Jbptitbpp Gdl Rudiasnann 30326 4 2008ta 3

Bab3DinamikaStruktur

LaporanTugasAkhirResponDinamikStrukturTerapung 31

BAB3

DINAMIKASTRUKTUR

Gerakandaristrukturterapungakandipengaruhiolehkeadaansekitarnya,dimanaterdapatgayagaya luar yangbekerjapada strukturdan akanmenimbulkan gerakanpada struktur.Untukmenganalisagerakangerakantersebutdiperlukansuatu formulasiyangditurunkandaripersamaangerakdinamik.Denganadanyapengaruhdarigayaluardanredamanyangnonliniermakapersamaangerak dari struktur terapoung menjadi non linier. Oleh karena itu solusi numerik menjadi solusiutamadalammenyelesaikanpersamaangerakdinamik.

Dalamdinamika struktur sistem koordinatdiperlukanuntukmenentukanposisidari suatusistemyangbergeraksetiapwaktuyangmengacupadajumlahderajatkebebasan.Gerakanstrukturterapungdapatdinyatakanndalam6arahatau(6derajatkebebasan)yakni3geraktranslasi:surge,sway,heavedan3gerakrotasi:roll,pitch,yaw.Berikutiniadalahgambarandari6derajatkebebasantersebut:

Gambar3.1Silinderdenganenamderajatkebebasan.(sumber:Jordan,2007)

3.1 RESPONDINAMIKSTRUKTUR

Padaumumnyastrukturyangtidaksederhanamemiliki jumlahderajatkebebasanyang taktehingga. Namun dalam proses penyederhanaan dan pemodelannya secara matematis dapatdilakukan pengurangan jumlah derajat kebebasan yaitu dengan cara membagi struktur tersebutkedalam beberapa bagian. Untuk kasus tertentu struktur dapat dimodelkan dalam satu derajatkebebasan.

CG



Sebagaicontohpadagambar3.2ditunjukansuatumoselmatematisdaristrukturyangakandianalisis secara dinamik dalam sistem satu derajat kebebasan. Pada gambar tersebut terdapatelemenmassa(m)yangmeggambarkankarakteristikmassadan inersiadaristruktur,elemenpegas(k) yang menggambarkan kekakuan dari struktur, elemen redaman (c) yang menggambarkankarakteristikgesekandanenergy lossesdaristruktur,gaya luar (F(t))yangmenggambarkangayagayayangbekerjapadapadastruktur.

Gambar3.2Modelmatematisuntuksistemsatuderajatkebebasan.

Sistemdiatasdapatdigambarkandalambentukfreebodydiagramyangtelahmengalamiperpindahansejauhymenjadi:

Gambar3.3Freebodydiagram.

Jika gaya luar yang bekerja pada struktur sama dengan nol (F(t) = 0) maka berdasarkanhukum Newton ke dua persamaan gerak dari free body diagram diatas dapat ditulis menjadipersamaanmatematissebagaiberikut:

(3.1)

Persamaan 3.1merupakan persamaan diferesial linier homogen orde dua, persamaan inidapat diselesaikan dengan memisalkan , dengan mensubsitusikan persamaan ke

persamaan3.1makadidapatkanpersamaanberikut:

(3.2)

Denganmengeliminasi makapersamaan3.2menjadi:

(3.3)

mc

k

F(t)

y

m

ky

F(t)

y



Daripersamaan3.3didapatkanakardaripersamaantersebut:

(3.4)

Sehinggadidapatkansolusidaripersamaan3.1menjadi:

(3.5)

Konstanta didapatkan dari kondisi awal (initial condition) permasalahan bagaimana

gerakanawaldimulai.

Padapersamaan3.4 jika sukudidalamakar samadengannol,hanya terdapat satu solusiuntuk p. Kondisi ini disebut critical damping dan koefisien dampingnya disebut dengan koefisiencriticaldamping, .

(3.6)

(3.7)

Frekuensi natural untuk sistem tanpa redaman dinyatakan dalam rumusan matematisberikut:

(3.8)

Perbandingananatarakoefisiendampingdengankoefisiencriticaldampingdisebutdenganfaktorredaman( )yangdinyatakandenganrumusanberikut:

(3.9)

Berdasarkan faktor redaman, besar redaman suatu sistim dapat dinyatakan dalam tigakondisiyaitu:

,overdamping



Koefisien redaman sangat besar sehingga sistim butuh waktu yang lama untuk mencapai posisisetimbangnyakarenatertahandenganredamanyangbesarsepertiTabel3.1.

,criticaldamping

Pada kondisi ini, sistimpaling cepatmencapaiposisi setimbang tanpa adanyaosilasi ataudengankatalainmengalamidecaysepertiTabel3.1.

,underdamping

Untuk kondisi ini, koefisien redaman kecil sehingga sistim mengalami osilasi yang lama sehinggapencapaiankesetimbanganbutuhwaktuyanglamasepertiTabel3.1.

Tabel3.1Beberapakondisiredamanpadastruktur(sumber:R.Pratap&A.Ruina,2001).

Over-damping Critical damping Under-damping

Padasistemunderdampingdimanakoefisienredamanlebihkecildarikoefisienredamankritis (c



(3.11)

Denganmensubsitusikanpersamaan3.10,3.11kepersamaan3.5akanmenghasilkansolusiumumuntuksistemunderdampingsebagaiberikut:

(3.12)

Dimana A dan B adalah konstanta integrasi dan adalah frekuensi redaman yang

dinyatakandalamrumusanmatematis:

(3.13)

Atau

(3.14)

Denganmemasukankondisiawaldankecepatanawal (yodanv0)makakonstanta integrasidapatditentukansehinggapersamaan3.12akanmenjadi:

(3.15)

Persamaan 3.15merupakan solusi untuk persamaan diferensial linier homogen orde dua(persamaan 3.1) yang disebut dengan respon transient, dimana respon ini muncul berdasarkanfrekuensinaturalstrukturdanseiringnilaityangsemakinbesarmakarespontersebutsemakinkecil.

Jika struktur strukturdikenaigaya luaryangharmonik (F(t)= )makaberdasarkan

hukum Newton ke dua persamaan gerak dari free body diagram diatas dapat ditulis menjadipersamaanmatematissebagaiberikut:

(3.16)

Persamaan 3.16 dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan caramensubsitusikan persamaan 3.16 dengan persamaan Eulers (persamaan 3.11) maka akandidapatkanpersamaan:



(3.17)

Persamaan(3.17)merupakanpersamaandifferensialbiasaordeduadimanasolusinyaterdiridari solusi homogen dan solusi khusus. Solusi homogen telah disajikan pada persamaan 3.15.Sedangkan untuk mendapatkan solusi khusus dari persamaan (3.17), yang disebut juga sebagairesponsteadystate,makadimisalkansolusikhusustersebutdalambentukmatematisberikut:

(3.18)

Dengan mensubsitusikan persamaan 3.17 dengan persamaan 3.18 maka didapatkanpersamaan:

(3.19)

Atau

(3.20)

Sehinggadidapatkanyp

(3.21)

Persamaan 3.21 dapat dinyatakan dalam koordinat polar sehingga persamaan tersebutmenjadi:

(3.22)

Atau

(3.23)



Dimana

(3.24)

Denganmemisalkan

(3.25)

Makapersamaan3.23menjadi

(3.26)

Dimana

(3.27)

Perbandingan antara amplitudo steady state (yp) dengan defleksi statik (yst) dinamakandynamicamplificationfactor(D)dinyatakandalampersamaanberikut:

(3.28)

3.2 RESPONAMPLITUDEOPERATOR(RAO)

Pengaruh dari gaya luar terhadap suatu struktur terapung dapat menyebabkan strukturtersebutbergerak.Gerakandaristrukturterapunginimerupakanrespondaristrukturakibatadanyagaya luar. Respondari suatu struktur terapung tergantung kepada karakteristik struktur tersebut.UntukmengetahuirespondaristrukturakibatgayaluarmakaperludilakukanperhitunganmengenaiRAO.



Dalam laporan ini RAO yang dimaksud adalah RAO menggambarkan frekuensi responstruktur terapung (kapal) terhadap suatugelombang sinusoidal.RAOdapatberupaRAOgayaatauRAO simpangan.RAOdapatdidefinisikan sebagaiamplitudo respon strukturper satuanamplitudogelombang.RAOdisebut jugadengan fungsi transfer, karenadenganRAO, gelombang (gaya luar)dapatditransfermenjadifungsiresponstruktur.

Pada sebuah sistim linear, fungsi responpada suatu frekuensigelombangdapatdituliskandalambentukpersamaanberikut:

(3.29)

Dimana ( )t elevasi muka gelombang sebagai fungsi waktu. Dalam konteks spektrum,untuksuatusistimyang linear,fungsiRAOdikuadratkandandikalikandenganspektrumgelombanguntuk memperoleh spektrum respon. Persamaan untuk menentukan spektrum respon tersebutdinyatakandalampersamaan:

(3.30)

Padapersamaan3.30SRRmerupakanspektrumrespondaristrukturyangmerupakanfungsidarifrekuensi,sedangkan merupakanspektrumgelombangyangmerupakanfungsidarifrekuensi.

3.3 PERSAMAANGERAKSTRUKTURTERAPUNG

Gerakan dari struktur terapung digambarkan dalam 6 derajat kebebasan, berikut ini akandiberikangambarannya:

X3

X6X2

X5

X1

X4

Gambar3.4Enamderajatkebebasandaristrukturterapung.

Dimana



:surge :roll

:sway :pitch

:heave :yaw

BerdasarkanpadahukumNewtonIIpersamaangerakdaristrukturterapungdalam6derajatkebebasandinyatakansebagaiberikut:

(3.31)

Dimana:

F :resultangayayangbekerjapadastruktur

M :massastruktur

a :percepatandaristruktur

Persamaan3.31dapatditulisdalambentuk laindimanapercepatan(a)merupakanturunankeduadariposisi:

(3.32)

Dalam konteks laporan ini resultan dari gayagaya yang bekerja pada struktur terdiri darigaya apung (buoyancy) dan gaya luar. Gaya luar terdiri gaya eksitasi dan gaya radiasi. Dimanapersamaanmatematisnyadapatditulissebagaiberikut:

(3.33)

Dimana

:Gayaeksitasi

:Gayaradiasi

:Gayahidrostatik

Rumusan dari masingmasing gaya tersebut telah dijabarkan pada bab sebelumnya yaknipadapersamaan2.38dan2.39,sedangkangayhidrostatikberpengaruhpadakoefisienkekakuandaristruktur.Makapersamaan3.33dapatdituliskembalimenjadi:



(3.34)

Denganmenjabarkan gaya radiasi yang terdiri dari koefisienmassa tambah dan koefisienredamanmakapersamaan3.34dapatditulismenjadi:

Untukj=1,2,3,,6 (2.41)

Dimana

:matriksmasadaninersiadaristruktur

:massatambah(addedmass)

:koefisienredaman

:kekakuanstruktur

:totaldarigayaluaryangbekerjapadastruktur

Gaya luar yangbekerjapada struktur terdiridari gaya akibat gelombangdatangdan gayaakibatdifraksigelombang.Denganmemisalkan dandisubsitusikan kepersamaan2.41

makapersamaannyamenjadi:

Untukj=1,2,3,,6 (2.42)

Dimana

:matriksmasadaninersiadaristruktur

:massatambah(addedmass)

:koefisienredaman

:kekakuanstruktur

:totaldarigayaluaryangbekerjapadastruktur

Dengan mengasumsikan struktur terapung (kapal) memiliki bentuk yang simetri secaralateraldanmemilikikoordinatpusatgravitasipada(0,0,zg)makamatriksmassanyamenjadi:



=

g

g

jkg 4 46

g 5

46 6

M 0 0 0 Mz 0

0 M 0 Mz 0 0

0 0 M 0 0 0M

0 Mz 0 I 0 I

Mz 0 0 0 I 0

0 0 0 I 0 I

(2.43)

Dimana

M :massastruktur

Ij :momeninersiaarahj

Ijk :momeninersia

Sedangkanmatriksmasatambah,koefisienredamandanmatrikskekakuanadalahsebagaiberikut:

11 13 15

22 24 26

31 33 35jk

42 44 46

51 53 55

62 64 66

A 0 A 0 A 0

0 A 0 A 0 A

A 0 A 0 A 0A

0 A 0 A 0 A

A 0 A 0 A 0

0 A 0 A 0 A

=

(2.44)

11 13 15

22 24 26

31 33 35jk

42 44 46

51 53 55

62 64 66

B 0 B 0 B 0

0 B 0 B 0 B

B 0 B 0 B 0B

0 B 0 B 0 B

B 0 B 0 B 0

0 B 0 B 0 B

=

(2.45)

33 35jk

44

53 55

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 C 0 C 0C

0 0 0 C 0 0

0 0 C 0 C 0

0 0 0 0 0 0

=

(2.46)



ContentsBAB3 ....................................................................................................................................................... 1

DINAMIKASTRUKTUR ............................................................................................................................. 1

3.1 RESPONDINAMIKSTRUKTUR.................................................................................................. 1

3.2 RESPONAMPLITUDEOPERATOR(RAO) .................................................................................. 7

3.3 PERSAMAANGERAKSTRUKTURTERAPUNG........................................................................... 8

Gambar3.1Silinderdenganenamderajatkebebasan.(sumber:Jordan,2007).................................... 1Gambar3.2Modelmatematisuntuksistemsatuderajatkebebasan. .................................................. 2Gambar3.3Freebodydiagram.............................................................................................................. 2Gambar3.4Enamderajatkebebasandaristrukturterapung. .............................................................. 8

Tabel3.1Beberapakondisiredamanpadastruktur(sumber:R.Pratap&A.Ruina,2001)................. 4

Documents

Jbptitbpp Gdl Rudiasnann 30326 4 2008ta 3