Janusz German - Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych - skrypt5

ROZDZIA 5

75

ROZDZIA 5

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

76

ROZDZIA 5 PODSTAWOWE TYPY LAMINATW WARSTWOWYCH

LAMINATY SYMETRYCZNE I ANTYSYMETRYCZNE

Podane w poprzednim rozdziale postacie unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej [A], macierzy sztywnoci sprze [B] i macierzy sztywnoci gitnej [D] dotycz laminatw o cakowicie dowolnej sekwencji warstw. W wikszoci jednak przypadkw mamy do czynienia z laminatami warstwowymi o specyficznej budowie, charakteryzujcej si okrelon regularnoci w ukadzie warstw. Celowe jest zatem wprowadzenie pewnej klasyfikacji laminatw, obejmujcej podstawowe ich typy, a take okrelenie wspomnianych wczeniej macierzy dla tych specyficznych konfiguracji, gdy z reguy daj si one wyrazi prociej ni wynika to z zalenoci oglnych.

5.1. Klasyfikacja kompozytw

5.1.1. Definicje, okrelenia W celu uatwienia dalszej lektury zostan poniej podane wszystkie uyte w kolejnych rozdziaach okrelenia, definicje i wynikajce z nich wnioski. Ze wzgldu na brak w niektrych przypadkach dobrych polskich odpowiednikw terminw anglojzycznych, podano obok uytych terminw polskich ich oryginay angielskie.

Warstwa laminatu - pod pojciem tym rozumie si grup poczonych ze sob pojedynczych warstw kompozytowych o tej samej orientacji. Przykadowo w laminacie o kodzie [ 0/902/-453] s trzy warstwy, tzn. 0, 902 i -453 .

Laminat symetryczny. Laminat jest symetryczny, jeeli zachodz nastpujce 2 warunki

(z) = (-z) (5.1)

Qi j (z) = Qi j (-z) (5.2)

Pierwszy z tych warunkw oznacza symetri uoenia warstw wzg. paszczyzny rodkowej (symetria geometryczna), a drugi symetri moduw sztywnoci (symetria materiaowa). W dalszej czci skryptu przyjmuje si, e drugi warunek jest zawsze speniony (chyba, e wyranie bdzie powiedziane inaczej), co oznacza, e rozpatrywane bd laminaty zoone z warstw tego samego materiau kompozytowego.

Laminat antysymetryczny. Przy zaoeniu symetrii materiaowej, warunek antysymetrii laminatu dotyczy wycznie jego cech geometrycznych i ma posta

(z)= - (-z) (5.3) Laminat regularny. Jest to taki laminat, w ktrym wszystkie warstwy maj t sam grubo, tzn.

t i = t / N i = 1, 2, ...,N (5.4)

gdzie N oznacza liczb warstw laminatu, t - jego grubo.

ROZDZIA 5

77

Laminat zrwnowaony*). W celu zdefiniowania tego pojcia oznaczmy symbolem K liczb warstw o rnej orientacji ktowej (np. w laminacie [405/ -302/ -405/ -303], K = 3). Laminatem zrwnowaonym bdziemy nazywa laminat, w ktrym objtociowy udzia tych warstw jest taki sam, tzn.

vi = 1 / K i = 1, 2, ...,K (5.5)

Laminat o poprzecznym ukadzie warstw lub krtko laminat poprzeczny (ang. cross-ply laminate) - laminat skadajcy si wycznie z warstw 0 i 90.

Laminat o ktowym ukadzie warstw lub krtko laminat ktowy (ang. angle-ply laminate) - laminat skadajcy si wycznie z warstw +, - .

Laminat dowolny - laminat o cakowicie dowolnym ukadzie geometrycznym warstw ( tzn. ani nie symetryczny, ani nie antysymetryczny).

Z podanych powyej definicji, a take prostych rozwaa geometrycznych wynikaj nastpujce wnioski

Kady laminat symetryczny musi si skada z nieparzystej liczby warstw.

Wynika to z faktu, e wszystkie warstwy znajdujce si po jednej stronie powierzchni rodkowej maj swoich "bliniakw" po jej przeciwnej stronie. Wyjtek stanowi warstwa rodkowa, przez ktr przechodzi paszczyzna rodkowa, w zwizku z czym jest ona "jedynakiem", a zatem liczba warstw musi by liczb nieparzyst ("2n+1").

Kady laminat antysymetryczny musi si skada z parzystej liczby warstw.

Dowd pozostawmy jako wiczenie dla czytelnika.

Laminat symetryczny i regularny nie moe by zrwnowaony.

Regularno oznacza, e gruboci wszystkich warstw s identyczne. Z symetrii wynika, e laminat skada si z par warstw , co w poczeniu z pierwszym stwierdzeniem prowadzi do konkluzji, e objtociowy udzia kadej pary musi by taki sam. Nie dotyczy to jednak warstwy rodkowej laminatu, ktra nie tworzy pary, jej udzia objtociowy musi zatem by dwukrotnie mniejszy od udziau pozostaych warstw. W efekcie laminat nie moe by zrwnowaony.

Laminat symetryczny i zrwnowaony nie moe by regularny.

Ta wasno jest konsekwencj rozumowania odwrotnego do przedstawionego powyej.

Laminat antysymetryczny, tak poprzeczny, jak i ktowy jest zawsze zrwnowaony.

Laminat antysymetryczny obu typw mona zapisa oglnie w postaci

.............a/-b/c /-d/d/-c /b/-a. . . . . . . . . . . . . . . (5.6)

Dla laminatu poprzecznego przez " " naley rozumie konfiguracj 0, a przez "- " - 90.

Z (5.6) wynika, e liczba pojedynczych warstw " " wynosi ...+a+c+d+b+..., a warstw "- " - ...+b+d+c+a+..., czyli tyle samo, co oznacza, e take objtociowy udzia obu typw warstw musi by taki sam, a to z kolei oznacza, e laminat musi by zrwnowaony.

Jeeli dodatkowo zachodzi warunek ...= a = b = c = d =..., to laminat jest take regularny.

Laminat antysymetryczny, o dowolnym uoeniu warstw moe nie by zrwnowaony.

Jako dowd wystarcza przykad potwierdzajcy tez - [30/152 /-403 /403 /-152 /-30]. Wida, e v3 0 = v - 3 0 = 1/12 ; v1 5 = v - 1 5 = 1/6 ; v4 0 = v - 4 0 = 1/4 .

*) Okrelenie "laminat zrwnowaony" uywane jest w literaturze w odniesieniu do laminatw ktowych i oznacza laminaty o jednakowej iloci warstw + i -. Definicja wprowadzona powyej obejmuje t sytuacj jako przypadek szczeglny.


78

5.1.2. Klasyfikacja kompozytw

Dokonanie klasyfikacji wszystkich moliwych kompozytw jest niemal niewykonalne ze wzg. na wielo kryteriw, wedle ktrych mona przeprowadzi tak klasyfikacj, jak i wrcz nieograniczon swobod w ksztatowaniu ich ukadu geometrycznego. Gdyby uwzgldni kompozyty hybrydowe tzn. takie, w ktrych warstwy rni si materiaem, to stopie komplikacji radykalnie ronie. Klasyfikacja przedstawiona w tym rozdziale przyjmuje jako kryterium klasyfikacji cechy geometryczne kompozytw, a ponadto ogranicza si do kompozytw (pojedyncze warstwy i laminaty) najczciej stosowanych. Klasyfikacja ta przedstawiona jest na rys. 5.1, na ktrym uwidoczniono take moliwe kombinacje rnych cech laminatw. Na jej podstawie, w nastpnych podrozdziaach bd podane macierze sztywnoci dla poszczeglnych typw kompozytw. Dla lepszego zrozumienia tej klasyfikacji, w tabeli 5.1 zamieszczono zestawienie typw, z podaniem przykadowych kodw laminatw.

Dokonana klasyfikacja suy przede wszystkim wprowadzeniu porzdku i przejrzystoci w nazewnictwie laminatw (mona powiedzie, e w pewnym stopniu ma ona taki sam cel jak podzia materiaw "standardowych - np. na stale wglowe, niskowglowe, stopowe, eliwo, staliwo, stopy, metale kolorowe itd.). Nie mona natomiast powiedzie, e z przynalenoci do kadej z wyrnionych klas wi si zawsze uproszczenia w budowie np. macierzy sztywnoci.

IZOTROPOWA

WARSTWA

SPECJALNIEORTOTROPOWA

LAMINAT

WARSTWYIZOTROPOWE

SYMETRYCZNY ANTYSYMETRYCZNY

OGLNIEORTOTROPOWA

QUASI-IZOTROPOWY

R , Z R, NZ NR, Z NR, NZ

POPRZECZNYKTOWYDOWOLNY POPRZECZNYKTOWYDOWOLNY

R, Z - regularny, zrwnowaonyR, NZ - regularny, niezrwnowaony

NR, Z - nieregularny, zrwnowaonyNR, NZ - nieregularny, niezrwnowaony

R , Z R, NZ NR, Z NR, NZ

Rys. 5.1. Klasyfikacja podstawowych laminatw i pojedynczych warstw.

Czsto bywa tak, e uproszczenia wystpuj, ale nieograniczona dowolno w uoeniu warstw laminatw, nawet nalecych do tej samej grupy, uniemoliwia ich wsplny zapis formalny i zarazem formalny zapis tych uproszcze (przykadowo - z tych samych warstw mona zbudowa laminaty o kodach: [0/903/02/90/02/90/02/903/0], [02/903/0/90/02/90/0/903/02], [03/903/02/902/02/903/03], itd., wszystkie nalece do grupy laminatw symetrycznych, poprzecznych, zrwnowaonych, a przecie rnice si liczb warstw, ich gruboci i kolejnoci).

W kolejnych rozdziaach bd omwione podstawowe grupy kompozytw, wraz z moliwie najprostszymi, oglnymi postaciami macierzy sztywnoci. Obliczenia do nich prowadzce bd pominite, gdy w wielu przypadkach s dugie, a dla czytelnika zapewne nuce.

ROZDZIA 5

79

KONFIGURACJA LAMINATU

CECHY LAMINATU Poprzeczna Ktowa Dowolna

Regularny, zrwnowaony nie istnieje nie istnieje nie istnieje SYMETRYCZNY Regularny, niezrwnowaony 0/90/0 /- / 0/20/0 Nieregularny, zrwnowaony 0/902/0 /-2/ 0/202/0

Nieregularny, niezrwnowa. 0/903/0 /-3/ 0/203/0

Regularny, zrwnowaony 0/90 /- 0/20/-20/90 ANTY- Regularny, niezrwnowaony nie istnieje nie istnieje 90/0/20/-20/90/0 SYMETRYCZNY Nieregularny, zrwnowaony 0/902/02/90 /-2/2/- 90/0/202/-202/90/0

Nieregularny, niezrwnowa. nie istnieje nie istnieje 90/0/203/-203/90/0

TABELA 5.1. Przykady kodw typowych laminatw

5.2. Kompozyty symetryczne

Podstawow i wan waciwoci wszystkich kompozytw symetrycznych, bez wzgldu na ich dalsze cechy, jest to, e macierz sztywnoci sprze jest macierz zerow

Bij = 0 (5.7)

Wynika to wprost z postaci rwnania (4.26), okrelajcego elementy tej macierzy. Ze wzgldu na symetri, kadej warstwie odpowiada jej zwierciadlane odbicie wzgldem paszczyzny rodkowej, rnice si jedynie znakiem wsprzdnej rodka cikoci. Tak wic sumy odpowiednich iloczynw dla kadej pary warstw musz si zerowa.

Z tego samego powodu co powyej, w kompozytach symetrycznych nie mog wystpi wypadkowe momenty termiczne, tzn.

{MT} = {0} (5.8) To sprawia m.in., e laminaty symetryczne nie wykazuj tendencji do ulegania zwichrzeniu w czasie utwardzania po procesie laminacji.

W konsekwencji rwna (5.7) i (5.8) rwnania fizyczne dla kompozytu symetrycznego s zawsze rozprzgnite i przyjmuj posta

{ } [ ] { }oAN = (5.9) { } [ ] { }oDM = (5.10) Po odwrceniu powyszych rwna, odksztacenia w dowolnej warstwie laminatu wyraaj si zwizkiem

{ } [ ] { } [ ] { }MDzNA 11 += (5.11) Korzystajc z rwnania (4.50), rwnania fizyczne, okrelajce naprenia w "k-tej" warstwie laminatu symetrycznego mona zapisa w postaci

{ } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } { }{ } [ ] [ ] { }MDQzTNAQNAQ 1kkT1k1kk ++= (5.12) Dla stanu tarczowego rwnanie to upraszcza si do postaci

{ } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } { }{ }TNAQNAQ kT1k1kk += (5.13) Dalsze uproszczenia, dotyczce w szczeglnoci macierzy sztywnoci tarczowej i zginania, moliwe s dla laminatw charakteryzujcych si nie tylko symetri, ale dodatkowo innymi, specyficznymi cechami budowy geometrycznej.


80

5.2.1. Pojedyncze warstwy

Indywidualna warstwa, z oczywistych powodw zawsze jest symetryczna wzgldem paszczyzny rodkowej. Nie tworzy ona oczywicie laminatu, ale dla atwiejszego zrozumienia dalszych rozwaa zostan tu przypomniane podstawowe wiadomoci jej dotyczce. W rwnym stopniu odnosz si one rwnie do specyficznego rodzaju laminatu, jakim jest ukad wielu pojedynczych warstw poczonych ze sob, identycznych pod wzgldem materiaowym i uoonych w identyczny sposb geometryczny. Taki laminat makroskopowo tworzy jedn warstw. Omwiona bdzie take warstwa izotropowa, ktra moe by kompozytem (np. kompozyt z drobno pocitymi wknami, losowo rozoonymi w matrycy), ale z reguy nim nie jest. Ukad rnych warstw izotropowych stanowi ju jednak klasyczny laminat (np. bimetale), tote celowe jest wczenie do analizy take pojedynczej warstwy izotropowej.

Warstwa izotropowa

Jedyne dwie niezalene stae spryste dla warstwy izotropowej to modu Younga E i wspczynnik Poissona . Modu cinania G jest zaleny od dwu poprzednich. Macierz sztywnoci, dobrze znana z teorii sprystoci, ma posta

[ ] K2100

0101

Q

=

/)(

( )21

EK

= (5.14)

Mona j take uzyska jako szczeglny przypadek anizotropii, korzystajc np. ze zwizkw (2.42), kadc w nich E1 = E2 = E, 12 = 21 = .

Ze wzgldu na fakt, e materia izotropowy jest niewraliwy na zmian kierunku, zredukowana i transformowana macierz sztywnoci musz by oczywicie identyczne. Wykazanie tego trywialnego spostrzeenia w oparciu o zalenoci obowizujce dla materiau anizotropowego moe stanowi dobry sprawdzian poprawnoci tych zalenoci. Korzystajc z macierzy (5.14), natychmiast wida z rwna (3.20), e wspczynniki transformacyjne U 2 i U 3 wynosz 0, za pozostae przyjmuj posta

U1 = K U4 = K U5 = K (1 - ) / 2 (5.15) Biorc pod uwag (5.15) i zalenoci transformacyjne ujte w tabeli 3.2 atwo stwierdzi, e prowadz one dla przypadku izotropii do oczekiwanego rezultatu, gdy istotnie otrzymujemy z nich, e

[ ] [ ]QQ = (5.16) Korzystajc z rwna (4.25) i (4.27) otrzymujemy macierze sztywnoci tarczowej i gitnej

[ ] [ ] tQA = (5.17)

[ ] [ ] 12tQD 3 /= (5.18) Warstwa kompozytowa w konfiguracji osiowej (warstwa specjalnie ortotropowa)

Zredukowana macierz sztywnoci [Q] okrelona jest przez zwizek (2.42) i ma posta (5.19). Macierz transformowana jest w tym przypadku tosama z macierz zredukowan. Korzystajc z oglnych postaci macierzy sztywnoci tarczowej - rwnanie (4.25) i sztywnoci zginania - rwnanie (4.27), otrzymujemy szczeglne postacie tych macierzy dla warstwy specjalnie ortotropowej w formie rwna odpowiednio (5.20) i (5.21)

[ ] [ ]

==

12

2112

2

2112

122

2112

211

2112

1

G00

01

E1

E

01

E1

E

QQ

(5.19)

[ ] [ ] tQA = (5.20)

ROZDZIA 5

81

[ ] [ ] 12tQD 3 /= (5.21) Warstwa kompozytowa w konfiguracji nieosiowej (warstwa oglnie ortotropowa)

Zredukowana macierz sztywnoci ma posta (5.19). Macierze: transformowan, sztywnoci tarczowej i zginania otrzymuje si w wyniku zastosowania procedury przedstawionej na rysunku 4.5. Postaci tych macierzy dla warstwy oglnie ortotropowej s ostatecznie nastpujce

[ ] [ ] tQA = (5.22)

[ ] [ ] 12tQD 3 /= (5.23) Naley tu zwrci uwag na fakt, e w warstwie oglnie ortotropowej, w odrnieniu od specjalnie ortotropowej, wystpuje sprzenie styczne (tzn. sprzenie si osiowych Nx i Ny z odksztaceniami ktowymi x y), jak i sprzenie normalne (sprzenie si stycznych Nxy z odksztaceniami liniowymi x i y ), gdy A16 i A26 maj wartoci rne od zera ( w warstwie specjalnie ortotropowej s rwne zero).

Podsumowanie

Na zakoczenie rozwaa dotyczcych pojedynczych warstw tak izotropowych, jak i ortotropowych, naley zauway, e niezalenie od typu warstwy macierze sztywnoci tarczowej i zginania mona zapisa w postaci

[ ] [ ] tQA = (5.24)

[ ] [ ] 12tQD 3 /= (5.25) Po odwrceniu tych zalenoci otrzymujemy

[ ] [ ] tQA 11 / = (5.26) [ ] [ ] 311 t12QD / = (5.27) Z rwnania (4.54) wynika, e wektor si termicznych w przypadku pojedynczej warstwy jest okrelony zwizkiem

{ } [ ] { }QtTNT = (5.28) Po wstawieniu powyszych zalenoci do rwnania fizycznego w postaci (5.12) i wykorzystaniu zalenoci macierzowej

[ ] [ ] [ ]1QQ 1 = (5.29) otrzymujemy rwnania okrelajce naprenia w pojedynczej warstwie w postaci

{ } { } { } 3t12MzN

t1

+= (5.30)

Z rwna (5.30) wida, e w kompozycie jednowarstwowym naprenia cakowite, na ktre skadaj si naprenia mechaniczne i cieplne nie zale od rnicy temperatury utwardzania (laminacji) i eksploatacji, cho same naprenia termiczne przy T 0 s niezerowe.

5.2.2. Laminaty o ktowym uoeniu warstw Symetryczne laminaty ktowe to takie laminaty, w ktrych warstwy s uoone symetrycznie wzgldem paszczyzny rodkowej i ktrych pooenie okrelone jest wycznie ktem .

Korzystajc ze wzorw transformacyjnych zamieszczonych w tabeli 3.2, struktur transformowanych macierzy sztywnoci dla warstw + i warstw - mona przedstawi nastpujco


82

=

= +

66

2622

161211

ji

66

2622

161211

ji

Q

QQ

QQQ

Q

Q

QQ

QQQ

Q , (5.31)

Przypomnijmy take, e warunek symetrii powoduje, e laminat musi si skada z nieparzystej liczby warstw, ktr oznaczmy symbolem N. Liczb warstw + oznaczmy P, a liczb warstw - - liter R. Musz zachodzi warunki

1RPRPN =+= (5.32)

Objtociowy udzia dowolnej "k-tej" warstwy wynosi

ttv kk /= (5.33)

gdzie t k - grubo warstwy "k", t - cakowita grubo laminatu.

W celu wyznaczenia unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej [A] naley obliczy wspczynniki okrelone rwnaniem (4.41) i wykorzysta zalenoci podane w tabeli 4.1.

Kady ze wspczynnikw Vi* mona rozoy na cz odpowiadajc warstwom + i cz odpowiadajc warstwom - . Dla przykadu okrelmy pierwszy z nich

)cos(cos

* ==

+=R

1kk

P

1kk1 2v2vV (5.34)

Wykorzystujc parzysto funkcji cos oraz zwizek

1vvR

1kk

P

1kk =+

==

(5.35)

otrzymujemy

2V1 cos* = 4V2 cos

* = 2VV k3 sin* = 4VV k4 sin

* = (5.36)

gdzie

==

=R

1kk

P

1kkk vvV

(5.37)

Elementy unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej maj wwczas postaci przedstawione poniej w formie tabelarycznej

1 U2 U3

A t11 / U1 cos 2 cos 4

A t22 / U1 - cos 2 cos 4

A t12 / U4 0 - cos 4

A t66 / U5 0 - cos 4

A t16 / 0 1/2 V k sin 2 V k sin 4

A t26 / 0 1/2 V k sin 2 - V k sin 4

TABELA 5.2. Unormowana macierz sztywnoci tarczowej dla ktowego laminatu symetrycznego.

Z postaci tabeli 5.2. wynikaj dwa podstawowe wnioski :

ROZDZIA 5

83

w ktowych laminatach symetrycznych, w oglnym przypadku wystpuje sprzenie styczne i normalne, gdy A16 i A26 s rne od zera,

A11, A22, A12, A66 dla kadego ktowego laminatu symetrycznego nie zale od objtociowego udziau warstw , s wic takie same jak dla pojedynczej warstwy (patrz - tabela 3.2). Ostatecznie zatem maj nastpujc posta

/, / , / , / 6666121222221111 QtAQtAQtAQtA ==== (5.38)

Elementy macierzy sztywnoci zginania, po wykorzystaniu (5.8), (5.31), (5.33) i prostych przeksztaceniach otrzymuj postaci

N

311

11 C12tQD = N

322

22 C12tQD = (5.39)

N

312

12 C12tQD = N

366

66 C12tQD =

( )RP3

1616 CC12

tQD = ( )RP3

2626 CC12

tQD = (5.40)

gdzie

=

+=

N

1k

ckk2

3kN

2

zvt12vC

=

+=

P

1k

ckk2

3kP

2

zvt12vC

(5.41)

=

+=

R

1k

ckk2

3kR

2

zvt12vC

NRP CCC =+ (5.42)

Dalsze uproszczenia moliwe s w przypadku szczeglnych typw laminatw symetrycznych, jak laminaty regularne i zrwnowaone.

Laminaty symetryczne, ktowe, regularne

Regularno oznacza, e wszystkie warstwy (k=1, 2, ..., N) w laminacie maj tak sam grubo, tzn.

Nttk /= (5.43)

co oznacza, e rwnie objtociowy udzia kadej warstwy jest taki sam (zauwamy, e mimo tego laminat nie jest zrwnowaony) i wynosi

N1vk /= (5.44)

Wspczynniki okrelone rwnaniami (5.37) i (5.41), po prostych przeksztaceniach, daj si teraz wyrazi zalenociami

1NP2Vk = (5.45)

=

+=N

1k22N tN

12N1C

ck

2

z

=

+=P

1k

ck23P

2

ztN

12NPC

(5.46)


84

=

+=R

1k

ck23R

2

ztN

12NRC

Analiza ukadu warstw w przekroju laminatu pozwala znale oglne zalenoci okrelajce wsprzdne rodkw cikoci poszczeglnych warstw. Odpowiednie obliczenia zostan tu pominite, a czytelnik moe potraktowa je jako zadanie do samodzielnego rozwizania. Wystpujce w (5.46) sumy daj si w wyniku tych oblicze wyrazi prostymi zwizkami

N1N

12tz

22N

1k

ck

2 =

=

( )1PPN3tz 222P

1k

ck

2

==

(5.47)

( )1RRN3tz 222R

1k

ck

2

==

Wspczynniki okrelone rwnaniem (5.46) po wykorzystaniu (5.47) przyjmuj posta

)( , )( , 3R4NRC3P4

NPC1C 23R

23PN === (5.48)

a skadowe macierzy sztywnoci zginania s okrelone formuami

12tQD

12tQD

12tQD

12tQD

366

66

312

12

322

22

311

11 ==== , , , (5.49)

)( , )( RP3

2626RP

316

16 CC12tQDCC

12tQD == (5.50)

gdzie

=

+=

=1RP

N2N3

1RPN

2N3

CC

3

23

2

RP

jeeli

eelij (5.51)

Skadowe unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej wynosz (rw. 5.38, 5.45, tab. 5.2. i 3.2)

, , , 6666121222221111 QtAQtAQtAQtA ==== //// (5.52)

1616 Q1

NP2

tA

= 26

26 Q1NP2

tA

= (5.53)

Laminaty symetryczne, ktowe, zrwnowaone

Zrwnowaenie laminatu oznacza, e objtociowy udzia warstw + i - jest taki sam i wynosi

50vv .== (5.54)

Z rwnania (5.37) i (5.36) wynikaj wwczas zalenoci

0Vk = (5.55)

2V1 cos* = 4V2 cos

* = 0V3 =* 0V4 =

* (5.56)

Biorc powysze pod uwag, a take (5.38) i tabel 5.2, otrzymujemy elementy unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej w postaci

ROZDZIA 5

85

, , , 6666121222221111 QtAQtAQtAQtA ==== //// (5.57)

0AA 2616 ==

Wida, e w porwnaniu z laminatem ktowym regularnym, w laminacie zrwnowaonym nie wystpuj sprzenia zarwno styczne, jak i normalne.

W odniesieniu do macierzy sztywnoci zginania zrwnowaenie laminatu ktowego nie powoduje adnych uproszcze, a jej elementy s okrelone oglnymi zalenociami dla laminatu symetrycznego, tzn. rwnaniami (5.39), (5.40) i (5.41).

5.2.3. Laminaty o poprzecznym uoeniu warstw

Symetryczne laminaty poprzeczne charakteryzuj si tym, e skadaj si wycznie z uoonych symetrycznie wzgldem paszczyzny rodkowej warstw okrelonych ktami 0 i 90, skd bierze si ich nazwa.

Postaci transformowanych macierzy sztywnoci dla warstw 0 i 90 wynikaj wprost z definicji zredukowanej macierzy sztywnoci dla warstwy w konfiguracji osiowej i maj nastpujc struktur

==

==

66

11

122290ji

90ji

66

22

12110ji

0ij

Q0Q0QQ

QQQ

0Q0QQ

QQ , (5.58)

Niech N oznacza cakowit ilo warstw, P - liczb warstw 0, a R - liczb warstw 90.

Celem wyznaczenia unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej [A] i macierzy sztywnoci zginania [D] , naley zastosowa procedur analogiczn do tej z pkt. 5.2.2. W jej wyniku otrzymujemy

9001 vvV =* 1V2 =

* 0V3 =* 0V4 =

* (5.59)

0W konsekwencji powyszych zalenoci unormowana macierz sztywnoci tarczowej w formie stabelaryzowanej przyjmuje posta

1 U2 U3

A t11 / U1 v v0 90 1

A t22 / U1 v v90 0 1

A t12 / U4 0 - 1

A t66 / U5 0 - 1

A t16 / 0 0 0

A t26 / 0 0 0

TABELA 5.3. Unormowana macierz sztywnoci tarczowej dla poprzecznego laminatu symetrycznego.

Z tabeli 5.3 wypywaj dwa istotne spostrzeenia :

w adnym symetrycznym laminacie poprzecznym nie wystpuje ani sprzenie styczne, ani normalne ( A16 = A26 = 0) ,

A12 i A66 dla kadego symetrycznego laminatu poprzecznego nie zale od objtociowego udziau warstw 0 i 90, s zatem identyczne dla wszystkich laminatw nalecych do tej klasy i wynosz (por. rwnanie (3.20) i tabela 5.3.)

A t Q12 12/ = A t Q66 66/ = (5.60)


86

Elementy macierzy sztywnoci zginania w oglnym przypadku symetrycznego laminatu poprzecznego mona zapisa w postaci (czytelnikowi pozostawmy przeprowadzenie odpowiednich oblicze)

+= R

1

2P

311

11 CEEC

12tQD

+= R

2

1P

322

22 CEEC

12tQD (5.61)

N

312

12 C12tQD = N

366

66 C12tQD = (5.62)

0DD 2616 == (5.63)

gdzie C C CN P R, , s okrelone rwnaniem (5.41).

Uproszczenia w postaciach podanych macierzy wystpuj dla specyficznych typw symetrycznych laminatw poprzecznych tzn. laminatw regularnych oraz zrwnowaonych.

Laminaty symetryczne, poprzeczne, regularne

Ze wzgldu na formaln zgodno wszystkich rozwaa dotyczcych rodkw cikoci poszczeglnych warstw kompozytu regularnego, poprzecznego i przedstawionego wczeniej kompozytu regularnego, ktowego (warstwy 0 s formalnie rwnowane warstwom +, a warstwy 90 - warstwom - ), obowizuj tu zalenoci (5.43) - (5.48), a ponadto zachodzi zwizek

1NP2vv

NP1v

NPv 900900 === , (5.64)

Wykorzystujc wspomniane powyej zwizki, a take (5.60), tabel 5.3 i macierz (5.19) otrzymujemy skadowe unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej w postaci

+=

NP1

EE

NPQtA

1

21111 /

+=

NP1

EE

NPQtA

2

12222 / (5.65)

1221 QtA =/ 6666 QtA =/ 0AA 2616 == (5.66)

gdzie E1 i E2 oznaczaj odpowiednio poduny i poprzeczny modu Younga dla warstwy ortotropowej.

Skadowe macierzy sztywnoci zginania wynikaj z rwna (5.61), (5.62), (5.63) (z wykorzystaniem (5.48) i (5.19)) i wynosz

( ) ( )

+= 3R4R

EE3P4P

N1

12tQD 2

1

223

311

11 (5.67)

( ) ( )

+= 3R4R

EE3P4P

N1

12tQD 2

2

123

322

22 (5.68)

12tQD

312

12 = 12tQD

366

66 = 0DD 2616 == (5.69)

Laminaty symetryczne, poprzeczne, zrwnowaone

Z warunku zrwnowaenia wynika, e

0vv50vv 900900 === . (5.70)

i w konsekwencji - wida to z tabeli 5.3 - aden z elementw macierzy sztywnoci tarczowej nie zaley od objtociowego udziau warstw 0 i 90. Ostatecznie zatem maj one posta (wykorzystano tu pomocniczo rwnania (3.20))

ROZDZIA 5

87

+==

1

2112211 E

E1Q21tAtA // (5.71)

1221 QtA =/ 6666 QtA =/ 0AA 2616 == (5.72)

Zrwnowaenie laminatu nie powoduje adnych uproszcze w oglnej postaci macierzy sztywnoci zginania, tak wic ma ona posta okrelon rwnaniami (5.61), (5.62) i (5.63) z wykorzystaniem wspczynnikw okrelonych zwizkiem (5.41).

5.3. Kompozyty antysymetryczne

Laminaty antysymetryczne to takie laminaty, w ktrych dowolna warstwa o konfiguracji okrelonej ktem + ma po przeciwnej stronie paszczyzny rodkowej swego "odpowiednika" w postaci warstwy okrelonej ktem -. Warstwy tworzce "antysymetryczn par" maj identyczn grubo, rni si natomiast znakiem wsprzdnej "z" rodkw cikoci. Laminat moe by antysymetryczny tylko wwczas, gdy skada si z parzystej liczby warstw.

Przyjmuje si tradycyjnie, e antysymetrycznym odpowiednikiem warstwy 0 jest warstwa 90 i na odwrt. Naley zauway i w tym przypadku pojcie antysymetrii musi by rozumiane w sposb czysto umowny. Z geometrycznej definicji antysymetrii wynika bowiem, e warstw antysymetryczn do warstwy 0 jest rwnie warstwa 0. Spenia ona oczywicie zarazem warunek symetrii, tak wic przykadowo laminat o kodzie [0, 0] byby z punktu widzenia geometrii jednoczenie symetryczny, jak i antysymetryczny. W celu uniknicia tej dwuznacznoci, a jednoczenie wyrnienia klasy laminatw o parzystej liczbie na przemian lecych warstw wycznie 0 i 90, przyjto w mechanice kompozytw wspomnian na wstpie umow.

Dla kadej pary antysymetrycznych warstw zachodz zalenoci ( patrz tabela 3.2)

== 26261616 QQQQ , (5.73)

Z oglnych postaci macierzy sztywnoci tarczowej - rw. (5.15) oraz sztywnoci gitnej - rw. (5.8), oraz po wykorzystaniu podanej definicji laminatu antysymetrycznego wraz ze zwizkami (5.73), wynika wprost wniosek o zerowaniu si w kadym laminacie antysymetrycznym tych elementw macierzy, ktre zwizane s ze sprzeniem stycznym i normalnym, tzn.

0A0A 2616 == , (5.74)

0D0D 2616 == , (5.75)

Inne uproszczenia w macierzach [A], [B], [D] w oglnym przypadku antysymetrii laminatu nie wystpuj i w celu okrelenia tych macierzy naley wykorzysta procedur przedstawion na rysunku 4.5. S one natomiast moliwe w laminatach o specjalnej konfiguracji warstw, a mianowicie antysymetrycznych laminatach ktowych i poprzecznych.

5.3.1. Laminaty o ktowym uoeniu warstw, zrwnowaone Z podanych na pocztku tego rozdziau definicji, okrele i wasnoci laminatw wynika, e kady laminat antysymetryczny, ktowy musi take by zrwnowaony.

Transformowane macierze sztywnoci dla warstw + i - , tworzcych laminat ktowy maj posta (5.31). Wynikajce z niej rwnoci

6ji21jiQQ ijij ====+ ,, (5.76)

powoduj, e dla wskanikw jak w (5.76) elementy macierzy transformowanej Q ij wystpujce pod znakami sum w wyraeniach (4.25), (4.26) i (4.27) mog by wyczone przed te znaki. Ostatecznie zatem unormowana macierz sztywnoci tarczowej ma nastpujce skadowe

0A0A 2616 == , (5.77)

A t Q A t Q A t Q A t Q11 11 22 22 12 12 66 66/ , / , / , /= = = = (5.78)


88

Z tych samych powodw co powyej, a take dlatego, e suma wsprzdnych rodkw cikoci wszystkich warstw w laminacie antysymetrycznym musi si zerowa, elementy macierzy sztywnoci sprze przyjmuj posta

0BBBB 66122211 ==== (5.79)

( ) 21iztQB ckkN

1kk6i6i

,== =

(5.80)

Posta macierzy sztywnoci gitnej w laminacie antysymetrycznym, ktowym upraszcza si jedynie na skutek warunku (5.76), a jej elementy s okrelone nastpujco

6ji21ji12tztQ2D

3k2c

kk

2N

1kijij ===

+=

=

,,/

(5.81)

0D0D 2616 == , (5.82)

Laminaty antysymetryczne, ktowe, regularne

Rwnania (5.77) i (5.78) nie ulegaj adnym uproszczeniom w przypadku laminatw regularnych, zatem macierz sztywnoci tarczowej jest okrelona zwizkami

1111 QtA =/ 2222 QtA =/

1212 QtA =/ 6666 QtA =/ (5.83)

0A0A 2616 == ,

Analiza pooenia rodkw cikoci poszczeglnych warstw i wykorzystanie definicji regularnoci laminatu (5.43) pozwalaj zapisa elementy macierzy sztywnoci sprze nastpujco

0BBBB 66122211 ==== (5.84)

N2tQ

BN2tQ

B2

2626

216

16 == , (5.85)

Wyraenia (5.85) naley bra ze znakiem "+" wwczas, gdy skrajn warstw laminatu po dodatniej stronie osi "z " jest warstwa +. W przeciwnym przypadku obowizuje znak "-". Ilustruje to poniszy rysunek.

z

+

z

(5.85) znak + (5.85) znak -

Analizujc wsprzdne rodkw cikoci warstw, mona take pokaza, e macierz sztywnoci gitnej dla laminatu antysymetrycznego, ktowego i regularnego mona wyrazi zwizkami

12tQD

311

11= 12tQD

322

22 = (5.86)

12tQD

312

12 = 12tQD

366

66 =

0D16 = 0D26 = (5.87)

ROZDZIA 5

89

Czytelnik moe potraktowa wyprowadzenie zwizkw (5.85) i (5.86) jako zadanie do samodzielnego rozwizania.

Warto zwrci wiksz uwag na posta elementw B B16 26 i macierzy sprze. Z (5.85) wida, e ich wartoci zale odwrotnie proporcjonalnie od iloci warstw N, tworzcych laminat. Tak wic dla laminatu o ustalonej gruboci t wraz ze wzrostem liczby warstw maleje efekt sprzenia stanu tarczowego i gitnego. Z tego punktu widzenia nie jest obojtne, czy z czterech lamin + i czterech lamin - wykonany zostanie antysymetryczny laminat o kodzie [- 2 / 2 / - 2 / 2 ] czy te laminat o kodzie [- / / - / /- / / - / ]. Grubo obu jest taka sama, ale ilo warstw w pierwszym wynosi N=4, a w drugim N=8. Sprzenie stanu tarczowego i gitnego w drugim przypadku bdzie zatem mniej widoczne.

5.3.2. Laminaty o poprzecznym uoeniu warstw, zrwnowaone

Transformowane macierze sztywnoci dla warstw 0 i 90 maj postaci

==

66

22

12110ij

0ij

Q0Q0QQ

QQ (5.88)

==

66

11

122290ij

90ij

Q0Q0QQ

QQ

Przypomnijmy, e kady laminat antysymetryczny, poprzeczny musi by take zrwnowaony, tak wic z rwna (4.39) i (4.41) wynikaj zalenoci

50vv 900 .== (5.89)

1V0VVV 2431 ====**** , (5.90)

Korzystajc z tabeli 4.1 oraz rwna (3.20), macierz sztywnoci tarczowej dla dowolnego laminatu antysymetrycznego, poprzecznego mona zapisa w nastpujcej postaci

+==

1

2112211 E

E1Q21tAtA // (5.91)

1221 QtA =/ 6666 QtA =/ 0AA 2616 == (5.92)

Macierz sprze otrzymujemy z rwnania (4.26) z wykorzystaniem macierzy sztywnoci warstw 0 i 90 - rw. (5.88). Zauwamy, e (4.26) dla laminatu poprzecznego mona przedstawi w postaci sumy

( ) ( )902N

1k

ckk

90ji

2N

1k0

ckk

0jiji ztQztQB

==

+=//

(5.93)

Ze wzgldu na to, e kadej warstwie 0 odpowiada warstwa 90 o tej samej gruboci, ale przeciwnym znaku wsprzdnej rodka cikoci - musi zachodzi relacja

( ) ( )==

=N/2N/2

1k90

ckk

1k0

ckk ztzt (5.94)

czc (5.93) i (5.94) otrzymujemy

( ) ( )=

=2N

1k0

ckk

90ij

0ijij ztQQB

/ (5.95)


90

Ostatecznie zatem elementy macierzy sztywnoci sprze dla dowolnego antysymetrycznego laminatu poprzecznego wyraaj si zalenociami

0BBBB 26166612 ==== (5.96)

( ) ( )=

=2N

1k0

ckk221111 ztQQB

/ (5.97)

B B22 11= (5.98) Macierz sztywnoci zginania jest okrelona rwnaniem (4.27), ktre w analizowanym przypadku mona zapisa jako sum dwch czonw, z ktrych pierwszy zwizany jest z warstwami 0, a drugi warstwami 90

90

2N

1k

3k2c

kk90ij

0

2N

1k

3k2c

kk0ijij 12

tztQ12tztQD

==

++

+=

// (5.99)

Wykorzystujc ponownie to, e kadej warstwie 0 odpowiada warstwa 90 o tej samej gruboci, ale przeciwnym znaku wsprzdnej rodka cikoci, jak rwnie fakt wystpowania tych wsprzdnych w obu sumach w rwnaniu (5.99) w drugiej potdze, atwo wykaza i musi zachodzi warunek

===

+=

+=

+

2N

1k

3k2c

kk

90

2N

1k

3k2c

kk

0

2N

1k

3k2c

kk 12tzt

12tzt

12tzt

/// (5.100)

Ostatnie z powyszych wyrae oznacza, e sumowanie naley wykona po wszystkich warstwach lecych po jednej stronie osi "z". czc (5.99) i (5.100) otrzymujemy

( ) =

+=+=

2N

1k

3k2c

kkkk90ij

0ijij 12

tztSSQQD/

gdzie (5.101)

Ostatecznie macierz sztywnoci gitnej ma skadowe

( ) k221111 SQQD += 1122 DD = (5.102) k1212 SQ2D = k6666 SQ2D =

0DD 2616 == (5.103)

Laminaty antysymetryczne, poprzeczne, regularne

Macierz sztywnoci tarczowej okrelona jest rwnaniami (5.91) i (5.92).

Macierz sztywnoci sprze wynika z wczeniejszych rozwaa tego rozdziau oraz analizy wsprzdnych rodkw cikoci warstw 0, ktr pozostawmy jako zadanie dla czytelnikw. Jako rezultat odpowiednich oblicze otrzymujemy nastpujc posta macierzy [B]

= 1

EE

N4tQ

B1

22

1111 1122 BB = (5.104)

0BBBB 26166612 ====

Przy obliczaniu skadowej B11 znak "+" obowizuje wwczas, gdy skrajn warstw laminatu po dodatniej stronie osi "z" jest warstwa 90. W przypadku, gdy warstw skrajn jest warstwa 0, naley wzi B11 ze znakiem "-". Pokazano to na poniszym rysunku.

ROZDZIA 5

91

z z

90 0

(5.104) znak + (5.104) znak -

Macierz sztywnoci zginania otrzymuje si wprost z (5.101) i (5.102), po uwzgldnieniu, e gruboci wszystkich warstw s jednakowe ( t k =t /N ). Analizujc pooenie rodkw cikoci warstw mona ponadto wykaza, e zachodzi zwizek

zt N

Nkc

k

N2

1

2 2 2

241

= =

/ ( )

(5.105)

Wspczynnik Sk wynosi teraz Sk=t3/12, a elementy macierzy [D] wyraaj si zwizkami

+=

1

23

1111 E

E124

tQD 1122 DD =

12tQD

312

12 = 12tQD

366

66 = (5.106)

0DD 2616 ==

Elementy macierzy sztywnoci tarczowej, sprze i zginania dla laminatw symetrycznych i antysymetrycznych , ktowych i poprzecznych przedstawiono w formie tabel w Dodatku 1.

5.4. Kompozyty quasi-izotropowe Kompozytami quasi-izotropowymi okrela si kompozyty o takiej budowie, e elementy macierzy sztywnoci tarczowej [A] w dowolnym ukadzie odniesienia (x, y) speniaj warunki

2211 AA = (5.107)

2616 AA = (5.108)

[ ]121166 AA21A = (5.109)

Zauwamy, e w materiale izotropowym (por. pkt. 5.2.1) macierz sztywnoci [Q] , jak i w konsekwencji macierz sztywnoci tarczowej [A] speniaj takie wanie warunki. Formalne podobiestwo macierzy [A] dla materiaw izotropowych i pewnej szczeglnej klasy kompozytw sprawia, e zostay one nazwane quasi-izotropowymi. Nazwa ta, jak to bdzie pokazane, jest w peni adekwatna take i z tego powodu, e makroskopowo kompozyty quasi-izotropowe zachowuj si jak materiay izotropowe, tzn. ich charakterystyki materiaowe nie zmieniaj si przy obrocie ukadu odniesienia. S to jednak w dalszym cigu kompozyty z ich wszystkimi charakterystycznymi cechami, jak choby t, e naprenia po gruboci zmieniaj si skokowo od warstwy do warstwy (na skutek rnych sztywnoci warstw), co rni je od "zwykego" materiau izotropowego - std w nazwie przedrostek "quasi".

Klasycznym przykadem kompozytu quasi-izotropowego jest kompozyt o matrycy zbrojonej losowo rozoonymi wknami, co oznacza jednakowe prawdopodobiestwo ich rozmieszczenia w dowolnym kierunku. Mona take wyobrazi sobie zamiast jednej warstwy losowo zbrojonej, laminat o wielu warstwach jednokierunkowo zbrojonych, ale losowo rozoonych po gruboci. W pierwszym przypadku przyjmuje si, a w drugim mona to udowodni, e wspczynniki okrelone rwnaniem (4.41) zeruj si

4321i0V i ,,,* == (5.110)

Biorc to pod uwag oraz korzystajc z tabeli 4.1. moemy wyznaczy macierz sztywnoci tarczowej. Jej skadowe maj posta


92

12211 UtAtA == // 566 UtA =/ (5.111)

0AA 2616 == 412 UtA =/ (5.112)

Spenienie warunkw (5.107) i (5.108) jest natychmiast widoczne, za warunek (5.109) jest atwy do wykazania po wstawieniu za U i wielkoci wynikajcych ze zwizkw (3.20).

Zauwamy, e elementy macierzy [A] wyraaj si jedynie przez U 1 , U 4 i U 5 , a zatem wielkoci niezmiennicze dla warstwy kompozytu przy jej obrocie wzgldem dowolnego ukadu odniesienia. Stanowi to dowd niezmienniczoci take macierzy sztywnoci tarczowej, a jednoczenie dowd quasi-izotropowoci kompozytu.

Cech quasi-izotropii posiadaj nie tylko wspomniane powyej kompozyty o losowym rozkadzie wkien w warstwie, czy te warstw w laminacie, ale take "standardowe" laminaty warstwowe o bardzo specyficznym uoeniu warstw w przekroju. Podstawowe sekwencje warstw dla tej klasy laminatw maj kody [ 0 / /3 ] i [ 0 / /4 / 90 ]. Na ich bazie mona tworzy inne laminaty (np. [60 / 0 / -60 ], [ 90 / 45 / 0 / -45 ] itp.) quasi-izotropowe.

Zauwamy, e w dla pierwszej sekwencji - kty midzy kierunkami wkien wynosz /3 [rd], a dla drugiej /4 [rd] - pokazano to na rys. 5.2.

60

60

6060

60

60

warstwa 0

warstwa -60warstwa +60

warstwa 0

warstwa 45 warstwa -45

warstwa 90 45

454545

45

4545

45

Laminat typuLaminat typu / 3 / 4

Rys. 5.2. Podstawowe typy laminatw quasi-izotropowych.

Liczba warstw w pierwszym przypadku wynosia trzy, a w drugim cztery. Uoglniajc te spostrzeenia mona powiedzie, e dowolny laminat o "m" grupach warstw (przez grup warstw naley rozumie zbir wszystkich warstw o tej samej konfiguracji, nie koniecznie poczonych ze sob w warstw lub warstwy), pomidzy kierunkami ktrych zawarty jest kt /m [rd] jest quasi-izotropowy, pod warunkiem, e objtociowy udzia tych warstw czyni zado rwnaniom (5.110). Laminat o pierwszej sekwencji warstw nosi w zwizku z tym nazw laminatu " /3 ", a drugi " /4 ".

W celu wyznaczenia quasi-izotropowych staych inynierskich zastosujemy procedur opisan w pkt. 4.1.5 rozdziau 4. Zapiszmy (5.111) - (5.112) w postaci macierzy

tU0U0UU

A

5

1

41

ij

= (5.113)

Macierz odwrotna do macierzy [A] ma ogln posta

=

66

212

211

11

212

211

12212

211

11

ij

A1

0AA

A

0AA

AAA

A

A (5.114)

ROZDZIA 5

93

Korzystajc z (5.113) i (5.114) wyznaczamy na podstawie rwna (4.44) poszukiwane quasi-izotropowe stae inynierskie

+===

1

45yx U

U1U2EEE (5.115)

1

4yxxy U

U=== 5xy UGG ==

Wyraaj si one poprzez niezmienniki, s wic niezalene od konfiguracji laminatu, a zale jedynie od rodzaju materiau kompozytowego. Mamy wic identyczn sytuacj jak dla konwencjonalnych materiaw izotropowych. Laminaty quasi-izotropowe maj nad nimi jednak t zalet, e konstruujc odpowiednio laminat (tzn. dobierajc waciwy materia i uoenie warstw) mona uzyska te same wartoci staych inynierskich co dla materiau klasycznego, przy kilkudziesicioprocentowej oszczdnoci na ciarze - (patrz - przykad 2).

5.5. Kompozyty o warstwach izotropowych Rozwamy bardzo szczeglny przypadek materiau kompozytowego, a mianowicie laminat zbudowany z N warstw izotropowych. Ze wzgldu na izotropi rozrnianie zredukowanej i transformowanej macierzy sztywnoci traci sens. Macierz sztywnoci dla "k-tej" warstwy ma zgodnie z (5.14) posta

[ ] kk

k

k

k K

2100

01

01

Q

=

/)(

( )2kk

k1

EK

= (5.116)

Dla laminatw o dowolnym uoeniu warstw macierze sztywnoci tarczowej [A] , sprze [B] i gitnej [D] naley wyznaczy z oglnych wzorw okrelajcych te macierze tzn. (4.25), (4.26) i (4.27).

Laminatem symetrycznym nazywamy w omawianym przypadku laminat, ktrego warstwy symetrycznie pooone wzgldem paszczyzny rodkowej maj takie same gruboci oraz modu Younga i wspczynnik Poissona. Z oglnych rozwaa dotyczcych symetrii laminatw wynika, e macierz sprze [B] jest wwczas macierz zerow. Inne istotne uproszczenia nie wystpuj.

5.6. Przykady

Przykad 1

Wyznaczy odksztacenia i naprenia w warstwach laminatu [0, 902]s wykonanego z kompozytu grafit/epoksyd (T300/epoksyd Vicotex174), dla ktrego stae materiaowe wynosz E1=137 GPa, E2=10.04, GPa, G12=4.8 GPa, 12=0.3, poddanego dziaaniu jednoosiowego obcienia o wartoci N = 1 MN/m. Grubo pojedynczej warstwy kompozytowej wynosi t1=2.5x 10-4 m.

Analizowany laminat jest symetryczny, w zwizku z czym macierz sztywnoci sprze [B] zeruje si (rwnanie (5.5)) - nie wystpuje w nim zatem sprzenie stanw tarczowych i gitnych. Biorc pod uwag sposb jego obcienia stwierdzamy, e mamy do czynienia wycznie ze stanem tarczowym tzn. wektor momentw wypadkowych {M} = {0}. Nie uwzgldniamy ponadto obcie termicznych, co oznacza, e wektor si termicznych {NT} = {0}.

Odksztacenia wyraaj si zatem rwnaniem (5.11) zredukowanym do postaci

{ } [ ] { }NA 1= (5.117) gdzie wektor si wypadkowych ma posta

{ }

=00N

N (5.118)


94

1

x

22

y 1

N

N

warstwa 0

warstwa 0

warstwa 90

Rys. 5.3. Laminat [0, 902]s poddany jednoosiowemu rozciganiu.

Odksztacenia wyraaj si zatem rwnaniem (5.11) zredukowanym do postaci

{ } [ ] { }NA 1= (5.117) gdzie wektor si wypadkowych ma posta

{ }

=00N

N (5.118)

Na mocy zaoenia przyjtego w klasycznej teorii laminacji (rozdz. 4), odksztacenia we wszystkich warstwach s takie same. Naprenia warstwowe s rne dla rnych warstw, ale stae po ich gruboci. Wyznaczamy je z rwnania (5.13), ktre w tym przypadku redukuje si do postaci

{ } [ ] [ ] { }NAQ 1kk = (5.119) Tak wic chc okreli odksztacenia i naprenia naley wyznaczy macierz sztywnoci tarczowej [A]

dla caego laminatu, a ponadto transformowane macierze sztywnoci Q dla poszczeglnych warstw.

Wykorzystamy wyniki uzyskane w przykadzie 1 rozdziau 4 . Macierz sztywnoci warstwy w jej gwnych osiach materiaowych ma posta (4.60)

[ ] ][.

....

MPa108400

01110033003391137

Q 3

= (5.120)

Macierze transformowane dla warstw 0 i 90 otrzymujemy wprost z (5.120) bez koniecznoci stosowania zalenoci transformacyjnych (tabela 3.2), co wynika z faktu, e ukad osi materiaowych (1, 2) warstwy 0 i ukad odniesienia (x, y) pokrywaj si, a w przypadku warstwy 90 osie (1, 2) "zamieniaj si miejscami". Tak wic transformowane macierze sztywnoci maj skadowe

[ ] ][.

....

MPa108400

01110033003391137

Q 30

= (5.121)

[ ] ][.

....

MPa108400

09113703300331110

Q 390

=

ROZDZIA 5

95

Macierz sztywnoci tarczowej [A] dla laminatu [0, 902]s otrzymana przez pomnoenie macierzy unormowanej (tab. 4.2 (dla n=2) - rozdz. 4, przyk. 1) przez grubo laminatu t=6t1=1.510-3 [m], ma posta

[ ]

=

mMN

270009614255405540679

A.

....

(5.122)

za macierz do niej odwrotna ma posta

[ ]1

41

mMN10

89138800008700400472126

A

=

.....

(5.123)

Korzystajc z rwnania (5.117) otrzymujemy nastpujce wartoci odksztace 4

x 1072126= .

4y 1004

= . (5.124)

0xy =

Naprenia warstwowe obliczamy z rwnania (5.119) z uwzgldnieniem transformowanych macierzy sztywnoci (5.121). Ostatecznie naprenia warstwowe wynosz

{ } [ ]MPa0

4341746

0

= . { } [ ]MPa0

7169126

90

= ..

(5.125)

W celu sprawdzenia poprawnoci uzyskanych wynikw sprawdmy warunek rwnowagi si (na jednostk dugoci), ktry ma posta

900 NN2N += (5.126)

Elementarne rachunki pozwalaj zapisa rwnanie rwnowagi w postaci

tt

tN

tt2

t2N2

tN 90

90

900

0

0 += (5.127)

Lub w rwnowanej postaci napreniowej

9090x00xx vv += (5.128)

gdzie x oznacza naprenie wypadkowe, a v0 i v90 objtociowe udziay warstw, odpowiednio 0 i 90, ktre wynosz v0 =1/3, v90 =2/3.

Wstawiajc do (5.128) naprenia warstwowe x0 i x90 ze zwizkw (5.125) otrzymamy naprenie wypadkowe

x = 666.6 MPa

Odpowiadajca mu sia wypadkowa, ktra musi by rwna wartoci obcienia zewntrznego, wynosi

N = x t = 1 MN/m

i jest w istocie rwna sile obciajcej.

Okrelmy jeszcze redystrybucj siy zewntrznej midzy warstwy 0 i 90. Siy te wynosz:

N0

N90

N0

t t0

t0

t90N


96

N0 = x0 2t0 = x0 2t1 = 0.873 MN/m

N90 = x90 t90 = x90 4t1 = 0.127 MN/m

Wida zatem, e udzia warstwy 90 (dwukrotnie grubszej od cznej gruboci warstw 0) w przenoszeniu obcienia jest bardzo may - ok. 13%. Gwn rol odgrywaj tu warstwy 0, a wic te, w ktrych wkna s rwnolege do kierunku obcienia. Potwierdza to wspomnian w rozdz. 1 dominujc rol wkien w przenoszeniu si, a zarazem znikome pod tym wzgldem znaczenie matrycy (w warstwie 90 wanie matryca poddana jest dziaaniu siy zewntrznej). Problematyka ta bdzie szerzej przedstawiona w rozdz. 7.

Zauwamy jeszcze, e mimo i obcienie N dziaa w kierunku osi x, to w obu warstwach pojawiy si niezerowe naprenia normalne y . Wobec braku si zewntrznych o kierunku osi y, wypadkowe naprenie y musi by oczywicie rwne zero. Korzystajc w odniesieniu do napre y z rwnania analogicznego do (5.128), atwo sprawdzi, e istotnie tak jest.

Z (5.124) wida te, e skutkiem symetrycznej budowy jest brak odksztace ktowych laminatu.

Przykad 2.

Wyznaczy charakterystyki materiaowe quasi-izotropowego kompozytu grafit/epoksyd o losowo rozoonych warstwach ( bd losowo rozoonych wknach w warstwie ) o staych technicznych w gwnych osiach materiaowych wynoszcych: E1 = 170 GPa, E2 = 10 GPa, G12 = 5 GPa, 12 = 0.25 (21 =( E2 / E1 )12 = 0.0147).

Poszukiwane wielkoci wyznaczymy korzystajc z zalenoci (5.115). Naley wic najpierw obliczy wartoci elementw zredukowanej macierzy sztywnoci [Q] - rwnanie (5.19), a nastpnie niezmiennikw U1, U4 i U5 - rwnanie (3.20). W wyniku oblicze otrzymujemy

Q11 = 170.63 GPa, Q22 = 10.037 GPa, Q12 = 2.51 GPa, Q66 = 5 GPa,

U1 = 70.88 GPa, U4 = 21.97 GPa, U5 = 24.46 GPa.

Quasi-izotropowe stae spryste wynosz

E = 64.1 GPa, = 0.31, G = U5 = E / [2 (1+ )] = 24.5 GPa.

Przegldajc tablice staych materiaowych konwencjonalnych materiaw izotropowych atwo zauway, e powysze wartoci s bardzo zblione do charakterystyk aluminium, dla ktrego wynosz one

E 70 GPa, 0.32, G 26 GPa.

Tak wic zamiast elementu aluminiowego mona zastosowa element kompozytowy quasi-zotropowy o niemal identycznych cechach sprystych, ale znacznie od niego lejszy. W przypadku aluminium i kompozytu grafit/epoksyd rnica w ciarze waciwym wynosi ok. 40 procent !

Przykad 3.

Obliczy unormowane macierze sztywnoci tarczowej [A] dla laminatw [- 60, 0, 60] - typ A i [0, 90] - typ B - w ukadach : wyjciowym i obrconym wzgldem niego o 30.

Wyjciowy uk. wsprzdnych (x, y) wynika wprost z kodw laminatw - pokazano to na poniszym rysunku.

x

y y

x

0

90

0

- 6060

laminat A laminat B

ROZDZIA 5

97

Laminat A

Biorc pod uwag, e objtociowy udzia wszystkich warstw jest taki sam i wynosi 1/3, wszystkie wspczynniki okrelone rwnaniem (4.41) zeruj si. Dziki temu elementy unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej maj posta

12211 UtAtA == // 412 UtA =/ 566 UtA =/ 0AA 2616 ==

Wyraaj si one poprzez niezmienniki, a ponadto spenione s warunki quasi-izotropii (5.107)-(5.109). Tak wic laminat [-60/ 0/ 60] jest quasi-izotropowy.

Laminat B

Zastosowanie identycznej procedury, jak dla laminatu A prowadzi do nastpujcych rezultatw

1V0VVV 2431 ====****

312211 UUtAtA +== // 3412 UUtA =/ 3566 UUtA =/ 0AA 2616 ==

Dwa pierwsze warunki quasi-izotropii s spenione, natomiast warunek (5.109) nie jest speniony, co wida po wykonaniu elementarnych oblicze.

Przechodzc do nowego ukadu (x', y') obrconego wzg. (x, y), powinnimy uzyska potwierdzenie tego, e laminat A jest quasi-izotropowy, a laminat B nie jest, tzn. macierz sztywnoci tarczowej dla pierwszego powinna pozosta nie zmieniona , a dla drugiego przeciwnie. W ukadzie (x', y') laminaty A i B maj kody odpowiednio [ 90/- 30/30 ] i [-30/60 ].

laminat B

60 -30

x'

y'

90

laminat A

-3030

x'

y'

Postpujc wg identycznych zasad jak poprzednio, otrzymujemy dla laminatu A

0VVVV 4321 ====****

Macierz sztywnoci tarczowej nie ulega zatem zmianie przy obrocie ukadu, co oznacza, e laminat jest quasi-izotropowy.

W przypadku laminatu B

V V V V1 3 2 40 0 5 0 866* * * *. .= = = =

A t A t U U11 22 1 30 5/ / .= = A t U U12 4 30 5/ .= + A t U U66 5 30 5/ .= + A t U A t U16 3 26 30 866 0 866/ . / .= = Macierz sztywnoci tarczowej w ukadzie nowym rni si od tej w ukadzie wyjciowym, laminat B nie jest wic laminatem quasi-izotropowym.


98

Documents

Janusz German - Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych - skrypt5