une autre particularité est que la prime (frais sur encours) finançant cette
garantie diminue lorsque l’épargne chute : et donc plus il y a de sinistres
moins il y a de primes. Ce paradoxe peut être contré en prenant comme
assiette de calcul de la prime, le capital sous risque. Cette approche entraîne
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d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 88/115
un autre problème, qui est l’absence de prime lorsque les capitaux sous risque
sont nuls bien que le risque existe.
Pour notre application, le calcul se concentre sur les flux suivant :
- les frais sur encours de chaque contrat
- le capital sous risque si l’on est dans une approche déterministe
- Le coût réel prévisionnel supporté par l’assureur si l’on est dans une approche
stochastique.
- chaque flux sera actualisé au taux sans risque
Ci-dessous un schéma des différents flux intégrés dans le calcul :
Approche déterministe :
La modélisation des rachats se fait par une diminution de l’épargne, à la fin de chaque
année, sur chaque contrat. Ces rachats diminuent ainsi le capital garanti par l’assureur.
Les prestations sont calculées globalement sur l’ensemble du portefeuille, en sommant à
la fin de chaque année pour chaque contrat le capital sous risque pondéré par la
probabilité de décès. Le montant payé pour l’année n, sur les contrats, est :
nbcont
i
ix CRq1
nPrestation
Les frais sur encours sont actualisés ainsi que le montant des prestations.
Approche stochastique :
L’approche stochastique consiste à réaliser un certain nombre de simulations (fixé à
1000 pour cette étude) et permet une approche encore plus réaliste les prestations ne
sont pas calculées globalement ; un assuré décède « entièrement » ou ne décède pas
(contrairement à l’approche déterministe). Cette approche binaire met en relief les lois
Année n Année n +1
Frais
Rachat
Epargne garantie
Temps
Actualisation au
taux sans risque
Année 0
Evolution
du strike
Capital
sous risque
Epargne disponible
Décès
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
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PRINGAULT Manuel 89/115
de comportement déterminées précédemment. Il faudra tout de même extrapoler les
résultats trouvé puisque l’historique disponible n’a pas pu permettre la construction de
loi sur 50 ans.
Extrapolation des lois de comportement :
Pour les rachats l’historique disponible n’a permit de déterminer des taux de rachats et
des répartitions de rachat que pour des anciennetés variant de 0 à 8 ans. L’extrapolation
des résultats est obligatoire pour poursuivre l’étude. Le taux de rachat sera donc
extrapoler grâce à une droite linéaire décroissante partant de l’ancienneté 8 et arrivant
au minimum constaté (4%) au bout des 50 ans de projection.
Pour la table de mortalité prospective une extrapolation des grands âges a aussi été
nécessaire et il a été décidé d’utiliser la TGF jusqu’à 107 ans.
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
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Chapitre 2 : Présentation générale de la méthodologie retenue
Afin de calculer le coût de la garantie plancher dans un temps raisonnable, il a fallu
réaliser certaines hypothèses simplificatrices tout en gardant la plus grande cohérence
avec la réalité afin d’obtenir des résultats pertinents. Ce chapitre est consacré à la
présentation de ces hypothèses et de la méthodologie appliquée aussi bien pour la
simulation des fonds que pour le moteur de calcul.
Section 2.1 : Description des éléments retenus et des hypothèses simplificatrices
Les différentes hypothèses retenues peuvent se regrouper en deux classes : les
hypothèses liées à la vie du contrat et les hypothèses liées au calcul directement.
Les hypothèses liées à la vie du contrat :
- Tous les rachats et décès se produisent en fin d’année
- Il n’y a pas de versement puisque l’étude est réalisée sur un portefeuille en
run-off
- Chaque désinvestissement (rachat) au cours des 50 ans de projection est
réalisé au prorata de l’épargne pour chaque contrat
- Chaque année des frais de gestion de 1% sont appliqués (dont 0,4% sont
accordés au coût de la garantie plancher)
- Il n’y a pas de pénalité de rachat
- Il n’y a pas d’avance accordée par l’assureur
- En cas de décès avant le terme du contrat, l’épargne est versée aux ayants
droits de la même manière que pour un rachat total
- Le capital garanti évolue seulement en fonction des rachats, les versements ne
sont pas pris en compte, ni les avances
Les hypothèses liées au calcul du best estimate :
- La date d’évaluation du coût de la garantie plancher est fixée au 31 décembre
2007
- Le pas du calcul est annuel
- Le nombre d’année de projection est fixé à 50 ans
- Au terme des 50 années de projection l’ensemble des assurés restant rachète
leurs contrats
- La courbe de taux utilisée est celle des QIS 4
- Nous retenons 5 trajectoires d’actifs par fonds selon une méthode détaillée
dans la section suivante
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
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Section 2.2 : Modélisation des actifs
Pour les fonds en UC :
Pour modéliser les différents fonds présents dans notre portefeuille nous avons choisi un
modèle qui s’appuie sur une approche macroéconomique qui constate deux sortes de
phase dans le développement économique des fonds au cours du temps : une phase
normale et une phase de crise. Ce modèle, utilisé aux Etats-Unis, est appelé « switch
régime ».
Ce modèle est basé sur la combinaison de deux lois normales : une en temps normal et
une en temps de crise. On détermine également une matrice de transition qui permet le
passage d’un état à l’autre.
Les éléments nécessaires à la réalisation de ce modèle sont les suivants :
- Définition des périodes de crise par une valeur de rendement limite
- Etat initial du fonds
- La matrice de transition
CCCN
NCNN
TT
TTT
- Les paramètres des lois normales :
),( 2111 N : représente le comportement du rendement des fonds en temps
normal
),( 2222 N : représente le comportement du rendement des fonds en temps de
crise
- Simulation de l’inverse de la loi normale
Voici un schéma de l’algorithme pour un fond initialement en temps normal :
L’ensemble des paramètres CCCNNCNN TTTT ,,,,,,, 2211 sont estimés à partir des
données historiques des rendements de chaque fonds depuis leur création. La valeur de
rendement limite déterminant les périodes dites de crise a été choisie à 3% en données
mensuelles.
Les périodes dites de crise correspondent aux périodes de forte volatilité des marchés et
pas seulement des périodes de baisse des marchés.
Etat normal 1N
Simulation loi
uniforme 1,0U
Inverse de la loi
normale 1N
Simulation loi
uniforme
1,0U
Simulation loi
uniforme
1,0U
Matrice de
transition
T
1N 1N
2N 2N
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PRINGAULT Manuel 92/115
Le modèle de « switch régime » nécessite l’utilisation de générateur de nombre aléatoire
distribués selon la loi uniforme 1,0U et de l’inverse de la fonction de répartition d’une
loi normale. Nous utiliserons le générateur congruentiel Rnd de VB pour la loi uniforme
et l’algorithme de De Moro pour la loi normale que nous allons présenter.
Algorithme de De Moro :
Soit 2,N une loi normale, sa fonction de répartition F est donnée par :
xxF avec
x
t
dtex 2
2
2
1
sa fonction de répartition
La simulation de la loi normale peut être vue comme l’inversion de la fonction de
répartition d’une loi normale centrée, réduite puisque si Y ~ 1,0N alors YX suit
une loi 2,N .
Cependant l’inversion de la fonction de répartition d’une loi Normale centrée réduite
n’étant pas facilement calculable l’algorithme de De Moro permet d’approcher le résultat
par une méthode numérique de bonne qualité.
Cet algorithme peut être décrit de la manière suivante :
Soit u la valeur de loi uniforme générée. On pose 5,0 uX :
Si 42,0X alors la solution est approchée par :
4
0
2
4
1
)1(2
2
i
ii
i
ii
Xb
Xa
Xr avec 10 b
Sinon, si 0X on pose ur 1loglog
La solution est alors approchée par :
9
1
12
i
iircr
si 0X on pose ur loglog
La solution est alors approchée par :
9
1
12
i
iircr
Les valeurs des iii cba ,, sont données en annexe ainsi que l’implémentation sous VBA.
Afin de limiter le nombre de simulations qui est assez important dès lors que les lois
utilisées sont dynamiques la simulation des fonds en unité de compte a été réalisée à
part afin d’isoler des scénarios extrêmes déjà définis et limitant le temps de calcul du
moteur. Nous avons effectué 1000 simulations pour chaque fonds et nous en avons
retenu 5 correspondant aux quantiles 1%, 25%, 50%, 75% et 95% de la dernière année de
projection. Cette approche permet d’obtenir des résultats selon 5 trajectoires différentes
balayant ainsi l’éventail des scénarios possibles tout en limitant le nombre total de
simulations lors du calcul du cout de la garantie plancher.
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Pour le fonds Euro :
Les 5 scénarios du fonds Euro ont eux été défini de manière constant c'est-à-dire ayant
un rendement fixe variant de 0% à 5% par an. Effectivement le produit étudié n’a pas de
taux minimum garanti, les contrats étant viagers il est très difficile pour l’assureur de
garantir un taux attrayant et atteignable pour de si longues périodes. Il existe bien un
taux minimum garanti annuel ou taux de rémunération garanti par an sur ce produit
mais la réalisation de ce taux n’est pas un réel enjeu pour l’assureur.
De plus une modélisation fine, décomposant le fonds Euro en différents produits
(obligations, actions, valeurs immobilières), calculant un taux de rendement des actif et
un taux cible de revalorisation du contrat, entrainant une réallocation d’actif, etc, est
chronophage et surtout n’est pas l’objectif de cette étude.
C’est pourquoi nous avons décidé de fixer 5 scénarios ayant des rendements constants et
qui valent 0%, 1,25%, 2,5%, 3,75% et 5% par an avec une distribution des plus values en
fin d’année.
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Section 2.3 : Présentation du moteur de calcul stochastique
Voici l’organigramme de la méthode de calcul stochastique du coût de la garantie
plancher :
Lancement de la simulation
Initialisation des paramètres
p=1
Assuré p
i=1
Trajectoire i des actifs
j=1
Simulation j
h=1
Année h de projection
Génération dynamique des rachats en fonction de
l’ancienneté de chaque contrat
Déduction des frais et stockage du résultat
Génération des décès utilisant la table prospective
associée au portefeuille
Calcul du capital sous risque
h=H=50
j=J=1000
i=I=5
p=P=202 227
Faux
Faux
Faux
Faux
Calcul final
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Fin de la simulation
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Afin de mieux comprendre la méthode stochastique appliquée nous allons illustrer
l’organigramme précédent par un exemple simple :
On considère un assuré de 40 ans possédant son contrat d’assurance vie depuis 4 ans et
dont la répartition de son épargne au 31 décembre 2007 est la suivante :
- 5000 euros sur le fonds euro
- 2000 euros sur l’UC 1, représentant 200 unités de compte (valeur liquidative
du fonds 1 valant 10 euros)
- 3000 euros sur l’UC 2, représentant 30 unités de compte (valeur liquidative du
fonds 2 valant 100 euros)
- Son capital garanti est de 15 000 euros (versements antérieurs)
Afin de simplifier l’exemple, une description de la première année uniquement est
décrite avec un rachat de 3000 euros et un décès en fin d’année terminant ainsi la
simulation.
Les étapes de calcul sont les suivantes :
pour chaque année et pour chaque contrat l’ancienneté ainsi que l’âge de l’assuré
sont calculés.
l’épargne de l’assuré est calculée avec les nouvelles valeurs liquidatives
le programme détermine s’il y a un rachat de la manière décrite dans la partie III.
Dans cet exemple il y a effectivement un rachat qui va donc par la même occasion
diminuer le capital garanti de l’assuré à 12 000 euros.
l’épargne de l’assuré est recalculée
les frais de gestion sont prélevés et stockés afin d’être actualisé au taux sans
risque à la fin du calcul
l’épargne est recalculée et comparée au capital garanti. Si cette épargne est
inférieure au capital garanti alors le capital sous risque est stocké dans une
variable.
le programme détermine grâce à la table prospective construite précédemment s’il
y a un décès de la manière décrite dans la partie III. S’il y a un décès comme dans
cet exemple alors le coût supporté par l’assureur est stocké afin d’être actualisé
au taux sans risque à la fin du calcul
puis le programme réitère l’opération pour la simulation suivante
Le programme a été adapté en fonction des lois et de la méthode appliquée (déterministe
ou stochastique). Dans un souci de clarté, une présentation de la méthode la plus
complète vient d’être réalisée, les autres modes de calculs étant plus simple il n’y aura
pas d’illustration par des exemples risquant d’être trop répétitifs.
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Chapitre 3 : Présentation des résultats
Ce chapitre présente les résultats du moteur de calcul. Le calcul de référence est le cas
utilisant les lois de l’assureur c'est-à-dire un taux de rachat fixe et les tables de mortalité
TH/TF. Puis chaque paramètre est modifié pour tester l’impact de la loi de rachat
dépendant de l’ancienneté du contrat et de la table de mortalité prospective.
Section 3.1 : Calcul de référence
Quelle que soit la loi de comportement utilisée, le coût de la garantie plancher évolue
fortement avec les scénarios d’actifs choisis. Effectivement dans le cas où les fonds
surperformeraient durant un grand nombre d’années, l’assureur ne serait pas inquiété
par le coût de son option. C’est pourquoi le choix de la modélisation des actifs a été très
important et le « switch régime » utilisé est apparu comme un choix judicieux puisque les
rendements moyens des fonds en période de crise étaient souvent négatifs. Cela a permit
en choisissant des quantiles faibles (1% et 25% en particulier) d’avoir une quantité de
capital sous risque non négligeable comparé à l’encours global de ce portefeuille et donc
de mettre en évidence les conséquences d’une forte tendance baissière (stress test).
Enfin pour avoir un aperçu de la vitesse à laquelle ce portefeuille se vide en run-off voici
le graphique de l’encours global en fonction du temps :
Ce graphique a été réalisé avec des lois déterministes :
- Rachats de 6,1% par an (moyenne des taux de rachat de la loi déterminée dans
la partie III)
- Table de mortalité : TH/TF
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Le scénario 1 (quantile 1%) montre un encours qui chute relativement vite, comparé au
scénario 5 (quantile 95%) dont l’encours est légèrement croissant pendant les 5
premières années et qui n’est toujours pas égale à 0 au bout de 50 ans. Ce graphique
permet d’avoir un aperçu des rendements des fonds associés à chaque scénario.
Enfin pour chaque calcul une approche déterministe et stochastique est réalisée. La
convergence de l’une vers l’autre conforte les résultats.
Calcul déterministe :
Ce premier résultat déterministe est obtenu pour un taux de rachat fixe à 6,1% et
utilisant la table de mortalité TH/TF :
Portefeuille Frais 1% 0,40% Coût de la Garantie
plancher
Scénario 1 271 904 222 108 761 689 168 832 217
Scénario 2 273 717 888 109 487 155 142 956 270
Scénario 3 293 086 134 117 234 453 91 208 021
Scénario 4 301 607 907 120 643 163 71 938 156
Scénario 5 309 683 323 123 873 329 59 567 694
A titre informatif l’encours global à la date initiale est de 2,4 milliards d’euros.
La part attribuée au coût de la garantie plancher est de 0,4% de frais sur encours
comparé au coût prévisionnel de la garantie plancher l’assureur n’est pas couvert pour
les deux scénarios baissiers. Même si ces scénarios extrêmes sont peu probables le risque
est assez important.
Il est possible de réaliser quelques remarques supplémentaires :
Le coût de la garantie plancher est logiquement plus faible pour les scénarios d’actifs les
plus favorables (scénario 5) mais n’est jamais nul.
Le montant des frais selon les différents scénarios sont assez proches. La distribution en
fonction des scénarios d’actif est fine comparé au coût de la garantie plancher qui passe
du simple au triple.
Calcul stochastique :
Ce résultat stochastique réalisé sur 1000 simulations est obtenu pour un taux de rachat
fixe à 6,1% et utilisant la table de mortalité TH/TF. Le tableau ci-dessous présente
l’espérance des simulations pour l’ensemble des contrats en fonction des scénarios :
Portefeuille Frais 1% 0,40% Coût de la Garantie
plancher
Scénario 1 268 340 654 107 336 262 173 015 219
Scénario 2 270 362 924 108 145 170 145 945 040
Scénario 3 290 632 082 116 252 833 94 801 649
Scénario 4 298 916 101 119 566 440 73 748 179
Scénario 5 307 957 106 123 182 842 60 657 169
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 98/115
La première observation est assez rassurante sur la qualité du moteur puisque les
espérances sont assez proches du calcul déterministe précédent. L’écart le plus
important est de l’ordre de 3,8%. Enfin l’avantage de cette approche, au-delà du calcul
plus précis, est la possibilité de visualiser les densités associées au coût prévisionnel de
la garantie plancher (en bleu) et au montant prélevé par l’assureur (en rouge) afin de
supporter ce risque.
Ce code couleur sera respecté pour l’ensemble des graphiques suivants.
Voici les densités pour le scénario d’actif 1 :
Ce graphique montre clairement que dans ce cas l’assureur n’est pas du tout couvert et
sous estime largement le risque associé à cette option.
Nous remarquons aussi que la densité du coût de la garantie plancher est moins fine que
celle du pourcentage de frais.
Voici les densités pour le scénario d’actif 2 :
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 99/115
Contrairement à l’approche déterministe, ce graphique permets de constater que
l’assureur est couvert très légèrement puisque les deux densités se croisent. Cependant
ce scénario est aussi inquiétant puisque la densité du pourcentage des frais est
largement en dessous de la densité du coût de l’option.
Voici les densités pour le scénario d’actif 3 :
Les deux densités se sont inversées et il est possible de dire que pour ce scénario
l’assureur est enfin couvert.
Voici les densités pour les scénarios d’actif 4 et 5 respectivement :
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 100/115
La tendance observée pour le scénario précédent s’accentue. La part d’encours prélevée
afin de couvrir le coût de la garantie plancher devient largement supérieure.
Section 3.2 : Intégration des rachats
Dans cette section, le calcul précédent est repris mais en intégrant la loi de rachat
déterminée dans la partie III c'est-à-dire dépendant de l’ancienneté du contrat. La table
de mortalité n’est pas changée.
Calcul déterministe :
Portefeuille Frais 1% 0,40% Coût de la Garantie
plancher
Scénario 1 244 231 005 97 692 402 144 176 920
Scénario 2 246 846 292 98 738 517 122 329 116
Scénario 3 265 922 128 106 368 851 79 550 818
Scénario 4 273 548 455 109 419 382 62 454 439
Scénario 5 281 700 389 112 680 156 50 777 196
Ces résultats montrent l’impact de la loi de rachat et les résultats ne sont pas
négligeables. Effectivement le coût prévisionnel de la garantie plancher est diminuée de
14% en moyenne et les frais sont diminués de 10% en moyenne. Le taux de rachat
déterministe de 6,1% de l’exemple précédent (qui correspondait à la moyenne des taux de
rachats dépendant de l’ancienneté) semble sous estimer les rachats. Le coût de la
garantie plancher est donc diminué puisque l’évolution du capital garanti est
significativement différente. Chaque rachat diminue l’intérêt de la garantie plancher
pour l’assuré. De même pour les frais qui logiquement diminuent lorsque les rachats
augmentent.
Calcul stochastique :
Le calcul stochastique confirme les résultats précédents. Le tableau ci-dessous présente
l’espérance des simulations réalisées.
Portefeuille Frais 1% 0,40% Coût de la Garantie
plancher
Scénario 1 245 349 630 98 139 852 145 902 226
Scénario 2 247 495 787 98 998 315 123 242 782
Scénario 3 264 909 172 105 963 669 79 456 081
Scénario 4 271 231 043 108 492 417 62 952 719
Scénario 5 279 469 516 111 787 806 51 157 965
Ces résultats convergent bien vers les résultats déterministes ci-dessus avec un écart
maximal de 3,3%.
Afin de ne pas surcharger inutilement cette étude les densités ne sont pas présentées
dans ce cas mais le seront dans le dernier exemple contenant les deux lois de
comportement définis dans la partie III.
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d’une garantie plancher.
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Section 3.3 : Intégration des décès
Dans cette section, le calcul est repris mais en intégrant cette fois la table de mortalité
prospective déterminée dans la partie III. Les rachats sont quant à eux fixés à 6,1%.
Calcul déterministe :
Portefeuille Frais 1% 0,40% Coût de la Garantie
plancher
Scénario 1 304 292 424 121 716 970 155 215 599
Scénario 2 308 788 787 123 515 515 125 807 056
Scénario 3 334 712 102 133 884 841 79 700 211
Scénario 4 346 424 871 138 569 949 57 736 719
Scénario 5 359 473 067 143 789 227 44 753 199
Ces résultats montrent l’impact de la table de mortalité choisie. Le coût de la garantie
plancher est diminué de 8% pour le scénario 1 à 25% pour le scénario 5. Cette diminution
est logique puisque les taux de mortalité utilisés sont plus faibles que pour les tables
TH/TF. L’écart de baisse important qui existe entre les scénarios peut s’expliquer par
l’évolution des valeurs liquidatives des premières années. Pour le scénario 5 (quantile à
95%) les premières variations des fonds ne sont pas forcément représentatives de
l’évolution globale. La plus grande partie du coût de la garantie plancher est concentrée
pour ce scénario sur les premières années puisque ce sont les seules années où l’épargne
de l’assuré a une chance d’être en dessous de son capital garanti. La baisse des taux de
mortalité va donc retarder l’apparition des premiers décès et donc diminuer fortement le
coût global lié à cette option. Le scénario 1 (quantile à 1%) permet plus facilement à
l’épargne d’être en dessous du capital garanti tout au long des 50 années de projection.
La baisse des taux de mortalité aura donc un impact réparti sur l’ensemble des années
de projection et plus faible au global. Le scénario 2 et 3 ont une baisse du coût
prévisionnel de la garantie plancher de 12% et le scénario 4 de 19%. La baisse est
croissante en fonction des scénarios d’actifs.
Calcul stochastique :
Le calcul stochastique confirme les résultats précédents. Le tableau ci-dessous présente
toujours l’espérance des simulations réalisées.
Portefeuille Frais 1% 0,40% Coût de la Garantie
plancher
Scénario 1 305 301 738 122 120 695 160 591 922
Scénario 2 308 862 572 123 545 029 131 818 300
Scénario 3 333 446 817 133 378 727 83 649 103
Scénario 4 346 010 397 138 404 159 62 569 216
Scénario 5 358 682 378 143 472 951 49 294 198
Ces résultats convergent bien vers les résultats déterministes ci-dessus avec un écart
maximal de 9,2%. Cet écart plus important peut s’expliquer par la qualité du générateur
de nombre aléatoire utilisé ou par le nombre trop faible de simulations (1000).
Afin de ne pas surcharger inutilement cette étude les densités ne sont pas présentées
dans ce cas non plus.
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Section 3.4 : Intégration des décès et des rachats
Cette dernière section intègre les deux lois définies dans la partie III : les rachats en
fonction de l’ancienneté et la table de mortalité prospective.
Calcul déterministe :
Portefeuille Frais 1% 0,40% Coût de la Garantie
plancher
Scénario 1 279 862 127 111 944 851 132 367 592
Scénario 2 282 879 136 113 151 654 108 351 769
Scénario 3 303 571 877 121 428 751 68 700 702
Scénario 4 311 691 018 124 676 407 51 938 635
Scénario 5 318 174 124 127 269 649 40 471 817
La combinaison des deux lois a un impact important pour les prévisions de l’assureur
puisque ce dernier est quasiment couvert pour le scénario 2, ce qui n’était pas le cas dans
le premier exemple. Enfin l’application de ces deux lois augmente légèrement les frais de
l’ordre de 3% et baisse significativement le coût de la garantie plancher de 20% pour le
scénario 1 à 35% pour le scénario 5.
Calcul stochastique :
Portefeuille Frais 1% 0,40% Coût de la Garantie
plancher
Scénario 1 277 491 881 110 996 753 133 658 383
Scénario 2 280 847 756 112 339 103 110 504 302
Scénario 3 301 633 413 120 653 365 70 158 194
Scénario 4 309 703 363 123 881 345 52 303 007
Scénario 5 320 010 564 128 004 225 41 144 085
Pour ce résultat, nous exploiterons les densités afin d’affiner les observations, la densité
associée au coût prévisionnel de la garantie plancher sera en bleu et la densité associée
au montant prélevé par l’assureur pour couvrir cette option sera en rouge.
Voici les densités pour le scénario d’actif 1 :
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d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 103/115
Contrairement aux densités du calcul de référence, les densités observées dans ce cas
sont plus plates. Les lois utilisées permettent une plus grande variabilité et la notion de
Value at Risk devient rapidement intéressante.
Même si pour ce scénario le coût de la garantie plancher reste en moyenne supérieur à la
moyenne des 0,4% de frais, les deux densités sont quand même superposées ce qui veut
dire que pour certaines simulations l’option peut être quand même assez provisionnée.
Voici les densités pour le scénario d’actif 2 :
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d’une garantie plancher.
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Ce scénario présente une situation intermédiaire où il existe un certain nombre de cas où
l’assureur est couvert et d’autre simulations où le coût de la garantie plancher est sous
estimée.
Voici les densités pour le scénario d’actif 3 :
A partir du scénario 3 les 0,4% de frais couvre complètement le risque associé à l’option
Voici les densités pour les scénarios d’actif 4 et 5:
Ces densités confirment le résultat précédent puisque 100% des cas sont couverts.
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
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Chapitre 4 : Synthèse et réflexions
Ce chapitre élargie le périmètre de cette étude et de cette application afin de présenter
quelques pistes de réflexion et d’approfondissement qu’ouvre l’étude du comportement
des assurés.
Section 4.1 : Les méthodes de tarification possibles pour une garantie plancher
L’application présentée se base sur une stratégie de rémunération de la garantie
plancher appelé prime sur encours. Ce type de tarification couramment employé a des
avantages assez explicites :
- facilité de gestion pour l’assureur
- l’assuré appréhende facilement le montant de prime qu’il aura à payer
- le surcoût de gestion causé par cette garantie est maîtrisé
Cependant ce type de tarification présente aussi un inconvénient majeur :
- la prime sur encours ne corrèle pas du tout la prime au risque financier
Effectivement une chute de l’encours entraîne une augmentation des capitaux sous
risque et donc de l’engagement de l’assureur alors que simultanément l’engagement de
l’assuré diminue.
Il pourrait être intéressant de proposer une stratégie de tarification différente comme la
tarification à la prime unique (prélevé sur les sommes versées) ou encore une tarification
à la prime de risque qui consiste à appliquer périodiquement la probabilité de
survenance de l’évènement couvert au capital sous risque.
Section 4.2 : Les différentes applications possibles pour les lois de comportements
Comme nous l’avons déjà dit l’utilisation des lois de comportement et l’approche en juste
valeur ouvre la voie au calcul d’un best estimate pour ce portefeuille qui est une question
restant à traiter.
Mais les applications sont nombreuses et vont aller en grandissant. Effectivement
aujourd’hui et grâce à Solvabilité II, l’étude du comportement devient de plus en plus
important en ALM pour les calculs de MCEV et surtout l’apparition des variables
annuities présage l’arrivée d’outils novateurs encore plus complexe et permettant aux
assureurs de conquérir de nouvelles parts de marché.
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
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CCOONNCCLLUUSSIIOONN
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
PRINGAULT Manuel 107/115
CONCLUSION
Cette étude a permis d’étudier le comportement des assurés d’un portefeuille épargne.
Cet exercice peut être abordé sous des angles très variés. Les raffinements de loi
possibles semblent illimités dans leurs conceptions et laissent d’innombrables
possibilités aux actuaires. Il a été possible de constater que l’étude du comportement est
à la base de chaque tarification, de chaque provisionnement puisque l’assuré est souvent
maître de son produit.
Cette étude a décrit la construction de tables d’expériences puis grâce à la méthode de
Lee & Carter la construction d’une table de mortalité prospective.
Elle a présenté une loi de rachat dynamique qui malheureusement n’a pas pu inclure la
notion de dynamique de marché puisque le portefeuille ne s’y prêtait pas, mais cette
intuition mériterait d’être étudiée sur un portefeuille plus vieux et probablement plus
enclin à ce type de comportement.
Enfin, elle a permis d’étudier l’ensemble des types de versements et de présenter la
méthode de Box et Jenkins (étude des séries temporelles). L’approche de modélisation
par les séries temporelles est rarement utilisée en assurance comparé à la finance mais
cette manière de procéder possède de nombreux avantages dès que le nombre de facteurs
externes est important. Effectivement, il est intéressant de posséder des outils qui se
bornent à extrapoler dans le futur les tendances observées dans le passé.
La quatrième partie s’est concentrée sur une application de calcul du coût de la garantie
plancher en soulignant les difficultés d’application de la méthode des puts et en
proposant une modélisation par projection des flux futurs intégrant les lois de
comportements définies précédemment.
Les résultats sont explicites puisque un changement de loi peut entraîner une variation
des résultats de calcul du coût d’une option de plus de 30%.
Enfin, il est important de préciser que nous vivons une période particulièrement
intéressante de l’assurance vie puisque nous pouvons assister à l’arrivée sur le marché
Français de nouveaux produits de type variable annuities où l’importance du
comportement des assurés est encore plus flagrante et où les possibilités pour l’assuré
semblent bien plus grandes.
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PRINGAULT Manuel 108/115
AANNNNEEXXEESS
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ANNEXE I : PRESENTATION DE CSC
Plus de 45 ans d’expérience:
Computer Sciences Corporation (CSC) est une société de services en ingénierie
informatique. Réinventer les processus métiers, optimiser les systèmes d’information,
innover les produits et les services grâce aux nouvelles technologies représentent des
problématiques complexes auxquelles CSC contribue à apporter des réponses simples et
concrètes.
Depuis sa création en 1959, CSC a la réputation de mener des programmes et des projets
de consolidation ou d’intégration des métiers, processus et technologies pour ses clients.
Aujourd’hui, elle est un des leaders mondiaux dans le conseil, l’intégration de systèmes
et l’externalisation. La société est cotée à la Bourse de New York (NYSE) sous le symbole
« CSC ».
L’écoute du client est au cœur de sa démarche de création de valeur :
une enquête trimestrielle est réalisée avec TNS Sofres pour analyser la qualité de
ses missions.
un programme, Pioneer, est mené et vise à définir les leviers d’amélioration au
service de ses clients.
des enquêtes annuelles sont menées en collaboration avec la presse spécialisée
(LSA, Liaisons Sociales, Usine Nouvelle, l’Argus de l’Assurance …) pour identifier
les meilleures pratiques sectorielles du moment et disposer d’une vision globale
de l’évolution des métiers.
CSC forme aujourd’hui un vrai réseau mondial grâce aux implantations de ses
établissements dans 50 pays (Argentine, Allemagne, Afrique du Sud, Autriche, Belgique,
France, Etats-Unis, Hong-Kong, Royaume-Uni, Suisse, Singapour, Taiwan, Thaïlande,
etc.) et compte plus de 80000 collaborateurs dans le monde. Elle intervient également
dans 38 autres pays (Finlande, Grèce, Islande, Israël, Maroc, Nouvelle Guinée,
République démocratique du Congo, etc.) où elle ne dispose pas encore de bureaux
permanents.
Au niveau de l’Europe par exemple, CSC mobilise plus de 22 000 collaborateurs sur cinq
régions :
- région Ouest : France, Belgique, Luxembourg ;
- région Nord : Grande-Bretagne, Irlande, Pays-Bas ;
- région Centrale : Allemagne, Suisse, Autriche, République Tchèque, Slovaquie,
Pologne, Hongrie ;
- région Scandinave : Danemark, Suède, Norvège ;
- région Sud : Italie, Espagne, Portugal, Afrique du Sud.
Ses métiers
Afin d’offrir la meilleure solution globale à ses clients, la société a développé une
expertise dans trois métiers complémentaires:
le conseil ; elle permet aux organisations d’anticiper les évolutions des marchés,
de redéfinir leur stratégie et d’adapter leurs modes de gestion et de management.
l'intégration de systèmes et de solutions ; elle garantit, à travers une gestion de
projet et du changement adaptée, la mise en œuvre d’une solution cohérente
intégrant l’organisation, les processus et le système d’information.
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l’externalisation : elle aide les entreprises à se concentrer sur leur cœur de métier
en les accompagnant dans la gestion et l’optimisation de leurs infrastructures
technologiques, de leurs applications informatiques et de leurs processus de
gestion.
Ces trois expertises métiers intégrées permettent à CSC de répondre avec souplesse aux
besoins spécifiques de chaque client et de lui proposer la meilleure solution sur mesure.
Ses secteurs d’activité
CSC accompagne ses clients dans l’industrie et les services du secteur public et privé et les aide à augmenter leurs performances en utilisant le levier stratégique des nouvelles technologies.
Les marchés et les domaines d’intervention de CSC sont divers et variés :
Les services financiers:
La société est au cœur des grandes problématiques de la banque et de l’assurance : la concentration, la mise en commun de moyens, l’optimisation et la rationalisation des systèmes d’information, la gestion des risques et la dynamisation de la relation commerciale sont au nombre des ses missions réalisées dans ce secteur. Elles vont de la conduite de chantier de migration à la mise en œuvre de solutions sectorielles pour le monde bancaire et l’assurance (vie, santé retraite) avec en particulier GraphTalk A.I.A, logiciel leader dans le domaine de l’assurance des personnes.
L’industrie:
CSC offre des prestations d’amélioration des performances industrielles, logistiques, achat, gestion et finance pour les différents secteurs de l’industrie (automobile, aéronautique et défense, High Tech, industries de process).
Le transport et le tourisme:
La planification et l’optimisation de l’offre, la performance et les systèmes de production, de distribution et de vente, la performance de l’exploitation, la ponctualité et le service client, la gestion et le contrôle des coûts, l’amélioration de l’efficacité de la maintenance figurent parmi les missions menées dans ce secteur particulièrement touché par la concurrence sur les prix.
Le secteur public:
Dans un contexte de modernisation du secteur public, l’amélioration de la relation client-
usager, la transformation des organisations, l’implémentation des nouvelles technologies
de l’information et la conduite du changement sont au nombre de ses actions réalisées
avec succès au sein des administrations, ministères et établissements publics. L’eau, l’énergie, les télécommunications et le BTP:
Pour accroître leur productivité, CSC travaille avec les principaux acteurs du secteur sur
des missions telles que le développement de nouveaux services, la facturation, la relation
client, l’amélioration des performances commerciales et opérationnelles, la refonte des
processus métiers et des organisations. La grande consommation et la distribution:
Sur un marché en moindre croissance, CSC propose des prestations d’amélioration de la
performance couvrant l’ensemble de la chaîne de valeur : référencement, achats,
marketing, logistique, travail collaboratif… pour une meilleure qualité de service client.
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ANNEXE II : ALGORITHME DE DE MORO
Public Function dFdRNormaleInverse_deMoro(u As Double) As Double
Dim X As Double, r As Double, r0 As Double, r1 As Double, r2 As Double
Const a1 = 2.50662823884
Const a2 = -18.61500062529
Const a3 = 41.39119773534
Const a4 = -25.44106049637
Const b1 = -8.4735109309
Const b2 = 23.08336743743
Const b3 = -21.06224101826
Const b4 = 3.13082909833
Const c1 = 0.337475482272615
Const c2 = 0.976169019091719
Const c3 = 0.160797971491821
Const c4 = 2.76438810333863E-02
Const c5 = 3.8405729373609E-03
Const c6 = 3.951896511919E-04
Const c7 = 3.21767881768E-05
Const c8 = 2.888167364E-07
Const c9 = 3.960315187E-07
X = u - 0.5
If Abs(X) < 0.42 Then
r = X ^ 2
r2 = X * (((a4 * r + a3) * r + a2) * r + a1) / ((((b4 * r + b3) * r + b2) * r + b1) * r + 1)
Else
If X > 0 Then r = Log(-Log(1 - u))
If X <= 0 Then r = Log(-Log(u))
r0 = c7 + r * (c8 + r * c9)
r1 = c4 + r * (c5 + r * (c6 + r * r0))
r2 = c1 + r * (c2 + r * (c3 + r * r1))
If X <= 0 Then r2 = -r2
End If
dFdRNormaleInverse_deMoro = r2
End Function
Remarque : Les constantes utilisées résultent de la calibration des actuaires du pôle
assurance de CSC.
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ANNEXE III : MOTEUR DE CALCUL DU
COUT DE LA GARANTIE PLANCHER
Voici une partie du moteur de calcul stochastique du cout prévisionnel de la garantie
plancher :
Option Explicit Sub CaracteristiquesContrat() Dim nb_actifs, nb_contrats, nb_stressTest, nb_simul As Integer Dim d, e, i, j, k, l, m, n, o, p, H, age As Integer Dim SQL As String Dim date_initiale As Date Dim a, a1, b, b1, c, txfrais As Double Dim anciennete As Integer Dim nb_contratsTOTAL As Integer Dim num_bloc As Integer Dim qx(0 To 107, 0 To 58) As Double Dim TabletxRachat(0 To 58) As Double Dim TablerepartitionRachat(0 To 19, 0 To 58) As Double Dim TablefourchetteRachat(0 To 19) As Double date_initiale = #12/31/2007# nb_actifs = 30 'Nbre d'actifs 'nb_contrats = 266878 ' Nombre de contrats nb_contratsTOTAL = 202227 ' Nombre de contrats nb_contrats = 10 H = 50 nb_stressTest = 5 'les scénarios de l'actif nb_simul = 1000 txfrais = 0.01 'TxFraisVersement = 0.04 'Connexion avec la base de données Dim chemin As String Dim flux As ADODB.Recordset chemin = "C:\Users\Manuel\CSC\Mémoire\Moteur\SimulationsVtest.mdb" Dim cmdCommand As ADODB.Command Dim cnnConn As ADODB.Connection Call Connexion_base(chemin, cnnConn) ReDim ValeurUnitaireSupport(1 To nb_actifs, 1 To nb_stressTest, 0 To H) As Double SQL = "DELETE * FROM Best_Estimate2;" cnnConn.Execute (SQL) 'stockage des scénarios d'actifs For i = 1 To nb_actifs For j = 1 To nb_stressTest For k = 0 To H ValeurUnitaireSupport(i, j, k) = Worksheets("ScénarioActifs").Range("A3").Offset(j + l, k + 1) Next k Next j l = l + 8 Next i 'Stockage des valeurs de sorties For d = 0 To 58 For c = 0 To 107 qx(c, d) = Worksheets("Sorties Rachats - Décès").Range("J3").Offset(c, d) Next c TabletxRachat(d) = Worksheets("Sorties Rachats - Décès").Range("BK3").Offset(d) For e = 1 To 19 TablerepartitionRachat(e, d) = Worksheets("Sorties Rachats - Décès").Range("BN3").Offset(e, d) Next e Next d For e = 0 To 19
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
d’une garantie plancher.
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TablefourchetteRachat(e) = Worksheets("Sorties Rachats - Décès").Range("BM3").Offset(e) Next e For num_bloc = 1 To nb_contratsTOTAL Step nb_contrats ReDim Coutgarplancher(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 1 To H) As Double ReDim Coutfrais(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 1 To H) As Double ReDim Coutgarplancher2(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul) As Double ReDim Coutfrais2(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul) As Double ReDim PourcentageActifRachat(1 To nb_actifs) ReDim num_contrats(1 To nb_contrats) As String ReDim date_naissance(1 To nb_contrats) As Date ReDim date_effet(1 To nb_contrats) As Date ReDim sexe(1 To nb_contrats) As String ReDim NbreUCParContratEtSupport(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 0 To H, 1 To nb_actifs) As Double ReDim Strike(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 0 To H) As Double ReDim Rachat(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 0 To H) As Double ReDim PM(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 0 To H) As Double l = 0 For i = 1 To nb_contrats For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul For l = 1 To H Rachat(i, j, k, l) = 0 Next l Next k Next j Next i SQL = "SELECT * FROM GAR_PLANCH3 WHERE INDEX >= " & num_bloc & " AND INDEX < " & (num_bloc + nb_contrats) & ";" Set flux = cnnConn.Execute(SQL) i = 1 Do While ((Not flux.EOF()) And (i <= nb_contrats)) num_contrats(i) = flux.Fields(0) date_naissance(i) = flux.Fields(1) sexe(i) = flux.Fields(2) date_effet(i) = flux.Fields(3) For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul For n = 7 To 36 NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, 0, n - 6) = flux.Fields(n) Next n Strike(i, j, k, 0) = flux.Fields(6) Next k Next j flux.MoveNext i = i + 1 Loop For i = 1 To nb_contrats For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul a = 0 For l = 1 To nb_actifs a = a + NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, 0, l) * ValeurUnitaireSupport(l, j, 0) Next l PM(i, j, k, 0) = a Next k Next j Next i Randomize For i = 1 To nb_contrats For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul Rachat(i, j, k, 0) = 0 For l = 1 To H 'Calcul de la PM pour chaque année et stockage des frais a = 0 a1 = 0 For n = 1 To nb_actifs NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l, n) = NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l - 1, n) * (1 - txfrais) a = a + NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l, n) * ValeurUnitaireSupport(n, j, l)
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a1 = a1 + NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l - 1, n) * txfrais * ValeurUnitaireSupport(n, j, l) Next n PM(i, j, k, l) = a Coutfrais(i, j, k, l) = a1 Strike(i, j, k, l) = Strike(i, j, k, l - 1) 'Variables à calculer age = CalculAge(date_naissance(i), date_initiale) + l If age > 107 Then GoTo sortie7 End If anciennete = CalculAge(date_effet(i), date_initiale) + l 'Rachats If Rnd() < TabletxRachat(anciennete) Then b = Rnd() c = 0 While (b > TablerepartitionRachat(c, anciennete)) c = c + 1 Wend Rachat(i, j, k, l) = TablefourchetteRachat(c) * PM(i, j, k, l) Strike(i, j, k, l) = Strike(i, j, k, l - 1) - Rachat(i, j, k, l) If TablefourchetteRachat(c) = 1 Then GoTo sortie9 End If ' Répartition des rachats sur les différents supports For n = 1 To nb_actifs PourcentageActifRachat(n) = ValeurUnitaireSupport(n, j, l) * NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l - 1, n) * (1 - txfrais) / PM(i, j, k, l) o = PourcentageActifRachat(n) * Rachat(i, j, k, l) NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l, n) = NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l - 1, n) - o / ValeurUnitaireSupport(n, j, l) Next n End If 'Décès If Rnd() < qx(age, l - 1) Then sortie7: b1 = Strike(i, j, k, l - 1) - PM(i, j, k, l) If b1 > 0 Then Coutgarplancher(i, j, k, l) = b1 End If GoTo sortie9 End If If l = 50 Then Rachat(i, j, k, l) = PM(i, j, k, l) End If Next l sortie9: Next k Next j Next i For i = 1 To nb_contrats For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul SQL = "INSERT INTO [Best_E2] (Num_Contrat, Num_Simul, Num_stresstest, Cout_frais, Cout_garplancher) SELECT " & num_contrats(i) & " AS Num_Contrat, " & k & " AS Num_Simul, " & j & " AS Num_stresstest, " & Replace(Coutfrais2(i, j, k), ",", ".") & " AS Cout_frais, " & Replace(Coutgarplancher2(i, j, k), ",", ".") & " AS Cout_garplancher;" 'Exécuter la requête cnnConn.Execute (SQL) Next Next Next Next End Sub
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Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût
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BIBLIOGRAPHIE
Cours et livres :
[1] Cours ISUP d’assurance Vie, de série temporelle et de mathématiques financières
[2] PLANCHET et THEROND (2006) : Modèles de durée, applications actuarielles,
collection Economica
[3] DELWARDE et DENUIT (2006) : Construction de tables de mortalité périodiques
et prospectives, collection Economica
[4] PLANCHET, THEROND et JACQUEMIN (2005) : Modèles financiers en
assurance, Analyse de risque dynamiques, collection Economica
[5] LE VALLOIS, PALSKY et TOSETTI (2003) : Gestion actif passif en assurance vie,
réglementation, outils, méthodes, collection Economica
Mémoire d’actuariat :
[1] Aurélie GAUMET, Construction de tables d’expérience pour l’entrée et le maintien
en incapacité, 2001, mémoire ISFA
[2] Sophie TERRIER, Les rentes viagères : mortalité d’expérience et réassurance, 2001,
mémoire CNAM
Articles :
[1] CHERIF et PRAS, Evaluation de l’option de rachat anticipé dans les contrats
d’assurance-vie, 1997
[2] PLANCHET et LELIEUR, Utilisation des méthodes de Lee-Carter et Log-Poisson
pour l’ajustement de tables de mortalité dans le cas de petits échantillons, 2005
Notes de doctrine interne CSC :
[1] CCA, Formation sur Solvency II, (2008)
Sites internet :
www.ffsa.fr
www.institutdesactuaires.com
www.ceiops.org
www.wikipedia.fr