IV.8 İkiden Fazla Bağımsız Grup Karılatırması ile İlgili ... · IV.8.1 Tek Faktör Varyans Analizi, Friedman’ın F-Testi ve Çoklu Karılatırmalar İkiden fazla bağımsız

IV.8 İkiden Fazla Bağımsız Grup Karşılaştırması ile İlgili Parametrik veya

Parametrik Olmayan Test Teknikleri ve SPSS Programı ile Kullanımı (Tek

Faktör Varyans Analizi, OneWay ANOVA)

𝑋: Bağımlı değişken olsun. Bağımlı değişkeni etkileyen tek bağımsız değişken (faktör,

gruplama değişkeni) olduğunu kabul edelim. Bağımlı değişken nicel, sürekli ve eşit aralıklı

veya oranlama düzeyinde ölçülmüş iken, faktör ise genellikle nitel (bazen nicel de olabilir)

türden ve ölçme düzeyi sınıflama ya da sıralama düzeyinde ölçülmüş olsun. Bu takdirde söz

konusu faktörün (bağımsız değişkenin) bağımlı değişken üzerinde etkisinin önemli olup

olmadığını belirlemek için uygulanan istatistiksel analize Tek Faktör Varyans Analizi denir.

Faktörün alabileceği değerlere faktör düzeyi adı verilir ve her bir faktör düzeyi birbirinden

bağımsız olan farklı bir grubu gösterir. Bu sebeple faktör düzeylerine bağımsız gruplar da

denir. Bu sebeple faktörün bağımlı değişken üzerindeki etkisinin önemli olup olmadığını

araştırmak, bağımsız grupların ortalamalar bakımından farklılık gösterip göstermediğini

araştırmakla eş anlamlıdır. Bu araştırmayı yapmak için geliştirilmiş olan parametrik ve

parametrik olmayan teknikler vardır. Bu tekniklerden ikisi;

i) Friedman’ın 𝐹-Testi ( parametrik teknik)

ii) Kruskal-Wallis 𝐻-testi (parametrik olmayan teknik)

olarak bilinir.

IV.8.1 Tek Faktör Varyans Analizi, Friedman’ın F-Testi ve Çoklu

Karşılaştırmalar

İkiden fazla bağımsız grubun ortalamaları yönünden karşılaştırılması olarak bilinen tek faktör

varyans analizinde, kabul edelim ki faktörün düzey sayısı (bağımsız grupların sayısı) 𝑘 tane

(𝑘 > 2) olsun. Değişkenlerle ilgili olarak yukarıda belirtilen özelliklere ilaveten, tek faktör

varyans analizi ile bu grupların ortalamaları yönünden karşılaştırmada bir parametrik teknik

olan F-testinin kullanılabilmesi için sağlanması gereken varsayımlar:

i) Bağımsız grupların bağımlı değişkene göre dağılımları normal olmalı

ii) Gruplar homojen varyanslı (yani grupların ortak varyansa sahip) olması gereklidir.

Buna göre:

Grup:1 için 𝑋1~𝑁(𝜇1, 𝜎12)

Grup:2 için 𝑋2~𝑁(𝜇2, 𝜎22)

.

.

Grup:𝑘 için 𝑋𝑘~𝑁(𝜇𝑘, 𝜎𝑘2)

şeklinde gösterilir.

Grupların bağımlı değişkene göre dağılımlarının normal dağılım ile uyumlu olup olmadığı her

bir grup için ayrı ayrı normallik testi olan Shapiro-Wilk testi ile kontrol edilebilir. Bu

durumda test edilecek hipotezler:

𝐻0: 𝑗.nci grup, 𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2) dağılımı ile uyumludur (𝑗 = 1, 2, … , 𝑘)

𝐻1: 𝑗.nci grup, 𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2) dağılımı ile uyumlu değildir (4.27)

şeklinde oluşturulur. Eğer 𝑝 < 𝛼 ise 𝐻0 ret edilir ve 𝑝 ≥ 𝛼 ise 𝐻0 ret edilemez.

Grupların homojen varyanslı olup olmadığı ise Levene testi ile kontrol edilebilir. Bu durumda

test edilecek hipotezler:

𝐻0: 𝜎12 = 𝜎2

2 = ⋯ = 𝜎𝑘2 = 𝜎2

𝐻0: En az bir 𝜎𝑗2 diğerlerinden farklıdır (4.28)

şeklinde oluşturulur. Eğer 𝑝 < 𝛼 ise𝐻0 ret edilir ve 𝑝 ≥ 𝛼 ise 𝐻0 ret edilemez.

Tek faktör varyans analizinde F-testi ile 𝑘 tane bağımsız grubun ortalamalar yönünden

farklılık gösterip göstermediği ortalamalar üzerinde bir hipotez testi ile kontrol edilir. Bu

durumda test edilecek hipotezler:

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘 = 𝜇

𝐻1 ∶ En az bir 𝜇𝑗 diğerlerinden farklı (4.29)

şeklinde kurulur. Bu hipotezleri test etmek için her bir gruptan 𝑛𝑗 (𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘) birimlik

örnekler çekilir ya da her bir faktör düzeyinde 𝑛𝑗 (𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘) tane deneme (deney) yapılır.

Bu durumda elde edilen sonuçlara göre örneklem veri düzeni Tablo 4.33’de verildiği gibi

olacaktır. Burada 𝑋𝑗𝑖 : Faktörün 𝑗.nci düzeyinde 𝑖.nci birime ait bağımlı değişken değeridir.

Tablo 4.33 Tek Faktör Varyans Analizi Veri Düzeni Tablosu

GRUPLAR(FAKTÖR)

𝑖 1 2 …… j … k

1 2 ⋮

𝑛𝑗

𝑋11

𝑋12

⋮ 𝑋1𝑛1

𝑋21

𝑋22

⋮ 𝑋2𝑛2

………

𝑋𝑗1

𝑋𝑗2

⋮ 𝑋𝑗𝑛𝑗

………

𝑋𝑘1

𝑋𝑘2

⋮ 𝑋𝑘𝑛𝑘

𝑇𝑗 . 𝑇1 . 𝑇2 . …… 𝑇𝑗 . ….. 𝑇𝑘 .

𝑛𝑗 𝑛1 𝑛2 …….. 𝑛𝑗 …… 𝑛𝑘

𝑋𝑗 . 𝑋1 . 𝑋2 . …….. 𝑋𝑗 . …….. 𝑋𝑘 .

𝐻0 hipotezini test etmek için gerekli olan işlemler ve test istatistiği ANOVA Tablosu adı

verilen Tablo 4.34’de özet olarak verilmiştir.

Tablo 4.34 Tek Faktör Varyans Analizi ANOVA Tablosu

Varyans

Kaynağı

Serbestlik

derecesi

Kareler

Toplamı

(KT)

Kareler

Ortalaması

(KO)

Test İstatistiği

Gruplar Arası

(𝐺𝐴)

𝑘 − 1

𝐺𝐴𝐾𝑇

𝐺𝐴𝐾𝑂= 𝐺𝐴𝐾𝑇

𝑘−1

𝐹 =𝐺𝐴𝐾𝑂

𝐻𝐾𝑂~ 𝐹𝑘−1;𝑁−𝑘

Hata (𝐻)

𝑁 − 𝑘

𝐻𝐾𝑇

𝐻𝐾𝑂=𝐻𝐾𝑇

𝑁−𝑘

Genel (𝐺)

𝑁 − 1

𝐺𝐾𝑇

Burada hesaplamalarda

𝑁 = ∑ 𝑛𝑗𝑘𝑗=1 : Örneklemdeki tüm birim sayısı

𝐺𝐾𝑇: Genel Kareler toplamı

𝐺𝐾𝑇 = ∑ ∑ (𝑋𝑗𝑖 − 𝑋. .)2𝑛𝑗

𝑖=1𝑘𝑗=1 = ∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖

2𝑛𝑗

𝑖=1𝑘𝑗=1 −

𝑇. .2

𝑁 (4.30)

𝐺𝐴𝐾𝑇 : Gruplar Arası Kareler Toplamı

𝐺𝐴𝐾𝑇 = ∑ 𝑛𝑗(𝑋𝑗 . − 𝑋. .)2

= ∑𝑇𝑗 .

2

𝑛𝑗− 𝑘

𝑗=1𝑘𝑗=1

𝑇. .2

𝑁 (4.31)

𝐻𝐾𝑇 : Hata Kareler Toplamı

𝐻𝐾𝑇 = ∑ ∑ (𝑋𝑗𝑖 − 𝑋𝑗 .)2𝑛𝑗

𝑖=1=𝑘

𝑗=1 ∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖2𝑛𝑗

𝑖=1𝑘𝑗=1 − ∑

𝑇𝑗 .2

𝑛𝑗

𝑘𝑗=1 = 𝐺𝐾𝑇 − 𝐺𝐴𝐾𝑇 (4.32)

𝑋𝑗 . : Faktörün 𝑗.nci düzeyine ait örnek ortalaması

𝑋𝑗 . =1

𝑛𝑗∑ 𝑋𝑗𝑖 =

𝑇𝑗 .

𝑛𝑗

𝑛𝑗

𝑖=1 ,(𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘) (4.33)

𝑇𝑗 . = Faktörün 𝑗.nci düzeyine ait gözlemlerin toplamı

𝑇𝑗 . = ∑ 𝑋𝑗𝑖𝑛𝑗

𝑖=1 ,(𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘) (4.34)

∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖𝑛𝑗

𝑖=1𝑘𝑗=1 : Tüm örneklemdeki gözlem değerlerinin toplamı

𝑇. . = ∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖𝑛𝑗

𝑖=1𝑘𝑗=1 = ∑ 𝑇𝑗 .

𝑘𝑗=1 (4.35)

𝑋. . : Tüm örneklem için örnek ortalaması (Genel örnek ortalaması)

𝑋. . =1

𝑁∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖

𝑛𝑗

𝑖=1𝑘𝑗=1 =

𝑇. .

𝑁 (4.36)

bağıntıları kullanılır. Örneklemden 𝐻0 hipotezi altında test istatistiğinin aldığı değer

𝐹ℎ =𝐺𝐴𝐾𝑂

𝐻𝐾𝑂 olsun. 𝑃𝑟(𝐹 ≥ 𝐹ℎ) = 𝑝 diyelim.

Karar: 𝛼 önem seviyesi olmak üzere, eğer 𝑝 ≥ 𝛼 oluyorsa 𝐻0 kabul edilir. Bu karara göre

tüm grupların ortalamaları birbirine eşit olup, %(1- 𝛼) güvenle faktör düzeylerinin bağımlı

değişken üzerine etkileri aynıdır.

Eğer 𝑝 < 𝛼 oluyorsa 𝐻0 ret edilir. Bu karara göre gruplardan en az birisinin ortalaması

diğerlerinden farklı olup, %(1- 𝛼) güvenle faktör düzeylerinden en az birisi bağımlı değişken

üzerine diğerlerine göre farklı etki yapmaktadır.

𝐻0 ret edildiği zaman hangi grupların farklılık gösterdiği bulunmak istenebilir. Bu amaçla

çoklu karşılaştırma (Post Hoc) adı verilen istatistiksel tekniklerden yararlanılır.

Çoklu Karşılaştırma Teknikleri (Post Hoc)

Varyans analizinde 𝐻0 ret edildiğinde, bu kararın ortaya çıkmasında hangi grup/grupların

etkili rol oynadığını, yani ortalamalar bakımından farklılık gösteren grupları ya da bağımlı

değişkene farklı etki yapan faktör düzeylerini belirlemek amacıyla kullanılan tekniklere çoklu

karşılaştırma teknikleri adı verilir. Bu amaçla kullanılan çok sayıda çoklu karşılaştırma

tekniği mevcuttur. Bu teknikler kullanım tercihlerine göre şu şekilde sınıflandırılır:

i) Grupların eşit varyanslı olması durumuna göre: LSD (Fisher’in en küçük önemli fark)

testi, S-N-K (Student- Newman-Keuls) testi, Tukey (Tukey HSD, Tukeya) testi, Dunnett testi

, Benferroni testi v.s.

ii) Grupların eşit varyanslı olmama durumuna göre: Tamhane (Tamhane’s T2) testi,

Dunnet’s T3 testi v.s

IV.8.2 SPSS ile Tek Faktör Varyans Analizi (F-Testi) ve Çoklu

Karşılaştırma Teknikleri

SPSS Paket programı ile Tek faktör varyans analizi, yani 𝑘 tane bağımsız grubun ortalamalar

yönünden karşılaştırılması ve gerekli olduğu durumda çoklu karşılaştırma analizleri

yapılabilir. Bunun için uygulanacak algoritma aşağıda verildi.

Adım:1 Varible View’de bağımlı değişken ve faktör (grup) değişkeni ile özellikleri

tanımlanır. Faktör değişkeni için faktör düzeyleri Values bölümünde grup numaraları ile

kodlanır.

Adım:2 Data View’de bağımlı değişkene ait veriler bağımlı değişken kolonuna, grup

numaraları ise faktör (grup) değişkeni kolonuna girilir.

Adım:3 Analyze menüsünden Compare means ve One Way Anova seçenekleri seçilir.

Açılan ekranda değişkenler listesinde yer alan bağımlı değişken seçilerek Dependent List

işlem kutusuna, Faktör (grup) seçilerek Factor işlem kutusuna aktarılır.

Adım:4 Options seçeneği ile açılan ekranda Descriptive ve Homogeneity of Variance test

(betimleyici istatistikler ve varyansların homojenlik testi) seçenekleri seçilir. Continue

tıklanır önceki ekrana dönülür.

Adım:5 Çoklu karşılaştırma teknikleri seçimi içim Post Hoc seçeneği ile açılan ekranda

Varyansların homojen olup olmama durumuna göre uygun teknik seçilir. Continue tıklanır.

Adım:6 OK tıklanır ve sonuç tabloları Output (çıktı) sayfasında görüntülenir. Elde edilen

tablolar değerlendirilerek analiz sonuçları yorumlanır.

Örnek 4.14 Total Protein (TP) değerlerinin hastalık türlerine göre farklılık gösterip

göstermediğini belirlemek amacıyla, sağlıklı kişilerden (kontrol grubu=K hasta) ve H hasta, L

hasta, T hasta gruplarından rastgele olarak 5’er birimlik örnekler alınmıştır. Her bir örnek

biriminin total protein değerleri aşağıda verilmiştir. Buna göre:

a) Bu problemin çözümünde hangi istatistiksel analiz kullanılmalıdır, neden?

b) Her bir hasta grubu için total protein değerlerine ait dağılımların 𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2) , (𝑗 = 1,2,3,4)

ile uyumlu olup olmadığını kontrol ediniz?

c) Hastalık grupları için total protein değerlerine ait dağılımların homojen varyanslı olup

olmadığını kontrol ediniz?

d) Total protein değerleri bakımından hastalık gruplarına ait ortalamalar arasında fark olup

olmadığına ilişkin test edilecek olan hipotezleri oluşturunuz?

e) SPSS programı ile (d) şıkkındaki hipotezlerin testi için gerekli olan istatistiksel analizi

yapınız?

f) Hastalık türlerine göre grup ortalamaları arasında fark olup olmadığına dair uygulanacak

olan test için test istatistiği nedir ve 𝐻0 hipotezi altında hangi değeri alır?

g) %5 önem seviyesinde hastalık türlerinin TP değerleri üzerinde etkili olduğu söylenebilir

mi?

h) Eğer hastalık türlerine göre TP değerleri bakımından grup ortalamaları arasında fark varsa,

farklılık gösteren grupları belirleyiniz?

i) Eğer hastalık türlerine göre TP değerleri bakımından grup ortalamaları arasında fark varsa,

kontrol grubu (K) ile diğer hasta gruplarından hangileri arasında fark vardır?

HASTALIK TÜRÜ

K -Hasta H -Hasta L-Hasta T-Hasta

6,4

6,5

6,7

5,9

6,0

8,6

9,7

10,1

9,6

9,4

13,7

13,8

14,9

16,3

15,4

21,8

17,9

21,6

20,5

19,7

Çözüm

a) Bağımlı değişken (𝑋):Total Protein değerleri…. Nicel, sürekli ve ölçme düzeyi oranlama

Faktör: Hastalık türü…… Nitel ve ölçme düzeyi sınıflama

Faktör düzeyleri{

𝐾 − ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎(1. 𝑔𝑟𝑢𝑝)

𝐻 − ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎(2. 𝑔𝑟𝑢𝑝)𝐿 − ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎(3. 𝑔𝑟𝑢𝑝)𝑇 − ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎(4. 𝑔𝑟𝑢𝑝)

olup, bunlar bağımsız gruplardır. Bağımsız grup

sayısı (faktör düzey sayısı) 𝑘 = 4 dür. Bu değişkenlere ve özelliklerine göre, bu problemin

analizinde Tek faktör Varyans analizi kullanılır. Uygulanacak tekniği (parametrik veya

parametrik olmayan) belirlemek için normallik ve homojen varyanslılık varsayımlarının

kontrol edilmesi gerekir.

b) Her bir hasta grubu için total protein değerlerine ait dağılımların normal dağılım ile

uyumlu olup olmadığını Shapiro-Wilk testi ile kontrol edebiliriz. Test edilecek hipotezler:

𝐻0: 𝑗.nci hasta grubu için total protein değerlerine ait dağılım, 𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2) dağılımı ile

uyumludur (𝑗 = 1, 2, 3,4)

𝐻1: 𝑗.nci hasta grubu için total protein değerlerine ait dağılım, 𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2) dağılımı ile uyumlu

değildir (𝑗 = 1, 2, 3,4)

Test işlemi sonucu Tablo 4.35 ile verilmiştir.

Tablo 4.35 Hastalık gruplarında Total Protein Değerleri Dağılımı İçin Normallik Testi

Bağımlı Değişken

Hastagrup

(faktör)

Shapiro-Wilk

Statistic df Sig.(𝑝)

totalprotein

Khasta ,925 5 ,564

Hhasta ,931 5 ,605

Lhasta ,926 5 ,568

Thasta ,921 5 ,539

Tablo 4.35’ e göre hastalık türlerine ait bütün gruplar için 𝛼 = 0,05 iken 𝑝 > 𝛼 olduğundan

𝐻0 hipotezi kabul edilir. Böylece bütün hastalık türlerinde total protein değerlerine ait

dağılımlar %95 güvenle 𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2), (𝑗 = 1, 2, 3,4) dağılımı ile uyumludur.

c) Hastalık grupları için total protein değerlerine ait dağılımların homojen varyanslı olup

olmadığını Levene testi ile kontrol edebiliriz. Bunun için test edilecek hipotezler:

𝐻0: 𝜎12 = 𝜎2

2 = 𝜎32 = 𝜎4

2

𝐻1: En az bir 𝜎𝑗2 diğerlerinden faklı

şeklinde kurulur. Test işleminin sonuç tablosu Tablo 4.36 ile verildi.

Tablo 4.36 Hastalık Grupları İçin Varyansların Homojenlik Testi

Levene Statistic df1 df2 Sig.

3,167 3 16 ,053

Tablo 4.36’ya göre 𝑝 = 0,053 olup 𝛼=0,05 için 𝑝 > 𝛼 olduğundan 𝐻0 kabul edilir. Buna

göre, Hastalık türlerine göre TP değerlerine ait dağılımlar homojen varyanslıdır.

d) Total protein değerleri bakımından hastalık gruplarına ait ortalamalar arasında fark olup

olmadığına ilişkin test edilecek hipotezler;

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4 = 𝜇

𝐻1: En az bir 𝜇𝑗 diğerlerinden farklı

şeklinde kurulur.

e) SPSS programı ile (d) şıkkındaki hipotezlerin testi için gerekli olan istatistiksel analizi

ikiden fazla bağımsız grubun ortalamalar yönünden karşılaştırılması olarak bilinen tek faktör

varyans analizidir. Bu analiz ile ilgili test işlemi sonuçları için, betimleyici istatistikler Tablo

4.37’de ve ANOVA tablosu ise Tablo 4.38’de verildi.

Tablo 4.37 Hastalık Gruplarına Göre Betimleyici İstatistikler

N Mean Std. Deviation Std. Error 95% Confidence Interval for Mean

Lower Bound Upper Bound

K hasta 5 6,3000 ,33912 ,15166 5,8789 6,7211

H hasta 5 9,4800 ,55408 ,24779 8,7920 10,1680

L hasta 5 14,8200 1,09864 ,49132 13,4559 16,1841

T hasta 5 20,3000 1,58902 ,71063 18,3270 22,2730

Total 20 12,7250 5,54654 1,24024 10,1291 15,3209

Tablo 4.38 Anova Tablosu

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Between Groups 567,902 3 189,301 182,283 ,000

Within Groups 16,616 16 1,039

Total 584,518 19

f) Hastalık türlerine göre grup ortalamaları arasında fark olup olmadığına dair uygulanacak

olan test için test istatistiği 𝐹 istatistiği olup, test istatistiğinin alabileceği değer;

𝐹ℎ = 182,283 dir.

g) Anova tablosundan 𝑝=0.000 olup 𝛼=0,05 için 𝑝 < 𝛼 olduğundan 𝐻0 ret edilir. Bu

durumda hastalık türlerinin total protein değerleri üzerinde etkisi hastalık türüne göre farklılık

göstermektedir.

h) Hastalık türlerine göre TP değerleri bakımından grup ortalamaları arasında fark olduğuna

göre, farklılık gösteren grupları çoklu karşılaştırma teknikleri ile belirleriz. Gruplar homojen

varyanslı olduğundan Tukey HSD testi kullanılabilir. Test sonuçları Tablo 4.39’da verilmiştir.

Tablo 4.39 Çoklu Karşılaştırmalar (Tukey HSD Testi)

(I) grup (J) grup Mean Difference

(I-J)

Std. Error Sig. 95% Confidence Interval


Tukey HSD

K hasta

H hasta -3,18* ,64452 ,001 -5,0240 -1,3360

L hasta -8,52* ,64452 ,000 -10,3640 -6,6760

T hasta -14,00* ,64452 ,000 -15,8440 -12,1560

H hasta

K hasta 3,18* ,64452 ,001 1,3360 5,0240

L hasta -5,34* ,64452 ,000 -7,1840 -3,4960

T hasta -10,82* ,64452 ,000 -12,6640 -8,9760

L hasta

K hasta 8,52* ,64452 ,000 6,6760 10,3640

H hasta 5,34* ,64452 ,000 3,4960 7,1840

T hasta -5,48* ,64452 ,000 -7,3240 -3,6360

T hasta

K hasta 14,00* ,64452 ,000 12,1560 15,8440

H hasta 10,82* ,64452 ,000 8,9760 12,6640

L hasta 5,48* ,64452 ,000 3,6360 7,3240

*. The mean difference is significant at the 0.05 level.

Bu tabloya göre:

1. Total protein değerleri bakımından K-hasta grubu ile H-hasta grubu farklılık

göstermektedir. Çünkü; 𝑃(−5,024 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ −1,336) = 0,95 olup, güven aralığı sıfırı

kapsamamaktadır. Üstelik güven sınırları negatif olduğundan H-hasta grubunun protein

değerleri daha yüksektir.

2. Total protein değerleri bakımından K-hasta grubu ile L-hasta grubu farklılık


kapsamamaktadır. Üstelik güven sınırları negatif olduğundan L-hasta grubunun protein


3. Total protein değerleri bakımından K-hasta grubu ile T-hasta grubu farklılık

göstermektedir. Çünkü; 𝑃(−15,844 ≤ 𝜇1 − 𝜇4 ≤ −12,156) = 0,95 olup, güven aralığı

sıfırı kapsamamaktadır. Üstelik güven sınırları negatif olduğundan T-hasta grubunun protein


4. Total protein değerleri bakımından H-hasta grubu ile L-hasta grubu farklılık


kapsamamaktadır. Üstelik güven sınırları negatif olduğundan L-hasta grubunun protein


5. Total protein değerleri bakımından H-hasta grubu ile T-hasta grubu farklılık


kapsamamaktadır. Üstelik güven sınırları negatif olduğundan T-hasta grubunun protein


6. Total protein değerleri bakımından L-hasta grubu ile T-hasta grubu farklılık


kapsamamaktadır. Üstelik güven sınırları negatif olduğundan T-hasta grubunun protein


i) Hastalık türlerine göre TP değerleri bakımından grup ortalamaları arasında fark olduğuna

göre, kontrol grubu (K- hasta) ile diğer gruplar arasında farklılık gösteren grupları çoklu

karşılaştırma teknikleri ile belirleriz. Gruplar homojen varyanslı olduğundan kontrol grubu

(K-hasta) ile deneme grupları (H-hasta, L_hasta ve T-hasta) arasında fark olup olmadığını

Dunnett Testi ile test ederiz. Test sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Tablo 4.40 Çoklu Karşılaştırmalar (Dunnett Testi)

(I) grup (J) grup Mean Difference

(I-J)



Dunnett t (2-

sided)b

H hasta K hasta 3,18* ,64452 ,000 1,5092 4,8508

L hasta K hasta 8,52* ,64452 ,000 6,8492 10,1908

T hasta K hasta 14,00* ,64452 ,000 12,3292 15,6708


b. Dunnett t-tests treat one group as a control, and compare all other groups against it.

Bu tabloya göre:

1. Total protein değerleri bakımından H-hasta grubu ile K-hasta grubu farklılık

göstermektedir. Çünkü; 𝑃(1,5092 ≤ 𝜇2 − 𝜇1 ≤ 4,8508) = 0,95 olup, güven aralığı sıfırı

kapsamamaktadır. Üstelik güven sınırları pozitif olduğundan H-hasta grubunun protein


2. Total protein değerleri bakımından L-hasta grubu ile K-hasta grubu farklılık


kapsamamaktadır. Üstelik güven sınırları pozitif olduğundan L-hasta grubunun protein


3. Total protein değerleri bakımından T-hasta grubu ile K-hasta grubu farklılık


kapsamamaktadır. Üstelik güven sınırları pozitif olduğundan T-hasta grubunun protein


IV.8.3 Tek Faktör Varyans Analizi, Kruskal Wallis H-Testi ve SPSS

Uygulaması

İkiden fazla bağımsız grubun ortalamaları bakımından karşılaştırmasında, eğer bağımlı

değişken için grupların dağılımı normal dağılım ile uyumlu değilse parametrik teknik (F-testi)

kullanılamaz. Bu durumda parametrik tekniğin alternatifi olan ve bir parametrik olmayan

teknik olarak bilinen Kruskal Wallis H-testi kullanılmalıdır. Yani H-testinde gruplar için

normallik varsayımının sağlanması şartı aranmaz. Gruplar normal dağılım varsayımını sağlasa

da sağlamasa da H testi uygulanabilir. Ancak normallik varsayımının sağlanması durumunda

parametrik tekniğin tercih edilmesi gerektiği unutulmamalıdır.

Kruskal Wallis H tetinde test edilecek hipotezler, Friedman F-testindeki hipotezler ile aynı

olup (4.29) ifadesinde verilmiştir. Bu hipotezleri test etmek için gerekli olan örneklem veri

düzeni de Tablo 4.33’de verildiği gibidir. H-testinde her biri 𝑛𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑘)birimlik

örneklerden 𝑘 tane örneklem birleştirilir ve birleştirilmiş örneklemde örnek birimlerine sıra

sayıları verilerek sıra sayıları veri düzeni oluşturulur. Sıra sayıları veri düzeni Tablo 4.41 ile

verildi. Burada

𝑅𝑗𝑖: 𝑗. grupta 𝑖. nci birime verilen sıra sayısı (𝑗 = 1,2, … , 𝑘; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑗)

𝑅𝑗 .: 𝑗. nci gruba ait sırasayılarının toplamı (𝑅𝑗 . = ∑ 𝑅𝑗𝑖𝑛𝑗

𝑖=1)

𝑅𝑗 .: 𝑗.nci gruba ait sıra sayılarının ortalaması (𝑅𝑗 . =𝑅𝑗 .

𝑛𝑗)

𝑛𝑗: 𝑗.nci gruba ait örnek birimi sayısı

N: Birleştirilmiş örnek birim sayısı (𝑁 = ∑ 𝑛𝑗𝑘𝑗=1 )

𝑅. . ∶ Birleştirilmiş örnekte tüm birimlere verilen sıra sayılarının toplamı (𝑅. . = ∑ 𝑅𝑗 .𝑘𝑗=1 )

Tablo 4.41 Tek Faktör Varyans Analizi Sıra Sayıları Veri Düzeni Tablosu

GRUPLAR(FAKTÖR)

𝑖 1 2 …… k

1 𝑅11 𝑅21 𝑅𝑘1

2 ⋮

𝑛𝑗

𝑅12

⋮ 𝑅1𝑛1

𝑅22

⋮ 𝑅2𝑛2

……… 𝑅𝑘2

⋮ 𝑅𝑘𝑛𝑘

𝑅𝑗 . 𝑅1 . 𝑅2 . …… 𝑅𝑘 . 𝑅. .

𝑛𝑗 𝑛1 𝑛2 …….. 𝑛𝑘 N

𝑅𝑗 . 𝑅1 . 𝑅2 . …….. 𝑅𝑘 . 𝑅. .

𝑅. . ∶ Birleştirilmiş örnekte tüm birimlere verilen sıra sayılarınınortalaması (𝑅. . =𝑅. .

𝑁)

dir. Kruskal Wallis H-testi için test istatistiği:

𝐻 =12

𝑁(𝑁+1)∑ 𝑛𝑗(𝑅𝑗 . − 𝑅. .)

2𝑘𝑗=1 (4.37)

veya

𝐻 =12

𝑁(𝑁+1)∑

𝑅𝑗 .2

𝑛𝑗

𝑘𝑗=1 − 3(𝑁 + 1) (4.38)

şeklinde tanımlıdır. Test istatistiğinin örnekten hesaplanan değeri 𝐻ℎ ile gösterilsin.

Karar 𝛼 önem seviyesi ve 𝑝 = 𝑃𝑟(𝐻 ≥ 𝐻ℎ) ile hesaplanan olasılık değeri olsun. Eğer 𝑝 < 𝛼

ise 𝐻0 hipotezi ret edilir ve gruplar arasında farklılık olduğuna karar verilir. Eğer 𝑝 ≥ 𝛼 ise

𝐻0 hipotezi ret edilemez ve gruplar arasında farklılık olmadığına karar verilir.

Kruskal-Wallis H-Testi İçin SPSS Algoritması

Adım:1 Varible View’de bağımlı değişken ve faktör (grup) değişkeni ile özellikleri

tanımlanır. Faktör değişkeni için faktör düzeyleri Values bölümünde grup numaraları ile

kodlanır.

Adım:2 Data View’de bağımlı değişkene ait veriler bağımlı değişken kolonuna, grup

numaraları ise faktör (grup) değişkeni kolonuna girilir.

Adım:3 Analyze > Nonparametric Test > Legacy Dialogs > K Independent Samples…

seçenekleri seçilir. Açılan ekranda değişkenler listesinden bağımlı değişken seçilerek Test

Variable List işlem kutusuna ve faktör (gruplama değişkeni) seçilerek Grouping Variable

işlem kutusuna aktarılır. Define Range pencerisi tıklanarak, açılan pencerede tanımlanan

gruplar için en küçük grup kodu ile en büyük grup kodu ilgili alanlara girilir. Continue

tıklanarak önceki ekrana dönülür.

Adım:4 Dönülen ekranda Test Type bölümünden Kruskal-Wallis H seçeneği işaretlenir.

Aynı ekranda Exact… penceresi açılarak, Tam olasılık 𝒑 değerinin hesaplanabilmesi için

Exact seçeneği, tam olasılık 𝒑 değerinin hesaplanamadığı durumlarda, yaklaşık olasılık

değerini veren Asymptotic only seçeneği işaretlenir ve Continue tıklanarak önceki ekrana

dönülür.

Adım:5 OK tuşu tıklanarak işlem bitirilir. Analiz sonucu bir tablo halinde Output (çıktı)

sayfasında sunulur. Bu tablo değerlendirilerek karar verilir. Eğer 𝑝 < 𝛼 ise 𝐻0 hipotezi ret

edilir ve gruplar arasında farklılık olduğuna karar verilir. Eğer 𝑝 ≥ 𝛼 ise 𝐻0 hipotezi ret

edilemez ve gruplar arasında farklılık olmadığına karar verilir.

Örnek 4.15 Örnek 4.14’deki veriyi kullanarak, hastalık gruplarına göre toral protein

değerlerine ait dağılımların ortalamalar bakımından farklılık gösterip göstermediği ile ilgili

hipotezleri oluşturup, bu hipotezlerin testini Kruskal-Wallis H-testini kullanarak SPSS ile

yapınız ve sonuçları değerlendiriniz?

Çözüm Total protein değerleri bakımından hastalık gruplarına ait ortalamalar arasında fark

olup olmadığına ilişkin test edilecek hipotezler;

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4 = 𝜇


şeklinde kurulur. Kruskal Wallis H testinin SPSS sonuç tablosu;

Tablo 4.42 Hastalık Gruplarına Göre TP Değerleri İçin Kruskal Wallis H-Testi

Ranks

hastagrup N Mean

Rank

totalprotein

Khasta 5 3,00

Hhasta 5 8,00

Lhasta 5 13,00

Thasta 5 18,00

Total 20

Test Statisticsa,b

totalprotein

Chi-Square 17,857

df 3

Asymp. Sig. ,000

Exact Sig. ,000

Point

Probability ,000

𝑝 = 0.000 ve 𝛼 = 0,01 iken 𝑝 < 𝛼 olup 𝐻0 ret edilir ve böylece hasta gruplarına TP

ortalamaları arasında fark vardır.

SORULAR

1. Algılama güçlüğünün performans üzerindeki etkilerinin araştırıldığı bir çalışmada, her

birinde 5 birimin yer aldığı üç örneklem grubu seçilmiştir. Bu gruplara sırayla kolay, orta ve

zor matematik problemleri sorulmuş ve bireylerin doğru olarak çözdükleri problem sayısı

aşağıdaki gibi çözülmüştür. Gruplara göre çözülen problem sayısının dağılımının

𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2), ( 𝑗 = 1,2,3) olduğu varsayımı altında:

a) Bu problemin analizinde hangi istatistiksel analiz kullanılmalıdır, neden?

b) Bu analiz gereğince test edilmesi gereken hipotezleri oluşturunuz?

c) SPSS programı ile verilerin analizini hem Friedman F- testi ile hem de Kruskal Wallis H-

testi yapınız?

d) Soru türlerine göre çözülen soru sayısına ait dağılımların homojen varyanslı olup

olmadığına %5 önem seviyesinde karar veriniz?

e) Soru türlerine göre grup ortalamaları arasında fark olup olmadığına dair uygulanacak olan

test için test istatistiği nedir ve 𝐻0 hipotezi altında hangi değeri alır?

f) %5 önem seviyesinde soru türlerinin çözülen soru sayısı üzerinde etkili olduğu söylenebilir

mi?

g) Eğer soru türlerine göre çözülen soru sayısı bakımından grup ortalamaları arasında fark

varsa, farklılık gösteren grupları belirleyiniz?

SORU TÜRÜ

Kolay Orta Zor

9

12

4

8

7

4

6

8

2

10

1

3

4

5

2

2. Yaşın yaratıcılık üzerindeki etkisinin incelendiği bir çalışmadan aşağıdaki veriler elde

edilmiştir. Bu veri düzenine göre dört farklı yaş grubu ele alınmış ve her bir yaş grubundan

rastgele olarak beşer birey seçilerek bireylerin yaratıcılık puanları ölçülmüştür. Yaratıcılık

puanı bakımından her bir yaş grubunun 𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2), ( 𝑗 = 1,2,3,4) olduğu varsayılmıştır.

Buna göre: a) Bu problemin analizinde hangi istatistiksel analiz kullanılmalıdır, neden?

b) Bu analiz gereğince test edilmesi gereken hipotezleri oluşturunuz?

c) SPSS programı ile verilerin analizini hem Friedman F- testi ile hem de Kruskal Wallis H-

testi yapınız?

d) Yaş gruplarına göre yaratıcılık puanına ait dağılımların homojen varyanslı olup olmadığına

%5 önem seviyesinde karar veriniz?

e) Yaş gruplarına göre grup ortalamaları arasında fark olup olmadığına dair uygulanacak olan

test için test istatistiği nedir ve 𝐻0 hipotezi altında hangi değeri alır?

f) %5 önem seviyesinde yaş gruplarının çözülen yaratıcılık puanı üzerinde etkili olduğu

söylenebilir mi?

g) Eğer yaş gruplarına göre çözülen yaratıcılık puanı bakımından grup ortalamaları arasında

fark varsa, farklılık gösteren grupları belirleyiniz?

YAŞ GRUPLARI

YAŞ 4 YAŞ 7 YAŞ 10 YAŞ 13

3

5

7

4

3

9

11

14

10

10

9

12

9

8

9

7

7

6

4

5

3. Her bir grupta 21 kişinin yer aldığı beş gruplu bir çalışma düzenlenmiştir. Birimler

üzerinde herhangi bir X değişkeni (bağımlı değişken) için yapılan ölçümleri sonucu elde

edilen verilere ANOVA uygulanarak aşağıdaki Anova tablosu düzenlenmiştir. Bu tablodaki

eksik bilgileri tamamlayınız ve grup ortalamaları arasında fark olup olmadığına %5 önem

seviyesinde karar veriniz?

Kaynak sd KT KO F

Gruplar Arası (GA) 360

Hata (H) 4500

Genel /G)

4. Bir tek faktör varyans analizi probleminin çözümü sonucunda aşağıdaki Anova tablosu

düzenlenmiştir. Bu tablodaki eksik bilgileri tamamlayınız ve grup ortalamaları arasında fark

olup olmadığına %5 önem seviyesinde karar veriniz?

Kaynak sd KT KO F

Gruplar Arası (GA) 3 100

Hata (H) 960

Genel /G) 99

Çözüm 1

a) Bağımlı değişken (𝑋): Çözülen Soru Sayısı…. Nicel, kesikli ve ölçme düzeyi eşit aralıklı

Faktör: Soru türü…… Nitel ve ölçme düzeyi sınıflama

Faktör düzeyleri {

𝐾𝑜𝑙𝑎𝑦 (1. 𝑔𝑟𝑢𝑝) … . 𝑋1~𝑁(𝜇1 , 𝜎12)

𝑂𝑟𝑡𝑎 (2. 𝑔𝑟𝑢𝑝) … . 𝑋2~𝑁(𝜇2 , 𝜎22)

𝑍𝑜𝑟 (3. 𝑔𝑟𝑢𝑝) … . 𝑋3~𝑁(𝜇3 , 𝜎32)

olup, bunlar bağımsız gruplardır.

Bağımsız grup sayısı (faktör düzey satısı) 𝑘 = 3 dür. Bu değişkenlere ve özelliklerine göre,

bu problemin analizinde Tek faktör Varyans analizi kullanılır.

b) Test edilecek hipotezler

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3


şeklinde kurulur.

c) SPSS programı ile verilerin analiz

N Mean Std.

Deviation

Std. Error 95% Confidence Interval for Mean


kolay 5 8,0000 2,91548 1,30384 4,3800 11,6200

orta 5 6,0000 3,16228 1,41421 2,0735 9,9265

zor 5 3,0000 1,58114 ,70711 1,0368 4,9632

Total 15 5,6667 3,24404 ,83761 3,8702 7,4632

ANOVA

PUAN

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Between Groups 63,333 2 31,667 4,524 ,034

Within Groups 84,000 12 7,000

Total 147,333 14

d) Soru türlerine göre cevaplanan soru sayısına ait dağılımların homojen varyanslı olup

olmadığı ile ilgili hipotezler

𝐻0: 𝜎12 = 𝜎2

2 = 𝜎32

𝐻1: En az bir 𝜎𝑗2 diğerlerinden faklı

şeklinde kurulur. Test işleminin sonuç tablosu aşağıdaki gibidir. Bu tabloya göre 𝑝 = 0,472

olup 𝛼=0,05 için 𝑝 > 𝛼 olduğundan 𝐻0 kabul edilir. Buna göre, soru türlerine göre

cevaplanan soru sayısına ait dağılımlar homojen varyanslıdır.

Test of Homogeneity of Variances

PUAN

Levene Statistic df1 df2 Sig.

,800 2 12 ,472

e) Soru türlerine göre grup ortalamaları arasında fark olup olmadığına dair uygulanacak olan

test için test istatistiği 𝐹 istatistiği olup, test istatistiğinin alabileceği değer; 𝐹ℎ = 4,524 dür.

f) Anova tablosundan 𝑝=0.034 olup 𝛼=0,05 için 𝑝 < 𝛼 olduğundan 𝐻0 ret edilir. Bu

durumda soru türünün çözülecek soru sayısı üzerinde etkisi soru türüne göre farklılık

göstermektedir.

g) Soru türlerine göre çözülecek soru sayısı bakımından grup ortalamaları arasında fark

olduğuna göre, farklılık gösteren grupları çoklu karşılaştırma teknikleri ile belirleriz. Gruplar

homojen varyanslı olduğundan Tukey HSD testi kullanılabilir. Test sonuçları aşağıdaki

tabloda verilmiştir.

Multiple Comparisons

Dependent Variable: PUAN

(I) GRUP (J) GRUP Mean Difference

(I-J)



Tukey HSD

kolay orta 2,00000 1,67332 ,478 -2,4642 6,4642

zor 5,00000* 1,67332 ,028 ,5358 9,4642

orta kolay -2,00000 1,67332 ,478 -6,4642 2,4642

zor 3,00000 1,67332 ,213 -1,4642 7,4642

zor kolay -5,00000* 1,67332 ,028 -9,4642 -,5358

orta -3,00000 1,67332 ,213 -7,4642 1,4642


Bu tabloya göre:

1. Çözülen soru sayısı bakımından Kolay soru grubu ile Orta soru grubu farklılık

göstermemektedir. Çünkü; 𝑃(−2,46 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 6,46) = 0,95 olup, güven aralığı sıfırı

kapsamaktadır.

2. Çözülen soru sayısı bakımından Kolay grubu ile Zor grubu farklılık göstermektedir.

Çünkü; 𝑃(0,54 ≤ 𝜇1 − 𝜇3 ≤ 9,46) = 0,95 olup, güven aralığı sıfırı kapsamamaktadır.

Üstelik güven sınırları pozitif olduğundan kolay grubunda çözülen soru sayı daha fazladır..

3. Çözülen soru sayısı bakımından Orta grubu ile Zor grubu farklılık göstermemektedir.

Çünkü; 𝑃(−1,46 ≤ 𝜇2 − 𝜇3 ≤ 7,46) = 0,95 olup, güven aralığı sıfırı kapsamaktadır.

Documents

IV.8 İkiden Fazla Bağımsız Grup Karılatırması ile İlgili ... · IV.8.1 Tek Faktör Varyans Analizi, Friedman’ın F-Testi ve Çoklu Karılatırmalar İkiden fazla bağımsız