IV. Indexy a diference

Ukazatel – specificka statisticka velicina popisujıcıurcitou socialne ekonomiclou skutecnost.

Ekonomicka teorie – definuje sve pojmy a jejich vz-tahy casto bez ohledu, zda jde o pojmy a vztahykvantifikovatelne.

Statistika – potrebuje realne existujıcı ekonomickejevy a procesy merit (vyjadrit jejich velikost, intenzitupomocı cıselnych charakteristik).

Statisticky ukazatel – statisticka charakteristika tj.funkce hodnot statistickeho znaku definovanych nastatistickych jednotkach.

Udaj – konkretnı cıselna hodnota ukazatele, kteravznika konkretnım vymezenım casu a prostoru.

Prıklad:

Ukazatel: odpracovana doba - uhrn doby odpracovane pra-covnıky podniku (uradu, zavodu) v mesıci (poprıpade vectvrtletı, v roce).

Udaj: definujeme cas a prostor (leden 2004, podnik SkodaMlada Boleslav).

1

Typy a vlastnosti ukazatelu

Zakladnı clenenı ukazatelu:

• Primarnı ukazatele:

◦ prımo zjist’ovane, neodvozene;

◦ lze jednoznacne urcit typ charakteristiky, sta-tisticke jednotky i statistickeho znaku (odpra-covana doba, pocet pracovnıku k urcitemu dni apod.)

• Sekundarnı ukazatele: odvozene

Tri zpusoby vzniku:

¦ funkce ruznych primarnıch ukazatelu (zisk,pridana hodnota, doba obratu zasob apod.);

¦ funkce ruznych hodnot tehoz primarnıho uka-zatele (casove prumery, ukazatele struktury, hrubehoobratu);

¦ funkce dvou (prıp. vıce) primarnıch ukaza-telu (relativnı ukazatele, kde alespon jeden je casovymprumerem - produktivita prace na pracovnıka, prıp.ziskovost produkce)

Dalsı clenenı ukazatelu:

♦ Absolutnı ukazatele – vyjadrujı velikosturciteho jevu bez vztahu k jinemu jevu (ukazateleprimarnı, nektere sekundarnı-casove prumery, rozdıloveukazatele jako zisk, pridana hodnota).

♦ Relativnı ukazatele – vyjadrujı velikost jednohojevu na mernou jednotku jineho jevu (sekundarnı).

2

Indexy a absolutnı rozdıly

Hodnota statistickeho ukazatele vznika konkret-nım casovym, prostorovym, popr. druhovymvymezenım.

Tyto hodnoty lze srovnavat v casove, prostorove civecne odlisnych situacıch.

Indexy a absolutnı rozdıly:

◦ nastroje srovnanı (kolikrat, o kolik je hodnota urcitehoukazatele vetsı nez jina hodnota);

◦ nastroje analyzy (co je prıcinou, ze jedna hodnota jevetsı, mensı nez jina).

Index – podıl dvou hodnot tehoz ukazatele,odpovıdajıcıch dvema situacım, ktere se lisı vevymezenı casu, prostoru nebo druhu (relativnızmena)

I(u) =u1

u0

u0 - hodnota ukazatele v zakladnı situaci

u1 - hodnota ukazatele v porovnavane situacibezrozmerne cıslo; interpretace v procentech.

Absolutnı rozdıl (diference) – rozdıl dvou hodnottehoz ukazatele (absolutnı prırustek); ve stejnychjednotkach jako uvazovany ukazatel.

Clenenı indexu (diferencı) podle ucelu: casove,prostorove, druhove (vecne).

3

Prıklad IV/1: Prumerne mesıcnı mzdy v roce 1994jsou uvedeny v nasledujıcı tabulce:

Okres Prumerna mesıcnı mzda

Kraj celkem 6 484

Ceske Budejovice 7 038

Cesky Krumlov 6 616Jindrichuv Hradec 6 195Pelhrimov 5 931Pısek 6 516Prachatice 6 120Strakonice 6 071Tabor 6 495

Porovnejte tyto udaje prostorove: jednotlivebyvale okresy vzhledem k celemu kraji indexy adiferencemi a vysledky interpretujte.

Resenı:

Napr. K porovnanı prumerne mesıcnı mzdy vokrese Jindrichuv Hradec v roce 1994 s prumernoumesıcnı mzdou v celem kraji pouzijeme nasledujıcıindex (diferenci) :

I(q) = 6195/6484 = 0.955; (∆(q) = 6195− 6484 = −289).

Prumerna mesıcnı mzda v roce 1994 byla o 4.5%nizsı nez prumerna mesıcnı mzda v celem kraji.Prumerna mesıcnı mzda v roce 1994 byla o 289 Kcnizsı nez prumerna mesıcnı mzda v celem kraji.

4

Prevazuje pouzitı indexu a diferencı pri hodnocenıdynamiky ekonomickych jevu v case =⇒zamerıme se na srovnavanı z hlediska casu.

Srovnavacı obdobı:

¦ zakladnı obdobı – obdobı, ktere slouzı za zakladsrovnavanı;

¦ bezne obdobı – porovnavane obdobı.

Index :I(x) =

x1

x0

x0 - hodnota ukazatele v zakladnım obdobı

x1 - hodnota ukazatele v beznem obdobı

Absolutnı rozdıl (diference):

4(x) = x1 − x0

5

Clenenı indexu podle povahy sledovanychukazatelu

• Indexy objemove

◦ Extenzitnı ukazatele (Q,q) – vyjadrujı ve-likost, rozsah, pocet, objem (velikost trzby, pocetpracovnıku, objem produkce, apod.):

¦ stejnorode – hodnota ukazatele lze scıtattak, aby soucet mel za celek stejny vyznamjako za jednotlive casti (mnozstvı vytezenehohnedeho uhlı v ruznych dolech);

¦ nestejnorode – nejsou scıtatelne (mnozstvıvytezeneho cerneho a hnedeho uhlı).

• Indexy urovne

◦ Intenzitnı ukazatele (p) – vyjadrujı inten-zitu nebo uroven (produktivita prace, hektarovyvynos, cena za jednotku), – podıl dvou extenz-itnıch ukazatelu:

p =Q

q

¦ stejnorode – podıl dvou stejnorodychextenzitnıch ukazatelu a shrnuje se po-mocı prumeru (naklady na vyrobu jednoho druhuvyrobku);

¦ nestejnorode – shrnovanı nema logickysmysl (naklady na vyrobu vyrobku ruznych druhu).

6

Typy indexu

◦ Individualnı indexy

¦ jednoduche – srovnavajı dve hodnoty exten-zitnıho ukazatele nebo intenzitnı ukazateletak, ze nenı pritom provedeno zadne scıtanıtechto hodnot;

¦ slozene – pri relativnım srovnavanı se prihlızıke shrnovanı porovnavanych stejnorodychukazatelu.

◦ Souhrnne indexy – slouzı k merenı zmen, kterenastaly v souboru ruznorodych extenzitnıchnebo intenzitnıch ukazatelu, jez nelze shrnovatsouctem ani prumerem.

◦ Specialnı indexy – index realnych mezd

7

Individualnı indexy jednoduche

Vyvoj casove rady za delsı casove obdobı.

• Bazicke indexy (se stalym zakladem)

I(x)i/b =xi

xb

xi - hodnota ukazatele v i-tem obdobı,i = 1, 2, . . . , n;

xb - hodnota ukazatele v zakladnım obdobı.

• Retezove indexy (s pohyblivym zakladem) –srovnavame vzdy dve za sebou jdoucı hodnotycasove rady:

I(x)2/1 =x2

x1, I(x)3/2 =

x3

x2.

• Retezovy index k-teho obdobı: – podıl bazickychindexu k-teho obdobı a predchozıho obdobı:

I(x)k/k−1 =I(x)k/b

I(x)k−1/b, k = 2, 3, . . . , n.

• Bazicky index k-teho obdobı vzhledem k bazi b:– soucin retezovych indexu pocınaje retezovymindexem obdobı (b + 1) a konce retezovym in-dexem k-teho obdobı.

I(x)k/b = I(x)b+1/b · I(x)b+2/b+1 · . . . · I(x)k/k−1

8

Platı:I(x)m/jI(x)j/m = 1

I(x)m/j = I(x)k/jI(x)m/k

Prıklad IV/2: V tabulce jsou uvedeny hodnotycasove rady spotreby masa (v kg) na 1 obyvatelev CR v letech 1985 az 1990.Charakterizujte vyvoj spotreby masa pomocı ba-zickych indexu (ve vztahu k roku 1985) a pomocıretezovych indexu.

Rok 1985 1986 1987 1988 1989 1990Spotreba 89 92 93 96 98 96

Resenı:

Bazicke: napr. I87/85 = 93/89 = 1, 0449 =⇒ v roce 1987stoupla spotreba masa priblizne o 4,49% vzhledemk roku 1985.

Retezove: napr. I89/88 = 98/96 = 1, 0208 =⇒ v roce1989 stoupla spotreba masa priblizne o 2,08%vzhledem k roku 1988.

9

Individualnı indexy slozene

Indexy stejnorodeho extenzitnıho nebo intenz-itnıho ukazatele – pouzıvame v situaci, kdy hod-noty daneho ukazatele jsou cleneny na dılcı a vramci vypoctu indexu provadıme scıtanı dılcıchhodnot.

• Slozene indexy extenzitnıch velicin

Dılcı hodnoty extenzitnıho ukazatele Q a qshrnujeme souctem.

Indexy mnozstvı resp. jejich absolutnı rozdılyjsou dany vztahy:

I(ΣQ) =Σm

i=1Q1,i

Σmi=1Q0,i

4(ΣQ) =m∑

i=1Q1,i −

m∑

i=1Q0,i

10

• Slozene indexy intenzitnıch velicin

Intenzitnı ukazatele nelze scıtat.Intenzitnı ukazatele shrnujeme prumerem:

p =ΣQ

Σq=

Σp.q

Σq=

ΣQ

ΣQp

p – napr. cena za jednotku mnozstvı;q – mnozstvı zbozı;Q – celkova hodnota zbozı.

p0, (p1) – napr. cena za jednotku mnozstvıv zakladnım (beznem) obdobı;

q0, (q1) – mnozstvı zbozı v zakladnım(beznem) obdobı.

K porovnanı p pouzijeme vazene prumery:

p0 = Σp0.q0Σq0

– cenovy prumer v zakladnım obdobı,vahami jsou mnozstvı v zakladnım obdobı

p∗0 = Σp0.q1Σq1

– smıseny cenovy prumer,ceny jsou ze zakladnıho obdobı,mnozstvı z bezneho obdobı

p1 = Σp1.q1Σq1

– cenovy prumer v beznem obdobı,vahami jsou mnozstvı v beznem obdobı

11

Indexy (prıp. diference) intenzitnıch velicin.

◦ Index struktury

Ist = I(p, s) =p∗0p0

=Σp0q1Σq1

Σp0q0Σq0

, (∆st(p, s) = p∗0 − p0)

relativnı zmena p vlivem zmeny struktury

extenzitnı veliciny q.

◦ Index staleho slozenı

Iss = I(p, p) =p1

p∗0=

Σp1q1Σq1

Σp0q1Σq1

, (∆ss(p, p) = p1 − p∗0)

relativnı zmena p vlivem zmen individual-

nıch hodnot veliciny p.

◦ Index promenliveho slozenı

Ips = I(p) =p1

p0=

Σp1q1Σq1

Σp0q0Σq0

, (∆ps = ∆(p) = p1 − p0)

relativnı zmena p vlivem zmen struktury

veliciny q a zmen individualnıch hodnot

velicin p.

12

Prıklad IV/3: Pomocı slozenych indexu inten-zitnıch velicin a odpovıdajıcıch absolutnıchrozdılu proved’te rozbor vyvoje prumernychnakupnıch cen mleka v CR z brezna na dubenv roce 1994:

Zemedelskaoblast

Cena za 1 litr Nakoupenemnozstvı v litrech

brezen duben brezen dubenp0 p1 q0 q1

Bramborarska 4 5 20 60

Reparska 5 6 40 20Ostatnı 4.5 5.5 40 20

Resenı:

Potrebne hodnoty jsou vypocteny v nasledujıcıtabulce:

Oblast p0 p1 q0 q1 p0q0 p1q1 p0q1

1 4 5 20 60 80 300 2402 5 6 40 20 200 120 1003 4.5 5.5 40 20 180 110 90

Soucet - - 100 100 460 530 430

13

• Souhrnne indexy (SI)

Pouzitı – vsude tam, kde pocıtame se souborynescıtatelnych nebo nezprumerovatelnych ve-licin.

Charakterizujı zmenu nestejnorodeho extenz-itnıho nebo intenzitnıho ukazatele.

(zmena objemu ruznorode produkce, celkova zmena cenyruznorode produkce, celkova zmena produktvity prace privyrobe ruznych vyrobku apod.)

Zakladnı problem koncepce SI – jak vyjadritsouhrnnou zmenu ukazatele, jehoz dılcı hodnotynelze scıtat.

Sprazene veliciny (agregaty): Q = p.q – slozeneextenzitnı ukazatele

Napr. p – cena za jednotku mnozstvı,q – mnozstvı zbozı,Q – obrat zbozı v Kc.

Hodnota sprazene veliciny v zakladnım obdobı:Σp0q0;

po zmene mnozstvı z q0 na q1 : Σp0q1;

po zmene ceny z p0 na p1 : Σp1q1.

Pomerem techto cısel definujeme indexy.

14

◦ Souhrnne indexy cenove (urovne)

¦ Paascheho cenovy index a diference:

PI(p) =Σp1q1

Σp0q1, P∆(p) = Σp1q1 − Σp0q1

relativnı zmena cen pri stalem objemu

produkce odpovıdajıcımu beznemu obdobı

¦ Laspeyresuv cenovy index a diference:

LI(p) =Σp1q0

Σp0q0, L∆(p) = Σp1q0 − Σp0q0

relativnı zmena cen pri stalem objemu

produkce odpovıdajıcımu zakladnımu

obdobı

¦ Fisheruv cenovy index:

FI(p) =√

PI(p) ·LA I(p)

geometricky prumer Paascheho a

Laspeyresova cenoveho indexu

15

◦ Souhrnne indexy objemove (mnozstvı)

¦ Paascheho objemovy index a diference:

PI(q) =Σq1p1

Σq0p1, P∆(q) = Σq1p1 − Σq0p1

relativnı zmena objemu produkce pri

cenove hladine odpovıdajıcı beznemu

obdobı

¦ Laspeyresuv objemovy index :

LI(q) =Σq1p0

Σq0p0, L∆(q) = Σq1p0 − Σq0p0

relativnı zmena objemu produkce pri

cenove hladine odpovıdajıcı zakladnımu

obdobı

¦ Fisheruv objemovy index :

FI(q) =√

PI(q) ·LA I(q)

geometricky prumer Paascheho a

Laspeyresova objemoveho indexu

16

Analyzy indexu a diferencı

Co je prıcinou, ze jedna hodnota ukazatele je vetsınez jina (co je prıcinou, ze prumerna cena urciteho vyrobkuvzrostla, ze poklesla produktivita prace).

Vztahy mezi indexy (diferencemi) mohou prispetk analyze vlivu jednotlivych prıcinnych (analy-tickych) ukazatelu na zmeny vysledneho (analyzo-vaneho) ukazatele.

Synteticky ukazatel – sledovany ukazatel

Analyticky ukazatel – jednotlivy dılcı ukazatel

Srovnavacı index – index syntetickeho ukazatele

Srovnavacı rozdıl – absolutnı prırustek syntet-ickeho ukazatele

Analyticky index – vyjadruje vliv zmeny dılcıhoukazatele na zmenu syntetickeho ukazatele

Analyticky absolutnı prırustek – vyjadruje vlivzmeny dılcıho ukazatele na zmenu syntetickehoukazatele

Celkovy index (celkovy absolutnı prırustek) hod-not sledovaneho ukazatele) rozkladame na dılcı in-dexy (dılcı absolutnı prırustky), vyjadrujıcı vlivkazdeho z uvazovanych cinitelu na celkovou zmenu, charak-terizovanou srovnavacım indexem (absolutnım prırustkem).

17

Metody rozkladu indexu a diference analyz. u.:

Predpoklady:

• Srovnavacı index je soucinem analytickych in-dexu. Srovnavacı rozdıl je souctem analytickychabsolutnıch prırustku.

I(x) =m∏

i=1I(xai

), ∆(x) =m∑

i=1∆(xai

)

x – synteticky ukazatel;

ai – analyticky ukazatel pro i = 1, . . . , m;

I(x) – srovnavacı index

∆(x) – srovnavacı rozdıl

I(xai) – analyticky index

∆(xai) – analyticky absolutnı prırustek.

• V aditivnım prıp. multiplikativnım modelu platı:

∆(xai) = ∆(ai), i = 1, . . . , m

prıpadne

I(xai) = I(ai), i = 1, . . . , m

18

Rozklad indexu a diference prumerneho inten-zitnıho ukazatele.

• Metoda postupnych zmen

Rozklad indexu (p)

I(p) =p1

p0=

Σp1q1Σq1

Σp0q0Σq0

=Σp1s0

Σp0s0· Σp1s1

Σp1s0= I(p, p) · I(p, s)

s0 = q0Σq0

, s1 = q1Σq1

I(p, p) – index staleho slozenı

I(p, s) – index struktury

Rozklad odpovıdajıcı diference:

∆(p) =Σp1q1

Σq1− Σp0q0

Σq0

=Σp1q0

Σq0− Σp0q0

Σq0+

Σp1q1

Σq1− Σp1q0

Σq0

= Σp1s0 − Σp0s0 + Σp1s1 − Σp1s0

19

Prıklad IV/4: Ceny a prodana mnozstvı peti druhuzbozı v breznu (zakladnı obdobı) a v cervnu (bezneobdobı) roku 1993 jsou uvedeny v nasledujıcı ta-bulce:

Zbozı p0 p1 q0 q1

A 8 10 30 20B 4 6 50 40C 5 8 50 30D 7 7 30 20E 9 8 10 20

a) Urcete pomocı souhrnnych cenovych indexu,jak se zmenily ceny proti zakladnımu obdobı.

b) Urcete pomocı indexu fyzickeho objemu,jakse zmenilo mnozstvı prodavaneho zbozı protizakladnımu obdobı.

c) Vypocıtejte odpovıdajıcı absolutnı rozdıly.

20

Prıklad IV/5: V nasledujıcı tabulce mame udaje otrzbach za prodej trı druhu zbozı:

Zbozı Trzby v breznu Zmena objemu prodeje(v %) v breznu oprotiunoru

A 500 −20B 400 +25C 600 +20

Posud’te, jak se zmenilya) fyzicky objem prodeje techto vyrobku,b) uroven cen techto vyrobku, vıte-li, ze unorovetrzby za uvedene vyrobky tvorily 90% breznovychtrzeb.

21