Ivars Driķis 2016. g. 5. septembrīhome.lu.lv/~drikis/Fizi3021/0501-kinematika.pdf · Kinemātika - mehānikas nodaļa, kas pēta mehāniskās kustības aprakstīšanas metodes un

Kinemātika

Ivars Driķis

2016. g. 5. septembrī

– Typeset by FoilTEX –

Ivars Driķis 2016. g. 5. septembrī

Vienkārša mašīna

http://planning.cs.uiuc.edu/node658.html

Automašīnas pozīciju nosaka trīs neatkarīgas koordinātes

• Aizmugures riteņu ass centra koordinātes (x, y)

• Mašinas ass azimuta leņķis Θ

Uz kurieni mašīna brauks, nosaka divi parametri:

• Mašīnas ātrums s,• Stūres leņķs φ

Ja mašīnas stūre pagriezta leņķī φ (attēlā negatīva vērtība),tad mašīna brauc pa apli ar rādiusu ρ

ρ =L

tanφ

Kā mums stūrēt, tas ir, mainīt φ un s, lai mašīna izbrauktuvēlamo trajektoriju x = x(t) un y = y(t)?

– Typeset by FoilTEX – 1


Mašīnas trajektorijas vienādojums

http://planning.cs.uiuc.edu/node658.html

Var pierādīt, ka mašīnas koordinates mainās atbilstoši se-kojošam likumam

dx

dt= s cos Θ

dy

dt= s sin Θ

dΘ

dt=s

Ltanφ

Varam to risināt skaitliski izmantot Eilera metodi un tad

x(t+ ∆t) = x(t) + ∆ts(t) cos Θ(t)

y(t+ ∆t) = y(t) + ∆ts(t) sin Θ(t)

Θ(t+ ∆t) = Θ(t) + ∆ts(t)

Ltanφ(t)

Bet, vai mašīna neizslīdēs?



Klasiskā mehānika

Klasiskā mehanika ir pielietojama tikai tad, ja ķermeņa kustības ātrums ir mazs salīdzinājumā argaismas ātrumu vakuumā. Klasiskā mehanika nav pielietojama ļoti mazu objektu kustības aprakstam.Piemēram, molekulu, atomu un elementārdaļiņu kustību tā spēj aprakstīt tikai tuvināti un tikai dažosīpašos gadījumos.

Mehānikas daļas:

Kinemātika - mehānikas nodaļa, kas pēta mehāniskās kustības aprakstīšanas metodes un formas.Dinamika - mehānikas nodaļa, kas pēta mehāniskās kustības rašanās un maiņas nosacījumus.Statika - mehānikas nodaļa, kas pēta ķermeņu līdzsvara nosacījumus.

Modeļi mehānikā:

Materiāls punkts ir ģeometrisks punkts ar galīgu masu. To lieto, lai aprakstītu ķermeņa translācijaskustību.Translācijas kustība ir tāda ķermeņa kustība, kurā visiem tās punktiem ir vienāds ātrums gan pēcmoduļa gan pēc virziena.Par absolūti cietu ķermeni sauc materiālu ķermeni, kuram attālumi starp diviem brīvi izvēlētiempunktiem nemainās visā tā kustības laikā.



Koordinātu sistēma un vektori

A = Axi+ Ayj + Azk, A = (Ax, Ay, Az)

http://emweb.unl.edu/Math/mathweb/vectors/vectors.html



Vektors, kas savieno divus punktus

r = (xA − xB, yA − yB, zA − zB)




Vektoru summa

A+B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)




Skalārais reizinājums

A ·B = AxBx + AyBy + AzBz

A ·B = AB cos Θ

A =√A ·A =

√A2x + A2

y + A2z




Vektora projekcija

e = 1

A · e = A cos Θ




Vektoriālais reizinājums

a× b =

∣∣∣∣∣∣i j k

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ , a× b = −b× a




Labā un kreisā koordinātes

Fizikā lieto labo koordinātu sistemu.



Aristotelis, Ņūtons, Leibnics

• Grieķi izveidoja eometriju, bet mehāniku izveidot nespēja• To, ka mehānika jāveido izmatojot paātrinājumu, ieviesa Ņūtons• Ņūtons uzskatīja, ka viņš ir izdomājis diferenciālrēķinus. Savukārt Leibnics uzskatīja, ka viņš ir autors



Atvasinājums: konstruējam sekanti

x

secant line

f(x)

f(x+h)

x+h



Atvasinājums: veicam robežpāreju

x+hx+h'x+h"x x

tangent line

slope= f'(x)

f′(x) = lim

∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x= lim

∆x→0

∆f

∆x=df

dt



Ātrums

Vienmērīgā kustībā ātrums v ir veiktā atta-luma s un tam patērētā laika t attiecība

v =s

t

Nevienmērīgā kustībā vidējais ātrums vvidir veiktā attaluma s un tam patērētā laika t at-tiecība

vvid =s

tNevienmērīgā kustībā momentanais ātrumsv ir kustības vienādojuma s = s(t) atvasina-jums pēc laika

v =ds

dt

Paātrinajums

Vienmērīgā paātrinātā kustībā paātrinā-jums a ir ātruma maiņas ātrums

a =∆v

∆t

Nevienmērīgā kustībā momentanais paātri-najums a ir ātruma vienādojuma v = v(t) pir-mais atvasinājums pēc laika, kas savukārt vien-ads ar kustības vienādojuma s = s(t) otro at-vasinajumu pēc laika

a =dv

dt=d2s

dt2



Ātruma un paātrinājuma vektoriālais pieraksts

r = r(t) = (x(t), y(t), z(t))

v =dr

dt=

(dx

dt,dy

dt,dz

dt

)a =

dv

dt=

(dv

dt,dv

dt,dv

dt

)

=d2r

dt2=

(d2x

dt2,d2y

dt2,d2z

dt2

)



Piemēri

• Vienmērīga kustība

x(t) = V0t

v(t) =dx

dt= V0

a(t) =dv

dt= 0

• Vienmērīgi paātrināta kustība

x(t) = V0t+at2

2

v(t) =dx

dt= V0 + at

a(t) =dv

dt= a



• Svārstību kustība

x(t) = x0 cosωt

v(t) =dx

dt= −x0ω sinωt

a(t) =dv

dt= −x0ω

2cosωt

• Rimstošas svārstības

x(t) = x0e−λt

cosωt

v(t) =dx

dt= −x0λe

−λtcosωt− x0ωe

−λtsinωt

=− x0e−λt

(λ cosωt+ ω sinωt)

a(t) =dv

dt= . . .



Kustība pie zemes virsmas bez pretestības

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.120.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

300

450

600

x = V0xt vx =dx

dt= V0 ax =

dvx

dt= 0

y = V0yt−gt2

2vy =

dy

dt= V0 − gt ay =

dvy

dt= −g



Bremzējoša kustība

Dota kustība, kurai ātrums samazinās eksponenciāli

v(t) = v0e−λt

• Paātrinājumu viegli atrast

a(t) =dv

dt= −v0λe

−λt

• Kā atrast koordinātes atkarību no laika?

∆x = v∆t, x(tb) ≈ x(ta) +

N∑i

v(ta + i∆t)∆t, kur ∆t =tb − taN

• Robežpāreja

x(tb) = x(ta) + limN→∞

N∑i=0

v(ta + i∆t)∆t, limN→∞

∆t = 0



Kustības vienādojuma atrašana no ātruma

1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35 • Robežpāreja

x(tb) = x(ta) + limN→∞

N∑i=0

v(ta + i∆t)∆t

• Laukums zem līnijas jeb Integrālis

x(tb) = x(ta) +

tb∫ta

v(τ) dτ

x(t) = x0 + v0

t∫0

e−λτ

dτ = x0 +v0

λ

(1− e−λt

)

v(t) =dx

dt= . . . = v0e

−λt



Rotācijas kustības mainīgie

• Leņķis ϕ un loka garums

ϕ =s

R

• Vidējais un momentanais leņķiskais ātrums

ωvid =ϕ2 − ϕ1

t2 − t1un ω =

dϕ

dt

• Vidējais un momentanais leņķiskais paātri-nājumi

εvid =ω2 − ω1

t2 − t1un ε =

dω

dt



Leņķiskie un lineārie parametri

• Pārvietojums

s = ϕR

• ĀtrumsV = ωR

• Paātrinājums

at = εR

ac =V 2

R= ω

2R



Vienmērīgi paātrināta kustība pa riņķa līniju

Apskatām vienmērīgi paātrinātu kustību pa riņķa līniju ar rādiusu R. Lai leņķiskais paātrinajumsε = const. Tad

ϕ(t) =εt2

2leņķis

ω(t) =dϕ(t)

dt= εt leņķiskais ātrums

Aprakstīsim šo kustību dekarta koordinātu sistēmā,

x(t) = R cosϕ = R cosεt2

2

y(t) = R sinϕ = R sinεt2

2

r(t) = R(cosϕ, sinϕ) = Rn(t)

y

x

Rnt

v

f



Tad ātrums

vx(t) =dx

dt= −R sin

εt2

2εt = −ωR sinϕ

vy(t) =dy

dt= R cos

εt2

2εt = ωR cosϕ

v(t) = ωR(− sinϕ, cosϕ) = ωRτ (t)

Ātrums vērsts pa trajektorijas pieskari, tātad perpendikulārs rādius-vektoram r ⊥ v. Pārliecināmies par to

y

x

Rnt

v

f

r · v = R(cosϕ, sinϕ) · ωR(− sinϕ, cosϕ) = ωR2(− cosϕ sinϕ+ cosϕ sinϕ) = 0

Paātrinājums

ax(t) =dvx

dt= −R cos

εt2

2(εt)

2 − R sinεt2

2ε = −ω2

R cosϕ− εR sinϕ

ay(t) =dvy

dt= −R sin

εt2

2(εt)

2+ R cos

εt2

2ε = −ω2

R sinϕ+ εR cosϕ



a(t) = −ω2R(sinϕ, cosϕ) + εR(− sinϕ, cosϕ) = −ω2

Rn+ εRτ

Tātad paātrinājumu var sadalīt divās komponentēs:

a = −acentrtiecesn+ atangensiālaisτ

Šeit

acentrtieces = ω2R =

v2

R

atangensiālais = εR

y

x

Rnt

v

f



Kopsavilkums

Kustība Translācijas RotācijasPārvietojums ∆r ∆Θ

Ātrums V = ∂r∂t ω = ∂Θ

∂t

Paātrinājums a = ∂V∂t ε = ∂ω

∂t

∆r =2∫1

V dt ∆Θ =2∫1

ω dt



Kustība ar patstāvīgu paātrinajumu

v = v0 + at ω = ω0 + εt

x = x0 + v0t+at2

2ϕ = ϕ0 + ω0t+

εt2

2

v2

= v20 + 2a(x− x0) ω

2= ω

20 + 2ε(ϕ− ϕ0)

x = x0 +1

2(v0 − v)t ϕ = ϕ0 +

1

2(ω0 − ω)t

x = x0 + vt−at2

2ϕ = ϕ0 + ωt−

εt2

2



Uzdevumi

1. No jumta, kura augstums ir H = 16m, vienādos laika sprīžos pil ūdens. Pirmais piliens sasniedzzemi tajā brīdī, kad piektais atraujas no jumta. Aprēķināt ceturtā piliena attālumu no jumta brīdī, kadpirmais piliens nokrīt uz zememes. (1 m);

2. Tramvajs sāk kustēties vienmērīgi paātrināti pa ceļa līkumu un, nogājis attālumu s = 250m, iegūstātrumu 36 km/h. Aprēķināt tramvaja tangenciālo, centrtieces un pilno paātrinājumu 40. sekundēpēc kustības sākuma. Ceļa liekuma rādiuss R = 200m.

3. Dzirnavu veltnis rotē vienmērīgi ar frekvenci η0 = 180min−1. Pēc piedziņas siksnas nosviešanasveltnis bremzējas un rotē vienmērīgi palēnināti ar paātrinājumu 3 rad/s2. Pēc cik lilga laika veltnisapstāsies? Cik apgriezienus tas izdarīs līdz apstāšanās brīdim?


Documents

Ivars Driķis 2016. g. 5. septembrīhome.lu.lv/~drikis/Fizi3021/0501-kinematika.pdf · Kinemātika - mehānikas nodaļa, kas pēta mehāniskās kustības aprakstīšanas metodes un