-
Геометриjа 2
Димитриjе Шпадиjер[email protected]
12. октобар 2018.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Дефинициjа
Нека jе S произвољна тачка неке равни α и нека jеλ ∈ R \ {0}
произвољан реалан броj различит од нуле.Пресликавање HS,λ : α −→ α
такво да jе HS,λ(X) = X
′, где jе
X ′ ∈ α таква да jе−−→SX ′ =
−−→SX, зове се хомош—еш—иjа. При томе
jе тачка S њен центар, а λ њен коефициjент.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Теорема (Талес)
Нека се и–раве p и q секу у ш—ачки S. Нека су A,B gверазличиш—е
ш—ачке и–раве p коjе су различиш—е оg S и нека суC,D gве различиш—е
ш—ачке и–раве q коjе су различиш—е оg S.Таgа jе
AC ‖ BD ⇐⇒SA
SB=
SC
SD=
AC
BD
⇐⇒SA
SC=
SB
SD=
AB
CD.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
S
A
B
C
D
S
A
B
C
D
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Ставови о сличности троуглова
Нека су gаш—и ш—роуı–лови △ABC и △A′B′C ′. Ако важинешш—о оg
слеgећеı–:
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Ставови о сличности троуглова
Нека су gаш—и ш—роуı–лови △ABC и △A′B′C ′. Ако важинешш—о оg
слеgећеı–:
ABA′B′
= ACA′C′
, ∡BAC = ∡B′A′C ′;
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Ставови о сличности троуглова
Нека су gаш—и ш—роуı–лови △ABC и △A′B′C ′. Ако важинешш—о оg
слеgећеı–:
ABA′B′
= ACA′C′
, ∡BAC = ∡B′A′C ′;ABA′B′
= ACA′C′
= BCB′C′
;
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Ставови о сличности троуглова
Нека су gаш—и ш—роуı–лови △ABC и △A′B′C ′. Ако важинешш—о оg
слеgећеı–:
ABA′B′
= ACA′C′
, ∡BAC = ∡B′A′C ′;ABA′B′
= ACA′C′
= BCB′C′
;
∡BAC = ∡B′A′C ′, ∡ABC = ∡A′B′C ′;
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Ставови о сличности троуглова
Нека су gаш—и ш—роуı–лови △ABC и △A′B′C ′. Ако важинешш—о оg
слеgећеı–:
ABA′B′
= ACA′C′
, ∡BAC = ∡B′A′C ′;ABA′B′
= ACA′C′
= BCB′C′
;
∡BAC = ∡B′A′C ′, ∡ABC = ∡A′B′C ′;ABA′B′
= ACA′C′
, ∡ACB = ∡A′C ′B′, а уı–лови ∡ABC и∡A′B′C ′ су оба ошш—ра, оба
и–рава или оба ш—уи–а;
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Ставови о сличности троуглова
Нека су gаш—и ш—роуı–лови △ABC и △A′B′C ′. Ако важинешш—о оg
слеgећеı–:
ABA′B′
= ACA′C′
, ∡BAC = ∡B′A′C ′;ABA′B′
= ACA′C′
= BCB′C′
;
∡BAC = ∡B′A′C ′, ∡ABC = ∡A′B′C ′;ABA′B′
= ACA′C′
, ∡ACB = ∡A′C ′B′, а уı–лови ∡ABC и∡A′B′C ′ су оба ошш—ра, оба
и–рава или оба ш—уи–а;
онgа jе △ABC ∼ △A′B′C ′.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
1.12. A
B C
S
P
Q
Sa
Pa
Qa
P̄
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
1.
A
B CEF
D
G
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
2. а) б) A
B C
S
Sa
E
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
3.A
BC
O
M
N
S
Q
Sa
Qa
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Теорема (Птоломеj)
Ако jе ABCD конвексан и ш—еш—иван чеш—вороуı–ао, онgа важиAC ·
BD = AB · CD +BC ·AD.
A B
C
D
E
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Дефинициjа
Нека jе F фамилиjа правих неке равни. Ако
постоjи тачка S коjа припада свим правима фамилиjе Fи све праве
коjе садрже тачку S припадаjу фамилиjи F ;
постоjи права s коjа jе паралелна свим правимафамилиjе F и све
праве коjе су паралелне правоj sприпадаjу фамилиjи F ;
онда такву фамилиjу F зовемо и–раменом и–равих. Акопрамен F
задовољава први услов, кажемо да jе то праменконкуренш—них правих,
а ако прамен F задовољава другиуслов, кажемо да jе то прамен
и–аралелних правих.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Теорема (Чева)
Ако су P,Q,R реgом ш—ачке и–равих BC,CA,AB ı–gе су A,B,Cш—ри
неколинеарне ш—ачке, ш—аgа и–раве AP,BQ,CR и–рии–аgаjу
jеgном и–рамену ако и само ако важи−−→BP−→PC
·−−→CQ−→QA
·−→AR−−→RB
= 1.
A
B CP
QR
S
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Теорема (Менелаj)
Ако су P,Q,R реgом ш—ачке и–равих BC,CA,AB ı–gе суA,B,C ш—ри
неколинеарне ш—ачке, ш—аgа су ш—ачке P,Q,R
колинеарне ако и само ако важи−−→BP−→PC
·−−→CQ−→QA
·−→AR−−→RB
= −1.
A
B C P
Q
R
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
6. A
B CP
Q
R
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
8.
A
BC
P
Q
R
-
Сличност
Дефинициjа
Нека су P,Q,R, S четири различите колинеарне тачке. Партачака
(P,Q) jе хармониjски си–реı–нуш— с паром тачака (R,S)
ако jе−→PR−→RQ
= −−→PS−→SQ
и пишемо H(P,Q;R,S).
P QR S
Ако jе H(P,Q;R,S), онда jе H(P,Q;S,R), H(Q,P ;R,S),H(Q,P
;S,R).
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Дефинициjа
Нека су P,Q,R, S четири различите колинеарне тачке. Партачака
(P,Q) jе хармониjски си–реı–нуш— с паром тачака (R,S)
ако jе−→PR−→RQ
= −−→PS−→SQ
и пишемо H(P,Q;R,S).
P QR S
Ако jе H(P,Q;R,S), онда jе H(P,Q;S,R), H(Q,P ;R,S),H(Q,P
;S,R).
Ако су P,Q,R три разне колинеарне тачке и R ниjесредиште дужи
PQ, тада постоjи jединствена тачка Sтаква да jе H(P,Q;R,S).
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
9. а)A
BC
S
P
Q
Sa
PaQa
A′
S
Sa
E
E
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
12.
A BC D
O
E
F
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
13.
A BC D
X
E
F
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
Став
Нека jе k(O, r) круı– равни α, P ш—ачка ш—е равни и A,Bи–ресечне
ш—ачке круı–а k и и–роизвољне и–раве коjа саgржиш—ачку P и има
заjеgничких ш—ачака с круı–ом k (може биш—и
и ш—анı–енш—а, ш—аgа jе A = B). Вреgносш— израза−→PA ·
−−→PB не
зависи оg избора ш—е и–раве.
Дефинициjа
Вредност израза−→PA ·
−−→PB(= PO2 − r2) назива се и–ош—енциjом
тачке P у односу на круг k(O, r) и обележава се са p(P, k).
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Став
Скуи– свих ш—ачака равни коjе имаjу jеgнаке и–ош—енциjе уоgносу
на круı–ове k1(O1, r1), k2(O2, r2) jе и–рава уи–равна наи–равоj
O1O2.
Дефинициjа
Права из претходног става назива се и–ош—енциjалном
илираgикалном осом кругова k1 и k2.
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
14.
A BC DO
X
Y
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
15.A
B C
OS
Sa
N
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
-
Сличност
16. A
B C
B1C1
O1 O2
B2
C2
D
Димитриjе Шпадиjер Геометриjа 2
![doiSerbia - Бојан Јовић...Sacre du Printemps] Игора Стравинског (Игорь Фёдорович Стравинский), коjу jе неколико година](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5fbd11369ebb6259df3270dd/doiserbia-sacre-du-printemps-.jpg)
