John Napier, dit NeperJohn Napier, dit Neper

Au cours du XVIe et XVIIe les calculs étaient devenus d ’une effroyable compléxité :l’astronomie, la navigation, le commerce faisait intervenir des grands nombres, descalculs trigonométriques, des calculs de puissances et de racines n-ièmes.

L’idée directrice, pour simplifier les calculs, fut de remplacer des multiplicationsremplacer des multiplications par des additionspar des additions à l ’aide d ’une table de correspondances.

John NapierJohn Napier, plus connu sous le nom de NeperNeper, né en 1550 et mort en 1617,fut un théologien et mathématicien écossais.Il établit quelques formules de trigonométrie sphérique, popularisa l'usage du point pour la notation anglo-saxonne des nombres décimaux mais surtout mis au point la première table de ...logarithmeslogarithmes.Il s'attacha à définir le logarithme d'un sinus en s'appuyant sur des considérations mécaniques de points en mouvement et sur le lien entre les progressions arithmétique et géométrique.

Sa description du nouvel outil parue en 1614 dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio , fut lue par Henry Briggs qui poursuivit son œuvre.

Les tables de logarithmes ont été utilisées jusqu’à la fin des années 1960, avant l’arrivéedes calculatrices !

Activité 1 : Où l’on retrouve la méthode d ’Euler ...Activité 1 : Où l’on retrouve la méthode d ’Euler ...

Pour ceux qui apprécient cette méthode … la voici encore ! Rappelons que la méthode d’Euler permet de découvrir une fonction en ne connaissant que certains renseignements relatifs à la dérivée.

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors sa courbe représentative C admet une tangente en chacun de ses points A0 (x0 ; f (x0)) qui permet d’obtenir des valeurs approchées de f (x) au voisinage de x0 . On a, pour h voisin de 0 :

Soit h un réel strictement positif “ assez petit ”. On pose y0 = f (x0) .En partant d’un point A0 (x0 ; f (x0)) pour lequel f ‘ (x0) est non nul, on pose :

x1 = x0 + h et on construit le point M1 (x1 ; y1) sur la tangente T0 à la courbe C en A0 .On a alors : y1 = y0 + f ‘ (x0) h . x2 = x1 + h et on construit le point M2 (x2 ; y2) sur la parallèle T ’1 à la tangente T1 à la courbe C en A1 (x1 ; f (x1)) . On a alors : y2 = y1 + f ‘ (x1) h . et ainsi de suite …

On construit une suite de points Mn (xn ; yn) . En joignant les points A0 , M1 , M2 , … , on obtient la courbe représentative d’une fonction g qui est affine par morceaux.

hxfxfhxf 000 '

Nous avons découvert la fonction exponentielle comme solution de l’équation différentielle y ‘ = y qui vérifie y (0) = 1.Intéressons nous maintenant à la primitiveprimitive sur l’ensemble des réels positifs non nulsde la fonction inverse qui s’annule en 1 …A l’aide de la méthode d’Euler, on peut justifier l’existenceexistence d’une telle fonction.

Soyons fou … Appelons logarithme népérien et notons ln cette fonction.Elle est donc la primitive sur Rprimitive sur R+*+* de la fonction inverse qui vérifie ln (1) = 0.

0)1ln(1

)('ln x

x

Activité 2 : La quadrature de l ’hyperbole ...Activité 2 : La quadrature de l ’hyperbole ...

Nous allons nous intéresser aux aires de 2 portions de plans situées sous l’hyperbole.

a b 4 a 4 b

a et b sont deux réels strictement positifs. Pour faciliter la

compréhension, on a choisiun coefficient égal à 4 ; mais ilen va se même pour les autres

réels positifs.

D’après le diaporama de Monsieur De Rieux.

On peut approcher ces deux aires par des aires de rectangles.

a b 4 a 4 b

Or ces deux rectangles ont même aire. En effet :

bab

bab

4

1)44(

1)(

On va maintenant remplacer chaque rectangle par 2 rectangles de même airemême aire.

Les aires des rectangles sous l’hyperbole situés au dessus

de [a ; c] et de [c , b] sont égales à :

b

cbet

c

ac )()(

a c b 4 a 4 c 4 b

Il faut choisir pour c la moyenne géométrique :

bac

c

ac

abb

aabb

abb

ababb

abb

ababb

b

abb

b

cb

)()(

)(

En effet :

On a donc bien obtenu 2 rectangles de même aire au dessus de [a ; b].

On démontre de la même façon que les 2 rectangles au dessus de [4 a ; 4 b]

sont d’aires égales entre elles, mais aussi égales à l’aire des rectangles précédents.

Les quatre rectangles ainsi obtenus ont donc tous la même aire.Les quatre rectangles ainsi obtenus ont donc tous la même aire.

A l’aide de ces 4 rectangles, on approche les aires sous la courbe avec plus de précision. On peut ensuite répéter le procédé au dessus de chaque nouvelintervalle, et ainsi de suite…

Ainsi, on peut conjecturerconjecturer que l’aire de la portion de plan sous l’hyperbolesituée au dessus de [a ; b] est égale à l’aire de la portion de plan sous l’hyperbole située au dessus de [4a ; 4b] . On peut généraliser pour l’aire de la portion de plansous l’hyperbole située au dessus de [ka ; kb] , où k est un réel strictement positif.

a b ka kb

Deux aires égales !Deux aires égales !

Soyons fou … Notons ln (ab) l’aire de la portion de plan sous l’hyperbole située au dessus de [1 ; ab].

On a ln (ab) qui est la somme des aires de portions de plan situées au dessus de [1 ; a] et de [a ; ab] .

ln (ln (a ba b) = ln () = ln (aa) + ln () + ln (bb))

1 a a b

Or cette dernière aire est égale à celle située au dessus de [1 ; b] . Ainsi :

Activité 3 : Où l’on réutilise les primitives ...Activité 3 : Où l’on réutilise les primitives ...

A la fin de l’activité 1, nous avons défini la fonction logarithme népérien, notée ln,la primitive sur ]0 ; +primitive sur ]0 ; +[[ de la fonction inverse qui vérifie ln (1) = 0.

xxf ln)( Pour x ]0 ; +[x

xf1

)(' f (1) = 0

Montrons d’abord que cette fonction vérifie bien la propriété trouvée à la finde l’activité 2.

ln (ln (a ba b) = ln () = ln (aa) + ln () + ln (bb))Pour tout a et b strictement positifs :

Nous devons donc montrer que : pour tout a et b strictement positifs : f (a b) = f (a) + f (b).

Pour tout a > 0, la fonction h : x f (a x) est dérivable sur ]0 ; +[ comme composéecomposée de fonctions dérivables et on a :

)('11

)(')(' xfxxa

axafaxh

Les fonctions h et f sont donc deux primitives de la même fonction sur ]0 ; +[ Ainsi : h (x) = f (x) + k. Or comme h (1) = f (a) = f (1) + k , et que f (1) = 0,on obtient k = f (a) et ainsi pour tout x ]0 ; +[ : h (x) = f (a x) = f (x) + f (a).La propriété est donc prouvée.

A l’aide de cette propriété, nous pourrons montrer d’autres égalités :

Pour tout a et b strictement positifs, pour tout entier n non nul :

aa

ln1

ln

bab

alnlnln

anan lnln

Activité 4 : Mais quel est le lien avec l’exponentielle ...Activité 4 : Mais quel est le lien avec l’exponentielle ...

Rappel :La fonction racine carrée est la fonction réciproquefonction réciproque de la fonction carrée sur [0 ; +[ .

[0 ; +[0 ; +[[

x x xx22

[0 ; +[0 ; +[[

x x xx

On a, pour tout réel x positif :

xxx 22

Et graphiquement, la courbe de la fonction racine carrée est la symétrique par rapport à l’axe symétrique par rapport à l’axe yy = = xx de la courbe de la fonction carrée sur [0 ; +[ .

Soit f la fonction logarithme népérien.

xxf ln)( Pour x ]0 ; +[x

xf1

)(' f (1) = 0

La fonction h = f o exp : x f ( exp (x) ) est dérivable sur R comme composéecomposée de fonctions dérivables et on a :

Ainsi : h (x) = x + k. Or comme h (0) = f (e0) = f (1) = 0 , on a k = 0 et h (x) = x.

xefxh )( 11

')(' x

xxx

eeefexh

Pour tout réel x : xex x ln)exp(ln

La fonction logarithme népérien est donc la fonction réciproquefonction réciproque de la fonction exponentielle.

RR ]0 ; +]0 ; +[[

expexp

lnln

yy = exp ( = exp (xx))

yy = ln ( = ln (xx))

Résumé :Résumé :

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive sur ]0 ; +primitive sur ]0 ; +[[de la fonction inverse qui vérifie ln (1) = 0.

xxf ln)( Pour x ]0 ; +[x

xf1

)(' f (1) = 0

aa

ln1

ln

ba

b

alnlnln

anan lnln

ln (ln (a ba b) = ln () = ln (aa) + ln () + ln (bb))Pour tout a et b strictement positifs :

xex x ln)exp(lnC’est déjà pas mal

C’est déjà pas mal

pour aujourd’hui !

pour aujourd’hui !

Logarithme et Exponentielle sont dans un bar. Logarithme et Exponentielle sont dans un bar.

Ils commandent chacun une bière. Lequel paie ?Ils commandent chacun une bière. Lequel paie ?

Exponentielle parce que Logarithme népérien !!!Exponentielle parce que Logarithme népérien !!!

Pour finir ce diaporama, un peu d’humour ...Pour finir ce diaporama, un peu d’humour ...