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Jeux combinatoires et théorie des
groupes
Jeux: Activités intellectuelles ou gestuelles qui n’ont d’autre fin que l’amusement de la personne qui s’y livre.
Combinatoires : Qui étudient les différentes manières de combiner les éléments d’un ensemble.
Théorie : Ensemble organisé de principes, de règles, de lois scientifiques visant à décrire et à expliquer un ensemble de faits.
Groupe :Ensemble E (fini ou infini) d’objets muni d’une loi notée ~
~ vérifie: Evariste Galois, 1811-1832
Fondateur de la
théorie des groupes.
e : élément neutre
• pour a,b, c des éléments de E : (a~b)~c = a~(b~c)
associativité• pour tout a de E, il existe un a’ tel que a~a’ = a’~a =e
a’ inverse (ou symétrique ou opposé) de a
• il existe un élément e dans E tel que pour tout a de E : a~e = e~a =a
Exemple:Ensemble Z des entiers relatifs {…, -3,-2,-1,0,1,2, 3,…} muni de l’addition, loi notée +
X=0: élément neutre
• pour a,b, c des éléments de Z (a+b)+c=a+(b+c)
associativité
• pour tout n de Z, il existe un n’=-n tel que n+(-n)=(-n)+n=0
-n: opposé de n
• pour tout n de Z, x+n=n+x=n
Autre Exemple:
1 2 3
Ils font une course, imaginons Les ordres d’arrivée possibles.
Autre Exemple:
1 2 3
1 2 3
Autre Exemple:
1 2 3
1 2 3
1 3 2
Autre Exemple:
1 2 3
1 2 3
1 3 2
2 1 3
Autre Exemple:
1 2 3
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
Autre Exemple:
1 2 3
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 2 1
Autre Exemple:
1 2 3
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2
L’application de l’ensemble E={1,2,3} dans lui-même définie par
13
32
21
est une permutation.
L’ensemble des permutations de E est un groupe, appelé groupe symétrique S3
est l’élément neutre.
La loi est la composition notée °.
13
22
31
33
22
11
13
32
21
°
213
322
131
= =
23
32
11
Une partie de la recherche mathématique des deux derniers siècles a consisté à classer et étudier les groupes finis.
… …
Brauer Frobenius Burnside Schur Weyl Lie
Étudier?
• calculer nombre d’éléments
• décrire ses représentations
• décrire ses sous-groupes
(2,2)
Représentations irréductibles de Sn sont indexées par des
partitions de n.
n=4
(4)
(3,1)
(2,1,1)
(1,1,1,1)
Partitions de n : suites décroissantes d’entiers positifs dont la somme vaut n.
Diagramme de Young de forme la partition de 6: (3,2,1)
4
1 11
3 4
On remplit ce diagramme: tableau de Young
<
Tableau de Young de forme (3,2,1), de remplissage (3,0,1,2)
Appelons T l’ensemble des tableaux
• de forme une partition de n
• remplis sur par des nombres de 1 à n.
Peut-on munir T d’une loi?
Si oui, quelles propriétés a-t-elle?
Le tableau sans case est appelé le tableau vide et est noté
A B C D
E F K G
I J H
M N O L
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :
Jeu de taquin
A B C D
E F K G
I J H
M N O L
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :
Jeu de taquin
A B C D
E F G
I J K H
M N O L
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :
Jeu de taquin
A B C D
E F G
I J K H
M N O L
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :
Jeu de taquin
A B C D
E F G H
I J K
M N O L
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :
Jeu de taquin
A B C D
E F G H
I J K L
M N O
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication :
Jeu de taquin
5 6
4 4 6
1 2 2 3
4
1 2
n=9
5 6
4 4 6
1 2 2 3
4
1 2
On applique un jeu de taquin (i.e pousser toutes les cases noires vers l’extérieur) en utilisant les règles suivantes:
a b c
d e
f g h
a b c
d e
f g h
• si b, c, e sont vides, rien à faire
• sinon si b>e alors
• sinon a b c
d b e
f g hConvention :
Case vide= case remplie par
5 6
4 4 6
1 2 2 3
4
1 2
A quelle case appliquer le jeu de taquin?
A des coins…
Et quand il y a plusieurs coins?
On en choisit un au hasard, le résultat sera toujours le même
C’est un théorème dont la démonstration n’est pas évidente…
5 6
4 4 6
1 2 2 3
4
1 2
5 6
4 4 6
1 2 2
4
1 2
3
5 6
4 4 6
1 2
4
1 2
2 3
5 6
4 4
1 2 6
4
1 2
2 3
5 6
4 4
1 2 6
4
1 2
2 3
5 6
4 4
1 2 6
4
2
2 3
1
5 6
4 4
1 2 6
4
2
2 3
1
5 6
4 4
1 2 6
4
2
2 3
1
5 6
4 4
1 2 6
4
1 2
2 3
5 6
4 4
1 6
4
1 2
2 2 3
5 6
4
1 4 6
4
1 2
2 2 3
5
4 6
1 4 6
4
1 2
2 2 3
5
4 6
1 4 6
4
1 2
2 2 3
5 6
4 4
2 3 6
1 1 2 2 3
On continue et on obtient
L’ensemble T muni de est-il un groupe?
Groupe:Ensemble E (fini ou infini) d’objets muni d’une
loi notée ~
~ vérifie:
• il existe un élément e dans E tel que pour tout
a de E a~e=e~a =a e: élément neutre
• pour a,b, c des éléments de E
(a~b)~c=a~(b~c) associativité
• pour tout a de E, il existe un a’ tel que
a~a’=a’~a=e a’: inverse de a
c
a b
c
a b
=
=
c
a b
• Tableau vide est élément neutre.
• est associative.
• Mais il n’y a pas d’inverse!
L’ensemble T muni de est un monoïde.
Peut-on faire des tableaux avec des cases doubles?
Oui !
Ce sont des tableaux de dominos.
<
1
1
1
2
32
3
On appelle D l’ensemble des tableaux de dominos.
Quel rapport avec ce qui précède??????????
Il existe une bijection entre
TT
et D TT
= (T 1, T 2) , T1 dans T, T2 dans T
2
1 1 ,
Forme du tableau de dominos = (4,4,3,3)=2(4,3)
Mot associé au tableau de dominos: 1112312
3
2 2
1 1 1 1
2 3
1 1
2
1 1 ,
Forme du tableau de dominos = ( 4,4,3,3)
Mot associé au tableau de dominos: 1112312
2
1 1
1
2 3
1 1
Elle sert à démontrer le théorème suivant:
Théorème: Soient n un entier, p=(p1, …pq) une partition de n, Vp
une représentation irréductible de Sn V(p) * V(p) se décompose en somme de toutes les Véval(d) où d parcourt l’ensemble des tableaux de dominos de forme 2(2p1,…2pq) de mot de Yamanouchi et éval(d) est la partition dont la ième part est le nombre de i apparaissant dans le mot de d.
Mot de Yamanouchi: tout segment initial contient un nombre de i supérieur ou égal au nombre de i+1 contenu dans le même sous mot.
Exemple: 1121 oui éval(1121)=(3,1)
21 non.
V (1) * V (1) =
« V1 1
* V2
1
»= V(2) +V(1,1)
Peut-on faire des tableaux avec des cases
Oui !
Ce sont des tableaux de
doubles
dominos
triples
3-rubans.
Appelons R l’ensemble des tableaux de 3- rubans
Existe-t-il une bijection entre R et qui permette de décomposer le produit de 3 représentations (i.e analogue du théorème précédent) ??
Question ouverte !!!!!
TTT
