% Η C^rul,

LINEARCJM ATQUE SUPERFICIERUM THEORIA

ANALYTICE EXPOSITA

CUJUS PARTEM DECIMAM NONA 5Λ

CONSENSU AMPL. FAC. PHILOS. UPSAL.

PRiESID Ε

MAG. JÖNS SVANBERG,XQUITE HEG. ORD. DE STELLA POLARI,

MATH. PROFESSORE REG» ET ORD.,

EEG· SCIENT. ACAD« HOLM. ATQUE SOC» SCIENT» UPS.REGIvEQUK SCIENT. MI LIT. ACAD. HOLM. Μ EM BRO t

NEC NON REG. ACAD. AGRIC. HOLM. REG. INSTITUT. PARIS·ET REG. SCIENT. ACAD. AM5TELÄD. CORRESP.

P. P.

CAROLES GUSTAVUS INDEBETOUSUDERMANNO -NERICIUS.

IN AU DIT» GUSTAV· DIE XVII KART. NDCCCXXI.

Η. Α. M. ».

UPSALIM

■XCUDSBAKT RECIAt ACADEMIAC TTP0GRAPB1.

) '45 (

§. 7(?· Ssd & i pils C, D,& ut in $. 73 d·.cuinius, determinatis, videlicet

(be - 2cd) A -f" (bc - 2ae) Bb2 - 4ad 9

D =3 b A - 2a B ·, Ε = 2dA — bB,8c F sa eA - c B; cum adeo fiac

(b* - 4üd) {BF - CE) == [be - xtd) (BD - AE)>8c (b* - 4ad) {AF - CD) = (2*10 - k) {BD - AE),fubiticuancur haec eadem in cequatione

{b2 - 4ad)2 . {BD - AE)* . ζ =*a (b2 - 4ctd)* . (Si*7 - CE)* 4· d (b* - 4ady . {AF- CD)*m\rf{b2-4ad)i. {BD-AEr - b {b2-4ed)2. (AF-CD){BF-CE)

- t {b*- 4nd) {BF - CE). {b*- 4ad) {££> -

-t- e (b* - 4ad) {AF - CD) . {b2 - 4ad) {BD - AE)quae ex §. 67 locurn habebit, atque fiec adeo, pera£la u.bique per {BD - AE)2 divifione,

{bz - 4ad)2 . ξζζ a (2ed-be)2 ·+· d(2ae ~ bc")* -i-f(b* -4acf)*Hh b {zae - bc) {2cd - be) +■ c {2cd - be) {b* - 4ad)«+· e{2ae - bc) (b2 - 4ad)= {b*-4ad)(ae2 -4-c-d-+ b2f-bce-4adf),

ae2 -f- c2d -4* b7f - bce - 4adfideoque tandem ζ = ib2 - 4adTum vero, cum & fa£la fubftitutione fic

V aE2-

3 «4*

< aE2 - bDE ~fs dD7 =: (yad - b2) {aB2 - bAB + dA2),atque per ipfam illam» quam ex §. 73 rra£tandam fufce-pimus hypoihefm

Q2i?1 .oif + Q*#2 - -4- Q2#2 · £ = 0fier profe£to tandem

(b7 - 4ad). (aB7 - bAB -f- dA7) . R7y7er- {aB7 - bAB ~H ^2) . Q2*2 + Q2£2 . £>*

Arque fic i ρ fa obtinebimus pun&a, in quibus curva ησ-ftra abfcisfarum vel ordinararum axem iecat, prour inhac sequatione aut y, auc χ evanefcentia ftatuantur.

§· 77· Quo.d ii ig i tur ponauuis T eum exhibere [pli¬ns y valorem, qui cönvenit τω χ = o, X autem eum i-piius χ valorem, qui convgnic τω y = o, fiet urique exsequacione npvisiima,

α _ " Rr i &X2 """"

aB7 - bAB -+- άΛζ *

\ Q2 · jT& —

qp _ 4ad) - bAB «+- dA?) 'Tum vero, cum ßt ex hypotheß

R7 = A7 - zAB . CofmK -f- B7,Q2 = D2 - zDE . Cofm λ -f- E7

zz: {b2 -4bd Cos.K yd2) A1 ^{b7 ~ 40b Cos λ -f 4n2) B3— z[zab -+- zbd - (b2 ·+■ 4ad) Coßn λ] AB,

) 147 (

{4ad - b2) R2 zz (4ad - L·2) (A2 -4- B2) - zfaad - b ) Cor λ. AB,& Qfi -4- (find - b*) R2 ==■

(4ad- 4bd Cofm λ ~f" 4^2) -^2 4~ C igd—4ctb Cofin Λ 4" 4Ü*} Β2- 2 (zab ~ ib2 Coyfö/ λ 4* 2Z>cf) AB ■===.

4fia flf - Z> CofinX) . {aß2 - bAB 4- dy?2)nec non BD - AE ==: - 2 (aS2 - -4- dA2),

(-ÖZ? - AE) . iSn* Λatque per §. 14 5m 0 = ,

fiet adeö per fubßitutionem4 (α -4- d-b Cor λ) (λ£2 -f-C2r/4- ^2/- bce- 4adf)

T- -4- X2 = — : -

ψ - 4adY- 4 (ne2 -f- c2d -J- b2j - bce - 4adf)2 . Sin λ2

tpx'.y=^ .—·atque Tic denique, Γι brevitaris gratia eandem etiamniimrecmeamus, quam in §. 66 adhibuimus denominanonem ,~

ponendo quippe]/[4n (ae2 fi- c2d 4- b2f - bce -

ö (Z>2 - 4ad)défrnienrur tam ^T2 quam Χ2 hac ärquatione:

(α -4~d- b Coi A) g2 (b2 - 4nd) Sin λ2 Co/>f Ö2 . £43 4 -

α. 4«

cujus equidem radices erunt =A4

2da

) MS (

g1— (fl-f i- bCos λ+ \Z[(a-\-d- bCosÅ)2 -f ('p*-4ad) Sin λ2 Cofec Q2]}za

§. 78· Ex his igitur ipforlim T2 Sc X2· valoribusidem omnino atque quod in §. 74 demonftravimus, erui-tur, fcilicet in cafu Ellipfeos, quo quidem ex hypothciib2 - 4ad femper erit negativum, esfe minimum, qui ipiiötribuendus iic valör, eum angulum 0", pro quo

\/ idctd -b2) . Sin λSin Γ =

, ;α -4- d - b Cojin λ

tum vero fore ipforutn T2 Sc X2 valöres, qui huic con«·venient angulo, fibimet invicem sequales, atque

g9= — (a d - b Coßn λ).

2 Cl

Sed & reliquorum adeo valorum, manifeftum omnino e.rit", maximum esfe eum, qui (pofiro 0 = angulo redo)prodit

g2zzz — fa 4- d - b GyiwA-f- y{a-\~d-bCoßn'A)2~{~{b2~4ad)SinÄ2Jt

za

minimum autem huic ipii conjugatumg2 -

s— —Jfa-\- d-bCos λ -\Z(fl-4-^-^CoxA)2 -f- (bz - ^.ad) Sin λ2] >

atque iic alterum quidem ipforum, quos in §. 74 principa-3es nuncupavimus axes> maximum fuppeditaturum esfepro Xz valorem, alterum autem minimum. Supereft jam^1

B B'ut Si ipüus ~ eum determinemus valorem —quiaxem

de-

) τ49 (

definiat, cui maximus conveniet ipfiusX2 valör, itidemqueB''

alterum etiam valorem qui axem definiat, cui mini-

mus conveniet ejusdem X2 valör. Hoc quidem ipfumjamdum in §. 74 quodammodo effe£him dedimus; cumautem ex allatis ibidem ancipites etiamnum maneamus,urer axem definiat, cui maximus conveniet ipfius X2valör, atque uter fimiliter altetum, cui minimus conve¬niet ejusdem X2 valör, fumamus aequationem in §.77. al-latam

- i?2 . ξχ* = b

aB2 - bAB 4- dA2- (i2 - 40d) g2. (B2 - ζAB Cos λ 4- A2)

4a (aB2 - b , AB dA2)

atque, cum ex hac utique prodeat

[4azX!l^{b^4ad')giJB^2{2abX^(bi-4ad)giiCosÄjABy4- [4adX2 (b* - 4ad)g2] A2]

fiet equidem generarim admodumB

[4a2X2 4- (b2 - 4<*d)g2] . - sa

2CtbXz 4- "" 4°d)g2 · Coßn Λa + d- b Cos λ

5 *5<> (- A

yel adeo fiadX2 4- CL>2 " 4fli0 g7] · ^ —

zabX2 4* {b2 - 4n i)g7 · Cc/iu λa 4-d - b Co.rλ

/■y+ . C . X=

q: V 4^ Cb" - 4<--d i bi _ 401iI -C" )£4. Λ'»λ>! v 4a2

mm voro, Γι breviratis gratia pon a mus maximum ex-h ibc ra ipiius X2 vaiorern.— ?_ ia^d-bCosK^\/{^'^d-ljCosKi^ib2-4ad)SinK'i L

z.6i l( y

T2 autem minimum ejusdem valorem

?_ +d-bCosK-\/n-^rd-bCosXr^-{b2'^ad)Smh2\za \ )

cum ii c equidem, per deroönftrara ina-hd-b Cos λ b*~4a4

χ* - C— - C —T~) £4 S» λ* = *,vβ 4Q

a -4- d - b Cos λ b-r-^ad&X* -( — )g2 ^ - C :-"v~ ) £* Sin λ* =

fl 4"

7?' zabX'2 4- (b*. - 4ad) g7 · Co/Afiet denique - = —4alxV -+- [b2 -r 44dig7 · „

WX,J 4- ib2· - 4ad) g2zabX* 4- [bz - 4ad).g2 . Cos λ

&

) 151 C

B" zabV2 -4- (7;2 - 4ai0 g2 Cof λ^

A' 4ß3T*2 -f- (£α - 4cid)g*

4ndT 2 -+-· (£a - 40d' g12nbT'z -+· {L·7· - 4a<t) #2 Co/ λ

§. 79 Rurfus, cum in cafu Ellipfeos numqunrn fåneron lic b2 er it c^rre η -Η d - b, & inde rouhoadnuc magis λ —ΐ— d — b Cojm Λ öiiirjnätivuiri) ex quo cumfit per antecedentia

Χ.Ί bCoi λ -+ {/[[ß'^-djCosh- b]'2 d)-SinK- j ,2iJ ^ J

&

T''1 22 " bCosX- ψ[^•+-d)Cosh~-l]'1 4- {a-d)*Sinh? |,fiai adeo necesfe eft , tam a zzz d, quam

b =2 (a -f- d) Coßn λ =2 ζα' Cofin λ — 2dCoflyfi.,quo .nempe X2 oequa'e fur fui conjugato T2 . TumVero, cum üf generanm adtnodum per § 74 Cotcing. 0=2

(6 - zd Cos λ) ^ Η- (2Λ Co/ λ - b) B1 -+■ 2{'i - a)2 - b AB -b dA2) Sin λ '

fier equidem hoc cafu Cotang. 0 2= o, atque fic fcilicet an-guius ö re&us, quod adeo indicio erir omnes hoc eodemcaiu Diametros luis ad normam' iniiftere ordinans quasbifariani fecat. Ex hoc aut.eui, cum & per §. 77, T2 &X2 generatim omnino ii η ε —

t

) «si r

g*( . )— < a -4- d - b Cos Λ "ι S/ \ i >20 I r 1. -j- (b2 - ^cid) Sin λ2 Cofnv.gü2 i ipatebit denique nullum omnino valorem X non es fe fuiconjugaio T hoc cnfu aeqiialem ; arque (ic denique ipiam,de qua adeo qiueritur eurvsm circulum esfe, centro O& radio g . Sin λ =

λ/fe7· 4- e2 - 2ce Coίΐη λ - 4C,f . Sin λ2 7— defcripturn, pro

2a Sin λ

quo igirur femper in eo confiftit aequationis chara£ler,ut iit fciiicet a = d, & b = ia Cofin λ.

In cafu autem Hyperbolce, Γι fueric a -f* dzz bCoßnh%cum iic Χ2 & X^ per §. 77 ifthac definiaruur aquarione:

(b2 - 4ad) Sin λ2 Cofe.c Q2_ gi β 0f

4a2

fiec adeo femper T2 = - X2 ; ideoque conjugati horumipforum valöres, quamvis contrarie itimendi, iemper ta-meufTibimec invicem äquales erunr; atque Tic quidemcurva, de qua quaeritur, proprietäre gaudebit, circulo ucquam maxime analoga, ex qua fcilicet inter infiriiras o·mnino Hyperbolas , ea qua jarn adeo definietur, AEqui-r,ATERA haud incongrue dieatur.

Sed & circa Hyperbolam quameunque obfervanduminfuper occurrit, ipforum Τ2 & X2 t hac utpotejper §.77defuiiendorum aquatione

(a - bCoJin λ) hz - 4ad^ , —— g9z - — — Sin λ2 CofecQ2 . g* zz 0 ,

α 4a2al·